Probleme demonstrate în - Digitaliada

Probleme demonstrate în

aplicația GeoGebra

Clasa a VIII-a, Semestrul I

Textul și ilustrațiile din acest document sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor

licenței Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe

pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. Coperta , ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-

urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi

de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de

drepturi.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Probleme demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul I

Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

1

Cuprins

PUNCTE, DREPTE, PLANE, CORPURI ........................................................................................................................... 2

Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie ................................................................................................... 2

Determinarea dreptei; determinarea planului ............................................................................................................. 4

Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul ........................................................................................................... 6

Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul......................................................................... 7

RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE ................................................................................................................ 9

Dreaptă perpendiculară pe un plan; distanţa de la un punct la un plan; înălţimea piramidei ......................................... 9

Secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate ........................................................................................ 11

PROIECŢII ORTOGONALE PE UN PLAN ...................................................................................................................... 14

Proiecţii ortogonale de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan ..................................................... 14

Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecţiei unui segment....................................................................... 16

Teorema celor trei perpendiculare ............................................................................................................................ 18

Calculul distanţei de la un punct la o dreaptă; calcululul distanţei dintre două plane paralele......................................21

Unghi diedru. Unghiul a două plane .......................................................................................................................... 23

BIBLIOGRAFIE .............................................................................................................................................................. 25


Semestrul I


2

PUNCTE, DREPTE, PLANE, CORPURI

Puncte, drepte, plane: convenţii de desen şi notaţie

1. Reprezentați printr-un desen:

a) Planul , punctele și dreapta

b) Planul , punctele și triunghiul


Semestrul I


3

2. Reprezentați printr-un desen:

a) Planul , triunghiul , cu , - şi , iar ( ) .

b) Planul , triunghiul echilateral , cu , - şi .


Semestrul I


4

Determinarea dreptei; determinarea planului

1. Într-un plan sunt date 5 puncte distincte şi un punct care nu aparţine planului.

a) Care este cel mai mic număr de drepte care să treacă prin cel puţin două dintre ele?

Punctele sunt coliniare, deci s-au format 6 drepte.

b) Dar cel mai mare număr?

Punctele nu sunt coliniare, deci s-au format 15 drepte.


Semestrul I


5

2. Se consideră pe planul triunghiul cu latura , şi . Fie ( ) ( ) astfel încât .

a) Dacă dreapta * +, arătaţi că punctele şi sunt coliniare.

b) Calculaţi perimetrul patrulaterului


Semestrul I


6

Piramida: descriere și reprezentare; tetraedrul

1. Construiți o piramidă triunghiulară și realizați desfășurarea acesteia.

2. Construiți o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei de și înălțimea de . Realizați

desfășurarea acesteia.


Semestrul I


7

Prisma: descriere și reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul

1. Construiți o prismă patrulateră și realizați desfășurarea acesteia.

2. Construiți o prismă triunghiulară regulată și realizați desfășurarea acesteia.


Semestrul I


8

3. Construiți un cub cu latura bazei de .


Semestrul I


9

RELAȚII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ȘI PLANE Dreapta perpendiculară pe un plan; distanța de la un punct la un plan; înâlțimea piramidei

1. Pe planul pătratului , cu , se ridică perpendiculara , cu . Aflaţi lungimile

şi , unde este centrul pătratului (Lungimile segmentelor și le vom aproxima cu două zecimale)

2. Pe planul , ( ) , cu şi , în centrul cercului circumscris lui, se ridică

perpendiculara . Aflaţi distanţele de la la vârfurile


Semestrul I


10

3. Pe planul triunghiului isoscel se ridică perpendiculara . Se ştie că , iar a) Calculaţi ;

b) Arătaţi că ( ), unde este mijlocul laturii ;

c) Calculaţi ( ) (Aproximare cu două zecimale).


Semestrul I


11

Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate

1. O piramidă triunghiulară regulată are baza , cu şi . Fie mijlocul muchiei , -. a) Calculaţi ; b) Se consideră planul paralel cu ( ) care conţine punctul , unde este centrul . Calculaţi aria

secţiunii obţinute în piramida . (Aria se va aproxima cu două zecimale)


Semestrul I


12

2. Pe înălţimea a piramidei patrulatere regulate se consideră punctul . Prin punctul se duce planul

paralel cu planul bazei piramidei care taie muchiile , - , - , - şi , - în punctele , respectiv . Ştiind că

şi , calculaţi:

a) (aproximare cu două zecimale);

b) Lungimea apotemei piramidei

Figură:


Semestrul I


13

3. Fie prisma patrulateră regulată în care şi . Pe segmentul , - se consideră

punctele şi astfel încât . Planele şi sunt paralele cu bazele prismei, iar şi .

Calculaţi:

a) ; b) ( ).


Semestrul I


14

PROIECȚII ORTOGONALE PE UN PLAN Proiecții ortogonale de puncte, de segmente de dreaptă și de drepte pe un plan

1. Punctele şi sunt de o parte şi de alta a planului , iar punctele şi sunt proiecţiile punctelor ,

respectiv pe planul . Dacă * +, arătaţi că punctele şi sunt coliniare.

2. Fie un pătrat de latură . Pe planul pătratului se ridică perpendiculara şi se

notează cu şi proiecţiile punctului pe planele ( ) şi respectiv, ( ).

a) Arătaţi că dreapta este paralelă cu planul ( ).

b) Calculaţi aria triunghiului şi a trapezului (Aproximare cu două zecimale)


Semestrul I


15

3. Fie o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei de şi înălţimea piramidei . Dacă

şi sunt proiecţiile punctului pe planele ( ) ( ) ( ) şi respectiv, ( ), stabiliţi poziţia

planului ( ) faţă de planul bazei şi calculaţi aria patrulaterului


Semestrul I


16

Unghiul dintre o dreaptă și un plan; lungimea proiecției unui segment

1. În cubul ABCDEFGH, calculaţi:

a) ( ( )̂ ); b) ( ( )̂ ); c) ( ( )̂ )

2. Fie un tetraedru regulat cu latura a) Determinaţi lungimea apotemei tetraedrului.

b) Calculaţi distanţa de la la planul ( ) (Aproximare cu 2 zecimale)

c) Calculaţi ( ( )̂ ).


Semestrul I


17

3. În vârfurile şi ale pătratului se ridică pe planul acestuia, de aceeaşi parte, perpendicularele şi ,

unde şi .

a) Determinaţi ( ( )̂ );

b) Arătaţi că ( ̂ ) ;

c) Arătaţi că , - , -, unde este centru pătratului.


Semestrul I


18

Teorema celor trei perpendiculare

1. Piramida triunghiulară regulată are latura bazei și înălțimea . Calculați:

a) Distanța de la la latura .

b) Distanța de la la planul ( ) (Aproximare cu două zecimale)


Semestrul I


19

2. Pe planul dreptunghiului , cu şi , se ridică perpendiculara a) Arătaţi că

b) Arătaţi că este dreptunghic.

c) Calculaţi ( ) şi ( ) (Aproximare cu două zecimale)


Semestrul I


20

3. Fie cubul cu a) Arătaţi că unde * +.

b) Calculaţi ( ) (Aproximare cu două zecimale)

c) Calculaţi ( ( )). (Aproximare cu două zecimale)


Semestrul I


21

Calculul distanței de la un punct la o dreaptă; calculul distanței dintre două plane paralele

1. Paralelipipedul dreptunghic are şi . Calculaţi:

a) ( ); b) ( ); d) ( ); e) ( ), unde * + f) ( ( ))

(Distanţele se vor aproxima cu două zecimale)


Semestrul I


22

2. Fie HABCDEF piramida hexagonală regulată în care și Calculați:

a) ( ); b) ( ( )); c) ( ( )), unde este mijlocul , -

(Distanţele se vor aproxima cu două zecimale)


Semestrul I


23

Unghi diedru. Unghiul a două plane

1. Fie cubul , cu Calculaţi:

a) Măsura unghiului format de planele ( ) şi ( );

b) Măsura unghiului diedru format de planele ( ) şi ( )


Semestrul I


24

2. Fie o prismă triunghiulară regulate dreaptă cu şi iar este mijlocul

, - Calculaţi:

a) Distanţa de la la ;

b) Măsura unghiului diedru format de planele ( ) şi ( )

c) Măsura unghiului diedru format de planele ( ) şi ( )


Semestrul I


25

BIBLIOGRAFIE

1. Fianu M., Perianu M., Săvulescu D., Matematică, clasa a VIII-a Editura ART, Clubul Matematicienilor,

București, 2015.

2. Anton Negrilă, Maria Negrilă, Matematică algebră, geometrie, clasa a VIII-a Consolidare, Semestrul I, Editura

Paralela 45, Pitești 2016.

Probleme demonstrate în - Digitaliada

Documents

Transcript of Probleme demonstrate în - Digitaliada