Rezolvare Simulare BAC 2013_Cluj 5 Dec 2012_Tehnologic
5
www.matematicon.ro www.matematicon.ro Bacalaureat Simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012 Matematica M_tehnologic Subiecte rezolvate – Simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012, M_tehnologic Rezolvarea detaliata a subiectelor simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012, M_ tehnologic Subiectul I 1. Sa se determine solutiile intregi ale inecuatiei 5 x 3 7. Rezolvare: 5 x 3 7 - 7 3x – 5 7/ + 5 - 2 3x 12 - 3 2 x 4 x 4 , 3 2 Z S = 4 , 3 , 2 , 1 , 0 2. Sa se rezolve ecuatia log 2 (x 2 - 3x + 2) = 1. Rezolvare: Conditie de existenta x 2 - 3x + 2 > 0 log 2 (x 2 - 3x + 2) = 1 x 2 - 3x + 2 = 2 x(x – 3) = 0 x 1 = 0, x 2 = 3. Verificam conditia de mai sus x 1 = 0 0 2 - 3·0 + 2 = 2 > 0 x 2 = 3 3 2 - 3·3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 > 0 Deci S = {0, 3}. 3. Sa se calculeze S = 1 + 5 + 9 + ... + 2013. Rezolvare: Sirul 1, 5, 9, ...., 2013 este o progresie aritmetica, de ratie 4.
description
Bacalaureat
Transcript of Rezolvare Simulare BAC 2013_Cluj 5 Dec 2012_Tehnologic
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro
Bacalaureat
Simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012
Matematica M_tehnologic
Subiecte rezolvate – Simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012,
M_tehnologic
Rezolvarea detaliata a subiectelor simulare Bacalaureat 2013 – Cluj 5.12.2012, M_ tehnologic
Subiectul I
1. Sa se determine solutiile intregi ale inecuatiei 5x3 7.
Rezolvare:
5x3 7 - 7 3x – 5 7/ + 5 - 2 3x 12 -32 x 4 x
4,
32
Z
S = 4,3,2,1,0
2. Sa se rezolve ecuatia log 2 (x 2 - 3x + 2) = 1.
Rezolvare:
Conditie de existenta x 2 - 3x + 2 > 0
log 2 (x 2 - 3x + 2) = 1 x 2 - 3x + 2 = 2 x(x – 3) = 0 x 1 = 0, x 2 = 3.
Verificam conditia de mai sus
x 1 = 0 0 2 - 3·0 + 2 = 2 > 0
x 2 = 3 3 2 - 3·3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 > 0
Deci S = {0, 3}.
3. Sa se calculeze S = 1 + 5 + 9 + ... + 2013.
Rezolvare:
Sirul 1, 5, 9, ...., 2013 este o progresie aritmetica, de ratie 4.
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro
Trebuie sa determinam rangul termenului 2013.
2013 = 1 + 4(n – 1) 4n = 2016 n = 504
Deci 2013 este termenul de rangul 504 S = 2
504)20131( = 2014·252
(am folosit formula S n = 2
n)aa( n1 , unde (a) n este o progresie aritmetica).
4. Sa se rezolve ecuatia 3 x5x2 = 1.
Rezolvare:
3 x5x2 = 1 3 x5x2 = 3 0 x 2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x 1 = 0, x 2 = 5.
5. Fie punctele A(1, 4), B(0, -2) si C(4, 2). Sa se determine ecuatia medianei din A.
Rezolvare:
Notam cu M mijlocul segmentului (BC).
Coordonatele punctului M sunt x M = 2
xx CB si y M =2
yy CB
x M = 2
40 = 2 si y M =2
22 = 0 M( 2, 0).
mediana din A este dreapta care trece prin punctele A si M si are ecuatia:
121x
=
404y
x – 1 =44y
- 4x + 4 = y – 4 4x + y – 8 = 0
6. Sa se calculeze lungimea laturi BC a triunghiului ABC stiind ca AB = 6, AC = 3 2 si
m A = 135 .
Rezolvare:
Conform Teoremei cosinusului :BC 2 =AB 2 +AC 2 -2AB·AC·cos A=36 + 18 - 2·6·3 2 ·cos135 =
= 54 - 36 2 ·cos (90 + 45 )= 54 - 36 2 ·(- 22 ) = 54 + 36 = 90 BC = 90 = 3 10
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro
Subiectul II
1. Fie matricea A =
2001
si nN, n 2.
a) Sa se calculeze A 2 + A 3 .
b) Stiind ca A n =
n20
01 sa se rezolve ecuatia det(A n ) = 128.
c) Sa se calculeze det B, unde B = A + A 2 + A 3 + ... + A 100 . Rezolvare:
a) A 2 =
2001
·
2001
=
4001
, A 3 = A 2 ·A =
4001
·
2001
=
8001
A 2 + A 3 =
4001
+
8001
=
12002
b) det(A n ) = 128 n2001
= 128 2 n = 2 7 n = 7
c) B = A + A 2 + A 3 + ... + A 100 =
2001
+
220
01+
320
01+ ... +
1002001
=
=
10032 2...2220
0100
10032 2...222 = 21
222 100
= 2 101 - 2 B =
220
0100101
det (B) = 100(2 101 - 2) 2. Pe R se defineste legea de compozitie x*y = - xy + 2x + 2y – 2. a) Sa se arate ca „* ” este asociativa. b) Sa se determine elementul neutru al legii de compozitie.
c) Sa se calculeze 2012
1 *2012
2 * ... *20124024 .
Rezolvare: a) Fie x, y, zG oarecare. x*(y*z) = x*( - yz + 2y + 2z - 2)= xyz – 2xy – 2xz + 2x + 2x – 2yz + + 4y + 4z – 4 - 2 = xyz – 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) – 6. (x*y)*z = (- xy + 2x + 2y - 2)*z = xyz – 2xz – 2yz + 2z – 2xy + 4x + 4y - 4 + 2z - 2 = = xyz – 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) – 6. Deci x, y, zG avem x*(y*z) = (x*y)*z. Deci legea „* ” este asociativa. b) Fie xR oarecare si nota cu e elementul neutru in raport cu legea „* ” x*e = x - xe + 2x + 2e - 2 = x e(2 – x) + x - 2 = 0 e(2 – x) – (2 – x) = 0 (e – 1)(2 – x) =0 e = 1 R
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro
Verificam ca e*x = x xR 1*x = x - x + 2 + 2x - 2 = x 0 = 0 adevarat Deci xR avem e*x = x*e = x unde e = 1R. Deci legea „* ” are element neutru e = 1. c) x*y = - xy + 2x + 2y – 2 = - x(y – 2) + 2y – 4 + 2 = - x(y – 2) + 2(y – 2) + 2 = - (x – 2)(y – 2) + 2 Se observa ca x*2= 2*x = 2 pentru orice x R. Folosim asociativitatea legii „ * „
20121 *
20122 * ... *
20124024 =
20124023*...*
20122*
20121 * 2 = 2
Subiectul III 1. Se considera functia f: R R, f(x) = x 2013 - 2013(x – 1) + 1. a) Sa se calculeze f(0) + f'(0). b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(1, 2). c) Sa se arate ca f este convexa pe ,0 . Rezolvare: a) f(0) = 2013 + 1 = 2014 f'(x) = (x 2013 - 2013(x – 1) + 1)' = 2013 x 2012 - 2013 f'(0) = - 2013 Deci f(0) + f'(0) = 2014 – 2013 = 1 b) Graficul functiei f admite tangenta in punctul A(1, 2) daca f este derivabila in punctul 1 iar ecuatia tangentei intr-un punctul M(x 0 , y 0 ) al graficului este y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 ). Functia f este derivabila pe R y – 2 = f'(1)(x – 1) f'(1) = 2013 - 2013 = 0 y – 2 = 0(x – 1) y – 2 = 0 y = 2. c) f'(x) este derivabila pe ,0 f"(x) = 2013·2012·x 2011 f"(x) > 0 pentru orice x ,0 functia f este convexa pe ,0 .
2. Fie functia f: R R, f(x) =
0x,3ex40x,2x3
x .
a) Sa se arate ca f admite primitive pe R. b) Sa se determine primitiva functiei f pentru care F(1) = 3 – e. c) Se considera functiile g, G: R R, g(x) = (3x 2 + 2x + 1)·e x3 , G(x) = (ax 2 + bx + c)·e x3 . Sa se determine numerele reale a, b, c pentru care G este o primitiva a functiei g. Rezolvare: a) f este continua pe (- , 0) si (0, + ) fiind suma de functii elementare care sunt continue. Studiem continuitatea lui f in x = 0.
0x0x
lim
f(x) = 0x0x
lim
(3x + 2) = 2, 0x0x
lim
f(x) = 0x0x
lim
(4x - e x + 3) = 2, f(0) = 3·0 + 2 = 2
www.matematicon.ro
www.matematicon.ro
0x0x
lim
f(x) = 0x0x
lim
f(x) = f(0).
Deci f este continua in x = 0. Deci f este continua pe R f admite primitive pe R.
b) Fie f 1 :(- , 0) R, f 1 (x) = 3x + 2 care are ca primitiva functia F 1 (x)=2x3 2
+ 2x + C 1 .
Fie f 2 :(0, + ) R, f 2 (x) = 4x - e x +3 care are ca primitiva functia F 2 (x)=42
x 2
- e x + 3x+C 2
F 2 (x) = 2x 2 - e x + 3x + C 2 .
Fie F:R R, F(x) =
0x),x(F0x,C0x),x(F
2
1
=
0x,Cx3ex20x,C
0x,Cx22x3
2x2
1
2
.
Determinam C, C 1 , C 2 astfel ca F(x) sa fie o primitiva a lui f(x) si F(1) = 3 – e. F(1) = 3 – e 2 – e + 3 + C 2 = 3 - e C 2 = - 2 F trebuie sa fie continua pe R. F este continua pe R\{0}. Determinam C si C 1 astfel incat F sa fie continua in 0.
0x0x
lim
F(x) = C 1 , 0x0x
lim
F(x) = - 1 + C 2 = -1 – 2 = - 3, F(0) = C
F(x) este continua in 0 daca si numai daca 0x0x
lim
F(x) =0x0x
lim
F(x) = F(0) C 1 = - 3 = C
Deci F(x) =
0x,2x3ex20x,3
0x,3x22x3
x2
2
F(x) =
0x,2x4ex2
0x,3x32x3
x2
2
.
c) G este o primitiva a functiei g pe R G derivabila si G'(x) = g(x) xR. G'(x) = g(x) ((ax 2 + bx + c)·e x3 )' = (3x 2 + 2x + 1)·e x3 x32x3 ecbxax3ebax2 = (3x 2 + 2x + 1)·e x3
3ax 2 + (2a + 3b)x + b +3c = 3x 2 + 2x + 1 xR
1c3b2b3a2
3a3
31c
0b1a
Deci pentru a = 1, b = 0 si c = 31 , G(x) este o primitiva a lui g(x).
