Probleme de logica si perspicacitate

1.ARDEREA FARA FLACARA SI FARA CALDURADaca veti intreba un chemist de ce lemnul si carbunele ard numai la temperature inalte ,va va raspunde ca de fapt combinarea oxigenului cu carbonul poate avea loc la orice tempteratura ,dar ca la temperature joase acest process decurge foarte lent(adica in reactie intra un numar neinsemnat de molecule) el scapa observatiei noastre.Legea care determina viteza reactiilor chimice arata ca,atunci cand temperatura scade cu ,viteza de reactive se reduce la jumatate. Sa aplicam cele de mai sus la reactia oxidarii lemnului adica la procesele de ardere a lemnului.Sapresupunem ca un gram de lemn arde la temperature de

C a unei flacari ,in timp de o secunda .

In cat timp va arde un gram de lemn la temperature de C ?

La aceasta temperature care este cu 580=58* mai mica ,viteza reactiei

va scadea de ori ,deci un gram de lemn va arde in timp de secunde. Cu cati ani este egal acest interval de timp?Putem calcula acest lucru cu aproximatie,fara sa inmultim 2 2 de 57 de ori si fara ajutorul tabelelor cu

logaritmi.Vom folosi faptul ca =1024 deci

= = = =

Adica circa dintr-un trillion de secunde.Un an are circa 30 000 000 sau 3

secunde de aceea

( ani

Zece miliarde de ani !Iata in cat timp ar arde un gram de lemn fara flacara si fara caldura.Asadar lemnul si carbunele ard si la temperature obisnuite fara sa fie aprinse.Inventarea uneltelor pentru producerea focului a accelerat de miliarde de ori acest process extreme de lent.

2.CALUL SI CATARUL,,Un cal si un catar paseau alaturi avand fiecare in spate cate o povara.Calul se vaita de greutatea poverii sale .

1

,,De ce te vaieti? l-a intrebat catarul.Daca as lua de la tine un sac,povara mea ar devein de doua ori mai grea decat a ta.Iar daca tu ai lua un sac de pe spinarea mea ,povara ta ar devein egala cu a mea’’ Cati saci ducea calul si cati catarul?

REZOLVAREDaca as lua de la tine un sac : x-1Povara mea y + 1Ar devein de doua ori mai grea decat a ta: y+1=2(x-1)Iar tu ai lua un sac de pe spinarea mea : y-1Povara ta: x + 1Ar devein egala cu a mea: y -1=x+1 Am redus problema la un system de ecuatii cu doua necunoscute

sau

Rzolvand acest sistem aflam : x=5 ,y=7.Calul ducea 5 saci ,iar catarul 7.

3.PASARILE DE PE MALUL UNUI RAULa un mathematician arab din secolul al 11-lea gasim urmatoarea problema: ,,Pe malurile unui rau cresc,fata in fata,doi palmieri.Inaltimea unui palmier este de 300 de coti si a celuilalt de 20 de coti distant dintre palmieri fiind de 50 de coti.Pe varful fiecarui palmier sta cate o pasare.La un moment dat ambele pasari au observant un peste care a aparut la suprafata apei intre cei doi palmieri; ele s-au repezit deodata asupra pestelui si l-au ajuns in acelasi timp. La ce distant de palmierul mai inalt a aparut pestele?

Din figura folosind teorema lui Pitagora ,obtinem: = + = +(

2

Dar AB=AC deoarece ambele pasari au parcurs aceste distante in acelasi timp.De aceea : 100x=2000 x=20 Pestele a aparut la o distant de 20 de coti de palmierul mai inalt.

4.NUMARUL UNUI AUTOCAMIONFacand o plimbare prin oras 3 studenti au observat ca soferul unui autocamion a incalcat regulile de circulatie.Nici unul dintre ei n-a memorat numarul masini (format din 4 cifre);fecare dintre ei a observant cate o particularitate a cestui numar.Unul si-a amintit ca primele doua cifre erau indentice.Al doilea ca ultimile doua cifre cincideau.In sfarsit al treilea student afirma ca numarul dat este patrat perfecr.Oare se poate afla numarul masinii dupa ceste indicia?

REZOLVARESa notam prima (si a doua )cifra a numarului cautat cu ,,a’’,iar cifra a treia(si a patra) cu ,,b’’.Atunci intregul numar va fi1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)Acest numar este divizibil cu 11 si de aceea(fiind un patat perfect)el se imparte exct si cu .Deci, numarul 100a+b se imparte exact prin 11.Folosind oricare din cele doua criteria de divizibilitate prin 11 aratata mai sus deduce ca si numarul a+b este divizibil prin 11.Deci: a+b=11 deoarece atat a cat si b sunt mai mici decat 10. Ultima cifra b a unui patrat perfect poate avea numai urmatoarele valori : 0,1,4,5,6,9 . De aceea pentru cifra ,,a’’ care este egala cu 11-b putem avea urmatoarele valori:11,10,7,6,5,2 Primele doua posibilitati se excluddeci ne raman urmatoarele patru b=4 ; a=7; b=5 ; a=6; b=6 ; a=5; b=9 ; a=2; Rezulta ca numarul autocamionului trebuie cautat prin urmatoarele patru cifre: 7744,6655,5566,2299Dar ultimele trei numere nu sunt patrate perfecte;numarul 6655 se imparte la 5,dar nu se imparte la 25;Numarul 5566 se imparte la 2,dar nu s eimparte la 4;numarul 2299=121*19 nu este,nici el,un patrat perfect.Ramane deci numai numarul 7744= care da Solutia problemei.

3

5.TEOREMA Sophiei GermainIata o problema formulate de cunoscuta matemaciana franceza Sophiei Germain :Sa se demonstreze ca orice numar de forma +4 unde,,a’’ este diferit de 1 ,este un numar neprim.REZOLVAREDemonstratia reiese din urmatoarele transformari :

+4=

Numarul +4 poate fi deci pus sub forma unui produs de doi factori care sunt egali cu numarul dat si nici cu 1Deci acest numar nu este prim.

6.CUMPARAREA UNOR FRUCTECu 50 de ruble au fost cumparate 100 de bucati de diferite fructe.Pretul fructelor sunt urmatoarele:Pepene verde………………………………….. 5 ruble bucataMere……………………………………………….. 1 rubla bucataPrune………………………………………………….. 10 copeici bucataCate bucati din fiecare fel de fructe au fost cumparate?REZOLVARENotam numarul pepenilor cu x,al merelor cu y si al prunelor cu z, formam doua ecuatii:

Impartim prima ecuatie la 10 si scazand din ea ecuatia a doua obtinem o ecuatie cu doua necunoscute :49x+9y=400

y= =44+5x+ =44-5x+4t t= , x=1-9t

y=44-5(1-9t)+4t=39+49t

Din inegalitatile : 1-9t>0 si 39+49t>0 deducem ca >t>- si deci t=o .De

aceea, x=1,y=39Inlocuind aceste valori ale lui x si y in ecuatia a doua, obtinem :z=60Deci ,s-au numarat :1 pepene,39 de mere si 60 de prune.

7. Orizontal 1.Cifrele sale sunt consecutive aşezate în ordine crescătoare. 2.Acest număr este o putere a lui 3. 3.Produsul cifrelor sale este 756. 4.Suma cifrelor sale este 16. Vertical A. Cifrele sale sunt consecutive, în dezordine. B.

4

Numărul este alcătuit din cifre impare consecutive, în dezordine. C. Este un număr care se divide cu 3. D. Este un pătrat de formă aabb (număr „bâlbâit”).

8.Se cere ca dintr-un bustean de forma cilindrica sa fie taiata o grinda dreptunghiulara de volum maxim.Ce forma trebuie sa aiba sectiunea grinzii?

REZOLVARE

Daca laturile sectiunii dreptunghiului sunt x si y, atunci conform teoriei lui Pitagora x2+y2=d2

Unde d este diametrul busteanului.Volumul grinzi va fi maxim ,atunci cand xy va avea valoarea maxima.Dar atunci cand xy este maxim,produsul x2y2 va fi de asemenea maxim.Deoarece suma X2+Y2 ramane constanta produsul x2y2

devine maxim cand x2=y2 sau x=y. Deci sectiunea grinzii trebuie sa fie patrata.

9.PALNIA DE CAPACITATE MAXIMADintr-o table circular trebuie sa confectionam partea conica a unei palnii.In acest scop vom taia din table un sector ,iar partea ramasa o vomn indoi sub forma de con.Cate grade trebuie sa aiba sectorul astfel taiat pentru ca acest con sa aiba capacitate maxima?

5

REZOLVAREVom nota cu x lungime arcului corespunzator partii de cerc care urmeaza sa fie indoita pentru palnie.Prin urmare ,generatoarea conului va fi raza R a tablei circulare ,iar lungimea circumferintei bazei va fi x.Raza r a bazei se determina din egalitatea:

2∏r=x de unde r=

Inaltimea conului va fi :H= =

Volumul acestui con va fi :V= H=

Aceasta expresie ia valoarea maxima o data cu expresia:

Si cu patratul ei :

Deoarece + - = este o marime constanta rezulta ca

ultimul produs ia valoarea maxima pentru o valoare a lui x care verifica relatia

: de unde

=2 , 3 =2 si x= R 5,15 R

In grade ,arcul x ,ceea ce inseamna ca arcul sectorului taiat trebuie sa

fie de

10.ILUMINAREA MAXIMALa ce inaltime deasupra mesei trebuie sa fie asezata flacara unei lumanari astfel ca ea sa lumineze cel mai bine o moneda aflata pe masa?REZOLVARES-ar parea ca pentru atingerea scopului propus ar trebui ca flacara sa fie cat mai aproape de masa.Dar aceasta presupunere nu este adevarat:atunci cand flacara este asezata prea jos,razele cad oblic.Trebuie deci sa ridicam lumanarea astfel ca razele sa cada cat mai aproape pe vertical,ceea ce inseamna ca indepartam sursa de lumina.In acest caz ,inaltimea optima (din punct de vedere al iluminarii)va fi o inaltime oarecare medie la care sa se gaseasca flacara deasupra mesei.O vom nota cu x .Distanta BC la care se afla moneda B de piciorul C al perpendicularei care trece prin flacara A ,o vom nota cu a.Daca stralucirea flacarii este I ,atunci(potrivit legilor opticii) iluminarea monedei va fi:

6

unde α este unghiul de incidenta al fasciculului

de raze AB .Deoarece cosα=cosA= iluminarea monedei va fi :

aceasta expresie ia valoarea maxima pentru aceeasi

valoare a lui x,ca si pataratul ei adica:

Omitem factorul care este o marime constanta iar expresia ramasa o

transformam in felul urmator:

.

Expresia transformata ia valoarea maxima o data cu expresia :

deoarece factorul constant introdus nu influenteaza

valoarea lui x pentru care produsul ia valoarea maxima.Observam ca suma

factorilor la puterea intai: =1 este constanta deduce ca

produsul considerat ia valoarea maxima atunci cand =2

.Avem ecuatia

Rezolvand aceasta ecuatia aflam : x=

Moneda va fi iluminata cel mai bine atunci cand sursa de lumina se va afla la o inaltime de 0,71 din distant intre proiectia sursei si moneda.Cunoasterea acestei relatii ajuta la stabilirea celei mai bune iluminari a locurilor de munca.

7

11.LOGARITMI IN GRAJDCantitatea asa-zisei hrane de intretinere(adica cantitatea minima necesara pentru inlocuirea caloriilor cheltuite de organism prin functionarea organelor interne,refacerea celulelor)este proportional cu suprafata externa a corpului animalului.Cunoscand acest fapt sa se stabileasca numarul caloriilor din hrana de intretinere a unui bou care cantareste 420 kg tinandu-se seama ca in

aceleasi conditii un bou de 630 kg are nevoie de 13 500 de calorii.

REZOLVAREPentru rezolvarea acestei problem practice din domeniul cresterii animalelor,este necesar ca pe langa algebra sa apelam si la geometrie.Conform enuntului ,numarul de calorii x este proportional cu suprafata(s) a boului adica:

unde S1 este suprafata corpului boului care cantareste 630 kg.Din

geometrie stim ca suprafetele corpurilor asemenea sunt proportionale cu patratele dimensiunilor lor liniare (l) iar volumul cu cubul dimensiunilor

liniare .De aceea: si deci de unde:

x=13 500 Cu ajutorul tabelului

de logaritmi aflam: x=10 300 .boul are nevoie de 10 300 de calorii

12. NUMARUL DE 6 CIFRE Impartiti un numar de 6 cifre in doua jumatati egale (de cate 3 cifre fiecare). Cele doua numere obtinute se aduna si rezultatul se ridica la patrat. Se obtine numarul initial. Care este acesta ? Nota: Toate numerele folosite sunt nedegenerate (prima cifra este nenula). REZOLVAREProblema revine la a determina x si y din ecuatia = 1000 * x + y unde x si y sunt numere de 3 cifre. Relatia se poate scrie (x + y) * (x + y - 1) = 999 * x sau, notand x + y = z, z * (z - 1) = 37 * x * . z si (z-1) sunt numere naturale consecutive, deci nu pot fi simultan multipli de 27 sau 37. Apar patru cazuri: i) 27|z, 37|z-1.

8

Prima valoare gasita pentru z este z = 297. Atunci x = 88, care nu este numar de trei cifre. Urmatoarea valoare este z = 1296, ceea ce conduce la x = 1680. Prea mult. ii) 37|z, 27|z-1. Prima valoare posibila pentru z este 703, care da x = 494 si y = 209. Se obtine solutia 494209. A doua valoare este z = 1702 care conduce la x = 2898, numar prea mare. iii) 27|z, 37|z, deci 999|z. Valoarea maxima admisa pentru z este 999 + 999 = 1998.Deci z poate lua doar doua valori posibile. Pentru z = 999 se obtine x = 998 si y = 1, care nu este solutie. Pentru z = 1998 se obtine x = 3994, numar care are mai mult de trei cifre. iv) 999|z-1. Singura valoare admisa pentru z este 1000, care conduce la x = 1000. Nu este solutie. Deci singura varianta admisa este 494209.

13.PISTA CIRCULARA Pe o pista circulara se afla puncte de start de unde pleaca masini.Masinile pleaca in acelasi moment, in directii diferite si ruleaza cu o viteza constanta.Pista este ingusta, de latimea unei singure masini. De aceea coliziunile sunt inevitabile . Coliziunile dintre masini sunt perfect elastice, asa ca doua masinicare se ciocnesc isi schimba instantaneu directia cu 180 grade si continua sa mearga cu aceeasi viteza. Aratati ca exista un moment in viitor care va copia exact momentul initial: toate masinile se afla pe pozitiile de plecare si au orientarea initiala. Se presupune ca lungimile masinilor sunt neglijbile.REZOLVARE Sa presupunem ca pe botul fiecarei masini este un timbru. La fiecare ciocnire, cele doua timbre schimba masinile, trecand de la una la alta.Fiecare masina va avea permanent lipit de ea un timbru.Sa urmarim acum itinerarul timbrelor, nu al masinilor.Un timbru va calatori permanent in aceeasi directie, efectuand o miscare circulara. Cum vitezele sunt constante, inseamna ca dupa timpul T= lungimea cercului / viteza,fiecare timbru a ajuns pe pozitia sa initiala. Deci, in fiecare loc unde la inceput era o masina, acum va fi din nou o masina care merge in aceeasi directie.

9

Daca pe aceste pozitii au ajuns chiar masinile care plecasera initial, am terminat. Daca nu, cum ordinea masinilor pe cerc nu se schimba (masinile nu pot trece una de alta), noua pozitie curenta este o permutare circulara a pozitiei initiale.Repetand de un numar finit de ori aceste cicluri de timp T, se va ajunge la permutarea identica.

14. 10 BILE

Intr-o urna sunt 10 bile, numerotate de la 1 la 10. Scot succesiv cate o bila din urna si o asez pe masa, pe un singur rand, dupa urmatoarea regula: - daca pe masa se afla un numar par de bile, noua bila va fi asezata exact la mijloc; - daca pe masa se afla un numar impar de bile, noua bila va fi asezata la sfarsit (in dreapta). Dupa ce am scos toate bilele din urna, am obtinut pe masa secventa de numere 5 9 2 4 10 7 6 1 8 3 In ce ordine am scos bilele din urna ?REZOLVAREProblema se poate rezolva folosind o analiza retro.Tabelul urmator ofera ordinea scoaterii bilelor din urna. Mutare Nr bilei extrase Configuratia 10 3 5 9 2 4 10 7 6 1 8 3 9 10 5 9 2 4 10 7 6 1 8 8 8 5 9 2 4 7 6 1 8 7 4 5 9 2 4 7 6 1 6 1 5 9 2 7 6 1 5 2 5 9 2 7 6 4 6 5 9 7 6 3 9 5 9 7 2 7 5 7 1 5 5

Deci prima bila scoasa este 5, aceasta fiind urmata de 7 9 6 2 1 4 8 10 3.

15.BAL MASCATPatru perechi de prieteni merg la un bal mascat. Fiecare barbat poarta un costum dintr-o singura culoare: rosu, verde, galben sau albastru.La fel, fiecare sotie poarta o rochie de culoare rosie, verde, galbena sau albastra.Numai ca nici o pereche nu se imbr

10

aca in aceeasi culoare, asa ca este destul de dificil sa decidem cine cu cine este casatorit.Din urmatoarele informatii, determinati cele patru perechi: 1. Domnul imbracat in verde este sotul Doamnei in rosu daca si numai daca Domnul in galben este casatorit cu Doamna in rochie albastra. 2. Domnul imbracat in galben este sotul Doamnei in rosu daca si numai daca sotia Domnului in verde este Doamna care poarta rochie galbena. 3. Domnul costumat in rosu si Doamna in albastru sunt casatoriti daca si numai daca Doamna cu rochie rosie este sotia Domnului in costum Verde.

REZOLVAREReprezentam toate situatiile posibile printr-un tabel 4x4 cu liniile si coloanele R,V,G,A (rosu, verde, galben si albastru). Vom marca cu variantele imposibile, cu X incertitudinile si cu 0 perechile deja formate, cu conventia ca pe linii consideram culorilecostumelor barbatesti si pe coloane culorile rochiilor femeilor.Initial stim ca nu exista nici o pereche imbracata in aceeasi culoare deci marcam diagonala cu -. R V G A R - x x x V x - x x G x x - x A x x x - De asemenea, (x,y) va desemna o familie (sot, sotie). Atunci conditiile problemei se enunta astfel: 1. (V,R) <=> (G,A) 2. (G,R) <=> (V,G) 3. (R,A) <=> (V,R) In plus, (V,V), (R,R), (G,G) si (A,A) sunt false. Daca (V,R) ar fi adevarata, atunci (G,A) ar fi adevarata (din 1), (R,A) ar fi adevarata (din 3), contradictie. Deci (V,R) este falsa; rezulta atunci si (G,A) falsa, (R,A) falsa. De aici se poate deduce sotul doamnei in Albastru. Cum (A,A),(G,A),(R,A) sunt false, singura varianta ramane (V,A).

11

Completam matricea in mod corespunzator cu aceasta informatie: R V G A R - x x - V - - - 0 G x x - - A x x x - (in momentul cand s-a stabilit o pereche (x,y), linia x si coloana y contin un singur 0, iar in rest -). Cum (V,A) este adevarata, atunci (V,G) este falsa ducand (cu 1) la (G,R) falsa.

Singura posibilitate pe linia lui G ramane (G,V) adevarata. R V G A R - - x - V - - - 0 G - 0 - - A x - x - Pe linia lui R ramane o singura varianta posibila: (R,G).La fel, pe coloana lui R, singura posibilitate este (A,R). R V G A R - - x - V - - - 0 G - 0 - - A x - x - Concluzie: Sotul in Rosu, sotia in Galbena. Sotul in Verde, sotia in Alb Sotul in Galben, sotia in Verde Sotul in Albastru, sotia in Rosu

16.SECVENTESe dau secventele numerice: A: 19, 95, 171, 247, 323, ... B: 20, 45, 70, 95, 120, ... Numarul 95 are proprietatea de a apare in ambele linii (A si B). Care este urmatorul numar cu aceeasi proprietate ?

REZOLVARE O definitie recursiva a sirurilor este a_{n+1} = a_n + 76, b_{n+1} = b_n + 25.

12

Deci ambele secvente sunt progresii aritmetice definite prin: a_n= 76 * n + 19, b_n = 25 * n + 20 unde n = 0, 1, 2, .. Regula este de a exista p si k astfel ca a_k = b_p (1) 76 * k + 19 = 25 * p + 20 => p = (76 * k - 1)/ 25 = 3 * k + (k - 1)/25. Deci trebuie ca 25 sa divida k - 1. Pentru k = 1 se obtine p = 3 si numarul comun este 95. Urmatorul numar comun este pentru k = 26. Atunci p = 79 si numarul comun este a_26 = b_79 = 1995.

17. VIN SI APAUn om are un butoi de 50 litri, plin cu vin, si o damigeana. Intro zi, scoate din butoi o damigeana cu vin si inlocuieste lipsa cu o damigeana cu apa. Dupa un timp, cand apa si vinul s-au amestecat suficient, repeta operatia: scoate din butoi o damigeana cu amestec si pune in loc o damigeana cu apa. In acest moment butoiul contine apa si vin in cantitati egale. Care este capacitatea damigenei ?

REZOLVARESa notam cu x capacitatea damigenei. Dupa prima operatie, in butoi se afla 50 - x litri de vin si x litri de apa. Dupa amestec, in fiecare litru de ''carcalete'' se vor afla (50 - x) / 50 litri de vin. Cu a doua damigeana se scot deci x * (50 - x) / 50 litri de vin. Cum in final raman in butoi numai 25 litri de vin, vom avea 50 - x - x * (50 - x) / 50 = 25 ecuatie de gradul II cu solutiile: x1 = (100 + 50 * sqrt2)/2 = 50 + 25 * sqrt2, x2 = (100 - 50 * sqrt2)/2 = 50 - 25 * sqrt2 Se retine numai a doua solutie x = 25 * (2 - sqrt{2}) (solutia x1 conduce la o damigeana mai mare decat butoiul).

18. Secvente de patrateTripletul 6, 19, 30 are o proprietate interesanta: Daca se aduna oricare doua din cele trei numere, se obtine un patrat perfect (6 + 19 = 25, 6 + 30 = 36, 19 + 30 = 49). Puteti gasi o secventa de 4 numere care sa aiba aceeasi proprietate ? (suma oricarei perechi de numere sa fie un patrat perfect).

REZOLVARE13

Daca un numar se poate repeta de patru ori, avem multe solutii de genul: (18, 18, 18, 18) 18 + 18 = 6*6. Daca un numar se poate repeta de 3 ori: (18, 18, 18, 178), 18 + 18 = 6*6, 18 + 178 = 196 = 14*14. Daca un numar poate sa apara de 2 ori: (18, 18, 178, 306) 18 + 18 = 6*6, 18 + 178 = 14*14, 18 + 306 = 324 = 18*18, 178 + 306 = 484 = 22*22. sau (Alexandru Jugravu): (2, 23, 98, 98) 2 + 23 = 25, 2 + 98 = 100, 23 + 98 = 121, 98 + 98 = 196.

19 .Carti de jocPe masa sunt puse 3 carti de joc: o pica, o cupa si o trefla. Se stie ca: 1) Un 8 este la dreapta unui valet; 2) Un 10 este la stanga cupei; 3) Cupa este la stanga treflei. De la stanga spre dreapta, ce carti sunt pe masa ?

REZOLVARENotam Cupa cu C, Trefla cu T si Pica cu P. Daca pornim de la afirmatia 3), care spune ca C este la stanga cartii de T, deducem ca avem una din urmatoarele configuratii posibile : a) C P T b) C T P c) P C T Mergem apoi la afirmatia 2), care spune ca un 10 este la stanga cupei. Deci C nu poate fi cea mai din stanga carte, ceea ce inseamna ca variantele a) si b) sunt imposibile. => Ordinea cartilor este Pica, Cupa, Trefla. Tot din 2) rezulta ca zecele este de Pica. Au mai ramas doua carti a caror valoare nu o stim: Pica si Trefla (in aceasta ordine). Din 1) vom deduce ca 8ul este de Trefla si Valetul este de Cupa. Deci, de la stanga spre dreapta, cartile sunt: 10 de pica, valet de cupa, 8 de trefla.

20. Balanta Un farmacist dispune de 4 greutati a,b,c,d, cu ajutorul carora poate cantari orice cantitate de i grame (i=1,2,..,40), necesara pentru retetele sale. Ce valori au a,b,c,d ? CONDITIE: Fiecare cantitate de i grame (i=1,2,..,40) trebuie obtinuta printr-o singura cantarire.

14

REZOLVAREVom pune cantitatea de cantarit x pe talerul din stanga si fie a1, a2, a3, a4 cele 4 greutati folosite. Trebuie verificata relatia x=a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4, unde xi poate fi 0 : cand greutatea a_i nu se foloseste, 1 : cand greutatea a_i este pusa pe talerul din dreapta, sau -1 : greutatea a_i este pusa pe talerul din stanga. Exista = 81 combinatii posibile care pot fi realizate cu valorile x_i parcurgand toate valorile multimii {0,1,-1} in relatia de sus; una din ele conduce la valoarea x=0, iar celelalte se impart in doua submultimi egale: pentru orice solutie (x1, x2, x3, x4) care conduce la valoarea x, solutia (-x1, -x2, -x3, -x4) conduce la la valoarea -x. Deci sunt (1)/2=40 valori care se pot obtine prin cantarire cu 4 greutati.Mai raman de precizat patru greutati a1, a2, a3, a4 astfel incat cele 40 valori distincte obtinute printr-o singura cantarire sa acopere intervalul [1,40].Voi sari peste rationamentul care conduce la aceste valori; el poate fi dedus insa destul de usor: a1=3 =1, a2= =3, a3= =9, a4= =27. O listare a variantelor prin care se obtin cele 40 valori este data mai jos. 1 = 1*1 + 0*3 + 0*9 + 0*27 2 = -1*1 + 1*3 + 0*9 + 0*27 3 = 0*1 + 1*3 + 0*9 + 0*27 4 = 1*1 + 1*3 + 0*9 + 0*27 5 = -1*1 - 1*3 + 1*9 + 0*27 6 = 0*1 - 1*3 + 1*9 + 0*27 7 = 1*1 - 1*3 + 1*9 + 0*27 8 = -1*1 + 0*3 + 1*9 + 0*27 9 = 0*1 + 0*3 + 1*9 + 0*27 10 = 1*1 + 0*3 + 1*9 + 0*27 11 = -1*1 + 1*3 + 1*9 + 0*27 12 = 0*1 + 1*3 + 1*9 + 0*27 13 = 1*1 + 1*3 + 1*9 + 0*27 14 = -1*1 - 1*3 - 1*9 + 1*27 15 = 0*1 - 1*3 - 1*9 + 1*27 16 = 1*1 - 1*3 - 1*9 + 1*27 17 = -1*1 + 0*3 - 1*9 + 1*27 18 = 0*1 + 0*3 - 1*9 + 1*27 19 = 1*1 - 0*3 - 1*9 + 1*27 20 = -1*1 + 1*3 - 1*9 + 1*27 21 = 0*1 + 1*3 - 1*9 + 1*27 22 = 1*1 + 1*3 - 1*9 + 1*27 23 = -1*1 - 1*3 + 0*9 + 1*27 24 = 0*1 - 1*3 + 0*9 + 1*27 25 = 1*1 - 1*3 + 0*9 + 1*27 26 = -1*1 + 0*3 + 0*9 + 1*27 27 = 0*1 + 0*3 + 0*9 + 1*27 28 = 1*1 + 0*3 + 0*9 + 1*27 29 = -1*1 + 1*3 - 0*9 + 1*27 30 = 0*1 + 1*3 + 0*9 + 1*27 31 = 1*1 + 1*3 + 0*9 + 1*27 32 = -1*1 - 1*3 + 1*9 + 1*27 33 = 0*1 - 1*3 + 1*9 + 1*27 34 = 1*1 - 1*3 + 1*9 + 1*27

15

35 = -1*1 + 0*3 + 1*9 + 1*27 36 = 0*1 + 0*3 + 1*9 + 1*27 37 = 1*1 + 0*3 + 1*9 + 1*27 38 = -1*1 + 1*3 + 1*9 + 1*27 39 = 0*1 + 1*3 + 1*9 + 1*27 40 = 1*1 + 1*3 + 1*9 + 1*27 Cum se citeste: de exemplu, pentru a cantari 20 grame, se pun pe talerul din stanga cantitatea x de cantarit, precum si greutatile de 1 si 9 grame.Pe talerul din dreapta se pun greutatile de 3 si 27 grame. Ecuatia x+1+9=3+27 conduce la solutia x=20. In cazul general, cu n+1 greutati: 1, 3, ,.., pot fi obtinute printr-o singura cantarire toate cantitatile din intervalul

[1, [ ].

21. MonedeIntro anumita tara trebuie minim 5 monede pentru a plati 13 escudossi minim 4 monede pentru a plati 14 escudos. Ce valori au monedele din tara respectiva ?

REZOLVAREVom presupune (pentru simplificare) ca moneda cea mai mica este de un escudo si ca toate monedele sunt reprezentate de un numar intreg de unitati. De asemenea vom considera ca nu exista monede de valoare mai mare de 14 escudos (altminteri problema ar avea o infinitate de solutii).O metoda eleganta de rezolvare este de a incerca descompunerea folosind un numar minim de monede. Este clar ca trebuie cel putin doua tipuri de monede. Fie x si y valorile acestora. Se obtin doua ecuatii diofantice: a * x + b * y = 13, unde a + b = 5 c * x + d * y = 14, unde c + d = 4 Se presupune ca a > b (pentru a evita repetarea solutiilor): Cazul I. a = 4 si b = 1. De aici se obtine solutia {x=2, y=5} cu valorile (a=4, b=1, c=2, d=2) Pentru variantele {x=1, y=9} si {x=3, y=1} (care verifica prima ecuatie) nu se gasesc valori intregi pentru c si d care sa verifice relatia c + d = 4. Cazul II. a = 3 si b = 2 Se obtin variantele posibile {x=1, y=5} si {x=3, y=2} pentru care nu se gasesc valori intregi ale lui c si d care sa verifice relatia c + d = 4.

16

Monedele din tara respectiva au valorile de 2, respectiv 5 escudos ! Eliminand ipotezele de mai sus (monedele sunt multipli intregi de 1 escudo si

pentru rezolvare se cauta un numar minim de monede), Victor Dascalu a gasit alta solutie: 0.5, 2 si 8 escudos. Atunci 13 = 1 * 8 + 2 * 2 + 2 * 0.5 (5 monede) 14 = 1 * 8 + 3 * 2 (4 monede) Nota (AA): Comparand cele doua solutii: A={2,5} si B={0.5,2,8} pot fi trase cateva concluzii interesante. Astfel, in varianta A, unele sume - de 1 si 3 escudo - nu pot fi platite, fapt care nu se intampla in varianta B. Introducerea monedei de 1 escudo este inutila in varianta B si contradictorie in varianta A. Daca se folosesc monede de 1, 2 si 5 escudo, atunci 13 escudo pot fi platiti cu 4 monede (2 monede de 5 escudo si cate una de 2 respectiv 1 escudo), ceea ce infirma ipoteza. Ca o concluzie, moneda de 1 escudo (ca si moneda de 1 leu de altfel) nu are ce cauta in economia tarii respective.

22. La circLa circ, un acrobat pe bicicleta se invarte in jurul arenei, efectuand o rotatie completa intr-un minut. Un urs pe bicicleta, mergand in sens invers, se intalneste cu acrobatul la fiecare 20 secunde. In cat timp parcurge ursul o rotatie completa in jurul arenei ?

REZOLVAREIpoteza: Consideram cele doua viteze constante.Pe parcursul unei arene complete, acrobatul se va intalni cu ursul de 3 ori [1 minut / 20" = 3 ori].Acrobatul va parcurge un arc de arena de 120 grade in cele 20" pana la prima intalnire cu ursul.Ursul va parcurge in 20" doua arcuri de arena. Va avea nevoie de inca 10" pentru a-l parcurge pe cel de al 3 lea. Deci, ursul are nevoie de 30" pentru a parcurge arena.

23. cod ID

17

Andrei, Marta, Dan, Ioana si Vasile au format un grup de discutii, in care fiecare se identifica printr-un cod ID bazat pe literele numelui. Codurile fiecarui partener sunt: Andrei - 51 Marta - 53 Dan - 19 Ioana - 40 Vasile - 68 Ulterior, in grup a fost acceptat si Radu. Ce cod ID va avea el ?

REZOLVARECodificam fiecare litera cu numarul sau de ordine din alfabet: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h = 8, i = 9, j = 10, k = 11, l = 12, m = 13, n = 14, o = 15, p = 16, q = 17, r = 18, s = 19, t = 20, u = 21, v = 22, w = 23, x = 24, y = 25, z = 26 (se face identificare intre literele mari si cele mici). Codul ID se obtine facand suma numerelor corespunzatoare literelor care alcatuiesc fiecare nume. Cu aceasta codificare ID-urile din problema sunt verificate: Andrei: 1 + 14 + 4 + 18 + 5 + 9 = 51 Marta: 13 + 1 + 18 + 20 + 1 = 53 Dan: 4 + 1 +14 = 19 Ioana: 9 + 15 + 1 + 14 + 1 = 40 Vasile: 22 + 1 + 19 + 9 + 12 + 5 = 68 In aceste conditii, Radu va avea ID-ul 18 + 1 + 4 + 21 = 44.

24.Drum minim pe tabla de sahIntr-un colt al unei table de sah 8x8 este asezat un cal. Care este numarul minim P, astfel incat acest cal ajunge in orice alt patrat al tablei in cel mult P mutari ? Dar pentru o tabla de sah 4x4 ?

REZOLVAREProblema poate fi rezolvata cu un graf in care punctele care se afla in relatia "saritura calului" au drum intre ele (in ambele sensuri) si costul deplasarii intre doua astfel de puncte este 1 (o mutare).Aplicam algoritmul lui Dijkstra plecam din coltul initial si luam toate punctele (cele doua)

18

unde putem ajunge. Drumul minim pana la ele este 1. Apoi, pentru fiecare din aceste doua puncte, luam toate punctele in care putem ajunge (si nu am gasit deja un drum minim). Pentru toate aceste puncte, distanta este 1 + 1 = 2. Si tot asa. Exista un singur punct in care putem ajunge abia dupa 6 mutari, si acesta este coltul diagonal opus.Pentru o tabla 4x4, P=5 (pentru colturile alaturate celui de start, unde putem ajunge doar dupa 5 mutari).

25. PizzaTrei prieteni merg la Sheriff's si cumpara o pizza mare. Nefiind hotarati cum sa o taie, decid ca fiecare sa faca o taietura completa prin pizza. Care este cel mai mare numar de bucati pe care le pot obtine prin aceste 3 taieturi ? Nota: O taietura completa prin pizza poate fi asimilata unei coarde intr-un cerc.

REZOLVAREPentru prima taietura avem o singura posibilitate: o simpla coarda in cerc, care imparte pizza in 2 parti (nu neaparat egale, evident). Pentru a doua taietura, avem doua posibilitati: 1) cele 2 coarde sunt concurente intr-un punct "O", si obtinem 4 bucati; 2) cele 2 coarde nu sunt concurente si obtinem 3 bucati. Pentru cazul 1), avand 4 suprafete care au un singur punct comun, cu o dreapta nu putem intersecta decat maximum 3 dintre ele; asadar obtinem 7 bucati.Pentru cazul 2), avem 3 suprafete pe care daca le taiem cu o singura dreapta, putem obtine maximum 3 * 2 = 6 bucati, mai putin ca in cazul 1). Asadar, cu 3 taieturi se pot obtine maximum 7 bucati.

26. DivizoriGasiti cel mai mic numar intreg pozitiv N cu proprietatea urmatoare:pentru orice cifra (0,1,..,9) exista cel putin un divizor al lui N care se termina cu aceasta cifra.

REZOLVARE

19

Solutia 1 (Silvia Doandes, Marius Amuraritei): Notam cu D(i) multimea divizorilor numarului i si cu u(i) ultima cifra a numarului i. Numarul N se divide: - la 1 (orice numar intreg se divide la 1); - la 2 si 5, deci si la 2 * 5 = 10. - la 3, deci si la 2 * 3 = 6. Pana acum N = 2 * 3 * 5 = 30. D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, iar u(1) = 1, u(2) = 2, u(3) = 3, u(5) = 5, u(6) = 6, u(10) = 0. Au mai ramas cifrele 4, 7, 8 si 9. Ultima cifra a unui divizor este:-9, daca divizorul este: 9 = , sau 19 (prim), sau 29(prim), 39(prim), 49= ,

- 8, daca divizorul este: 8 = , sau 18 = 2 * ( ), sau 28 = ( ) * 7, Mai adaugam la N factorul 3. Pana acum N = 2 * ( ) * 5 = 90. D(90)={1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} si u(9) = 9, u(18) = 8. Au mai ramas cifrele 4, 7. Ultima cifra a unui divizor este: - 7 daca divizorul este: 7, sau 17(prim), sau 27 = 3^3, 37(prim), 47(prim), - 4 daca divizorul este: 4 = , sau 14 = 2 * 7, sau 24 = (2^3) * 3, Mai adaugam la N factorul 3. Acum N = 2 * ( ) * 5 = 270. D(270) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 140, 270} si u(27)=7, u(54)=4. Deci 270 este numarul cautat.

27. TestIn cadrul unui test sunt 30 intrebari. Un raspuns corect valoreaza 7 puncte, iar unul gresit scade punctajul cu 12 puncte. Un concurent a reusit sa stranga 77 puncte. La cate intrebari a gresit ?

REZOLVAREDaca un raspuns corect valoreaza 7 puncte, inseamna ca pentru 30 raspunsuri corecte, punctajul obtinut este de 210 puncte. Dar, din acest punctaj maxim de 210 puncte, la fiecare raspuns gresit se scad 12 puncte + inca 7 puncte pe care le scadem caci inlocuim un raspuns corect

20

din cele 30 cu unul gresit. Deci din punctajul maxim, la fiecare raspuns gresit se scad 19 puncte. Daca un concurent a strans 77 puncte, inseamna ca din 210 a pierdut 133 (210-77) puncte. Impartind pe 133 la 19 obtinem numarul de raspunsuri gresite date de concurent. Astfel 133 / 19 = 7 raspusuri gresite.

28. Suma maximaDaca incercam sa reprezentam numarul 6 ca suma de numere intregi pozitive al caror produs este maxim posibil, rezultatul ar fi 3 + 3, deoarece 3 * 3 = 9; orice alte descompuneri (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 1 + 1 + 3 etc) conduc la produse mai mici.Daca in loc de 6 alegem numarul 50, care este valoarea maxima a produsului termenilor care insumati fac 50 ?

REZOLVARESe arata usor (din aproape in aproape) ca descompunerea unui numar N ca suma de numere pozitive de produs maxim este: N = 3 + 3 + 3 + ... + 3 daca N este de forma 3 * k; N = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 daca N este de forma 3 * k + 2; N = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 4 daca N este de forma 3 * k + 1. Deci pentru N = 50, descompunerea este 50 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2. si atunci produsul este 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 2 = 86.093.442

29. FactorialLa intrebarea: "Ce numere sunt egale cu suma factorialelor cifrelor lor ?" sunt posibile 4 raspunsuri: Doua sunt banale: 1 = 1! si 2 = 2! Al treilea numar este 145 = 1! + 4! + 5! Care este al patrulea numar ?

REZOLVAREUltimul numar care verifica conditia este 40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 24 + 1 + 120 + 40320 + 120.

21

30. Monede false

La casierie au fost depuse 7 fisicuri cu monede. Fiecare fisic contine 25 monede identice. Numai ca 3 din cele 7 fisicuri sunt formate din monede false.Stiind ca o moneda "adevarata" cantareste 10 grame, iar una falsa 9 grame,cum puteti afla DINTRO SINGURA CANTARIRE fisicurile cu monede false ?Cantarul folosit este unul obisnuit, iar greutatile sunt suficiente pentru a determina greutatea monedelor cantarite, cu precizie de 1 gram.

REZOLVAREFisicul Nr de monede luate 1 1 2 2 3 3 4 5 5 8 6 14 7 25 Astfel, se ia o moneda din fisicul 1, 2 monede din fisicul 2, 3 monede din fisicul 3, 5 monede din fisicul 4, 8 monede din fisicul 5, 14 monede din fisicul 6 si 25 monede din fisicul 7. Aceste 58 monede se cantaresc. Daca toate fisicurile ar fi cu monede normale, greutatea obtinuta ar fi de 580 grame. Cum 3 fisicuri au monede false, greutatea va fi insa mai mica. Diferenta de gramaj o scriem ca suma de trei numere din cele 7. Aceste 3 numere vor indica fisicurile cu monede false. Cele 7 numere (1, 2, 3, 5, 8, 14, 25) au proprietatea toate sumele formate cu 3 din ele sunt distincte. Mai exact:

22

6 = 1 + 2 + 3 8 = 1 + 2 + 5 9 = 1 + 3 + 5 10 = 2 + 3 + 5 11 = 1 + 2 + 8 12 = 1 + 3 + 8 13 = 2 + 3 + 8 14 = 1 + 5 + 8 15 = 2 + 5 + 8 16 = 3 + 5 + 8 17 = 1 + 2 + 14 18 = 1 + 3 + 14 19 = 2 + 3 + 14

20 = 1 + 5 + 14 21 = 2 + 5 + 14 22 = 3 + 5 + 14 23 = 1 + 8 + 14 24 = 2 + 8 + 14 25 = 3 + 8 + 14 27 = 5 + 8 + 14 28 = 1 + 2 + 25 29 = 1 + 3 + 25 30 = 2 + 3 + 25 31 = 1 + 5 + 25 32 = 2 + 5 + 25 33 = 3 + 5 + 25

34 = 1 + 8 + 25 35 = 2 + 8 + 25 36 = 3 + 8 + 25 38 = 5 + 8 + 25 40 = 1 + 14 + 25 41 = 2 + 14 + 25 42 = 3 + 14 + 25 44 = 5 + 14 + 25 47 = 8 + 14 + 25

31. Un operator matematic nou

Se defineste operatorul binar & cu urmatoarele proprietati: 1 & 1 = 0 4 & 3 = 55 5 & 9 = 44 4 & 7 = 15 8 & 6 = 476 10 & 14 = 804 Intrebare: Cat este 11 & 29 ?

REZOLVAREOperatorul corespunde urmatoarei operatii: a & b = a^3 - b^2. Intr-adevar 1 & 1 = - = 1 - 1 = 0

4 & 3 = - = 64 - 9 = 55

5 & 9 = - = 125 - 81 = 44

4 & 7 = - = 64 - 49 = 15

8 & 6 = - = 512 - 36 = 476

10 & 14 = - = 1000 - 196 = 804

Atunci 11 & 29 = - = 490.

23

32. PatratGasiti cifrele M si U (M > 0) astfel ca egalitatea = MUU sa fie corecta.

REZOLVAREMU * MU = MUU Rezulta ca U * U trebuie sa se termine in U ==> U poate fi 0,1,5,6. a) U = 0; M0 * M0 = M00 ==> M * M = M ==> M = 1; b) U = 1; M1* M1 --- M1 (M^2)M ---- M11 => 2*M=..1 M^2=M Contradictie; c) U = 5; M = 1 sau M = 2 (pentru M = 3 se depasesc 3 cifre) 15 * 15 = 225 25 * 25 = 625 Nu se verifica conditiile problemei. d) U = 6; Analog M = 1 sau M = 2 (pentru M = 3 se depasesc 3 cifre) 16 * 16 = 256; 26 * 26 = 676; Nu se verifica conditiile problemei. Rezulta ca MU=10;

33. Copii si ursuletiLa un magazin de jucarii, parintii a patru copii au venit si le-au cumparat ursuleti. Cei patru copii, in varsta de 1,2,3 si 4 ani au primit unul, doi, trei sau patru ursuleti, nu neaparat in aceasta ordine.Astfel, Doru are mai multi ursuleti decat varsta lui.Sorin este mai mare decat Matei. Curios, numai un copil are un numar de ursuleti egal cu varsta sa.Paul, care este cel mai tanar, are mai pu

24

tini ursuleti decat Sorin, iar copilul de 3 ani are doi ursuleti. Ce varsta are fiecare copil si cati ursuleti a primit cadou ?

REZOLVAREConstruim un tabel pentru copii, varsta si numar de ursuleti, in careintroducem informatia initiala data de enuntul problemei: Nume Varsta Ursuleti0 ------------------------ Doru - - Sorin - - Matei - - Paul 1 -Deoarece Doru are mai multi ursuleti decat varsta lui, rezulta ca el nu poate avea trei sau patru ani. Deci el are 2 ani.Cum Sorin este mai mare decat Matei, obtinem ca Matei are 3 ani, iar Sorin, 4 ani. Deci, se obtine tabelulNume Varsta Ursuleti ------------------------- Doru 2 - Sorin 4 - Matei 3 - Paul 1 -Sa trecem acum la numararea ursuletilor. Prima informatie care o avem este ca Matei are doi ursuleti. Nume Varsta Ursuleti ------------------------- Doru 2 - Sorin 4 - Matei 3 2 Paul 1 -Sa vedem cine are un singur ursulet: acesta nu poate fi Doru (care are cel putin 3) si nici Sorin (cu mai multi ursuleti decat Paul).Deci, un singur ursulet are Paul, care este si singurul care are un numar de ursuleti egal cu varsta lui.Nume Varsta Ursuleti ------------------------- Doru 2 - Sorin 4 - Matei 3 2 Paul 1 1

25

Rezulta ca Sorin are 3 ursuleti (nu poate avea 4 pentru ca are 4 ani), iar Doru are 4 ursuleti: Nume Varsta Ursuleti ------------------------- Doru 2 4 Sorin 4 3 Matei 3 2 Paul 1 1

34. agricultor

Un agricultor care vindea fructe la piata avea 8 cosuri, unele cu mere, iar celelalte cu prune. Cosurile contineau 67, 62, 35, 34, 30, 25, 19 si respectiv, 17 fructe. Un mar costa de trei ori mai mult decat o pruna. Un grup de straini s-a oprit iar unul dintre a cumparat un numar de cosuri cu mere, pentru care a platit echivalentul a 11.88 Euro, iar un altul a cumparat un anumit numar de cosuri cu prune, pentru care a platit aceeasi suma echivalenta. Asta l-a lasat pe agricultor doar cu un cos cu mere.Cat valora ultimul cos ramas?

REZOLVARE

Fie a – nr de mere si b – nr de prune => a+b = 67+62+35+34+30+25+19+17=289 fructefie x – nr de mere ramase dupa cumparaturi => (a-x)- mere cumparate si b – prune cumparateDeci, dat fiind ca un amr costa de 3 ori mai mult => (a-x)/3 = b => a=3b+xInlocuind in prima relatie avem 4b+x=289=> b=(289-x)/4Cum b e numar natural = > x= 17 sau 25 (altfel impartirea da cu restDeci, inlocuind in relatie, b = 66 sau 68Dar b nu poate fi decat 66, pentru ca nu se poate obtine 68 adunand numarul de fructe din cosuriDeci, b=66 => o pruna costa 11.88/66 = 0.18 Euro => un mar cost 0.54 EuroDeci, valaorea cosului ramas e 0.54 * 25 = 13.5 Euro

35. . 4 beţe

Aveţi 4 beţe de lungimi diferite (toate numere întregi). Cu trei beţe puteţi forma un triunghi.Dacă înlocuiţi unul din beţe cu al patrulea (cel lăsat de-o parte), obtineţi un alt triunghi, asemenea cu primul.Care este suma minimă a lungimilor celor patru beţe ?

REZOLVARE

26

Fie a, b, c, d lungimile celor 4 beţe. Nu voi stabili de la început o ordine a celor 4 numere, această ordine fiind dedusă din asemănarea considerată.Presupun că un triunghi este format cu beţele de lungimi a, b, c, iar celălalt cu beţele de lungimi a, b, d (prin înlocuirea băţului de lungime c cu cel de lungime d). Orice altă alegere a celor două triplete de numere va conduce la acelaşi rezultat, schimbându-se doar ordinea nu literelor.Avem următoarele două relaţii posibile de asemănare:

1) a

c

d

b

b

a == ; 2) b

c

a

b

d

a ==

Cele două cazuri sunt analoge: ele vor diferi prin ordinea numerelor (de fapt a literelor folosite pentru cele 4 beţe).Considerăm primul caz.Acum vom stabili ordinea numerelor.Considerând toate cazurile posibile pentru ordinea numerelor a, b, c rezultă următoarele două cazuri valide (celelalte duc la inegalităţi contradictorii):

cabd <<< sau dbac <<<

Considerăm cazul cabd <<< (celălalt fiind analog)Observăm mai întâi că 2≥d . Dacă 1=d , din inegalităţile dintre laturile unui triunghi avem că

1<−⇒−> babad , contradicţie, deoarece a şi b sunt întregi. Mai rezultă 3≥b .Din relaţiile de asemănare avem egalităţile adbbca == 22 , . Rezultă de aici că a şi b nu pot fi numere prime, deoarece pătratele lor nu se pot exprima ca un produs de 2 numere diferite de 1, decât dacă ele sunt egale.

Vom considera cazurile pentru b:8,2164 ==⇒=⇒= adadb , dar nu se respectă inegalitatea dintre laturile

triunghiului.

======

⇒=⇒=9,4

1 2,3

1 8,2

3 66

ad

ad

ad

a db , dar în niciunul din cazuri nu se respectă inegalitatea dintre

laturile triunghiului sau nu se obţine o valoare întreagă pentru c..La fel se întâmplă în cazurile 10,9,8 === bbb .

Pentru 2718,814412 =⇒==⇒=⇒= cadadb . Pentru aceste valori se respectă şi ordinea numerelor şi inegalităţile din triunghiuri.Atunci suma minimă a lungimilor beţelor este 65.

36. Pătrat prin eliminare

27

Se dă următorul şir de plăcuţe, marcate cu cifre:

Eliminaţi cât mai puţine plăcuţe, astfel ca numărul obţinut prin alăturarea plăcuţelor rămase (în ordinea crescătoare în care sunt aşezate) să fie un pătrat perfect.Ce plăcuţe trebuie eliminate ?

REZOLVARE

Numarul solicitat este 134689. Se elimina 2,5 si 7.123456789 nu este patrat perfect Verificam cazurile pentru o cifra eliminata -> nu se gaseste nici o solutiePentru 2 cifre eliminate sunt 36 de posibilitati din care se verifica doar cele care lasa un nr terminat in 1,4,5,6 sau 9. Nu exista nici o solutie.Pentru 3 cifre eliminate sunt 84 de posibilitati din care se verifica doar cele care lasa un nr terminat in 1,4,5,6 sau 9. Exista o singura solutie, cea de mai sus.Cred ca se poate rezolva problema si din aproape in aproape cautand logic numarul care se ridica la patrat dar nu am avut timp sa incerc.

37. Plicuri

Am trei plicuri; în unul se află două bancnote de 50 lei, în altul – o bancnotă de 50 lei şi una de 100 lei, iar în al treilea plic – două bancnote de 100 lei.Pe plicuri sunt scrise şi sumele respective (100, 150 şi respectiv 200 lei).Numai că, din greşeală de eroare, în nici un plic nu se află suma scrisă în exterior.Iar plicurile sunt lipite.Mi se permite un singur lucru: să desfac un singur plic, iar din el să scot o singură bancnotă.După aceea, să corectez sumele scrise pe plicuri, astfel ca ele să corespundă cu conţinutul.Cum procedez ?

REZOLVARE

Soluţia 1 (Maria Negru):

Observăm că putem corecta sumele scrise pe plicuri doar în cazul în care scoatem o bancnotă a cărei valoare x se găseşte în suma scrisă iniţial pe plicul respectiv.Deoarece bancnotele cu valoarea x (50 sau 100) se află doar în două din cele trei plicuri, vom corecta suma scrisă pe plic cu cealaltă sumă care-l conţine pe x.

28

suma scrisă pe plic bancnota scoasă suma corectă

x + yx x + x

y y + y

x + xx x + y

y ??

y + yx ??

y x + y

Astfel, pentru a fi siguri că bancnota scoasă se va găsi în suma scrisă iniţial pe plic, vom alege suma care conţine ambele valori posibile, deci vom deschide plicul pe care scrie 150.Dacă vom scoate 50, atunci sumele corecte vor fi:

suma scrisă

suma corectă

100 200

150 100

200 150

Dacă vom scoate 100, atunci sumele corecte vor fi :

suma scrisă

suma corectă

100 150

150 200

200 100

38. Traversări

Andrei, Bogdan, Claudiu, Dan şi Eduard (pe scurt – A, B, C, D, E) vor să traverseze un râu. Pentru aceasta:

1. Cei cinci au la dispoziţie o barcă;2. În barcă pot încăpea cel mult două persoane;

29

3. Când este singur în barcă, Andrei traversează râul în 11 minute, Bogdan - în 7 minute, Claudiu - în 4 minute, Dan - în 2 minute iar Eduard (fost campion) – doar într-un minut.

4. Când în barcă sunt două persoane, timpul necesar traversării este egal cu diferenţa timpilor necesari pentru fiecare ca să traverseze singur.Care este cel mai scurt timp în care A, B, C, D şi E vor traversa râul ? (timpul necesar urcării şi coborârii din barcă se ignoră).De exemplu, dacă traversările sunt efectuate de

(A, B), A, (A, C), B, (B, D), C, (C, E)atunci timpul total de traversare va fi de 41 minute

(4 + 11 + 7 + 7 + 5 + 4 + 3 = 41).REZOLVARE

Ne bazăm pe următoarele observaţii:1. Persoanele care au timpi mari de traversare - în acest caz e vorba de A şi

B - trebuie să treacă împreună râul şi să rămână de cealaltă parte a râului. Pentru aceasta trebuie ca de acea parte a râului să fie o persoană cu timp mic de traversare, D sau E, care să aducă barca înapoi. Astfel, la un moment dat situaţia este următoarea: C, D, E pe acelaşi mal unde se află şi barca, iar A şi B pe celălalt mal.

2. Cei 5 drumeţi se cuplează cate doi, astfel încât timpii lor individuali de traversare să fie cât mai apropiaţi (deci diferenţa dintre timpi să fie minimă). Se va întoarce persoana cu timpul de traversare cel mai mic din cei care deja au traversat.

3. Pe A - care are cel mai mare timp de traversare, nu îl vom pune să se întoarcă singur cu barca, iar la plecare îl vom asocia cu B, care are cel mai apropiat timp de al său. Şi B va traversa tot o singură dată râul.

4. D şi E vor traversa râul şi singuri, pentru că au timpii cei mai mici.Sunt două variante de traversare:

PLECARE ACTIUNE SOSIRE

A, B, C, D, E

A, B, C Pleaca D si E – 1 minut

D, E

A, B, C, E Se intoarce E – 1 minut

D

C, E Pleaca A si B – 4 minute

A, B, D

C, D, E Se intoarce D – 2 minute

A, B

30

E Pleaca C si D – 2 minute

A, B, C, D

D, E Se intoarce D – 2 minute

A, B, C

Pleaca D si E – 1 minut

A, B, C, D, E

TOTAL = 1 + 1 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13 minute.

PLECARE ACTIUNE SOSIRE

A, B, C, D, E

A, B, C Pleaca D si E – 1 minut

D, E

A, B, C, E Se intoarce E – 1 minut

D

C, E Pleaca A si B – 4 minute

A, B, D

C, D, E Se intoarce D – 2 minute

A, B

D Pleaca C si E – 3 minute

A, B, C, E

D, E Se intoarce E – 1 minute

A, B, C

Pleaca D si E – 1 minut

A, B, C, D, E

TOTAL = 1 + 1 + 4 + 2 + 3 + 1 + 1 = 13 minute

39. 6 cu 4

Gasiti cel mai mic numar intreg pozitiv avand 6 ca ultima cifra, cu proprietatea urmatoare: daca acest 6 se muta la inceput, se obtine un numar de patru ori mai mare decat cel initial. De exemplu, numarul 1236 se va transforma in 6123 (dar 6123 : 1236 > 4),iar 3126 se transforma in 6312 (dar 6312 : 3216 < 4).

REZOLVARE

31

Fie N numarul initial si n = N * 4. Daca N se termina in 6, inseamna ca n se va termina obligatoriu in 4. Cum 6 va fi mutat in fata, inseamna ca cifra 4 va ramane ca fiind penultima a numarului N. Acum avem: 46 * 4 = 184 ==> imposibil, deoarece prima cifra a produsului trebuie sa fie 6. Dar am aflat inca o cifra din numarul N si anume 8, care trebuie asezat inainte de 4. 846 * 4 = 3384 ==> imposibil, deoarece prima cifra a produsului trebuie sa fie 6. Dar am aflat inca o cifra din numarul N si anume 3, care trebuie asezat inainte de 8. 3846 * 4 = 15384 ==> imposibil, deoarece prima cifra a produsului trebuie sa fie 6. Dar am aflat inca o cifra din numarul N si anume 5, care trebuie asezat inainte de 3. 53846 * 4 = 215384 ==> imposibil (prima cifra a produsului trebuie sa fie 6),

dar am aflat inca o cifra din numarul N si anume 1, care trebuie asezat inainte de 5. 153846 * 4 = 615384, rezultat corect pentru ca prima cifra a produsului este 6. Asadar N = 153846.

40. MonedeIntro tara imaginara, moneda aflata in circulatie se numeste NAB; nu exista decat piese de 12, 15 si 16 nabi. Trei persoane, Andrei, Barbu si Cezar au ca singura avere urmatoarele piese: - Andrei are 10 piese de 12 nabi; - Barbu are 9 piese de 15 nabi; - Cezar are 7 piese de 16 nabi. In urma unui serviciu, Andrei are de dat 1 nab lui Cezar. Poate face el acest lucru fara ajutorul lui Barbu ? Daca DA - Cum ? Daca NU - Cum se face tranzactia intre cei trei ?

REZOLVARESuma sau diferenta a doua numere divizibile cu 3 este un numar divizibil cu 3 Cum 12 si 15 sunt numere divizibile cu 3 ==> nu putem obtine 1 folosind 12,15 si operatiile + si -. Deci A nu ii poate plati lui B fara ajutorul lui C

32

In schimb A ii poate da lui C 4 piese de 12 nabi contra a 3 piese de 16 nabi, apoi ii poate da lui B o piesa de 16 nabi contra 15 nabi, pentru a-i plati 1 nab.

BIBLIOGRAFIE:

http://www.galaxyng.com/potw/ problema saptamaniiRevista de logica Algebra distractiva de I.PerelmanGazeta matematica

33