1. Metode de fundamentare a deciziilor multicriteriale

Cazul1 O intreprindere producatoare de echipamente industriale incorporeaza in produsele sale un anumit

subansamblu pe care il poate procura de la unul din cei patru furnizori accesibili, notati cu V1, V2, V3, V4 .Criteriul

de selactie a unui furnizor sunt urmatoarele: x1 – Pretul unitar al subansamblului (mil lei), x2 – Nivelul calitativ, x3 –

Termenul de livrare.

Tabelul 1

VarianteVj

Criterii de decizie (xi)

x1 – Pret unitar

Min

x2 – Nivelul calitativ

Max

x3 –Termen de livrare

Min

V1 7 0,66 10 1 12 0V2 9 0 8 0,33 10 0,66V3 6 1 7 0 10 0,66V4 8 0,33 9 0,66 9 1Ki 0,4 0,4 0,2

1.1. Metoda utilitatii decizionale1

Considerand umax = 1 si umin = 0, in cazul variatiei proportionale a utilitatii in functie de rezultate, utilitatea

oricaror consecinte intermediare poate fi determinate prin interpolare liniara, folosindu-se relatiile:

pentru

criteriile de maxim;

pentru

criteriile de minim.

Pe baza proprietatilor de aditivitate decizionala, utilitatea variantei Vj din punct de vedere al tuturor

criteriilor de decizie U (Vj) va fi:

, unde Ki – coefficient de importanta al criterilui

unde: Rmax – rezultate maxime

Rmin – rezultate minime

Rj – rezultatul de la varianta Vj a carei utiltate nu

o cunoastem si care trebuie calculata

2

Estimand utilitatile ui (Vj) si U (Vj), luand in considerare toate cele patru variante decizionale , se obtin

valorile din tabelul 2.

Tabelul 2

VarianteVj

ui (Vj)U (Vj)

Ordinea de preferinta

u1 (Vj) u2 (Vj) u3 (Vj)V1 0,66 1 0 0,66 IV2 0 0,33 0,66 0,22 IVV3 1 0 0,66 0,53 IIIV4 0,33 0,66 1 0,59 II

1.2. Metoda Electre – varianta SEMA

Metoda ELECTRE serveste la compararea variantelor V1, V2, … Vm din punct de vedere al criteriilor x1, x2, …

xn.

3

Aplicarea metodei ELECTRE se bazeaza pe doua grupe de indicatori si anume: indicatori de concordanta

(Cc)si indicatori de discordanta (Cd).

Comparand doua variante, Vj si Vl, indicatorii de concordant ascot in evidenta aspectele favoarbile ale

variantei Vj fata de varianta Vl, iar indicatorii de discordanta evidentiaza aspectele nefavorabile ale variantei V j fata

de Vl.

Cei doi indicatori, in varianta SEMA, pot fi calculate astfel:

4

Tabelul nr.3

Mcc=

V1 V2 V3 V4

Indicatori de concordanta

V1 1 0,8 0,4 0,8V2 0,2 1 0,6 0V3 0,6 0,6 1 0,4V4 0,2 1 0,6 1

Mcd=

V1 V2 V3 V4

Indicatori de discordanta

V1 0 0,66 0,66 1V2 0,67 0 1 0,34V3 1 0,33 0 0,66V4 0,34 0 0,67 0

Dupa determinarea acestor doua matrici se calculeaza matricea diferentelor.

5

Tabelul nr.4

Mdif= Mcc- Mcd

V1 V2 V3 V4

V1 1 0,14 -0.26 -0,2V2 -0,47 1 -0.4 -0,34V3 -0,4 0,27 1 -0,26V4 -0.14 1 -0,07 1

Pe baza matricei diferentelor se calculeaza matricea dominantei. Se compara elementele (Vj ;Vl) cu (Vl ;Vj).

In locul elementelor cu valoare mai mare se trece 1 in matricea dominantei, iar in locul elementelor cu valoare mai

mica se trece 0;pe diagonala se trece 1, iar cand elementele au valori egale se trece tot 1.

Tabelul nr.5

Mdom=

V1 V2 V3 V4Vector de dominanta

V1 1 1 1 0 3V2 0 1 0 0 1V3 0 1 1 0 2V4 1 1 1 1 4

Comparand variantele fiecare cu toate celelalte se obtine numarul de dominante pentru fiecare dintre acestea.

Numarul de dominante pentru fiecare varianta este V1= 3, V2= 1, V3= 2, V4= 4, de unde rezulta urmatoarea ordine

de preferinta: V4> V1>V3>V2.

1.3. Metoda Leader-ului

6

Metoda Leader-ului serveste la ierarhizarea liniilor de actiune prin stabilirea variantei de dominanta maxima

din punct de vedere al tuturorcriteriilor de decizie xi.In cazulacestei metode se elaboreaza cate o matrice de

dominanta MD(xi) pentru fiecare criteriu de decizie, cu elementele djl(xi).

Comparand doua variante, Vj si Vl, din punct de vedere al criteriului xi, elementele djl(xi), in functie de

dominanta unei variante asupra celeilalte, vor lua valoarea 2,1 sau 0 astfel:

Se considera ca vartiantele se autodomina.Deci, .

Tabelul nr.6

M(x1)Matricea pretului

V1 V2 V3 V4

V1 2 2 0 2V2 0 2 0 0V3 2 2 2 0V4 0 2 0 2

M(x2)Matricea calitatii

V1 V2 V3 V4

V1 2 2 2 2

V2 0 2 2 0

V3 0 0 2 0

V4 0 2 2 2

M(x3)Matricea

termenului de livrare

V1 V2 V3 V4

V1 2 0 0 0

V2 2 2 1 0

V3 2 1 2 0

7

V4 2 2 2 2

Ierarhizarea variantelor prin metoda Leader-ului in forma ei clasica nu ia in considerare importanta diferita a

criteriiloe de decizie.

Aceasta deficienta poate fi inlaturata prin determinarea urmatoarelor elemente:

- matricile MD'(xi), in care ;

- matricea de dominanata ;

- vectorul de dominanta VDT', cu elementele .

Tabelul nr.7

M’(x1)

V1 V2 V3 V4

V1 0,8 0,8 0 0,8V2 0 0,8 0 0V3 0,8 0,8 0,8 0,8V4 0 0,8 0 0,8

M’(x2)

V1 V2 V3 V4

V1 0,8 0,8 0,8 0,8

V2 0 0,8 0,8 0

V3 0 0 0,8 0

V4 0 0,8 0,8 0,8

M’(x3) V1 V2 V3 V4

8

V1 0,4 0 0 0

V2 0,4 0,4 0,2 0

V3 0,4 0,2 0,4 0

V4 0,4 0,4 0,4 0,4

Tabelul nr.8

V1 V2 V3 V4Vector de dominanta

V1 2 1,6 0,8 1,6 6V2 0,4 2 1 0 3,4V3 1,2 1 2 0,8 5V4 0,4 2 1,2 2 5,6

Ordinea de preferinta este deci: V1> V4>V3>V2.

9

2. Metode de fundamentare a deciziilor unicriteriale

2.1. Metode de luare a deciziilor in conditii de risc

2.1.1. Arbori de decizie

Cazul1 In vederea fabricarii pe o perioada delimitata a unui sortiment, pe cele trei utilaje existente se

monteaza cate un dispozitiv cu un cost unitar (c) de 30 u.m., a carei fiabilitate este redusa. Intreprinderea se poate

aproviziona din timp cu unul sau mai multe dispozitive (liniile de actiune V j, unde j=1,2,3) sau le poate achizitiona

in momentul defectarii (V0).In aceasta situatie, costurile datorate stagnarii productiei pana la sosirea unui dispozitiv

(cs) sunt de 40 u.m.

Pe baza studiilor de fiabilitate, s-a estimat distributia de probabilitate P(k), unde p(k) reprezinta

probabilitatea de a defecta simultan "k" dispozitive.

P(K)= (0,10 0,35 0,40 0,15)

10

Firma dispune de liniile de actiune Vj, in fiecare varianta putand avea loc starile naturii Nk. Urmarind

alegerea liniei de actiune care comporta un cost sperat minim, se poate elabora arborele de decizie reprezentat in

figura nr.1

Figura nr.1

11

Arbore de decizie

Costurile totale, aferente fiecarei incidente "linie de actiune-stare a naturii", s-au detreminat prin insumarea

celor doua costuri, conform relatiei:

D

V1

V2

V3

V4

S=0

S=1

S=2

S=4

S1=112

S2=79

S3=70,5

S4=90

p(k)

p(0)=0,10p(1)=0,35p(2)=0,40p(3)=0,15

ckj

p(0)=0,10p(1)=0,35p(2)=0,40p(3)=0,15

p(0)=0,10p(1)=0,35p(2)=0,40p(3)=0,15

p(0)=0,10p(1)=0,35p(2)=0,40p(3)=0,15

C01=0C11=30+40=70C21=2*30+2*40=140C31=3*30+3*40=210

C02=30C12=30C22=30+30+40=100C32=30+2*30+2*40=170

C03=60C13=60C23=60C33=60+30+40=130

C04=90C14=90C24=90C34=90

12

Valoarea sperata a rezultatelor se poate determina folosind relatia:

Marimea riscului se calculeaza prin relatia:

Tabelul nr.9

Ckj*p(i) Sj

0*0,10

S1=0*0,10+70*0,35+140*0,40+210*0,15=112

70*0,35

140*0,40

210*0,15

unde: D(Vj) – numarul de dispozitive stocate conform

variantei Vj

DNk – numarul de dispozitive defectate si neexistente

in stoc

13

30*0,10

S2=30*0,10+30*0,15+100*0,40+170*0,15=79

30*0,15

100*0,40

170*0,15

60*0,10

S3=60*0,10+60*0,35+60*0,40+130*0,15=70,5

60*0,35

60*0,40

130*0,15

90*0,10 S4=90*0,10+90*0,35+90*0,40+90*0,15=9090*0,35

90*0,40

90*0,15

Se alege varianta cu riscul cel mai mic, iar ierahizarea se face de la riscul cel mai spre riscul cel mai

mare.Deci:

ordinea de preferinta este V3> V2>V4>V1 pentru ca se face in functie de prêt, iar pretul cel mai mic este V3=70,5.

Cazul 2 O firma studiaza posibilitatea lansarii pe piata a unui nou produs in urmatoarele variante de pret:

pret ridicat (R), pret mediu (M) si pret scazut (S).

Fiecare dintre aceste variante are implicatii asupra profiturilor totale(tabelul nr.5).In acelasi timp, pe piata pot

aparea si alti competitori care pot practica preturi ridicare, medii sau scazute.

14

Tabelul nr.10

Strategiile concurenteiStrategii proprii si probabilitati privind reactia concurentei

Pret scazut (S) Pret mediu (M) Pret ridicat (R)

Actiuni Probabilitati Strategii de pret

Consecinte Probabilitati Consecinte Probabilitati Consecinte Probabilitati

NU 0,6 28 34 39

DA 0,4S 15 0,6 13 0,2 -11 0,1M 17 0,3 21 0,7 -2 0,4R 22 0,1 29 0,1 33 0,5

Pe baza acestor date se poate intocmi arborele de decizie.

Figura nr. 2

15

Arbore de decizie

D

S

M

R

S1=23,325,88r1=0,25

S2=28,487,29r2=026

S3=29,2416,76r2=0,57

p(i) Rij

NU

DA

NU

DA

NU

DA

0,6

V1

V2

V3

0,6

0,3

0,1

28

15

17

22

28*0,6

15*0,6*0,4

17*0,3*0,4

22*0,1*0,4

0,7

0,1

0,2

0,6 34

13

21

29

34*0,6

21*0,7*0,4

13*0,2*0,4

29*0,1*0,4

0,6

0,1

0,4

0,5

39

-11

-2

33

39*0,6

(-11)*0,1*0,4

(-2)*0,4*0,4

33*0,5*0,4

16

Valoarea sperata a rezultatelor se poate determina folosind relatia:

Marimea riscului se calculeaza prin relatia:

Prin raportarea marimirii riscului la valoarea sperata a rezultatelor se obtine coeficientul de risc:

Tabelul nr.11

Sj rj

17

S1=28*0,6+15*0,6*0,4+17*0,3*

0,4+22*0,1*0,4=23,32 = 5,88

S2=34*0,6+13*0,2*0,4+21*0,7*

0,4+29*0,1*0,4=28,48 = 7,29

S3=39*0,6+(-11)*0,1*0,4+(-

2)*0,4*0,4+33*0,5*0,4=29,24 = 0,57

Ordinea de preferinta in functie de :

valoarea sperata a rezultatelor: V3> V2>V1.

marimea riscului: V1> V2>V3.

coeficientul de risc: V1> V2>V3.

Elemente de calcul pentru reprezentarea grafica a evolutiei riscului

Tabelul nr.12Strategii de pret Starile naturii Concurenta(rezultate) Probabilitati Probabilitati cumulate

18

S(pret scazut)

DAS 15 0,24 0,24M 17 0,12 0,24+0,12=0,36R 22 0,04 0,36+0,04=0,40

NU 28 0,6 0,4+0,6=1

M(pret mediu)

DAS 13 0,08 0,08M 21 0,28 0,28+0,08=0,36R 29 0,04 0,36+0,04=0,40

NU 34 0,6 0,4+0,6=1

R(pret ridicat)

DAS -11 0,04 0,04M -2 0,16 0,16+0,04=0,2R 33 0,20 0,2+0,2=0,4

NU 39 0,6 0,4+0,6=1

Cazul 3 O firma producatoare de articole textile intentioneaza sa laseze in fabricatie un nou produs. Pentru

aceasta,se studiaza posibilitatea construirii unei capacitati de productie. Din punct de vedere constructiv, s-au

identificat doua variante:

V1:Construirea unei sectii cu o capacitate anuala de productie la nivelul cererii estimate de catre serviciul de

marketing.

V2:Construirea unei sectii cu o capacitate anuala de productie mai mica, urmand ca dupa o etapa sa se

studieze extinderea capacitatii la nivelul cererii estimate. Aceasta posibila extindere a capacitatii de productie s-ar

putea efectua la inceputul etapei a II-a numai daca in prima etapa cererea a fost ridicata.

19

In tabelele 13 si 14 sunt prezentate veniturile nete anuale, exprimate in unitati monetare, probabilitatile de

aparitie ale cererii ridicate si a celei scazute pentru fiecare dintre cele doua etape ale orizontului decizional, precum

si durata acestora.

Venituri nete anuale Tabelul nr.13

Venituri constructiveSituatii posibile in functie de cerere si decizia de

extindere a capacitatii de productie

EtapaI II

2 ani 3 ani

V1Ridicata 170 150Scazuta 45 30

V2

Ridicata in etapa I-a;ridicata in etapa a II-a;capacitatea de productie se extinde la inceputul etapei a II-a

80 140

Ridicata in etapa I-a;ridicata in etapa a II-a;capacitatea de productie nu se extinde la inceputul etapei a II-a

80 75

Ridicata in etapa I-a;scazuta in etapa a II-a;capacitatea de productie se extinde la inceputul etapei a II-a

80 15

Scazuta in etapa I-a;scazuta in etapa a II-a 54 35

Probabilitati de aparitie ale cererii Tabelul nr.14

Nivelul cereriiProbabilitati

Etapa I Etapa II

20

Ridicata 0,6 0,3Scazuta 0,4 0,7

Pe baza datelor din tabelul 13, se poate realize arborele de decizie din figura nr.3.

21

Arbore de decizie

D

S1=438

S2=290,1

p(i)Rij Rij*pi

0,18

V1

V2

0,42

0,12

0,28

172*2+150*3=790R1 0,6 790*0,18

430*0,42

540*0,12

180*0,28

0,42

0,18

0,18 80*2+140*3=580

80*2+75*3=385

205*0,7

580*0,3

385*0,3

0,42

0,12

0,28

80*2+35*3=265

54*2+75*3=333

54*2+35*3=213

265*0,7

333*0,12

213*0,28

Et II 3 ani

Et I2 ani

172*2+30*3=430

45*2+150*3=540

45*2+30*3=180

R1 0,6

S1 0,4

S1 0,4

R2 0,3

S2 0,7

R2 0,3

S2 0,7

R1 0,6

R2 0,3

S2 0,7

317,5

Da extindere

80*2+15*3=205

Nu extindere

301 R2 0,3

S2 0,7

S1 0,4

S1 0,4

R2 0,3

S2 0,7

22

Se extinde capacitatea de productie deaoarece valoarea sperata a venitului de la ramura Da este mai mare

decat valoarea sperata de la ramura Nu si se pastreaza numai ramura Da.

Valoarea sperata a rezultatelor se poate determina folosind relatia:

Marimea riscului se calculeaza prin relatia:

23

Tabelul nr.15

Sj

SV1=790*0,18+430+0,42+540*0,12+180*0,28=438 = 205,47

SDa=580*0,3+205*0,7=317,5

= 7,29SNu=385*0,3+265*0,7=301

SV2=317,5*0,6+333*0,12+213*0,28=290,1

Calculandu-se valoarea sperata in cele doua variante V1 si V2, rezulta ca decizia care ofera un venit net

maxim este: construirea din prima etapa a unei capacitate de productie la nivelul cererii (V 1). Deci ordinea de

preferinta este: V1> V2.

Pentru aceasta varianta, valoarea riscului in marimi absolute este de 205,47.

2.2. Metode de luare a deciziilor in conditii incerte

24

Cazul I Tabelul nr 16

EiVj

V1 V2 V3 V4

E1 20 15 12 10E2 8 8 5 7E3 -2 0 -2 5E4 -4 -4 -5 -1

V1 – sectorul comercialV2 – sectorul serviciilorV3 – sectorul in domeniul financiar-bancarV4 – sectorul asigurarilor

2.2.1. Metoda maxi-max

Se alege acea linie de actiune (V*) care permite obtinerea rezultatului maxim, indifferent de starea naturii

care ar avea loc, conform relatiei:

V1 = 20 V2 = 15 V3 = 12

25

V4 = 10 Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei .

2.2.2. Metoda maxi-min (metoda prudentei)Metoda consta in aplicarea principiului maxi-min strategiilor decidentului. Pentru aceasta, se determina

valorile minime corespunzatoare fiecarei linii de actiune si se alege acea varianta (V*) careia ii corespunde valoarea

maxima, conform relatiei:

Decidentul urmareste alegerea

acelei linii de actiune care sa-I permita obtinerea unui rezultat maxim sigur, indiferent de starea naturii care se

produce.

V1 = -4

V2 = -4

V3 = -5

V4 = -1

Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei .

2.2.3. Metoda coeficientului de optimism

unde: Rij – rezultatul variantei j in cazul aparitiei starii naturii i.

26

Metoda consta in a alege linia de actiune care maximizeaza valoarea Vj, astfel:

,

Aceasta metoda presupune o combinare a celor doua metode anterioare.

Astfel:

- =0, se ajunge la metoda maxi-min

- =1, se obtine metoda maxi-max.

V1 - Max=20 V2 - Max=15 V3 - Max=12 V4 - Max=10

- Min=-4 - Min=-4 - Min=-5 - Min=-1

- =0

V1 = -4

V2 = -4

V3 = -5

V4 = -1

Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei .

- =1

unde: Rj min si Rj max reprezinta rezultatul minim,

respective maxim al variantei “j”

- coeficientul de optimism

27

V1 = 20

V2 = 15

V3 = 12

V4 = 10

Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei .

- =0,3

=0,3

1- =1-0,3=0,7

V1 = 0,3*20-0,7*4 = 6-2,8 = 3,2

V2 = 0,3*15-0,7*4 = 4,5-2,8 = 1,7

V3 = 0,3*12-0,7*5 =3,6-3,5 = 0,1

V4 = 0,3*10-0,7*1 = 3-0,7 = 2,3

Rezulta ca valoarea maxima corespunde variantei .

2.2.4. Metoda sperantei matematice

28

2.2.4.1.Criteriul lui Laplace

Speranta matematica se calculeaza conform relatiei:

, unde n- numarul starilor naturii.

Rezulta ca valoarea optima corespunde variantei .

2.2.4.2.Probabilitati de tip bayesian

29

V1 = 20*0,3+8*0,2-2*0,4-4*0,1 = 6+1,6-0,8-0,4 = 6,4

V2 = 15*0,3+8*0,2+0*0,4-4*0,1 = 4,5+1,6+0-0,4 = 6,8

V3 = 12*0,3+5*0,2-2*0,4-5*0,1 = 3.6+1-0,8-0,5 = 3,3

V4 = 10*0,3+7*0,2+5*0,4-1*0,1 = 3+1,4+2-0,1 = 6,3

Varianta careia ii corespunde speranta matematica maxima este .

2.4.5.Metoda regretului minim

Presupunand ca in matricea rezultatelor starile naturii sunt trecute pe linii, iar variantele de actiune pe

coloane, elementele matricii regretelor (rij)se obtin scazand elementele fiecarei linii din elementul maxim al liniei

respective, adica:

rij= Ri max – Rij

unde: j=1,2,…,n;

i=1,2,…m;

Ri max – reprezinta valoarea maxima a rezultatelor pe linia starii naturii

“i”.

30

Varianta optima se determina folosind relatia:

Tabelul nr.17

EiVj

Ri maxV1 V2 V3 V4

E1 20 15 12 10 R1 max =20E2 8 8 5 7 R2 max =8E3 -2 0 -2 5 R3 max =5E4 -4 -4 -5 -1 R4 max =-1

Matricea regretelor Tabelul nr.18

EiVj

V1 V2 V3 V4

(20) E1 0 5 8 10(8) E2 0 0 3 1(5) E3 7 5 7 0(-1) E4 3 3 4 0Max rij 7 5 8 10

V1 = 7

V2 = 5

unde: rij regrete

31

V3 = 8

V4 = 10

Rezulta ca valoarea minima corespunde variantei .

32