3.6 PROBLEME de LOGICĂ INTRODUCERE Materialul de față face parte dintr-unul mai amplu, dedicat matematicii ”de performanță” la nivelul claselor a III-a – a IV-a. Am strâns aproximativ 550 de probleme (sursa primordială fiind G.M.B.) grupate tematic pe capitole și sub-capitole. Aș dori să-l finalizez cam până pe la finele lui 2014 și să-l pun pe Scribd ”la liber”. M-am săturat de puzderia de gunoaie ”de autor” din care copiii nu învață nimic, dar pe care părinții sunt obligați să le cumpere. ENUNȚURI 1. Într-o cameră sunt 12 oameni. 6 dintre ei poartă haină, 4 dintre ei poartă vestă iar 3 poartă şi

haină şi vestă. Câţi oameni sunt doar în cămaşă ? (Ilinca Teianu, G.M.B. 4/2008)

2. La fiecare etaj al unui hotel camerele sunt aşezate simetric, de o parte şi de alta a culoarului, fiind numerotate pe o parte de la stânga la dreapta până la capătul culoarului, iar pe cealaltă de la dreapta la stânga. Ştiind că în faţa camerei cu numărul 8 se află camera cu numărul 17, aflaţi câte camere sunt la fiecare etaj.

(Roxana Gheorghe, G.M.B. 1/2009) 3. Pe un pod trec raţe : una în faţa celorlalte, două în urma ei, una încheie şirul, două în faţa ei,

una la mijloc. Câte raţe trec podul ? (G.M. 1/1985) 4. Iepurele alb spune că pisica minte. Pisica spune că Alice minte. Alice spune că iepurele alb şi

pisica mint. Cine minte şi cine spune adevărul ? (după Lewis Carroll) 5. La o anchetă, trei persoane , ,A B C au dat următoarele răspunsuri:

:A Sunt vinovaţi B şi C ; :B Este nevinovat A sau C ; :C Este vinovat A sau B . Ştiind că există un singur vinovat şi un singur răspuns este adevărat, să se deducă răspunsul adevărat şi cine este vinovatul. (Emil Constantinescu, G.M.B. 11/1969) 6. Verde Împărat şi Roşu Împărat se aflau în crâncen război. Fiul lui Verde Împărat o iubea pe

fata lui Roşu Împărat, ceea ce l-a mâniat pe tatăl fetei. Într-o aprigă bătălie, fiul lui Verde Împărat căzu prizonier împreună cu alţi trei oşteni. Roşu Împărat îi aşeză la o măsuţă rotundă cu patru locuri şi le zise:

- Iată 10 bile: 3 albe, 3 roşii şi 4 negre. Luaţi fiecare pe ascuns cîte una; dar mai întâi să te leg pe tine la ochi, zise el prinţului. Zis şi făcut. Fiecare avea cîte o bilă, ba chiar putea vedea şi bilele celor doi alăturaţi, însă nu şi pe aceea din faţă. Numai fiul lui Verde Împărat nu vedea nimic. - Acum, continuă Roşu Împărat, să-mi spuneţi fiecare ce culoare are cel din faţa voastră. Puteţi să spuneţi fie că nu ştiţi, fie o culoare, fie două. Dacă nu ştiţi, rămîneţi aici prizonieri, dacă spuneţi două culori şi una din ele e cea adevărată, vă dau libertate. Aceluia care spune una singură şi e cea adevărată, i-o dau pe fata mea de soţie. Dar dacă culoarea adevărată nu e una din cele spuse de voi, atunci veţi fi spânzuraţi. Spune tu, se adresă împăratul unuia dintre oşteni. - Nu ştiu. - Dar voi, şi arătă spre ceilalţi. - Nici eu nu ştiu, zise al doilea. - Nici eu, făcu al treilea. - Acum pe tine vreau să te aud, prinţule. - Negru. Să se demonstreze că Roşu Împărat i-a dat fata de soţie fiului lui Verde Împărat, ştiind că aceşti împăraţi îşi ţineau cuvântul. (T. Zamfirescu, G.M.B. 3/1968)

7. La ora de matematică au fost ascultaţi patru elevi , , ,A B C D . În recreaţie, alţi patru colegi de-ai lor au făcut următoarele afirmaţii cu privire la notele obţinute:

I. A a primit nota 8, B nota 9, D nota 5; II. B a primit nota 10, D nota 6, C nota 7; III. C a primit nota 10, A nota 8, D nota 5; IV. A a primit nota 7, B nota 10, D nota 5. Să se afle ce note au primit cei patru elevi, dacă:

a) Numai una din cele trei afirmaţii ale fiecărui coleg este adevărată; b) Numai două dintre cele trei afirmaţii ale colegilor sunt adevărate.

(Dorin Mărghidanu, G.M. 6/1981) 8. Raluca, Dragoş, Corina şi Cătălin au spart o vază. La întrebările mamei au răspuns :

- Cătălin : Raluca nu e vinovată. - Raluca : Corina a spart vaza. - Dragoş : Raluca n-a spart-o. - Corina : Dragoş minte. Ştiind că un singur copil a spart vaza, găsiţi vinovatul dacă : a) Un singur copil minte. b) Un singur copil spune adevărul. (Mihaela Banyai, G.M. 4-5/1984)

9. Mama are la dispoziţie doar 3 vase : unul de 12 litri plin cu lapte şi alte două goale, de 8 litri, respectiv de 5 litri. Mama vrea să separe jumătate din cantitatea de lapte pe care o are şi să o trimită bunicii. Cum poate să procedeze, fără să piardă niciun pic de lapte şi folosind doar cele trei vase ? (Concurs Micii Campioni, 7.03.2008)

10. În fiecare anotimp, Lucia vede alt gen de filme şi ascultă alt gen de muzică. Se ştie că : a) Vara nu ascultă muzică simfonică, dar urmăreşte filme de acţiune ; b) Primăvara, Lucia ascultă muzică disco şi nu urmăreşte comedii ; c) Toamna, Lucia nu ascultă rock şi nu urmăreşte desene animate ; d) În anotimpul în care urmăreşte filme istorice, Lucia ascultă muzică simfonică ; e) Lucia nu ascultă muzică populară nici vara, nici iarna. Precizaţi ce gen de muzică şi ce fel de filme preferă Lucia toamna. (Adriana şi Lucian Dragomir, G.M.B. 7-8/2008)

11. Pentru Sărbătoarea Paştelui, patru prietene au vopsit fiecare câte un număr diferit de ouă. Ştiind că următoarele afirmaţii sunt adevărate, aflaţi câte ouă a vopsit fiecare fată :

a. Viorica a vopsit 12 ouă sau 20 de ouă sau 24 de ouă ; b. Anca a vopsit 18 ouă sau 24 de ouă ; c. Laura nu a vopsit 20 de ouă ; d. Camelia a vopsit 18 ouă.

(Iuliana Drăgan, G.M.B. 4/2009) 12. În figura alăturată aşezaţi numerele de la 1 la 8, astfel încât pătratele în care sunt scrise două

numere consecutive să nu aibă nicio latură sau niciun vârf comun.

(Irina Negoiţă, G.M.B. 6/2009)

13. Toţi cei 120 de elevi ai unei şcoli studiază limba engleză sau limba franceză. Se ştie că 95 de elevi studiază limba engleză, iar 55 limba franceză. Câţi elevi studiază numai limba engleză ? Dar numai limba franceză ? (Luca Tuţă, G.M.B. 7-8-9/2009)

14. Mai mulţi copii au mâncat la cantină, în total 35 de fripturi şi 40 de prăjituri. Cunoscând că 10 copii au mâncat atât câte o friptură, cât şi o prăjitură, iar 5 copii nu au mâncat nici fripturi, nici prăjituri, să se afle câţi copii au fost la cantină.

15. Mai mulţi copii au fost la cofetărie şi au comandat 20 de prăjituri, 10 sticle de cico şi 14 sticle de cola. Câţi copii au fost, ştiind că toţi au comandat câte ceva, dar 5 nu au luat prăjituri ci doar câte un cico, iar 6 doar câte o cola (niciunul nu a luat ambele tipuri de băuturi).

16. 172 de copii participă la trei concursuri: de şah, de desen şi de atletism. Fiecare a mers la cel puţin un concurs. 84 de copii au mers la un singur concurs, dintre care 23 doar la şah şi 19 doar la desen. Un număr de 21 de copii au mers la toate concursurile. La concursul de atletism au fost 110 copii, iar 41 dintre aceştia au fost şi la şah. a) Câţi copii au fost numai la atletism ? b) Câţi copii au participat la concursul de şah ? c) Câţi copii au fost fie la şah, fie la desen ? d) Câţi copii au participat atât la şah, cât şi la desen ?

17. Trei prieteni, pe nume Vulpescu, Iepurescu şi Ursulescu au cumpărat ca suvenir câte o mascotă din blăniţă artificială : o vulpe, un iepure şi un urs. Nimeni nu are mascota cu animalul corespunzător numelui său, iar Iepurescu nu are o vulpe. Ce mascotă are fiecare ?

(Iuliana Drăgan, S.G.M. 11/2009) 18. Victor lucrează într-o librărie. El a primit spre vânzare câteva pachete cu câte 100 de plicuri

fiecare. El poate număra 10 plicuri în 10 secunde. Un client i-a cerut 70 de plicuri, iar Victor, fiind isteţ, a reuşit să i le ofere într-un timp foarte scurt. Care este acest timp ?

(Camelia Burlan, G.M.B. 7-8-9/2010) 19. O pisică se caţără pe o bară metalică. Cu fiecare metru parcurs, ea alunecă în jos 20 cm.

Câţi metri a parcurs pisica, dacă ea a alunecat în total 2 metri ? (Fănica Ştergărel, G.M.B. 10/2011)

20. Un grup de copii este format din Alin, Ben, Dan, Miu, Tică şi Vili. Fiecare dintre ei are cel puţin una din pasiunile: calculatorul şi plimbatul în parc. Se ştie că :

- Dan şi Vili sunt singurii care au fost numai în parc; - Alin şi Tică au fost şi în parc şi la calculator; - Numărul copiilor care au fost în parc este impar. Câţi copii au fost la calculator ? (Nicolae Ivăşchescu, S.G.M. 4/2012)

21. La un turneu de fotbal au participat patru echipe, cărora să le spunem A, B, C, D, fiecare jucând cu fiecare un singur meci. Turneul a fost foarte disputat şi, cu toate că s-au marcat în total doar 11 goluri, niciun meci nu s-a terminat la egalitate.Tocmai ultima partidă a turneului, disputată între echipa A care conducea în clasament şi echipa D, care era pe ultimul loc, nu promitea o luptă prea interesantă. Ca să piardă titlul de câştigătoare a turneului, echipa A trebuia să piardă la o diferenţă de cel puţin două goluri. Iată, însă, că ceea ce era de necrezut s-a întâmplat: echipa D a câştigat meciul cu echipa A chiar cu scorul de 5-1. În felul acesta echipa câştigătoare a turneului a fost B. Să se precizeze scorurile cu care s-au încheiat meciurile şi locurile ocupate în clasament de cele patru echipe. (În alcătuirea clasamentului se iau în calcul, în această ordine: numărul de victorii, golaverajul (diferenţa dintre numărul golurilor marcate şi numărul golurilor primite), victoriile directe)

(Armand Martinov, Viitori Olimpici 4/2012) 22. La un turneu de fotbal au participat 6 echipe : , , , , ,A B C D E F . Fiecare echipă a jucat 15

meciuri, câte 3 cu fiecare din celelalte echipe. În urma disputării tuturor celor 45 de meciuri, tabelul cu numărul de victorii (V), numărul de înfrângeri (I) şi numărul de remize (R) se prezintă astfel :

Echipa V I R

A 5 8 2

B 4 8 3

C 3 10 2

D 5 7 3

E 7 5 3

F a b c

Determinaţi câte victorii, înfrângeri şi remize a acumulat echipa F . (Dan Nedeianu, G.M.B. 11/2010) 23. Luni, marţi, joi şi vineri Ioana minte totdeauna, în timp ce în celelalte zile ea spune adevărul.

Astăzi a spus „Mâine este miercuri” şi alaltăieri a spus „Mâine este luni”. Ce zi este azi ? (Concurs Micii Campioni, 7.06.2012)

24. Să se măsoare trecerea a 9 minute cu ajutorul a două clepsidre cu nisip în care scurgerea din compartimentul superior în cel inferior se face în 4 minute la prima clepsidră, respectiv în 7 minute la cea de-a doua. (Concurs Micii Campioni, 7.06.2012)

25. Se poate acoperi o tablă de şah cu piese de forma :

astfel încât exact patru pătrăţele negre să rămână neacoperite ? Justificaţi răspunsul dat.

(G.M.B. 11/2012) 26. a) În parc se joacă 10 copii. Câte fete şi câţi băieţi sunt, dacă fiecare fată are doi fraţi şi

numai două fete sunt surori ? (Angelica Bădescu şi Denisa Ioniţă, S.G.M. 3/2013)

b) Într-un bloc sunt 16 copii. Fiecare băiat dintre cei 16 copii are exact două surori. Exact doi băieţi sunt fraţi. Câţi băieţi şi câte fete locuiesc în bloc ? (Concurs Evaluare în Educaţie, 16.10.2010) 27. Într-un ţinut de mult uitat, un rege aşteaptă să îşi savureze cina. El ştie că 3 dintre cele 10

feluri de mâncare pe care i le-au pregătit bucătarii sunt otrăvite cu 3 substanţe diferite. Cele trei otrăvuri sunt speciale, ele având efect mortal numai când sunt ingerate toate împreună. Regele este pofticios şi vrea să mănânce 9 din cele 10 feluri de mâncare. Care este probabilitatea să moară ? (Concurs Micii Campioni, 7.06.2013)

INDICAȚII și REZOLVĂRI 1. 5 oameni. Este util să desenaţi o diagramă Venn, în care reprezentaţi mulţimea H a purtătorilor de haină şi pe cea V a celor ce poartă vestă. Cum intersecţia H V∩ are trei elemente, reuniunea H V∪ va avea 6 4 3 7+ − = elemente. În cămaşă (fără haină, fără vestă) sunt deci 12 7 5− = oameni. 2. 24 de camere. Desenaţi schematic holul, plasând uşile de o parte şi de alta. Să zicem că holul are două capete, notate A şi B , iar camera 1 este în capătul A . Mergând spre B , după

perechea ( )8,17 vor urma ( ) ( )9,16 , 10,15 ,… etc. Se observă că suma numerelor dintr-o

pereche este 25. Camerei 1 îi corespunde prin urmare camera 25 1 24− = , care este ultima de pe etaj. 3. Trei raţe: cea din faţă are două în spatele ei, cea din spate are două în faţă, iar la mijloc este doar una. Dacă ar fi fost mai mult de trei raţe, „la mijloc” s-ar fi găsit mai multe. 4. Dacă iepurele ar spune adevărul, pisica ar minţi, deci Alice ar spune adevărul – deci iepurele şi pisica mint. Obţinem o contradicţie, deci iepurele minte. Dacă Alice ar spune adevărul, iepurele şi pisica mint amândoi. Din faptul că iepurele minte deducem că pisica ar spune adevărul, ceea ce contrazice o parte din ceea ce spune Alice. Prin urmare, şi Alice minte. În fine, dacă pisica spune

adevărul, Alice minte. Deducem că iepurele şi pisica nu mint amândoi, ceea ce se verifică (am dovedit că iepurele minte). Presupunând că pisica ar minţi, Alice spune adevărul, ceea ce am dovedit că nu se poate. Prin urmare, doar pisica spune adevărul. Se poate aplica şi teoria logicii matematice „à la clasa a IX-a”, dar aceasta ar depăşi considerabil scopul materialului prezent. 5. Fiind un singur vinovat, răspunsul dat de A (care incriminează două persoane) este fals. Cel puțin unul dintre B și C (posibil amândoi) este nevinovat. Dacă A ar fi vinovatul, atunci C ar fi nevinovat, ceea ce face ca afirmațiile făcute de B și C să fie ambele adevărate. Același raționament se aplică și dacă presupunem că vinovatul ar fi B . Vinovatul este prin urmare C , ceea ce face ca și afirmația acestuia să fie falsă; B este singurul care spune adevărul. 6. Problema este fie greșită, fie o pledoarie pentru ”ruleta rusească”. Dacă de exemplu, cei patru prizonieri extrag două bile negre, una albă și una roșie (există multe alte cazuri similare), niciunul dintre cei trei care văd culorile a câte trei bile fiecare nu poate fi sigur de culoarea bilei celui așezat la masă diametral opus cu el. Cazul de mai sus funcționează ca un contraexemplu și atunci când avem numai 3 bile negre, 2 albe și 2 roșii (deci cu câte una mai puțin de fiecare culoare). Oricare dintre tovarășii prințului va răspunde ”nu știu” atâta vreme cât cele trei bile pe care le vede nu elimină complet una sau două dintre culori, astfel încât să se aventureze la un răspuns tranșant. 7. a) : 7, : 9, :10, : 6A B C D . Ideea este că dacă validăm aserțiunile cu apariție frecventă (cum

ar fi cea care atribuie lui A nota 8) ajungem ca unii dintre ”protagoniști” să rămână fără notă. Ca să exemplificăm, dacă A are 8, pentru B nu putem avea nota 9 și nici D nu poate avea 5 (afirmația colegului I ar avea atunci două aserțiuni adevărate în loc de una). Singura valoare plauzibilă pentru nota lui B rămâne 10, ceea ce face ca toate afirmațiile colegilor I-IV să capete deja câte o aserțiune adevărată – fără ca pentru C și D să mai rămână vreo posibilitate (este de bun simț să presupunem că notele celor patru au valori dintre cele deja menționate și nu altele). b) :8, :10, : 7, : 5A B C D Dimpotrivă, acum aserțiunile cu apariție frecventă au câștig de cauză; lăsăm la latitudinea cititorului să-și bată capul de ce. 8. a) Dacă un singur copil minte, acela nu poate fi nici Cătălin, nici Dragoş (ei afirmă nevionvăţia Ralucăi). Afirmând că Dragoş minte, Corina se dovedeşte a fi mincinoasă – şi, mai mult, după cum spune Raluca, este vinovată. b) În cazul unei „conjuraţii a mincinoşilor”, cel care spune adevărul nu poate fi niciunul dintre băieţi. Corina este deci cea care spune adevărul, iar Raluca cea vinovată. 9. Problema de faţă apare în diverse materiale (Bălăucă) sub numele de „problema lui ...”. Se alcătuieşte un tabel în care fiecare coloană corespunde unuia dintre vase, iar fiecare linie cu unul dintre paşii transferului. Pentru claritate, am adăugat coloana a cincea, care conţine o descriere a fiecărui transfer.

Pasul 12 L 8 L 5 L mutarea 0 12 0 0 5 L din vasul de 12 în cel de 5 1 7 0 5 7 L din vasul de 12 în cel de 8 2 0 7 5 1 L din vasul de 5 în cel de 8 3 0 8 4 4 L din vasul de 5 în cel de 12 4 4 8 0 5 L din vasul de 8 în cel de 5 5 4 3 5 5 L din vasul de 5 în cel de 12 6 9 3 0 3 L din vasul de 8 în cel de 5 7 9 0 3 8 L din vasul de 12 în cel de 8 8 1 8 3 2 L din vasul de 8 în cel de 5 9 1 6 5 1 L din vasul de 12 în cel de 5 10 0 6 6 configuraţia dorită

10. Alcătuim tabelul : Anotimpul Genul muzical Genul de filme

Iarna simfonică istorice Primăvara disco desene animate Vara rock acţiune Toamna populară comedii

Singurul anotimp în care poate asculta muzică populară este toamna (primăvara fiind „ocupată” de muzica disco, iar iarna şi vara fiind excluse). Singurul anotimp rămas disponibil pentru combinaţia „muzică simfonică+filme istorice” este aşadar iarna. Fiind prohibite primăvara, comediile sunt preferate toamna. Pentru primăvară genul de filme rămas este cel al desenelor animate. 11. Camelia 18 ouă, Anca 24 de ouă, Laura 12 ouă, Viorica 20 de ouă. 12.

3 4 6 4 4 6 4 3

Scriem mai întâi în fiecare celulă din tabel numărul de vecini ai celulei respective. Strategia este de a plasa în celulele cu număr maxim de vecini numerele cu cât mai puţini vecini – acestea fiind 1 şi 8. Numerele 7 şi 2 se pot pune în celulele extreme, evitând vecinătatea lui 1 cu 2 şi a lui 7 cu 8. 3 şi 4 se pun pe aceeaşi linie, iar 5 se aşează pe aceeaşi coloană cu 3, pentru a evita vecinătatea între 4 şi 5. O posibilă dispunere este cea de mai jos.

7 3 1 4 5 8 6 2

13. Fie E mulțimea elevilor care învață engleza și F cea a celor care învață franceza. Știm că

95, 55E F= = și că 120E F∪ = . Aflăm 95 55 120E F E F E F∩ = + − ∩ = + − =

30= . În fine, \ 95 30 65E F = − = și \ 55 30 25F E = − = . Asta se traduce prin “65 studiază

numai engleza, iar 25 doar franceza”. 14. Problema nu este 100% ”fair play”. Cei cinci copii care nu au mâncat nici fripturi, nici prăjituri fie nu au luat nimic, fie au comandat altceva (de exemplu, câte o salată). Deoarece în total s-au comandat 35 de fripturi, 10 fiind luate de copii care au luat și prăjituri, celelalte 35 10 25− = de fripturi au fost comandate de copii care au luat și altceva (eventual nimic), dar nu prăjituri. Simetric, 40 10 30− = de prăjituri au fost comandate de copii care au luat și altceva, dar nu fripturi. În total, au fost 25 30 10 5 55 15 70+ + + = + = de copii. 15. 31 de copii. Putem împărți efectivul copiilor în următoarele categorii (după ceea ce ei comandă) :

Categoria Nr. copii Explicația Numai cico 5 Numai cola 6 Cico+prăjitură 10 5 5− = Cola+prăjitură 14 6 8− =

Numai prăjitură ( )20 5 8 7− + = Din numărul de prăjituri comandate, scădem numărul copiilor care au comandat prăjituri împreună cu cico, respectiv cola.

Total 5 6 5 8 7 31+ + + + =

16. Răspunsuri: a) 42 b) 84 c) 130 d) 41 Pentru a facilita rezolvarea, este bine să alcătuiți o diagramă Venn, reprezentând mulțimile , ,S D A ale participanților la concursurile de șah, desen și atletism și intersecțiile acestora.

După reprezentarea diagramei, rezolvarea decurge astfel :

a) Deducem mai întâi cu ușurință numărul celor care au participat doar la atletism. Dacă la un singur concurs au fost 84 de participanți, dintre care 23 la șah și 19 la desen, atunci doar la

atletism au fost ( )84 23 19 84 42 42− + = − = de concurenți. Scriem numărul cu roșu în

regiunea corespunzătoare a diagramei (interiorul ovalului A, partea necomună cu celelalte două ovaluri).

b) Nu dorim să apelăm la proprietățile cunoscute ale operațiilor de reuniune și intersecție din teoria mulțimilor. Este însă de bun simț să observăm că:

- numărul total de elemente din două regiuni care nu se suprapun este egal cu suma numerelor de elemente din cele două regiuni;

21

S

D

A

23

19

42

20

27

20

- dacă două regiuni ale diagramei au o parte comună, atunci numărul de elemente care aparțin fie uneia, fie alteia este egal cu suma celor două numere de elemente, din care se scade numărul elementelor comune – care altfel s-ar aduna de două ori.

Dacă la șah și atletism au participat 41 de concurenți, iar 21 dintre aceștia la toate cele trei concursuri, înseamnă că 41 21 20− = de concurenți au fost doar la șah și atletism (dar nu și la desen). Scriem numărul 20 cu verde în regiunea corespunzătoare. Din totalul de 172 de concurenți, scădem pe cei 110 participanți la atletism, cei 62 rămași fiind participanți, fie doar la șah, fie doar la desen, fie la ambele. Dintre acești 62 de concurenți, scăzând pe cei 23 amatori doar de șah și pe cei 19 doar de desen,

obținem ( )62 23 19 62 42 20− + = − = care au fost și la șah și la desen (dar nu și la

atletism). Scriem numărul cu albastru în regiunea corespunzătoare. Putem în fine să calculăm numărul participanților la concursul de șah, prin însumarea numerelor scrise în cele patru regiuni disjuncte care alcătuiesc mulțimea S :

23 20 21 20 84S = + + + =

c) Cel mai simplu este ca din totalul de 172 de participanți să-i scădem pe cei 42 care au fost

numai la atletism : 172 42 130S D∪ = − = .

d) În fine, observăm că mulțimea amatorilor de șah și desen cuprinde atât pe cei 20 care nu au participat și la atletism, cât și pe cei 21 care au fost prezenți la toate cele trei concursuri. În

consecință, 20 21 41S D∩ = + = .

Observație. Pe diagramă am figurat cu violet numărul celor care au fost la desen și atletism, dar nu și la șah. Numărul acestora (27) l-am calculat prin scăderea celorlalte trei numere scrise în interiorul regiunii A din numărul de 110 de participanți la atletism.

17. Iepurescu nu are o mascotă din blăniță de vulpe, dar nici de iepure, deci singura posibilitate este ca aceasta să fie de urs. Blănița de urs fiind deja atribuită lui Iepurescu, lui Vulpescu nu-i rămâne decât cea de iepure. În fine, Ursulescu are o mascotă din blăniță de vulpe. 18. 30 de secunde. Neglijând timpul necesar desfacerii unui pachet, Victor scoate dintr-un pachet nou 30 de plicuri, pe care le numără în 30 de secunde. Cele 100 30 70− = rămase în pachet le oferă clientului. 19. Putem presupune că după ultima urcare de 1 metru pisica nu mai alunecă înapoi, deoarece ajunge într-un punct stabil (cel mai probabil, ea se cațără pe un burlan până sus pe casă). Cei 2 metri = 200 cm corespund unui număr de 200 : 20 10= alunecări înapoi în jos. Așadar, pisica urcă 10 1 11+ = metri până la capătul de sus al barei. 20. 4 copii. În diagrama Venn de mai jos, în parc (mulţimea P ) au fost 5 copii (Dan şi Vili – care nu au fost la calculator – iar dintre fanii computerului, Tică şi Alin şi unul dintre Ben şi Miu, notat cu X - acesta asigură numărul impar)

D

V

A

T

X

Y

P C

La calculator (mulţimea C ) au fost aşadar Tică, Alin – dar şi Ben şi Miu – unul dintre ei (Y ) exclusiv, iar celălalt ( X ) amator şi de ieşit în parc. 21. În total s-au jucat șase meciuri : A – B, A – C, A – D (scor 1-5), B – C, B – D și C – D. Deoarece în meciul A – D s-au înscris 6 goluri, în celelalte cinci partide s-au marcat doar 11 6 5− = goluri. Cum niciuna nu s-a încheiat la egalitate, toate au fost victorii ”la limită” cu scorul de 1-0. Echipa A nu putea conduce înaintea ultimului meci cu D decât câștigând partidele anterioare cu B și C. Deci, știm rezultatele A – B: 1-0 și A – C: 1-0. Pentru ca B să câștige turneul, profitând de ”catastrofa” liderului A în ultimul meci (rezultat care i-a stricat golaverajul, acesta devenind 3-5), are nevoie de două victorii. Deducem rezultatele B – C 1-0 și B – D: 1-0. În fine, pentru ca D să fi fost ultima clasată înaintea meciului cu A, trebuie să fi pierdut meciul cu C. Deci, C – D: 1-0. Victoria din ultima partidă a propulsat echipa D pe locul 3, grație golaverajului superior. Iată și clasamentul :

Loc Echipa V E Î Golaveraj 1 B 2 0 1 2 - 1 2 A 2 0 1 3 - 5 3 D 1 0 2 5 - 3 4 C 1 0 2 1 - 2

Observăm că practic criteriul victoriilor directe nu contează. Dacă acesta ar fi contat înaintea golaverajului, A ar fi câștigat turneul. 22. „Our gain is your loss” spune o mostră de cinică înţelepciune din „perfidul Albion”. Cu alte cuvinte, când cineva câştigă ceva, altcineva trebuie să piardă. Fără a mai divaga (deşi terenul este propice), observăm că în cazul clasamentului de fotbal, numărul total de victorii şi numărul total de înfrângeri înregistrate trebuie să fie egale (presupunem că nu există jocuri decise la „masa verde” cu rezultate de tipul „0-3 pentru ambele echipe”). În situaţia din enunţul dat, avem 5 4 3 5 7 24a a+ + + + + = + victorii. Înfrângeri sunt 8 8 10 7 5 38b b+ + + + + = + . Rezultă că

24 38 38 24 14a b a b+ = + ⇒ − = − = . Cum , 15a b ≤ , nu avem decât posibilitatea ca

14, 0a b= = (dacă am fi avut 15, 1a b= = , echipa F ar fi jucat cel puţin 15 1 16+ = meciuri,

ceea ce este fals). Numărul de remize al echipei F este ( )15 15 14 1c a b= − + = − = .

23. Notăm cu 1

p şi 2

p propoziţiile „Mâine este miercuri” şi „Mâine este luni”. Alcătuim un tabel

cu patru coloane precum cel de mai jos. Evaluăm valorile de adevăr ale propoziţiilor 1

p şi 2

p în funcţie de zilele de „azi” şi „alaltăieri” şi de „calendarul” Ioanei. Valorile reale de adevăr ale celor

două propoziţii le includem pe coloanele ( )1v p şi ( )2

v p , iar cele care ar fi dezvăluite de Ioana

le dispunem pe coloanele ( )1i p şi ( )2

i p .

Azi Alaltăieri ( )1

v p ( )2v p ( )1

i p ( )2i p

Luni Sâmbătă F F A F Marţi Duminică A A F A Miercuri Luni F F F A Joi Marţi F F A A Vineri Miercuri F F A F Sâmbătă Joi F F F A Duminică Vineri F F F A

Linia în care ( ) ( )1 2i p i p A= = este cea care corespunde zilei curente a săptămânii. Prin

urmare, astăzi este joi. 24. Cheia rezolvării este operația 4 4 7 16 7 9⋅ − = − = . Punem deci ambele clepsidre să cronometreze simultan, fiind foarte atenți să o întoarcem pe cea de 4 minute de încă trei ori, imediat ce nisipul se scurge în partea inferioară. Din momentul când scurgerea nisipului în clepsidra de 7 minute se termină și până la finalul celui de-al patrulea interval măsurat de cea de 4 minute, trec exact 9 minute (conform operației de mai sus). 25. Nu. Tabla are 64 de pătrăţele, 32 albe şi 32 negre. Pentru a acoperi întreaga tablă cu piese de forma dată, sunt necesare 64 : 4 16= piese.Ca să rămână 4 pătrăţele libere, pe tablă trebuie să punem cu o piesă mai puţin decât cele 16 care o acoperă complet, adică 16 1 15− = piese. Oricare două pătrăţele adiacente (având o latură comună) au culori diferite. Din cauză că are două perechi de pătrăţele adiacente, orice piesă de forma dată, oricum ar fi aşezată pe tabla de şah, va ocupa două pătrăţele albe şi două negre. Prin urmare, 15 piese aşezate pe tabla de şah ocupă 15 2 30× = pătrăţele albe şi tot atâtea negre. Cele 4 pătrăţele rămase libere nu pot fi decât două albe şi două negre, nicidecum toate de aceeaşi culoare. 26. a) Cele două surori împreună cu frații lor alcătuiesc un grup de 2 2 4+ = copii. Ceilalți 10 4 6− = copii se împart în două grupuri de câte 3, în fiecare dintre acestea fiind câte o fată și cei doi frați ai săi. Avem deci 2 1 1 4+ + = fete și 2 3 6⋅ = băieți. b) Absolut analog, dar în oglindă în ceea ce privește băieții și fetele, obținem că sunt 6 băieți și 10 fete. 27. Este mai simplu să calculăm probabilitatea ca regele să NU moară. Aceasta se întâmplă dacă

felul de mâncare rămas ”neatacat” este otrăvit, probabilitatea fiind de 3

30%10

= . În concluzie,

regele are probabilitatea de 100% 30% 70%− = să moară.