1

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE

Conf. univ. dr. LAURA UNGUREANU

ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ

I. MATRICE

1. DefiniţiiFie K un corp numeric.Definiţie. Numim matrice dreptunghiulară de tipul mn (sau de dimensiune mn)

peste corpul numeric K, un tablou dreptunghiular de mn elemente aşezate pe m linii şi ncoloane, care se notează:

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

, sau ( )A aij= , i = 1,2, ..., m;

j = 1,2, ..., n sau ( )A aij m n=

×.

Dacă m=n, matricea A se numeşte matrice pătrată de ordinul n. Notăm cu A saudet A, determinantul de ordinul n, ordinul matricei, ale cărei elemente sunt elementelematricei A şi va fi numit determinantul matricei.

O matrice pătrată A se numeşte singulară sau nesingulară după cum determinantul eieste egal cu zero sau diferit de zero.

Definiţie. Două matrice ( )A aij m n=

׺i ( )B bij m n

=×

sunt egale dacă au aceeaşi

dimensiune şi a bij ij= , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Notăm cu Mm,n(K) mulţimea matricelor de tipul m×n cu elemente din corpul K; înparticular, Mn(K) notează mulţimea matricelor pătratice de ordinul n.

2. Operaţii în mulţimea matricelorFie A = (aij), B = (bij) matrice din Mm,n(K).Definiţie. Suma matricelor A şi B este matricea S = A + B, S∈ Mm,n(K), S = (sij) cu sij

= aij + bij, i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Mulţimea ( )( )M Km n, ,+ formează un grup comutativ.

Definiţie. Produsul matricei A = (aij) din Mm,n(K) cu un scalar k din K, este matriceakA Mm,n(K), kA = (kaij).

Dacă definim matricea Eij ∈ Mm,n(K);

( )E iij

j

=

0 0 0

0 1 0

0 0 0

... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

... ...

( )

,

atunci orice matrice A ∈ Mm,n(K), A = (aij) se scrie:

A a Eij ijj

n

i

m

===

∑∑11

.

Proprietăţi.

2

1. (ab)A = a(bA); a,b ∈ K şi A ∈ Mm,n(K);2. a(A + B) = aA + aB; a ∈ K şi A,B ∈ Mm,n(K);3. (a + b)A = aA + bA; a,b ∈ K şi A ∈ Mm,n(K);4. 1.A = A; 1∈ K, A ∈ Mm,n(K);5. 0.A = O; 0∈ K, O∈ Mm,n(K).Definiţie. Fie matricele A = (aij) din Mm,n(K) şi B = (bij) din Mn,p(K). Numim produsul

AB (luat în această ordine), o matrice C Mm,p(K), C = (cij), cu

c a b i m j pij ik kjk

n

= = ==

∑ , , ..., ; ...,1 2 1 21

, .

Proprietăţi.1. AB ≠ BA, produsul în general nu e comutativ;2. (AB)C = A(BC), asociativitatea produsului;3. Înmulţirea matricelor este distributivă faţă de adunarea matricelor: A(B+C) = AB +

AC, (B+C)A = BA + CA;4. În mulţimea Mn(K), există o matrice E = (eij), cu eij = 1, dacă i = j şi eij = 0, dacă i

≠ j numită matricea unitate: AE = EA = A, ∀ A.

Mulţimea ( )( )M Kn , ,+ ⋅ formează un inel necomutativ cu unitatea şi cu divizori ailui zero.

Definiţie. Aplicaţia t : Mn,m(K) Mm,n(K) definită prin t(A) = At, A = (aij) dinMn,m(K), unde At =(aji) din Mm,n(K) se numeşte operaţia de transpunere, iar At se numeştetranspusa matricei A.

Proprietăţi.

a) ( ) ( )A A A M Kt t

n m= ∀ ∈, , ;

b) ( ) ( )A B A B A B M Kt t tn m+ = ∀ ∈+ , , , ;

c) ( )kA kA k Kt t= ∀ ∈, şi ∀ ( )A M Kn m∈ , ;

d) ( ) ( )AB B A A B M Kt t tn= ⋅ ∀ ∈, , .

3. Matrice inversăa) Definiţia matricei inverseFie ( )A M Kn∈ . Matricea A se spune inversabilă, dacă există o matrice

( )A M Kn− ∈1 , astfel încât AA A A E− −= =1 1 şi se spune că A−1 este inversa matricei A.

Au loc:P1. Matricea inversă, dacă există, este unică;P2. Dacă ( )A M Kn∈ şi det A ≠ 0, atunci

AA

A A

A A A

A A A

n

n n nn

− ∗ ∗= =

111 21 1

1 2

1

det

...

... ... ...........

...

, cu

unde prin Aij, s-a notat complementul algebric al elementului aij al matricei A; matricea A* senumeşte matricea reciprocă a matricei A.

ObservaţiePropoziţia P2 oferă o metodă de calcul pentru matricea

inversă A-1.P3. Dacă ( )A M Kn∈ matrice inversabilă, atunci:

a) ( )A A− −=1 1

;

b) ( ) ( )A At t− −=1 1 ;

3

c) ( )aAa

A− −= ⋅1 11.

P4. Dacă ( )A B M Kn, ∈ sunt inversabile, atunci matricea produs AB este o matriceinversabilă şi (AB)-1 = B-1. A-1.

b) Ecuaţii matriciale1. Dacă ( )A M Kn∈ nesingulară şi ( )B M Kn m∈ , , atunci ecuaţia matricială AX = B,

are soluţia X = A-1B;2. Ecuaţia matricială: XA = B cu ( )A M Kn∈ nesingulară şi ( )B M Km n∈ , , are

soluţia X = BA-1;3. Ecuaţia matricială: AXB = C cu matricele A,B din ( )M Kn nesingulare, iar

( )C M Kn∈ , are soluţia X = A-1CB-1.c) Inversa unei matrice divizatăSe numeşte partiţie a unei matrice A, o diviziune a matricei A în submatrice obţinute

prin linii paralele cu liniile şi coloanele matricei A.Matricea A, o vom numi matrice divizată.Dacă ( )A M Km n∈ + , matrice nesingulară divizată:

AM R

L N=

⇒ în ipoteza det N ≠ 0, ∃ =

−A

q r

l p1 cu M,q ∈Mm(K); L,l

∈Mn,m(K); R,r ∈Mm,n(K); N,n ∈Mn(K), matricele q,r,l,p determinându-se prin identificare, dincondiţia: AA-1 = E, ( )E M Kn m∈ + . Se obţine sistemul matriceal:

Mq + Rl = Em; Mr + Rp = Om,n;Lq + Nl = On,m; Lr + Np = En,

cu soluţia:q = (M - RN -1L)-1; r = -qRN -1;l = -N -1Lq; p = N -1- N -1Lr.

4. Rangul unei matriceDefiniţie. Se numeşte rangul unei matrice A notat cu rA, un număr natural r cu

proprietăţile:1. printre minorii ce se pot forma cu liniile şi coloanele matricei A, există cel puţin un

minor de ordinul r care să fie diferit de zero;2. orice minor de ordinul r +1 al matricei A, este egal cu zero.Teoremă (Kronecker). Dacă într-o matrice A din Mm,n(K) există un determinant de

ordinul r, diferit de zero şi dacă determinanţii de ordinul r +1, obţinuţi prin adăugarea ladeterminantul a unei linii şi a unei coloane din matricea A ce nu intră în sunt nuli, atuncitoţi determinanţii de ordinul r +1 din matricea A ce se mai pot forma, sunt egali cu zero.

Observaţii.1. Această teoremă reduce verificarea calculului rangului (în ipoteza că el este r), la

calculul a (m-r)(n-r) determinanţi de ordinul r +1, dacă A∈ Mm,n(K).2. În baza acestei teoreme, rangul unei matrice A se calculează după următoarea

regulă: să presupunem că am găsit un determinant ∆ de ordinul r diferit de zero; dacă toţideterminanţii de ordinul r +1 în număr de (m-r)(n-r) obţinuţi după teorema lui Kronecker suntnuli, atunci rangul matricei este r.

În caz contrar, rangul matricei este cel puţin r +1, reluând algoritmul de la capăt.Au loc:T1. Rangul produsului a două matrice A şi B nu poate depăşii rangul fiecăreia din

factori;T2. Dacă A∈ Mm,n(K) are rangul r şi B∈ Mn(K) matrice nesingulară, atunci rang(AB) =

rangA = r;T3. Matricea transpusă At a unei matrice A are acelaşi rang cu matricea A;

4

T4. Dacă într-o matrice A se înmulţesc elementele unei linii oarecare i cu acelaşinumăr c ≠0, se obţine o matrice A cu rang A = rang A;

T5. Dacă într-o matrice A elementele unei linii oarecare j, înmulţite cu un factor c ≠0,se adună la elementele altei linii, fie ea i, atunci matricea A obţinută are acelaşi rang cu almatricei A;

T6. Dacă într-o matrice A se schimbă două linii între ele, de exemplu linia i cu linia j,se obţine o matrice A de acelaşi rang cu al matricei A.

Observaţie.Ultimele trei teoreme pot fi enunţate şi pentru coloane.Definiţie. Numim transformări elementare ce nu schimbă rangul unei matrice, ana

din următoarele operaţii:1. transpunerea unei matrice;2. înmulţirea elementelor unei linii (sau coloane) cu un scalar c 0;3. adunarea elementelor unei linii (sau coloane) înmulţite eventual cu un scalar c 0,

la elementele corespunzătoare ale unei alte linii (sau coloane) şi înlocuirea liniei la care s-aadunat prin ecuaţia rezultat;

4. schimbarea a două linii (sau coloane) între ele.Definiţie. Vom spune că o matrice A este echivalentă

( din punct de vedere al rangului) cu o matrice B, dacă matricea B se obţine din matricea Aprintr-un număr finit de transformări elementare ce nu schimbă rangul.

Definiţie. Se spune că o matrice A din Mm,n(K) are forma diagonală dacă toateelementele ei sunt zero cu excepţia elementelor a11, a22, ...,arr care sunt diferite de zero cu0 r min(m,n).

Teoremă. Orice matrice A diferită de matricea nulă, poate fi adusă la formadiagonală folosind numai transformări elementare ce nu schimbă rangul.

Consecinţă.Rangul unei matrice A este egal cu numărul elementelor diferite de zero din forma sa

diagonală.Observaţie.Din consecinţa precedentă, se deduce o metodă simplă de aflarea rangului unei

matrice, folosindu-ne de forma diagonală corespunzătoare matricei date.Practic, pentru determinarea rangului unei matrice, putem să determinăm numai

forma triunghiulară (toate elementele sub diagonala principală sunt zero) corespunzătoarematricei date, aceasta fiind şi ea echivalentă din punct de vedere al rangului cu matricea dată.

5. Matrice ortogonalăDefiniţie. O matrice pătratică A se numeşte ortogonală dacă:AAt = AtA = E.Proprietăţi.P1. O matrice ortogonală este nesingulară;P2. Dacă matricea A este ortogonală, atunci At = A -1;P3. Dacă matricea A este ortogonală, atunci suma pătratelor elementelor unei linii (sau

coloane) este egală cu unu şi suma produselor elementelor a două linii (sau coloane diferite),este egală cu zero.

5

II SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

1. Generalităţi.Fie sistemul de ecuaţii liniare cu n necunoscute:

(1) E a x b i m AX Bi ij j ij

n

≡ − = = ⇔ ==

∑ 0 1 21

, , ,..., (2)

unde: A∈Mm,n(R) este matricea ale cărei elemente sunt coeficienţii sistemului (numitămatricea sistemului), B∈Mm,1(R), matricea cu o coloană formată cu termenii liberi dinecuaţiile sistemului (numită matricea termenilor liberi) şi cu X∈Mn,1(R), matricea cu ocoloană având ca elemente necunoscutele sistemului.

Sistemul (1) se spune că este liniar omogen, dacă bi = 0,i = 1,2,...,m şi liniar neomogen în caz contrar (există măcar un bj ≠0).

Definiţie. Vom numi soluţie a sistemului de ecuaţii (1), orice sistem de n numere:

x x xn10

20 0, ,..., care introduse în ecuaţiile sistemului în locul necunoscutelor x x xn1 2, ,..., ,

respectiv, le verifică pe toate (le transformă în identităţi).Dacă un sistem de ecuaţii admite o soluţie, vom spune că el este compatibil. În caz

contrar, vom spune că sistemul este incompatibil sau imposibil. Dacă sistemul este compatibilcu soluţie unică, vom spune că sistemul este compatibil determinat. În cazul că admite celpuţin două soluţii (deci o infinitate), atunci se spune că sistemul este compatibilnedeterminat.

Definiţie. Două sisteme de ecuaţii se numesc echivalente dacă orice soluţie aprimului sistem este soluţie şi a celui de-al doilea sistem şi reciproc.

2. Sisteme de ecuaţii liniare neomogene cu n ecuaţii şin necunoscute. Regula lui Cramer.

Fie sistemul:

(3) a x b i nij j ij

n

= ==

∑ , , ,...,1 21

Notăm cu ∆ determinantul de ordinul n format cu coeficienţii sistemului (3), numitdeterminantul sistemului; ∆j, j = 1,2,...,n determinantul de ordinul n obţinut din determinantul∆ al sistemului în care am înlocuit elementele coloanei j cu elementele coloanei termenilorliberi.

Teoremă (Regula lui Cramer). Fie un sistem de ecuaţii liniare (3) neomogen cu necuaţii şi n necunoscute. Dacă determinantul al sistemului este diferit de zero, atuncisistemul este compatibil determinat cu soluţia dată de:

(4) x j nj

j= =∆∆

, ...,1 2, ,

Observaţie.Din scrierea sistemului (3) sub formă matriceală (2), în condiţiile teoremei precedente

(∆ ≠ 0), obţinem:

X A B

b A

b A

x

k kk

n

k knk

nj

j= =

=

⇒ =−=

=

∑

∑1

11

1

11 1

∆ ∆

∆

∆

∆∆

.......... ... ,

j=1,2,...,n.

3. Sisteme de ecuaţii liniare neomogene cu m ecuaţii şi n necunoscute. Teoremalui Rouché

6

Fie sistemul (1) şi presupunem rang A = p, p ≥ 1 şi fie un determinant ∆p de ordinul pcare să fie diferit de zero, pe care îl presupunem situat în primele p linii şi p coloane alematricei A. Determinantul ∆p îl vom numi determinant principal al sistemului. EcuaţileE1=0,..., Ep=0 corespunzătoare liniilor din determinantul principal ∆p, se numesc ecuaţiiprincipale ale sistemului; corespunzător, necunoscutele x x p1 ,..., se numesc necunoscute

principale ale sistemului. Ecuaţiile Ep+1=0,..., Em=0 se numesc ecuaţii secundare alesistemului, iar necunoscutele x xp n+1 ,..., se numesc necunoscute secundare ale sistemului.

Definiţie. Vom numi determinant caracteristic, un determinant de ordinul p + 1obţinut din determinantul principal p prin adăugarea unei linii formată cu coeficienţiinecunoscutelor principale ale unei ecuaţii secundare şi o coloană formată cu termenii libericorespunzători ai ecuaţiilor principale şi termenul liber corespunzător ecuaţiei secundareconsiderate.

Teoremă (Teorema lui Rouché). Condiţia necesară ăi suficientă pentru ca un sistemde ecuaţii liniare neomogen cu m ecuaţii şi n necunoscute de forma (1) să fie compatibil, esteca toţi determinanţii caracteristici să fie nuli.

Observaţii1) Un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute compatibil, este totdeauna

echivalent cu sistemul său principal format din ecuaţiile principale şi necunoscutele principaleprin trecerea în membrul drept a necunoscutelor secundare considerate parametrii.

2) Numărul determinanţilor caracteristici este egal cu numărul ecuaţiilor secundare.3) Fie matricea (A/B) obţinută din matricea A a sistemului (1) la care s-a mai adăugat

o coloană formată cu termenii liberi, numită matricea extinsă sau matricea lărgită asistemului.

Un enunţ echivalent cu al teoremei lui Rouché este dat de teorema lui Kronecker -Capelli: condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem de ecuaţii liniare neomogen cu mecuaţii şi n necunoscute să fie compatibil, este ca rangul matricei A a sistemului să fie egal curangul matricei extinse a sistemului: rang A = rang (A/B).

Soluţia sistemului dat este determinată de soluţia sistemului principal.

4. Sisteme de ecuaţii liniare omogene cu m ecuaţii şi nnecunoscute

Fie un sistem de ecuaţii liniare şi omogen:

a x i m AXij jj

n

= = ⇔ ==

∑ 0 1 2 01

, , ,...,

Teoremă. Un sistem de ecuaţii liniare şi omogen cu m ecuaţii şi n necunoscute,admite soluţii diferite de soluţia banală, dacă rangul matricei coeficienţilor este mai micdecât numărul necunoscutelor.

Soluţia sistemului de ecuaţii liniare şi omogen este dată de soluţia sistemuluiprincipal.

Observaţie.Dacă rang A = p, soluţiile particulare (în număr de n - p) obţinute dând pe rând

fiecăreia dintre necunoscutele secundare valoarea unu şi celelalte zero, adică:

( )x x x p10

11 1 1 0 0= ,..., ; , ,..., , x2

0 ( ) ( )= =−− −x x x x xp n p

n ppn p

12 2 0

10 1 0 0 0 1,..., ; , ,..., ,..., ,..., ; , ,...,

formează sistemul fundamental de soluţii pentru sistemul omogen dat.Teoremă.Fie un sistem de ecuaţii liniar şi omogen cu (n-1) ecuaţii, n necunoscute şi

rang A = n - 1. Orice soluţie diferită de soluţia banală a sistemului de ecuaţii liniar şiomogen, este proporţională cu n minori de ordinul (n - 1), înmulţiţi alternativ cu +1 şi -1,obţinuţi din matricea sistemului, suprimând coloana necunoscutei respective.

Observaţie.Dacă de exemplu un minor Ak = 0 (minorul obţinut din matricea A prin suprimarea

coloanei necunoscutei xk), atunci xk = 0.

7

5. Sisteme de inecuaţii liniareFie sistemul de inecuaţii liniare

(5) a x b i mij j ij

n

≤ ==

∑ , , ,...,1 21

Sistemului (5) i se asociază sistemul de ecuaţii:

(6) a x z b i mij j i ij

n

+ = ==

∑ , , ,...,1 21

unde zi sunt nişte variabile auxiliare supuse la condiţia: zi ≤ 0,i = 1,2,...,m numite variabile de egalizare.

Dacă x xn10 0,..., este o soluţie a sistemului de inecuaţii (5), atunci acesteia îi

corespunde o soluţie: x xn10 0,..., ; z zm1

0 00 0≥ ≥,..., a sistemului de ecuaţii (6) şi “reciproc”,soluţiile sistemului de inecuaţii (5) se găsesc printre soluţiile sistemului de ecuaţii (6) dacăz zm1 0 0≥ ≥,..., .

6. Explicitarea unui sistem liniar. Soluţii de bază.Aplicaţie: inversa unei natrice

Fie sistemul liniar (1).Definiţie. Se numeşte transformare elementară asupra unui sistem liniar, orice

transformare realizată prin una din următoarele trei operaţii:T1. Înmulţirea unei ecuaţii cu un număr diferit de zero;T2. Schimbarea ordinii a două ecuaţii;T3. Înmulţirea unei ecuaţii cu un număr diferit de zero, adunarea membru cu membru

a rezultatului la o altă ecuaţie şi înlocuirea ecuaţiei la care s-a adunat prin ecuaţia rezultat.Dacă se consideră matricea extinsă (A/B) a sistemului (1), atunci fiecare dintre cele

trei operaţii, determină o operaţie corespunzătoare asupra liniilor matricei extinse asistemului, pe care o vom numi transformare elementară asupra matricei extinse asistemului.

Teoremă. Orice sistem liniar este transformat într-un sistem liniar echivalent lui prinorice succesiune de transformări elementare.

Definiţie. Vom spune că un sistem liniar este explicitat (sau este sub o formăexplicită) dacă matricea sistemului conţine o submatrice unitate de ordin egal cu rangulmatricei sistemului (nu este obligatoriu ca matricea unitate să fie în bloc).

Variabilele a căror coeficienţi formează coloanele matricei unitate vor fi numitevariabile principale, iar celelalte variabile secundare.

Problema care se pune cere ca folosind numai transformările elementare asupramatricei extinse a unui sistem liniar, să putem decide dacă sistemul liniar este compatibil sauincompatibil,iar în primul caz cum putem să-i găsim o formă explicită.

Metoda de explicitare pe care o vom formula va fi denumită metoda eliminăriicomplete, şi se bazează pe determinarea unui şir finit de sisteme liniare echivalente cu cel datiniţial, astfel încât matricea oricărui sistem din şir să conţină o coloană a matricei unitate înplus faţă de matricea sistemului precedent, păstrând deja coloanele construite ale matriceiunitate. Algoritmul este oprit atunci când va fi imposibil să se construiască o nouă coloană.

Să presupunem că am obţinut succesiv pornind de la sistemul dat (S0), sistemeleliniare (S1), (S2),..., (Sr) echivalente cu (S0) şi ale căror matrice extinsă conţin respectiv ocoloană a matricei unitate, două coloane ale matricei unitate, ..., r coloane ale matricei unitate,de acelaşi ordin cu rangul matricei sistemului (S0). Să presupunem că necunoscuteleprincipale deja determinate sunt x x xi i i r1 2

, ,..., (i1< i2<...<ir ; i1 =1) generate succesiv de

primele r coloane ale matricei unitate, iar matricea extinsă a sistemului (S r), este următoarea:

8

1 0 0

0 1

0

1

.. ..

.. :

.. :

:

La stânga primei linii punctate verticale, sub linia în scară toate elementele sunt nule,iar deasupra liniei în scară, în coloanele necunoscutelor examinate care nu sunt principale, potfi elemente oarecare. La dreapta celei de-a doua linii punctate verticale sunt termenii liberirezultaţi din calcule. Cele două linii punctate ar putea coincide când ir = n sau r = m şialgoritmul se încheie. În caz contrar, în următorul pas trebuie să construim coloana de ordin r+ 1 din matricea unitate, folosind evident în continuare numai transformările elementare.

Operaţiile pasului r + 1, sunt:1. Stabilim dacă r = m când sistemul este explicitat şi algoritmul este oprit, sau r < m

când trecem mai departe.2. Stabilim dacă în spaţiul haşurat toate elementele sunt nule şi trecem la operaţia 3,

sau la operaţia 4 când în spaţiul haşurat mai există elemente nenule.3. Dacă toate elementele coloanei termenilor liberi din liniile: r + 1,..., m sunt nule,

atunci sistemul dat este compatibil, iar sistemul cu ultima matrice extinsă este un sistemexplicitat de r ecuaţii; dacă există cel puţin un element nenul în coloana termenilor liberi dinliniile r + 1,..., m atunci sistemul iniţial este incompatibil.

4. Dacă în timpul operaţiei 2), s-a găsit un prim elementnenul în una din liniile r + 1,..., m în coloana ir + 1, în timp ce în aceleaşi linii în coloaneleprecedente toate elementele sunt nule, atunci prin transformări elementare vom putea construisistemul liniar (S r + 1), astfel:

a) începând cu linia r + 1, cercetăm de sus în jos elementele coloanei i r+1, stabilimprimul element nenul b, pe care îl aducem în linia r + 1 printr-o transformare (T2), dacă el nuse găsea deja pe această linie;

b) printr-o transformare (T1),cu cb

=1

realizăm în poziţia (r + 1, ir + 1) un element

egal cu unu;c) prin m - 1 transformări (T3), în care linia r + 1 (transformată) este succesiv

înmulţită cu numere convenabil alese (sunt numere din coloana i r+1) şi adunată de fiecare datăla o altă linie, realizăm elemente nule în toate celelalte poziţii ale coloanei i r+1 şi reluămalgoritmul de la 1.

În baza algoritmului prezentat, obţinem:Teorema. Fiind dat un sistem liniar (S 0), printr-un număr finit de transformări

elementare se obţine fie că sistemul (S 0) este incompatibil, fie un sistem explicitat echivalentcu (S 0).

Definiţie. Elementul nenul b situat în poziţia (r +1, ir + 1) determinat de operaţia 4a)îl vom numi pivot; ansamblul operaţiilor descrise în 4, care construiesc matricea extinsă asistemului (S r+1) se va numi pivotaj cu elementul pivot b (pe scurt pivotaj).

Fie (S) un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute, despre care presupunem căpoate fi explicitat în raport cu cel puţin un grup de m variabile.

Definiţie. Se numeşte soluţie de bază a unui sistem liniar (S) orice soluţie asistemului obţinută prin egalarea cu zero a variabilelor secundare, şi determinareavariabilelor principale, într-o formă explicită a sistemului (S).

Definiţie. O soluţie de bază este nedegenerată, dacă toate valorile variabilelorprincipale sunt diferite de zero; în caz

9

contrar, vom spune că soluţia de bază este degenerată.Definiţie. Dacă orice variabilă are într-o soluţie de bază o valoare nenegativă, vom

spune că soluţia de bază respectivă este admisibilă; în caz contrar, vom spune că soluţia debază nu este admisibilă.

Aplicaţie: inversa unei matriceFie sistemele de ecuaţii liniare (Si):Ax B i k Ai= = ≠, , ,..., det cu1 2 0

Aplicând algoritmul de explicitare, schematic obţinem:

( ) ( )A B B B E x x xk k1 2 1 2... ...→rezolvarea simultană a celor k sisteme de ecuaţii liniare care diferă numai prin termeniiliberi, unde x i ki , , ,...,= 1 2 notează soluţia sistemului(Si), i k= 1 2, ,..., .

Pornind de aici, în ipoteza că ( )A M kn∈ , matrice inversabilă, obţinem o metodă decalcul pentru inversa matricei A; Schematic avem:

( ) ( )A E E A→ − 1

III. SPAŢII ŞI SUBSPAŢII VECTORIALE

1. Definiţia spaţiului vectorial. Exemple.Fie K un corp comutativ ale cărui elemente le numim scalari.Definiţie. O mulţime nevidă V are structura de spaţiu vectorial (sau spaţiu liniar)

peste corpul numeric K, dacă este prevăzută cu două legi de compunere:I. o lege de compunere internă, adunarea “+”: V V V, astfel încât (V, +) să fie

grup comutativ;II. o lege de compunere externă,înmulţirea cu scalari

“ . ” :K × V → V, astfel încât:1) 1⋅ =x x, cu x din V şi 1 din K;2) (a + b)x = ax + bx; a,b din K şi x din V;3) ( ) ( )a bx ab x= , cu a,b din K şi x din V;4) ( )a x y ax ay+ = + , cu a din K şi x,y din V.

Elementele spaţiului vectorial le vom numi vectori. Elementul neutru faţă de adunareadin V, se numeşte vector nul şi-l vom nota cu (sau V) .

Exemple.Ex.1. Corpul K este spaţiu vectorial peste el însuşi (legea externă din K privit ca

spaţiu vectorial este chiar înmulţirea din K privit ca spaţiu comutativ, deci chiar o legeinternă).

Ex.2. Dacă K corp comutativ, mulţimea

( ) K x x x x K i n nnn i= ∈ = ≥1 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ; are structură de spaţiu vectorial peste

K, definind:

“+”: ( ) ( )x y x y x y x x x yn n n+ = + + = =1 1 1,..., ; ,..., , ( )= ∈y y Knn

1 ,..., ;

“ . ”: ( ) ( )kx kx kx x x x Kn nn= = ∈1 1,..., ; ,..., , şi k ∈ K.

Spaţiul vectorial Kn este numit spaţiul aritmetic.

În particular: ( ) K R R x x x R i nnn i= ⇒ = ∈ =1 1 2,..., , , ,..., ;

n - uplul ( )x xn1 ,..., îl vom numi vector n dimensional, iar numerele x xn1 ,..., le vom numi

componentele vectorului.Ex.3. Mulţimea matricilor Mm,n(K), faţă de adunarea matricelor şi înmulţirea unei

matrice cu un scalar, formează un spaţiu vectorial peste K.Ex.4. Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen cu coeficienţi în R, formează un

spaţiu vectorial peste R.

10

2. Dependenţă şi independenţă liniară. Sistem de generatori.Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi S u un= 1 ,..., o mulţime de vectori din

V.Definiţie. Vom spune că un vector oarecare x din V, este o combinaţie liniară (cu

coeficienţi în K) de vectorii u u un1 2, ..., dacă există nişte numere a a an1 2, ..., din K, astfelîncât să avem:

x a u a u a un n= + + +1 1 2 2 ... ;

scalarii a a an1 2, ..., se numesc coeficienţii combinaţiei liniare.Definiţie. Sistemul de vectori u u un1 2, ..., din spaţiul V formează un sistem de

generatori ai spaţiului V , dacă orice vector din V este combinaţie liniară de aceştia.Un spaţiu vectorial care are o mulţime finită de generatori se numeşte spaţiu vectorial

finit generat sau de tip finit.Exemple.

Ex.1. Sistemul de vectori e e en1 2, ,..., cu

( ) ( ) ( )e e en1 21 0 0 0 1 0 0 0 1= = =, ,..., , , ,..., ,..., , ,..., formează un sistem de generatori aispaţiului Rn.

Ex.2. Mulţimea polinoamelor 1 2, , ,...,x x x n formeazăun sistem de generatori pentru spaţiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminată cucoeficienţi în R, de grad ≤ n.

Ex.3. În spaţiul matricelor Mm,n(R), matricele

E i m j nij , , ,..., ; , ,...,= =1 2 1 2 unde Eij este matricea care are 1 pe poziţia (i,j) şi 0 în rest,formează un sistem de generatori ai spaţiului considerat.

Definiţie. Fie S u un= 1 ,..., un sistem de vectori din spaţiul vectorial V.

Mulţimea:

( ) ( )L S L u u a u a K i nn i i ii

n

= = ∈ =

=

∑11

1 2,..., , , ,...,

se numeşte acoperire liniară a lui S.Observaţie.Evident L(S) ⊆ VDacă L(S) = V, mulţimea S formează un sistem de generatori pentru V.Teoreme.1) Dacă

( ) ( ) ( )v v L u u L v v L u un n n n1 1 1 1,..., ,..., ,..., ,...,∈ ⇒ ⊆

2) Dacă ( ) ( ) ( )x L u u L u u L x u un n n∈ ⇒ =1 1 1,..., ,..., ; ,...,

În particular, ( ) ( )L u u L u un n1 10,..., , ,...,= .

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp K.Definiţie. Sistemul de vectori u un1 ,..., din spaţiul vectorial V este un sistem liniar

independent de vectori, dacă orice relaţie de forma:c u c u c un n1 1 2 2+ + + =... ; c K i ni ∈ =, , ,...,1 2

nu poate avea loc decât dacă: c c cn1 2 0= = = =... .

În caz contrar, spunem că mulţimea de vectori u u un1 2, ..., este un sistem de

vectori liniar dependent de vectori, adică relaţia precedentă are loc cu cel puţin un ci ≠ 0.Exemple.

Ex.1. Vectorii e e en1 2, ..., din spaţiul vectorial Rn, formează un sistem liniarindependent.

11

Ex.2. Vectorii 1, ,...,x x n din spaţiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminatăde grad ≤ n, cu coeficienţi în R, formează un sistem liniar independent.

Ex.3. Vectorii E i m j nij , , ,..., ; , ,...,= =1 2 1 2 din spaţiul vectorial ( )M Rm n, ,

formează un sistem liniar independent.Propoziţii.Fie V un spaţiu vectorial peste un corp K.

1) Dacă u i ni , 1 ≤ ≤ este o mulţime de vectori din V care conţin vectorul nul,

atunci u i ni , 1 ≤ ≤ este un sistem liniar dependent de vectori;

2) Sistemul u V⊂ este liniar independent ⇔ u ≠ v ;3) Orice suprasistem al unui sistem de vectori liniar dependent este liniar dependent;4) Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independent, este liniar

independent;

5) Dacă S = u i ni , 1 ≤ ≤ este o mulţime de vectori din spaţiul vectorial V,

sistemul S este liniar dependent, dacă şi numai dacă, există cel puţin un vector al său care sepoate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi.

Teoreme.Fie spaţiul vectorial Rn.1) m vectori din spaţiul vectorial Rn sunt totdeauna liniar dependenţi dacă m > n.2) Condiţia necesară şi suficientă ca m, (m ≤ n) vectori din spaţiul vectorial Rn , să fie

liniar independenţi, este ca rangul matricei formate cu componentele vectorilor, să fie egal cum.

Observaţie.Teorema 2, oferă un instrument de a verifica dacă un sistem de m, (m ≤ n) vectori din

spaţiul vectorial Rn , este sau nu liniar independent.3. Bază şi dimensiune pentru un spaţiu vectorialDefiniţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi [ ] u u un= 1 ,..., o mulţime de

vectori din V. Spunem că mulţimea [ ]u este o bază a spaţiului vectorial V, dacă:1. [ ]u formează un sistem liniar independent în V;2. [ ]u constituie un sistem de generatori pentru V.Exemple.

Ex.1. [ ] u e e en= 1 2, ,..., formează o bază pentru spaţiul aritmetic Rn , numită baza

canonică (unitară, naturală).

Ex.2. [ ] u E i m j nij= = =; ,..., ; ,...,1 1 formează o bază în spaţiul vectorialMm,n(R).

Teoreme.1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K, nenul finit generat. Atunci din orice sistem

de generatori al lui V se poate extrage o bază.2. Într-un spaţiu vectorial finit - dimensional, oricare două baze au acelaşi număr de

elemente.

3. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi [ ] u u un= 1 ,..., o mulţime de vectoriai lui V.

Atunci [ ]u este o bază în V, dacă şi numai dacă:1. [ ]u este un sistem de generatori al lui V;2. Orice x V, există x x Kn1 ,..., ∈ unic determinaţi astfel încât:

x x ui ii

n

==∑

1

.

12

Definiţie. Scalarii x x xn1 2, ..., (unic determinaţi) din teorema precedentă, se numesc

coordonatele vectorului x în raport cu baza [ ] u u un= 1 ,..., .

Observaţie.În spaţiul vectorial Rn,în baza unitară [ ] u e e en= 1 2, ,..., , coordonatele unui vector

x din Rn coincid cu componentele sale.Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Spunem că spaţiul vectorial V are

dimensiunea finită n, şi vom nota dim V = n, dacă în el există o bază formată din n vectori(numărul maxim de vectori liniar independenţi din V). În caz contrar, spunem că spaţiul Vare dimensiunea infinită şi scriem dim V = .

Spaţiul nul, v =[θ] are dimensiunea zero (prin definiţie).Observaţie.Dacă dim V = n, orice sistem de vectori ai lui V format din n + 1 (sau mai mulţi)

vectori, este liniar dependent.Exemple.Ex.1. dim Rn = n;Ex.2. dim Mm,n(K) = mn;Teoreme.1) Fie un spaţiu vectorial cu dim V = n. Atunci orice sistem de m ≤ n vectori din V,

liniar independent se poate completa până la o bază a lui V.Corolar.Într-un spaţiu vectorial V peste corpul K cu dim V = n, orice sistem de n vectori liniar

independent, formează o bază în V.2) Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de m vectori dintr-un spaţiu vectorial

V de dimensiune n, m n să fie liniar independent, este ca rangul matricei formate cucoordonatele acestor vectori într-o bază oarecare a spaţiului V, să fie m.

Aplicaţie: Exprimarea unui vector într-o bază datădin spaţiul vectorial Rn

Fie baza [ ] u u un= 1 ,..., din spaţiul vectorial Rn, unde

( )u a a a i ni i i in= =1 2 1 2, ,..., , , ,..., şi ( ) ( )A M R A an ij∈ , matricea formată cu

componentele vectorilor ui. Dacă ( )x b bn= 1 ,..., este un vector oarecare din spaţiul vectorialRn, atunci relaţia

x x u x un n= + +1 1 ...conduce la un sistem de ecuaţii liniare, neomogen cu n ecuaţii şi n necunoscute:

[ ] [ ] ( )a x b i n A X B X A Bji j it

uj

n

ut= = ⇔ = ⇒ =

=

−∑ , , ,...,1 21

1, unde am

notat: [ ] ( ) ( )X x x B b but

nt

n= =1 1,..., , ,..., .

4. Transformarea coordonatelor unui vector la oschimbare a bazei

Fie V un spaţiu vectorial definit peste un corp K cu

dim V = n şi [ ] u u un= 1 ,..., , [ ] v v vn= 1 ,..., două baze ale sale. Dacă

v l u i ni ij jj

n

= ==

∑ , , , ...,1 21

sunt descompunerile vectorilor bazei [v] în baza [u], matricea

( ) ( )L M K L ln ij∈ =, ale cărei elemente sunt coordonatele vectorilor bazei [v] în baza [u],

se numeşte matricea de trecere de la baza [u] la baza [v] cu rang L = n.

13

Dacă x ∈ V şi x x uj jj

n

==

∑ ,1

respectiv x y vj ji

n

==∑

1

atunci

[ ] ( ) [ ]X L Xvt

u=−1

unde [ ] [ ]X Xu v, sunt matrice coloană formate cu coordonatele vectorului x în baza [u],

respectiv [v].Observaţie.Dacă L este matricea de trecere de la baza [u] la baza [v],

atunci L-1 este matricea de trecere de la baza [v] la baza [u].

5. Subspaţii vectoriale ale unui spaţiu vectorialFie V spaţiu vectorial peste corpul K şi U ⊂ V, U ≠ .Definiţie. Vom spune că mulţimea U este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial

V, dacă U are structură de spaţiu vectorial peste K în raport cu aceleaşi operaţii faţă de careV este spaţiu vectorial.

Teoremă. Pentru ca submulţimea U V, să formeze un subspaţiu vectorial, trebuieca elementele ei să îndeplinească condiţiile:

1. dacă a, b U, atunci a - b U;2. dacă a U şi k K atunci ka U.Teoremă. Dacă V spaţiu vectorial şi U subspaţiu vectorial al lui U, atunci: dim U

dim V.Exemple.Ex.1. U = []⊂ V, subspaţiu vectorial al lui V, numit subspaţiu nul.Ex.2. Fie spaţiul vectorial R2. Submulţimile:

( ) R x x R× = ∈0 0, şi ( ) 0 0× = ∈R x x R,sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial R2.

Ex.3. Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar şi omogen cu m ecuaţii şi n necunoscuteformează un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial Rn.

Ex.4. Dacă u um1 ,..., vectori din V, atunci mulţimeaL( u um1 ,..., ) formează un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V.

6. Lema substituţiei. AplicaţiiFie V un spaţiu vectorial peste corpul K.

Dacă[ ] u u un= 1 ,..., este o bază în V, iar b ∈ V se exprimă în baza [ ]u prin:

b b u b u b un n= + + +1 1 2 2 ... ,atunci au loc următoarele afirmaţii:

1. [ ] v u u b u ui i n= − +1 1 1,..., , , ,..., este o nouă bază în V, ⇔ bi ≠ 0;

2. Dacă: x x u x u x un n= + + +1 1 2 2 ... şix y v y v y vn n= + + +1 1 2 2 ... , ( )x V∈ atunci:

yx

by x b

x

bj i i ni

i

ij j j

i

i

= = − = − +, ; ,..., , ,...,1 1 1

Observaţii.Obs.1. În practică, dacă vom aşeza într-un tabel pe câte o coloană coordonatele

vectorilor b respectiv x în baza [ ]u , atunci în urma unui pivotaj cu pivotul bi , vom obţine înlocul coloanei cu coordonatele în baza [ ]u a vectorului b, coloana de rang i din matricea

unitate de ordin n şi în locul coloanei cu coordonatele în baza [ ]u a vectorului x, vom obţine ocoloană cu coordonatele vectorului x în baza [ ]v . Avem:

14

[ ]

[ ]

u b x

u b x

u b x

u b x

u b x

u b x

u b x

v b x

u x bx

b

u x bx

b

u x bx

b

bx

b

u x bx

b

x x bx

b

i i i

i i i

i i i

n n n

i

i

i

i

i i ii

i

i

i

i i ii

i

n n ni

i

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 1 1

0

0

0

1

0

0

− − −

+ + +

− − −

+ + +

⇒

− ⋅

− ⋅

− ⋅

− ⋅

− ⋅

Obs.2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniareFie un sistem de ecuaţii liniare neomogen:

( )a x b i n aji j i ijj

n

= = ≠=

∑ , , ,..., det cu1 2 01

Dacă notăm cu: ( )P a a a Rjt

j j njn= ∈1 2, ,..., , vectorul ale cărui coordonate în raport

cu baza canonică [ ] e e e Rnn= 1 ,..., din , sunt elementele coloanei j a matricei sistemului şi

prin ( )P b b Rtn

n0 1= ∈,..., , vectorul ale cărui coordonate în baza [ ]e sunt termenii liberi ai

sistemului, atunci sistemul se scrie:x P x P x P Pn n1 1 2 2 0+ + =...

Aplicând lema substituţiei, vom înlocui succesiv vectorii bazei [ ]e cu vectorii bazei

P Pn1 ,..., . Coordonatele vectorului P0 în baza P Pn1 ,..., , dau soluţia sistemului, şi

acesta este posibil deoarece ( )det aij ≠ 0 .

Dacă presupunem că există un vector ei care nu se poate înlocui printr-un vector Pj ,atunci distingem:

a) termenul liber din coloana P0 din linia i este nenul, când sistemul nu estecompatibil;

b) în caz contrar, sistemul este compatibil nedeterminat.

OPERATORI LINIARI

4.1. Definiţii. Exemple.Fie V, W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K.Definiţie. Un morfism între spaţiile vectoriale V şi W, este o funcţie WVf →:

care păstrează operaţiile:1. )()()( yfxfyxf +=+ , Vyx ∈∀ , ;

2. )()( xkfkxf = , Vx ∈∀ , Kk ∈∀ .Observaţii. 1. Din condiţiile 1) şi 2) din definiţie, rezultă că funcţia f este aditivă şi

omogenă. O funcţie aditivă şi omogenă se numeşte liniară. De aceea morfismele de spaţiivectoriale se mai numesc aplicaţii liniare sau operatori liniari.

15

Vom nota cu )(xfy = , înţelegând prin y vectorul din W corespunzător vectoruluidin V prin operatorul liniar f (y este imaginea vectorului x prin operatorul liniar f ).

2. Operatorul este liniar dacă şi numai dacăf (ax + by) = af (x) ++ bf (y), ∀a,b ∈ K şi ∀x,y ∈ V.Prin inducţie, dacă WVf →: este operator liniar, atunci:

.,a,)( i11

VuKufauaf i

n

iii

n

iii ∈∀∈∀=

∑∑

==

3. Dacă f V W: → este operator liniar, atunci:

a) f (V) = W;b) f (- u) = - f (u), ∀u ∈ V.

Notăm: ( ) Hom operator liniarV W f V W f, := → .În particular,dacă V =

W,atunci Hom(V,W) = End(V).

Exemple.1. f R Rn n: → −1 , prin f(x1,...,xn)=(x1+x2,x3,...,xn);

2. Fie Pn, mulţimea polinoamelor de grad ≤ n şiD P Pn n: → cu

( )D P ka tkk

k

n

= −

=∑ 1

1

unde P a tkk

k

n

==

∑1

(D operatorul de derivare).3. Aplicaţia: : V→ V , (x) = w , ∀ x∈V este un operator liniar, numit operatorul nul(aplicaţia nulă).4. Aplicaţia: 1V : V→ V , 1V(u) = u , ∀ u ∈V este un operator liniar, numit operatorul identic(aplicaţia identică) pe V.

4.2. Operaţii cu operatori liniari. Rangul şi defectul unui operator liniar.Fie ( )f g V W V W, , ,∈Hom cu spaţii vectoriale definite peste acelaşi corp K.Definim:

1) Suma operatorilor liniari “ + ” : ( )Hom V W, ×

× ( )Hom V W, → ( )Hom V W, astfel: ( )∀ ∈ +f g V W f g, , , :Hom

( )( ) ( ) ( )V W f g x f x g x x V→ + = + ∀ ∈ cu , ;

2) Înmulţirea cu scalari “ s ” : k× ( )Hom V W, → ( )Hom V W, astfel:

( )∀ ∈f V WHom , şi ( ) ( )( ) ( )k K kf V W kf x kf x∈ → =, : cu , ∀ ∈x V .

Se verifică: ( )f g kf+ , sunt operatori liniari.

Teoremă. Mulţimea ( )( )Hom V W s, , ,+ formează un spaţiu vectorial definit pestecorpul K.

Definiţie. Dacă ( )f V W∈Hom , , se numeşte nucleu notat cu:

( ) Ker f x V f x w= ∈ = şi

( ) Im f y W y f x x V= ∈ = ∈,

se numeşte imaginea lui f.Observaţii.1. Ker f subspaţiu vectorial al spaţiului V şi Im f este subspaţiu vectorial

al spaţiului W.2.End (V) are structură de inel unitar în raport cu adunarea operatorilor şi compunerea

operatorilor

16

“ o ” : End V × End V → End V,

( ) ( )( ) ( )( )∀ ∈ → =f g V f g V V f g x f g x, , :End prin .

3) dim dim dimImV f f= +Ker .

Definiţie. Fie operatorul liniar f V W: → .Vom spune că operatorul liniar f este nesingular, dacă transformă orice vector

diferit de zero, tot într-un vector diferit de zero ( dim dim dimImKer sif V f= =0 )

Teoremă. Fie ( )f V W∈Hom , . Atunci:

a) f injectivă ⇔ =Ker f v ;

b) u u Vn1 ,..., ≡ , generatori ( ) ( ) ⇒ ≡f u f u fn1 ,..., Im ;

c) ( ) ( ) f u f un1 ,..., , independenţi în W ⇒ u un1 ,..., independenţi în V;

d) u un1 ,..., independenţi în V şi f surjectivă ⇒

⇒ ( ) ( ) f u f un1 ,..., independenţi în W.

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste K, de dimensiune finită şi ( )f V W∈Hom , .Definiţie. Dimensiunea lui Imf se numeşte rangul operatorului liniar f, iar

dimensiunea lui Kerf se numeşte defectul operatorului liniar f.

4.3. Spaţii vectoriale izomorfe.Fie V şi W două spaţii vectoriale peste K.Definiţie. Spunem că spaţiile vectoriale V şi W sunt izomorfe dacă

există ( )f V W∈Hom , bijectivă. Aplicaţia f se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale.Teoremă. Spaţiile vectoriale V , W peste K, finit dimensionale sunt izomorfe dacă şi

numai dacă dim V = dim W.Corolar. Orice spaţiu vectorial peste corpul K de dimensiune finită n, este izomorf cu

spaţiul aritmetic Kn, (caz particular, K = R).

4.4. Reprezentarea matriceală a unui operator liniarProblema care se pune, cere să se găsească o exprimare analitică (aşa cum de

exemplu un vector poate fi dat prin coordonatele sale) care să permită stabilirea unorproprietăţi importante numai pe baza unor calcule algebrice. În acest sens, vom arăta că unoperator liniar poate fi determinat în mod unic de o matrice (deci matricele vor juca un rolasemănător celui al coordonatelor unui vector).

Teoremă. Fie V, W spaţii vectoriale peste K cu dim V =n şi dim W =m , finite. Fie[ ] u u un= 1 ,..., o bază a spaţiului vectorial V şi v vn1 ,..., vectori arbitrari din W. Atunci

există un morfism unic ( )f V W∈Hom , astfel încât: ( )f u v i ni i= =, , ,...,1 2 .

Observaţie.Un operator liniar ( )f V W∈Hom , este complet determinat dacă se

cunosc imaginile ( ) ( ) f u f un1 ,..., ale vectorilor unei baze [ ] u u un= 1 ,..., a lui V, prin

f.Revenind la problema propusă de a construi reprezentarea matriceală a unui operator

liniar, fie V, W două spaţii finit dimensionale peste acelaşi corp K, cu dim V = n, dim W = m.

Fie [ ] u u un= 1 ,..., o bază în V, [ ] v v vm= 1 ,..., o bază în W, iar ( )f V W∈Hom , , deci

se cunosc vectorii ( ) ( )f u f un1 ,..., din W care se pot exprima în baza [v]:

(1) ( )f u a v i ni ih hh

m

= ==

∑1

1 2, , ,...,

17

şi fie matricea ( ) ( )A M K A an m ih∈ =, , .

Definiţie. Matricea ( )A M Kn m∈ , ale cărei linii sunt coordonatele imaginilor prin fale vectorilor bazei [u] din V în raport cu baza [v] din W, se numeşte matricea operatoruluiliniar f în perechea de baze [u] şi [v] din spaţiile vectoriale V şi W.

Observaţii.1. Dacă se dă operatorul liniar ( )f V W∈Hom , , acesta este tot una cu a

da sistemul de relaţii (1), de unde matricea ( )A M Kn m∈ , .

Invers, fiind dată o matrice ( ) ( )A M K A an m ih∈ =, , vom putea determina totdeauna

un operator liniar ( )f V W∈Hom , şi acesta prin condiţiile (1).2. Dacă ( )f V∈End , atunci este suficientă numai o bază în spaţiul vectorial V, iar matriceaA asociată va fi o matrice pătrată de ordinul n, n = dim V.

Dată matricea ( ) ( )A M K A an m ih∈ =, , , prin (1) şi câte o bază [ ] u u un= 1 ,..., ,

[ ] v v vm= 1 ,..., în spaţiile vectoriale V respectiv W, cum se poate găsi imaginea oricăruivector din V prin operatorul liniar f (determinat în mod unic) ?

Fie x ∈ V şi y ∈ W, y = f (x) imaginea vectorului x prin operatorul liniar

( )f V W∈Hom , a cărui matrice în bazele [u] şi [v] este A. Avem:

[ ] [ ]x x u y y v X

x

x

Y

y

yi i

i

n

j jj

m

u

n

vx

m

= = =

=

= =

∑ ∑1 1

1 1

, ; .. , .. şi

(2) [ ] [ ]Y A Xvx t

u= ,

formulă cu ajutorul căreia putem calcula coordonatele vectoruluiy ∈ W, imaginea vectorului x ∈ V , prin operatorul liniar f, (y = f (x)), ( )f V W∈Hom , .

Din relaţiile (1) cu ajutorul cărora am definit matricea operatorului liniar f, se observăcă aceasta depinde de perechile de baze alese în cele două spaţii vectoriale V şi W, fiindmatricea formată cu coordonatele imaginilor vectorilor bazei [u] din V şi [v] din W.

Dacă în cele două spaţii vectoriale V şi W se schimbă bazele (sau măcar în unul dincele două spaţii vectoriale), cum se schimbă matricea operatorului liniar f, ( )f V W∈Hom , ?

Teoremă. Fie ( )f V W∈Hom , operator liniar, [u] şi [g] baze în spaţiul vectorial Vcu ( )T M Kn∈ matricea de trecere de la baza [u] la baza [g]; [v] şi [h] baze în spaţiulvectorial W cu ( )U M Km∈ matricea de trecere de la baza [v] la baza [h]. Dacă A estematricea operatorului f în perechea de baze [u] şi [v] şi B matricea operatorului f înperechea de baze [g] şi [h], atunci:

(3) B = TAU -1

Observaţie. Dacă f ∈ End (V) şi: A matricea operatorului f în baza [u] din V, Bmatricea operatorului f într-o altă bază [g] din V şi dacă L este matricea de trecere de la baza[u] la baza [g], atunci din (3) obţinem:

(3’ ) B = LAL -1.

Teoremă. Rangul unui operator liniar ( )f V W∈Hom , este egal cu rangul matriceisale în orice pereche de baze.

Observaţie. Rangul matricei unui operator liniar f este invariant la schimbareabazelor.

4.5. Subspaţii invariante ale unui operator liniarFie V un spaţiu vectorial peste K şi f ∈ End (V).

18

Definiţie. Vom spune că subspaţiul vectorial ′V al lui V este invariant faţă deendomorfismul f dacă pentru orice x din ′V , f (x) ′V .

Exemple.1. Spaţiile V şi v- subspaţiile improprii - sunt invariante faţă de orice fdin End (V).2. Dacă f ∈ End (V), atunci Ker f şi Im f sunt subspaţii invariante faţă de f.3. Dacă ′V , ′′V sunt subspaţii vectoriale ale lui V, invariante faţă de f , f ∈ End (V), atunci

′ ∩ ′′V V sunt subspaţii invariante faţă de f.Teoreme.

1. Fie ′V un subspaţiu vectorial al lui V şi [ ] u u up= 1 ,..., o bază în ′V .

Subspaţiul vectorial ′V este invariant faţă de f, dacă şi numai dacă, ( ) ( )f u f up1 ,..., sunt în

′V .2. Fie V un spaţiu vectorial peste K, de dimensiune finită n. Dacă f ∈ End (V), iar

[ ] u u up= 1 ,..., este o bază a subspaţiului vectorial ′V ⊂ V invariant faţă de f, atunciexistă o bază [u] a lui V în raport cu care matricea A a operatorului f, are forma:

AA O

B C=

′

unde

( ) ( ) ( ) ( )′ ∈ ∈ ∈ ∈− − −A M K B M K O M K C M Kp n p p p n p n p, ,, , si .

3. Dacă V este un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită n, iar ′V , ′′V suntsubspaţii vectoriale ale lui V invariante faţă de f, f ∈ End (V), astfel încâtV V V x V V= ′ ⊕ ′′ ∀ ∈ ′ ⊕ ′′( , x = ′x + ′′x unic cu ′ ∈ ′x V şi ′′ ∈ ′′x V ), atunci există o

bază [u] a lui V în raport cu care matricea lui f are forma, ( )A cv A A= ′ ′′ diag , :

AA O

O A=

′′′

unde

( ) ( )′ ∈ = ′ ′′ ∈ − = ′′−A M K p V A M K n p Vp n p cu dim ; cu dim

4. Dacă V este un spaţiu vectorial peste K şi dacă V se poate descompune în sumădirectă de p subspaţii invariante faţă de f, f End (V), V V V Vp= ⊕ ⊕ ⊕1 2 ... atunci există obază în spaţiul vectorial V în raport cu care matricea lui f are forma

( )A cv A Ap= diag 1 ,..., :

A

A O

A

O Ap

=

1

2

unde( )A M K h V i pi h i ii

∈ = =, , , ,...,dim 1 2 .

Observaţie. În cazul particular p = n, (dim Vi =1,i=1,2,...,n) există o bază (obţinutăluând câte un vector bază în fiecare subspaţiu vectorial Vi , i = 1,2,...,n) în care matriceacorespunzătoare lui f are forma diagonală, A = diag (c 1, c 2,..., c n).

Definiţie. Vom spune că un endomorfism este diagonalizabil dacă există o bază încare marticea asociată lui să fie diagonală, A = (aij) cu aij = 0 pentru i j.

4.6. Valori proprii şi vectori proprii pentru un operator liniar. Subspaţii proprii.Fie V un spaţiu vectorial peste K şi f ∈ End (V).Definiţie. Vectorul x v, x V se numeşte vector propriu al operatorului liniar f,

dacă există un scalar c din K

19

astfel încât: ( )f x cx= ; scalarul c cu această proprietate se numeşte valoare proprie aoperatorului liniar f.

Observaţii.1. oricărui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie;2. unei valori proprii îi corespunde o infinitate de vectori proprii.

Teoremă. Mulţimea ( ) S x V f x cxc = ∈ = a tuturor vectorilor proprii

corespunzători valorii proprii c la care se adaugă vectorul x = v, formează un spaţiuvectorial numit subspaţiul propriu asociat valorii c şi acest subspaţiu este invariant faţă de f.

Observaţie. Subspaţiile proprii fiind invariante, se pot folosi în problemasimplificării formei matricei asociate operatorului liniar f, f∈End (V).

Teoremă. (teorema de existenţă). Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste uncorp algebric închis K (orice ecuaţie cu coeficienţi în K are cel puţin o rădăcină în K). Atunciorice operator liniar f are cel puţin un vector propriu.

Din demonstraţia teoremei, se deduce că dacă într-o bază [ ] u u un= 1 ,..., a spaţiului

vectorial V, operatorul f ∈ End (V) are matricea ( ) ( )A M K A an ij∈ =, , atunci o soluţie c0 a

ecuaţiei: ( )det A c Et − ⋅ = 0 va fi o valoare proprie a operatorului liniar f.

Sistemul liniar omogen:

(4)

( )( )

( )

a c x a x a x

a x a c x a x

a x a x a c x

n n

n n

n n nn n

11 1 21 2 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

− + + + =

+ − + + =

+ + + − =

...

...

..................................................

...

pentru c = c0, are cel puţin o soluţie nebanală x x xn10

20 0, ,..., şi vectorul x x u x un n= + +1

01

0...

satisface ( )f x c x= 0 , deci vector propriu pentru operatorul f.

Definiţie. Polinomul de grad n în C cu coeficienţi din K, ( ) ( )P c A c Eft= − ⋅det se

numeşte polinomul caracteristic al operatorului liniar f. Ecuaţia ( )P cf = 0 , se numeşteecuaţia caracteristică a operatorului liniar f.

Observaţii. 1. Pentru c = c0 spaţiul propriu Sc0este mulţimea soluţiilor sistemului

liniar omogen (4), având dimensiunea dată de numărul parametrilor. Toţi vectorii x aispaţiului Sc0

au proprietatea ( )f x c x= 0 .

Facem convenţia să numim vectorii proprii corespunzători valorii proprii c0 numaivectorii unei baze a lui Sc0

(adică sistemul fundamental de soluţii al sistemului liniar omogen(4)). Ceilalţi vectori îi vom trata ca elemente ale spaţiului determinate perfect de o bază.2. Se poate demonstra că dimensiunea spaţiului corespunzător unei anumite valori proprii c0

este mai mic sau cel mult egală cu ordinul ei de multiplicitate p.3. Spaţiile proprii corespunzătoare la valori proprii distincte nu au în comun decât vectorulnul (la valori proprii distincte corespund vectori proprii distincţi).

Teoremă. Vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt liniarindependenţi.

Observaţie. Numărul tuturor vectorilor proprii ai unui operator liniar f, f ∈ End (V)este cel mult egal cu dimensiunea spaţiului.

Teoremă. Un operator liniar f, f End (V) este diagonalizabil, dacă şi numai dacă,vectorii lui proprii pot forma o bază.

În ce condiţii vectorii proprii pot forma o bază?Teoremă. Un operator liniar f, f End (V) este diagonalizabil, dacă şi numai dacă,

toate valorile proprii sunt în K şi subspaţiile proprii corespunzătoare au dimensiunile egalecu ordinele de multiplicitate.

20

Observaţie. În cazul particular când operatorul liniar f, f End (V) are valoriproprii distincte (toate în K şi dim Sc0

=1, i = 1,2,...,n), atunci există în spaţiul vectorial V

o bază [u] formată din vectorii proprii (corespunzători la valori proprii distincte) în carematricea A a operatorului liniar f, să fie sub o formă diagonală (elementele diagonaleiprincipale sunt valorile proprii ale operatorului liniar f).

Test de autoevaluare1. Prezentaţi proprietăţile operatorilor liniari.2. Definiţi matricea unei aplicaţii liniare în raport cu o pereche de baze.3. Definiţi polinomul caracteristic al unei aplicaţii liniare. Cum se

calculează coeficienţii săi?4. Demonstraţi că la valori proprii distincte corespund vectori proprii

liniar independenţi.5. Să se determine valorile şi vectorii proprii ai operatorului liniar

33: ℜ→ℜf , definit prin

),433,232,2(),,( 321321321321 xxxxxxxxxxxxf ++++++=3

321 ),,( ℜ∈=∀ xxxx .

TemăDeterminaţi valorile şi vectorii proprii ai operatorului 33: RRf → care are în baza standard

matricea ataşată

−−−

=544

446

235

A . Să se verifice dacă există o bază în care matricea acestui

operator are formă diagonală.

Test grilă1. Fie operatorul L :R2→R3 şi 02, 03 vectorii nuli ai celor două spaţii. Atunci:a) L(02) = 02;b) L(03) = 02;c) L(02) = 03;d) L(03) = 03.2. Fie L :Rn →Rn un oprator liniar şi x un vector propriu pentru L. Atunci:a) (∃!) ∈R astfel încât L(x) = x ;b) L( x) = x, (∀) ∈R;c) x= 0n ;

d) L(x) = - x, (∀) ∈R.

3. Operatorul liniar L:R2 →R2 are matricea A=

−13

21.Atunci ecuaţia caracteristică pentru

obţinerea valorilor proprii are forma:

a) 013

21=

−−−

;

b) 013

21=

−+

;

c) 012

31=

−−−

;

d) 013

21=

−−−−−

;

21

4. Polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare a cărei matrice în baza canonică este

=

011

101

110

A este:

a) 23)( 3 ++= P ;

b) 23)( 23 +−=P ;

c) 23)( 3 ++−= P ;

d) 23)( 23 ++= P .

5. Aplicaţia L :Rm →Rn este un operator liniar. Care din afirmaţiile de mai jos este adevărată:a) L(x1+x2) = L(x1) + L(x2), (∀)x1, x2 ∈Rm ;b) L(αx) = αx, (∀)α ∈R, (∀)x ∈Rm ;c) L(αx1+x2) = αL(x1) + x2, (∀)α ∈R, (∀),x1, x2 ∈Rm ;d) L(αx1+x2) = αx1 + L(x2), (∀)α ∈R, şi (∀),x1, x2 ∈Rm ;

Capitolul 5În cadrul acestui capitol sunt prezentate câteva elemente privind formele liniare,

formele biliniare şi cele pătratice definite pe spaţii vectoriale de tip finit. Se încheie cumetodele de aducere la forma canonică a formelor pătratice.Obiectiv: Însuşirea de către studenţi a noţiunilor de bază, cunoaşterea metodelor dedeterminare a formei canonice a unei forme pătratice.Cuvinte cheie: formă biliniară, formă pătratică, formă canonică

FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

5.1. Forme liniareFie V un spaţiu vectorial peste K.Definiţie. Numim o formă liniară funcţia f : VK satisfăcând proprietăţile:1. ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y V+ = + ∀ ∈, , - aditivitate;

2. ( ) ( )f kx kf x k K x V= ∀ ∈ ∀ ∈, , - omogenitate, adică liniară în x.Observaţii.1. Orice funcţie cu valori în K se va numi formă.2. Condiţiile 1) şi 2) sunt echivalente cu:

( ) ( ) ( )f ax by af x bf y x y V a b K+ = + ∀ ∈ ∀ ∈, , , si .

Liniaritatea rămâne adevărată şi în general:

( )f c u c f uk kk

n

k kk

n

= =∑ ∑

=1 1

.

Pentru a stabili, ca la orice morfism, expresia analitică, considerăm baza[ ] u u u Vn= ⊂1 ,..., . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )∀ = ⇒ = ⇒ == = =∑ ∑ ∑x x u f x x f u f x x ai ii

n

i ii

n

i ii

n

1 1 1

1

unde am notat cu ( )a f u i ni i= =, , ,...,1 2 valorile funcţiei pentru vectorii bazei şi îi vomnumi coeficienţii formei liniare; formula (1) dă expresie analitică a formei liniare f în baza[u].

Apoi, fiind morfism, f este complet determinat dacă se cunosc coeficienţii (decivalorile formei pentru vectorii bazei).

Teoremă. Dacă notăm: V f V K f∗ = →: liniara , atunci:

1. V ∗ este spaţiu vectorial peste K;

22

2. dim V ∗ = dim V.

Definiţie. Spaţiul vectorial ( )Hom V K, se numeşte dualul spaţiului vectorial V.

Teoremă. Fie V un spaţiu vectorial peste K. Dacă [ ] u u un= 1 ,..., este o bază în V,

există unic o bază [ ] u f f n∗ = 1 ,..., în V *, astfel încât:

( )f ui j

i ji j ij= =

=≠

daca

daca

1

0

,

,

Definiţie. Baza [ ] u f f n∗ = 1 ,..., ⊂V ∗ pentru care ( )f ui j i

j= se numeşte duala

bazei [ ] u u un= 1 ,..., ⊂ V.

Teoreme. 1. Coordonatele într-o bază [ ]u∗ ale unei forme liniare f sunt egale cu

coeficienţii ei în baza [ ]u a cărei duală este [ ]u∗ .

2. Fie V un spaţiu vectorial peste K de dimensiune finită, fie [ ]u şiv două baza alesale iar u* , v* bazele duale corespunzătoare din spaţiul dual V *. Dacă L este matricea detrecere de la baza [ ]u la baza [ ]v în spaţiul vectorial V, atunci matricea de trecere de la

baza [ ]u∗ la baza [ ]v∗ în spaţiul dualV* este (Lt)-1.

3. Dacă[ ]u , [ ]v sunt două baze în spaţiul vectorial V şi LMn(K), matricea de

trecere de la baza [ ]u la baza [ ]v , atunci coordonatele unei forme liniare în bazele duale

corespunzătoare [ ]u∗ şi [ ]v∗ se transformă tot cu matricea L.

5.2. Forme biliniare.Fie V , W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K.Definiţie. O funcţie F : V WK care este liniară în fiecare argument - aditivă şi

omogenă - , adică:1. ( ) ( ) ( )F x x y F x y F x y x x V y W1 2 1 2 1 2+ = + ∀ ∈ ∀ ∈, , , , , ,

2. ( ) ( )F kx y kF x y k K y W, , ,= ∀ ∈ ∀ ∈ si ,∀x∈V

şi3. ( ) ( ) ( )F x y y F x y F x y x V, , , ,1 2 1 2+ = + ∀ ∈ ,∀y1,y2∈W

4. ( ) ( )F x hy hF x y h K x V y W, , , ,= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ sise numeşte formă biliniară.

Observaţii.1. Condiţiile de liniaritate rămân adevărate pentru oricâţi vectori, adică:

( )F a x b y a b F x yi ii

p

j jj

q

i j i jj

q

i

p

= = ==∑ ∑ ∑∑

=

1 1 11

, ,

2. ( ) ( )F x x V F y y Ww v, , , , si= ∀ ∈ = ∀ ∈0 0 .

Fie V, W două spaţii vectoriale definite peste acelaşi corp K şi a căror dimensiune estefinită. Problema care se pune cere a exprima analitic o formă biliniară astfel încât prin simplecalcule algebrice să obţinem proprietăţi ale formelor biliniare.

Fie F : V × W→K o formă biliniară,[ ] u u um= 1 ,..., bază în spaţiul vectorial V şi

[ ] v v vn= 1 ,..., bază în spaţiul vectorial W. Dacă

x x u y y vi ii

m

j jj

n

= == =∑ ∑,

1 1

23

atunci

(1) ( )F x y a x yij j jj

n

i

m

, ===

∑∑11

unde ( )a F u v i m j nij i j= = =, ; ,..., ,..., si1 1 sunt valorile formei pentru vectorii bazei şi

se numesc coeficienţii formei biliniare F în bazele [ ]u şi [ ]v .Definiţie. Expresia (1) se numeşte expresia analitică a formei biliniare F în

perechea de baze [ ]u , [ ]v .

Matricea ( ) ( )A M K A am n ij∈ =, , se numeşte matricea formei biliniare F în raport

cu bazele [ ]u , [ ]v .Expresia analitică (1) şi matricea formei biliniare depind de alegerea bazelor. Cum se

transformă matricea formei biliniare dacă în spaţiile V şi W se face o schimbare de baze ?

Teoremă. Dacă ( ) ( ) ( )A B M K A a B bm n ij ij, , ,,∈ = = sunt matricele

corespunzătoare unei aceleiaşi forme biliniare F : V W K în două perechi de bazediferite, atunci matricea B va fi dată de:

(2) B = LAM t

unde L şi M sunt matricele de trecere ce dau schimbările de baze în V, respectiv în W.Definiţie. Numim rang al formei biliniare rangul matricei sale într-o pereche de

baze arbitrare din cele două spaţii vectoriale V şi W.Definiţie. O formă biliniară F: V VK este simetrică (respectiv antisimetrică),

dacă ( ) ( )F x y F y x, ,= (respectiv ( )F x y, = ( )− F y x, ), oricare ar fi x, y din V.

Teoremă. O formă biliniară F : V V K este simetrică (respectiv asimetrică),dacă şi numai dacă, matricea sa în raport cu o bază din V este simetrică (respectivantisimetrică): A = At (respectiv A = = - At ).

Definiţie. O formă biliniară F : V V K se numeşte nedegenerată (respectivdegenerată), dacă matricea sa într-o bază oarecare este nesingulară (respectiv singulară).

5.3. Forme pătratice5.3.1. Noţiuni generale.Fie V un spaţiu vectorial peste R şi F : V × V →R o formă biliniară simetrică.Definiţie. Aplicaţia ( ) ( )f V R f x F x x: , ,→ = pentru orice x V∈ se numeşte

formă pătratică (determinată de forma biliniară F).Observaţie. Forma biliniară determină în mod unic forma pătratică.Reciproc, forma pătratică determină de asemenea în mod unic forma biliniară

simetrică asociată ei.Forma biliniară simetrică care defineşte forma pătratică se numeşte polara formei

pătratice.Definiţie. Se numeşte matrice a formei pătratice f : VR în raport cu o bază [ ]u a

lui V, matricea polarei lui f în raport ce baza [ ]u .

Deci, dacă[ ] u u un= 1 ,..., bază în spaţiul vectorial V, expresia analitică a formei

pătratice f : V→R în această bază va fi:

(3) ( )f x a x x x x uij j jj

n

i

n

i ii

n

= ∀ === =

∑∑ ∑11 1

,

cu ( )a F u uij i j= , coeficienţii formei pătratice; matricea ( )A M Rn∈ ,

( )A a a aij ij ji= = cu este matricea formei pătratice.Definiţie. Rangul formei pătratice f este rangul matricei

24

sale.Observaţii.1. Din expresia analitică (3) a formei pătratice, se observă că forma

pătratică poate fi considerată ca fiind un polinom omogen de gradul doi în variabilele x1,...,xn

coordonatele vectorului x în baza [ ]u a spaţiului vectorial V.

2. Dacă notăm ( )X x xtn= 1 ,..., , atunci expresia analitică (3) a formei pătratice se

scrie matriceal:( )′ = =3 cuf X AX A At t .

Teoremă. Dacă F X AXt= este o formă pătratică cu matricea ( )A A M Rn, ∈ ,atunci dacă vom efectua asupra formei pătratice o transformare liniară nesingulară:

( ) ( )X CY Y M R C M Rn n= ∈ ∈, ,,1 cu det C 0 atunci, vom obţine o formă pătratică dematrice

B = C tAC şi rang A = rang B.Definiţie. O formă pătratică se numeşte singulară sau nesingulară, după cum

matricea A a formei pătratice este singulară sau nesingulară.Definiţie. Două forme pătratice se numesc echivalente dacă ele se obţin una din alta

prin transformări liniare nesingulare.Din expresia analitică (3) a unei forme pătratice se observă că aceasta cât şi matricea

asociată depind de alegerea bazei în spaţiul vectorial V. Există o bază în spaţiul vectorial Vastfel încât matricea asociată şi expresia analitică a unei forme pătratice să fie cât mai simple?

Definiţie. Spunem că forma pătratică f : VR are o formă canonică dacă sedetermină o bază[ ] u u un= 1 ,..., în spaţiul vectorial V, astfel ca:

(4) ( )f x c x c xp p= + +1 12 2...

cu matricea

(5) D

c

c

cp

=

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

.. ..

.. ..

.. .. .. .. .. ..

.. ..

.. .. .. .. .. ..

.. ..

unde ( )c F u u x x ui i i i ii

n

= ==∑, ,

1

din V şi p - rangul formei.

5.3.2. Aducerea unei forme pătratice la forma canonicăTeoremă. Fie V un spaţiu vectorial peste R şi f : VR o formă pătratică. Atunci

există o bază [ ] u u un= 1 ,..., în spaţiul vectorial V în care forma pătratică f : VR să aibăo formă canonică (4).

Avem:I. Metoda lui Gauss.

Fie [ ] v v vn= 1 ,..., bază în V în care x x v x vn n= + +1 1 ... şi o formă pătratică f :

V→R dată prin expresia analitică (3); presupunem a 11 ≠ 0, căci:a) Dacă a 11 = 0, dar există cel puţin un coeficient a ii ≠ 0, atunci cu transformarea

liniară nesingulară:x y x y x y k i i ni i k k1 1 2 1 1= = = = − +, , , ,..., , ,..., obţinem coeficientul lui

y aii12 0, ≠ ;

b) Dacă toţi aii = 0 dar există cel puţin un aij ≠ 0 , atunci cu transformarea liniarănesingulară:

25

x z z x z z x z k i ii i j j i j k k= − = + = = − +, , , , .., , ,1 1 1 ...,

j-1,j+1,...,n obţinem coeficientul lui zi2 sau z j

2 , diferit de zero, reducând la cazul a).

Pentru ( )n f x a x x x v= = ∀ =1 11 12

1 1, , şi teorema esteadevărată.

În ipoteza a 11 ≠ 0, vom încerca prin grupări convenabile să formăm pătrate perfecte,şi anume:

( ) ( ) ( )[ ( )f xa

a x a x a x a xn n= + + + +12

1111 1

211 1 12 2 1...

( ) ]+ + +a x a xn n12 2 12... ( )− + + + =

==∑∑1

1112 2 1

2

22aa x a x a x xn n ij i j

j

n

i

n

...

(= + + +1

1111 1 12 2a

a x a x ... ) ( )a x f xn n1

2

1+ ′ ,unde ( )f x1 ′ este tot o formă pătratică în n - 1

variabile: x xn2 ,..., .

Facem o schimbare de bază de la baza [ ]v la baza [ ]′ =v

= ′ ′ ′v v vn1 2, ,..., care este pusă în evidenţă numai prin transformarea de coordonate şi

anume:

∀ = = ′= =∑ ∑x x v x y vi ii

n

i ii

n

,1 1

,

y a x a x a xn n1 11 1 12 2 1= + + +...y x j nj j= =, ,...,2

În raport cu noua bază [ ]′v , forma pătratică se scrie:

( ) ( ) ( )f xa

y f x f x a y y x y vij i j i ii

n

j

n

i

n

= + ′ ′ = ′ ∀ ′ = ′===∑∑∑1

1112

1 1222

cu ,

iar ( )f x1 ′ este o formă pătratică de n - 1 variabile y yn2 , ..., definită pe spaţiul vectorial de

dimensiune n - 1 generat de vectorii v vn2′ ′, ..., .

Conform ipotezei de inducţie, există o bază [ ] ′ =u u un2 , ..., în care forma pătratică

( )f x c X c X x X up p i ii

n

1 2 22 2

2

′ = + + ∀ ′ ==∑... ,

baza fiind cunoscută doar prin transformarea de coordonate:(6) X l y l y j nj j jn n= + + =2 2 2... , , ...,

cu X2,...,Xn coordonatele vectorului ′x în baza [ ]′u .Dacă la transformarea (6) adăugăm şi X1=y1 se obţine transformarea

(7)X y

X l y l y j nj j jn n

1 1

2 2 2

== + + =

... , , ...,

care în întreg spaţiul vectorial V dă legătura între baza [ ]′v şi baza căutată cu:

( )f x c X c X c X cap p= + + + =1 1

22 2

2 21

11

1... ;

Vectorii bazei [ ]u sunt cunoscuţi prin transformarea directă de coordonate de la [ ]v la

[ ]u , adică (8):

26

(8)X a x a x

X l x l x j nn n

j j jn n

1 11 1 1

2 2 2

= + += + + =

...

... , , ...,

echivalentă cu [ ] ( ) [ ]X L Xut

v=−1

( [ ]u noua bază), şi calculând L, sunt determinaţi complet

u u un1 2, ,..., care deci există.II. Metoda valorilor şi vectorilor proprii sau metoda transformărilor ortogonale

Fie [ ] v v vn= 1 ,..., bază în spaţiul vectorial V în care

x x v x vn n= + +1 1 ... şi forma pătratică f : V→R dată prin (3 ‘).

Să se găsească o transformare liniară nesingulară X = TY, T ∈ Mn(R), T = (tij) şi ortogonală(TT t ≡ T tT = E) care, aplicată formei pătratice f (x) să o reducă la o formă canonică.

(9) ( )f X c X c Xn n= + +1 12 2...

Din demonstraţie (care este constructivă) deducem că dacă matricea A, ( )A M Rn∈a formei pătratice f este considerată ca fiind matricea unui operator liniar f în baza [ ]v , atuncicoeficienţii ci, i = 1,2,...,n ai formei canonice (9) sunt valorile proprii ale operatorului f, iarcoloanele matricei T sunt vectorii proprii ai operatorului f, determinaţi ca să fie ortonormaţi.Matricea C a formei canonice, reprezintă matricea operatorului f asociat formei pătratice fîntr-o bază formată cu vectorii proprii.

III. Metoda lui JacobiFie f : V→R o formă pătratică având în baza

[ ] u u un= 1 ,..., expresia analitică (3) cu ( )A M Rn∈ , A = (aij) matricea formei. Dacă toţiminorii

∆ i

i

i ii

a a

a a

i n= ≠ =11 1

1

0 1 2

..

.. .. ..

..

, , ,...,

atunci există o bază[ ] v v vn= 1 ,..., în care forma pătratică f are forma canonică:

(10) ( )f x X X X x X vn

nn i i

i

n

= + + + = =−

=∑∆

∆∆∆

∆∆

∆0

112 1

222 1 2

01

1... ; ,

Observaţie. Pentru o formă pătratică f:V→R se demonstrează (teorema lui Sylvestersau legea inerţiei), că numărul coeficienţilor nenuli, iar dintre aceştia numărul coeficienţilorpozitivi (deci şi a celor negativi) într-o formă canonică a unei forme pătratice nu depinde debaza în care este obţinută acea formă canonică sau de metoda folosită pentru a aduce formapătratică f la o formă canonică (numărul coeficienţilor pozitivi într-o formă canonică este uninvariant).

Definiţie. Spunem că o formă pătratică f : VR este pozitiv (respectiv negativ)semidefinită, dacă ( )f x x V x≥ ∀ ∈ ≠0, , v (respectiv ( )f x x V x≤ ∀ ∈ ≠0, , v)

Definiţie. Spunem că o formă pătratică f : VR este pozitiv (respectiv negativ)definită, dacă ( )f x x V x> ∀ ∈ ≠0, , v (respectiv ( )f x x V x< ∀ ∈ ≠0, , v)

Pentru ca o formă pătratică f: V→R care are matricea ( )A M Rn∈ , A = (aij) într-o

bază dată a lui V, să fie pozitiv definită, este necesar şi suficient, ca ∆ k k n> =0 1 2, , ,..., .

27

METODE LINIARE DE OPTIMIZARE

I. PROGRAMARE LINIARĂ1. Forma generală

Problema programării liniare sub formă standard, cere să se determine:

(1) (min)f =∑=

n

kkk xc

1

, în condiţiile:

(P): (2) ∑=

=n

kikik bxa

1

, i=1,2,...,m;

(3) xk ≥ 0 , k=1,2,...,nSistemul (2) este denumit sistemul restricţiilor problemei, iar orice soluţie a sa,

soluţie a problemei. Coeficienţii aij numiţi coeficienţi tehnici sunt calculaţi pe baza datelorexistente în practică; termenii liberi bi ai sistemului reprezintă resursele pe care le are ladispoziţie de ex., întreprinderea pentru realizarea mărimilor xk, k=1,2,...,n.

Sistemul (3) este denumit sistemul condiţiilor de admisibilitate sau nenegativitate,iar orice soluţie a sistemului (2) şi (3), soluţie admisibilă a problemei (P).

Funcţia (1) este denumită funcţia obiectiv sau funcţia economică sau încă criteriude optimalitate (optimizare). Coeficienţii ck, (k=1,2,...,n) reprezintă beneficii unitare, preţuride vânzare, etc. care depind de problema care trebuie rezolvată.

O valoare admisibilă a problemei (P) care dă valoareaminimă a funcţiei obiectiv pe mulţimea soluţiilor admisibile, este denumită soluţie optimalăa problemei (P).

Dacă un program liniar (P) nu este sub o formă standard, atunci putem trece la formastandard, dacă facem următoarele transformări echivalente:

1) Dacă programul (P) are în sistemul de restricţii inecuaţii, atunci:

a. o inecuaţie de forma ∑=

n

kkk xa

1

≤ h se poate înlocui prin condiţiile

echivalente:∑=

n

kkk xa

1

+zk = h, zk ≥ 0;

b. o inecuaţie de forma ∑=

n

kkk xa

1

≥ h se poate înlocui prin condiţiile

echivalente:∑=

n

kkk xa

1

-zk = h, zk ≥ 0.

Variabilele xk astfel introduse se numesc variabile de egalizare (de ecart, decompensare).

Pentru rezolvarea programului (P) care conţine inecuaţii în sistemul de restricţii, serezolvă programul standard (Ps) obţinut din acesta cu ajutorul variabilelor de egalizare, iarsoluţia programului iniţial (P) se obţine din soluţia programului (Ps) eliminând valorilevariabilelor de egalizare.

2) O variabilă xj ≤ 0, cu substituţia xj'=-xj, se transformă într-o variabilă nenegativă(xj' ≥ 0).

3) O variabilă xj de semn oarecare se poate înlocui cu două variabile xj' ≥ 0, xj"≥ 0,legate prin relaţia: xj=xj'-xj".

4) Deoarece (max)(-f)= -(min)f, putem considera numai programe liniare (P) deminimizare.

Observaţii.1. Dacă notăm:

28

=

=

=

=

nnnmnmm

n

c

c

C

b

b

b

x

x

X

aaa

aaa

A ...,...,...,

...

............

... 111

21

11211

atunci problema (P),

matriceal poate fi scrisă sub forma:(4) (min)[C'X / AX = b , X ≥ 0].2. Este posibil ca valoarea maximă (sau minimă) a funcţiei f, pe mulţimea soluţiilor

admisibile ale problemei, să fie atinsă pentru mai multe soluţii; conform formulăriiprecedente,se caută numai una dintre aceste soluţii optime. S-ar putea defini ca problemă generală aprogramării liniare aceea de a se determina întreaga mulţime a soluţiilor optime. În cele ceurmează nu ne vom ocupa decât cu determinarea unei singure soluţii. Este evident că practiceste deosebit de util de a se cunoaşte toate soluţiile optime iar în alegerea uneia sau a alteiadintre soluţii să ţinem cont de alţi factori care nu au fost puşi în evidenţă atunci când s-aformulat problema.

3. Problema generală a programării liniare este, din punct de vedere matematic, oproblemă de extrem legat cu precizarea că faţă de problemele de extrem legat considerate înanaliza matematică sunt două deosebiri esenţiale. Mai întâi, că printre legăturile la care suntsupuse variabilele funcţiei de extremizat există şi inecuaţii; apoi, chiar dacă sistemulrestricţiilor problemei conţine numai ecuaţii, mai rămân condiţiile de admisibilitate. În sfârşit,într-o problemă de programare liniară nu se cere un extrem relativ, ci un extrem absolut.Aceste deosebiri au impus căutarea unor noi metode de rezolvare pentru problemele deprogramare liniară, diferite de cele din analiza matematică.

4. Desigur, denumirea de "liniară" dată problemei considerate se datoreşte faptului căsistemul restricţiilor este un sistem liniar şi funcţia obiectiv este o funcţie liniară. Dacă, înproblema generală a programării liniare, am menţine sistemul restricţiilor liniar, dar amînlocui funcţia obiectiv printr-un polinom de gradul al doilea în variabilele problemei, amobţine problema generală a programării pătratice. Mai general, dacă sistemul restricţiilorsau/şi funcţia obiectiv nu sunt liniare, problema formulată analog se va numi problema deprogramare neliniară.

Definiţie. Fie (P) şi (P') două programe liniare de minimizare de formă standard.Dacă notăm cu S şi S'. Sa şi S'a, Sopt şi S'opt respectiv mulţimile de soluţii, mulţimile de soluţiiadmisibile, mulţimile de soluţii optimale ale programelor (P) şi (P'), atunci vom spune căprogramele liniare (P) şi (P') sunt echivalente, dacă S=S', Sa=S'a, Sopt=S'opt.

Din această definiţie, rezultă că, plecând de la unprogram (P) şi aplicând sistemului său de restricţii un şir de transformări elementare, atuncitoate programele liniare obţinute prin aceste transformări sunt echivalente celui dat.

Definiţie. Programul liniar (P) este sub o formă explicită, dacă:1. sistemul de restricţii al problemei este sub o formă explicită (matricea sistemului

conţine toate coloanele matricei unitate de ordin egal cu rangul matricei sistemului; înexpunerea teoretică se presupune că rangA=m);

2. funcţia obiectiv nu conţine variabilele principale ale sistemului explicit derestricţii.

Dacă matricea programului (P) este scrisă sub forma:

mmnmm

n

n

baaa

baaa

ccc

...

...............

...

0...

21

111211

21

,

atunci odată cu explicitarea sistemului de restricţii, eliminând şi coeficienţii variabilelorprincipale din funcţia obiectiv, obţinem o formă expluicită a programului (P).

Dacă notăm cu I, mulţimea indicilor variabilelor principale (ai căror coeficienţiformează coloanele matricei unitate), cu K mulţimea indicilor variabilelor secundare (ai căror

29

coeficienţi formează celelate coloane ale matricei sistemului) dintr-o formă explicită aprogramului (P), atunciprogramul liniar (P) sub o formă explicită, se scrie:

(5) (min)f = f0+ ∑∈Kk

kk x0 , cu condiţiile:

(6) xi + ∑∈

=Kk

ikik x , i∈I

(7) xi ≥ 0, i∈I; xk ≥ 0 , k∈K (sau xk≥0, k=1,...,n).Definiţie. Orice soluţie de bază a sistemului de restricţii (orice soluţie a sistemului

obţinută prin egalarea cu zero a variabilelor secundare şi determinarea valorilor variabilelorprincipale, într-o formă explicită a sistemului) dintr-un program liniar (P) sub formăexplicită, se numeşte soluţie de bază a programului liniar (P); valoarea funcţiei obiectiv aprogramului (P) pentru soluţia de bază ataşată formei explicite, este termenul liber din funcţiaobiectiv a formei explicite.

Soluţia de bază a programului (P) sub forma explicită (5)-(7), este deci:(8) xi = βi , i∈I; xk=0, k∈K pentru care f* = f0.

Definiţie. Programul liniar (P) este sub o formă explicit primal admisibilă (EPA),dacă:

1. programul (P) este sub o formă explicită;2. termenii liberi ai sistemului de restricţii sunt nenegativi, deci βi 0, pentru orice

iI.Observaţie.Dacă programul liniar (P) este sub o formă EPA, atunci soluţia de bază (8) este

admisibilă (orice variabilă are într-o soluţie de bază o valoare nenegativă).

2. Rezolvarea unui program liniar cu ajutorul algoritmului simplex primal

1. Pivotaj primal al unui program liniarTeoremă. Dacă (P) este un program liniar sub o formă EPA şi dacă perechea de

indici j∈I şi h∈K este determinată de regulile:(α) α0h < 0,

(β)ih

i

ihjh

j

i

0/min

⟩=

atunci un pivotaj cu pivotul αjk efectuat asupra matricei programului liniar (P), va conduce laun program liniar pus tot sub formă EPA şi valoarea funcţiei obiectiv pentru soluţia de bazăcorespunzătoare este mai mică sau cel mult egală cu valoarea obţinută pentru soluţia de bazăde plecare.

O condiţie suficientă pentru a asigura satisfacerea condiţiei (α), este alegereaindicelui h prin regula :

(α) α0h =k

min α0k , (αok < 0).

Definiţie. Vom numi pivotaj primal al unui program liniar, un pivotaj în care pivotulαjh este determinat prin regulile (α) şi (β).

Regula (α) sau criteriul de intrare al pivotajului primal determină indicile h alvariabilei xh ce devine principală; regula (β) sau criteriul de ieşire al pivotajului primal,determină indicile j al variabilei xj ce devine secundară.

Dacă programul liniar (P) este sub o formă EPA, atunci plecând de la această formăEPA, vom obţine, prin pivotaje primale, alte forme EPA ale programului liniar (P), atâtavreme cât nu întâlnim vreunul dintre cazurile când nu mai putem întrebuinţa regulile (α) , (β)şi anume:

I. există αoh < 0 şi toţi αih ≤ 0, i∈I când programul (P) nu admite soluţie optimală (sauadmite un optim infinit);

II. toţi α0k ≥ 0, k∈K când soluţia de bază corespunzătoare acestei forma EPA, esteoptimală.

30

2. Algoritmul simplex primal (ASP) pentru rezolvarea programelor liniare aflatesub o formă explicit primal admisibilă (EPA)

Operaţiile unui pas oarecare sunt:1. Se aplică criteriul de optim (II); în caz afirmativ soluţia de bază corspunzătoare

este optimală şi algoritmul este oprit; în caz contrar, trecem la 2.2. Se aplică criteriul de intrare (α) şi se stabileşte dacă situaţia (I) are loc sau nu; dacă

da, programul nu are soluţieoptimală şi algoritmul este oprit; dacă nu, trecem la 3.

3. se aplică criteriul de ieşire (β), determinând pivotul αjh şi trecem la 4.4. Se realizează un pivotaj cu pivotul αjh şi trecem la 1.

3. Rezolvarea unui program liniar de forma standard prin metoda simplex primalăFie un program liniar (P) de forma standard (1)-(3) cu bi > 0, i=1,2,...,m (dacă există

un bp < 0, se înmulţeşte ecuaţia p cu –1 şi vom obţine termenul liber pozitiv).În general programul liniar (P) nu se găseşte sub o formă EPA. Rezolvarea programului liniar(P) se face în două faze:

Faza 1: aducerea programului (P) la o formă EPA;Faza 2: rezolvarea programului liniar (P) sub forma EPA cu ASP.Pentru a aduce un program liniar (P) de forma standard la o formă EPA (echivalent cu

a cerceta dacă sistemul de condiţii (12) are sau nu soluţii de bază admisibile), asociemprogramului liniar dat (P) un program liniar (P') de forma:

(9) (min)g = ∑=

m

iiy

1

cu condiţiile:

(10)∑=

n

kkik xa

1

+yi = bi, i=1,2,...,m

(11) xk ≥ 0, k=1,2,...,n; yi ≥ 0, i=1,2,...,mVariabilele yi ale programului liniar (P') se numesc variabile auxiliare sau artificiale

(a nu se confunda cu variabilele de egalizare).Programul liniar (P') sub forma (9)-(11) nu este sub forma EPA. Dacă se elimină

variabilele auxiliare din funcţia g, prin adunarea ecuaţiilor sistemului de restricţii (10),obţinem:

(12) g = ∑∑∑= ==

−m

i

n

kkik

m

ii xab

1 11

iar programul liniar (P'): (9),(10),(12) este sub o formă EPA putându-se rezolva cu ajutorulASP.

Observaţii.1. Programul liniar (P') are totdeuna soluţie optimală;2. Dacă programul liniar (P) are o soluţie admisibilă (x'1,x'2,...,x'n) atunci

(x'1,x'2,...,x'n,0,0,...,0) este o soluţie optimală pentru programul liniar (P').Să presupunem că s-a rezolvat programul liniar auxiliar (P') obţinându-se soluţia

optimală (x'1,...,x'n,y'1,...,y'm) cu valoarea corespunzătoare a funcţiei obiectiv g*, obţinută din(9).

Deosebim:a) g* > 0 când programul liniar iniţial (P) nu are soluţii de bază admisibile, deci nici o

formă EPA şi în acest caz rezolvarea programului liniar (P) este încheiată.b) g*=0, ceea ce implică y'i=0, i=1,2,...,m când programul liniar (P) admite o soluţie

de bază admisibilă, deci şi o formă EPA. Distingem:b1) Toate variabilele auxiliare yi sunt variabile secundare în forma explicită finală a

lui (P'). Eliminând variabilele principale din funcţia f, şi coloanele variabilelor auxiliare dinmatricea programului (P'), obţinem o formă EPA a programului (P) (şi faza 1 s-a încheiat). Secontinuă rezolvarea programului liniar pus sub o formă EPA cu ASP (faza 2).

31

Pentru unitatea calculelor, la matricea programului (P') mai adăugăm o linie cuelementele funcţiei obiectiv f a programului liniar (P), astfel încât la sfârşitul fazei 1, funcţia feste deja sub forma necesară. În acest caz, din matricea programului liniar (P') (forma optimă)obţinem matricea programului liniar iniţial (P) sub o formă EPA, dacă eliminăm linia lui g şicoloanele variabilelor auxiliare.

b2) Există cel puţin o variabilă auxiliară care este variabilă principală în forma EPAfinală a lui (P'). În acest caz, o asemenea variabilă fiind nulă, soluţia optimală găsită aprogramului liniar (P') este degenerată (dacă într-o soluţie de bază sunt exact n-m variabilenule-adică toate variabilele principale sunt diferite de zero-atunci vom spune că soluţia debază este nedegenerată; dacă mai mult de n-m variabile sunt nule într-o soluţie de bază-adicăexistă măcar o variabilă principală a cărui valoare este zero- vom spune că soluţia de bază estedegenerată).

Considerând o variabilă auxiliară care este principală într-o anumită ecuaţie din formaexplicită disponibilă a programului (P') vom deosebi situaţiile:

b'2) dacă în această ecuaţie nu avem nici o variabilă xk ale programului (P), vom puteaomite ecuaţia considerată în (P') împreună cu linia lui g şi coloanele variabilelor auxiliare,obţinând o formă EPA a programului (P). Se continuă rezolvarea programului (P) cu ASP.

b"2) dacă în această ecuaţie avem măcar o variabilă xj ale programului (P), vom alegecoeficientul acesteia (sau la oricare alta, în cazul că există mai multe) drept pivot şi printr-unpivotaj (care de data aceasta nu mai este primal) vom obţine o nouă soluţie de bază admisibilăa programului (P') (deoarece termenul liber din ecuaţia considerată era nul, în urma acestuipivotaj nu se vor modifica nici termenii liberi şi nici valoarea funcţiei obiectiv) în care toatevariabilele auxiliare sunt secundare, deci cazul b1.

Observaţii.1. Dacă în aplicarea regulii (β) sau (α), minimul se atinge pentru mai multe elemente

(pot exista mai mulţi pivoţi), atunci putem alege de exemplu, variabile care devin secundareîn ordinea indicilor (sau după altă regulă stabilită necesară pentru eventuala programare pecalculator). În cazul că după un număr de iteraţii obţinem o forma EPA a programului (P), dela care am plecat (adică obţinem un ciclu) trecem la alegerea altui element ca pivot (v.ex.14,15). Acest caz se încadrează în "probleme degenerate" pentru care există un studiucomplet, pe care, îl lăsăm în seama cititorului (v.de ex. ă3ş).

Pentru obţinerea eventuală şi a altor soluţii optimale, este indicat să se utilizeze toatevariantele.

2. Dacă programul (P) admite de exemplu, două soluţii optimale X1=(x'1,x'2,...,x'n) şiX2=(x"1,x"2,...,x"n) atunci se verifică uşor că orice combinaţie convexă a lor: X=aX1+(1-a)X2

cu 0≤a≤1 ste tot o soluţie optimală (deci programul (P) admite oinfinitate de soluţii).

3. Dacă în soluţia optimală, o variabilă secundară are coeficientul zero în funcţiaobiectiv, atunci alegând un pivot din colana acestei variabile după regula (β) (dacă există), înurma pivotajului vom obţine o nouă soluţie de bază admisibilă care este tot optimală(v.ex.17).

4. Condiţia (II) care oferă criteriul de optimilitate al ASP, este o condiţie numaisuficientă pentru ca o soluţie să fie optimală. Aceasta nu este în schimb necesară (v.ex.16,secţiunea 6).

3. Probleme duale1. Probleme duale simetriceFie un program liniar (P):

(1) (min)f =∑=

n

kkk xc

1

, în condiţiile:

(13) ∑=

n

kkik xa

1

≥ bi , i=1,2,...,m

32

(3) xk ≥ 0 , k=1,2,...,nAsociem programului liniar (P), programul liniar (D):

(14) (max)g = ∑=

m

iiiwb

1

, cu condiţiile:

(15) ∑=

m

iiik wa

1

≤ ck , k=1,2,...,m

(16) wi ≥ 0 , i=1,2,...,mDin modul de formare a problemei (D), din punct de vedere al legăturilor între cele

două probleme, se spune că problema (D) este duala problemei (P). Variabilele wi,i=1,2,...,m se numesc variabile duale. Se verifică imediat, căci dacă vom considera problema(D) drept dată, construind duala sa, obţinem problema (P). Convenim ca problemei (P) să-ispunem în continuare problema primală şi lui (D) problema duală.

Din formularea celor două probleme (P) şi (D)deducem următoarele legături de construcţie:

1. pentru fiecare inecuaţie a problemei (P), corespunde câte o variabilă a problemeiduale (D);

2. matricea sistemului de restricţii (15) este transpusa matricei sistemului de restricţii(13);

3. termenii liberi ai sistemului de restricţii ai problemei (P), devin coeficienţiinecunoscutelor din funcţia obiectiv a problemei (D);

4. coeficienţii necunoscutelor din funcţia obiectiv a problemei (P), devin termeniiliberi ai sistemului de restricţii aiproblemei (D);

5. semnele "≥" din primală se înlocuiesc cu "≤" în duală6. semnul optimizării din primală (min) se schimbă în (max) în problema (D).Problema care se pune, (ţinând cont de legătura care există între cele două programe)

cere să se găsească o legătură între soluţiile problemelor (P) şi (D) astfel încât rezolvând pecea mai simplă, de exemplu (P), să putem determina soluţiile problemei (D), fără a o rezolvaseparat.

Avem:Teorema 1. Dacă X* şi W* sunt soluţii admisibile ale programelor (P) şi (D) iar f* şi

g* valorile corespunzătoare ale funcţiei obiectv, atunci f* ≥ g*.Din această teoremă, rezultă că funcţia f este mărginită inferior pe mulţimea soluţiilor

admisibile ale problemei (P).Teorema 2. Dacă una dintre problemele (P) sau (D) are funcţia obiectiv nemărginită

(inferior pentru problema (P) sau superior pentru (D)), atunci cealaltă problemă nu are soluţiiadmisibile.

Teoremă 3. Dacă X* şi W* sunt soluţii admisibile ale problemelor (P) şi (D) pentrucare corespunzător avem f* şi g* cu f*=g*, atunci X* şi W* sunt soluţii optimale.

Teorema 4. Dacă problema(P') minĂC'X / AX-Z=b, X ≥ 0, Z ≥ 0Ş

este sub o formă explicit a sa, atunci vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv din formaexplicită reprezintă o soluţie de bază a problemei:

(D') maxĂW'b / W'A+U' = C' , W ≥ 0, U ≥ 0Ş;Dacă soluţia de bază corespunzătoare formei explicite a problemei (P') este optimală,

atunci şi soluţia de bază a problemei (D') este optimală, iar valorile funcţiei obiectiv suntegale.

Din teorema 4, rezultă că în matricea finală a formei explicite a problemei (P')rezolvată, se găseşte ca vector al coeficienţilor funcţiei obiectiv tocmai o soluţie optimală aproblemei (D'). Apoi, cum rezolvarea problemei (P) se face prin (P') şi cum o soluţie optimalăa problemei (D) se obţinedintr-o soluţie optimală a problemei (D'), deducem că o soluţie optimală a lui (D) este dată devectorul coeficienţilor variabilelor de egalizare z1,...,zm din funcţia obiectiv, deoarece acesta

33

reprezintă partea soluţiei optimale ale problemei (D') ce conţine valorile variabilelorw1,w2,...,wm.

2. Probleme duale nesimetriceFie un program liniar (P) sub forma standard (1)-(3).Asociem programului (P), programul dual (D) dat de (14), (15) în care variabilele

duale wi, i=1,2,...,m nu sunt supuse la restricţii de semn.Să presupunem că problema (P) are o soluţie de bază optimală. Fie Xβ şi Xρ vectorul

variabilelor principale, respectiv vectorul variabilelor secundare; A = (βρ) o diviziune amatricei sistemului de restricţii a programului (P), (forma iniţială) unde β este matriceaformată cu coloanele variabilelor principale, γβ vectorul coeficienţilor din funcţia obiectivcorespunzători variabilelor principale.

Se arată că soluţia optimală a programului dual (D) este dată de relaţia:(17) w*' = γ'β.β* cu f* = g*.

Ex. 1. Fie problema de programare liniară:(max)f = 3x1-x2+2x3 , în condiţiile:3x1-x2=4, x1-5x2+2x3≥-3, -x1+4x3≥2, 2x1+3x2≤0 ;x1≥0, x2≥0 şi x3 oarecare.Se cere să se aducă problema de programare liniară la forma standard.Soluţie. Forma standard:(max)f =3x1-x2+2x3'-2x3" sau (min)f =-3x1+x2-2x3'+2x3" , în condiţiile: 3x1-x2=4, x1-

5x2+2x3'-2x3"-z1=-3, -x1+4x3'-4x3"-z2=2, 2x1+3x2-x3'+x3"+z3=0; x1,2≥0, x3',x3"≥0, zi≥0(i=1,2,3); x3=x3'-x3".

Ex. 2. Se cunosc următoarele date:

P1 P2 P3 P4 Cantităţi-resurseConsumuri tehnologiceunitare

21

13

11

12

47

Venitul brut unitar 3 6 8 7Venit fixbonificat: 9 mil.

Cost unitar de producţie 6 3 4 3Cheltuieli fixeauxiliare: 9 mil.

Se doreşte introducerea în fabricaţie a cel puţin două tipuri de produse din patruposibile, pentru care se dispune de tehnologiile respective, de pieţele de desfacere (pe care secunosc preţurile de vânzare, unitare, în milioane lei), cât şi de bonificaţia suplimentară oferităde beneficiar la încheierea contractului. Costurile unitare de producţie (ca indicator sintetic deproducţie) sunt cele date pe ultima linie, la care se estimează cheltuielile fixe globale de 9milioane. Produsele se pot fabrica din două tipuri de resurse în cantităţi date de b1 = 4t şi b2 =4t pe ciclu de fabricaţie.

a) în aceste condiţii să se determine un program optim de producţie pe ciclu defabricaţie, luând ca indicator venitul net şi eventual economia la resurse.

b) să se obţină programul de producţie obţinut prin optimizarea indicatorului dat deraportul dintre beneficiul total şi cheltuielile totale.

Soluţie:a) Optimizarea indicatorului economic “venit net”Modelul matematic în acest caz este dat de:

42 4321 ≤+++ xxxx

4,1,0,723 4321 =≥≤+++ ixxxxx i

( ) 4321 4432max xxxxxf +++=Introducând variabilele de compensare rezultă:

34

( ) 4321

24321

14321

4432,max

0;0

723

42

xxxxyxf

yx

yxxxx

yxxxx

ii

+++=≥≥

=++++=++++

2 1 1 1 1 0 4 2 1 1 1 1 0 41 3 1 2 0 1 7 - 1 2 0 1 -1 1 3

≈2 3 4 4 0 0 0 - 6 -1 0 0 - 4 0 - 16

Se obţine programul optim( )

milioanef

yyxxxxX t

16max

3;0,0;4;0;0 2143211

========

Acest program arată că se obţine un beneficiu net de 16 milioane, dacă se fabricănumai produsul al treilea în cantitatea 43 =x şi se realizează o economie la resursa a doua de

32 =y unităţi, adică se vor consuma 7 – 3 = 4 unităţi din a doua resursă. S-a obţinut astfelsoluţia ideală atingându-se scopul optim cu minim de cheltuială, 04 =C arată că produsul detipul 4 nu este nerentabil deşi nu apare în programul optim. Adică fabricarea sa este posibilă,fără o scădere a beneficiului maxim de 16 milioane.

Programul obţinut nu satisface însă condiţia contractuală (să apară pe piaţă cel puţindouă produse din cele patru) pentru a obţine bonificaţia de 9 milioane. În scrierea beneficiuluinet, s-a folosit însă această bonificaţie. Prin urmare, în asemenea situaţii, se va face un studiuprealabil şi apoi se va încheia contractul.

b) Optimizarea raportului beneficiu – cheltuieliVom optimiza raportul dintre beneficiu brut şi cheltuielile totale. Avem modelul

42 14321 =++++ yxxxx

724321 23 =++++ yxxxx

( )9343

97863max

4321

4321

+++++++++

=xxxx

xxxxxf , 0≥ix , 0≥jy

Numitorul nu se anulează, este strict pozitiv.Iniţial avem forma canonică

2 1 1 1 1 0 0 0 41 3 1 2 0 1 0 0 7

jc1 3 6 8 7 0 0 1 0 - 9 ⇒ 91 =z

jc2 1 3 4 3 0 0 0 1 - 9 ⇒ 92 =z

jc81

18

81

27

81

36

81

360 0

⇒

2

2112

z

czczc jj

j

−=

cum 81

360max =>= j

jk cc se poate alege 43 csauc .

Alegând 3c , pivotul se va alege de pe coloana a treia.

Cum1

4

1

7,

1

4min =

35

Vom obţine noul program:

2 1 1 1 1 0 0 0 4- 1 2 0 1 - 1 1 0 0 3

jc1 - 13 - 2 0 - 1 - 8 0 1 0 - 41 ⇒ 411 =z

jc2 - 7 - 1 0 - 1 - 4 0 0 1 - 25 ⇒ 252 =z

jc225

38−225

9−0

225

16- 0

Cum 025

1624 >=c se alege pivotul de pe coloana a patra. Se obţine tabelul următor:

2 1 1 1 1 0 0 0 4- 1 2 0 1 - 1 1 0 0 3

jc1 - 13 - 2 0 - 1 - 8 0 1 0 - 41 ⇒ 411 =z

jc2 - 7 - 1 0 - 1 - 4 0 0 0 - 25 ⇒ 252 =z

jc222

4−222

38− 0 0222

8−222

16− STOP

====

=

3

1

0

0

4

3

2

1

x

x

x

x

X optim ,22

38max =f

Se observă că optimizând acest indicator se obţine un program optim cert, care satisfacecondiţia contractuală de a se da pe piaţă cel puţin două produse. Cum 1max >f , eficienţaprogramului este efectivă. Venitul net maxim este dat de 38 – 22 =16 milioane.

II PROBLEMA TRANSPORTURILOR

1. Formularea problemei canonice a problemeide transport

Problema transporturilor în forma ei cea mai simplă, pe care o vom numi forma canonică, areurmătorul enunţ:

Să presupunem că un anumit produs (omogen) se aflădepozitat (disponibil) în m centre de depozitare (m furnizori) Di, în cantităţile ai, (i=1,2,...,m),şi în n centre de consum (beneficiari) Cj, este cerut acest produs în cantităţile bj, (j=1,2, ...,n).Sunt cunoscute numerele cij, (cij > 0) cu semnificaţia: cij=costul de transport al unităţii deprodus de la depozitul Di la centrul de consum Cj, (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n). Se cere a sedetermina cantităţile xij de produs care urmează a fi repartizate de la centrele de depozitare lacentrele de consum astfel ca disponibilul să fie epuizat, în fiecare depozit, cererea să fiesatisfăcută exact, în fiecare centru de consum, iar costul total al transportului produsului să fieminim. Se prsupune că disponibilul total din depozite este egal cu cererea totală a centrelor deconsum.

36

Problema astfel formulată economic este denumită problema de transport echilibratdatorită obiectivului urmărit ţi presupunerii făcute a echilibrului cererii cu a disponibilullui (aofertei).

Restricţiile problemei sunt:-restricţii asupra disponibilului şi cererii care exprimă faptul că repartiţia căutată

epuizează disponibilul fiecărui depozit Di şi satisface exact cererea fiecărui centru de consumCj, traduse algebric prin relaţiile:

==

==

∑

∑

=

=

njbx

miax

m

ijij

n

jiij

,...,2,1,

;,...,2,1,)7(

1

1 cu ∑ ∑= =

=m

i

n

jji ba

1 1

-restricţii datorate sensului economic al variabilelor:(8) xij ≥ 0 , i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n-restricţia de minimizarea a costului total de transport este dată de:

(9) (min)f = ∑∑= =

m

i

n

jijij xc

1 1

cu cij ≥ 0.

Datele problemei de transport pot fi prezentate sub forma următorului tabel:

DiţCj C1 ... Cj ... Cn DD1 c11 ... c1j ... c1n a1

... ... ... ... ... ... ...Di ci1 ... cij ... cin ai

... ... ... ... ... ... ...Dm cm1 ... cmj ... cmn am

N b1 ... bj ... bn =Au loc:

Teorema 1. O problemă de transport (7)-(9) are totdeuna o soluţie (de ex., xij = r

ba ji . ,

i=1,2,...,m; j=1,2,...,n unde r reprezintă valoarea comună a egalităţilor din (7)).Teorema 2. Sistemul ecuaţiilor de condiţii într-o problemă de transport echilibrat,

conţine (m+n-1) ecuaţii principale (datorită egalităţii din (7), o ecuaţie oarecare din sistemulde restricţii în număr de m+n, se poate exprima cu ajutorul celorlalte m+n-1 ecuaţii), decisoluţia de bază are m+n-1 variabile principale.

Problema de transport aşa cum a fost prezentată, se încadrează în problemele deprogramare liniară, dar probleme de programare liniară mai particulare cu proprietăţispecifice.

O problemă de transport echilibrată se poate rezolva în două etape:a. determinarea unei soluţii de bază (de preferinţă nedegenerată, care are m+n-1

componente nenule pozitive);b. testarea optimalităţii soluţiei pentru a constata dacă aceasta este optimă sau nu; în

cazul în care soluţia nu este optimă atunci cu ajutorul unui algoritm trebuie să fie îmbunătăţităpână se ajunge la soluţia optimă.

2. Determinarea unei soluţii de bază iniţialea. Metoda colţului Nord-Vest.Principiul acestei metode constă în compararea elementelor a i cu bj, alegând xij =

min(ai,bj). Dacă xij = ai, atuncixik=0, k=1,2,...,j-1,j+1,...,n şi bj se înlocuieşte cu b'j=bj-ai. Dacă xij=bj, atunci xhj=0, h=1,2,...,i-1,i+1,...,m şi ai se înlocuieşte cua'i=ai-bj.

37

În determinarea componentelor soluţiei iniţiale, se începe cu x11. Metoda aredezavantajul că în general, soluţia iniţială obţinută este destu de depărtată de soluţia optimă.

b. Metoda costului minim (metoda lui Houthakker)Principiul acestei metode, constă în alegerea ckl = = ij

jic

,min şi luând xkl = min(ak,bl),

după care se procedează ca în cazul metodei colţului Nord-Vest.În general, această metodă furnizează o soluţie iniţială mai bună decât cea

determinată prin metoda colţului Nord-Vest.

3. Metoda potenţialelor de rezolvare a unei probleme de transport.Această metodă are la bază rezultatele obţinute la problemele duale şi are avantajul de

a fi uşor mânuită atât manual cât şi pe calculator.Dacă notăm cu ui, i=1,2,...,m şi vj, j=1,2,...,n variabilele duale corespunzătoare

sistemului de restricţii (7) , atunci problema duală (D) a problemei de transport (7)-(9), va fi:

(10) (max)g = ∑∑==

+n

jjj

m

iii vbua

11

, în condiţiile:

(11) ui+vj ≤ cij , i=1,2,...,m ; j=1,2,...,nFiind vorba de o problemă duală nesimetrică, variabile duale nu sunt supuse la

restricţii de semn.Algoritmul pentru rezolvarea unei probleme de transport, are următoarel etape:1. Se determină o soluţie iniţială de bază X0. Fie P = [(i,j) / xij∈X0, xij variabile

principale] cu |P|=m+n-1 ,deci mulţimea P are m+n-1 elemente. Facem observaţia, că în cazulcând soluţia X0 este degenerată, completăm cu xij=0 până la numărul m+n-1 şi le vom nota cuxij = θp (aceste variabile pot fi alese eventual să corespundă unor costuri detransport minime), numindu-le zero esenţial.

2. Rezolvăm sistemul ui+vj=cij , (i,j)∈P, alegând o valoare arbitrară pentru onecunoscută, determinând valorile variabilelor duale (sistemul are m+n-1 ecuaţii cu m+nnecunoscute).

3. Se formează cu valorile determinate sumele:c*ij= ui+vj , (i,j)∉P; c*ij se vor numi costuri de transport calculate.

4. Se calculează diferenţele: ∆ij = cij-c*ij, (i,j)∉P. Dacă ∆ij≥0, pentru orice i şi j, atuncisoluţia testată este optimală. În caz contrar, soluţia nu este optimală.

5. Dacă există ∆ij < 0, alegem ∆kl = ijji

∆,

min şi considerăm xkl = θ după care vom

compensa prin scăderi şi adunări la variabilele principale, cantitatea θ, astfel încât problemade transport să fie echilibrată.Se consideră toate diferenţele de forma xpq-θ şi alegem θ= pq

qpx

,min cu care determinăm o nouă soluţie de bază (care poate fi degenerată sau

nedegenerată) şi reluăm algoritmul de la 1.Dacă fk este valoarea funcţiei obiectiv determinată pentru o soluţie Xk, atunci pentru

soluţia îmbunătăţită Xk+1, valoarea funcţiei obiectiv fk+1=fk+θ.∆kl.Observaţii.1. Dacă pentru o soluţie optimă există costuri comparative nule (∆ij=0),

corespunzătoare unei variabile secundare, alegând xij=θ şi procedând ca în 5., obţinem o nouăsoluţie optimală (fk+1=fk) (v.ex.31 şi 32).

2. ∆ij ≥ 0, pentru orice i şi j nu este condiţie necesară pentru ca soluţia problemei detransport să fie optimă (v.ex.31).

Ex. Să se rezolve problema de transport:

Di/Ci C1 C2 C3 C4 DD1 4 5 1 2 3D2 4 4 3 4 4D3 5 5 6 1 7

38

N 4 6 5 3

Soluţie Determinând soluţiile de pornire (iniţiale) prin metoda colţului Nord-Vest şiprin metoda costului minim, vom obţine:X0

NV=Di/Ci C1 C2 C3 C4 DD1 4 3 7D2 3 1 4D3 4 3 7N 4 6 5 3

X0cm

Di/Ci C1 C2 C3 C4 DD1 2 5 7D2 2 2 4D3 4 3 7N 4 6 5 3

Soluţiile obţinute sunt nedegenerate (m+n-1=6 componente diferite de zero) pentrucare f(X0

NV)=73 şi f(X0cm)=52. Testăm optimalitatea soluţiei X0

cm. Avem:X0

V1 V2 V3 V4 U/V 4 4 1 0 ∆ij=cij-cij

*

U1 2 5 0 * 4 * 0 * 1 * 2U2 2 2 0 * * 1 0 * * 2 4U3 4 3 1 5 * 2 * 0 * 4 *

Deoarece toate diferenţele ∆ij ≥ 0, rezultă că soluţia testată X0cm (determinată prin

metoda costului minim) este optimală. Lăsăm în seama cititorului să testeze soluţia X0NV (care

sigur nu-i optimală) şi să o îmbunătăţească până ce obţine soluţia optimală.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

I. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

1. Mulţimi de puncte în spaţiul Rn (Topologia în Rn)Fiind date n intervale Ii,i=1,...,n pe o dreaptă,prin definiţie,produsul lor cartezian I =

I1×I2× ... ×In ⊂Rn,se numeşte interval n-dimensional:I =(x1,...,xn)/ xi∈Ii , i=1,...,n .Dacă toate intervalele Ii ,i=1,...,n sunt deschise (închise),atunci I se numeşte interval

n-dimensional deschis (închis).Dacă toate intervalele Ii,i=1,...n sunt mărginite,atunci I senumeşte interval n-dimensional mărginit.

De exemplu, în spaţiul (planul) R2, un interval bidimensional cu laturile mărginiteeste un dreptunghi.

Fie un punct a din Rn şi un număr r >0.Vom numi sferă (deschisă),cu centrul în a şi de rază r,mulţimea:Vr(a) =x/x∈Rn,||x-r|| < r , (sau d(x,r) <r , formată din toate punctele x din Rn a căror

distanţă la punctul a este mai mică decât r.Mulţimea:Wr(a) = x/x∈Rn ,||x-r|| ≤ r ,

se numeşte sferă închisă cu centrul în a şi de rază r.De exemplu,în spaţiul R1,Vr(a) = (a-r,a+r); în spaţiul R2, Vr(a) este formată din

mulţimea punctelor din interiorul cerculuide rază r şi cu centrul în a.

Propoziţie. Orice sferă Vr(a) conţine un interval n-dimensional care conţine pe aşi,reciproc.

39

Definiţie.Se numeşte vecinătate a unui punct a din Rn,orice mulţime care conţine osferă Vr(a) (sau orice mulţime V care conţine un interval n-dimensional I care conţine punctula,deci a∈I⊂V).

Fie A⊂Rn şi a∈A.Vom spune că a este punct interior al lui A, dacă există o vecinătate V a lui a,

conţinută în A (a∈V⊂A). Notăm cu A0 sau IntA, mulţimea punctelor interioare lui A.Mulţimea A se numeşte deschisă dacă A0=A. Aşadar,o mulţime este deschisă,dacă şi

numai dacă,este vecinătatea fiecărui punct al său.De exemplu,Vr(a), Φ,Rn sunt mulţimi deschise.Reuniunea unei familii oarecare (intersecţia unei familii finite) de mulţimi deschise

este o mulţime deschisă.Un punct din Rn este un punct aderent al mulţimii A, dacă orice vecinătate V al lui a

conţine cel puţin un punct x din A (adică V∩A ≠ Φ).

Notăm cu A mulţimea punctelor aderente ale mulţinmii A şi A se va numi

închiderea lui A (A⊂ A ).

O mulţime A este închisă dacă îşi conţine toate punctele aderente, deci A = A .De exemplu, Wr(a) ,Φ,Rn sunt mulţimi închise.Un punct a din Rn este punct frontieră al lui A,dacă orice vecinătate V al lui a conţine

puncte atât ale lui A cât şi ale complementarei CA. Mulţimea punctelor frontieră ale lui A senumeşte frontierea lui A.

Un punct a din Rn este un punct de acumulare pentru mulţimea A (A⊂Rn), dacă oricevecinătate V al lui a conţine cel puţin un punct x, (x≠a) din A.

Se demonstrează,că a este punct de acumulare al lui A,dacă şi numai dacă,oricevecinătate al lui a conţine o infinitate de puncte din A.

Mulţimea A din Rn este mărginită dacă există o sferă Vr(0), care conţine mulţimeaA,adică există un număr M>0 astfel încât ||x|| < M, pentru orice x din A.

Mulţimile închise şi mărginite din Rn se numesc mulţimi compacte.O mulţime A⊂Rn se numeşte mulţime conexă dacă,oricum am descompune-o în două

mulţimi K≠Φ,H≠Φ, cel puţin una din mulţimile K sau H are cel puţin un punct de acumulareîn cealaltă (A conexă dacă ″este formată dintr-o singură bucată″).

O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu.2. Funcţii definite pe mulţimi din Rn

O funcţie f: D → R,D⊂R2,se numeşte funcţie reală de două variabile reale şi senotează z=f(x,y). Graficul unei funcţii reale de două variabile reale f(x,y),va fi mulţimea:

Gf = (x,y,z)/(x,y)∈D⊂R2,z=f(x,y),care defineşte în spaţiul R3 o suprafaţă; x,y se vor numi varaiabile independente,iar zvariabilă dependentă.

In general,o funcţie f: D → R ,D⊂Rn se numeşte funcţie reală de n variabile reale şise notează z=f(x1,...,xn).

Observaţie.Fie f: D→ R ,D⊂R2 cu z=f(x,y) şi P(a,b)∈D.Funcţia g: D(b) → R ,D(b)=x/x∈R,(x,b)∈D, definită prin g(x)=f(x,b) este o funcţie

de o singură variabilă x,pe care am putea să o numim funcţie parţială; analog,se defineştefuncţia parţială h: D(a) → R, D(a)=x/x∈R, (a,y)∈D,definită prin h(y)=f(a,y).

Fie f,g: D → R, D⊂R2 şi P(x,y)∈D.Suma f+g, produsul fg, produsul kf al funcţiei f cu numărul real k , sunt funcţii

definite tot pe D şi cu valori în R,astfel:(f+g)(P) = f(P) + g(P) , pentru P din D;(fg)(P) = f(P).g(P) .pentru P din D;(kf)(P) = k.f(P) ,pentru P din D.

40

Fie funcţiile u,v: D → R, D⊂R2 prin u=u(x,y) şi v=v(x,y). Dacă funcţia f: D' → R,D⊂R2 prin f=f(u,v), atunci funcţia f [u(x,y),v(x,y)] este funcţia compusă a funcţiei f cufuncţiile u şi v.

Fie funcţia f: D → R, D⊂R2 cu z=f(x,y).Vom nota cu: ∆xz, ∆yz creşterea parţială a variabilei z în raport cu x (respectiv y), şi

prin definiţie:∆xz = f(x+∆x,y) - f(x,y) ; ∆yz = f(x,y+∆y) - f(x,y) iar creşterea totală a funcţiei,prin

definiţie:∆z = f(x+∆x,y+∆y) - f(x,y) .Facem observaţia,că în general: ∆z ≠ ∆xz + ∆yz.In mod corespunzător se definesc creşterile parţiale sau creşterea totală pentru o

funcţie de mai multe variabile.

3. Limite de funcţii şi funcţii continuea.Limite de funcţiiFie D⊂R2, P0(a,b) un punct de acumulare pentru D şi funcţia f: D → R cu z=f(x,y).Definiţie. Numărul A este limita funcţiei f în punctul P0, dacă pentru orice ε>0,

există un număr δ(ε)>0, astfel încât,de îndată ce| x-a | < δ(ε) , | y-b | < δ(ε) | ⇒ | f(x,y) - A |< ε,

şi vom nota:lim ( , ) ,x a

y b

f x y A→→

=

(x şi y tind independent,dar simultan către a şi respectiv b).Definiţie. Numărul A este limita funcţiei f în punctul Po,dacă şi numai dacă,pentru

orice şir xn a, yn b , (xn,yn)D cu (xn,yn) Po,avem: f(xn,yn) A.Definiţiile sunt echivalente.Observaţie.Fie curba y=h(x) şi lim ( , )

; ( )

x a

y b y h x

f x y→

→ =

Se spune că aceasta este limita funcţiei f când

x şi y tinând simultan dar dependent pe curba y=h(x),respectiv către a şi b.Dacă lim ( , )

x a

y b

f x y→→

există,atunci şi lim ( , ); ( )

x a

y b y h x

f x y→

→ =

există şi cele două limite sunt

egale,dar reciproc nu este adevărat.Proprietăţi.P1. Dacă f,g:D R, D R2 prin z=f(x,y) , z'=g(x,y) au limită în punctul P0(a,b),

atunci şi funcţiile f+g , fg , kf:D R, DR2 (cu kR) au limită în Po , şi:[ ]lim ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( , );

x a

y b

x a

y b

x a

y b

f x y g x y f x y g x y→→

→→

→→

+ = +

lim ( , ). ( , ) lim ( , ).lim ( , );x a

y b

x a

y b

x a

y b

f x y g x y f x y g x y→→

→→

→→

=

lim . ( , ) .lim ( , ).x a

y b

x a

y b

k f x y k f x y→→

→→

=

P2 (criteriu). Fie f,g:D → R, D⊂R2 prin z=f(x,y), z'=g(x,y) şi A∈R. Dacă există ovecinătate V a lui Po şi dacă pentru orice punct P(x,y) din V∩D avem |f(x.y)-A| ≤ g(x,y) şilim ( , ) ,x a

y b

g x y→→

= 0 atunci lim ( , ) .x a

y b

f x y A→→

=

Considerând funcţiile parţiale f(x,b) şi f(a,y) atunci vom putea considera limiteleacestor funcţii de o singură variabilă:

41

lim ( , )x a

f x b→

şi lim ( , )y b

f a y→

dacă a (respectiv b) este punct de acumulare al mulţimii

D(b) (respectiv D(a)).Se mai pot considera apoi şi:lim lim ( , )x a y b

f x y→ →

şi lim lim ( , )y b x a

f x y→ →

şi se numesc limite iterate ale funcţiei f.

b) Funcţii continueFie f:D→R, D⊂R2 cu z=f(x,y) şi P0(a,b)∈D.Definiţie.Funcţia f este continuă în punctul P0 dacă :

lim ( , ) ( , )x a

y b

f x y f a b→→

=

O funcţie f este continuă pe un domeniu dacă este continuă în fiecare punct dindomeniu.

Observaţie.Dacă punem x=a+∆x, y=b+∆y atunci relaţia din definiţia precedentăconduce la : lim .

∆∆

∆x

y

z→→

=0

0

0

Definiţie.Fie f:D R,D R2 şi P0(a,b)D.Dacă funcţia g:D(b)R cu g(x)=f(x,b)este continuă în punctul a,spunem că funcţia f este continuă (parţial) în raport cu x în punctulP0. Analog, f continuă (parţial) în raport cu variabila y în punctul P0

4. Derivate parţiale.Diferenţialea)Derivate parţialeFie f:D→R,D⊂R2 cu z=f(x,y) şi P(a,b) interior lui D.Definiţie. Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu variabila x (respectiv y) în

punctul P(a,b) dacă funcţia g(x)=f(x,b)(respectiv h(y)=f(a,y)) este derivabilă în punctul a(respectiv b),adică dacă există :

lim( , ) ( , )

( , lim( , ) ( , )

)x a y b

f x b f a b

x arespectiv

f a y f a b

y b→ →

−−

−−

şi este finită.Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu variabial x (respectiv y) afuncţiei f(x,y) în punctul P(a,b) şi se notează:

zx'(a,b),fx'(a,b),

f a b

x

z a b

x

( , ),

( , );

zy'(a,b),fy'(a,b),

f a b

y

z a b

y

( , ),

( , ).

Folosind creşterile parţiale ale funcţiei f,obţinem:

fx'(P) = lim( )

,∆

∆∆x

x f P

x→0fy'(P) = lim

( ).

∆

∆∆y

y f P

y→0

Funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x (respectiv y) pe o mulţime A dinD,dacă este derivabilă parţial în raport cu x (cu y) în fiecare punct (x,y) din A.

Observaţii.1. Din definiţie, practic derivata parţială fx' se calculează considerând pe y constant şi

derivând ca o funcţie de o singură variabilă x.Analog pentru derivata parţială în raport cu y.2. Dacă f:D → R ,D⊂R3 cu w=f(x,y,z) şi P(a,b,c)∈D,se definesc derivatele sale

parţiale, astfel:

fx'(P) = lim( )

∆

∆∆x

x f P

x→0, fy'(P) = lim

( )

∆

∆∆y

y f P

y→0

fz'(P) = lim( )

∆

∆∆z

z f P

z→0.

b)Derivate parţiale de ordin superior

42

Fie f:D→R ,D⊂R2 (D mulţime deschisă) cu z=f(x,y).Dacă derivatele parţiale (de ordinul întâi) fx',fy' există pe D,ele sunt funcţii de două

variabile,deci se poate pune problema existenţei derivatelor parţiale de ordinul întâi alefuncţiilor fx' respectiv fy'.

Dacă există derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiilor fx' şi fy' ,ele se numescderivate parţiale de ordinul doi ale funcţiei f.Avem:

′′ = = ′ ′ ′′ = = ′ ′ff

xf f

f

x yf

x def x x xy def x y2

2

2

2

.( ) ;

.( ) ;

′′ = = ′ ′ ′′ = = ′ ′ff

y xf f

f

yfyx def y x y def y y

.( ) ;

.( ) .

2 2

22

Funcţiile: f"xy şi f"yx se numesc derivate parţiale mixte de ordinul doi.În mod analog se definesc derivatele parţiale de ordinul doi pentru o funcţie cu n (n ≥

3) variabile sau derivatele parţiale de ordin n ≥ 3,ca fiind derivatele parţiale ale derivatelorparţiale de ordinul (n-1).

Dacă f:D → R , D⊂R2 cu z=f(x,y) şi P(a,b)∈D,atunci matricea

Hf(P) =′′ ′′′′ ′′

f P f P

f P f Px xy

yx y

2

2

( ) ( )

( ) ( )

poartă numele de matricea hessiană a funcţiei f în punctul P(a,b).Criteriul lui Schwarz. Dacă funcţia f:D → R , D⊂R2 cu z=f(x,y) şi derivatele

parţiale: ′ ′ ′′ ′′f f f fx y xy yx, , , sunt definite şi continue în punctul P(x,y) şi în vecinătatea acestuipunct,atunci:

′′ = ′′f P f Pxy yx( ) ( ).

Observaţie.O propoziţie asemănătoare ″Criteriului lui Schwarz″, este adevărată şi pentru

derivatele parţiale de ordinul n , n ≥ 3.c) Diferenţiala unei funcţii de mai multe variabileFie funcţia f:D → R ,D⊂R2 cu z=f(x,y),despre care vom presupune că derivatele

parţiale ale funcţiei f în punctele considerate există şi sunt continue.Problema care se punecere să dea o exprimare a creşterii totale ∆z a funcţiei f,folosind numai derivatele parţiale fx',fy'.

Definiţie. Spunem că funcţia z=f(x,y) este diferenţiabilăîn punctul P(x,y),dacă creşterea totală ∆z ,poate să fie pusă sub forma:

∆z = fx'∆x + fy'∆y + δ1∆x + δ2∆ycu δ1,δ2 → 0 când ∆x,∆y → 0.

Notăm diferenţiala totală (sau pe scurt diferenţiala) a funcţiei f cu df (sau dz) ,şi prindefiniţie:

dz = fx'dx + fy'dy şi ∆z ≈ dz.Operatorul

d =

xdx

ydy+

care aplicat funcţiei f ne dă diferenţiala funcţiei f în punctul P(x,y) se numeşte operatorul dediferenţiere.Cu aceasta,dacă interpretăm ″ în mod formal ″ pe ∂f ca un produs ″simbolic″între ∂ şi f, atunci :

df= ( ) ( )

f

xdx

f

ydy

xdx

ydy f+ = +

Dacă f:D → R , D⊂R3 cu w = f(x,y,z),atunci prin definiţie:

df =

f

xdx

f

ydy

f

zdz+ + ,

43

etc., pentru funcţii f:D → R , D ⊂ Rn.d) Diferenţiale de ordin superiorFie funcţia f:D → R ,D⊂R2 cu z = f(x,y),despre care presupunem că are în D toate

derivatele parţiale de ordinul p şi toate aceste derivate sunt continue; diferenţiala de ordinul pa funcţiei f(x,y) se va nota cu dpf,care prin definiţie:

dpf = ( ) .( )

x

dxy

dy fp+

În cazul particular,p=2:

d f f dx f dx dy f dyx xy y

2 2 22 22= ′′ + ′′ + ′′.

În general,pentru funcţia f:D → R ,D ⊂ Rn cu w = f(x1,...,xn), cu toate derivateleparţiale până la ordinul n continuepe D, avem:

d2f= ( ... )( )

x

dxx

dxx

dx fn

np

11

22+ + + .

În particular, pentru n = 3 şi p = 2 :d2f= ′′ + ′′ + ′′ + ′′ + ′′ + ′′f dx f dy f dz f dxdy f dxdz f dydz

x y z xy xz yz2 2 22 2 2 2 2 2

e) Derivata unei funcţii compuseDacă funcţiile u,v:D → R , D ⊂ R2 cu u=u(x,y),v=v(x,y) au derivate parţiale continue

pe D,dacă funcţia f:D' → R , D'⊂R2 cu z=f(u,v) are derivate parţiale continue pe D',atuncifuncţia compusă: z = f[u(x,u),v(x,y)] cu variabilele x şi y are derivate parţiale continue pe D⊂ R2,date de:

′ = ′ ′ + ′ ′′ = ′ ′ + ′ ′

z f u f v

z f u f vx u x v x

y u y v y

. . ,

. ..

În particular,dacă u=u(x),v=v(x) ,atunci funcţia compusă z=f[u(x),v(x)] ,în variabilax are derivata dată de:

′ = ′ ′ + ′ ′z f u f vu v. .Observaţie.Pentru funcţiile de n variabile w = f(x1,...,xn),cu

xi = fi(x,y) , i=1,2,...,n vom obţine:

′ = ′ == =∑ ∑w

w

x

x

xw

w

x

x

yxii

ni

yii

ni

1 1

. , .

În particular, xi = fi(x) , i=1,2,...,n ⇒

′ ==∑w

w

x

dx

dxii

ni

1

. .

5. Funcţii impliciteFie F:D → R,D ⊂ R2 cu z=F(x,y) şi ecuaţia F(x.y)=0.O funcţie f:A → R,A ⊂ R cu

y=f(x) astfel încât pentru orice x∈A , (x,f(x))∈D se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţieiF(x.y)=0pe mulţimea D dacă F(x,f(x)) ≡ 0 pentru x∈A.

Definiţie. Funcţiile y=f(x) definite cu ajutorul ecuaţiei F(x,y)=0 se numesc funcţiiimplicite sau funcţii definite implicit.

Teoremă. Fie F(x,y) o funcţie reală definită pe D=XY R2 şi (a,b) punct interior allui D.Dacă:

1.F(a,b)=0;2.F(x,y) , Fx'(x,y) ,Fy'(x,y) sunt continue pe o vecinătate UV al lui (a,b),(UVXY);

44

3.Fy'(a,b) 0,atunci:

I.există o vecinătate U0 a lui a şi o vecinătate V0V a lui b şi o funcţie unicăy=f(x):U0 V0,astfel încât:

f(a)=b şi F(x,f(x)) 0 pentru xU0;II.funcţia f(x) are derivată continuă pe U0,dată de:

′ = −′′

yF x y

F x yx

y

( , )

( , ).

Observaţie.Dacă avem ecuaţia F(x,y,z)=0,atunci obţinem o funcţie implicită z=f(x,y) definită de

aceasta ecuaţie,pentru care în ipoteza Fz' ≠ 0,avem:

′ = −′′

′ = −′′

zF

Fz

F

Fxx

zy

y

z

, .

6. Formula lui Taylora) Formula lui Taylor pentru y = f(x)Fie o funcţie f:D → R , D ⊂ R cu y=f(x) care admite derivate continue până la ordinul

n+1 inclusiv într-o vecinătate a punctului x=a .Problema care se pune cere să se determineun polinom y=Pn(x) de grad cel mult n,a cărui valoare în punctul x=a este egală cu valoareafuncţiei f(x),iar valorile derivatelor până la ordinul n inclusiv sunt respectiv egale cu valorileînacest punct a derivatelor corespunzătoare a funcţiei f(x),adică:

Pn(a)=f(a) , Pn(k)(a) = f(k)(a) , k=1,2,...,n

adică acest polinom este o aproximaţie a funcţiei f(x),decif(x) = Pn(x) + Rn(x) ,

Rn(x) defineşte restul de ordinul n.Căutând polinomul de forma:Pn(x) = c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + ... + cn(x-a)n

unde coeficienţii ci,i=0,1,...,n sunt determinaţi de condiţiile impuse,se obţine:

f(x) = f(a) +( )

!. ( ) ( ),( )x a

if a R x

i

i

ni

n

−+

=∑

1

cu

R xx a

nf cn

nn( )

( )

( )!( ),( )=

−+

++

11

1cu c∈(a,x) sau c=a+θ(x-a) , 0 < θ < 1 ,care se numeşte formula lui Taylor pentru funcţia de ovariabilă y=f(x).

În particular, pentru a=0,obţinem formula Mac-Laurin :

f(x) = f(0) +x

if o R x

ii

n!( ) ( ).( )∑ +

b) Formula lui Taylor pentru funcţii de două variabileFie f:D → R,D ⊂ R2 cu z=f(x,y) o funcţie de două variabile care este continuă,cu

derivate parţiale de ordinul (n+1) inclusiv continue într-o vecinătate a unui punct P(a,b) dinD.

Pentru funcţia f,vom căuta o reprezentare (aproximare) sub forma unui polinom degrad cel mult n,ordonat după puterile întregi ale lui (x-a) şi (y-b). Se obţine formula luiTaylor pentru funcţii de două variabile:

f(x,y)=f(a,b)+1

1 px a

xy b

yf a b

p

n p

!( ) ( ) ( , )

( )

=∑ − + −

++Rn, cu

45

Rn=1

1

1

( )!( ) ( ) ( , )

( )

nx a

xy b

yf p q

n

+− + −

+

cu p=a+θ(x-a) ,q=b+θ(x-b) , 0 < θ < 1.

În cazul particular, n=2 obţinem:

f(x,y)=f(a,b)+x a

f a by b

f a bx y

−′ +

−′ +

1 1!( , )

!( , )

[ ]+ − ′′ + − − ′′1

222

2

!( ) ( , ) ( )( ) ( , )x a f a b x a y b f a b

x xy +

[ ]+ − ′′ +1

22

22!

( ) ( , )y b f a b Ry

7. Extremele funcţiilor de mai multe variabileFie o funcţie de n variabile f:D → R , D ⊂ Rn , w =

f(x1,...,xn) şi un punct P(a1,...,an) din D.Definiţie. Punctul P este un punct de minim, respectiv punct de maxim pentru

funcţia f dacă există o vecinătate V a punctului P,astfel încât pentru orice punct (x1,...,xn) dinV∩D,să avem:

f(x1,x2,...,xn) ≥ f(a1,a2,...,an) ,respectiv

f(x1,x2,...,xn) ≤ f(a1,a2,...,an).a) Extreme pentru funcţii de două variabileFie funcţia f:D → R ,D ⊂ R2 cu z=f(x,y) şi P(a,b)∈D. Dacă vom pune x=a+∆x,

y=b+∆y, atunci:f(x.y) - f(a,b) = f(a+∆x,b+∆y) - f(a,b) = ∆f.Punctul P(a.b) este un punct de minim (respectiv maxim) pentru funcţia f dacă

pentru orice creştere suficient de mică a variabilelor independente ,avem :f 0 (respectivf 0)

Teoremă. Dacă f:D R , D R2 cu z=f(x,y) o funcţie derivabilă parţial de trei oripe D cu derivate parţiale continue pe D. Fie P(a,b) din D,ale cărei coordonate verificăsistemul:

fx' = 0 , fy' = 0.Atunci:Dacă detHf(P) 0 ,punctul P este un punct de extrem pentru funcţia f:- minim dacă ′′f P

x2 ( ) 0 (sau ′′f Py2 ( ) 0) şi

- maxim dacă ′′f Px2 ( ) 0 (sau ′′f P

y2 ( ) 0).

Dacă detHf(P) 0,punctul P nu este un punct de extrem pentru funcţia f.Definiţie. Un punct P(a,b) pentru care fx'(a,b)=0 şi fy'(a,b)=0 (sau df(a,b)=0), se

numeşte punct staţionar.Punctele staţionare care nu sunt puncte de extrem,se numesc puncte şa.Observaţie.Dacă detHf(P)=0,nu ne putem pronunţa dacă funcţia f are în punct P un punct de

extrem sau nu.În acest caz se studiază direct,într-o vecinătate a punctului P(a,b),semnulcreşterii totale ∆f a funcţiei f.

Din punct de vedere economic, derivata este utilizată pentru a determina valoareavariabilei de decizie care acordă cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcţieiconsiderate.

Aşa cum am arătat din punct de vedere matematic, se consideră o funcţie caredepinde de variabila de decizie, se anulează prima derivată determinând astfel, valoareavariabilei de decizie în funcţie de ceilalţi parametri. Cea de-a doua derivată se calculeazăpentru a determina dacă valoarea astfel găsită (optimul) este de maxim sau minim. Dacă cea

46

de-a doua derivată este nulă, punctul astfel determinat se numeşte punct de inflexiune (saupunct şa dacă funcţia depinde de două variabile).

b) Extreme pentru funcţii de p variabile.Teoremă. Fie f:D R,D ⊂ Rp cu w=f(x1,...,xp ) o funcţie de p variabile,derivabilă

parţial de trei ori pe D. Fie punctul P(a1,...,ap )ale cărui coordonate sunt o soluţie asistemului:

;0,...,0,021

=′=′=′pxxx fff

notăm Aij =ji xx

Pf

..

)(.2

(P punct staţionar al funcţiei f).Dacă:

1) toate numerele:

1=A11, 2 =2221

1211

AA

AA, ... , p =

A A A

A A A

p

p p pp

11 12 1

1 2

...

... ... ... ...

...

sunt pozitive,atunci funcţia f are în punctul P un minim;2)toate numerelek* = (-1)k.k , k=1,2,...,p

sunt pozitive,atunci funcţia f are în punctul P un maxim.c) Extreme condiţionate (legate).Problema cere să se determine valorile extreme ale unei funcţii de mai multe variabile

când variabilele nu sunt independente,fiind legate între ele prin condiţii suplimentare.Fie f:D → R, D ⊂ Rn cu y=f(x1,..., xn) o funcţie reală de n variabile reale şi un sistem

de p,(p<n) ecuaţii independente:(1) Fi(x1,..., xn) = 0 , i=1,2,...,p

unde Fi:D → R ,D ⊂ Rn ,i=1,...,p .Fie A mulţimea soluţiilor sistemului (1).Extremele funcţiei f când punctul (x1,..., xn) parcurge numai mulţimea A se numesc

extremele funcţiei f condiţionate de sistemul (1) sau extremele funcţiei f supuse la legăturile(1).

Punctele staţionare P ale funcţiei f când P∈A,se numesc puncte staţionare legate saupuncte staţionare condiţionate ale funcţiei f.

Pentru determinarea punctelor în care funcţia f cu legăturile (1) poate avea un extrem(condiţionat),prezentăm următorul algoritm:

1. Se formează funcţia ajutătoare:

Φ(x1,...,xn;λ1,...,λp) = f(x1,...,xn) + . ( , ..., )i ii

p

nF x x=∑

11

cu parametrii λi ,i=1,...,p care se numesc multiplicatorii lui Lagrange.2. Se rezolvă sistemul de n+p ecuaţii cu n+p necunoscute x1,...,xn;λ1,...,λp ,format

din:′ = =Φ x j

j n0 1, ,..., ; Fi(x1,...,xn)=0 ,i=1,...,p.

3. Dacă (a1,...,an;µ1,...,µp) este o soluţie a acestui sistem, punctul P(a1,...,an) este unpunct staţionar condiţionat al funcţiei f. Se determină diferenţiala de ordinul doi a funcţiei Φ:

(2) d2Φ(P) = ....

)(.

1 1

2

∑∑= =

Φn

i

n

j ji xx

P

4. Din sistemul:

(3) .0.

....

.

.

.

.2

21

1

=+++ nn

iii dxx

Fdx

x

Fdx

x

F

,i=1,2,..,p obţinut diferenţiind sistemul

legăturilor (1),se determină de exemplu: dx1,dx2,...,dxp în funcţie de dxp+1,...,dxn şi seînlocuiesc în (2) obţinând o formă pătratică în n-p argumente dyk , k=1,2,..,n-p :

47

d A dy dy y x k n pijj

n p

i

n p

i j k p k2

11

1 2Φ = = = −=

−

=

−

+∑∑ , , , , .. . Dacă :

1) toate numerele:

∆1=A11, ∆2=A A

A A11 12

21 22

, ... , ∆s =

A A

A A

s

s ss

11 1

1

...

... ... ...

...cu s=n-p,sunt pozitive,atunci punctul P este un punct de minim condiţionat;

2) toate numerele:∆k* = (-1)k∆k , k=1,2,...,n-p

sunt pozitive,atunci punctul P este un punct de maxim condiţionat.Ex. 1. Maximizarea cifrei de afaceri

Să presupunem că pentru o firmă s-a identificat funcţia de producţieLK

KLY

+= ,

unde: K reprezintă capitalul fix al firmei; L – este volumul forţei de muncă; 1,0= ;

2,0=Ştiind că firma dispune de un buget B pentru acoperirea costurilor cu factorii se cere

determinarea nivelului optim de folosire a factorilor, L*, K* şi nivelul optim de producţie Y*.Se cunoaşte salariul nominal lunar mediu S şi un cost mediu anual al capitalului C (procentedin K).

Modelul matematic de fundamentare a deciziei optime la producător este oproblemă de maximizare cu restricţii:

( )

=+=

BcKsL

LKFY ,max

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange.Fie ( ) ( )cKsLBLKF −−+= ,Condiţiile de extrem (optim) sunt:

=+==

⇔

=+==

⇔

=∂∂

=∂∂

=∂∂

BcKsL

c

s

BcKsL

c

s

K

L

K

L

0

0

0

0

0

S-a obţinut un sistem în necunoscutele L, K şi λ. Din primele două ecuaţii se observă

că randamentele marginale sunt proporţionale cu costurile factorilor:c

s

K

L =

Cum2

2

2

+

=

L

KL

KL ;

22

2

+

=

L

KL

LK ;

Unde: L - salariul nominal real şi K - costul unitar real;

obţinemc

sLK

c

s

L

K

c

s

K

L

=⇔=⇔=

48

Înlocuind în ecuaţia bugetului se obţine:

−=

−+

=

⇒=+

fixicapitalulualoptimvolumulc

sLK

muncadeforteialoptimvolumulc

s

cs

BL

Bc

scLsL

**

* ,

iar multiplicatorul lui Lagrange

( ) c

skunde

kcc K αβ=

β+αβ=η=λ *

2*

** 11

Se obţine ( )2*

cs

+

= şi folosind algoritmul se observă că extremul

obţinut este punct de maxim.Dacă firma dispune de capital lichid B (mild. lei) pentru acoperirea cheltuielilor cu

factorii K şi L în anul următor decizia optimă este:- să achiziţioneze utilaje şi alte active fixe în valoare de K* mild. lei;- să angajeze L* angajaţi (nr. persoane).În aceste condiţii, producţia obţinută va fi Y*.

Ex. 2. Minimizarea costurilor

Dacă într-o firmă funcţia de producţie esteLK

KLY

+= , se pune problema

realizării unei producţii date Y=Y0 cu cheltuieli minime.Soluţie:Modelul matematic este:

( )

=+=

0,

min

YLKF

cKsLB

Lagrangeanul este ( )[ ]LKFYcKsL ,0 −++= în condiţiile de optim

( )

==−

=−

⇔

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0

'

'

,

0

0

0

0

0

YLKF

Fc

Fs

K

L

K

L

Se obţinec

s

K

L =

şic

sLK= şi înlocuind în a treia ecuaţie:

=

=

+=

⇒=

+

K

cc

sLK

Yc

sL

Y

c

sL

c

sL

*

**

0*

0

2

49

Apoi se verifică, conform algoritmului, că rezultatele corespund unui minim.Costurile minime sunt B*=sL*+cK*.

d) Aplicaţie. Metoda celor mai mici pătrate.Aceasta este o metodă care se foloseşte pentru aproximarea unor funcţii, în cazul în

care valorile funcţiilor reprezintă rezultatele unor experienţe şi deci pot fi afectate de erori.Presupunem cunoscute valorile yi = f(xi) , i=1,...,n ale unei funcţii f în punctele

distincte x1,...,xn şi fiey = Pm(x) = a0 + a1x + ... + amxm

un polinom de grad m ≤ n ,funcţia cu care vrem să aproximăm funcţia f. Coeficienţii ai ,i=0,1,...,m se vor determina din condiţia ca funcţia :

Φ(a0,...,am) = [ ]f x a a x a xi i m im

i

n

( ) ( ... )− + + +=∑ 0 1

1

2

să fie minimă.Din condiţiile:

′Φai= 0, i = 0,1, ... , m obţinem următorul sistem:

na0+a1 x a x a x f xii

n

ii

n

m im

i

n

ii

n

= = = =∑ ∑ ∑ ∑+ + + =

12

2

1 1 1

... ( ),

),(...1 1

1

1

2

110 ∑ ∑∑∑

= =

+

==

=+++n

i

n

iii

mim

n

ii

n

ii xfxxaxaxa

.......................................................................

).(...11

2

1

11

10 i

n

i

mi

n

i

mim

n

i

mi

n

i

mi xfxxaxaxa ∑∑∑∑

===

+

=

=+++

În ipoteza x1,..., xn puncte distincte, sistemul are soluţie unică.Observaţie.Pentru aproximarea unei funcţii tabelate se mai poate utiliza şi ajustarea

grafică.Cunoscând punctele Mi(xi,f(xi), i=1,...,n de pe graficul funcţiei tabelate, ajustareagrafică constă în a trasa prin şi printre aceste puncte o curbă cât mai simplă,astfel încâtabaterile pozitive şi negative să se compenseze.

II. SERII DE NUMERE. SERII DE FUNCŢII

1. Serii de numere cu termeni oarecarePână acum ştim ce înseamnă o sumă cu un număr finit de termeni, oricât de mare ar fi

acesta.Nu ştim ce însemnează o sumă cu un număr finit de termeni.Convenim să numim serie de numere, o expresie de forma: u1 + u2 + ... + un + ... ,

semnul plus,deocamdată nu are semnificaţia de adunare. Prescurtat,o serie o vom scrie:

u sau u sau u sau unn

nn N

n nn=

∞

∈∑ ∑ ∑∑

1

, , ,

Numerele: u1,u2,...,un,... se numesc termenii seriei; un se numeşte termenul general alseriei.

Dată seria de numere un∑ ,îi putem asocia totdeuna şirul (Sn) numit şirul sumelorparţiale,definit de:

Sn = u1 + ... un , n=1,2,.....după cum şi invers,dat şirul (Sn) al sumelor parţiale,putem întotdeuna forma o serie de numere

un∑ ale cărei sume parţiale să fie termenii şirului (Sn),luând: un = Sn - Sn-1 ,oricare ar fi n.

Definiţie. Vom spune că seria de numere cu termenul general un,este convergentădacă şirul (Sn) al sumelor parţiale este convergent.

Dacă notăm cu S limita şirului sumelor parţiale,vom spune că S este suma seriei şivom scrie:

50

S u Deci S u u Snn

nn n

knk

n

n= ⇒ = = ==

∞

=

∞

→∞ →∞=∑ ∑ ∑

1 1 1

. lim lim .

Dacă şirul (Sn) al sumelor parţiale nu are limită sau dacă limita este + ∞ − ∞sau ,vomspune că seria cu termenul general un este divergentă .

Definiţie. Se numeşte restul de ordin n al seriei (un) şi senotează cu Rn,suma seriei următoare (dacă există):

Rn = un+1 + un+2 + ... + un+p + ...obţinută din seria dată prin înlăturarea primilor n termeni.

Dacă seria iniţială este convergentă, atunci şi seria Rn este convergentă.Teoremă. Dacă seriile u si vn n∑ ∑ sunt convergente cu suma S şi T,atunci:

1) Seria ( )u vn n∑ + este convergentă cu suma S+T şi

;)( TSvuvu nnnn +=+=+ ∑ ∑∑2) Seria k un.∑ este convergentă,oricare ar fi k din R,şi are suma k.S; în plus:

.... Skukuk nn == ∑∑Criteriul general al lui Cauchy.O serie cu termenul general un este convergentă ,dacă şi numai dacă,pentru orice

număr 0,există un număr N() , astfel încât oricare ar fi n N() şi oricare ar fi p 1,săavem:

un+1 + un+2 + .... + un+p .Observaţie.În cazul particular p=1,din criteriul lui Cauchy,se deduce o condiţie necesară de

convergenţa unei serii: pentru ca seria cu termenul general un să fie convergentă,este necesarca şirul (un) format cu termenul general al seriei să fie convergent către zero.

Criteriul lui Abel. Fie seria .∑ nnua Dacă:

1. şirul (Sn) al sumelor parţiale ale seriei ∑ nu este mărginit;2. dacă (an) este un şir monoton descrescător de numere pozitive convergent către

zero,

atunci seria nnua∑ este o serie convergentă.Definiţie. Se numeşte serie alternată,o serie pentru care

produsul a oricăror doi termeni consecutivi,este mai mic decât zero.Deci,o serie alternată,are forma: .)1( 1∑ +− n

n a (*)

Criteriul lui Leibniz.O serie alternată (*) este convergentă dacă şirul (an) cu termeni pozitivi este monoton

descrescător,convergent către zero.

Definiţie. Seria un∑ este absolut convergentă dacă seria modulelor un∑ este

convergentă.Definiţie. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte

semiconvergentă.

2.Serii cu termeni pozitivi.O serie de numere ∑ nu ,se numeşte serie cu termeni pozitivi,dacă cu excepţia unui

număr finit de termeni,toţi termenii sunt pozitivi.Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi:a) Criteriul monotoniei. Dacă şirul (Sn) al sumelor parţiale ale unei serii cu termeni

pozitivi, un∑ este mărginit,seria este convergentă,iar dacă este nemărginit, seria este

divergentă.

51

b) Primul criteriu al comparaţiei. Fie u si vn n∑ ∑ două serii cu termenipozitivi.Dacă există un număr N astfel încât pentru orice n > N să avem: un ≤ vn ,atunci:

1.dacă vn∑ convergentă, ⇒ un∑ convergentă;

2.dacă un∑ divergentă ⇒ vn∑ divergentă.

c) Al doilea criteriu al comparaţiei. Fie u si vn n∑∑ două serii cu termenipozitivi.Dacă începând de la un număr N, avem:

u

u

v

vn N sau

u

v

u

vn Nn

n

n

n

n

n

n

n

+ + +

+

≤ ≥ ≤ ≥1 1 1

1

, , ,

atunci:

1.dacă seria vn∑ convergentă ⇒ un∑ convergentă;

2.dacă seria un∑ divergentă ⇒ vn∑ divergentă.Forma practică a criteriului:Se calculează

limn

n

n

u

v→∞

şi dacă această limită există şi este finită,diferită de zero,atunci ambele serii au aceeaşi natură.d)Criteriul rădăcinii (sau al lui Cauchy).Fie un∑ o serie cu termeni

pozitivi.Atunci:

1.Dacă există un număr N astfel încât,pentru orice n ≤ N să avem u knn ≤ < 1 ,seria

este convergentă;2.Dacă avem kun

n ≥ > 1,pentru orice n,seria dată este divergentă.Forma practică a criteriului:Se calculează:

lim ,n

nn u k

→∞= (dacă există).

Dacă k < 1,seria este convergentă şi dacă k > 1 seria este divergentă; pentru k=1,criteriul nu se aplică.

e)Criteriul raportului (sau al lui d'Alembert). Fie un∑ o serie cu termeni

pozitivi.Dacă există un număr N astfel încât pentru orice n ≥ N ,să avem:

1.u

ukn

n

+ ≤1 < 1 ,atunci seria este convergentă;

2.u

ukn

n

+ ≥1 > 1 ,atunci seria este divergentă.

Forma practică a criteriului:Se calculează:

lim ,n

n

n

u

uk

→∞

+ =1 (dacă există).

Dacă k < 1 ,seria este convergentă şi dacă k > 1 ,seria este divergenetă; pentru k=1,criteriul nu se aplică.

f)Criteriul lui Raabe şi Duhamel. Fie un∑ o serie cu termeni pozitivi.Dacă există unnumăr natural N astfel încât pentru orice n ≥ N ,să avem :

1. ku

un

n

n ≥−+

)1(1

> 1 ,atunci seria este convergentă;

52

2. nu

ukn

n

( )+

− ≤1

1 < 1 ,atunci seria este divergentă.

Forma practică a criteriului:Se calculează:

lim ( ) ,n

n

n

nu

uk

→∞ +

− =1

1 (dacă există).

Dacă k > 1 ,seria este convergentă;dacă k < 1 ,seria este divergentă; pentruk=1,criteriul nu se aplică.

g) Criteriul logaritmic. Fie un∑ o serie cu termeni pozitivi.Dacă există un numărnatural N,astfel încât:

1.1 1

log.log

n uk

n

≥ > 1 ,∀n ≥ N,seria este convergentă;

2.1 1

log.log

n uk

n

≤ < 1 ,∀n≥N,seria este divergentă.

Forma practică a criteriului:Se calculează:

limlog

.log ,n

nn uk

→∞=

1 1(dacă există).

Dacă k > 1 ,seria este convergentă; dacă k < 1 ,seria este divergentă; pentru k=1,criteriul nu se aplică.

3. Şiruri de funcţii.Serii de funcţiia) Şiruri de funcţii.Convergenţă.Un şir de funcţii,notat cu (fn)n∈N este o familie de funcţii

fn:D → R , D ⊂ R. Dacă a este din D,atunci (fn(a)) formează un şir de numere,aşa încât,un şirde funcţii (fn) este echivalent cu o familie de şiruri de numere (fn(x)), fiecare şir de numerefiind obţinut pentru fiecare punct x din D.

Definiţie. Un punct a din D este un punct de convergenţă al şirului de funcţii(fn),dacă şirul de numere (fn(a)) este convergent.Mulţimea punctelor de convergenţă aleşirului de funcţii (fn) se numeşte mulţimea de convergenţă a şirului (fn).

Fie B mulţimea de convergenţă a şirului (fn) şif x f x

nn( ) lim ( ),=

→∞pentru fiecare x din B.

Funcţia f(x) definită pe B ,se numeşte funcţia limită pe mulţimea B a şirului defuncţii (fn).

Fie (fn) un şir de funcţii definite pe D ⊂ R.Definiţie. Şirul de funcţii (fn) este simplu convergent pe D către f dacă,oricare ar fi x

din D ,pentru orice ε > 0,există un număr N(ε,x), astfel încât să avem:| fn(x)-f(x) | < ε ,

pentru orice n > N(ε,x) .Definiţie. Şirul de funcţii (fn) este uniform convergent pe D către funcţia f

dacă,pentru orice 0 există un număr N() astfel încât pentru orice n N() şi oricare ar fix din D,

| fn(x) - f(x)| .Criteriu de convergenţă uniformă. Şirul de funcţii (fn) este uniform convergent către

f,dacă există un şir (an) de numere pozitive convergent către zero,astfel încât pentru orice ndin N şi orice x din D ,să avem:

| fn(x) - f(x) | ≤ an.b) Serii de funcţii.Mulţimea de convergenţăDefiniţie.Fie funcţiile fi:D R ,D ⊂ R ,i=1,2,....,n,...

53

O serie de forma f xn ( )∑ ,se numeşte serie de funcţii (se mai notează şi cu fn∑ ).

Dacă a din D fixat,atunci obţinem o serie de numere f an∑ ( ) ,care poate fi

convergentă sau divergentă; a este punct de convergenţă al seriei dacă seria definită de fn esteconvergentă în a din D (şirul de numere (Sn(a)) al sumelor parţiale este convergent)

Definiţie. Seria de funcţii fn∑ este convergentă într-un punct a din D,dacă şi

numai dacă,seria de numere f an ( )∑ este convergentă.

Seria de funcţii fn∑ este absolut convergentă în punctul a din D,dacă seria de

numere f an ( )∑ este absolut convergentă.

Definiţie.Mulţimea punctelor x din B ⊂ D pentru care seria fn∑ este convergentă,

se numeşte mulţimea de convergenţă a seriei fn∑ .

Definiţie.Seria de funcţii fn∑ este simplu (sau punctual) convergentă pe B cătrefuncţia f,dacă şirul sumelor parţiale (Sn) este simplu convergent către f,pentru orice x dinB.Seria de funcţii fn∑ este uniform convergentă pe B către f,dacă şirul de funcţii (Sn) este

uniform convergent pe B către f,iar funcţia f se numeşte suma seriei fn∑ pe B.

Criteriu de convergenţă uniformă. Fie fn∑ o serie de funcţii definite pe mulţimea

D şi an∑ o serie de numere pozitive,convergentă.Dacă pentru orice n > N şi orice x dinD,avem:

| fn(x) | < an ,

atunci seria de funcţii fn∑ este uniform convergentă pe D.c) Serii de puteri. Raza de convergenţăNumim serie de puteri, o serie de funcţii de forma a xn

n∑ sau a x ann∑ −( ) cu x

din R, a constant şi ai , i=1,...,n,.... numere reale.Rezultatele privind seriile de funcţii rămân adevărate şi pentru seriile de puteri.Legat

de mulţimea de convergenţă,avem:Teorema lui Abel.Pentru orice serie de puteri a xn

n∑ există un număr R 0

,astfel încât:1. seria este absolut convergentă pe (-R,R);2. pentru orice x , | x | > R ,seria este divergentă.Pentru orice număr r, 0 < r < R seria este uniform convergentă pe intervalul [-r,r] .Numărul R care îndeplineşte condiţiile 1) şi 2),se numeşte rază de convergenţă a

seriei de puteri,iar intervalul(-R,R) se numeşte interval de convergenţă.

Observaţii.1.Teorema lui Abel nu precizează cum se comportă seria de puteri în punctele -R şi

R. În unul sau în amândouă din aceste puncte,seria poate fi convergentă,divergentă sauoscilantă.

2.Dacă într-unul din punctele -R sau R seria este absolut convergentă,atunci seriaeste absolut convergentă şi în celălalt punct.

Raza de convergenţă este dată de teorema:Teoremă.Fie a xn

n∑ o serie de puteri.Dacă:

lim ,n

n

n

a

ak

→∞

+ =1 sau limn

nn a k

→∞= ,

atunci

54

R

k k finit

k

k

=⟩

= ∞∞ =

1 0

0

0

/ , ;

,

,Observaţie.Pentru seria de puteri de forma a x an

n∑ −( ) ,cu substituţia y=x-a,obţinem seria de

puteri a ynn∑ şi este convergentă pentru orice x din (a-R,a+R) şi divergentă în afara acestui

interval (mai puţin capatele în care trebuie cercetat).d) Seria Taylor. Seria Mac-LaurinDacă în formula lui Taylor sau Mac-Laurin pentru funcţia f,şirul (Rn(x)) este

convergent către zero,atunci vom obţine seria Taylor a funcţiei f în punctul a,care esteconvergentă pentru orice x ∈ B ⊂ D şi

f(x) = f(a) +( )

!( ).( )x a

if a

i

i

i−=

∞

∑1

( f are derivate de orice ordin în x=a).Dacă a=0,obţinem formula de dezvoltare a funcţiei f în serie Mac-Laurin în jurul

punctului 0.

ECUAŢII DIFERENŢIALE

1. Noţiuni introductiveO ecuaţie diferenţială este o ecuaţie a cărei necunoscută este o funcţie de una sau mai

multe variabile şi în care intervin atât funcţia necunoscută cât şi derivatele sale până la unanumit ordin. Ordinul maxim al acestor derivate se numeşte ordinul ecuaţiei. Dacă funcţianecunoscută este funcţie de mai multe variabile atunci ecuaţia se numeşte cu derivate parţiale.Dacă funcţia necunoscută depinde de un singur argument, atunci ecuaţia diferenţialărespectivă se numeşte ordinară. În economie aceste ecuaţii au un rol deosebit, reprezentândpractic baza pentru teoriile de creştere economică. Prezentăm în continuare câteva tipurireprezentative de ecuaţii diferenţiale, metode elementare de integrare, precum şi modele dinliteratura de specialitate.

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul unu este( ) 0,, / =xxtF

unde t este argumentul funcţiei necunoscute x = x(t), )()(/ tdt

dxtx = este derivata sa, iar F

este o funcţie reală definită pe un anumit domeniu al spaţiului R3.Prima ecuaţie diferenţială rezolvată odată cu apariţia calculului integral a fost

Ittfx ∈= ),(/

unde f este o funcţie continuă. Soluţia sa este dată de formula

Itdssfxtxt

t

∈+= ∫ ,)()(0

0

2. Metode elementare de integrare a ecuaţiilor diferenţiale1. Ecuaţii cu variabile separabile. Se numesc astfel ecuaţiile diferenţiale de forma

Itxgtfx ∈= ),()(/

unde f este o funcţie continuă pe I iar g este continuă şi nenulă pe un interval de forma [x1,x2].Ecuaţia mai poate fi scrisă sub forma

dttfxg

dx)(

)(=

şi integrând de la t0 la t unde t0 este un punct arbitrar din I

55

∫∫ ∈=t

t

tx

x

Itdssfg

d

00

,)()(

)(

Notând ∫=x

x g

dxG

0)(

)(

, [ ]21 , xxx ∈ găsim expresia soluţiei

ItdssfGtxt

t

∈

= ∫− ,)()(

0

1

Ex. Să se integreze ecuaţiaItxtx ∈+= ),1(2 2/ .

Soluţie. Cu notaţiile de mai sus avem f,g:R→R, f(t)=2t, g(x)=1+x²>0. Orice soluţie x=x(t) aacestei ecuaţii verifică relaţia

∫∫ ∈=+

t

t

tx

x

Rxtsdsd

00

00

)(

2,,2

1

sau

Ctarctgx += 2

sau .),( 2 RCCttgx ∈+=2. Ecuaţia omogenă este o ecuaţie de forma:

=

t

xhx /

unde h este o funcţie continuă pe un interval [h1,h2]. Presupunând h(r) ≠ r pentru r ∈ [h1,h2] şiefectuând substituţia x = tu ecuaţia se reduce la una cu variabile separabile

uuhtu −= )(/

Diverse ecuaţii chiar dacă nu au această formă se pot reduce prin substituţii simple la ecuaţiidiferenţiale cu variabile separabile sau omogene.Ex. Să se integreze ecuaţia

Ittxtxtxtx ∈++=− ),/)ln(()(/

Soluţie. Ecuaţia este echivalentă cuIttxtxtxx ∈+++= ),/1ln()/1(// .

Cu substituţia tux = aceasta devine

)1ln()1)(/1(/ uutu ++=Rezolvând această ecuaţie şi revenind la substituţie găsim soluţiile

.),1( RCetx Ct ∈−=3. Ecuaţii diferenţiale liniare.

Fie ecuaţia:)()(/ tbxtax +=

unde a şi b sunt funcţii continue pe intervalul [t1,t2]. Pentru rezolvarea ecuaţiei o înmulţim cu

exp

− ∫

t

t

dssa0

)( (unde t0 este un punct oarecare din [t1,t2]) şi se obţine

−=

− ∫∫

t

t

t

t

dssatbtxdssadt

d

00

)(exp)()()(exp /

Deci, soluţia x este

56

−+

= ∫∫∫ dsdasbxdssatx

t

t

t

t

t

t 000

)(exp)()(exp)( 0

unde x0 este un număr real arbitrar.Ex. Fie ecuaţia

2

22/ ttetxx −=+Soluţie

∫ ∈∫∫= −−Rtdteteetx

tdtttdt,2)(

22

Sau2

)( 2 tetCx −+= .4. Ecuaţia de tip Bernoulli este o ecuaţie de forma

xtbxtax )()(/ +=unde 1,0\R∈ . Folosind substituţia −= 1xy această ecuaţie poate fi redusă la o ecuaţieliniară.

Ex.035/ =++ textxtx

Soluţie. Este o ecuaţie Bernoulli cu α=3. Schimbarea y=x⁻² ne conduce la ecuaţiatetyty 5/ 22 +=

care are soluţiile.,),442( 22 RtRCeteetCty ttt ∈∈+−+=

Revenind, găsim funcţiile

RCeteetCt

xttt

∈+−+

±= ,442

12

sunt soluţii pentru ecuaţia iniţială. În plus mai avem soluţia .,0)( Rttx ∈=4. Ecuaţii cu diferenţiale totale

Fie ecuaţia:

),(

),(/

xth

xtgx =

unde g şi h sunt funcţii continue în mulţimea deschisă 2R⊂Ω . Presupunând că h ≠ 0 în Ωşi că expresia hdx – gdt este o diferenţială totală pe mulţimea Ω (există o funcţie diferenţială

)(1 Ω∈ CF astfel încât Ω∈−=∂∂=

∂∂

),(),,(),,(),( xtxtgt

Fxthxt

x

Fecuaţia dată devine

( ) 0)(, =txtdFDeci, orice soluţie x a ecuaţiei considerate verifică egalitatea

( ) CtxtF =)(, , C constantă arbitrară.5. Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati

Forma generală a acestor ecuaţii este:Ittcxtbxtax ∈++= ),()()( 2/

unde a, b, c sunt funcţii continue pe intervalul I. Această ecuaţie nu este în general integrabilă,dar dacă se cunoaşte o soluţie particulară )(t , atunci prin substituţia −= xy se reduce lao ecuaţie de tip Bernoulli în y.

Ex. Să se integreze ecuaţia

.02

32

2/ =++t

xx

57

Soluţie. Este o ecuaţie Riccati care se poate integra cu substituţia zt

x1= . Cu această

substituţie se obţine ecuaţia cu variabile separabile

233 2/ −+−= zztz .Integrând-o pe aceasta şi revenind la substituţie se obţin soluţiile

.1

;113/2 t

xtCtt

x =+

+=

6. Ecuaţii de tip Lagrange se numesc ecuaţiile de tipul)()( // xxtx +=

unde φ şi ψ sunt două funcţii continuu diferenţiabile pe un anumit interval din R, iarppp ∀≠)( . Presupunând că x este o soluţie a acestei ecuaţii rezultă prin derivare

2

2//////////// ,)()()(

dt

xdundexxxxxtxx =++=

Cu notaţia /xp = se obţine:

)(

)(

)(

)( //

pp

pt

pp

p

dp

dt

−+

−=

care poate fi interpretată ca o ecuaţie diferenţială liniară cu necunoscuta t, funcţie deargumentul p, cu soluţia

t = A(p, c)unde c este o constantă arbitrară. Soluţia ecuaţiei de tip Lagrange va fi

)()(),( ppcpAx +=)(),( 1211 ccctcx =+= .

Aplicaţie. Model matematic al creşterii populaţieiDacă p(t) este populaţia unei anumite specii la momentul t, iar d(t,p) este diferenţa dintre

rata natalităţii şi cea a mortalităţii, atunci în ipoteza că populaţia este izolată (nu au locemigrări sau imigrări), viteza de creştere a populaţiei )(/ tp va fi egală cu d(t,p). Un modelsimplificat de creştere a populaţiei presupune că d(t,p) este proporţional cu p. Cu alte cuvinte,p va verifica ecuaţia diferenţială

,/ pp = = constantSoluţia acestei ecuaţii este

)(0

0)( tteptp −=

ceea ce conduce la legea malthusiană a creşterii populaţiei (ecuaţia lui Malthus presupune cănivelul p al populaţiei tinde la infinit pe măsura trecerii timpului, ceea ce contrazicerealitatea). Un model mai realist a fost propus de biologul danez Verhulst în 1837. În modelul

său, Verhulst a propus ca 2),( ppptd −= unde β este o constantă pozitivă foarte mică înraport cu α. Acest model neliniar de creştere a populaţiei, care ia în considerare interacţiuniledintre indivizii speciei şi mai ales efectul inhibator al aglomerării, conduce la ecuaţia:

2/ ppp −=Interesant este că aceeaşi ecuaţie guvernează şi procesul de răspândire a inovaţiilortehnologice. Această ecuaţie se rezolvă ca o ecuaţie cu variabile separabile, obţinând soluţia:

( ) ( )( )( ) 1000 exp)( −−−−+= ttppptp

unde (t0,p0) reprezintă condiţiile iniţiale.BIBLIOGRAFIE1. Allen R.G.D. - Mathematical Economics, St. Martin's Press, 1967;2. Baumol W. - Economics Theory and Operations Analysis, Prentice Hall, New Jersey,

1990;3. Cenuşe Ghe. şi colectiv- Matematici pentru economişti, Editura CISON, Bucureşti, 2000;

58

4. Craiu I. Mihoc Gh. Craiu V- Matematici pentru economişti, vol. III, Editura TehnicăBucureşti, 1971

5. Duda I. Trandafir R. - Analiză matematică - culegere de probleme Ed. Fundaţiei Româniade Mâine, 1997

6. Duda I. – Analiză matematică partea I, Ed. Fundaţiei România de Mâine, 1999.7. Muja A., Diatcu E.- Matematica pentru economişti, Edutura Victor, Bucureşti, 19998. Oprescu Gh. - Matematici pentru economişti, Editura Fundaţiei, România de Mâine,

Bucureşti, 19969. Popescu O. şi colab. - Matematici aplicate în economie, vol. I şi II Editura Didactică şi

Pedagogică Bucureşti 199310. Purcaru Ion - Matematici financiare, vol. I şi II, Editura Economică, Bucureşti, 199311. Rădescu N., Rădescu E.- Elemente de algebră şi analiză matematică, Editura Radical,

Craiova 1998;12. Trandafir R., Duda I., Baciu A., Ioan R.- Matematici pentru economişti, Vol I, II,

Editura Fundaţiei, România de Mâine, Bucureşti, 2001