5. Calculul de rezistenţă al preîncălzitorului

Capitolul 3

Răsucirea barelor de secţiune circulară

Tensiuni şi deformaţii

Pentru barele de secţiune circulară solicitate la răsucire este important să se

cunoască răspunsul la următoarele aspecte: ce tensiuni şi deformaţii apar precum şi

modul lor de repartiţie pe secţiunea barei şi relaţiile de calcul pentru tensiuni şi

deformaţii. Din observaţiile experimentale efectuate asupra unei bare elastice

circulare pe care s-au trasat generatoare şi cercuri paralele echidistante, se constată

că după aplicarea a două momente de torsiune, Mt, egale şi de sens contrar,

elementul se deformează, însă cercurile paralele rămân în acelaşi plan iar pătratele

iniţiale se transformă în romburi fără ca laturile să se lungească sau să se scurteze,

modificându-şi numai unghiurile, Figura 3.1.

Rezultă deci că este valabilă ipoteza secţiunilor plane şi normale a lui

Bernoulli, iar materialul se află într-o stare de forfecare pură, fiind prezente în

oricare secţiune numai tensiuni tangenţiale.

Dacă vom considera o bară de lungime , de diametru D = 2R, solicitată la

torsiune pură, generatoarea AB trece în poziţia AB, Figura 3.2. Am considerat

punctul B fix, întrucât ne interesează deplasările relative între cele două secţiuni de

la capete.

Generatoarea AB trece într-un arc de elice AB. Notăm unghiul dintre ele cu

max, care poartă denumirea de lunecare specifică maximă. Notaţia de „maxim” la

indice se referă la lunecarea care se produce la nivelul fibrele extreme, iar AOA

reprezintă unghiul , care reprezintă unghiul de roaţie între cele două secţiuni.

Din centrul barei, extragem un element infinitezimal de lungime dx şi rază r,

Figura 3.3. Se poate scrie următoarea relaţie: Arcul DD = dx = rd.

a

a a

a

Mt

Mt

Figura 3.1: Modul de deformare în

ansamlu

max

A'

A

Mt Mt

D O

B

dx

Figura 3.2: Modul de deformare

pentru un element de volum

infinitezimal

2 MECANICA MATERIALELOR

Rezultă:

rdx

dr , (3-1)

unde: - lunecare specifică;

- rotaţia specifică (rotaţia între cele două suprafeţe aflate la

distanţă egală cu unitatea).

Admiţând comportamentul elastic al materialului, conform legii lui Hooke,

avem: G , (3-2)

unde: G – este modulul de elasticitate transversal.

Rezultă: rG , (3-3)

Relaţia (3-3) indică legea de distribuţie a tensiunii tangenţiale , pe secţiunea

transversală. Rezultă că variaţia tensiunii tangenţiale pe secţiune este liniară în

funcţie de raza r.

Conform cu Figura 3.1, avem:

pentru r = 0 = 0;

r = R = max = G R (3-4)

Cum în apropierea conturului tensiunea tangenţială maximă, max, este

tangentă la contur, admitem că şi în celelalte puncte tensiunile tangenţiale au

aceeaşi orientare, Figura 3.5.

Pentru o bară circulară solicitată la torsiune, în plane înclinate la 450 faţă de

axa barei, avem o stare de solicitare echi-biaxială de tracţiune şi compresiune.

Rezultă că pe suprafeţele unui element dreptunghiular cu laturile la 450 faţă de axa

barei, apar tensiuni tracţiune şi compresiune, egale în modul, Figura 3.6. De aici se

poate concluziona că în cazul barelor solicitate la răsucire, pentru materiale la care

rezistenţa la tracţiune este mai mică decât rezistenţa la forfecare, cazul materialelor

fragile, suprafaţa de rupere este elicoidală, înclinată la 450 faţă de axa barei.

În cazul materialelor ductile, Figura 3.6, secţiunea de rupere este plană şi

normală pe axa barei, acolo unde tensiunile tangenţiale au valori maxime.

D'

D

d

Mt Mt

d=2r O

C

dx

Figura 3.3: Analiza deformaţiilor pe

un element de volum infinitezimal

R

r

max

Figura 3.4: Variaţia tensiunii

tangenţiale pe secţiune

Răsucirea barelor de secţiune circulară 3

Pentru calculul tensiunii, vom considera în continuare aspectul static al

problemei. Considerăm un element de suprafaţă dA, situat la distanţă r de centru,

unde tensiunea tangenţială are valoarea . Rezultă:

A A

t dArGrdAM 2 , pt IGM . (3-5)

Din (3-3) şi (3-5), rezultă: rI

MG

p

t , (3-6)

În final obţinem: rI

M

p

t , (3-7)

Pentru r=R, avem: RI

M

p

tmax , (3-8)

Sau:p

t

p

t

W

M

R

I

Mmax ,

(3-9)

Din condiţia de rezistenţă relaţiile de dimensionare, verificare şi încărcare

capabilă sunt:

1) Dimensionare: a

tnecpa

MW

max , (3-10)

2) Verificare: a

efp

tef

W

M , (3-11)

3) Încărcare capabilă: aefpcapt WM , (3-12)

Figura 3.5: Orientarea tensiunii

tangenţiale pe secţiune

r

dA

D=2R

Mt

Mt Mt

Plan de rupere pentru

materiale ductile,

(secţiune normală).

Suprafaţa de rupere pentru

materiale fragile, (secţiune

înclinată cu 450)

Figura 3.6: Suprafeţe de rupere pentru

materiale fragile şi ductile

4 MECANICA MATERIALELOR

Pentru calculul deformaţiilor se pleacă de la relaţia (3-6) obţinându-se,

p

t

IG

M

0

dxIG

Mdx

IG

Md

dx

d

p

t

p

t

, (3-13)

Relaţia (3-13) se aplică în cazul în care bara are secţiune variabilă continuu,

sau solicitarea de torsiune variabilă continuu.

În cazul în care momentul de torsiune este constant Mt = ct., şi produsul GIp =

ct., este constant relaţia (3-13) devine:

p

t

IG

M , (3-14)

Produsul GIp poartă denumirea de rigiditate la torsiune.

Din relaţia (3-14) se pot deduce relaţiile de dimensionare, verificare şi

încărcare capabilă din condiţia de rigiditate:

1) Dimensionare:a

tnecpa

G

MI

max

, (3-15)

2) Verificare: a

efp

tefaef

IG

M

, (3-16)

3) Încărcare capabilă:

aefp

capt

IGM

, (3-17)

Datorită faptului că tensiunea tangenţială este distribuită liniar pe secţiune cu

valori maxime la nivelul suprafeţei exterioare şi cu valori nule în centrul barei,

rezultă că secţiunile utilizate raţional la răsucire sunt secţiunile inelare.

Solicitări în domeniul plastic

Relaţiile (3-1) la (3-17) sunt valabile în domeniul elastic liniar al materialului

pentru care se poate aplica legea lui Hooke.

Presupunem cunoscută diagrama tensiune–deformaţie specifică, -, Figura

3.17a), pentru un anumit material, care prezintă un comportament neliniar. În

aceste condiţii pentru o anumită valoare a rotaţiei specifice , se poate determina

tensiunea tangenţială într-un punct oarecare a secţiunii. Pentru suprafaţa

exterioară a barei circulare, avem deformaţia specifică maximă, max, iar tensiunea

tangenţială maximă, max, se obţine din diagrama -, Figura 3.17a). În mod analog

se procedează pentru oricare punct al secţiunii. Rezultă că diagrama de distribuţie a

tensiunii tangenţiale pe secţiune, Figura 3.17b), are o formă similară cu cea a

diagramei curbei caracteristice de torsiune, -. Momentul de torsiune Mt care

acţionează asupra barei şi care produce rotaţia specifică se calculează din

condiţia de echilibru static:

Răsucirea barelor de secţiune circulară 5

rdrM

R

t

0

22 (3-18)

.

În relaţia (3-18), se face schimbarea de variabilă, după cum urmează:

ddrr ; (3-19)

Obţinem:

dd

M t

maxmax

0

2

3

0

22

2 (3-20)

Integrala finală din membrul drept poate fi interpretată geometric ca fiind

momentul de inerţie axial în raport cu axa a suprafeţei de sub curba caracteristică

de torsiune, -, Figura 3.18.

sau:

Id max

0

2 , (3-21)

Rezultă că pentru o anumită valoare a rotaţiei specifice şi o deformaţia

specifică unghiulară maximă, max, se poate calcula, momentul de inerţie dat de

relaţia (3-21):

3

3max

I , (3-22)

respectiv în final momentul de torsiune, 3

2 3max

3

tM . (3-23)

Repetând procedeul pentru diferite valori ale rotaţiei specifice , se trasează

curba de torsiune Mt(), Figura 3.19.

Figura 3.7: a) Material cu comportament

neliniar; b) Distribuţia tensiunii tangenţiale pe

secţiune

max

max

o

a) b)

R

r

max

max

dr

Mt max

max

max

max

o

d

max

max

Figura 3.8: Schema pentru calculul

momentului static delimitat de

diagrama -

6 MECANICA MATERIALELOR

Având curba caracteristică, pentru orice valoare a momentului de torsiune Mt,

se calculează rotaţia specifică , şi apoi tensiunea tangenţială maximă,max,

Rmax .

În cazul în care materialul are un palier de curgere pronunţat, atunci cea mai

potrivită schematizare a curbei caracteristice la torsiune este schematizarea cu

modulul de plasticitate nul, Gp = 0, Figura 3.10 a).

Aşa cum se vede, diagrama este reprezentată prin două drepte. Prima dreaptă

înclinată, care trece prin origine, este înclinată, având panta egală cu modulul

de elasticitate transversal, G, iar cea de-a doua dreaptă, orizontală, cu modulul de

plasticitate egal cu zero, Gp = 0, reprezintă un comportament perfect plastic.

Atâta timp cât deformaţiile specifice unghiulare (lunecarea specifică), , sunt

mai mici decât lunecarea specifică de curgere c, c>, bara are un comportament

liniar elastic, se aplică relaţiile stabilite pentru domeniul elastic.

În cazul în care tensiunea tangenţială maximă la nivelul fibrelor exterioare,

atinge limita de curgere, c, apare fenomenul de redistribuire a tensiunilor pe

secţiune, Figura 3.10 b). Pe măsură ce momentul de torsiune creşte, tensiunea

maximă se extinde spre interiorul barei cu valoarea constantă dată de limita de

curgere, c.

În momentul în care pe direcţie radială, pe toată lungimea razei exterioare a

secţiunii se atinge aceeaşi valoare, c, momentul de torsiune înregistrează valoarea

ultimă Mtu, Figura 3.10 c).

Momentul de torsiune ultim, se calculează cu relaţia:

Mt

max

Mt

Figura 3.9: Schema pentru trasarea curbei de torsiune, Mt()

c

ma

x

c

ma

x

o

Gp=0

G ()

R

re

c

m

ax

Mt a) b)

R

c

m

ax

Mtu c)

Figura 3.10: a) schematizarea diagramei caracteristice; b) solicitare elasto-plastică;

c) solicitare plastică

Răsucirea barelor de secţiune circulară 7

c

R

ctu

RrdrM

3

22

3

0

2 . (3-24)

După atingerea valorii momentului de torsiune ultim, Mtu, la creşterea

rotaţiilor, momentul de torsiune rămâne constant.

Dacă materialul înregistrează o întărire semnificativă după apariţia

fenomenului de curgere, tensiunile tangenţiale post-curgere vor avea valori mai

mari decât limita de curgere, deci momentul de torsiune înregistrează creşteri o

dată cu creşterea rotaţiei, până se produce fenomenul de rupere.

Momentul de torsiune la care apare prima dată curgerea corespunzător fibrelor

situate la nivelul suprafeţei exterioare a barei, este dat de relaţia:

c

pc

tc

R

R

IM

2

3

. (3-25)

Rezultă în final: 3

4

tc

tu

M

M. (3-26)

Energia de deformaţie

Vom exprima energia totală de deformaţie în domeniul elastic. Considerăm o

bară circulară, de lungime ,cu diametrul d, solicitată la răsucire de momentul Mt.,

care înregistrează rotaţia totală , Figura 3.11.

Lucrul mecanic exterior, W, se acumulează în corpul elastic sub forma

energiei de deformaţie U, pentru care se pot scrie relaţiile:

222

22 p

p

ttGI

GI

MMU . (3-27)

Figura 3.11: Bară circulară solicitată la răsucire în domeniul elastic

Mt

W=U=2

M t

o

Mt d

8 MECANICA MATERIALELOR

Calculul arcurilor elicoidale cu spire strânse

Considerăm un arc elicoidal supus la compresiune, Figura 3.12, caracterizat

prin: Dm = 2R – diametrul mediu de înfăşurare; d – diametrul sârmei; - unghiul

de înfăşurare < 100.

Reducând forţa F de pe axa logitudinală a arcului în centrul de greutate al unei

secţiuni normale în spiră, torsorul de reducere are următoarele componente:

N = F sin; T = F cos; Mi = FR sin; Mt = FR cos.

Dar cum unghiul de înfăşurare este mic, putem face următoarele aproximaţii:

N = 0; T F; Mi = 0; Mt FR.

Rezultă că arcul este solicitat la răsucire cu forţă tăietoare. Pentru fibrele extreme

plasate pe diametrul orizontal, Figura 3.13, tensiunile 'max şi ''

max au aceeaşi

orientare şi se pot însuma.

Tensiunea rezultantă maximă:23

"max

'maxmax

3

1616

d

F

d

FRrez

. (3-28)

În calculele de dimensionare se neglijează efectul forţei tăietoare (tensiunea

tangenţială '' ) şi se consideră numai efectul de torsiune. Rezultă:

316

a

nec

a

tnecp

FRd

MW

, (3-29)

unde a - este tensiunea tangenţială admisibilă.

După dimensionare, diametrul d se rotunjeşte la valoarea imediat superioară şi se

verifică tensiunea tangenţială efectivă maximă, conform cu relaţia (3-28),

a

efef

efd

F

d

FR

23max3

1616, (3-30)

unde: def - diametrul efectiv al sârmei din care este realizat arcul.

Dm=2R

d

F

F

A

T

3

4"max

16

d

FR

W

M3

p

tmax

d

T=F Mt=FR

Figura 3.12: Arc elicoidal cu spire

strânse

Figura 3.13: Distribuţia tensiunii tangenţiale

pe secţiunea spirei

Răsucirea barelor de secţiune circulară 9

Pentru calculul săgeţii arcului, farc, Figura 3.14, se utilizează legea conservării

lucrului mecanic, W=F·farc/2 , care se acumulează în arc sub forma energiei interne

de deformaţie, p

t

IG

MU

2

2 , relaţia (3-27),

unde:

,32

,2

,

4dI

nR

FRM

p

t

n - numărul de spire active ale arcului;

G - modulul de elasticitate transversal al materialului.

În final rezultă următoarea expresie pentru calcul săgeţii arcului cu spire

strânse, farc :

4

364

dG

nRFfarc

. (3-31)

Figura 3.14: a) arcul elicodal în stare nedeformată; b) arcul elicodal în stare

deformată sub acţiunea forţelor axiale F .

Dm=2R

d 1

F

F

Dm=2R

d

farc

a) b)

- momentul de torsiune;

- lungimea desfăşurată a arcului;

- momentul de inerţie polar al secţiunii sârmei de arc;