I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

download I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

of 33

  • date post

    15-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    35
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

  • 7/13/2019 I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

    1/33

    1

    Capitolul 2Logica clasica propoziiilor ( p )

    Ceea ce numim astzi logica clasic a propoziiilor ( p ) reprezint numitorul

    comun al unor perspective diferite de expunere formal a acestui compartiment al logiciisimbolice. Capitolul de faanalizeazcteva din aceste moduri de explicitare ale p : Teoria

    funciilor de adevr (2.1), Tablourile analitice (2.2), Axiomatica (2.3), Deducia natural(2.4), Calculul secvenilor(2.5) iRezoluia(2.6).

    2.1. Teoria funciilor de adevr

    2.1.1. Sintaxa p

    Logica propoziiilor reprezint partea cea mai simpl a logicii simbolice. Dac nsilogistica tradiional, aa cum am vzut n capitolul anterior, ne-am interesat i de structurainterna unei propoziii (i.e. structura subiect-predicat), n p aceastanalizrmne n afara

    oricror consideraii. Descompunerea unei propoziii o vom face pn la obinerea unorpropoziii elementare i nimic mai mult. Dac, de exemplu, descompunem propoziia(compus!) Studenii sunt preocupai de logic i vor obine rezultate bune vom obine

    propoziiile elementare Studenii sunt preocupai de logic i Studenii vor obine notebune, fr smai avem n vedere structura interna acestor propoziii elementare. Aadar,unitile sintactice nedecompozabile ale p sunt propoziiile elementare. Din propoziii

    elementare, aidoma exemplului de mai sus, putem construi propoziii compuse de varii feluri.Date fiind propoziiile elementare Clujul este un oratransilvan i A venit toamna putemobine Nua venit toamna, Clujul este un oratransilvansaua venit toamna, DacClujuleste un oratransilvan, atunci a venit toamna etc. Aadar, asupra propoziiilor putem operan diverse moduri. n primul caz am negatpropoziia dat, n al doilea am conectat disjunctivcele doupropoziii, iar n cel de-al treilea le-am conectat implicativetc.

    Logicasimbolica propoziiilor nu se intereseaznsde coninutul propoziiilor (i.e.

    de ceea ce ele exprim), ci de relaiile logice posibile dintre ele. Motiv pentru care recurge lao simbolizare corespunztoare i, implicit, la un nou nivel de abstractizare. Pe scurt, limbajullogicii propoziiilor, p

    1, conine urmtoarele categorii de simboluri (i.e. alfabetul):

    1. Simboluri pentru variabile propoziionale:p, q, r, ..., 1p , 2p ,..., 1q , 2q ,...2. Simboluri pentru operatorii logici: ,...,,, 3. Simboluri pentru constante: 1 i 0.

    1 p nseamnlogica simbolica propoziiilor, aa cum este ea explicitatn limbajul expus.

  • 7/13/2019 I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

    2/33

    2

    4. Simboluri auxiliare: ), (, ], [, }, {.Simbolurile p, q, r,... denot aadar propoziii arbitrare; - este operatorul unar al

    negaiei; ,, sunt, corespunztor, operatori binari: comjuncie, disjuncie, implicaie2; 1 i0 denotvalorile logice adevrat i fals3.

    Formula p . Acest concept va fi definit pe baza unor reguli recursive, reguli care

    permit obinerea de noi formule din cele deja construite. Prin ...,,...,,,21

    nelegem, n

    cele ce urmeaz, formule arbitrare ale p .

    Definiie 1. a) Orice variabilpropoziionaleste o formula p .

    b) Daceste o formula p, atunci este o formula p .

    c) Daci sunt formule ale p, atunci este o formula p

    (unde denotoricare din urmtorii 10 operatori binari: ,,,/,,,,,, + # 4).

    Prin ,, ,... vom nelege mulimi de formule ale p .

    Definiie 2. Gradul unei formule este numrul ocurenelor operatorilor logici din

    formul, i.e.:a) Orice variabilpropoziionalare gradul zero.b) Dacare gradul n, atunci are gradul 1+n .c) Daci au gradele n, respectiv m, atunci are gradul

    1++ mn .

    2.1.2. Semantica p

    2.1.2.1. Funcii de adevrPentru a decupa semnificaia integral a unui operator logic nu este suficient

    nicidecum sne rezumm la exemple din limbajul natural. Va trebui ca nelesul lor s fie

    complet explicitat prin definiii semantice. Aceste definiii arat, n fiecare caz n parte, moduln care valoarea logic a propoziiei compuse (i.e. a propoziiei care conine operatorulrespectiv) depinde strict de valorile logice ale propoziiilor care-o compun. S dm ctevaexemple. Fie propoziia Stiloul este albastru. Considerm cpropoziia este adevrat. Dacnegm aceastpropoziie, atunci vom obine propoziia compusNu este adevrat cstilouleste albastru sau Stiloul nu este albastru, simbolic p , i care este o propoziie fals.Invers, dacp era fals, atunci p este adevrat. Corelm aceste valori logice ale propoziieicompuse, p , cu valorile logice ale componentei ei,p, ntr-un tabel sau matricei obinem:

    p p Aicipeste argumentul funciei negaie.

    1 00 1

    Aceastmatrice reprezintdefiniia semantica negaiei.

    2O expunere n detaliu a operatorilor binari o facem n Semantica p .3Singurele cu care operm, logica clasicfiind o logicbivalent.4Din motive tipografice simbolul nonimplicaiei a putut fi redat doar prin #.

  • 7/13/2019 I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

    3/33

    3

    La fel putem proceda considerndp: 2 + 2 = 4 i q: Tabla este neagr. Dnd valori

    logice lui pi q, n toate combinaiile posibile, putem construi definiii pentru toi operatoriibinari ai p . Smenionm civa:

    p q qp p q qp p q qp p q qp

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 00 1 0 ; 0 1 1 ; 0 1 1 ; 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

    pi qsunt argumentele funciilor corespunztoare.

    Cunoscnd matricea unui operator, putem construi, corespunztor, definiia acestuia.Conjuncia, de exemplu, este funcia de adevr care ia valoarea logic adevrat atunci cnd

    ambele argumente sunt adevrate. Disjuncia este funcia de adevr care ia valoarea logicadevrat dac cel puin un argument este adevrat. Argumentele implicaiei ( ) se numescp= antecedent i q= consecvent. Din matricea corespunztoare rezultcimplicaia este falsdoar dacantecedentul este adevrat i consecventul fals. n fine, echivalena ( ) ia valoarealogic adevrat doar dacargumentele p, q au aceeai valoare logic. Trebuie s remarcmns urmtorul fapt: ceea ce intr n discuie n stabilirea valorii de adevr a propoziieicompuse (i.e. n definirea funciei/operatorului) este strict valoarea logic a propoziiilorcomponente i nimic altceva. n caz contrar, propoziia implicativ, construit cu pi q, demai sus ar fi o propoziie deloc uzual n nelegerea curent, de genul: Dac 2 + 2 = 4,atunci tabla este neagr. Aadar, orice consideraie cu privire la sensul propoziiilor esteeliminat. Acesta este motivul pentru care aceste funcii se numescfuncii de adevr.

    Definiie 1. Funcia de adevr este o funcie de la mulimea valorilor logice alepropoziiilor componente la valoarea logic a propoziiei compuse. (simbolic:( ) ( )nnA ppAppAf ,...,,...,: 11 , unde este un operator logic).

    Numrul funciilor care pot fi construite n logica bivalent depinde de numrul

    variabilelor propoziionale, n, i se calculeazduprelaia simpl ( )n22Nr = .

    Pentru n= 1, numrul funciilor este de patru, adic:

    p ( )p1 ( )p2 ( )p3 ( )p4

    1 1 1 0 0

    0 1 0 1 0

    Tabelul de adevr de mai sus are cinci coloane i dou linii. Prima coloan conineasignrile fcute variabilei propoziionale p, iar celelalte patru reprezint funciile unarecorespunztoare, adic: verum(p),p, p ifalsum(p).

    Definiie 2. Prin interpretarea unei variabile propoziionale se nelege asignarea(atribuirea) unei valori de adevr variabilei respective.

  • 7/13/2019 I.D.D. Psihologie Curs Logica Cap. 2 Logica Simbolica

    4/33

    4

    Dac cunoatem tabelul de adevr al unei funcii, atunci cunoatem semnificaia

    funciei, respectiv i putem construi definiia. Din cele patru funcii de mai sus, ( )p3 estetocmai negaia. Negaia este aadar funcia de adevr (unar!) care ia valoarea logicadevratdacp este fals; fals n caz contrar. La fel putem construi definiii i pentru celelalte funciiunare.

    Pentru n= 2, ) 162Nr 22 == . Cele 16 funcii binaredistincte sunt redate de ceea cese numete Tabelul lui Wittgenstein5.

    p q ( )qp,16 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

    T p q / + q # p C

    82

    Nr1 ==

    L ; 4

    2

    Nr22

    ==

    L ; 22

    Nr33

    ==

    L ; 12

    Nr44

    ==

    L

    Tabelul conine 18 coloane i 4 linii. Primele doucoloane reprezinttoate categoriilede asignri fcute variabilelor p i q, iar celelalte funciile binare corespunztoare.Completarea liniilor o facem dup urmtorul algoritm simplu: n linia nti ( 1L ) vom scriealternativ valori omogene al cror numr este numrul total al funciilor (16) mprit la 2,

    pentru linia a doua vom mpri acest numr la 22 , apoi la 32 pentru linia a treia i, n fine, la42 pentru linia a patra. Cele 16 funcii binare sunt, corespunztor: tautologia (T ), disjuncia

    neexclusiv( ), implicaia convers( ), prependena ( p), implicaia ( ), postpendena (q),echivalena ( ), conjuncia ( ), incompatibilitatea ( / ), disjuncia exclusiv ( + ),

    postnonpendena ( q ), non-implicaia ( # ), prenonpendena ( ), nonimplicaia convers

    ( ), rejecia ( ) i contradicia (C).Din construcia tabelului se poate observa c funciile 169 se pot obine,

    corespunztor, din negarea funciilor 18 , motiv pentru care incompatibilitatea de mai sus

    se mai numete i anticonjuncie, disjuncia exclusiv antiechivalen, rejecia antidisjuncie etc.

    Tot n construcia tabelului observm c 1 este ntotdeauna adevrat, 16 este

    ntotdeauna fals, iar celelalte funcii conin n matricea lor valori de adevr neomogene.Motiv pentru care putem opera urmtoarea clasificare a funciilor de adevr: valide

    (tautologii, adevruri logice), nesatisfiabile (contradicii, falsiti logice) i satisfiabile(realizabile), terminologie pe care o vom aplica cu referire la orice formul a p (