probabilitati si statistica

CONSTANTIN POPP

NICOLETA GILLICH VILHELM ION PRAISACH

ELEMENTE DE

TEORIA PROBABILITILOR i

STATISTIC MATEMATIC

EDITURA EFTIMIE MURGU

REIA, 1998

f(x)

0 x -

2 Cuprins

CUPRINS

PREFA ..................................................................................................................... 6

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR

Capitolul 1 Noiuni introductive ............................................................................ 8

1.1. Cmp de evenimente....................................................................................... 8

1.2. Noiunea de probabilitate.............................................................................. 10

Capitolul 2 Cmp de probabilitate....................................................................... 13

2.1. Definiie i proprieti................................................................................... 13

2.2. Probabiliti condiionate. Evenimente independente. ................................. 13

2.3. Probabilitatea reuniunii evenimentelor compatibile..................................... 15

2.4. Probabilitatea interseciei evenimentelor dependente .................................. 15

2.5. Formula probabilitii totale i formula lui Bayes........................................ 16

2.6. Scheme probabilistice clasice....................................................................... 18

2.6.1. Schema bilei nerevenite......................................................................... 18

2.6.2. Schema bilei revenite............................................................................. 18

2.6.3. Schema lui Poisson................................................................................ 20

2.7. Probleme rezolvate ....................................................................................... 20

Capitolul 3 Variabile aleatoare ............................................................................ 27

3.1. Variabile aleatoare discrete. Definiie i exemple. ....................................... 27

3.2. Operaii cu variabile aleatoare discrete ........................................................ 28

3.3. Variabile aleatoare continue ......................................................................... 30

3.4. Funcia de repartiie ...................................................................................... 31

3.4.1.Funcia de repartiie pentru variabila aleatoare discret......................... 32

3.4.2.Funcia de repartiie pentru variabila continu ....................................... 34

3.5. Funcia de repartiie bidimensional ............................................................ 36

3.6. Grafice pentru variabile aleatoare ................................................................ 37

3.6.1.Pentru v.a. discret.................................................................................. 37

3.6.2.Pentru v.a. continu, ............................................................................... 38


Capitolul 4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare ......................... 43

4.1. Caracteristici de grupare............................................................................... 43

4.1.1.Valoarea medie ....................................................................................... 43

4.1.2. Valoarea median .................................................................................. 44

4.1.3.Cuantile. ................................................................................................. 45

4.1.4.Valoarea modal..................................................................................... 46

4.1.5.Momente i medii de ordin superior. ..................................................... 47

4.2.Caracteristici de mprtiere.......................................................................... 48

4.2.1.Variabila abatere. Abaterea absolut medie........................................... 49

4.2.2.Dispersia. Abaterea medie ptratic....................................................... 50

4.2.3.Momente centrate (medii centrate). Covariana..................................... 51

4.2.4.Normata unei variabile aleatoare............................................................ 52

4.3.Caracteristici care dau informaii privind forma distribuiei......................... 53

4.4.Corelaie i regresie....................................................................................... 54

4.4.1.Proprietile coeficientului de corelaie : ............................................... 55

4.4.2.Funcia de regresie ................................................................................. 56


Capitolul 5 Funcie caracteristic i funcie generatoare.................................. 63

5.1. Definiia funciei caracteristice. Proprieti. ................................................ 63

5.2. Funcie generatoare ...................................................................................... 64

5.3. Teorema de inversiune i teorema de unicitate ............................................ 65


Capitolul 6 Repartiii probabilistice clasice discrete ......................................... 70

6.1. Repartiia binomial sau repartiia lui Bernoulli. ......................................... 70

6.2. Repartiia multinomial................................................................................ 71

6.3. Repartiia binomial cu exponent negativ.................................................... 72

6.4. Repartiia hipergeometric ........................................................................... 73

6.5. Repartiia Poisson......................................................................................... 74

6.6. Repartiia geometric ................................................................................... 76

Capitolul 7 Repartiii probabilistice clasice continue ........................................ 77

7.1. Repartiia uniform ...................................................................................... 77

7.2. Repartiia normal ........................................................................................ 79

7.3. Repartiia normal normat .......................................................................... 82

7.4. Repartiia lognormal ................................................................................... 84

7.5. Repartiia gamma. ........................................................................................ 85

7.6. Repartiia beta .............................................................................................. 88

7.6.1.Cazuri particulare .................................................................................. 90

4 Cuprins

7.7. Repartiia exponenial negativ .................................................................. 91

7.8. Repartiia Weibull......................................................................................... 92

7.9. Repartiia Erlang........................................................................................... 94

7.10. Repartiia 2 (hi ptrat) ......................................................................... 94

7.10.1.Cazuri particulare de repartiii 2 ....................................................... 97

7.11. Repartiia t (Student)............................................................................... 97

7.12. Repartiia Snedecor................................................................................... 100

7.13. Repartiia Fischer...................................................................................... 101

7.14. Repartiia Cauchy ..................................................................................... 102

7.15. Probleme rezolvate .................................................................................. 102

Capitolul 8 Teoreme i legi n teoria probabilitilor....................................... 105

8.1. Inegalitatea lui Cebev .............................................................................. 105

8.2. Convergena irurilor de variabile aleatoare............................................... 106

8.2.1. Convergena n probabilitate ............................................................... 106

8.2.2. Convergena tare.................................................................................. 106

8.2.3. Convergena n medie de ordinul r ...................................................... 107

8.2.4. Convergena n repartiie ..................................................................... 107

8.3. Legea numerelor mari. Legi limit ............................................................. 108

8.3.1. Problema limit central ...................................................................... 113

8.3.2. Teorema limit central a lui Leapunov .............................................. 115

8.4. Probleme rezolvate .................................................................................... 116

Capitolul 9 Procese stochastic. Elemente de teoria fiabilitii. ....................... 120

9.1. Noiunea de proces stochastic..................................................................... 120

9.2. Elemente de teoria fiabilitii ..................................................................... 122

9.2.1. Timpul de funcionare pn la prima defeciune. ................................ 123

9.2.2. Funcia risc de defectare. ..................................................................... 124

9.2.3. Sigurana sistemelor cu elemente legate n serie ................................. 125

9.2.4. Sigurana sistemelor cu elemente legate n paralel.............................. 126

STATISTIC MATEMATIC

Capitolul 10 Teoria seleciei. Teoria estimaiei. Ajustarea legilor de distribuie.

...................................................................................................................................... 127

10.1. Teoria seleciei.......................................................................................... 127

10.1.1. Noiuni introductive........................................................................... 127

10.1.2. Funcia de repartiie de selecie......................................................... 129

10.2 Teoria estimaiei ........................................................................................ 130

10.2.1. Estimatori punctuali. ......................................................................... 130

10.2.2. Estimarea prin intervale de ncredere................................................ 137

10.3 Ajustarea legilor de distribuie. Metode empirice..................................... 142

10.3.1. Forma histogramei............................................................................. 143

10.3.2. Verificarea unor proprieti matematice. .......................................... 143

10.3.3. Ajustarea grafic. .............................................................................. 143

10.3.4. Aplicaii ............................................................................................. 145

ANEXE ..................................................................................................................... 147

Anexa 1. Distribuia normal. Valorile funciei (x)...................................... 147

Anexa 2. Funcia a lui Euler............................................................................ 148

Anexa 3. Distribuia student............................................................................... 149

Anexa 4. Lista programelor MathCad folosite pentru generarea valorilor .. 150

BIBLIOGRAFIE ...................................................................................................... 151

6 Eroare! Legtur incorect.

PREFA[~

Evoluia cercetrii tiinifice prezint tendine de integrare atestate de

apariia unor discipline a cror vocaie este identificarea notelor de unitate

i sintez. n acest context, teoria probabilitilor i statistica matematic

acioneaz ca un liant ntre disciplinele fizice, tehnice i socio-umane,

validnd descrierea general i abstract a fenomenelor, furniznd astfel

tiinelor instrumente de lucru i cadre conceptuale.

Fundamente ale calculului probabilitilor au fost statuate n secolul al

XVII- lea de savanii B. Pascal i P. Fermat care au formulat definiia

clasic a probabilitii, fiind i astzi singura folosit n practic pentru

determinarea numeric a probabilitii producerii unui eveniment.

n anul 1933, A.N. Kolmogorov a realizat o axiomatizare a noiunii de

probabilitate, calculul probabilitilor devenind un capitol al teoriei msurii

iar probabilitatea o msur normat.

Obiectivul fundamental al teoriei probabilitilor const n determinarea

legturii pe care aceast tiin abstract o are cu lumea real. Aceast

problem a fost n atenia primilor probabiliti, dintre care J.Bernoulli a

formulat legea numerelor mari i a definit sperana matematic

normal.

Apariia tratatului lui Laplace Teoria analitic a probabilitilor

(1813) certific faptul c la nceputul secolului al XIX-lea aceast teorie era

complet consolidat i avea n vedere multiple aplicaii n tiin i tehnic,

n economie i n alte domenii.

Eroare! Legtur incorect. 7

n anii care au urmat au fost studiate aproape toate distribuiile clasice

(Bernoulli, Poisson, Gauss, Laplace etc.), au fost rezolvate teoremele limit

centrale pentru diferite iruri de variabile, s-au definit tipurile de

convergen aleatoare iar Markov a descoperit lanurile" care i poart

numele. n deceniile premergtoare axiomatizrii teoriei probabilitilor,

K.Pearson i R.A.Fischer vor pune bazele statisticii matematice actuale.

Studiul teoriei probabilitilor n epoca clasic s-a limitat pentru

cmpurile finite de probabilitate, epoca actual extinznd aceast teorie i

la nivelul cmpurilor infinite.

Prezenta lucrare, alctuit din dou pri distincte probabiliti i

statistic matematic este structurat n zece capitole, fiecare capitol fiind

nsoit de exemple i probleme rezolvate care faciliteaz asimilarea

noiunilor tratate.

Coninutul lucrrii reflect elemente ale programelor analitice aferente

cursurilor de Probabiliti i statistic matematic i Matematici pentru

economiti predate de autori la facultile din cadrul Universitii Eftimie

Murgu din Reia, dar considerm c poate fi util i cadrelor didactice

sau cercettorilor cu preocupri n acest domeniu.

Autorii i exprim gratitudinea i aduc mulumiri domnilor refereni

tiinifici : prof.dr.ing. Corneliu Velicescu de la Facultatea de Electrotehnic

a Universitii Tehnice Timioara, prof.dr.ing. tefan Grlau i conf.dr.

Liviu Sptaru de la Universitatea Eftimie Murgu din Reia, care prin

observaiile pertinente au contribuit cu certitudine la creterea nivelului

calitativ al lucrrii noastre.

Autorii


ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR

Capitolul 1 Noiuni introductive

1.1. Cmp de evenimente

Se numete experien orice realizare a unui complex de condiii, , bine precizat. Prin efectuarea unei experiene se nelege alegerea unui element dintr-o mulime dat,

printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat.

O anumit realizare efectuat sau viitoare, a unei experiene, se numete prob. Deci,

proba nu se confund cu experiena nsi ci cu unul din rezultatele sale previzibile.

Uneori, n loc de probe ale unei experiene, vom spune cazuri posibile ale experienei.

n legtur cu o experien aleatoare (ntmpltoare) ne putem pune o serie de

ntrebri ale cror rspunsuri nu le putem cunoate dect dup efectuarea experienei.

Toate situaiile legate de o experien aleatoare i despre care putem afirma cu certitudine

c s-au produs sau nu dup efectuarea experienei, le vom numi evenimente.

Evenimentul care poate fi realizat de o prob i numai de una se numete eveniment

elementar. Celelalte evenimente (care nu sunt elementare) le vom numi evenimente

compuse.

Experienele se mpart n dou categorii : cu un numr finit de rezultate posibile (sau

probe) i cu o infinitate de cazuri posibile. De exemplu, aruncarea zarului este o

experien cu un numr finit de cazuri posibile (6). Are ase evenimente elementare, dar

poate avea i altele (de pild sau faa 6 sau faa 3, sau una din feele 2, 3, 5, etc.). Numrul

total de evenimente este C C C60

61

66 62 64+ + + = =K .

O mulime de evenimente care pot aprea ntr-o anumit experien, se numete

sistem de evenimente i poate fi finit sau infinit, dup cum conine un numr finit sau

infinit de evenimente.

Evenimentul poate fi sigur (total) dac se realizeaz cu certitudine la fiecare efectuare

a experienei sau imposibil dac nu se realizeaz la nici o efectuare a experienei.

Evenimentele se noteaz de obicei cu litere mari ale alfabetului latin : A, B, C, .

Evenimentul sigur se noteaz cu E, iar evenimentul imposibil cu . Fiecrui eveniment A i corespunde evenimentul contrar (opus sau complementar)

notat A sau CA. Evident c E = i = E . Dac B A= atunci i A B= .


Implicaia unui eveniment de ctre alt eveniment. Zicem c evenimentul A implic

evenimentul B (AB) dac B se realizeaz de fiecare dat cnd se realizeaz A. n caz contrar se va scrie : AB.

Proprietile implicaiei 1. AA (reflexivitate) 2. AE, ()A (ultimul element) 3. Dac AB i BC, atunci AC (tranzitivitate) 4. A, ()A (primul element) 5. Dac AB i BA atunci A=B, adic sunt echivalente (antisimetrie) Reuniunea a dou evenimente. Dac A i B sunt evenimente legate de aceeai

experien, atunci AB este evenimentul care const n realizarea cel puin a unuia din cele dou evenimente (se citete : A sau B).

Proprietile reuniunii 1. AB=BA (comutativitate) 2. (AB) C=A(BC) (asociativitate) 3. AAB, BAB 4. AA=A (idempotena) 5. AE=E (proprietile ultimului element) 6. A=A (proprietile primului element) Intersecia a dou evenimente : AB este evenimentul care const n realizarea

ambelor evenimente (se citete A i B).

Evenimente compatibile. Dou evenimente A i B sunt compatibile dac se pot realiza

simultan, adic dac exist probe comune care realizeaz att pe A ct i pe B (AB). n caz contrar evenimentele sunt incompatibile (AB=, adic sunt disjuncte).

Proprietile interseciei 1. AB=BA (comutativitate) 2. (AB) C=A(BC) (asociativitate) 3. A(BC)=(AB) (AC) (distributivitate)


Definiia 1. Fie E o mulime nevid. (E) i K o familie nevid de pri ale lui E. Cuplul (E,K) se numete cmp de evenimente (finit sau infinit) dac K verific axiomele

unui trib (algebr) respectiv a unui trib borelian (- algebr) : a) EK, K b) ( ) A AK K c) A, B KAB K, AB K d) A, B K, ABB\A K unde B \ A = B A (diferena)

e) Dac K este infinit i Ai K, iN A , Ai i11

K KIU

Definiia 2. Sistemul de evenimente { }B i = 1,n Bi i, , K , se numete sistem complet de evenimente dac : B B B (i j), B Ei i j i

1

n

= =0, UI . Definiia 3. Un eveniment A K se numete eveniment compus dac exist dou

evenimente B, C K \{} diferite de A astfel nct A=BC. Un eveniment care nu este compus i nu este imposibil, se numete eveniment elementar sau atom.

1.2. Noiunea de probabilitate

Vom caracteriza printr-un numr raional 0p1, gradul de realizare (ansa realizrii) al fiecrui eveniment A dintr-un cmp de evenimente K. Un astfel de numr notat P(A) se

va numi probabilitatea evenimentului A.

1. Definiia statistic : P(A) = lim f A), unde f A) =nnn n nA

( ( se numete frecvena

relativ a evenimentului A ntr-o serie de n repetri a unei experiene ; nA este numrul

apariiei evenimentului A n cele n ncercri.

2. Definiia clasic : P(A)mn

= ; m este numrul de cazuri favorabile producerii evenimentului A iar n este numrul cazurilor posibile, n ipoteza c toate cazurile sunt

posibile.


Aceast definiie reduce noiunea de probabilitate la noiunea de egal probabilitate de

apariie a evenimentelor elementare, care fiind admis ca noiune primar nu poate fi

definit riguros matematic. Se presupune c mulimea evenimentelor ataate unei

experiene poate fi construit prin operaia de reuniune a unor evenimente egal posibile.

Definiia clasic este insuficient deoarece se aplic numai pentru cmpuri finite de

evenimente, unde chiar i pentru acestea nu ntotdeauna se poate vorbi de cazuri egal

posibile (de exemplu zarul nu este perfect simetric).

3. Definiia geometric extinde noiunea de probabilitate n cazul cmpurilor infinite.

Astfel, fie o mulime msurabil a unui spaiu euclidian n-dimensional, a crei msur Lebesgue n-dimensional este pozitiv i finit. Notm L clasa de pri msurabile ale lui i (A) msura Lebesgue a mulimii msurabile A L. Se arunc la ntmplare un punct n mulimea i se cere s se determine probabilitatea ca punctul respectiv s cad n mulimea A. Se intuiete c probabilitatea cutat este proporional cu msura

mulimii (A) - msura mulimii A i nu depinde de forma i aezarea lui A, adic prin definiie :

P(A) =(A)( )

Aceast probabilitate verific proprietile observate att la frecvena relativ ct i la

probabilitatea dat prin definiia clasic. De multe ori se consider n aplicaii cazul cnd

=[a,b] al dreptei reale, iar A este un subinterval nchis [a,b]. Atunci : P(A) =

b'-a'b - a

4. Definiia axiomatic. Kolmogorov n anul 1931 pune bazele axiomatice ale teoriei

probabilitilor, n strns legtur cu teoria msurii i teoria funciilor de variabile

reale.

Numim probabilitate pe un cmp de evenimente (E,K), o funcie P:K[0,1] cu

proprietile :

1. P(E)=1

2. A , n ; A A m n P A P(An n m n1

n = =

K N , )I U1


Din definiie rezult c o probabilitate nu este altceva dect o msur pozitiv

normat (ia valori numai n [0,1]) definit pe un trib (respectiv trib borelian). Dac E este

o mulime finit, rolul lui K este jucat de P(E) - mulimea prilor lui E, pentru c de

obicei n tratarea ansamblist atomii se reduc la elementele eE numite evenimente elementare.

Dac (E,K) este un cmp finit de evenimente, ale crui evenimente elementare sunt

{e1, e2, , en}=E, din definiia axiomatic rezult :

P(e i = 1,n P(e P(E) = 1i i1

n

) , ; ) =0 Dac P(e1)=P(e2)==P(en) spunem c evenimentele elementare ei sunt egal

probabile i n acest caz deducem : P(en

i = 1,ni ) ,= 1

Dac A K oarecare, A = e e ei i i1 2 mKUUU , avem :

P(A) = P e P(e , deci P(A) =mnir =1

m

ir rU = = )r

m

1,

adic raportul dintre numrul evenimentelor elementare favorabile evenimentului dat i

numrul total de evenimente elementare ale cmpului.

Astfel definiia clasic a probabilitii este coninut, ca un caz particular, n definiia

axiomatic.


Capitolul 2 Cmp de probabilitate

2.1. Definiie i proprieti

Fie (E, K) un cmp finit sau infinit de evenimente i P o probabilitate pe (E, K).

Un triplet {E, K, P} se numete cmp de probabilitate.

Dac (E, K) este infinit, atunci {E, K, P} se numete cmp borelian de probabilitate.

Proprieti: 1. P()=0 2. P(A) = 1- P(A , ( )A) K 3. P(B\A)=P(B)-P(A), ()A,BK, AB, iar n general :

P(B\A)=P(B)-P(AB) 4. P(A)P(B) dac AB ; A,B K 5. 0P(A) 1, ()A K 6. P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB), ()A,BK (formula lui Poincar)

7. { }P A P(A ( ) An1

n n

U ), n N K1

Pentru studiul cmpurilor infinite este util ca evenimentele cmpului s fie

reprezentate prin mulimi de puncte din spaiul Rn.

2.2. Probabiliti condiionate. Evenimente independente.

Fie o urn care are n bile dintre care unele marcate cu litera A n numr de a, altele

notate cu B n numr de b i n sfrit unele notate cu A i B n numr de c. Notm cu A

(respectiv B) evenimentul de a extrage o bil marcat cu A (respectiv B). Se cere

probabilitatea evenimentului B, n ipoteza c evenimentul A s-a produs. Vom avea :

P B P B Ac

a c

cn

a cn

P A BP AA

( ) ( / )( )

( )= = + = + =

I


Prin faptul c evenimentul A s-a produs, se modific complexul de condiii n care

mai poate s apar evenimentul B i prin urmare producerea lui A influeneaz

producerea lui B a crui probabilitate de apariie la nceput a fost P Bb c

n( ) = + .

Acest exemplu sugereaz urmtoarea definiie :

Fie {E, K, P} un cmp borelian de probabilitate i A,BK cu P(A)0. Se numete

probabilitate a evenimentului B condiionat de evenimentul A (sau probabilitatea lui B n

raport cu A) expresia :

P B P B AP A B

P AA( ) ( / )

( )( )

= = I ( 1.2.1)

Remarc : Faptul c tripletul {E, K, P} este un cmp borelian de probabilitate arat

c PA:K[0,1] este o probabilitate. n adevr, deoarece AE=A rezult :

P EP A E

P AP AP AA

( )( )

( )( )( )

= = =I 1 Dac AiK,, AIAj= (ij) atunci : (AAi)(AAj)= i deci :

P AP A A

P A

P A A

P AP AA i

i i

A i1

1 1

1

=

=

= U

UI IU( )

( )

( )( )

S considerm n continuare experiena aruncrii unei monede de dou ori. Notm cu

A evenimentul apariiei stemei la prima aruncare i cu B la a doua aruncare. Avem

P(A)=1/2, P(B)=1/2.

Pentru evenimentul AB se prezint un singur caz favorabil din cele patru posibile :

(1,1), (1,2), (2,1), (2,2). Deci : P A B P A P B( ) ( ) ( )= = = 14

12

12I

Apariia feei cu stem, la a doua aruncare este independent de apariia unei fee sau

a celeilalte la prima aruncare. Rezult astfel urmtoarea definiie :

Dou evenimente A,BK se numesc independente dac :

P(AB)=P(A)P(B) (2.2) Din (2.1) rezult o definiie echivalent a evenimentelor independente :


PB(A)=P(A) dac P(B)0 sau PA(B)=P(B) dac P(A)0 (2.3)

De asemenea este evident c dac P(A) 0, P(B) 0 atunci :

P(B) PB(A)= P(A) PA(B) (2.4) Generaliznd, dou sisteme complete de evenimente {A1,A2,,An} i {B1,B2,,Bn}

ale cmpului {E, K, P} sunt independente dac :

P A B P A P B i m j ni j i j( ) ( ) ( ); , , ,I = = =1 1 (2.5)

2.3. Probabilitatea reuniunii evenimentelor compatibile

Se tie c dac A,BK sunt incompatibile (AB=) atunci : P(AB)=P(A)+P(B) (2.6)

Ne propunem s calculm P(AB) n cazul cnd AB : AB=[A\(AB)][AB][B\(AB)],

n care evenimentele din parantezele mari sunt incompatibile dou cte dou.

P(AB)=P[A\(AB)]+P[AB]+P[B\(AB)]=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB). Deci :

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) (2.7) Prin recuren, formula se poate extinde la n evenimente (formula lui Poincar) :

P A P A P A A P A A Ain

ii ji j

n

i ji j ki j k

n

i j k

n

1 1 11U I I I K

= + +=< =< >n, aceeai condiie meninndu-se i pentru perechile a i x, respectiv b i n-x, atunci

se arat c cele dou probabiliti date n schemele I i II sunt aproximativ egale, adic :

C CC

C p qax

bn x

Nn n

x x n x

Exemplu : Se arunc o moned de 15 ori. Care este probabilitatea de a obine de zece

ori stema ?

Soluie : Avem n=15, x=10, p=1/2, q=1/2, deci :

P C15 1510

10 5

1012

12

0 0917( ) ,=

=

Generalizare : Schema multinomial

P x xn

x xp pn s

s

xsxs( , , )

!! !1 1

11K K L= ,

(2.17)

unde x1 bile sunt de culoarea 1,, xs bile de culoarea s, adic : dintr-o urn cu bile de s

culori, se extrag n bile, cu revenirea acestora n urn.


2.6.3. Schema lui Poisson

Se consider n urne, U1, U2, , Un. Urna Ui conine ai bile albe i bi bile negre

( i = 1,n ). Se extrage cte o bil din fiecare urn. Se cere probabilitatea ca din cele n bile

extrase, x s fie albe i (n-x) negre.

Dac notm cu pi probabilitatea ca din urna Ui s scoatem o bil alb i cu qi

probabilitatea ca din Ui s scoatem o bil neagr, avem :

pa

a bb

a bp ni

i

i ii

i

i ii= + = + = =, , , q i1 1

Raionnd ca n schema lui Bernoulli, probabilitatea cerut este coeficientul lui xkyn-k

din produsul :

(p1x+q1y) (p2x+q2y) (pnx+qny)

Exemplu : La o specializare (de exemplu tiina materialelor) sunt n anul I 22

studente i 20 studeni, n anul II 16 studente i 10 studeni, iar n anul III sunt 20 de

studente i 6 studeni. Care este probabilitatea ca primul student din fiecare an de studiu

sosit la cursuri ntr-o zi, s fie de sex feminin ?

Soluie : Aplicnd schema polinomial, avem :

p1=22/42, q1=20/42 ; p2=16/26, q2=10/26 ; p3=20/26, q3=6/26

Probabilitatea cerut este dat de coeficientul lui xy2 din produsul :

( )( )( )p x q y p x q y p x q y x y x y x y1 1 2 2 3 32242

2042

1626

1026

2026

626

+ + + = + +

+

obinem : p = + + 2242

1026

626

2042

1626

626

2042

2026

1026

0 255, .

2.7. Probleme rezolvate

1) S se calculeze probabilitatea ca la o aruncare cu zarul s apar faa numerotat cu

1 sau 2.

Soluie : Fie A evenimentul apariiei feei 1 sau 2. Notnd cu Ei evenimentul apariii

feei i (i=1,2,3,4,5,6), avem P(E )16i

= . 2) ntr-o magazie sunt 40 de piese dintre care 4 au defecte. Care este probabilitatea ca

o pies luat la ntmplare s fie cu defecte ?

Soluie : Notm cu A evenimentul ca piesa aleas s fie cu defecte. Evenimentul fiind

aleator, putem lua orice pies din cele 40, deci avem 40 de cazuri posibile. Numrul


cazurilor favorabile lui A este egal cu numrul pieselor defecte, adic 4. Din definiia

clasic rezult P(A)=4/40=0,1.

3) La fabricarea unui dispozitiv pot s apar defecte datorit materialului folosit,

datorit prelucrrii pieselor componente i datorit montajului. Dispozitivul se

consider bun dac nu are nici unul din aceste defecte. Din practic se cunoate c

datorit materialului folosit 5% din piese au defecte, datorit prelucrrii 8% au

defecte, iar datorit montajului 4% au defecte. Se cere probabilitatea minim ca un

dispozitiv s fie bun.

Soluie : Notm cu A evenimentul ca piesele componente s nu aib defecte din

cauza materialului folosit, cu B ca ele s nu aib defecte de fabricaie i cu D evenimentul

ca dispozitivul s nu aib defecte de montaj. Se cere P(ABD), cunoscnd ( )P A = 0 05, , ( )P B = 0 08, , ( )P D = 0 04, . Din inegalitatea lui Boole deducem :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]P A B D P A P B P DII + + = =1 1 0 17 0 83, , sau : P(ABD)P(A)+P(B)+P(D)-(3-1)=0,95+0,92+0,96-2=0,83 4) Trei vntori trag simultan asupra unui iepure. Vntorul nr.1 ochete iepurele cu

probabilitatea 0,9, al doilea cu 0,8 i respectiv al treilea cu probabilitatea 0,7. Se

cere probabilitatea ca iepurele s scape dac toi trei vntorii trag simultan asupra

iepurelui.

Soluie : Notm cu Ai (i=1,2,3,) evenimentul ca vntorul i s ocheasc iepurele.

Trebuie s se realizeze evenimentul A A A1 2 3UU . Evenimentele Ai fiind independente, avem P(A1A2A3)=0,9+0,8+0,7-(0,9 0,8+0,90,7+0,80,7)+ 0,90,80,7=0,994 (formula lui Poincar).

Probabilitatea cerut va fi deci : p=1- P(A1A2A3)=0,006. (Sau : ( ) ( ) ( ) ( )p P A A A P A P A P A= = = =1 2 3 1 2 3 0 1 0 2 0 3 0 006II , , , , ) 5) O urn conine 4 bile albe (a1, a2, a3, a4) i dou bile negre (n1, n2). Se extrag

simultan dou bile. Se cere :

1. S se precizeze probele experienei

2. Se consider evenimentele :

A1 obinerea a dou bile negre

A2 obinerea a dou bile albe

A3 obinerea a cel puin unei bile negre


A4 obinerea unei singure bile albe

A5 obinerea unei singure bile negre

A6 obinerea a dou bile verzi

S se precizeze care dintre ele sunt aleatoare, elementare sau compuse ; perechi de

evenimente compatibile i incompatibile ; perechi de evenimente egale ; implicaiile

dintre evenimente.

Soluie :

1. Probele experienei sunt : (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a3), (a2,a4), (a3,a4),

(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2) i (n1,n2). Deci numrul

probelor este C62 6 5

215= = .

2. Evenimentele A1, , A5 sunt aleatoare. Evenimentul A6 este imposibil,

el nu este nici elementar nici compus. A1 este elementar, el realizndu-se printr-o singur

prob (n1,n2). Avem A1={(n1,n2)}. Evenimentele A2, , A5 sunt compuse. Apoi, A4=A5 i

reciproc, deoarece A4 atrage dup sine realizarea lui A5 i reciproc. Aceasta se observ i

din egalitatea mulimilor de probe :

A4={(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2)}

A5={(n1,a1), (n1,a2), (n1,a3), (n1,a4), (n2,a1), (n2,a2), (n2,a3), (n2,a4)}

Avem :

A2={(a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a3), (a2,a4), (a3,a4)}

A3={(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2), (n1,n2)}

Sunt compatibile perechile : (A3,A5), (A1,A3), (A4,A5), (A3,A4)

Sunt incompatibile : (A2,A3), (A1,A2), (A1,A4), (A1,A5), (A2,A4), (A2,A5), (Ai,A6),

i=1,2,3,4,5.

Evenimente contrare sunt : A2 i A3.

Avem implicaiile : A1A3, A4A5, A5A4, A4A3, A5A3, A6Ai, i=1,2,3,4,5. 6) A i B fiind dou evenimente, s se arate c :

P(AB)-P(A)P(B) 1/4 Soluie : Presupunem c P(A)P(B). Deoarece P(AB)P(B), avem : P(AB)-P(A)P(B) P(B)[1-P(A)] P(A)[1-P(A)]1/4 (ultima inegalitate se poate obine, de exemplu, din inegalitatea mediilor).

Notnd P A B x P A B a A B b( ) , ( ) , ( ) ,= = = P I II observm c : a+b+x=P(AB)1 i aP(A), b P A P A = ( ) ( )1 , abP(A)[1-P(A)]1/4


Deci : P(AB)-P(A)P(B)=x-(a+x)(b+x)=x-[ab+x(a+b+x)]x-ab-x=-ab-1/4 7) ntr-un cmp de probabilitate {E,K,P} fie evenimentele A1, ,An astfel nct

P A nin

( ) 11

. S se arate c P Ain

10I

.

Soluie : A E A A P Ain

i

n

i

n

i

n

1 1 1 11I U I U=

=

P;

Dar P A P A P A n P A n nin

i i

n

i

nn

1 1 111 1 1U

= = = ( ) [ ( )] ( ) ( )

Rezult : 0APn

1i

I . 8) Un grup de 2n biei i 2n fete este mprit la ntmplare n dou grupuri egale. S

se gseasc probabilitatea p ca fiecare grup s aib acelai numr de biei i de fete,

apoi s se estimeze p folosind formula lui Stirling

= + mare n pentru ,en2!n n2

1n

.

Soluie : Notm cu F mulimea fetelor i cu B mulimea bieilor. Un eveniment

elementar este o submulime a lui FB care are 2n elemente. Numrul modurilor n care din 4n biei i fete se pot alege 2n este n2n4C . Din toate acestea, evenimente elementare

favorabile sunt acele submulimi ale lui FB pentru care numrul fetelor este egal cu numrul bieilor i este egal cu n.

Dar, din 2n fete se pot alege n n nn2C moduri i tot la fel pentru biei. Deci, n biei

i n fete se pot selecta n ( )C C Cnn nn nn2 2 2 2 = moduri, acesta fiind numrul evenimentelor favorabile. Probabilitatea cerut va fi :

( )p

CC

n!)n!)

n!)n!

n!)n!)(n!)

nn

nn= = =2

2

42

2

4

2 4

4

2 24

24

((

( ((

Aproximnd cu formula lui Stirling, avem :

pn e

n e n en

n n

n n n n

=+

+ +

2 2

2 4 2

22

12

4

8

412 4

12

4

4

( )

( )

9) Sunt date n exploatare 10 aparate de acelai tip, provenind de la 3 fabrici : 3 de la

F1, 5 de la F2 i 2 de la F3. Aparatele sunt supuse unei probe de verificare. Cele de


la F1 trec proba cu probabilitatea 0,95, cele de la F2 cu probabilitatea 0,75 i cele

de la F3 cu probabilitatea 0,80. Se alege la ntmplare un aparat. Care este

probabilitatea ca aparatul s treac proba de verificare ?

Soluie : Notm cu Ai evenimentul aparatul ales provine de la fabrica Fi, i=1,2,3.

Avem : P(A1)=3/10, P(A2)=1/2, P(A3)=1/5. Notnd cu A evenimentul aparatul ales trece

proba de verificare, vom avea : P(A/A1)=0,95, P(A/A2)=0,75, P(A/A3)=0,80.

Aplicnd formula probabilitii totale, obinem :

P A P A P A Ai i( ) ( ) ( / ) , , , , , , ,= = + + = 0 3 0 95 0 5 0 75 0 2 0 8 0 821

3

10) n condiiile problemei 9, se alege la ntmplare un aparat i se constat c el trece

proba de verificare. Care este probabilitatea ca el s provin de la fabrica F1 ?

Soluie : P A AP A P A A

P A P A Ai i( / )

( ) ( / )

( ) ( / ),1

1 1

1

3

310

95100

4150

57164

0 347=

=

= =

11) ntr-o cutie sunt aezate la ntmplare 40 de becuri de 100W, provenind de la trei

fabrici : 15 de la F1, 18 de la F2, 7 de la F3. Care este probabilitatea ca un

cumprtor, care este servit cu 10 becuri alese la ntmplare, s primeasc 5 de la

F1, 3 de la F2 i 2 de la F3 ?

Soluie : Suntem n cazul schemei bilei nerevenite (sau nentoarse) cu 3 culori :

PC C C

C10155

183

72

40103 2 0 0607(5, , ) ,= =

12) Se arunc un zar de 5 ori. Care este probabilitatea de a obine de 3 ori faa cu 6

puncte i cte o dat feele cu 2 i 3 puncte ?

Soluie : Se aplic schema lui Bernoulli cu 6 culori. Experiena se repet n aceleai

condiii i n=5, x1=0, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0, x6=3 ; p1=p2==p6=1/6. Deci :

P50 0 0 3

0 11 0 0 35

0 1 1 0 0 316

16

16

16

16

16

0 0026( , , , , , )!

! ! ! ! ! !,=

=

13) O pies fabricat este considerat corespunznd standardului dac ndeplinete

condiiile A, B, C. Datele statistice arat c : 90% din piese ndeplinesc condiia

A, 87% ndeplinesc condiia B, 92% ndeplinesc condiia C. S se calculeze

probabilitatea ca o pies fabricat s corespund standardului.

Soluie : Este necesar s se realizeze evenimentul S=ABC. Necunoscnd n ce relaii sunt condiiile A, B, C, vom folosi inegalitatea lui Boole pentru n=3 :


P(ABC)P(A)+P(B)+P(C)-2, adic : P(S)0,90+0,87+0,92-2=0,69. Deci : 0,69P(S)1. 14) Trei fabrici F1,F2, F3 trimit acelai produs spre vnzare ntr-un magazin, n

cantiti proporionale cu numerele 4, 1 i 5. Se cunosc proporiile respective ale

produselor cu defecte primite de la fiecare fabric : 2%, 3% i respectiv 1,5%. O

cantitate de produse n valoare de 50.000 lei care a fost vndut este restituit

avnd defecte care o fac de nentrebuinat, iar suma este restituit cumprtorului.

Ce sume trebuie imputate fiecrei fabrici care a trimis marfa dac nu se tie de la

ce fabric provine produsul respectiv ?

Soluie : Sumele imputate fabricilor Fi (i=1,2,3) vor fi proporionale cu probabilitile

pi (i=1,2,3) ca marfa restituit s fie de la fabrica respectiv. Calculm deci aceste

probabiliti, notnd cu Ei evenimentul ca marfa s fie de la Fi i cu X evenimentul ca

marfa s fie defect.

Avem urmtoarele evenimente dependente :

X/Ek - marfa defect aparinnd fabricii Fk, cu probabilitatea P(X/Ek)

Ek/X - marfa care aparine fabricii Fk este defect, cu probabilitatea P(Ek/X)

Aplicnd formula lui Bayes, obinem :

p P E XP E P X E

P E P X Ei i

i i

k ki

= =

( / )( ) ( / )

( ) ( / );

1

3 i = 1,2,3

Avem : P(E1)=4/10=0,4 ; P(E2)=1/10=0,1 ; P(E3)=5/10=0,5, P(X/E1)=2/100=0,02 ;

P(X/E2)=3/100=0,03 ; P(X/E3)=1,5/100=0,015.

Fcnd nlocuirile n formul, obinem :

p1=P(E1/X)=80/185 ; p2=P(E2/X)=30/185 ; p3=P(E3/X)=75/185

Sumele si ce vor fi returnate de fabrici satisfac ecuaiile :

sp

sp

sp

s s sp p p

1

1

2

2

3

3

1 2 3

1 2 3= = = + ++ + adic : 1

50000

18575s

18530s

18580s 321 ===

De aici,

lei216221855000080s1 ==

s lei230 50000

1858108= =


s lei375 50000

18520270= = (rotunjite la numere ntregi).

15) La un concurs de matematic, trei candidai primesc cte un plic care conine n

(n>3) bilete cu probleme de algebr i geometrie. Cele 3 plicuri conin respectiv cte 1, 2, 3 subiecte de algebr. Fiind examinai, cei trei candidai extrag fiecare

cte un bilet din plic. Extragerea fcndu-se la ntmplare, s se afle probabilitatea

urmtoarelor evenimente :

a) Toi candidaii s fie examinai la geometrie

b) Nici un candidat s nu fie examinat la geometrie

c) Cel puin un candidat s fie examinat la algebr

Soluie : Aplicm schema lui Poisson, notnd cu p0,3 probabilitatea cerut la punctul

a) Aceasta este coeficientul lui x0y3 din polinomul :

( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 16 11 18 6 22 183 3 2 2 2n x n n y n x n n y n x n n y n x n x y n n xy+ + + = + + + +[+ ( )( )( ) ]n n n y1 2 3 3

Deci, pn n n

n0 3 31 2 3

,

( )( )( )= .

Probabilitatea cerut la punctul b) va fi pn3 0 316

, = (coeficientul lui x3y0 din dezvoltarea de mai sus). Pentru punctul c) trecem la evenimentul contrar punctului a)

adic :

p pn n

n= = + +1 6 11 60 3

2

3,


Capitolul 3 Variabile aleatoare

3.1. Variabile aleatoare discrete. Definiie i exemple.

Notm cu pi=P(Ai)=P(x=xi) - probabilitatea evenimentului Ai adic a evenimentului

c variabila ntmpltoare (aleatoare) x ia valoarea xi. Fie Sc={A1,A2,,An} un sistem

complet de evenimente.

Definiie : Se numete variabil aleatoare o aplicaie x definit pe Sc cu valori reale

(adic x:ScR). Notm : x x A i ni i= =( ), ,1 . Dac Sc este cel mult numrabil, atunci variabila

aleatoare ataat este discret i anume :

- discret simpl, dac are un numr finit de valori

- discret numrabil, dac are o infinitate numrabil de valori.

Variabila aleatoare discret (v.a.d) se reprezint printr-un tablou de repartiie (sau

distribuie) de forma :

n,1ii

i

n21

n21px :sau x ppp

xxx : x=

LL ,

n care xi sunt valorile variabilei, iar pi sunt probabilitile cu care variabila x ia aceste

valori xi (adic probabilitile evenimentelor din sistemul Sc). De aici, rezult evident c :

p pi in

=0 11

, .

Aceste dou condiii caracterizeaz v.a.d., iar n poate fi un numr finit sau infinit.

Exemple :

1) Considerm experiena aruncrii unei monede. Drept sistem complet de evenimente se consider acela format din evenimentele elementare A (apariia

stemei) i A (faa opus). Se tie c P A P A( ) ( )= = 12

, deci putem defini v.a.d

prin : { }x : A,A R , x(A)=0, x A( ) = 1, iar tabloul de distribuie va fi : x :

0 112

12

2) S se scrie distribuia v.a.d ce reprezint suma punctelor obinute la aruncarea a dou zaruri.


Notm cu A2, A3, A12 evenimentele care arat c la aruncarea celor dou zaruri s-

au obinut puncte a cror sum este 2,3,,12. Acestea formeaz un sistem complet de

evenimente i deci putem defini v.a.d x astfel nct x(Ai)=i, i = 2 12, . Tabloul de repartiie va fi :

x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

3) n exemplul precedent s considerm evenimentele : B1 - suma punctelor obinute s fie cel mult 5

B2 - suma punctelor obinute s fie 6, 7, 8, sau 9

B3 - suma punctelor obinute s fie cel puin 10

Definim v.a.d y:{B1,B2,B3} R prin y(B1)=1, y(B2)=2, y(B3)=3. Tabloul de distribuie va fi deci :

y : 1 2 3

1036

2036

636

3.2. Operaii cu variabile aleatoare discrete

Se consider v.a.d simple, date prin tablourile de distribuie :

x xpi

i i n:

,

=1 i y:

yp

i

i j m

=1, unde : pi=P(x=xi), qj=P(y=yj)

1) Se numete produsul variabilei x cu numrul a, variabila ax al crei tablou de

distribuie este :

ax i n

:,

axp

i

i

=1

2) Se numete puterea de ordinul k a variabilei x, variabila xk al crei tablou de

distribuie este :

xki n

: xp kik

i

+

=1,

, Z

Dac xi0 atunci k poate fi i ntreg negativ. De exemplu :

x

i n

=

1

1

: 1xp

i

i ,


3) Se numete suma variabilelor x i y, variabila x+y cu tabloul de distribuie

[ ]( ) , ( ) ( ),,

x yy

P x x y yji nj n

i i++

= = ==

= :

xp p

i

ijij1

1

I

Se poate arta c pijj

m

i

n

=== 1

11. Dac variabilele sunt independente (adic corespund

unor experiene independente), atunci :

pij=P(x=xi) P(y=yj)=piqj

4) Se numete produsul variabilelor x i y, variabila xy cu tabloul de distribuie :

[ ]xy : y P x x y yji nj n

i i xp pi

ijij

= = ==

=11,,

, ( ) ( )I

Cazuri particulare :

a) Dac constanta c se consider o variabil cu tabloul c1 , atunci suma (c+x) este

v.a.d cu tabloul :

( ),

c xc xi

i n+ +

= : pi 1

b) Dac x 0, vom defini raportul yx

prin yx-1

Observaie : n operaiile cu v.a.d convenim s scriem valorile variabilei n ordine cresctoare i o

singur dat. Dac una din valori apare de dou sau mai multe ori, se va scrie o singur dat, iar

probabilitile acesteia se adun ntre ele.

Exemplu : Dndu-se variabilele independente :

x : - 1 0 20,1 0,5 0,4 i y : 1 3 6

0,5 0,2 0,3

se cer operaiile : 5x, x y x + y, xy, xy

y - 2,92 -1, , ,

Soluie:

5

10 3 0 2 0 5

x : - 10 0 50,4 0,5 0,1 x : 0 1 4

0,5 0,1 0,4 ; y 16

132 -1; :

, , ,

( )x y+ : 0 1 2 3 5 6 80,05 0,25 0,02 0,3 0,11 0,15 0,12


xy : - 6 - 3 - 1 0 2 6 120,03 0,02 0,05 0,5 0,2 0,08 0,12

( , )y 2 9 :

- 1,9 0,1 3,10,5 0,2 0,3

3.3. Variabile aleatoare continue

n practic exist multe experiene aleatoare care au un cmp de evenimente

nenumrabil i implicit sistemul de evenimente aleatoare este nenumrabil. Acest fapt

impune considerarea unei variabile aleatoare ale crei valori acoper o mulime continu

de numere reale (un interval nchis [a,b]). Astfel de experiene sunt de exemplu :

msurarea masei, a forei, a lungimii, a timpului, etc. n asemenea cazuri este practic

imposibil de a asocia evenimentelor corespunztoare fiecrui rezultat cte o probabilitate

nenul, deoarece numrul cazurilor posibile este infinit. Dac unei asemenea experiene i

se ataeaz variabila aleatoare x, atunci x [a,b]. Deoarece P(x=x0)=0, vom recurge la a caracteriza nu probabilitatea ca variabila x s

ia valoarea fix x0, ci ca valorile lui x s parcurg un interval orict de mic, de lungime

dx.

Dac dP(x0)=P(x [x0,x0+dx]) este firesc s presupunem c aceast probabilitate este proporional cu lungimea dx a intervalului, iar dac factorul de proporionalitate l notm

cu f(x0), atunci dP(x0)=f(x0)dx.

Constatm astfel c se poate defini o funcie f:[a,b] R care atribuie fiecrei valori

x0[a,b], factorul de proporionalitate f(x0) corespunztor probabilitii ca variabila x s ia valori n [x0, x0+dx].

Funcia f definit astfel, se numete funcie densitate de probabilitate (sau de

repartiie) (analog cu densitatea unei baze liniare) i verific proprietile :

1) f(x)0, ()x [a,b]

2) f x dxa

b

( ) = 1 (realizarea evenimentului sigur) (Proprietile sunt valabile i n cazul a=-, b=+). Prin analogie cu cazul discret, atribuim v.a. continue, x, urmtorul tablou de

distribuie (repartiie) :


x :x a b

xf(x) [ , ]

Deci, orice tablou de aceast form, n care f(x) verific proprietile 1) i 2) de mai

sus, reprezint tabloul de distribuie al unei v.a. continue.

Exemplu :

a) Tabloul x :x

x3x2

[ , ]0 1 reprezint o v.a. continu, deoarece : f(x)=3x

20,

()x[0,1] i 3 120

1

x dx = . b) Tabloul x :

x e xlnx [ , ]1 reprezint de asemenea o v.a. continu, pentru c lnx0,

()x[1,e] i lnxdxe

= 11

.

3.4. Funcia de repartiie

Definiie : Fie x o variabil aleatoare (discret sau continu) avnd tabloul de

distribuie :

xp

i

i i n

=1, respectiv

xf x

x a b( )

[ , ]

Se numete funcie de repartiie corespunztoare v.a. x, funcia F:R[0,1] definit prin F(x0)=P(x


Pentru P3 observm c evenimentul x


x0 -1 F(x)=P(x


3.4.2.Funcia de repartiie pentru variabila continu

Fie x : xf(x) x a b[ , ] o v.a. continu. S scriem proprietatea P3 cnd =x0+x, =x0 :

F(x0+x)-F(x0)=P(x0xx,1

)egrareint de iabilavaru(bxa,du)u(f

ax,0

)x(Fx

a

,

i va avea graficul de forma prezentat n fig.3.3.

Fig.3.3

Observaii :

1

b a

F(x)

x


3.. Deoarece F(x0)=f(x0) 0, F(x) este nedescresctoare 3.. Deoarece F(x)=0 pt. xa i F(x)=1 pt. x>b, vom considera pentru F(x) exprimarea :

F x f x dxa

x

( ) ( ) ,= x [a,b] 3.. F(x) este o funcie continu

Exemple :

1) S se determine funcia de repartiie pentru v.a. continu x : x3x2 x [ , ]0 1 , s se

reprezinte grafic i s se calculeze P x12

34

1 , deoarece P(x) = P(E) = 1

3 2

0

x

Graficul este prezentat n fig.3.4.

Fig.3.4

6419dxx3

21F

43F

43x

21P

43

21

2 ==

=


2) S se determine constantele reale a, b, c astfel ca funcia F(x) de mai jos s fie o funcie de repartiie.

F x

a b xx

x

c x x

a b xx

x

( )

( ),

sin ,

( ),

=

+

< +

23

0

02

2 11

2

2

>2

Soluie :

F F x a b F x a bx

( ) lim ( ) ( ) = = = = + = 2 0 2 1 ; F( ) = limx Din sistemul : a-2b=0, a+b=3 rezult a=2 i b=1, iar din condiia ca F(x) s fie

continu l l F l Fs d s d( ) ( ) ( )0 0 0 2 2 2= =

=

=

i l

se obine c=1.

3.5. Funcia de repartiie bidimensional

O variabil aleatoare X:ER2R, X=(X1,X2), unde X1 i X2 sunt variabile aleatoare reale, se numete vector aleator bidimensional sau variabil aleatoare bidimensional.

Definiie : Funcia F(x1,x2)=P(X1


21

2

21 ),( xxFxxf

= ; dac f(x1,x2) exist i este continu, atunci :

=1 2

212121 ),(),(x x

duduuufxxF i 1),(1 2

2121 =

x x

duduuuf

Dac v.a. X1, X2 sunt independente i au densitile de repartiie f1(x1), f2(x2) atunci :

f(x1,x2)=f1(x1) f2(x2). Not : n mod absolut identic, cele de mai sus se pot generaliza pentru o variabil aleatoare n-

dimensional X=(X1,,Xn)Rn i astfel se definete funcia de repartiie multidimensional .

3.6. Grafice pentru variabile aleatoare

n studiul unei v.a. sunt utile reprezentrile grafice ale funciilor densitate de

probabilitate ataate v.a.

3.6.1.Pentru v.a. discret

Avem n,1ii

ipx :x

=

unde pI=f(xI) 0 i ==n1

n

1ii 1)x(fp .

n planul xOy se determin punctele Mi(xi,pi) prin unirea crora se pot trasa curbe

(grafice). Una din aceste curbe se obine unind punctele prin segmente de dreapt. Se

obine curba de distribuie a variabilei X. (fig,.3.5)

Fig. 3.5

f(x)

pi Mi

Mn

M2

M1

x1 x2 xi xn O x


n practic se folosete i un alt mod de a reprezenta grafic valorile variabilei

aleatoare X. Se consider valorile echidistante i se ia drept unitate de lungime xi-xi-1=1.

n acest caz, ordonata pi=f(xi) are ca msur acelai numr care exprim i aria

dreptunghiului de baz xi-xi-1=1 i nlime pi. De regul se consider dreptunghiuri astfel

nct xi s fie la mijlocul bazei (fig. 3.6). O astfel de reprezentare grafic este numit

histograma variabilei aleatoare. Unind mijloacele laturilor superioare ale

dreptunghiurilor din histogram, se obine curba de distribuie. Aria histogramei este

egal cu 1.

Fig. 3.6

3.6.2.Pentru v.a. continu,

]b,a[x)x(fx:X

, unde f(x)0 (funcia densitate) i =ba

1dx)x(f .

Graficul reprezentat n acelai plan xOy va fi o curb continu, ce se obine prin

metoda cunoscut din analiza matematic. Ea se va numi curba de distribuie a v.a.

continue (fig.3.7)

f(x)

Mi

Mn

M2

M1

x1 x2 xi xn O x


Fig. 3.7


1) S se determine constantele a i b astfel nct funcia :

F(x)=a+b arctg x, xR S fie o funcie de repartiie. Dac X este o variabil cu aceast repartiie s se

calculeze P(0


B consumul normal este depit i q=1-p=P(B)=0,2

Cele 5 zile lucrtoare consecutive reprezint 5 probe efectuate dup schema lui

Bernoulli, deci probabilitatea ca din 5 probe un numr de x s fie cu consum normal este

dat de relaia :

5,0x;)2,0()8,0(C)x(P x5xx55 == Deci :

p0=P5(0)=(0,2)5 0,0003

p1=P5(1)=50,8(0,2)4 0,0064 p2=P5(2)=10(0,8)2(0,2)3 0,0512 p3=P5(3)=10(0,8)3(0,2)2 0,2048 p4=P5(4)=5(0,8)4(0,2) 0,4096 p5=P5(5)=(0,8)5 0,3277

Tabloul de distribuie al variabilei aleatoare discrete X va fi :

3277,04096,2048,00512,00064,00003,0543210:X

b) Funcia de repartiie pentru aceast variabil discret va fi :

>=

=

3x,1

]3,0(x21)x(F],3,0(x,

21

0x,0

)x(F

Deci, Me este orice valoare din (0,3] i vom lua 5,12

30M e =+=

2) V.a.d.

3,05,02,0

421:X

are funcia de repartiie :

>

=4x,1

]4,2(x,7,021)x(F];2,1(x,2,0

1x,0

)x(F

Deoarece F(x)=1/2 este imposibil, variabila nu admite Me. Conform definiiei, se va

lua Me=2.

3) V.a. continu X :[ ]1,0x

2x3x

, are funcia de repartiie :

>=

=

1x,121)x(F],1,0(x,x

0x,0

)x(F 3

Rezult ecuaia x3=1/2 care are soluia unic : x=2-1/3.

4.1.3.Cuantile.

Valoarea median poate furniza n unele situaii, indicaii mai bune despre repartiia

unei variabile aleatoare dect valoarea medie. Este firesc deci, s extindem noiunea de

median n vederea obinerii unei posibiliti mai mari n studiul funciilor de repartiie.

Astfel, generaliznd noiunea de median prin considerarea soluiilor ecuaiilor

1n,1i,ni)x(F == , se obin aa numitele valori cuantile de ordinul n :

- O cuantil de ordinul 2 (mediana), cnd n=2.


- Dou cuantile de ordinul 3, cnd n=3.

- Trei cuantile de ordinul 4 (cuartile), cnd n=4.

- Nou cuantile de ordinul 10 (decile), cnd n=10.

- Nouzeci i nou cuantile de ordinul 100 (centile sau procentile), cnd n=100. Pentru v.a. continu, valorile xi, i=1,n-1 pentru care :

n1)x(dF)x(dF)x(dF

1n

2

1

1

x

x

x

x

====

K (4.7)

se numesc cuantile. n particular, pentru n=4, avem :

41)x(dF)x(dF)x(dF)x(dF

3

3

2

2

1

1

x

x

x

x

x

x

====

; x1, x2, x3 sunt cuartile.

Astfel :

F(x1)1/4 i F(x1+0)1/4 F(x2)1/4+F(x1)1/2 i F(x2+0)1/2 F(x3)1/4+F(x2)3/4 i F(x3+0)3/4

Observm c a doua cuantil x2 coincide cu mediana.

Raportat la valoarea medianei, cuartilele x1 i x3 se numesc cuantila inferioar

(mic) respectiv cuantila superioar (mare).

4.1.4.Valoarea modal (moda)

Fiind notat cu Mo este valoarea cea mai probabil a variabilei aleatoare (n cazul discret)

i respectiv abscisa punctului de maxim al funciei densitate de repartiie, f(x) (n cazul

continuu).

Dac f(x) are mai multe puncte de maxim atunci v.a. X se numete plurimodal.

Pentru repartiiile simetrice unimodale, valoarea medie M(X) coincide cu moda Mo. Deci

:

n cazul discret, Mo este valoarea pe care X o ia cu cea mai mare probabilitate, iar n

cazul continuu este numrul (abscisa) n care f(x) are valoarea maxim. n cazul v.a.d. Mo

poate s nu fie unic.


n fig. 4.1 se poate vedea moda n cazul v.a. discrete, iar n fig. 4.2 n cazul v.a.

continue.

Fig. 4.1 Fig. 4.2

Exemple :

1) Pentru v.a.d. cu tabloul de distribuie

2,07,01,0

831:X , avem M0=3 pentru c

p2=0,7 este valoarea cea mai mare.

2) Pentru v.a.d. dat de

3.01.01.03.02.0

54101 , avem dou valori modale: 0 i 5.

3) Pentru v.a. continu [ ]1,0x

2x3x

, avem M0=1, deoarece :

[ ][ ] 3x3)x(fmax 1x2

1,0x== = (abscisa punctului de maxim este 1).

4.1.5.Momente i medii de ordin superior.

Fie X o v.a. discret sau continu. Se numete moment de ordin r , numrul Mr (r N)

definit astfel :

==b

a

r

n

1i

ri

rr

continuu cazuln ,dx)x(fx

discret cazuln ,px)X(MM

(4.8)

Se presupune c exist valoarea medie a v.a. Xr. Evident M1(x)=M(X).

Se numete medie de ordinul r a v.a. X, numrul r dat de :

P(X=xi)

x MoO

f(x)

x MoO


[ ]

==

continuu cazuln ,dx)x(fx

discret cazuln ,px)X(M)X(

r

b

a

r

rn

1i

ri

r1

rr

(4.9)

Valoarea medie a variabilei rX se numete momentul absolut de ordinul r al

variabilei X :

( ) ( ) irn1

ir

r pxXMXM == (4.10) Exemple :

1) Pentru v.a.d. cu tabloul de distribuie

2,07,01,0

831:X , avem :

M1= -1 0,1 + 3 0,7 + 8 0,2 = 3,6 ; 1=3,6

M2= (-1)2 0,1 + (3)2 0,7 + (8)2 0,2 = 19,2 ; 2 = 4,3818

M3= (-1)3 0,1 + (3)3 0,7 + (8)3 0,2 = 121,2 ; 3 = 4,9488 etc.

2) Pentru v.a. continu [ ]1,0x

2x3x

, avem :

M1= M(X)=3/4, 1=3/4

,53dxx3xM 2

1

0

22 == 2=0,7746

,21dxx3xM 2

1

0

33 == 3=2-1/3

..

,3n

3dxx3xM 21

0

nn +== n = n 3n 3+

4.2.Caracteristici de mprtiere.

Deoarece caracteristicile de grupare nu pot oferi nici o indicaie asupra mprtierii

(concentrrii) valorilor variabilei fa de valoarea de grupare, sunt necesare caracteristici

numerice care s respecte gradul de mprtiere a valorilor variabilei ntre ele i a acestora

fa de valoarea medie.


4.2.1.Variabila abatere. Abaterea absolut medie.

Fie v.a.d. X cu media M(X)=m. Se numete variabil abatere a variabilei X fa de r

variabila (X-r).

De regul se consider abaterea fa de valoarea medie m, adic X-M(X)=X-m.

Teorem : Valoarea medie a variabilei abatere este nul.

Demonstraia este imediat : M(X-m)=M(X)-m=m-m=0 ( vezi propoziiile 3 i 4 ale

valorii medii).

Se numete abatere absolut medie , numrul M( X-m ) dat de expresia :

=

=b

a

n

1iii

cotinuu cazuln ,dx)x(fmx

discret cazuln ,pmx)mX(M

(4.11)

Se constat c M( X-m ) 0 dac X constant i acest numr se poate considera

ca i caracteristic de mprtiere a v.a. fa de medie (m).

Exemple :

1) Pentru v.a.d.

2,07,01,0

831:X , cu variabila abatere (X-3,6) dat de tabloul :

2,07,01,04,46,06,4:)6.3X( .

Se verific direct c M(X-3,6) = M(X)-3,6=0 (media a fost calculat n exemplul

precedent fiind egal cu 3,6).

2) Pentru v.a. dat mai sus, considerm :

1.02.07.0 6.44.46.0:6.3X Avem : M( X-3,6 )= 0,42+0,88+0,46=1,76

3) S se scrie variabila abatere i s se calculeze abaterea absolut medie a v.a.

continue [ ]1,0x

2x3x

.

A fost calculat anterior media M(X)=m=3/4. Variabila abatere este :


[ ]1,0x2x3

4/3x:)43X(

Observm c M(X-3/4)=0 iar abaterea absolut medie va fi :

dxx34/3x43XM

1

0

2 =


1. D(0) = 0 , D(c) = 0, c-constant

2. D(X) 0 , X

3. D(X Y) = D(X) +D(Y) dac X i Y sunt independente

4. D(cX) = c2D(X) (c-constant)

5. D(c+X) = D(X)

Demonstraiile fiind simple, rmn la discreia cititorului, pentru o mai bun fixare a

cunotinelor. Totodat, reinem :

a. Dac i sunt constante iar Y=X+ , atunci : D(Y)= 2D(X)

b. Dac i (i=1,n) sunt constante iar Xi (i=1,n), v.a.d. independente dou cte dou,

atunci : D( 1X1+ + nXn) =( 1)2 D(X1) + + ( n )2 D(Xn)

Sau : ( ) =

n

1i

2ii

n

1i XDXD

Prin definiie, rdcina ptrat a dispersiei se numete abatere medie ptratic ().

Deci, =)X(D i D(X) = 2. Abaterea are aceeai dimensiune (unitate de msur) ca i variabila aleatoare.

Exemple :

1) Pentru v.a. continu X : [ ]1,0x

2x3x

Avem M2=3/5 i m=3/4 iar m2=9/16. Rezult D(X)= M2-m2 = 3/80 = 0,0375 i

19365,00375,0 =

2) S se calculeze dispersia v.a.d. avnd tabloul de distribuie :

2,07,01,0

831:X

Cunoatem c m=3,6 i

2,07,01,04,46,06,4:)6.3X( , deci :

2,07,01,036,1936,016,21:)6.3X( 2

Rezult : D(X) = M[(X-3,6)2] = 21,16 0,1 + 0,36 0,7 + 19,36 0,2 = 6,24

(Sau calculm : M2(X)=M(X2)=19,2 i apoi D(X)= M2-m2=19,2-12,96=6,24)

4.2.3.Momente centrate (medii centrate). Covariana.

Se numete moment centrat sau medie centrat de ordinul r numrul r, egal cu

momentul de ordinul r al variabilei abatere :


( ) ( )[ ]rrr mXMmXM == (4.15) Deci :

=

=

continuu cazuln ,dx)x(f)mx(

discret cazul n,p)mx()X( b

a

r

n

1ii

ri

r

(4.16)

ntre momentele centrate i cele necentrate au loc relaiile :

mM,kr,MMC)1( 1k1kr

kr

r

0k

kr =>=

= (4.17)

care se obin din (x-m)r folosind binomul lui Newton i proprietile mediei. n

particular : 312133210 M2MM2M),X(D,0,1 +==== (4.18)

Definiie : Se numete covariana variabilelor X i Y, numrul :

( )( )[ ])Y(MY)X(MXM)Y,Xcov( = (4.19) ce reprezint momentul centrat mixt al celor dou variabile aleatoare.

Se pot demonstra uor relaiile utile : ( ) )Y(M)X(MXYM)Y,Xcov( = (4.20)

D(X Y) = D(X) + D(Y) 2cov(X;Y) ; X;Y (4.21)

cov (X;Y) = 0 dac X,Y sunt independente (4.22)

4.2.4.Normata unei variabile aleatoare.

Fie X o v.a. cu media M(X)=m i abaterea medie ptratic = D(X). Se numete

normata v.a. X, variabila = mXZ , avnd proprietile : M(Z) = 0, D(Z) = 1.

ntr-adevr : 0)mm(1)m)X(M(1)mX(M1)Z(M ====

1)X(D)X(D0)X(D1)mX(D1)Z(D 22 ====

Exemplu : S se determine normata v.a.d a crei tablou de distribuie este :


2,07,01,0

831:X

Avem calculate : M(X)=m=3,6 , 24,6mM)X(D 22 ===

Deci : 24,6

6,3xz = , avnd tabloul de distribuie :

2,07,01,024,64,4

24,66,0

24,66,4

:Z

Prin calcul deducem c M(z)=0 i D(z)=1.

4.3.Caracteristici care dau informaii privind forma distribuiei

Se consider dou caracteristici numerice care dau informaii asupra curbei pe care

sunt situate punctele (xi, pi) , i=1,n , n cazul discret, respectiv (x, f(x)), x [a, b] n cazul

continuu.

1) Simetria i asimetria . O curb plan de ecuaie y=f(x) este simetric fa de o

valoare m dac f(m-x) = f(m+x), adic punctele curbei, simetrice fa de

dreapta x=m, au ordonatele egale. n caz contrar, curba este asimetric.

Asimetria se msoar prin coeficienii de asimetrie i anume :

- coeficientul lui Pearson :

== 001 Mm)X(D

)X(M)X(M

(4.23)

- coeficientul lui Fischer :

( )[ ]( ) 3333

2)X(D

)X(MXM== (4.24)

2) Boltirea (turtirea) este caracterizat de coeficientul de boltire sau aplatizare

(coeficientul lui Fischer):

( )( )[ ]

( ) 4424

XDXMXM

== (4.25)

Numim excesul distribuiei :


3E = (4.26)

Dac E 3 ( 3) distribuia se numete de tip leptokurtic iar dac E 3 ( 3)

distribuia este de tip platykurtic.

De exemplu, pentru distribuia normal (aa cum se va vedea ulterior) avem =3 i

E=0 iar pentru distribuia binomial (Bernoulli) se obine = 3 + (1-6pq)/ npq i

observm c dac n (E 0), adic distribuia binomial tinde ctre o distribuie

normal cnd excesul ei tinde la zero, respectiv n. (La fel, 20 cnd n i pentru o distribuie normal 2=0).

4.4.Corelaie i regresie

Fie { ,K,P} un cmp borelian de probabilitate i X,Y dou v.a. definite pe acest

cmp. Notm M(X)=m1 i M(Y)=m2.

Se numete corelaie sau covarian a variabilelor X i Y, valoarea

)]mY)(mX[(M)Y,Xcov( 21 = (4.27) Se verific uor c : Cov(aX,bY)=a b cov(X,Y), a i b constante

Cov(X,Y)=cov(Y,X)

Se numete coeficient de corelaie raportul (notat cu sau r) :

)Y(D)X(D)Y,Xcov()Y,X( =

(4.28)

Evident : (X,Y)= (Y,X)

Dac v.a. sunt discrete i pij=P(X=xi, Y=yj), i,jN, atunci din (4.27) i din (4.28) rezult :

)Y(D)X(D

p)my)(mx()Y,X( 1i 1j

ij2j1i

=

=

=

(4.29)

Dac v.a. X i Y sunt continue i au densitatea de repartiie bidimensional f(x,y)

atunci deducem formula :


= dxdy)y,x(f)my)(mx(

)Y(D)X(D1)Y,X( 21

(4.30)

Coeficientul de corelaie dat de (4.28) se poate scrie i sub forma :

)Y(D)X(D)Y(M)X(M)XY(M)Y,X( = , (4.31)

avnd n vedere c cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y).

4.4.1.Proprietile coeficientului de corelaie :

a) Dac X, Y sunt v.a. independente atunci (X,Y)=0. Reciproca nu este adevrat.

(Se aplic : M(XY)=M(X)M(Y)).

V.a. X i Y sunt necorelate dac M2(X) i M2(Y) sunt finite i M(XY)=M(X)M(Y).

Dac n plus M(XY)=0, atunci v.a. X i Y se numesc ortogonale.

b) Pentru X i Y ale cror valori medii exist, avem :

2(X,Y)1 (4.32) Relaia se deduce aplicnd inegalitatea lui Schwarz :

( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] )Y(D)X(DmYMmXMmYmXM 222121 = (4.33) Apoi, din (4.27), (4.28) i (4.33) rezult (4.32).

De asemenea, observm c :

( )[ ]1

)X(DmXM

)X,X(2

1 == (4.34)

( )[ ]1

)X(DmXM

)X,X(2

1 == (4.35)

c) ntre v.a. X i Y exist o relaie liniar dac i numai dac 2(X,Y)=1.

Pentru demonstraie, s presupunem c ntre v.a. X i Y exist o relaie liniar de

forma Y=aX+b ; a0, b constante. Avem : m2=am1+b i n baza formulei (4.28) i a relaiei (4.27) obinem :

( )( )[ ] ( )[ ])X(Da

mXaM)baX(D)X(D

bambaXmXM)Y,X(

2111 =+

+= , adic :

>=


)X(DmX

u 1= i

)Y(DmY

v 2= ,

observm c :

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ])Y(D)X(D

)uv(M2)Y(D

mYM)X(D

mXMvuM

22

212 +=

1)Y,X()uv(M m== , adic : ( )[ ] ( ) 0122vuM 2 == m i u v=0 aproape peste tot n . nlocuind u i v

aici, deducem :

X)X(D)Y(D

)X(D)Y(Dm

)Y(MY 1 m= ,

care arat c ntre Y i X exist o relaie liniar.

4.4.2.Funcia de regresie

Considerm un vector aleator n-dimensional X=(X1,X2,,Xn) i funcia de repartiie

condiionat a v.a. Xn de variabilele X1,,Xn-1 : F(xn x1,,xn-1).

Se numete funcie de regresie a v.a. Xn fa de v.a. X1,,Xn-1, valoarea medie

M(Xn X1,,Xn-1), considerat ca funcie de X1,,Xn-1.

Reinem c dac X este v.a.d. care ia valorile xi (i I) cu probabilitile pi=P(X=xi),

A este un eveniment cu P(A) 0, iar seria

=Ii

ii )AxX(Px este absolut convergent,

atunci :

==

Iiii )AxX(Px)AX(M (4.36)

se numete valoare medie condiionat a variabilei X de evenimentul A.

Se demonstreaz c dac {An}n

N este un sistem complet de evenimente, iar X este o

v.a.d. a crei valoarea medie exist, atunci :

=

=1n

nn )AX(M)A(P)X(M (4.37)


n particular, dac valoarea medie condiionat ce definete funcia de regresie este

de forma :

M(Xn X1,,Xn-1)=a0+a1X1++an-1Xn-1, (4.38)

atunci regresia este liniar, iar coeficienii a1, , an-1 se numesc coeficieni de regresie

(modelul regresiei multiple).

S considerm un vector aleator bidimensional : X=(X1,X2). Au loc proprietile

(valabile i pentru vectori n-dimensionali) :

1) Dac X1 sau X2 sunt constante, atunci :

( ) ( ) 0X,XX,Xcov 2121 == (4.39) 2) Dac funcia de regresie a v.a. X2 fa X1 este liniar, adic M(X2/X1) = a0 + a1X1

(modelul regresiei simple), atunci :

)X(D)X,Xcov(

)X(D)XX(D

)X,X(a1

21

1

21

1

2211 ==

= (4.40)

)X(M)X(D

)XX(D)X(M)X(Ma)X(Ma 1

1

2121120 ==

(4.41)

De aici, rezult c dac :

M(X2 X1)=a0+a1X1 i M(X1 X2)=b0+b1X2,

atunci :

)]X(MX[)X,X()X(M)XX(M 111

221212

= (4.42)

)]X(MX[)X,X()X(M)XX(M 222

121121

= (4.43)

1 i 2 fiind )X(D 1 i respectiv )X(D 2 (abaterile medii ptratice).

Dreptele (4.42) i (4.43) se intersecteaz n punctul de coordonate (M(X1),M(X2)).

Independent de tipul regresiei, dreptele :

)]X(My[)X,X()X(My 11

2212

= (4.44)

)]X(My[)X,X()X(Mx 22

1211

= , (4.45)


se numesc drepte de regresie, iar coeficienii 1

2

i

2

1

se numesc coeficieni de

regresie liniar. Ecuaia (4.44) reprezint dreapta de regresie a lui X2 fa de X1, iar

ecuaia (4.45) reprezint dreapta de regresie a lui X1 fa de X2. n sens geometric, a1 este

panta dreptei de regresie (sau de estimare), n uniti ale abaterii standard. n calculul

corelaiei, coeficientul a1 arat cu ct se modific variabila X2 cnd X1 se modific cu o

unitate, adic rspunde tocmai la problema regresiei.

n cazul corelaiei directe, a1>0 iar n cazul corelaiei inverse a1


( ) 1)( ,1)X(MXP > . Soluie :

)]m(F1[mdx)x(fmdx)x(xfdx)x(xfdx)x(xfdx)x(xf)X(Mmmmm

m

00

=+===

De aici,

=

x,1

],0(x,2xsin

0x,0

)x(F 2


c) 4

32udusin21

6X0P

6

0

==

i 1edxe212dx)x(f 0

x

0

x ===

Funcia f(x) dat este densitatea de repartiie Laplace, deci X este o v.a. Laplace

(fig.4.4). Pe grafic se observ c pentru x=0 obinem valoarea cea mai probabil (funcia

modal sau dominanta) : M0(X)=1/2

x 2 x 0

F(x)

0 6

2

21

f(x)

21

f(x)

x

0


Fig. 4.4

Pentru calculul dispersiei aplicm formula : D(X)=M2(X)-M12(X)

0dxxe21dx)x(xf)X(M x1 ====

L

2dxexdxex21dx)x(fx)X(M

0

x2x222 =====

L

Deci : D(X)=2.

4) Fie {E,K,P} un cmp de probabilitate cu ( )A,AE = (modeleaz o experien Bernoulli) i P(A)=p (0,1). Se repet experiena de o infinitate de ori i i se

asociaz v.a. X ce reprezint numrul de eecuri obinute pn la producerea

evenimentului A. S se scrie distribuia v.a. A i s se afle M(X) i D(X).

Soluie : Avem o repartiie geometric. Valorile lui X sunt : 0,1, k, Cnd X ia

valoarea k nseamn c s-a produs de k ori contrariul lui A i n final evenimentul A,

adic :

p1q ; pq)AAA(P)kX(P k ==== IIKI Tabloul de repartiie al lui X va fi deci :

LLLL

kpqpqpk10:X

Avem 1q1

1pqppq0k

k

0k

k ===

=

= (s-a folosit suma progresiei geometrice conver-

gente, cu raia q


5) Dac X este v.a. din problema precedent, s se demonstreze :

P(X k+j/X k) = P(X j) , j,k N

Soluie : Notm cu A evenimentul X k+j i cu B evenimentul X k. Rezult :

)k(F1)jk(F1

)kX(P1)jkX(P1

)kX(P)jkX(P

)kX(P)]jkX()kX[(P

)B(P)BA(P)B/A(P

+=


Capitolul 5 Funcie caracteristic i funcie generatoare

5.1. Definiia funciei caracteristice. Proprieti.

Fie X i Y dou v.a. reale. Variabila Z=X+iY ( )1i = se numete v.a. complex. Prin analogie cu numerele complexe, variabilei Z i putem ataa biunivoc punctul aleator

(X,Y) imaginea lui.

Prin definiie M(Z)=M(X)+iM(Y).

Expresia :

Rt,tXsinitXcoseitX += (5.1) este o v.a. complex avnd modulul egal cu unitatea :

1tXsintXcose 22itX =+= , deci eitX este mrginit. Valoarea mediei a acestei v.a. exist i este unic determinat de funcia de repartiie F(X).

Prin definiie, valoarea medie a v.a. eitX se numete funcie caracteristic a v.a. X,

adic :

( )

==

continuu cazuln ,dx)x(fe

discret cazuln ,ep

eM)t(itx

Ik

itxk

itX

k

(5.2)

Reinem c fiecrei v.a. i corespunde o funcie de repartiie F i o funcie

caracteristic , care este continu n raport cu t R i ia valori complexe. Funcia (t)

este un instrument de studiu al v.a. mai uor de folosit dect funcia de repartiie.

Proprieti (fr demonstraie) :

1) (0)=1 ; (t) 1, ( ) t R

2) (t) este uniform continu pe R

3) )t()t( = (conjugata) 4) Dac Y=aX+b ; a,b R atunci : )at(e)t( X

itbY =


5) Dac X i Y sunt independente, atunci :

X+Y(t)= X(t) Y(t) Proprietatea de mai sus se poate generaliza pentru n variabile

6) Dac X admite M( X n) ; n>0, atunci :

= )x(dFexi)t( itxnn)n( i n)n(

nn i

)0()X(M)X(M ==

unde (n) nseamn derivata de ordinul n a lui .

7) Dac ( )n N, ( )M( X n), atunci (t) se poate dezvolta n serie de puteri

:

)X(M!k)it()t( k

0k

k=

=

8) Dac (t) este real, atunci : 1- (2t) 4[1- (t)], ( )t R (teorema lui

Raikov)

9) ( )t, h R are loc relaia :

(t)- (t+h) 2 2 (0)[ (0)-Re (h)]

unde Re (h) este partea real a lui (h).

Observaie :

Odat cu (t) se poate considera i ln (t)= (t) care se numete a doua funcie caracteristic.

5.2. Funcie generatoare

Fie v.a.d. X cu tabloul de repartiie n,1ii

ipx:X

=

Se numete funcie generatoare ataat v.a. X, valoarea medie a variabilei etX, adic :

( ) =

==n

1i

txi

tX iepeM)t(g (5.3)

Dac X este v.a. continu cu tabloul ]b,a[x)x(f

x:X

, atunci :

= ba

tx dx)x(fe)t(g (5.4)

Avem :


=

=b

a

txk

n

1i

txi

ki

)k(

continuu cazuln ,dx)x(fex

discret cazuln ,epx)t(g

i

,

(5.5)

Iar pentru t=0 : g(k)(0)=Mk(X)=M(Xk), deci funcia generatoare se poate utiliza n

calculul momentelor de diferite ordine, prin derivare n t=0.

Exemple : Fie X o v.a.d. urmnd o lege binomial de distribuie :

n,0kknkk

n qpCk:X

=

Avem : ( ) ( ) ( )ntn0k

knktkn

n

0k

knkkn

tktX qpeqpeCqpCeeM)t(g +==== =

=

Apoi :

g(t)=npet(pet+q)n-1 ; g(0)=np=M1(X)=M(X)

g(t)=np[et(pet+q)n-1+(n-1)pe2t(pet+q)n-2] i g(0)=np(np+q)=M2(X)=M(X2) etc.

5.3. Teorema de inversiune i teorema de unicitate

Fie v.a. X cu funcia de repartiie F(x) i funcia caracteristic (t).

Teorema 1 : Dac F(X) este continu n x1 i x2 atunci :

dt)t(it

eelim21)x(F)x(F

21 itxitx

21 =

(5.6)

Aceast formul se numete de inversiune deoarece permite determinarea funciei de

repartiie cnd se cunoate funcia caracteristic.

Exemplu : Se cere F(x) pentru v.a. X, tiind c .e)t( 2t 2= Avem :

dtettxsin1dte

ttxsin

21dte

ittxcos1

21

dteit

txsinitxcos121dte

ite1

21)0(F)x(F

2t

0

2t

2t

2t

2titx

222

22

++

+

+

+

=+

=+=

=

(Prima integral este nul pentru c funcia de integrat este impar pe un interval

simetric iar pentru a doua integral observm c funcia de integrat este par).

Apoi avem :

,dtetxcos1)x(F0

2t 2

= (5.7)


Pe care o integrm prin pri

== txcosg,ef 2

t 2

Rezult : x

txsing,te'f 2t 2

== .

Deci : dtetxsintx

1ex

txsin1)x('F 2t

00

2t 22 +=

Primul termen tinde la zero, astfel nct :

dtetxsintx

1)x('F 2t

0

2 =

(5.8)

Derivnd (5.7) i innd seama de (5.8) obinem :

)x('xFdtetxsint1)x(''F 2t

0

2

==

De unde : x'F''F = sau Cln

2x)x('Fln

2

+= (prin integrare)

De aici,

2t 2

eC)x('F= i 1

x2t

CdteC)x(F2

+=

0C0)x(Flim 1x == i === 21C,12C1)x(Flim

x

n fine, dte21)x(F

x2t 2

=

Teorema 2 (de unicitate) : Funcia caracteristic determin n mod unic funcia de

repartiie F.

Demonstrarea celor dou teoreme este cuprins n crile de specialitate din

bibliografia prezentei lucrri.


1) S se calculeze funcia caracteristic (t), a repartiiei Cauchy care are densitatea

de repartiie :

Rx,)x1(

1)x(f 2 +=

Soluie :

Avnd o repartiie continu, obinem :


+

= 2itx x1dxe1)t( ,

care se calculeaz printr-o metod din teoria funciilor complexe, utiliznd funcia

complex 2itz

z1e)z(H += pe care o vom integra, pentru t>0, pe conturul () din fig.5.1,

unde R>1 astfel ca punctul (0,1) asociat lui i s intre n domeniu.

Utiliznd reziduul lui H, avem :

=)(

dz)z(Hi2

1HRez

Fig.5.1

Deci :

+++= R

R )(2

itz2

itx

z1dze

x1dxe

i21HRez

Dar : 0R1RR

R1

e

z1dze 22

itz

2itz +

++ cnd R . Trecnd la limit pentru R obinem n prima integral :

,i2

e)iz)(iz(

e)iz(limx1

dxetitz

iz2itx

=+

=+ deci : RezH2 i e-t i

0t,ex1

dxe1)t( t2itx >=+=

Pentru t0i

(!


Soluie :

Avem = n1

kXn1Y i notm cu n,1k,k = , respectiv funciile caracteristice ale

variabilelor Xk respectiv Y. Atunci :

( )

=

=== =

n

1k

itXn1X

n1

ititY

kk

n

1k

eMeMeM)t()t(

Cum i variabilele kitXe sunt independente, avem:

tnntn

1k

n

k eent

nt)t(

===

=

=

Funcia caracteristic determin unic repartiia, aa c Y urmeaz aceeai repartiie

Cauchy.

3) S se afle densitatea de repartiie a variabilei X cu funcia caracteristic 23tae)t( = , a>0, folosind teorema de inversiune.

Soluie :

Notm cu F funcia de repartiie a lui X i x1


22taeu = , dx=cos tx dt " dteta2du 22ta2 = i x

txsinv =

Rezult :

dtetxsint1xa2)x('F

0

ta2

22 = Apoi :

dtetxsint1)x(F0

ta 22 = (derivata lui F iniial) Deci :

)x(Fxa2)x(F

2

= sau 2ax

FF =

, de unde prin integrare :

C2

xa21Fln

2

2 += sau 22

a4x

ke)x(F= unde k=eC (constant).

Determinm pe k trecnd la limit pentru x n expresia :

=x

a4x

dtek)x(F 22

fcnd schimbarea de variabil a2tu =

====

a2

1k,1ak21dueak21)x(Flim2u

x

Deci :

2

2

a4x

ea21)x('F)x(f

== (densitatea unei repartiii normale).


Capitolul 6 Repartiii probabilistice clasice discrete

6.1. Repartiia binomial sau repartiia lui Bernoulli.

Corespunde schemei urnei cu bile revenite (valorile sale reprezint numrul de bile

albe din cele n extrase). Tabloul acestei repartiii (simple) va fi deci :

0q,p;p1q;qpCk:X

n,0kknkk

n>=

=

(6.1)

Avnd repartiie binomial de ordinul n i parametru p, mulimea tuturor variabilelor

aleatoare binomiale o notm cu B(p,n).

Fie Xk, ( )n,1k = o v.a.d. care ia valorile 1 i 0 dup cum la extragerea k apare evenimentul A sau CAA = . Atunci Y=X1++Xn este o v.a.d. care ia valoarea k dac evenimentul A s-a produs de k ori, avnd o repartiie B(p,n)

Funcia de repartiie a lui B(p,n) este funcia de repartiie a v.a.d. Y, adic :

{ }( ) [ ]=

=

=

=

=

nx,1

]n,1n(x,qpC

]2,1(x,qpC

]1,0(x,q0x,0

)x(F1n

0k

knkkn

1

0k

knkkn

n

LLL

(6.2)

Caracteristici mai importante :

npqpkC)X(Mn

1k

knkkn ==

= (valoarea medie)

(6.3)

(Plecm de la binomul lui Newton : =+ n0

knkkkn

n qxpC)qpx( , pe care o derivm

n raport cu x i facem x=1).

D(X)=M2(X)-[M(X)]2=npq (dispersia), (6.4)

unde :


=

+==n

1k

2knkkn

22 p)1n(nnpqpCk)X(M (momentul de ordinul II),

(6.5)

Se obine derivnd de dou ori binomul (px+q)n i fcnd apoi x=1.

Funcia caracteristic este (t)=M(eitY), adic :

nitn

0k

knkitkn

n

0k

knkkn

ikt )qpe(q)pe(CqpCe)t( +=== =

=

(6.6)

Utiliznd funcia caracteristic se pot determina momentele v.a. binomiale i de

asemenea se poate demonstra c : dac v.a. X1 i X2 aparin mulimilor B(p,X1) i

B(p,X2) atunci (X1+X2) aparine mulimii B(p,n1+n2). Observaie : n aplicaii, n general numrul n ia valori mari (n ) i este dificil calculul

probabilitilor. Pn(k)=P(Ak)=Cnkpkqn-k, aa nct se utilizeaz formula lui Stirling :

n121u0;n2enen2en!n n

nnunn n


Aceast repartiie are multe aplicaii n teoria fiabilitii.

Funcia caracteristic a repartiiei polinomiale se obine imediat dac se scrie

vectorul aleator Y=X1+Xn sub forma : Y=# 1e1+# rer, unde e1, e2, ,er sunt vectorii

bazei (liniar independeni) ntr-un spaiu euclidian r-dimensional.

Avem : [ ]( ) ( ) ( )nitrit1

k,,k

kitr

kit1

r1

)ktkt(i

k,,kr1n

)tt(i

r1

r1

rr11

rr11

r1

rr11

epepepep!k!k

!n

e)k,,k(PeM)t(

++=

===

++

KKK

K

K

K

K

K

,

(6.10)

unde : t=t1e1++trer.

Valoarea medie i dispersia vor fi :

rj1;npti

1)(M j0tj

j =

=

=

(6.11)

[ ]jjjj

2j

22jj

2j

2

j

0t

2j

2

22

jj2j

qnp)p1(nppnnpnppn

npti

1)(M)(M)(D

==+=

=

==

=

(6.12)

6.3. Repartiia binomial cu exponent negativ.

Repartiia discret n care valorilor n, n+1, (n N) li se atribuie corespunztor

probabilitile :

p1q,nk;qpC)k(P nkn1n 1kn == (6.13) se numete repartiie binomial cu exponent negativ.

S considerm un cmp de probabilitate finit care const n evenimentele A i A , n

afara evenimentului sigur (E) i imposibil ( ). Fie p=P(A) i q=P( A )=1-p.

Numrul grupelor de forma AAAAAAA KK , n care ultimul element este A i care

conin pe A de n ori iar pe A de (k-n) ori este 1n 1kC . Probabilitatea obinerii unei astfel de

grupe este pnqk-n. Deci probabilitatea ca A s se produc n k experiene independente de n

ori este nkn1n 1kn qpC)k(P

= . Funcia caracteristic, va fi :

n

it

it

qe1pe)t(

= (6.14)

Cu ajutorul acestei se obin momentele i dispersia :


pn

ti1)X(M

0t1 =

=

=

(6.15)

20t

2

2

22 p)qn(n

ti1)X(M +=

=

=

(6.16)

..

2212 p

nqMM)X(D ==

(6.17)

6.4. Repartiia hipergeometric

Fie n, a, b N cu n a+b. Repartiia hipergeometric este o repartiie discret simpl,

ce corespunde unei bile nerevenite, avnd tabloul de repartiie :

n,0kn

ba

knb

ka

CCCk

:X

=+

(6.18)

n care : max(0, n-b) k min(n,a), dar pentru simplitatea scrierii se poate lua n0,k = .

Avnd n vedere relaia : =

+ =

n

0k

nba

knb

ka CCC , se verific uor c sunt ndeplinite

condiiile existenei tabloului de distribuie.

Exemplu : Se consider un lot de 400 piese, care conine 8% piese cu defeciuni i se

cerceteaz numrul de piese cu defeciuni dintr-un eantion de 10 piese. S se identifice

legea de repartiie a fenomenului aleator considerat.

Soluie : Un lot de c piese conine a piese defecte i b piese bune (a+b=c). n acest

caz: c=400 i a/c=0,08 , b/c=0,92. Un eantion de n piese conine k piese defecte i (n-k)

piese bune. Cu cele b piese bune se pot obine knbka CC

eantioane de cte n piese, din care

k sunt defecte. Rezult : kn

bkan

nba CC)b,a;k(PC

+ =

recunoscnd astfel o lege de repartiie hipergeometric.

Deci: 10400

k10368

k32

10 CCC

)368,32;k(P

= ; 0,10k =

Repartiia hipergeometric joac un rol esenial n controlul calitii produselor.

Cu aju

probabilitati si statistica

Documents

Transcript of probabilitati si statistica