Rangul unei matrice

Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rang A=r, daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii mai mari decat r (daca exista) sunt nuli.Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0.adica rang 0m,n=0.

• TEOREMA:

Fie ; matrice;Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordin r al lui A,nenul, iar toti minori de r+1 (daca exista) sunt nuli.

CA M nm, 0 ,nmA

Calculul rangului unei matrice:

• Rangul unei matrice se poate calcula astfel : • Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat

un minor de ordinul intai nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ;

• Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin.

• Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k .

• Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem unul dintre ei si continuam procedeul .

• Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este :

• (m-r)(n-r) , pentru a stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particul;

• Rangul unei matrice ramane neschimbat , daca : • - Multiplul unei linii (coloane) se aduna la o alta

linie (coloana) .• - Liniile (coloanele) se schimba intre ele .• Rangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind

transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero rangul matricei A este egal cu numarul elementelor.

Rezolvare partiala fisa 5

• 1.a) A= , min{2,2}=2, r=2• =26+(-18)=26-18=8 ≠0=>rangA=2• b) B= ,min{2,2}=2, r=2• =6-10=-4 ≠0=>rangB=2• c) C= , min{2,2}=2, r=2• =-15+2=-13 ≠0=>rangC=2

1526

3215

• d) D= • cum detA=0 si =1 ≠0=>rangD=1

• 2. A= ,min{2,3}=2, r=2• =-1 ≠0=>rangA=2

• 3. A= , min{3,2}=2, r=2• =-2 ≠0=>rangA=2

1000

101111

110122