Probabilitati

CAPITOLUL 5

VECTORI ALEATORI

1. Funcia de repartiie, Densitatea de repariie.

Definiia 1: Un vector aleator multidimensional X=(X1, X2, ..., Xk) este definit de funcia

X : E ( Rk care asociaz evenimentului e ( E, vectorul X(e) = ((X1(e), X2(e), ..., Xk(e))

Mai departe, vom intelege prin notatia: multimes {X1(e)=x1} ( {X1=x1}.

Astfel X : E ( R2 este bidimensional dac pentru fiecare pereche de submulimi din R,

(A1, A2) : A1( (- (, x1], A2= (- (, x2], evenimentul (X1(A1 , X2(A2)K.

Definiia 2: Fie X = (X1, X2, ..., Xk) : E ( Rk un vector aleator. Funcia

FX : Rk ( [0, 1]definit prin: FX(x) = FX(x1, x2, ..., xk) = P(X1( x1, ..., Xk( xk)

se numete funcia de repartiie a vectorului X.

Proprieti:

1)

EMBED Equation.2

Definiia 3: Dac exist fx : Rk ( R astfel nct:

FX(x1,x2, ..., xk) =

atunci f se numete densitatea de repartiie a vectorului X.

Proprietile densitii de repartiie

Pentru vectorul aleator bidimensional X = (X1, X2) avem:

i

Definiia 4: i se numesc funciile de repartiie marginale corespunztoare vectorului X.

Definiia 5: Dac pentru i = 1, 2, ..., n, Xi este o v.a. discret, atunci repartiia comun a variabilelor X1, X2, ..., Xn este dat de funcia P(X1 = x1, ..., Xn= xn) = p12...ni repartiia marginal a v.a. Xi, este dat de

P(Xi = xi) =

n cazul unui vector bidimensional discret: P(X1= xi, X2=xj) = pij, repartitiile marginale ale v.a. X1 respectiv X2 sunt P(X1= xi) = pi( =

respctiv P(X2= x2) = p (j=

Exemplul 1: Se transmit dou mesaje. Probabilitatea ca primul mesaj s fie receptat greit este p1 iar, probabilitatea ca cel de-al 2-lea mesaj s fie receptat greit este p2.Introducem v.a.Xi =

Aflm funcia de repartiie a vectorului X = (X1, X2).

Solutie: Repartiia comun a v.a. X1, X2 este: p00= P(X1= 0, X2= 0) = (1- p1)(1- p2);

p01= P(X1= 0, X2= 1) = (1- p1)p2 ; p10= P(X1= 1, X2= 0) = p1(1- p2);

p11= P(X1= 1, X2= 1) = p1p2si

Definiia 6: X1, X2, ..., Xk sunt independente n totalitate dac pentru orice mulime de evenimente

i = 1, 2, ..., k avem:P(X1(B1, ..., Xk(Bk) = P(X1(B1) ... P(Xk(Bk).

Teorema 1: X1, X2, ..., Xk sunt independente n totalitate ( X ( Rk, sau

Dac X1, X2, ..., Xk sunt discrete, atunci condiia de independen devine:

P(X1= x1, ..., Xk = xk) =

Teorema 2: Dac X1, X2, ..., Xn, ...este un ir de v.a. independente i T1, T2, ..., Tn, un ir de funcii msurabile Tj: R ( R; j = 1, 2, ... atunci irul T1(X1), T2(X2), ..., este deasemenea un ir de v.a. independente.

2. Densiti condiionate

Fie vectorul bidimensional X = (X1, X2) cu densitatea de repartiie

..

Definitia 1: Densitatea de repartiie a v.a. X1 condiionat de X2 = x2 este dat de:

Observatie: O formula asemanatoare avem pentru densitatea de repartitie a v.a.X2 conditionata de X1=x1. Are loc relatia:

P(X1=x1,...,Xn=xn)=P(X1=x1).P(X2=x2(X1=x1)... .. P(Xn = xn(X1 = =x1,... , Xn-1= xn-1)

Exemplul 1: Dac X1~((a,b), i X2 (X1= (~Exp (() gsim densitatea de repartiie a v.a. X2.

Solutie: Densitatea de repartiie a vectorului (X1, X2) este

Prin urmare X2 are d.r.

Spunem c X2 are o repartiie Pareto de parametrii a i b.Repartitia Pareto este folosita pentru a modela cuantumulul despagubirii in asigurari.

Exemplul 2: Fie X1 ( Po((), P(X2 = 0 ( X1 = 0) = 1 i X2 ( X1 = n repartizat binomial Bi(n,p) pentru n( N. Dac X1 reprezint numrul de defecte ce apar ntr-un sistem iar X2 numrul de defecte neremediabile ne propunem s determinm repartiia v.a. X2.

ceea ce arat c X2~ Po( (p).

Exemplul 3: Fie X1, X2, ..., Xn v.a. independente astfel nct Xj~ Po ( (j), j = 1, , n i fie Y = X1+ X2+ ...+ Xn. Xj poate fi v.a. ce d numrul de defectri din agregatul j, j = 1, 2, ..., n i deci Y este numrul total de defectri n cele j agregate ce formeaz un sistem.

Solutie: Avem Y ~ Po( (1 + (1 +...+ (n) i deci P(X1= x1, ..., Xn= xn (Y = y) = 0

pentru x1+...+ xn ( y i pentru xi ( N*, i= 1, 2, ...,n i x1+...+ xn = y

3. Caracteristici ale vectorilor aleatoriDefiniia 1: Momentul de ordinul (r1 , ..., rk) al vectorului X = (X1 , ..., Xk) este:

Pentru vectorul aleator bidimensional (X, Y) avem:

i, n particular M1,0(X, Y) = M(X), M0,1(X, Y) = M(Y)

Definiia 2: Momentul centrat de ordin (r1 , ..., rk) al vectorului (X1 , ..., Xk) este:

n particular (2,0(X, Y) =D(X) i (0,2(X, Y) =D(Y)

Definiia 3: Fie X = (X1 , ..., Xk) un vector aleator k-dimensional.

Mrimea cov(Xi,Xj)=M[(Xi-M(Xi))(Xj-M(Xj))] pentru i(j se numete covariana v.a. Xi i Xj.

Avem cov(Xi, Xi) = D(Xi) i cov(Xi, Xj) = M(Xi ( Xj) - M(Xi) M(Xj)

Definiia 4: Fie X = (X1, X2,..., Xk) un vector aleator k-dimensional cu densitatea de repartitie f. Atunci P((X1, X2,..., Xk)(A)=

Exemplu: Dac un material este supus la o solicitare reprezentat de o v.a. Y, rezistena materialului fiind reprezentat de v.a. X, condiia ca materialul s reziste este dat de coeficientul de securitate c definit prin

n funcie de repartiiile celor dou v.a. deosebim mai multe situaii:

1) Dac Y = y0 iar X are d.r. gX, atunci: P(c > 1) = P(X > Y) = P(X > y0) = 1 - GX(y0)

2) Dac X = x0 iar Y are d.r. fY atunci: P(c > 1) = P(Y < x0) =

3) Dac X i Y sunt repartizate cu d.r. gX respectiv fY , condiia ca materialul s reziste este dat de : P(c > 1) = P(X > Y) =

n probleme practice se aleg densitile de repartiie f i g ca fiind cele ale valorilor extreme: minim, respectiv, maxim.

Definiia 5: Pentru g : Rk ( R o funcie msurabil, valoarea medie a lui

g(X1, X2,..., Xk) este: M[g(X1, X2,..., Xk)] =

Teorema 1: Dac g admite o dezvoltare n serie Taylor n jurul punctului m=(m1, m2,..., mk), atunci Y= g(X) : Rk ( R, X=(X1, X2,..., Xk) cu M(Y) ( (m1, m2,..., mk),

si

unde Cij sunt elementele matricei de covarian a vectorului aleator X.

Aplicaii ale acestei metode se afl atunci cnd studiem modul de propagare a erorilor diferitelor aparate i mecanisme.Metoda este cunoscuta sub numele de metoda liniarizarii.

Definiia 6: Mrimea

, i ( j, se numete coeficientul de corelaie al v.a. Xi i Xj .

Observatie: Se demonstreaza ca coeficientul de corelatie ia valori in intervalul [-1; 1].

Propoziia 2: Dac ntre v.a. Xi i Xj exist relaia Xj = aXi + b atunci ((Xi, Xj) = sgn(a)

Definiia 7: V. a Xi, Xj pentru care ((Xi, Xj) = 0 se numesc necorelate.

Propoziia 3: Dac Xi, Xj sunt v.a. independente, ((Xi, Xj) = 0.

Observaie: Reciproca nu este adevrat.

Dac Xi ~ N(0, 1) i Xj = Xi2 atunci cov(Xi, Xj) = cov(Xi, Xi2) = M(Xi3) - M(Xi)M(Xi2) = 0,

deoarece M(Xi) =0 i M(Xi3) =0 dei v.a. Xi i Xj sunt dependente.

Definiia 8: Matricea

se numete matricea de covarian a vectorului de componente

.

Deoarece cov(Xi,Xj)(cov(Xj,Xi) pentru orice i, j, matricea de covarian este simetric.

4. Valori medii condiionateDefiniia 1: Fie Xi Y v.a. discrete. Prin media condiionat a v.a. X de valoarea Y(yj se nelege

Teorema 1: M(X) =

Definiia 2: Pentru X i Y v.a. continue,

Teorema 2:

Definiia 3: O v.a. care se comport pe un interval al valorilor ei ca o v.a. continu iar pe restul ca o v.a. discret se numete variabil mixt.

Exemplul 1: La o intersecie este situat un semafor care este programat astfel nct s pstreze semnalul verde pentru un minut, apoi lumina roie pentru o jumtate de minut i din nou verde pentru un minut .a.m.d. Un automobil sosete la intersecia dirijat cu semaforul la un moment aleator.

S se afle probabilitatea ca el s treac fr s se opreasc. S se determine repartiia i caracteristicele numerice a timpilor de ateptare T.

Soluie: Momentul la care sosete automobilistul este o v.a. uniform repartizat n intervalul care este egal cu ciclul unui semnal, adic 1,5 minute. Pentru ca automobilistul s treac prin intersecie fr s opreasc el trebuie s ajung la intersecie n intervalul (0, 1). Probabilitatea ca o v.a. uniform repartizat n (0; 1,5) s ia valori n (0, 1) este2/3.

Timpul de ateptare T este o variabil mixt. El este zero cu probabi-litatea 2/3 sau poate lua orice valoare ntre 0 i 0,5 minute cu probabilitatea 1/3.

unde X = 0, dac automobilistul sosete n (0, 1)

X = 1, dac automobilistul sosete n (1; 1,5)

5 Convoluii1) Convoluia funciilor de frecveneTeorema 1: Dac X i Y sunt v.a. independente pe Z, atunci funcia de frecvene p(z), z ( Z a v.a. X + Y este

Definiia 1: p(z), definit in teorema anterioara, se numeste convoluia funciilor de frecvene p1 i p2, notat prin p = p1* p2.

Observaie: Convoluia funciilor de frecvene p1 i p2 este funcia de frecvene a v.a. X + Y.

Observatie:

Observatie: pentru funcia de frecvene p pe Z:

; n = 1, 2, ...

Operaiile de convoluie pentru repartiiile variabilelor pe Z pot fi transferate la repartiii concentrate pe cZ = {..., -2c, -c, 0, c, 2c, ...} cu c > 0 (repartiii aritmetice)

Exemplul 1: Fie p1(p2) funcia de frecvene a v.a.

, X i Y independente. Atunci

=>

.

2) Convoluia funciilor de repartiieTeorema 2: Dac X i Y sunt v.a. independente cu fuciile de repartiie F i respectiv G, atunci v.a. Z = X + Y are funcia de repartiie

Definitie 2: H(z) definita ca mai sus, este numit convoluia funciilor de repartiie F i G.

Observaie: Dac X i Y sunt v.a. independente cu funciile de repartiie F, i respectiv G, atunci X+Y are funcia de repartiie F ( G..

Pentru irul de funcii de repartiii F1,F2, ... se definete recursiv

; n = 3, 4,.

i pentru irul de v.a. independente X1, ..., Xn cu funciile de repartiie F1, ..., Fn , funcia de repartiie a sumei X1+ ...+ Xn este F1( ...( Fn .

Dac X1, X2, ... este un ir de v.a. independente i identic repartizate, atunci

n particular F(1 = F, F*2 = F(F

i F*n este funcia de repartiie a sumei X1+ ...+ Xn .

3) Convoluia densitilor de repartiie

Teorema 3: Dac funciile de repartiie F, G au densitile f, g, atunci funcia de repartiie H are densitatea de repartiie

=

(convoluia densitiilor f i g )

Observatie:

; n=3 4, ...

i pentru o densitate f: f(1 = f, f*n = f*n-1(f , n = 2, 3, ...

Exemplul 2: Fie f1(f2) densitatea de repartiie a unei variabile X(Y) ~ ((a, b)(((a, c)). Atunci

adic ((a, b) ( ((a, c) = ((a, b+c).

7. Trei repartiii multidimensionale1) Repartiia normal bidimensionalDefiniia 1: O pereche de dou v.a. (X, Y) reprezentat de un punct aleator n plan urmeaz o repartiie normal bidimensional dac are densitatea de repartitie :

Propoziia 1: Repartiiile marginale ale v.a. X i Y sunt N(m1,

), respectiv N(m2,

) i cov (X, Y) =((1(2. Matricea de covarian a vectorului (X, Y) este:

Propoziia 2: Dac vectorul (X, Y) are o repartiie normal bidimensional cu d.r. (7.1.1) atunci d.r. condiionate sunt:

Observatie

Definiia 2: Dreapta se numete dreapta de regresie a lui X asupra lui Y. Dreapta

se numete dreapta de regresie a lui Y asupra lui X.

Propoziia 3: Dac ( = 0, v.a. X i Y sunt independente.

Propoziia 4: Dac punctul aleator (X, Y) urmeaz repartiia normal de densitate

,(x, y) ( R2, atunci probabilitatea ca punctul (X, Y) s se afle n dreptunghiul D = [a, b] ( [c, d] este:

unde ( este funcia lui Laplace.

Exemplul 1: Fie punctul aleator (X, Y) ( R2 repartizat conform unei legi normale bidimensionale n jurul originii cu ( = 0 i (1 = (2 = ( . Repartiia v.a.: d-distana de la punctul (X,Y) la origine este:

Repartiia lui d este cunoscut sub numele de repartiia Rayleigh.Ea modeleaza in acest caz repartitia abaterilor fata de tinta la tir sportiv.

3)Repartiia multinomial

O generalizare a repartiiei binomiale este repartiia obinut pentru modelul urmtor:

n urma unui experiment se pot realiza k evenimente diferite A1, A2, ..., Ak.

Se repet experiena de n ori i se constat c evenimentul Aj,1 ( j ( k s-a realizat de nj ori.

Teorema Fie v.a. Xj = numrul de apariii a evenimentului Aj n cele n probe, atunci, P(X1 = n1 , X2 = n2 , ..., XK = nK ) =,n1 + n2 + ...+ nk = n i

, 0 ( pj ( 1, 0 ( nj ( n.

Observaie: Repartiia este k - 1 dimensional deoarece valorile v.a. Xk sunt determinate de valorile v.a. X1, X2, ..., Xk-1.

Definiia 7.3.1. Vectorul aleator (X1, X2, ..., Xk) avnd funcia de frecvene dat de (7.2.1) i notat prin Pn(n1, n2, ..., nk) se numete vector multinomial de parametrii n, p1, p2, ..., pk-1.

Folosim notaia (X1, X2, ..., Xk) ~ M(n; p1, p2, ..., pk-1).

Corolarul 7.3.1 Dac (X1, X2, ..., Xk) ~ M(n; p1, p2, ..., pk-1) atunci:

M(Xj) = npj ; D(Xj) = npj(1-pj); cov(Xi, Xj) = - npipj , i ( j

(componentele vectorului multinomial sunt variabile binomiale).

3)Repartiia Dirichlet este o generalizare a repartiiei Beta unidimensionale.

Vectorul (X1, (, Xk) urmeaz o repartiie Dirichlet k- dimensional D(n1, (, nk( nk+1) dac are densitatea

pentru orice punct (x1, (, xk) , xi ( 0, 0 ( i ( 1,

Probleme rezolvate

1. Fie (U,V) un vector bidimensional definit astfel:

U = numarul de ore lucrate de un muncitor intr-o zi, fata de 8 ore , dupa cum precizeaza

contractul de munca

V= randamentul pe care il da utilajul la care lucreaza el, fata de randamentul precizat de

producatorul utilajului

U=,V=S-a facut un studiu cu privire la numarul de ore lucrate si randamentul utilajului si s-au gasit urmatoarele rezultate:

V \ U-101

-11/224/222/22

13/226/22c

Probabilitatea evenimentului (U=-1,V=-1) s-a calculat folosind formula clasica a

probabilitatii: din 22 de zile lucratoare din luna, intr-o singura zi muncitorul a lucrat mai

putin de 8 ore (U=-1) si randamentul utilajului a foat scazut (V=-1). Analog au fost

obtinute si celelalte rezultate.

a) c=? astfel incat studiul sa se desfasoare de-a lungul celor 22 de zile

b) Sa se calculeze probabilitatile marginale pentru U(numarul de ore lucrate

zilnic) si pentru V(randamentul utilajului)

c) Care este probabilitatea ca numarul de ore sa fie mai mare de 8 ore, daca randamentul

utilajului a fost mai mic?Dar ca nr de ore sa fie optim , daca

2. La o intersectie sosesc la momente aleatoare de timp autovehiculele: unele dinspre sud si altele dinspre nord. Presupunem ca ele vin in medie in numar de 5 si respectiv 3 la fiecare 5 minute.Fie

X=numarul de autovehicole ce sosesc din sud in timpul unei perioade de 5 minute

Y=numarul de autovehicole ce sosesc din nord in acelasi interval de timp.

Presupunem ca X si Y sunt independente.

a) Sa se afle repartitia comuna a variabilelor aleatoare X si Y (deci a vectorului (X,Y)).

b) Sa se afle probabilitatea ca un numar total de 4 autovehicole sa soseasca in perioada

de 5 minute verificata.

c) Sa se determine covarianta intre variabilele X si Y.

Solutie: X(Po(() respectiv Y(Po(() => M(X)=( respectiv M(Y)=(Pe de alta parte M(X)=3 respectiv M(Y)=5 => X(Po(3) respectiv Y(Po(5)

X(Po(3) daca P(X = k) = unde k

Y(Po(5) daca P(Y = l) = unde l

a) X si Y sunt variabile aleatoare independente => P(X=k;Y=l)=P(X=k)P(Y=l)

P(X=k;Y=l)= unde (k,l) (

b) P(X+Y = 4)= =

c) cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y). Dar variabilele sunt independente => M(XY)=M(X)M(Y) => cov(X,Y)=03. Presupunem ca se iau in consideratie 3 nivele de pregatire profesionala notate: S (superior), M (mediu) si I (inferior). Se noteaza urmatoarele evenimente:

S1: pregatirea tatalui este de nivel S S2: pregatirea fiului este de nivel S

M1: pregatirea tatalui este de nivel M M2: pregatirea fiului este de nivel M

I1: pregatirea tatalui este de nivel I I2: pregatirea fiului este de nivel I

Presupunem urmatoarele mobilitati:

S2 M2I2

S10,510,450,04

M10,310,630,06

I10,080,530,39

Deci, in tabel, 0,51 reprezinta probabilitatea ca fiul sa aiba pregatire superioara daca tatal a avut tot pregatire superioara.(deci o probabilitate conditionata) Analog pentru celelalte elemente. Daca in generatia parintilor 15% sunt de nivel de pregatire S, 55% de nivel M si 30% de nivel I, care este probabilitatea ca in generatia urmatoare, un fiu sa fie de nivel I.

Solutie: P(S1)=0,15; P(M1)=0,55, P(I1)=0,3 (aceste valori sunt date in problema)

Se va completa un tabel ce contine probabilitati de tipul P(A(B)

P(S2|S1)=0,51 => P(S1(S2)= P(S2|S1)*P(S1)=0,51*0,15=0,0765

P(S2|M1)=0,31 => P(M1(S2)= P(S2|M1)*P(M1)=0,31*0,55=0,1705

P(S2|I1)=0,08 => P(I1(S2)= P(S2|I1)*P(I1)=0,08*0,3=0,024

Analog se obtin toate celelalte valori:

A ( B S2 M2 I2

S10,07650,06750,006

M10,17050,34650,033

I10,0240,1590,117

Asadar, probabilitatea , ca un fiu sa aiba nivelul de pregatire I, este:

P(I2)=P(I2(S1)+ P(I2(M1)+ P(I2(M1)=0,006+0,033+0,117=0,156

Deci 15,6% dintre copii au nivelul de pregatire I.

4. Fie repartitia vectorului (X,Y) : pentru 1 y ( x ( n, x,y(N*.

a) Aflati repartitiile marginale ale lui X si Y.

b) Determinati P((X(3)((Y(2)) si apoi P(X(3) (discutie dupa valorile lui n).

Solutie:

a)

EMBED Equation.3 b) Vor exista 3 cazuri de discutat in functie de valorile lui n:

Daca n3, atunci:

=

Daca n=2 , atunci:

Daca n=1, atunci:

5. Fie X variabila aleatoare care reprezinta temperatura (in (C) si

Y variabila aleatoare care reprezinta timpul in minute necesar pentru incalzirea unui automobil. Presupunem ca densitatea de repartitie a vectorului (X,Y) este : , , .

a) Sa se afle C.

b) Sa se afle probabilitatea ca intr-o zi aleasa la intamplare temperatura aerului va depasi 20(C si va fi necesar de cel putin 1 minut pentru incalzirea automobilului.

c) Sa se afle probabilitatea ca intr-o zi aleasa la intamplare, temperatura aerului va depasi 20(C.

Solutie:

a) Pentru ca funcia s fie densitate de repartiie trebuie ca s fie ndeplinit condiia: unde D=

Prin urmare avem: => C=1/6640

b) p1=0,373 :

c) p2= :

6. Densitatea de repartitie a vectorului aleator (X,Y) este de forma:

daca 0< y< x< 1, si este 0 in rest.

a) Sa se afle c.

b) Sa se afle functia de repartitie a variabilei X.

c) Sa se determine coeficientul de corelatie al vectorului dat.

Solutie:

fX,Y(x,y)= ,=>= => c=2

a) Se va calcula densitatea de repartitie a variabilei X si apoi functia de repartitie .

fX(x) = daca 0.

Analog:=>,

10. Consideram urmatoarele variabile aleatoare:

X=timpul de defectare a becurilor produse de fabrica Fieni

Y= timpul de defectare a becurilor produse de o alta fabrica

Se stie ca timpul mediu de defectare pentru becurile produse de fabrica Fieni este =1000 ore respectiv pentru cealalta fabrica =1500 ore. Daca X~Exp(), respectiv Y~Exp() , sa se determine probabilitatile: P(X+Y>3000 ore), P(Y-Xf(X,Y)(x,y)=fX(x)fY(y) (densitatea de repartitie comuna a vectorului (X,Y)=produsul repartitiilor marginale)

f(X,Y)(x,y)=/ (), x,y0

Pas2: Folosim rezultatul problemei 9 cu ,.P(Y-X M(Y)m2, D(Y).

Calculati in acelasi fel media si dispersia v.a. Y=X1/X2.

Probleme propuse

1. Repartitia comuna a 2 caracteristici:

X=diametrul in mm. a unui cablu metalic

Y=rezistenta la rupere in Kgr este data in tabelul:

Y\X123

100,10,10,2

110,10,20,3

a) Sa se calculeze repartitiile marginale ale variabilelor X si Y

b) Sa se determine repartitia v.a. X conditionata de valoarea Y=11Kgr

c) Determinati coeficientul de corelatie intre X si Y.Ce informatie se obtine din valoare coeficientului de corelatie.

2. Fie (U, V) un vector aleator bidimensional cu repartiia:

U

V 015

21/163/161/16

41/81/161/8

61/41/161/16

a) Sunt v.a. U i V independente?

b) Aflai D(V)

c) Determinai P(U < 4(V =2) i P(U ( 3, V < 5)

d) Determinai P(U < V)

3. Repartitia vectorului aleator (X,Y) este: cu k=1,2,,n ; s=1,2,,n

a) Aflati repartitiile marginale ale variabilelor X si Y.

b) Sunt acestea independente ?

c) Determinati P(X(Y).

d) Aflati cov(X,Y).

Raspuns: a); b)cele dou variabile sunt independente.; c) ; d)cov(X,Y)=0.

4. Se d repartiia bidimensional a vectorului (X, Y)

X

Y-201

-11/61/121/3

11/121/41/12

a) S se afle repartiiile marginale.b) S se scrie repartiiile v.a. U = X + Y i V =X(Y

c) S se calculeze cov(U, V) si coeficientul de corelatie

5. Densitatea de repartitie a vectorului (X,Y) este: , 0 ( x (2,0 ( y ( 2

a) Sa se afle densitatile marginale.

b) Sunt variabilele aleatoare X si Y independente ?

c) Sa se determine P(0 ( X ( 1, Y ( 1).

6. Fie (X, Y) un vector aleator bidimensional cu densitatea:

EMBED Equation.2 a) S se determine k ( R

b) S se afle densitile de repartiie marginale

c) S se determine cov(X, Y). Sunt cele dou componente X i Y independente?

7. Fie X~U(2,4) si Y~U(3,6) independente. Sa se determine repartitiile urmatoarelor variabile: a)U=X*Y; b)V=X/Y

8. V.a. X i Y sunt independente; X(N(1,2) i Y(U(0,2). S se determine: M(X+Y), M(X(Y), M(X2+Y2), D(X+Y).

9. Sa se calculeze coeficientul de corelatie pentru variabilele X si Y=2X+3. Cum interpretati rezultatul obtinut?

10. Sa se calculeze coeficientul de corelatie pentru variabilele -2X+1 si 2X2-3. Cum interpretati rezultatul obtinut?

11. Fie (X,Y) un vector aleator cu densitatea de repartitie:

f(x,y)= unde D este interiorul triunghiului dreptunghic cu varfurile (0,0), (1,0), (0,1).

a) Sa se determine k.

b) Sa se determine repartitiile marginale si sa stabileasca daca X, Y sunt independente

c) Sa se calculeze f(x|Y=0,5) si f(y|0,2