Probleme de logică

Problema “Lupul, capra şi varza”este una dintre cele mai vechi şi mai cunoscute probleme de logică. Ca problemă-glumă a fost publicată iniţial de Alcuin (Albinus Flacus) în Propositiones ad acuendos juvenes (în anul 800) şi este formulată astfel:

“Un om trebuia să treacă peste o apă un lup, o capră şi o varză. Avea la dispoziţie o barcă în care nu încăpea decât el împreună cu unul din cele două animale sau cu varza. Dacă rămâneau pe mal lupul şi capra, atunci lupul devora capra, dacă rămânea capra cu varza, atunci capra mânca varza. În prezenţa omului nimeni nu mânca pe nimeni. Omul nostru izbuti totuşi să-i treacă pe toţi trei peste apă. Cum a procedat?”

În volumul O şezătoare la ţară (1851/1852) poetul Anton Pann versifică problema astfel:Un ţăran la târg please

Şi de vânzare luaseUn lup, o capră şi o varză.Nevrând niciuna să piarză

Când dădu de un râu mare(Cum nu era nici călare)

Trebuia ca să-l înoateŞi să le treacă pe toate.

Stând pe loc, se socoteşteŞi în sine îşi şopteşte

Cum şi In ce chip să facăCâte una să le treacă,Ca fiind apa prea lată,

Nu putea două două deodată.

“Să trec lupul? Zice,Capra varza o să-mi strice;Să trec varza, ş-aşa încă,

Lupul capra îmi mănâncă”.

Cum s-a descurcat ţăranul?

Probleme de logică în învăţământul primar

În rezolvarea problemelor de matematică putem identifica două tipuri de dificultăţi:- dificultăţi de înţelegere a raţionamentului logic de rezolvare;- dificultăţi de conţinut matematic întâmpinate în diferite etape ale rezolvării problemei.Cea mai eficientă cale în depăşirea primului tip de dificultăţi este formarea şi exersarea

gândirii logice prin rezolvarea unor probleme de logică. În problemele de logică accentul cade pe raţionamentul de rezolvare a problemei şi nu pe conţinuturile matematice pe care le abordează. Aceste probleme necesită pentru rezolvare cunoştinţe matematice de bază, au un caracter interdisciplinar şi sunt accesibile oricui, indiferent de vârstă sau pregătire. Ele dezvoltă un mod de gândire logic necesar în exercitarea oricărei activităţi umane. Aceste probleme dezvoltă capacitatea elevilor ca pe baza unor elemente date să formuleze concluzii şi să ia decizii.

Problemele de logică şi probabilităţi sunt introduse explicit în programa de clasa a IV-a, însă ele sunt abordate încă de la grădiniţă în special prin diferite jocuri didactice cu mulţimi de obiecte.

Multitudinea problemelor de logică face ca încadrarea acestora în categorii să fie destul de dificilă. Totuşi în cele ce urmează vom prezenta câteva tipuri de probleme care se încadrează în această temă:

Probleme în care sunt utilizaţi operatori logiciProblemele de logică în care sunt utilizaţi operatorii logici fac apel la câteva elemente de

logică matematică fundamentale. Acestea sunt noţiunea de propoziţie matematică şi operatorii logici.

Prin propoziţie matematică vom înţelege un enunţ despre care ştim că este adevărat sau fals, însă nu şi una şi cealaltă simultan. Propoziţiile se notează cu litere mici: p, q, r etc. Din propoziţiile simple se obţin propoziţii compuse prin aplicarea operatorilor logici.

Operatorii logici sunt:- Negaţia propoziţiei p este propoziţia care se citeşte non p, notată ¬p . Non p este

adevărată atunci p este falsă şi este falsă atunci când p este adevărată. În limbajul natural negaţia este introdusă prin cuvinte şi expresii ca: nu are proprietatea , nu este adevărat că, este fals că etc.

- Conjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia care se citeşte p şi q , notată p∧q . O conjuncţie este adevărată dacă ambele propoziţii sunt adevărate, în caz contrar fiind falsă. Cuvintele şi expresiile prin care este recunoscută o conjuncţie într-un text sunt: şi, iar, dar, virgula, cu toate că etc.

- Disjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia care se citeşte p sau q , notată p∨q . Fiind date două propoziţii p, q avem că propoziţia p∨qeste adevărată atunci când p este adevărată, q este adevărată sau p şi q sunt simultan adevărate. Aşadar în matematică se lucrează cu o aşa numită disjuncţie neexclusivă. Disjuncţia este introdusă în text prin cuvinte precum: sau, ori, fie etc.

- Implicaţia a două propoziţii p, q este propoziţia care se citeşte p implică q, notată p→q . Fiind date două propoziţii p, q avem că propoziţia p→q este falsă doar atunci când p

este adevărătă şi q falsă sau cu alte cuvinte “din ceva adevărat nu poate rezulta ceva fals”. Implicaţia este redată în limbajul natural prin expresia: dacă … atunci …, unde cuvântul atunci poate să nu apară explicit ci să fie doar subânţeles.

- Echivalenţa a două propoziţii p, q este propoziţia care se citeşte p eechivalent cu q, notată matematic prin p ↔ q . Fiind date două propoziţii p, q avem că propoziţia p ↔ qeste adevărată dacă p→q adevărată şi q→p adevărată, sau cu alte cuvinte atunci când ambele

propoziţii sunt adevărate sau ambele false. Echivalenţa este redată în limbajul natural prin expresii ca: … dacă şi numai dacă … , dacă şi numai dacă …atunci … etc.

În matematica din învăţământul primar şi preşcolar se utilizează mai mult primii trei operatori, urmând ca în clasele gimnaziale să se utilizeze şi ceilalţi operatori în contextual studiului geometriei. Uneori operatorii logici nu sunt evidenţi în text însă anumite cuvinte de legătură sugerează despre care operator este vorba.

Problemele tipice din această categorie sunt:- probleme cu mulţimi utilizând diagramele Venn-Euler sau prin activităţi practice

utilizând truse de figuri geometrice sau alte manipulative.- formularea unei concluzii sau obţinerea unor rezultate pe baza unor ipoteze care

conţin informaţii corelate prin operatori logici