Probleme Rezolvate de Mecanica

Teodor HUIDU Cornel MARIN

PROBLEME

REZOLVATE

DE MECANIC

Recenzia tiinific:

Prof. dr. ing. Nicolae Enescu

Prof. dr. ing. Ion ROCA

PROBLEME REZOLVATE DE MECANIC

2

Descrierea CIP a Bibliotecii nationale a Romniei

HUIDU, TEODOR

Probleme rezolvate de mecanic / Teodor Huidu,

Cornel Marin. - Trgovite : Editura Macarie, 2001

260p; 25cm - (Universitaria)

Bibliogr.

ISBN 973 - 8135 - 60 - 5

I. Marin, Cornel

531(076)

Consilier editorial: Mihai VLAD

Tehnoredactare computerizat: Cornel MARIN

2001 - Toate drepturile sunt rezervate autorilor


3

CUPRINS PREFA CAPITOLUL I STATICA PUNCTULUI MATERIAL Elemnte de baz din teoria vectorilor. Rezumat 1.1. Statica punctului material. Probleme din teoria vectorilor. 1.2. Reducerea unui sistem de fore concurente coplanare. Probleme rezolvate 1.3. Reducerea unui sistem de fore concurente spaiale. Probleme rezolvate Echilibrul punctului material liber i supus la legturi. Axioma legturilor Rezumat 1.4 Echilibrul punctului material liber. Probleme rezolvate 1.5 Echilibrul punctului material supus la legturi ideale i reale. Probleme rezolvate Probleme propuse CAPITOLUL II REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE Reducerea istemelor de fore aplicate solidului rigid. Rezumat 2.1. Reducerea sistemelor coplanare de fore i cupluri. Probleme rezolvate 2.2. Reducerea sistemelor de fore paralele. Probleme rezolvate . 2.3. Reducerea sistemelor spaiale de fore i cupluri. Probleme rezolvate CAPITOLUL III CENTRE DE MAS SI CENTRE DE GREUTATE Centre de mas i centre de greutate. Rezumat 3.1 Centrul de mas pentru bare omogene. Probleme rezolvate. 3.2 Centrul de mas pentru plci omogene. Probleme rezolvate. 3.3 Centrul de mas pentru corpuri omogene. Probleme rezolvate.

CAPITOLUL IV ECHILIBRUL FORELOR APLICATE SOLIDULUI RIGID Teoremele echilibrului forelor aplicate solidului rigid. Rezumat 4.1. Echilibrul solidului rigid liber sub aciunea unui sistem spaial de fore. 4.2. Echilibrul solidului rigid de tip plac sau bar supus la legturi sub aciunea unui sistem coplanar de fore. CAPITOLUL V ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI Teoremele echilibrului forelor aplicate sistemelor de corpuri. Rezumat 5.1. Echilibrul sistemelor plane de corpuri de tip bar. Probleme rezolvate 5.2. Echilibrul sistemelor plane de corpuri cu frne de tip sabot, tampon sau band. Probleme rezolvate CAPITOLUL VI GRINZI CU ZBRELE Echilibrului forelor aplicate grinzilor cu zbrele. Rezumat


4

Grinzi cu zbrele. Probleme rezolvate . CAPITOLUL VII ECHILIBRUL FIRELOR OMOGENE Echilibrul firelor omogene. Rezumat. Probleme rezolvate de echilibrul firelor omogene

CAPITOLUL VIII CINEMATICA MICRII ABSOLUTE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de cinematica micrii absolute a punctului material

CAPITOLUL IX DINAMICA MICRII ABSOLUTE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de dinamica micrii absolute a punctului material

CAPITOLUL X CINEMATICA RIGIDULUI I A SISTEMELOR DE RIGIDE Probleme rezolvate de cinematica rigidului i a sistemelor de rigide Probleme propuse

CAPITOLUL XI CINEMATICA MICRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de cinematica micrii absolute a punctului material Probleme propuse

CAPITOLUL XII DINAMICA MICRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL Probleme rezolvate de dinamica micrii absolute a punctului material Probleme propuse

CAPITOLUL XIII DINAMICA RIGIDULUI I A SISTEMELOR DE RIGIDE Probleme rezolvate de dinamica rigidului i a sistemelor de rigide Probleme propuse CAPITOLUL XIV MECANIC ANALITIC Principiul lucrului mecanic virtual i principiul lui dAlembert. Probleme rezolvate Ecuaiile lui Lagrange de spea a doua. Probleme rezolvate.


5

PREFA Aceast lucrare este rezultatul experienei autorilor n predarea cursului de Mecanica teoretic, studenilor Facultilor de inginerie din cele dou centre universitare: Universitatea Petrol-Gaze Ploieti i Universitatea Valahia Trgovite.

Lucrarea cuprinde 14 capitole i anume: Statica punctului material, Elemente de baz din teoria vectorilor, Reducerea forelor aplicate solidului rigid, Centre de mas i centre de greutate, Echilibrul forelor aplicate solidului rigid, Echilibrul sistemelor de corpuri, Grinzi cu zbrele i Echilibrul firelor omogene, Cinematica punctului material, Dinamica punctului material, Cinematica micrii relative a punctului material, Dinamica micrii relative punctului material, Cinematica rigidului i a sistemelor de rigide, Dinamica rigidului i a sistemelor de rigide, Elemente de mecanic analitic. Primele apte capitole conin cte un scurt Rezumat de teorie pentru nelegerea problemelor rezolvate i care sunt n acord cu Programa analitic a cursului de Mecanic predat studenilor n anul I i II la facultile tehnice.

S-au prezentat cinci algoritmi de rezolvare a unor probleme de Static cu ajutorul programului Microsoft EXCEL, cu cte un exemplu concret pentru fiecare caz .

Unele aplicaii sunt inspirate din practica inginereasc, altele au fost create de autori de-a lungul anilor, ca subiecte de examen. Acestea au un grad de dificultate mediu, fiind accesibile studenilor din anii I i II de la profilurile mecanic, metalurgic, electric, etc. Forma de prezentare clar pune n eviden experiena n activitatea cu studenii, fiecare capitol fiind bine fundamentat i uor de asimilat.

Aceast culegere este rezultatul colaborrii fructuoase dintre doi autori de formaii diferite: un matematician i un inginer mecanic. Autorii sper c prezentarea sub aceast form a problemelor i a temelor aplicative va fi util att pentru pregtirea examenului de Mecanic (pentru studenii anilor I i II) precum i pentru toi cei interesai n rezolvarea unor aplicaii practice de Mecanic. Autorii doresc s mulumeasc tuturor studenilor i colegilor pentru observaiile, sugestiile, adugirile pe care le-au adus n timp i care au contribuit la apariia lucrrii sub aceast form.

De asemenea mulumim clduros sponsorilor care au contribuit la apariia acestei ediii, i pe care i asigurm att de recunotina noastr ct mai ales de cea a beneficiarilor acestei lucrri. Trgovite Autorii


7

CAPITOLUL I STATICA PUNCTULUI MATERIAL

REZUMAT DE TEORIE a. Mrimi scalare i vectoriale n Mecanica teoretic se opereaz cu mrimi scalare (de exemplu: masa, timpul, lungimea, etc) i cu mrimi vectoriale (de exemplu: fora, momentul unei fore n raport cu un punct, cuplul de fore, viteza, acceleraia, impulsul, momentul cinetic, etc).

Vectorul este o entitate matematic caracterizat prin: punct de aplicaie, direcie (suport), sens (orientare) i mrime (scalar, modul)

n funcie de punctul de aplicaie se deosebesc: vectori liberi care au punctul de aplicaie oriunde n spaiu i sunt

caracterizai de trei parametri scalari independeni (respectiv, proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate);

vectori alunectori -au punctul de aplicaie situat pe o dreapt din spaiu i sunt caracterizai de cinci parametri scalari independeni (respectiv, proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate i coordonatele punctului de intersecie al suportului su cu planul Oxy);

vectori legai - au punctul de aplicaie fix n spaiu i sunt caracterizai de ase parametri scalari independeni (respectiv proieciile vectorului pe cele trei axe i coordonatele punctului de aplicaie).

b. Expresia analitic a unui vector liber i a unui versor Se consider un sistem cartezian de axe Oxyz avnd versorii k,j,i

pentru care se cunosc proieciile ax, ay, az , ale vectorului pe cele trei axe. Expresia analitic a vectorului a este:

kajaiaa zyx ++= . (1) Mrimea vectorului a este prin definiie numrul pozitiv notat cu :

222 zyx aaaaa ++== (2) Cosinuii directori ai unghiurilor vectorului a cu direciile celor 3 axe sunt:

aa)k,acos(;

aa

)j,acos(;aaa

aaa)i,acos( zy

zyx

xx ==++== 222 (3)


8

Versorul vectorui a este prin definiie un vector unitar, avnd mrimea egal cu 1, aceeai direcie i sens cu vector a :

kaaj

aa

iaa

aauavers zyxa ++=== (4)

Un vector poate fi definit prin cele dou extremiti ale sale avnd

coordonatele A(xA,yA,zA) i B(xB,yB,zB), i are expresia analitic:

k)zz(j)yy(i)xx(AB ABABAB ++= (5) Expresia analitic a versorului vectorului AB conform (4) este:

222 )zz()yy()xx(k)zz(j)yy(i)xx(

ABABABvers

ABABAB

ABABAB

++++== (6)

Observaie n cazul rigidului supus la legturi, reaciunile sunt necunoscute ale

problemei (deoarece nu se cunoate mrimea i sensul lor): pentru rezolvarea problemei se alege un sens oarecare ale reaciunii; dac din calcul rezult un numr pozitiv, atunci sensul ales este corect; dac din calcul rezult un numr negativ, sensul real este opus celui ales.

c. Produsul scalar a doi vectori. Proiecia unui vector pe o ax Dndu-se un sistem de axe cartezian Oxyz i vectorii a i b avnd

expresiile analitice: kajaiaa zyx ++= , kbjbibb zyx ++= , se definete produsul scalar al celor doi vectori , numrul (pozitiv sau negativ):

)b,acos(baba = (7) Expresia analitic a produsului scalar este:

yzyyxx babababa ++= (8)

z

O y

x

ak

j

i

a)

z

A

O

y

x

k a

jiax

ay

az

b) Fig.1.1

z

O y

x

ak

ji

c)

A(xA,yA,zA)

B(xB,yB,zB)


9

Cu ajutorul produsului scalar se poate exprima cosinusul unghiului dintre cei doi vectori ; din relaiile (7) i (8) rezult:

222222zyxzyx

zzyyxx

bbbaaabababa

abba)b,acos( ++++

++== (9)

Cu ajutorul produsului scalar se poate exprima analitic proiecia unui vector a , pe o direcie orientat avnd versorul:

kcosjcosicosu ++= , (10) astfel:

++=== cosacosacosauaapra zyxu (11) innd seama expresia (11), proiecia vectorului kajaiaa zyx ++= pe direcia vectorului kbjbibb zyx ++= se scrie :

b

bababauaapra zzyyxxbbb

++=== (12)

d. Produsul vectorial a doi vectori, a produsului mixt i a produsului dublu vectorial a trei vectori

Se consider un sistem cartezian de axe Oxyz i vectorii a i b avnd expresiile analitice: kajaiaa zyx ++= i respectiv kbjbibb zyx ++= . Se definete produsul vectorial al celor doi vectori bac = , un vector avnd urmtoarele caracteristici: mrimea sau modulul egal cu aria paralelogramului format din cei doi vectori

a i b : )b,asin(bac = direcia - perpendicular pe planul paralelogramului format din cei doi

vectori a ib : )b,a(c (fig.1.2). sensul - dat de regula burghiului drept sau triedrul format din cei trei vectori

a , b i c (fig.1.2). Fig.1.2

bc

a

O

Fig.1.3

bc

aO


10

Produsul vectorial a doi vectori a i b are expresia analitic:

k)baba(j)baba(i)baba(c

:sau,bbbaaakji

bac

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

++=

== (13)

Produsul mixt a trei vectori a , b i c este prin definiie produsul scalar dintre vectorul a i vectorul ( cb ):

( ) ( )zyx

zyx

xxx

cccbbbaaa

c,b,acba == (14)

Produsul mixt respect urmtoarea regul (a permutrilor circulare): ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )b,a,ca,c,bc,b,asaubacacbcba

====

(15)

Produsul mixt reprezint volumul paralelipipedului avnd ca muchii concurente ntr-un vrf, pe cei trei vectori (fig. 1.3)

Produsul dublu vectorial a trei vectori a , b i c este prin definiie produsul vectorial dintre vectorul a i vectorul ( cb ) i se determin cu ajutorul formulei:

( ) c)ba(b)ca(cba = (16)

1.1 OPERAII CU VECTORI PROBLEME REZOLVATE 1.1.1 Se consider vectorii avnd urmtoarele expresii anlitice fa de un

sistem de axe Oxyz: jic;kjb;kjia +=+=+= 24532 Se cere s se calculeze:

)ba(c);ba(c);b,acos(;ba;ba;apr;ba b Problema s-a rezolvat folosind relaiile prezentate n rezumatul de teorie

cu ajutorul programului Microsoft-Excel conform algoritmului prezentat n continuare.


11

ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL I REZULTATELE OBINUTE PENTRU PROBLEMA 1.1.1

DATE DE INTRARE DATE DE IEIRE A B C D E F G H I J K L M

Nr. ax ay az bx by bz cx cy cz a b c ba 0 SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2) SQRT(D1^2+ E1^2+F1^2)

SQRT(G1^2+ H1^2+I1^2)

A1*D1+ B1*E1+ C1*F1

1 2 -1 3 0 5 4 -2 1 0 3,7416 6,4031 2,2361 7

N O P R S

aprb

( )xba ( )yba ( )zba ba A1*D1/K1+B1*E1/K1

+C1*F1/K1=M1/K1 B1*F1-C1*E1 C1*D1-A1*F1 A1*E1-B1*D1 SQRT(O1^2+

P1^2+R1^2)

1,0932 -19 -8 10 22,9129

T U V W X

)b,acos( ( )bac ( )[ ]xbac ( )[ ]ybac ( )[ ]zbac M1/(J1*K1) G1*O1+H1*P1+I1*R1 H1*R1-I1*P1 I1*O1-G1*R1 G1*P1-H1*O1

0,2922 30 10 20 35

Conform rezultatelor din tabel, mrimile cerute sunt:

( ) kjibac;)ba(c

;,)b,acos(

;,ba

;kjiba

;,apr;ba b

35201030

29220

912922

10819

093217

++===

=+=

==

1.1.2 Se consider punctele A1(1,-2,3), A2(2,4,1), A3(4,5,6). Se cere:

s se exprime analitic vectorii ,AAsiAA 3221 produsul lor scalar al vectorilor ,AAsiAA 3221 s se calculeze unghiurile celor doi vectori.

Problema s-a rezolvat folosind relaiile prezentate n rezumatul de teorie cu ajutorul programului Microsoft-Excel, conform algoritmului prezentat n continuare.


12

ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL I REZULTATELE OBINUTE PENTRU PROBLEMA 1.1.2

DATE DE INTRARE DATE DE IEIRE

A B C D E F G H I J K L

Nr. xA1 yA1 zA1 xA2 yA2 zA2 xA3 yA3 zA3 x)AA( 21 y)AA( 21 z)AA( 21

0 D1-A1 E1-B1 F1-C1

1 1 -2 3 2 4 1 4 5 6 1 6 -2

M N O P R S T

x)AA( 32 y)AA( 32 z)AA( 32 21AA 32AA 3221 AAAA COS G1-D1 H1-E1 I1-F1 SQRT(J1^2+K1^2+

L1^2) SQRT(M1^2+N1^2

+ O1^2) J1*M1+K1*N1+

L1*O1 S1/(P1*R1)

2 1 5 6,4031 5,4772 -2 -0,057

Conform rezultatelor din tabel, expresiile analitice ale celor doi vectori, produsul lor scalar i unghiul dintre vectori, conform rezultatelor din tabel sunt:

05702

5226

3221

3221

,cos;AAAA

kjiAA;kjiAA

==++=+=

PROBLEME PROPUSE Acelai enun ca la probleme 1.1.1 pentru vectorii: 1.1.3. jic;kjb;kjia =+=+= 2432 1.1.4. kjic;kjib;kjia 22432 ++=++== 1.1.5. jic;kjb;kia 4253 +=+=+= 1.1.6. kjic;kjib;ia +=++== 24542 1.1.7. jic;kjb;kjia ==++= 24532 1.1.8. kjic;kjb;kjia 4626392 +=+=+= Acelai enun ca la probleme 1.1.2 pentru punctele: 1.1.9. A1(0,1,3), A2(2,4,6), A3(-4,5,8). 1.1.10. A1(1,-5,3), A2(2,4,-4), A3(4,5,0). 1.1.11. A1(1,-2,0), A2(7,4,-1), A3(4,0,6). 1.1.12. A1(1,-6,3), A2(8,0,1), A3(0,5,6).


13

1.2 REDUCEREA FORELOR CONCURENTE COPLANARE PROBLEME REZOLVATE

1.2.1. Se consider un punct material asupra cruia acioneaz un sistem de 4 fore coplanare { } 41,..iiF = ( fig. 1.2.1.a) avnd modulele i direciile fa de Ox date de:

332

232

428 44332211

======== ,FF;,FF;,FF;,FF Se cere s se determine rezultanta celor patru fore (ca mrime, direcie i sens).

Rezolvare: Pentru a determina rezultanta celor patru fore din fig. 1.2.1.a se aplic

teorema proieciilor pe axele sistemului Oxy: mrimea proieciei rezultantei dup cele dou direcii Ox i Oy este egal suma mrimilor proieciilor forelor:

FsinFsinFsinFsinFYY

F)(cosFcosFcosFcosFXX

ii

ii

2324

36324

4321

4

1

4321

4

1

=

+

++==

+=

+

++==

=

=

Expresia anlitic a rezultantei celor trei fore i mrimea ei sunt date de:

jFiF)(jYiXR 236 ++=+= ; 3124322 +=+== FYXRR

Direcia i sensul rezultantei sunt date de mrimea unghiului R pe care aceatsa l face cu axa Ox (fig 1.2.1.b) :

050214258036

2 ,;,XYtg RR ==+==

F1 R

y

R

F3

Fig. 1.2.1.b

F2

F4

O x

F1 y

4

1

F3

Fig. 1.2.1.a

F2

F4

O x


14

1.2.2 Asupra unui punct material O acioneaz forele concurente i coplanare { } 4,..1iiF = avnd mrimile, direciile i sensurile din fig.S1.2.2. Se cunosc:

422

236

26

34

4433

2211

====

====

;FF;,FF

,FF;,FF

Se cere: Expresia analitic a rezultantei forelor i unghiul pe care l face aceasta cu axa Ox .

Rspuns: 6

232== R;jPiPR

Problema s-a rezolvat i cu ajutorul programului Microsoft-Excel, conform algoritmului prezentat n continuare.

ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU PROGRAMUL

EXCEL I REZULTATE OBINUTE PENTRU PROBLEMA 1.2.2 DATE DE INTRARE

A B C D E F G H

Nr. F1/F F2/F F3/F F4/F 1 2 3 4 0

1 6,9292 2 6 2,8284 /6 3/2 -/4 DATE DE IESIRE

J K L M N

X/F Y/F R/F tg R R (rad) A1*cosE1+B1*cosF1+ C1*cosG1+D1*cosH1

A1*sinE1+B1*sinF1+ C1*sinG1+D1*sinH1

SQRT (J1^2+K1^2) K1/J1 arctgM1

3,4641

( 32 )

-2 4 -0,5773 -0,5236

(-/6)

F1y

4 1

F3

Fig. 1.2.2.

F2

F4

O x


15

1.3 REDUCEREA FORELOR CONCURENTE SPAIALE PROBLEME REZOLVATE

1.3.1. Asupra unui punct material M acioneaz un sistem de 4 fore concurente { } 41,..iiF = avnd modulele: FF,FF,FF,FF 543735102 4321 ==== i direciile date de muchiile sau diagonalele unui paralelipiped dreptunghic ca n fig. S1.3.1(MO) ; se cunosc: OA=a, OC=2a, OO'=6a. Se cere s se determine rezultanta forelor (mrimea, direcia i sensul).

Rezolvare: Expresiile analitice ale celor patru

fore fa de sistemul de referin Oxyz ales (MO) sunt:

kFjFzyx

kzjyixF

COversFFversFF

ccc

ccc 32102222

1111

+=++++=

===

kFOOversFFversFF 52222 ===

kFiF)a(a

kaiaFAOversFFversFF 1836

6373223333

+=++===

jFiF)a(a

jaiaFOBversFFversFF 842254

224444+=+

+===

Expresia analitic a rezultantei este:

kFjFiFFRi

i 291074

1++==

=

Proieciile rezultantei pe axele sistemului de coordonate Oxyz sunt: X=7F, Y=10F, Z=29F.

Mrimea rezultantei este dat de:

FZYXRR 1103222 =++== . Direcia i sensul rezultantei este dat de unghiurile pe care le face cu

axele sistemului de coordonate:

0

0

0

827229210469713180145772220

,;,cos,;,cos,;,cos

RR

RR

RR

======

C z

B

F2

F3 F1

F4

Fig.1.3.1

A

A

C

O

MO yx B


16

PROBLEME PROPUSE 1.3.2. Asupra unui punct material M acioneaz forele concurente { } 41,..iiF = avnd mrimile: FF,FF,FF,FF 6734132683 4321 ==== . direciile i sensurile fiind date de muchiile sau diagonalele paralelipipedului dreptunghic din fig. 1.3.2 (MO); se cunosc: OA=3a, OC=8a, OO'=2a. Se cere expresia analitic a rezultantei forelor i unghiurile pe care l face aceasta cu axele de coordonate.

;,;,;,;F,R;kFjFiFR RRR000 78374270238257295960165618 ====++=

1.3.3. Acelai enun ca la problema 1.3.2 (fig. 1.3.3) cu datele: FF,FF,FF,FF 1334429 4321 ==== , OA=3a, OC=2a, OO'=5a.

0004

1252272857560467748151446 ,,,,,;F,R;kFjFiFFR RRRi

i====++==

=

Problema 1.3.2 s-a rezolvat i cu ajutorul programului Microsoft-Excel, conform algoritmului prezentat n continuare.

Cz

BF4 F2

F1

F3

Fig. 1.3.2

A

A C

O

MOy

x B

C z

B

F2F3

F1

F4

Fig. 1.3.3

A

A

C

O

y

x B

MO


17

ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL PENTRU PROBLEMA 1.3.2

DATE DE INTRARE

A B C D E F G H I J K L M

Nr. x1/a y1/a z1/a x2/a y2/a z2/a x3/a y3/a z3/a x4/a y4/a z4/a F1/F

1 0 8 2 3 0 2 3 8 0 0 0 2 24,74

DATE DE IESIRE N O P Q R S

F2/F F3/F F4/F (versF1)x (versF1)y (versF1)z A1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)] B1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)] C1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)]

7,2111 34,1760 6 0 0,9701 0,2425

T U V W X Y

(versF2)x (versF2)y (versF2)z (versF3)x (versF3)y (versF3)z D1/SQRT(D1^2

+E1^2+F1^2) E1/SQRT(D1^2+E

1^2+F1^2) F1/SQRT(D1^2+E

1^2+F1^2) G1/[SQRT(G1^2+

H1^2+I1^2)] H1/[SQRT(G1^2+

H1^2+I1^2)] I1/[SQRT(G1^2+

H1^2+I1^2)]

0,8320 0 0,5547 0,3511 0,9363 0

Z AA AB AC AD AE

(versF4)x (versF4)y (versF4)z X/F Y/F Z/F J1/SQRT(J1^2+

K1^2+L1^2) K1/SQRT(J1^2+K

1^2+L1^2) L1/SQRT(J1^2+

K1^2+L1^2) M1*Q1+N1*T1+ O1*W1+P1*Z1

M1*R1+N1*U1+ O1*X1+P1*AA1

M1*S1+N1*V1+ O1*Y1+P1*AB1

0 0 1 18 56 16

AF AG AH AI

R/F R R R SQRT(AC1^2+AD1^2+

AE1^2) arccos(AC1/AF1) arccos(AD1/AF1) arccos(AE1/AF1)

60,959 72,8250 23,2700 74,7830


18

1.4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL REZUMAT DE TEORIE

a. Principiul paralelogramului Fiind date dou fore 21 FsiF care acioneaz asupra unui punct material liber A, principiul paralelogramului postuleaz c efectul celor dou fore este acelai cu al unei fore rezultante R , care este diagonala mare a paralelogramului avnd ca laturi forele 21 FsiF (fig. 1.4.1)

Sunt valabile urmtoarele relaii:

==

+=++=+=

sinF

)sin(F

sinR

;cosFF

sinFtg;cosFFFFR;FFR

21

21

221

22

2121 2

b. Teorema proieciilor Fiind dat un sistem de fore,

concurente ntr-un punct O din spaiu, { } n,....iiF 21= acesta se reduce (sau este echivalent) n punctul O cu o for rezultant R , care se obine aplicnd succesiv principiul paralelogramului

enunat mai sus: =

= ni

iFR1

.

Dac se noteaz cu Xi, Yi , Zi, proieciile unei fore oarecare Fi a sistemului i cu X, Y, Z proieciile forei rezultante R pe axele triedrului triortogonal drept Oxyz, atunci sunt valabile urmtoarele relaii:

.ZZ;YY;XXn

ii

n

ii

n

ii

======

111

Aceste relaii teorema proieciilor care se enun astfel: proiecia rezultantei pe o direcie oarecare este egal cu suma proieciilor tuturor forelor sistemului dup acea direcie. Sunt valabile urmtoarele relaii:

( ) ( ) ( )222222 ++=++=++=

iii ZYXZYXR

kZjYiXR

c. Axioma legturilor Dac asupra unui punct M din spaiu supus la legturi acioneaz un

sistem de fore { } n,....iiF 21= (a crui rezultant se noteaz cu aR ), conform axiomei

A F1

F2 R

Fig. 1.4.1


19

legturilor orice legturi geometrice pot fi ntotdeauna suprimate i nlocuite cu fore corespunztoare (a cror rezultant se noteaz cu legR ).

Din punct de vedere geometric punctul material poate fi considerat ca un punct material liber, iar din punct de vedere mecanic constrngerile au fost nlocuite cu fore de legtur.

Teorema echilibrului puctului material supus la legturi: condiia necesar i suficient pentru ca unpunct material s rmn n echilibru sub aciunea forelor exterioare i de legtur este ca rezultanta lor s fie nul:

;ZZ;YY;XXRR

legalegalega

lega

0000

=+=+=+=+

Din punct de vedere al naturii forelor de legtur, legturile punctului material pot fi legturi fr frecare(ideale) i legturi cu frecare (reale).

b. Echilibrul punctului material supus la legturi cu frecare Un punct material aflat pe o suprafa cu frecare nu va prsi poziia de repaus att timp ct rezultanata forelor aplicate se afl n interiorul conului de frecare (avnd axa dup normala la suprafa i unghiul la vrf 2) . Fora de frecare T respect urmtoarele legi ale frecrii uscate (legile lui COULOMB):

a. modulul forei de frecare maxT este proporional cu reaciunea normal N;

b. modulul maxT depinde de natura corpurilor i de starea suprafeelor de contact: maxT =N unde =tg este coeficientul de frecare de alunecare, iar este unghiul de frecare;

c. modulul maxT nu depinde de mrimea suprafeei de contact. Sensul forei de frecare de alunecare se opune totdeauna tendinei de deplasare.

PROBLEME REZOLVATE 1.4.1. Se consider o sfer M de greutate G care se reazem fr frecare pe un plan nclinat cu unghiul i este prins printr-un fir de un punct A ; firul face cu verticala unghiul ( vezi fig. 1.4.1.a). Se cere s se detremine mrimea reaciunii normale N i a tensiunii din fir S . Rezolvare:

Ecuaia vectorial de echilibru dup introducerea forelor de legtur (conform axiomei legturilor) se scrie :

0=++ NSG (a)


20

Alegnd axele Ox i Oy n mod convenabil (fig.1.4.1.b) i proiectnd pe acestea ecuaia vectorial de echilibru, se obin ecuaiile:

=+=

==

00

00

GcosSsinNsinScosN

YX

i

i (b)

nmulind, prima ecuaie cu cos i a doua cu sin i nsumndu-le membru cu membru se obine:

)cos(sinGN

= ; )cos(

cosGS = (c)

1.4.2. Se consider o bil de greutate G care se reazem pe suprafaa unei sfere de raz r, fiind legat cu un fir de lungime AM=l de punctul fix A aflat la distana AB =d , fa de suprafaa sferei (fig.1.4.2.a). Se cere mrimea tensiunii din fir S i a reaciunii N. Rezolvare:

Ecuaia vectorial de echilibru se scrie: 0=++ NSG (a) Dac se introduc unghiurile i i se aleg convenabil axele Ox i

Oy (ca n fig.S1.5.2.b) condiia de echilibru se scrie:

00

==

i

i

YX

=+

=+0

0GcosNcosS

sinNsinS (b)

Multiplicnd prima ecuaie (b) cu cos i a doua cu sin i nsumndu-le membru cu membru se obine:

)sin(sinGS;

)sin(sinGN +

=+= (c)

Fig. 1.4.2

A

d

B

rr

O

M

A

y

S N

x

GO b)a)

A

M

Fig. 1.4.1

b.

y

S N

x

G OM

a.


21

Din teorema sinusurilor aplicat n triunghiul OAM, avem:

rd)sin(

sin;rd

r)sin(

sin)sin(

rdsin

rsin +=+

+=+

++==

ll

deci se obine: rd

GS;rd

rGN +=+=l (d)

1.4.3. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (coeficientul de frecare fiind ) pe un semicerc de raz R. De inel sunt legate dou fire care trec fr frecare prin inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.3). La capetele firelor sunt legare dou corpuri de greuti G1 i G2 . Se cere s se determine raportul greutilor 21 G/G pentru ca inelul s rmn n repaus pentru un unghi dat. Rezolvare:

a) Se consider mai nti c inelul M are tendina de alunecare spre punctul A1 (fig. 1.4.3.b); se aleg ca axe de coordonate tangenta i normala la cerc n punctul M Ecuaia de echilibru se scrie:

021 =+++ NTSS ; (a)

sau n proiecii pe axe:

022

0

022

0

21

21

=+=

==

NcosSsinSY

TsinScosSX

i

i

(b)

Condiia fizic a frecrii este: NT . (c) Din ecuaiile (b) rezult:

2222 2121+== cosSsinSN;sinScosST (d)

A1 A2 r

O

G1G2

M

Fig.1.4.3.a

b.

x

y

r

/2

O

S1 S2

T N Tendinta de miscare

Fig. 1.4.3 c.

x

y

r

/2

O

S1 S2 T

N Tendinta de miscare


22

care introduse n (c) i innd seama c tensiunile din fir pentru cele dou ramuri ale firului au mrimile S1=G1 i S2=G2 , conduc la:

22

222

1

+

sincos

cossin

GG (e)

b. Se considr acum cealalt tendin de alunecare a inelului M spre punctul A2 (fig. 1.4.3.c), ecuaiile de echilibru se scriu analog cu cele din primul caz, schimbnd semnul din faa lui i sensul inegalitii (e)

22

222

1

+

sincos

cossin

GG (f)

Deci valorile pe care le poate lua raportul 21 G/G , sunt cuprinse n intervalul:

22

22

22

222

1

+

+

sincos

cossin

GG

sincos

cossin, (g)

care se mai scrie sub forma:

+

22 2

1 tgGGtg (h)

1.4.4. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare pe un cerc de raz r. De inel sunt legate dou fire care trec prin dou inele fixe n A1 i A2 fr frecare. La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 (ca n fig.1.4.4.a). Se cere raportul 21 G/G pentru ca punctul M s rmn n repaus n poziia dat de unghiul , dac se consider cunoscute coeficientul de frecare i .

Rezolvare: 1. Se consider mai nti c inelul M are tendina de alunecare spre punctul A1 (fig. 1.4.4.b); se aleg ca axe de coordonate tangenta i normala la cerc n punctul M Ecuaia de echilibru se scrie:

021 =+++ NTSS ; (a) Fig. 1.4.4.a

A1

A2

r

O

G1

G2 M


23

sau n proiecii pe axe:

0242

0

0242

0

21

21

=+=

==

N)sin(SsinSY

T)cos(ScosSX

i

i

(b)

condiia fizic a frecrii: NT , (c) nlocuind n (c) expresiile lui N i T rezulatate din ecuaiile (b) avem:

+ )sin(SsinS)cos(ScosS242242 2121

(d)

i innd seama c tensiunile din fir pentru cele dou ramuri ale firului au mrimile: S1=G1 i S2=G2 se obine:

22

24242

1

+

sincos

)sin()cos(

GG (e)

b) Se consider cealalt tendin de alunecare a inelului M (spre A2, fig.1.4.4.c), ecuaiile de echilibru se scriu analog, obinndu-se, prin schimbarea semnului din faa lui i a sensului inegalitii (e) relaia:

22

24242

1

+

sincos

)sin()cos(

GG (f)

Condiia final de echilibru deci se scrie:

22

2424

22

24242

1

+

+

sincos

)sin()cos(

GG

sincos

)sin()cos( (g)

sau forma echivalent: ( )( )( )

( )+

+2

242

24

2

1

/cos//cos

GG

/cos//cos (h)

Fig. 1.4.4.b.

x

y

r

/2

/4-/2

O

S1 S2

A2

A1

T N OM

Tendina de miscare

c.

x

y

r

/2

/4-/2

O

S1 S2

A2

A1

T N

Tendina de miscare


24

1.4.5. Culisa M de greutate G1 se poate deplasa cu frecare pe bara vertical OB, coeficientul de frecare de alunecare fiind cunoscut: Culisa este legat de greutatea G2 prin intermediul unui fir i a unui scripete fr frecare A. Se cunosc: AB = a i BM = h (fig.1.4.5.a). Se cere greutatea G2 pentru ca echilibrul s aib loc n poziia din figur.

Rezolvare:

a) Fa de sistemul de axe Oxy, pentru tendina de deplasare a culisei n jos (fig. 1.4.5.b) forele care acioneaz asupra culisei sunt indicate n figur; ecuaiile de echilibru n proiecii pe cele dou axe se scriu:

=+=

==

00

00

12

2

GcosGTsinGN

YX

i

i (a)

NT , condiia fizic a frecrii (b) innd seama c tensiunea din fir este S2=G2, rezult:

+ sincosGG 12 (c)

b) Pentru tendina de deplasare n sus a culisei (fig. 1.4.5.c) fora de frecare T acioneaz n sens invers fa de primul caz, ecuaiile de echilibru se scriu analog cu cele din primul caz, schimbnd n relaia (c) semnul din faa lui i sensul inegalitii: sincos

GG 12 (d)

Condiia final de echilibru se scrie:

+ sincosGG

sincosG 1

21 (e)

sau sub forma echivalent:

BA

G1

G2

M

Fig. 1.4.5.a

Tendina de alunecare

G1

S2N

T M

b.

y

x

c.

G1

S2 NT

M

y

x

O O

Tendina de alunecare


25

1

22

21

22

GahhaGG

ahha

+++ (f)

PROBLEME PROPUSE

1.4.6. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare ( coeficientul de frecare) pe un semicerc de raz R. De inel sunt legate: un corp de greutate G3 i dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.6). La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 . Se cere raportul greutilor 21 G/G pentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat. 1.4.7. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare ( coeficientul de frecare) pe un sfert de cerc de raz R. De inel sunt legate: un corp de greutate G3 i dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 (fig.1.4.7). La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 . Se cere raportul greutilor 21 G/G pentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat. 1.4.8. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (1 coeficientul de frecare) pe un sfert de cerc de raz R. De inel sunt legate dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 . La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 , firul care susine corpul de greutate G2 fiind trecut cu frecare (2 coeficientul de frecare) peste un cilindru fix (=/2)(fig.1.4.8). Se cere raportul greutilor 21 G/G pentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat.

Fig. 1.4.6

R

O

G2M

G1

G3

A2 A1

Fig. 1.4.7

R

O

G2

MG1

G3

A1

A2


26

1.4.9. Se consider un inel M de greutate neglijabil care se reazem cu frecare (1 coeficientul de frecare) pe un sfert de cerc de raz R. De inel sunt legate dou fire care trec fr frecare peste inelele fixe A1 i A2 . La capetele firelor sunt legate dou corpuri de greuti G1 i G2 , firul care susine corpul de greutate G2 fiind trecut cu frecare (2 coeficientul de frecare) peste un cilindru fix (=/2)(fig.1.4.9). Se cere raportul greutilor 21 G/G pentru ca inelul s rmn n repaus pentru unghiul dat.

Fig. 1.4.8

R

O

G1 MG2

1

A2 A1

2

Fig. 1.4.9

R

O

G2

M

A1

A2

G1

2

1


27

CAPITOLUL II REDUCEREA FORELOR

APLICATE SOLIDULUI RIGID

REZUMAT DE TEORIE a. Momentul unei fore n raport cu un punct

O noiune foarte important utilizat n Mecanica corpului rigid este aceea de moment al unei fore F fa de un punct oarecare O (fora F este aplicat ntr-un punct oarecare A din spaiu O A) care se definete prin :

FOA)F(M O = Din definiia produsului vectorial dat n capitolul I , rezult c

momentul unei fore F fa de un punct O, este un vector aplicat n punctul O, perpendicular pe vectorii FsiOA , sensul su fiind determinat de sensul de rotaie al lui F , dup regula urubului drept iar mrimea sa dat de:

dFsinFOA)F(M O == unde: este ungiul dintre FsiOA iar d este distana de la punctul O la suportul forei F (braul forei, vezi fig. SB2.1).

Dac punctul O este originea sistemului cartezian de axe, punctul A are coordonatele A(x,y,z) iar expresia analitic a forei este: kZjYiXF ++= , atunci expresia analitic a momentului forei F fa de O este:

k)yXxY(j)xZzX(i)zYyZ(ZYXzyxkji

FOA)F(M O ++===

Componentele lui )F(M O : yXxYN;xZzXM;zYyZL === , reprezint momentul forei F fa de cele trei axe Ox, Oy, Oz (aa cum rezult din paragraful urmtor).

b. Momentul unei fore n raport cu o ax oarecare

A O

d

)F(MO F

Fig.SB2.1


28

O alt noiune important utilizat n Mecanica corpului rigid este aceea de moment al unei fore F fa de o ax , care se definete ca proiecia momentului forei F fa de un punct, care aparine axei , pe aceast ax:

ZYXzyxcba

)FOA()F(M

)F(M)F(Mpr)F(M OO

==

==

unde: kcjbiavers ++== Se observ c dac coincide cu axa Ox: iversOx == momentul forei F n raport cu axa Ox este: LzYyZM Ox == . Analog: ;NyXxYM;MxZzXM OzOy ====

c. Torsorul de reducere al unui sistem de fore ntr- un punct Dac se consider o for iF aplicat ntr-un punct Ai al unui rigid, efectul acestei fore este acelai cu efectul celor dou elemente de reducere a forei ntr-un punct O: fora iF i momentul forei n raport cu punctul O )F(M iO :

Oinaplicate

)F(MF

AinaplicataF

iO

i

ii

Dac se consider un sistem de fore iF aplicate n punctele (Ai)i=1,2,n i se face reducerea pentru fiecare for a sistemului n punctul O , prin nsumarea forelor i momentelor concurente rezultate se obine un sistem echivalent cu sistemul dat format din dou elemete (fig.SB2.3):

- Rezultanta: =

= ni

iFR1

- Momentul rezultant:

==

== ni

ii

n

iiOO FOA)F(MM

11.

A O

)F(MO F

Fig.SB2.2

)F(M

An O OM

1F

Fig.SB2.3

A1

2F

iF

nF

Ai A2

R


29

Perechea format din OMsiR se numete torsorul de reducere al

sistemului de fore n punctul O: O. d. Torsor minimal. Axa central

Dac se consider un alt punct O' n care se face reducerea sistemului de fore

(O'O) rezultanta =

= ni

iFR1

nu se

modific (primul invariant) iar momentul rezultant se modific conform relaiei:

R'OOMRO'OMM OO'O =+= Deci torsorii de reducere n O i O' se scriu:

=

R'OOMMR

:;MR

:O'O

'OO

O

Dac se nmulete scalar relaia de mai sus cu R , se obine: ctRMRM O'O == ; constanta acesta se numete trinomul invariant (al doilea

invariant). Dac se mparte trinomul invariant la modulul rezultantei se obine proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei:

R/RMM OR = Pentru anumite puncte de reducere din spaiu, torsorul de reducere este format din doi vectori coliniari )M;R( R i se numete torsor minimal:

= R

RR

RMM;R: ORmin

Ax central reprezint locul geometric al punctelor din spaiu unde fcnd reducerea sistemului de fore, rezultanta i momentul rezultant sunt doi vectori coliniari; axa central este dat de ecuaiile:

Z

yXxYNY

xZzXMX

zYyZL +=+=+ sau sub forma parametric:

+=+=+=

+=2

2

2

2

R/)YLXM(ZzR/)XNZL(YyR/)ZMYN(Xx

RR

MR o

An

O OM

1F

Fig.SB2.3

A1

2F

iF

nF

Ai A2

R

OM

R


30

2.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE COPLANARE PROBLEME REZOLVATE

2.1.1. Asupra cadrului dreptunghiular din figura 2.1.1.a avnd laturile

OA=a, OC=2a, acioneaz forele coplanare: F1=F2= F2 nclinate cu unghiul 4/= i F3 = 2F ca n fig. 2.1.1.a. Se cer : 1) Torsorulul de reducere n punctul O. 2) Ecuaia suportului rezultantei R , prin tieturi.

Rezolvare : 1) Se scriu expresiile analitice ale vectorilor fore:

iFiFF

)ji(Fj)sinF(i)cosF(F)ji(Fj)sinF(i)cosF(F

233222

111

==+=+=

+=+= (a)

Rezultanta sistemului este: jFiFRFR ii 223

1+== = (b)

Momentul rezultant fa de O este: (c)

kaFM)iF()jaia(

FFaa

kji)ji(FjaM

FOBFODFOC)F(MM ii

320

022 00

3210

3

10

=++

++=

++== =

Torsorulul de reducere n punctul O este deci:

=======+=

aFN;MLkaFMZ,FY;FXjFiFR

30302222

0

(d)

F1

y

D C

F2

B

x O

A

Fig. 2.1.1.a

F3

a

a

a

y

D C

xOMOA

R

R

Fig. 2.1.1.b

Axa central\

Q (0, 3a/2)

P (3a/2,0)


31

2) Ecuaia axei centrale: Z

yXxYNY

xZzXMX

zYyZL +=+=+ pentru valorile de mai sus se scrie:

==+== 0

23

0223

22

22

z

ayxFyFxaFFFz

FFz (e)

Axa central este o dreapt definit prin tieturile ei: P(3a/2,0) i Q(0,3a/2) (f)

Sistemul de fore este echivalent cu torsorul )M,R( O de reducere n punctul O, sau sistemul de fore este echivalent cu o rezultant unic R situat pe axa central (ntruct n acest caz: 00 00 == MRsau,MR ).

2.1.2. Se consider o plac dreptunghiular avnd laturile OA =2a, OC=4a (fig. 2.1.2.) asupra creia acioneaz un cuplu n O i 4 fore coplanare respectiv n A1, A2, A3, A4 nclinate cu: ==== 4321 440 ;/;/; i avnd modulele date: aFM 4= ;FF;FF 2221 == ;FF 233 =

FF 44 = . Se cere : 1) Torsorul de reducere n punctul O. 2) Ecuaia axei centrale prin tieturi (xP, yQ) 3) Cu ce este echivalent sistemul?

Rezolvare 1. Expresiile analitice ale forelor, cuplului

1M i momentelor fa de O sunt:

( )kXyYx)F(M;kMM

j)sinF(i)cosF(F

;jYiXF

PppppO

ppppp

pPp

==

+=+=

11

(a)

Introducnd valorile rezult:

kaFM;kaF)F(M;kaF)F(M;)F(M;)F(MiFF;jFiFF;jFiFF;iFF

OOOO 48150043322

14321

4321

=======+==

(b)

2

3

F1

y

C

F2

B

xO A

Fig. 2.1.2

F3

a

2a

2a

a

F4A4

A1

A2

2a

2a

A3

M1


32

Rezultanta sistemului este prin urmare:

FsinFYFcosFXFR pppppppp ===== ===4

1

4

1

4

12 (c)

Momentul rezultant fa de O este:

kaFM)F(MM pOpO 314

1=+= = (d)

2. Ecuaia axei centrale pentru sistemul de fore dat este: 0=+ yXxYN : x+2y=3a (e)

Axa central este definit prin tieturile (fig S2.2.2.a): P(N/Y,0) xP=3a; yP=0 si Q(0,-N/X) xQ=0; yQ=3a/2; (f)

3. Sistemul de fore este echivalent cu torsorul de reducere n punctul O: )M,R( O sau cu o rezultant unic R situat pe axa central (ntruct n

cazul unui sistem coplanar de fore: 00 00 == MRsau,MR ).

PROBLEME PROPUSE Se consider placa plan avnd forma i dimensiunile din figur (fig. 2.1.3 ...2.1.6.) asupra creia acioneaz un cuplu i 4 fore coplanare respectiv n A1, A2, A3, A4 nclinate avnd modulele i direciile date. Se cere : 1) Torsorul de reducere n punctul O; 3) Ecuaia axei centrale i trasarea ei prin tieturi ;

y

C B

xO A

Fig. 2.1.2.a

2a

4a

MO P(3a,0)

Q(0,3a/2) R

Axa central

R


33

x

A4

AA2

A3

O

y F2

F3

F1

F4

7a

4a a a

3a

a

Fig. 2.1.3 Date:

aFM

;FFF

;FF

;FF

4

2

3

2

1

43

2

1

===

==

450

M

O

2a

3a

A1

2a a

2a

y

Fig. 2.1.4

F1

F3

F4

Date:

FF;FF

FF

;FF

2

5

52

43

2

1

====

x

F2

A2

A3 A4

y

a

xO a A1 A3 A4

F4

F2

F1

F3

A2

Fig. 2.1.5 Date:

;FF

;FF;FFF

5

22

5

321

====

a

y

2p

Fig. 2.1.7

O

3a

4a

A1

x

F1

F2

p

Date:

;apF

;apF

2

5

2

1

==

F4e

F3e

A2

x

F1

O

A2 Fig. 2.1.8

p

2p

F2

4a

3a

3a

y

Date: ;apFF 521 ==

F4e

F3e

A1

Date:

;FF

;FF

;FF

;FF

3

22

2

4

3

2

1

====

a a

2a

A3 A4

F2

y

450

x

F3

O

F4

F1

Fig. 2.1.6

1350


34

REZULTATELE PROBLEMELOR PROPUSE Nr. probl. Torsorul n O

O Ecuaia axei centrale Punctele de inters. Ox

i Oy 0 1 3 4

2.1.3

=+=

kaFMjF,iF,R:

OO 12

4382 3,4x-2,8y=-12a P(-3.53a,0)

Q(0,4,29a)

2.1.4

=+=

kaFMjFiFR:

OO 2

33 3x-3y=2a P(2a/3,0)

Q(0,-2a/3)

2.1.5

=+=

kaFMjFiFR:

OO 4

23 2x+3y=4a P(2a,0)

Q(0,4a/3)

2.1.6

=+=

kaFMjFiFR:

OO

33 3x+3y=-a P(a/3,0)

Q(0,a/3)

2.1.7

==

kpaMjapiapR:

OO 2

3 x+3y=23a P(23a,0)

Q(0,23a/3)

2.1.8

=+=

kpa,MjapiapR:

OO 2511

45 4x-5y=-11,5a P(-2,875a,0)

Q(0,2,3a)

ALGORITMUL DE CALCUL UTILIZAT PENTRU PROGRAMUL EXCEL I REZULTATELE OBINUTE

Algoritmul de calcul n EXCEL pentru datele concrete ale problemei 2.1.2.

DATE DE INTRARE A B C D E F G H I J K L M

Nr. x1/a y1/a F1/F cos1 sin 1 x2/a y2/a F2/F cos2 sin 2 x3/a y3/a F3/F 1 1 0 1 1 0 2 2 2.8284 0.7071 0.7071 1 4 4.2426

DATE DE IEIRE N O P Q R S T U V W cos3 sin 3 x4/a y4/a F4/F cos4 sin 4 M4/aF X/F= Fi cosi /F

Y/F= Fi sini /F

C*D+H*I+ M*N+R*S

C*E+H*J+ M*O+R*T

0.7071 -0.7071 0 2 4 -1 0 4 2 -1

X Y Z AA AB AC AD AE xiFisini

/aF yiFi cosi

/aF Moz/aF =M1 +(xiFisini - yiFi cosi)/aF

xP/a yQ/a xJ/a yJ/a MJz/aF = (-xJ*Y+yJ*X)/aF

+Moz/aF A*C*E+F*H*J+ K*M*O+P*R*T

B*C*D+G*H*I+ L*M*N+Q*R*S

X - Y + U Z / W -Z / V -AC*W+AD*V+Z


35

1 8 -3 3 1.5 0 5 7 2.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE PARALELE

PROBLEME REZOLVATE 2.2.1 Se consider un cub de latur a asupra criua se apic un sistem de cinci fore paralele verticale 54321 F,F,F,F,F respectiv n punctele: A1 (a,0,0); A2 (0,a,0); )/a,,/a(A);,/a,/a(A);a,a,/a(A 2020222 543 ( vezi fig. 2.2.1.a). Forele au acelai modul: FFFFFF 254321 ===== . Se cere : 1) Torsorulul de reducere n O; 2) Ecuaia axei centrale; 3) Poziia centrului forelor paralele.

Rezolvare: 1) Expresiile analitice ale vectorilor i ale rezultantei acestora, sunt:

FZ;YXkFRkFFFF,kFFF

20222 54321=========

(a)

Expresia analitic a momentului rezultant este:

55443322110

5

10FAOFAOFAOFAOFAO)F(MM ii ++++== =

.N;aFM;aFLjaFiaFM 00 ==== (b) 2) Ecuaia general axei centrale se scrie:

===+= Rzayx

FFxFaFyFa

220

042

042 (c)

ntruct pentru toate sistemele de fore paralele avem ndeplinit condiia:

00 00 == MRsau,MR sistemul se reduce la o rezultant R situat pe axa central care este paralel cu forele (cu axa Oz). ( fig. 2.3.1.b).

z

F5

F2

F3

Fig. 2.2.1.a

A2

A3

A5 F4

A4

A1

F1

O y

x

a

a a

z

M0

R

Axa central\

O

R

Centrul vectorilor paraleli

C(a/2, a/2, 3a/2)

Fig. 2.2.1.b

yx

P(a/2,a/2,0) a

a

a


36

Centrul vectorilor for paraleli C (, , ) se determin cu ajutorul relaiilor:

ii

iii

ii

iii

ii

iii

F

zF,

F

yF,

F

xF5

5

5

5

15

5

1

=

=

= == (d)

nlocuind valorile corespunztoare, centrul vectorilor paraleli C are

coordonatele :

===2

3222

322

a,a,aCa,a,a (e)

2.2.2. Se consider un cub de latur 2a asupra criua se apic un sistem de 6 fore n centrele feelor cubului de latur 2a avnd direcia lui OBi , i=1,2,3,4 (fig. 2.2.2) de module:

;FF;FF;FF 32 321 ===FF;FF;FF 654

654===

Se cere : 1) Torsorulul de reducere n O; 2) Ecuaia axei centrale; 3) Centrul forelor paralele

Rezolvare:

1) Expresiile analitice ale vectorilor paraleli i ale rezultantei acestora, sunt: iiiiiii OBvers)cosF(ROBverscosFF == (a)

unde versorul direciei iOB se scrie: 222 )z()y()x(kzjyix

OBOBOBvers

BiBiBi

BiBiBi

i

ii ++

++==

Expresia analitic a momentului rezultant este:

)OBversAO(F)F(MM iiiiiO == = 05

1

2) Ecuaia axei centrale: Z

yXxYNY

xZzXMX

zYyZL +=+=+ 3) Centrul vectorilor for paralele C (, , ) se determin cu ajutorul relaiilor:

ii

iii

ii

iii

ii

iii

F

zF,

F

yF,

F

xF5

5

5

5

15

5

1

=

=

= == (b)

z

A2 F5

F2

Fig. 2.2.2

A3 A5

F6

A1

A4

F4 O

y x

F3

F1

A6

B1

B2

B3

B4


37


DATE DE INTRARE A B C D E F G H I J

Nr. x1/a y1/a z1/a F1/F cos1 x2/a y2/a z2/a F2/F cos2 1 1 1 0 1 -1 1 1 2 2 1

K L M N O P Q R S T U

x3/a y3/a z3/a F3/F cos3 x4/a y4/a z4/a F4/F cos4 x5/a 0 1 1 3 1 2 1 1 4 -1 1

V W X Y Z AA AB AC AD AE AF AG

y5/a z5/a F5/F cos5 x6/a y6/a z6/a F6/F cos6 xB/a yB/a zB/a 0 1 5 1 1 2 1 6 -1 2 2 2

DATE DE IEIRE AH AI AJ AK AL

Fixicosi / aF Fiyicosi / aF Fizicosi / aF x= versOBx y=versOByA*D*E+F*I*J+K*N*O+P*S

*T+U*X*Y+Z*AC*AD B*D*E+G*I*J+L*N*O+Q*S*T+V*X*Y+AA*AC*AD

C*D*E+H*I*J+M*N*O+R*S*T+W*X*Y+AB*AC*AD

AE/SQRT(AE^ 2+ AF^2+AG^2)

AF/SQRT(AE^ 2+ AF^2+AG^2)

-8 -12 2 0,57735

AM AN AO AP AQ AR

z=versOBz R/ F = Ficosi/F

X/ F =

x.R /F Y/ F =

y.R /F Z/ F =

z.R /F MOx/aF =Z Fi yicosi/aF

-y Fi zi cosi/aF AG/SQRT(AE^2+AF^

2+AG^2) D*E+I*J+N*O+S*T+X*Y+AC*AD

AN*AK AN*AL AN*AM AM*AI - AL*AJ

0,57735 -1 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -8,0829

AT AU AV AW AX AY

MOy/aF =x Fi zi cosi/aF-

-z Fi xi cosi/aF

MOz/aF =y Fi xi cosi/aF

-x Fi yi cosi/aF

R.MO/a2F= (X.MOx+ Y.MOy

+ Z.MOz )/a2F =0 (verificare)

/a /a /a

AK*AJ - AM*AH AL*AH - AK*AI AO*AR+AP*AT+AQ*AU AH/AN AI/AN AJ/AN

5,7735 2,3094 0 8 12 -2

S-au obinut deci urmtoarele rezultate pentru problema 2.2.2:


38

1) Torsorul de reducere n O:

++==

kaF,jaF,iaF,MjF,iF,R

:309277350838

57705770

0

0 (c)

2) Ecuaia axei centrale:

F,Fy,Fx,aF,

F,Fx,Fz,aF,

F,Fz,Fy,aF,

5770577057703092

5770577057707735

5770577057700838

+=

=+=+ (d)

ntruct pentru toate sistemele de fore paralele avem:

00 00 == MRsau,MR sistemul se reduce la o rezultant R situat pe axa central care este paralel cu forele (cu axa Oz). 3) Centrul forelor paralele are coordonatele:

( )a,a,aCa,a,a 21282128 === (e)

PROBLEM PROPUS 2.2.3 Se consider sistem de fore paralele verticale 4321 F,F,F,F care se aplic respectiv n punctele: A1 (3a,a,0); A2 (a,2a,0); A3 (2a,-a,0); A2 (-2a,5a,0); (fig. 2.2.1.a). Forele au modulele: FF;FF;FF;FF ==== 4321 935 . Se cer: 1)Torsorulul de reducere n O; 2)Ecuaia axei centrale i poziia centrului forelor paralele.

Rezultate:

1)Torsorul de reducere n O:

+==

jaFiaFMkFR

:813

6

00

2)Ecuaia axei centrale i centrul vectorilor paraleli:

== 06

1334

613

34 ;a;aC;ay;ax

z

Fig. 2.2.3

A1

A4F2

F4

F1

A2F3A3

x

O

y


39

2.3. REDUCEREA SISTEMELOR SPAIALE DE FORE I CUPLURI.

PROBLEME REZOLVATE

2.3.1 Se consider un cub rigid de latur a, asupra cruia acioneaz forele: 4321 F,F,F,F ca n figura 2.3.1.a. Mrimile acestor fore sunt cunoscute:

FF,FFF,FF 23 4321 ==== . Se cer: 1) Torsorul de reducere n punctul O; 2) Torsorul de reducere n punctul B'; 3) Ecuaia axei centrale; 4) Cu ce este echivalent sistemul?

Rezolvare:

1) Expresiile analitice ale vectorilor for se scriu astfel:

)kji(Fa

kajaiaFOBOBFFversFF +=+===

331111

FZ,YXkFFR

kFFversFF;jFFversFF;iFFversFF

ii 303

24

1

444333222

===========

=

(a)

i expresiile analitice ale vectorilor moment:

0222

0

4321

4

100

====++++=

=+++===

N,aFM,aFL)ji(FaMkF)kaja(jFkaiF)jaia(

FCOFOOFOAFOB)F(MM ii

(b)

2) Momentul rezultant n punctul B se calculeaz cu ajutorul relaiei:

F4 C

z

B

F2

F3

F1

Fig. 2.3.1. a

A

A

C

O

O y

x B

a

a a

C

Axa centrala

z

B

R M0

Fig. 2.3.1.b

A

A

C

O

Oy

x B

D(a/3, 2a/3,0)

R


40

)ji(aFkF)kajaia(jaFiaFROBMM OB 232 +=+=+= (c) Ecuaia axei centrale se scrie:

ZyXxYN

YxZzXM

XzYyZL +=+=+

Rz,ay,axF

FxaFFyaF ===+=3

233

00

30

32 (d)

i este o dreapt perpendicular pe planul Oxy (paralel cu axa Oz) care intersecteaz Oxy n punctul D(a/3, 2a/3, 0).

4) ntruct 00 == Roo MsauRMRM , sistemul se reduce la un vector unic R situat pe axa central. Prin urmare sistemul de fore ( 4321 F,F,F,F ) aplicate n A1,A2,A3,A4 este echivalent cu:

a. un torsor )M,R( o aplicat n O;

b. o rezultant unic R aplicat ntr-un punct oarecare de pe axa central. 2.3.2. Se consider paralelipipedul dreptunghic rigid cu laturile: OA=3a , OC=4a , OO'=12a asupra cruia acioneaz forele 4321 F,F,F,F dup direciile diagonalelor AB CB CO respectiv AO (fig.2.3.2.a.). Forele au mrimile: 173124 4231 FFF,FFF ==== Se cere: 1) Torsorul de reducere n O;

2) Ecuaia axei centrale; 3) La ce se reduce sistemul?

Rezolvare:

C z

Axa central\

B

RM0

Fig. 2.3.2.b

A

A

C

O

O y

xB

D(3a/2, 2a, 0)

C z

B

F1 F4

F2 F3

Fig. 2.3.2.a

A

A

C

O

O y

x B

12a

3a 4a

R


41

1) Expresiile analitice ale celor patru fore sunt:

)ki(Fa

kajaFBABAFFversFF 34

1041241041111 +=+=

== (a)

)ki(Fa

kaiaFBCBCFFversFF 43

1731231732222 +=+=

==

)kj(Fa

kajaFOCOCFFversFF 34

1041241043333 +=+=

== (a)

)ki(Fa

kaaiFOAOAFFversFF 43

1731231734444 +=+=

==

Expresiile rezultantei i al momentului rezultant n punctul O vor fi:

FZ,YXkFFR ii 480484

1===== = (b)

)c(N,aFM,aFLjaFiaFM

FFa

kji

FFa

kji

FFa

kji

FFa

kjiM

FOAFOCFOCFOA)F(MM ii

072967296

1203003

1240040

403040

1204003

0

0

43210

4

10

====

+

++=

+++== =

2) Ecuaia axei centrale se scrie:

F

FxaFFyaF48

00

48720

4896 =+= (d)

arbitrarz,ay,ax === 22

3 , deci axa central este paralel cu Oz

fiind chiar axa de simetrie a paralelipipedului, (vezi fig. 2.3.2.b).

Ecuaia axei centrale sub form vectorial se scrie: ;RR

MR o += 2 sau

+++

=++ )kji(FaFaFaFFFFkji

Fkzjyix 232

13142232

171

2

Deci ecuaiile parametrice ale axei centrale se scriu:


42

+=+== Faz;Fay;Fax 217223

17302

1767 (e)

3) ntruct RMRM oo = 0 ,sistemul se reduce la o rezultant unic R situat pe axa central, (vezi fig. 2.1.2.b).

2.3.3. Se consider sistemele formate din trei fore 321 F,F,F i trei cupluri zyx M,M,M ce acioneaz asupra unui paralelipiped avnd forma i

dimensiunile precizate n fig. 2.3.3; orientarea forelor 321 F,F,F este dat de vectorii EF,CD,AB , iar orientarea celor trei cupluri este dup cele trei axe de coordonate (Ox, Oy, Oz). Se dau modulele acestor fore i cupluri:

;aFM;MM;FF;FF;FF zyx 202522 321 ====== S se determine: 1. Torsorul de reducere al sistemului, n punctul O; 2. Torsorul minimal; 3. Ecuaia axei centrale;

Pentru creerea algoritmului de calcul n EXCEL pentru problema 2.3.3. s-au utilizat urmtoarele relaii: Expresiile analitice ale celor patru vectori:

z

Fig. 2.3.3

C(0,a,3a)

G(a,4a,2a)

D(4a,4a,3a)

A(4a,3a,0)

O

y

x

B(2a,0,3a) F2

F1

F3

Mz

E(a,0,2a)


43

1113322

2221111

MversMM;EFversFF;CDversFF

;)zz()yy()xx(k)zz(j)yy(i)xx(F

ABABFABversFF

ABABAB

ABABAB

===++++===

(a)

Expresiile analitice ale momentelor celor 3 fore n raport cu O:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iXyYxiZxXziYzZyFOE)F(M

iXyYxiZxXziYzZyFOC)F(M

iXyYxiZxXziYzZyFOA)F(M

EEEEEEO

CCCCCCO

AAAAAAO

33333333

22222222

11111111

++==++==

++== (b)

Componentele torsorului de reducere al sistemului n punctul O: kNjMiLM;kZjYiXR O ++=++= (c)

Componentele torsorului minimal: kZ

RMRjY

RMRiX

RMRM OOOmin 222

++= (d) Componentele produsului vectorial :

k)YLXM(j)XNZL(i)ZNYN(MR O ++= (e) din ecuaia vectorial a axei centrale: ( ) RR/MRkzjyix O +=++= 2 (f)

Rezultatele calculelor conform relaiilor de mai sus sunt: 1. Torsorul de reducere n punctul O:

=++=

)ki(aFM)kji(FR:

OO 64

322 (g)

2. Torsorul minimal:

=++=

kaF,jaF,iaF,M)kji(FR:

minmin 588240588305883

322 (h)

3. Ecuaia axei centrale sub form parametric:

Faz;Fy;Fax +==+= 317822

1712 (i)

Relaiile de mai sus se regsesc n urmtorul algoritm de calcul:


DATE DE INTRARE A B C D E F G H I J K L

Nr. xA/a yA/a zA/a xB/a yB/a zB/a xC/a yC/a zC/a xD/a yD/a zD/a

1 4 3 0 2 0 3 0 1 3 1 0 2 M N O P Q R S T U V X Y Z


44

xE/a yE/a zE/a xF/a yF/a zF/a F1/F F2/F F3/F M1/aF vers M1x vers M1y vers M1z 4 4 3 1 4 2 4,6904 5 2 2 0 0 1

DATE DE IEIRE AA AB AC

(versF1)x (versF1)y (versF1)z (D1-A1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2) (E1-B1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2) (F1-C1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2) -0,4264 -0,6396 0,6396

AE AF AG (versF2)x (versF2)y (versF2)z

(J1-G1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

(K1-H1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

(L1-I1)/SQRT((J1-G1)^2+ (K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

0,8 0,6 0

AH AI AJ (versF3)x (versF3)y (versF3)z

(P1-M1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

(Q1-N1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

(R1-O1)/SQRT((P1-M1)^2+ (Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

0 1 0

AK AL AM AN AO AP X/F Y/F Z/F R2/F2 (MOF1/aF)x (MO F1/aF)y

AA1*S1+AE1*T1+ AH1*U1

AB1*S1+AF1*T1+ AI1*U1

AC1*S1+AG1*T1+ AJ1*U1

AK^2+AL^2+ AM^2

S1(B1*AC1-C1*AB1)

S1(C1*AA1-A1*AC1)

2 2 3 17 9 -12

AQ AR AS AT AU AV (MOF1/aF)Z (MO F2/aF)x (MOF2/aF)y (MO F2/aF)z (MOF3/aF)x (MO F3/aF)y S1(A1*AB1-

B1*AA1) T1(H1*AG1-

I1*AF1) T1(I1*AE1-G1*AG1)

T1(G1*AF1-H1*AE1)

U1(N1*AJ1-O1*AI1)

U1(O1*AH1-M1*AJ1)

-6 -9 12 -4 -4 0

AW AX AY AZ BA (MOF3/aF)z L/aF = (MO /aF)x M/aF = (MO/aF)y N/aF = (MO /aF)z R.MO/aF2

U1(M1*AI1-N1*AH1)

AO1+AR1+AU1+X1*V1

AP1+AS1+AV1+Y1*V1

AQ1+AT1+AW1+ Z1*V1

AK1*AX1+AL1*AY1+AM1*AZ1

2 -4 0 -6 -26

BB BC BD BE BF BG (Mmin/aF)x (Mmin/aF)y (Mmin/aF)z ( 2aF/MR O )x ( 2aF/MR O )y ( 2aF/MR O )zBA1*AK1/AN

1 BA1*AL1/AN1 BA1*AM1/AN1 AL1*AZ1-

AM1*AY1 AM1*AX1-AK1*AZ1

AK1*AY1-AL1*AX1

-3,0588 -3,0588 -4,5882 -12 0 8

PROBLEME PROPUSE


45

Se consider un paralelipiped rigid, asupra cruia acioneaz forele: 4321 F,F,F,F ca n figurile 2.3.4...2.3.10. Mrimile acestor fore sunt cunoscute.

Se cer: 1) Torsorul de reducere n punctul O; 2) Torsorul de reducere n punctul C'; 3) Ecuaia axei centrale sub form parametric;

z O

C

B

A

3a

a

a

O y

x

CF2

F1F3

B

A

Fig. 2.3.5

aFM;FF

;FF;FF

:Date

53

1011

13

21

====

M1

====

==

4032812

84

z;y;ax;jaFiaFM

;jaFM;kFR:zultateRe

'c

O

z O

C

B

A

3a

a

2a

O y

x

CF2

F1

F3

B

A

Fig. 2.3.6

aFM;FF

;FF;FF

:Date

22

10314

13

21

====

az;ay;x;kaFjaFiaFM;jaFM;jFiFR

:zultateRe

'c

O

726826412

862

======

Fig. 2.3.4 Cz

B

F1

F2

F3

A

A

C

O

O y

x B

4a

a 2a

aFM;FF

;FF;FF

:Date

102

52212

13

21

====

M1

====

==

1004010420

10410

z;y;ax;kaFjaFiaFM

;kaFjaFM;kFR:zultateRe

'c

O


46

Fig. 2.3.7 C

z

B

F1

F2

F3

A

A C

O

Oy

x B

4a

a 3a

===+=

==

6108125218

86

z;ay;ax;kaFjaFiaFM

;jaFM;kFR:zultateRe

'c

OM1

aFM;FF

;FF;FF

:Date

52

1026

13

21

====

z O

C

B

A

3aa

a

O y

x

CF2

F1F3

B

A

Fig. 2.3.8

M1

aFM;FF

;FF;FF

:Date

42

1011

13

21

====

+====

=+=

28232

42

az;ay;ax;kaFiaFM

;jaFiaFM;kFiFR:zultateRe

'c

O

z O

C

B

A

3a2a

2a

O y

x

CF2

F1

F3

B

A

Fig. 2.3.9

M1

aFM;FF

;FF;FF

:Date

222

1317

13

21

====

az;y;x;kaFjaFM

;jaFM;iFR:zultateRe

'c

O

40262

22

====

==

zO

C

B

A

2a

a

a

Oy

x

CF2

F1 F3

B

A

Fig. 2.3.10

M1aFM;FF

;FF;FF

:Date

42

56

13

21

====

====

==

306426

423

z;y;ax;kaFjaFiaFM

;kaFjaFM;kFR:zultateRe

'c

O


47

CAPITOLUL III CENTRUL MASELOR - CENTRE DE

GREUTATE REZUMAT DE TEORIE Centrul de greutate pentru un sistem rigid continuu de puncte materiale

are vectorul de poziie i coordonatele ( ,, ) , date de relaiile: ( )

( )dm

dmr

D

D

= ; ( )( )

( )

( )

( )

( )dm

zdm,

dm

ydm,

dm

xdm

D

D

D

D

D

D

===

Se deosebesc urmtoarele cazuri particulare:

a. n cazul plcilor omogene (dm=SdA, S=constant), expresiile vectorului de poziie i coordonatele centrului de greutate sunt date de relaiile:

( )

( )dA

dAr

S

S

= ; ( )( )

( )

( )

( )

( )dA

zdA,

dA

ydA,

dA

xdA

S

S

S

S

S

S

=== .

b. n cazul barelor omogene (dm=lds, l=constant) expresiile vectorului de poziie i coordonatele centrului de greutate sunt date de relaiile:

( )

( )ds

dsr

l

l

= ; ( )( )

( )

( )

( )

[ ]ds

zds,

ds

yds,

ds

xds

l

l

l

l

l

l

===

Dac un sistem (continuum material) se compune dintr-un numr p de subsisteme (S1), (S2),...,(Sp) avnd masele: M1, M2, ..., Mp i centrele de mas (C1, C2,...,Cp) avnd vectorii de poziie: 1, 2, 2, ... p, atunci vectorul de poziie al centrului de mas al corpului se determin cu relaia:

=

=

=

=

=

=

=

= ===

= pi

i

p

iii

p

ii

p

iii

p

ii

p

iii

p

ii

p

iii

M

zM,

M

yM,

M

xM;

M

M

1

1

1

1

1

1

1

1 ,

Dac un sistem material este rezultatul eliminrii dintr-un sistem (S1) de mas M1 i centru de mas C1, a unui sistem (S2) de mas M2 i centru de mas C2 , atunci vectorul de poziie al centrului de mas C este dat de:

21

2211

21

2211

21

2211

21

2211

MMzMzM,

MMyMyM,

MMxMxM;

MMMM

=

==

=


48

n tabelul urmtor sunt date formule pentru calculul centrelor de greutate ale unor corpuri omogene uzuale:

Nr. crt.

Tipul corpului omogen

Figura Coordonatele centrului de greutate

1 Bara omogen de lungime L

02

== ;L

2 Bara omogen: arc de cerc de raz R i

semideschiderea

0== ;sinR

3 Plac omogen n form de sector

circular de raz R i semideschiderea

032 =

= ;sinR

4 Plac omogen n form de segment de

cerc de raz R i semideschiderea

032 3

=

=cossin

sinR

5 Plac omogen plana n form de triunghi

;yyy

;xxx

DBA

DBA

3

3++=

++=

6 Corp omogen conic de nlime h

43

00h

;;

===

7 Corp omogen semisferic de raz R

83

00R

;;

===

C(,) Oy

x

A

B

R

O C(,)

x

y

B

AR

C(,) Oy

x

A

B

R

C(,)

O

y

xA

B

D

C(,,)

O yx

zO'

R

y

AO x

C(,) L

z

C(,,)

Oyx

O'h


49

3.1. CENTRUL DE MAS PENTRU BARE OMOGENE PROBLEME REZOLVATE

3.1.1 Se consider o bar omogen, de forma unui crlig plan (n planul Oxy ca n fig. 3.1.1), pentru care se cunosc dimensiunea a, razele semicercurilor i lungimile barelor. Se cer coordonatele centrului de mas al crligului C (,), n raport cu sitemul de axe dat. Rezolvare:

Crligul se compune din patru segmente de bar simple: dou segmente sub form de semicerc avnd

centrele de mas notate cu C1(x1, y1 ), C3 (x3 ,y3), respectiv lungimile L1 i L3

dou segmente drepte avnd centrele de mas C2 (x2, y2), C4 (x4, y4) respectiv lungimile L2 ,L4.

Fa de sitemul de axe Oxy, coordonatele centrului de mas C (,) al crligului, se calculeaz cu formulele :

.L

yL,

L

xL

i

iii

ii

iii4

1

4

14

1

4

1

=

= ==

= (a)

Pentru segmentul de bar (1) avem:

+

=+=

==

=

= aa,aaL

Caay

axasinasinRCO 24242

2

2

1

11

1

11 (b)


==

=

aL)a,(Cay

x

4202

0

2

22

2

(c)


==

==

=

= a,aaL

Cay

axasinasinRCO 42

2

42

4

2

22

3

33

3

33 (d)

O1

C1 y

a

C2

O3x

Fig. 3.1.1

C3

C4

4a

2a O


50


x4 = 3a, y4 = 0, L4 = 2a C4 (3a, 0). (e) Se introduc valorile calculate n formulele lui i obinndu-se:

+++

+==)(a)(,aC

)(a)(;a

23122

23122 (f)

Acelai rezultat se obine cu ajutorul urmtorului tabel: Corpul

nr. Forma

corpului Li xi yi Lixi Liyi

1

a a 4 2a a+ a2 (4 +2) a2

2

4a 0 2a 0 8a2

3

2a 2a 4a 4a2 8a2

4

2a 3a 0 6a2 0

3a(+2) 3a2 ( +2) 2a2 (2 +1)

3.1.2 Se consider un cadru spaial format din 4 bare omogene sudate i dispuse n raport cu sistemul de axe Oxyz, ca n fig. 3.1.2. Se cunosc dimensiunea a, razele semicercurilor (lungimile barelor). Se cere poziia centrului de mas al cadrului n raport cu sistemul de axe ales

Rezolvare: Pentru arcele de cerc poziiile centrelor de mas sunt date de:

===

=

= 2222

4

4443

aasinRCO,asin

asinROC (a)

O4

C4

C3

C1 C2

Fig. 3.1.2

z

yO

x

a

a a

y

O3 C3

4a C2

2a

C4

a C1 O1

2a x

x

x

x

y

y

y


51

Coordonatele centrelor de mas ale segmentelor de bar i lungimile acestora vor fi:

2220

2

22020

2

4422

3311

aL;)(a,)(a,aC;aL;,a,aC

;aL;a,,aC;aL;,a,aC

=

=

=

=

(b)

Pentru determinarea coordonatelor centrului de mas al cadrului spaial C (,,) aplic formulele:

i

iii

ii

iii

ii

iii

L

zL,

L

yL,

L

xL4

1

4

14

1

4

14

1

4

1

=

=

= =

=

=

=

= . (c)

nlocuind valorile se obin coordonatele centrului de greutate :

.a)(

,a)(

,a)( 2222

122

5+=+

+=+= (d)

Acelai rezultat se obine completnd urmtorul tabel:

Corp nr.

Forma corpului

Li xi yi zi Lixi Liyi Lizi

1

a a2

a 0 a

2

2 a

2 0

2

a a a2

0 a2 a2

2 0

3

a2

2a

0 2a a2 0 a2

4

a2

0 a( ) 2

a( ) 2

0 a2 22

( )

a2 22

( )

a(2+) 52

2a ( ) + 22

2a

a22

a C1

y O

z

x

a C2

y O

z

x

a C3

O

y

z

x

a

C4

O4

O y

z

x


52

S3.2. CENTRUL DE MAS PENTRU PLCI OMOGENE PROBLEME REZOLVATE

3.2.1 Se consider o plac plan omogen avnd forma din fig. 3.2.1 . Se cunoate dimensiunea a. Se cere s se determine poziia centrului de mas C (, ) al plcii fa de sistemul de axe Oxy considerat n fig. 3.2.1. Rezolvare Placa omogen se compune din 4 pri simple avnd centrele de mas Ci (xi, yi) i ariile Ai ( i=1,2,3,4) ca n fig. 3.2.1.

innd seama de relaia care d poziia centrul unui sector circular de raz R i unghi la centru 2 , avem:

=

==

=34

2

23224

4

4332

4422

asinaCO;asin

aCO (a)

Coordonatele centrului de mas al plcii fa de sistemul de axe Oxy se determin cu ajutorul relaiilor:

4321

44332211

4321

44332211

AAAAyAyAyAyA,

AAAAxAxAxAxA

++=+

+= (b)

Pentru fiecare din cele patru plci simple: placa 1(dreptunghiul 3a x 2a), placa 2 (sector circular de raz 3a), placa 3 (triunghiul a x 2a , care se decupeaz) i placa 4 (sector circular de raz a , care se decupeaz) avem:

2111 623 aA;ay;/ax ===

494243 2222 /aA;/aay;/aax =+== (c) 2

333 3838 aA;/ay;/ax === 2342 2144 /aA;/ay;ax ===

nlocuind n relaiile lui i de mai sus se obine: a

)()(,a

)()(

207370272

20733269

++=+

= ,sau .a,;a, 458246671 == (d) La acelai rezultat se ajunge completnd urmtorul tabel :

y

a

x a a a

C2

C3

O2

O4

C1 C4

2a

2a

Fig. 3.2.1


53

Corpul nr. Figura Ai xi yi Ai xi Ai yi

1

6a2 32a a 9a

3

2

94

2a 3 4a a 24a a+

94

3 43a ( ) 92

23a

( )

3

a2

83a 8

3a 8

3

3a 83

3a

4

a2

2 2a 4

3a

a3 23

3a

7 20

4 + a 69 32

123 a 27 70

63 + a

3.2.2 Se consider o plac plan omogen avnd forma din fig. 3.2.2. pentru care se cunoate dimensiunea a. Se cere s se determine poziia centrului de mas C (, ) al plcii fa de sistemul de axe Oxy considerat.

Rezolvare Coordonatele centrului de mas al plcii fa de sistemul de axe Oxz se determin cu ajutorul relaiilor:

4321

44332211

4321

44332211

AAAAyAyAyAyA,

AAAAxAxAxAxA

++=+

+= (a)

innd seama de relaia care d poziia centrul unui sector circular de raz R i unghi la centru 2 , avem:

=

==

=3

216

4

4432

38

2

2232

4422

asinaCO;asin

aCO (b)

a a

x

y

C2 O2

C3

C1

O

C4

O4

2a 2a

4a

4a

2a

Fig. S3.2.2

y

2a 3a C1

O x

y

3a

3a O

y

x O2

C2

a 2a

O x

C3 O2

y

aa O x C4 O4


54

Pentru placa simpl 1(dreptunghiul 6a 4a): 2

111 2423 aA;ay;ax === (c) Pentru placa simpl 2 (sector circular de raz 2a):

2222 23844 aA;/aay;ax =+== (d)

Pentru placa simpl 3 (triunghiul 4a a, care se decupeaz): 2

333 2383 aA;/ay;/ax === (e) Pentru placa simpl 4 (sector circular de raz 4a, care se decupeaz):

2144 43163166 aA;/ay;/aax === (f)

nlocuind n relaia de mai sus se obine:

a,a)()(;a,a

)(2963

1133104572

11324136 =

+=== (g)

La acelai rezultat se ajunge dac se completeaz urmtorul tabel :

Figura nr.

Forma Ai xi yi Aixi Ai yi

1

24a2 3a 2a 72a3 48a3

2

2a2 4a 4 83

a a+ 8a3 ( )8 13

33 + a

3

2a2 a3

83a 2

33a 16

33a

4

4a2 6 163

a a 163

a ( )24

643

3 + a

643

3a

(222)a2 278 483

3 a

80 243

3+ a

4a

6a C1

O x

y

4a

2a 4a O

y

x O4

C4

2a 4a

2a x

O2 C2

y

O a

4a x

C3

y

O


55

3.2.3 Se consider o plac omogen de forma unui ptrat de latur a din care se decupeaz un triunghi isoscel de nlime h ca n fig. 3.2.3. Se cere s se determine nlimea triunghiului isoscel astfel nct centrul de mas C (, ) s coincid cu vrful triunghiului.

Rezolvare: Fa de sistemul de axe Oxy din fig. 3.2.3, coordonatele centrelor de greutate pentru ptrat i pentru triunghi sunt: C1 (0, a/2) , C2(0,h/3) (a) iar ariile corespunztoare sunt:

A1 = a2, A2 = 2ah . (b)

Coordonata a centrului de greutate dup Oy se dxetremin cu ajutorul

relaiei: AA

yAyAi=

1

221 . (c)

Condiia =h conduce la urmtoarea ecuaie de gradul II n h: 0362 22 =+ aahh avnd soluiile: ah , 2

3321

= (e)

ntruct h


56

Fig. 3. 2.6

y

x

3a O

a

2a

x

Fig. 3. 2.7

y

3a

2a

Oa

2a

Fig. 3. 2.8

x 4a

y

O

4a

3a

Fig. 3. 2.9

x

y

O

2a

a

600 600 600

2a

2a 2a

Fig. 3. 2.10

y

x

O 2a a a

4a

2a 2a

6a

a

x

2a 2a 2a

2a

2a

4a

6a

2a

2a

y

O

Fig. 3. 2.11


57

RSPUNSURI

Nr.pr. 3.2.4 ( )

( ) a,a 84960

14231412 =+

+ ( ) a,a 36652142

48 =+

3.2.5 ( )( ) a,

a 532427343

45284 =++ ( )( ) a,

a 811407342292 =+

3.2.6 ( )( ) a,

a 15632203

6562 =++ ( )( ) a,

a 67481203

988 =++

3.2.7 ( )( ) a,

a 62122203

9116 =++ ( )( ) a,

a 753120

2142 =++

3.2.8 ( )( ) a,

a 3654563

81520 =++ ( )( ) a,

a 03610563

481542 =+

3.2.9 0 a,)(

a 0656032323

5 =

3.2.10

3.2.11

3.2.12

3.2.13

3.3. CENTRUL DE MAS PENTRU CORPURI OMOGENE PROBLEME REZOLVATE

3.3.1 Se consider un corp omogen tridimensional cu o ax de simetrie, avnd forma din fig. 3.3.1, format dintr-o semisfer de diametru D=2R=40mm i un cilindru de nlime h=50mm i diametru d=2r =22mm. Se cere s se determine poziia centrului de greutate al nitului C ( 0,0,) n raport cu sistemul de axe considerat n figur.

Fig. 3. 2.12 O

3a

2a

2a2a 2a a a

4a

6a

y

x

y

Fig. 3.2.13

2a 2a

4a

2a x O2aaa

6a


58

Rezolvare Pentru sistemul de axe Oxyz considerat n

fig. 3.3.1 centrele de greutate ale celor dou corpuri simple se afl pe axa de simetrie Oz; astfel:

pentru semisfer:

163

83

11

DRzOC === 12

3

1

DV = ; (a) pentru cilindru:

,hzOC222

== , 4

2

2

hdV = . (b)

)hdD()hdD(

VVzVzV

23

224

21

2211

31683+=+

+= (c)

Se obine: = - 0,977 cm (d) 3.3.2. Se consider un corp omogen tridimensional cu o ax de simetrie format dintro semisfer i un con ca n fig. 3.3.2. Se cunoate raza semisferei R i a bazei conului r =R. Se cere nlimea h a conului astfel nct centrul de greutate al corpului s coincid cu centrul bazei conului (sau cu originea sistemului de axe C 0)

Rezolvare: Conul i semisfera au centrele de greutate

C1 i C2 pe axa Oz avnd coordonatele :

ROCz,hOCz83

4 2211==== (a)

Volumele celor dou corpuri simple sunt:

322

1 32

3RV;hRV == (b)

Coordonata centrului de greutate dup axa Oz se determin cu ajutorul relaiei:

RhRh

VVzVzV

23

41 22

21

2211

+=+

+= (c)

Impunnd condiia: CO, adic = 0 rezult: h2 3 R2 = 0 (d)

cu soluiile 3Rh = , are sens numai R,Rh 73213 == (e)

z V

y

h

x

C1

R C2 O

Fig. 3.3.2

z

D

y

h

d

x

C1

O

C2

Fig. 3.3.1

C


59

CAPITOLUL IV ECHILIBRUL FORELOR APLICATE

SOLIDULUI RIGID REZUMAT DE TEORIE

a. Teoremele generale ale echilibrului rigidului liber n cazul rigidului liber, echilibrul este realizat dac i numai dac torsorul

de reducere al sistemului de fore care acioneaz asupra lui, ntr-un punct O, este nul:

======

===

000000

00

0iii

iii

OO N,M,L

Z,Y,XMR

unde:

Xi ,Yi, Zi sunt proieciile forelor exterioare iF pe axele sistemului cartezian Ox, Oy, respectiv Oz;

xi, yi zi - coordonatele punctului de aplicaie al forei iF Li= (yiZi-ziYi), Mi= (ziXi-xiZi), Ni= (xiYi-yiXi) - proieciile momentelor

forelor exterioare iF pe axele sistemului cartezian Ox, Oy, respectiv Oz;

Dac sistemul de fore ce acioneaz asupra rigidului liber este coplanar (de exemplu:se afl n planul Oxy) atunci ecuaiile de mai sus devin:

===

===

0

000

00

i

ii

OO N

Y,XMR

b. Teoremele generale ale echilibrului rigidului supus la legturi Dac rigidul este supus la legturi (prin legturi se nelege un numr de constrngeri geometrice care se aplic rigidului care duc la micorarea numrului de grade de libertate - pentru rigidul liber acest numr este 6), se aplic axioma legturilor care postuleaz c: orice legtur geometric poate fi ntotdeauna suprimat i nlocuit cu elemente mecanice corespunztoare (care pot fi fore sau momente-cupluri de legtur) numite reaciuni.

Dac se noteaz torsorul forelor de legtur cu:

legO

leglegO M

R

i torsorul forelor exterioare (aplicate) cu:

aO

aaO M

R

atunci echilibrul rigidului este realizat dac i numai dac :


60

=+=+=+=+=+=+

=+=+=+

000000

00

0

legalegalega

legalegalega

legO

aO

legalegO

aO

NN,MM,LLZZ,YY,XX

MMRR

Legturile ideale uzuale ale rigidului sunt : reazemul simplu (prinderea cu fir) articulaia sferic articulaia cilindric (articulaia plan) ncastrarea.

Prin suprimarea unei legturi, conform axiomei legturilor se introduc elemente mecanice corespunztoare tipului de posibiliti de micare suprimate: fore dac sunt suprimate translaii, cupluri dac sunt suprimate rotaii. Aceste elemente sunt necunoscute ale problemei date. Dac rigidul este supus unor legturi reale (cu frecare) atunci la condiiile de echilibru de mai sus (cele 6 ecuaii generale) se mai adaug relaia/relaiile corespunztoare tipului de legtur cu frecare existent i anume: frecarea de alunecare din cuplele de alunecare: NT ; frecarea de rostogolire din cuplele de rostogolire: sNM r ; frecarea de pivotare din pivoi axiali: NRM mp ; frecarea din lagrele cu alunecare: FrM f . n toate cazurile legturilor cu frecare , aceste fore /cupluri se opun

totdeauna tendinei corpului de a executa orice fel de micare.

4.1. ECHILIBRUL RIGIDULUI LIBER SUB ACIUNEA UNUI SISTEM SPAIAL DE FORE PROBLEME REZOLVATE

4.1.1. Se consider o plac omogen n form de paralelipiped dreptunghic cu muchiile OA=4a, OC=6a, OO=a, aflat n echilibru sub aciunea greutii proprii G, a forei P cunoscute ca direcie sens i modul i a forelor (Fi)i=1, 2,..6, cunoscute ca direcie i sensuri dar necunoscute ca modul (fig. 4.1.1). Se cer mrimile forelor Fi pentru ca echilibrul forelor s aib loc .

Rezolvare: Expresiile analitice ale vectorilor fore fa de sistemul de axe Oxy sunt:


61

;jFF;iFF;iFF;kFF

kFF;kFFkGG;jPP

6655

4433

2211

========

(a)

Expresiile analitice ale momentelor acestor fore n raport cu O sunt:

iaGjaG)kG()ka,jaia(GOD)G(M

iaPkaPjP)kaia(P'OA)P(M

O

O

325032

44

=++===+==

iaFkFjaFOC)F(M

iaFjaFkF)ajia(FOB)F(M

jaFkFiaFOA)F(M

O

O

O

3333

22222

1111

66

6464

44

===+=+==

=== (b)

kaFjFiaFOA)F(M

jaFiFkaF'OO)F(M

jaFkaFiF)kaja(F'OC)F(M

O

O

O

6666

5555

44444

44

66

======

+=+==

Ecuaiile vectoriale de echilibru ale rigidului liber ( 00 == OM;R ), scrise n proiecii pe cele trei axe ale sistemului triortogonal Oxyz sunt:

00

0

321

6

54

=++==+==+=

GFFFZPFYFFX

0464

04420663

64

5421

32

=+==++=

=++=

aFaFaPNaFaFaFaFaGM

aFaFaGaPL (c)

Rezolvnd acest sistem de 6 ecuaii cu 6 necunoscute rezult: .PF;/GF;F;/PF;F;/P/GF ====== 635241 206062 (d)

4.2. ECHILIBRUL RIGIDULUI SUPUS LA LEGTURI SUB ACIUNEA UNUI SISTEM DE FORE COPLANARE PROBLEME REZOLVATE

4.2.1 Se consider o bar omogen de lungime AB=2 l i greutate G care se reazem cu captul A pe un perete vertical iar n punctul D pe o muchie fix situat la distana a fa de peretele vertical (fig. 4.2.1.a). Legturile din A i D sunt fr frecare. Se cer: 1) unghiul pe care l face bara cu orizontala pentru echilibru; 2) mrimile reaciunilor din A i D.

z

F6

F1

Fig. 4.1.1

A

A

C O

y

x B

O

B

C

F2 G

P

F4

F3

F5

D

4a6a

a


62

Rezolvare Se alege sistemul de referin Oxy convenabil i conform axiomei

legturilor se introduc n A i D forele de legtur DA NsiN (fig. 4.2.1.b).

Ecuaiile de echilibru a forelor care acioneaz asupra barei scrise n proiecii pe cele trei axe sunt:

00

0000

=+=====

cosaNcosG:M

GcosN:YsinNN:X

DAz

Di

DAi

l

(a)

Primele dou ecuaii conduc la:

GcossinN,G

cosN AD

==1 (b)

care introduse n ecuaia a treia conduc la:

33

llaarccossau,acos == (c)

Echilibrul este posibil dac:

ll asau,a 010 3 (d)

nlocuind valoarea unghiului n expresiile reaciunilor NA i ND se obine:

3

2

3

3

1

=

=

ll

l

aa

GN

,a

GN

A

D

(e)

4.2.2 Se consider o bar omogen de lungime AB=2 l i greutate G care se reazem cu captul A n colul format de un perete orizontal i unul vertical, iar n punctul D se reazem pe o muchie fix situat la distana a fa de peretele vertical (fig. 4.2.2.a). Legtura din D este fr frecare. Se cer mrimile reaciunilor din A i D. Rezolvare

Se alege sistemul de referin Oxy ca n fig. 4.2.2.b i conform axiomei legturilor se introduc n A i D forele de legtur DA NsiN

OA

D

C B

a

G

ND

NA x

y

Fig. 4.2.1

(b)

A

D

C Bl2

a

(a)

G


63

Ecuaiile de echilibru a forelor care acioneaz asupra barei n proiecii pe

cele tri axe se scriu:

00

0000

=+==+=

==

cosaNcosGM

GcosNVYsinNHX

DzA

DAi

DAi

l

(a)

Din ecuaia a treia se obine:

= 2cosa

GNDl (b)

iar

Probleme Rezolvate de Mecanica

Documents

Transcript of Probleme Rezolvate de Mecanica