Probleme Rez6

1

Probleme rezolvate

I.Modelul simplu de regresie

Aplicația I.1

În perioada 2003-2009 numărul de salariați din Cercetare și Dezvoltare (notați cu NSCD) a

fost de : 3,9; 4,07; 4,1; 4,2; 4,2; 4,35; 4,24 (valorile sunt exprimate în sute mii persoane). Se

cere:

a) Să se estimeze parametrii unui model de forma 7,1, tbtaNSCDt

b) Să se testeze dacă b diferă semnificativ de zero la un prag de 5%

c) Să se construiască un estimator pentru matricea de varianță-covarianță a

estimatorilor, ba,

d) Estimați folosind un interval de încredere numarul de salariați din Cercetare și

Dezvoltare pentru anii 2010-2012. Sunt rezultatele fezabile? De ce?

Soluție

Fie T=7 numărul de perioade pe care se face analiza. Atunci :

a) baFtbaNSCDtˆ,ˆminˆˆminˆmin

22

0ˆˆ20ˆ

ˆ,ˆ

0ˆˆ20ˆ

ˆ,ˆ

ttbaNSCDb

baF

tbaNSCDa

baF

t

t

tNSCDtbta

NSCDtbTa

2ˆˆ

ˆˆ

Rezolvând sistemul se ajunge la

tbDNSCa

tNSCTb

t

ˆˆ

ˆ

,covˆ2

2842

1

7

7....321

t

T

T

tt

41620ˆ1406

1587

6

)12)(1( 2

2

22

tT

tTTTt t

2

0,24= 16,60-16,8464151,47

724,4...207,419,3

),cov(

tNSCDT

tNSCDtNSCD

t

Și deci

911,3406,01514,4ˆˆ

06,04

24,0,covˆ2

tbNSCDa

tNSCDb

t

b) Se testează ipotezele 0

0

1

0

bH

bH. Pentru aceasta se calculează statistica

b

b

bt

0ˆ . Unde

t

bT

ˆ

ˆˆ

Nu se cunoaște . Pentru a determina valoarea acestui indicatori folosim următoarele relații:

0047,05

02367,0

22

ˆˆ

2^

2

2

T

NSCDNSCD

T

tt 0688,0ˆ

331,4706,0911,3

...

...

031,406,0971,3206,0911,3

971,306,0911,3

ˆˆ

7

^

2

1

^

NSCD

NSCD

NSCD

tbaNSCDt

Revenind la testarea parametrului b, pe baza calculelor de mai sus rezultă:

62,427/0688,0

06,0

ˆ

0ˆ

b

b

bt

Cum această valoarea calculată este superioară valorii critice (valoarea critică nu este dată ,

dar din experiența cititorului se cunoaște faptul că ea este în jurul valorii 2-Se poate consulta

distribuția Student pentru a alege valoarea exactă corespunzătoare pragului de 5%) se poate

accepta ipoteza alternativă, panta dreptei de regresie temporală diferă semnificativ de zero la

pragul de semnificație specificat. Altfel spus pe baza datelor existente se poate accepta că

3

exită un trend semnificativ din punct de vedere statistic privind evoluția numărului de

salariați din Cercetare și Dezvoltare în perioada analizată

.

c).

2

2

,ˆ)ˆ,ˆcov(

ˆ,ˆcovˆ

b

aba

ab

ba

. Se cunoaște că

2

21ˆˆ

t

aT

t

T

t

bT

ˆ

ˆˆ , iar

2

2

ˆˆˆ,ˆcov

tT

tba

Înlocuind în aceste expresii valorile calculate la punctele anterioare rezultă că

47

1

47

447

4

47

16

7

1

0047,0

ˆ

1

ˆ

ˆˆ

1

ˆ

22

22

2

2

,

tt

ttba

TT

t

T

t

T

t

T

d)O estimație punctuală se poate construi astfel

391,4806,0911,32010 NSCD

Eroarea de previziune

212,047

48

7

110688,036,2

ˆ

11ˆ

2

2

2

2/

t

p

yT

tt

Tt

Cu o probabilitate de 95% se poate spună că numărul de salariați din domeniul Cercetare și

Dezvoltare în anul 2010 va fi cuprins între 417 900 și 460300 persoane.

Intervalul de încredere este fezabil dacă totți factorii care au acționat în trecut asupra variabilelor

măsurate își păstrează direcția și intensitatea acțiunii și în perioadele de previziune. Cum în

ultima parte a perioadei de analiză a apărut criza economică (un factor nou a cărui dimenisiune și

direcție poate fi doar estimată în viitor) intervalul de încredere trebuie privit cu rezerve.

Observație: Întreaga problemă se poate mai ușor folosind variabila t cu valorile

3,2,1,0,1,2,3 în locul variabilei t utilizate în rezolvarea de mai sus.

4

Aplicația I.2

Pentru a urmări dependența dintre prețul de vânzare al unui produs și cantitățile vândute,

au fost înregistrate 32 de valori. În urma prelucrării datelor a fost obținut modelul:

i

ix

y1

2,42,12ˆ ,. Se mai cunosc, de asemenea, 2,1ˆ y și 2,0ˆ/1 x

Se cere:

a) Să se testeze la un prag de semnificație de 5%, folosind Testul F, validitatea modelului

de regresie;

b) Pentru o probabilitate de 0,99, precizațí dacă, b, pentru care 2,4ˆ b diferă semnificativ

de 1;

c) Evaluați coeficientul de corelație dintre y și x/1 . Testați semnificația statistică a

acestuia.

Observație

Pentru rezolvarea problemei se pot folosi valorile critice 17,457,2 30,1,05,030,2/01,0 Ft .

Rezolvare

a) Se testează ipotezele 0

0

2

1

2

0

RH

RH . Pentru aceasta se calculează statistica

,1

1 2

2

k

kn

R

RF

unde

49,0

2,1

2,02,4

ˆ

ˆˆˆ2

2

2

/1

2

2

2

2

2

)/1/(2

y

x

y

xy

n

nb

yy

yy

V

VR

De unde imediat rezultă 82,283051,0

49,0F .

Cum 30,1,05,0FF se poate respinge ipoteza nulă și în concluzie se poate accepta validitatea

modelului cu o probabilitate de 95%.

b) Se testează ipotezele 1

1

1

0

bH

bH. Pentru aceasta se calculează statistica

5

b

b

bt

1ˆ . Unde

x

bn /1ˆ

ˆˆ

Dar

2

2

2

ˆ

ˆ)1(1

yn

knR

78,030

44,13251,0

1

ˆ)1(ˆ

2

22

kn

nR

y . În aceste condiții 923,4

04,030

78,0

12,4

ˆ

1ˆ

b

b

bt

Deoarece 57,2923,4 30,2/01,0ttb se respinge ipoteza nulă și în consecință se poate

accepta faptul că b diferă semnificativ de 1.

c) 7,02 Rr , valoare ce indică o legătură strânsă între inversul prețului de vânzare și

cantitatea vândută.

Pentru testarea acestui indicator se parcurg pașii

1. se specifică ipotezele de lucru 0

0

1

0

H

H

2. se calculează statistica 37,582,2821 2

Fnr

rtr

3. se compară rt cu valoarea critică , și deoarece 5,37 > 2,57 se poate accepta că legătura

dintre inversul prețului și cantitatea vândută este semnficativă

Aplicația I.3

Pentru două variabile statistice, X și Y au fost înregistrate valorile pentru 50 de unități

statistice. În urma prelucrării datelor s-au obținut rezultatele următoare.

9100,200,12,15000,1522

iiii yxxxxyy

Folosind datele de mai sus se cere:

a) Să se precizeze care dintre cele două variabile statistice este mai omogenă.

b) Să se calculeze coeficientul liniar de corelație, iar pentru un prag de semnificație de

5% stabiliți dacă valoarea acestuia diferă semnificativ de zero. 01,248,2/05,0 t

6

c) Să se estimeze parametrii modelului xy prin metoda celor mai mici

pătrate

d) Să se stabilească dacă modelul de regresie este corect specificat

e) Pentru un prag de semnificație de 5% să se determine un interval de încredere

pentru valoarea lui y dacă nivelul caracteristicii X este 15 )15( px .

Rezolvare

a) Pentru a compara gradul de omogenitate al celor două variabile se calculează cei doi

coeficienți ve variație

yv

xv

y

Y

xX

ˆ

ˆ

unde 50

200ˆ x =2 iar 66,8225300ˆ 2

2

yn

yi

y

În aceste condiții 16666,012

2Xv și 577,0

15

66,8Yv de unde rezultă că variabila X este

mai omogenă decât Y.

b) 115,066,82

1512180

ˆˆ

),cov(

xvyv

yxn

xy

YXr

XYyx

xy

Pentru testarea acestui indicator se parcurg pașii

1. se specifică ipotezele de lucru 0

0

1

0

H

H

2. se calculează statistica 84,04894,0

115,02

1 2

n

r

rt

xy

xy

r

3. se compară rt cu valoarea critică , și deoarece 0,84 < 2,01 nu se poate accepta că

legătura dintre cele două variabile statistice este semnificativă statistic la un prag de 5%

7

c) În urma aplicării MCMMP și rezolvării sistemului de ecuații normale se ajunge la

2ˆ

),cov(ˆ

x

YX

=0,5 și 9125,015ˆˆ xy

d) Pentru a verifica dacă modelul este corect specificat se poate testa semnificația

coeficientului variabilei factoriale sau se poate aplica testul Fisher

0

0

1

0

H

H 717,0)2(

1

2

2

2

rtnR

RF . Valoarea statisticii calculate este inferioară

valorii critice preluate din distribuția Fisher, în concluzie modelul nu este corect specificat

(nu este adecvată specificarea unei forme liniare).

e) 1ˆˆ115 yxyx yyyP

unde 5,16155,0915ˆˆˆ15 xy

315,8ˆ14,6948

7550885,0

2

ˆ)1(ˆ

ˆ

ˆ)2(1

2

22

2

222

n

nr

n

nrR

y

y

de unde

rezultă că

59,17430/350/11315,801,21

1ˆ 2

2

2

1,2/

xx

xx

nt

p

kny

Cu o probabilitate de 95% valoarea lui y în condițiile în care X=15 iar toți ceilalți factori își

păstrează modul de manifestare va fi cuprinsă între 16,5-17,8 și 16,5+17,8. 3,34;3,115 xy

Observații.

Intervalul de încredere astfel determinat nu are utilitate practică.

Nu este recomandat să se construiască un interval de încredere în condițiile în care modelul

econometric pe baza căruia s-a efectuat previziunea nu este validat din punct de vedere statistic.

8

În cazul de față construirea intervaluui a fost făcută doar cu scop didactic.

Aplicația I.4

Pentru două caracteristici (prețul de vânzare, cantitatea vândută =Y) au fost observate 20

de valori. Considerând că între acestea există relația de dependență liniară, s-a estimat,

pentru datele observate, următoarea funcție liniară de regresie: ii xy 216ˆ . S-au

determinat de asemenea, estimațiile pentru variabila reziduală, acestea fiind prezentate în

tabelul de mai jos:

)10,1(ˆ ii 0,12 -0,15 0,25 -0,18 -0,36 0,25 0,28 -0,24 0,12 -0,25

)20,11(ˆ ii 0,14 -0,18 0,22 0,19 -0,23 0,18 -0,29 0,33 -0,15 -0,05

Pentru cele două caracteristici se mai cunosc următoarele: nivelul mediu al caracteristicii

Y este 40, valorile variabilei X formează o progresie aritmetică cu semidiferența valorilor

extreme egală cu 4,75.

Se cer următoarele

(i). Să se reconstitutie cele două serii de date

(ii). Să se testeze, folosind testul F, dacă modelul de regresie este corect specificat

(iii). Să se testeze, dacă panta dreptei de regresie diferă semnificativ de 2.5 pentru un prag

de semificație de 5%

(iv). Să se măsoare intensitatea dependenței dintre cele două serii prin calcularea

coeficientului liniar de corelație. Să se testeze semnificația acestuia la un prag adecvat.

(v). Utilizând un test adecvat să se precizeze dacă fenomenul de autocorelare de ordinul I

poate fi neglijat la un prag de semnificație de 5%. La acest prag valorile critice din

Distribuția Durbin Watson sunt (dl=1,20 și du=1,41)

Soluție

(i). Dacă valorile lui X formează o progresie aritmetică cu rația r atunci 20,1,1 irxx ii .

În aceste condiții rnxxn )1(1 . Dar 5,01975,42

120

rrxx

Dearece 24020

122/)1640(40

i

ix

xxy

25,7125,9

2402

201920)19(...)2()(...

11

111112021

xrx

rxrxrxrxxxxxxi

9

Acum se determină foarte ușor toate valorile lui X. Apoi se înlocuiește fiecare valoare a lui x în

model, se adună valoarea estimată a componentei reziduale și se obține y.

Valorile astfel calculate sunt prezentate în tabelul de mai jos

Valorile lui x Modelul econometric Valorile lui y

X1=7,25

ii xy 216ˆ de unde

iii xy 216

12,025,72161 y =30,62

X2=x1+r=7,25+0,5=7,75 y2=16+2∙ 7,75-0,15=31,35

X3=x2+r=7,75+0,5=8,25 y3=16+2∙8,25+0,25=32,75

X4=8,75 y4=16+2∙8,75-0,18=33,32

X5=9,25 y5=16+2∙9,25-0,36=34,14

X6=9,75 y6=35,75

X7=10,25 y7=36,78

X8=10,75 y8=37,26

X9=11,25 y9=38,62

X10=11,75 y10=39,25

X11=12,25 y11=40,64

X12=12,75 y12=41,32

X13=13,25 y13=42,72

X14=13,75 y14=43,69

X15=14,25 y15=44,27

X16=14,75 y16=45,68

X17=15,25 y17=46,21

X18=15,75 y18=47,83

X19=16,25 y19=48,35

X20=16,75 y20=49,45

(ii).Deoarece modelul este liniar se poate folosi relația 22 Rr . Fie b coeficientul lui x din

modelul prezentat in enunț.

Se determină ușor

3125,8ˆ

2

2

n

xxx ,și

2648,33ˆ

2

2

n

yyy

99,0

2648,33

3125,84

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

,cov2

222

y

x

y

x

yx

brbyx

r

10

0

0

1

0

bH

bH 178218

01,0

99,0)2(

1 2

2

nR

RF . Valoarea statisticii calculate este mult

peste valoarea critică preluată din distribuția Fisher, se poate accepta astfel că modelul este

corect specificat

Observație: Dacă valoarea lui r depășește 0,85 atunci modelul specificat ridică semne de

întrebare privind relevanța practică. Există posibilitatea ca una sau mai multe ipoteze ale

modelului de regresie specificat să fie încălcate. De asemenea o posibilă cauza privind valoarea

foarte mare a lui r este și înregistrarea valorilor variabilelor cu erori.

(iii). Pentru testarea coeficientului lui x în raport cu valoarea 2,5 se procedează astfel:

Se definesc ipotezele

5,2

5,2

1

0

bH

bH

Se calculează statistica

b

b

bt

5,2ˆ. Unde

x

bn

ˆ

ˆˆ . iar 0542,0

2

ˆˆ

2

2

n

i

În aceste condiții 7,2701805,0

5,0

31,820

0542,0

5,22

ˆ

5,2ˆ

b

b

bt

.

Deoarece 10,27,27 18,2/05,0ttb se respinge ipoteza nulă și în consecință se poate accepta

faptul că b diferă semnificativ de 2,5.

(iv). Folosind informațiile de la punctul (ii) 99,0ˆ, ryx . Legătura dintre cele două variabile

este extrem de strânsă , cvasideterministă. Vezi observația de la punctul (ii).

a) Pentru testarea acestuia se specifică ipotezele 0

0

1

0

H

H

b) se calculează statistica 421801,0

99,02

1 2

n

r

rt

xy

xy

r

Se poate folosi și faptul că 42)2(1

21

2

2

2

Fn

R

Rn

r

rt

xy

xy

r

c) se compară rt cu valoarea critică , și deoarece 42>> 2,10 se poate accepta că legătura

dintre cele două variabile statistice este semnificativă statistic la un prag de 5%

11

v). Pentru depistarea prezenței autocorelării erorilor se poate utiliza testul Durbin-Watson.

)ˆ1(2

22

12

1

2

2

1

tt

t

tt

t

ttDW

528,09741,0

5147,0

)05,0...()15,0(12,0

)15,005,0...()15,024,0()12,015,0(

ˆ

ˆˆˆ

2222

1

1

1

t

tt

tt

056,3)528,01(2 DW

Utilizând valorile critice, 4-d1=4-1,20=2,80; 4-dU=4-1,41=2,59. Valoarea calculată este situată

între 4-dl și 4. Conform testului Turbin Watson suntem în zona de autocorelare puternică.

II.Regresia multiplă

Aplicația II.1

Trei variabile statistice X1, X

2 și Y* se transformă conform relațiilor

*11

**

1

22

2

11

1 ,,

y

i

X

ii

X

ii

yyy

xxx

xxx

.Pe un număr de 20 observații ,0ˆ

2!1XX

6,0ˆ1, XY 35,0ˆ

2YX . Se acceptă de asemenea că variabilele transformate nu sunt

corelate cu variabila reziduală.

Se cere:

a) Estimați parametrii modelului iiii xxy 22110

b) Testați dacă parametrul corespunzător variabilei X1 diferă semnificativ de -0,5 la un

prag de semnificație de 1% 89,217,2/ t

c) Interpretați parametrii din punct de vedere economic

d) Cât de intensă este legătura dintre X2 și Y. Este semnificativă această legătură la un

prag de 1%

e) Construiți un interval de încredere pentru valoarea lui y la un prag de 5% în

condițiile în care X1 și X2 iau valorile 2 și respectiv 0,3.

Soluție

a) În urma aplicării MCMMP se obține

YXXX tt 1

2

1

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

12

După calcule imediate, caracteristice modelului cu doi factori, rezultă că în general

Matricea

2

2122

21

2

11

21

xxxx

xxxx

xxn

XX T iar

yx

yx

y

YX T

2

1

Daca ținem cont de informațiile prezentate în enunț se poate observa că

.01 11

11

1

11

XXE

XXXE

XX Analog 02 YEXE

11

2

2

11

2

11

1

1

1

11

X

X

XX

XXVARXX

VARXVAR

sau

1)(

2

2

2

2112

112

1

2

111

1

1

11

X

X

XX

XXEXXEXEXXEXVAR

Analog pentru X2 și Y

Trecând la eșantionul dat rezultă că

1

0

22

22

2

12

2

2

1

1

21

n

y

n

x

n

x

n

yy

n

xx

n

xx

i

X

i

X

iii

n

yxr

n

yxYXE

yEYEXEXE

YEXEYXEYXr

YX

YX

YX

2

11

222

1

2

1

111

2

1

1 )01)(01(

0

)(

)()(),cov(

100

010

001

20

1

20

1;20

2000

0200

0020

3

1

3 IXXIXX tT

și

7

12

0

35,020

)6,0(20

020

2

1

yx

yx

t

nr

nr

yn

YX

13

De unde

35,0

6,0

0001

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

2

13

1

2

1

0

YX

YX

YX

YX

tt

r

r

nr

nrIn

YXXX

De reținut! Dacă variabilele sunt standardizate atunci coeficienții variabilelor factor dintr-

un model de regresie sunt egali chiar cu coeficienții de corelație liniară dintre variabilele

factor și variabila dependentă.

b) Pentru testarea coeficientului lui X2 se procedează astfel

Se specifică ipotezele

5,0

5,0

21

20

H

H

Se calculează statistica

2

2 ˆ

5,0ˆ2

ˆ

t . Unde 22

ˆˆ d . Unde d22 reprezintă elementul de pe diagonala

principală (linia 2, coloana 2) din matricea 1XX t . Acest lucru este o consecință a faptului

că

12

2

1202

21

2

01

2010

2

ˆ

,cov,cov

,cov,cov

,cov,cov

ˆvar

2

1

0

XX t

Dar în cazul de față 20

1ˆˆ

20

1ˆˆ 22

3

212

2

IXX t

Apare problema determinării lui 2ˆ . Pentru a o rezolva apelăm la descompunerea variației

(ANOVA). Aici se știe că /,/ 21 yXXyy VVV (1) (Din faptul că cei doi factori sunt

independenți și necorelați cu variabila reziduală)

Această relație (1) mai este echivalentă și cu

2

2121

22

2

22

1

2 ˆ)3(),cov(ˆˆ2ˆˆˆ21 nXXnnnn XXy (2)

În (2) înlocuim valorile calculate mai sus și avem:

222 ˆ)320(0120)35,0(120)6,0(120 . De unde 6088,0ˆ 2

14

În aceste condiții 5733,01744,0

1,0

20

6088,0

5,06,0

ˆ

5,0ˆ

2

2

2ˆ

t .

Deoarece 89,25733,0 17,2/05,0ˆ2tt nu se poate respinge ipoteza nulă și în consecință se

poate accepta faptul că 2 nu diferă semnificativ de -0,5.

c). În lipsa unor semnificații economice ale variabilelor coeficienții vor fi interpretați pe caz

general. O variantă de interpretare ar putea fi următoarea

Pentru 1 . Atunci cand X1 crește cu o unitate iar X2 rămâne constant Y scade în medie cu 0,6

unități

Pentru 2 . Atunci cand X2 crește cu o unitate iar X1 rămâne constant Y crește în medie cu 0,35

unități.

Observația1. În urma transformării aplicate asupra variabilelor inițiale, X1,X2 și Y devin

adimensionale.

Observația2. Deoarece toate valorile vor fi situate în același interval (-1;1) se poate măsura

impactul fiecărui factor prin intermediul valorii coeficienților (dacă acești sunt

semnificativi din punct de vedere statistic). Cu cât coficientul este mai mare în modul cu

atât influența factorului corespunzător este mai mare.

d). Coeficientul de corelație liniară dintre cele două variabile este de 0,35. Valoare ce indică o

legătură moderat-slabă.

Pentru testarea statistică a legăturii se procedează astfel:

a) Se specifică ipotezele

0

0

2

2

,1

,0

XY

XY

H

H

b) Se construiește statistica

586,118936,0

35,02

ˆ1

ˆ

2

, 2

2

nt

XY

YX

c) Se compară cu valoarea critică. Deoarece valoarea calculată este inferioară valorii critice

atunci nu se poate respinge ipoteza nulă. Legătura liniară dintre cele două variabile nu

este semnificativă statistic.

e). Intervalul de încredere se construiește plecând de la estimația punctuală

15

Dacă X1=2 și X2=0,3 atunci. Fie

3,0

2

1

0X vectorul de previziune

Eroarea de previziune

834,1

3,0

2

1

100

010

001

20

13,021178,01,21ˆ

0

1

03,2/

XXXXt ttny

Cu o probabilitate 95% valoarea lui y va fi cuprinsă între -2,92 și 0,739.

Aplicația II.3

Relația de dependență dintre producția (Y), cantitatea de muncă (L) și capitalul fix (K)

pentru un număr de 50 de companii din domeniul producției industriale este descrisă prin

intermediul unei funcții de producție de tip Cobb-Douglas.

Considerăm cunoscute următoarele rezultate obținute în urma prelucrării seriilor de date

pentru cele trei variabile

18)log()log(12)log()log(

16,0))log(),cov(log(,88log(,18)log()log(

0)log()log()log(,20)log()log(

22

2

KYLY

KLYKK

YLKLL

Se cere :

a) Să se estimeze parametrii modelului de regresie definit prin intermediul funcției de

tip Cobb-Douglas

b) Să se calculeze matricea de covarianță pentru estimatorii modelului (1)

c) Să se stabilească dacă (coeficientul lui L) diferă de zero.

d) Să se calculeze R2

e) Să se decidă la un prag de semnificație de 5% dacă funcția este cu randament

constant la scală.

Soluție

Modelarea econometrică a producției prin intermediul unei funcții de tip Cobb-Douglas

presupune definirea modelului eLAKY . În urma logaritmării naturale acesta devine

)log()log()log()log( LKAY , un model liniar multiplu în coordonate logaritmice.

Putem nota 21 )log(,)log(,)log(,)log( xLxKaAyY pentru a simplifica scrierea.

095,13,035,026,0ˆ3,02,21 xXy

16

a). Se știe că YXXX

att 1

ˆ

Pe baza datelor cunoscute din enunț se observă că

2080

8180

0050

2

2212

21

2

11

21

xxxx

xxxx

xxn

XX t iar

12

18

0

YX t

Atunci

243,0

891,0

0

12

18

0

0608,0027,00

027,00676,00

0002,0

ˆ1

YXXX

att

b.) Matricea de var-covar este

12

2

2

2

ˆ

,cov,cov

,cov,cov

,cov,cov

ˆvar

XX

a

a

aat

a

Pentru a determina 2ˆ apelăm la relația de descompunere a varianței.

/,/ 21 yXXyy VVV (1) (Din faptul că cei doi factori sunt independenți și necorelați cu variabila

reziduală)

Această relație (1) mai este echivalentă și cu

2

21

2222 ˆ)3(),cov(2ˆˆ21 nxxnnnn XXy

222 ˆ*478*243,0*891,0*220*)243,0(18*)891,0(88

De unde 47,1ˆ 2 de unde

0608,0027,00

027,00676,00

0002,0

47,1ˆ

,cov,cov

,cov,cov

,cov,cov

ˆvar12

2

2

2

XX

a

a

aat

a

c.) Pentru testare se procedează astfel

Se specifică ipotezele 0

0

1

0

H

H

Se calculează statistica 81,00608,047,1

0243,0

ˆ

0ˆ

t

Deoarece 47,2/ tt se acceptă ipoteza nulă => parametrul nu diferă semnificativ de zero.

17

d.) Cel mai ușor %4,2188

47,1471

ˆ)3(11

2

2/2

yy

y

n

n

V

VR

e) .Pentru a decide dacă funcția este cu randament constant la scală sau nu, se va testa ipoteza

sumei elasticităților.

1

1

1

0

H

H

Pentru a testa aceste ipoteze construim statistica

2

3307,0

134,0

027,020608,00676,047,1

1243,0891,0

,cov2

1ˆˆ1ˆˆ

22

critictt

Se poate accepta ipoteza nulă=> funcția este cu randament constant la scală.

Aplicația II.4

Fie modelul xy 10 pentru care se cunosc următoarele prorpietăți

jijixE jii ,0,cov,var,0 2

Să se estimeze parametrii modelului utiizând MCMMP și MCMMP-generalizată.

Comparați rezultatele

Soluția I

Modelul se poate scrie matricial astfel XY . Pe baza informațiilor din enunț se poate scrie

că

23

2

1

2

2

22

12

...000

...............

0...00

0...00

0...00

...000

...............

0......00

0...00

0...00

cov

nnx

x

x

x

x

x

x

Var

Estimând paramterii prin MCMMP-clasică rezultă că YXXX tt 1ˆ

Pentru a estima parametrii cu scopul eliminării heteroscedasticității prezente, se aplică o

transformare asupra modelului. Fie T matricea de transformate aplicată. Matricea T respectă

următoare condiție

n

n

x

x

x

x

TTITTTTTVar

1...000

...............

0...1

00

0...01

0

0...001

var

3

2

1

2/11222

18

Modelul transformat în urma aplicării transformării T arată astfel

TTXTY de unde

YXXX

TYTXTXTXTYTXTXTX

tt

tttttt

111

11ˆ

Pentru a compara cei doi estimatori trebuie studiate proprietățile de nedeplasare și de eficiență

Ambii estimatori sunt nedeplasați deoarece:

În cazul MCMMP-clasic

EXXXXXXXXXXE

XXXXEYXXXEE

tttttt

tttt

111

11ˆ

În cazul MCMMP-gen

XXXXEYXXXEE tttt 111111ˆ

Varianțele celor doi estimatori sunt

În cazul MCMMP-clasic

121

1111ˆˆˆˆˆ

XXXXXX

XXXXXXEXXXXXXEEEEVar

ttt

ttttttt

ttt

În cazul MCMM-generalizat

1121111121112111

111111111111

111111ˆˆˆˆˆ

XXXXXXXXXXXXXX

XXXEXXXXXXXXXE

XXXXXXEEEEVar

ttttttt

tttttttt

tttttt

Se observă că estimatorul obținut aplicând MCMMP clasic are o varianță mai mare decât în

cazul absenței heteroscedasticității.

Totuși pentru a vedea dacă prezența heteroscedasticității influențează în mod semnificativ

creșterea varianței se poate folosi testul Hausman sub ipotezele H0-nu există diferrențe

semnificative între estimatorii obținuți prin cele două metode și H1-există diferențe semnificative.

Statistica H este calculată astfel

H= MCMMPGMCMMPMCMMPGMCMMPt

MCMMPGMCMMP ˆˆˆvarˆvarˆˆ 1

19

Statistica H este ditribuită Hipatrat cu k (nr defactori) grade de libertate. Dacă H este mai mică

decât valoarea critică atunci se acceptă ipoteza nulă, estimatorul obținut prin metoda generalizată

nu este semnificativ mai bun.

Soluția 2

Problema se poate aborda și astfel:

Deoarece ix2var rezultă că trebuie “înmulțit cu ceva astfel incât să scap de

heteroscedasticitate”. Fie v acea valoare care trebuie folosită pentru înmulțire.

i

ix

axaaa1

varvar 2222 . Modelul se “corectează “cu acea valoare a și

devine particularizat pentru observația i,

i

i

i

i

ii

ixx

xxx

y1111

10

Pentru estimarea parametrilo se aplică

10

2

10

2

,min1

min1

min Fxyxx

ii

ii

i

. Se aplică derviatele se obține

sistemul și rezolvă acesta conform metodelor cunoscute. Penru a vă completa cunoștințele

puteți studia exemplu și din Aplicații în econometrie. Tudorel Andrei, Liliana Spircu pag 16-

20.

III. Ecuații simultane

Aplicația III.1

Se consideră variabilele endogene tt YY 21 , și variabila exogenă tX pe baza cărora se definește

MES:

ttt

ttt

edXY

baYY

22

121

unde cele două variabile reziduale sunt zgomote albe necorelate între ele.

Se cere:

a. Să se scrie sistemul sub formă matricială și să se studieze condițiile de identificare

b. Să se estimeze parametrii formei structurale prin MCMMP și să se demonstreze că

estimatorii nu mai satisfac teorema lui Gauss-Markov.

20

c. Să se estimeze parametrii prin metoda celor mai mici pătrate indirectă și MCMMP în

două stadii.

Soluție

Forma generală a MES este CXBY unde X este vectorul variabilelor exogene iar Y este

vectorul variabilelor endogene

a)

2

1

2

1 10

10

1

Xde

b

Y

Ya (1)-Sistemul este corect identificat

2

1

11

2

1

10

110

10

1

a

Xde

ba

Y

Y-

2

1

2

1

2

1

10

11

10

110

10

1

a

Xade

adaeba

Xde

ba

Y

Y (2)-Forma

redusă

Se calculează ușor

10

1

10

11

aa

și înlocuind această expresie în relația (2) se poate observa că valoarea

0cov 2

12 1 aY

b) Sistemul se mai poate scrie

ttt

ttt

edXY

baYY

22

121

Aplicând MCMMP pe fiecare ecuație rezultă

212

22

2211ˆˆ,ˆ yayb

yy

yyyya

212

22

2211ˆˆ,ˆ yayb

yy

yyyya

21

2

22

222

222

2

2

22

1222

2

22

122

2

22

122

2

22

2

22

22212

2

22

2211

ˆˆ

)ˆ(,ˆ

ˆ

yyEk

kkEkEkEyy

yyEaaEaVar

aaEyy

yyaa

yy

yyyya

yy

yybyabay

yy

yyyya

jiji

t

tt

tt

În acest caz estimatorul nu mai are varianță minimă încălcând teorema Gauss-Markov.

În cazul celei de-a doua ecuații estimatorul rămâne nedeplasat și de varianță minimă deoarece

variabila X este exogenă și se acceptă ca ea este independentă de variabila reziduală.

c) În formă redusă sistemul arată

ttt

ttt

ttt

tttt

edXY

uXY

edXY

aaebadXY

22

1

22

211

C1. Metoda celor mai mici pătrate indirectă

a). Se stimează ed ˆ,ˆ,ˆ,ˆ aplicând MCMMP în formă redusă, apoi se țin cont de expresiile ce

leagă parametrii din forma structurală cu cei din forma redusă.

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

d

eeabeab

dada

C2. Metoda celor mai mici pătrate în două faze

Faza I.

Se estimează ed ˆ,ˆ din ecuația edXY tt2 și apoi se calculează valorile eXdY ttˆˆˆ

2

Cu aceste valori se merge în prima ecuație ttt bYaY 121ˆ și aplicând MCMMP se estimează

a și b

Aplicația III.2

Fie modelul

22

tttt

tttt

ttt

GICY

ucRdYI

bYaC

unde Ct =Consumul Populatiei, It=Investițiile, Yt= PIB-ul Rt=Rata dobanzii,

Gt consumul public, tt u, două zgomote albe necorelate între ele.

a) Să se scrie forma structurală a modelului sub formă matriceală

b) Să se aducă modelul în formă redusă

c) Să se precizeze dacă aplicarea MCMMP asupra fiecărei ecuații din model este o soluție pentru

obținerea unor estimatori eficienți.

d) Să se scrie condițiile de ordin pentru identificarea modelului

e) Să se descrie o metodă ce poate fi folosită pentru estimarea parametrilor

f) să determine un estimator al matricii de varianță-covarianță a erorilor din forma redusă.

Soluție

În sistem există trei variabile endogene C, I, Y și două variabile exogene R,G. Fie Y=vectorul

format din variabilele endogene și X=vectorul format din variabile exogene.

Forma generală a unui model in forma structurală este de tipul BY+CX=

Aducem sistemul în această formă și apoi completăm matricile

0

tttt

tttt

ttt

GICY

ucRdYI

bYaC

XCYB

u

G

Rc

a

Y

I

C

d

b

t

t

t

t

t

t

t

0

1

100

00

00

111

10

01

b). Forma redusă presupune exprimarea variabilelor endogene numai în funcție de variabilele

exogene

Plecând de la

ttttt

ttttttt

tttt

tttt

ttt

uGcRadbY

uGcRdYbYaY

GICY

ucRdYI

bYaC

)1()3(

)2(

)1(

Se ajunge la (5) și (6) înlocuind relația (4) în (1) și (2)

23

)6(1111

)5(1111

)4(1

1

1

1

11

ttttttt

tttttt

ttttt

uudb

dG

db

dcRR

db

dc

db

daI

udb

bG

db

bR

db

bc

db

baaC

udb

Gdb

Rdb

c

db

aY

c) Evaluând

01

01

00),cov(

,cov1

1

1

1

,1

1cov,

1cov,

1cov),cov(

22

2

dbdbY

udbdb

Gdb

Rdb

c

db

aY

tt

tt

ttttttt

se observă că variabila factor Y din modelul (1) nu este independentă de variabila reziduală. Se

încalcă astfel una din ipotezele modelului de regresie.

Analog se demonstrează că și în modelul (2) 01

),cov(2

db

uY utt

cu aceleași consecințe.

d) Identificarea modelului

Reamintim faptul că sunt 3 variabile endogene(Y) și o variabilă exogenă(X) în tot sistemul

Ecuația Nr de

relații-1

Loc pentru

semn

Y-Y’ =(număr variabile

endogene absente din

fiecare ecuație)

+ X-X’=

(număr variabile

eXogene absente din

fiecare ecuație)

Concluzie

1 3-1 < 3-2 + 2-0 Ecuație

supraidentificată

2 3-1 = 3-2 + 2-1 Ecuație exact

identificată

Deoarece sistemul are o ecuați supraidentificată atunci el este supraidentificat

e) O metodă ce dă rezultate privind estimarea parametrilor este Metoda Celor Mai Mici

Patrate în două Stadii (2SLS). Aceasta se aplică în cazul de față astfel:

Faza 1. Se estimează parametrii ecuației (4) din forma redusă (deoarece variabila endogenă

Y este cea care încalcă ipotezele modelului de regresie în forma structurală).

tttttttt GRudb

Gdb

Rdb

c

db

aY

210

1

1

1

1

11

Apoi se determină ttt GRY 210ˆˆˆˆ (7)

Faza a 2-a

24

Valorile estimate cu ajutorul relației (7) se înlocuiesc peste tot unde apare Y în forma

structurală, adică în ecuațiile (1) și (2) de mai sus.

Se aplică MCMMP în fiecare relație și se obțin astfel dcba ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

f) Preluăm variabilele reziduale din relațiile (4) , (5) și (6) și notă astfel

ttt

ttt

ttt

db

bu

db

d

db

du

db

bw

udb

1

1

1

1

1

1

1

1

Fie vectorul

t

t

t

w

Matricea var-covar

2

2

2

,cov,cov

,cov,cov

,cov),cov(

w

ww

w

w

Unde

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

22

)1(

1

11

1

1varvar

1

1

11

1

1varvar

11

1varvar

db

b

db

d

db

bu

db

d

db

d

db

bw

db

du

db

bw

dbu

db

uttt

utttt

uttt

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

11

1,cov

1

1

1,cov

1

1

1,cov

db

bd

db

bdw

bd

b

bd

d

db

d

db

bw

utt

utt

utt

Aplicația V.10

Pentru definirea modelului IS-LM se consideră variabilele R- rata dobânzii, M-masa monetară;

Y-Produsul Intern Brut și I-investițiile. Se definesc ecuațiile modelului prin următoarele două

modele de regresie.

tttt

tttt

ugIcRY

bMaYR

1

a) Să se scrie forma structurală a modelului sub formă matriceală


25




Soluție

a) Stabilirea naturii variabilelor: variabile endogene: Rt și Yt, variabile exogene Mt-1 și It

Forma generală a unui model in forma structurală este de tipul BY+CX=

Atunci modelul mai poate fi scris

tttt

tttt

ugIcRY

bMaYR

1 care în forma matriceală se poate descrie astfel:

t

t

t

t

t

t

uI

M

g

b

Y

R

c

a 1

0

0

1

1

b) Se poate înlocui, de exemplu ecuația 2 în 1. Atunci avem:

tttt

tttttt

ugIcRY

ubMagIacRR

1

ttttt

ttttt

tttt

ttttt

ac

cu

ac

accM

ac

bcI

acY

uac

Mac

bI

ac

agR

ugIcRY

ubMagIacR

11

1

11

1

1

1

111

1

11

c) Trebuie evaluată o eventuală legătură între variabila (Y care este factor in prima ecuație)

și variabila reziduală pentru a vedea dacă se încalcă sau nu una din ipotezele modelului

de regresie. Același lucru în ecuația a doua pentru variabila R)

01

1,cov

01

,cov

2

2

utt

tt

acuR

ac

cY

deoarece c este un parametru diferit de zero.

d) Condițiile de ordin pentru identificarea sistemului

Fie Y nr. de variabile endogene din întregul sistem

Fie X nr. de variabile exogene din întregul sistem

Fie Y’ nr. de variabile endogene din ecuația analizată

Fie X’ nr. de variabile exodegene din ecuația analizată

Ținând cont de aceste notații avem:

Ecuația Nr de

relații-1

Loc pentru

semn

Y-Y’ =(număr variabile

endogene absente din

fiecare ecuație)

+ X-X’=

(număr variabile

eXogene absente din

Concluzie

26

fiecare ecuație)

1 2-1 = 2-2 + 2-1 Ecuație exact

identificata

2 2-1 = 2-2 + 2-1 Ecuație exact

identificată

Sistemul are ambele ecuații exact identificate, rezultă el este exact identificat.

V. PROBLEME PROPUSE

Aplicația V.1

Pentru a urmări dependența dintre prețul de vânzare al unui produs și cantitățile vândute, au fost

înregistrate 32 de valori. În urma prelucrării datelor a fost obținut modelul:

i

ix

y1

2,42,12ˆ ,. Se mai cunosc, de asemenea, 2,1ˆ y și 8,0ˆ b (b reprezintă

coeficientului lui 1/x), 7,0)/1/( xyr și 17,404,2 30,1,05,030,2/05,0 Ft

Se cere:

a) Să se testeze la un prag de semnificație de 5%, folosind Testul F, validitatea modelului de

regresie;

b) Pentru o probabilitate de 0,95, precizațí dacă, termenul liber diferă semnificativ de 10 știind că

media prețurilor obținută din cele 32 de valori este 3,5 .

c) Construiți un interval de încredere pentru cantitatea vândută, la o probabilitate P=0,95, în

condițiile de la punctul anterior dacă prețul de vânzare este 3.

Aplicația V.2

Pentru două variabile statistice, X și Y au fost înregistrate valorile pentru 40 de unități statistice.

În urma prelucrării datelor s-au obținut rezultatele următoare.

Folosind datele de mai sus se cere:

1. Să se precizeze care dintre cele două variabile statistice este mai omogenă.

8220,200,12,15000,1522

iiii yxxxxyy

27

2. Să se calculeze coeficientul liniar de corelație, iar pentru un prag de semnificație de 5%

stabiliți dacă valoarea acestuia diferă semnificativ de zero. 02,238,2/05,0 t

3. Să se estimeze parametrii modelului xy prin metoda celor mai mici pătrate

4. Să se stabilească dacă modelul de regresie este corect specificat

5. Pentru un prag de semnificație de 5% să se determine un interval de încredere pentru

valoarea lui y dacă nivelul caracteristicii X este 15.

Aplicația V.3

În perioada 2003-2009 numărul de salariați din Cercetare și Dezvoltare (notați cu NSCD) a fost

de : 3,9; 4,07; 4,1; 4,2; 4,2; 4,35; 4,24 (valorile sunt exprimate în sute mii persoane). Se cere:

e) Să se estimeze parametrii unui model de forma 7,1,2 tctbtaNSCDt

f) Să se testeze dacă c diferă semnificativ de zero la un prag de 5%

g) Să se construiască un estimator pentru matricea de varianță-covarianță a estimatorilor,

cba ,,

Estimați folosind un interval de încredere numarul de salariați din Cercetare și Dezvoltare

pentru anii 2010-2012. Sunt rezultatele fezabile? Justificați!

Aplicația V.4

Pentru două caracteristici (de ex ritmul prețurilor, și rata consumului dintr-un bun X ) au fost

observate 20 de valori. Considerând că între acestea există relația de dependență liniară, s-a

estimat, pentru datele observate, următoarea funcție liniară de regresie: ii xy 30ˆ . S-au

determinat de asemenea, estimațiile pentru variabila reziduală, acestea fiind prezentate în tabelul

de mai jos:

)10,1(ˆ ii 0,12 -0,16 0,25 -0,20 -0,36 0,25 0,28 -0,24 0,12 -0,25

)20,11(ˆ ii 0,12 -0,18 0,22 0,20 -0,21 0,18 -0,29 0,33 -0,15 -0,03

Pentru cele două caracteristici se mai cunosc următoarele: nivelul mediu al caracteristicii Y este

20, valorile variabilei X formează o progresie aritmetică crescătoare în care ultima valoarea este

19,5. Se cer următoarele

(i). Să se reconstitutie cele două serii de date

(ii). Să se testeze, folosind testul F, dacă modelul de regresie este corect specificat

(iii). Să se testeze, dacă panta dreptei de regresie diferă semnificativ de 0,5 pentru un prag de

semificație de 5%

(iv). Să se măsoare intensitatea dependenței dintre cele două serii prin calcularea coeficientului

liniar de corelație. Să se testeze semnificația acestuia la un prag adecvat.

28

(v). Utilizând un test adecvat să se precizeze dacă fenomenul de autocorelare de ordinul I poate fi

neglijat la un prag de semnificație de 5%. La acest prag valorile critice din Distribuția Durbin

Watson sunt (dl=0,86 și du=1,27)

Aplicația V.5.

Trei variabile statistice X1, X

2 și Y* se transformă conform relațiilor

**

1

22

2

11

1 ,, yyyxxxxxx iiiii .Pe un număr de 20 observații s-au estimat următorii

indicatori 20,3,0,cov,5,0,cov,4

1ˆ,

5

1ˆ,0ˆ 2

21

22

212!1 yXXXX YXYX . Se acceptă

de asemenea că variabilele transformate nu sunt corelate cu variabila reziduală.

Se cere:

a) Estimați parametrii modelului iiii xxy 22110

b) Testați dacă parametrul corespunzător variabilei X1 diferă semnificativ de 0 la un prag de

semnificație de 1% 89,217,2/ t

c) Interpretați parametrii din punct de vedere economic

d) Cât de intensă este legătura dintre X2 și Y. Este semnificativă această legătură la un prag

de 1%

e) Construiți un interval de încredere pentru valoarea lui y la un prag de 5% în condițiile în

care X1 și X2 iau valorile 2 și respectiv 0,3.

AplicațiaV.6.

Pentru un model de regresie cu două variabile exogene și termen liber se cunosc următoarele

rezultate intermediare:

80

050

02141

XX T 10,

90

55

1702

y

TYX

Folosind datele de mai sus se cer următoarele

(i) Să se determine numărul de valori din care este formată fiecare serie de date

(ii) Să se estimeze parametrii modelului de regresie liniară

29

(iii) Să se estimeze matricea varianțelor-covarianțelor estimatorilor modelului liniar de

regresie

(iv) Să se testeze semnificația modelului de regresie folosind testul F

(v) Să se calculeze raportul de determinare

(vi)Considerând că pentru variabilele exogene se precizează valorile 2 și respectiv 3,1 să se

determine un interval de încredere pentru valoarea variabilei endogene, la un prag de

semnificație de 5%.

Aplicația V.7

Fie modelul

ts

ttB

tc

ttB

to

uPYPQ

YPQ

3210

unde Qo și Qc reprezintă cantitatea oferită respectiv cerută dintr-

un bun X, Y=venitul mediu al potențialilor cumpărători, PB

=prețul bunului analizat, iar Ps –

prețul unui bun substituibil, tt u, = două zgomote albe necorelate între ele.

a) Să se determine prețul bunului în condiții de echilibru pe piață

b) Să se scrie forma structurală a modelului sub formă matriceală

c) Să se aducă modelul în formă redusă

d) Să se precizeze dacă aplicarea MCMMP asupra fiecărei ecuații din model este o soluție pentru


e) Să se scrie condițiile de ordin pentru identificarea modelului

f) Să se descrie o metodă ce poate fi folosită pentru estimarea parametrilor

g) să determine un estimator al matricii de varianță-covarianță a erorilor din forma redusă.

Aplicația V.8

Fie modelul

ttt

ttt

ttt

ICY

uYI

YC

1

Ct=consumul menajelor, It=Investițiile, Y=PIB, tt u, = două zgomote albe

necorelate între ele.

a). Să se scrie forma structurală a modelului sub formă matriceală




30




Aplicația V.9

Fie modelul

tttt

tttt

ttt

GICY

uYYI

YC

1210

Ct=consumul menajelor, It=Investițiile, Y=PIB, Gt =cheltuieli

Guvernamentale tt u, = două zgomote albe necorelate între ele.








Aplicația V.10

Pentru definirea modelului IS-LM se consideră variabilele R- rata dobânzii, M-masa monetară;

Y-Produsul Intern Brut și I-investițiile. Se definesc ecuațiile modelului prin următoarele două

modele de regresie.

tttt

ttttt

ugIfReY

dMcYbMaR

1








31

Aplicația V.11

Pentru un model de tipul zxy 210 estimat la nivelul a 8 regiuni de dezvoltare s-a

observat prezenta unei heteroscedasticități de forma 2

2

varx

.

a) Estimați parametrii utilizând metoda celor mai mici patrate

b) Propuneți o metodă prin care să estimați parametrii și să corectați problema generată de

prezența heteroscedasticității

c) Comparați rezultatele, comentați!

Aplicația V.12

Pentru un model de tipul uxy 10 estimat pe baza datelor înregistrate în decursul de 10

ani, s-a observat prezența unei autocorelări a erorilor de forma ttt wuu 14,0 , unde tw este

un zgomot alb.

a) Estimați parametrii utilizând metoda celor mai mici pătrate

b) Propuneți o metodă prin care să estimați parametrii și să corectați problema generată de

prezența autocorelării. Rezolvați problema matricial identificând forma fiecărei matrici.

c) Comparați rezultatele,comentați!

Probleme Rez6

Documents

Transcript of Probleme Rez6