NICOLAE MRGINEANU Ii

p/ihologie

logicmatematica

Pentru a formula legi cauzale n care intervine cu necesitate timpul, tiina i-a ateptat pe Galilei i Newton. Forma acestor legi este n general difereniala. Ete au privit de la nceput j ntotdeauna dominant micarea, a crei caracterizare difereniala este dat prin mecanismul elementar n care intervine acceleraia i a crei declanare este determinat de for.

Dup modelul acesta s-au construit toate legile importante ale tiinei deterministe a veacului al 19-lea, n special.

Odat cu nevoia de a formaliza, prin modele similare, domenii mai complexe ale experienei, cum a fost, de pild, acela al electricitii, analiza structural macro i micro a sistemelor a revenit n cmpul intereselor tiinei cu o metodologie proprie, cu nevoia de a explora cu ajutorul resurselor logice ale gndirii relaiile ntregului unei experiene cu elementele sale componente, aceste relaii nereduendu-se doar la un proces cauzal elementar, de caracter mecanic. Metodologia observaiei i a experimentelor practicate de fizicieni, de chimiti, de astronomi, de naturalid, rezultat al colaborrii adncite ntre gndirea logic i experien, n-a fost ntotdeauna valorificat n abstract la nivelul la care o tidicase practica i tradiia laboratoarelor i a observatoarelor. Ea las nc i azi un vast cmp de elaborare pentru logicieni i me- todologi, aa cum demonstreaz cu bogie de argumente prezenta carte, caVe aduce categorice contribuii n materie.

ntrzierea aceasta nu este surprinztoare, dac ne gndim c abia dup opera lui Newton, Gauss, Amp^re, Maxwell au ^aprut Legile gndirii (matematice) a lui G. Boole i nc mai trziu Teoria mulimilor a lui G. Cantor, care trebuiau s dea o armtur logic a matematicii i a principiilor care guverneaz aplicarea lor, cel puin pentru epoca ce culmineaz cu aceste din urm decenii ale noastre.

Pe acest drum al dezvoltrii structuraliste a tiinei, ea a culminat cu teoria relativitii, n care structura unui sistem fizic primeaz asupra micrii, care apare ca o ncreitur n universul geometric al lui Einstein.

Nu au trebuit multe eecuri pentru a se observa c tiina legilor deterministe nu poate mbrca dect imperfect fenomenologia omului i a societii. Laplace nsui, codificatorul determinismului, conchidea la captul unei ample analize a numeroase fenomene sociale sau psihologice c tiina noastr n aceste domenii nu este dect probabilist.

6

In chiar anii de nceput ai secolului nostru, odat cu ptrunderea experimental n microstructura materiei i a radiaiilor, omul de tiin a constatat surprins c i aceste domenii ale experienei scap n mare msur capacitii de reprezentare a legilor deterministe.

Atari legi opereaz, asemeni matematicii, asupra unor obiecte bine definite, observabile i determinabile cu precizie. Dac obiectele snt caracterizate prin elemente msurabile, direct sau indirect, legea poate atepta rezultatele msurtorilor care le definesc. Einstein a deprins lumea cu interdependena msurilor de spaiu i de timp, care nu pot fi niciodat independente unele de altele, dar nu snt mai puin determinabile n snul acestei corelativiti. Obiectele vechii tiine snt astfel salvate n determinismul lor principial, chiar daca n dependen de sistemul referenial; fizica ein- steinian este nc determinista, dar legile nu mai au caracterul dcterminist-cauzal al vechii tiine, ci acela microstructural al unor corelaii ntre componentele unui obiect-fenomen. Totul este microstructur ntr-o atare teorie, care pretinde totui s implice un determinism riguros chiar dac imposibil de gsit prin calcule, dat fiind complicaia lor.

Autorul examineaz ntr-un capitol special ntreaga complexitate a conceptului de obiect al tiinei actuale, cu deosebit interes pentru obiectele tiinelor psihologice din punctul de vedere al definiiei, deci al aspectului logic i metodologic. Ne d astfel o imagine a crizei prin care trec astzi multe domenii ale tiinei, pn cnd se va ajunge la o nelegere principial asupra a ceea ce poate nsemna un obiect n lumina unei caracterizri logice coerente i, n acelai timp, a lrgi tei capaciti de reprezentare, pe care o posed matematica actual.

Definiiile obiectelor experienei directe, brute, sau cele ale tiinei urmeaz i ele jocul, ce nu pare a se termina vreodat, ntre idealismul platonician extrem i empirismul aristotelic riguros, ntre caracterizarea axiomatic intrinsec care, totui, nu poate fi niciodat absolut, ci este doar relativ sau cea operativ, prin funcia sau funciile ce le are obiectul, pe de o parte, i caracterizarea exogen prin operaiile de ordin exterior, prin care se ajunge din afara lui la obiect, ca la o entitate asediat, pe de alt parte.

Strategiile optime, de pild, snt definite, operativ sau funcional, ca fiind acelea ce realizeaz un principiu de minmax.

7

Toate soluiile economice, care trebuie s realizeze un minimum de efort i de cost, snt definite operativ. Rdcinile unei ecuaii algebrice de asemenea. Dar numrul iraional este definit prin ceea ce Dedekind a numit o tietur, ilustrat cu 2000 ani nainte prin definiia valorii lui n ca limita comun a dublului ir format din perimetrele poligoanelor regulate de n laturi circumscrise i ale celor nscrise unui cerc cu diametrul egal cu unitatea, cnd n crete indefinit.

Acest joc este legat de ideea pe care i-o face cercettorul asupra obiectelor, evident abstracte, ale tiinei sale. Pentru unii, ele snt nplntate prin corespondene certe, chiar dac numai parial lmurite, n existena concret a universului experienei, singura garanie pentru ei a realului. Pentru alii, aceste obiecte, tocmai pentru c snt abstracte, aparin singurei realiti inteligibile, singurei realiti accesibile gndirii noastre.

Pendularea de la un cercettor Ia altul sau Ia diversele categorii de cercettori ntre poziiile intermediare acestor extreme este cu att mai vie cnd obiectele snt chiar acelea ale psihologiei. Sentimentul, uneori irezistibil, al identitii dintre obiectul gnd sau sentiment surprins n realitatea lui imediat i tot el considerat ca obiect direct al tiinei, pentru c se ntrevd n el acele necesare caractere de universalitate, chiar dac pot fi doar fugitive, doVnin nc, de cele mai multe ori nemrturisit, o parte din aceast tiin.

Dealtfel dialogul permanent pe care-1 ntreinem cu universul nconjurtor, cu variatele sale aspecte, cu nenumratele mesaje cu care ne asalteaz i al cror limbaj constituit din forme, din culori, din sunete, pe care organele noastre de simuri le tiu codifica i nelege, stabilete o corespondena strnsa ntre el i psihicul nostru individual, ale crui reacii snt la rndul lor primite i nregistrate de univers.

Pentru unii aceast coresponden este garania, ocazia proiectrii fiinei umane n universul unde i caut singura sa aezare posibil, singura justificare natural. Pentru alii, urmnd o pornire contrar, tot aa de excesiv ca i a celor dinti, corespondena aceasta proiecteaz ntreaga experien nuntrul gndului nostru, sitund n obiectele ce-i constituie coninutul, esena existenei.

Dac ne mrginim la constatarea faptului acestei permanente nelegeri cu universul ce ne nconjoar, atunci gsim n ea nu numai suportul obiectiv al existenei noastre, dar i elementele ne-

ce sare ale edificrii cunoaterii. Mai nti a noastr nine, aa cum ne nva vechea nelepciune, dar i a unei mereu mprosptate tiine a universului, ce ne st n fa ca un neobosit corespondent. i alturi de toate vechile domenii ale acestei tiine despre lume i despre noi nine se ridic obligaia de o formula tiina nelegerii noastre cu Universul i, de asemeni, obligaia de a ine seam n acelai timp de libertatea de decizie proprie fiinei umane.

Aceast nou tiin ne oblig s stpnim i sa folosim obiecte i strategii probabile crora numai decizia noastr le acord fiin i realizare. O tiin care ine tot aa de mult de psihicul uman, pe cit trebuie sa se socoteasc i cu asprele condiii ale naturii din afara lui i care s adopte o metodologie n msur s acomodeze probabilul cu certitudinea micrii efectuate.

Psihologie logica i matematic este o deschidere principial original ctre aceste noi perspective ale tiinei.

32 aprilie 1972OCT A } ' OX IC ESC U

CUVNT NAINTE

Avem atita tiina cita matematic putem introduce n ca.Aseriunea, desigur, este adevrat, dar ea exprim numai o

parte din adevr, nu adevrul ntreg, deoarece aceeai afirmaie poate fi fcut i despre logic, precum i despre tehnica i metodologia cercetrii.

De aceea ntregul adevr este cuprins numai n teza c avem atta tiin cit matematic, logic i metodologie putem introduce n ea.

Dezvoltarea acestor trei parametri de baz ai cercetrii i teoriei psihologice nu este ns egal.

Avem numeroase manuale de tehnic experimental a cercetrii, i zeci de tratate de psihologie matematic. Nu avem unul de psihologie logic. Lucrarea lui Pratt trateaz problema prea general, iar aceea a soilor Luchins se ocup numai de logica matematic.

i avem attea reviste de psihologie experimental i de psihologie matematic, dar nici una de psihologie logic!

Dup prerea noastr, att procesele de contiin i incontient, cit i actele de conduit, snt i fenomene calitative, nu numai cantitative. Interpretarea calitii ns o lsm totui pe seama bunului sim. Nu este astfel nici o mirare c teoriile psihologice abund de greeli logice.

Reacia mpotriva acestei determinri unilaterale a cercetrii i interpretrii fenomenelor psihologice nu a ntrziat nici ea.

Una este aceea a psihologiei elaborate ca tiin a spiritului, propus de Dilthey i Spranger.

La temelia psihologiei constituit ca tiin a naturii a stat experimentul, msura i explicarea ntregului prin prile sale.

La temelia psihologiei fundat ca tiin a spiritului a stat nelegerea rostului pe care partea il are n ntreg i prinderea direciei sale de evoluie, individuate amndou.

IC

La dualismul corp-suflet din ontologie, Dilthey i Spranger au adugat pe acela al cunoaterii din epistemologie. n acest dualism, determinarea logic i matematic se opun, nu se completeaz. n practica cercetrii, ntregirea lor reciproc ns continu. Dualismul ontologic apoi este i el infirmat.

A. doua opoziie dintre tiinele naturii, bazate pe matematic, i cele ale spiritului, elaborate cu ajutorul logicii, a fost susinut de Windelband i Rickert n istorie, de Max Weber n sociologie i de W. Sombart n economie.

Dar atit sociologia i economia, precum i istoria, evolueaz i ele nspre ntregirea reciproc a determinrii logice cu cea matematic.

O a treia reacie mpotriva matematizrii exagerate a psihologiei o aduce fenomenologia lui Husserl, care nu contest determinarea matematic, dar o promoveaz i pe cea logic.

Fenomenologia lui Husserl contest ns att explicarea ntregului prin pri din tiinele naturii, cit i nelegerea prilor prin ntreg din tiinele spiritului i susine numai ptrunderea intuitiv de ordin raional n esena fenomenului. Peste variaia fenomenului n spaiu i evoluia sa n timp aaz o parantez.

Unilateral rmne astfel i aceast determinare.n schimb, logica dialectic, din care, n parte, se inspir att

Dilthey, ct i Husserl, promoveaz att explicarea analitic i cauzal a ntregului prin pri, ct i interpretarea sintetic i teleologic a prilor prin ntreg, precum i prinderea intuitiv a ntregirii lor reciproce. Ea, de asemenea, recunoate att determinarea matematic, ct i pe cea logic, apropiindu-se astfel de completitudinea de determinare a cercetrii i interpretrii tiinifice.

Aproximativ pe aceeai poziie s-a aezat i teoria fenomenului originar, propus de Goethe n morfologia animal. Frobenitis i Spengler o aplic n morfologia cultural, iar Klages n caracterologie. Ei li schimb ns n bun parte sensul originar, de care se apropie doar Cassirer.

ntregirea reciproc dintre instrumentul matematic i organonul logic n raport cu cercetarea i teoria din tiinele lumii reale a fcut obiectul lucrrii noastre Natura tiinei, aezat pe o poziie dialectic.

Cu aceeai ntregire dialectic dintre determinarea logic i matematic n raport cu cercetarea psihologic ne ocupm n lucrarea de fa.

11

Contiina valorii i necesitii psihologiei matematice o datorez profesorilor Ch. Spearman i L. L, Thurstone, fondatorii analizei factoriale. Sub influena ideilor lor am scris att Elemente de psihometrie, cit i Analiza factorilor psihici.

nelegerea pentru psihologia logic o datorez profesorilorF. Krueger, W. Stern, Ed. Spranger, W. Koehler i mai ales luiG. W. Allport. Sub influena ideilor lor am elaborat Psihologia persoanei.

Dar Allport a valorificat n mod sistematic i metodele matematice, iar Thurstone nu nceta un moment s recomande metodologia logic a lui M. Adler, care-i inaugureaz activitatea tiinific cu Dialectica.

De interpretarea dialectic m apropiasem nc din timpul studiilor din Germania, aa cum arat Problema evoluiei, aprut naintea studiilor cu Adler in S.U.A.

ntregirea reciproc dintre determinarea logic i matematic n raport cu cercetarea este susinut, dealtfel, in toate lucrrile mele, dar fr explicitarca relaiilor dintre ele, care apare in Natura tiinei i n lucrarea de fa.

Asupra unui rezumat al ideilor din lucrare, de aproximativ 50 pagini, scris n limba englez, am avut observaiile critice ale lui G. W. Allport, H. Cantril i FI. Gulliksen.

Asupra altui rezumat de aproximativ 00 de ragini n limba germana am avut observaiile critice ale lui P. Hofsttter, H. Thn- mae i K. Pawlik.

In forma ei final, lucrarea a fost citit de pro ie torul O. Oni- cescu, membru al Academiei R.S. Romnia, care a avut bunvoina de a-mi ndruma paii n domeniul psihologiei matematice de aproape patru decenii. D-sa a binevoit s scrie i prefaa.

Sper ca recunotina mea s egaleze bunvoina lor.

AUTO RI I-

CAPITOLUL I

PSIHOLOGIA LOGIC I MATEMATIC

Aplicarea metodelor matematice n cercetarea psihologic a nceput n cea de-a doua jumtate a veacului trecut i coincide cu efortul de constituire a psihologiei ca tiin exact, cu caracter metric i experimental.

In psihofizica lui Fechner i psihologia experimental a lui Wundt au fost aplicate metodele de msurare a variaiei intra- individuale, anume media aritmetic i variaia medic a rspunsurilor persoanei cercetate.

Ele au intervenit n exprimarea cantitativ a relaiilor dintre stimul i rspuns.

Observaiile logice, de ordin calitativ, au fost nregistrate n protocolul cercetrilor.

In cercetrile lui Galton a aprut i studiul statistic al variaiei interindividuale, dar numai sub unghiul ogivei, care-i poart numele, nu i sub acela al curbei de variaie, pe care o introduce Pearson.

Introducerea metodelor statistice de cercetare a variaiei interindividuale n Laboratorul de psihologie al Universitii din Leip- zig o face J. Mc Cattell, care ncepe studiile cu Galton i le continu cu Wundt. Completarea studiului variaiei intraindividuale prin cercetarea variaiei interindividuale a prut fondatorului psihologiei experimentale drept o metod strict american. A fost, de fapt, vorba de o . . . metod englez, inaugurat de Pascal n Frana i elaborat n continuare de Gauss n Germania i de Bernnouli n Elveia.

n scara metric a inteligenei, propus de Binet, apare raportul dintre etatea mintal i cea fizic, exprimat n uniti absolute, adic prin adugare sau scdere de ani, luni, zile. Coeficientul de inteligen, propus de W. Stern, exprim acelai raport prin mprirea vrstei mintale cu cea fizic. Interpretarea acestui coefi-

15

cient prin unitile sigma ale curbei de variaie este adusa de L. L. Terman i C. Burt, iar n continuare de D. Wechsler.

Cercetarea covariaiei interindividuale este inaugurat de Ch. Spearman i K. Pearson. Spearman propune metoda diferenelor de rang, iar Pearson adapteaz metoda produselor, preconizat de Bravais. Yule adauga corelaia tetracoric. Coeficienii de corelaie, calculai pe aceast cale, exprim linia de relaie a celor dou variabile n cadrul coordonatelor carteziene. n corelaia multipl apar i relaiile dintre mai multe variabile. Relaia curbiliniar apare n coeficientul Eta.

Lui Spearman, iar n continuare lui TrumanKelley, Holzin- ger, Hotelling i n special lui Thurstone, le revine meritul de a fi aezat bazele analizei factoriale, care izoleaz i definete factorii determinani ai corelaiei. Noua metod, generat n psihologie, gsete o larg aplicare n sociologie, n economie, precum i n biologie i chiar n chimie, geologie, muzicologie etc. Ea constituie unul din titlurile de mndrie ale psihologiei matematice. Noi contribuii n acest important domeniu snt aduse de W. Stephen- son i R. Cattell.

Curba de probabilitate mijlocete studiul variaiei interindi- viduale sub unghiul unei singure variabile. Analiza factorial deschide posibilitatea cercetrii multivariate a tipului psihologic i chiar a siructurii persoanei. Alturi de cercetrile multivariate ale lui Cattell i colaboratorilor si avem pe acelea ale lui Eysenck, Guilford, Brengelmann i Pawlik etc.

Alturi de cercetarea variaiei prin analiza factorial, generat n psihologie, avem studiul varianei, elaborat de R. S. Fischer n biologie, care i-a gsit largi aplicaii i n psihologie. i, desigur, n sociologie etc.

CI. L. Huli, pe de o parte, J. Piaget i colaboratorii si pe de alt parte, introduc metodele logicii matematice n studiul analizei structurale a proceselor de nvare, motivaie i gndire. Numrul acelora care urmeaz calea deschis de ei este aproape tot aa de mare ca i al celor ce nainteaz pe drumul deschis de Thurstone.

n analiza factorial simpl apar numai ecuaiile tetrade. n analiza factorial multipl apar analiza matricial calculul vectorial. Relaiile dintre vectori, de asemenea, nu mai snt numai cele ortogonale, ci i cele oblice. Oblice snt uneori nsei axele sistemului de referin, fapt care amplific semnificaia factorilor, dar complic calcularea lor. Dar psihologii nu se mai tem acum

14

de calcule. Ei nu evit nici transformrile ortogonale i oblice, care intervinJn calcularea structurii simple.

n cercetrile lui Fechner, Wundt, Gal ton, n bun parte chiar i Pearson, metodele matematice snt valorificate mai mult n exprimarea cantitativ a gradului de dezvoltare al diverselor trsturi i apoi n cercetarea, tot cantitativ, a relaiilor dintre ele. In analiza factorial i logica matematic metodele matematice snt aplicate i la elaborarea teoriei nsi.

Alturi de cercetrile de epistemologie genetic ale lui Piaget i ale colaboratorilor si asupra evoluiei cunoaterii i judecii la copii avem cercetrile de sintax i semantic logic ale lui Osgood i colaboratorilor si. Precum avem i cercetrile lui N. Chomsky i G. A. Miller asupra analizei formale a limbajului.

J. von Neumann i O. Morgenstem introduc teoria jocurilor n tiinele sociale. Ea i gsete imediat aplicare i n psihologie, j . von Neumann analizeaz i fundamentele logice ale aplicrii matematicii n tiinele sociale, biologice i fizice.

L. von Bertalanffy dezvolt i promoveaz teoria sistemelor, pe care o aplic n biologie i apoi o generalizeaz i n celelalte tiine.

K. Lewin aplic principiile i legile topologice la studiul cmpu- lui bio-psiho-social al persoanei i la dinamica grupei, dezvoltat n continuare de Cartwright i Zander, Sheriff, Hofsttter etc.

N. Wiener studiaz mecanismele de organizare i conducere, comune fiinelor vii i mainilor, i aaz astfel bazele ciberneticii. Legea conexiunii inverse ofer posibilitatea de explicare a homeostaziei, propus de Cannon, n a crui laborator Wiener i Rosenblueth fac primele cercetri. Judecata prin analogie a fenomenelor concrete n raport cu un model construit este o alt contribuie a ciberneticii.

Pornind de la principiul entropiei din termodinamic, Shannon aaz bazele teoriei informaiei, care-i' gsete imediat aplicare i n cercetarea procesului de nvare. Alturi de teoria logico-mate- matic asupra nvrii, precum i de cea stocastic asupra aceluiai proces, avem astfel i teoria informaional a cunoaterii i nvrii, care ia o dezvoltare deosebit, aa cum arat tratatele redactate de Quastler, j>e de o parte, de Attneave, pe de alt parte. O expunere sistematica asupra teoriilor matematice despre nvare aduce tratatul redactat de Estes i Bush. ^

O nou cale de interpretare matematic a procesului de nvare este deschis de Suppes i Atkinson, care aplic teoria matematic

15

a lanurilor, elaborata de Markow. Noi contribuii la aceast teorie, precum i n aplicarea ei la procesul nvrii, snt fcute de O. Onicescu.

Intre timp aplicarea matematicii n psihofizic cunoate o adevrat renatere, operndu-se de aceast dat cu mijloace matematice mult mai complexe i, desigur mult mai adecvate.

La nceput, metodele matematice au fost aplicate aproape numai datelor experimentale. Cu timpul, ele snt aplicate i prelucrrii rspunsurilor din chestionare, precum si datelor obiective ale vieii (vrst, colarizare, condiia social-rultural a familiei, infrastructura economic a structurii social-umane etc.). n fond, statistica a nceput cu cercetarea i interpretarea datelor economice ce interesau administraia de stat. De aci i numele ei.

La nceput, exprimarea cantitativ a datelor, precum i interpretarea lor, a fost numai sub unghiul statisticii descriptive, care varia dup diversele ei domenii de aplicare. Cu timpul a fost elaborat i statistica matematic, menit s stabileasc principiile i legile de baz. Din cunoatere implicitat, de ordin empiric, statistica a ajuns cunoatere explicitat cu temelii lmurite i argumentate. Apar astfel nu numai tratatele de teoria msurii, ci i acelea de teoria examinrii, de teoria scalrii, de teoria postulatelor, pe care se bazeaz exprimarea i interpretarea matematic a'datelor psihologice. Stabilirea legilor pe care exprimarea i interpretarea matematic se ntemeiaz este inaugurat de S. S. Stevens n al su Tratat de psihologie. Teoria msurrii apare n tratatul redactat de Churchman i Ratoosh. Teoria testelor este elaborat de Gulliksen. mpreun cu Messick, el elaboreaz i teoria scalrii. Eforturile lui Stevens de stabilire a principiilor pe care se cldete determinarea matematic snt elaborate n continuare de Suppes i Zinnes n Tratatul de psihologie matematic, redactat de Luce, Bush i Galanter. Noi precizri apar n cele trei simpozioane asupra Metodelor matematice n tiinele sociale, editate de Arrow, Karlin i Suppes, apoi n tratatele redactate de Lazarsfeld i Rosenberg Limbajul cercetrii matematice, de La- zarsfeid Gndirea matematic n tiinele sociale, de R. Konig Tratat de cercetare social empiric etc.

n toate aceste tratate se rsfrng i preocuprile contemporane de axiomatizare a matematicii i logicii matematice, inaugurate de Frege, Whitehead i Russell, D. Hilbert i colaboratorii si etc. Precum, desigur, i de colectivul Bourbaki.

16

Psihologia matematic este astfel o disciplin sistematic elaborat i bine constituit, dezbtut n zeci de tratate i sute de lucrri, publicare att n S.U.A., ct i n Anglia, R. F. Germania, Frana, precum i n U.R.S.S. Ea, de asemenea, este analizat n diversele reviste dedicate numai acestor probleme, care nregistreaz progresul ei zilnic.

n faza statisticii descriptive am avut doar psihologi iniiai n problemele de aritmetic, algebr, analiz i calcul al probabilitilor. n faza psihologiei matematice de dup cel de-al doilea rzboi mondial avem i matematicieni specializai n problemele de nregistrare, exprimare i interpretare matematic a fenomenelor psihice, care analizeaz ntreg orizontul matematic att de dezvoltat azi, sub unghiul aplicrilor sale n psihologie.

Aceeai evoluie a avut loc i n biologia matematic, economia i sociologia matematic etc. Apoi aceeai dezvoltare a fost nregistrat n chimia matematic, fizica matematic etc.

Cursurile de psihologie matematic au devenit obligatorii pe lng toate catedrele de psihologie. Ele privesc nu numai calculul variaiei inter- i intraindividuale, ci i pe acela al covariaiei sau corelaiei', de la care pleac analiza factorial. Precum ele privesc i tehnica msurrii, teoria testelor, a scalrii, a jocurilor, a informaiei i a deciziei, apoi logica matematic etc.

Judecarea gradului de dezvoltare a unei tiine dup treapta ei de matematizare este, desigur, ndreptit, iar rezultatele obinute pe aceast cale snt prea eficiente pentru a putea fi contestate.

Aceeai judecat ns poate fi susinut i asupra gradului de dezvoltare a tehnicii de experimentare, pe de o parte, i asupra gradului de dezvoltare a metodelor logice, pe de alt parte.

De aceea, pentru a obine completitudinea de determinare a adevrului pe care l exprim teoria tiinific, elaborarea interpretrii ei trebuie abordat i dinspre metodologia cercetrii, precum i dinspre mijloacele ei logice, nu numai dinspre cele matematice.

Aceast necesitate de ntregire a metodelor matematice prin cele logice n raport cu natura cercetrii este determinat de faptul c fenomenele fizice i cu att mai mult cele biologice i social- umane nu snt numai generale i universale, ci i individuale i particulare. Ele, de asemenea, nu snt numai sub imperiul conservrii, ci i sub acela al dezvoltrii, n care apar noi proprieti. Cu alte cuvinte, ele nu snt numai cantitative, ci i calitative. n

2 Psiho log ie lo g ic i matematic 17

consecin, ele nu pot fi abordate sub semnul completitudinii de determinare numai sub unghiul generalitii i universalitii ce se conserv, ci ele trebuie cercetate i sub unghiul coeficientului lor de individuaie, de cauzalitate proprie i de salt creator. Aceast cercetare i interpretare a fenomenelor sub unghiul individuaici, particularitii i creaiei nu poate fi ns apropiat numai cu ajutorul identitii i egalitii. Ea solicit i concursul principiului conexiunii universale i al conexiunii cauzale din logica general, care nu poate fi redus la cea formal, aa cum arat logica dialectic, logica fenomenologic, logica tiinelor spiritului i teoria fenomenului originar.

Elaborarea strict formal a teoriei n termeni de axiome, teoreme, definiii i reguli, face abstracie de coninutul concret al semnificaiilor cu direcie de evoluie, ambele individuate. Peste ele ea aaz o parantez. Elaborarea logic general a teoriei introduce n cmpul ei de determinare i interpretare i aceste semnificaii, ce se leag i evolueaz mpreun, n forme individuate, nu numai generale. De aceea completitudinea de determinare a adevrului poate fi obinut numai prin ntregirea reciproc a determinrii matematice i logice-matematice, cu caracter formal, cu determinarea general a logicii, elaborat i coninutal. Aceast ntregire introduce n cmpul determinrii individuaia, particularitatea i saltul creator, nu numai generalitatea, universalitatea i conservarea lor.

Sethnificaiile i direciile lor de evoluie, generale dar i individuate, definesc tocmai aceste ntlniri dintre individuaie i generalitate, particularitate i ntreg, salt i evoluie.

Tot numai pe aceast cale pot fi nlturate i contradiciile care intervin n mod inevitabil n ncercarea de elaborare strict deductiv, cu caracter axiomatic, a tiinei.

Reflectarea ct mai obiectiv a realitii n minte, care definete adevrul, nu poate fi nici ea concretizat pe alt drum.

Prin urmare, att completitudinea de determinare a teoriei, ct i coerena ei logic i puterea de decidabilitate, precum i caracterul obiectiv al adevrului, pot fi obinute numai prin ntregirea reciproc a metodelor matematice cu cele logice n raport cu unghiul concret al cercetrii pe care ele o servesc.

Din aceste motive, nu este nici o mirare c necesitatea metodelor logice este azi tot mai viu simit nu numai n tiinele so- cial-umane i culturale, unde ele nu au fost nicicnd contestate, ci i n tiinele biologice, precum ahiar i n cele fizice, aa cum arat dezbaterea ce urmeaz.

18

In conferina sa de la Congresul anual al Societii americane de chimie din 1964, profesorul Platt de la Universitatea din Chicago spunea, n adevr, urmtoarele:

Am nceput s m conving c principalul factor n progresul tiinific este cel intelectual. Domeniile care se dezvolt azi mai rapid snt acelea n care este folosit i predat o metod special de cercetare tiinific, o metod cumulativ de raionament inductiv atit de eficace nct ar trebui s i se acorde numele de raionament puternic.

Dup judecata lui Platt, acest raionament este elaborat de Ba- con i el const n:

1. Elaborarea unor ipoteze alternative (care se exclud reci- proc).

2. Stabilirea unui experiment crucial cu rezultate alternative posibile, fiecare excluznd pe ct e posibil una sau alta din ipoteze.

3. Efectuarea experienei astfel nct ea s conduc la un rezultat sigur.

Biologia molecular spune Platt n continuare este domeniul n care, dup prerea mea, aceast metod sistematic de raionament a devenit rspndit i eficace. Dei biologia molecular este un domeniu complex, o serie de experiene foarte importante au condus, n ultimul deceniu, la nelegerea amnunit a mecanismelor ereditare, la controlul formrii enzimelor i sintezei proteinelor.

In 1953 adaug Platt James Watson i Francisc Crick au presupus c molecula de ADN substana ereditar din celul este o molecul format din dou lanuri rsucite elicoidal. . . Aceasta sugereaz mai multe alternative, care trebuie verificate experimental. Din acest motiv n fiecare diminea, la Laboratorul de biologie molecular din Cambridge, Anglia, tabelele lui Crick sau Sidney Brenner snt acoperite cu arbori logici.

In opoziie cu aceast interpretare, logic i matematic n acelai timp, este, dup judecata lui Platt, concepia strict matematic, care se limiteaz la curbele de variaie i la calculul de corelaie, fr a merge la nlnuirile cauzale calitative.

Confruntnd cele dou teze opuse la Conferina anual de biofizic inut la Bruxelles n 1958, profesorul Leo Szilard, laureat al Premiului Nobel, spunea:

Dac facei experiene prost concepute i n ritm de cte una la an, rezolvarea va necesita nc 50 de ani. Dar dac ntrerupei experimentele ca s v gndii la modurile posibile de sintez a

19

proteinei, atunci nu vor mai fi dect 5 moduri diferite i nu 50. In acest caz va fi nevoie numai de cteva experiene pentru a obine sinteza dorit.

Aceasta iese din sfera noastr. Aceasta e filosofie, i-a replicat un specialist n microscopia electronic.

Eu nu discut cu oameni de tiin de mna a treia, discut cu oameni de tiin de mna nti, a rspuns Szilard.

Oamenii de tiin de mna nti, spunea Platt, snt aceia care consider problema complet, adic experimental, matematic i logic-

Mai important ns i apare lui Platt logica. De aceea, n concluzie, el spune c: matematizarea fizicii i chimiei de azi este nelalocul ei, dac nu chiar capabil s ne induc n eroare. . . Multe probabil cele mai multe din marile probleme au un caracter calitativ, chiar n fizic i chimie. Cu alte cuvinte, fenomenele pot fi prinse ntr-un lan logic sau ntr-un lan matematic. Lanul logic este grosolan dar puternic. Lanul matematic are ochiuri fine, dar este puin rezistent. Problemele tiinifice pot fi excelent ambalate n lanul matematic, dar nu pot fi pstrate n el, dac n prealabil nu au fost prinse n lanul log ic . . . Msurm, determinm, calculm, dar nu excludem.

Cu ajutorul logicii lui Bacon, elaborat n continuare de Mill, opereaz i psihologia experimental a lui Wundt, care aaz la temelia ei principiul sintezei creatoare, mprumutat chiar din chimie.

Psihologia asociaionistl a lui Locke, Condillac i Herbart operase cu conceptul de sum, mprumutat din mecanica clasic.

n sum atributele ntregului snt identice cu acelea ale prilor. n sintez aceast identitate nceteaz. Ceea ce rmne constant e numai legtura. Aceleai elemente, combinate n acelai mod, dau aceleai rezultate.

n chimie, tainele acestor sinteze creatoare de noi proprieti au putut fi elucidate cu ajutorul analizei combinatorii din logica matematic. Acest lucru a fost posibil deoarece structura atomilor din molecul este ndeajuns de bine definit, chiar dac suficient de complex este i ea.

n psihologie ns, mult mai complexe snt nu numai percepiile i actele de conduit, ci chiar i senzaiile i actele reflexe din care ele eventual s-ar compune.

Psihologia configuraiei, pe de alt parte, contest nsi existena sepaiat a senzaiilor i reflexelor i promoveaz la rang de fenomen prim, originar, percepia nsi, urmat de actul de con-

20

duit. Ea, de asemenea, susine prioritatea calitilor configura- ionale, Gestaltqualitten, n termeni de care se ncearc s se determine i proprietile prilor. Interpretarea nu mai este analitic i cauzal, ci configuraional, structural. Aceast determinare structural a prilor prin ntreg nu mai poate fi ns operat cu ajutorul logicii tradiionale i nici cu aceia^ al logicii matematice. Cu att mai puin poate fi ea elucidat cu concursul matematicii. Determinarea poate fi lmurit numai cu ajutorul logicii fenomenologice, pe care Wertheimer, Koeler i Koffka o cunosc prin intermediul dasclului lor comun, C. Stumpf, care a fost elevul lui Brentano i profesorul cu care Husserl i susine docena. Apropierea de psihologie Husserl o fcuse sub vraja personalitii lui Brentano. De o aderen deplin a colii configuraiei la fenomenologia lui Husserl nst nu se poate vorbi. De altfel, exponenii ei au fost preocupai n primul rnd de tehnica experimental a cercetrii, iar interpretarea logic i matematic au lsat-o pe un plan secundar.

Cu ajutorul logicii tradiionale, cu caracter eminamente substantival, Wundt a studiat coninutul contiinei, adic percepiile, emoiile i voina n sine.

Brentano n sdhimb studiaz funciunea contiinei n raport cu lumea, pe care conceptul de intenionalitate o definete. Ei cerceteaz actul de a percepe, nu percepia ca atare, actul de a voi, nu voina n sine, trirea emoiei, nu emoia desprins de ea. Psihologiei coninutale, promovat de Wundt i Titchener, el i opune o psihologie funcional i procesual.

Fenomenologia lui Husserl este logica acestei psihologii, elaborat n raport cu ea.

Sub influena ideilor lui Brentano, Kiilpe nsui cel mai de seam elev al lui Wundt prsete interpretarea coninutal a contiinei, susinut de dasclul su, i aaz bazele colii gn- dirii, n care importante nu snt ideile, ca n logica clasic, ci actul judecii, care opereaz uneori chiar fr idei.

O interpretare similar a gndirii a fost susinut de Binet n Frana, dar independent de preocuprile psihologiei germane.

La o logic adecvat pentru interpretarea noii psihologii Binet nu a procedat. Preocuprile logice snt ns prezente n lucrarea de sintez a lui Kiilpe Realizarea, dar elaborarea lor sistematic a fost ntrerupt de moartea sa prea timpurie. Preocupri similare apar i n fenomenologia lui Husserl.

21

Noua interpretare funcional a psihologiei, propus de Bren- tano, este dus n Statele Unite ale Americii de ctre J. Angell, unde ea se bucur de o primire foarte favorabil i datorit faptului c James nsui militase pentru idei asemntoare. Importul ns e fcut fr valorificarea conceptului de intenionalitate, pe care-1 prsete i Angell. O valorificare a acestui concept apare, n schimb, n psihologia i logica transacional ale lui J. Dewey, elaborate mai trziu.

Un elev al lui Angell i Dewey, anume J. Watson, transfer interpretarea funcional a psihologiei de la contiin la conduit, punnd astfel bazele behaviorismului, care va lua o dezvoltare deosebit, devenind aproape o psihologie naional. Reducnd conduita psihic la reflexe, el leag psihologia de fiziologie i arc sentimentul c interpretarea psihologic poate fi operat numai cu ajutorul matematicii.

De fapt acest transfer de la contiin la conduit fusese fcut mai nainte de ctre Pavlov, Behterew i Janet.

CI. Huli elaboreaz interpretarea sa neobehaviorist cu ajutorul logicii matematice.

La determinarea matematic i logic-matematica E. I,. Tolman adaug i determinarea logic, cu ajutorul creia ncearc s lmureasc semnificaia conduitei sub unghiul adaptrii la lume a organismului. Interpretarea sa e i prospectiv, nu numai cauzal. Modelul de interpretare a conduitei umane social-culturale, propus de el n Teoria general a aciunii, redactat de Parsons i Shills. valorific ns prea puin logica, chiar dac el militeaz pentru o teorie logic a psihologiei i nu pentru reducerea ei la axiome, teoreme, definiii i reguli, cum face Sears n aceeai lucrare. De teoria valorilor, susinut de Shills, se apropie i Tolman, iar Allport promoveaz i fundarea ei pe contiin, nu numai pe conduit. La legile nomotetice, cu caracter matematic i logic-ma- tematic, Allport adaug ns conceptul de nelegere din logica tiinelor spiritului, propus de Dilthey i Spranger, pe de o parte, de Windelband i Rickert, pe de alt parte. Cu ajutorul descrierii ideografice el ncearc s determine i s lmureasc conceptul de individuaie din psihologia persoanei, al crui promotor i chiar fondator el este.

Pentru o poziie asemntoare militeaz n domeniul psihologiei persoanei i H. Thomae n R. F. Germania.

Psihologia elaborat ca tiin a naturii nu a putut aborda ns sintezele majore ale vieii psihice i cu att mai puin a putut

22

ea lmuri conduita persoanei n societate sub unghiul valorilor culturale, cu care pornirile ereditare trebuie s se pun n acord.

De aceea Dilthey propune o nou psihologie, elaborat ca tiin a spiritului, care s lumineze aceste probleme majore ale condiiei umane, ce nu pot fi interpretate n termeni de fiziologie. In acest scop el propune i o nou logic, inspirat n primul rnd din Hegel, dar filtrat i prin filosofia vieii, promovat de Scho- penhauer i mai ales de Nietzsche.

Psihologia constituita ca tiin a naturii explic ntregul prin pri n mod analitic i cauzal, urmrind numai exactitatea, care este ns iluzorie, deoarece sacrific validitatea. Psihologia ca tiin a spiritului, propus de Dilthey, ncearc s neleag rostul prii n ntreg sub unghiul adaptrii, conservrii i dezvoltrii sale n lume, care n cazul omului este societatea cu valorile sale culturale. tiinele naturii explic ntregul prin pri n mod analitic i cauzal i opereaz cu matematica. tiinele spiritului interpreteaz partea prin finalitatea ntregului n mod sintetic i teleologic i opereaz numai cu ajutorul logicii, care nu este ns logica tradiional analitic i cauzal , ci logica spiritualist sintetic i teleologic.

La interpretarea inteligenei, emoiilor i voinei prin persoan i a persoanei prin societate, Spranger adaug i interpretarea lor prin spiritul absolut din Fenomenologia spiritului a lui Hegel, dar fr a valorifica legile dialectice. Cum ns determinarea prilor prin ntreg a aprut i n psihologia configuraiei, elaborat ca tiin a naturii, ntre cele dou psihologii Spranger ntrezrete nu numai o posibilitate de colaborare, ci i o sintez.

Pentru o poziie asemntoare pledeaz i Windelband i Rickert, care se inspir ns din Kant. Ei ncearc s fondeze n mod obiectiv valorile, aa cum Cohn i Natorp au cutat s ntemeieze n mod obiectiv adevrul pornind tot de la Kant. In domeniul tiinelor social-istorice ei susin astfel descrierea ideo- grafic a relaiilor spirituale dintre individ i societate, vzut din unghiul bunstrii materiale i spirituale pe care cultura o definete. Obiectul descrierii ideografice snt semnificaia omului n societate si finalitatea lui sub unghiul dezvoltrii culturale, ambele individate.

Psihologia experimental a lui Wundt, psihologia adncimii a lui Freud, Adler i Jung, psihologia configuraiei, spune W. Metz- ger, au ptruns i n celelalte ri, n S.U.A. mai ales. Psihologia

23

ca tiin a spiritului a rmas n graniele Germaniei, n care a stpnit ns mai mult dect celelalte curente, adaug el.

Dar psihologia elaborat ca tiin a spiritului a fost promovat peste ocean de G. W. Allport, nsuit fiind de o seam din numeroii si elevi. Cu greu s-ar putea spune apoi c n R. F. Germania psihologia nelegerii ar trage mai greu n cumpn dect psihologia configuraiei i a ntregului, psihologia adncimii i psihologia existenialist, de inspiraie eminamente fenomenologic .

Psihologia fenomenologic i existenialist a ptruns, de asemenea, i n S.U.A.

Pe de alt parte, n toate rile socialiste predomin interpretarea dialectic a psihologiei, logicii i matematicii.

ntr-o anumit etap, mai ales n U.R.S.S., a stpnit interpretarea materialist sub semnul reflexologiei lui Behteresv, care a fost ns mai aproape de doctrina materialismului vulgar dect de aceea a materialismului dialectic. Pe aceeai poziie s-a aezat i behaviorismul lui Watson, cu toate c el este inspirat i din Pavlov, care nu a aderat nicicnd la interpretarea mecanicist a lui iiehterew.

n schimb, Vgotski, Rubinstein, Leontieff, Luria etc. elaboreaz o psihologie n cadrul materialismului dialectic. La studiul conduitei ei adaug pe acela al contiinei, abordnd ns i sintezele superioare, conjugate cu suprastructura social, nu numai cu infrastructura biologic. La determinarea analitic i cauzal, ei, de asemenea, adaug pe cea sintetic i prospectiv, susinnd att interpretarea lor matematic, ct i pe cea logic. Cu alte cuvinte, ei se apropie de completitudinea de determinare, pe care H. Tho- mae att de mult o apreciaz n cazul lui Rubinstein, al crui tratat este tradus i n limba german.

La asemnrile i deosebirile din logica clasic, dialectica spiritualist a lui Hegel adaug i principiul interconexiunii universale, cu ajutorul cruia el abordeaz relaiile dintre parte i ntreg n comprehensiune, ce nu mai pot fi interpretate pe baz de identitate. El adaug apoi i principiul conexiunii cauzale, cu care rezolv procesualitatea saltului calitativ din dezvoltare, pe care identitatea, de asemenea, nu-1 mai poate lmuri, deoarece efectul nu este egal nici cu cauza i nici cu scopul. La temelia legilor dialectice stau aceste dou principii.

Dar n dialectica sa spiritualist, Hegel, la fel ca i Platon, susine numai determinarea sintetic i teleologic a celor dou principii de baz, nu i determinarea lor analitic i cauzal, pe

24

care el o neaga. Precum, dealtfel, el neag i logica iormala a lui Aristotel, cldit pe identitatea absolut i astfel abstract, nu concret; metafizic, nu dialectic.

Cu alte cuvinte, el susine numai determinarea sintetic a spiritului individual subiectiv prin cel social obiectiv.

La rndul su acesta este interpretat prin cel absolut. Spiritul absolut e ntregul suprem i finalitatea ultim, din care spiritul subiectiv i cel obiectiv fac parte i spre care ele se ndreapt.

Logica tiinelor spiritului, elaborat de Spranger, nu face altceva dect s reitereze dialectica spiritualist a lui Hegel, dar fr legile ei dialectice, care nu pot fi reduse la principiile logice, aa cum Spranger nclin s cread.

n momentul ns cnd Marx i Engels nlocuiesc interpretarea idealist a dialecticii cu cea materialist, ei cuprind n cmpul ei de determinare nu numai tiinele social-culturale, ci i tiinele biologice i fizice, n care determinarea analitic i cauzal a jucat un rol prea deosebit pentru a putea fi ignorat. n acest mod, la determinarea prilor prin ntreg, cu caracter sintetic i teleologic, ei adaug i determinarea ntregului prin pri, cu caracter analitic i cauzal. La determinarea comprehensiv a relaiilor dintre parte i ntreg pe baz de interconexiune reciproc i la determinarea evolutivi a relaiilor dintre cauz, efect i scop pe baza de conexiune n timp, ei adaug apoi i determinarea extensiv a singularelor n clase pe baz de asemnri i deosebiri din logica lui Aristotel, pe care ei o pstreaz i nu o nltur, cum a fcut Hegel. Cele trei determinri snt operate att logic, ct i matematic. n acest mod ei satisfac completitudinea de determinare a Logosului n lume i n cunoatere, iar logica dialectic devine nsi logica tiinei.

Matematica, logica matematic i logica tradiional snt instrumente diferite, dar ele susin numai determinarea analitic i cauzal.

Diferite snt i logica dialectic spiritualist i logica tiinelor spiritului, dar ele au n comun determinarea sintetic i teleologic.

Logica fenomenologic, pe de alt parte, la fel ca i intuiionismul lui Bergson, promoveaz numai ptrunderea direct n esena fenomenelor.

Logica dialectic, aa cum Marx a aplicat-o iar Engels a cutat s o elaboreze, pledeaz pentru ntregirea reciproc dintre

25

determinarea analitic i cauzal cu cea sintetic i prospectiv, operate toate logic i matematic.

Pentru o poziie asemntoare a militat i Goethe n teoria sa asupra fenomenului originar, a crui determinare intuitiv nu trece nici peste analiz i sintez, nici peste cauzalitate i finalitate, ci prin ele. De aceea, alturi de Hegel i Kant, Marx i Engels menioneaz printre precursori i pe autorul lui Faust.

n consecin, la temelia tiinei nu stau numai asemnrile i deosebirile dintre singulare, operate cu ajutorul principiilor logice, ci i legturile dintre parte i ntreg, apoi ntreg i lume, operate cu ajutorul interconexiunii universale, precum i succesiunea dintre cauz, scop i efect, operat cu ajutorul conexiunii n dezvoltare din curgerea vremii. n fond, logosul nsui n accepia heraclitean, preluat de interpretarea dialectic, nu nseamn numai identitate, ci i legtur cu neles, precum i direcie de evoluie spre tot mai mult ordine n lume i n cunoatere.

Interpretarea mecanicist a psihologiei, susinut de Behterew i Kornilov, a stat fa n fa cu psihologia din rile apusene, fr s aib un schimb de idei cu ea. Aceasta chiar dac ea era inspirat n bun parte din materialismul francez i gsise un reprezentant zelos n Watson.

Interpretarea dialectic a psihologiei, elaborat de Vgotski, Rubinstein, Leontieff, Luria etc. n Uniunea Sovietic, la fel ca i aceea din celelalte ri socialiste, gsete un ecou tot mai mare i n psihologia din rile occidentale, n care ea este tot mai mult apreciat pentru contribuia ei proprie, deosebit.

Psihologia dintre cele dou rzboaie a fost, dealtfel, sub imperiul colilor, care mai mult s-au combtut dect s-au ntregit.

Psihologia care a urmat celui de-al doilea rzboi mondial este ns sub semnul efortului spre sintez.

Problemele diferitelor ornduiri i ri variaz, pe bun dreptate, dar limbajul logic i matematic al tiinei, precum i tehnica de cercetare a problemelor snt aceleai.

Cu ajutorul lor sperm s ajungem i la o nelegere asupra problemelor ce variaz n spaiu i evolueaz n timp, fr a iei ns de sub imperiul Binelui, Adevrului i Frumosului, spre care nzuim cu toii.

Dezvoltarea tiinei, pentru care face attea sacrificii ara noastr, este n slujba acestui ideal.

Tehnica laborioas a cercetrii i haina logic i matematic a teoriei snt mijloacele sale.

26

CAPITOLUL II

DETERMINAREA MATEMATIC

La temelia judecii matematice, spune J. Piaget, stau operaiile de egalitate asupra conceptelor de cvoietate i cvamitate.

Cvoietatea apare n aritmetic i algebr. Ea definete locaia punctual n spaiu i timp a fiinelor i obiectelor, cu abstracie total fa de coninutul lor. Numrul o exprim.

Cvantitatea apare n geometrie i definete dimensiunea spaial. n mecanic apare curgerea timpului, cantitatea forei etc.

Locaiile punctuale pure snt prin definiie discontinue. Ele exist sau nu exist, iar tera stare nu o admit. Ca atare ele reprezint o totalitate n care sistemul de numerotare, deci totul, este introdus de om.

Cvantitatea din geometrie i mecanici la fel ca i cea din tiinele fizice, biologice i social-umane este o dimensiune continu, supus omogenitii. Ea exprim o totalitate cu un tot.

n matematica clasic a struit ipoteza c dimensiunea continu din geometrie sau mecanic poate fi exprimat prin totalitatea discontinu din aritmetic. Euclid, de pild, a definit dreapta ca o succesiune de puncte, planul ca o alaturare de drepte, iar spaiul ca o suprapunere de plane. Totul continuu era cldit din puncte discontinue. Dimensiunea din geometrie era astfel interpretat n mod analitic cu ajutorul punctelor sau numerelor din aritmetic. Cu ajutorul acelorai numere a ncercat Weierstrass i elucidarea fundamentelor analizei sau calculului infinitesimal, n care apar numerele fracionare, cu caracter continuu. Aritmetica i algebra au fost bazate pe numerele ntregi.

Aceast explicare analitici a cvantitii continue care este o totalitate cu un tot prin cvoietatea discontinu care este o simpl totalitate a dus n mod inevitabil la contradicii. O dat fiindc din locaia punctual pur, lipsit de orice coninut, nu goate fi construit dimensiunea, care are un coninut. A doua oara, fiindc totul nu poate fi redus la suma prilor sale.

27

Atomul, de pilda, nu este egal cu totalitatea particulelor, aa j precum organismul nu e totuna cu suma celulelor. Ambele snt, de fapt, o structura, n care importante snt i modurile de conjugare i' integrare. Precum i ali factori.

Pentru a nltura aceste contradicii precum i pe cele generate de raportul dintre finit i infinit Cantor a propus construirea edificiului matematic pe conceptul de mulime, nu pe cel de numr-atom sau locaie punctual pur.

Numerele-atomi din aritmetica lui Pitagora formau o simpl totalitate, deoarece ele erau discontinue. Conceptul de mulime la fel ca i cel de clas din logica lui Aristotel este o totalitate definit prin atributele comune.

Clasa, desigur, nu mai este o totalitate simpl, deoarece n ea apar atributele comune, prin care singularele se aseamn. Ea nu este un tot, n care prile se leag, fiind intrapuse, nu juxtapuse. n sistem sau structur relaiile ns nu mai snt de simpl contiguitate sau succesiune, ci de interconexiune. Cu alte cuvinte, clasa este nc o determinare n extensiune, care afirm numai atributele comune. Structura afirm i interconexiunea, care apare n relaiile prilor din ntregul cu care se ocup determinarea din comprehensiune.

Din aceste motive nu este nici o mirare c impasurile au rmas i n teoria mulimilor i nu au putut fi nlturate dect cu ajutorul conceptului de structur, care este o totalitate cu un tot. Adic o unitate n multiplicitate, determinat nu de suma prilor ce se aseamn, ci de modul lor de conjugare n ntregul care le cuprinde. Intrapuse fiind n ntreg, prile ns nu mai snt nici independente i nici discontinue. Ele depind de ntreg, fiind i continue. Continuitatea i discontinuitatea snt astfel afirmate i n cvoietate, nu numai n cvantitate. Numerele continue au fost, dealtfel, descoperite chiar de Pitagora n legtur cu regula care-i poart numele. Ele apar, de asemenea, n raportul dintre circumferina cercului i diametrul su, stabilit de Arhimede. Contrazi- cnd idealul de exactitate al cvoietii absolute, ele au fost numite numere incomensurabile i astfel iraionale. De fapt, ele snt la fel de raionale ca i cele reale sau ntregi, dar nu mai satisfac exactitatea deplin a determinrii, ci introduc o indeterminare, care practic este fr importan. Din acest motiv, N. Wiener a recomandat construirea computerelor tot n sistem digital discontinuu, nu n sistem continuu.

28

ARITMETICA LUI PITAGORA I GEOMETRIA LUI EUCLID

Obligat de nevoile practice, omenirea a valorificat operaiile de adunare i scdere cu mult naintea aritmeticii lui Pitagora, aa cum rbojul arat. Rbojul ns privete numrul oilor sau pe acela al boilor, nu i numrul n general. El privete singularele din diversele specii, nu locaiile punctuale pure din suprema generaia, la care aritmetica lui Pitagora se limiteaz, aa cum arat Whitehead.

Astfel elaborat, aritmetica, judecat sub unghi logic, nseamn o determinare n extensiune care se aplic operaiilor de adunare, scdere, nmulire i mprire, precum i celor de ridicare la ptrat i scoatere de rdcin, efectuate cu locaiile punctuale pure, pe care numerele le exprim.

Numrul din aritmetic a fost, de fapt, o cvoietate absolut i astfel discontinu, ca i atomul lui Democrit sau ideea lui Platon. De aci i expresia de numr-atom.

Entiti discontinue i independente au fost dealtfel pentru Platon chiar i fiinele geometrice, definite prin ideea de punct, dreapt, plan, spaiu, ori trilater, patrulater, cerc etc. Simple i independente fiind, determinarea lor putea fi numai extensiv. Euclid, n schimb, a considerat fiinele geometrice drept compuneri de unghiuri i drepte. Determinarea lor ns este comprehensiv i relaional, nu extensiv i substantival.

La temelia operaiilor aritmetice stau legile reflexivitii, simetriei i tranzitivitii.

Reflexivitatea definete egalitatea dintre a i a, adic identitatea fiinei cu ea nsi. Ea apare ca un adevr banal, un truism. In fond ns, spune Einstein, ea este poate cea mai mare descoperire din istoria tiinei. Cci fiina noastr din momentul a nu mai este perfect identic cu cea din momentul b, aa cum observ Bergson i James. Structura atomilor, n orice caz, s-a schimbat. Precum s-au schimbat gndurile, sentimentele. n variana senzorial a tririlor noastre tiina caut ns invariana continuitii! din discontinuitate, pe care identitatea dintre a i a o afirm. Cu1 alte cuvinte, ea ncepe cu invariana raional din variana senzorial. Portretul mamei sale, fcut de Rembrandt, nu e fotografie dintr-un anumit loc i moment dat, ci este sinteza tuturor cli-

29

pelor vieii ei. El e identitatea fiinei cu ea nsi, n ciuda schimbrilor intervenite.

Dac a ns este egal i cu b, atunci b este i el egal cu a. Aceasta este legea simetriei.

i dac a este egal cu b, iar b este egal cu c, atunci i a este egal cu c. Aceasta este legea tranzitivitii.

Fr aceste trei egaliti operaiile aritmetice nu snt cu putin. Cu ajutorul lor ele snt posibile.

Principiul omogenitii spaiului, timpului i masei, pe care Newton cldete mecanica sa, este definit prin aceleai legi. El, de asemenea, este definit prin legea comutativitii, asociativitii i distributivitii din algebr etc.

Legile aritmeticii, algebrei i analizei stau la baza msurrii fenomenelor biologice i social-umane, aa cum Stevens a artat n al su Tratat de psihologie experimental.

Pitagora, Platon i Aristotel au studiat ns logosul lumii numai sub unghiul ordinii de clase a singularelor, n care unitatea din multiplicitatea fiinei sau obiectului material era adus de ideea sau substana spiritual. Unitatea i multiplicitatea corpului erau astfel n lumi diferite. Materia era simpl multiplicitate de atomi, n care unitatea o aducea ideea sau substana spiritual, care fcea fiina s fie ceea ce ea este i s difere de altele. Interpretarea era strict substantival i atributivi, deoarece deosebirea dintre diversele entiti substantivale era adus numai de atribute.

La determinarea substantival i atributiv a ordinii de clase din logica lui Aristotel, geometria lui Euclid, la fel ca i logica stoic, adaug pe cea relaional din comprehensiune. Unitatea corpului i fiinei nu mai este adus de substana spiritual, care transcende materia, ci de organizarea materiei nsi, definit prin modurile de conjugare i integrare a prilor n ntreg. Cu aceleai crmizi putem construi toate casele din lume, fr ca ele s se repete. Diferenierea stilului lor este generat de modurile de aezare a crmizilor.

n cadrul viziunii sale strict substantivale, Democrit a interpretat ordinea lumii numai analitic, anume ca o compunere de atomi, dependent de atomi.

n contextul aceleiai aprehensiuni substantivale i atributive Platon interpreteaz ns ordinea lumii sintetic, anume prin aciunea substanei asupra fiinei.

30

Democrit este materalist, iar Platon idealist, spiritualist. Aris- totel, n schimb, este dualist. n acest mod determinarea combinrii pe care el o ncearc ntre cosmologia lui Democrit i ontologia lui Platon este att analitic, ct i sintetic.

n momentul cnd la aprehensiunea substantival i atributiv Euclid adaug i pe cea relaional, el propune i o elaborare nou a tiinei, anume pe cea axiomatic.

La temelia tiinei, dup el, nu este nici multiplicitatea atomilor lui Democrit, nici unitatea substanei lui Platon i nici amn- doua, cum este cazul la Aristotel. Ci la temelia tiinei, dup el, stau o seam de adevruri prime, care se impun cu eviden deplina pe baz de intuiie raional i pe care le numete axiome sau postulate. Din aceste adevruri prime, de ordin intuitiv-raio- nal, tiina deduce pe cele secundare din teoreme pe baz de demonstraie, care respect anumite reguli i se conformeaz unor anumite definiii. La explicarea analitic din cosmologie i la interpretarea sintetic din ontologie el adaug astfel determinarea axiomatic din geometrie, pe care Descartes o va aeza la baza discursului su, considernd-o drept unica metoda a tiinei, elaborat astfel strict deductiv, nu i inductiv.

Este cazul s observm c postulatele pe care elaborarea axiomatic a tiinei cu caracter deductiv se bazeaz snt i ele discontinue i independente, ca i cvoietile din aritmetic, n termeni de care Euclid a definit dealtfel dreapta, planul i spaiul.

n geometria spaiului curb, elaborat de Riemann, aceast independen rntne valabil numai pentru spaiul plan, care este o simpl instan particular n numrul infinit al celorlalte instane posibile. Natura i dependena axiomelor devin astfel o funcie a curburii spaiului.

Arhimede, pe de alt parte, aplic conceptele de ^cvoietate i cvantitate versus numr i dimensiune i n static, pe care se baza construcia de poduri, diguri, forturi i ceti. El, de asemenea, susine interpretarea analitic a cvantitii continue prin cvoieiatea discontinu, chiar dac interpretarea sa, la fel ca i aceea a lui Euclid, este n primul rnd relaionala, nu substantival i atributiv. De procesualitatea micrii n timp Euclid s-a ferit. Arhimede, la fel ca i Aristotel, a abordat-o, dar elaborarea ei tiinific o va aduce numai mecanica lui Galilei, Kepler i Newton.

n biologia, psihologia, politica, etica i estetica lui Aristotel, conceptele de numr i dimensiune nu au aprut, deoarece aceste

31

discipline tiinifice erau bazate numai pe descrierea i clasificarea din extensiune sub unghiul ordinii de clase, nu i pe determinarea analitic i sintetic din comprehensiune. Descrierea i clasificarea singularelor n ordinea de clase a fost numai n termeni de asemnri i deosebiri. Analiza i sinteza solicitau principiul conexiunii cauzale, cu care Aristotel, cum vom vedea, se va ocupa numai n ontologie i n logica general, nu i n logica sa formal. n diversele specii i genuri care reprezentau clasele, numrul singularelor apoi nu interesa. De aceea interpretarea sa din tiinele lumii reale, din psihologie n orice caz, a fost operat numai cu ajutorul logicii, nu i cu acela al matematicii. n logic ns a valorificat numai determinarea n extensiune, nu i pe cea din comprehensiune, redus la cea din extensiune, aa cum arat caracterologia sa, precum i aceea a lui Teofrast.

DISCURSUL LUI DESCARTES. ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITIC

Focul, spune Aristotel n Fizica sa, este o descompunere a corpului n materia pmnteasc i substana cereasc. Materia ramne pe pmntul cruia i aparine, iar substana spiritual se nal spre cerul de unde a venit.

Interpretarea este operat cu ajutorul logicii de clase din extensiune, bazat pe descriere i clasificare n termeni de asemnri i deosebiri de ordin substantival i atributiv.

Arhimede, n schimb, explic cufundarea corpurilor n ap prin raportul dintre greutate i volum. Eureka, a rostit el n momentul cnd a descoperit aceast lege, care, la fel ca i acelea ale lui Euclid, este o determinare relaional n comprehensiunea cantitativ. Cderea corpurilor ns nu a putut-o lmuri nici el, deoarece i lipsea att conceptul de inerie i mas, ct i mijloacele matematice mai complexe de abordare a relaionalitii. Legitatea matematic a cderii corpurilor va fi ns elaborat de Galilei i Newton tocmai cu ajutorul acestor concepte. Precum, desigur, i cu ajutorul raportului dintre variabil i funcie, mijlocit de algebra arab i elaborat de Oresme, Vieta i Fermat. Descartes va aeza acest concept la temelia discursului su asupra metodei. De aceea algebra nu nseamn numai o generalizare a

32

aritmeticii, obinut cu ajutorul simbolurilor abstracte, pe care literele le exprim. Ea este i studiul relaiei dintre variabil i funcie. Alturi de algebra clasic, cu caracter comutativ, avem apoi noua algebr non-comutativ, elaborat de Grassmann.

Determinarea Logosului lumii sub unghiul ordinii de clase din extensiune nseamn doar descriere i clasificare n termeni de atribute comune sau diferite. Determinarea sa sub unghiul rela- ionalitii din comprehensiune nseamn i o explicare. Aceast explicare ns nu mai este bazat pe asemnri i deosebiri, ci pe interconexiune. Inima i plmnii nu se aseamn, dar colaboreaz mpreun, ntregindu-se reciproc, sub unghiul unitii funcionale a fiinei, pe care se bazeaza att adaptarea la mediu, ct i conservarea i dezvoltarea fiinei. n fond, conceptul de Logos reprezint n primul rnd aceste legturi cauzale cu neles dintre variabil i funcie, ntreg i parte etc. Asemnrile par a fi adiacente.

Succesul elaborrii matematice a legilor dinamice din mecanic a fost att de mare, net timp de aproape trei veacuri restul tiinelor au depus toate eforturile spre a deveni i ele mecanici: a trupului la Descartes, a sufletului la Locke, Condillac i Herbart i a societii la A. Comte, H. Spencer i Spiru Haret.

1. Ordo et mensura. La temelia tiinei st astfel exprimarea matematic a fenomenelor sau msura, pe de o parte, i interpretarea, tot matematic, a relaiilor dintre ele, pe baza raportului dintre variabila i funcie, pe de alt parte. Msura e concept matematic. Interpretarea e concept logic.

Obiectele i fiinele, desigur, difer, dar ele au toate ntindere, spune Descartes. Precum ele au i greutate sau mas, adaug Newton. Ele, de asemenea, au for i energje, se spune n continuare. Funciile biologice i social-umane au apoi grad de dezvoltare. Ele snt astfel accesibile limbajului matematic, iar relaiile dintre ele pot fi exprimate prin raportul dintre variabil i funcie.

Este adevrat, spune Descartes, c ceara, de pild, are i miros i gust. Precum ea are i culoare. Dar aceste atribute secundare, de ordin calitativ, snt aduse de simurile omului. Ca atare ele snt subiective, nu obiective; extrinsece cerii, nu intrinsece ei. Sub unghi intrinsec i astfel obiectiv, ceara nu are dect ntindere. i greutate, ar aduga, pe bun dreptate, Newton.

Att ntinderea ns, ct i greutatea, precum i fora, apoi energia, snt supuse divizibilitii. n consecin, ele pot fi deter-

3 Psihologie lo g ic i matematic 33

minate analitic cu ajutorul matematicii. Cvantitatea este redus la cvoietatea care o determin ii o exprim.

2. Quid sit maxime simplex. n virtutea acestei divizibiliti a cvantitii continue n cvoietate discontinu, tiina ncepe cu determinarea cantitativ a elementelor simple, care snt realitatea prim sau ultim. Ea continu cu compunerea lor, care la Descar- tes i Newton este numai sumativ. Arta combinatorie a lui Leib- niz introduce i determinarea ntregului prin modurile de conjugare a prilor sale, care este relaional.

3. Arcul reflex. La conceptul substantival i atributiv de atom din vechea cosmologie i la cel de relaionalitate dintre variabil i funcie din static i dinamic, Descartes adaug i arcul reflex, prin care ncearc s explice procesualitatea aciunii, susi- nnd egalitatea dintre stimul i efect. Cercetrile ulterioare de biologie i psihologie stabilesc ns numai legtura mai mult sau mai puin constant dintre stimul i reacie, nu i egalitatea lor, aa cum arat legea lui Fechner.

O main, anume una hidraulic, spune Descartes, pare a fi i corpul uman. n consecin, legile sale snt tot fizice. Cibernetica de azi afirm ns aceast asemnare numai pentru o mic parte din activitatea organismului, care se aseamn cu aceea a mainilor. Modelul hidraulic, propus de Descartes, rmne i el, dar pumai pentru funciile organismului comune cu acelea ale mainilor.

4. Cogito. Fiina uman ns, adaug Descartes, nu este numai ntinderea materiei n spaiu, supus divhibiUtdu^ ci i gndire. raiune. Cugetarea nu este ns numai funcia prim a raiunii, ci i actul prim al cunoaterii, prin care lum cunotin de existena noastr n lume. Ea este actul prim de contiin, de la care purced toate celelalte cunotine. Obiectul ei este reflectarea obiectiv a lumii interioare i exterioare n condiiuni de claritate, distincie i precizie, care duc la adevr.

5. Intuiie i deducie. Cunoaterea care duce la adevr ^este ns de dou feluri. Una este bazat pe intuiie, iar cealalt pe deducie.

Prin intuiie afirm Descartes n Reguli neleg nu ovielnica ncredinare a simurilor sau judecata neltoare, pe care o formeaz greit imaginaia, ci un concept ^att de limpede i de delimitat al intelectului pur i ncordat, nct ^s^nu mai r- mn nici un fel de ndoiala despre lucrul pe care l nelege, sau ceea ce este acelai lucru un concept nendoielnic al intelec-

34

tului pur i ncordat, care se nate din lumina naturii i este mai cert dect deducia nsi, deoarece e mai simpl, despre care totui am artat c nu poate fi ru efectuat de ctre om.

Intuiia stabilete astfel adevrurile prime, care se impun cu eviden deplin i satisfac principiul raiunii suficiente. Axiomele din matematic le ilustreaz. La fel de evident este contiina propriei noastre existene din Cogito, ergo sum; apoi ideea atomului ca element prim al materiei etc.

Aceast intuiie poate fi obinut numai cu ajutorul raiunii pure,^ ca i la Platon. Ea nu poate fi mijlocit de simurile care nal. La Platon ns, intuiia raionala n esena lucrurilor e sintetic. La Descartes ea este analitic. Sintetic va redevni ea i Ia Poincare, Brouwer i Heyting, pe de o parte, la Husserl, pe de alt parte. La ei intuiia este un act complex de cunoatere, deoarece ea opereaz asupra structurii, care este o unitate n multiplicitate. La Platon ea opera asupra ideii, conceput ca o unitate simpl sau entitate metafizic. Simpl era i intuiia lui Euclid i Descartes asupra punctului sau dreptei, considerate ca entiti prime. Analitic era apoi intuiia trilaterului cu drepte i unghiuri egale, precum i aceea a dreptelor paralele.

A doua modalitate de a ajunge la adevr este aceea a demonstraiei, prin care Descartes definete tot ceea ce se poate deduce cu necesitate din anumite lucruri cunoscute n mod sigur. Deducia teoremelor din axiome ilustreaz aceast cunoatere prin demonstraie. Demonstraia este operat pe baza unor reguli i n conformitate cu o seam de definiii.

La temelia discursului cartezian st, de fapt, modelul geometriei lui Euclid. Fondatorul geometriei a aplicat ns aceasta metod deductiva numai n geometria plan. Descartes o aplic i n mecanic, precum i n oricare alt tiin, cu observaia c pentru el, ca i pentru Newton, tiin este numai cunoaterea care mbrac haina matematic. Aceast interpretare a tiinei n perspectiva conceptului de mathesis universalis definete i discursul lui Leibniz, cu deosebirea numai c la determinarea matematic, bazat pe algebr i analiz versus calcul infinitezimal, el adaug i arta combinatorie universal, din care se va nate logica matematic, ce abordeaz modurile de compunere a prilor n ntreg.

Ordinea de clase, cldit pe asemnri i deosebiri, pe care logica lui Aristotel se bazeaz, este astfel nlocuit cu determinarea

35

matematic, cldit pe principiul interconexiunii, operat cu ajutorul raportului dintre variabil i funcie.

Variabila exprim mrimea independent, care este cauz. Funcia reprezint mrimea dependent, care este efectul cauzei. Temperatura poate fi variabil sau cauz. Dilatarea corpurilor poate fi efect sau funcie.

n interconexiunea spaial, cum este aceea dintre inim i plmni, caracter i inteligen etc., fiecare organ sau proces poate fi att variabil cit i funcie. n consecin, raportul dintre ele poate fi studiat att dinspre un organ sau proces, cit i dinspre celalalt, relaia lor fiind interschimbabil.

n curgerea vremii, cauza precede efectul. Ea poate fi numai variabil, nu i funcie.

n mecanica clasic, legea forei, care depinde de produsul dintre mas i vitez, a fost scris doar scalar. S-a studiat numai relaia, nu i sensul i direcia ei de evoluie. Aceeai ecuaie poate fi astfel transcris i pentru vitez n raport cu fora i masa, i pentru mas n raport cu fora i viteza.

n termodinamic apare ns curgerea asimetric a timpului, determinat de legea entropiei. Conexiunea opereaz numai de la trecut la prezent, de la cauz la efect. Reversibilitatea dintre variabil i funcie nceteaz.

Acelai lucru se ntmpl i n electromecanic, n care, de asemenea, apar att direcia, ct i sensul ei pozitiv sau negativ.

Din aceste motive relaia din termodinamic i electromecanic poate fi scris numai vectorial, nu i scalar.

Ceea ce trebuie ns reinut n toate cazurile, deci att n cazul exprimrii scalare a raportului dintre variabil i funcie, ct i n acela al reprezentrii ei vectoriale, este faptul c in ambele cazuri operm cu principiul interconexiunii, iar nu cu acela al asemnrilor i deosebirilor.

n mecanica clasic, relaia dintre variabil i funcie a fost sub semnul exactitii depline.

n mecanica cuantic i cu att mai mult n tiinele biologice, psihologice i sociologice apare legitatea de probabilitate. Covariaia ei este exprimat prin coeficienii^ de corelaie.

n mecanica clasic, raportul dintre variabil i funcie a fost reprezentat prin linia de relaie dintre cele dou coordonate ortogonale ale geometriei analitice propuse de Descartes. n geometria r-dimensional a spaiului curb, propus de Riemann, linia de relaie d evine curb i ea. Teoria relativitii este elaborat cu aju-

36

torul acestei noi geometrii. Mecanica clasic a fost elaborat cu ajutorul geometriei analitice.

n analiza factorial multipl, numrul factorilor este egal cu acela al coordonatelor. Axele ortogonale snt preferate deoarece calcularea factorilor cu ajutorul lor este mai puin laborioas. Dac factorii ns snt legai ntre ei i astfel independena lor nceteaz, atunci reprezentarea lor este posibil numai n spaiul curb cu axe oblice.

Este, de asemenea, cazul s observm c n tiina contemporan determinarea liniei de relaie cu ajutorul geometriei analitice este tot mai mult nlocuit cu tratarea vectorial, care nu mai are nevoie de sistemul ei de referin. O atare tratare vectorial direct apare n determinarea cmpului bio-psiho-social al insului, propus de Lewin. Ea, de asemenea, este valorificat n dinamica grupei, aa cum arat cercetrile lui Cartwright i Sander, Sheriff i Hofsttter.

CALCULUI/INFINITEZIMAL I GEOMETRIA DIFERENIAL

Principiul divizibilitii din discursul cartezian st i la baza mecanicii lui Newton, cu deosebirea numai c acum el nu mai este operat n termeni de numere discontinue din aritmetic i algebr, ci n termeni de numere infinitezimale, cu caracter mai mult sau mai puin continuu, din calculul diferenial i integral versus analiz. Reprezentarea spaial a analizei este operat n cadrul geometriei difereniale.

Grecii i-au imaginat micarea ca succesiune de momente exprimabile prin numere discontinue. n contextul acestei intepre- tri a cvantiti continue prin cvoietatea discontinu, Zenon a putut susine faimosul sau paradox c Achile cel iute de picior nu poate ajunge broasca estoas.

n mecanica modern ns, micarea este exprimat prin derivata spaiului n raport cu timpul. Ea valorific numerele infinitezimale, cu caracter mai mult sau mai puin continuu.

La temelia mecanicii clasice, precum i la bazele analizei i geometriei difereniale cu care ea opereaz, st principiul omogenitii, definit prin egalitatea dintre metru i metru, or i or, kilogram i kilogram. n consecin, conceptul de cvantitate nu

37

mai este determinat numai prin multiplicitate sau divizibilitate, ca n discursul cartezian, ci i prin cel de omogenitate. Ea nseamn lips de individuaie, cauzalitate proprie i evoluie, ce definesc calitatea.

Spaiul, spune Newton n prima sa definiie, este multiplicitate tridimensional, omogen i independent de timp.

Timpul, continu el n a doua definiie, este multiplicitate unidimensional, omogen i independent de spaiu.

Masa, adaug el n a treia definiie, este multiplicitatea care apare n matricea lor, omogen i independent de ele fiind i ea.

Multiplicitatea, omogenitatea i independena intervin astfel n toate cele trei definiii. Ele reprezint, ca s spunem aa, schema pro poziional a determinrii, care definete invariana ei.

In virtutea acestor definiii, dac S, T i M intervin pentru o anumit cantitate n spaiu, timp i mas, iar s, t i m apar pentru prile lor, atunci

.S' - .s, -f- s2 + s3 . . . + snf = 1 + t i + h + tM = m1 + m2 + m3 . . . + tnn.

La temelia acestor ecuaii st geometria spaiului plan din geometria lui Euclid, considerat drept singurul spaiu posibil. Cu ajutorul aceluiai model snt definite i celelalte dou ecuaii, privitoare fa mas i timp.

n geometria r-dimensional, elaborat de Riemann, spaiul plan reprezint ns o instan particular, alturi de care exist un numr infinit de alte instane, n care nceteaz i ortogonali- tatea axelor, care definete independena lor. Omogenitatea r- mne valabila n fiecare instan luat n parte, dar, desigur, nu n toate luate mpreun. De la o geometrie ns se poate trece la celelalte geometrii prin adugare sau scdere de parametri, aa cum arat teoria grupurilor, preconizat de Galois i elaborat de F. Klein.

Teoria relativitii din fizic, construit cu ajutorul geometriei r-dimensionale a spaiului curb, susine dependena spaiului, timpului i a masei de viteza corpurilor n micare. Ea aduce ncetarea omogenitii lor. n schimb, noua teorie afirm invariana relaiilor dintre ele, pe care conceptul de izomorfitate o definete.

Cu ajutorul aceluiai principiu va defini Koehler i identitatea relaional, nu substantival, dintre procesele sau configuraiile psihice i cele biologice versus chimice i fizice.

38

De fapt acelai principiu definete i invariana melodiei cntate la scri diferite, cnd tonurile se schimb, aa cum a artat Ehrenfels.

Alturi de principiul izomorfitii, care poate fi exprimat matematic, Wertheimer descoper n cercetrile sale asupra gn- dirii productive i o seam de noi principii calitative, care pot fi exprimate numai cu ajutorul logicii. Aceste principii calitative snt valorificate i de Koehler n lucrarea sa Problema valorii intr-o lume a faptelor. Spaiul i timpul psihologic par astfel s fie mult mai complexe dect spaiul i timpul fizic. De aceea ele solicit, cum vom vedea, i o determinare logic, nu numai pe cea matematic. Altfel semnificaia lor i direcia de evoluie, ambele individuate, nu pot fi determinate.

Este, de asemenea, cazul s observm c n mecanica lui Newton, elaborat numai substantival, gravitaia este un atribut al masei. n teoria relativitii n care toate se leag gravitaia izvorte din nsi structura spaiu-timp a lumii, definit relaional, nu substantival.

n cmpul gravitaional apar doar relaiile afinitare. n cel electromagnetic snt prezente i cele complementare, dependente de reciprocitatea sarcinii electrice pozitive i negative. n cmpul nuclear apare att atracia afinitar dintre neutroni, d t i cea complementar dintre pozitroni i electroni, precum i raportul dintre ele. Cu att mai complex poate fi cmpul biologic i social-uman, n care rolul principal ajung s-l joace relaiile de integrare vertical a prilor n ntreg plus relaiile longitudinale de evoluie, ce le dezvolt pe toate celelalte.

Pentru reprezentarea spaial a acestor noi viziuni asupra structurii fizice, biologice i social-umane, noi geometrii snt imaginate. Dar cum n biologie i mai ales n tiinele social-umane, care abordeaz cultura, timpul este mai important dect spaiul, reprezentarea geometric a structurii biologice i social-umane trebuie neaprat completat cu dezvoltarea din curgerea vremii. Aceasta cu att mai mult cu ct n teoria relativitii timpul nu mai este o dimensiune unidimensional, alturi de cea tridimensional a spaiului. Ci el este o integrare a spaiului, fiind astfel i el multidimensional. Precumpnirea determinrii evolutive fa de cea spaial este susinut i de fenomenologia lui Husserl.

Este, de asemenea, cazul s observm c noile idei din teoria relativitii, pe de o parte, din fenomenologie, pe de alt parte, precum i raportul dintre ele i psihologie, nu snt numai

39

sub semnul spiritului veacului, ci i sub acela al schimbului de idei care a intervenit ntre reprezentanii lor. n adevr, nu e deloc lipsit de semnificaie faptul c Wertheimer i Koelhler au fost elevii lui Stumpf, care la rndul su a fost elevul lui Bren- tano. Ei de asemenea au susinut un viu schimb de idei cu Ein- stein. La nceput, dealtfel, Koehler a fcut studii de fizic cu Planck. Husserl, pe de alt parte, i-a susinut doctoratul n psihologie cu Brentano, iar docena cu Stumpf. nrudirea ideilor lor nu este numai sub semnul asemnrilor din spiritul veacului, ci i sub acela al schimbului lor viu. Despre Wertheimer apoi, Einstein a afirmat c a fost unul dintre cele mai originale i inventive genii pe care el 1-ea cunoscut.

ANALIZA COMBINATORIE I LOGICA MATEMATICI

La analiza relaiilor exterioare dintre variabila i funcie din algebr i analiz sau calcul, analiza combinatorie, propus de Leibniz, adaug i studiul relaiilor interioare dintre diversele pri ,ale variabilei nsi, care nu mai este o unitate simpla, ci una complex.

Leibniz preconizeaz principiile i legile artei la 20 de ani, dar asupra manuscrisului nu mai revine. Meritul de a relua tematica sa i de a o dezvolta n continuare revine lui G. Boole, pe de o parte, i lui A. de Morgan, pe de alt parte. Ambii ns se ocup numai de combinarea propoziiilor simple n cele compuse, adic de calculul propoziional, numit i interpropozi- ional. Frege va aduce i studiul intrapropoziional, care abordeaz combinarea cuvintelor n propoziii. Determinarea intrapropozi- ional este operat cu ajutorul calculului funcional care a intervenit i n studiul relaiei dintre variabil i funcie. Primul tratat de logic matematic sau logistic, cum o numesc autorii, este acela datorat lui Whitehead i Russell, Principia mathematica, publicat n preajma primului rzboi mondial. Dup rzboi apare tratatul lui D. Hilbert i Ackermann, apoi acelea ale lui Prior, Quine, Ghurch, Carnap, Tarski .a.

1. Logica propoziiilor. Presupunem dou propoziii simple, p i q, fiecare dintre ele putnd fi falsa sau adevrat, deci cu

40

dou valori de adevr. Cele doua propoziii simple, cu dou valori de adevr fiecare, snt combinate ntr-o propoziie compus. Conform formulei mmm vom avea un numr de zi? = 16 propoziii compuse, aa cum arat tabela care urmeaz.

p ? 1 3 4 5 |6 |r 8 II 9 | 10 l l j 12 13 14|1 15 16V V V V V V V V V V 1 F p F F F F F FV F V V V V F F F F V V V V F F F FF V V V F F V V F F V V F F V V F F>? r V F V F V F V F | V v F V F V F

Studiind mai ndeaproape cele 16 combinri posibile, pot fi fcute urmtoarele constatri:

1. Coloanele 916 transcriu n sens invers valorile de adevr din coloanele 18, anume coloana 9 transcrie nvers coloana 8, coloana 10 transcrie invers coloana 7 . . . iar coloana 16 e inversa coloanei 1.

2. Coloana 1 cuprinde numai valori de adevr, iar coloana 16 conine numai valori de non-adevr sau falsitate. Prima coloan reprezint tautologiile, iar ultima exprim contradiciile. Ambele mpreun reprezint propoziiile analitice. Dar propoziiile pot fi toate adevrate sau toate false numai atunci cnd ele snt scheme proporionale pure, cu caracter strict formal, din care coninutul lipsete. Ca atare, ele au numai validitate logic, de ordin sintactic, nu i una material sau coninutal, de ordin semantic. Restul celor 14 propoziii, care conin att valori de adevr, ct i valori de falsitate, constituie grupul propoziiilor sintetice, n care intereseaz i coninutul sau aseriunea n raport cu realitatea.

3. Din cele 14 propoziii sintetice, cu valori de adevr sau neadevr, propoziia din coloana 4 repet valorile de adevr din coloana p, iar propoziia din coloana 6 repet valorile de adevr din coloana q. Ele nu aduc noi valori de adevr. Propoziiile 11 i 13, pe de alt parte, nu snt dect inversul lor. n consecin, toate aceste patru categorii de propoziii pot fi ignorate, ntruct ele nu aduc noi valori de adevr.

4. Din cele 10 propoziii sintetice ce au rmas, propoziia din coloana 2 exprim o disjuncie neexclusiv, cea din coloana 5 aserteaz o implicaie, iar propoziia din coloana 8 cuprinde o conjuncie. Socrate e i raional i nelept exprim compunerea

41

conjunctiv a propoziiilor Socrate e raional i Socrate e nelept. Ea e definita prin operatorii i . . . >, care snt functori de adevr. Socrate e sau nelept sau cinstit reprezint compunerea disjunctiv neeliminatorie, cea eliminatorie fiind Socrate e ori nelept ori nenelept. Daca Socrate e nelept, atunci el nu poate fi prost reprezint compunerea implicativ. Propoziiile din coloanele 3 i 7 reprezint implicaia convers i echivalent sau dubla implicaie, care poate fi exprimat n termeni de implicaie. Prin urmare, ele de asemenea cad, deoarece legitatea lor nu se deosebete de aceea a propoziiilor implicative. Propoziiile din coloanele 9; 12 i 15 reproduc invers valorile de adevr i neadevr din propoziiile de la coloanele 8; 5 i 2, iar propoziiile din coloanele 10 i 14 snt inversele propoziiilor din coloanele 7 i 3. In consecin, rmnem cu trei propoziii sintetice avntl valori de adevr i neadevr, compuse prin conjuncie, disjuncie i implicaie.

Cele trei categorii de propoziii sintetice cu valori de adevr i neadevr, care au rmas din analiza de mai sus a celor 16 propoziii, snt exact cele trei categorii de propoziii analizate i de logica stoic, cu deosebire numai c logicienii stoici le-au sesizat n mod intuitiv, fr analiza combinatorie de mai sus, inaugurat >de Leibniz.

Propoziiile din logica lui Aristotel snt substantivale i atribu- tive. Cum ele afirm n predicat un atribut inclus n subiect, ele snt numite i propoziii inclusive.

Propoziiile conjunctive, disjunctive i implicative snt propoziii relaionale, care nu repet adevrul din cele simple din care ele se compun , ci afirm o nou valoare de adevr, ce deriv din modurile de compunere, conjugare sau integrare a propoziiilor simple n cele complexe. De aici i caracterul lor relaional, nu substantival i atributiv.

Concluziile din propoziiile substantivale i atributive, obinute prin incluziune, snt bazate pe principiul identitii i contradiciei cu ter exclus. Ele afirm asemnri sau deosebiri.

Propoziiile conjunctive, disjunctive i implicative snt bazate pe operatorii lor i . . . i, sau . . . sau i dac . . . atunci, care snt functori de adevr. n ele apare numai relaionalitatea, nu i identitatea.

42

Legitatea propoziiilor substantivale i atributive prin incluziune este operat numai de principiul identitii i contradiciei cu ter exclus. Ca atare ea este general.

Legitatea propoziiilor relaionale variaz dup cele trei categorii de operatori, fiind astfel proprie lor, deci relativ, nu absolut.

Logica clasic formula reguli cu caracter normativ. Logica matematic, la fel ca oricare alt disciplin tiinific, se mulumete cu stabilirea legilor corecte de combinare sintetic.

n propoziiile analitice intereseaz numai combinarea sintactic corecta, nu i coninutul semantic. Dac oamenii snt plante, iar Socrate este om, atunci i Socrate este plant. Sub unghiul semantic propoziia este eronat, deoarece cuprinde o aseriune care nu corespunde realitii, i astfel este fals. Din punct de vedere sintactic, deci formal, propoziia e compus n mod corect, deoarece ea respect regula combinrii prin implicaie.

Wittgenstein a limitat logica matematic numai la stabilirea regulilor sintactice de combinare, reducnd astfel logica matematic la sintaxa logic a propoziiilor. Aceast sintax poate fi elaborat strict axiomatic sau deductiv, pleendu-se de la o seam de postulate. Logica matematic este redus astfel la studiul tautologiilor.

Cum in elaborarea strict formal, cu caracter deductiv, a tautologiilor au aprut o seam de contradicii i indeterminari, la sintaxa logic Carnap a adugat semantica logic, ce studiaz i coninutul, deci propoziiile sintetice, nu numai pe cele analitice. Cu dou mii de ani nainte, Aristotel fcuse aceeai observaie. Singura cale de a iei din aporii, a spus el, este numai pstrarea legturii cu realitatea, pe care o afirm coninutul propoziiilor. Exemplul lui Carnap a fost urmat i de Tarski etc.

Sintaxa logic a fost elaborat strict deductiv. n semantica logic apare i inducia.

Elaborat strict formal, sintaxa logic stabilete numai regulile gndirii corecte, definite prin consistena logic sau lipsa de contradicii, prin decidabilitatea concluziilor corecte, ce trebuie s fie distincte de cele incorecte, i prin completitudinea determinrii.

Preocupata fiind numai de stabilirea legilor corecte de gndire, nu i de adevrul din coninut, sintaxa logic se ocup de legile gndirii, nu i de acelea ale adevrului, care apar n semantica logic. Sintaxa logic opereaz astfel numai in mente, nu i in re.

43

matematic opereaz cu o cuantificare multipl, generaliznd predicatul pentru mai multe subiecte.

Vzut n aceast lumin, logica clasic nu este dect o instan particular n instana general a logicii matematice.

De comprehensiunea nsi a subiectului i predicatului, anume de gradul lor de dezvoltare, logica matematic nu se ocup, proce- dnd ca i logica clasic. Aceste grade de dezvoltare ale atributelor apar, n schimb, n curba de variaie.

3. Logica claselor, sistemelor, logica tehnica. La calculul inter- propoziional i intrapropoziional versus logica propoziiilor i logica prediciej, precum i logica claselor i logica relaiilor, logica matematic a adugat n vremea din urm i logica sistemelor i logica tehnic.

Teoria sistemelor a fost elaborat cu precdere de Centrul de f t oria Sistemelor de pe lng Universitatea din Los Angeles, condus de L. von Bertalanffy. La nceput logica sistemelor a fost aplicat numai la sistemele simple, cum snt cele ale bacteriilor. Ulterior ea a fost generalizat _i la organismele mai complicate, precum i la diversele sisteme psihologice, sociologice i economice.

Logica tehnic st la baza teoriei informaiei, elaborat de Shannon cu ajutorul legii entropiei. Ea intervine n conducerea automat i gndirea repetitiv, cu caracter stereotipic, cibernetic.

Aplicarea matematicii i logicii matematice la nvarea programat este un nou capitol promitor.

4. Logica polivalenta. La nceput logica matematic a operat numai cu dou valori de adevr, la fel ca i logica clasic. ntre adevrul i neadevrul propoziiilor categorice Aristotel a recunoscut ns posibilitatea adevrului din propoziiile ipotetice, gen Miine are loc o btlie naval. Cum e vorba de viitor, btlia poate s aib loc, dar poate fi i amnat, eventual chiar anulat. De aceea, judecile asupra evenimentelor din viitor nu mai snt categorice, ci doar de contingen mai mult sau mai puin probabil. n judecile categorice, cu caracter apofantic, care afirm cu necesitate adevrul sau falsitatea, terul este exclus. In judecile de contingen, cu caracter ipotetic sau de probabilitate, terul este inclus.

Cum ns n majoritatea covritoare a propoziiilor din tiina contemporan adevrul nu mai este asertat cu necesitate, ci doar cu probabilitate, ntre necesar i imposibil Lewis introduce posibilul. El face ns acest lucru numai pentru a introduce posibilitatea unei discriminri mai categorice ntre implicaia obinuit,

46

caie intervine n limbajul de toate zilele, i implicaia logic strict, n care opoziia dintre cele doua soluii posibile e foarte categoric. Implicaia din limbajul de toate zilele admite terul. Cea logic nu-1 mai admite.

Cam n aceeai vreme, Post i Lukasievici, lucrnd independent unul de altul, introduc logica trivalent propriu-zis, care lucreaz cu trei valori de adevr, n care terul este inclus, nu exclus.

In continuare, o seam de matematicieni aaz bazele logicii tetravalente. Aa, de pild, n cadrul logicii modale, Gr. Moisil propune o logic cu patru valori de adevr: necesar, posibil, imposibil, absurd.

Dar evoluia logicii merge i n sensul invers, al reducerii numrului valorilor de adevr, inaugurat de acad. O. Onicescu, care propune o logic cu o singur valoare de adevr, veritatea, care aduce maximum de simplificare n determinare.

Introducerea celui de-al treilea i al patrulea rspuns complic ns foarte mult calculul combinrilor posibile. Conform formulei mwtM, cu dou propoziii avnd trei i patru valori de adevr avem 32, respectiv 64 de combinri posibile, nu 16 cte am avut cu dou valori de adevr.

Logica polivalent deschide drumul spre sinteza logicii cu calculul probabilitii, care st la baza legitii biologice i social- umane, generalizat fiind azi i n mecanica cuantic.

CALCULUL PROBABILITII

Logica clasic i logica matematic bivalent, la fel ca i aritmetica, algebra i analiza, opereaz numai cu adevruri certe, de necesitate. Ele admit numai veritatea sau falsitatea, iar terul l exclud. Legitatea de exactitate este operat cu ajutorul lor.

Matematica intuiionist, logica polivalent i mai ales calculul probabilitii introduc adevrurile de probabilitate, care admit nu numai terul, ci i un numr infinit de soluii posibile. Legitatea statistic este operat cu ajutorul acestor adevruri de probabilitate.

In tiinei e zise exacte, cum snt mecanica i electromecanica, chimia analitic etc., legitatea a prut, la nceput cel puin, nu-

47

mai de exactitate deplin. Exprimarea ei a fost precumpnitor matematic.

Aceeai legitate de exactitate a fost ns afirmat i de Aris- totel n logica ordinii de clase, cu ajutorul creia a definit speciile i genurile, pe cele din botanic i zoologie mai ales. n perspectiva ecologiei de azi ns, ntre diversele specii i genuri exist puni de trecere. De aceea diferenierea lor nu e nici pe departe att de categorici cum a crezut-o Aristotel. nva