Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... ·...

309
Doina BOAZU REZISTENŢA MATERIALELOR Solicitările simple şi compuse ale barelor EDITURA EUROPLUS GALAŢI

Transcript of Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... ·...

Page 1: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Doina BOAZU

REZISTENŢA MATERIALELOR

Solicitările simple şi compuse ale barelor

EDITURA EUROPLUS

GALAŢI

Page 2: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

PREFAŢĂ

Această carte conţine structura de bază a cursului de Rezistenţa

materialelor predat studenţilor de la secţiile de inginerie mecanică.

Disciplinele de specialitate ale facultăţilor tehnice se bazează pe

metodele de calcul ale cursului de Rezistenţa materialelor şi de aici rezultă

importanţa însuşirii cunoştinţelor de Rezistenţa materialelor de către toţi cei

care urmează o facultate cu profil tehnic.

Ca toate disciplinele fizico-matematice, Rezistenţa materialelor se

învaţă îmbinând cunoştinţele teoretice cu rezolvarea unui număr mare de

probleme şi efectuarea testelor din laboratorul de încercări ale materialelor.

Acest mod de însuşire a cunoştinţelor îl va ajuta pe viitorul inginer în

stabilirea modelor de calcul cât mai apropiate de structurile reale.

Pentru rezolvarea completă şi corectă a problemelor, calculul

numeric are o importanţă deosebită, deoarece, în practica inginerească este

necesar ca rezultatele calculelor, exprimate în unităţi de măsură, să fie cât

mai exacte.

Pentru soluţionarea rapidă a problemelor, viitorii ingineri pot găsi

un ajutor preţios în colecţiile de formule şi date experimentale auxiliare

cursului de Rezistenţa materialelor dar şi instrumentelor de calcul numeric

(funcţii ale programelor MATLAB şi EXCEL).

Aplicarea relaţiilor de calcul se va face numai dacă sunt îndeplinite

ipotezele de calcul admise la deducerea fiecărei relaţii; numai în acest fel se

va obţine un rezultat corect.

Page 3: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Rezistenţa materialelor 4

Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor (întindere-

compresiune, forfecare, încovoiere şi torsiune) sunt prezentate ipotezele

admise care stau la baza obţinerii relaţiilor de calcul; pe lângă acestea, sunt

prezentate câteva aspecte experimentale şi aplicaţii cu caracter teoretic care

să ajute la însuşirea corectă şi fixarea cunoştinţelor. Pentru fiecare solicitare

simplă sunt prezentate formulele necesare calculului de rezistenţă şi de

rigiditate.

In capitolul destinat studiului solicitărilor compuse ale barelor, sunt

prezentate câteva aplicaţii care ilustrează modul de compunere al tensiunilor

utilizând formulele de la solicitările simple.

Ultimul capitol subliniază importanţa verificării la stabilitate a

barelor zvelte comprimate. Metodologia de rezolvare a problemelor de

flambaj este ilustrată prin intermediul aplicaţiilor simple uşor de urmărit

etapă cu etapă.

Calculul deplăsărilor liniar elastice prin metode energetice este util

în probleme de dimensionare din condiţii de rigiditate dar şi în ridicarea

nedeterminării statice a sistemelor static nedeterminate (cu grad mic de

nedeterminare).

La baza cărţii se află experienţa literaturii de specialitate româneşti şi

străine exprimată prin cărţile profesorilor I. Deutsch, Gh. Buzdugan, R.

Voinea, C. Bia, M. Modiga, L. Stoicescu, S.D. Ponomariov, W.A. Nash şi

alţii.

Autoarea

Page 4: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

CUPRINS

1. INTRODUCERE

1.1 Obiectul şi problematica Rezistenţei materialelor……………………. 9

1.2 Elemente de bază în definirea modelului corpului deformabil……….10

1.3 Clasificarea corpurilor solide în Rezisteţa materialelor………………10

1.4 Interacţiunea corpurilor. Forţe exterioare şi legături………………… 11

1.5 Forţe interioare (eforturi)…………………………………………….. 16

1.6 Deplasări şi deformaţii………………………………………………. 20

1.7 Relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii………………………….. 23

1.8 Ipotezele Rezistenţei materialelor (pentru bare)……………………...25

1.9 Metodele de calcul ale Rezistenţei materialelor

1.9.1 Generalităţi…………………………………………………………28

1.9.2 Metodele deterministe. Metoda rezistenţelor admisibile şi metoda

la rupere…………………………………………………………… 30

1.9.3 Metodele probabilistice……………………………………………. 32

1.9.4 Metode semiprobabiliste. Metoda stărilor limită………………….. 32

2. EFORTURI ÎN BARE ŞI SISTEME DE BARE

2.1 Generalităţi…………………………………………………………... 34

2.2 Eforturi în bare. Notaţii ……………………………………………... 34

2.3 Eforturi în bare drepte încărcate cu forţe în planul xz………………. 36

2.3.1 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale

eforturilor secţionale………………………………………............ 39

2.3.2 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări şi consecinţele lor…..41

2.3.3 Folosirea simetriei şi antisimetriei forţelor exterioare la trasarea

diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale………………….. 45

2.4 Aplicaţii ……………………………………………………………... 45

2. 5 Diagrame de eforturi secţionale la cadre plane……………………... 61

2.6 Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane cu rază mare de

curbură……………………………………………………………… 64

Page 5: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Cuprins 6

2.6.1 Relaţii între eforturi şi încărcări la bara curbă plană încărcată în

planul ei…………………………………………………………… 65

2.7 Metoda suprapunerii efectelor……………………………………….. 72

3. CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR

TRANSVERSALE ALE BARELOR

3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate………………….74

3.2 Momente de inerţie (geometrice)……………………………………. 75

3.3 Momente de inerţie pentru secţiuni simple…………………………...76

3.4 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele……………. 80

3.5 Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor……………………...82

3.6 Modul de rezistenţă………………………………………………….. 86

3.7 Rază de inerţie. Elipsă de inerţie…………………………………….. 87

3.8 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă. Aplicaţii….. 89

4. INTINDERE SI COMPRESIUNE

4.1 Bare încărcate axial………………………………………………….. 95

4.2 Probleme de verificare, dimensionare şi

forţa capabilă la solicitarea axială…………………………………... 98

4.3 Contracţia transversală………………………………………………100

4.4 Sisteme static determinate solicitate axial………………………….. 101

4.5 Sisteme static nedeterminate solicitate axial……………………….. 104

4.6 Incercarea materialelor la întindere şi compresiune………………... 119

5. CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE

5.1 Tensiunea trangenţială şi lunecarea specifică……………………….128

5.2 Aplicaţii…………………………………………………………….. 133

6. STAREA GENERALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII

6.1 Starea plană de tensiune……………………………………………. 137

6.2 Starea spaţială de tensiune………………………………………….. 144

6.3 Relaţii între deplasări şi deformaţii………………………………… 150

6.4 Legea generalizată a lui Hooke……………………………………...154

6.5 Calculul energiei potenţiale de deformaţie…………………………. 156

6.6 Relaţia dintre modulele de elasticitate E şi G pentru un

material omogen şi izotrop…………………………….................... 160

6.7 Aplicaţie……………………………………………………………. 162

Page 6: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Cuprins

7

7. TORSIUNEA BARELOR DREPTE

7.1 Generalităţi…………………………………………………………. 166

7.2 Eforturi şi diagrame de eforturi…………………………………….. 167

7.3 Torsiunea barelor de secţiune circulară şi inelară…………………. 170

7.4 Aplicaţii…………………………………………………………….. 176

7. 5 Torsiunea barei cu secţiune dreptunghiulară………………………. 181

8. INCOVOIEREA BARELOR DREPTE

8.1 Introducere. Observaţii experimentale. Ipoteze……………………..185

8.2 Încovoierea pură……………………………………………………. 187

8.3 Aplicaţii…………………………………………………………….. 194

8.4 Tensiuni tangenţiale în secţiunile transversale ale grinzilor

solicitate la încovoiere simplă plană….……………………………205

8.5 Deformaţiile grinzilor drepte solicitate la încovoiere……………… 214

8.5.1 Generalităţi………………………………………………………..214

8.5.2 Integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale aproximative

a fibrei medii deformate………………………………................. 217

8.5.2.1 Aplicaţii………………………………………………………… 218

8.5.3 Metoda parametrilor iniţiali………………………………………221

8.5.3.1 Aplicaţii………………………………………………………… 224

8.5.4 Calculul deplasărilor prin suprapunere de efecte……………… 230

9. SOLICITĂRI COMPUSE

9.1 Definiţie. Clasificare. Principii de calcul…………………………... 232

9.2 Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple

care produc tensiuni de acelaşi tip…………………………………. 232

9.2.1 Solicitarea compusă de întindere (compresiune) cu încovoiere…. 232

9.2.2 Incovoierea oblică sau strâmbă…………………………………...242

9.2.3 Răsucire cu forfecare……………………………………………...247

9.3 Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple

care produc tensiuni de tipuri diferite…………………………....... 248

9.3.1 Teorii de rezistenţă……………………………………………….. 248

9.3.2 Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul particular

al stării plane de solicitare……………………………………… 252

9.3.3 Solicitarea compusă de încovoiere cu torsiune…………………... 253

Page 7: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Cuprins 8

10. CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR-ELASTICE

PRIN METODE ENERGETICE

10.1 Energia potenţială de deformaţie şi teorema Clapeyron………….. 262

10.2 Teorema lui Castigliano…………………………………………... 266

10.3 Relaţia lui Mohr-Maxwell………………………………………… 274

10.4 Teorema lui Betti………………………………………………….. 277

11. FLAMBAJUL BARELOR ZVELTE

11.1 Generalităţi………………………………………………………... 279

11.2 Metode pentru determinarea forţei critice de flambaj ……………. 285

11.3 Determinarea forţei critice de flambaj pentru

cazurile clasice de rezemare……………………………………… 286

11.4 Tratarea unitară a cazurilor de flambaj…………………………… 293

11.5 Lungimea de flambaj……………………………………………… 297

11.6 Domeniul de aplicabilitate al relaţiei lui Euler……………………. 299

11.7 Metoda de rezolvare a problemelor de flambaj…………………… 302

ANEXĂ ………………………………………………………………. 308

BIBLIOGRAFIE…………………………………………………….…309

Page 8: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

1. INTRODUCERE

1.1 Obiectul şi problematica Rezistenţei materialelor

Din observaţiile directe asupra corpurilor solide se constată că

acestea sunt capabile să suporte acţiunile altor corpuri în anumite limite, fără

a-şi schimba sensibil forma şi dimensiunile. Inginerii se confruntă în

practică cu probleme legate de alegerea materialului, a formei şi a

dimensiunilor corpurilor, în aşa fel încât să nu se atingă stadiul de cedare

sau de modificare excesivă a dimensiunilor iniţiale, să prezinte siguranţă în

raport cu o stare limită. Principiile care stau la baza rezolvării acestor

probleme fac obiectul de studiu al Rezistenţei materialelor (pe scurt RM).

Deci Rezistenţa materialelor studiază comportarea corpurilor solide sub

acţiunea forţelor, determinând materialul şi dimensiunile corpului solid

astfel încât acesta să reziste, în condiţiile unui consum minim de material.

Rezistenţa materialelor (RM) face parte din grupul de discipline

numit Mecanica mediilor continue (MMC), grup care mai include pe lângă

RM: Teoria elasticităţii, Teoria plasticităţii, Statica, Dinamica şi Stabilitatea

structurilor etc.

Prin obiectul ei de studiu Rezistenţa materialelor este situată între

ştiinţele fizico-matematice şi disciplinele de specialitate inginereşti; RM

apare ca o continuare a Mecanicii teoretice dar şi o dezvoltare a acesteia

prin introducerea noţiunilor de deformabilitate şi rezistenţă. RM înlocuieşte

ipoteza corpului rigid din Mecanica teoretică cu ipoteza corpului solid

deformabil.

Rezistenţa materialelor acordă o deosebită importanţă

experimentelor şi încercărilor materialelor; RM admite ipoteze

simplificatoare şi lucrează cu modele ale corpurilor, stabilind relaţii de

calcul care reflectă destul de fidel solicitările, valorile deformaţiilor pentru

corpurile sau structurile studiate. Formulele de calcul stabilite de RM sunt

validate prin determinări experimentale.

In RM, problemele principale sunt legate de stabilirea forţelor

exterioare care acţionează asupra corpului (schematizarea încărcărilor),

determinarea forţelor interioare (ca măsură a solicitării creată de forţele

Page 9: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 10

exterioare) şi stabilirea nivelului limită al solicitărilor (valori admisibile

pentru „tensiuni” şi „deformaţii”).

In cele ce urmează, forţele exterioare şi valorile admisibile se vor

considera complet cunoscute, dezvoltată fiind doar problema determinării

forţelor interioare.

1.2 Elemente de bază în definirea modelului corpului deformabil

Fenomenele naturale sunt caracterizate de diversitate şi

complexitate; pentru a putea face o sinteză corespunzătoare a datelor

experimentale legate de un fenomen stabilind în acelaşi timp ceea ce este

esenţial şi caracteristic este necesar să se treacă de la fenomenul real,

complex, la un model general dar simplificat.

Schematizând proprietăţile materiei, adoptând ipoteze

simplificatoare referitoare la cauzele şi efectele unor fenomene reale în

scopul elaborării unei teorii, modelul fizic real este înlocuit în studiu printr-

un model ipotetic, de calcul. Ipotezele trebuie să surprindă ceea ce este

specific laturii studiate a fenomenului şi în acelaşi timp să aibă un caracter

general.

1.3 Clasificarea corpurilor solide în Rezisteţa materialelor

După raportul între principalele dimensiuni, corpurile – ca elemente de

construcţii – pot fi împărţite în: bare, plăci şi blocuri.

Barele sunt acele corpuri la care una dintre dimensiuni este mare în

raport cu celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt forma şi

dimensiunile secţiunii normale transversale (constantă sau variabilă de-a

lungul barei) şi axa barei. Secţiunea normală într-un punct din bară este

secţiunea de arie minimă obţinută prin intersecţia barei cu un plan; axa barei

reprezintă curba dată de succesiunea centrelor de greutate ale secţiunilor

normale. După forma axei există bare drepte, bare curbe plane şi bare curbe

în spaţiu. Barele rezistă atât sarcinilor axiale cât şi celor transversale.

In categoria corpurilor cu o dimensiune mult mai mare decât

celelalte două sunt incluse şi firele care pot fi solicitate doar la întindere,

deoarece nu opun nici o rezistenţă la compresiune.

Plăcile sunt acele corpuri la care două dimensiuni sunt mari în raport

cu a treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plăcii se numeşte

suprafaţa mediană a plăcii; grosimea plăcii cel mai adesea constantă se

măsoară normal pe suprafaţa plăcii. După forma suprafeţei mediane plăcile

pot fi: plăci plane, cu curbură simplă cu curbură dublă.

Page 10: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 11

Pentru placa de grosime mică numită şi membrană se poate neglija

rigiditatea după grosime.

Blocurile sau masivele sunt acele corpuri la care cele trei

dimensiuni au acelaşi ordin de mărime.

Rezistenţa materialelor poate fi privită ca parte a Mecanicii corpului

solid deformabil, având ca obiect principal al studiului corpurile în formă de

bară, formă sub care se prezintă cele mai multe elemente de construcţii.

Ipotezele specifice barelor nu sunt proprii plăcilor şi masivelor,

acestea sunt studiate cu aparat matematic specific mai complex în capitole

speciale din Teoria elasticităţii.

1.4 Interacţiunea corpurilor. Forţe exterioare şi legături

Orice cauză capabilă să producă solicitarea unui corp poartă

denumirea generică de acţiune.Cel mai adesea într-o structură mecanică

(ansamblu de corpuri) solicitările se datoresc interacţiunii corpurilor,

interacţiune schematizată prin forţe (sarcini exterioare).

Corpurile se pot afla sub acţiunea unor sarcini exterioare care pot fi forţe sau

cupluri de forţe (momente).

Spre deosebire de Mecanica corpului rigid, în Rezistenţa

materialelor, de obicei forţele nu pot fi considerate vectori alunecători.

Deplasarea punctului de aplicaţie al forţei pe suportul ei, duce la schimbarea

stării de solicitare a corpului solid. Ca urmare, în Rezistenţa materialelor,

forţa trebuie considerată vector legat de punctul de aplicaţie.

După diferite criterii sarcinile pot fi cuprinse în mai multe categorii.

Contactul dintre corpuri se realizează pe porţiuni din suprafeţele lor

exterioare, cu o extindere mai mare sau mai mică. Sarcinile care apar pe

aceste suprafeţe sunt forţe distribuite, caracterizate de intensitatea lor pe

unitatea de suprafaţă. Când zona pe care se realizează contactul este

limitată, la o distanţă suficient de mare de aceasta, efectul încărcării reale

distribuite este acelaşi cu al unei sarcini concentrate, echivalente static.

→ Deci, după mărimea suprafeţei pe care sunt aplicate sarcinile pot fi (a se

vedea Fig. 1.1):

a1) Sarcini concentrate;

a2) Sarcini distribuite uniform sau cu intensitate variabilă în lungul

barei sau pe o suprafaţă

Forţele cauzate de acceleraţii, de exemplu forţele gravitaţionale şi

cele de inerţie numite şi forţe masice sunt aplicate fiecărui punct al corpului;

Page 11: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 12

în calculul elementelor sub formă de bară aceste forţe se schematizează prin

forţe distribuite în lungul axei acesteia.

Fig. 1.1

Forţele concentrate au dimensiunea [F] se măsoară în newtoni, deca-

newtoni, kilo-newtoni (N, daN, kN) sau kilograme-forţă sau tone-forţă (kgf,

tf); forţele distribuite liniar au dimensiunea [F/L] şi se măsoară în (N/m,

daN/m, kN/m), iar cele distribuite pe suprafaţă au dimensiunea [F/L2] şi se

măsoară de exemplu în (daN/cm2, kN/m2).

→ După modul lor de acţiune în timp sarcinile se clasifică în (a se vedea

Fig. 1.2):

b1)sarcini statice, care se aplică lent, progresiv, cu intensitatea

crescând de la zero la valoarea finală constantă;

b2)sarcini dinamice, care se aplică cu variaţii de viteză şi

acceleraţie. Se deosebesc:

b21) sarcini variabile periodic,care variază continuu între o valoare

maximă şi una minimă. Dacă limitele de variaţie au acelaşi semn,

sarcinile se numesc oscilante; în cazul particular în care una dintre

limitele de variaţie este nulă sarcinile se numesc pulsante. Dacă

limitele de variaţie ale mărimii sarcinii au semne diferite, ele se

numesc sarcini alternante; un caz particular al sarcinilor alternante

îl reprezintă sarcinile alternante simetrice, la care limitele de

variaţie sunt egale în valoare absolută.

b22) sarcini aplicate prin şoc, cu variaţie bruscă de viteză.

Page 12: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 13

Fig. 1.2

→ In construcţii, după criteriul provenienţă, sarcinile se clasifică în:

c1) sarcini permanente de intensitate constantă cu greutatea proprie;

c2) sarcini utile, care reprezintă scopul pentru care a fost realizat

sistemul, fixe sau mobile;

c3) sarcini accesorii, cum sunt forţele de inerţie, de frecare din

încărcări termice;

c4) sarcini accidentale, care acţionează intermitent sau neregulat

(acţiunea vântului, greutatea zăpezii);

c5) sarcini extraordinare, care acţionează întâmplător, uneori cu

efect catastrofal (explozii, cutremure, inundaţii).

Combinaţii ale acestor tipuri de sarcini, după reguli care să dea

cele mai defavorabile efecte, alcătuiesc grupajele de încărcări la care se

dimensionează sau se verifică corpurile.

Sistemele de forţe care acţionează asupra corpurilor se consideră în

echilibru. Dacă corpul se află în repaus relativ în raport cu sistem de

referinţă fix, echilibrul este static; dacă este acţionat şi de forţe de inerţie se

spune că este în echilibru dinamic.

Pentru ca din interacţiunea corpurilor să nu rezulte deplasări libere, de corp

rigid, corpurile sunt legate printr-un număr suficient de legături (egal cel

puţin cu numărul gradelor de libertate). Legăturile se realizează prin

reazeme sau încastrări (pentru sisteme plane sunt reprezentate în Fig. 1.3).

O legătură poate fi caracterizată geometric prin tipul de deplasări pe care le

împiedică, iar mecanic prin forţe care apar în legături, numite reacţiuni.

Astfel, se va spune că în categoria forţelor exterioare care acţionează asupra

unui corp pe lângă forţele active (sarcini exterioare sau încărcări) care tind

să imprime o mişcare sunt incluse şi forţele care se opun tendinţei de

deplasare a corpului numite reacţiuni. Interacţiunile necunoscute (dintre

corp şi legături) apar pe suprafeţele exterioare ale corpului şi deci sunt

Page 13: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 14

distribuite. Elementele torsorului de reducere al forţelor distribuite în

legătură faţă de un punct convenabil ales sunt de fapt reacţiunile sau forţele

de legătură. In aplicaţii, reacţiunile se evidenţiază înlăturând legăturile şi

înlocuindu-le prin efectul mecanic corespunzător.

Fig. 1.3

Pentru un corp în echilibru (în repaos sau mişcare uniformă) rezultanta R şi

momentul rezultant M al forţelor exterioare (sarcini date şi reacţiuni din

legături) care acţionează asupra corpului sunt nule, adică elementele

torsorului de reducere T al forţelor exterioare faţă de orice punct al corpului

sunt nule:

R=0, M=0 , adică T =0.

Proiectând relaţiile vectoriale de mai sus pe axele unui triedru drept xOyz,

se obţin ecuaţiile scalare de echilibru, ecuaţii din care se determină

reacţiunile:

0j jxF , 0

j jyF , 0

j jzF ecuaţiile de proiecţii

0j jxM , 0

j jyM , 0

j jzM ecuaţiile de momente în raport cu un

punct (faţă de axa perpendiculară pe planul forţelor)

In aplicaţii, apar cazuri particulare ale sistemelor de forţe exterioare;

pentru câteva cazuri frecvent întâlnite în practică, ecuaţiile de echilibru sunt

date în tabelul 1.1.

Observaţie

In cazul unui sistem plan de forţe exterioare se poate renunţa la o

ecuaţie de proiecţii, scriind două ecuaţii de momente în raport cu

Page 14: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 15

puncte convenabil alese (de exemplu, faţă de punctele de legătură ale

corpului). Dacă sistemul de forţe este spaţial, se poate renunţa la

toate ecuaţiile de proiecţii scriindu-se ecuaţii de momente faţă de trei

puncte necoliniare.

In astfel de situaţii, ecuaţiile de proiecţii la care se renunţă folosesc

la verificare, ele trebuind să fie satisfăcute identic.

Dacă în urma rezolvării sistemului de ecuaţii de echilibru,

reacţiunile rezultă negative, atunci ele se vor reprezenta cu linie

întreruptă cu sensul invers celui ales iniţial, iar pe desen se va trece

valoarea recţiunii fără semnul minus.

Tabelul 1.1

Cazul particular Ecuaţiile de echilibru

1 Toate forţele

exterioare sunt

cuprinse într-un plan,

spre exemplu zx

0j jxF , 0

j jzF , 0

j jyM .

2 Forţele exterioare

sunt paralele cu o

axă, de exemplu cu z

0j jzF , 0

j jxM , 0

j jyM

3 Forţele paralele cu

axa z sunt cuprinse în

planul zx

0j jzF 0

j jyM

4 Forţele exterioare

sunt concurente într-

un punct

0j jxF , 0

j jyF , 0

j jzF

5 Forţele exterioare

concurente sunt

conţinute într-un

plan, de exemplu

planul zx

0j jxF , 0

j jzF

Când ecuaţiile de echilibru sunt suficiente pentru determinarea reacţiunilor,

se spune că problema este static determinată; dacă numărul de ecuaţii de

echilibru este insuficient pentru aflarea reacţiunilor, se spune că problema

este static nedeterminată. Pentru sistemele static nedeterminate, sunt

necesare ecuaţii suplimentare (care ţin cont de modul în care se deformează

sistemul) şi care împreună cu ecuaţiile de echilibru să conducă la aflarea

tuturor necunoscutelor.

Pentru ca o bară acţionată de un sistem de forţe coplanare să fie determinată

static trebuie să aibă fie o încastrare plană (bară în consolă- Fig. 1.4a), fie

Page 15: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 16

o articulaţie cilindrică şi un reazem simplu, a cărui direcţie nu trece prin

articulaţie (Fig. 1.4 b şi c). Bara din Fig. 1.4 b se mai numeşte simplu

rezemată cu sau fără consolă de capăt.

Fig. 1.4

1.5 Forţe interioare (eforturi)

Sub acţiunea forţelor şi cuplurilor ce sunt aplicate unui corp solid, în

volumul acestuia se produc forţe interioare care dau o măsură a stării de

solicitare. Eforturile au, de obicei, diferite intensităţi în diferite puncte ale

corpului solid solicitat. Determinarea eforturilor din dreptul punctelor

corpului solid constituie una dintre problemele principale ale Rezistenţei

materialelor. Dacă se cunosc valorile eforturilor, atunci se poate stabili care

sunt cele mai solicitate puncte ale corpului solid şi, pe această bază, se poate

aprecia dacă solidul rezistă sau nu acţiunii forţelor aplicate. De asemenea,

devine posibilă alegerea dimensiunilor corpului solid astfel încât rezistenţa

acestuia să fie asigurată.

Eforturile se determină cu ajutorul metodei secţiunilor. Această

metodă constă în:

-secţionarea imaginară a corpului solid solicitat, în locul unde

urmează să fie determinate eforturile;

-reprezentarea porţiunilor de corp solid obţinute prin secţionare, a

forţelor exterioare şi a eforturilor aferente;

-aplicarea ecuaţiilor de echilibru la sarcinile exterioare şi eforturile

reprezentate pe câte o porţiune a solidului secţionat.

Metoda este o generalizare, o extindere la corpul solid, a metodei

descompunerii sistemelor din Statică. După cum în Statică un sistem se

descompune în elemente componente, în vederea determinării reacţiunilor

din legături şi se scriu ecuaţiile de echilibru pentru forţele existente pe

fiecare element în parte, în mod asemănător se poate proceda şi cu porţiunile

Page 16: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 17

din corpul solid. Corpul solid poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-o

serie de elemente legate între ele rigid, adică prin încastrări, iar eforturile din

secţiuni sunt, de fapt, reacţiunile interioare din aceste încastrări (în acest caz

încastrarea poate fi privită ca legătură interioară). Valorile eforturilor se

determină cu ajutorul ecuaţiilor Mecanicii, întocmai ca şi reacţiunile

interioare în cazul sistemelor de solide.

Pentru exemplificare se consideră un corp solid în repaus, încărcat

cu un sistem de forţe exterioare, aflat în echilibru (Fig. 1.5). Pentru

determinarea eforturilor interioare dintr-un punct oarecare M sau într-o

secţiune oarecare A, corpul solid se consideră secţionat printr-un plan ,

care trece prin punctul M (cuprinde secţiunea A). În general planul poate

avea orice direcţie şi corespunzător, se obţin valori diferite ale eforturilor

interioare care depind de înclinarea planulului . Acest plan împarte corpul

solid în două părţi, I şi II. Pentru echilibrarea forţelor exterioare situate pe

porţiunea I sau II a corpului solid, este necesar ca în secţiunea A să existe

eforturi interioare repartizate pe suprafaţa secţiunii. Numai în acest fel starea

de încărcare a părţilor izolate fictiv rămâne după secţionare identică cu cea

iniţială. Aceste eforturi interioare se dezvoltă efectiv în secţiunea

considerată a corpului solid solicitat.

Unei suprafeţe elementare oarecare de arie dA îi revine o forţă

elementară dF, cu o anumită valoare şi direcţie.

Prin definiţie, se numeşte tensiune sau rezistenţă raportul dintre valoarea

forţei elementare dF şi cea a ariei elementare aferente, cu mărimea dA:

2

dF Np

dA m

Tensiunea p poate fi descompusă în două componente:

- o componentă normală , numită tensiune normală, care poate fi

pozitivă sau negativă, după cum are un efect de întindere sau de

compresiune în dreptul punctului considerat;

- o componentă tangenţială , numită tensiune tangenţială, care

are un efect de forfecare în punctul considerat.

Legătura dintre aceste tensiuni este:

2 2 2p

Mărimea tensiunilor din dreptul punctului considerat reflectă gradul

de solicitare al corpului solid în locul respectiv. La tensiuni mari, care

depăşesc o limită numită rezistenţă de rupere, se poate produce ruperea

corpului solid.

Rezistenţa organelor de maşini poate fi apreciată numai dacă se

cunosc tensiunile produse în dreptul punctelor celor mai solicitate numite şi

Page 17: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 18

periculoase. Pentru ca o piesă proiectată să reziste forţelor aplicate mărimea

tensiunilor este limitată de valori admisibile numite tensiuni sau rezistenţe

admisibile. Aceste valori admisibile pentru tensiunile care se pot dezvolta în

piese se stabilesc pe baza practicii.

Elementul de suprafaţă de arie dA poate constitui o faţă a unui

element de volum (Fig. 1.6). Sub acţiunea forţelor aplicate, se vor dezvolta

tensiuni normale şi tangenţiale pe fiecare faţă a elementului de volum. Dacă

laturile elementului sunt orientate în lungul axelor unui sistem de referinţă

triortogonal, atunci vor putea exista pe feţele elementului tensiuni normale

şi tensiuni tangenţiale paralele cu axele. Ansamblul acestor tensiuni

determină starea de tensiune din dreptul punctului considerat. Indicii

atribuiţi tensiunilor normale arată axa cu care tensiunea este paralelă. În

cazul tensiunilor tangenţiale primul indice se referă la orientarea normalei

planului pe care se află tensiunea, iar al doilea indice se referă la axa cu care

este tensiunea paralelă (yx este tensiunea tangenţială aflată într-un plan de

normală paralelă cu axa „y” şi este paralelă cu axa „x”).

Fig. 1.5

Page 18: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 19

Fig. 1.6

Eforturile elementare dF, distribuite pe suprafaţa secţiunii, se reduc

de obicei în centrul de greutate C al secţiunii A, la un torsor format dintr-o

rezultantă C

R şi un cuplu rezultant C

M . Componentele acestui torsor se

numesc eforturi secţionale. Eforturile secţionale se dezvoltă efectiv în

secţiunea considerată şi menţin echilibrul forţelor existente pe porţiunea I

sau II a corpului solid secţionat.

În cazul barelor, un interes primordial îl prezintă eforturile existente

în secţiunile perpendiculare pe axa longitudinală a barei.

Se consideră o bară solicitată de un sistem de forţe în echilibru şi o

secţiune transversală oarecare A (Fig. 1.7). Torsorul format din rezultanta

CR şi cuplul

CM se poate descompune în componente dirijate în lungul

barei şi în componente situate în planul secţiunii transversale.

Componentele forţei C

R se numesc:

-forţa axială N, cea dirijată în lungul barei şi respectiv

-forţa tăietoare T, (cu proiecţiile pe axele secţiunii transversale Ty

sau Tz) cea situată în secţiune.

Componentele cuplului C

M sunt:

-momentul de torsiune Mt, componenta dirijată în lungul barei şi

-momentul încovoietor Mi, (cu proiecţiile pe axele secţiunii

transversale Miy sau Miz) componenta situată în planul secţiunii.

Starea de solicitare a unei bare depinde de natura şi de direcţia

componentelor eforturilor secţionale. Astfel solicitările barei pot fi:

-Solicitări simple, dacă în secţiune se dezvoltă o singură componentă

a eforturilor secţionale, dirijată în lungul normalei la secţiune sau situată în

planul secţiunii;

Page 19: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 20

- Solicitări compuse, când în secţiune apar mai multe componente

ale eforturilor secţionale.

Fig. 1.7

În tabelul 1.2 de mai jos sunt prezentate solicitările simple: tracţiune-

compresiune, încovoiere, forfecare şi torsiune.

Tabelul 1.2

Nr. Tipul solicitării Denumirea solicitării Efortul secţional

1 Solicitări care

produc în secţiunea

transversală tensiuni

normale

Întindere(compresiune) Forţa axială N

2 Încovoiere Momentul

încovoietor

Mi

3 Solicitări care

produc în secţiunea

transversală tensiuni

tangenţiale

Forfecare (tăiere) Forţa tăietoare T

4 Torsiune

(răsucire)

Momentul de torsiune

Mt

1.6 Deplasări şi deformaţii

Sub acţiunea forţelor, corpul solid se deformează, iar punctele acestuia se

deplasează. În funcţie de numărul şi natura legăturilor, deplasările punctelor

corpului solid pot fi:

-deplasări cinematice, atunci când legăturile permit mişcări

mecanice, iar corpul solid îşi schimbă poziţia în spaţiu;

-deplasări produse prin deformarea corpului solid, atunci când corpul

solid, sub acţiunea forţelor îşi schimbă dimensiunile şi forma geometrică

iniţială.

Page 20: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 21

Deplasările cinematice sunt studiate de Mecanica teoretică.

Rezistenţa materialelor MR studiază deplasările produse prin deformaţia

corpului solid. Aceste deplasări au în general valori mici, în comparaţie cu

dimensiunile corpului. Se admite că, prin deformare, corpul solid îşi

schimbă forma şi dimensiunile iniţiale într-o măsură relativ mică.

Deformaţiile mici sunt de obicei deformaţii elastice, care dispar odată cu

dispariţia forţelor aplicate.

Se consideră un corp solid de formă oarecare ce nu poate efectua

deplasări cinematice. Sub acţiunea unor forţe oarecare 1 2, ,...,

nF F F (a se

vedea Fig. 1.8), corpul solid se deformează, iar punctele acstuia se

deplasează. Astfel, trei puncte oarecare A, B şi C ajung în poziţiile

, ,A B C . Starea deformată a corpului solid se caracterizează prin mai multe

mărimi, care vor fi prezentate în continuare.

Fig. 1.8

Vectorul , care are originea în punctul corpului solid nedeformat

(de exemplu A) şi vârful în acelaşi punct al corpului deformat (adică în

punctul A ), reprezintă deplasarea totală a punctului, fiind numită uneori şi

săgeată. Proiecţiile u,v şi w ale deplasării totale pe axele unui sistem de

referinţă triortogonal sunt componentele deplasării, între care există relaţia:

2 2 2u v w .

Page 21: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 22

Alături de deplasările liniare de mai sus, prin deformarea corpului

solid se produc şi deplasări unghiulare. Astfel, unghiul , cu care se roteşte

un segment (spre exemplu segmentul AB) sau o secţiune dintr-un corp solid,

ca urmare a deformării acestuia, se numeşte rotire. Ca orice mărime

orientată şi rotirea poate fi reprezentată printr-un vector, orientat

perpendicular pe planul de rotire, având valoarea egală cu unghiul de rotire.

Prin descompunerea acestui vector se obţin componentele rotirii: , ,x y z

dirijate în lungul axelor sistemului de referinţă.

Datorită deplasării inegale a punctelor corpului solid, se schimbă

distanţa l dintre două puncte oarecare A şi B. Diferenţa dintre distanţa

existentă între două puncte după deformaţie şi distanţa iniţială dintre

aceleaşi puncte se numeşte alungire:

l A B AB .

Raportul dintre alungire şi lungimea l (distanţa iniţială) se numeşte

alungire specifică medie:

m

l

l

Dacă lungimea segmentului AB este infinit mică, atunci se obţine alungirea

specifică din dreptul punctului A, pe direcţia AB:

0

liml

l

l

Dacă distanţa dintre cele două puncte se micşorează, atunci variaţia

distanţei se numeşte scurtare. Scurtarea raportată la distanţa scurtată

determină scurtarea specifică. Lungirea şi scurtarea constituie deformaţii

liniare, alungirea fiind o deformaţie liniară pozitivă 0 , iar scutarea, o

alungire negativă 0 . Atât alungirea cât şi scurtarea pot fi proiectate pe

axele sistemului de referinţă. Astfel se obţin componentele alungirii

specifice: , ,x y z .

Prin deformarea corpului solid, se produc şi deformaţii unghiulare.

Se numeşte lunecare unghiul cu care variază un unghi oarecare BAC ,

cuprins între două segmente AB şi AC, în dreptul unui punct oarecare A al

corpului solid.:

0, 0

limAB AC

BAC B A C

Unghiul cu care se schimbă un unghi drept se numeşte lunecare

specifică şi se notează cu . Ea este admisă pozitivă atunci când corespunde

micşorării unghiului drept. Considerând într-un punct unghiurile formate din

Page 22: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 23

trei drepte paralele cu axele sistemului de referinţă ortogonal, acestea se vor

schimba prin deformarea corpului solid cu lunecăruile specifice , ,xy xz yz

.

Ansamblul alungirilor specifice , ,x y z şi al lunecărilor specifice

, ,xy xz yz

din jurul unui punct, determină starea de deformaţie a corpului

în dreptul punctului respectiv.

1.7 Relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii

Starea de tensiune şi starea de deformaţie din dreptul punctelor

corpului solid definesc starea de solicitare a corpului considerat.

Între forţele aplicate şi deplasările produse, precum şi între eforturile

interioare şi deformaţiile corpului solid, există o legătură strânsă,

exprimabilă prin relaţii de calcul. În numeroase cazuri, deplasările elastice

ale corpurilor solide sunt proporţionale cu forţele aplicate. Această

observaţie exprimă legea lui Hooke. Se poate scrie:

F ,

în care este deplasarea unui punct oarecare, produsă de forţa F, fiind un

coeficient de „influenţă”, care reprezintă deplasarea punctului considerat

sub acţiunea unei forţe F egală cu unitatea. Mărimea acestui coeficient

depinde de materialul, forma şi dimensiunile corpului, de poziţia forţei şi a

punctului considerat. Valoarea inversă a acestui coeficient se numeşte

constantă elastică sau rigiditate 1k şi se utilizează în calculul

vibraţiilor mecanice. Astfel de relaţii de proporţionalitate pot fi scrise şi

între rotiri şi forţe şi între cupluri de forţe şi deplasările produse de acestea.

În acest sens, se consideră un element de corp solid solicitat numai

de tensiuni normale şi apoi unul solicitat numai cu tensiuni tangenţiale. În

Fig. 1.9 se reprezintă punctat faptul că tensiunile normale sunt însoţite de

lungiri specifice , iar tensiunile tangenţiale de lunecări specifice .

Legea lui Hooke exprimă şi relaţia de proporţionalitate existentă

între aceste mărimi:

E respectiv

G

unde constantele E şi G se numesc module de elasticitate longitudinal,

respectiv transversal. În cazul materialelor omogene şi izotrope, valorile

modulelor de elasticitate la temperatură constantă depind numai de

materialul corpului solid, iar în cazul materialelor anizotrope şi neomogene

şi de direcţia efortului.

Page 23: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 24

Fig. 1.9

Legea lui Hooke se admite uneori în calcul şi în cazul materialelor

care nu se supun acestei legi, ceea ce conduce la simplificări de calcul, dar şi

la erori de calcul, în multe cazuri cu valori admisibile. Trebuie ţinut cont că

relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii se menţine, chiar şi în cazul

materialelor care se supun acestei legi, numai dacă tensiunile au valori mai

mici decât tensiunea corespunzătoare unei limite de proporţionalitate (a se

vedea Capitolul 4).

Deoarece aceeaşi proporţionalitate dintre tensiuni şi deformaţii se

păstrează şi la descărcarea corpului solid, dacă tensiunile nu ating valori

prea mari, rezultă că, o dată cu dispariţia forţelor aplicate dispar şi

deformaţiile produse de acestea. Această proprietate caracterizează corpul

solid elastic. Materialele care satisfac legea lui Hooke se vor numi materiale

liniar-elastice.

O consecinţă a legii lui Hooke este principiul suprapunerii efectelor.

În conformitate cu acest principiu, dacă asupra corpului solid se aplică mai

multe forţe, atunci se pot calcula tensiunile, deplasările şi deformaţiile

produse de fiecare forţă în parte şi, apoi, efectul de ansamblu al tuturor

forţelor se obţine prin însumarea efectelor cauzate de fiecare forţă în parte;

cantităţile calculate corespunzătoare acţiunii tuturor forţelor exterioare

(tensiune, deplasare şi deformaţie) nu depind de ordinea de aplicare pe

corpul solid a forţelor exterioare.

Principiul suprapunerii efectelor constituie principiul de bază pentru

rezolvarea majorităţii problemelor de Rezistenţa materialelor (RM).

Pentru a stabili formule de calcul, RM se foloseşte de ipoteze

simplificatoare cu privire la comportarea materialului şi starea de solicitare.

Deşi relaţiile de calcul stabilite pe baza acestor ipoteze conduc la erori,

acestea sunt considerate admisibile în practica inginerească, deoarece ele

sunt în general verificate de experienţă.

1.8 Ipotezele Rezistenţei materialelor (pentru bare)

Referitoare la material, câteva dintre aceste ipoteze generale sunt:

Page 24: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 25

Ipoteza mediului continuu, prin care se admite că materialele folosite în

construcţia barelor formează un mediu continuu care ocupă tot spaţiul

delimitat de volumul acestora.

Ipoteza omogenităţii şi izotropiei, prin care se admite că materialele

barelor sunt omogene şi izotrope, adică au aceleaşi proprietăţi în toate

punctele şi pe toate direcţiile. Câteva dintre cele mai utilizate materiale

izotrope sunt considerate: oţelul, aluminiu şi aliajele sale, sticla. Pentru

materialele care sunt anizotrope (lemn, fontă) la calculul de rezistenţă se iau

în considerare proprietăţile de material dependente de direcţia de solicitare.

Ipoteza identităţii proprietăţilor mecanice ale unui fragment infinit mic

de bară cu cele ale întregii bare. Pe baza acestei ipoteze se realizează

studiul matematic al unui element solicitat de bară (ecuaţiile de echilibru, de

exemplu), care să permită extinderea relaţiilor astfel determinate la întreaga

bară.

Ipoteza comportamentului liniar elastic al materialului:

Materialele utilizate în confecţionarea barelor în RM au un comportament

liniar elastic, adică relaţia între tensiuni şi deformaţii este liniară.

Referitoare la material şi starea de solicitare, câteva dintre ipotezele

generale sunt:

Ipoteza micilor deformaţii:

Deformaţiile structurii studiate sunt „mici” (deformaţiile elastice ale

corpurilor solide sunt deformaţii mici). În acest sens comitem o mică eroare

făcând calculele pentru o structură presupunând că forţele exterioare şi

reacţiunile din legături sunt aplicate pe structura nedeformată. Această

ipoteză se numeşte şi a menţinerii dimensiunilor iniţiale. Ipoteza micilor

deformaţii se aplică la scrierea ecuaţiilor de echilibru ale Staticii când nu

sunt luate în considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor

datorită deformării barei. Calculul realizat pe o schemă nedeformată se

numeşte calcul de ordinul I; această metodă de calcul este considerată

corespunzătoare pentru majoritatea problemelor din Rezistenţa materialelor

(RM).

Calculul de ordinul I devine necorespunzător pentru analiza problemelor de

stabilitate (Capitolul 11) şi pentru rezolvarea acelor probleme pentru care nu

sunt îndeplinite condiţiile de echilibru în starea nedeformată, ca în exemplul

următor.

Page 25: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 26

Dacă se doreşte, de exemplu, calculul deplasării pe verticală a

nodului C al sistemului realizat din două bare identice, articulate la capete,

sub acţiunea forţei verticale F (ca în Fig. 1.10), relaţia de echilibru a nodului

C nu se poate scrie pentru starea nedeformată a sistemului; pentru această

stare nedeformată ar urma ca forţa verticală să se descompună în două

componente orizontale, ceea ce nu este posibil. Rezolvarea însă a problemei

se poate face prin aplicarea calculului numit de ordinul II , adică scriind

ecuaţia de echilibru pentru starea deformată, admiţând totuşi că deplasările

produse prin deformaţia barei sunt mici.

Fig. 1.10

In calculul de ordinul III se părăseşte ipoteza micilor deformaţii,

deplasările fiind considerate mari, iar ecuaţiile de echilibru sunt scrise pe

forma deformată.

Chiar dacă materialul ascultă de legea lui Hooke, calculul de ordinul

II conduce la relaţii neliniare între forţe şi deplasări, iar calculul de ordinul

III conduce la ecuaţii diferenţiale neliniare.

O consecinţă a principiului fundamental al dinamicii:

Se consideră o secţionare cu un plan transversal a unui volum V (a se vedea

Fig. 1.11); partea I exercită o acţiune (prin intermediul interfeţei) asupra

părţii II.

Fig. 1.10

O consecinţă imediată a aplicării acestui principiu la echilibrul static al

părţii I este:

Page 26: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 27

Torsorul forţelor interioare reprezentând acţiunea părţii I asupra părţii II

este echivalentă cu torsorul forţelor exterioare care acţionează asupra

părţii I.

Altfel spus, forţele exterioare de pe partea I se transmit asupra părţii II prin

interfaţă.

Principiul suprapunerii efectelor forţelor(sau principiul liniarităţii

externe):

Efectele (tensiuni, deformaţii şi deplasări) într-un punct al unei bare supuse

acţiunii mai multor forţe exterioare sunt suma tensiunilor, deformaţiilor şi

deplasărilor produse în aceleaşi puncte de fiecare forţă considerată izolată.

Acest principiu se bazează pe ipoteza micilor deformaţii şi pe cea a

comportamentului liniar elastic al materialelor.

Acest principiu este baza teoremei Castigliano, de exemplu. Ne va permite

de asemenea decuplarea (descompunerea) anumitor solicitări în solicitări

simple, pentru a fi studiate separat.

Principiul lui Saint Venant:

Într-o secţiune suficient de îndepărtată de punctele de aplicaţie ale

forţelor concentrate (forţe date sau reacţiuni din legături), tensiunile şi

deformaţiile nu depind decât de rezultanta şi de momentul rezultant al

sistemului de forţe în această secţiune.

Principiul are o bază experimentală. Dacă punctul este aproape

(adică la o distanţă mai mică decât cea mai mare dimensiune a secţiunii

transversale a barei) de punctul de aplicaţie al forţei, Rezistenţa Materialelor

(RM) nu mai permite descrierea stării de tensiuni şi deformaţii; în acest caz,

numai Mecanica Mediilor Continue (MMC) permite evaluarea lor corectă.

Totuşi, în practică, principiul lui Saint Venant este aplicat la toate barele,

chiar foarte aproape de aceste zone critice.

Ipoteza Navier Bernoulli:

După deformarea barei, secţiunile iniţial normale la fibra medie rămân

plane şi perpendiculare pe fibra medie(a se vedea Fig. 1.12).

Domeniul practic de valabilitate a ipotezelor RM:

Caracteristicle geometrice ale barelor trebuie să respecte anumite

condiţii:

Raportul dintre lungimea barei şi înălţimea secţiunii ei transversale

nu trebuie să fie nici prea mică nici prea mare (între 5 şi 40).

Raza de curbură a barei nu trebuie să fie prea mică.

Page 27: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 28

Variaţiile caracteristicilor secţiunilor transversale (arii, momente de

inerţie,...) trebuie să fie lente.

Fig. 1.12 Principiul lui Bernoulli: starea iniţială a barei a) şi

starea deformată b)

1.9 Metodele de calcul ale Rezistenţei materialelor

1.9.1 Generalităţi

Scopul Rezistenţei materialelor îl constituie stabilirea condiţiilor

care să confere siguranţa în raport cu producerea unor fenomene nedorite

cum ar fi: cedarea, deformaţiile excesive, adică stabilirea condiţiilor care să

asigure exploatarea structurii pe toată durata ei de viaţă.

In analiza pe care Rezistenţa materialelor o face structurilor şi

elementelor acestora, se pot distinge două etape:

A)Pornind de la acţiuni cunoscute, se determină răspunsul în

elementul de structură. Prin răspuns se înţelege ansamblul de mărimi

mecanice şi geometrice care caracterizează starea de solicitare, adică:

tensiuni, eforturi, deformaţii, energia de deformare, etc. Răspunsul S poate

reprezenta o tensiune normală sau tangenţială , o deformaţie specifică ,

un efort (de exemplu forţa axială N, forţa tăietoare T, momentul încovoietor

Mi sau momentul de torsiune Mt).

Mărimea răspunsului S depinde de natura şi intensitatea acţiunii pe

de o parte şi de geometria structurii şi de proprietăţile mecanice ale

materialelor din care aceasta este confecţionată.

B) Se compară valoarea S a răspunsului, calculată ca efect al

acţiunilor exterioare, cu valoarea limită a răspunsului SL, corespunzătoare

unui stadiu inadmisibil de solicitare. Comparaţia presupune cunoaşterea

prealabilă a valorii SL, valoare care depinde de proprietăţile mecanice ale

materialelor, de dimensiunile şi forma elementelor constructive ale structurii

analizate. Evaluarea S se face după reguli de calcul şi pe baza observaţiilor

Page 28: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 29

cu privire la comportarea materialelor şi elementelor de structură dar şi a

structurii în totalitate.

Un element prezintă siguranţă în raport cu stadiul de solicitare căruia

îi corespunde valoarea limită a răspunsului SL, dacă este satisfăcută

inegalitatea:

L

S S (1.1)

care se numeşte condiţie de siguranţă. Dacă stadiul avut în vedere se referă

la cedarea elementului, condiţia se va numi de rezistenţă, dacă se referă la

deformaţii, se va numi condiţie de deformare.

Atât răspunsul S cât şi răspunsul limită SL se exprimă în funcţie de

mărimi care sunt variabile aleatoare, adică mărimi a căror valoare depinde

de un şir de factori întâmplători (faţă de care există un grad de

incertitudine).

Astfel, acţiunile exterioare nu pot fi evaluate în mod exact deoarece:

-este posibil ca dimensiunile corpurilor, greutăţile lor specifice să

varieze în anumite limite (ale unor toleranţe admisibile tehnic) şi astfel

valorile reale ale încărcărilor să difere de estimările iniţiale;

- factorul uman implică subiectivitate în aprecierea încărcărilor;

- evoluţia unor fenomene poate fi imprevizibilă;

- schematizările unor încărcări mari dinamice schimbă considerabil

modul lor de acţiune real.

Incertitudinile în valorile caracteristicilor mecanice ale materialelor

pot apărea deoarece:

- există neomogenităţi (goluri, incluziuni) chiar în materialul

epruvetei de încercare;

- aparatele înregistratoare din laborator fac determinări în condiţii

care pot diferi de situaţiile de funcţionare reală;

- structurile vechi pot suferi degradări ale materialelor dificil de

evaluat.

De asemenea, modificările în geometria elementelor (dezaxări,

variaţii ale dimensiunilor din motive termice) chiar în limitele toleranţelor,

atrag modificări în structura răspunsului.

Simplificările, schematizările şi aproximările introduse în calcule

prin ipotezele admise duc la valori ale răspunsului determinate în limitele

acestor aproximări.

Metodele de calcul trebuie să stabilească cum se poate ţine seama de

caracterul aleator al mărimilor(încărcări şi material) cu care se lucrează,

atunci când se exprimă siguranţa şi ce implicaţii are acest caracter aleator în

relaţia acţiune-răspuns.

Page 29: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 30

Metoda de calcul cuprinde ansamblul de reguli prin care se ţine

seama de variaţia aleatoare a parametrilor care determină siguranţa unui

element sau a unei structuri şi prin care se stabileşte mărimea pe care trebuie

să o exprime numeric.

1.9.2 Metodele deterministe. Metoda rezistenţelor admisibile şi metoda

la rupere

In metodele deterministe, acţiunile, rezistenţele şi dimensiunile

elementelor sunt considerate cu valori unice, bine precizate (determinate) şi

anume cu valori medii ale acestora.

Relaţia acţiune-răspuns este considerată de asemenea deterministă:

la o valoare unică a acţiunii se obţine o singură valoare a răspunsului S; este

relaţia fizicii deterministe între cauză-efect.

Siguranţa este apreciată prin raportul dintre valoarea limită a

răspunsului SL şi valoarea răspunsului S obţinută ca efect al acţiunilor,

raport care este definit drept coeficient se siguranţă c:

LS

cS

(1.2)

Prin coeficientul de siguranţă se ţine seama de toate abaterile

mărimilor aleatoare, faţă de valorile medii folosite la stabilirea valorilor lui

S şi SL. Pentru a satisface condiţia (1.1) în situaţiile cele mai defavorabile,

coeficientul de siguranţă trebuie să fie supraunitar.

Din categoria metodelor deterministe pentru structuri s-au folosit şi

încă se mai folosesc metoda rezistenţelor admisibile şi metoda la rupere.

In metoda rezistenţelor admisibile, condiţia de rezistenţă se exprimă

prin relaţia:

a

(1.3 a)

unde reprezintă tensiunea maximă efectivă din elementul studiat (răspuns

stabilit determinist din valori medii ale acţiunilor), iar a

este rezistenţa

admisibilă.

Pentru materialele ductile, rezistenţa admisibilă se poate obţine prin

împărţirea limitei de curgere c

cu coeficietul de siguranţă:

c

a

cc

(1.3 b)

iar pentru cele casante, în funcţie de rezistenţa la ruperer

:

Page 30: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 31

r

a

rc

(1.3c)

In relaţiile (1.3b) şi (1.3c) c

c şi r

c sunt coeficienţii de siguranţă în raport cu

curgerea, respectiv cu ruperea.

Din relaţiile (1.3a), (1.3b) şi (1.3c) se vede că în mod principial

condiţia de rezistenţă limitează mărimea a tensiunilor obţinută ca efect al

acţiunilor considerate cu valorile medii, la o mărime admisă determinată de

rezistenţele limită (c

,r

) prin împărţire la un coeficient de siguranţă

supraunitar. La o variaţie defavorabilă a mărimilor aleatoare, tensiunile reale

pot depăşi valoarea , dar la o alegere corectă a coeficientului de siguranţă nu

pot depăşi valoarea limitei din care s-a determinat (c

,r

). Deoarece

a c , rezultă că studiul stării de solicitare şi a siguranţei este făcut în

domeniul elastic (presupunând că materialul se comportă elastic până la

curgerec

).

Sunt situaţii când atingerea tensiunii c

într-o secţiune sau într-un

punct al unei structuri nu implică cedarea elementului sau a structurii din

care acesta face parte. Astfel, la structurile cu stări de tensiune neomogenă,

cu secţiune neomogenă sau la structuri static nedeterminate din materiale

ductile, se constată că intensitatea forţelor care corespund cedării (ruperii)

este mai mare decât valoarea la care apare în punctul cel mai solicitat

curgerea. In aceste situaţii este raţional a considera şi comportarea

elementului de structură după depăşirea stadiului elastic şi a exprima

condiţia de rezistenţă în eforturi. Dacă S este efortul într-o secţiune a unui

element de structură sub valorile medii ale acţiunilor (N,T sau M), iar Sr este

efortul corespunzător ruperii determinat cu medii statistice ale rezistenţelor,

prin condiţia de rezistenţă se limitează valoarea lui S la:

max

r

r

SS

c (1.4)

unde r

c este coeficienţul de siguranţă. Această metodă de apreciere a

siguranţei fiind făcută cu referire la valori limită ce corespund ruperii, se

numeşte metodă la rupere.

Coeficientul de siguranţă are, în esenţă, în cele două metode aceeaşi

semnificaţie; diferenţa principală dintre ele constă în faptul că metoda

rezistenţelor admisibile apreciază siguranţa în raport cu limita stadiului

elastic (admiţând că solicitarea se produce cu maximul sub limita de

curgere), iar metoda la rupere, în raport cu stadiul de cedare (rupere). In

Page 31: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 32

condiţii de asigurare similare, la elemente de structură din materiale ductile

cu stări de tensiune neomogene sau static nedeterminate, rezultă valori

diferite ale coeficientului de siguranţă în cele două metode.

Cele două metode deterministe au şi caracteristici comune:

-parametrii care intervin au valori unic determinate;

-relaţiile de calcul dintre acţiune şi răspuns sunt de tip determinist;

-coeficientul de siguranţă este unic pentru întreaga structură.

Metodele deterministe sunt criticate pentru că asigură o rezolvare empirică a

problemei siguranţei – o problemă cu multe variabile soluţionată printr-un

coeficient de siguranţă unic în care nu se poate regăsi explicit mărimea şi

natura abaterilor pe care le acoperă.

1.9.3 Metodele probabilistice

Variabilelor aleatoare li se ataşează noţiunea de probabilitate.

Teoria probabilităţilor dă posibilitatea prevederii, cu o probabilitate aleasă

aprioric, a valorii care se va obţine pentru mărimea studiată într-un

experiment viitor.

Pe baza câmpului de valori probabile ale acţiunilor, se poate determina prin

relaţii de natură probabilistă câmpul de valori probabile ale răspunsului.

Modului de analiză probabilist al variabilelor aleatoare şi relaţiei

probabiliste acţiune-răspuns, i se adaugă o mărime de tip probabilist pentru

aprecierea siguranţei: probabilitatea de cedare. Ea reprezită probabilitatea ca

valoarea S a răspunsului să depăşească valoarea probabilă a răspunsului

limită, care se notează L

P S S . Condiţia de rezistenţă se scrie în forma:

L a

P S S P

şi exprimă condiţia ca probabilitatea de cedare să fie inferioară unei valori

admisibile a

P . Rezolvarea într-o manieră complet probabilistă a siguranţei

implică dificultăţi datorită lipsei numărului suficient de date cu privire la

acţiuni exterioare, rezistenţe, abateri geometrice.

1.9.4 Metode semiprobabiliste. Metoda stărilor limită

In scopuri practice au fost elaborate metode semiprobabiliste (mult

utilizate în domeniul construcţiilor) cum este metoda stărilor limită.

Prin stare limită se înţelege un stadiu de solicitare a cărui atingere

implică pierderea reversibilă sau ireversibilă a capacităţii unei construcţii de

a satisface condiţiile de exploatare legate de destinaţia ei. Stările limită la

care se verifică structurile se împart în două grupe:

Page 32: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Introducere 33

-stări limită ultime, corespunzătoare epuizării capacităţii portante;

această epuizare se produce prin rupere sau pierderea stabilităţii.

-stări limită ale exploatării normale, care corespund apariţiei unor

fenomene ce duc la întreruperea funcţionării normale. In această categorie

sunt incluse deformaţiile excesive, fisurile peste anumite limite.

In metoda stărilor limită sunt analizate statistic acţiunile şi

rezistenţele şi, pe această bază se stabilesc valorile cele mai nefavorabile ale

încărcărilor (cele mai mari valori), respectiv ale rezistenţelor (cele mai mici

valori). Apoi, pe baza unei relaţii de tip determinist între acţiuni şi

răspunsul structurii, sunt studiate un număr limitat de combinaţii ale

valorilor variabilelor aleatoare ce intervin şi se exprimă condiţia de

siguranţă în forma:

L

S S (1.5)

în care S este valoarea maxim probabilă a răspunsului determinat prin

combinaţia cea mai defavorabilă a acţiunilor, iar SL este valoarea minim

posibilă a răspunsului limită, stabilit considerând valorile minim probabile

ale rezistenţelor.

In metoda stărilor limită se ţine seama de variaţia posibilă a

încărcărilor, rezistenţelor şi dimensiunilor prin coeficienţi diferenţiaţi (în

locul coeficientului unic de siguranţă de la metodele deterministe).

Page 33: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

2. EFORTURI ÎN BARE ŞI SISTEME DE BARE

2.1 Generalităţi

Studiul complet al structurilor de rezistenţă (ansambluri acţionate de

sisteme de forţe de direcţii oarecare) este laborios dacă se ţine cont de

caracterul spaţial al structurilor. De cele mai multe ori, în practica

inginerească se admite schematizarea structurilor spaţiale prin structuri

plane încărcate în planul structurii sau normal pe acesta, conducând astfel la

simplificări de calcul importante.

Elementul de structură fundamental îl constituie bara şi în special

bara dreaptă. Dacă problema de Rezistenţă a materialelor este determinarea

stărilor de solicitare ale barei sub diverse acţiuni, ea poate avea următorul

enunţ:

Cunoscând geometria barei, legăturile ei şi încărcările, să se determine

starea de tensiune şi deformare.

Principalele etape în soluţionarea problemei enunţate sunt:

-1) se determină complet sistemul forţelor exterioare care

acţionează asupra barei, adică a preciza, pe lângă încărcări, natura şi

mărimea reacţiunilor din legături;

-2) se determină eforturile în secţiunile transversale ale barei cu

ajutorul metodei secţiunilor;

-3) cunoscând eforturile se va putea trece la determinarea

tensiunilor în orice punct al barei precizând în prealabil relaţiile matematice

dintre tensiuni şi eforturi; dacă se cunosc relaţiile dintre tensiuni şi

deformaţii, se pot calcula deformaţiile şi apoi pot fi evaluate deplasările.

Primele două etape ale algoritmului de mai sus pot fi rezolvate pentru

structurile static determinate folosind principiile Mecanicii teoretice.

In continuare ne vom ocupa de determinarea eforturilor în bare

drepte pentru cazul general şi pentru cazul în care bara este încărcată cu

sarcini coplanare.

2.2 Eforturi în bare. Notaţii

Deoarece în Rezistenţa materialelor nu există un consens privind

utilizarea unui anumit sistem de referinţă, bara dreaptă se poate raporta la

orice sistem cu menţiunea că relaţiile care descriu acelaşi fenomen fizic au

semne sau forme diferite în funcţie de sistemul de referinţă folosit.

Deosebirile sunt formale şi nu afectează rezultatele finale ale calculelor

efectuate în sisteme de referinţă diferite.

Page 34: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

35

Prin urmare, putem raporta bara dreaptă la un sistem drept de axe ,

Oxyz cu originea în centrul de greutate al feţei din stânga a barei cu axa x

de-a lungul axei barei, iar axele y şi z axe transversale; orientarea sistemului

drept folosită în această lucrare este cea dată în Fig. 2.1.

Fig. 2.1

Orice secţiune transversală într-o bară are două feţe ataşate celor două

tronsoane obţinute prin secţionare. Aceste feţe se mai numesc pozitive sau

negative după cum normala exterioară coincide sau nu cu sensul pozitiv al

axei x (normalele exterioare ale celor două feţe au sensuri contrarii). In Fig.

2.2 faţa pozitivă a secţiunii este faţa stângă, iar faţa negazivă este faţa

dreaptă a secţiunii. Sistemul de axe la care se raportează faţa pozitivă a

secţiunii este obţinut prin translaţia sistemului Oxyz (din Fig. 2.1) până în

centrul de greutate C al feţei pozitive a secţiunii (Fig. 2.2)

Fig. 2.2

Descompunând elementele torsorului de reducere al forţelor interioare C

R şi

CM în câte trei componente se obţin eforturile într-o bară cu denumiri în

concordanţă cu solicitările pe care le produc (a se vedea Capitolul 1):

-N –forţa axială;

Page 35: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 36

-Ty şi Tz forţe tăietoare sau de forfecare;

-Mt – momentul de torsiune;

-Miy şi Miz – momente încovoietoare.

In Fig. 2.3 sunt reprezentate şi tensiunile care apar pe faţa pozitivă (faţa

stângă) a secţiunii. Toate eforturile N, Ty , Tz, Mt, Miy , Miz sunt proiecţii

ale elementelor torsorului de reducere al forţelor interioare, rezultă că se pot

stabili următoarele relaţii numite de echivalenţă între tensiuni şi eforturi

prin care eforturile îşi manifestă de fapt prezenţa într-o secţiune

transversală:

A

N dA ; y xy

A

T dA ; z xz

A

T dA ; t xz xyA

M y z dA ;

iyA

M zdA ; iz

A

M ydA (2.1)

Fig. 2.3

2.3 Eforturi în bare drepte încărcate cu forţe în planul xz

In cazul problemelor plane (de exemplu în planul (x,z)), avem 0y

T ,

0iz

M şi 0t

M ; în acest caz, cele trei eforturi nenule sunt: efortul normal

N, forţa tăietoare T componenta după z (Tz) şi momentul încovoietor M după

Page 36: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

37

axa y (Miy); de cele mai multe ori, pentru acest caz particular de încărcare se

folosesc pentru eforturile nenule notaţii simplificate: N, T şi M.

Pot fi adoptate mai multe convenţii de semn. Pentru cazul unei bare drepte

încărcată în planul (x,z) convenţiile de semn pentru încărcări şi pentru cele

trei eforturi sunt:

Incărcările exterioare (forţe şi momente) sunt pozitive dacă sunt

orientate în sensul axelor de referinţă.

Eforturile sunt pozitive atunci când sunt orientate în sensul axelor

pozitive pe faţa pozitivă a secţiunii (faţa stângă) şi negative atunci când

urmăresc axele negative pe faţa negativă (faţa dreaptă).

In aplicaţii sunt utile şi definiţii şi convenţii de semn legate de

semnificaţia fizică a eforturilor. Astfel:

Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor de pe partea dreaptă sau

stângă a secţiunii proiectate pe direcţia axei longitudinale a barei (fibrei

medii); forţa axială este prin convenţie pozitivă dacă produce întinderea

tuturor fibrelor secţiunii(a se vedea Fig. 2.4).

Forţa tăietoare T (Tz) reprezintă suma tuturor forţelor de pe partea dreaptă

sau stângă proiectate pe direcţia normalei la axa longitudinală a barei(axa z);

forţa tăietoare este considerată prin convenţie pozitivă dacă produce o

lunecare în sensul acelor de ceas (a se vedea Fig. 2.4).

Momentul încovoietor M (Miy sau Mi) reprezintă suma momentelor tuturor

forţelor situate în partea dreaptă sau stângă a secţiunii faţă de centrul de

greutate al secţiunii, la care se adaugă şi momentele concentrate; momentul

încovoietor este considerat pozitiv dacă produce întinderea fibrelor

inferioare (situate sub fibra medie) şi comprimarea fibrelor superioare

(situate deasupra fibrei medii) (a se vedea Fig. 2.4).

Page 37: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 38

Fig. 2.4 Convenţia de semn a eforturilor N, T, M pentru cazul particular al

forţelor din planul xz

Utilizând convenţia de semn, când momentul încovoietor este

pozitiv bara se deformează ca un vas care “ţine apa”, iar atunci când

momentul încovoietor este negativ bara se deformează ca un vas care “ nu

ţine apa”(ca în Fig. 2.5). Punctul de inflexiune apare în secţiunea X-X

atunci când momentul încovoietor este zero.

Fig. 2.5

Valorile eforturilor secţionale N, T şi M variază de obicei în lungul

unei bare, în funcţie de forma geometrică şi de modul de încărcare a barei.

Pentru calculul de rezistenţă este necesară cunoaşterea valorilor tuturor

eforturilor din fiecare secţiune transversală a barei. Prin reprezentarea

acestora în lungul barei se obţin diagrame de eforturi secţionale.

Page 38: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

39

Cu ajutorul diagramelor de variaţie ale eforturilor secţionale se obţin

secţiunile cele mai solicitate (numite şi periculoase); valorile din aceste

secţiuni periculoase ale forţei axiale, forţei tăietoare şi momentului

încovoietor sunt utilizate în proiectare.

Consideraţiile de mai sus, prezentate pentru bara dreaptă, sunt

aplicabile şi în cazul barelor curbe.

2.3.1 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale

eforturilor secţionale

O cale directă de construire a diagramelor de eforturi constă în

determinarea expresiilor analitice pentru o secţiune curentă x şi apoi

reprezentarea grafică a funcţiilor N(x), T(x) şi M(x) rezultate. Pentru

determinarea expresiilor N, T, M se ţine seama de faptul că legile lor de

variaţie se modifică pe porţiuni unde sistemul forţelor exterioare de pe

partea înlăturată îşi modifică configuraţia; porţiunile pe care aceste legi

rămân aceleaşi sunt delimitate de secţiunile transversale ale barei în care

sunt aplicate forţe sau cupluri concentrate sau unde legea de variaţie a

încărcărilor distribuite se modifică.

Se convine ca în graficele de variaţie ordonatele pozitive să fie

reprezentate astfel:

-pentru momente încovoietoare sub linia de referinţă (pe partea

întinsă a barei)

-pentru efort axial sau forţă tăietoare, deasupra liniilor de referinţă

corespunzătoare.

Zonele de variaţie se delimitează cu litere sau cifre care se înscriu

în dreptul punctelor caracteristice.

Numele diagramei şi unităţile de măsură (dacă este cazul) se

înscriu alăturat diagramei reprezentate.

Aplicaţie:

Să se construiască diagramele de variaţie N, T şi M pentru bara din Fig. 2.6.

Rezolvare:

Intervalele pe care vor fi stabilite expresiile eforturilor sunt

delimitate de secţiunea 2 în care încetează acţiunea sarcinii distribuite q şi

de secţiunile 3 şi 4 în care acţionează cuplul concentrat M şi respectiv

forţele concentrate F1 şi F2.

Parcurgerea barei cu consolă de la 1 până într-o vecinătate a

punctului 5 se poate face fără determinarea reacţiunilor din încastrare;

valorile acestor reacţiuni şi sensurile lor vor rezulta ca elemente de salt în

Page 39: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 40

toate cele trei diagrame în secţiunea 5. Pentru punctele de abscisă curentă x

de pe fiecare interval, scriind eforturile pe faţa din dreapta rezultă:

Intervalul 1-2 0,1x m

0N x

0 02

1 2

TT x q x x

T m kN

2 2 0 02

1 12 2

Mx xM x q

M m kN m

Intervalul 2-3 1 ,2x m m

0N x

1 2 1 2 .T x q kN const

1 11 0.5 2 1 0.5

2 3

M m kN mM x q x x

M m kN m

Intervalul 3-4 2 ,3x m m

0N x

1 2 1 2 .T x q kN const

2 11 0.5 2 1 0.5 4

3 1

M m kN mM x q x M x

M m kN m

Intervalul 4-5 3 ,4x m m

1

5 .N x F kN const

2

1 2 1 6 4 .T x q F kN const

21 0.5 3

3 12 1 0.5 4 6 3

4 3

M x q x M F x

M m kN mx x

M m kN m

Pentru trasarea diagramelor se calculează valorile numerice ale

ordonatelor într-un număr suficient de puncte de pe interval. Pentru variaţii

liniare se determină valorile la limitele intervalelor, pentru variaţii după

parabole de grad doi, la limitele intervalelor şi încă într-un punct de pe

interval.

Page 40: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

41

Fig. 2.6

Diagramele de variaţie sunt date în Fig. 2.6. După trasarea

diagramelor, se pot stabili valorile reacţiunilor din încastrare:

5 5 55 , 4 , 3H kN V kN M kN m

2.3.2 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări şi consecinţele lor

In cazul unor bare cu încărcări diverse ca tip şi lege de distribuţie,

intervin dificultăţi în trasarea diagramelor de eforturi şi în stabilirea

secţiunilor cu valori extreme. Un ajutor preţios în rezolvarea corectă a

acestor probleme îl reprezintă relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi

încărcări.

In scopul stabilirii relaţiilor dintre eforturi şi încărcări se va

considera o bară dreaptă solicitată de un sistem de forţe exterioare

concentrate şi distribuite continuu. Se convine să se accepte ca sens pozitiv

pentru sarcinile exterioare sensul axelor sistemului cartezian drept la care se

raportează bara, iar pentru cuplurile exterioare sensul orar va fi considerat

pozitiv.

De pe o porţiune în care acţionează cel mult încărcări distribuite se

detaşează un element de lungime dx prin două secţiuni transversale (Fig.

Page 41: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 42

2.7) . Dacă presupunem dx infinit mic, atunci încărcările distribuite pot fi

considerate uniform distribuite.

Pe secţiunea din stânga se introduc eforturile N, T, M, iar pe

secţiunea din dreapta aceleaşi mărimi cu creşterile diferenţiale

corespunzătoare dN, dT, dM.

Exprimând echilibrul elementului diferenţial sub acţiunea forţelor

exterioare aferente şi a eforturilor secţionale prin anularea proiecţiilor

acestor forţe pe axa x respectiv z şi a momentului în raport cu punctul O, se

obţin relaţiile:

0: 0x x

F N q dx N dN

0: 0z z

F T q dx T dT (2.2)

0 : 02O z

dxM M Tdx q dx m dx M dM

După reducerea termenilor asemenea în expresiile de mai sus şi neglijarea

infiniţilor mici de ordin superior din cea de-a treia ecuaţie de echilibru, se

obţin relaţiile:

x

dNq

dx

z

dTq

dx (2.3)

dM

T mdx

Deci, derivata forţei axiale N în raport cu x este egală cu intensitatea

încărcării distribuite qx ce acţionează pe direcţie axială, luată cu semn

schimbat. Derivata forţei tăietoare T în raport cu x este egală cu intensitatea

încărcării distribuite qz ce acţionează pe direcţie normală la axa barei, de

asemenea luată cu semn schimbat, iar derivata momentului încovoietor M

este egală cu forţa tăietoare în secţiunea considerată, la care se adaugă

intensitatea cuplului distribuit m.

Dacă se neglijează în ultima relaţie (2.3) termenul corespunzător cuplului

distribuit m care intervine numai în cazuri particulare de încărcare şi ţinând

cont de relaţia z

dTq

dx , se obţine ca o consecinţă a acestora relaţia:

2

2 z

d Mq

dx (2.4)

Presupunând cunoscute legile de variaţie x

q x şi z

q x prin integrarea

primelor două relaţii din grupul (2.3) rezultă:

Page 42: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

43

1x

N q x dx C (2.5)

2z

T q x dx C (2.6)

Fig. 2.7

Cu rezultatul obţinut pentru forţa tăietoare T, integrând ultima

relaţia din (2.3) se obţine:

2 3z

M dx q dx C x C (2.7)

Constantele 1 2 3, ,C C C se determină din condiţiile la limită (marginale).

Relaţiile diferenţiale (2.3) şi (2.4) pot fi privite ca relaţii de legătură

între o funcţie şi prima respectiv a doua derivată, adică între graficul

funcţiei, panta tangentei la graficul funcţiei şi curbură.

Din ultimele două relaţii (2.3) şi utilizând relaţia (2.4) se observă că

dacă z

q x este un polinom, rezultă că T(x) şi M(x) sunt polinoame de grad

superior lui z

q x cu una, respectiv două unităţi.

In dreptul unei forţe concentrate transversale (longitudinale)

diagrama T (respectiv N) prezintă o discontinuitate de ordonată, iar

diagrama M o discontinuitate de tangentă. De asemenea, în dreptul unui

Page 43: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 44

cuplu concentrat diagrama M prezintă o discontinuitate de mărimea

cuplului şi în sensul acestuia.

Expresiile eforturilor secţionale la dreapta şi la stânga punctului de

pe bară în care se înregistrează discontinuitatea, diferă cu valoarea forţei

concentrate sau a momentului concentrat pentru care punctul de

discontinuitate este punct de aplicaţie.

Pentru trasarea diagramelor de eforturi din relaţiile diferenţiale se

desprind următoarele proprietăţi utile:

- panta diagramei funcţiei N este dată de intensitatea sarcinii uniform

distribuite x

q x care acţionează pe direcţia axei barei, luată cu semn

schimbat;

- panta diagramei funcţiei T este dată de intensitatea sarcinii uniform

distribuite z

q x care acţionează pe direcţia normalei la axa barei,

luată cu semn schimbat;

- panta diagramei funcţiei moment încovoietor M este dată de funcţia

T (dM

Tdx

); M este o funcţie crescătoare dacă 0T şi este o

funcţie descrescătoare dacă 0T . Dacă 0T momentul încovoietor

M este constant;

- Dacă funcţia z

q x este polinomială de grad „n” atunci T are gradul

„n+1”, iar M va avea gradul „n+2”; adică dacă .z

q q const , T are

variaţie liniară iar M are variaţie parabolică cu concavitatea în sus

atunci când 0q sau cu concavitatea în jos atunci când 0q . In

secţiunea în care T trece prin zero în interiorul intervalului, M

înregistrează un extrem (maxim pentru 0q , sau minim pentru

0q );

- În dreptul unei sarcini concentrate (forţă coaxială cu bara, forţă

concentrată normală pe bară, moment concentrat) diagramele

corespunzătoare (N, T şi respectiv M) înregistrează un salt de

mărimea sarcinii.

2.3.3 Folosirea simetriei şi antisimetriei forţelor exterioare la trasarea

diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale

Barele care prezintă simetrie geometrică şi simetrie de încărcare

sunt sisteme simetrice;

barele care au ca particularitate simetria geometrică dar sunt încărcate

antisimetric sunt sisteme antisimetrice.

Page 44: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

45

Pentru barele care reprezintă sisteme simetrice sau antisimetrice,

diagramele de eforturi se pot trasa numai pe jumătate de bară, extinderea lor

pe tot sistemul are în vedere proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale

eforturilor secţionale:

- dacă sistemul este simetric, atunci forţele axiale N şi momentele

încovoietoare M au diagrame simetrice, în timp ce forţa tăietoare T

are o diagramă antisimetrică;

- dacă sistemul este antisimetric, atunci forţele axiale N şi momentele

încovoietoare M au diagrame antisimetrice, în timp ce forţa tăietoare

T are o diagramă simetrică.

In axa de simetrie geometrică diagrama efortului antisimetric trece prin

zero.

Observaţiile de mai sus rămân valabile şi pentru sistemele care au

antisimetrie geometrică combinată cu simetrie sau antisimetrie de încărcare.

2.4 Aplicaţii

Să se traseze diagramele de eforturi secţionale pentru următoarele sisteme:

1. Grinda simplu rezemată la capete încărcată cu o forţă concentrată

perpendiculară pe axa grinzii a b (Fig. 2.8a).

Soluţie:

Prima etapă a calculului este determinarea reacţiunilor din

legături (forţe exterioare); reacţiunile se obţin cu uşurinţă în acest caz

particular scriind două sume de momente faţă de punctele în care apar

reacţiunile:

0 20: 0M F a V l se obţine

2

FaV

l

2 00: 0M V l F b se obţine

0

FbV

l

Suma forţelor proiectată pe direcţia axei normale la grindă (direcţia z ) se

transformă într-o identitate ţinând cont că a b l :

0 20 : 0

z

Fb FaF V V F F

l l .

In următoarea etapă se scriu pe intervale expresiile analitice ale

forţei tăietoare şi ale momentului încovoietor:

Intervalul 0-1 0,x a

0

.Fb

T x V constl

Page 45: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 46

0

0 0MF b

M x V x x Fabl M a

l

Intervalul 1-2 ,x a l

0

.Fb Fa

T x V F F constl l

0

0

FabM aFb

M x V x F x a x F x a ll

M l

Fig. 2.8

In diagrama din Fig. 2.8 a forţele tăietoare sunt constante pe cele

două intervale cu salturi în dreptul secţiunilor încărcate cu forţe concentrate.

Forţelor tăietoare constante, le corespund momente încovoietoare cu variaţie

liniară crescătoare pentru T>0 şi descrescătoare pentru T<0.

Secţiunea periculoasă (dacă de interes este încovoierea) este cea în care

momentul încovoietor este maxim, adică secţiunea din dreptul forţei F;

valoarea momentului încovoietor maxim este : max

FabM

l .

Un caz întâlnit în practică este acela al unei grinzi încărcată cu forţa F la

mijlocul deschiderii ( / 2a b l ). In această situaţie momentul încovoietor

maxim este: max 4

FlM , iar diagramele de forţă tăietoare şi moment

încovoietor se supun regulilor de trasare corespunzătoare unui sistem cu

simetrie geometrică şi simetrie de încărcare (T-antismetrică, iar M -

simetrică).

Page 46: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

47

2. Grinda simplu rezemată cu o consolă, încărcată cu o forţă concentrată

aplicată la capătul consolei (Fig. 2.8 b).

Soluţie:

In prima etapă a calculului se determină reacţiunile din legături;

reacţiunile se obţin scriind două sume de momente faţă de punctele în care

apar reacţiunile:

0 2

0: 0M F a l V l se obţine

2

F a lV

l

2 00: 0M V l F a se obţine

0

FaV

l (se va schimba sensul

reacţiunii V0, lucrând cu valoarea pozitivă a acesteia).

Se poate verifica cu uşurinţă că suma forţelor proiectate pe verticală (axa z)

se verifică identic, ca în cazul aplicaţiei precedente. De fapt, această

aplicaţie poate fi considerată un caz particular al problemei precedente în

care forţele exterioare (încărcări şi reacţiuni) au semne contrare forţelor

aplicaţiei precedente.

Se mai poate observa că în cazul grinzilor cu consolă diagramele

de eforturi de pe zona consolei nu depind de încărcările de pe deschiderea

grinzii (grinda se poate parcurge dinspre consolă spre reazemul cel mai

apropiat).

3. Grinda simplu rezemată încărcată cu un moment concentrat; momentul

concentrat este aplicat pe deschiderea grinzii (Fig. 2.9 a cu a b ) sau este

aplicat la unul dintre capete (de exemplu la cel din stânga, în Fig. 2.9b).

Rezolvare:

Reacţiunile din legăturile celor două grinzi din Fig. 2.9 formează un cuplu

care face echilibrul momentului concentrat aplicat M; valoarea reacţiunilor

este mărimea momentului aplicat împărţită la braţul cuplului (mărimea

deschiderii l), adică

0 2V V

l

M(pentru Fig. 2.9 a) şi

0 1V V

l

M(pentru Fig. 2.9 b).

Reacţiuni egale în punctele cu legături înseamnă pentru cele două

grinzi diagrame de forţă tăietoare constante (aceasta înseamnă diagrame de

momente încovoietoare cu variaţie liniară).

Deşi reacţiunile celor două grinzi sunt egale, totuşi diagramele de

momente sunt diferite, cu valori diferite ceea ce înseamnă că grinzile sunt

Page 47: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 48

solicitate diferit la încovoiere. Reacţiunile egale au rezultat din condiţii de

echilibru pentru grinda văzută ca un corp rigid; diferenţele din diagramele

de momente apar datorită faptului că momentul concentrat este un vector

legat de punctul de aplicaţie (grinda este considerată deformabilă).

Fig. 2.9

Pentru încărcarea din Fig. 2.9 a valoarea maximă a momentului

încovoietor este

maxM a

l M

( a b ) în timp ce valoarea valoarea maximă a momentului

încovoietor pentru cazul din Fig. 2.9 b este max

M M . Din diagramele de

momente încovoietoare ale grinzilor încărcate cu momente concentrate

rezultă că situaţia mai dezavantajoasă de solicitare la încovoiere este aceea

în care momentul concentrat este aplicat într-o extremitate a grinzii.

In dreptul momentelor concentrate aplicate pe grinzile din Fig. 2.9

apar salturi în diagrama de momente încovoietoare de mărimeaM şi în

sensul acestuia.

4. Grinda simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform

distribuită pe deschiderea „l” având intensitatea „q” (Fig. 2.10 a).

Soluţie:

Grinda din Fig. 2.10 a este un sistem simetric (simetrie geometrică

şi de încărcare faţă de axa de simetrie). Reacţiunile din cele două legături

vor fi deci egale 0 1 2 2

lRql

V V .

Forţa tăietoare T şi momentul încovoietor M pe intervalul 0-1 0,x l :

Page 48: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

49

0

02

2

2

x

qlT

qlT x V R q x

qlT l

Forţa tăietoare trece prin zero în punctul de abscisă 0 2

lx (se obţine din

rezolvarea ecuaţiei: 02

qlT x qx ).

Fig. 2.10

În punctul în dreptul căruia forţa tăietoare trece prin zero, diagrama de

momente va înregistra un extrem (un maxim):

2

0

2

max 0

0 0

02 2 2

2 8

x

Mx ql x

M x V x R x q M l

l qlM x

Pentru sistemul simetric din Fig. 2.10 a diagrama de forţă tăietoare

este antisimetrică în timp ce diagrama de momente încovoietoare este

simetrică.

5. Grinda simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină liniar

distribuită pe deschiderea „l” având intensitate maximă „q” (Fig. 2.10 b)

Page 49: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 50

Soluţie:

Din ecuaţiile de momente scrise faţă de extremităţile grinzii se determină

reacţiunile:

1 00 : 0

2 3

lR

ql lM V l se obţine

0 6

qlV

0 10 : 2 0

2 3

lR

ql lM V l se obţine

1 3

qlV

Suma proiecţiilor forţelor pe direcţia normalei la grindă este identic zero,

ceea ce înseamnă că reacţiunile au fost corect calculate:

0 10

6 3 2l

ql ql qlV V R

Forţa tăietoare T şi momentul încovoietor M pe intervalul 0-1 0,x l :

0

01 1 6

6 2 6 2

3

x x

qlT

ql ql xT x V R q x q x

qllT l

Forţa tăietoare variază după o parabolă de gradul II. Forţa tăietoare trece

prin zero în punctul de abscisă 0

3

3

lx (este soluţia pozitivă care se obţine

din rezolvarea ecuaţiei: 1

06 2

ql xT x q x

l ).

În punctul în dreptul căruia forţa tăietoare trece prin zero, diagrama de

momente va înregistra un extrem (un maxim):

0

2

max 0

1

3 2 2

0 01

02 2 3

3

3 9 3

x x

x qlM x V x R x q x

Mql x x

x q x M ll

l qlM x

Momentul încovoietor variază după o parabolă de grad III cu valori nule la

extremităţi.

Page 50: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

51

6. Grinzi în consolă încărcate cu forţă concentrată (Fig. 2.11 a), cu forţă

uniform distribuită de intensitate „q” pe toată lungimea (Fig.2.11 b)şi cu

forţă liniar distribuită de intensitate maximă „q” pe toată lungimea (Fig.

2.11 c).

Soluţie:

Toate cele trei grinzi pot fi parcurse cum metoda secţiunilor

mergând din capătul liber până într-o vecinătate a încastrării, fără a mai fi

nevoie de etapa de calcul a reacţiunilor.

Reacţiunile din încastrări, forţe şi momente, reprezintă

discontinuităţile care închid diagramele de eforturi la zero. Pentru cele trei

grinzi în consolă, secţiunile periculoase (secţiunile în care momentele

încovoietoare sunt maxime) sunt cele din apropierea încastrării.

Expresiile analitice pentru eforturile forţă tăietoare T şi momentul

încovoietor M folosite la trasarea diagramelor sunt date în tabelele

următoare:

Fig. 2.11

Fig. 2.11

Intervalul 0-1 0,x l

.T x F const ;

M x F x

Intervalul 0-1 0,x l

T x qx ;

2

2

xM x q

Page 51: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 52

Fig. 2.11

Intervalul 0-1 0,x l

21 1

2 2 2x

x qxT x q x q x

l l

31 1

2 3 2 3 6x

x x x q xM x q x q x

l l

7. Grinda simetrică încărcată antisimetric (Fig. 2.12)

Soluţie:

Grinda din Fig. 2.12 este un sistem antisimetric.

Calculul începe cu determinarea reacţiunilor (antisimetrice); se poate utiliza

o singură ecuaţie de momente în raport cu unul dintre punctele de legătură:

0 30: 3 4 0M F l F l V l se obţine

3 2

FV

Reacţiunea V0 este antisimetrica lui V3.

Diagramele de eforturi T şi M se pot trasa numai pe jumătate din sistem,

extinderea lor pe întreg sistemul se va face cel mai simplu ţinând cont de

proprietăţile de simetrie şi antisimetrie ale eforturilor. In acest caz, forţa

tăietoare - prin natura ei antisimetrică - va da o diagramă simetrică, în timp

ce momentul încovoietor - de natură simetrică - va da o diagramă

antisimetrică, cu punct de inflexiune în axa de simetrie geometrică S.

Page 52: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

53

Fig. 2.12

8. Forţa tăietoare şi momentul încovoietor pentru bare încărcate

numai cu sarcini concentrate

Soluţie:

Pentru a stabili procedura care trebuie adoptată în determinarea

forţei tăietoare şi a momentului încovoietor pentru condiţii mai complicate

de încărcare, să considerăm bara simplu rezemată din Fig. 2.13 solicitată

numai cu sarcini concentrate transversale.

Fig. 2.13

Valorile reacţiunilor la capetele barei se calculează din condiţiile de

echilibru; reacţiunea VA rezultă considerând suma momentelor faţă de F:

VA 12 – (10 10 ) +(20 8) – (20 6) – (30 2) =0 Rezultă VA = 10 kN

Din condiţiile de echilibru pe verticală se obţine reacţiunea din F:

VA + VF + 20 –10 – 20 – 30 = 0 Rezultă VF = 30 kN

În acest stadiu al problemei ar fi bine să fie verificată reacţiunea VF din

echilibrul rotaţional în raport cu punctul A.

Page 53: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

54

Însumând forţele fie de pe o faţă fie de pe alta a secţiunii X-X obţinem

rezultatul din Fig. 2.14. Utilizând convenţia de semn (Fig. 2.4), forţa

tăietoare în secţiunea X-X este +20 kN , deci forţa rezultantă în secţiunea X-

X care are tendinţa de a forfeca bara este +20 kN.

Fig. 2.14 Forţa tăietoare (T) în secţiunea X-X

Similar, Fig. 2.15 prezintă suma momentelor forţelor în secţiunea X-X,

momentul încovoietor fiind de 40 kN m.

Fig. 2.15 Momentul încovoietor (M) în secţiunea X-X

M în A = 0

M în B = +(10 2) = +20 kN m

M în C =+(10 4) (10 2) = +20 kN m

M în D =+(10 6)+ (20 2) (10 4) = +60 kN m

M în E =+(30 2) = +60 kN m

M în E = 0

Toate valorile de mai sus au fost calculate ca momente ale forţelor

considerate la stânga secţiunii cu excepţia secţiunii din E unde au fost

considerate momentele forţelor din dreapta secţiunii.

Diagramele de eforturi secţionale pentru bara încărcată ca în Fig. 2.13

sunt reprezentate în Fig. 2.16.

Page 54: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 55

Din cele două diagrame reprezentate în Fig. 2.16 se desprind câteva

observaţii care vor fi explicate în paragrafele următor:

a) între B şi C T este zero şi M rămâne constant

b) între A şi B T este pozitiv iar diagrama M este crescătoare;

fenomenul este invers între E şi F

c) diferenţa în diagrama M între A şi B = 20 kN m = aria din diagrama

T între A şi B.

Fig. 2.16

9. Diagrame de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M pentru bare

solicitate prin încărcări combinate cu forţe concentrate şi distribuite

uniform

Să considerăm bara din Fig. 2.17 încărcată cu sarcini concentrate şi uniform

distribuite.

Pentru calculul reacţiunilor din punctele A şi E se folosesc sumele de

momente în raport cu E şi în raport cu A:

(VA8)(402)(1027) (206)(203)(101)(2031.5) =0

Rezultă VA=42.5 kN (care este forţa tăietoare în A)

(VE8)(4010)(1021) (201)(205)(107)(2036.5) =0

Rezultă VE=127.5 kN

Page 55: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

56

Se verifică echilibrul pe verticală al barei din Fig. 2.17.

(VA VE)= (102) 202010(203)40=170

Pornind de la suportul A

M în A = 0

M în B = +(42.5 2) (10 21) = +65 kN m

M în C =+(42.5 5) (10 24) (20 3) = +72.5 kN m

M în D =+(42.5 7) (10 26) (20 5) (20 2)

(20 21)

= 2.5 kN m

M în E =(40 2) = 80 kN m

M în F = 0

Pentru acurateţea diagramei M se pot calcula una sau două valori

intermediare:

M între A şi B = +(42.5 1) (10 20.5) = +37.5 kN m

M între C şi D =+(42.5 6) (10 25) (20 4)

(20 1) (20 10.5)

= 45 kN m

M între D şi E =+(42.5 7.5) (10 26) (20

5.5) (20 2.5) (20 2.51.25) (10 0.5)

= 39 kN m

Fig. 2.17

Page 56: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 57

Diagramele de forţă tăietoare şi moment încovoietor sunt date în Fig. 2.17.

Pentru bara din Fig. 2.17 este evident din diagrama de momente

încovoietoare M că există un punct situat între C şi D în care diagrama îşi

schimbă semnul; acest punct de inflexiune este cel în care diagrama de

momente încovoietoare trece prin zero:

M=(42.5)(5+x)(102)(4+x)20(3+x)20x20x2/2=72.517.5x10x2

M=72.517.5x10x2=0

Soluţiile ecuaţiei de gradul doi sunt x1=1.96 şi x2= 3.7.

Deci punctul de inflexiune căutat este cel situat la distanţa 1.96 m de

punctul C.

9. Diagramele de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M pentru bara

încărcată cu un cuplu (moment) concentrate

În general există două căi prin care poate fi aplicat momentul concentrat:

(a) cu forţe orizontale

(b) cu forţe verticale

Tipul (a) moment aplicat cu forţe orizontale: cuplu (moment) aplicat prin

intermediul a două forţe F orizontale egale şi de sens contrar cu distanţa

dintre suporturi d.

Să considerăm bara AB din Fig. 2.18 încărcată în C (la distanţa a de punctul

A) cu momentul Fd .

Reacţiunile din A şi B au sensurile indicate în Fig. 2.18.

Suma momentelor faţă de B egală cu zero va conduce la o ecuaţie în

necunoscuta VA:

VA LFd=0 conduce la VA =Fd/L

Din echilibrul pe verticală rezultă VB =VA =Fd/L.

Forţa tăietoare este constantă pe toată lungimea barei AB şi are valoarea

Fd

L .

Momentul încovoietor între A şi C are expresia:A

FdM V x x

L

Deci momentul încovoietor între A şi C variază liniar între zero în punctul A

şi valoarea Fd

aL

în punctul C (Fig. 2.18).

Momentul încovoietor între C şi B are expresia:

Page 57: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

58

A B

Fd FdM V x Fd x Fd V x x

L L

Deci momentul încovoietor între C şi B variază liniar între zero în punctul B

şi valoarea Fd

bL

în punctul C (Fig. 2.18).

Fig. 2.18

Tipul (b) moment aplicat cu forţe verticale

Considerăm bara încărcată ca în Fig. 2.19. Reacţiunile din A şi B au

sensurile indicate în Fig. 2.19.

Suma momentelor faţă de B egală cu zero va conduce la o ecuaţie în

necunoscuta VA: 0B A

M V L F d b Rezultă

A

F d bV

L

Din ecuaţia de echilibru pe verticală rezultă reacţiunea din B:

B

F a dV

L

.

Diagrama de forţă tăietoare T este reprezentată în Fig. 2.19.

În diagrama T mărimea saltului din punctul C este dat de intensitatea forţei

concentrate F.

Momentul încovoietor M între A şi C are expresia:

Page 58: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 59

A

F d bM V x x

L

. Între A şi C momentul încovoietor are variaţie

liniară între valorile zero în A şi F d b

aL

în punctul C.

Fig. 2.19

Momentul încovoietor M între B şi C are expresia:

B

F a dM V x x

L

. Între B şi C momentul încovoietor are variaţie

liniară între valorile zero în B şi F a d

bL

în punctul C.

În diagrama de momente încovoietoare saltul în punctul C este de valoarea

Fd.

Page 59: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

60

10. Să se traseze diagramele de variaţie ale forţei tăietoare şi momentului

încovoietor pentru bara din Fig. 2.20. Să se determine poziţia secţiunii de

pe bară în care momentul încovoietor este extrem.

Soluţie:

Se determină reacţiunile din legăturile barei (din punctele A şi B).

Din suma de momente în raport cu punctul A egală cu zero se va determina

reacţiunea din punctul B:

B

V 5 5 1 7 4 2 6 4 5 2.5 0 Rezultă VB=19 kN.

Ecuaţia de echilibru a forţelor pe verticală va conduce la determinarea

reacţiunii VA : A B

V V 5 7 2 4 5 0 Rezultă VA=15 kN.

Expresiile forţei tăietoare între punctele de discontinuitate sunt date în

continuare.

T între A şi E =154x

0 x 1m

T în A =+15kN

T în E = +11 kN

T între E şi D =154x5 ; T trece prin zero pentru

x=2.5m

1m x 4m

T în E= 6 kN

T în D= 6 kN

T între D şi B =154x57

4m x 5m

T în D= 13 kN

T în B= 17 kN

T între C şi B =2 = const.

0 x 1m

T între C şi B

constant = 2 kN

Valorile momentelor încovoietoare în punctele de discontinuitate sunt:

M în A = 0

M în E = +(15 1) (4 10.5) = +13 kN m

M în D =+(15 4) (4 42) (5 3) = +13 kN m

M în B =+(15 5) (4 52.5) (5 4) (7 1) = 2 kN m

M în C = 0

Momentul încovoietor maxim se obţine pentru forţa tăietoare nulă, adică

dM/dx este zero (pentru x=2.5m faţă de punctul A).

M în acest punct este = (2.5 x 15) - (5 x 1.5) - 4 x 2.5 x 1.25 = + 17.5 kNm

Page 60: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 61

Fig. 2.20

2. 5 Diagrame de eforturi secţionale la cadre plane

Pentru sistemele plane de bare drepte (cadre plane) la calculul şi la

aşezarea diagramelor N, T şi M se păstrează convenţia de semne de la

barele drepte.

Diagramele de momente încovoietoare se aşează în dreptul fibrelor

întinse prin solicitarea de încovoiere. In punctele de îmbinare rigidă a două

bare în unghi drept, momentul încovoietor se rabate de pe o regiune pe

cealaltă (cu aceeaşi valoare şi acelaşi semn) în schimb la trecerea de pe o

bară pe alta, forţa tăietoare T trece în forţă axială N şi invers.

Exemple

1. Să se traseze diagramele de eforturi secţionale pentru cadrele din Fig.

4.22 şi Fig. 4.23.

Rezolvare:

Page 61: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

62

Sistemele date sunt static determinate. Pentru cadrul din Fig. 2.21 trasarea

diagramelor de eforturi se poate face parcurgând sistemul din capătul liber

către încastrare, fără să fie nevoie de calculul reacţiunilor din încastrarea 3.

Fig. 2.21 Fig. 2.22

Diagramele N, T şi Mi şi expresiile lor pe fiecare regiune a cadrului sunt

date în Tabelul 2.21.

Tabelul 2.21

Regiunea 1-2

0,x l

Regiunea 1-2

0,x l

Regiunea 1-2

0,x l

0N x

.T x ql const 2

2i

xM x q

0 0i

M

2

2i

lM l q

Regiunea 2-3

0,x l

Regiunea 2-3

0,x l

Regiunea 2-3

0,x l

.N x ql const 0T x

2

.2i

lM x q const

Page 62: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 63

Sistemul din Fig. 2.22 nu poate fi parcurs cu metoda secţiunilor decât după

determinarea reacţiunilor din legături. Pentru aceasta se utilizează ecuaţiile

de echilibru din Statică:

1 10: 0

HF ql H H ql 1 4 4

0 : 2 02 4

l qlM ql V l V

4 1 10 : 2 0

2 4

l qlM ql V l V

Tabelul 2.22

Regiunea 1-2

0,x l

Regiunea 1-2

0,x l

Regiunea 1-2

0,x l

.4

lN x q const T x ql qx

→ 0T ql

0T l

2

2i

xM x qlx q

→ 0 0i

M

2

2i

lM l q

Regiunea 4-3

0,x l

Regiunea 4-3

0,x l

Regiunea 4-3

0,x l

.4

lN x q const

0 .T x const 0 .i

M x const

Regiunea 3-2

0,2x l

Regiunea 3-2

0,2x l

Regiunea 3-2

0,2x l

0 .N x const .4

lT x q const

4i

lM x q x

→ 0 0i

M

2

22i

lM l q

Page 63: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

64

2.6 Diagrame de eforturi secţionale la bare curbe plane cu rază mare de

curbură

In secţiunile transversale ale barelor curbe plane solicitate de forţe în

planul lor, se produc forţe axiale N, forţe tăietoare T şi momente

încovoietoare M care se definesc în acelaşi mod ca la bara dreaptă (inclusiv

convenţia de semne este cea de la bara dreaptă- Fig. 2.23).

Fig. 2.23 Eforturi pozitive la bara curbă în comparaţie cu bara dreaptă

Poziţia unei secţiuni oarecare din bara curbă se raportează la cel mai

simplu sistem de referinţă; astfel, dacă bara are forma unui arc de cerc,

coordonatele polare oferă cea mai directă raportare a unei secţiuni

transversale.

Linia de referinţă pentru trasarea diagramelor este axa barei curbe.

Regulile de trasare a acestor diagrame sunt similare celor de la bara

dreaptă; ordonatele sunt depuse în fiecare secţiune pe normala la axa barei

(haşurile sunt şi ele reprezentate pe normala la axa barei).

Forţa axială N reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta sau

la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia tangentei la curbă în

secţiunea curentă; forţa axială este pozitivă dacă produce întindere.

Forţa tăietoare T reprezintă suma tuturor forţelor situate la dreapta

sau la stânga secţiunii curente proiectate pe direcţia normalei la curbă în

secţiunea curentă; forţa tăietoare este pozitivă dacă produce în raport cu

peretele secţiunii o lunecare în sensul acelor de ceas.

Momentul încovoietor M reprezintă suma momentelor tuturor

forţelor situate la dreapta sau la stânga secţiunii curente, calculate faţă de

centrul de greutate al secţiunii curente (la această sumă de momente se

adaugă şi cuplurile concentrate). Momentele încovoietoare se aşează pe

diagrame în dreptul fibrelor întinse (diagrama se trasează de partea fibrei

întinse).

Expresiile pentru eforturi sunt funcţii trigonometrice de unghiul care

poziţionează secţiunea curentă pe fiecare porţiune (atunci când încărcarea

Page 64: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 65

este dată de forţe şi momente concentrate). Diagramele N, T şi M se pot

trasa cu uşurinţă pentru eforturi exprimate prin funcţii trigonometrice

simple; se calculează valorile eforturilor în extremităţile intervalului de

definiţie pentru efortul secţional şi uneori în puncte de pe bara curbă din

interiorul intervalului de definiţie. In cazul în care funcţiile ce exprimă

eforturile secţionale sunt expresii trigonometrice complexe, pentru

determinarea secţiunii periculoase sunt necesare punctele de extrem.

Punctele de extrem se pot determina pentru fiecare expresie N, T sau M prin

anularea primei derivate; se obţin ecuaţii trigonometrice ale căror soluţii

generale se intersectează cu domeniul de definiţie al expresiilor eforturilor.

In cazul sarcinilor distribuite după legi de variaţie cunoscute,

eforturile pot fi obţinute prin integrarea unor ecuaţii diferenţiale (2.8) care

vor fi obţinute în paragraful următor, sau mai simplu se pot integra direct

eforturile elementare date de sarcinile elementare.

Eforturile N, T şi M pozitive într-o secţiune curentă sunt

reprezentate în Fig. 2.23.

In situaţia în care forţele nu sunt situate în planul barei ci

perpendicular pe planul barei, atunci în secţiunile transversale apar pe lângă

momentele încovoietoare Mi şi momente de torsiune Mt (a se vedea

aplicaţia din Fig. 2.29).

2.6.1 Relaţii între eforturi şi încărcări la bara curbă plană încărcată în

planul ei

In Fig. 2.24 a este reprezentat un element de bară curbă circulară de

lungime ds şi de unghi la centru d aflat în echilibru sub acţiunea rezultantei

sarcinilor distribuite uniform pe direcţia normalei qds, a rezultantei

sarcinilor uniform distribuite pe direcţia tangentei qsds, şi a unui moment

rezultat din însumarea momentelor distribuite pe elementul ds, mds.

Din ecuaţiile de echilibru ale elementului de bară din Fig. 2. 24 a (2 ecuaţii

de proiecţii de forţe pe direcţiile normalei şi tangentei care trec prin O şi o

ecuaţie de momente în raport cu punctul O) :

cos sin sin cos 02 2s

d dN dN N d T d qds q ds

cos sin cos sin 02 2s

d dT dT T d N d qds q ds

sin cos

sin cos 02 s

M dM M T r d N r r d

dq ds r q r r d mds

Page 65: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

66

Dacă se ţine cont că sin ;cos 1;sin ;cos 12 2 2

d d dd d d

,

reducând termenii asemenea şi neglijând infiniţii mici de ordin superior, va

rezulta:

s

dN Tq

ds r ;

dT Nq

ds r ;

dMT m

ds (2.8)

Fig. 2. 24

Dacă se vor considera efectele directe ale unor încărcări concentrate şi

lipsesc sarcinile distribuite (forţe pe direcţia normalei şi tangentei dar şi un

moment concentrat – Fig. 2.24 b) se vor obţine relaţiile „de salt” întocmai ca

la bara dreaptă:

sN F ; T F ; M M (2.9)

Aplicaţii

Să se traseze diagramele N, T şi M pentru barele curbe circulare

din Fig. 2.25 şi Fig. 2.26.

Soluţie:

Page 66: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 67

Fig. 2.25 Fig. 2.26

Tabelul 2.25

Regiunea 1-

2 0,2

Regiunea 1-

2 0,2

Regiunea 1-2 0,2

cos2

FN

02

FN

02

N

sin2

FT

0 0T

2 2

FT

1 cos2i

FM r

0 0i

M

max2 2i i

FM M r

Sistemele din Fig. 2.25 şi 2.26 sunt simetrice în raport cu axa

verticală (au simetrie geometrică în raport cu această axă dar şi simetrie de

încărcare). Diagramele de eforturi (reprezentate în tabelele 2.25 şi 2.26) se

pot trasa numai pe jumătate din sistem, urmând ca extinderea lor pe întreaga

bară curbă să se facă ţinând cont de proprietăţile de simetrie şi antisimetrie

ale eforturilor secţionale; astfel, diagramele N şi M vor fi simetrice, iar

diagrama T va fi antisimetrică.

Page 67: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

68

Tabelul 2.26

Regiunea 1-2

0,

Regiunea 1-2

0,

Regiunea 1-2

0,

sinN F

0 0N

2

N F

0N

cosT F

0T F

02

T

T F

sini

M F r

0 0i

M

max2i iM M F r

0i

M

Să se determine expresiile analitice ale forţei axiale N, forţei tăietoare T

şi a momentului încovoietor M pentru bara semicirculară încastrată,

încărcată cu o forţă radială uniform repartizată din Fig. 2.27a şi pentru

bara semicirculară încastrată, încărcată cu o sarcină distribuită uniform

cu direcţia tangentei la axa barei din Fig. 2.27 b.

Fig. 2.27

Page 68: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 69

Soluţie:

Pentru schema de încărcare din Fig. 2.27 a forţa aplicată se consideră

compusă dintr-o sumă de forţe radiale elementare dF q ds q r d .

Se notează cu unghiul secţiunii pentru care se calculează eforturile şi cu

unghiul care defineşte poziţia forţei elementare.

În secţiune, forţa elementară dă eforturi elementare, egale cu:

sindN q r d

cosdT q r d

2 sindM q r d

Prin integrare se obţin expresiile eforturilor:

2

0 0

sin 1 cos 2 sin2

N dN q r d q r q r

0 0

cos sin 2 sin cos2 2

T dT q r d q r q r

2 2 2

0 0

sin 1 cos 2 sin2

M dM q r d q r q r

Pentru schema de încărcare din Fig. 2.27 b forţa aplicată se

consideră compusă dintr-o sumă de forţe tangenţiale elementare

dF q ds q r d .

În secţiune, forţa elementară dă eforturi elementare, egale cu:

cosdN q r d

sindT q r d

2 1 cosdM q r d

Prin integrare se obţin expresiile eforturilor:

0 0

cos sinN dN q r d q r

0 0

sin 1 cosT dT q r d q r

2 2

0 0

1 cos sinM dM q r d q r

Reprezentarea grafică a celor trei diagrame N, T şi M se face cu uşurinţă

înlocuind cu valori cuprinse între 0, .

Page 69: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

70

In multe aplicaţii porţiunile curbe ale barelor se asamblează rigid

cu porţiuni de bară dreaptă (ca în exemplul din Fig. 2.28). Diagramele de

eforturi se trasează pe fiecare zonă de continuitate (în coordonate polare

pentru zona circulară şi carteziene pentru porţiunea dreaptă).

Fig. 2.28

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Tabelul 2.28.

Pentru bara semicirculară încastrată, solicitată de o forţă

concentrată perpendiculară pe planul barei (Fig. 2.29), să se traseze

diagramele de eforturi secţionale.

Soluţie:

Se va considera o secţiune oarecare (secţiunea curentă) definită de unghiul

. Direcţiile de proiecţie din secţiunea curentă vor fi: o direcţie radială R-R

şi o direcţie tangenţială t-t situate în planul barei.

Diferite de zero în secţiunea curentă sunt:

- forţa tăietoare T constantă perpendiculară pe planul barei;

- momentul încovoietor Mi care este momentul forţei F în raport cu

dreapta radială R-R ;

- momentul de torsiune Mt care este momentul forţei F în raport cu

tangenta în secţiunea curentă.

Fig. 2.29

Page 70: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 71

Diagramele de eforturi sunt reprezentate în Tabelul 2.29.

Tabelul 2.28

Regiunea 1-2

0,2

Regiunea 1-2

0,2

Regiunea 1-2

0,2

2

cos3

N ql

2

03

N ql

02

N

2

sin3

T ql

0 0T

2

2 3T ql

221 cos

3iM ql

0 0i

M

22

2 3iM ql

Regiunea 3-2

0,2x l

Regiunea 3-2

0,2x l

Regiunea 3-2

0,2x l

0 .N x const 4

3T x ql qx

4

03

T ql

2

23

T l ql

0

40

3T x x l

24

3 2i

xM x qlx q

0 0i

M

222

3iM l ql

max 0

2

4

3

16

18

iM x l

ql

Page 71: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare

72

Tabelul 2.29

Regiunea 1-2

0,

Regiunea 1-2

0,

Regiunea 1-2

0,

.T F const

sini

M F r

0 0i

M

2i

M F r

0i

M

1 cost

M F r

0 0t

M

2t

M F r

2t

M F r

2.7 Metoda suprapunerii efectelor

In cazul în care grinzile sunt încărcate cu mai multe sarcini,

acţionând simultan, se procedează ca în exemplele precedente adică: se

determină reacţiunile pentru încărcarea totală, apoi pentru fiecare porţiune

de grindă se scriu expresiile care dau funcţiile N, T şi M.

În unele cazuri se ajunge mai rapid la rezultat aplicând principiul

suprapunerii efectelor. Acesta constă în a considera separat efectul fiecărei

încărcări şi a calcula astfel funcţiile T şi M corespunzătoare lor.

Funcţia efortului total pentru fiecare porţiune de grindă, produs de

toate încărcările simple, se obţine adunând algebric funcţiile

corespunzătoare diferitelor încărcări pentru acea porţiune. Deci aplicarea

practică a principiului suprapunerii efectelor presupune trasarea diagramelor

pentru fiecare încărcare în parte; apoi prin adunarea diagramelor parţiale, se

obţin diagramele de eforturi pentru grinda considerată.

Metoda se recomandă pentru grinzile încărcate cu puţine sarcini,

suprapunerea diagramelor devenind o operaţie greoaie pentru încărcări

multiple. Metoda de trasare este prezentată în Fig. 2.30.

Pentru a putea aduna ordonatele, una dintre curbe se desenează

deasupra iar cealaltă dedesuptul liniei de reper, dacă ambele diagrame au

acelaşi semn. Dacă diagramele sunt de semne contrare, ele se desenează de

Page 72: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Eforturi în bare şi sisteme de bare 73

aceeaşi parte a liniei de reper, iar efortul total rezultă prin scăderea

ordonatelor celor două curbe.

Fig. 2.30

Page 73: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

3. CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR

TRANSVERSALE ALE BARELOR

În definirea răspunsului sistemelor de bare la acţiunea forţelor

exterioare, pe lângă forţele interioare şi proprietăţile fizice ale materialelor

din care elementele sunt alcătuite sunt necesare mărimi legate de forma şi

dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor, numite caracteristici

geometrice ale secţiunilor.

3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate

Cea mai simplă caracteristică geometrică a secţiunii transversale este

aria secţiunii. Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii

elementare dA (Fig. 3.1), aria secţiunii va fi:

A

A dA (3.1)

(Integrala din relaţia (3.1) se va efectua pe întreaga secţiune). Unitatea de

măsură pentru arie este (Lungime)2 (în S.I. este m2).

Se consideră o figură plană (secţiunea transversală S-S a unei bare)

raportată la un sistem ortogonal de axe Oyz (Fig. 3.1).

Cu notaţiile din această figură se definesc momentele statice ale

secţiunii faţă de axa y şi axa z, reprezentând suma produselor ariilor

elementare dA cu distanţa la axa corespunzătoare (y sau z):

y

A

S zdA şi z

A

S ydA (3.2)

Unitatea de măsură pentru momentele statice este (Lungime)3 (în S.I. este

m3).

Dacă se notează cu yC şi zC coordonatele centrului de masă sau de greutate al

secţiunii, prin aplicarea teoremei lui Varignon se obţin relaţiile:

C

A

A y ydA şi C

A

A z zdA

Din care rezultă coordonatele centrului de masă sau de greutate ale secţiunii:

1

CA

y ydAA

1

CA

z zdAA

. (3.3)

Din relaţiile (3.3) se deduce că momentul static al secţiunii faţă de o axă

care trece prin centrul de greutate al acestei secţiuni este nul. Axele de

coordonate care trec prin centrul de greutate al secţiunii se numesc axe

centrale.

Page 74: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

75

Fig. 3.1

În cazul unei secţiuni compuse din mai multe secţiuni simple Ai,

pentru care sunt cunoscute coordonatele yi, zi ale centrului de greutate Ci,

relaţiile (3.3) devin:

1

1

n

i ii

nC

ii

A y

y

A

; 1

1

n

i ii

nC

ii

A z

z

A

(3.4)

3.2 Momente de inerţie (geometrice)

Se numeşte momentul de inerţie axial al figurii plane (de arie A) în

raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie dA cu

pătratele distanţelor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz

momentele de inerţie sunt:

2

yA

I z dA 2

zA

I y dA (3.5)

Suma produselor elementelor de arie dA cu distanţele lor la un sistem de axe

rectangular Oyz, adică:

yz

A

I yzdA (3.6)

Page 75: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 76

se numeşte moment de inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele

Oyz.

Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct numit

pol din planul figurii este suma produselor elementelor de arie dA cu

pătratele distanţelor lor la acel punct. În Fig. 3.1 polul O este originea

sistemului de axe Oyz , iar momentul de inerţie polar este:

2

pA

I r dA (3.7)

Deoarece 2 2 2r y z , momentul de inerţie polar se poate scrie:

2 2 2

p z yA A

I r dA y z dA I I (3.8)

adică momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie

axiale Iy şi Iz pentru oricare axe ortogonale Oy şi Oz care trec prin polul O.

Din relaţia (3.8) se observă că suma momentelor de inerţie axiale în raport

cu axele rectangulare cu aceeaşi origine O reprezintă un invariant la rotirea

sistemului de axe.

Unitatea de măsură pentru momentele de inerţie este (Lungime)4 (în S.I. este

m4).

Observaţii:

- momentele de inerţie axiale şi momentul de inerţie polar sunt

cantităţi strict pozitive, în timp ce momentul de inerţie centrifugal

poate avea valori pozitive, negative sau poate fi nul.

- momentul de inerţie centrifugal este nul atunci când secţiunea are

cel puţin o axă de simetrie (oricare axe ortogonale centrale Oy şi Oz)

- mărimea momentului de inerţie centrifugal este o măsură a

nesimetriei secţiunii faţă de o axă (oricare axe ortogonale centrale

Oy şi Oz).

3.3 Momente de inerţie pentru secţiuni simple

Determinarea momentelor de inerţie pentru figurile simple se poate realiza

pornind de la formulele de definiţie.

(a) Momentul de inerţie la dreptunghi. Să se calculeze momentele de

inerţie axiale în raport cu axele centrale Cy şi Cz paralele cu laturile

dreptunghiului din Fig. 3.2. Pentru determinarea momentului de inerţie în

raport cu axa centrală Cy, se consideră o suprafaţă elementară dA de forma

unei fâşii paralele cu axa Cy, de lăţime b şi înălţime dz, astfel că dA b dz .

Se va obţine:

Page 76: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

77

2 32 2

212

h

yA h

bhI z dA b z dz

(3.9)

Analog, momentul de inerţie în raport cu axa centrală Cz:

3

2

12zA

hbI y dA (3.10)

Pentru axele O1y1 şi O1z1 care conţin laturile dreptunghiului din Fig. 3.2

momentele de inerţie vor fi:

1

32

1 10

3

h

y

bhI b z dz şi

1

32

1 10

3

b

z

hbI h y dy (3.11)

Fig. 3.2

Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe Oyz este nul,

deoarece acestea sunt axe de simetrie.

(b) Momentul de inerţie la triunghi Să se calculeze momentul de inerţie a triunghiului din Fig. 3.3 faţă

de axa centrală Cy.

Page 77: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 78

Se calculeză momentul de inerţie faţă de axa y1 care coincide cu o latură a

triunghiului din Fig. 3.3. Se efectuează integrala pe fâşia 1 1

z dy şi apoi

integrala pe intervalul 1

0,y b . Ordonata 1

z are variaţie liniară:

1 1

hz b y

b .

Pornind de la definiţia momentului de inerţie în raport cu o axă, rezultă:

1

1

3 33

2 2

31 1 1 1 10 0 0

1

3 12

zb b

yA

h bhI z dA dy z dA dy b y

b

(3.12)

Folosind relaţia Steiner, se poate determina momentul de inerţie Iy:

23 3

12 2 3 36y

bh bh h bhI

(3.13)

Fig. 3.3

(c) Momentul de inerţie la cerc. Având în vedere simetria secţiunii în

raport cu oricare axă centrală, este avantajos să se determine întâi momentul

de inerţie polar şi apoi, să se evalueze momentele de inerţie în raport cu

axele centrale. Elementul de arie dA (Fig. 3.4) este cuprins între două raze

care fac între ele unghiul d şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr:

dA=rdrd.

Integrând pe întreaga suprafaţă a cercului se va obţine:

2 4 42 3 3

0 02 32

R

pA A

R DI r dA r drd d r dr

(3.14)

Page 78: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

79

Ţinând seama de relaţia (3.8) rezultă momentele de inerţie axiale:

4 4

2 4 64

p

y z

I R DI I

(3.15)

Fig. 3.4

(d) Momente de inerţie pentru o secţiune de forma unui sector circular (Fig. 3.5a)

Se calculează momentele de inerţie faţă de axele y0,z0 şi momentul de inerţie

polar în raport cu polul O,

0

42 2 2

00

sin 2sin

4 2

R

y yA

RI I z dA r rd dr

(3.16)

0

42 2 2

00

sin 2cos

4 2

R

zA

RI y dA r rd dr

(3.17)

0 0

4

2O y z

RI I I

(3.18)

Poziţia centrului de greutate pe axa y este dată de relaţia:

30

0

20

0

2cos sin2 sin3

3

R

A

RC

A

r rd dry dA RR

yRdA

rd dr

(3.19)

Cu teorema Steiner se calculează momentul de inerţie faţă de cealaltă axă

centrală, şi anume z:

Page 79: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 80

0

4 2 22 2

20

24

sin 2 4 sin

4 2 9

sin 2 4sin

4 8 9

z z C

R RI I Ay R

R

(3.20)

Fig. 3.5

Un caz particular de sector circular des întâlnit este secţiunea în formă de

semicerc pentru care =2 (Fig. 3.5b)

Caracteristicile geometrice şi inerţiale în acest caz particular (suprafaţă

semicirculară) sunt:

0

4

3C

Ry

;

0 0

4

8y z y

RI I I

; 4 8

8 9zI R

(3.21)

3.4 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele

Se consideră o figură plană de arie A raportată la un sistem de axe

ortogonale Oyz, pentru care se cunosc momentele de inerţie în raport cu

axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe

O1y1 şi O1z1 paralele cu primele (a se vedea Fig. 3.4). Cu relaţiile dintre

coordonate:

1

z z b

Page 80: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

81

1

y y a

unde a şi b sunt coordonatele originei sistemului vechi Oyz în noul sistem de

coordonate Oy1z1 şi utilizând formulele generale pentru momentele de

inerţie rezultă:

1

22 2 2 2

12 2

y y yA A A A A

I z dA z b dA z dA b zdA b dA I bS b A

(3.22)

În acelaşi mod se obţine:

1

22z z z

I I aS a A , (3.23)

iar pentru momentul de inerţie centrifugal,

1 1

y z yz y zA

I y a z b dA I aS bS abA (3.24)

În aceste relaţii, Sy şi Sz sunt momentele statice ale figurii în raport cu axele

Oy şi Oz. Dacă aceste axe sunt centrale atunci momentele statice în raport cu

ele sunt nule, iar relaţiile pentru momentele de inerţie în raport cu axele

paralele cu cele centrale vor fi:

1

2

y yI I b A

1

2

z zI I a A (3.25)

1 1

y z yzI I abA .

Relaţiile (3.25) se folosesc frecvent pentru calculul momentelor de inerţie

ale figurilor compuse şi mai sunt cunoscute sub numele de teorema

STEINER.

Adunând primele două relaţii (3.25), se obţine pentru momentul de inerţie

polar:

1

2 2

p pI I a b A (3.26)

Dacă sunt cunoscute momentele de inerţie în raport cu nişte axe oarecare,

pentru axele care trec prin centrul de greutate al figurii, paralele cu axele

date, din relaţiile (3.26) rezultă:

1

2

y yI I b A

1

2

z zI I a A

1 1

yz y zI I abA

Page 81: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 82

Fig. 3.6

Din aceste relaţii rezultă că momentele de inerţie în raport cu axele centrale

au cea mai mică valoare în comparaţie cu momentele de inerţie pentru

oricare alte axe paralele cu primele.

Pentru suprafeţe care pot fi descompuse în „n”elemente simple

(dreptunghiuri, triunghiuri, cercuri) relaţiile de calcul pentru momentele de

inerţie în raport cu axele centrale ale figurii compuse pot fi scrise sub forma:

0

2( ) ( )

1

ni i

y y C ii

I I z z A

0

2( ) ( )

1

ni i

z z C ii

I I y y A

(3.27)

0 0

( ) ( )

11

ni i

yz y z C i Ci

I I y y z z A

.

Un exemplu de utilizare a relaţiilor (3.27) se poate urmări în Aplicaţia 1 de

la sfârşitul acestui capitol.

3.5 Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor

De interes practic este problema determinării momentelor de inerţie

extreme pentru o figură plană (secţiune transversală a unei bare) şi

Page 82: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

83

determinarea poziţiei axelor în raport cu care momentele de inerţie sunt

extreme. În acest sens se studiază problema dezvoltată în continuare.

Cunoscând momentele de inerţie Iy, Iz, Iyz ale unei figuri plane în raport cu

un sistem ortogonal de axe Oyz din planul ei , să se determine momentele de

inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit faţă de primul

cu un unghi (a se vedea Fig. 3.7), considerat pozitiv dacă este descris în

sens orar.

Coordonatele unui element de arie dA în noul sistem de axe, se vor exprima

în funcţie de coordonatele din vechiul sistem (a se vedea Fig. 3.7) prin

relaţiile:

1

cos siny y z

1

cos sinz z y

Înlocuind aceste expresii în relaţiile de definiţie pentru Iy1, Iz1, Iy1z1, se

obţine:

1

22

1

2 2 2 2

cos sin

cos sin 2sin cos

yA A

A A A

I z dA z y dA

z dA y dA yzdA

1

22

1

2 2 2 2

cos sin

cos sin 2sin cos

zA A

A A A

I y dA y z dA

y dA z dA yzdA

1 1

1 1

2 2 2 2

cos sin cos sin

cos sin sin cos

y zA A

A A A A

I y z dA y z z y dA

yzdA yzdA z dA y dA

sau

1

2 2cos sin sin 2y y z yz

I I I I

1

2 2sin cos sin 2z y z yz

I I I I (3.28)

1 1

sin 2 sin 22

y z

y z yz

I II I

Ţinând cont de relaţiile (3.5) şi (3.6) ca şi de expresiile de trecere a

funcţiilor trigonometrice de la argumentul simplu la cel dublu

Page 83: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 84

2 1 cos 2sin

2

,

2 1 cos 2cos

2

, 2sin cos sin 2

relaţiile (3.28) pot fi scise sub forma:

1

cos 2 sin 22 2

y z y z

y yz

I I I II I

1

cos 2 sin 22 2

y z y z

z yz

I I I II I

(3.29)

1 1

sin 2 cos 22

y z

z y yz

I II I

Adunând primele două relaţii din (3.28) se obţine

1 1

y z y zI I I I

adică suma momentelor de inerţie axiale în raport cu două axe ortogonale

pentru aceeaşi origine, este un invariant.

Din relaţiile (3.29) se observă că mărimea unui moment de inerţie în

raport cu o axă oarecare depinde de unghiul de înclinare a acestei axe faţă de

o axă de referinţă. În această situaţie se poate determina o valoare 0 a

unghiului, pentru care momentul de inerţie atinge o valoare extremă. Pentru

evaluarea extremului se anulează prima derivată a expresiei Iy1 din grupul

de relaţii (3.29):

1

1 10 0

sin 2 cos 2 02 2

y y z

yz y z

dI I II I

d

(3.30)

De unde 0

22

yz

y z

Itg

I I

(3.31)

Din relaţia (3.30) se constată că derivata momentului de inerţie Iy1 în raport

cu 2 este momentul de inerţie centrifugal al secţiunii luat cu semnul

minus. Relaţia (3.31) conduce la două valori pentru unghiul 0: 0

şi

0 2

. Deci există două axe ortogonale pentru care momentele de inerţie

sunt extreme, iar momentul de inerţie centrifugal este nul. Asemenea axe se

numesc axe principale de inerţie, iar momentele în raport cu aceste axe se

numesc momente de inerţie principale. Deoarece suma momentelor de

inerţie faţă de două axe normale între ele reprezintă un invariant la rotirea

axelor, rezultă că unei axe principale îi corespunde cel mai mare moment de

Page 84: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

85

inerţie max 1

I I iar celeilalte axe îi corespunde valoarea minimă

min 2I I .

Momentele de inerţie în raport cu axele Oy1 şi Oz1 se pot scrie în funcţie de

momentele de inerţie principale:

1

1 2 1 2 cos 22 2y

I I I II

1

1 2 1 2 cos 22 2z

I I I II

1 1

1 2 sin 22y z

I II

Fig. 3.7

Valorile momentelor de inerţie principale se obţin prin înlocuirea expresiei

(3.31) în prima relaţie din grupul (3.29). În acest sens se calculează:

1,2

1,2 2 22

1,2

22sin 2

1 24

yz

y z yz

Itg

tgI I I

1,2 2 2

21,2

1cos 2

1 24

y z

y z yz

I I

tgI I I

Rezultă expresia momentelor de inerţie principale:

Page 85: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 86

2

2

2,1

1 14

2 2pr y z y z yzI I I I I I I (3.32)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ, atunci axa principală

pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin primul cadran al

sistemului de referinţă considerat.

Dacă momentul de inerţie centrifugal este pozitiv, atunci axa principală

pentru care momentul de inerţie este maxim trece prin cel de-al doilea

cadran al sistemului de referinţă considerat.

Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul figurii.

Din punct de vedere practic interesează însă în mod deosebit axele

principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale

centrale. Astfel, momentul de inerţie maxim I1 este de interes în problemele

de încovoiere, iar momentul de inerţie minim I2 este important în

problemele de flambaj.

Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una dintre axele centrale

principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie care trece prin centrul

de greutate al figurii.

3.6 Modul de rezistenţă

Raportul dintre momentul de inerţie al unei secţiuni faţă de o axă

centrală de inerţie şi distanţa celui mai îndepărtat punct din secţiune de

această axă se numeşte modul de rezistenţă.

Presupunând axa în discuţie Oy, considerând distanţele zs şi zi (figura 3. 8)

şi notând modulul de rezistenţă cu Wy, rezultă:

y

ys

s

IW

z

y

yi

i

IW

z (3.33)

Modulul de rezistenţă se măsoară în unităţi de lungime la puterea a treia [L3]

iar în S.I. se măsoară în [m3].

În cazul secţiunii dreptunghiulare (Fig. 3.9 a) rezultă relaţiile: 3

2

12

2 2 6

y

y

bhI bh

Wh h

;

3

2

12

2 2 6

z

z

hbI hb

Wb b

În cazul secţiunii circulare (Fig. 3.9 b) modulul de rezistenţă este: 4 364

2 32y z

D DW W W

D

Page 86: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

87

Fig. 3.8

Pentru profilele laminate (L, I, U) întâlnite frecvent în practică sunt

întocmite tabele care conţin momentele de inerţie, modulele de rezistenţă,

ariile precum şi alte elemente geometrice evaluate ţinându-se cont de

detaliile geometrice cum ar fi racordări, înclinări ale feţelor.

Fig. 3.9

3.7 Rază de inerţie. Elipsă de inerţie

Momentul de inerţie al unei secţiuni se poate reprezenta pornind de

la definiţie sub forma produsului dintre aria secţiunii şi pătratul unei mărimi

numite rază de inerţie sau de giraţie:

2 2

y yA

I z dA A i (3.34)

Page 87: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 88

în care iy constituie raza de inerţie în raport cu axa y având dimensiunea [L]

(în S.I. se măsoară în (m)).

Rezultă că razele de inerţie sau de giraţie pentru cele două axe la care se

raportează figura vor fi:

y

y

Ii

A z

z

Ii

A (3.35)

Pentru axele centrale principale de inerţie razele de inerţie principale sunt:

1

1

Ii

A 2

2

Ii

A (3.36)

Presupunând că pentru o figură plană este cunoscută poziţia axelor

principale centrale de inerţie Oy (axa 1) şi Oz (axa 2), momentul de inerţie

Iy1, faţă de o axă Oy1 care face unghiul cu axa principală Oy, se va scrie

pornind de la relaţia:

1

2 2

1 2cos sin

yI I I (3.37)

Un punct M pe axa Oy1 luat astfel încât

1y

kOM

I

unde k este o constantă arbitrară, va avea coordonatele:

1

cos

y

ky

I ;

1

sin

y

kz

I

Înlocuind cos şi sin din coordonatele de mai sus în relaţia (3.37) se

obţine:

2 2 2

1 2I y I z k (3.38)

Dacă pentru k se alege valoarea particulară 2 2 2

1 2k Ai i se obţine în (3.38)

ecuaţia unei elipse care reprezintă locul geometric al punctului M atunci

când axa Oy1 se roteşte în jurul originei O:

2 2

2 2

2 1

1y z

i i (3.39)

Relaţia (3.39) reprezintă ecuaţia elipsei principale centrale de inerţie a

figurii, cu semiaxele i1 şi i2 care sunt razele de giraţie principale(Fig. 3.10).

Page 88: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

89

Fig. 3.10

3.8 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă. Aplicaţii

În problemele de calcul al elementelor de construcţii apare adesea

necesitatea determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de formă mai

complicată în raport cu diferite axe situate în planul acestor secţiuni. Pentru

suprafaţa din Fig. 3.11 cotată parametric să se determine momentele de

inerţie centrale principale şi poziţia axelor centrale principale.

Paşii de lucru în calculul momentelor de inerţie pentru secţiuni complexe,

sunt următorii:

- se împarte suprafaţa secţiunii în părţi componente simple pentru care

momentele de inerţie se pot calcula uşor; pentru aceste elemente simple se

cunosc ariile şi poziţiile centrelor de greutate; discretizarea nu este unică.

În Fig. 3.12 suprafaţa se împarte în două dreptunghiuri cu centrele de

greutate în O1 (7aa) şi O2 şi (2aa). Semnul „” se referă la faptul că

suprafaţa simplă participă la rezistenţa suprafeţei compuse.

- în raport cu axele unui sistem de referinţă auxiliar ( y O z în Fig. 3.13) se

determină poziţia centrului de greutate C al suprafeţei compuse (C se află pe

linia determinată de centrele de greutate O1 şi O2 ). Sistemul de referinţă

auxiliar nu este unic; în Fig. 3.13 sistemul de referinţă auxiliar este ales

astfel încât coordonatele centrelor de greutate ale celor două dreptunghiuri

să fie pozitive. Relaţiile de calcul pentru centrul de greutate al suprafeţei

compuse sunt:

Page 89: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 90

2 2

1

2 2

1

2.5 7 22.17

7 2

n

i ii

nC

ii

y Aa a a a

y aa a

A

2 2

1

2 2

1

3.5 7 6.5 24.17

7 2

n

i ii

nC

ii

z Aa a a a

z aa a

A

În Fig. 3.13 este reprezentat centrul de greutate C al suprafeţei compuse şi

axele centrale y şi z.

- utilizând relaţiile de calcul (3.27) de la variaţie a momentelor de inerţie în

raport cu translaţia axelor (teorema STEINER) se pot calcula momentele de

inerţie axiale şi cel centrifugal în raport cu axele centrale.

0

32 2 2( ) ( ) 2

1

3

2 2 4

74.17 3.5 7

12

24.17 6.5 2 42.75

12

i i

y y C ii

a aI I z z A a a a

a aa a a a

0

32 2 2( ) ( ) 2

1

3

2 2 4

72.17 2.5 7

12

22.17 2 4.75

12

i i

z z C ii

a aI I y y A a a a

a aa a a a

0 0

2( ) ( ) 2

11

2 4

2.17 2.5 4.17 3.5 7

2.17 4.17 6.5 2 7

i i

yz y z C i Ci

I I y y z z A a a a a a

a a a a a a

- utilizând relaţia (3.31)se stabileşte poziţia axelor principale centrale: 4

4 41,2

2 2 7 72 0.368

42.75 4.75 19

yz

y z

I atg

I I a a

Rezultă pentru axa principală centrală (1) 0

110 iar pentru axa centrală

principală (2) 0 0

2 190 100 (a se vedea Fig. 3.14). Se observă că

momentul de inerţie este maxim pentru axa în raport cu care materialul

înregistrează cea mai mare împrăştiere.

Page 90: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

91

-utilizând relaţia (3.32) se determină momentele de inerţie extreme:

2

2 4 4

2,1

1 14 23.75 20.25

2 2y z y z yzI I I I I I a a

Rezultă 4

144I a iar 4

23.5I a

Fig. 3.11 Fig. 3.12

Fig. 3.13

Page 91: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 92

Fig. 3.14

Aplicaţia 2

Să se calcluleze momentele de inerţie faţă de axele centrale principale ale

secţiunii din Fig. 3.15 (secţiunea este cotată parametric).

Rezolvare:

Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate se împarte

secţiunea în trei dreptunghiuri de arii A1, A2, A3 şi centrele de greutate în

O1, O2 şi O3. Poziţia centrului de greutate al suprafeţei compuse în raport cu

axele sistemului auxiliar y’O’z’ se determină cu relaţia:

0C

y

2 2 2

2 2 2

8 6 8 11 207.47

8 8 20

i i

C

i

z A t t t t t tz t

A t t t

Pentru aflarea momentului de inerţie faţă de axa centrală Oy se aplică relaţia

lui STEINER:

0

32 2 2( ) ( ) 2

1

3 3

2 22 2 4

2 47.47 8

12

8 10 27.47 6 8 7.47 11 20 652

12 12

i i

y y C ii

t tI I z z A t t t

t t t tt t t t t t t

Page 92: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor

93

0

3 3 32 2

( ) ( ) 4

1

4 2 8 2 10178

12 12 12

i i

z z C ii

t t t t t tI I y y A t

0yz

I

Momentul de inerţie maxim este în raport cu axa centrală principală y (axa

1) iar momentul de inerţie minim este în raport cu axa z (axa 2).

Fig. 3.15

Aplicaţia 3

Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele centrale (sunt şi

principale) Iy şi Iz ale ansamblului profilelor din Fig. 3.16, lipite unele de

altele.

Rezolvare:

Pentru profilele U30 şi I24 se găsesc în tabelele cu profile

standardizate: poziţiile centrelor de greutate, ariile, momentele de inerţie

calculate în raport cu axele ce trec prin centrele lor de greutate.

Page 93: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor 94

Pentru cele două profile simetrice înălţimea în cm este chiar numărul

profilului (pentru U30 – înălţimea h este de 30cm, iar pentru I24 – înălţimea

h este de 24cm).

În Fig. 3.16 este precizată poziţia centrului de greutate faţă de latura

profilului (2.7cm).

Fig. 3.16

Datele referitoare la arie şi momente de inerţie, cu identificarea axelor este

bine să fie centralizate în tabele de forma:

Nr. profil Tip profil Aria [cm2]

0y

I [cm4] 0

zI [cm4]

1 U30 58.8 8030 495

2 I24 46.1 221 4250

3 U30 58.8 8030 495

0 0 0 0 0 0

2 2( ) ( ) 1 2 3 1 2

1

4

2

2 8030 221 16281

i i

y y C i y y y y yi

I I z z A I I I I I

cm

0 0 0

242 2( ) ( ) 1 1 2

1

2 4

22

2 495 2.7 12 58.8 4250 30650

Ii i

z z C i y zi

hI I y y A I e A I

cm

Page 94: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

4. INTINDERE SI COMPRESIUNE

4.1 Bare încărcate axial

Cel mai simplu caz pe care-l putem considera este al unei bare drepte

din metal, de secţiune constantă, încărcată la capete cu o pereche de forţe

egale şi de semn contrar, coliniare (suporturile lor coincid cu axa

longitudinală a barei) şi acţionează în centrele de greutate ale secţiunilor de

capăt. Bara solicitată astfel se află în echilibru static. Dacă forţele exterioare

F care solicită bara ies din planul secţiunilor de capăt, se spune că bara este

supusă (solicitată) la întindere; pentru cazul în care forţele intră în planul

secţiunilor de capăt bara se va considera solicitată la compresiune (Fig. 4.1).

Fig. 4.1

Fig. 4.2

Sub acţiunea perechii de forţe exterioare F aplicate, forţele interioare care

dau măsura stării de solicitare pot fi evidenţiate dacă se face o secţiune

imaginară a-a cu un plan perpendicular pe axa longitudinală a barei (Fig. 4.2

(a)). Dacă se izolează partea barei situată în stânga secţiunii imaginare a-a

(Fig. 4.2 (b)), atunci trebuie introdus efectul părţii îndepărtate (din dreapta

secţiunii), efect de aceeaşi natură cu al forţei exterioare F. Pentru echilibrul

fragmentului de bară izolat, suma forţelor din secţiunea a-a va egala forţa

exterioară F şi va reprezenta forţa axială N din secţiunea considerată.

Deci, o bară dreaptă este solicitată la întindere sau compresiune dacă

în secţiunile ei transversale se dezvoltă forţe axiale notate cu N (forţe cu

direcţia axei longitudinale a barei). Valoarea forţei axiale N în dreptul unei

secţiuni este dată de suma proiecţiilor pe axa longitudinală a barei a tuturor

forţelor situate la stânga sau la dreapta secţiunii considerate. Forţele axiale

sunt admise pozitive dacă produc întindere şi respectiv negative dacă produc

Page 95: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 96

compresiune. Pentru determinarea secţiunii periculoase la barele drepte de

secţiune constantă este necesară trasarea diagramei forţelor axiale.

Forţa axială are afect asupra întregii secţiuni transversale şi îşi

manifestă prezenţa prin forţe distribuite pe unitatea de suprafaţă; pentru

studiu se face ipoteza distribuirii uniforme a forţei axiale în planul secţiunii

transversale. Astfel, pentru generalitatea studiului solicitării axiale este

preferată analiza acestor mărimi distribuite pe unitatea de suprafaţă numite

tensiuni normale, studiului forţelor axiale. Aceste tensiuni normale au

direcţia forţei axiale (sunt perpendiculare pe secţiunea considerată ) şi au ca

unitate de măsură unitate pentru presiune (în S.I. se măsoară în N/m2 sau

Pa).

Forţa axială reprezintă deci rezultanta tuturor tensiunilor care se

dezvoltă într-o secţiune transversală. Pentru determinarea mărimilor

specifice prin care forţa axială se manifestă - adică a tensiunilor normale, se

poate imagina un experiment simplu prin care este solicitată axial o bară

dreaptă, de lungime L, confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop

care ascultă legea lui Hooke, cu aria secţiunii transversale A constantă de-a

lungul barei. Schema de încărcare a barei este dată în Fig. 4.3.

Inainte de deformare se marchează o secţiune transversală oarecare

a-a situată la distanţa x de un capăt al barei. Prin aplicarea unei forţe

exterioare F cu direcţia axei barei secţiunea transversală oarecare se

deplasează, dar rămâne plană şi perpendiculară pe axa longitudinală şi după

deformare, adică în acest caz este satisfăcută ipoteza lui Bernoulli.

Fig. 4.3 Fig. 4.4

Forţa axială între cele două puncte de discontinuitate 1 şi 2 de pe

bară este constantă şi egală cu forţa F aplicată.

Toate punctele secţiunii transversale se deplasează cu aceeaşi

cantitate x, iar lungirea specifică în dreptul fiecărui punct este:

.x

constx

Page 96: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

97

Lungirilor specifice constante le vor corespunde tensiuni normale

constante =const. uniform repartizate în planul secţiunii.

Calculul tensiunilor.

Pentru calculul de rezistenţă la solicitarea axială este necesară o

relaţie de legătură între forţa axială şi tensiunea normală uniform repartizată

în planul secţiunii prin care aceasta se manifestă. In acest scop se poate izola

porţiunea de bară de lungime x ca în Fig. 4.4 , iar din ecuaţia de echilibru

0x

F rezultă:

A A

N dA dA A ,

de unde se obţine expresia tensiunii normale pentru solicitarea de întindere

sau compresiune sau formula pentru calculul de rezistenţa la solicitarea

axială:

N

A (4.1)

Calculul deformaţiilor.

Expresia lungirii specifice se poate determina din legea lui

Hooke E :

N

E E A

(4.2)

Valoarea lungirii totale L se calculează cu relaţia:

N L

L LE A

(4.3)

Produsul EA (cu E modulul de elasticitate în direcţie longitudinală şi

A aria secţiunii transversale a barei) se numeşte modul de rigiditate la

solicitarea axială.

Pentru bare care au secţiune variabilă în trepte formula (4.3) devine:

i i

ii

N LL

E A

(4.4)

cu , ,i i i

N L A forţa axială constantă pe interval, lungimea intervalului

pe care forţa axială este constantă, respectiv aria secţiunii transversale

constantă pe interval.

Rigiditatea axială a unei bare (k) este forţa axială necesară pentru a

produce o alungire egală cu unitatea. 1L

k N

.

Luând L=1 şi N→k, din relaţia (4.3) pentru bara de secţiune

constantă, rezultă:

Page 97: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 98

EA

kL

. ;N daN

m cm

(4.5)

Alungirea produsă de o forţă axială egală cu unitatea se numeşte

flexibilitatea barei la forţe axiale. Flexibilitatea este inversa rigidităţii,

1

1N

Lf L

k EA ;

m cm

N daN

(4.6)

Oricărui organ de maşină sau element de structură trebuie să îi fie

asigurată rezistenţa (tensiunile să nu depăşească anumite valori) şi

rigiditatea (forma să fie stabilă, iar deformaţiile să nu depăşească anumite

valori). In general deci, este nevoie să se stabilească condiţii de rezistenţă şi

condiţii de rigiditate.

In aplicaţii se limitează valoarea tensiunii maxime la valoarea

rezistenţei admisibile a

: max

maxa

N

A

(4.7)

relaţia (4.7) reprezentând condiţia de rezistenţă la solicitarea axială.

Sunt situaţii în care sunt limitate fie deformaţia specifică de

valoarea deformaţiei specifice admisibile, fie alungirea sau scurtarea L de

o valoare admisibilă a

L :

max a , respectiv

max aL L (4.8)

relaţia (4.8) reprezentând condiţia de rigiditate la solicitarea axială.

4.2 Probleme de verificare, dimensionare şi forţa capabilă la solicitarea

axială

a. Verificarea barelor. Cunoscând forţa axială efectivă N pe care

bara o suportă şi secţiunea efectivă a barei prin aria ei Aef, tensiunile care

se produc sunt obţinute direct din relaţia (4.1), iar deformaţiile cu relaţiile

(4.2) şi (4.3). Pentru a asigura funcţionarea corespunzătoare a barei este

necesar ca:

tensiunea astfel calculată să fie mai mică sau cel mult egală cu

rezistenţa admisibilă corespunzătoare a (condiţia de rezistenţă):

max

ef a

ef

N

A ;

Page 98: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

99

deformaţia specifică sau alungirea calculată să fie mai mică decât

valoarea deformaţiei specifice admisibile a , sau alungirea să fie mai mică

decât cea admisibilă a

L (condiţia de rigiditate):

max

ef a

ef

N

EA max

ef a

ef

N LL L

EA .

b. Dimensionarea barelor. Secţiunea necesară a barei (Anec) rezultă

din aceleaşi relaţii (4.1), (4.2) şi (4.3) prin explicitarea ariei. Astfel,

din condiţia de rezistenţă:

max

nec

a

NA

;

din condiţia de rigiditate:

max

nec

a

NA

E sau max

nec

a

N LA

E L

.

Formula de dimensionare indică doar mărimea ariei, nu şi forma ei;

forma secţiunii transversale rămâne la alegerea proiectantului.

c. Determinarea forţei capabile (Ncap). Forţa capabilă se determină

explicitând forţa axială în relaţiile (4.1), (4.2) şi (4.3), cunoscând valoarea

ariei efective (Aef) şi valoarea rezistenţei admisibile a, a ,

aL :

din condiţia de rezistenţă:

cap ef a

N A

din condiţia de rigiditate:

cap ef aN E A sau a

cap ef

LN E A

L

In relaţiile de calcul N reprezintă efortul axial calculat pe baza

încărcărilor.

Există cazuri când secţiunea barei este slăbită de găuri sau crestături

funcţionale sau constructive. Neglijând concentrările de tensiuni care apar

datorită acestor micşorări locale de rezistenţă, se va lucra cu secţiunea

efectivă. Secţiunea întreagă nemicşorată se numeşte brută (bruta

A ), iar

secţiunea slăbită se numeşte netă (neta

A ), diferenţa dintre ele fiind aria găurii

sau crestăturii ( A ).

Dacă solicitarea este la întindere, atunci în calcul se va introduce aria

netăneta

A .

Dacă solicitarea axială este de compresiune, se disting două situaţii:

Page 99: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 100

- golurile sunt efective (neumplute); în calcul se consideră neta

A .

- Găurile sunt umplute de tijele niturilor, şuruburilor, şi se poate

considera că solicitarea se transmite şi prin materialul de

umplere; astfel, în calcule se va considera aria brutăbruta

A , pentru

secţiunea nemicşorată.

4.3 Contracţia transversală

Dacă vom solicita la întindere cu forţa F bara de secţiune dreptunghiulară

de lungime iniţială L din Fig. 4.5, aceasta se va alungi cu cantitatea L;

deformaţia specifică în direcţie longitudinală este:

L

L

Experienţa practică arată că o dată cu alungirea barei se produce o micşorare

a dimensiunilor transversale (de exemplu b şi h din Fig. 4.5).

Reducerea specifică a dimensiunilor laterale ale barei poate fi exprimată

prin intermediul deformaţiei specifice laterale (sau transversale), de semn

contrar deformaţiei specifice longitudinale:

lat transv

b h

b h

(4.10)

Raportul dintre deformaţia specifică laterală (sau transversală) şi deformaţia

specifică longitudinală se numeşte coeficientul lui Poisson şi se notează în

general cu litera grecească :

Coeficientul lui Poisson transv

h b

h b

L L

L L

(4.11)

In practică semnul „-” este ignorat interesând doar raportul dintre deformaţia

specifică transversală şi cea longitudinală. Definirea coeficientului lui

Poisson după relaţia (4.11) este utilă şi în determinarea pe cale

experimentală a acestuia.

Pentru majoritatea materialelor utilizate în inginerie coeficientul lui Poisson

se situează în intervalul 0.250.33.

Deoarece deformaţia specifică longitudinală se poate scrie utilizând legea

lui Hooke sub forma:

E

,

Page 100: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

101

deformaţia specifică transversală transv se poate scrie în forma:

transv E

.

Fig. 4.5

Problemele de întindere sau de compresiune care se pot rezolva

numai cu ajutorul metodelor de calcul ale Staticii se numesc probleme static

determinate.

4.4 Sisteme static determinate solicitate axial

Eforturi axiale şi diagrame de eforturi axiale

Dacă bara are secţiune constantă, pentru a cunoaşte secţiunea

periculoasă în care forţa axială este maximă, este necesar să se construiască

diagrama eforturilor axiale.

Dacă sistemul este static determinat, iar încărcarea barei este dată doar de

forţe concentrate, diagrama de forţe axiale se trasează imediat pornind de la

definiţia forţei axiale.

Page 101: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 102

Un exemplu de lucru este prezentat în Fig. 4.5, unde construcţia

diagramei începe din capătul liber (la trasarea diagramei nu s-a ţinut cont

de greutatea proprie a barei).

Fig. 4.5

In cazul barelor lungi sau cu secţiuni transversale mari trebuie luat în

consideraţie efectul greutăţii proprii. Dacă se notează cu A aria secţiunii

transversale şi cu greutatea specifică a barei ( g ), încărcarea

distribuită are intensitatea: q x A .

Fig. 4.6

Page 102: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

103

Expresia forţei axiale într-o secţiune oarecare x (pornind din capătul

încastrat al barei) şi valorile în punctele de discontinuitate sunt date în

tabelul următor:

Expresia forţei axiale într-o

secţiune „x”

Valori în capetele barei

N x A l q x A l A x

0N A l

0N l

Expresia deplasării u într-o

secţiune „x”

Valorile deplasării în capetele barei

Deformaţia specifică a unui

fragment de lungime dx al barei

este:

x

N x A l xdu

dx E A E A

de

unde

2

0

1

2

xl x

u x l x dx xE E E

Variaţia deplasării axiale este

parabolică (Fig. 4.6)

0 0u

2

max

1 1

2 2

A l G lu l u l

E A E A

O bară rigidă ABC este articulată în B şi are ataşat în A un sistem compus

din două bare de oţel de secţiuni diferite ca în Fig. 4.7. Dacă forţa aplicată

în C este F=40kN, să se determine deplasarea pe verticală a punctului C.

Rezolvare:

Izolând bara rigidă ABC de sistemul elastic compus din barele AD şi

DF se poate evidenţia forţa din punctul A , FA (Fig. 4.8).

Ecuaţia de momente faţă de articulaţia B a forţelor de pe bara rigidă ABC

conduce la determinarea forţei din A, FA.

0B

M adică 2 0A

F l F l de unde 202A

FF kN

Sistemul elastic static determinat cu barele AD şi DF legate în serie este

solicitat de forţa FA. Deplasarea punctului A este legată de alungirea celor

două bare, deci: 3

11 6 6

20 10 4 50.0183 18.3

2.1 10 40 10 60 10

A AD A DF

A

AD DF

F l F lm mm

E A E A

Page 103: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 104

Deplasarea punctului C se află cu deplasarea punctului A în raportul dat de

bara rigidă, adică 9.172

A

Cmm

.

Fig. 4.7

Fig. 4.8

Page 104: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

105

Dacă sistemul este static nedeterminat, atunci reacţiunea static

nedeterminată trebuie mai întâi determinată, după care se poate trasa

diagrama eforturilor axiale.

4.5 Sisteme static nedeterminate solicitate axial

In cazul sistemelor static nedeterminate ecuaţiile de echilibru care se

pot scrie sunt insuficiente pentru finalizarea problemei, scrierea lor

reprezentând o primă etapă de lucru. Pentru soluţionarea problemei de

solicitare axială, la ecuaţiile de echilibru se adaugă relaţii care ţin cont de

modul în care se deformează sistemul; aceste relaţii se mai numesc de

compatibilitate geometrică. Stabilirea ecuaţiilor de compatibilitate

geometrică sau a condiţiei de deformaţie a sistemului reprezintă o a doua

etapă de lucru.

Metoda de calcul a sistemelor static nedeterminate în care necunoscutele

sunt eforturi sau reacţiuni, ce se determină din condiţii de compatibilitate a

deplasărilor, se numeşte metoda eforturilor.

O altă metodă de calcul a sistemelor static nedeterminate este metoda

deplasărilor. In această metodă ca necunoscute se consideră deplasările,

care apar din condiţii de echilibru. Atât pentru metoda forţelor cât şi pentru

metoda deplasărilor există metodologii generale de calcul.

In cele ce urmează se vor rezolva prin metoda eforturilor câteva sisteme

simple static nedeterminate solicitate axial.

Exemplul 1

Structura din Fig. 4.9 este formată dintr-o bară rigidă ABDF articulată în

punctul A şi suspendată prin intermediul a două bare din oţel BC şi aluminiu

DE. Bara din otel şi cea din aluminiu sunt fixate în punctele C şi E. O forţă

exterioară P=1000 N este aplicată în punctul F. Pentru această structură se

cer reacţiunile din legături, tensiunile normale în barele de oţel şi aluminiu

şi care este deplasarea punctului F sub acţiune forţei exterioare P.

Se mai dau modulele de elasticitate ale celor două materiale

EOl= 2.1x 1011 N/m2 , EAl= 0.7x 1011 N/m2.

Page 105: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 106

Fig. 4.9

Pentru bara ABDF nu se iau în consideraţie deformaţiile din

încovoiere şi nici efectul greutăţii proprii( forţa P este considerată mult mai

mare decât greutatea barei).

Pentru a înţelege ce înseamnă un sistem static nedeterminat se

analizează această structură după procedura standard de echilibru static.

Etapa I – Analiza echilibrului static

1:Se construieşte diagrama corpului (barei ABDF) eliberat de legături. În Fig.4.10 sunt reprezentate reacţiunile din legăturile barei ABDF – în

articulaţia a şi în punctele de prindere ale barelor din oţel şi aluminiu.

Fig.4.10

2: Descompunerea reacţiunilor în componente după axele x şi z. (Toate

forţele sunt fie pe direcţie x (orizontală) fie pe direcţie z (verticală):

3: Aplicarea condiţiilor de echilibru

Page 106: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

107

0H

F : HA = 0

0V

F : -VA + FOl + FAl - P = 0

0A

M : + FOl (L) + FAl (2L) - P (3L) = 0

La acest punct într-o problemă static determinată se pot calcula reacţiunile

în legături. Totuşi în acest caz, se observă că avem trei necunoscute şi doar

două ecuaţii independente; deci, problema nu poate fi rezolvată. Condiţiile

de echilibru static singure nu sunt suficiente pentru a rezolva problema,

adică sistemul dat este static nedeterminat. O cale de a depăşi această

dificultate este de a găsi o altă ecuaţie independentă. Această ecuaţie

independentă suplimentară este una care ţine cont de modul în care se

deformează sistemul.

Etapa a IIa. – Ecuaţia de compatibilitate geometrică (ecuaţia de

deformaţie)

Pasul 1 constă în a găsi o relaţie generală (geometrică) între deformaţiile

barelor structurii. Efectul încărcării cu forţa P va fi de alungire a barelor din

oţel şi aluminiu datorită rotirii barei ABDF în jurul punctului A. Efectul

deplasării barei ABDF poate fi urmărit în diagrama deformaţiilor din Fig.

4.11. Se poate scrie o relaţie generală între deformaţiile barelor din oţel şi

aluminiu (asemănarea triunghiurilor care se formează).

Fig. 4.11

Deformaţia barei din oţel / L = Deformaţia barei din aluminiu / 2L

care poate fi rescrisă ca :

Page 107: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 108

2 Deformaţia barei din oţel = Deformaţia barei din aluminiu sau

simbolic

2Ol Al

Această ecuaţie suplimentară se utilizează în combinaţie cu ecuaţiile de

echilibru static pentru a determina forţele exterioare din legături. Ecuaţia de

deformaţie se scrie funcţie de forţele din legături, adică:

Deformaţia = [ Forţa lungimea barei ] / [ Modulul lui Young Aria

secţiunii transversale], sau Deformaţia = FL/EA. Substituind această

relaţie în ecuaţiile de echilibru avem:

2 [FL/EA]Ol = [FL/EA]Al Din relaţia de mai sus se obţine: FOl = 0.75 FAl . Substituind această relaţie

în ultima ecuaţie de echilibru de mai jos:

0H

F : HA = 0

0V

F : -VA + FOl + FAl - P = 0

0A

M : + FOl (L) + FAl (2L) - P (3L)= 0

Se obţine:

FAl = 1090 N and FOl = 817.5 N, VA = 907.5 N.

Cu aceste forţe se obţin tensiunile normale din bare:

Tensiunea normală din bara de oţel=16.35 MPa . Tensiunea normală din

bara de aluminiu=10.9 MPa.

Apoi se poate determina deplasarea punctului F în funcţie de

deformaţiile barelor de oţel sau aluminiu. Deplasarea punctului F este

proporţională cu deformaţia barei de aluminiu. Se poate scrie:

Deformaţia barei de aluminiu/2L = Deplasarea punctului F/3L

Deplasarea punctului F este 3/2 din deformaţia barei din aluminiu, adică

pentru o deformaţie în bara de aluminiu de 1.55710-4 m, se obţine o

deplasare a punctului F de 2.3410-4 m.

Fig. 4.12

Exemplul 2

Bara dreaptă articulată (sau încastrată) la capete.

Page 108: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

109

Se consideră bara din Fig. 4.13 , cu modul de rigiditate EA, articulată la

capete şi solicitată de o forţă F, aplicată în punctul (3).

Soluţie:

Reacţiunile 1

X şi 2

X din cele două articulaţii nu se pot determina numai cu

ajutorul ecuaţiei de echilibru (Etapa I):

1 2X X F

Deci problema este static o dată static nedeterminată.

Fig. 4.13

In căutarea unei relaţii de compatibiliatate a deformaţiilor (Etapa II), se

constată că pe porţiunea 1-3 bara este solicitată la întindere de o forţă axială

egală cu 1

X , iar pe porţiunea 3-2 la compresiune de o forţă egală cu 2

X .

Punctul de aplicaţie a forţei F se deplasează axial, iar cantitatea cu care

tronsonul 1-3 se alungeşte este egală cu cantitatea cu care tronsonul 3-2 se

scurtează. Articulaţiile fiind considerate fixe, alungirea totală a barei este

nulă:

1 3 3 2 1 2 0X a X b

l l lEA EA

Din această condiţie de deformaţie se obţine 1 2

X a X b cu care,

intervenind în ecuaţia de echilibru, se pot determina reacţiunile:

Page 109: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 110

1

bX F

l şi

2

aX F

l .

Diagrama forţelor axiale se poate trasa cu uşurinţă , după ridicarea

nedeterminării (calculul reacţiunilor); diagrama este reprezentată în Fig.

4.13.

Exemplul 3

Sistem de bare paralele. Se consideră o bară dreaptă rigidă în poziţie

orizontală, încărcată cu o forţă concentrată verticală F (Fig. 4.14). Bara este

susţinută de trei tije verticale (sau cabluri), având lungimile 1 2 3, ,l l l , iar

modulele de rigiditate 1 1 2 2 3 3

, ,E A E A E A .

Fig. 4.14

Pentru determinarea eforturilor 1 2 3, ,N N N din barele verticale se pot scrie

numai două ecuaţii de echilibru (Etapa I):

1 2 30: 0

VF N N N F

3 1 2

0: 0M N a b N b F c .

Problema este o dată static nedeterminată. Relaţia suplimentară care

ţine cont de modul de deformare al barelor paralele (bara orizontală este

rigidă) se obţine observând că bara orizonatlă rigidă se deplasează pe

verticală şi se roteşte, dar rămâne rectilinie.

Din triunghiurile asemenea, construite pe schema deformată

(reprezentată cu linie întreruptă în Fig. 4.14), se obţin relaţiile de

proporţionalitate (Etapa II):

Page 110: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

111

2 1

3 2

l l a

l l b

Dacă se exprimă alungirile funcţie de eforturile din bare, rezultă ecuaţia:

3 32 2 1 1

2 2 1 1 3 3

N lN l N la b a

b E A E A b E A

Introducând valoarea efortului

3 32 2 1 1

2

2 3 3 1 1

N lE A N lN a b

a b l E A E A

în ecuaţia de echilibru de momente rezultă valoarea efortului N1, şi apoi

înlocuind valorile lui N1 şi N2 în ecuaţia de echilibru de proiecţie pe

verticală, se poate calcula efortul N3.

Exemplul 4

Sistem de bare articulate concurente. Se consideră un sistem format din “n”

bare, ca în Fig. 4.15, solicitat de o forţă verticală F, aplicată în nodul comun

M. Lungimea unei bare oarecare este li, modulul de rigiditate la solicitarea

axială este i i

E A , iar unghiul faţă de orizontală este i.

Fig. 4.15

Ecuaţiile de echilibru (Etapa I) care se pot scrie prin izolarea nodului

M sunt :

1

cos 0;n

i iN

1

sin 0n

i iN F

Page 111: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 112

Sistemul este de “n-2” ori static nedeterminat.

Pentru ridicarea nedeterminării se fac observaţii asupra stării deformate a

sistemului. Nodul comun M ajunge sub acţiunea forţei F în punctul M , iar

vectorul deplasării MM este comun tuturor barelor şi are proiecţiile pe

orizontală şi pe verticală u, respectiv v.

In Fig. 4.15 se poate observa modul de deformare a barei “1i” a sistemului.

Astfel, între alungirea barei “1” şi deplasarea pe orizontală şi pe verticală a

punctului M există relaţia:

1 1 1cos sinl u v

Pentru bara “i” se poate scrie o relaţie similară:

cos sini i il u v

Efortul în bara „i” în funcţie de alungirea barei este:

cos sini i i i

i i i i

i i

E A E AN l u v

l l .

Introducând expresia lui Ni în ecuaţiile de echilibru se obţin deplasările u şi

v şi efortul din bara „i”:

1

2

2 2

1 1 1

sin cos

sin cos cos sin

ni i

i i

i

n n ni i i i i i

i i i i

i i i

E A

lu F

E A E A E A

l l l

2

1

2

2 2

1 1 1

cos

sin cos cos sin

ni i

i

i

n n ni i i i i i

i i i i

i i i

E A

lv F

E A E A E A

l l l

2 2

1 1

2

2 2

1 1 1

sin cos sin cos

sin cos cos sin

n ni i i i

i i i i

i i i i

in n n

ii i i i i i

i i i i

i i i

E A E A

l l E AN F

lE A E A E A

l l l

.

Pentru starea de solicitare simetrică, 0u , iar deplasarea pe verticală v şi

efortul în bara „i” sunt:

Page 112: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

113

2

1

sinn

i i

i

i

Fv

E A

l

2

1

sin

i i

nii i i

i

i

E AFN

E A l

l

.

Exemplul 5

Bară dreaptă cu secţiune neomogenă. Se consideră o bară dreaptă cu

secţiune neomogenă, formată din mai multe elemente componente (de

exemplu un cablu de cupru sau aluminiu cu inima din oţel, sau stâlp de

beton armat). Se consideră că elementele componente din materiale diferite

au o dispunere simetrică în jurul centrului de greutate al secţiunii

transversale. Calculul de rezistenţă al barei cu secţiune neomogenă solicitată

la întindere sau compresiune necesită stabilirea modului de repartizare al

forţei axiale pe elementele componente (ce cotă parte din sarcina axială

revine fiecărei componente).

Fig. 4.16

In Fig. 4.16 este reprezentată schematic o astfel de bară, formată din trei

elemente cu modulele de rigiditate axială i i

E A ( 1,3i ), solicitate de o forţă

F.

Aplicând metoda secţiunilor din Statică, se pot pune în evidenţă eforturile în

cele trei bare ale sistemului 1 2 3, ,N N N . Forţele interioare

1 2 3, ,N N N şi forţa

exterioară F sunt coliniare şi deci pentru sistem se poate scrie o singură

ecuaţie de echilibru (Etapa I):

Page 113: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 114

1 2 30: 0

HF N N N F

Cu trei necunoscute 1 2 3, ,N N N . Problema este deci de două ori static

nedeterminată, iar pentru rezolvare trebuie precizată condiţia de deformaţie.

Se observă că barele au aceeaşi lungime iniţială şi sunt obligate să se

deformeze împreună, ceea ce înseamnă că şi alungirile lor vor fie egale. Se

obţin două ecuaţii care ilustrează egalitatea deformaţiilor specifice ale celor

trei bare(Etapa II):

_1 _ 2 _3BARA BARA BARA

sau

31 2

1 1 2 2 3 3

NN N

E A E A E A

Utilizând ecuaţia de echilibru în relaţiile de deformaţie, se obţine:

3 1 2 31 2

1 1 2 2 3 3 i i i ii i

N N N NN N F

E A E A E A E A E A

De unde rezultă cu uşurinţă eforturile 1 2 3, ,N N N :

1 1

1

i ii

F E AN

E A

; 2 2

2

i ii

F E AN

E A

; 3 3

3

i ii

F E AN

E A

.

Rezultatul obţinut poate fi generalizat pentru un sistem neomogen cu „n”

elemente:

1

k k

nk

i i

F E AN

E A

.

Tensiunile normale în cele trei bare ale sistemului din Fig. 4.16 sunt date de

relaţiile:

1

_1

1

BARA

N

A ; 2

_ 2

2

BARA

N

A ; 3

_ 3

3

BARA

N

A ,

iar alungirea pachetului este:

1

1 2 3

1 1

N ll l l l

E A

.

Cu tensiunile din barele componente se pot efectua calcule de

verificare pentru fiecare bară în parte (ţinând cont de tensiunea admisibilă a

fiecărei bare).

Page 114: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

115

Relaţiile determinate pentru sistemul neomogen la întindere sunt valabile şi

pentru solicitarea lui la compresiune.

Exemplul 6

Structuri neomogene de bare supuse variaţiilor de temperatură.

Când o bară din metal este supusă unei variaţii de temperatură „t” ,

lungimea ei se va modifica cu cantitatea

L L t

unde este coeficientul de de dilatare termică liniară a materialului, L este

lungimea originală, iar t este variaţia de temperatură la care este supusă

bara.( O creştere a temperaturii produce o creştere a lungimii, iar o scădere a

temperaturii conduce la o scurtare a barei exceptând cazurile foarte speciale

de materiale cu coeficienţi de dilatare nuli sau negativi care nu sunt

considerate în lucrarea de faţă).

Dacă totuşi dilatarea liberă a materialului este împiedicată de forţe

exterioare, atunci în materialul barei ia naştere o tensiune. Această tensiune

este egală cu cea care ar fi produsă în bară permiţând dilatarea liberă urmată

de aplicarea unei forţe suficient de mari pentru aducerea barei la lungimea

iniţială.

Modificarea lungimii L L t

Deformaţia specifică L L t

tL L

Tensiunea creată în material prin aplicarea forţei de mărime suficientă

pentru a anula deformaţia specifică , este E E t

Să considerăm acum cazul unei bare compusă din materiale diferite

asamblate rigid şi obligate să se deformeze împreună (Fig. 4.17). Pentru a

simplifica descrierea, materialele din care este compusă bara sunt în acest

caz oţel şi bronz.

In general, coeficienţii de dilatare termică ai celor două materiale vor fi

diferiţi, deci dacă temperature creşte cele două elemente ale barei compozite

se vor dilata liber diferit( Fig. 4.17 b).

Deci, diferenţa dintre capetele elementelor componente “libere” este:

Diferenţa dintre capetele “libere”B O

L t L t

Deoarece coeficientul de dilatare termică al bronzului este mai mare decât

cel al oţelului; lungimea iniţială L a celor două componente se presupune

aceeaşi. Dacă cele două elemente sunt asamblate (obligate să se deformeze

împreună) şi sunt supuse aceleiaşi creşteri de temperatură, fiecare material

va tinde să se dilate dar va fi afectat de tendinţa de dilatare diferită a

celeilalte bare.

Page 115: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 116

Fig. 4.17

Coeficientul de dilatare termică mai mare al bronzului va conduce la o

tendinţă de alungire a componentei din oţel şi de comprimare a

componentei din bronz - cea cu tendinţa de dilatare liberă mai mare.

Regula 1 Alungirea componentei din oţel + comprimarea componentei

din bronz = diferenţa dintre capetele “libere”

Alungirea componentei “scurte” + compresiunea componentei “lungi” =

diferenţa dintre capetele “libere”.

Din definiţia modulului lui Young :

tensiuneE

deformatie specifica L

de unde

L

E

Cu sufixele „o” pentru oţel şi „B” pentru bronz regula 1 devine:

O B

B O

O B

L LL t

E E

Aplicând legea acţiunii şi reacţiunii urmează să fie aplicată şi cea de-a doua

regulă.

Regula 2 Forţa de întindere aplicată componentei “scurte” de către

componenta “lungă” este egală cu forţa de compresiune aplicată

componentei “lungi” de către componenta scurtă.

Făcând referire la poziţia corespunzătoare dilatării libere a elementelor,

regula a doua se poate scrie ca:

Forţa=tensiunearie=A, adică O O B B

A A

Page 116: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

117

cu ,O B

A A ariile componentelor din oţel şi respectiv de bronz.

Exemplul 7

Să considerăm cazul îmbinării unui tub cu un şurub ca în Fig. 4.18.

Sistemul care este obţinut după asamblare va aduce surubul în stare de

întindere iar tubul în stare de compresiune (Fig. 4.18 c).

Regula 2 de la problema precedentă aplicată conduce la:

Forţa de compresiune în tub = forţa de întindere din şurub

Regula 1 de la problema precedentă aplicată conduce la:

Scurtarea tubului +alungirea şurubului = diferenţa dintre capetele

“libere” = avansul axial al piuliţei

Avansul axial al piuliţei = numărul de rotaţii pasul şurubului

Fig. 4.18

Cu indicii „t” pentru tub şi „s” pentru şurub cele două regului devin:

Regula 1: t s

t s

L Ln pasul

E E

Regula 2:

t t s sA A

Dacă ansamblul tub-şurub este supus unei variaţii de temperatură, sistemul

poate fi tratat ca în cazul problemei precedente, cele două reguli devenind:

Regula 1: t s

s t

t s

L LL t

E E

Regula 2:

t t s sA A

Page 117: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune 118

Exemplul 8

Bare neomogene supuse sarcinilor exterioare şi variaţiilor de temperaţură.

In acest caz, trebuie aplicat principiul suprapunerii efectelor,

presupunând că tensiunile rămân sub limita elastică ca efect al aplicării

sarcinilor exterioare şi variaţiilor de temperatură, adică efectul rezultant

este:

Deformaţia specifică totală= suma deformaţiilor datorate sarcinilor

exterioare şi din variaţia de temperatură.

Exemplul 9

Un tub de oţel (1) şi un cilindru de cupru (2), cu raportul diametrelor de 0.8

sunt solicitate de forţa F=30 kN ca în Fig. 4.19. Se cere să se determine

diametrul d , dacă rezistenţele admisibile ale celor două materiale sunt 2

11400 /

adaN cm 2

2500 /

adaN cm şi

1 2/ 2E E .

Rezolvare:

Etapa I (epuizarea ecuaţiilor de echilibru) Singura ecuaţie de echilibru care

se poate scrie este cea între forţele axiale din cele două materiale:

1 2N N F (sistemul este o dată static nedeterminat)

1 2,N N sunt reacţiunile din legături de aceeaşi natură cu forţa exterioară

aplicată F.

Etapa II (ecuaţia de compatibilitate a deformaţiilor) A doua relaţie se

obţine observând că scurtarea oţelului este egală cu lungirea cuprului:

1 2l l .

1 1 2 2

2 2

1 20.36

4 4

N l N l

d dE E

cu 2 1

2.083N N

Rezolvând sistemul format din ecuaţiile scrise pentru cele două etape se

obţin următoarele valori numerice:

1973N daN

22027N daN .

Condiţiile de rezistenţă pentru oţel şi cupru:

1

1 1

1

a

N

A şi 2

2 2

2

a

N

A Rezultă:

2 9730.36

4 1400

d adică 1.57d cm

Soluţia comună este:

2.27d cm 2 2027

4 500

d adică 2.27d cm

Page 118: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Intindere şi compresiune

119

Fig. 4.19

4.6 Incercarea materialelor la întindere şi compresiune

Modul de comportare a materialelor sub acţiunea forţelor aplicate

poate fi caracterizat cu ajutorul unor constante fizice numite caracteristici

mecanice.

Incercările mecanice ale materialelor se fac pentru determinarea

caracteristicilor mecanice şi elastice ale acestora.

Incercarea mecanică de bază, prin care se determină cele mai

importante caracteristici mecanice ale materialelor este încercarea de

întindere. Cu ajutorul acesteia se stabileşte pe cale experimentală relaţia

fizică existentă între eforturi şi deformaţii la solicitarea de tracţiune.

Caracteristicile mecanice puse în evidenţă prin încercarea la întindere sunt

următoarele: limita de curgere (aparentă), superioară, inferioară,

convenţională, remanentă, rezistenţa la rupere, alungirea de rupere, gâtuirea

de rupere.

Cunoaşterea valorilor acestor caracteristici este necesară pentru:

- alegerea unui material corespunzător necesar realizării unei anumite

piese, ţinând seama de condiţiile de lucru şi de modul de solicitare al

acesteia;

- folosirea lor în calcule de rezistenţă în care valorile acestora sunt

introduse fie direct în relaţiile de calcul, fie sunt comparate cu

valorile rezultate din calcul.

Page 119: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune

120

Incercarea la întindere se execută pe epruvete (specimene) cu forme şi

dimensiuni standardizate este reglementată de standardul românesc SR EN

10002-1, emis de IRS în 1994 (adaptat după Standardul European EN

10002-1 din 1990). Toate epruvetele (cilindrice sau prismatice Fig. 4.20)

pentru încercarea la tracţiune au o zonă centrală precis prelucrată, de

secţiune constantă şi două porţiuni marginale de prindere. In zona centrală a

epruvetei se fixează două repere situate la distanţa l0. Această distanţă se

alege de 5-15 ori mai mare decât cea mai mare dimensiune transversală. In

această zonă centrală a epruvetei (în care se verifică ipoteza lui Bernoulli)

toate fibrele cu lungimea l0 cuprinse între două secţiuni transversale au

aceeaşi alungire, adică solicitarea pachetului de fibre din zona centrală poate

fi considerată monoaxială.

Spre deosebire de această zonă centrală, în zonele din apropierea

capetelor de prindere, distribuţia tensiunilor într-o secţiune transversală este

neomogenă şi neuniformă. Pe baza principiului lui Saint Venant, pe măsură

ce ne îndepărtăm de zonele de prindere, punctele din secţiunile transversale

ale epruvetei capătă deplasări uniforme (aceasta este şi zona de interes,

rezultatele încercării fiind legate doar de zona centrală a epruvetei ).

Dimensiunile efective ale epruvetelor depind de forţa pe care o poate

dezvolta maşina de încercat, de dimensiunile semifabricatului disponibil din

care se confecţionează epruveta.

Incercarea la întindere este o încercare statică, adică o încercare la

care viteza de solicitare a epruvetei este mai mică de 10daN/cm2 s ; peste

această viteză încercarea se consideră dinamică. De asemenea, în Standard

se precizează că încercarea este de scurtă durată dacă durează sub 100 ore

(cum este cazul încercării la întindere) şi de lungă durată dacă durează peste

această limită.

Incercarea la tracţiune şi la compresiune se execută pe maşini

speciale care realizează solicitarea axială a epruvetei. Chiar dacă forţele de

solicitare pe care le pot dezvolta maşinile de încercare sunt de la câţiva daN

la mii de kN, aceste maşini au scheme de principiu foarte asemănătoare.

Maşina de încercare la tracţiune aplică epruvetei fixate între plăci o

forţă axială care creşte prin deplasarea fălcii mobile de prindere. La fiecare

moment, în timpul încercării se poate citi alungirea produsă l,

corespunzătoare forţei axiale aplicate epruvetei N=F. De la perechile de

valori l, N, se poate trece la perechile de mărimi specifice

corespunzătoare tensiunea normală şi deformaţia specifică :

0

N

A şi

0

l

l

, unde A0 este aria secţiunii transversale a epruvetei

nedeformate.

Page 120: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune 121

Fig. 4.20

Reprezentarea grafică a perechilor de valori (,) se numeşte curba

caracteristică (Fig. 4.21) a materialului (un oţel hipoeutectoid – cu

conţinut redus de carbon (0.17...0.22%, de exemplu un oţel cu mare utilizare

practică OL37) f pe care maşinile de încercat o pot înregistra în

timpul solicitării epruvetei. Dacă tensiunea normală se obţine prin

împărţirea forţei axiale la aria iniţială A0 a epruvetei, atunci curba

caracteristică se numeşte convenţională OR (Fig. 4.21- linia continuă), iar

dacă aria utilizată este cea micşorată (datorită contracţiei transversale),

atunci curba caracteristică ORse numeşte reală (Fig. 4.21 linia întreruptă).

Pe curba caracteristică convenţională se disting mai multe zone

limitate de :

-punctul P – limita de proporţionalitate căreia îi corespunde o

tensiune limită de proporţionalitate p (în zona OP alungirile specifice sunt

proporţionale cu tensiunile, materialul satisfăcând legea lui Hooke

E , unde E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului

egal cu panta curbei caracteristice la origine E tg ). Modulul de

elasticitate longitudinal E sau modulul lui Young are aceeaşi dimensiune cu

tensiunea, adică 2

E unitate de Forta unitate de Lungime

. In

sistemul internaţional, E se măsoară în [Pa].

Oţelul până la limita de proporţionalitate este un material liniar-elastic.

Page 121: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune

122

-punctul E – ordonata punctului E se numeşte limită de elasticitate

e , ceea ce înseamnă că pe intervalul OE deformaţiile epruvetei sunt

elastice, adică dispar la descărcarea completă a epruvetei. Cum în practică

nu există material perfect elastic, epruveta va prezenta deformaţii remanente

mici, iar poziţia punctului E pe curba caracteristică este precizată prin aşa-

numita limită de elasticitate tehnică (punctul de pe curba caracteristică

căruia îi corespunde la descărcarea completă a epruvetei o deformaţie

specifică remanentă de 0.01%, valoare care va da şi indicele limitei de

elasticitate tehnică).

- punctul C – care marchează momentul în care epruveta continuă

să se deformeze fără ca tensiunea (ordonata punctului C de pe curba

caracteristică) să crească; punctul C se numeşte limită de curgere şi-i

corespunde tensiunea de curgere c

. Zona care urmează punctului C,

orizontală sau sinuoasă se numeşte palier de curgere, iar C poate fi

considerat limită de curgere aparentă uşor de identificat pe diagrama

caracteristică. La materialele la care palierul de curgere lipseşte (oţeluri

hipereutectoide, oţeluri aliate) se defineşte o limită de curgere tehnică, ca

fiind punctul de pe curba caracteristică căruia îi corespunde la descărcarea

completă a epruvetei o deformaţie specifică de 0.2%, de unde şi notarea

limitei de curgere corespunzătoare 0.2

(notată 0.2p

R în standardul SR 10002-

1 ).

-punctul M – limitează zona de întărire (traseul ascendent de după

atingerea limitei de curgere); ordonatei maxime M îi corespunde, prin

convenţie, tensiunea de rupere: max

0

r

N

A , deşi ruperea se produce în

punctul R.

r este o mărime convenţională numită rezistenţă la tracţiune (notată cu

Rm în standardul SR 10002-1).

Dacă se montează cap la cap cele două fragmente de eprubetă ruptă,

se poate măsura lungimea după rupere lu. Alungirea specifică de rupere r,

exprimată în procente este: 0

0

u

r

l l

l

.

Mărimea r caracterizează capacitatea de deformare plastică a

materialului, adică tenacitatea (ductilitatea) lui. Cu ajutorul mărimii r se

Page 122: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune 123

poate defini alungirea procentuală după rupere An în conformitate cu

standardul SR 10002-1: 100 %n r

A .

Fig. 4.21

Inainte de rupere se constată o micşorare importantă a secţiunii

epruvetei în zona de rupere, micşorare care se mai numeşte gâtuire de

rupere(notată cu Z): 0

0

100%uA A

ZA

cu u

A aria minimă a epruvetei, măsurată în zona gâtuită după rupere.

Alungirea specifică de rupere şi gâtuirea de rupere caracterizează

deformabilitatea materialului (cu cât aceste caracteristici au valori mai mari

cu atât materialul este mai deformabil). Deformabilitatea mai poate fi

apreciată şi prin studierea secţiunii de rupere (se disting două zone în

secţiunea de rupere: o zonă lucioasă (care reflectă lumina) şi care

corespunde deformaţiilor plastice mari înainte de rupere şi cealaltă zonă cu

grăunţi cenuşii care nu reflectă lumina şi care este corespunzătoare ruperii

casante). Raportul dintre suprafeţele corespunzătoare celor două zone va da

indicii asupra tenacităţii sau fragilităţii materialului.

Page 123: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune

124

Deformaţia epruvetei solicitată până în zona de întărire este formată

dintr-o componentă elastică şi una plastică. Pentru a evidenţia deformaţia

elastică se descarcă epruveta complet.

Astfel, dacă solicitarea axială încetează pe zona de întărire, înainte de

rupere, în dreptul punctului C de pe curba caracteristica a unui oţel moale

(ca în Fig. 4.22), se constată că revenirea materialului la starea nesolicitată

se face după o dreaptă paralelă cu dreapta OP (la origine). La o nouă

încercare la întindere tensiunea creşte după curba caracteristică O C M , cu

acelaşi modul de elasticitate E, ca şi cum materialul s-ar întări în dauna

micşorării alungirii specifice de rupere r; acest fenomen poartă numele de

ecruisaj şi este utilizat pentru obţinerea unui material cu limită de

proporţionalitate cât mai ridicată (în procedeele de deformare plastică la

rece). Ecruisajul poate fi explicat prin deformarea grăunţilor cristalini pe

direcţia solicitării. Dacă deformarea plastică la rece se realizează în mai

multe etape, atunci ecruisajul devine un fenomen nedorit ce poate fi

ameliorat prin tratament termic de recoacere.

Fig. 4.22

Dacă se încearcă la compresiune un material ecruisat la tracţiune se

constată că limita de curgere are valori mai mici decât cea a materialului

neecruisat. Acest fenomen este cunoscut sub numele de efect Bauschinger,

iar în lumina acestui efect fenomenul de ecruisaj devine util în proiectarea

organelor de maşini pentru care în timpul funcţionării tensiunile nu-şi

schimbă semnul.

Prin încercări de compresiune se pot trasa curbe caracteristice care

reprezintă relaţia dintre tensiunile de compresiune şi scurtările specifice.

Sunt materiale (de exemplu oţelul, aluminiul) pentru care curbele

caracteristice de compresiune sunt asemănătoare cu cele de la tracţiune, dar

există şi materiale cu comportare diferită la compresiune faţă de tracţiune

(de exemplu betonul şi fonta care rezistă mult mai bine la compresiune decât

Page 124: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune 125

la întindere, iar lemnul are o rezistenţă scăzută la compresiunea în lungul

fibrelor).

Deformaţia la întindere sau compresiune a unui solid liniar-elastic

depinde de valoarea modulelor de elasticitate longitudinal E, transversal G

şi de coeficientul de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson).

Pentru câteva materiale uzuale, caracteristicile E,G şi , sunt date în tabelul

4.1.

Pentru materialele obişnuite utilizate în construcţia organelor de maşini şi

elementelor de construcţie tensiunea de proporţionalitate p

şi tensiunea de

curgere c

diferă foarte puţin între ele; de aceea în unele calcule, se poate

considera p e c

. In tabelul 4.2 sunt date, pentru câteva materiale

mai frecvent utilizate, caracteristicile de rezistenţă ,c r

pentru tracţiune

sau/şi compresiune şi o caracteristică a tenacităţii %n

A .

Tabelul 4.1

Materialul E 1110 Pa G 1010 Pa

Oţel carbon obişnuit 2.0-2.1 8.1 0.25-0.28

Oţel aliat 2.1 8.1 0.25-0.3

Fontă cenuşie şi albă 1.2-1.6 4.5 0.23-0.27

Bronz 1.15 4.2 0.32-0.35

Alamă laminată la

rece

0.91-0.99 3.5-3.7 0.32-0.42

Zidărie de cărămidă 0.025-0.03 - -

Beton 0.15-0.23 - 0.16

Lemn în lungul

fibrelor

0.09-0.12 0.045-0.065 -

Lemn perpendicular

pe fibre

0.004-0.01 0.0045-0.1065 -

Duraluminiu 0.7-0.75 2.6-2.7 -

Cauciuc 0.00008 - 0.47

Celuloid 0.017-0.02 0.06-0.07 0.3

Curea de piele 0.002-0.006 - -

Rezultatele încercării la tracţiune se află sub influenţa unor factori

dintre care cei mai importanţi ar putea fi consideraţi viteza de deformaţie şi

temperatura la care se desfăşoară încercarea.

La determinarea caracteristicilor mecanice se prescrie ca încercarea

la tracţiune să se desfăşoare cu viteze relativ mici, limitate de valori

Page 125: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune

126

10.01mind

dt

. Dacă viteza de încercare la tracţiune a unui oţel este mare

atunci se înregistrează o ridicare a limitei de curgere şi rupere, o micşorare a

alungirii de rupere, dar modulul de elasticitate se păstrează (ca în Fig. 4.23

(a)).

Tabelul 4.2

Materialul Tracţiune Compresiune %n

A

c

MPa r

MPa c

MPa r

MPa

Oţel OL37 230 370-450 - - 26

Oţel OL50 280 500-620 - - 20

Oţel carbon

OLC45

360-400 620-660 - - 18

Oţel aliat

13CN35

930 1130 - - 10

Oţel de arc 100-1200 1200-

1500

- - 6

Fontă Fc30-

Fc40

- 260-400 - 820-1400 -

Cupru 250 320 250 - 15

Alamă 330 450 330 - 17

Aluminiu 50 84 50 - 35

Duraluminiu 340 540 340 - 13

Lemn esenţă

moale

- 85 - 40 -

Fig. 4.23

Page 126: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Întindere şi compresiune 127

Influenţa temperaturii asupra încercării la tracţiune are o importanţă

practică deosebită pentru piese care lucrează la temperaturi peste 3000C.

Peste temperatura de 3000C, valorile modulului de elasticitate E, ale

tensiunilor de rupere r

şi de curgere c

scad o dată cu creşterea

temperaturii. Alungirea de rupere devine cu atât mai mare cu cât

temperatura este mai ridicată (Fig. 4.23 (b)).

Pe baza proprietăţilor mecanice, materialele se pot clasifica în

funcţie de diferite criterii, câteva dintre ele prezentate în continuare.

După mărimea deformaţiilor produse până la rupere se disting:

-materiale tenace, care suferă deformaţii mari până la rupere;

-materiale casante sau fragile, care se deformează puţin până la

rupere.

Având în vedere starea materialelor după înlăturarea sarcinii există:

-materiale elastice, care se deformează elastic şi revin la starea

iniţială după îndepărtarea sarcinii;

-materiale plastice, care rămân cu deformaţii permanente după

înlăturarea încărcării.

În funcţie valoarea constantelor elastice E, G şi măsurate pe diferite

direcţii se disting:

-materiale izotrope, care au aceleaşi constante elastice de-a lungul

tuturor direcţiilor;

-materiale anizotrope, care se prezintă sub formă de fibre, straturi

ceea ce le face să se comporte diferit după diferite direcţii. Dacă materialul

se comportă diferit numai pe două direcţii, în ceea ce priveşte proprietăţile

lui elastice, atunci el se numeşte ortotrop. Un astfel de material ortotrop este

lemnul pentru care cele două direcţii sunt cea în lungul fibrelor şi cea

perpendiculară pe fibre.

Page 127: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

5. CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE

5.1 Tensiunea tangenţială şi lunecarea specifică

TENSIUNEA TANGENŢIALĂ

Înafara tensiunii axiale (normale) şi a deformaţiei specifice axiale

discutată în Capitolul precedent putem avea tensiune tangenţială şi

deformaţie specifică tangenţială (lunecare specifică). În Fig. 5.1 este

reprezentată o bară din metal încastrată la un capăt. Pe capătul liber al barei

aplicăm o forţă F înclinată cu unghiul faţă de orizontală. Componenta

forţei F perpendiculară pe suprafaţă va produce o tensiune normală în bară

dată de raportul dintre forţa normală şi arie:

sinF

A

Componenta forţei F paralelă cu suprafaţa va avea şi ea un efect prin

producerea unei tensiuni de forfecare (tangenţiale) definită ca forţa paralelă

împărţită la aria suprafeţei:

cosF

A

în care cu litera grecească Tau se notează tensiunea tangenţială. În sistemul

internaţional (S.I.) tensiunea tangenţială se măsoară în N/m2.

Fig. 5.1

DEFORMAŢIA SPECIFICĂ DE FORFECARE SAU LUNECAREA

SPECIFICĂ

Aşa cum o tensiune axială presupune existenţa unei deformaţii

specifice axiale care este modificarea lungimii barei raportată la lungimea ei

Page 128: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 129

iniţială, tot aşa tensiunea tangenţială presupune o deformaţie specifică

tangenţială sau o lunecare specifică. Ambele deformaţii specifice axială şi

tangenţială sunt reprezentate în Fig. 5.2.

Fig. 5.2

Tensiunea tangenţială produce o deplasare a barei reprezentată în partea

dreaptă a Figurii 5.2.

Muchia capătului liber al barei se deplasează în planul orizontal cu distanţa

L faţă de poziţia iniţială. Această deplasare (sau deformaţie orizontală)

împărţită la lungimea L este deformaţia specifică de forfecare sau

lunecarea specifică. Examinând triunghiul format din L, L şi generatoarea

barei, observăm că deformaţia specifică de forfecare L/L este egală de

asemenea cu tangenta unghiului gama, iar atunci când valoarea deplasării

este mică tangenta unghiului gama este aproximativ egală cu unghiul gama -

(în radiani). Aceasta se poate scrie ca: L/L =tg =.

Aşa cum tensiunea normală este proporţională cu deformaţia specifică

axială (factorul de proporţionalitate în regiunea elastică fiind modulul lui

Young E) tot aşa tensiunea tangenţială este proporţională cu deformaţia de

forfecare (factorul de proporţionalitate în regiunea elastică fiind modulul de

elasticitate transversal sau de forfecare G). Constanta de proporţionalitate G

poate fi exprimată ca:

G = Tensiunea tangenţială/Deformaţia specifică de forfecare

Page 129: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 130

În sistemul internaţional (S.I.) modulul de elasticitate transversal G se

măsoară în N/m2.

În Fig. 5.3 este reprezentată tensiunea de forfecare funcţie de

deformaţia specifică de forfecare corespunzătoare, graficul având aceeaşi

aliură cu diagrama caracteristică de la solicitarea axială. Există în această

diagramă o regiune elastică în care Tensiunea este direct proporţională cu

Lunecarea specifică. Punctul care marchează limita superioară a regiunii

elastice se numeşte limită de elasticitate sau limită de proporţionalitate.

În mod real aceste două puncte nu sunt identice. Limita zonei în care

materialul are comportare elastică este punctul în care apar deformaţii

remanente, adică după limita elastică, dacă forţa îşi încetează acţiunea, bara

nu revine la forma şi dimensiunile iniţiale. Limita de proporţionalitate este

punctul în care deformaţia nu mai este proporţională cu forţa aplicată (adică

nu mai este valabilă legea lui Hooke). Deşi între aceste două puncte este o

mică diferenţă, le vom considera ca identice în cele ce urmează. Există apoi

o regiune plastică în care o creştere mică a tensiunii de forfecare conduce

la o creştere importantă a deformaţiei specifice de forfecare; după această

zonă apare punctul de cedare (punctul de rupere la forfecare).

Fig. 5.3

În recapitulare, formulele de calcul la forfecare sunt:

Page 130: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 131

Efectul de forfecare sau de tăiere poate să apară şi dacă asupra unei

bare acţionează două forţe transversale F, egale şi de sens contrar,

perpendiculare pe axa longitudinală a barei, lucrând ca o foarfecă (a se

vedea Fig. 5.4).

Fig.5.4

Sub acţiunea forţelor aplicate, în secţiunea transversală a barei se

dezvoltă un efort situat în planul secţiunii, care se numeşte forţă tăietoare

(T=F).

Forfecarea este însoţită de o solicitare de încovoiere aşa cum se

poate vedea şi din relaţia diferenţială dM

Tdx

. În calculul convenţional la

forfecare se poate neglija solicitarea de încovoiere ca nefiind de primă

importanţă.

Un exemplu la care încovoierea poate fi neglijată este prezentat în Fig.

5.5; bara dreaptă din Fig. 5.5 are deschiderea l şi este acţionată faţă de

mijlocul acesteia, prin două forţe transversale de valori egale cu F şi de sens

contrar, amplasate la o distanţă infinit mică între ele (distanţa tinde către

zero). Din diagramele de eforturi, rezultă că forţa tăietoare T , respectiv

momentul încovoietor M, sunt maxime în secţiunile 3, respectiv 4 şi au

valorile:

1T F Fl

02

FM

Pe intervalul 3-4 bara poate fi considerată deci solicitată numai la

forfecare, efectul momentului încovoietor fiind neglijabil.

Sub acţiunea forţelor din Fig. 5.4, bara se deformează, producându-se

lunecări , iar în secţiunile transversale solicitate se dezvoltă tensiuni

Page 131: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 132

tangenţiale (forţa tăietoare T îşi manifestă prezenţa prin tensiuni

tangenţiale ).

Fig. 5.5

Calculul convenţional, aplicat frecvent în cazul barelor de secţiune

mică, admite că tensiunile tangenţiale ar fi paralele cu forţa aplicată şi

repartizate uniform pe suprafaţa secţiunii transversale a barei.

Ecuaţia de echivalenţă (forţa tăietoare dintr-o secţiune este egală cu

suma forţelor elementare) stabileşte o legătură între forţa tăietoare T,

tensiunea tangenţială prin care ea se manifestă şi aria A a secţiunii

transversale:

A

AdAT sau A

T .

Relaţia obţinută rezolvă următoarele trei categorii de probleme:

- Probleme de dimensionare, când se determină aria secţiunii

transversale

a

nec

TA

,

unde, în cazul materialelor omogene şi izotrope se poate admite

aa 8,05,0 .

- Probleme de verificare, prin care se determină tensiunea tangenţială

maximă, care se compară cu tensiunea admisibilă sau cu cea de

rupere. Bara rezistă, în condiţii de siguranţă, dacă

Page 132: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 133

aefA

T .

- Probleme de calcul al forţei tăietoare capabile sau al celei de rupere

prin forfecare:

acap AT respectiv rrupere AT .

Relaţiile de mai sus se utilizează la calculul la forfecare al

elementelor de îmbinare, ca nituri, buloane, pene, suduri şi altele.

Deformaţia de forfecare nu prezintă de obicei un interes practic. Ea

constă dintr-o deplasare relativă w a unei secţiuni faţă de alta situată la

distanţa a. Dacă materialul satisface legea lui Hooke, atunci se obţine

succesiv:

GA

Taa

Gaw

unde produsul GA dintre modulul de elasticitate transversal şi aria

secţiunii transversale se numeşte modul de rigiditate la forfecare al

secţiunii transversale.

Materialele anizotrope opun forţei tăietoare rezistenţe diferite pe

direcţii diferite. Pentru calculul de rezistenţă se admit valori diferite

pentru tensiunea admisibilă în funcţie de orientarea forţei faţă de fibre.

5.2 Aplicaţii

Exemplul 1

Două plăci din metal sunt asamblate prin nituire, ca în Fig.5.6.

Niturile sunt din oţel şi au diametrul de 2 cm. Plăcile sunt încărcate

cu forţe de 2000 N ca în Fig. 5.6. Interesează ce tensiuni de forfecare

(tangenţiale) se dezvoltă în nituri şi care sunt deformaţiile specifice

corespunzătore dacă modulul de elasticitate transversal este G=8.5 1010

N/m2.

Fig. 5.6

Dacă examinăm structura, observăm că fiecare nit este supus la forfecare în

zona aflată între plăci (a se vedea Fig. 5.7). Partea superioară a nitului

alunecă faţă de partea inferioară a acestuia. Fiecare nit preia din încărcarea

Page 133: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 134

plăcilor 1000 N. De aici se poate calcula tensiunea de forfecare pentru

fiecare nit împărţind forţa la aria nitului (suprafaţa de lunecare).

Fig. 5.7

Tensiunea de forfecare = Forţa paralelă cu suprafaţa de lunecare/ Aria

suprafeţei de lunecare

Tensiunea de forfecare a fiecărui nit va fi 1.59 MPa.

Deformaţia specifică de forfecare (lunecarea specifică) poate fi obţinută din

legea lui Hooke corespunzătoare solicitării:

G = (Tensiunea de forfecare) / (Deformaţia specifică de forfecare), sau

(Deformaţia specifică de forfecare) = (Tensiunea de forfecare)/ G

Deformaţia specifică de forfecare a fiecărui nit va fi 0.187 10-4.

Exemplul 2

În cel de-al doilea exemplu avem un arbore (care probabil antrenează

o maşinărie) şi o roată conectată prin spiţe la un butuc. Roata, spiţele şi

butucul formează o structură care este asamblată pe arbore cu ajutorul unei

pene (a se vedea Figura 5.8). Când cuplul de forţe este aplicat asupra roţii

(posibil printr-o transmisie cu curele) roata începe să se rotească iar prin

intermediul penei imprimă arborelui o rotaţie. Suntem interesaţi în

determinarea tensiunii de forfecare a penei. Vom determina de asemenea şi

tensiunea de compresiune (de strivire) care acţionează asupra penei.

[Scopul în care pana a fost montată pe arbore pentru conectarea roţii este de

a proteja arborele în cazul în care acesta ar funcţiona la suprasarcină

(momente transmise mari). Într-o astfel de situaţie, pana se va forfeca (va

ceda) şi astfel elementele sistemului se vor decupla.]

Pentru a determina tensiunea de forfecare trebuie întâi să

determinăm forţa care încearcă să foarfece pana. Cuplul de forţe care

acţionează asupra roţii îl regăsim cu aceeaşi intensitate acţionând şi asupra

penei (ca element de legătură între cele două părţi ale sistemului). În

problema noastră forţa este de 500 N, D=1m iar d=0.1m. Calculând

Page 134: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 135

momentul faţă de centrul arborelui obţinem: 500 N (0.5 m) + 500 N (0.5 m )

= 500 Nm.

Acesta este momentul produs de forţa care acţionează asupra jumătăţii

superioare a penei (a se vedea Fig. 5.9). Deci putem scrie: 500 N (0.5 m ) +

500 N (0.5 m) = 500 Nm = F (.05 m). Rezolvând obţinem F = 10000N. Aceasta este forţa care acţionează asupra părţii superioare a penei. Există o

forţă egală şi direct opusă cu aceasta care acţionează asupra jumătăţii

inferioare a penei. Aceste două forţe determină forfecarea penei în secţiunea

ei de mijloc. Lăţimea penei este W=2cm=0.02m, înălţimea H=4cm=0.04m,

iar lungimea L=8cm=0.08m. Tensiunea de forfecare poate fi calculată ca:

Tensiunea de forfecare = Forţa paralelă cu suprafaţa de forfecare / Aria

de forfecare = 10000 N/ (0.08 * 0.02) = 16 N/m2.

Fig. 5.8

Alături de tensiunea de forfecare din plan orizontal, forţa F produce şi

compresiunea penei. Tensiunea de compresiune (tensiunea de strivire) în

jumătatea superioară a penei va fi dată de:

Tensiunea de compresiune (de strivire) = Forţa normală la suprafaţă /

Aria suprafeţei= 10000 N / (0.08 * 0.02) = 16 N/m2.

Fig. 5.9

Page 135: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul convenţional al barelor la forfecare 136

Exemplul 3

Calculul îmbinărilor sudate

Relaţia T

A poate fi folosită şi pentru calculul de rezistenţă al

îmbinărilor sudate. In exemplul din Fig.5.10 sunt reprezentate suduri

laterale efectuate la îmbinarea a două platbande suprapuse. In acest caz,

secţiunile de forfecare ale cordoanelor de sudură sunt notate pe figură cu t-t .

Dacă grosimea platbandei superioare este s, atunci ca lăţime a acestei

secţiuni se consideră înălţimea a, a triunghiului isoscel cu catetele s şi

respectiv 2

0.72

a s s .

Notându-se cu ls lungimea cordonului de sudură, se poate scrie

egalitatea: 2as s

l a T

din care se poate calcula valoarea mărimii necunoscute.

Pentru calculul lungimii reale a cordonului de sudură l se ţine seama de

imperfecţiunile de realizare a sudurii la capete, adăugându-se la lungimea ls

calculată o lungime egală cu 2a: 2s

l l a .

Fig. 5.10

Page 136: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

6. STAREA GENERALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII

Pentru studiul teoriilor de rezistenţă, al torsiunii şi al solicitărilor

compuse este necesar să se prezinte câteva probleme de bază ale teoriei

elasticităţii.

6.1 Starea plană de tensiune

Se va considera că bara are secţiunea dreptunghiulară, lăţimea fiind

egală cu unitatea şi că forţele aplicate sunt distribuite uniform pe această

lăţime b=1; ca o consecinţă se poate admite că şi tensiunile se distribuie

uniform pe lăţime, astfel încât apare o stare de tensiune plană, redusă la

planul median al barei.

In practică se extinde teoria de la starea de tensiune plană şi în

cazul barelor a căror secţiune transversală este oarecare, fără a se menţine

rigurozitatea rezultatelor teoretice obţinute pentru lăţimea b=1.

Secţionând bara printr-o secţiune transversală 1-1 (x=x0=const.),

care trece printr-un punct O, vor apărea tensiuni normale x

şi tensiuni

tangenţiale xz

. Dacă se secţionează bara printr-o secţiune longitudinală 2-2

(z=z0=const.) care trece de asemenea prin punctul O, vor apărea tensiuni

normale z

şi tensiuni tangenţiale zx

.

Componentele , , ,x z xz zx

se presupun cunoscute de la solicitările

simple sau cele compuse sau determinate cu metodele Teoriei elasticităţii.

Pentru sistemul de referinţă ales, indicii tensiunilor normale reprezintă axa

în sensul căreia acţionează, iar pentru tensiunile tangenţiale primul indice

precizează secţiunea în care apare, iar al doilea axa cu care este aceasta este

paralelă.

Dacă se face o secţiune 3-3 prin bară, inclinată cu un unghi faţă

de axa Oz (Fig. 6.1), vor apărea tensiuni şi care trec prin punctul O

(situat în planul median), prin care trec şi secţiunile 1-1 şi 2-2, astfel încât, la

limită, rezultă o secţiune ce trece prin O şi pe care acţionează şi .

Din jurul unui punct oarecare se izolează un element al barei.

Elementul are forma unei prisme triunghiulare, având baza un triunghi

dreptunghic OBC(vezi Fig. 6.2). Fie dA aria suprafeţei înclinate BC a

elementului. Această suprafaţă formează unghiul cu suprafaţa reprezentată

prin OC. Elementul se raportează la un sistem de referinţă rectangular xOz.

Page 137: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

138

Fig. 6.1

Fig. 6.2

În cazul general al stării plane de tensiune, pe fiecare faţă a

elementului există tensiuni normale şi tangenţiale. Placa fiind în repaus,

forţele de pe feţele elementului se echilibrează. Se consideră ecuaţia de

echilibru de momente faţă de mijlocul laturii BC:

0, sin cos cos sin 0.2 2D zx xz

BC BCM dA dA

De aici rezultă legea parităţii sau dualităţii tensiunilor tangenţiale :

xz zx

(6.1)

(a se vedea solicitarea de torsiune - pe schema deformatei).

Astfel, dacă într-un plan în interiorul unui corp solid există o tensiune

tangenţială, atunci este necesar ca şi într-un plan perpendicular să acţioneze

o tensiune tangenţială de aceeaşi valoare, cele două tensiuni fiind dispuse

simetric faţă de muchia comună a celor două plane şi perpendicular pe

această muchie.

În continuare se presupun a fi cunoscute tensiunile dirijate paralel

cu axele sistemului xOy. Valorile tensiunilor şi de pe suprafaţa înclinată

Page 138: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

139

BC se vor calcula cu ajutorul celorlalte ecuaţii de echilibru. Se proiectează

forţele de pe element pe direcţia necunoscutelor şi :

cos cos sin sin sin cos

cos sin 0;

x z zx

zx

dA dA dA dA

dA

cos sin sin cos sin sin

cos cos 0.

x z zx

zx

dA dA dA dA

dA

Dacă se are în vedere legea parităţii tensiunilor tangenţiale , atunci se obţine:

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos ;

sin cos cos sin ,

x z xz

x z xz

sau în funcţie de unghiul dublu 2:

cos 2 sin 2 ;2 2

sin 2 cos 2 .2

x z x z

xz

x z

xz

(6.2)

Din aceste relaţii se observă că valorile tensiunilor şi depind de unghiul

de înclinare . Pe anumite direcţii, numite direcţii principale de solicitare,

tensiunile normale au valori maxime sau minime. Tensiunile normale

maxime sau minime se numesc tensiuni principale. Înclinarea direcţiilor

principale de solicitare se obţine prin anularea derivatei în raport cu unghiul

2:

sin 2 cos 2 0,2 2

x z

xz

d

d

(6.3)

de unde rezultă

1,2

22 xz

x z

tg

(6.4)

Această funcţie prezintă două soluţii verosimile , decalate prin 1800, ceea ce

înseamnă că în starea de tensiune plană sunt două direcţii principale. Ele se

vor nota cu indicele 1 şi 2. Între soluţiile expresiei 4 există relaţia:

0 0

2 1 2 12 2 180 : 90sau (6.5)

adică cele două direcţii principale formează între ele un unghi drept. Pe o

direcţie tensiunea este maximă (1), iar pe cealaltă direcţie tensiunea este

minimă (2).

Comparând expresia (3) cu (2)se observă că:

Page 139: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

140

d

d

2

ceea ce arată că pe direcţiile principale de solicitare tensiunea tangenţială

este egală cu zero, deci în locul considerat se produce o stare biaxială de

tracţiune, compresiune sau de tracţiune şi compresiune.

Pentru stabilirea expresiilor tensiunilor principale se calculează:

1,2

1,2 2 22

1,2

2 2sin 2

1 2 4

xz

x z xz

tg

tg

1,2 2 2

21,2

1cos 2

1 2 4

x z

x z xz

tg

.

Prin înlocuire în relaţia (2)rezultă expresia tensiunilor principale:

2

2

1,2

14

2 2

x z

x z xz

(6.6)

În relaţia (6.6) cu semnul (+) se obţine tensiunea maximă, iar cu semnul (-)

cea minimă. Dacă se adună cele două valori extreme rezultă:

1 2.

x zconst

ceea ce înseamnă că suma tensiunilor principale este un invariant, adică nu

depinde de unghiul .

Prin anularea derivatei expresiei tensiunii tangenţiale se obţin

direcţiile după care tensiunile tangenţiale au valori extreme:

cos 2 sin 2 0,

2 2

x z

xz

d

d

de unde

3,4

22

x z

xz

tg

. (6.7)

Această relaţie admite două soluţii, cărora le corespund două direcţii

decalate între ele cu un unghi de 900. Lor li se atribuie indicele 3 şi 4:

4 3

090 . (6.8)

De-a lungul unei direcţii tensiunea tangenţială prezintă o valoare maximă,

iar pe direcţia ortogonală una minimă. Cele două tensiuni însă trebuie să fie

egale ca valoare(legea parităţii). Liniile de-a lungul cărora sunt orientate

tensiunile tangenţiale maxime se numesc linii de alunecare.

Din compararea relaţiei (6.7) cu (6.4) rezultă că:

Page 140: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

141

tg tg2 2 1 01,2 3 4

,

,

ceea ce exprimă o condiţie de perpendicularitate între direcţiile date de

unghiurile 2 21,2 3 4

si,

.Prin urmare

0 0

3,4 1,2 3,4 1,22 2 90 : 45sau . (6.9)

Aşadar, tensiunile tangenţiale au valori maxime pe direcţii înclinate cu 450

faţă de direcţiile principale de solicitare.

Pentru stabilirea tensiunilor tangenţiale maxime se calculează:

3,4

3,4 2 22

3,4

2sin 2

1 2 4

x z

x z xz

tg

tg

3,4 2 2

23,4

21cos 2

1 2 4

xz

x z xz

tg

.

Prin înlocuire în a doua relaţie (6.2) se obţine expresia tensiunii tangenţiale

maxime:

2

2

3,4

14

2 x z xz . (6.10)

Din relaţia (6.10) rezultă că tensiunea tangenţială maximă are aceeaşi

valoare cu cea minimă, în concordanţă cu legea dualităţii tensiunilor

tangenţiale. Pe baza relaţiei (6.6) se mai poate scrie:

max 1 2

1

2 (6.11)

adică tensiunea tangenţială maximă este egală cu semidiferenţa tensiunilor

normale principale.

Dacă se consideră şi un element de pe conturul barei şi dacă în

dreptul elementului conturul nu este încărcat cu nici o forţă tangenţială la

contur, atunci pe feţele elementului nu pot exista tensiuni tangenţiale.

Direcţia principală de solicitare este deci, în această situaţie, tangentă,

respectiv perpendiculară pe contur.

Distribuţia tensiunilor din jurul unui punct poate fi reprezentată

într-un sistem de referinţă cu coordonatele şi . In acest sens, tensiunile

şi se exprimă în funcţie de tensiunile principale cu ajutorul relaţiilor (6.2):

1 2 1 2

1 2

cos 22 2

sin 2 .2

(6.12)

Page 141: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

142

Prin eliminarea parametrului 2 se obţine ecuaţia:

2 2

21 2 1 2

2 2

(6.13)

Ceea ce reprezintă un cerc de rază 1 2

1

2 cu centrul pe axa absciselor

la distanţa 1 2

1

2 faţă de originea sistemului de referinţă (Fig. 6.3).

Acest cerc poartă denumirea de cercul lui Mohr.

Fig. 6.3

Pe cercul lui Mohr sunt înscrise proprietăţile stării plane de tensiune. Se

poate observa din Fig. 6.3 că tensiunea tangenţială maximă este egală cu

raza cercului (egală cu semidiferenţa tensiunilor principale).

Strea plană de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare după cum

urmează (Fig. 6.4):

1) Starea liniară de tensiune când 0z xz

. Ea se produce în

barele drepte solicitate la întindere sau compresiune uniaxială şi în cazul

încovoierii pure.

Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale

cos 22 2

sin 2 .2

x x

x

1 2

max

; 0

1

2

x

x

2) Starea de forfecare pură, dacă 0z x

. Această stare se

realizează în barele solicitate la forfecare pură sau la torsiune.

Page 142: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

143

Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale

cos 2

sin 2 .

xz

xz

1 2

max

;xz xz

xz

3) Starea de tensiune cu 0z

se poate întâlni la solicitarea de

încovoiere cu forfecare (încovoierea simplă) precum şi în cazul unor

solicitări compuse.

Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 2 .2

x x

xz

x

xz

2 2

1,2

14

2 2

x

x xz

2 2

max

14

2 x xz

4) Starea de tensiune cu 0xz

. In acest caz tensiunile x

şi z

sunt dirijate după direcţiile principale ale stării de solicitare.

Tensiunile pe direcţii oarecare Tensiunile principale

cos 2 ;2 2

sin 2 .2

x z x z

x z

1 x ;

2 z

max

1

2 x z

Fig. 6.4

Page 143: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

144

6.2 Starea spaţială de tensiune

Se consideră un corp solid de formă oarecare, solicitat de un sistem

oarecare de forţe în spaţiu, aflate în echilibru. In starea aceasta generală de

solicitare, pe feţele unui element izolat din jurul unui punct oarecare al

corpului solid vor exista toate componentele tensiunii (Fig. 6.5). De

exemplu, în planul Oxy vor acţiona tensiunea normală z şi două tensiuni

tangenţiale zx

şi zy

.

Fig. 6.5

Din ecuaţiile de echilibru de momente, scrise în raport cu axele

sistemului de referinţă, se obţine principiul parităţii sau dualităţii tensiunilor

tangenţiale (ca la starea plană de tensiune). In acest sens se poate folosi o

notaţie simplificată a tensiunilor tangenţiale:

; ;xy yx z xz zx y zy yz x (6.14)

Starea de solicitare din jurul punctului considerat este definită dacă

se cunoaşte tensorul tensiunilor:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

T

(6.15)

Tensorul tensiunilor este simetric în cazul în care se are în vedere dualitatea

tensiunilor tangenţiale (6.14).

Tensorul simetric (6.15) se poate descompune în doi tensori:

Page 144: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

145

m m

T T D (6.15a)

În care primul este denumit tensor sferic

0 0

0 0

0 0m

m

m

m

T

(6.15b)

iar al doilea deviator:

m

x m xy xz

yx y m yz

zx zy z m

D

(6.15c)

In expresiiile (6.15a,b,c) se utilizează tensiunea medie :

3

x y z

m

.

Se pot determina tensiunile existente într-un plan înclinat oarecare în dreptul

punctului considerat, funcţie de tensiunile paralele cu axele sistemului de

referinţă.

Se consideră dA aria elementară a suprafeţei înclinate ABC, pe care se

dezvoltă o tensiune necunoscută p de direcţie oarecare. Înclinarea suprafeţei

în raport cu axele sistemului de referinţă este definită cu ajutorul cosinuşilor

directori ai normalei la plan: l,m şi n. Ariile feţelor piramidei delimitate de

suprafaţa considerată (Fig. 6.6) şi de axele sistemului de referinţă sunt date

de relaţiile:

Aria OAB=n dA; Aria OAC=m dA; Aria OBC=l dA.

Se presupun cunoscute tensiunile normale şi tangenţiale paralele cu axele

sistemului de referinţă. Din ecuaţiile de echilibru de proiecţie rezultă

componentele px, py şi pz ale tensiunii necunoscute:

0x x yx zx

p dA ldA mdA ndA

0y xy y zy

p dA ldA mdA mdA (6.16)

0z xz yz z

p dA ldA mdA ndA

După simplificări în (6.16) se obţine:

x x yx zx

p l m n

y xy y zy

p l m n (6.17)

z xz yz z

p l m n

Page 145: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

146

Fig. 6.6

Tensiunea totală pe suprafaţa înclinată este egală cu:

2 2 2

x y zp p p p (6.18)

iar componenta ei normală este:

2 2 2 2 2 2

x y z x y z xy xz yzlp mp np l m n lm ln mn (6.19)

Tensiunea tangenţială de pe suprafaţa înclinată este:

2 2p (6.19)

Din relaţiile (6.17) şi (6.18) se observă că valoarea tensiunii totale p depinde

de înclinarea suprafeţei ABC. Ca la starea plană de tensiune, şi în starea

spaţială există direcţii principale de solicitare reciproc perpendiculare (1),

(2) (3) (direcţii după care tensiunea normală este maximă iar tensiunea

tangenţială este egală cu zero).

Tensiunile normale dirijate după aceste direcţii 1 2 3, , se numesc

tensiuni principale. Starea de tensiune din jurul punctului considerat se poate

exprima şi în funcţie de tensorul tensiunilor principale:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

T

Page 146: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

147

Dacă 1 2 3

, atunci 1

este tensiunea maximă în dreptul

punctului considerat, iar tensiunea 3

este tensiunea minimă (tensiunea 2

-

tensiunea minimax- cuprinsă între cea maximă şi cea minimă).

Expresiile (6.17) permit determinarea direcţiilor principale de solicitare şi a

tensiunilor principale. Dacă se admite că p ar fi o tensiune principală, atunci

pe suprafaţa înclinată pe care p se dezvoltă tensiunea tangenţială este nulă

( 0 ), tensiunea normală p , iar componentele

; ;x y z

p l p m p n .

Introducând valorile lui p ca tensiune principală în relaţiile (6.17) se obţine

un sistem de trei ecuaţii cu necunoscutele cosinuşii directori l, m şi n care

definesc direcţiile principale de solicitare:

0x yx zx

l m n

0xy y zy

l m n (6.20)

0xz yz z

l n n

Sistemul de ecuaţii (6.20) admite soluţii nebanale numai dacă determinantul

corficienţilor este nul:

0

x yx zx

xy y xz

zx zy z

Dezvoltând determinantul, se obţine ecuaţia de gradul trei în :

3 2

1 2 30I I I (6.21)

unde 1 2 3, ,I I I sunt invarianţii ecuaţiei:

1 x y z

I

2 2 2

2 x y x z y z xy xz yzI

3

x yx zx

xy y zy

xz yz z

I

Page 147: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

148

Rezolvând ecuaţia (6.21) se obţin trei soluţii reale, care sunt tensiunile

principale 1 2 3, , (Fig. 6.7); introducând fiecare dintre aceste tensiuni în

ecuaţiile (6.20) şi ţinând cont că

2 2 2 1l m n (6.22)

se poate determina înclinarea direcţiilor principale de solicitare.

Fig. 6.7

Pentru variaţia tensiunilor tangenţiale din jurul punctului

considerat, se presupun cunoscute tensiunile principale 1 2 3, , .

Tensiunea totală de pe suprafţa înclinată va fi:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3x y zp p p p l m n (6.23)

iar tensiunea tangenţială va fi:

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3p l m n l m n

adică

2 22

2 2 2 2 2 2

1 2 1 3 2 3l m l n m n (6.24)

sau ridicând la pătrat tensiunea tangenţială , se poate scrie:

2 22

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 3 2 3l m l n m n .

Pentru determinarea tensiunii tangenţiale maxime, se anulează

derivata parţială a expresiei tensiunii tangenţiale de mai sus în raport cu l,

respectiv m; După o transformare simplă a expresiilor derivatelor parţiale se

obţin expresiile:

2 2

1 3 1 3 2 32 0l m l

2 2

2 3 1 3 2 32 0l m m

(6.25)

Page 148: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

149

Soluţia l=m=0 trebuie eliminată (ea corespunde direcţiei axei Oz);

nu este posibil nici cazul 0l şi 0m deoarece simplificând ecuaţiile

(6.25) prin l, respectiv m şi scăzând una din cealaltă, se obţine 1 2

,

contravenind condiţiilor iniţiale puse.

Rămân posibilităţile:

→ 0l şi 0m când rezultă din prima ecuaţie

2

2l ; 0m ;

2

2n

→ 0l şi 0m când rezultă din a doua ecuaţie

0l ; 2

2m ;

2

2n

Dacă se derivează şi în raport cu n se mai obţine o soluţie:

2

2l ;

2

2m ; 0n .

Din cele de mai sus rezultă că valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale

apar în plane ale căror normale fac unghiuri egale (450) cu câte două din

direcţiile principale şi sunt perpendiculare pe cea de-a treia.

Prin înlocuirea valorilor obţinute pentru cosinuşii directori în relaţia

(6.24) se pot determina valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale, egale cu

semidiferenţa tensiunilor principale:

1 2

12 2

; 1 3

13 2

; 2 3

23 2

(6.26)

Alături de tensiunile tangenţiale extreme acţionează şi tensiunile

normale egale cu semisuma tensiunilor principale:

1 2

12 2

; 1 3

13 2

; 2 3

23 2

(6.27)

Tensiunea tangenţială maximă corespunde celei mai mari

semidiferenţe dintre tensiunile principale (se are în vedere că 1 2 3

):

1 3

max 13 2

.

In plane egal înclinate faţă de cele trei direcţii principale de solicitare,

denumite plane octaedrice, pentru care

1

3l m n (6.28)

se dezvoltă tensiunile octaedrice ,oct oct

.

Page 149: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea de tensiuni şi deformaţii

150

Expresia tensiunii totale octaedrice rezultă din relaţia (6.23)

înlocuind valorile cosinuşilor directori (6.28):

2 2 2

1 2 3octp (6.29)

Din relaţia (6.19) înlocuind (6.28) se obţine valoarea tensiunii

normale octaedrice:

1 2 3

1

3oct (6.30)

tensiune egală cu media tensiunilor principale în punctul considerat.

Tensiunea tangenţială octaedrică se poate calcula acum ţinând cont

de (6.29) şi (6.30):

2 22

2 2

1 2 1 3 2 3

1

3oct oct octp (6.31)

6.3 Relaţii între deplasări şi deformaţii

Relaţia cea mai simplă între deplasări şi deformaţii se întâlneşte

desigur la starea liniară de tensiune şi poate corespunde situaţiei în care o

bară dreaptă este solicitată la întindere (Fig. 6.8). Pe bară se consideră o

origine fixă a sistemului de referinţă la care este raportată bara, având locaţia

într-o secţiune marginală presupusă fixă (Fig. 6.8).

Fig. 6.8

Sub acţiunea forţei N , bara se deformează, iar o secţiune

transversală oarecare (1) se deplasează axial cu cantitatea u (notaţia din

Teoria elasticităţii corespunzătoare deplasării de-a lungul axei „x”). O

secţiune foarte apropiată de (1) la distanţa dx de aceasta este secţiunea (2),

care se deplasează cu o cantitate „puţin diferită” şi anume cu u+du. Lungirea

specifică în dreptul unei secţiuni oarecare pe direcţia axei barei (direcţia

longitudinală) este:

x

dx u du u dx du

dx dx

.

Page 150: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 151

Pentru a stabili relaţia dintre deplasări şi deformaţii în cazul

bidimensional, se vor considera observaţiile asupra unei plăci (Fig. 6.9)

aflată într-o stare plană de tensiune (Starea de solicitare realizată se

numeşte plană, întrucât se admite că solicitarea plăcii este identică în fiecare

plan paralel cu planul median. Dacă grosimea plăcii este relativ mică, iar

placa nu este sprijinită pe cele două suprafeţe laterale paralele cu planul

median, atunci, sub acţiunea forţelor se produc tensiuni coplanare cu forţele

aplicate, adică se crează o stare plană de tensiune. Dacă însă placa ar fi

menţinută între doi pereţi rigizi, care nu permit să se producă deformaţii

transversale, atunci ar avea loc o stare plană de deformaţie).

Fig. 6.9

Un punct oarecare M se deplasează sub acţiunea forţelor atât în lungul axei

x cu cantitatea ,u u x y cât şi în lungul axei Oy cu cantitatea ,v v x y .

Asemănător celor arătate la starea liniară, pentru starea plană de tensiune a

plăcii se pot scrie relaţiile:

x

u

x

iar y

v

y

(6.32)

(Derivatele parţiale în (6.32) se utilizează deoarece deplasările sunt funcţii

de ambele coordonate x şi y ).

Dacă din placa din Fig. 6.9 se izolează un element oarecare MABC, acesta

se va deforma şi se va deplasa o dată cu placa, ajungând în poziţia

M A B C (Fig. 6.10).

Dacă punctul M se deplasează de-a lungul axei Ox cu cantitatea u, atunci

punctul A se va deplasa cu:

A

uu du u dx

x

Punctul C se va deplasa de-a lungul axei Ox cu :

Page 151: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 152

C

u uu du u dx dy

x y

Acelaşi punct C se va deplasa de-a lungul axei Oy cu:

C

v vv dv v dx dy

x y

.

Fig. 6.10

Laturile MA şi MB ale elementului se înclină, iar unghiul drept din M

variază cu unghiul de lunecare specifică

xy

u v

y x

.

Diagonala MC de lungime ds se lungeşte cu cantitatea ds şi se roteşte cu

unghiul d. Inainte de deformaţie lungimea diagonalei MC era:

2 2ds dx dy

După deformaţie, lungimea diagonalei MC devine:

2 2 2

ds ds dx du dy dv

2 2

2 u u v vds ds dx dx dy dy dx dy

x y x y

.

Page 152: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 153

Dacă în expresia de mai sus se ridică la pătrat expresiile din paranteze şi se

neglijează infiniţii mici de ordin superior, se obţine, împărţind la ds,

expresia alungirii diagonalei MC:

2 2ds u dx v dy u v dx dy

ds x ds y ds y x ds ds

2 2cos sin sin cosx y xy

sau liniarizând (scriind funcţie de unghiul 2):

1

cos 2 sin 22 2 2

x y x y

xy

(6.33)

Relaţia (6.33) are aceeaşi formă ca cea a tensiunii normale unde în loc de

alungirile corespunzătoare celor două direcţii perpendiculare apar

tensiunile normale paralele cu cele două direcţii, iar în loc de lunecare,

apare dublul tensiunii tangenţiale.

Făcând deci analogie cu rezultatele obţinute la starea de tensiuni, se

poate afirma că în plan există două direcţii principale în lungul cărora

alungirile au valori extreme, iar lunecarea specifică este nulă. Aceste direcţii

coincid cu direcţiile tensiunilor principale şi se pot determina cu relaţia:

1,2

2xy

x y

tg

(6.34)

Alungirile specifice principale sunt date de relaţia:

2

2

1,2

1

2 2

x y

x y xy

(6.35)

Relaţiile obţinute la starea plană se pot extinde şi la starea de deformaţie

spaţială. Celor trei deplasări u,v şi w, orientate în lungul axelor de

coordonate, le corespund alungirile specifice:

x

u

x

; y

v

y

; z

w

z

(6.36)

In spaţiu, lunecarea specifică are trei componente:

xy

u v

y x

; xz

u w

z x

; yz

v w

z y

. (6.37)

In spaţiu există trei direcţii principale ale alungirilor, de-a lungul cărora

acestea au valori extreme, iar lunecările sunt nule.

In Teoria elasticităţii se demonstrează că dacă se cunosc cele şase

componente ale tensorului deformaţiilor T,

Page 153: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 154

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

T

atunci se pot afla direcţiile principale ale lunecărilor şi valorile alungirilor

principale 1 2 3, , (lunecările specifice sunt şi ele egale două câte două ca

în cazul parităţii tensiunilor tangenţiale).

Lunecările specifice au valori extreme în plane înclinate cu 450 faţă de

direcţiile principale ale alungirilor specifice:

12 1 2 ;

13 1 3 ;

23 2 3 . (6.38)

6.4 Legea generalizată a lui Hooke

Legea lui Hooke, în forma ei cea mai simplă exprimă legătura

existentă între tensiuni şi deformaţii pentru starea liniară de întindere (sau

compresiune) şi pentru starea de forfecare pură (Fig. 6.11):

x

x E

;

xy

xy G

(6.39)

Fig. 6.11

Tensiunile tangenţiale produc lunecări specifice numai în planul în

care ele se dezvoltă (xy xy

) în timp ce tensiunile normale produc şi

deformaţii pe direcţii perpendiculare faţă de direcţia acestora. Mărimea

contracţiilor transversale se exprimă cu ajutorul coeficientului lui Poisson

: x

y x E

(6.40)

Page 154: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 155

Dacă se consideră detaşat un element dintr-un corp solid, solicitat

sub limita de proporţionalitate a materialului omogen şi izotrop din care este

confecţionat corpul, atunci pe feţele elementului apar tensiuni – în cazul cel

mai general tensiuni normale şi tangenţiale. Dacă se ia în considerare numai

efectul tensiunilor normale (Fig. 6.12), atunci alungirea specifică din lungul

axei Ox depinde de mărimea celor trei tensiuni normale; efectul alungirii în

lungul axei Ox produs de x

este micşorat de contracţia transversală

produsă de y

şi z

. Cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor se poate

calcula alungirea specifică rezultantă: yx z

x E E E

Considerând în cazul general de solicitare alungirile specifice pentru

cele trei direcţii se obţine legea lui Hooke care exprimă legătura dintre

tensiuni normale şi alungiri specifice:

1x x y zE

1

y y x zE

(6.41)

1z z x yE

Dacă pe feţele elementului acţionează şi tensiuni tangenţiale, atunci legătura

acestora cu lunecările specifice produse este dată de legea simplă a lui

Hooke:

xy

xy G

; xz

xz G

;

yz

yz G

Legea lui Hooke scrisă pentru cazul general de solicitare - tensiuni funcţie

de deformaţii specifice este dată de relaţiile:

11 1 2x x y z

E

11 1 2y y x z

E

(6.42)

11 1 2z z x y

E

xy xy

G ; xz xz

G ; yz yz

G

Page 155: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 156

Fig. 6.12

Deformaţia specifică volumică V este egală cu suma alungirilor specifice

măsurate pe direcţia celor trei axe de coordonate, iar dacă se ţine cont de

(6.41):

1 2

1 2V x y z x x y zE

(6.43)

Relaţia (6.43) reprezintă ecuaţia lui Poisson; aceasta se poate scrie în forma:

1 2

V

x y z

E

Pentru starea plană de tensiune (ex. 0z

) din (6.41) rezultă:

1

x x yE

1

y y xE

(6.44)

z x yE

Din relaţiile (6.44) se observă că starea plană de tensiuni nu este în general

o stare plană de deformaţie.

La o variaţie de temperatură, expresiile alungirilor specifice se

completează cu termenul de forma t

t , cu coeficientul de dilatare

temică liniară, iar t variaţia de temperatură.

6.5 Calculul energiei potenţiale de deformaţie

In timpul aplicării sarcinilor exterioare (forţe şi cupluri) pe corpul

deformabil, acestea parcurg drumul corespunzător deformaţiei produse,

Page 156: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 157

efectuând deci un lucru mecanic, numit lucru mecanic exterior (L). Sub

acţiunea sarcinilor corpul solid devine solicitat, în interiorul lui

înmagazinându-se o cantitate de energie potenţială, numită energie de

deformaţie, lucru mecanic de deformaţie sau lucru mecanic interior (U).

Din legea conservării energiei (fără considerarea frecării exterioare

şi interioare), lucrul mecanic exterior se transformă în energie de

deformaţie, adică L=U. In ipoteza în care deformaţiile corpului sunt elastice,

atunci după dispariţia forţelor aplicate energia de deformaţie aduce corpul în

starea iniţială nedeformată.

Expresia energiei potenţiale de deformaţie se determină cu uşurinţă

pentru stări simple de tensiune cum ar fi starea liniară şi starea de forfecare

pură; expresiile energiei potenţiale de deformaţie obţinute pentru aceste

stări pot fi extinse la cazul general, deoarece starea generală de solicitare

poate fi considerată ca rezultatul însumării unor stări liniare şi a unor stări

de forfecare pură.

a) Determinarea energiei potenţiale de deformaţie în cazul stării

liniare de tensiune.

Se consideră pentru aceasta o bară dreaptă, de lungime „l” , cu rigiditatea

axială „EA” solicitată la întindere de o forţă F (Fig. 6.13 a). Se admite că

materialul barei ascultă de legea lui Hooke (Fig. 6.13 b) şi că forţa este

aplicată static, adică cu intensitate crescândă de la zero până la valoarea ei F

(Fig. 6.13 c). Prin solicitarea la întindere, se realizează o stare liniară de

tensiune, caracterizată prin tensiunea normală paralelă cu axa

longitudinală a barei şi prin alungirea specifică pe direcţia solicitării :

F

A şi

l

l

Lucrul mecanic produs se obţine cu ajutorul calculului integral:

0

l

L Ndu

(6.45)

Pe baza legii conservării energiei, cu expresia (6.45) se determină energia

de deformaţie înmagazinată în bara solicitată axial.

Ţinând cont de aplicarea statică a forţei F (Fig. 6.13 c), se poate scrie:

du l

dN F

şi relaţia (6.45) devine:

0

2

Fl F l

U L NdNF

(6.46)

Page 157: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 158

Deci energia potenţială de deformaţie este egală cu semiprodusul dintre

forţă şi deplasarea produsă; aria suprafeţei situată sub curba N=f(u),

reprezintă energia totală de deformaţie. Aceasta se mai poate scrie sub

forma:

2

2 2 2

A lU V V

E

(6.47)

unde V este volumul barei.

Energia specifică de deformaţie, adică energia raportată la unitatea de

volum este:

2

2 2s

UU

V E

(6.48)

Fig. 6.13

Energia înmagazinată într-un element de volum dV, adică energia

elementară de deformaţie este:

2

2 2sdU U dV dV dV

E

(6.49)

Dacă se însumează energia elementară de deformaţie pe întregul volum se

obţine energia totală de deformaţie, adică acumulată în întreaga bară:

Page 158: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 159

2

2 2V V V

U dU dV dVE

(6.50)

b) Determinarea energiei potenţiale de deformaţie în cazul stării de

forfecare pură (Fig. 6.14)

Pentru starea de forfecare pură există similitudine cu starea liniară de

tensiuni în modul de determinare al energiei de deformaţie; relaţiile de

calcul pentru energia de deformaţie la forfecarea pură sunt şi ele

asemănătoare cu cele de la starea liniară de tensiune.

Fig. 6.14

Energia specifică de deformaţie este în acest caz:

2

2 2s

UU

V G

(6.51)

Energia de deformaţie elementară este:

2

2 2dU dV dV

G

(6.52)

Energia totală de deformaţie corespunzătoare forfecării pure este obţinută

prin integrarea energiei elementare:

2

2 2V V V

U dU dV dVG

(6.53)

b) Expresia generală a energiei de deformaţie.

Pentru un element de volum dintr-un corp solid energia specifică de

deformaţie corespunzătoare stării spaţiale de tensiune este rezultatul

însumării stărilor liniare şi de forfecare pură create de toate elementele

tensorului tensiunilor cu deformaţiile specifice corespunzătoare:

2 2 2 2 2 2

y y xy xy yz yzx x xz xzz z

sU

(6.54)

iar dacă se ţine cont de legea generalizată a lui Hooke se obţine:

2 2 2 2 2 21 1

2 2s x y z x y x z y z xy xz yzU

E E G

(6.55)

Page 159: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 160

Funcţie de tensiunile principale, energia specifică de deformaţie este:

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

2sU

E E

(6.56)

Energia totală de deformaţie în acest caz general este:

s

V

U U dV .

Prin aplicarea forţelor pe corpul solid deformabil, acesta îşi schimbă

forma şi dimensiunile iniţiale. In mod corespunzător, energia înmagazinată

va avea o parte legată de variaţia volumului UV şi o parte legată de variaţia

formei Uf.

→Pentru energia de deformaţie corespunzătoare variaţiei volumului,

se poate considera că pe feţele elementului acţionează numai tensiuni

normale egale cu tensiunea medie (care este tensiunea octaedrică):

1 2 3

3m

Tensiune care deformează elementul numai în volum, în mod uniform pe

toate direcţiile.

Energia specifică de deformaţie de variaţie a volumului va fi (ţinând cont de

(6.53)):

2

2

1 2 3

3 1 2 1 2

2 2sV mU

E E

(6.57)

→ Pentru energia de deformaţie corespunzătoare variaţiei formei, se

poate considera că pe feţele elementului acţionează diferenţa de tensiuni în

raport cu tensiunea medie m, realizându-se astfel numai variaţia formei

(deformaţia specifică de volum este nulă în acest caz):

2 2 2

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1

2sf m m m

m m m m m m

UE

E

sau

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

3sfU

E

(6.58)

6.6 Relaţia dintre modulele de elasticitate E şi G pentru un material

omogen şi izotrop

Deoarece interesează relaţia dintre modulul de elasticitate în direcţie

longitudinală E şi modulul de elasticitate transversal G, starea de tensiune în

Page 160: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 161

legătură cu care se fac observaţiile este o stare plană de tensiune. In starea

plană considerată se poate afla o placă de grosime constantă solicitată cu o

forţă de întindere pe direcţia Ox şi de compresiune pe direcţia Oy (pentru

determinarea experimentală a relaţiei dintre E şi G se utilizează o epruvetă

plată solicitată la tracţiune). Se presupune că cele două direcţii Ox şi Oy sunt

totodată şi direcţii principale ale stării de solicitare (Fig. 6.15) iar tensiunile

au aceeaşi valoare0x y

.

Fig. 6.15

Tensiunile produse în plane înclinate la 450 se determină cu relaţiile

de la starea plană de tensiune(relaţiile 6.2):

00 0 0 0cos 2 cos90 02 2 2 2

x y x y

00 0

0sin 2 sin90

2 2

x y

Deci în planele înclinate la 450 se dezvoltă numai tensiuni tangenţiale egale

cu 0

, adică placa se află într-o stare de forfecare pură.

Exprimarea energiei specifice de deformaţie atât în funcţie de

tensiunile principale ,x y

cât şi în funcţie de tensiunea tangenţială şi

egalarea celor două expresii astfel obţinute (care reprezintă energia de

deformaţie a unităţii de volum) va conduce succesiv la obţinerea unei relaţii

între cele două constante de material E şi G:

2

2 2 012 1

2s x y x yU

E E

;

22

0

2 2sU

G G

Page 161: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 162

2 2

0 0

2 1 2E G

Relaţia dintre cele două module de elasticitate longitudinal E şi

transversal G este:

2 1E G (6.59)

Pentru oţel cu 11 22.1 10E N m , considerând constanta lui

Poisson 0.3 , va rezulta 11 20.81 10G N m .

Expresiile energiei potenţiale de deformaţie sunt utile în calculul

deplasărilor prin metode energetice dar şi în stabilirea teoriilor asupra

stărilor limtă în Rezistenţa materialelor.

6.7 Aplicaţie

Relaţiile care conţin tensiuni şi deformaţii obţinute în cadrul acestui

capitol sunt utile în analiza experimentală a tensiunilor prin metoda

tensometriei electrice rezistive.

Prin această metodă se determină într-un punct pe suprafaţa piesei de

încercat deformaţiile specifice pe trei direcţii cu ajutorul unei rozete făcute

din mărci tensometrice.

Marca tensometrică este în partea de măsurare un traductor rezistiv,

o rezistenţă electrică, iar funcţionarea ei se bazează pe variaţia rezistenţei

electrice a unui conductor subţire cu diametrul „d” (diametrul între 15-30

microni), de lungime „l”, confecţionate dintr-un material de rezistivitate şi

cu rezistenţa electrică R:

2

4lR

d

Atunci când conductorul îşi schimbă lungimea cu l=l, diametrul suferă o

contracţie transversală d=d , iar rezistenţa electrică a conductorului

înregistrează o variaţie R.

Dacă se neglijează variaţia rezistivităţii la schimbarea lungimii

conductorului, variaţia specifică de rezistenţă electrică R

R

este

proporţională cu alungirea specifică a conductorului l

l

, adică:

R l

R l

sau

Rk

R

Page 162: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 163

unde k este coeficientul de proporţionalitate numit şi constanta mărcii sau

constanta traductorului. Corespunzător constantei lui Poisson =0.3,

valoarea coeficientului de proporţionalitate poate fi 1.6 3.5k , funcţie de

materialul conductorului.

Mărcile folosite în practică sunt sârme foarte subţiri din constantan,

manganin, nichel sau platină (materiale cu mare stabilitate termică), lipite în

formă de serpentină pe un suport care poate fi hârtie sau plastic (Fig. 3.16).

Astfel de traductori au rezistenţă ohmică mare (80-1000 ohmi). Lungimea

de măsurare „l” care în practică poate varia între 0.4mm-200mm se numeşte

baza mărcii tensometrice.

Fig. 6.16

Marca tensometrică se lipeşte pe piesa de încercat după ce suprafaţa

piesei a fost bine curăţată mecanic şi chimic. După uscarea liantului folosit

(soluţii ale producătorilor sau celuloid dizolvat în acetonă), marca

tensometrică formează corp comun cu piesa de încercat, putând măsura atât

alungiri cât şi scurtări.

Pentru măsurarea variaţiei rezistenţei mărcii, deci şi a alungirii

specifice a piesei, marca se conectează la un aparat de măsură, realizat pe

baza unei punţi Wheatstone, ca în Fig. 6.17 . Intr-o ramură a punţii se află

marca de măsurare, cu rezistenţa ohmică Rm, în ramura adiacentă o marcă Rc

care face compensarea variaţiilor de temperatură (este lipită pe o bucată de

material identic cu al piesei de încercat, nesolicitată, aflată în aceleaşi

condiţii termice cu piesa supusă măsurătorilor). Rezistenţele R3 şi R4 sunt

din structura punţii. Inainte de măsurare se echilibrează puntea până ce

galvanometrul G nu mai indică existenţa unui curent. In această stare de

echilibru, între rezistenţe există relaţia:

4 3m cR R R R

Dacă se schimbă rezistenţa mărcii Rm (piesa este solicitată) , atunci puntea

se dezechilibrează şi galvanometrul indică un curent proporţional cu

alungirea (sau scurtarea) specifică .

Page 163: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 164

Fig. 6.17

Montajul din Fig. 6.17 cu mărci tensometrice în braţele adiacente ale

punţii se numeşte montaj semipunte; montajul în care toare cele patru

rezistenţe sunt mărci tensometrice se numeşte montaj punte întreagă.

Dacă nu se cunosc direcţiile principale ale stării de solicitare, atunci

se pot monta în dreptul punctului studiat trei traductori(trei mărci

tensometrice) formând rozete. O rozetă este alcătuită din trei mărci, cu

direcţii concurente într-un punct, direcţiile putând face între ele 1200 sau

dispuse pe două direcţii perpendiculare între ele şi a treia direcţie este

bisectoarea unghiului drept format de celelalte două direcţii. Considerând

direcţiile perpendiculare între ele direcţiile x şi y , se cunosc prin măsurători

4

, ,x y (Fig. 6.18).

Fig. 6.18

In această situaţie se cer tensiunile principale şi direcţiile principale.

Starea de tensiune este o stare plană pentru că la suprafaţa piesei nu sunt

sarcini ( 0; 0z xy yz

)

Page 164: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Starea generală de tensiuni şi deformaţii 165

Dacă se consideră o direcţie D în planul de măsurare xOy în care

sunt lipite mărcile tensometrice, direcţie care face unghiul 4

cu axa

Ox, atunci pentru această direcţie D, deformaţia specifică este dată de relaţia

(6.33):

4

1cos 2 sin 2

2 2 2

1

2 2

x y x y

D xy

x y

xy

(6.59)

Din relaţia (3.59) se poate obţine lunecarea specifică xy

:

4

2xy x y

(6.60)

Se observă că măsurarea pe trei direcţii permite determinarea lunecării

specifice.

Deformaţiile specifice principale în punctul de măsurare considerat sunt

date de expresia (6.35):

2

2

1,2

1

2 2

x y

x y xy

2

2

1,2

4

12

2 2

x y

x y x y

(3.61)

Legea generalizată a lui Hooke pentru starea plană de tensiune (relaţiile

6.42) scrisă considerând axele x şi y drept axe principale 1 şi 2 devine:

21 1 21

E

22 2 11

E

Inlocuind 1 şi

2 din relaţiile de mai sus, se pot determina tensiunile

principale. A treia tensiune principală este nulă (pe axa z).

Direcţiile principale în planul xOy se determină cu relaţia, în care se va

înlocui xy

cu valoarea din relaţia (6.60):

4

*

2

2

x y

xy

x y x y

tg

(6.62)

Page 165: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

7. TORSIUNEA BARELOR DREPTE

7.1 Generalităţi

O bară dreaptă este solicitată la torsiune (răsucire) dacă în secţiunile

ei transversale torsorul forţelor interioare se reduce la un moment (cuplu)

care acţionează în plan normal pe axa barei, moment dirijat - în reprezentare

vectorială - în lungul axei longitudinale a barei. Acest moment care se

notează Mt se numeşte de torsiune sau de răsucire (Fig. 7.1).

Fig. 7.1

Deformaţia barelor supuse la torsiune este caracterizată, în principal,

prin rotirea secţiunilor tranversale una faţă de alta în jurul unei axe care, în

cazul secţiunilor cu dublă axă de simetrie, coincide cu axa longitudinală a

barei.

Solicitarea de torsiune este frecvent întâlnită la organele de maşini

(arbori acţionaţi prin intermediul roţilor dinţate sau de curea, arcuri) dar este

prezentă şi la solicitarea unor elemente de contrucţie cum ar fi: grinzi

marginale care susţin planşee, sisteme spaţiale de bare, grinzi de rulare şi

altele.

Dacă bara transmite o putere P[kW] la o turaţie n [rpm], atunci se

poate determina valoarea momentului exterior cu direcţia axei longitudinale

a barei Mx (care solicită bara la torsiune) în [Nm] cu relaţia:

9550x

P kWM N m

n rpm

Page 166: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

167

In majoritatea cazurilor, elementele de construcţii solicitate la

torsiune sunt în acelaşi timp supuse şi la alte solicitări, în primul rând la

încovoiere, iar această solicitare compusă va fi studiată în Capitolul 10. In

acest capitol se va examina torsiunea ca solicitare simplă în domeniul elastic

de comportare al materialului.

O simplă analiză a solicitării de torsiune arată că secţiunea

transversală a acestora determină în mare măsură caracterul deformaţiei la

torsiune.

In cazul barei cu secţiune circulară sau inelară, problema torsiunii se

poate rezolva complet cu ipotezele Rezistenţei materialelor, în timp ce

pentru alte tipuri de secţiuni, soluţionarea problemei torsiunii devine

posibilă numai cu metodele Teoriei elasticităţii. In general, la torsiune,

secţiunile transversale se deplanează în timp ce secţiunea circulară (secţiune

cu dublă simetrie faţă de solicitare) nu se deplanează (rămâne plană).

7.2 Eforturi şi diagrame de eforturi

Momentul de torsiune într-o secţiune transversală oarecare este

egal cu suma momentelor tuturor forţelor şi cuplurilor situate la dreapta

sau la stânga secţiunii considerate, în raport cu axa longitudinală a barei.

Fie un sistem asemănător cu cel utilizat în laborator pentru studiul torsiunii

barelor de secţiune circulară reprezentat în Fig. 7.2a ; bara de lungime L din

figură este încastrată la un capăt iar în capătul liber este solicitată printr-un

moment exterior cu direcţia axei longitudinale, de valoare M0=Fa (moment

creat de cuplul celor două forţe F, cu braţul cuplului de valoare a). Schema

de studiu la torsiune este reprezentată în Fig. 7.2 b. Pentru echilibru, în

încastrare ia naştere un moment de torsiune egal şi de sens contrar celui

aplicat în capătul liber. Momentul de torsiune este constant de-a lungul barei

şi are valoarea momentului exterior M0, adică momentul în orice secţiune

considerată între punctele de discontinuitate de pe bară (cele două capete)

este 0

.t

M x M F a ct

Dacă valoarea momentului de torsiune variază de-a lungul barei,

atunci se recomandă pentru calculul de rezistenţă şi de rigiditate să se

construiască diagrama momentelor de torsiune. In toate cazurile se

presupune cazul barei drepte în echilibru, având aplicate în diferite secţiuni

ale ei momente exterioare care au direcţia axei longitudinale a barei

(incluzând şi reacţiunile de aceeaşi natură cu încărcările exterioare). La

trasarea diagramelor de variaţie a momentelor de torsiune este utilă

adoptarea unei convenţii de semn pentru momentul de torsiune; se poate

considera prin convenţie, că momentul de torsiune este pozitiv dacă este

Page 167: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 168

reprezentat printr-un vector dirijat după axa barei care iese din planul

secţiunii curente şi negativ dacă intră în planul secţiunii curente. In cazul în

care încărcările care se reduc la momente dirijate după axa barei sunt acţiuni

de acelaşi sens, nu este nevoie de vreo convenţie de semn pentru momentul

de torsiune ca în aplicaţiile prezentate în continuare.

Fig. 7.2

Pentru trasarea diagramelor de variaţie a momentelor de torsiune de-

a lungul barei se utilizează metoda secţiunilor aplicată pe fiecare domeniu

de continuitate a expresiei momentului de torsiune.

Pentru exemplificare în Fig. 7.3 este reprezentată o bară dreaptă de

secţiune circulară constantă solicitată de două momente concentrate care au

direcţia axei ei longitudinale. Expresiile analitice ale momentului de

torsiune sunt date în tabelul 1, iar diagrama momentelor de torsiune este

reprezentată în Fig. 7.3.

Tabelul 7.1

Momentul de torsiune

Intervalul 1-2 0,x a

0

2 .t

M x M ct

Intervalul 2-3 ,3x a a

0 0 0

2 3 5 .t

M x M M M ct

Page 168: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

169

Fig. 7.3

Un alt exemplu de bară solicitată la torsiune este cea reprezentată în

Fig. 7.4. Pe intervalul 2-3 încărcarea exterioară este dată de un moment

exterior distribuit uniform cu direcţia axei barei de intensitate 4kNm/m.

Expresiile analitice ale momentului de torsiune sunt date în tabelul 2, iar

diagrama momentelor de torsiune este reprezentată în Fig. 7.4; pe zona 2-3

diagrama momentelor de torsiune are variaţie liniară.

Fig. 7.4

Tabelul 7.2

Momentul de torsiune

Intervalul 1-2 0,0.4x m

1.5 .t

M x kNm ct

Intervalul 2-3 0.4 ,0.8x m m

1.5 4 0.4t

M x x 0.4 1.5t

M m kNm

0.8 3.1t

M m kNm

Intervalul 3-4 0.8 ,1.2x m m

1.5 4 0.4 3.1 .t

M x kNm ct

Page 169: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 170

7.3 Torsiunea barelor de secţiune circulară şi inelară

Se consideră o bară dreaptă de secţiune circulară încastrată la o

extremitate şi acţionată în capătul liber de un moment cu direcţia axei

longitudinale a barei (ca cea din Fig. 7.2 a). Materialul din care este

confecţionată bara este presupus cu comportare liniar-elastică (ascultă legea

lui Hooke).

Dacă se trasează pe suprafaţa laterală, înainte de solicitarea barei, o

reţea alcătuită dintr-un sistem de generatoare (linii paralele cu axa) şi dintr-o

serie de cercuri care constituie conturul secţiunilor transversale (Fig. 7.5),

se va constata că, după răsucirea barei (în condiţiile micilor deformaţii)

generatoarele drepte se transformă în curbe elicoidale, contururile

secţiunilor transversale rămân aceleaşi şi după deformaţie şi la aceeaşi

distanţă între ele; de asemenea axa barei rămâne dreaptă. In urma torsiunii o

secţiune oarecare a barei s-a rotit faţă de alta cu un anumit unghi, numit

unghi de torsiune, transformând dreptunghiurile elementare de pe suprafaţa

laterală (abcd) în paralelograme ( a b c d ).

Dacă distanţa dintre cele două secţiuni este infinit mică dx (cazul secţiunilor

2 şi 3), unghiul de torsiune este numit elementar d, iar dacă distanţa este

egală cu unitatea (cazul secţiunilor 3 şi 4) atunci unghiul de torsiune se

numeşte unghi specific . Unghiul cu care se roteşte o secţiune marginală

faţă de alta (cazul secţiunilor 1 şi 5) reprezintă unghiul de torsiune total .

d

dx

şi

0 0

L L

d dx (7.1)

Datorită caracterului antisimetric al momentului de torsiune se produce o

stare de tensiune şi deformaţie antisimetrică. Pe acest fond de antisimetrie,

lungirile specifice şi tensiunile normale, pe direcţia axei longitudinale şi pe

direcţia diametrelor sunt zero (lungirile specifice şi tensiunile normale

sunt caracteristice unei stări de solicitare şi deformaţie simetrice). Laturile

dreptunghiului elementar (abcd) se înclină doar. Un unghi drept (cel din

colţul a spre exemplu) variază cu unghiul de lunecare specifică , care pe

mantaua periferică are valoare maximă max. Conform legii lui Hooke este

necesar ca pe feţele elementului să se dezvolte tensiuni tangenţiale

proporţionale cu unghiul de lunecare specifică ; constanta de

proporţionalitate este caracteristica mecanică a materialului numită modul

de elasticitate în direcţie transversală G. Legea lui Hooke pentru torsiunea

barelor de secţiune circulară se poate scrie deci, G .

Page 170: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

171

Tensiunile tangenţiale se dezvoltă atât în secţiunile transversale cât

şi longitudinale, pentru a satisface legea parităţii tensiunilor tangenţiale.

Astfel elementul se află într-o stare de forfecare pură.

Aceste observaţii caracterizează modul de deformaţie al fibrelor de pe

suprafaţa laterală a barei. Pentru precizarea comportării fibrelor din interior,

se va accepta ipoteza că secţiunea se roteşte în urma deformării ca un disc

rigid rămânând indeformabilă în planul ei, razele din fiecare secţiune

rămânând drepte şi de aceeaşi lungime, doar rotite cu acelaşi unghi.

Astfel, la baza studiului torsiunii barelor de secţiune circulară stau

următoarele ipoteze:

(1) secţiunile transversale ale barei - plane şi perpendiculare pe axa

acesteia înainte de deformare, rămân plane şi perpendiculare pe axa

longitudinală a barei şi după deformare (ipoteza secţiunilor plane), secţiunile

rotindu-se cu un anumit unghi în jurul axei;

(2) razele secţiunii rămân drepte şi de aceeaşi lungime şi după

deformaţie;

(3)distanţele (măsurate în lungul axei) între diferitele secţiuni

transversale nu se modifică în urma deformaţiei.

Utilizând aceste ipoteze torsiunea barelor de secţiune circulară apare

ca rezultatul lunecărilor provocate de rotirile reciproce ale secţiunilor

transversale unele faţă de celelalte.

Dacă se consideră o secţiune transversală oarecare (de exemplu secţiunea 2,

Fig. 7.6), tensiunea tangenţială din dreptul conturului secţiunii trebuie să

fie tangentă la contur (în caz contrar ar trebui să existe o componentă radială

a tensiunii tangenţiale căreia să-i corespundă conform principiului parităţii

tensiunilor tangenţiale o componentă de aceeaşi mărime pe suprafaţa

exterioară a barei, în lungul generatoarei). Suprafaţa exterioară a barei nu

este încărcată cu forţe axiale exterioare. De aici rezultă că singura

componentă diferită de zero a tensiunii tangenţiale este cea tangentă la

contur deci cu direcţia perpendiculară pe rază; în mod asemănător tensiunile

tangenţiale din planul secţiunii transversale sunt perpendiculare pe rază.

Relaţia de echivalenţă între momentul de torsiune şi tensiunile

tangenţiale prin care acesta se manifestă în planul secţiunii transversale se

poate scrie în forma:

t

A

M r dA (7.2)

Legea de distribuţie a tensiunilor tangenţiale necesară evaluării

integralei din (7.2) se stabileşte din modul de deformare al barei.

Page 171: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 172

Fig. 7.5

Fig. 7.6

Page 172: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

173

Pentru generalitate, elementul de lungime dx (dintre secţiunile 2 şi 3)

se detaşează şi se pun în evidenţă deformaţiile (a se vedea Fig. 7.7).

Deplasarea unui punct oarecare Q din secţiune este:

dx r d de unde rezultă d

r rdx

(7.3)

în care este unghiul de torsiune specific (definit de relaţia (7.1)).

In punctul Q , în conformitate cu legea lui Hooke, tensiunea

tangenţială este:

G G r (7.4)

Din (7.4) se observă că distribuţia tensiunii tangenţiale este liniară

(Fig. 7.8) iar tensiunea maximă corespunde punctelor de pe conturul

secţiunii:

max

G R (7.5)

Fig. 7.7 Fig. 7.8

Relaţia (7.4) permite calculul integralei din relaţia (7.2): 2

tA

M G r dA unde 2

pA

I r dA este momentul de inerţie polar al

întregii secţiuni.

Unghiul de torsiune specific (în radiani pe unitatea de lungime)

are expresia: t

p

M

G I

(7.6)

Produsul p

G I se numeşte modul de rigiditate la torsiune al barei de

secţiune circulară. Cu cât valoarea acestui produs este mai mare cu atât

deformaţia de torsiune este mai mică.

Page 173: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 174

Din relaţiile (7.1) şi (7.6) se obţine expresia unghiului de torsiune

total (unghiul de torsiune dintre secţiunile marginale)

0 0

L L L

t t

o p p

M dx M Ld dx

G I G I

(7.7)

Inlocuind relaţia (7.6) în relaţia (7.4) se obţine expresia tensiunii

tangenţiale:

t

p

Mr

I (7.8)

care atinge valoarea maximă pentru r=R:

max

t t

p p

M R M

I W

, (7.9)

unde s-a notat cu Wp modulul de rezistenţă polar care se calculează

cu relaţia:

p

p

IW

R (7.10)

şi se măsoară în unităţi de lungime3 (m3 în S.I.).

Modulele de rezistenţă pentru secţiunile circulară de diametru D=2R

şi inelară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d (cu raportul

subunitard

D ) se calculează cu relaţiile:

3

16

2

p

p

I DW

D

(7.11)

4 3

4 411 1

32 16

2 2

p

p

I D DW

D D

(7.12)

In aplicaţii relaţia tensiunii tangenţiale se utilizează de obicei sub

forma (7.9). Tensiunea maximă evaluată în secţiunea sau zona periculoasă

trebuie să fie sub valoarea tensiunii admisibile a a materialului pentru

starea de forfecare pură, adică max a . (7.13)

Valoarea tensiunii tangenţiale admsibile a pentru un material se poate

stabili aproximativ pentru materiale omogene şi izotrope în funcţie de

Page 174: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

175

valoare tensiunii normale admisibile a; pentru oţeluri obişnuite se poate

considera 0.5 0.8a a .

Tensiunea admisibilă a se determină cu cu relaţia:

c

a

ctc

pentru materiale tenace,

r

a

rtc

pentru materiale fragile,

unde ,ct rt

c c sunt coeficienţii de siguranţă în raport cu limita de curgere la

torsiune, respectiv în raport cu rezistenţa la rupere la torsiune.

Indiferent de tipul problemei (de verificare, de dimensionare sau de calcul

al momentului de torsiune capabil) este necesară stabilirea secţiunii sau

zonei periculoase parametric sau numeric (din diagrama de momente) şi

determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale specifice

torsiunii (Ip şi Wp), de asemenea parametric sau numeric. Condiţia (7.13) se

mai numeşte şi condiţie de rezistenţă. Cu ajutorul acestei condiţii se rezolvă

trei categorii de probleme:

→ problemele de dimensionare în care se determină modulul de

rezistenţă necesar (la limită) cu relaţia:

max

t

pnec

a

MW

;

→ problemele de verificare în care se verifică dacă tensiunea

efectivă este mai mică decât cea admisibilă:

max

max

t

a

p

M

W ;

→probleme de calcul al momentului de torsiune capabil care se

determină cu relaţia:

tcap a p

M W .

Sunt aplicaţii în care dimensionarea barelor solicitate la torsiune se

face pe baza condiţiei de rigiditate(max

t

a

p

M

G I

, cu a unghiul de

torsiune specific admisibil): t

pnec

a

MI

G

Page 175: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 176

7.4 Aplicaţii

1. Un arbore transmite puterea de 200kW la turaţia 1.5rot/s. Se cunoaşte

tensiunea tangenţială admisibilă a=42MPa a materialului din care este

confecţionat arborele.Să se determine diametrul D al arborelui.

Rezolvare:

Momentul exterior transmis arborelui se calculează cu relaţia:

200

9550 9550 21222.22 21.221.5 60x t

P kWM M N m kN m

n rpm

Condiţia de rezistenţă este:

3max

16

t t

a

p

M M

DW

Diametrul D al arborelui se obţine:

3

3336

16 16 21.22 10136 10 136

42 10

t

a

MD m mm

Se poate adopta o valoare mai mare pentru diametrul D, spre exemplu

D=138mm, deoarece D=136mm corespunde unei dimensionări la limită.

2. Se consideră doi arbori între care se transmite mişcarea de rotaţie prin

intermediul roţilor dinţate care au diametrele cercurilor de rulare de 5cm şi

25cm (raportul de transmitere fiind 5:1), ca în Fig. 7.14. Arborii sunt dispuşi

pe mai multe lagăre astfel încât să nu se încovoaie (se neglijează şi frecarea

în lagăre). Să se determine unghiul de rotaţie în punctul D la capătul

arborelui din dreapta, în raport cu secţiunea A (capătul din stânga al celuilalt

arbore), datorită unui moment 2500daNcm. Arborele de intrare CD este din

oţel cu G1=8.1 105 daN/cm2, iar arborele de ieşire AB este din bronz cu

G1=3.38 105 daN/cm2.Se presupune o acţiune elastică.

Rezolvare:

Din echilibrul arborelui CD (Fig. 7.14 (b))se obţine forţa tangenţială

F=1000daN (M0=FRr1). Unghiul de răsucire dintre D şi C este:

20 1

4

51 1

2500 7.50.29 10

38.1 10

32

CD

p

M Lrad

G I

Page 176: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

177

Fig. 7.14

Arborele AB izolat în echilibru este reprezentat în Fig. 7.14 (c).

Forţa F este egală şi de sens contrar cu cea care acţionează pe roata

conjugată. Momentul la ieşire este determinat din echilibrul arborelui AB

(Miesire=FRr2=100012.5=12500daNcm). Unghiul de torsiune dintre A şi

B este:

22

4

52 2

12500 150.44 10

63.38 10

32

iesire

BA

p

M Lrad

G I

Unghiul AB

presupune şi o deplasare de rigid a întregului arbore CD

datorită roţilor. Rotaţiile de rigid ale celor doi arbori CD şi AB de care

trebuie să se ţină seama sunt în acelaşi raport de transmitere (5:1). Deci

Page 177: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 178

rotaţia de rigid 5(0.44 10-2) trebuie adăugată rotaţiei arborelui CD (0.2910-

2) . Unghiul rezultant de rotaţie (rotaţie de rigid şi deformaţie arbori) dintre

D şi A (intrare-ieşire) va fi:

2 2 25 0.44 10 0.29 10 2.49 10DA

rad

3. O bară din oţel ABC de secţiune circulară constantă cu diametrul

D=80mm, de lungime 2L=1.5m, încastrată la un capăt, încărcată cu un

moment M0=6000 Nm ca în Fig. 7.15 în secţiunea de centru B (la mijlocul

barei), este reţinută elastic în secţiunea de centru C (la celălalt capăt al

barei). La capătul C al barei este ataşat un sistem format din 2 bare MN şi

PQ, fiecare de diametru d=16mm şi lungime l=1.5m; cele două bare elastice

MN şi PQ sunt amplasate la capetele diametrului orizontal al barei

torsionate ABC. Să se determine tensiunea tangenţială maximă în bara ABC

şi tensiunea normală maximă în barele MN şi PQ. Se cunosc E=200GPa şi

G=80GPa pentru materialul barei ABC şi al barelor elastice MN şi PQ.

Rezolvare:

Pentru unghiul mic se poate scrie relaţia:

/ 2 0.04D (I)

Forţa axială F a cuplului care se dezvoltă în secţiunea de centru C se

calculează din relaţia:

0.08C

F D M F

Cuplul Mc acţionează în sens contrar celui aplicat M0 deoarece are tendinţa

de a micşora unghiul de rotaţie în capătul C (Fig. 7.16 - bara ABC izolată).

Alungirile ale barelor MN şi PQ (solicitate axial) se calculează cu relaţia

(datele numerice sunt introduse în unităţi internaţionale):

2

1.50.08

0.016

4

CM

F l

E AE

(II)

Intervalul C-B 0,x L Intervalul B-A , 2x L L

.t C

M x M ct 0

.t C

M x M M ct

Unghiul de torsiune dintre secţiunile de centru A şi C este dat de relaţia:

0CC

AB

p p

M M LM L

G I G I

(III)

Page 178: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

179

Fig. 7.15

Fig. 7.16

Egalând expresiile lui date de relaţiile (I) şi (II) şi ţinând cont de expresia

unghiului dată de relaţia (III) se obţine:

0

2 4 4

1.50.750.750.08

0.040.016 0.08 0.08

4 32 32

C

CC

M

M MM

E G G

Cu MC=1327Nm, forţa 16.580.08

CM

F N Diagrama (numerică) de variaţie

a momentelor de torsiune pentru bara ABC este reprezentată în Fig. 7.16.

Tensiunea tangenţială maximă pe zona periculoasă AB este:

3max

16 467346.5

0.08MPa

Page 179: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 180

Tensiunea normală maximă MN şi PQ este:

2

16.5882.5

0.008

FMPa

A

4. Să se determine reacţiunile din legăturile sistemului din Fig. 7.17. Se

cunosc: momentele exterioare M1 şi M2, lungimile L1, L2, L3 (

1 2 3L L L L şi .

pG I ct )

Rezolvare:

Reacţiunile din legături MA şi MB au aceeaşi natură cu momentele

exterioare aplicate.

Ecuaţia de echilibru care se poate scrie pentru bara AB izolată este:

0x

M 1 2

0A B

M M M M , (I) ecuaţie cu 2 necunoscute MA şi

MB.

Fig. 7.17

Pentru a rezolva problema se asociază ecuaţiei de echilibru o relaţie

care ţine cont de modul în care se deformează sistemul (unghiul de torsiune

total dintre secţiunile blocate A şi B este zero):

1 2 1 2 31 0

A AA

AB

p p p

M M L M M M LM L

G I G I G I

(II)

Cuplând relaţia (I) cu relaţia (II) se vor obţine MA şi MB:

1 2 3 2 2

A

M L L M LM

L

şi

2 1 2 1 1

B

M L L M LM

L

Variaţia unghiului de torsiune de-a lungul barei AB indică un punct în zona

centrală fără torsiune (Fig. 7.18):

Page 180: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

181

Fig. 7.18

7. 5 Torsiunea barei cu secţiune dreptunghiulară

Problema torsiunii unei bare cu secţiunea transversală necirculară

este mai complexă decât a barei cu secţiunea circulară sau inelară, deoarece

ipotezele admise la bara de secţiune circulară nu mai sunt valabile pentru

barele de secţiune oarecare. Ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane) în

cazul barelor de secţiune oarecare este infirmată de experimente, deoarece

diferite puncte ale secţiunii transversale se deplasează diferit în lungul axei

barei, adică secţiunile transversale se deplanează.

Fig. 7.19

Un astfel de experiment poate fi urmărit în Fig. 7.19 în care este

reprezentată o bară de secţiune dreptunghiulară în stare nesolicitată şi în

Page 181: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 182

stare de solicitare la torsiune. In stare nesolicitată (înainte de deformare) s-

au trasat pe suprafaţa exterioară a barei linii paralele cu laturile barei, care

formează o reţea de dreptunghiuri.

Se observă că după aplicarea momentului exterior care produce

torsiune Mt, secţiunile transversale se deplanează. Majoritatea

dreptunghiurilor se transformă în paralelograme, adică în dreptul lor se

produc lunecări cărora le corespund tensiuni tangenţiale. Dreptunghiurile

situate în zona centrală a laturilor se deformează cel mai mult deoarece în

aceste zone apar tensiunile tangenţiale cele mai mari. Dreptunghiurile aflate

în dreptul colţurilor secţiunii îşi păstrează forma, semn că în aceste zone

tensiunea tangenţială este zero.

Distribuţia tensiunilor tangenţiale de-a lungul axelor principale, de-

a lungul diagonalelor şi pe contur este dată în Fig. 7.20. Valorile tensiunilor

în fiecare punct al secţiunii depind de ambele coordonate ale punctului.

Soluţia riguroasă confirmă aceste precizări şi anume că tensiunea

tangenţială maximă are loc în punctul ce reprezintă mijlocul laturii lungi; la

mijlocul laturii mai scurte se produce o tensiune tangenţială mai mică , iar

în colţurile secţiunii, tensiunile tangenţiale sunt nule.

Fig. 7.20

Expresiile care dau tensiunile tangenţiale maxime şi unghiul de torsiune

specific sunt: 2max

tM

h b

(la mijlocul laturii lungi) (7.14)

max

(la mijlocul laturii scurte) (7.15)

3

tM

G h b

(7.16)

Page 182: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte

183

În care ,, sunt coeficienţi numerici care depind de raportul h/b (h latura

lungă, b latura scurtă). Valorile acestor coeficienţi sunt date în Tabelul 7.1.

In relaţia (7.16) se poate observa că rolul momentului de inerţie polar de la

torsiunea barelor de secţiune circulară îl are expresia: 3

tI h b (7.17)

Tabelul 7.1

h/b 1 0.141 0.208 1

1.2 0.166 0.219 0.93

1.5 0.196 0.231 0.86

1.75 0.214 0.239 0.82

2 0.229 0.246 0.79

2.5 0.249 0.258 0.77

3 0.263 0.263 0.75

4 0.281 0.281 0.74

Dacă raportul dintre laturi h/b este foarte mare, atunci 1

3 , iar

relaţiile (7.14) şi (7.16) devin:

2max

3t

M

h b

şi

2

3t

M

G h b

(7.18)

Ultima relaţie din (7.18) se poate scrie în forma:

2

3t

h bM G

(7.19)

şi poate fi extinsă în cazul profilelor deschise care au secţiunea transversală

formată din mai multe dreptunghiuri de lăţime mică.

Fig. 7.21

Astfel de bare se întâlnesc frecvent în practică de exemplu secţiunile

profilelor laminate cunoscute: profile I, U, cornier cu aripi egale sau

Page 183: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Torsiunea barelor drepte 184

neegale. Tensiunea tangenţială maximă se produce la mijlocul laturii mari

a dreptunghiului de lăţime maximă:

3max max max

3t t

t

M MG b b

h b W

.

Aplicaţie

Un profil cornier cu aripi egale L 808010 din oţel (cu G=8 105

daN/cm2), de lungime l=3m, este solicitat la torsiune (Fig. 7.22) . Să se

calculeze momentul de torsiune pe care-l poate transmite şi unghiul total de

torsiune, dacă se admit tensiuni de cel mult a=800daN/cm2.

Rezolvare:

Momentul de torsiune pe care îl poate transmite profilul cornier considerat

este dat de relaţia: t a t

M W unde

3

max3t

h bW

b

Fig. 7.22

Secţiunea transversală se consideră formată din două dreptunghiuri de

lungime 75 mm şi lăţime 10mm (descompunerea profilului nu este unică).

Cu această observaţie momentul transmis devine:

3 3

7.5 1 7.5 1800 4000

3 1tM daN cm

.

Unghiul de torsiune total este dat de relaţia:

t

t

M l

G I

cu

3 33 41 17.5 1 7.5 1 5

3 3tI b h cm

Va rezulta un unghi de torsiune total de valoare:

5

4000 3000.3

8 10 5

t

t

M lrad

G I

.

Page 184: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

8. INCOVOIEREA BARELOR DREPTE

8.1 Introducere. Observaţii experimentale. Ipoteze

O grindă dreaptă este solicitată la încovoiere, dacă în secţiunile ei

transversale se dezvoltă momente încovoietoare. În cadrul acestui capitol se

admite că suportul fiecărei forţe trece prin centrul de greutate al secţiunii

transversale.

În funcţie de poziţia în spaţiu a forţelor, solicitarea de încovoiere

poate fi:

- încovoiere plană, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan

longitudinal, care conţine una dintre axele principale centrale de inerţie ale

tuturor secţiunilor transversale;

- încovoiere oblică, dacă toate sarcinile aplicate se află într-un singur plan

longitudinal, care însă nu conţine axele centrale principale de inerţie ale

tuturor secţiunilor transversale solicitate;

-încovoiere strâmbă, când forţele aplicate sunt situate în plane longitudinale

diferite.

În funcţie de natura eforturilor secţionale din secţiunile transversale,

solicitarea de încovoiere poate fi:

- încovoierea pură, când în secţiunile transversale ale grinzii acţionează

numai momente încovoietoare(Fig. 8.1);

Fig. 8.1

- încovoiere simplă, cauzată de existenţa simultană a momentului

încovoietor şi a forţei tăietoare în toate secţiunile transversale ale grinzii.

Page 185: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 186

Legile de deformare prin încovoierea grinzilor drepte cu plan de

simetrie sunt simple şi uşor de intuit.

Dacă o bară din cauciuc, de preferinţă de secţiune dreptunghiulară,

este încovoiată, se poate observa că o suprafaţă a barei este întinsă în timp

ce suprafaţa opusă este comprimată. Este evident că între cele două

suprafeţe există un plan neutru în care fibrele materialului nu se întind şi

nici nu se comprimă. Efectul de încovoiere poate fi clarificat dacă înainte de

încovoiere se desenează pe suprafaţa barei de cauciuc o reţea de linii drepte

cu spaţiere uniformă în direcţie longitudinală şi transversală. După

încovoiere, se constată că distanţele dintre liniile trasate pe o parte se

măresc, în timp ce în partea opusă se micşorează.

Fig. 8.2

Cu cât este mai subţire bara (distanţa dintre feţele observate ca

opuse) cu atât este mai mic efectul pentru acelaşi moment încovoietor.

Modificarea distanţei dintre linii în direcţie longitudinală pe fiecare

suprafaţă observată este o măsură a deformaţiilor specifice axiale şi deci a

tensiunii axiale care solicită fiecare faţă; de aici se poate desprinde ideea că

este convenabil ca să fie exprimat momentul încovoietor M funcţie de

curbura produsă.

În scopul obţinerii unei astfel de relaţii este necesar să se precizeze anumite

ipoteze simplificatoare iar acesta este motivul şi pentru care teoria expusă în

continuare este cunoscută sub numele de teoria simplă a încovoierii. Aceste

ipoteze simplificatoare sunt date în cele ce urmează:

(1) Bara este iniţial dreaptă şi fără tensiuni iniţiale.

(2) Materialul barei este perfect omogen şi izotrop adică cu aceeaşi densitate

şi aceleaşi proprietăţi elastice pe toate direcţiile.

Page 186: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

187

(3) Limita de elasticitate nu este depăşită pe nici o direcţie.

(4) Modulul de elasticitate în direcţie longitudinală (modulul lui Young) al

materialului este acelaşi la întindere şi compresiune.

(5) Secţiunile plane rămân plane înainte şi după încovoiere.

(6) Fiecare secţiune transversală a barei este simetrică în raport cu planul de

încovoiere, adică în raport cu o axă perpendiculară pe axa neutră (A.N.), una

dintre axele acelui plan neutru.

(7) Nu există nici o forţă rezultantă cu suportul perpendicular pe nici o

secţiune transversală.

(8) Se neglijează presiunea dintre fibrele longitudinale - z=0

(9) Se neglijează deformarea secţiunii transversale (secţiunea transversală îşi

modifică forma din cauza contracţiei transversale, dar această modificare

este neînsemnată şi se poate neglija, întocmai ca la solicitarea axială)

8.2 Încovoierea pură

Dacă vom considera o bară fără tensiuni iniţiale solicitată de un moment

încovoietor M constant de-a lungul barei (o solicitare ca şi când am aplica

cupluri egale la fiecare capăt al barei), adică încovoiere pură, bara se va

încovoia cu raza de curbură ca în figura 8.3b. Ca rezultat al încovoierii

fibrele inferioare se întind iar fibrele superioare se comprimă. Undeva între

aceste două zone există evident puncte în care tensiunile axiale sunt zero.

Locul geometric al acestor puncte este denumit axă neutră (A.N.). Raza de

curbură este deci măsurată de la centrul de curbură până la această axă.

Pentru secţiuni simetrice axa neutră (A.N.) este axă de simetrie; în cazul

unei secţiuni oarecare axa neutră trece întotdeauna prin centrul de greutate

al secţiunii transversale.

Să considerăm acum două secţiuni transversale ale barei HE şi GF iniţial

paralele (înainte de deformare) (a se vedea Fig. 8.3a). Când bara este

încovoiată (Fig. 8.3 b) se presupune că aceste secţiuni rămân plane; aceasta

înseamnă că liniile HE' şi GF', care reprezintă poziţiile finale ale acestor

secţiuni rămân linii drepte. Ele vor forma unghiul . Considerăm acum fibra

AB din material situată la distanţa z de axa neutră (A.N.). Când bara este

încovoiată aceasta se va intinde şi va deveni A’B’.

Deformaţia specifică axială AB =deformatia A B AB

lungimea initiala AB

Dar AB=CD şi din moment ce axa neutră (A.N.) este netensionată,

CD=C'D'.

Page 187: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 188

Deformaţia specifică= zA B AB z

C D

Din legea lui Hooke: E=tensiunea axială / deformaţia specifică axială

Deformaţia specifică axială = /E

Egalând cele două ecuaţii pentru deformaţia specifică rezultă:

z

E

sau

E

z

(8.1)

Fig. 8.3

Considerăm acum o secţiune a barei (Fig. 8.4). Din ecuaţia (8.1) tensiunea

din fibra situată la distanţa z de axa neutră (A.N.) este:

E

z

(8.2)

Relaţia obţinută arată că valoarea tensiunii este proporţională cu distanţa z.

Pe baza acestei relaţii se poate trasa diagrama de distribuţie a tensiunilor

normale pe înălţimea secţiunii transversale. În dreptul fibrelor care-şi

păstrează lungimea (z=0) rezultă evident că tensiunea normală este egală cu

zero.

Planul neutru împarte bara în două părţi. Dacă momentul încovoietor are

valoare pozitivă, ca în cazul de faţă, atunci fibrele situate sub planul neutru

sunt solicitate la întindere (tracţiune) (0), iar cele de deasupra, la

compresiune (0). Tensiunile cele mai mari se produc în dreptul celor mai

îndepărtate puncte de axa neutră:

Page 188: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

189

max max

Ez

.

Relaţia dintre cuplul de încovoiere M şi tensiunile produse pe suprafaţa

secţiunii transversale se obţine cu ajutorul ecuaţiilor de echivalenţă. Pentru

cazul particular al forţelor elementare paralele dA, ecuaţiile de echivalenţă

vor fi:

0A

dA (din ipoteză, în secţiunile transversale nu apar forţe axiale)

0A

ydA (din ipoteză, în secţiunile transversale nu apar momente

încovoietoare dirijate după axa z)

iyA

zdA M (din ipoteză, în secţiunile transversale apar numai momente

încovoietoare dirijate după axa y) (8.3)

Cu expresia (8.2) ecuaţiile de echivalenţă (8.3) devin:

0A

zdA ; 0A

zydA ; 2

iyA

Ez dA M

(

iyM M aplicat). (8.4)

Relaţiile obţinute arată următoarele:

- Dacă 0A

zdA , atunci axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii

transversale, deoarece numai faţă de o axă centrală momentul static al unei

suprafeţe este egal cu zero. Originea O a sistemului de referinţă coincide cu

centrul de greutate al secţiunii transversale.

- Dacă 0A

zydA , atunci axele Oy şi Oz trebuie să fie axe principale de

inerţie ale secţiunii transversale. În cazul încovoierii plane această condiţie

este îndeplinită.

-Dacă se observă că integrala 2

yA

z dA I , este momentul de inerţie al

secţiunii transversale în raport cu axa neutră, atunci se poate scrie:

1 iy

y

M

EI (8.5)

Cu ajutorul acestei relaţii se determină lungimea razei de curbură R, iar

expresia tensiunii normale (8.1) devine:

iy

y

Mz

I (8.6)

Page 189: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 190

Relaţia obţinută permite calculul valorii tensiunii normale în orice punct al

secţiunii transversale. Ea reprezintă relaţia lui L.M.H. Navier şi arată că

valoarea tensiunii normale de încovoiere este o funcţie liniară de distanţa

punctului la axa neutră. Cu relaţia Navier se calculează de obicei tensiunea

maximă de pe suprafaţa secţiunii, situată în dreptul celui mai îndepărtat

punct de axa neutră. Cu max

z z se obţine:

max

max

i i

y y

M z M

I W (8.7)

Sub această formă particulară relaţia Navier conţine ca notaţie

convenţională raportul:

max

y

y

IW

z (8.8)

Această caracteristică geometrică a secţiunii transversale se numeşte modul

de rezistenţă axial, sau modul de rezistenţă la încovoiere. În aplicaţiile

inginereşti relaţia Navier se utilizează în special sub forma (8.7).Unitatea de

măsură a acestei caracteristici geometrice este [L3], adică în S.I. [m3]; în

multe aplicaţii modulul de rezistenţă axial se măsoară în [mm3] sau [cm3] .

Fig. 8.4

Din ecuaţia (8.2) se poate vedea că dacă bara este de secţiune uniformă,

materialul barei este omogen şi momentul aplicat este constant, valorile

pentru I, E şi M rămân constante şi deci şi raza de curbură va fi constantă.

Deci în cazul încovoierii pure a secţiunilor uniforme, deformaţia barelor va

fi sub formă de arc de unde şi denumirea utilizată adesea de încovoiere

Page 190: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

191

circulară. Din ecuaţia (8.2) raza de curbură a deformatei în urma aplicării

unui moment încovoietor M este dată de :

EI

M

adică se află în relaţie de directă proporţionalitate cu cantitatea EI. Deoarece

raza de curbură este o măsură directă a gradului de deformabilitate la

încovoiere al barei, cantitatea EI se numeşte adesea rigiditate la încovoiere

a barei.

În cele prezentate în acest paragraf, nu s-a luat în considerare efectul forţei

tăietoare (s-a considerat doar încovoierea pură). Din exemplele prezentate în

capitolul de diagrame de eforturi secţionale la bare drepte, dar şi din

aplicaţiile practice, apare evident faptul că în cele mai multe cazuri forţa

tăietoare şi momentul încovoietor apar împreună.

Inspectarea diagramelor de forţă tăietoare T şi moment încovoietor M, arată

că atunci când momentul M este maxim forţa tăietoare T este zero. Se va

arăta în acest curs că încovoierea produce cele mai intense stări tensionale şi

deci proiectarea pe baza doar a momentului încovoietor M maxim este în

general adecvată.

Aşa cum s-a arătat mai înainte, este clar că la încovoiere, dacă o

suprafaţă a barei este supusă la întindere iar suprafaţa opusă este supusă la

compresiune există o regiune în interiorul barei în care tensiunile normale

schimbă semnul, adică o regiune în care tensiunile normale sunt zero.

Această regiune cu tensiuni normale nule se numeşte suprafaţă neutră;

intersecţia fiecărei secţiuni transversale a barei cu suprafaţa neutră

reprezintă o dreaptă numită axă neutră.

Ecuaţia (8.3) se poate rescrie în forma:

M

zI

(8.9)

care arată că tensiunea normală este direct proporţională cu z , distanţa

punctului de calcul al tensiunii la axa neutră (A.N.) a solicitării, adică

tensiunea normală variază liniar cu distanţa până la axa neutră (A.N.),

maximul tensiunii normale întâlnindu-se în punctele cele mai îndepărtate de

axa neutră, unde z este maxim.

Distribuţii tipice ale tensiunii normale la încovoiere sunt date în Fig.

8.5, atât pentru secţiuni cu două axe de simetrie (a) cât şi pentru secţiuni cu

o singură axă de simetrie(b). Este evident că materialul în apropierea axei

neutre A.N. este supus unei tensiuni relativ de valoare mică în comparaţie cu

zonele de material îndepărtate de A.N. In scopul obţinerii unei rezistenţe

maxime la încovoiere, este recomandabil să se utilizeze, în măsura

posibilităţilor, secţiuni care au suprafeţe mari în punctele îndepărtate de axa

Page 191: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 192

neutră. In acest sens, barele cu profil I sau T au o largă utilizare în

aplicaţiile inginereşti, cum ar fi grinzile de susţinere în care încovoierea

joacă un rol important. Aceste bare au momente de inerţie mari în raport cu

o axă şi mici în raport cu cealaltă, asigurând rezistenţă mare în raport cu axa

de încovoiere (axa după care este dirijat momentul încovoietor).

O grindă rezistă cu atât mai bine la solicitarea de încovoiere cu cât

modulul ei de rezistenţă (modulul axial) Wy are valoare mai mare. Valoarea

modulului axial depinde nu numai de mărimea ci şi de forma secţiunii

transversale. Astfel, forma secţiunii transversale poate fi considerată cu atât

mai raţională cu cât modulul de rezistenţă are o valoare mai mare pentru un

consum cât mai mic de material(greutatea barei prismatice este legată de

aria secţiunii transversale A).

Fig. 8.5 Distribuţii tipice ale tensiunilor din încovoiere

Indicatorul de folosire raţională a unei secţiuni la încovoiere este raportul

dintre modulul de rezistenţă axial Wy şi aria A a secţiunii transversale a

grinzii, adică y

W

A . Secţiunea este cu atât mai economică cu cât raportul

Page 192: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

193

yW

A este mai mare. Secţiunile profilelor laminate I şi U utilizate în

construcţiile metalice, sunt mult mai raţionale (pentru solicitatea de

încovoiere) decât secţiunea dreptunghiulară sau circulară (care este

secţiunea arborilor- bare rotitoare).

Cu relaţia NAVIER se rezolvă trei categorii de probleme:

- Probleme de dimensionare prin care se determină modulul de rezistenţă

necesar, astfel încât grinda să reziste,

maxiy

ynec

a

MW

-Probleme de verificare, prin care se calculează tensiunea maximă de

încovoiere şi se compară cu tensiunea admisibilă a. Grinda rezistă dacă

max

iy

a

y

M

W

- Probleme de calcul al momentului încovoietor pe care-l poate suporta

grinda

iy a y

M W

Modulul de rezistenţă al secţiunilor compuse nu se poate calcula în

general prin însumarea modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple din

componenţa secţiunii. Pentru orice formă de secţiune compusă valoarea

modulului de rezistenţă axial se determină cu relaţia (8.8).

Calculul de rezistenţă al barelor solicitate la încovoiere se conduce

pentru secţiunea periculoasă a barei, adică pentru secţiunea în care

tensiunea maximă are cea mai mare valoare.

Distribuţia liniară a tensiunilor se modifică dacă în secţiunea

transversală a barei există concentratori de tensiune (găuri, racordări la

trecerea de la o secţiune la alta a barei ). In acest caz, relaţia NAVIER dă

numai valoarea unei tensiuni nominale n, valoarea tensiunii maxime fiind

funcţie de un coeficient teoretic de concentrare a tensiunilor K:

max

iy

K n K

y

M

W (8.10)

Valori ale coeficientului K sunt date în tabele şi diagrame în

memoratoarele inginereşti.

Page 193: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 194

8.3 Aplicaţii

1. Consola din Fig. 8.6 are lungimea de 1.5m şi este încărcată cu o forţă

concentrată F pe capătul liber. Secţiunea ei transversală este circulară (raza

R=100 mm) cu două găuri dispuse simetric faţă de axa longitudinală.

Pentru materialul din care este confecţionată consola se consideră tensiunea

admisibilă a=600MPa (cu aceeaşi valoare atât la întindere cât şi la

compresiune).

Să se determine valoarea maximă permisă a forţei verticale F.

Fig. 8.6

Rezolvare

Pentru secţiunea cu ambele axe transversale axe de simetrie este necesar să

se determine modulul de rezistenţă al secţiunii în raport cu axa după care

este dirijat momentul încovoietor:

Momentul de inerţie Iy: 4 2 24

42 0.5924 4 3 3 2y

R R R RI R

Modulul de rezistenţă Wy: 4

3

max

0.5920.592

y

y

I RW R

z R

Tensiunea maximă de încovoiere în fibrele cele mai îndepărtate de axa

neutră (punctele A şi B din figura) în secţiunea periculoasă (secţiunea din

încastrare) este:

max

max

iy

y

M

W cu

maxiyM F L

La limită tensiunea maximă egalează tensiunea admisibilă a , astfel

Page 194: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

195

6 2

3600 10 /

0.592

F LN m

R

Rezolvând în raport cu F şi ţinând cont că L=1.5m şi R=0.1m se va obţine

F=237KN.

2. Bara extrudată din Fig. 8.7 este confecţionată dintr-un material pentru

care tensiunea admisibilă a=90MPa(cu aceeaşi valoare atât la întindere cât

şi la compresiune).

Bara este o consolă supusă unei sarcini distribuite vertical. Să se determine

intensitatea sarcinii distribuite uniform, dacă bara are secţiunea dată în

Fig. 8.7 (secţiunea este cotată în mm).

Fig. 8.7

Rezolvare

Determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale:

Poziţia centrului de greutate C:

200 30 15 3 150 10 10553.57

200 30 3 150 10

i i

c

i

z Az mm

A

Momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa după care este dirijat

momentul încovoietor:

3

2

3

2 6 4

200 3053.57 15 200 30

12

10 1503 53.57 105 150 10 29.71 10

12

yI

mm

Modulul de rezistenţă la încovoierea în raport cu axa y: 6

6 3

max

29.71 100.235 10

126.43

y

y

IW mm

z

Cu max

180 53.57 126.43z mm

Page 195: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 196

Momentul încovoietor maxim este localizat în încastrare şi are expresia: 2

max 2iy

q LM

La limită, tensiunea maximă este egală cu tensiunea admisibilă:

max

max

iy

a

y

M

W adică

26 2

max90 10 /

2y

q LN m

W

Cu 6 30.235 10y

W m şi L=3[m], intensitatea sarcinii distribuite

uniform va rezulta q=4.7 [KN].

3. Bara simplu rezemată AD din Fig. 8.8 este încărcată cu o forţă

concentrată de 80 KN şi cu un cuplu de amplitudine 30 KN m. Să se

determine profilul standardizat U capabil să suporte această încărcare,

dacă tensiunea maximă admisibilă este a=160MPa (cu aceeaşi valoare

atât la întindere cât şi la compresiune).

Fig. 8.8

Rezolvare:

Calculul reacţiunilor din legăturile din A şi C , articulaţie plană,

respectiv reazem simplu:

0A

M 80 1 2.5 30 0C

V se obţine 44C

V KN

0C

M 2.5 80 1.5 30 0A

V se obţine 36A

V KN

Din diagrama de momente încovoietoare se observă că secţiunea periculoasă

este B, iar valoarea maximă a momentului este 36 KNm.

Modulul de rezistenţă necesar se determină din relaţia:

Page 196: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

197

max

max

necesar

iy

a

y

M

W adică,

3

6 236 10

160 10 /

necesary

N mN m

W

6 3225 10necesar

yW m sau

3225necesar

yW cm

Din tabelele de profile se alege profilul U22 pentru care 22 3245U

yW cm

4. Dacă o sârmă de oţel cu diametrul 0.5mm este îndoită pe un tambur cu

diametrul de 400mm, să se determine valoarea tensiunii maxime de

încovoiere din sârmă. Se va considera modulul de elasticitate în direcţie

longitudinală E=200 GPa.

Rezolvare:

Deoarece raza de curbură este constantă (200mm), rezultă că şi momentul

încovoietor este constant y

iy

E IM

R

pe toată lungimea sârmei curbate.

Deci sârma se comportă ca o bară supusă încovoierii pure (a se vedea Fig.

8.9).

Pentru orice fibră a sârmei situată la distanţa z de axa neutră, deformaţia

specifică va fi:

z

R , în care R este raza de curbură .

Deformaţia specifică maximă apare în fibrele cele mai îndepărtate de axa

neutră, adică la distanţa de 1

0.52

mm . Raza de curbură este aproximativ

200mm. Cu precizie mai mare, raza de curbură ar trebui măsurată de la axa

neutră a sârmei, iar valoarea în acest caz ar trebui să difere de 200mm cu

0.25m, iar această cantitate se poate neglija.

Deci deformaţia specifică maximă în fibra exterioară a sârmei este:

1

0.52 0.00125

200

Page 197: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 198

Fig. 8.9

Fibrele longitudinale sunt supuse tensiunilor de întindere de o parte a

sârmei şi de compresiune de cealaltă parte, fără să existe influenţa altei

tensiuni. Legea lui Hooke conduce la determinarea tensiunii cerute:

9200 10 0.00125 250E MPa

5. Bara simplu rezemată din Fig. 8.10 este supusă unei sarcini liniar

distribuite, având intensitatea maximă q. Dacă bara are secţiunea cu

dimensiunile date în Fig. 8.10, să se determine intensitatea maximă a

sarcinii distribuite, dacă a=125MPa, fie în întindere fie în compresiune.

Se neglijează greutatea barei.

Fig. 8.10

Page 198: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

199

Rezolvare:

Reacţiunile din legăturile 1 şi 2 se determină din ecuaţiile de echilibru

(Fig. 8.11):

10M

2

1 20

2 3

LqL V L

rezultă 2 3

qLV

20M

1

10

2 3

LV L qL

rezultă

1 6

qLV

Fig. 8.11 Fig. 8.12

Intensitatea sarcinii distribuite liniar într-o secţiune oarecarea x

este:x

xq q

L

Expresiile analitice pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor pe

intervalul 1-2 (a se vedea Fig. 8.12) sunt date în tabelul următor:

Intervalul 1-2 0,x L Valori în capetele intervalului şi

valori extreme

21 1

6 2 6 2x

qL qL xT x q x q

L

0T x rezultă 0

3

3

Lx

06

qLT

3

qLT L

3

1

6 2 3

1

6 6

iy x

qL xM x x q x

qL xx q

L

0 0iy

M

0iy

M L

2

max 0

3 3

3 27iy iy

L q LM M x

Momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa încovoierii este:

Page 199: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 200

3 3

6 4150 250 65 210

2 95 1012 12y

I mm

Secţiunea periculoasă este cea cu momentul încovoietor maxim.

Intensitatea sarcinii distribuite se determină din relaţia:

max

max max

iy

a

y

Mz

I cu

max0.125z m

2

6 2

max

3

27125 10 /

y

qL

N m zI

va rezulta 41q KN m .

6. O grindă de lungime L=6m, confecţionată dintr-un profil standardizat

I16, este solicitată de o forţă F=1650 daN prin intermediul unei grinzi 1-

2, ca în Fig. 8.13. Se cere să se calculeze lungimea grinzii 1-2 astfel

încât în grinda A-B să nu se depăşească tensiunea admisibilă

a=1500daN/cm2. Să se dimensioneze apoi şi grinda 1-2.

Rezolvare:

In Fig.8.13 sunt prezentate cele două corpuri solicitate simetric (barele

A-B şi 1-2) izolate şi diagramele de momente încovoietoare pentru

acestea. Zona centrală a barei A-B este solicitată la încovoiere pură

(zona pe care forţa tăietoare este nulă).

Tensiunea maximă din încovoiere din bara A-B este dată de relaţia:

max

16 16max 4

iy

I I a

y y

M F L a

W W

cu 16 3117I

yW cm

Necunoscuta a se determină din inegaliatatea de mai sus: 164 4 117 1500

600 1751650

I

y aW

a L cmF

(se va considera

175a cm )

Momentul încovoietor maxim în bara 1-2 este:

1 2

max

1650 17572187.5

4 4iy

F aM daN cm

Tensiunea maximă în bara 1-2 are expresia: 1 2

max

1 2max

necesar

iy

a

y

M

W

Modulul de rezistenţă necesar al barei 1-2 este:

Page 200: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

201

1 2

max1 2 372187.548.125

1500necesar

iy

y

a

MW cm

Din tabelele de profile se va alege pentru bara 1-2 profilul I12 care are

modulul de rezistenţă 354.7y

W cm .

Fig. 8.13

Page 201: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 202

7. Grinda din Fig. 8.14 cu L=2m poate fi realizată în 3 variante

constructive toate de aceeaşi greutate (secţiunile transversale au aceeaşi

arie). Se cere să se calculeze valoarea momentului M0 pe care-l poate

suporta grinda, în fiecare variantă, dacă parametrul t=4cm şi

a=1500daN/cm2.

Rezolvare:

Modulele de rezistenţă corespunzătoare celor 3 variante constructive

sunt:

1,2,3

1,2,3

1,2,3

max

y

y

IW

z

33

1 34

10.676 6y

tW cm

2 33

2 32 4

21.332 6 3 3y

tt tW cm

Fig. 8.14

Page 202: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

203

Momentul încovoietor maxim care trebuie preluat de grindă este 1,2,3 1,2,3

max 0iy a yM M W

Pentru cele trei variante constructive se obţine: 1

011500 10.67 16005

a yM W daN cm

2

021500 21.33 31995

a yM W daN cm

3

031500 41.07 61605

a yM W daN cm

Obs. Din cele trei secţiuni, varianta a treia rezistă cel mai bine la

încovoiere.

8. O grindă pe două reazeme este solicitată cu o forţă concentrată F.

Secţiunea grinzii este dată în Fig. 8.15, iar materialul este fontă cu

at=350daN/cm2 (la întindere)şi ac=900daN/cm2(la compresiune).

Să se determine valoarea forţei la care tensiunile din fibrele extreme nu

depăşesc rezistenţele admisibile date.

Rezolvare:

Secţiunea periculoasă se găseşte la mijlocul deschiderii unde

max 4iy

F LM

.

Condiţiile de rezistenţă sunt:

max

max max

iy

t t at

y

Mz

I

max

max max

iy

c c ac

y

Mz

I

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale necesare calculului

la încovoiere sunt determinate în continuare.

Poziţia centrului de greutate al secţiunii compuse din dreptunghiurile de

centre C1, C2 şi C3 este:

3 10 6 16 3 20 29 6 2520.33

10 6 3 20 6 25

i i

c

i

z Az cm

A

max32 11.67

t cz z cm

max20.33

c cz z cm

Momentul de inerţie în raport cu axa y, utilizând teorema Steiner este:

Page 203: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 204

3 3

2 2

3

2 4

10 6 3 2020.33 3 6 10 20.33 16 3 20

12 12

25 620.33 29 6 25 33049.96

12

yI

cm

Fig. 8.15

Numeric, condiţiile de rezistenţă vor fi:

La întindere :100 11.67

35033049.96

F rezultă 9912.15F daN

La compresiune:100 20.33

90033049.96

F rezultă 14631.07F daN

Soluţia comună celor două condiţii este 9912.15F daN .

Page 204: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 205

8.4 Tensiuni tangenţiale în secţiunile transversale ale grinzilor solicitate

la încovoiere simplă plană (moment încovoietor însoţit de forţă

tăietoare)

In secţiunile transversale ale grinzilor solicitate la încovoiere simplă

acţionează pe lângă momente încovoietoare şi forţe tăietoare. Relaţia

diferenţială dintre forţa tăietoare şi momentul încovoietor: idM

Tdx

.

expresie care arată că momentul încovoietor este o mărime variabilă în

lungul unei porţiuni de grindă pe care există şi forţă tăietoare.

In Fig. 8.16 a este prezentat un exemplu de grindă solicitată la

încovoiere simplă. Grinda poate avea secţiunea transversală delimitată de un

contur cu linii drepte (Fig. 8.16 c) sau de un contur circular (Fig. 8.16 d).

Dacă în secţiunea I-I a grinzii momentul încovoietor are valoarea Mi, atunci

într-o secţiune vecină II-II, momentul încovoietor ar trebui să aibă o valoare

cu puţin diferită Mi+dMi, chiar dacă forţa tăietoare este constantă pe

porţiunea dx situată între cele două secţiuni I şi II.

Din grindă se izolează un element de lungime dx, dintre secţiunile I-I şi II-

II. Se fac următoarele ipoteze:

- secţiunea transversală este simetrică faţă de axa Oz şi constantă în

lungul grinzii (de exemplu este secţiune dreptunghiulară).

- grinda este confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop, care

satisface legea lui Hooke.

- forţa tăietoare T este dirijată după una dintre axele centrale

principale de inerţie.

Momentele încovoietoare Mi şi Mi+dMi îşi manifestă prezenţa în secţiunile

transversale corespunzătoare prin tensiuni normale , respectiv +d.

Valorile acestora în dreptul unui punct de ordonată z se determină cu relaţia

NAVIER:

i

y

M z

I

respectiv

i i

y

M dM zd

I

(8.10)

Forţa tăietoare T se dezvoltă prin tensiuni tangenţiale repartizate pe

toată suprafaţa secţiunii tranversale şi sunt paralele cu direcţia forţei

tăietoare (sunt cuprinse în planul secţiunii transversale). Dacă secţiunea

transversală ar fi delimitată de un contur circular (Fig. 8.16 d) atunci, în

dreptul punctelor de contur tensiunea tangenţială ar trebui să fie

tangentă la contur. Dacă tensiunea tangenţială ar avea o direcţie oarecare în

dreptul punctelor de contur, atunci s-ar putea realiza o descompunere a

vectorului tensiune tangenţială în două componente : una tangentă la contur

Page 205: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

206

şi cealaltă normală la contur. Componentei normale la contur i-ar

corespunde, în conformitate cu principiul parităţii sau dualităţii tensiunilor

tangenţiale, o tensiune egală situată pe mantaua periferică a barei orientată

în lungul acesteia (după axa x). La încovoierea simplă însă, nu se aplică

asupra barei forţe longitudinale şi deci cele două tensiuni egale,

componenta normală la contur şi perechea ei de pe suprafaţa exterioară a

barei trebuie să fie nule. Rămâne să fie diferită de zero, deci, doar

componenta tensiunii tangenţiale tangentă la contur. In cazul secţiunii

dreptunghiulare tensiunea tangenţială are direcţia şi sensul forţei tăietoare,

adică z.

Pentru schema considerată în Fig. 8.16, axa neutră a solicitării este

axa Oy ; se consideră o linie B-C de lungime b paralelă cu axa neutră în

secţiune. Fie z distanţa de la axa neutră la această linie, iar aria situată sub

linia B-C are valoarea Az. Ipoteza lui D.I. Juravski admite că valorile

tensiunilor tangenţiale z sunt egale în dreptul tuturor punctelor de pe linia

B-C.

Intr-un plan longitudinal al grinzii (o suprafaţă dreptunghiulară cu

laturile de lungime b şi dx - Fig. 8.16 b), în conformitate cu principiul

parităţii tensiunilor tangenţiale, ar trebui să existe tensiuni tangenţiale,

dirijate în lungul grinzii şi egale cu componentele z.

Acest plan longitudinal împarte elementul dx în două părţi; partea de

jos a elementului situată sub linia B-C este solicitată atât cu tensiuni

tangenţiale z datorită forţei tăietoare cât şi tensiuni normale , +d

produse de momentele încovoietoare.

Ecuaţia de echilibru a forţelor elementare de pe elementul situat sub linia B-

C este :

0x

F sau 0

z z

zA A

d dA dA b dx

Cu relaţia NAVIER, ecuaţia de mai sus devine:

0

z z

i i i

zA Ay y

M dM z M zdA dA b dx

I I

Ţinând cont de relaţia diferenţială dintre forţa tăietoare şi momentul

încovoietor, se obţine relaţia Juravski:

y

z

y

T S

b I

Page 206: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 207

în care

z

yA

S z dA este momentul static faţă de axa Oy al suprafeţei de

arie Az situată sub linia B-C. Suprafeţele situate sub sau deasupra liniei B-C

tind să lunece una faţă de cealaltă. De aceea momentul static Sy se numeşte

momentul static al suprafeţei care tinde să lunece.

Fig. 8.16

In relaţia Juravski forţa tăietoare T şi momentul de inerţie axial Iy sunt

constante în secţiune, în timp ce momentul static Sy şi lăţimea b sunt

cantităţi variabile (depind de forma şi dimensiunile secţiunii). Valoarea

tensiunii tangenţiale depinde de raportul y

S

b, ceea ce înseamnă că tensiunea

tangenţială depinde de ordonată z . Pentru mai multe forme de secţiuni

Page 207: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

208

transversale raportul y

S

b prezintă cea mai mare valoare în axa neutră şi unde

deci apar tensiunile tangenţiale cele mai mari. Pe marginile inferioară şi

superioară ale secţiunii transversale tensiunile tangenţiale 0z

deoarece

Az =0.

In dreptul punctelor de contur, la contururile circulare, după ce se

calculează componenta z , se poate determina atât componenta tensiunii

tangenţiale paralele cu axa Oy y, cât şi tensiunea tangenţială totală (cu

direcţia tangentă la contur). Componenta y se exprimă funcţie de înclinarea

conturului, de exemplu funcţie de unghiul dintre tangenta la contur şi axa

Oz.

Expresia tensiunii tangenţiale maxime pentru câteva forme de

secţiune transversală este dată în tabelul 8.1; în formule T este forţa

tăietoare, iar A este aria secţiunii transversale. Distribuţia tensiunii

tangenţiale pe înălţimea secţiuniilor este parabolică (Deutsch I, 1979).

Tabelul 8.1

max

3

2

T

A

max

4

3

T

A

max2

T

A

În mod obişnuit, în calculul de rezistenţă al grinzilor solicitate la

încovoiere simplă se foloseşte relaţia Navier, deoarece în cele mai multe

cazuri tensiunile normale maxime sunt mult mai mari decât tensiunile

tangenţiale maxime. Sunt însă cazuri în care este necesară şi evaluarea

tensiunilor tangenţiale, de forfecare, cu ajutorul relaţiei Juravski. Aceste

cazuri particulare sunt:

- cazul grinzilor scurte sau al grinzilor solicitate pe porţiuni scurte de către

momentele încovoietoare situaţie în care tensiunile tangenţiale pot atinge

valori mari; tensiunile tangenţiale sunt mai periculoase decât cele normale

dacă: max

max

a

a

Page 208: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 209

- cazul grinzilor cu secţiuni compuse obţinute prin îmbinarea mai multor

elemente care lucrează împreună la încovoiere. Dacă grinzile nu sunt

îmbinate, atunci ele se pot deforma independent (a se vedea Fig. 8.17); dacă

forţa de frecare dintre grinzi este mică, atunci cele două suprafeţe alunecă

una faţă de cealaltă. Fenomenul se numeşte lunecare longitudinală, iar

îmbinarea elementelor din care este compusă grinda împiedică lunecarea

longitudinală.

Fig. 8.17

Grinzile compuse îmbinate prin sudură, sunt mult utilizate în domeniul

construcţiilor metalice; funcţie de mărimea momentului încovoietor

depinzând de încărcarea şi deschiderea grinzii, se pot adopta mai multe

soluţii constructive:

- pentru valori mici ale momentelor încovoietoare se folosesc profile

laminate;

- pentru valori medii ale momentelor încovoietoare se pot utiliza

grinzi compuse din platbande şi corniere, structuri numite şi grinzi cu inimă

plină;

- pentru valori foarte mari ale momentelor încovoietoare se folosesc

structurile tip grindă cu zăbrele.

Următoarele aplicaţii ilustrează un mod de calcul la încovoiere simplă a

unei grinzi a cărei secţiune transversală este compusă:

Page 209: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

210

a) din platbande îmbinate prin sudură (soluţie constructivă pentru

valori medii ale momentului încovoietor);

b) din bucăţi de lemn prin încleiere.

a) Să se calculeze pentru grinda din Fig. 8.18 tensiunile maxime de

încovoiere şi de forfecare în secţiunile în care momentul încovoietor,

respectiv forţa tăietoare au cele mai mari valori (secţiuni periculoase).

Secţiunea transversală a grinzii este un dublu T, confecţionată din platbande,

prin sudură (Fig. 8.19). Dacă sudura are grosimea a=7mm şi lungimea

cordoanelor este c=10cm, să se găsească distanţa dintre cordoane astfel încât

tensiunile din sudură să nu depăşească as=800 daN/cm2.

Fig. 8.18

Rezolvare:

Grinda din Fig. 8.18 este un sistem simetric (are simetrie geometrică

şi simetrie de încărcare). Reacţiunile din legăturile grinzii, amplasate la

distanţe egale de axa de simetrie geometrică S, vor fi egale între ele şi de

valoare 840kN fiecare pentru a realiza echilibrul grinzii pe verticală.

Fig. 8.19

Page 210: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 211

Diagrama de forţe tăietoare pentru acest sistem va fi antisimetrică, iar

diagrama de momente încovoietoare va fi simetrică. Cele două diagrame pot

fi deci stabilite prin parcurgerea sistemului doar până în axa de simetrie,

extinderea lor pe tot sistemul realizându-se ţinând cont de proprietăţile de

simetrie şi antisimetrie (Fig. 8.18).

Expresiile analitice pentru T şi Miy sunt date în tabelul de mai jos:

Intervalul 1-2 0,1x m Valori în capetele intervalului

420 42T x x

0 420T kN

1 462T m kN

2

420 422iy

xM x x

0 0iy

M

1 441iy

M m kN m

Intervalul 2-S 1 ,5x m m Valori în capetele intervalului

420 42 840

420 42

T x x

x

1 378T m kN

5 210T m kN

2

420 42 840 12iy

xM x x x

1 441iy

M m kN m

5 735iy

M m kN m

Cea mai mare valoare a momentului încovoietor (735 kNm) se înregistează

în axa de simetrie, iar valoarea tensiunii maxime se obţine cu relaţia

NAVIER: max

S

iyS

y

M

W , în care

max

y

y

IW

z

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale care trebuie evaluate

pentru calculul la încovoiere sunt momentul de inerţie axial în raport după

care este dirijat momentul încovoietor Iy şi modulul axial Wy (de rezistenţă

la încovoiere):

3 3

2 424 2 1 80

2 41 2 24 204074.6712 12y

I cm

3

max

204074.674858.92

42

y

y

IW cm

z

4

2

3max

735 101513 /

4858.92

S

iyS

y

M daN cmdaN cm

W cm

Page 211: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

212

Forţele tăietoare T maxime se produc în dreptul reazemelor 2 şi 3 şi au

valoarea 462kN.

Tensiunea maximă de forfecare din aceste două secţiuni apare în dreptul Oy

(axa neutră) şi se calculează cu relaţia Juravski:

y

z

y

T S

b I

, în care

T=462kN -forţa tăietoare în dreptul reazemelor

324 2 41 1 40 20 2768y

S cm - momentul static în raport cu axa

neutră

b=1cm- lăţimea profilului în axa neutră

Iy=204074.67cm4. 2

max 2

max

462 10 2768626.64 /

1 204074.67

y

z

y

T SdaN cm

b I

Forţa de lunecare longitudinală dintre inima profilului şi cele două

platbande pe o lungime de grindă „e” se poate calcula pornind de la relaţia

Juravski în care momentul static este doar cel al platbandei (inferioară sau

superioară) 324 2 41 1968y

S cm , iar lăţimea este grosimea inimii

b=1cm:

y

l

y

T SN e

I

Tendinţei de lunecare produse de această forţă pe lungimea „e” i se va

opune existenţa celor două rânduri de suduri cu grosimea de 0.7cm şi

lungimea c=10cm; la limită, când în cordoanele de sudură se dezvoltă

tensiunea as=800 daN/cm2, lungimea „e” care este şi pasul sudurii se

calculează cu relaţia:

2y

l as

y

T SN e a c

I

2462 10 19682 800 0.7 10

204074.67e

Se obţine e=25.1cm.

Distribuţia tensiunii tangenţiale din forfecare pentru profilul compus dublu

T este reprezentată în Fig. 8.20; saltul de tensiune este înregistrat la

modificarea bruscă a lăţimii „b” (relaţia Juravski) de la valoarea b=24cm la

valoarea b=1cm.

Page 212: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 213

Fig. 8.20

b) O grindă din lemn este realizată prin încleiere din două bucăţi (Fig. 8.21).

Se cere să se verifice această grindă. Se cunosc: a=120 daN/cm2, a=6

daN/cm2 pentru stratul de liant.

Fig. 8.21

Rezolvare:

Diagramele de variaţie pentru forţa tăietoare şi momentul încovoietor sunt

reprezentate în Fig. 8.21 şi corespund unui sistem cu simetrie geometrică şi

de încărcare; reacţiunile din legături sunt şi ele de valoare egală.

Page 213: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

214

Momentul de inerţie în raport cu axa de încovoiere, axa Oy, este:

3 3

424 12 10 6

327612 12y

I cm

Modulul de rezistenţă axial este:

3

max

3276546

6

y

y

IW cm

z .

Tensiunea normală maximă din încovoiere în secţiunea periculoasă (axa de

simetrie geometrică) este: 4

max 2

max

3.125 1057.23 /

546

iy

a

y

MdaN cm

W

Tensiunea tangenţială maximă în dreptul reazemelor se calculează cu relaţia

Juravski: 2

2

max

5 10 3874.21 /

14 3276

y

a

y

T SdaN cm

b I

T=5kN -forţa tăietoare în dreptul reazemelor

36 24 3 3 10 1.5 387y

S cm - momentul static în raport cu axa

neutră

b=14cm- lăţimea profilului în axa neutră

Iy=3276cm4.

Se constată că ambele tensiuni normală şi tangenţială sunt sub limita

admisibilă.

8.5 Deformaţiile grinzilor drepte solicitate la încovoiere

8.5.1 Generalităţi

Solicitate la încovoiere grinzile drepte se deformează luând forme

curbe. Această curbare poate fi oglindită cel mai reprezentativ de fibra

medie deformată a grinzii, care nu suferă modificări de lungime, punctele ei

suferind numai deplasări orizontale şi verticale. In practică, deformaţiile

măsurate pe orizontală sunt mult mai mici decât cele de pe verticală, care

sunt cunoscute sub denumirea de săgeţi.

Page 214: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 215

Fig. 8.22

Prin studiul deformaţiilor de încovoiere se urmăreşte fie stabilirea

formei deformate a grinzii, fie determinarea deplasărilor produse în dreptul

unor secţiuni.

In Fig. 8.22 s-a reprezentat o grindă deformată raportată la sistemul

de axe xOz (planul de încărcare) cu originea în unul dintre punctele de

rezemare.

Starea deformată din dreptul unei secţiuni transversale oarecare

situată la distanţa x, poate fi caracterizată prin următoarele caracteristici

geometrice:

-deplasarea transversală w, denumită săgeată, care rezultă direct din

ecuaţia fibrei medii deformate, ca fiind ordonata w corespunzătoare unei

abscise x,

w f x (8.11)

- înclinarea fibrei medii deformate sau a secţiunii transversale ,

denumită rotire, care se obţine prin derivarea ecuaţiei fibrei medii

deformate,

dw

tgdx

(8.12)

- raza de curbură a fibrei medii deformate sau curbura 1 , dată

de cea de a doua derivată a ecuaţiei fibrei medii deformate:

2

22

3 22 2

1

1

d w

d w ddx

dx dxdw

dx

(8.13)

Page 215: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

216

Relaţiile finale ale rotirii (8.12) şi curburii (8.13) sunt aproximative. Ele se

bazează pe ipoteza micilor deformaţii care conduce în acest caz la erori

neglijabile.

In sistemul de referinţă ales, o săgeată pozitivă constituie o deplasare

w orientată în jos (sensul pozitiv al axei Oz), iar o rotire pozitivă

corespunde cu sensul orar.

In practică (angrenaje, cuplaje), este necesară de multe ori

cunoaşterea acestui unghi , care reprezintă unghiul cu care se roteşte

secţiunea considerată faţă de poziţia iniţială a grinzii nedeformate.

Modul de curbare a grinzii, respectiv sensul de deplasare a punctelor

şi de rotire a unghiurilor, rezultă din calcule, fiind funcţie de modul de

rezemare şi de încărcarea grinzii.

In calcule, deformaţiile nu trebuie să depăşească anumite valori

admisibile impuse de buna funcţionare a sistemului, ceea ce presupune

cunoaşterea valorilor maxime ale deformaţiilor secţiunilor în care se produc.

Determinarea deformaţiilor de încovoiere este importantă în

următoarele probleme:

-la calculul unor organe de maşini unde sunt impuse condiţii de

rigiditate, ca de exemplu, raportul dintre săgeata maximă şi deschiderea

grinzii;

-ridicarea nedeterminării statice cu ajutorul relaţiilor de calcul ale

deplasărilor;

-solicitări dinamice – calcule în care intervin relaţiile săgeţilor şi

rotirilor.

Relaţiile de calcul ale deformaţiilor din încovoiere se stabilesc pe

baza ipotezelor de la solicitarea de încovoiere pură (de la stabilirea relaţiei

NAVIER), adică se consideră că grinda este confecţionată dintr-un material

omogen, izotrop, cu comportare liniar elastică.

In demonstrarea relaţiei NAVIER s-a obţinut expresia curburii fibrei

medii deformate din paragraful 8.2:

1 iy

y

M

EI (8.14)

unde EIy reprezintă modulul de rigiditate la încovoiere al secţiunii

transversale.

Din relaţia curburii se observă că o grindă de rigiditate constantă

.y

EI const solicitată la încovoiere pură .iy

M const , se va deforma sub

forma unui arc de cerc, deoarece raza de curbură este constantă - =const.

Relaţia (8.14) deşi a fost determinată în condiţiile încovoierii pure, se poate

utiliza şi în cazul încovoierii simple (momentul încovoietor este însoţit de

Page 216: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 217

forţa tăietoare), deoarece influenţa forfecării asupra deplasărilor din

încovoiere este mică.

Utilizând expresiile (8.12) şi (8.14) se obţine ecuaţia diferenţială

aproximativă a fibrei medii deformate:

2

2

1 iy

y

Md w

dx EI (8.15)

Relaţia (8.15) conţine o nepotrivire de semn faţă de sistemul de referinţă

din Fig. 8.22, deoarece dacă 0iy

M , atunci o dată cu creşterea variabilei x,

funcţia dw

dx scade, iar

2

20

d d w

dx dx

, contrar celor afirmate de relaţia în

discuţie. Deci forma corectă a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei

medii deformate în raport cu sistemul de referinţă ales este:

2

2

iy

y

Md w

dx EI (8.16)

8.5.2 Integrarea analitică a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei

medii deformate

Metoda analitică de integrare sau integrarea directă a ecuaţiei

diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate se bazează pe ecuaţia

diferenţială de ordinul doi (8.16).

Prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (8.16) se obţin expresiile

rotirilor şi săgeţilor.

Prin integrare se obţin şi câte două constante de integrare pentru fiecare

regiune de grindă, constante care se determină cu ajutorul condiţiilor de

legătură(rezemare) şi al condiţiilor de continuitate ale fibrei medii

deformate.

Condiţiile de legătură exprimă valoarea săgeţii şi rotirii fibrei medii

deformate în dreptul legăturilor. Astfel, în dreptul reazemelor, articulaţiilor

şi al încastrărilor rigide (Fig. 8.23) săgeţile grinzilor sunt egale cu zero, iar

în încastrarea rigidă fibra medie nu se înclină (rotirea este zero).

Fig. 8.23 Fig. 8.24

Page 217: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

218

Condiţiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă

continuitatea acesteia în dreptul secţiunilor de trecere de la o regiune de

grindă la cea următoare.

Chiar dacă expresia momentului încovoietor sau rigiditatea grinzii se

schimbă de la o regiune la alta, fibra medie este o curbă continuă şi în

dreptul secţiunilor de trecere. Continuitatea se exprimă prin egalitatea

săgeţilor şi rotirilor de pe cele două regiuni învecinate (1) şi (2) respectiv (2)

şi (3)(Fig. 8.24).

Metoda analitică de integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a

fibrei medii deformate poate fi utilizată pentru calculul deplasărilor elastice

la orice grindă dreaptă solicitată la încovoiere. Este avantajos însă să se

utilizeze metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale aproximative a

fibrei medii deformate în cazul stărilor simple de încărcare cu una sau două

regiuni de încărcare. In cazul existenţei mai multor regiuni metoda devine

greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrare presupune un

volum mare de calcule.

8.5.2.1 Aplicaţii

1. Pentru grinda încastrată solicitată de o forţă concentrată, aplicată la

capătul liber (Fig. 8.25) se cere să se determine săgeata maximă şi rotirea

maximă .

Rezolvare

Grinda se compune dintr-o singură regiune cu expresia momentului

încovoietor:

i

M F l x

Cum rigiditatea la încovoiere a grinzii este constantă pe toată lungimea ei,

prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate se obţine

succesiv:

2

2 i

d wEI M F l x

dx ; Ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii

deformate 2

12

dw xEI F l x C

dx

; Expresia rotirii

2 3

1 22 6

x xEIw F l C x C

. Expresia săgeţii

Page 218: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 219

Deoarece grinda se compune dintr-o singură regiune, constantele de

integrare se determină impunându-se condiţiile de legătură. In acest caz,

condiţiile de legătură sunt:

Pentru x=0 0w şi 0dw

dx

Impunând condiţiile de legătură de mai sus în expresiile pentru rotire şi

pentru săgeată se vor obţine:

1 20C C

Fig. 8.25

Pentru x=l rezultă că săgeata şi rotirea sunt maxime:

3

max 3

Flw

EI respectiv

2

max 2

Fl

EI

2. Pentru grinda din Fig. 8.26 rezemată la capete şi încărcată cu o sarcină

uniform distribuită, să se determine săgeata maximă şi rotirea in reazeme.

Bara are rigiditatea constantă la încovoiere.

Fig. 8.26

Rezolvare:

Reacţiunile din legături sunt egale între ele şi fac echilibrul sarcinii uniform

repartizate pe acest sistem cu simetrie geometrică şi de încărcare

1 2 2

qlV V .

Page 219: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

220

Bara are un singur interval de variaţie a eforturilor secţionale; ecuaţia

diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate în acest caz este:

2

2

2 2i

d w qEI M x x lx

dx

Prin integrare se obţine: 3 2

12 3 2

dw q x xEI l C

dx

Expresia rotirii

4 3

1 22 12 6

q x xEIw l C x C

Expresia săgeţii

Condiţiile de rezemare sunt:

-Pentru x=0 1

0 0w x w

-Pentru x=l 2

0w x l w

Cu aceste condiţii, valorile constantelor de integrare sunt: 3

1 24

qlC şi

20C .

Săgeata maximă se află la mijlocul grinzii; se înlocuieşte (2

lx ) în

expresia săgeţii: 4 3

3

max

2 2

2 2 12 6 24 2

l l

l q ql lEIw x EIw l

4

max

5

24

qlw

EI

Rotirea fibrei medii are valori maxime în cele două reazeme:

4

1 20

24

qlx x l

EI

Pentru schemele simple de încărcare din Fig. 8.27 şi 8.28 sunt date

doar valorile maxime pentru rotire şi săgeată, obţinute prin integrarea

directă a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate. Constantele de

integrare se obţin prin impunerea condiţiilor de rezemare (schema din Fig.

8.27) şi prin impunerea atât a condiţiilor de rezemare cât şi a condiţiilor de

continuitate (schema din Fig. 8.28).

Rezultatele pentru poziţia săgeţii maxime corespunzătoare celor

două scheme (Fig. 8.27 şi Fig. 8.28) arată că într-un calcul practic, în cazul

Page 220: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 221

unei grinzi încărcate cu forţe de acelaşi sens, situate între cele două

reazeme ale grinzii, săgeata la mijlocul grinzii poate fi acceptată în mod

aproximativ ca săgeată maximă a grinzii.

Fig. 8.27

Rotirile în reazeme:

0

1 3

M l

EI 0 1

2 6 2

M l

EI

Săgeata maximă

0.423x l

2

0

max 9 3

M lw

EI

Fig. 8.28

Rotirile în reazeme: 2

1 2 16

Fl

EI

Săgeata maximă

0.577x l

3

max 48

Flw

EI

8.5.3 Metoda parametrilor iniţiali

Un algoritm mai simplu care elimină necesitatea scrierii condiţiilor

de continuitate în punctele de frontieră dintre regiuni, reprezentând în

acelaşi timp o sistematizare a etapelor de rezolvare, se obţine în metoda

parametrilor iniţiali.

Parametrii iniţiali în această metodă sunt săgeata şi rotirea în

originea aleasă (care sunt şi singurele constante de integrare); parametrii în

origine sunt deci săgeata în origine notată w0 şi rotirea în origine notată 0.

În metoda parametrilor iniţiali se porneşte de la ecuaţia diferenţială

aproximativă a fibrei medii deformate, în care pentru momentul încovoietor

se scrie o singură expresie valabilă pentru întrega grindă, oricâte regiuni ar

avea aceasta.

Să urmărim algoritmul metodei pe un caz general, în care o bară este

acţionată de mai multe încărcări de acelaşi tip şi anume: de momente

concentrate Mi în secţiunile 0i

a , de forţele concentrate Fj în secţiunile

0j

b şi de încărcările uniform repartizate de intensitate qk aplicate pe

intervalele , 0k k

x c d (Fig. 8.29 a ) .

Page 221: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

222

Fig. 8.29

Pentru cuplurile exterioare Mi s-a considerat ca sens pozitiv sensul

orar, iar pentru forţele Fj şi qk , sensul axei z (descendent).

Se porneşte de la ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii

deformate: 2

2y iy

d wEI M

dx

Expresia momentului încovoietor este:

2

0

0 0

2

2!

2!

k

iy i i j j ki j k

k

kk

x cM x M T x M x a F x b q

x dq

(8.17)

Page 222: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 223

Ultimul termen din expresia momentului încovoietor se referă la

contraponderea sarcinii distribuite pe regiunea pe care ea este extinsă până

la capătul grinzii, extindere realizată datorită modalităţii de scriere a unei

expresii unice a momentului încovoietor pentru întreaga grindă (Fig. 8.29

b).

Expresia rotirii este:

2

2

0 0

0

3 3

2! 2!

3! 3!

jji

ii j

y y y y

k kk k

k ky y

x bFM T Mxx x x a

EI EI EI EI

x c x dq q

EI EI

(8.18)

Expresia săgeţii:

322 3

0 0

0 0

4 4

2! 3! 2! 3!

4! 4!

jjii

i jy y y y

k kk k

k ky y

x bFx aM T Mx xw x w x

EI EI EI EI

x c x dq q

EI EI

(8.19)

Expresia forţei tăietoare este:

0

0 j j k k k kj k k

T x T F x b q x c q x d (8.20)

Forţele exterioare care apar pe bară (inclusiv reacţiuni) intervin în

expresiiile săgeţii şi rotirii din secţiunile situate în dreapta celei în care

acţionează. Relaţiile (8.18) şi (8.19) se pot considera valabile pe toată

lungimea barei, reţinând convenţia ca termenii din sumă să se adauge

numai dacă monoamele ,i j

x a x b au valori strict pozitive.

Pentru a putea utiliza această regulă, sunt menţionaţi în expresiile

momentului încovoietor şi forţei tăietoare monomul ,i j

x a x b la

puterea zero.

In aplicaţii, se poate utiliza şi separarea intervalelor de variaţie ale

eforturilor secţionale prin bare verticale (a se urmări primul exemplu de

calcul de la metoda parametrilor iniţiali).

Page 223: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

224

Algoritmul general de rezolvare al unei probleme cu metoda

parametrilor iniţiali pentru bara static determinată sau nedeterminată,

conţine următoarele etape:

(a) analiza structurii statice şi stabilirea condiţiilor pe care săgeata şi

derivata sa (rotirea) urmează să le satisfacă la extremităţile barei şi în

reazemele intermediare;

(b) suprimarea legăturilor cu terenul din reazeme intermediare (dar

nu şi reazemele de la extremităţi) şi introducerea reacţiunilor necunoscute;

(c) scrierea expresiilor generale ale săgeţii şi rotirii pentru întreaga

grindă în funcţie de încărcările exterioare (acţiuni şi reacţiuni intermediare)

utilizând relaţiile de tip (8.17) până la (8.20);

(d) prin impunerea condiţiilor (a), se obţine un sistem algebric având

ca necunoscute parametrii iniţiali şi reacţiunile intermediare;

(e) rezolvarea sistemului şi stabilirea expresiilor deplasărilor pe

intervale (la care se pot adăuga eforturile pe intervale), cu ajutorul relaţiilor

(8.17) până la (8.20).Acestea rezultă numai din încărcările exterioare şi din

geometria barei, deoarece după rezolvarea sistemului (d) toate valorile

necunoscutelor depind doar de încărcările cunoscute şi de dimensiunile

barei.

Rezultă că în rezolvare nu este neapărat necesară o etapă distinctă în

care să se rezolve static bara (reacţiuni şi eforturi), fapt care este deosebit de

important în cazul sistemelor static nedeterminate. Totuşi, atunci când este

posibil (la sistemele static determinate) este indicat să se calculeze într-o

primă etapă reacţiunile şi eforturile, deoarece acestă etapă simplifică

calculele datorită faptului că dă posibilitatea precizării de la început a cel

puţin doi parametri iniţiali (T0 şi M0).

Metoda parametrilor iniţiali este o metodă simplă cu ajutorul

căreia se pot determina rotiri şi săgeţi pentru bare cu rigiditate constantă

la încovoiere, solicitate prin scheme complexe de încărcare.

8.5.3.1 Aplicaţii

1. Pentru grinda cu încărcările şi dimensiunile din Fig. 8.30 se cere

să se scrie expresiile deformaţiei unghiulare (rotirii) şi săgeţii în general şi

să se calculeze valorile lor în punctul 3.

Rezolvare:

Bara din Fig. 8.30 este static determinată. Este recomandabil să se

calculeze reacţiunile din legături înainte de a se aplica metoda parametrilor

iniţiali.

2

1 20: 2 2 2.5 2 0M qa a q a a qa a qa V a

Page 224: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 225

Rezultă 2

3

2V qa

2

2 10: 2 2 2 0.5 0M V a qa a qa a qa qa a

Rezultă 1

1

2V qa . Reacţiunea V1 are sensul contrar celui presupus

iniţial (sensul considerat este cel al vectorului reprezentat cu linie

întreruptă).

Fig. 8.30

Expresia momentului încovoietor considerând originea în articulaţia

1 este:

2

32

13

2

02

24

1 32

2 2 2

2

2

i

xM x qa x q qa x a qa x a

x aqa x a q

Pentru a putea urmări cu uşurinţă expresiile momentelor

încovoietoare corespunzătoare intervalelor de variaţie de pe bară, acestea au

fost separate prin bare verticale (s-ar fi putut renunţa la delimitatea

intervalelor folosind pentru identificare doar monoamele care apar).

Deasemenea a fost înlocuită scrierea cu factoriale cu valorile acestora.

Expresia generală a rotirii:

2 22 3

0

13 32

3

2

24

21 3

2 2 6 2 2 2

2

6

x a x adw x xEI EI qa q qa qa

dx

x aqa x a q

Expresia generală a săgeţii:

Page 225: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

226

33 4

0 0

13 32

3 2 4

2

24

1

2 6 24 6

2 23

2 6 2 24

x ax xEIw EIw EI x qa q qa

x a x a x aqa qa q

Constantele de integrare 0

EI şi 0

EIw se determină impunând condiţiile de

rezemare în expresia generală a săgeţii:

-Pentru x=0 0

0 0w x w Rezultă: 0

0EIw

-Pentru x=2a 2 0w x a adică:

3 4

0

2 212 0 2

2 6 24

a aEIw a EI a qa q Rezultă

3

0 12

qaEI

Rotirea în punctul 3 se obţine înlocuind în relaţia generală a rotirii pe x=a:

2 33

3

10

12 2 2 6

a aqaEI x a EI a qa q rezultă că rotirea în

punctul 3 este zero.

Săgeata în punctul 3 se obţine înlocuind în relaţia generală a săgeţii pe x=a:

3 43

3

1

12 2 6 24

a aqaEIw x a EIw a qa q rezultă

4

3 24

qaw

EI

Deplasarea transversală se va face în jos (w3 este pozitiv) iar tangenta la

poziţia deformată a barei este paralelă cu axa nedeformată a barei (3=0).

2.Să se calculeze unghiul de înclinare al fibrei medii deformate în punctele 2

şi 3 şi săgeata în punctul 4, la grinda din Fig. 8.31, cu articulaţie interioară

în punctul 2.

Rezolvare:

Grinda din Fig. 8.31 este static determinată (două corpuri şi şase ecuaţii de

echilibru static).

Se aplică metoda parametrilor iniţiali cu 1

0 şi 1

0w (condiţii de

legătură în încastrarea 1).

Page 226: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 227

Separând corpurile (separând bara în articulaţie) se pot calcula reacţiunile

(se rezolvă ecuaţiile de echilibru întâi pentru bara 2 – 3 încărcată simetric).

Se obţin valorile: 2 3 2

qlV V şi

2

1 1;

2 2

ql qlV M .

Expresiile momentelor încovoietoare pentru cele două intervale excluzând

articulaţia interioară sunt: 2

12

2 2

ql qlM x ;

223

2

xM q

Pentru a utiliza metoda parametrilor iniţiali pentru întreaga bară 1-2-3, la

prima integrare a ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate

se introduce un salt de pantă (unghiul de rotire relativă din articulaţia 2) pe

care îl considerăm negativ şi îl poziţionăm pe grindă cu monomul 0

x l ;

în acest fel putem unifica cele două intervale 1-2 şi 2-3 şi ţine cont de

frângerea barei în articulaţia 2:

32 20

2

12 232 2 2 6

x lql ql xEI x EI x l q

Expresia rotirii

42 2 3

2

12 232 2 2 6 24

x lql x ql xEIw EI x l q

Expresia săgeţii

Fig. 8.31

Page 227: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

228

Valoarea saltului unghiului de rotire scris în forma 2

EI se determină

scriind condiţia de săgeată nulă pe reazemul 3, adică la x=2l:

2 3 42

2

2 22 0

2 2 2 6 24

l l lql qlEIw x l EI l q

Se obţine 3

2

3

8

ql

EI .

Expresia săgeţii în punctul 2 este:

2 32 4

2 2 2 2 6 6

l lql ql qlEIw EIw x l

Săgeata în punctul 2 este pozitivă (articulaţia 2 se deplasează înjos).

Expresia săgeţii în punctul 4 este: 2 3 4

2

4

3 3 3

3 3 32 2 2

2 2 2 2 6 8 2 24

l l ll

l ql ql ql lEIw EIw x l q

Se obţine: 4

4

37

384

qlw

EI .

Rotirea în punctul 2 este:

22 3 3

2

3

2 2 2 8 8

lql ql ql qlEI EI x l l

2 32 3 3

3

2 3 52 2

2 2 2 8 6 24

l lql ql ql qlEI EI x l l q

3. Să se calculeze săgeata în secţiunea 3, la grinda încastrată din Fig. 8.32,

dacă momentele de inerţie pe cele două intervale sunt I1 şi I2 (I1=2I2).

Rezolvare:

Pentru calculul săgeţii din punctul 3 vom utiliza metoda parametrilor

iniţiali (cu ambele constante de integrare nule - săgeata şi rotirea în originea

1). Deoarece secţiunea grinzii este în trepte, metoda parametrilor iniţiali se

va aplica pe o grindă echivalentă cu cea dată având moment de inerţie

constant (fie I1, fie I2); vom considera grinda echivalentă cu momentul de

inerţie cel mai mic, I2.

Pentru a obţine grinda echivalentă, prima etapă de calcul presupune

trasarea diagramelor de forţe tăietoare T şi de momente încovoietoare Mi

(ca în Fig. 8.32), pe singurul interval de variaţie (3-1)

Page 228: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 229

Intervalul 3-1 0,x l Valori în capetele intervalului

.T x F const Funcţie constantă

i

M x F x 0 0i

M

i

M l F l

Valorile din diagramele de eforturi se transpun pe cele două

tronsoane de momente de inerţie diferite (se va ţine seama de convenţia de

semne pentru eforturi); această etapă poate fi urmărită în Fig. 8.32 (a).

Se alege ca moment de inerţie constant pentru grinda echivalentă

momentul I2, şi se va transforma în mod corespunzător încărcarea

tronsonului de moment de inerţie I1 (transformarea se face prin împărţirea

valorilor forţelor şi momentelor care fac echilibrul tronsonului la raportul

dintre momentele de inerţie I1/I2, adică în acest caz la 2); această etapă se

poate urmări în Fig. 8.32 (b).

Grinda echivalentă este obţinută unificând cele două tronsoane şi

introducând salturile în secţiunea 2 în care se face joncţiunea (este etapa din

Fig. 8.32 (c) şi reprezintă schema pentru aplicarea metodei parametrilor

iniţiali).

In ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate de la care se

porneşte 2

22 i

d wEI M x

dx ,expresia momentului încovoietor este:

0

12 232 2 4 2 2 2i

Fl F Fl l F lM x x x x

Expresia generală a rotirii este:

2

2

2

12

23

2

2 2 2 4 2 2 2

lx

xdw Fl F Fl l FEI x x

dx

Expresia generală a săgeţii este:

2 3

2 3

2

12

23

2 2

2 2 2 6 4 2 2 6

l lx x

xxFl F Fl FEI w

Săgeata în punctul 3 se va obţine înlocuind în expresia generală a săgeţii

x=l:

Page 229: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte

230

2 3

2 3 3

2 3 2

32 2

2 2 2 6 4 2 2 6 16

l lllFl F Fl F Fl

EI w EI w x l

3

3

2

3

16

Flw

EI

Fig. 8.32

8.5.4 Calculul deplasărilor prin suprapunere de efecte

In cazul încărcărilor complexe, când pe grindă se găsesc mai multe

sarcini, principiul suprapunerii efectelor permite să se utilizeze relaţiile de

calcul ale stărilor simple date în multe manuale inginereşti. Pe baza

principiului suprapunerii efectelor, starea complexă de încărcare poate fi

considerată ca fiind formată din suma mai multor stări simple (cu rezultate

date în manuale). Astfel, deplasarea din dreptul unei secţiuni se obţine prin

însumarea deplasărilor corespunzătoare stărilor simple din dreptul aceleiaşi

Page 230: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Incovoierea barelor drepte 231

secţiuni. Metoda suprapunerii efectelor este valabilă în limitele valabilităţii

legii lui Hooke, a cărei consecinţă este principiul suprapunerii efectelor.

Această metodă permite o rezolvare rapidă a problemelor, ea putând fi

aplicată la toate solicitările simple şi compuse, indiferent de numărul

sarcinilor aplicate.

Pentru exemplificare să urmărim aplicaţia următoare:

Să se calculeze săgeata în punctul 3 la grinda din Fig. 8.33 (a) dacă 2

qlF .

Se consideră rigiditatea la încovoiere constantă.

Fig. 8.33

Rezolvare:

Se aplică principiul suprapunerii efectelor între:

-3

w , săgeata în 3 datorată sarcinii F (Fig. 8.33 (c));

-3

w , săgeata în 2, datorită sarcinii uniform distribuite (Fig. 8.33 (b));

-3

w , săgeata în 3, provenită din rotirea secţiunii 2 cu unghiul 2, în

urma aplicării sarcinii uniform distribuite (Fig. 8.33 (b)).

3

3 3

Flw

EI ;

4

4

3

2

8 128

lq

qlw

EI EI

;

2

3

2

2

6 48

lq

ql

EI EI

;

3 4

3 2 2 48 2 96

l ql l qlw

EI EI

3 4 4 3

3 3 3 3

71

3 128 96 192

Fl ql ql Flw w w w

EI EI EI EI cu

2

qlF .

Observaţie:

Formulele de calcul pentru săgeţile intermediare şi pentru rotirea în

punctul 2 se pot stabili cu uşurinţă aplicând integrarea directă a ecuaţiei

diferenţiale aproximative a fibrei medii deformate.

Page 231: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

9. SOLICITĂRI COMPUSE

9.1 Definiţie. Clasificare. Principii de calcul

In practică se întâlnesc cazuri în care o bară dreaptă este supusă simultan la

mai multe solicitări simple; se spune că în acest caz bara respectivă este

supusă unei solicitări compuse.

Oricât de multe ar fi solicitările simple care intră în alcătuirea unei solicitări

compuse, acestea din urmă se pot împărţi în următoarele două categorii:

- solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc

tensiuni de acelaşi tip (fie numai tensiuni normale, fie numai tensiuni

tangenţiale). Astfel sunt solicitările de încovoiere cu întindere

(compresiune) care produc numai tensiuni normale sau solicitările de

răsucire cu forfecare care produc numai tensiuni tangenţiale.

- solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc

tensiuni de tipuri diferite; ca exemplu se poate da solicitarea compusă din

încovoiere şi răsucire.

In primul caz metoda de calcul are la bază principiul suprapunerii

efectelor, care constă în însumarea algebrică a tensiunilor din diferite

puncte ale secţiunii transversale a barei supusă solicitării compuse. In cel

de-al doilea caz calculul are la bază folosirea teoriilor de rezistenţă.

9.2 Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc

tensiuni de acelaşi tip

Calculul barelor drepte supuse la asemenea solicitări compuse se

face suprapunând efectele solicitărilor simple componente. Modul de

rezolvare al acestui tip de probleme va rezulta din examinarea unor cazuri

concrete prezentate în continuare.

9.2.1 Solicitarea compusă de întindere (compresiune) cu încovoiere

Deoarece atât încovoierea cât şi întinderea sau compresiunea

provoacă tensiuni normale, se vor trata separat aceste solicitări şi se vor

suprapune la sfârşit efectele fiecăreia dintre ele. Adică, într-un punct

oarecare al secţiunii transversale (periculoase) de coordonate (y,z) tensiunea

normală totală are expresia:

Page 232: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

233

iy iz

iy iz

total N M M

y z

M MNz y

A I I (9.1)

În care semnele „” sau „” din faţa termenilor se stabilesc pentru un punct

generic P aflat în primul cadran ( 0, 0P P

y z ).

Se consideră sistemul de bare din Fig. 9.1. Se cere determinarea

tensiunii maxime din secţiunea periculoasă a barei 1-2-3, cunoscând valorile

forţelor F1 şi F2, lungimea „l” , distanţa „h” şi diametrul „D” al secţiunii

transversale.

Rezolvare:

Se izolează din sistem bara care interesează (1-2-3) introducând în secţiunea

2 efectul părţii îndepărtate (torsorul forţei F1 în centrul de greutate al

secţiunii 2). Cele două solicitări simple care se tratează separat (efectele

încărcării exterioare) sunt:

- solicitarea axială produsă de forţele F1 şi F2;

- încovoiere plană produsă de cuplul F1 h.

O dată identificate solicitările şi cunoscând natura lor, expresia tensiunii

normale totale este:

iy

iy

total N M

y

MNz

A I (9.2)

Diagramele pentru forţa axială şi pentru momentul încovoietor sunt date în

Fig. 9.1.

Intervalul 3-2 0,2x l

2

.N x F ct

0iy

M x

Intervalul 2-1 2 ,3x l l

2 1

.N x F F ct

1

.iy

M x F h ct

Din diagrame rezultă că zona periculoasă (solicitată cu cea mai mare forţă

axială şi cea mai mare valoare a momentului încovoietor) este zona 2-1 în

care

-forţa axială este 1 2

N F F , iar momentul încovoietor 1iy

M F h .

Page 233: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 234

-Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale necesare în aplicaţie

sunt aria 2

4

DA

şi momentul de inerţie axial

4

64y

DI

.

Fig. 9.1

Fie o secţiunea transversală situată în zona periculoasă 1-2 (Fig. 9.2). Pentru

un punct generic P din primul cadran expresia tensiunii normale totale la

solicitarea compusă este:

1 2 1

2 4

4 64

iyP

total P P

y

M F F F hNz z

D DA I

(9.3)

Expresia (9.3) este valabilă pentru orice punct din secţiunea transversală,

adică se poate renunţa la indicele P:

1 2 1

2 4

4 64

iy

total

y

M F F F hNz z

D DA I

(9.4)

Locul geometric al punctelor din planul secţiunii pentru care tensiunea

normală la solicitarea compusă este nulă, reprezintă axa neutră a solicitării

(notată A.N. în Fig. 9.2). Acest loc geometric este o dreaptă

1 2 1

2 40

4 64

total

F F F hz

D D

(9.5)

Page 234: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

235

paralelă cu axa „y”, care taie axa „z” în domeniul ei pozitiv (Fig. 9.2) sau

nu intersectează această axă (Fig. 9.3), caz în care întreaga suprafaţă a

secţiunii este solicitată la întindere.

Fig. 9.2

Fig. 9.3

Axa neutră împarte suprafaţa secţiunii în două zone, una întinsă şi

alta comprimată. În punctele cele mai îndepărtate de axa neutră se

înregistrează cele mai mari tensiuni normale:

- în punctul 0, 2M D tensiunea normală este cea mai mare tensiune de

întindere:

( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 4 2 3max 2

4 64 4 32M

M

total

y

z

F F F h F F F h F F F hD

D D D D A W

Page 235: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 236

- în punctul 0, 2Q D tensiunea normală este cea mai mare tensiune de

compresiune:

( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1

2 4 2 3max 2

4 64 4 32Q

Q

total

y

z

F F F h F F F h F F F hD

D D D D A W

Variaţiile tensiunilor normale ale solicitărilor simple componente şi

ale tensiunii rezultante pe secţiunea transversală a barei considerate sunt

reprezentate grafic în Fig. 9.2. pentru situaţia în care axa neutră

intersectrează suprafaţa secţiunii (A.N. împarte suprafaţa secţiunii într-o

porţiune întinsă şi o porţiune comprimată) sau pentru situaţia în care axa

neutră nu intersectează suprafaţa secţiunii (întreaga secţiune este solicitată la

întindere).

Exemplu de calcul

Să se dimensioneze o bară din lemn (a=100daN/cm2), de secţiune

pătrată, prevăzută cu o tăietură laterală (Fig. 9.4) solicitată de o forţă

F=1000daN.

Din Fig. 9.4 (a) se observă că secţiunea periculoasă a barei este A-

A, având forma unui dreptunghi cu dimensiunile a şi a/2. Deoarece în raport

cu centrul de greutate al acestei secţiuni forţa F este excentrică, rezultă că în

această zonă periculoasă bara este solicitată la întindere (forţa axială N=F)

şi la încovoiere în raport cu axa y-y (momentul încovoietor Miy=Fa/4).

Deoarece forţa F acţionează într-unul din punctele axei principale z-

z rezultă că în relaţia (9.1) cel de-al treilea termen este nul, astfel încât

relaţia care dă tensiunea normală (totală) la solicitarea compusă este:

iy

iy

total N M

y

MNz

A I

42

4

12

iyP

total P

y

MN F F az z

aA I a

Repartiţia tensiunilor pe secţiune este dată în (Fig. 9.4 (b)) .

Axa neutră a solicitării compuse intersectează axa z-z în domeniul pozitiv

(ecuaţia axei neutre este 0total

) .

Tensiunea maximă (de întindere) se întregistrează în punctul M cel mai

îndepărtat de axa neutră:

Page 236: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

237

42

4 44

12

M

total a

y

F F a F F aa

aa A W

Din relaţia de mai sus rezultă că la limită 8 8 1000

9100

a

Fa cm

.

Fig. 9.4

Intinderea sau compresiunea excentrică

Un alt caz de solicitare compusă, solicitare care se produce atunci

când forţa de întindere sau de compresiune F aplicată barei nu acţionează pe

direcţia liniei centrelor de greutate Ox, ci este aplicată într-un punct oarecare

B al secţiunii transversale (Fig. 9.5 (a)). In acest caz de solicitare compusă

forţa de întindere sau compresiune produce, pe lângă întinderea sau

compresiunea barei, şi două încovoieri în raport cu cele două axe principale

de inerţie ale secţiunii transversale (Fig. 9.5 (b)). Dacă punctul de aplicaţie

al forţei se află pe una din axele centrale principale de inerţie ale secţiunii

transversale, atunci solicitarea de compresiune sau întindere excentrică este

echivalentă cu o compresiune sau o întindere la care se adaugă o încovoiere

produsă de forţa de întindere sau compresiune în raport cu axa pe care se

află punctul ei de aplicaţie (Fig. 9.5 (c) şi (d)).

Page 237: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 238

Tensiunea normală totală în acest caz de solicitare compusă se determină

însumând tensiunile provenite din întindere sau compresiune cu cele

provenite din încovoiere.

Se consideră cazul prezentat în Fig. 9.5 (a), unde forţa excentrică F

de întindere este aplicată într-un punct oarecare al secţiunii B(yo,zo). Este

uşor de observat că forţa F supune bara la acţiunea a trei solicitări simple

simultane, şi anume: o întindere şi două încovoieri în raport cu axele Oy şi

Oz.

Fig. 9.5

Expresia tensiunii normale (totale) la solicitarea compusă este:

iy iz

iy iz

total N M M

y z

M MNz y

A I I

Pentru un punct generic P situat în primul cadran tensiunea normală totală

va fi(Fig. 9.5 (b)):

Page 238: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

239

iyP iz

total P P

y z

M MNz y

A I I adică în orice punct al secţiunii, tensiunea

la solicitarea compusă se calculează cu relaţia:

iy iz

total

y z

M MNz y

A I I ,

în care N F , 0iy

M F z şi 0iz

M F y . Solicitarea este constantă pe

toată lungimea „L” a barei.

Locul geometric al punctelor din planul secţiunii unde tensiunea normală la

solicitarea compusă este nulă, adică axa neutră a solicitării este dată de

ecuaţia:

0iy iz

total

y z

M MNz y

A I I , ecuaţia unei drepte care trece prin primul

cadran (Fig. 9.6), cadranul opus celui în care acţionează forţa F.

Cunoscându-se poziţia axei neutre, paralel cu ea, se duc tangente la conturul

secţiunii, obţinându-se punctele din secţiune unde tensiunile au valori

extreme.

Tensiunea normală maximă (de întindere) se va înregistra în punctul M

( 0, 0M M

y z ), cel mai îndepărtat de axa neutră a solicitării; cea mai

mare tensiune de compresiune va fi în punctul Q 0, 0Q Q

y z .

Fig. 9.6

Page 239: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 240

max

iyM iz

total M M

y z

M MNz y

A I I

max

iyQ iz

total Q Q

y z

M MNz y

A I I

Studiul încovoierii provocată de acţiunea unei forţe excentrice faţă

de axa barei este important pentru materialele care se comportă diferit la

întindere şi la compresiune; există materiale, ca de exemplu betonul, la care

rezistenţa la întindere este foarte mică, practic nulă. In cazul acestor

materiale excentricitatea forţei trebuie să aibe asemenea valori încât în

secţiune să nu rezulte decât tensiuni de acelaşi semn (în cazul betonului, la

compresiune). Pentru aceasta este necesar ca axa neutră să nu taie secţiunea

transversală, deoarece în acest caz, de o parte a axaei neutre există tensiuni

normale de un semn, iar de cealaltă parte de semn contrar.

Se poate arăta că în jurul centrului de greutate al secţiunii există o

zonă în care poate fi aplicată forţa F, astfel încât tensiunile normale să nu

schimbe semnul, sau altfel spus, axa neutră să fie tangentă la conturul

secţiunii transversale. Această zonă se numeşte sâmbure central. Dacă forţa

este aplicată în interiorul sâmburelui central, axa neutră se află în afara

secţiunii, chiar la infinit atunci când forţele acţionează în centrul de greutate

al secţiunii transversale. Când punctul de aplicaţie al forţei se află pe

conturul sâmburelui central, axa neutră este tangentă la conturul secţiunii,

iar când acest punct se află în afara sâmburelui central, axa neutră

intersectează secţiunea transversală a barei.

Se exemplifică modul de determinare al conturului sâmburelui

central în cazul unui stâlp de mică înălţime, de secţiune dreptunghiulară

solicitat la compresiune excentrică.

Ecuaţia axei neutre se poate scrie în forma:

0 0 0 0

2 21 0

total

y z y z

F z F y z z y yF Fz y

A I I A i i

In care ,y z

y z

I Ii i

A A sunt razele de inerţie în raport cu cele două axe

centrale principale.

Pentru ca axa neutră să se suprapună peste latura superioară a

dreptunghiului, ecuaţia ei

Page 240: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

241

0 0

2 21 0

y z

z z y y

i i

va trebui să fie:

2

hz

ceea ce se realizează dacă:

00y şi

3

2

0

122

12

6

y

b hi hb hz

h h

; astfel s-au obţiut

coordonatele punctului 1 de pe sâmburele central, corespunzător poziţiei 1-1

a axei neutre(Fig. 9.7 (b)).

Fig. 9.7

Cele două puncte 1 şi 2 de pe conturul sâmburelui central se vor uni

printr-o linie dreaptă, căci rotirii axei neutre în jurul colţului dreptunghiului

din poziţia 1-1 în poziţia 2-2, îi corespunde deplasarea forţei pe o dreaptă. In

cazul de faţă, din considerente de simetrie, se obţine conturul complet al

sâmburelui central, şi anume un romb.

Sâmburele central pentru secţiunea circulară este un cerc concentric de

diametru D/4 (Fig. 9.8).

Page 241: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 242

Fig. 9.8

9.2.2 Incovoierea oblică sau strâmbă

In cazul în care torsorul forţelor care acţionează pe o secţiune calculat în

raport cu centrul de greutate se reduce la un cuplu al cărui moment M este

cuprins în planul secţiunii, dar nu coincide cu nici una din axele principale,

solicitarea se numeşte încovoiere oblică. In situaţia în care forţele aplicate

sunt situate în plane longitudinale diferite, solicitarea se numeşte încovoiere

strâmbă. Solicitările de încovoiere oblică şi încovoiere strâmbă pot fi

studiate împreună ele făcând parte din aceeaşi grupă a solicitărilor compuse

care-şi manifestă prezenţa prin tensiuni de acelaşi tip (tensiuni normale).

Pentru cele două tipuri de încovoieri, se descompune vectorul M în două

componente: My şi Mz (Miy şi Miz) , se calculează tensiunea produsă de

fiecare componentă şi apoi se suprapun efectele. Intr-un punct oarecare de

coordonate (y,z) componenta Miy va produce o tensiune Miy

, iar

componenta Miz o tensiune Miz

. Pentru cele două tensiuni normale Miy

şi

Miz vom putea aplica formula NAVIER, iar tensiunea totală la solicitarea

compusă se va obţine însumând algebric componentele:

iy iz

iy iz

total M M

y z

M Mz y

I I (9. 6)

Semnele din faţa termenilor relaţiei (9.6) se stabilesc pentru un punct

generic P situat în primul cadran.

Grinda din Fig. 9.9 este solicitată la încovoiere oblică. Forţa F care este

inclusă într-un plan longitudinal dar nu conţine însă nici o axă centrală

principală de inerţie (Oy sau Oz) se va descompune după axele Oy şi Oz ,

producând încovoiere în plan vertical şi orizontal (diagramele de momente

încovoietoare pentru solicitările simple din cele două planuri sunt

Page 242: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

243

reprezentate în Fig. 9.9). Secţiunea periculoasă este secţiunea din încastrare

(secţiunea 2) cu valorile momentelor încovoietoare: siniy

M F L şi . In

secţiunea periculoasă, pentru un punct generic P din primul cadran (a se

vedea Fig. 9.10) tensiunea normală la solicitarea compusă are expresia:

iyP iz

total P P

y z

M Mz y

I I , deci pentru orice punct din planul secţiunii

transversale de coordonate (y,z)

3 3

sin cos

12 12

iy iz

total

y z

M M F L F Lz y z y

b h h bI I

Axa neutră a solicitării compuse 0total

este o dreaptă care trece prin

centrul de greutate al secţiunii transversale (Fig. 9.10).

sin cos0

y z

z yI I

sau

y

z

Iz y ctg

I sau

z tg y (9.7) cu y

z

Itg ctg

I

Tangenta unghiului de înclinare a axei neutre faţă de axa Oy este raportul

-z/y.

Relaţia (9.7) permite precizarea axei neutre în secţiune. Din relaţia (9.7)

rezultă că în cazul general , adică axa neutră nu este în general

perpendiculară pe planul de acţiune al momentului încovoietor. Axa neutră

va fi perpendiculară pe acest plan numai dacă momentele de inerţie axiale

y zI I , iar în acest caz orice axă centrală este o axă de inerţie principală şi

deci încovoierea barei este încovoiere simplă.

Pentru secţiunea dreptunghiulară punctele cele mai solicitate din planul

secţiunii sunt cele mai îndepărtate de axa neutră: punctele Q şi M.

In punctul M se va înregistra cea mai mare tensiune de întindere:

max

3 3

sin cos

2 2

12 12

iyM iz

total M M

y z

M Mz y

I I

F L h F L b

b h h b

( ) ( )

max a

Page 243: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 244

Fig. 9.9 Fig. 9.10

In punctul Q se va înregistra cea mai mare tensiune de compresiune:

max

3 3

sin cos

2 2

12 12

iyQ iz

total Q Q

y z

M Mz y

I I

F L h F L b

b h h b

( ) ( )

max a

In cazul secţiunii dreptunghiulare, ne aflăm în situaţia în care punctele cele

mai îndepărtate de Oy sunt şi cele mai îndepărtate de Oz (cu O centrul de

Page 244: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

245

greutate al secţiunii) şi atunci tensiunea totală maximă care se va compara

cu rezistenţa admisibilă se poate scrie în forma:

max max

max

iy iyiz iz

total a

y z y z

M z MM y M

I I W W

(9.8)

Aceste consideraţii permit rezolvarea problemelor de verificare a

grinzilor supuse la încovoiere oblică fără dificultăţi. Alegerea secţiunii din

condiţia de rezistenţă (9.8), presupune, pentru o secţiune oarecare,

precizarea a patru necunoscute (momentele de inerţie Iy , Iz şi coordonatele

punctului în care tensiunea normală este maximă), fapt care reclamă

rezolvarea prin aproximaţii succesive. Urmează deci, să se aleagă secţiunea

şi apoi să se verifice dacă aceasta satisface condiţia de rezistenţă (9.8)

(pentru materiale cu aceeaşi comportare la întindere şi la compresiune) sau

condiţiile de rezistenţă (pentru materiale cu comportare diferită la întindere

şi la compresiune).

Formula (9.8) se poate aplica pentru secţiunile din Fig. 9.11 (a,b,c)

dar nu se poate aplica pentru secţiunea eliptică (Fig. 9.11 (d)) la care punctul

cel mai îndepărtat de axa Oy nu este în acelaşi timp şi cel mai îndepărtat de

axa Oz.

Fig. 9.11

O problemă simplă de încovoiere strâmbă este reprezentată în Fig.

9.12. În acest caz expresia tensiunii normale la solicitarea compusă

(încovoiere în plan vertical şi orizontal) este aceeaşi ca în cazul încovoierii

oblice (relaţia 9.6):

iy iz

iy iz

total M M

y z

M Mz y

I I

Diagramele momentelor încovoietoare din cele două plane sunt reprezentate

în Fig. 9.12.

Page 245: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 246

Fig. 9.12 Fig. 9.13

Secţiunea periculoasă este secţiunea din încastrare (secţiunea 2) cu

valorile momentelor încovoietoare: iy iz

M M F L . În secţiunea

periculoasă (care pentru probleme complexe urmează să fie precizată prin

încercări), pentru un punct generic P din primul cadran (a se vedea Fig.

9.13) tensiunea normală la solicitarea compusă are expresia:

iyP iz

total P P

y z

M Mz y

I I ,

deci pentru orice punct din planul secţiunii transversale de coordonate (y,z)

3 3

12 12

iy iz

total

y z

M M F L F Lz y z y

b h h bI I

Page 246: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

247

Axa neutră a solicitării compuse 0total

este o dreaptă care trece prin

centrul de greutate al secţiunii transversale (Fig. 9.13). Ca în cazul

încovoierii oblice, punctele cele mai solicitate din planul secţiunii sunt cele

mai îndepărtate de axa neutră: punctele Q şi M .

9.2.3 Răsucire cu forfecare

Această solicitare compusă se întâlneşte la arcurile elicoidale (Fig.

9.14 (a)). Dacă notăm cu R raza cilindrului pe care se află elicea, cu d

diametrul oţelului rotund din care este confecţionat arcul, cu panta elicei

şi cu F sarcina aplicată arcului. Reducând această forţă F în raport cu centrul

de greutate al unei secţiuni oarecare a arcului, se obţine forţa F şi momentul

M=FR. Descompunând forţa F şi momentul M după normala la secţiune şi

planul secţiunii (Fig. 9.14 (b)), se obţin:

-forţa axială sinN F

- forţa tăietoare cosT F

-momentul încovoietor , sini

M M

-momentul de torsiune cost

M M .

Pentru aceste arcuri unghiul este foarte mic (se poate considera că

sin 0 şi cos 1 ) şi deci 0, 0i

N M , astfel încât vom considera că o

secţiune oarecare a arcului este solicitată la torsiune şi forfecare:

tM FR şi T F .

Aceste două eforturi produc tensiuni tangenţiale, reprezentate în Fig.

9.14 (c). Tensiunea tangenţială maximă se realizează în punctul B unde

tensiunile tangenţiale din cele două solicitări se adună aritmetic. Aplicând

formulele de la solicitările simple de forfecare şi torsiune va rezulta:

2

4T

T F

A d

3

16

t

t

M

p

M FR

W d

2 3 3max

4 16 161

4tT M

F FR FR d

d d d R

In cazul practic, d R şi astfel se poate neglija raportul 4

d

R, adică efectul

tensiunii din forfecare:3max

16FR

d

.

Page 247: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 248

Fig. 9.14

9.3 Solicitări compuse alcătuite din solicitări simple care produc

tensiuni de tipuri diferite

9.3.1 Teorii de rezistenţă

Relaţiile cu privire la starea de tensiuni şi de deformaţii sunt

necesare pentru a stabili în ce condiţii se atinge într-o piesă starea limită de

rezistenţă, adică pentru a stabili dacă o anumită piesă poate rezista din punct

de vedere mecanic la solicitările la care este supusă. Prin stare limită se

înţelege, prin convenţie, atingerea limitei de elasticitate, a rezistenţei

admisibile, a limitei de curgere sau a rezistenţei de rupere.

Cel mai simplu caz în care se poate stabili starea limită este cel al

unei bare drepte solicitată la întindere sau compresiune, realizată dintr-un

material cu rezistenţa de rupere r; starea limită (în acest caz ruperea) se

va produce atunci când tensiunea de întindere sau compresiune atinge

valoarea rezistenţei de rupere r.

Page 248: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 249

La bara solicitată la întindere sau la compresiune, apariţia ruperii

poate fi evaluată printr-unul din următorii parametri: rezistenţa de rupere r,

alungirea de rupere r, rezistenţa la rupere la forfecare r sau energia de

rupere pe unitatea de volum U1r, deoarece toate aceste mărimi sunt legate

între ele prin relaţii care decurg din curba caracteristică a materialului. Dacă

se consideră ca stare limită atingerea limitei de elasticitate şi ca mărime

caracteristică tensiunea e, celelalte mărimi se exprimă prin relaţiile:

e

e E

;

2

e

e

;

2

1 2

e

eU

E

(9.9)

În acest fel se dovedeşte că pentru definirea stării de solicitare limită,

caracterizată de atingerea limitei de elasticitate este suficientă numai una

dintre aceste mărimi, celelalte rezultând din relaţiile de legătură.

Situaţia se schimbă în cazul corpurilor care sunt supuse la stări plane

sau spaţiale de tensiuni şi deformaţii; acesta este cazul solicitărilor compuse

aplicate barei drepte. În aceste cazuri atingerea uneia dintre cele patru

mărimi(de exemplu a limitei de elasticitate e ) în corpul supus stării

complexe de solicitare nu coincide, ca în cazul întinderii cu atingerea

simultană a celorlalte trei (1

, ,e e e

U ). Din acest motiv au apărut patru teorii

clasice de rezistenţă, care au la bază una dintre cele patru mărimi

caracteristice(tensiunea normală, alungirea specifică, tensiunea tangenţială

sau energia de deformaţie) care se aleg separat drept criterii pentru

caracterizarea stării limită dintr-un corp.

Toate aceste patru teorii de rezistenţă stabilesc anumite relaţii care

trebuie să existe între tensiunile normale principale 1 2 3, , spre a atinge

una sau alta dintre cele patru mărimi caracteristice ale stării limită de la

întinderea simplă. Ele se caracterizează simplu prin relaţia:

ech a

(9.10)

în care ech reprezintă un aşa-numita tensiune normală echivalentă, pe baza

căreia se poate compara starea complexă de solicitare cu cea de întinderea

simplă, în cazul celor patru criterii admise.

Teoria tensiunii normale maxime. În baza acestei teorii, starea

limită de solicitare într-un corp se atinge atunci când cea mai mare tensiune

normală principală atinge valoarea limită de la întinderea simplă. Dacă

această tensiune este 1, atunci:

1ech

(9.11)

Dacă tensiunea 3 este de compresiune şi valoarea ei absolută este mai mare

decât a tensiunii 1, atunci:

Page 249: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

250

3ech

(9.12)

Cercetarea experimentală a arătat că teoria tensiunii normale maxime nu

corespunde realităţii.

Aceasta dovedeşte că nu tensiunea normală maximă în valoare absolută este

cea care caracterizează starea limită dintr-un corp. Deşi are mai mult un

caracter istoric, această teorie se aplică la materiale foarte fragile ca betonul,

piatra, cărămida şi altele asemănătoare cu acestea.

Teoria deformaţiei specifice maxime. În baza acestei teorii,

atingerea stării de solicitare limită într-un corp se produce datorită atingerii

deformaţiei specifice maxime.

Pentru a se determina valoarea tensiunii normale echivalente ech în

cadrul acestei teorii, se presupune că deformaţia specifică maximă este 1

( legea lui Hooke generalizată - Capitolul 6, relaţiile 6.41 particularizată

pentru tensiunile peincipale şi deformaţiile specifice principale ):

1 2 3

1 E

.

Comparând această valoare cu cea obţinută în cazul în care pe feţele

elementului ar exista numai tensiunea normală echivalentă:

1

ech

E

se obţine: 1 2 3ech

(9.13)

Teoria deformaţiei specifice maxime se verifică parţial din punct de vedere

experimental în cazul materialelor fragile.

Teoria tensiunii tangenţiale maxime. Observând cu atenţie ruperea

diferitelor materiale s-a constatat că aceasta se produce de foarte multe ori

prin apariţia unei fisuri pe secţiuni situate la 45o, unde este maxim şi nu pe

secţiuni normale. Generalizând aceste observaţii, s-a ajuns la teoria de

rezistenţă în baza căreia starea de solicitare limită dintr-un corp este

determinată de atingerea celei mai mari tensiuni tangenţiale care

acţionează asupra elementului de volum.

Tensiunea tangenţială maximă apare pe faţa înclinată la 450 în raport

cu feţele pe care acţionează tensiunile normale principale 1 şi 3, 1

reprezentând cea mai mare tensiune principală iar 3 cea mai mică tensiune

principală, luate algebric. Utilizând relaţiile (6.26 - Capitolul 6) se obţine:

1 3

max 2 2

Page 250: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 251

Presupunând că asupra elementului de volum acţionează numai tensiunea

normală echivalentă, se obţine: max 2

ech

de unde:

1 3ech

(9.14)

Această teorie de rezistenţă se verifică experimental în cazul

materialelor tenace, care se comportă identic la întindere şi compresiune.

Teoria energiei de deformaţie (varianta I). În baza acestei teorii,

starea de solicitare limită dintr-un corp este determinată de energia de

deformaţie specifică din corpul respectiv.

Utilizând relaţia (6.56 – Capitolul 6) funcţie de tensiunile normale

principale

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

1

2sU

E E

şi presupunând că asupra elementului de volum acţionează numai tensiunea

normală echivalentă, valoarea acestei energii devine:

2

2

ech

sU

E

.

Egalând cele două relaţii ale energiei, se obţine:

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 12

ech (9.15)

Verificările experimentale au arătat că pentru materiale tenace această teorie

concordă cu realitatea numai în cazul în care este respectată relaţia:

1 2 3 03

Raportul de mai sus este cunoscut sub denumirea de tensiune normală

medie.

Teoria energiei de deformaţie (varianta a IIa) . În baza acestei

variante, se consideră că atingerea stării limită dintr-un corp se datorează nu

întregii energii de deformaţie, ci numai acelei părţi care produce schimbarea

formei corpului.

Energia specifică de deformaţie care produce modificarea formei are

expresia (Capitolul 6- relaţia 6.58):

2 22

1 2 2 3 3 1

1

6sfU

E

.

Presupunând că asupra elementului de volum considerat acţionează numai

tensiunea normală echivalentă ech, energia specifică modificatoare de

formă devine:

Page 251: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

252

212

6sf echU

E

.

Egalându-se cele două relaţii ale energiei modificatoare de formă, se va

obţine:

2 22

1 2 2 3 3 1

1

2ech

(9.16)

Această teorie se verifică din punct de vedere experimental pentru toate

materialele care se comportă identic la întindere şi compresiune.

Teoria de rezistenţă a lui Mohr. O. Mohr a presupus, la fel ca în

cazul celei de-a treia teorii de rezistenţă, că starea de solicitare limită dintr-

un corp este determinată de lunecările provocate de tensiunea tangenţială

maximă, dar a avut în vedere faptul că foarte multe materiale se comportă

diferit la întindere faţă de compresiune. Ţinând seama de acest factor, O.

Mohr a ajuns la o expresie a tensiunii normale echivalente puţin deosebită

de cea obţinută în cadrul teoriei a treia de rezistenţă:

1 3ech

K (9.17)

unde K este un coeficient dat de relaţia:

t

c

K

(9.18)

în care t reprezintă rezistenţa limită la încercarea de tracţiune simplă

(limita de elasticitate, limita de curgere, de rupere, şi altele), iar c este

rezistenţa limită la încercarea de compresiune simplă (limita de elasticitate,

limita de curgere, rezistenţa de rupere).

Relaţia (9.17) poate fi folosită cu exactitate pentru toate materialele, dacă

tensiunea normală principală 1 este de întindere iar tensiunea 3 este de

compresiune.

Pentru materialele care se comportă la fel la întindere şi la compresiune se

obţine

K=1 şi relaţia (9.17) devine identică cu (9.14), adică în acest caz teoria

tensiunii tangenţiale maxime este un caz particular al teoriei lui Mohr.

9.3.2 Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul particular al stării plane

de solicitare

In teoria elasticităţii starea plană de solicitare este acea stare în care

corpul este solicitat numai pe două din cele trei direcţii perpendiculare între

ele din cazul stării spaţiale. Pe o direcţie înclinată în raport cu cele două

Page 252: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 253

direcţii perpendiculare pe care se efectuează solicitarea apare o tensiune

normală şi o tensiune tangenţială .

În acest caz se arată că, prin particularizarea relaţiei 3 2

1 2 30I I I , tensiunile normale principale sunt:

2 2

1,3

14

2 2

(9.19)

Dacă se înlocuieşte expresia (9.19) în relaţiile care dau ech pentru cele patru

teorii de rezistenţă, se obţin:

Teoria I : 2 214

2 2ech a

Teoria II: 2 20.35 0.65 4ech a

Teoria III: 2 24ech a

(9.20)

Teoria a IV-a (varianata I): 2 22.6ech a

Teoria a IV-a (varianta a II-a): 2 23ech a

Cu ajutorul acestor relaţii se verifică din punctul de vedere al rezistenţei

mecanice toate barele drepte care sunt supuse solicitării compuse, la care

apar simultan tensiuni normale de întindere sau compresiune şi tensiuni

tangenţiale .

9.3.3 Solicitarea compusă de încovoiere cu torsiune

Această solicitare se întâlneşte în practică la arborii de secţiune

circulară sau inelară.

În vederea aplicării teoriilor de rezistenţă se stabilesc expresiile tensiunilor

solicitărilor componente (încovoiere şi torsiune). Se consideră numai

secţiunile de formă circulară sau inelară, pentru care:

3

32

i i

i

M M

DW

iar

3

16

t t

p

M M

DW

Deoarece 2p i

W W , se poate scrie:

i

i

M

W iar

2

t

i

M

W

Înlocuind aceste expresii în relaţia care exprimă prima teorie de rezistenţă

din grupul (9.20), se obţine:

Page 253: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

254

2 22 2

2 2

0.514

2 4

i i ti i t

ech

i i i i

M M MM M M

W W W W

Această relaţie poate fi folosită pentru dimensionare ca şi relaţia de la

încovoierea simplă, înlocuind ech a

:

2 20.5

i i t

inec

a

M M MW

(9.21)

Notând numărătorul acestei expresii cu Miech, momentul încovoietor

echivalent (ideal)

2 20.5iech i i t

M M M M

Relaţia (9.21) ia aceeaşi formă ca la încovoierea simplă:

iech

nec

a

MW

(9.22)

Concluzia care se desprinde din cele discutate mai înainte este aceea

că arborii de secţiune circulară sau inelară supuşi la solicitarea compusă

de încovoiere cu torsiune se pot dimensiona numai la o solicitare de

încovoiere echivalentă.

Dacă încovoierea este strâmbă (în plan vertical şi orizontal) atunci

momentul încovoietor reprezintă suma geometrică corespunzătoare

momentelor încovoietoare în cele două plane şi aceeaşi secţiune:

2 2

i iV iHM M M .

Efectuându-se calculele şi pentru celelalte teorii de rezistenţă, se obţin:

Teoria I : 2 20.5iech i i t

M M M M

Teoria a II-a : 2 20.35 0.65iech i i t

M M M M

Teoria a III-a : 2 2

iech i tM M M (9.22)

Teoria a IV-a (varianta I) : 2 20.65iech i t

M M M

Teoria a IV-a (varianta a II-a) : 2 20.75iech i t

M M M

Calculul arborilor drepţi la torsiune cu încovoiere.

Etapele de calculul la dimensionarea sau verificarea arborilor se vor

stabili pentru arborele (ipotetic) din Fig. 9.15. Pe arborele drept cu secţiunea

Page 254: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 255

circulară din Fig. 9.15 se află trei roţi (roţi dinţate sau roţi pentru curele de

transmisie). Roata (1) primeşte mişcarea de la un motor prin intermediul

forţei periferice F1. Roţile (2) şi (3) acţionează două maşini prin forţele F2 şi

F3. Se neglijează frecarea în lagăre (randamentul transmisiei este considerat

100%).

Arborele se află într-o stare de solicitare compusă de torsiune cu încovoiere

strâmbă. Calculul de verificare a rezistenţei arborelui se conduce după

următoarele etape:

- Se trasează diagrama momentelor de torsiune. În acest sens, se determină

valorile momentelor de torsiune cu relaţii de forma: t

M FR sau

9550t

P kWM Nm

n rpm , fie în funcţie de forţele periferice, fie depinzând

de puterea transmisă P.

- Forţele aplicate se descompun în componente situate în două plane

reciproc perpendiculare, spre exemplu în componente orizontale şi verticale.

- Se trasează diagrama momentelor încovoietoare atât pentru componentele

verticale cât şi pentru cele orizonatale.

- Pe baza diagramelor se stabileşte poziţia secţiunii periculoase (testânt toate

secţiunile cu potenţial, adică cu valori maxime în diagrame), pentru care se

determină valoarea momentului încovoietor rezultant Fig. 9.16):

2 2

i iV iHM M M (9.23)

Suportul vectorului Mi coincide cu axa neutră a solicitării de încovoiere

strâmbă.

- Calculul de rezistenţă se conduce cu referire la punctul cel mai solicitat al

secţiunii periculoase. Acesta este punctul cel mai îndepărtat de axa neutră a

solicitării de încovoiere, deoarece în dreptul lui tensiunile de încovoiere şi

de torsiune au cele mai mari valori:

3

32

i i

i

M M

DW

şi

3

16

t t

p

M M

DW

Arborele rezistă dacă este satisfăcută condiţia (conform cu teoria a III-a de

rezistenţă): 2 24ech a

(9.24)

La dimensionare se are în vedere că pentru secţiunea circulară 2p i

W W şi

rezultă modulul de rezistenţă axial necesar:

Page 255: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

256

2 21inec i t

a

W M M

, iar diametrul secţiunii circulare se determină cu

relaţia: 2 2 sec .3 3

32 32 t periculoasa

i t iech

a a

D M M M

.

Fig. 9.15

Fig. 9.16

Page 256: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 257

Exemple de calcul

Să se traseze diagramele de eforturi (momente încovoietoare şi de

torsiune) şi să se verifice în baza ipotezei tensiunii tangenţiale maxime bara

cotită de secţiune circulară de diametru d din Fig. 9.17 (a), solicitată de o

forţă concentrată F=500daN, aplicată în capătul liber şi cuprinsă într-un

plan perpendicular pe planul barei. Se va neglija efectul forţei tăietoare. Se

cunosc: a=25cm; b=35cm; c=20cm; d=7cm şi 21400 /a

daN cm .

Fig. 9.17 (a)

Rezolvare:

Se construiesc diagramele de eforturi: diagrama de momente încovoietoare

(trasate de partea fibrei care se întinde în planul deformatei) şi diagrama

momentelor de torsiune (Fig. 9.18 (b)).

Pe porţiunea 1-2 bara se consideră încastrată în 2 şi liberă în 1, iar momentul

încovoietor are o variaţie liniară de la 0 la valoarea Fa.

Pentru calculul momentelor încovoietoare şi de torsiune pe porţiunea 2-3 se

reduce forţa F aplicată în 1, în punctul 2 al barei 2-3 şi se obţine forţa F şi

cuplul Fa. Forţa F produce încovoierea barei, iar cuplul Fa produce

torsiunea acesteia (Fig. 9.17 (c)).

Pentru calculul momentelor încovoietoare şi de torsiune pe porţiunea

3-4 se procedează în acelaşi mod ca pentru bara 2-3, adică reducând forţele

din secţiunea 2 în secţiunea 3. Se obţine astfel cuplul de încovoiere Fa, forţa

F care produce şi ea încovoiere în acelaşi sens cu momentul Fa şi cuplul de

torsiune Fb.

Din diagramele reprezentate în Fig. 9.17 (b) rezultă că cea mai solicitată este

secţiunea 4 din încastrare. Momentul încovoietor echivalent cerut de

problemă (utilizând ipoteza a III-a) este:

Page 257: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

258

24 2 2 2 2 2

2 2 22 500 45 35 28504.4

iech i tM M M F a c F b

F a c b daN cm

Fig. 9.17 (b)

Modulul de rezistenţă la încovoiere al secţiunii este:

33

37

33.6632 32i

dW cm

Tensiunea normală echivalentă este: 4

4 2 228504.4846.8 / 1400 /

33.66

iech

ech

i

MdaN cm daN cm

W

Fig. 9.17 (c)

Page 258: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 259

Un motor electric este cuplat cu un arbore, pe care este montată o

roată de curea C cu diametrul D=1200mm şi greutatea G=500daN, peste

care este trecută o curea ce antrenează la rândul ei, roata de curea a unei

maşini unelte (Fig. 9.18). Forţa din ramura motoare a curelei are valoarea

S1=600daN, iar forţa din ramura trasă a curelei are valoarea S2=350daN;

roata de curea C care este utilizat şi ca volant, este montată la jumătatea

distanţei dintre lagărele A şi B, iar l=1000mm.

Cunoscând rezistenţa admisibilă a=800daN/cm2, se cere să se determine

diametrul d al arborelui AB.

Fig. 9.18

Rezolvare:

Arborele AB este supus la încovoiere (în plan orizontal de rezultanta

forţelor 1 2

S S din curele şi în plan vertical de greutatea roţii de curea G) şi

la torsiune de către momentul 1 2 2

exterior

x t

DM M S S dat de forţele de

pe periferia roţii faţă de centrul acesteia şi echilibrat în timpul mişcării de

cuplul transmis de motor.

Valoarea momentului de torsiune care solicită arborele numai pe porţiunea

AC, constant în toate punctele acestei porţiuni:

1 2

600 350 60 150002

exterior

x t

DM M S S daN cm

Momentul încovoietor maxim din plan vertical este în punctul C şi are

valoarea:

max

500 10012500

4 4iV

G lM daN cm

Page 259: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse

260

Momentul încovoietor maxim din plan orizontal este tot în punctul C şi are

valoarea:

1 2

max

950 10023750

4 4iH

S S lM daN cm

Secţiunea periculoasă este C, momentul încovoietor maxim are valoarea: 2 2 2 2

max max max12500 23750 26839

i iV iHM M M daN cm

iar momentul de torsiune are în C valoarea 1500t

M daN cm (Fig. 9.19).

Cu ajutorul acestor valori se calculează momentul încovoietor

echivalent după patru dintre teoriile de rezistenţă:

TEORIA I:

2 2

2 2

0.5 0.5

0.5 26839 26839 15000 28793

iech i i tM M M M

daN cm

TEORIA aII-a

2 2

2 2

0.35 0.65

0.35 26839 0.65 26839 15000 29379

iech i i tM M M M

daN cm

TEORIA a III-a 2 2 2 226839 15000 30746

iech i tM M M daN cm

TEORIA aIV-a (varianta a II-a) 2 2 2 20.75 26839 0.75 15000 29818

iech i tM M M daN cm

Pentru dimensionare se foloseşte relaţia: 3

32

iech

inec

a

MdW

de unde 3

32iech

a

Md

.

Înlocuind valorile numerice obţinute pentru momentul încovoietor

echivalent, se obţin succesiv:

31

32 287937.02

800

Id cm

32

32 293797.07

800

IId cm

Page 260: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Solicitări compuse 261

33

32 307467.17

800

IIId cm

34

32 298187.1

800

IVd cm

Se observă că diametrul cel mai mare rezultă pentru momentul

echivalent dat de teoria a III-a de rezistenţă; această constatare este generală,

rezultatele obţinute prin aplicarea teoriei a III-a fiind întotdeauna

acoperitoare.

Fig. 9.19

Page 261: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

10. CALCULUL DEPLASĂRILOR LINIAR-ELASTICE PRIN

METODE ENERGETICE

10.1 Energia potenţială de deformaţie şi teorema Clapeyron

In mecanica teoretică lucrul mecanic este definit prin produsul dintre

o forţă şi proiecţia deplasării pe direcţia forţei (sau dintre deplasare şi

proiecţia forţei pe direcţia deplasării), respectiv produsul dintre un cuplu şi

proiecţia vectorului de rotaţie pe suportul vectorului cuplu; lucrul mecanic

este o mărime scalară cu ecuaţia dimensională [FL].

Dacă asupra unui corp deformabil se aplică un sistem de forţe şi

cupluri, corpul se va deforma, iar forţele şi cuplurile aplicate parcurg drumul

corespunzător deplasării punctelor de aplicaţie ale forţelor, respectiv unghiul

corespunzător rotirii secţiunilor din dreptul cuplurilor. In acest fel, forţele şi

cuplurile aplicate pe solidul deformabil, dau un lucru mecanic, care se

numeşte lucru mecanic exterior - L.

Dacă forţele se aplică static, adică cu intensitate care creşte uniform de la

zero la valoarea lor finală, iar materialul are comportare liniar elastică,

atunci lucrul mecanic exterior este egal cu suma semiproduselor dintre

sarcini şi proiecţia pe direcţia acestora a deplasărilor produse, adică:

2

k kF

L

(10.1)

unde s-a notat cu Fk o forţă sau un cuplu, iar cu k proiecţia deplasării

liniare (a săgeţii), respectiv a deplasării unghiulare (a rotirii) pe direcţia

forţei, respectiv a cuplului; Fk este deci forţa generalizată, iar k este

deplasarea generalizată.

Alături de ipotezele aplicării statice a sarcinilor şi a comportării liniar-

elastice a materialului corpului cu solicitare cel mult până la limita de

elasticitate, mai pot fi numite câteva ipoteze care stau la baza studiului din

acest capitol:

-se neglijează frecările interioare şi frecările în reazeme;

-se neglijează lucrul mecanic de deformaţie pierdut prin variaţia de

temperatură (schimbarea structurii intime a materialului este însoţită de

degajare de căldură).

Aplicând sarcinile exterioare pe solidul deformabil, punctele

corpului solid se deplasează, iar în volumul corpului solid ia naştere o stare

de tensiuni. In această stare tensionată, în corpul solid se află înmagazinată o

energie potenţială, care se numeşte energie potenţială de deformaţie, sau

lucru mecanic interior U. In ipotezele pe care le-am precizat, deformaţiile

sunt elastice şi în aceste condiţii, odată cu dispariţia sarcinilor exterioare

Page 262: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

263

aplicate (forţe şi cupluri), energia potenţială de deformaţie readuce corpul la

starea iniţială nedeformată.

Valoarea energiei înmagazinate se poate calcula funcţie de tensiuni

normale şi tangenţiale şi deformaţiile specifice corespunzătoare ( şi ),

din Teoria elasticităţii:

2 2

V V

U dV dV

(10.2)

sau în funcţie de eforturi secţionale şi de modulele de rigiditate

corespunzătoare tipului de solicitare.

Utilizând exprimarea funcţie de eforturile secţionale, expresia

energiei potenţiale de deformaţie se poate reţine mai uşor sub forma:

2efort sectional lungime

U =2×modul de rigiditate

(10.3)

Dacă se consideră o bară dreaptă de lungime „l” solicitată succesiv

la întindere sau compresiune, încovoiere, forfecare şi torsiune, energiile

înmagazinate vor avea expresiile:

Solicitarea simplă cu forţa axială N: 2

2N

N lU

EA

, cu EA modulul de

rigiditate la solicitarea axială şi „l” lungimea pe care efortul şi modulul de

rigiditate sunt constante.

Solicitarea simplă cu forţa tăietoare T: 2 2

2 2T

f

T l T lU

GA GA

, cu GA

modulul de rigiditate la forfecare, „l” lungimea pe care efortul şi modulul de

rigiditate sunt constante, coeficientul supraunitar care depinde de forma

secţiunii (=1.2 pentru secţiunea dreptunghiulară, =1.185 pentru secţiunea

circulară plină, cu valori între 2 şi 3 pentru profile I, etc.)

Solicitarea simplă de încovoiere cu Mi:

2

2i

i

M

M lU

EI

, cu EI modulul de

rigiditate la încovoiere, „l” lungimea pe care efortul şi modulul de rigiditate

sunt constante

Solicitarea simplă de torsiune cu Mt:

2

2t

t

M

t

M lU

GI

, cu GIt modulul de

rigiditate la torsiune, „l” lungimea pe care efortul şi modulul de rigiditate

sunt constante. In cazul barelor drepte de secţiune circulară, în relaţia

energiei de deformaţie din torsiune, momentul de inerţie convenţional de

Page 263: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

264

torsiune It (pentru barele de secţiune oarecare) se înlocuieşte cu momentul

de inerţie polar Ip, adică It=Ip.

Energia de deformaţie pentru o stare de solicitare compusă a barei

drepte se obţine prin însumarea energiilor corespunzătoare solicitărilor

simple. In cazul unui sistem format din mai multe bare rezultă:

2 22 2

2 2 2 2

i t

t

M dx M dxN dx T dxU

EA GA EI GI

(10.4)

în care prin simbolul se specifică luarea în considerare a fiecărui

interval de variaţie pentru efort sau modul de rigiditate, în timp ce prin

simbolul se specifică luarea în considerare a tuturor barelor sistemului.

Pe baza legii conservării energiei se poate admite că lucrul mecanic

al forţelor şi cuplurilor aplicate se transformă în întregime în energie

potenţială de deformaţie:

L U (10.5)

Egalitatea (10.5) exprimă teorema lui B.P.E Clapeyron, conform căreia,

pentru un corp solid în repaus, lucrul mecanic al forţelor şi cuplurilor

exterioare este egal cu energia potenţială de deformaţie acumulată.

Aplicaţie

Macaraua din Fig. 10.1 este realizată din bare de aceeaşi secţiune de

arie A. Se cere să se calculeze deplasarea pe verticală a punctului C sub

acţiunea forţei F, utilizând în acest scop egalitatea dintre lucrul mecanic

exterior L şi energia potenţială de deformaţie U (teorema Clapeyron).

Rezolvare:

Pentru calculul energiei potenţiale de deformaţie la acest sistem realizat din

bare articulate solicitate la întindere-compresiune, se vor lua în considerare

doar termenii din forţa axială, adică: 2

.

1 2

nr barei i

i

N lU

EA

Determinarea eforturilor din bare cu metoda izolării nodurilor se realizează

după etapa de calcul a reacţiunilor din legături VA şi VB :

0: 2 0A B

M F l V l Rezultă 2B

V F

0: 0B A

M F l V l Rezultă A

V F

Page 264: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

265

Fig. 10.1

Ecuaţiile de echilibru pentru cele trei noduri izolate în Fig.10.1 sunt date în

tabelul 10.1.

Tabelul 10.1

Echilibrul nodului C Echilibrul nodului

A

Echilibrul nodului

B

0 0

5 4cos30 cos60 0N N

0

1 2cos60 0N N

0

1 3

0

4

cos60

cos60 0

N N

N

0 0

5 4cos60 cos30

0

N N

F

0

2cos30 0F N

0

3

0

3

2 cos30

cos30 0

F N

N

Din ecuaţiile de echilibru din tabelul 10.1, se obţin următoarele valori pentru

eforturile din bare:

1 2 3 4 5

2; ; ; 3 ;

3 3 3

F F FN N N N F N F

Page 265: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

266

Cu aceste valori pentru forţele axiale din bare, expresia energiei potenţiale

de deformaţie devine:

2 2 2

2 21 43 2 3 8 3

2 3 3 2

F F F lU l l F l F l

EA EA

Teorema Clapeyron:

2

v

C

FL U cu v

C deplasarea pe verticală a punctului C, care rezultă:

8 3 9.73v

C

Fl Fl

EA EA

10.2 Teorema lui Castigliano

Se consideră un corp solid de formă oarecare, alcătuit dintr-un material cu

comportare liniar elastică şi încărcat static cu forţe şi cupluri

1 2, ,... ,...

k nF F F F . Se presupune că tensiunile produse de sistemul de forţe şi

cupluri nu depăşesc limita de proporţionalitate. De asemenea se consideră

corpul într-o stare static determinată, ca în Fig. 10.2.

Fig. 10.2

Legăturile considerate fiind fixe, ele nu dau lucru mecanic. Lucrul mecanic

al forţelor şi cuplurilor aplicate are expresia generală (10.1):

2

k kF

L

Unde k reprezintă deplasarea elastică a corpului solid în punctul şi pe

direcţia sarcinii oarecare Fk. Cum deplasările sunt funcţie de sarcinile

aplicate, lucrul mecanic exterior egal cu energia potenţială de deformaţie

(teorema Clapeyron) este o funcţie de sarcinile aplicate:

1 2, ,... ,...

k nL U U F F F F

Page 266: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

267

Dacă valoarea unei sarcini oarecare Fk variază cu o cantitate infinit

mică dFk, atunci variază în mod corespunzător şi valoarea energiei

potenţiale de deformaţie, care va avea în acest caz expresia:

k

k

UU U dU U dF

F

(10.6)

Dacă se va considera apoi acelaşi corp, într-o a doua stare, când se

aplică asupra lui numai sarcina elementară dFk, în această stare lucrul

mecanic produs va fi :

1

2 k kdF d , care constituie o cantitate neglijabilă.

După aplicarea lui dFk în această a doua stare, se aplică sistemul de

forţe şi cupluri iniţial 1 2, ,... ,...

k nF F F F .

Corpul solid se deformează ca în prima stare, deoarece sarcina dFk a produs

deformaţii neglijabile. Odată însă cu aplicarea sistemului de forţe şi cupluri

iniţial, pe drumul k se va deplasa şi sarcina existentă pe corp dFk. Această

sarcină elementară dă un lucu mecanic egal cu k k

dF , deoarece

intensitatea forţei elementare este constantă de-a lungul deplasării parcurse

k. In această a doua stare, energia potenţială de deformaţie are expresia:

k k

U U dF (10.7)

Relaţiile (10.6) şi (10.7) exprimă de fapt aceeaşi energie de

deformaţie obţinută prin aplicarea pe corpul solid a încărcărilor iniţiale şi a

sarcinii elementare; prin egalarea expresiilor (10.6) şi (10.7) se obţine

teorema lui Castigliano, care permite determinarea deplasării k din dreptul

şi pe direcţia sarcinii Fk:

k

k

U

F

(10.8)

Teorema Castigliano arată că derivata parţială a energiei de

deformaţie în raport cu sarcina oarecare Fk este egală cu deplasarea

corpului k , produsă în punctul k pe direcţia sarcinii Fk. atunci când

corpul este încărcat static cu un sistem de forţe şi cupluri.

Cu ajutorul teoremei se poate determina atât deplasarea liniară din

dreptul şi pe direcţia unei forţe concentrate, cât şi deplasarea unghiulară, din

dreptul şi pe direcţia unui cuplu concentrat.

Teorema Castigliano este o teoremă generală care se utilizează la

determinarea deplasărilor liniar elastice dar şi la ridicarea nedeterminării

barelor şi sistemelor de bare.

Page 267: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

268

In cazul sistemelor de bare, energia de deformaţie se calculează cu

relaţia (10.4), iar prin aplicarea teoremei Castigliano (10.8) , se obţine

expresia deplasării:

i i t t

k

k k k k t k

M M M MU N N T Tdx dx dx dx

F EA F GA F EI F GI F

(10.9)

In expresia (10.9) integrala se referă la fiecare bară, iar suma are în vedere

toate barele sistemului.

Pentru cele mai multe aplicaţii, termenii corespunzători forţelor axiale şi

tăietoare au valori neglijabile în comparaţie cu termenii momentelor

încovoietoare şi de torsiune.

O simplificare importantă a calculelor cu relaţia (10.9) se poate face în

următoarele cazuri particulare:

-la sisteme plane de bare drepte se pot considera numai termenii din

încovoiere;

-la sistemele de bare articulate (grinzi cu zăbrele) se iau în

considerare numai termenii din forţa axială;

- la sistemele spaţiale de bare drepte se iau de cele mai multe ori în

considerare doar termenii din încovoiere şi torsiune.

Teorema Castigliano permite să se determine deplasările liniare şi

unghiulare produse atât în dreptul punctelor încărcate cu forţe şi cupluri

concentrate, cât şi în orice alt punct al corpului. In dreptul locului

neîncărcat, se aplică pe direcţia deplasării cerute o forţă concentrată fictivă

sau un cuplu concentrat fictiv care se anulează după efectuarea operaţiei de

derivare parţială.

In cazul sistemelor static nedeterminate, teorema se aplică asupra

mărimilor static nedeterminate din sistemul echivalent (care este static

determinat). In cazul nedeterminării exterioare, necunoscutele sunt

reacţiunile din legăturile suplimentare, iar în cazul nedeterminării interioare

(contururi închise), necunoscutele sunt eforturi secţionale. Apoi, cu ajutorul

teoremei Castigliano se exprimă condiţiile de legătură (a se vedea Capitolul

8) – pentru nedeterminarea exterioară şi condiţiile de continuitate în cazul

nedeterminării interioare.

De cele mai multe ori deplasările din dreptul reacţiunilor static

nedeterminate şi deplasările relative din dreptul eforturilor secţionale sunt

egale cu zero. Condiţiile de deplasări nule formează un sistem de ecuaţii

egal cu numărul necunoscutelor static nedeterminate.

Page 268: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

269

Aplicaţii

1. Să se calculeze săgeata şi rotirea la extremitatea liberă a grinzii din Fig.

10.3 (a), utilizând teorema lui Castigliano. Grinda are modulul de rigiditate

la încovoiere EI constant.

Rezolvare:

Punctul A neîncărcat cu forţă concentrată (pentru calculul deplasării pe

verticală) şi cu moment concentrat (pentru calculul rotirii), este încărcat

fictiv cu forţa F şi momentul concentrat C0 , elemente care se vor anula

după efectuarea operaţiei de derivare parţială (Fig. 10.3 (b)).

Fig. 10.3

Pentru rezolvare se vor lua în considerare din expresia (10.9) numai temenii

corespunzători încovoierii:

0

v i i

AF

M MUdx

F EI F

pentru calculul deplasării pe verticală în A.

00 00

i i

A

C

M MUdx

C EI C

pentru calculul rotirii în A.

Calculul poate fi sistematizat prin întocmirea tabelului 10.2:

Page 269: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

270

Tabelul 10.2

Porţiunea

Mi i

M

F

0

iM

C

Limitele

lui x

A-B 0

F x C x -1 0-l/2

B-C 2

0 2 2

Fl qxF x C

2

lx

-1 0-l/2

/ 2 / 2/ 2 2 4 3

0 0 0 0

4 4 4

1 1

2 2 8 12

1 7

128 96 384

l ll

v

AF

U qx l qx qlxx dx

F EI EI

ql ql ql

EI EI

0

/ 2/ 2 2 3 3

0 00 0

1 11

2 6 48

ll

A

C

U qx qx qldx

C EI EI EI

Contribuţii în expresiile deplasării pe verticală şi rotirii au dat doar termenii

de pe porţiunea BC.

2. Să se calculeze săgeata şi rotirea la extremitatea barei cotite din Fig. 10.4

(a), utilizând teorema lui Castigliano. Bara cotită are secţiune constantă de

diametru d.

Rezolvare:

Fig. 10.4

Page 270: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

271

Punctul A neîncărcat cu forţă concentrată (pentru calulul deplasării

pe verticală) este încărcat fictiv cu forţa F , forţa se va anula după

efectuarea operaţiei de derivare parţială (Fig. 10.4 (b)).

Pentru rezolvare se vor lua în considerare din expresia (10.9) atât temenii

corespunzători încovoierii cât şi pe cei corespunzători torsiunii (sistem

spaţial de bare drepte) :

0

v i i t t

AF p

M M M MUdx dx

F EI F GI F

Calculul poate fi sistematizat prin întocmirea tabelului 10.3:

Tabelul 10.3

Porţiunea

Mi i

M

F

Mt t

M

F

Limitele

lui x

A-B 2

2

qxF x

x - - 0-l

B-C F x qlx x 2

2

qlFl

l 0- 2l

2 22 2

0 0 0 0

2 24 3 2

00 0

4 4 4 44

1 1 1

2 2

1 1

8 3 2

1 8 1 67

8 3 24

l l l

v

AF p

l l l

p

p p

U qx qlx dx qlx x dx l dx

F EI EI GI

qx qlx qll dx

EI GI

ql ql ql qlql

EI GI EI GI

3. Să se ridice nedeterminarea exterioară a sistemului din Fig. 10.5, ştiind că

modulul de rigiditate la încovoiere este constant (EI=const.).

Rezolvare:

Sistemul din Fig. 10.5 (a) este o dată static nedeterminat. Se înlătură

legătura suplimentară (reazemul din A) şi se impune condiţia de deplasare

nulă în punctul A pe direcţia lui VA:

0v i i

A

A A

M MUdx

V EI V

(Pentru rezolvare se iau în considerare din expresia (10.9) numai temenii

corespunzători încovoierii).

Page 271: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

272

Fig. 10.5

Porţiunea

Mi i

A

M

V

Limitele lui

x

A-B 2

2A

qxV x

x 0-l

2 3 4

0 0 0

3 4

1 10

2 3 8

1

3 8

l ll

v

A A A

A

A

U qx x xV x x V q

V EI EI

l lV q

EI

Se obţine o ecuaţie cu necunoscuta VA. Rezultă

3

8AV ql .

4. Se cere să se ridice nedeterminarea pentru cadrul închis simetric din Fig.

10.6.

Rezolvare:

Datorită simetriei duble este suficient să se studieze modul în care se

deformează un sfert din cadrul închis, izolat prin secţionări în cele două axe

de simetrie. In axa de simetrie J forţa tăietoare care este un efort antisimetric

va fi nulă; diferite de zero în punctul J vor fi forţa axială egală cu 2j

qlN

şi momentul încovoietor j

M care devine pentru acest caz particular singura

necunoscută static nedeterminată. In punctul K este o încastrare privită ca

legătură interioară.

Page 272: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

273

Condiţia care se impune pentru ridicarea nedeterminării este ca rotirea fibrei

medii în dreptul necunoscutei j

M să fie egală cu zero:

10i

j j

j j

MUM dx

M EI M

Fig. 10.6

Porţiunea

Mi i

j

M

M

Limitele lui

x

J-A j

M 1 0-l

A-K 2

2 2j

qx qlM x

1 0-l/2

Cu expresiile momentului încovoietor pe cele două regiuni se obţine: / 2 2

0 0

02

l l

j j

qxM dx M qlx dx

In final, se va obţine momentul încovoietor 2

36j

qlM .

Page 273: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

274

10.3 Relaţia lui Mohr-Maxwell

Dacă se va considera un sistem de bare (Fig. 10.7) solicitat de un

sistem de forţe şi cupluri oarecare, deplasarea din dreptul şi pe direcţia unei

sarcini Fk este dată de relaţia Castigliano (10.9):

i i t t

k

k k k k t k

M M M MU N N T Tdx dx dx dx

F EA F GA F EI F GI F

Eforturile dintr-o secţiune oarecare a unei bare se pot exprima utilizând

suprapunerea efectelor astfel:

k k

N n F ; k k

T t F ; i ik k

M m F ; t tk k

M m F

(10.10)

unde , , ,k k ik tk

n t m m reprezintă forţa axială, forţa tăietoare, momentul

încovoietor, respectiv momentul de torsiune dintr-o secţiune oarecare,

cauzate de o sarcină unitate, aplicată într-o a doua stare, singură pe sistem,

în locul sarcinii Fk.; aceste mărimi se numesc coeficienţi de influenţă.

Derivarea parţială în raport cu sarcina Fk a relaţiilor (10.10) conduce la:

k

k

Nn

F

;

k

k

Tt

F

;

i

ik

k

Mm

F

;

t

tk

k

Mm

F

. (10.11)

Fig. 10.7

Derivatele din (10.11) reprezintă eforturi secţionale produse de o sarcină

unitate aplicată într-o a doua stare, singură pe sistem în locul sarcinii Fk. Relaţia (10.9) în care se ţine cont de notaţiile (10.11), se numeşte relaţia lui

Mohr-Maxwell:

i t

k k k ik tk

t

M MN Tn dx t dx m dx m dx

EA GA EI GI

(10.12)

Page 274: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

275

Integralele din relaţia (10.12) integrează de-a lungul unei bare, iar sumele

iau în considerare toate barele sistemului.

Calculul deplasării cu relaţia Mohr-Maxwell necesită considerarea

sistemului într-o a doua stare, în care singură pe sistem este aplicată o

sarcină unitate (forţă-unitate pentru calculul unei deplasări liniare şi

moment-unitate pentru calculul unei deplasări unghiulare).

Pentru sarcinile efectiv aplicate (sistemul cauză), vor rezulta

expresiile eforturilor , , ,i t

N T M M , iar pentru sarcina unitate aplicată singură

pe sistem în punctul şi pe direcţia deplasării căutate (sistemul efect) se

determină coeficienţii , , ,k k ik tk

n t m m ; prin integrare, cu relaţia Mohr-

Maxwell se determină deplasarea căutată.

Cu relaţia Mohr-Maxwell se rezolvă aceleaşi probleme ca şi cu

teorema Castigliano.

Aplicaţie

Pentru cadrul din Fig. 10.8 se cere să se calculeze deplasarea

verticală a punctului A şi rotirea secţiunii B. Modulul de rigiditate la

încovoiere este constant pentru barele sistemului (EI=const.).

Rezolvare:

Pentru calculul deplasărilor liniare şi unghiulare ale cadrului plan din Fig.

10.8 cu relaţia Mohr-Maxwell se vor lua în considerare numai termenii din

încovoiere ( cei din forţă axială şi tăietoare sunt consideraţi cu efect

neglijabil).

Relaţia de calcul a deplasării pe verticală în secţiunea A este:

1v

A i iAM m dx

EI

Pentru sistematizarea calculului deplasării pe verticală a punctului A se

utilizează tabelul 10.4 şi se va obţine:

2 2

00 0

2 24 3 42

0

0 00 0

11 1

2 2

21 9

8 2 8

a a

v

A

a aa

qx qax dx M a dx

EI

M aqx qa qax M ax

EI EI EI

Relaţia de calcul a rotirii secţiunii B este: 1

B i iBM m dx

EI

Pentru sistematizarea calculului rotirii secţiunii B se utilizează tabelul 10.5

şi se va obţine:

Page 275: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

276

2 2

00 0

22 3

20

0 00

10 1

2 2

21

2

a a

B

aa

qx qadx M dx

EI

M aqa qax M x

EI EI EI

Tabelul 10.4

Porţiunea Sistemul cauză (I) (Fig. 10.8)

Sistemul efect (II)

A-B

2

2i

qxM x

1iA

m x

B-C

2

02i

qaM x M

1iA

m a

Tabelul 10.5

Porţiunea Sistemul cauză (I) (Fig. 10.8)

Sistemul efect (II)

A-B

2

2i

qxM x

0iB

m

B-C

2

02i

qaM x M

1iB

m

Page 276: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

277

10.4 Teorema lui Betti

O altă metodă care permite determinarea deplasărilor şi ridicarea

nedeterminărilor se bazează pe teorema lui Betti, în conformitate cu care,

pentru un corp solid realizat dintr-un material liniar-elastic, încărcat

succesiv cu două sisteme de sarcini oarecare, lucrul mecanic dat de

sarcinile din prima stare cu deplasările corespunzătoare produse de

sarcinile stării a doua este egal cu lucrul mecanic al sarcinilor din a doua

stare cu deplasările corespunzătoare produse de sarcinile din prima stare.

Dacă acelaşi corp solid este încărcat în cele două stări, cu câte o

singură sarcină F de aceeaşi valoare, aplicată în locuri diferite, prin aplicarea

teoremei lui Betti între cele două stări se obţine teorema lui J. C. Maxwell.

Ea arată că deplasarea pe direcţia sarcinii într-un punct „i”, produsă de o

sarcină aplicată în punctul „j”, este egală cu deplasarea pe direcţia

sarcinii din „j” când aceeaşi sarcină este aplicată în „i”.

Aplicaţie

Pentru grinda din Fig. 10.9, având acelaşi modul de rigiditate la

încovoiere pe toată lungimea, se cere să se calculeze săgeata în punctul 3.

Rezolvare:

Pentru calculul săgeţii (deplasării pe verticală) din punctul 3 se

utilizează teorema lui Betti. Se consideră grinda încărcată cu o sarcină

unitate în punctul 3 într-o a doua stare de solicitare (starea 2 din tabelul de

mai sus).

Pentru starea 2 se poate observa că 2

12 22 16

l

EI (a se vedea

tabelul cu cazuril simple de încărcare din Capitolul 8 cu F1)

Aplicând teorema Betti:

0 12 13_ 2

_ 2_1 _1

1STAREA

STAREASTAREA STAREA

M

Se va obţine: 2

0

13 16

M l

EI

Page 277: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Calculul deplasărilor liniar-elastice prin metode energetice

278

Fig. 10.9

Starea 1

Sarcină: M0 în punctul 1

Deplasare: pe verticală în

punctul 3 13

(care este şi necunoscuta)

Starea 2

Sarcină: unitate în 3

Deplasare: unghiulară în

punctul 1

12 22

Page 278: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

11. FLAMBAJUL BARELOR ZVELTE

11.1 Generalităţi

In mecanica solidului rigid se spune despre un corp că este în

echilibru stabil dacă atunci când este scos din poziţia de echilibru, acesta

revine în poziţia iniţială datorită forţei de gravitaţie şi reacţiunii ce ia naştere

în punctul de rezemare (aceste forţe prin cuplul la care dau naştere readuc

corpul în poziţia de echilibru).

Echilibrul unui corp este nestabil, dacă scos din poziţia de echilibru,

nu mai revine la poziţia iniţială.

Al treilea caz de echilibru cunoscut este cel al echilibrului indiferent;

în acest caz corpul rămâne în repaus în orice poziţie ar fi.

Fig. 11.1

Dacă generalizăm, putem spune că un sistem este stabil atunci când,

scos din starea iniţială în care se află prin mici deplasări, revine în această

stare după îndepărtarea cauzelor care le-au produs.

Pornind de la această definiţie se poate vorbi de stabilitate nu numai

în cazul unui corp rigid ci şi în cazul unui corp elastic.

In sens mai general decât cel cunoscut de la mecanică, stabilitatea

(instabilitatea) statică reprezintă o caracteristică a poziţiei de deformate a

unui sistem elastic ca stare de echilibru sub acţiunea statică a unor forţe

exterioare date. Poziţia deformată este stabilă, dacă, modificând-o cu puţin

printr-o cauză perturbatoare oarecare, sistemul revine la poziţia deformată

iniţială (sau oscilează în jurul acesteia, atunci când perturbaţia încetează).

Dacă sistemul nu are această proprietate, atunci el este instabil. Pierderea

stabilităţii sistemului elastic este de obicei însoţită de deformaţii mari care

pot duce la distrugerea lui completă.

O particularitate a barelor „zvelte” (bare cu lungime mare în

comparaţie cu dimensiunile secţiunii transversale) o constituie sensibilitatea

acestora faţă de eforturile de compresiune. Există pericolul ca în zonele

Page 279: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 280

comprimate bara să-şi piardă forma iniţială de echilibru. Astfel forma de

echilibru a zonelor comprimate poate fi stabilă sau instabilă.

Pierderea stabilităţii sistemelor deformabile (a barelor, sistemelor de

bare sau plăcilor) sub acţiunea forţelor se numeşte flambaj. Aşadar

flambajul reprezintă o consecinţă a unei stări de instabilitate.

Un exemplu des întâlnit în practica inginerească este flambajul

barelor drepte, solicitate la compresiune.

Pentru a demonstra producerea flambajului se efectuează o

experienţă simplă: se consideră o bară (vergea) dreaptă, subţire, dublu

articulată, acţionată la capete de două forţe de compresiune F (Fig. 11.2 a).

Pentru valori mici ale forţelor F, bara îşi păstrează forma rectilinie, fiind

supusă la compresiune simplă. Mărind forţele F până la o anumită valoare,

bara continuă să-şi păstreze forma dreaptă, apoi se încovoaie brusc, luând o

formă de echilibru curbilinie. Valoarea forţei F pentru care bara trece de la

forma rectilinie la o formă curbilinie de echilibru este denumită forţă critică

de flambaj şi este notată Fcr.

Fig. 11.2

In momentul flambajului, brusc se produc deformaţii mari de

încovoiere şi bara nu se mai poate opune creşterii forţei peste această

valoare. Forţei critice îi corespunde în secţiunea transversală o tensiune

critică de flambaj, care se poate determina cu relaţia de calcul de la

compresiunea simplă:

cr

cr

F

A (11.1)

unde A este aria secţiunii transversale.

Bara nu va flamba, dacă ea va fi comprimată cu o forţă F mai mică decât

cea critică de flambaj Fcr :

cr

cr

FF

c (11.2)

unde 1cr

c este un coeficient de siguranţă la stabilitate (flambaj). Deci

echilibrul unei bare drepte comprimate poate fi de două feluri:

Page 280: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

281

-dacă cr

F F , atunci echilibrul este stabil, iar bara, scoasă din

poziţia rectilinie de echilibru, va reveni la forma ei iniţială după dispariţia

cauzei perturbatoare;

- dacă cr

F F , atunci echilibrul este instabil şi bara flambează sau

cel puţin se află în pericol de flambaj; scoasă din poziţia rectilinie de

echilibru, bara rămâne deformată şi se poate rupe.

Interesant la acest fenomen este faptul că el se poate produce atât

sub sarcini care dau naştere în interiorul corpului asupra căruia acţionează la

tensiuni care pot pot fi mai mici decât limita de proporţionalitate a

materialului (domeniul elastic) sau mai mari decât această limită (domeniul

plastic).

Concluzia cea mai importantă care poate fi trasă este că, în

problemele de stabilitate a formei de echilibru interesează determinarea

forţei critice pentru prevenirea unor deformaţii nepermise.

Dacă se repetă experienţa cu aceeaşi bară (ca material, lungime şi

secţiune), diferind doar modul de rezemare, se constată că valoarea forţei

critice diferă mult în funcţie de modul de rezemare.

Prin experimente asemănătoare se poate arăta că valoarea forţei

critice depinde şi de natura materialului şi de geometria barei.

Pentru a pune în evidenţă faptul că, în cazul flambajului, nu este

aplicabil principiul suprapunerii efectelor, se reprezintă grafic dependenţa

săgeţilor de forţa F(experimental săgeţile pot fi măsurate cu ajutorul unui

comparator).

Dacă se consideră o bară încastrată la capătul inferior şi liberă la cel

superior şi în capătul liber este aplicată o forţă transversală F (Fig. 11.3 a),

atunci bara este supusă la încovoiere, producându-se o săgeată w în punctul

de aplicaţie al forţei F - w k F cu (3

3

lk

EI ). Când forţa creşte de la

zero, săgeata w creşte şi ea proporţional, astfel că graficul funcţiei este o

dreaptă care trece prin origine (Fig. 11.3 b).

Dacă aceeaşi forţă F este aplicată axial, cât timp cr

F F deplasarea

transversală (săgeata) este nulă – bara rămâne rectilinie (Fig. 11.3 c). Atunci

când cr

F F , bara trece în forma de echilibru curbilinie (Fig. 11.3 d).

Deplasarea laterală a consolei se poate produce la dreapta sau la

stânga. In reprezentarea grafică, formei rectilinie a deformatei (pentru

crF F ) îi corespunde dreapta OA, în timp ce formei curbilinii îi

corespund curbele AB şi AB’. Aliura curbei OABB’ explică de ce această

Page 281: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 282

formă de pierdere a stabilităţii se numeşte pierderea stabilităţii prin

bifurcarea echilibrului.

Fig. 11.3

Pierderea stabilităţii elastice este un fenomen care se întâlneşte în

foarte multe cazuri în practică.

Bare comprimate care îşi pot pierde stabilitatea (ex. Fig. 11.4(a))

sunt bielele de la motoarele cu ardere internă, barele comprimate din

structura grinzilor cu zăbrele, tijele pistoanelor motoarelor termice sau

hidraulice mari, stâlpi comprimaţi.

Un alt exemplu îl constituie un tub cu pereţi subţiri, încărcat cu o

presiune exterioară (Fig. 11.4 (b)). La o anumită valoare a acestei presiuni

considerată critică, tubul îşi modifică secţiunea iniţial circulară în secţiune

eliptică şi apoi se aplatizează.

Un tub cu pereţi subţiri îşi poate piede stabilitatea şi dacă este supus

la compresiune axială pe conturul secţiunii sau la torsiune cu valori ale

sarcinilor aplicate la nivelul celor considerate critice pereţii tubului îşi pierd

Page 282: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

283

forma cilindrică, pe suprafaţa laterală apărând cute de formă regulată (Fig.

11.4 (c)); se spune că suprafaţa cilindrică s-a voalat.

Fig. 11.4

In general, pierderea de stabilitate poate avea loc în toate

construcţiile realizate din pereţi subţiri supuse la compresiune.

Fenomenul de pierdere a stabilităţii elastice este foarte periculos şi se

cere să fie evitat deoarece producerea lui, în general, nu este precedată de

alte fenomene care să-l anunţe. De aceea, în toate cazurile la care pierderea

de stabilitate elastică este posibilă, se alătură calculului de rezistenţă şi un

calcul de stabilitate, ce se poate limita la unele elemente ale sistemului sau

chiar la întreg sistemul.

Fenomenul de pierdere a stabilităţii elastice fiind deosebit de

complex, stabilirea cu exactitate a relaţiilor care dau forţa critică de flambaj

nu este posibilă în toate cazurile. Determinările experimentale au arătat că

unele dintre relaţiile de calcul sunt destul de aproximative deoarece

diferenţele dintre valorile calculate şi cele măsurate sunt foarte mari.

O teorie exactă a flambajului conduce la expresii neliniare

complicate. Ca urmare, s-au elaborat teorii aproximative prin care se

stabilesc relativ uşor mărimile cele mai importante ale stării flambate.

Dintre ipotezele de bază din Rezistenţa materialelor cele mai

utilizate au fost ipoteza corpului perfect elastic şi ipoteza deformaţiilor

infinitezimale. Cea de-a doua ipoteză permitea scrierea ecuaţiilor de

echilibru pe forma nedeformată a corpului considerat. Acestor ipoteze de

Page 283: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 284

bază li se adaugă unele ipoteze simplificatoare suplimentare, cu valabilitate

limitată, cum este, de exemplu, simplificarea relaţiei exacte a curburii:

2

2

32 2

1

1

d w

dx

dw

dx

(11.3)

prin neglijarea pătratului rotirii în raport cu unitatea. Astfel, în Capitolul 8 s-

a lucrat cu relaţia aproximativă a curburii:

2

2

1 d w

d x (11.4)

care aducea avantajul considerabil de liniarizare a problemei deformaţiilor

din încovoiere, făcând posibilă aplicarea principiul suprapunerii efectelor.

Sunt unele situaţii când admiterea ipotezelor simplificatoare enunţate

nu este posibilă datorită naturii fenomenului studiat. Admiterea sau

renunţarea la aceste ipoteze de bază simplificatoare a condus la teorii de

ordinele I, II, sau III ; aceste teorii permit explicarea unor fenomene, a

comportării unor elemente de structură (a se vedea ANEXA).

Exprimarea condiţiilor de echilibru pe forma nedeformată a

sistemului este caracteristică teoriei de ordinul întâi; teoria de ordinul întâi

permite aplicarea suprapunerii efectelor şi este denumită liniaritate

mecanică sau statică.

Exprimarea condiţiilor de echilibru pe forma deformată a sistemului

caracterizează teoriile de ordinele II şi III; această modalitate de lucru nu

mai permite aplicarea principiului suprapunerii efectelor şi este denumită, în

literatura de specialitate, neliniaritate mecanică sau statică.

In privinţa mărimii deformaţiilor acestea pot fi:

- infinitezimale (mici deformaţii);

- finite (care în mod obişnuit sunt considerate mici).

Deformaţiile infinitezimale caracterizează teoriile de ordinul I şi II şi

arată că deplasările diferitelor puncte pot fi asimilate unor infiniţi mici.

Deformaţiile infinitezimale în teoria de ordinul I caracterizează problema ca

fiind cu liniaritate geometrică.

Considerarea deformaţiilor finite dar mici (numite impropriu „mari

deformaţii”) caracterizează teoria de ordinul al III-lea. Aceste deformaţii

finite corespund neliniarităţii geometrice.

Cum deformaţiile de interes în studiul stabilităţii sunt cele de

încovoiere (săgeţile w→ 2

2 i

d wEI M

dx ), putem spune că:

Page 284: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

285

-în teoria de ordinul I ecuaţia deformaţiilor este liniară şi

neomogenă;

- în teoria de ordinul II, ecuaţia diferenţială a săgeţilor rămâne

liniară însă poate fi omogenă sau neomogenă după cum există cauze

exterioare care produc momente încovoietoare;

- în teoria de ordinul III, ecuaţia diferenţială a săgeţilor este

neliniară aşa cum reiese din expresia curburii (relaţia 11.3).

Calculul de ordinul I al sistemelor elastice este necorespunzător

pentru rezolvarea problemelor de stabilitate. Cu ajutorul teoriei de ordinul al

II-lea, scriind relaţiile de echilibru pentru starea deformată, se pot stabili

condiţiile de stabilitate. Teoria de ordinul al II-lea este o teorie liniarizată,

prin admiterea expresiei aproximative a curburii (Capitolul 8).

11.2 Metode pentru determinarea forţei critice de flambaj

Expresia forţei critice de flambaj se poate determina prin mai multe

metode generale: metoda statică, metoda energetică, dinamică, metoda

aproximaţiilor succesive (C. Bia, V. Ille şi M.V. Soare, 1983) şi altele.

Pentru prima dată ea a fost calculată de L. Euler în 1744.

a. Metoda statică. Sistemului aflat în poziţia de echilibru static i se

dă o deplasare infinitezimală, scriindu-se, pe această formă deformată,

ecuaţiile de echilibru, diferenţiale sau algebrice, funcţie de numărul gradelor

de libertate ale sistemului (adică numărul parametrilor geometrici

independenţi care determină complet poziţiile tuturor punctelor sistemului

într-o situaţie deplasată faţă de situaţia iniţială). Dacă ecuaţiile de echilibru

ale sistemului în poziţia deplasată au numai o soluţie, atunci această poziţie

a sistemului este o stare de echilibru stabil (corespunzătoare poziţiei

iniţiale). Dacă anumitor mărimi ale forţelor le corespund două sau mai multe

soluţii, atunci pe lângă forma iniţială de echilibru sunt posibile şi alte forme

deformate; acest fapt duce la concluzia că pentru mărimea acelor forţe,

forma deformată a devenit instabilă. Existenţa soluţiilor diferite de zero va

exprima starea critică a sistemului. Deci criteriul static de recunoaştere a

stării critice a sistemului este acela al existenţei mai multor forme

deformate de echilibru, sub acţiunea aceloraşi încărcări exterioare.

b. Metoda energetică. Pentru poziţia de echilibru a sistemului

energia potenţială totală a lui are o valoare extremă; natura echilibrului

formei deformate este dată de principiul lui Lejeune-Dirichlet: dacă sistemul

se află într-o formă deformată de echilibru stabil, energia potenţială totală a

lui reprezintă un minim faţă de toate formele deformate infinit vecine.

Energia potenţială totală reprezintă un maxim pentru o formă deformată de

Page 285: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 286

echilibru nestabil, iar pentru o formă de echilibru indiferent energia

potenţială totală rămâne aceeaşi în comparaţie cu formele deformate vecine.

Relaţia care permite determinarea forţei critice exprimă egalitatea (la limită,

pe starea deformată) dintre energia potenţială de deformaţie şi lucrul

mecanic al forţelor exterioare.

c. Metoda dinamică. Extinzând criteriul general de stabilitate a

poziţiei de echilibru pentru un punct material, un sistem perturbat din

poziţia sa de echilibru stabil şi lăsat liber va executa oscilaţii în jurul formei

deformate iniţiale de echilibru, frecvenţa fiind funcţie de forţa exterioară.

Dacă mişcarea este dată de mici oscilaţii amortizate sau

neamortizate, în jurul poziţiei iniţiale de echilibru, atunci această poziţie a

sistemului este stabilă. Dacă mişcarea este oscilatorie şi depărtarea de

poziţia iniţială creşte cu timpul, poziţia iniţială a sistemului este nestabilă.

11.3 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de

rezemare

In cele ce urmează este prezentată obţinerea forţei critice de flambaj

cu ajutorul metodei statice.

In funcţie de modul de rezemare al barei, se consideră cele patru

cazuri din Fig. 11.5 şi anume:

-cazul I –bară încastrată la un capăt şi liberă la celălalt;

-cazul II (cazul fundamental) – bara articulată la ambele capete;

-cazul III –bara articulată la un capăt şi încastrată la celălalt;

-cazul IV – bara încastrată la ambele capete.

Fig. 11.5

Page 286: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

287

Metoda statică este o metodă analitică de determinare a forţei critice

de flambaj. Ea constă în integrarea ecuaţiei diferenţiale aproximative a fibrei

medii deformate pentru starea flambată a barei şi impunerea condiţiilor la

limită necesare (a condiţiilor de rezemare) pentru a realiza o anumită formă

a deformatei. Se admite că distanţa dintre cele două capete ale barei este

egală în starea flambată cu lungimea iniţială a barei. Se neglijează greutatea

proprie a barei, iar rigiditatea barei este considerată constantă în lungul

barei.

a. Bara articulată la ambele capete. Sistemul de coordonate este ales ca în

Fig. 11.6. Mărimile secţionale sunt scrise în starea deformată a barei. Astfel,

momentul încovoietor în secţiunea x va fi:

i cr

M F w

Fig. 11.6

Ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate este ecuaţia

diferenţială a problemei:

2

2 i cr

d wEI M F w

dx

Trecând totul în membrul stâng şi grupând convenabil termenii:

2

20cr

Fd ww

dx EI (11.5)

Dacă se introduce notaţia:

2 crF

EI (11.6)

ecuaţia (11.5) devine:

2

2

20

d ww

dx (11.7)

Ecuaţia diferenţială (11.7) este de ordinul al doilea, liniară, cu coeficienţi

constanţi şi omogenă (se încadrează în teoria de ordinul al doilea – a se

vedea ANEXA ). Soluţia ecuaţiei (11.7) se poate scrie sub forma generală

sin cosw A x B x (11.8)

Page 287: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 288

în care A şi B sunt două constante de integrare care se determină din

condiţiile la limită. Din examinarea condiţiilor de rezemare, rezultă că, la

capetele barei săgeţile trebuie să fie nule, adică:

-pentru 0 0x w

-pentru 0x l w

Prima condiţie introdusă conduce la B=0, iar a doua

sin 0A l

Constanta A nu poate fi nulă, deoarece în acest caz ar rezulta w=0, adică

bara dreaptă, fapt care este contrar ipotezei că s-a produs flambajul. De

asemenea nu poate fi nul, căci din relaţia (11.6) ar rezulta 0cr

F , adică

bara ar fi neîncărcată.

Ultima posibilitate este sin 0l , din care rezultă:

l k 1,2,3...k (11.9)

Valorile care rezultă din relaţia de mai sus sunt valorile proprii în cazul

barei dublu articulate. Din (11.9) rezultă:

k

l

1,2,3...k (11.10)

Egalând pe dat de relaţiile (11.6) şi (11.10) se obţine forţa critică:

2 2

2cr

k EIF

l

1,2,3...k (11.11)

Dintre toate forţele critice, valoarea minimă este cea mai defavorabilă şi va

fi privită ca forţa critică de flambaj a barei (forţa critică Euler).

Ecuaţia fibrei medii deformate rezultă din (11.8) în care se face B=0,

iar este dat de relaţia (11.10) pentru 1,nl

:

sinx

w Al

(11.12)

şi reprezintă o sinusoidă cu o semiundă. Constanta A nu poate fi determinată

din condiţiile la limtă. Semnificaţia ei fizică de săgeată maximă reiese

făcând 2

lx

max

w A .

Mărimea constantei A rămâne nedeterminată atâta timp cât la baza studiului

stă ecuaţia deferenţială aproximativă a fibrei medii deformate (acest lucru

este posibil deoarece în limitele micilor deformaţii, sunt posibile o infinitate

de forme curbilinii de echilibru).

Page 288: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

289

Flambajul se va produce întotdeauna după direcţia după care momentul de

inerţie este minim, astfel încât formula care determină forţa critică va fi

scrisă:

2

min

2cr

EIF

l

(11.13)

Pentru cazul forţelor critice superioare, de exemplu pentru k=2,

ecuaţia fibrei medii deformate (pentru 2

l

) se scrie în forma:

2

sinx

w Al

şi reprezintă o sinusouidă cu două semiunde.

b. Bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt capăt. (Fig. 11.7)

Dacă originea axelor este aleasă în capătul liber al barei (se deplasează o

dată cu bara), într-o secţiune x momentul încovoietor are

expresia:i cr

M F w , ecuaţia diferenţială aproximativă este dată de relaţia

2

2 i cr

d wEI M F w

dx , iar soluţia (expresia săgeţii)se poate scrie în

forma:

sin cosw A x B x

(relaţiile de mai sus sunt aceleaşi ca în cazul fundamental al barei articulate

la ambele capete).

Utilizând expresia săgeţii, rotirea într-o secţiune oarecare are expresia:

cos sindw

A x B xdx

Condiţiile la limită în acest caz sunt:

-pentru 0 0x w

-pentru 0dw

x ldx

Introducând aceste condiţii la limită în expresiile săgeţii şi rotirii de mai sus,

rezultă B=0 şi cos 0A l . Ultima condiţie (din care se îndepărtează

factorii 0A ) reprezintă ecuaţia caracteristică:

cos 0l

cu soluţia (valorile proprii): 2 12

l n

cu 0,1,2,3,...n

Forţele de compresiune corespunzătoare vor fi:

2

2

2,2 1

4cr n

EIF n

l

Page 289: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 290

Iar forţa minimă obţinută pentru n=0 reprezintă forţa critică de flambaj în

cazul considerat:

2

24cr

EIF

l

(11.14)

Fibra medie deformată este în acest caz sinusoida:

sin2

xw A

l

cu semiunda de lungime 2l (Fig. 11.7).

Fig. 11.7

c. Bara articulată la un capăt şi încastrată la celălalt. (Fig. 11.8)

Pentru a scrie expresia momentului încovoietor într-o secţiune trebuie luată

în considerare şi contribuţia componentei V a reacţiunii din articulaţia O :

i cr

M F w V x (11.15)

Cu expresia momentului încovoietor (11.15), ecuaţia diferenţială

aproximativă a fibrei medii deformate se scrie succesiv:

2

2

i crM F w V xd w

dx EI EI

2

2

crFd w V

w xdx EI EI

2

2

2

d w Vw x

dx EI (11.16)

Fig. 11.8

Ecuaţia (11.16) diferă de ecuaţiile obţinute în cazurile de flambaj

precedente (a şi b) prin faptul că nu este o ecuaţie omogenă (există membrul

Page 290: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

291

drept diferit de zero); de aceea soluţiei omogene a ecuaţiei (11.8) trebuie să i

se asocieze o soluţie particulară, de forma membrului drept (adică o funcţie

liniară). Soluţia particulară rezultă în forma:

p

cr

Vw x

F

Soluţia generală va conţine soluţia ecuaţiei omogene şi soluţia particulară,

adică:

sin cos

cr

Vw A x B x x

F

Expresia rotirii va fi:

cos sin

cr

dw VA x B x

dx F

Impunând condiţiile la limită:

-pentru 0 0x w

-pentru 0x l w şi 0dw

dx ,

rezultă B=0 şi

sin 0

cos 0

cr

cr

VA l l

F

VA l

F

Drept necunoscute se consideră A şi raportul

cr

V

F; sistemul precedent este

omogen şi admite soluţii nebanale doar dacă determinantul principal este

nul:

sin

0cos 1

l l

l

Dezvoltând determinantul se obţine ecuaţia caracteristică:

tg l l (11.17)

Cea mai mică rădăcină a ecuaţiei caracteristice (ecuaţie transcendentă) este:

4.493l sau 4.493 0.7l ( 2 2 20.19l )

Forţa critică de flambaj se scrie:

2

22

20.19

0.7cr

EI EIF

l l

.

Page 291: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 292

d. Bara dublu încastrată. (Fig. 11.9)

Având în vedere că într-o încastrare sunt trei reacţiuni simple (Fcr, V, M0),

momentul încovoietor în secţiunea x are expresia:

0i cr

M F w V x M (11.18)

Fig. 11.9

Ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate devine:

2

0

2

crF Md w V

w xdx EI EI EI

sau

2

2 0

2

Md w Vw x

dx EI EI (11.19)

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene (11.19) va conţine soluţia

ecuaţiei omogene şi soluţia particulară:

0sin cos

cr cr

MVw A x B x x

F F (11.20)

Cu (11.20) expresia rotirii este:

cos sin

cr

dw VA x B x

dx F (11.21)

Necunoscutele A ,B,

cr

V

F şi 0

cr

M

F se determină exprimând condiţiile la

limită:

-pentru 0 0x w şi 0dw

dx

-pentru 0x l w şi 0dw

dx .

Impunând condiţiile la limită, se obţine sistemul omogen:

Page 292: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

293

0

0 1 0 1 0

0 1 0 0

sin cos 1 0

cos sin 1 0 0

cr

cr

A

B

V

Fl l l

Ml l

F

Anulând determinantul principal al sistemului de mai sus rezultă ecuaţia

caracteristică:

2 1 cos sin 0l l l sau 2 2

l ltg

(11.22)

Ecuaţia (11.22) admite o familie de rădăcini 2 1,2,3,...l n n din care

pentru cea mai mică 2l , se obţine forţa critică de flambaj:

2

2

4cr

EIF

l

(11.23)

Ecuaţia fibrei medii deformate rezultă sub forma:

2

1 cosx

w Bl

.

11.4 Tratarea unitară a cazurilor de flambaj

Cazurile de flambaj (Fig. 11.5) diferă după condiţiile de rezemare şi natura

încărcării.

In tratarea tuturor cazurilor de flambaj se pleacă de la ecuaţia diferenţială de

ordinul al doilea:

2

2 i

d wEI M

dx (11.24)

care presupune că momentul încovoietor Mi este determinat ţinând seama de

condiţiile de rezemare la capete. Pentru a ne situa în cazul cel mai general,

este necesar să se plece de la exprimarea echilibrului în stare deformată

pentru un element de bară (Fig. 11.10).

Pentru început se presupune că bara este acţionată doar la capete de forţele

de compresiune Fcr. Ecuaţia de proiecţie pe normala la axa deformată se

scrie în forma:

0cr cr

dw dwT T dT F F

dx dx

Page 293: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 294

sau 0dT (11.25)

Fig. 11.10

Ecuaţia de momente în raport cu centrul de greutate al secţiunii din dreapta

dă:

0cr

M M dM Tdx F dw

sau cr

dM dwT F

dx dx (11.26)

Relaţie care generalizează relaţia diferenţială dintre forţa tăietoare şi

momentul încovoietor dM

Tdx

stabilită în teoria de ordinul I.

Dacă se derivează o dată relaţia (11.26) şi se ţine cont de relaţia (11.25), se

obţine:

2 2

2 2cr

d M d wF

dx dx (11.27)

Pentru mai mare generalitate se consideră momentul de inerţie variabil

I I x în relaţia (11.24) şi se derivează de două ori

22 2

2 2 2

id Md d w

EIdx dx dx

iar ţinând cont de relaţia (11.27) se obţine:

Page 294: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

295

2 2 2

2 2 20

cr

d d w d wEI F

dx dx dx

(11.28)

Iar aceasta este ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate.

Soluţia generală a acestei ecuaţii este de forma:

1 1 2 2 3 4

w C x C x C x C (11.29)

în care 1 2 3 4, , ,C C C C sunt constante de integrare, iar

1x şi

2x sunt

funcţii de un parametru .

Introducând condiţiile la limită – câte două pentru fiecare capăt al barei – se

obţine un sistem de patru ecuaţii liniare omogene în care unii coeficienţi ai

constantelor sunt funcţii transcendente de acelaşi parametru . Condiţia ca

să existe soluţii nebanale pentru Ci este ca determinantul al coeficienţilor

necunoscutelor să fie nul. Ecuaţia =0 reprezintă ecuaţia caracteristică; ea

este o ecuaţie transcendentă şi are o infinitate de rădăcini n cu (n=1,2,3,...),

care vor fi valorile proprii căutate şi cărora le corespunde un număr infinit

de forţe critice ,cr n

F . Forţa critică reală va fi forţa cea mai mică.

Introducând o valoare n în sistemul de patru ecuaţii în Ci şi reţinând doar

ecuaţiile independente (trei la număr), constantele pot fi determinate funcţie

de una dintre ele care rămâne nedeterminată.

Soluţia (11.29) poate fi scrisă în forma:

2 3 4

1 1 2

1 1 1

n n n

n n n n

n n n

C C Cw C x x x

C C C

(11.30)

În care C1n rămâne o constantă nedeterimnată. Paranteza din expresia

(11.30) se numeşte funcţie proprie a ecuaţiei omogene (11.28), asociată

condiţiilor la limită ale cazului considerat; ea reprezintă forma proprie de

pierdere a stabilităţii pentru bara care are un mod de rezemare la capete dat.

In cazul în care I=const., ecuaţia (11.28) poate fi redusă la forma mai

simplă:

4 2

4 20

cr

d w d wEI F

dx dx

sau ţinând cont de relaţia 2

crF EI

4 2

2

4 20

d w d w

dx dx (11.31)

Soluţia generală este: sin cosw A x B x C x D (11.32)

unde A,B,C,D sunt constante de integrare. Particularizări ale soluţiei (11.32)

pentru cazurile de flambaj (Fig. 11. 5) sunt date în tabelul 11.1.

Page 295: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 296

Tabelul 11.1

Cazul de

flambaj

numerotat

după

(Fig. 11.5)

(I)

Bara

încastrată

la un

capăt şi

liberă la

celălalt

capăt

(II)

Bara

articulată

la ambele

capete

(III)

Bara

încastrată la

un capăt şi

articulată la

celălalt

(IV)

Bara încastrată

la

ambele capete

Necunoscute A, B A, B A,B,V A,B,V, M0

Momentul

incovoietor

Mi

crF w

crF w

crF w V x

0crF w V x M

Condiţii la

limită:

Pentru x=0

Pentru x=l

0 0w

0x l

dw

dx

0 0w

0w l

0 0w

0w l

0x l

dw

dx

0 0w

00

x

dw

dx

0w l

0x l

dw

dx

Ecuaţia

caracteristică

cos 0l sin 0l tg l l 2 1 cos

sin 0

l

l l

Valoarea

proprie

minimă 2

l

l 4.49l 2l

Lungimea de

flambaj lf 2

fl l

fl l 0.707

fl l 0.5

fl l

Atunci când încărcarea axială este repartizată după legea q(x) relaţia (11.26)

devine:

0

xdM dw

T q x dxdx dx

şi ecuaţia diferenţială devine:

4

4

0

10

xd w d dw

q x dxdx EI dx dx

(11.33)

Page 296: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

297

Substituind dw

udx

, ordinul ecuaţiei de mai sus mai poate fi redus cu o

unitate.

11.5 Lungimea de flambaj

Din exprimarea cazurilor prezentate în paragrafele precedente, a

rezultat că forţa critică de flambaj poate fi obţinută sub forma produsului

dintre factorul 2EI l şi un coeficient numeric depinzând în special de

condiţiile de rezemare.

Formula lui Euler pentru legături identice la capete în toate planurile,

se poate scrie în forma:

2

min

2cr

f

EIF

l

(11.34)

unde cu lf s-a notat lungimea de flambaj, iar Imin este momentul de inerţie

axial minim. Pentru a considera şi cazurile în care bara are legături diferite

în planuri diferite, formula lui Euler se poate generaliza şi utiliza în forma:

2

2

min

cr

f

IF E

l

(11.35)

Lungimea de flambaj pentru fiecare caz de rezemare este măsurată

pe deformată între punctele de inflexiune; pentru cazurile studiate lungimile

de flambaj sunt precizate în Fig. 11.11.

Cazul I Pentru bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, fibra medie

deformată este o sinusoidă de semiundă 2l, adică dublul lungimii reale a

barei; semiunda rezultă prin simetrizarea barei reale faţă de secţiunea de

încastrare. Capătul liber şi simetricul său sunt puncte de inflexiune.

Cazul II (cazul fundamental) Pentru bara dublu articulată, fibra medie

deformată este o sinusoidă de semiunde l; capetele barei sunt punctele de

inflexiune.

Cazul III Pentru bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt, un punct

de inflexiune al fibrei medii deformate coincide cu articulaţia, iar celălalt

este situat în deschidere, la o distanţă de aproximativ 0.7l de primul punct.

Cazul IV Pentru bara dublu încastrată, semiunda are o lungime de 0.5l,

punctele de inflexiune fiind situate la sferturile deschiderii.

Inafară de cazurile teoretice prezentate, există standarde care

prescriu determinarea lungimii de flambaj şi în funcţie de alcătuirea

constructivă a sistemului (pentru structurile metalice – grinzi cu zăbrele,

Page 297: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte 298

sunt date recomandări în considerarea lungimii de flambaj pentru barele

dispuse în zona de prindere, pe diagonale, în planul grinzii sau transversal

pe planul grinzii).

Fig. 11.11

La construcţiile din lemn, în cazul barelor cu capete încastrate este

recomandată mărirea lungimii de flambaj teoretice, pentru a se ţine seama

de faptul că o încastrare perfectă este imposibil de realizat datorită

contracţiei transversale a lemnului prin uscare; se recomandă după (Soare şi

Bia 1983):

-la bare dublu încastrate 0.65f

l l în loc de 0.5f

l l

-la bare articulate la un capăt şi încastrate la celălalt 0.8f

l l în loc de

0.707f

l l .

Page 298: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

299

11.6 Domeniul de aplicabilitate al relaţiei lui Euler

Forţei critice de flambaj îi corespunde în secţiunea transversală a

barei o tensiune critică de flambaj. Cu relaţia (11.35) se obţine: 2

2 22

2 2

maxmin min

cr

cr

f f

F E I i EE

A A l l

(11.36)

unde s-a notat cu raportul dintre lungimea de flambaj şi raza de inerţie a

secţiunii transversale:

f

l

i (11.37)

Raportul de mai sus notat cu se numeşte coeficientul de zvelteţe sau de

subţirime.

Coeficientul de zvelteţe poate avea valori diferite în planele

longitudinale centrale ale barei. Flambajul se produce perpendicular pe

planul longitudinal în care coeficientul de zvelteţe are valoare maximă. In

calcule se lucrează de obicei cu coeficientul de zvelteţe maxim şi în cele ce

urmează se va înţelege prin coeficientul de zvelteţe maxim al barei, fără

să-i mai aplicăm indicele „max”:

max

max

fl

i

(11.38)

Pentru aceeaşi lungime de flambaj în toate planele longitudinale această

mărime devine:

max

min

fl

i (11.39)

Relaţia (11.36) arată că tensiunea critică de flambaj depinde de materialul

barei (prin modulul de elasticitate longitudinal E) şi de zvelteţea ei. Cu cât

bara este mai zveltă cu atât pericolul de flambaj este mai mare.

Relaţia lui Euler este dedusă din ecuaţia diferenţială a fibrei medii

deformate, care are la bază legea lui Hooke, proporţionalitatea dintre

tensiuni şi deformaţii. Astfel, relaţia lui Euler este aplicabilă numai în

măsura în care este satisfăcută legea lui Hooke, adică dacă tensiunea de

flambaj este mai mică decât tensiunea corespunzătoare limitei de

proporţionalitate:

2

2

max

cr p

E

(11.40)

Page 299: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

300

de unde rezultă un coeficient de zvelteţe 0, care delimitează domeniul de

valabilitate al relaţiei lui Euler:

2

max 0

p

E

(11.41)

Valoarea coeficientului de zvelteţe 0, depinde numai de materialul barei (E

şi p).

Prin urmare coeficientul de zvelteţe 0 delimitează două domenii în calculul

de flambaj al barelor solicitate la compresiune:

- Dacă max 0 , atunci flambajul se numeşte elastic. Bara

flambează înainte ca legea lui Hooke să-şi piardă valabilitatea,

iar experienţa confirmă relaţia lui Euler.

- Dacă max 0 , atunci flambajul se numeşte plastic. Bara îşi

pierde stabilitatea numai după ce tensiunea de compresiune

depăşeşte pe cea corespunzătoare limitei de proporţionalitate, iar

experienţa nu confirmă relaţia lui Euler.

Relaţia lui Euler se poate folosi şi la calculul flambajului plastic, dacă se

schimbă modulul de elasticitate longitudinal E cu modulul lui Kárman Er:

2

min

2

r

cr

f

E IF

l

Modulul lui Kárman Er este dat de relaţia:

t c

r

I E I EE

I

în care E’ este un modul de plasticitate (Fig. 11.12), It şi Ic sunt momentele

de inerţie faţă de axa neutră ale zonei întinse, respectiv comprimate prin

flambaj.

Fig. 11.12

Page 300: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

301

Deoarece modulul de plasticitate este o mărime cu valori greu de

apreciat, în practică, în domeniul flambajului plastic, pentru max 0 , se

folosesc relaţii empirice, stabilite prin încercări la flambaj. Aceste relaţii

empirice permit să se calculeze tensiunea critică de flambaj în funcţie de

coeficientul de zvelteţe al barei:

cr

a b ; 2

crA B C (11.42)

unde a, b, A,B,C sunt coeficienţi dependenţi de natura materialului. Relaţiile

de calcul pentru domeniul flambajului plastic sunt date în tabelul 11.2:

Tabelul 11.2

Materialul 0 cr [daN/cm2]

Oţel OL37 105 3040 11.2cr

Oţel cu 5% Ni 86 4610 22.6cr

Lemn 100 285 1.9cr

Fontă 80 27630 118 0.52cr

Dacă bara are un coeficient de zvelteţe mic, atunci pericolul de flambaj

dispare. Calculul de flambaj nu prezintă interes dacă se depăşeşte tensiunea

de curgere c

(cr c

) deoarece aceasta poate însemna şi distrugerea

barei. In acest sens se limitează domeniul flambajului plastic la valori ale

coeficientului mai mari decât un 1, egal cu 20..40.

Dacă 1

atunci bara se calculează numai la compresiune (tensiunea de

compresiune este limitată de valoarea tensiunii admisibile a).

In practica inginerească se recomandă să nu se folosească elemente

de construcţie prea zvelte, pentru care se produc cu uşurinţă vibraţii

transversale. Se recomandă să nu se utilizeze bare comprimate din oţel

pentru care 250 , bare comprimate din lemn pentru care 150 200

şi bare comprimate din fontă pentru care 120 .

Pentru cele trei domenii distincte, dependente de valoarea

coeficientului de zvelteţe, curba tensiunilor de flambaj este reprezentată în

Fig. 11.13. Punctele situate sub curbă reprezintă stări de solicitare stabile.

Tensiunea admisibilă la flambaj se determină cu ajutorul

coeficientului de siguranţă la flambaj cr

c , care are valori situate între 2.4 şi

3.5 pentru bare comprimate de uz normal şi coeficienţi de siguarnţă mult

Page 301: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

302

mai mari între 4 şi 20 pentru organe de maşini în mişcare, sub influenţa

temperaturii.

Fig. 11.13

11.7 Metoda de rezolvare a problemelor de flambaj

Calculul barelor drepte

Prin calculul de verificare se determină coeficientul de siguranţă al barei la

flambaj cr

c (la stabilitate). Bara poate fi considerată stabilă dacă acest

coeficient este mai mare decât cel prescris. In acest sens se calculează mai

întâi coeficientul de zvelteţe . In funcţie de valorile acestuia există

următoarele posibilităţi:

-dacă 0

, calculul se continuă cu relaţia Euler ,

2

2

min

cr

f

IF E

l

şi cr

cr prescris

Fc c

F , (11.43)

cu F forţa de compresiune aplicată.

-dacă 1 0 , se utilizează relaţia flambajului plastic

cr

a b ; cr cr

F A şi cr

cr prescris

Fc c

F (11.44)

Page 302: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

303

-dacă 1

, bara se calculează la compresiune:

După schema de mai sus se tratează şi problemele de calcul al forţei

capabile, lungimii admisibile.

Calculul de dimensionare la flambaj prezintă unele dificultăţi ,

deoarece nu se poate aprecia de la început în ce domeniu se situează bara

după dimensionare. De aceea, se dimensionează bara la întâmplare cu relaţia

de calcul a unui domeniu, în mod frecvent cu relaţia Euler:

2

2

prescris f

nec

F c lI

E

(11.45)

După alegerea dimensiunilor secţiunii transversale trebuie efectuat un calcul

de verificare. Se determină, pentru verificare, valoarea coeficientului de

zvelteţe .

Dacă 0

, atunci relaţia lui Euler a fost aplicabilă, iar dimensionarea în

aceste condiţii este corectă.

Dacă însă, 1 0 , atunci este necesară o verificare a dimensiunilor cu

ajutorul relaţiei de calcul din domeniul flambajului plastic. Dacă bara nu

verifică (coeficientul de siguranţă la flambaj nu este cel puţin egal cu cel

prescris), atunci se măresc dimensiunile secţiunii transversale „cu puţin” şi

se reface calculul de verificare până când se obţine coeficientul de siguranţă

impus.

Dacă 1

calculul se face la compresiune.

Aplicaţii

1. Pentru şurubul unui cric (Fig. 11.14) se cere să se determine diametrul

interior d al filetului astfel încât ccr=3.5. In calcule şurubul se va considera

încastrat la capătul inferior şi liber la cel superior. Se dau F=100kN;

l=800mm; E=2.1 106 daN/cm2 şi p=2400daN/cm2.

Rezolvare:

Se face o dimensionare „la întâmplare” în domeniul flambajului elastic

utilizând formula Euler:

2 22

4

2 2 6min

3.5 100 10 16043.27

2.1 10

cr f

nec

c F lI cm

E

Lungimea de flambaj corespunzătoare legăturii barei este 2 160f

l l cm

Diametrul interior al şurubului este:

Page 303: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

304

min4 464 64 43.27

5.44I

d cm

Coeficientul de zvelteţe este:

max

min

80 2117.64

5.44

4

fl

i

În care raza de inerţie minimă imin a fost calculată cu relaţia:

4

min

2min

4 5.44

64 4 4

I d di cm

A d

Fig. 11.14

Coeficientul de zvelteţe corespunzător limitei de proporţionalitate p este: 2 2 6

0

2.1 1092.88

2400p

E

Din calculele efectuate se poate constata că 0

şi deci dimensionarea

este bună, adică se propune pentru diametrul interior al filetului

5.44 54.4d cm mm .

2. Se cere să se dimensioneze o bară de secţiune circulară din oţel OL37,

comprimată cu o forţă de F=18000daN, dacă se impune un coeficient de

Page 304: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

305

siguranţă la stabilitate de ccr=3. Bara este articulată la capete, iar lungimea

ei este l=0.9m. In domeniul flambajului plastic (0

105 ) se va utiliza

relaţia: 23040 11.2 /cr

daN cm .

Rezolvare:

Lungimea barei l este chiar lungimea de flambaj 0.9 90f

l l m cm .

Se face o dimensionare „la întâmplare” în domeniul flambajului elastic

utilizând formula Euler:

2 2

4

2 2 6min

3 18000 9021.25

2.1 10

cr f

nec

c F lI cm

E

Diametrul barei este:

min4 464 64 21.25

4.56 4.6I

d cm cm

Raza de inerţie minimă imin a fost calculată cu relaţia:

4

min

2min

4 4.61.15

64 4 4

I d di cm

A d

Coeficientul de zvelteţe este:

max 0

min

9078.26 105

1.15

fl

i

Se constată că relaţia lui Euler nu era aplicabilă. Ca urmare se impune

verificarea dimensiunilor cu relaţia flambajului plastic: 23040 11.2 78.26 2163.48 /

crdaN cm

2

4.62163.48 35936.83

4cr crF A daN

_

35936.832 3

18000

cr

cr cr prescris

Fc c

F

Diametrul trebuie mărit, deoarece coeficientul de siguranţă la stabilitate este

mai mic decât cel prescris. Se ajunge cu verificarea în domeniul flambajului

plastic, printr-un proces incremental de creştere „cu puţin” a diametrului

barei, la valoarea dnou=5.6cm.

min

5.61.4

4 4

noud

i cm

max 0

min

9064.28 105

1.4

f

nou

l

i

Page 305: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

306

23040 11.2 64.28 2320.06 /cr

daN cm

2

5.62320.06 57114.4

4cr crF A daN

_

57114.43.17 3

18000

cr

cr cr prescris

Fc c

F

Rezultă că diametrul de d=5.6cm=56mm poate fi acceptat.

3. Să se verifice stabilitatea bielei unui motor cu explozie, având

dimensiunile secţiunii transversale în mm date în Fig. 11.15. Forţa de

compresiune este de F=25kN, iar distanţa dintre cele două bolţuri ale bielei

l=48cm. Se impune un coeficient de siguranţă la flambaj de ccr=5. Biela se

va considera dublu articulată pentru flambajul din jurul lui Oy (f

l l ) şi

dublu încastrată daţă de Oz( 0.5f

l l ). Materialul bielei este oţel aliat pentru

care în domeniul flambajului plastic tensiunea critică este dată de relaţia 24700 23 /

crdaN cm .

Fig.11.15

Rezolvare:

Se determină caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale necesare

calculului la stabilitate, adică cele două raze de inerţie (datorită faptului că

biela are legături diferite în plane diferite, trebuie calculate razele de inerţie

corespunzătoare pierderii stabilităţii în jurul axei Oy şi Oz) :

3 321 2 0.6 0.6 2

2 1.3 2 0.6 1.123 2 0.6 12 12

y

y

Ii cm

A

Page 306: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Flambajul barelor zvelte

307

3 31 0.6 2 2 0.62 0.48

3 2 0.6 12 12

z

z

Ii cm

A

Rezultă cei doi coeficienţi de zvelteţe:

4842.8

1.12y

y

lcm

i ;

0.5 4850

0.48z

z

lcm

i

Biela îşi va pierde stabilitatea în jurul axei Oz deoarece

maxmax , 50

y z z

Calculul de verificare se conduce în domeniul flambajului plastic

(max 0 )

24700 23 50 3550 /cr

daN cm

3550 3 2 0.6 12780cr cr

F A daN

_

127805.12 5

2500

cr

cr cr prescris

Fc c

F . Concluzia este că bara este stabilă.

4. O bară dreaptă cu modulul de rigiditate EA=const. şi lungime l este

articulată la un capăt şi încastrată la celălalt. Dacă se cunoaşte coeficientul

de dilatare termică liniară a materialului barei, se cere să se determine

creşterea necesară de temperatură t pentru care bara îşi pierde stabilitatea

elastică.

Rezolvare:

Dilatarea termică fiind împiedicată, prin creşterea temperaturii în secţiunea

transversală a barei se dezvoltă o forţă axială N egală cu:

N A EA t .

Bara îşi pierde stabilitatea elastică dacă forţa axială de compresiune devine

egală cu cea critică de flambaj:

2

2

min

cr

f

IF E EA t

l

şi 2

2

max

t

Obs. In cazul în care bara are un capăt încastrat şi celălalt aflat la o distanţă

(rost de dilataţie) de un perete, atunci forţa axială N care egalează forţa

critică de flambaj este obţinută din relaţia:

l t EAN

l

.

Page 307: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

BIBLIOGRAFIE

[1] Alămoreanu E., Buzdugan Gh., Iliescu N., Mincă I., Sandu M.,

Îndrumar de calcul în Ingineria mecanică, Editura Tehnică, Bucureşti,

1996.

[2] Bia C., Ille V., Soare M.V., Rezistenţa materialelor şi Teoria

elasticităţii, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1983.

[3] Buga M., Iliescu N., Atanasiu C., Tudose I., Radu Gh., Probleme alese

de Rezistenţa materialelor, Editura Univ. Politehnica, Bucureşti, 1995.

[4] Buzdugan Gh., Rezistenţa materialelor, Editura Academiei, Bucureşti,

1986.

[5] Buzdugan Gh., Culegere de probleme din Rezistenţa materialelor,

E.D.P., Bucureşti, 1979.

[6] Case J., Lord Chilver of Cranfield, Ross C.T.F., Strength of Materials

and Structures, 4th Edition, John Wiley &Sons Inc., New York, Toronto,

1999.

[7] Deutsch I., Rezistenţa materialelor, E.D.P., Bucureşti, 1976.

[8] Deutsch I., Goia I., Curtu I., Neamţu T., Sperchez F., Probleme de

Rezistenţa materialelor, E.D.P., Bucureşti, 1979.

[9] Hearn E.J., Mecanics of materials, 3th Edition Butterworth-Heinemann,

Linacre House, Jordan Hill, Oxford, 1997.

Page 308: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

Bibliografie 310

[10] Mocanu D.R., Rezistenţa materialelor, Editura Tehnică, Bucureşti,

1980.

[11] Modiga M., Rezistenţa materialelor, partea I, Editura Univ. Din Galaţi,

1983.

[12] Munteanu M., Radu Gh. N., Popa A., Rezistenţa materialelor, Univ.

Transilvania, din Braşov, vol. I, II, 1988, 1990.

[13] Nash W.A., Schaum’s Outline of Theory and Problems of Strength of

Materials, 4th Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1998.

[14] Olaru V.D., Dimache A., Modiga M., Rezistenţa materialelor –

Solicitările simple ale barelor, E.D.P., R.A., Bucureşti, 2004.

[15] Ponomariov S.D., ş.a. Calculul de rezistenţă în construcţia de maşini –

vol. I,II,III (traducere din limba rusă), Editura Tehnică Bucureşti, 1960,

1963, 1964.

[16] Posea N., Rezistenţa materialelor, E.D.P., Bucureşti, 1979.

[17] Stoicescu L., Rezistenţa materialelor, vol. I, II, Editura Evrika, Brăila,

2004.

[18] Voinea R., Voiculescu D., Simion F.P., Introducere în Mecanica

solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei Române, Bucureşti,

1989.

[19]*** Institutul Român de Standardizare (IRS), Materiale metalice –

Încercarea la tracţiune - Partea I : Metodă de încercare la temperatura

ambiantă, SR EN 10002-1, 1994, identic cu Standardul European EN

10002-1:1990.

[20]***Manual pentru calculul construcţiilor, vol. I, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1977.

[21]***Manualul inginerului mecanic 1, Editura Tehnică, Bucureşti, 1959.

Page 309: Solicitările simple şi compuse ale barelor - om.ugal.ro Boazu/desc/Rezistenta materialelor... · 4 Rezistenţa materialelor Pentru fiecare dintre solicitările simple ale barelor

ANEXA 1

Exprimarea

condiţiilor

de echilibru

Mărimea

deformaţiilor

Expresia

curburii

Expresia

diferenţială a

săgeţilor

Tip de problemă Felul

echilibrului

Principiul

suprapune-

rii efectelor

Descrierea

fenomenu-

lui matematic tehnic

Teoria

de

ordinul I

Pe forma

nedeformată

a sistemului

Infinitezimală Aproxima

-tivă

Liniară Liniară Problemă

de

rezistenţă

Stabil

Valabil

In stadiul

elastic

Teoria

de

ordinul

II

Pe forma

deformată a

sistemului

Infinitezimală

Aproxima

-tivă

Liniară Omo-

genă

Problemă

de valori

proprii

Problemă

de

stabilitate

Pierderea

echilibrului

prin bifurcare

Nu mai este

valabil

Până la

pierderea

stabilităţii

elastice

Ne-

omo-

genă

Neliniară

în raport

cu forţa

axială

Problemă

de

rezistenţă

Pierderea

echilibrului

prin divergenţă

Până la

atingerea

limitei de

rezistenţă

Teoria

de

ordinul

III

Pe forma

deformată a

sistemului

Finită, dar

mică

Exactă

Neliniară

Neliniară

Problemă

de

rezistenţă

Stabil, cu

creşterea

rapidă a

deformaţiilor

Nu mai este

valabil

Până la

atingerea

limitei de

rezistenţă