Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele III-IV

1. Perimetrul figurii

Din fiecare colț al unui dreptunghi cu lungimea de 15 cm și lǎțimea de 9 cm se taie câte un

pǎtrat având perimetrul de 8 cm. Care este perimetrul figurii rǎmase?

prof. Dumitru Popa

2. La un concurs de logicǎ

Participând la un concurs de logicǎ și perspicacitate care conținea 28 de ȋntrebǎri, un elev a

obținut 103 puncte. Regulamentul concursului prevedea cǎ la fiecare rǎspuns corect se acordǎ

7 puncte, la fiecare rǎspuns greșit se pierd 5 puncte, iar la ȋntrebǎrile la care nu se dǎ nici un

rǎspuns nici nu se câștigǎ și nici nu se pierde. Ştiind cǎ elevul nu a dat nici un rǎspuns la 3

ȋntrebǎri, calculați care este numǎrul de ȋntrebǎri la care a rǎspuns corect.

ȋnv. Rodica Rotaru

3. Turnul de zaruri

16 zaruri sunt așezate unul peste altul, ca ȋn figura alǎturatǎ. Care poate fi valoarea

sumei numerelor de pe fețele orizontale care nu se vǎd? Justificați. Aflați toate

soluțiile.

ȋnv. Georgeta Moldoveanu

4. (Problema de departajare): Culorile numerelor

Un elev așeazǎ cinci culori pe masǎ, una lângǎ alta ȋn ordinea: roșu, galben, albastru, verde și

negru. Începe sǎ numere astfel: roșu este 1, galben este 2, albastru este 3, verde este 4, negru

este 5 și apoi ȋn sens invers, verde este 6, albastru este 7, galben este 8, roșu este 9, galben

este 10 și așa mai departe. Sǎ se calculeze pe ce culoare cade 2016.

ȋnv. Anișoara Mihai

Notǎ: Timpul de lucru este de 2 ore. Problemele 1,2,3 sunt obligatorii, problema 4 este

problema de departajare, prin urmare problema 4 va conta doar ȋn cazul ȋn care apar punctaje

egale ȋn urma corectǎrii primelor 3 probleme. Rezolvați fiecare problemǎ pe o foaie A4

separatǎ. Folosiți foaia sigilatǎ drept ciornǎ.

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele V-VI

1. Douǎ clepsidre

Dacă aveți două clepsidre, una care poate

măsura un interval de 7 minute şi alta care

poate măsura 11 minute, cum le puteți

folosi pentru a măsura un interval de 15

minute?

prof. Victor Ailioaei

2. Mǎsurarea apei

Dacă aveți la dispoziție un vas de 8 l plin cu apă și alte două vase goale de 5 l și respectiv

3 l , cum putem separa 4 l de apă fără a arunca din apa folosită?

prof. Victor Ailioaei

3. Prețul ciocolatei

Alexandra, Mihaela şi Daniela au respective 3, 4, 6 ciocolate identice. Rodica nu are nici o

ciocolată. Cele patru prietene consumă în mod egal toată ciocolata. Rodica lasǎ 13 lei pentru

ciocolata mâncatǎ de ea.

a) Cât costǎ o ciocolata?

b) Câți lei primește fiecare dintre fetele care aveau cicolatǎ?

prof. Dumitru Popa

4. (Problema de departajare):Numǎrul mașinii

Fǎcând o plimbare prin oraș 3 elevi au observat cǎ șoferul unei mașini a ȋncǎlcat regulile de

circulaie. Nici unul dintre ei nu a memorat numǎrul mașinii format din 4 cifre. Totuși

primul elev a observat cǎ primele douǎ cifre erau identice. Al doilea elev și-a amintit cǎ

ultimile douǎ cifre erau identice. Cel de al treilea elev afirmǎ cǎ numǎrul mașinii era pǎtrat

perfect. Ajutați-i sǎ reconstituie numǎrul mașinii pe baza acestor indicații.

prof. Marcel Rotaru

Notǎ: Timpul de lucru este de 2 ore. Problemele 1,2,3 sunt obligatorii, problema 4 este problema de

departajare, prin urmare problema 4 va conta doar ȋn cazul ȋn care apar punctaje egale ȋn urma

corectǎrii primelor 3 probleme. Rezolvați fiecare problemǎ pe o foaie A4 separatǎ. Folosiți foaia

sigilatǎ drept ciornǎ.

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele VII-VIII

1. Gazele de șist

Pentru explorarea gazului de șist o sondǎ folosește 1000 m3 de apǎ. Apa folositǎ este

depozitatǎ ȋntr-un rezervor ȋn formǎ de paralelipiped dreptunghic.

a) Dați 3 exemple de triplete de numere naturale care pot fi dimensiunile acestui

paralelipiped dreptunghic. ( cele 3 dimensiuni sunt exprimate ȋn metri).

b) În ce caz (dar nu neapǎrat dintre cele gǎsite la punctul a) suma celor 3 dimensiuni este

minimǎ?

c) Generalizați rezultatul de la punctul b).

prof. Vasile Țugulea

2. 18 bile

Un elev inteligent are 18 bile de aceeași mǎrime și culoare. Dintre ele doar una este mai ușoarǎ decât celelalte. Având la dispoziție doar o balanțǎ el

reușește sǎ gǎseascǎ bila ușoarǎ doar din 3 cântǎriri. Fiți la fel de inteligenți

și gǎsiți și voi bila ușoarǎ dupǎ 3 cântǎriri.

prof. Lazar Mardare

3. Dorel la cumpǎrǎturi

Dorel a cumpărat de la magazinul sportiv o paletă de tenis, o undiţă şi o minge de fotbal, plătind

240 lei. El constată că preţul paletei reprezintă un sfert din preţul undiţei, iar mingea de fotbal a

costat de 3 ori mai mult decât celelalte două obiecte la un loc. Câţi lei a plătit pentru fiecare

obiect în parte ?

prof. Victor Ailioaei

4. (Problema de departajare): Cicliștii amatori

Andrei și Bogdan sunt cicliști amatori și locuiesc ȋn localitǎțile A și respectiv B. Într-o zi de

vacanțǎ stabilesc sǎ plece ȋn același moment unul cǎtre celalalt. Ei se ȋntâlnesc prima datǎ la 5km

fațǎ de A, se salutǎ din mers și-si continuǎ drumul. Ajungând fiecare ȋn localitatea celuilalt nu

fac nici un popas ci pornesc imediat ȋnapoi și se ȋntâlnesc a doua oarǎ la 3 km de localitatea B.

De aceasta datǎ se opresc și ȋncearcǎ sǎ calculeze care este distanța dintre cele douǎ puncte de pe

șosea ȋn care s-au ȋntâlnit. Ajutați-i! Precizǎm cǎ fiecare dintre ei și-a pǎstrat viteza proprie de

deplasare indiferent de sensul de mers.

prof. Marcel Rotaru

Notǎ: Timpul de lucru este de 2 ore. Problemele 1,2,3 sunt obligatorii, problema 4 este problema de

departajare, prin urmare problema 4 va conta doar ȋn cazul ȋn care apar punctaje egale ȋn urma

corectǎrii primelor 3 probleme. Rezolvați fiecare problemǎ pe o foaie A4 separatǎ. Folosiți foaia

sigilatǎ drept ciornǎ.

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele III-IV

Soluții și bareme

1. Perimetrul figurii

Din fiecare colț al unui dreptunghi cu lungimea de 15 cm și lǎțimea de 9 cm se taie câte un

pǎtrat având perimetrul de 8 cm. Care este perimetrul figurii rǎmase?

prof. Dumitru Popa

Soluție și barem

Oficiu:…………………………………………………………………………………………..1p

Desenarea dreptunghiului ABCD și a celor 4 pǎtrate din colțuri………………………………3p

Fie observǎ cǎ ȋn pǎtratul AMNP, AM+AP=NM+NP; fie pune 2 cm pe fiecare dintre laturile

celor 4 pǎtrate…………………………………………………………………………………....3p

Finalizarea, perimetrul figurii rǎmase = 48 cm…………………………………………………3p

2. La un concurs de logicǎ

Participând la un concurs de logicǎ și perspicacitate care conținea 28 de ȋntrebǎri, un elev a

obținut 103 puncte. Regulamentul concursului prevedea cǎ la fiecare rǎspuns corect se acordǎ

7 puncte, la fiecare rǎspuns greșit se pierd 5 puncte, iar la ȋntrebǎrile la care nu se dǎ nici un

rǎspuns nici nu se câștigǎ și nici nu se pierde. Ştiind cǎ elevul nu a dat nici un rǎspuns la 3

ȋntrebǎri, calculați care este numǎrul de ȋntrebǎri la care a rǎspuns corect.

ȋnv. Rodica Rotaru

Soluție și barem

Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p

Elevul a dat rǎspunsuri la 28-3=25 ȋntrebǎri……………………………………………………..2p

Dacǎ la toate cele 25 ȋntrebǎri ar fi rǎspuns corect ar fi primit 25x7=175 puncte. ……………..2p

La un rǎspuns greșit elevul pierde 7+5=12 puncte………………………………………………2p

175-103 = 72 puncte pierdute ȋn total. ………………………………………………………….1p

72:12 = 6 ȋntrebǎri cu rǎspuns greșit. ……………………………………………………………1p

Deci 25-6 = 19 ȋntrebǎri cu rǎspuns corect………………………………………………………1p

3. Turnul de zaruri

16 zaruri sunt așezate unul peste altul, ca ȋn figura alǎturatǎ. Care poate fi valoarea

sumei numerelor de pe fețele orizontale care nu se vǎd? Justificați. Aflați toate

soluțiile.

ȋnv. Georgeta Moldoveanu

Soluție și barem

Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p

Suma numerelor de pe douǎ fețe opuse ȋntr-un zar este 7………………………………………2p

Din cele 16 zaruri, 15 au ambele fețe orizontale care nu se vǎd. Prin urmare suma fețelor

orizontale ale celor 15 cuburi este 15x7= 105. Pentru zarul de deasupra nu se vede una dintre

fețele orizontale, cealaltǎ fațǎ orizontalǎ se vede………………………………………………1p

Existǎ 6 cazuri- pentru fiecare caz ……………………………………………......câte 1p, total 6p

I. Pe fața de sus e numǎrul 1; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este 105 + (7-1)=111

II. Pe fața de sus e numǎrul 2; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este 105 + (7-2)=110

III. Pe fața de sus e numǎrul 3; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este105 + (7-3)=109

IV. Pe fața de sus e numǎrul 4; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este 105 + (7-4)=108

V. Pe fața de sus e numǎrul 5; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este 105 + (7-5)=14107

VI. Pe fața de sus e numǎrul 6; atunci suma fețelor care nu se vǎd ale celor 16 zaruri

este 105 + (7-6)=106

4. (Problema de departajare): Culorile numerelor

Un elev așeazǎ cinci culori pe masǎ, una lângǎ alta ȋn ordinea: roșu, galben, albastru, verde și

negru. Începe sǎ numere astfel: roșu este 1, galben este 2, albastru este 3, verde este 4, negru

este 5 și apoi ȋn sens invers, verde este 6, albastru este 7, galben este 8, roșu este 9, galben

este 10 și așa mai departe. Sǎ se calculeze pe ce culoare cade 2016.

ȋnv. Anișoara Mihai

Soluție și barem

Oficiu:……………………………………………………………………………………………1p

Notǎm numele culorilor cu inițialele lor și numǎrǎm conform indicațiilor

R G A V N

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

18 19 20 21

……………………

………………………………………………………………………………………………..1p

Observǎm cǎ numerele de pe culoarea roșie se repetǎ din 8 ȋn 8…………………………....3p

Prin urmare numerele de pe culoarea roșie sunt de forma 8 x c + 1 și cum numǎrul 2017 este

de forma 8 x 252 + 1, rezultǎ cǎ 2017 este roșu……………………………………………3p

La numerele roșii se ajunge de la un numǎr galben și de la numerele roșii se pleacǎ la

numerele galbene, de aceea 2016 este un numǎr galben…………………………………....2p

Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu

maximum de punctaj.

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele V-VI

Soluții și bareme

1. Douǎ clepsidre

Dacă aveți două clepsidre, una care poate

măsura un interval de 7 minute şi alta care

poate măsura 11 minute, cum le puteți

folosi pentru a măsura un interval de 15

minute?

prof. Victor Ailioaei

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

Pentru măsurarea timpului de 15 minute pornim simultan cele două clepsidre…………………3p

După 7 minute prima clepsidră s-a golit. Din acel moment clepsidra a doua va măsura 4 minute

până la terminarea nisipului……………………………………………………………………3p

Întorcând clepsidra mare şi continuând măsurătoarea, va mai măsura încă 11 minute, adică în

total 4 minute + 11 minute = 15 minute………………………………………………………..3p

2. Mǎsurarea apei

Dacă aveți la dispoziție un vas de 8 l plin cu apă și alte două vase goale de 5 l și respectiv

3 l , cum putem separa 4 l de apă fără a arunca din apa folosită?

prof. Victor Ailioaei

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

Fiecare linie din tabel ȋncepând cu a treia ……………………………..câte 1,5p ȋn total………9p

Vasul de 8 litri Vasul de 5 litri Vasul de 3 litri

8 l 0 l 0 l

3 l 5 l 0 l

3 l 2 l 3 l

6 l 2 l 0 l

6 l 0 l 2 l

1 l 5 l 2 l

1 l 4 l 3 l

3. Prețul ciocolatei

Alexandra, Mihaela şi Daniela au respective 3, 4, 6 ciocolate identice. Rodica nu are nici o

ciocolată. Cele patru prietene consumă în mod egal toată ciocolata. Rodica lasǎ 13 lei pentru

ciocolata mâncatǎ de ea.

c) Cât costǎ o ciocolata?

d) Câți lei primește fiecare dintre fetele care aveau cicolatǎ?

prof. Dumitru Popa

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

a) Impartim fiecare ciocolata in 4 sferturi pentru ca sunt 4 fete. Atunci Alexandra va

avea 3x4 =12 sferturi, Mihaela va avea 4x4=16 sferturi, Daniela va avea 6x4=24 sferturi.

In total cele 3 fete vor avea 12+16+24=52 sferturi. Aceste 52 de sferturi de ciocolata sunt

mancate in mod egal de cele 4 fete, deci fiecare fata mananca cate 13 sferturi………………..4p

Rodica plateste pentru cele 13 sferturi pe care le mananca 13 lei, deci un sfert de ciocolata costa

1 leu si atunci o ciocolata costa 4 lei……………………………………………………………..2p

b) Din cele 24 sferturi ale ei, Daniela mǎnâncǎ 13 sferturi și ȋi dǎ diferența de 11 sferturi

Rodicǎi, și cum un sfert de cicolatǎ costǎ 1 leu, Daniela va primi 11 lei. Sau Daniela ȋi

poate da doar 10 sferturi de ciocolatǎ Rodicǎi și ar primi atunci 10 lei……………1p

Din cele 16 sferturi ale ei, Mihaela mǎnâncǎ 13 sferturi și ȋi dǎ din diferența de 3

sferturi, 2 sferturi Rodicǎi, și cum un sfert de cicolatǎ costǎ 1 leu, Mihaela va primi 2

lei. Sau Mihaela ȋi poate da 3 sferturi de ciocolatǎ Rodicǎi și ar primi atunci 3 lei.

………………………………………………………………………………………1p

Alexandra are doar 12 sferturi, deci pentru a mânca ȋn mod egal, trebuie sǎ primeascǎ

1 sfert fie de la Daniela, dacǎ aceasta primește 10 lei, fie de la Mihaela, dacǎ aceasta

primeȚte 2 lei. Şi ȋntr-un caz și ȋn celǎlalt Alexandra nu doar cǎ nu primește nici un

leu de la Rodica, dar rǎmâne datoare cu 1 leu fie Danielei fie Mihaelei (depinde de la

care primește sfertul de cicolatǎ)…………………………………………………….1

4. (Problema de departajare):Numǎrul mașinii

Fǎcând o plimbare prin oraș 3 elevi au observat cǎ șoferul unei mașini a ȋncǎlcat regulile de

circulaie. Nici unul dintre ei nu a memorat numǎrul mașinii format din 4 cifre. Totuși

primul elev a observat cǎ primele douǎ cifre erau identice. Al doilea elev și-a amintit cǎ

ultimile douǎ cifre erau identice. Cel de al treilea elev afirmǎ cǎ numǎrul mașinii era pǎtrat

perfect. Ajutați-i sǎ reconstituie numǎrul mașinii pe baza acestor indicații.

prof. Marcel Rotaru

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

____

Conform indicațiilor numǎrul mașinii este de forma aabb = 1100a+11b= 11(100a+b)................2p

Cum numǎrul mașinii este și pǎtrat perfect și divizibil cu 11, de unde numǎrul mașinii trebuie sǎ

fie divizibil cu 121, atunci 100a+b este divizibil cu 11................................................................1p

Cum 100a+b=99a+a+b, de unde a+b trebuie sǎ fie divizibil cu 11, deci a+b=11.......................1p

Cum numǎrul mașinii este pǎtrat perfect, b nu poate fi decât 0;1;4;5;6;9...................................1p

Dar dacǎ b ar fi 0 sau 1 atunci a nu ar fi cifrǎ. Rǎmân perechile de numere

b=4 și a=7; b=5 și a=6; b=6 și a=5; b=9 și a=2.

Atunci numǎrul trebuie cǎutat printre urmǎtoarele 4 numere: 7744;6655;5566;2299.................2p

Cum 6655 este divizibil cu 5, dar nu este divizibil cu 25; 5566 este divizibil cu 2, dar nu este

divizibil cu 4, 2299 este divizibil cu 19, dar nu este divizibil cu 361. Atunci numerele

6655,5566,2299 nu sunt pǎtrate perfecte.

Numǎrul 7744 este pǎtratul lui 88, atunci numǎrul mașinii este 7744.......................................2p

Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu

maximum de punctaj.

Concurs de logicǎ și perspicacitate “Iorgu Radu”

Ediția a XI-a, 16.04.2016

Clasele VII-VIII

Soluții și bareme

1. Gazele de șist

Pentru explorarea gazului de șist o sondǎ folosește 1000 m3 de apǎ. Apa folositǎ este

depozitatǎ ȋntr-un rezervor ȋn formǎ de paralelipiped dreptunghic.

d) Dați 3 exemple de triplete de numere naturale care pot fi dimensiunile acestui

paralelipiped dreptunghic. ( cele 3 dimensiuni sunt exprimate ȋn metri).

e) În ce caz (dar nu neapǎrat dintre cele gǎsite la punctul a) suma celor 3 dimensiuni este

minimǎ?

f) Generalizați rezultatul de la punctul b).

prof. Vasile Țugulea

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

a) Volumul paralelipipedului dreptunghic este V= L·l·h;…………………………………1p

De exemplu: (10, 10, 10); (10, 5, 20); (4, 25, 10),

sau orice alte 3 triplete care ȋndeplinesc condiția ca produsul numerelor sǎ fie

1000……………………………………………………………………………………..3p

b) Suma celor trei dimensiuni este minimǎ dacǎ dimensiunile sunt egale………………..2p

c) Generalizare: dacǎ produsul unor numere naturale nenule este constant, atunci suma

numerelor este minimǎ când numerele sunt egale. Demonstrație cu egalitatea

mediilor………………………………………………………………………………..3p

2. 18 bile

Un elev inteligent are 18 bile de aceeași mǎrime și culoare. Dintre ele doar

una este mai ușoarǎ decât celelalte. Având la dispoziție doar o balanțǎ el

reușește sǎ gǎseascǎ bila ușoarǎ doar din 3 cântǎriri. Fiți la fel de inteligenți

și gǎsiți și voi bila ușoarǎ dupǎ 3 cântǎriri.

prof. Lazar Mardare

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

Se fac 2 grupe de câte 9 bile care se pun pe cele 2 talere ale balanței. Vom afla astfel care

este grupa ȋn care se gǎsește bila mai ușoarǎ………………………..………………………3p

Se ȋmparte grupa cu bila mai ușoara ȋn 3 grupe de câte 3 bile, douǎ dintre aceste 3 grupe se

pun pe talere balanței. Vom afla din nou grupa cu bila mai ușoarǎ………………………….3p

Dintre cele 3 bile aflate ȋn grupa cu bila mai ușoarǎ, 2 se pun pe talerele balanței. Vom afla

astfel bila mai ușoarǎ……………………………………………………………………......3p

3. Dorel la cumpǎrǎturi

Dorel a cumpărat de la magazinul sportiv o paletă de tenis, o undiţă şi o minge de fotbal, plătind

240 lei. El constată că preţul paletei reprezintă un sfert din preţul undiţei, iar mingea de fotbal a

costat de 3 ori mai mult decât celelalte două obiecte la un loc. Câţi lei a plătit pentru fiecare

obiect în parte ?

prof. Victor Ailioaei

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

Notăm cu P, M, U preţul unei palete de tenis, preţul unei mingi de fotbal şi preţul unei undiţe de

pescuit.

.........................................................................................................................4p

.........................................3p

Din:8 3 240

240 : 20 12.4

P UP

U P

Obţinem: 4 12 48U , iar 3 (12 48) 3 60 180.M

Astfel am determinat preţul unei palete de tenis (12 lei), preţul undiţei (48 lei) şi preţul unei

mingi de fotbal (180 lei)............................................................................................................2p

4. (Problema de departajare): Cicliștii amatori

Andrei și Bogdan sunt cicliști amatori și locuiesc ȋn localitǎțile A și respectiv B. Într-o zi de

vacanțǎ stabilesc sǎ plece ȋn același moment unul cǎtre celalalt. Ei se ȋntâlnesc prima datǎ la 5km

fațǎ de A, se salutǎ din mers și-si continuǎ drumul. Ajungând fiecare ȋn localitatea celuilalt nu

fac nici un popas ci pornesc imediat ȋnapoi și se ȋntâlnesc a doua oarǎ la 3 km de localitatea B.

De aceasta datǎ se opresc și ȋncearcǎ sǎ calculeze care este distanța dintre cele douǎ puncte de pe

șosea ȋn care s-au ȋntâlnit. Ajutați-i! Precizǎm cǎ fiecare dintre ei și-a pǎstrat viteza proprie de

deplasare indiferent de sensul de mers.

prof. Marcel Rotaru

Soluție și barem

Oficiu…………………………………………………………………………………………….1p

Deoarece ambii cicliști merg aceeași perioadǎ de timp, rezultǎ raportul distanțelor parcurse pânǎ

la prima ȋntâlnire este egal cu raportul distanțelor parcurse ȋntre cele 2 ȋntâlniri.

= …………………………………………………………………....3p

De unde x2 + 9x + 18 = 5x + 50, rezultǎ x

2 + 4x – 32 = 0………………………………3p

(x2 + 4x + 4) – 36 = 0

(x+2)2 – 36 = 0

(x + 8)(x - 4) = 0

Singura soluție acceptabilǎ este x = 4. …………………………………………………..3p

Notǎ: Orice soluție corectǎ și completǎ diferitǎ de soluția prezentatǎ ȋn barem va fi notatǎ cu

maximum de punctaj.