Clasa a VI a Semestrul II · 2020. 10. 15. · Probleme de matematică demonstrate în aplicația...
33
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra Clasa a VI a Semestrul II Material realizat în cadrul programului Digitaliada, cu contribuția profesorilor de matematică din școlile incluse în program, sub coordonarea Expertului Educațional Adina Roșca Textul și ilustrațiile din acest material sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ . Ilustrațiile din acest material reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta, ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizat e fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.
Transcript of Clasa a VI a Semestrul II · 2020. 10. 15. · Probleme de matematică demonstrate în aplicația...
Probleme de matematică demonstrate în aplicația
GeoGebra
Clasa a VI a
Semestrul II
Material realizat în cadrul programului Digitaliada, cu contribuția profesorilor de matematică din școlile incluse în
program, sub coordonarea Expertului Educațional Adina Roșca
Textul și ilustrațiile din acest material sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ . Ilustrațiile din acest material reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta, ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
1 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
Cuprins
PERIMETRUL TRIUNGHIULUI ................................................................................................................................... 2
PROPRIETĂȚILE UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI................................................................................................ 4
CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR .......................................................................................................................... 6
BISECTOAREA TRIUNGHIULUI ................................................................................................................................ 8
MEDIATOAREA TRIUNGHIULUI ..............................................................................................................................10
ÎNĂLȚIMEA TRIUNGHIULUI ......................................................................................................................................12
MEDIANELE TRIUNGHIULUI ....................................................................................................................................14
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR OARECARE ...................................................................................................17
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHIC ............................................................................................19
TRIUNGHIUL ISOSCEL ..............................................................................................................................................21
TRIUNGHIUL ECHILATERAL ...................................................................................................................................24
TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ..................................................................................................................................27
TEOREME LUI PITAGORA ........................................................................................................................................29
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
2 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
PERIMETRUL TRIUNGHIULUI
1. Fie și trei puncte necoliniare. Determinați perimetrul triunghiului .
2. Determinați perimetrul unui triunghi echilateral.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
3 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Dacă , și , stabiliți poziția punctelor și
4. Stabiliți dacă există un triunghi care să aibă lungimile laturilor , și .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
4 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
PROPRIETĂȚILE UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI
1. În triunghiul avem ( ) și ( ) . Determinați măsura unghiului .
2. Demonstrați că măsura unghiului exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare
neadiacente cu el.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
5 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Două unghiuri exterioare ale unui trunghi au măsurile respectiv . Aflați măsurile unghiurilor interioare.
4. Fie și două puncte diametral opuse al cercului ( ), iar un punct pe cerc. Demonstrați că unghiurile
și sunt unghiuri complementare.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
6 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
CONSTRUCȚIA TRIUNGHIURILOR
1. Construiți triunghiul pentru care , și .
2. Construiți triunghiul isoscel în care și .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
7 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Construiți triunghiul în care , ( ) și ( ) .
4. Construiți triunghiul în care , și ( ) .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
8 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
BISECTOAREA TRIUNGHIULUI
1. Construiți cercul înscris în triunghiul dacă , ( ) și ( ) .
2. Fie triunghiul în care ( ) . Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor
și .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
9 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Dacă și sunt unghiuri exterioare triunghiului și este intersecția dintre bisectoarea unghiului
și bisectoarea unghiului , arătați că aparține bisectoarei unghiului
4. În triunghiul ( ) și ( ) , construim , -. Arătați că, bisectoarea
unghiului este paralelă cu
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
10 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
MEDIATOAREA TRIUNGHIULUI
1. Construiți cercul circumscris al triunghiului dacă , și ( ) .
2. Demonstrați că punctul de intersecție al mediatoarelor unui triunghi este egal depărtat de vârfurile acestuia.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
11 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. În triunghiul mediatoarea lui și mediatoarea lui se intersectează într-un punct . Dacă aparține
bisectoarei unghiului , arătați că , - , -.
3. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
12 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
ÎNĂLȚIMEA TRIUNGHIULUI
1. Se consideră triunghiul dreptunghi în Demonstrați că punctul este și ortocentrul triunghiului.
2. În triunghiul ( ) și ( ) . Calculați unghiul format de înălțimea ( și bisectoarea ( ,
unde ( ).
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
13 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Demonstrați că înălțimile triunghiului sunt bisectoare în triunghiul format din picioarele înălțimilor.
4. Demonstrați că punctele simetrice ortocentrului în raport cu laturile triunghiului se află pe cercul circumscris
triunghiului.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
14 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
MEDIANELE TRIUNGHIULUI
1. Construiți centrul de greutate al triunghiului cu laturile și
2. In triunghiul punctele sunt mijloacele laturilor . Dreptele se intersectează în punctul .
Demonstrați că este mediana triunghiului
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
15 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Demonstrați că ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris sunt coliniare.
4. Demonstrați că suma algebrică a distanțelor vârfurilor unui triunghi de la o dreaptă care trece prin centrul de greutate
al triunghiului este zero.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
16 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
5. În triunghiul , este un punct interior laturii astfel încât
. Dacă este mijlocul medianei , unde
este pe latura , arătați că punctele sunt coliniare.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
17 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR OARECARE
1. Fie AB o coardă a cercului ( ), iar punctul P mijlocul acesteia. Demonstrați că .
2. Fie și două tangente duse la cercul ( ) din punctul . Demonstrați că .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
18 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Fie și două drepte paralele iar punctele și , astfel încât , - , -. Demonstrați că , unde * + , - , -.
4. Fie , bisectoarea unghiului . Se consideră , , , , , astfel încât , - , -. Arătați că
.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
19 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHIC
1. Fie mijlocul segmentului și . Dacă este simetricul punctului față de , arătați că ,
unde * + , - , -.
2. Fie o coardă a cercului ( ), iar punctul piciorul perpendicularei duse din pe coardă. Demonstrați că
.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
20 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Fie și două diagonale perpendiculare în cercul ( ). Demonstrați că .
4. În triunghiul avem , - , -. Notăm cu intersecția dintre perpendiculara pe în și perpendiculara pe
în . Arătați că .
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
21 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
TRIUNGHIUL ISOSCEL
1. În triunghiul isoscel cu , - , - și ( ) notăm cu mijlocul lui , -. Bisectoarea unghiului
intersectează , - în iar * +. Aflați măsurile unghiurilor și
2. În triunghiul și sunt mediatoarele laturilor , - respectiv , - unde , - și , -. Demonstrați
că triunghiul este isoscel.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
22 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. În triunghiul , ( este bisectoarea unghiului , ( ), iar , unde ( ). Demonstrați că
triunghiul este isoscel.
4. În triunghiul , este ortocentrul, iar bisectoarea unghiului intersectează înălțimile duse din și în punctele
și . Arătați că este isoscel.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
23 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
5. Se consideră triunghiul isoscel cu , în care se duc înălțimile , unde sunt puncte pe
segmentele , respectiv . Dacă este simetricul punctului față de , să se arate că dreptele sunt
perpendiculare.
6. Fie triunghiul ascuțitunghic, cu Pe laturile și se consideră punctele respectiv astfel
încât . Picioarele perpendicularelor din punctul pe dreptele se notează cu respective . Arătați că:
a) , unde * + b) Triunghiul este isoscel, unde * +
c) Punctele sunt coliniare.
d)
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
24 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
TRIUNGHIUL ECHILATERAL
1. Pe laturile triunghiului echilateral fixăm punctele și astfel încât , - , - , -. Demonstrați că
triunghiul este echilateral.
2. Fie , - raza cercului ( ), iar mediatoarea acestuia intersectează cercul în punctele și . Demonstrați că,
triunghiul este echilateral.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
25 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. În triunghiul , avem ( ) , ( ) , ( ) astfel încât , și . Arătați că
este echilateral.
4. În interiorul pătratului fie punctul astfel încât ( ) ( ) Demonstrați că triunghiul
este echilateral.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
26 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
5. Se consideră un punct în interiorul triunghiului echilateral și , , unde sunt puncte
pe segmentele , - , - , - respectiv , - Să se arate că suma este constantă.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
27 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
1. Demonstrați că centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei acestuia.
2. În avem ( ) , ( ) , , ( ). Arătați că
.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
28 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. În avem ( ) , , ( ), punctele și sunt mijloacele laturilor , - respectiv , -.
Demonstrați că .
4. este un triunghi dreptunghic în , iar este mijlocul lui , -. Perpendiculara în pe dreapta intersectează
paralelele prin și la dreapta în și . Demonstrați că , este bisectoarea și , este bisectoarea
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
29 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
TEOREME LUI PITAGORA
1. Cateta și ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de respectiv . Calculați lungimea celeilalte catete.
2. Vârful unui stâlp, așezat perpendicular pe suprafața pământului, înalt de trebuie legat cu sârmă de un punct aflat
la de baza acestuia. Calculați lungimea sârmei!
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
30 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
3. Fie un triunghi dreptunghic. Demonstrați că suma ariilor pătratelor construite pe catetele triunghiului este egală
cu aria pătratului construit pe ipotenuză.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
31 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
4. Fie un triunghi dreptunghic. Demonstrați că suma ariilor triunghiurilor echilaterale construite pe catetele
triunghiului este egală cu aria triunghiului echilateral construit pe ipotenuză.
Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VI-a
SEMESTRUL II
32 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.
BIBLIOGRAFIE
1. Perianu, M., Stănică, C., Smărăndoiu, Ș. Matematică, clasa a V-a Editura ART Educațional, București, 2018.
2. Zaharia, D., Zaharia, M., Peligrad, P., Matematică, clasa a V-a, Editura Paralela 45, București, 2019.
