Probabilitati si Statistica in Inginerie

Variabile aleatoare

Variabile aleatoare

Capitolul 2

Variabile aleatoare

1. Variabile aleatoare discrete

1.1 Definitia variabilei aleatoare

Pentru a studia variabilele aleatoare, este necesar sa fie cunoscute probabilitatile asociate unei multimi de evenimente, altfel spus este necesar ca aceasta multime de evenimente sa apartina unui camp de evenimente F asociat unei experiment dat (adica spatiului fundamental ). O variabila aleatoare (v.a.) este definita ca o aplicatie X pe a carei valoarea X() depinde de rezultatul "" al experientei. Variabilele aleatoare pe care le-am studiat in acest curs iau valori pe domeniul R. Ajungem astfel la urmatoarea definitie a variabilei aleatoare.

Definitie: o variabila aleatoare reala pe spatiul de probabilitate (, F, P), este o aplicatie X definita pe , cu valori in R, X: R astfel incat, pentru toate valorile x(R avem:

{((( / X(() ( x } ( F. (2.1)

Evenimentul {(( / X()x}va fi notat simplu {Xx}.

Exemplu

In experienta jocului cu doua zaruri, suma, produsul, diferenta punctelor de pe cele doua zaruri definesc tot atatea variabile aleatoare:

X() = x + y, Y() = xy, Z() = x y

unde = (x, y)(.

1.2 Variabile aleatoare discrete

Anumite variabile aleatoare nu poseda decat un numar finit de valori posibile, ca de exemplu, numarul de realizari sau frecventa unui eveniment in cursul a "n" experimente. Altele poseda o infinitate numarabila de valori posibile, ca de exemplu, numarul de evenimente al unui flux poissonian ce se desfasoara in cursul unui interval de timp dat. O a treia categorie de variabile aleatoare poseda o infinitate nenumarabila de valori posibile, ca de exemplu, timpul de functionare fara defect al unui dispozitiv, erorile de masurare, etc. Variabilele aleatoare de primele doua tipuri sunt, din mai multe motive, apreciate ca fiind mai simple ca variabilele din al treilea tip. Tocmai de aceea este rational sa le izolam intr-o clasa speciala.

Definitie: se numeste variabila aleatoare discreta o variabila aleatoare avand o multime finita sau numarabila de valori posibile. Ansamblul de valori ale unei variabile aleatoare discrete este notat E si se numeste ansamblu fundamental.

1.3 Distributia variabilei aleatoare discrete

Distributia unei variabile aleatoare discrete este determinata de probabilitatile tuturor valorilor sale posibile. Intr-adevar, adoptand valorile sale posibile in calitate de evenimente elementare, obtinem o multime finita sau numarabila de evenimente elementare. Probabilitatile acestor evenimente elementare determina in intregime distributia variabilelor aleatoare discrete.

Fie un spatiu de probabilitate (, F, P) si o variabila aleatoare discreta X: E ( R. Pentru orice x(E definim evenimentul { / X() = x}, notat simplu {X = x}, si desemnam prin (x) probabilitatea sa: (x) = P(X = x).

Definitie: familia de numere ((x), x(E ), astfel incat (x) = P(X = x), este numita distributia variabilei aleatoare X sau legea de repartitie a variabilei aleatoare X.

Suma tuturor acestor probabilitati este egala cu 1:

, (2.2)

deoarece evenimentele familiei (X = x), x(E sunt incompatibile doua cate doua si formeaza un grup complet de evenimente (variabila aleatoare X ia, ca urmare a realizarii unui experiment, una si numai una din valorile x(E).

Distributia unei variabile aleatoare se poate reprezenta sub forma de tablou:

unde x(E

Definitie: Functia , definita pe R cu valori in [0,1], data prin formula:

, (2.3)

este numita functie de repartitie a variabilei aleatoare discrete X.

(x) este o functie crescatoare si constanta pe intervale.

Definitie: Consideram doua variabile aleatoare discrete si definite pe acelasi spatiu de probabilitate cu ansamblurile fundamentale respectiv . Variabilele aleatoare discrete si sunt independente daca , pentru orice (,)((, avem:

. (2.4)

Exemplu

1)Distributia numarului X de realizari a unui eveniment in cursul a "n" experimente este determinata prin formula: P(X = m) =, (m = 0,1,,n), unde probabilitatile sunt calculate dupa formulele de la schema binomiala.

In cazul considerat, avem pentru variabila aleatoare discreta X ansamblul de valori E, si distributia de valori (x) = P(X = m) dupa cum urmeaza:

E = = {0, 1, 2,,m,,n};

= {,,,,,}.

Dupa cum stim, probabilitatile distributiei binomiale sunt:

P(X = m) = , (m = 0, 1,.,n).2) Distributia Poisson (distributia numarului X de evenimente ale unui flux poissonian ce se deruleaza in cursul unui interval de timp dat) este definita prin formula urmatoare:

, (m = 0, 1, 2,.).

3) In cazul jocului cu doua zaruri distributia variabilei aleatoare

X() = X[(,)] =+

este data de tabloul urmator:

Se poate observa ca:

.

1.4Operatii cu variabile aleatoare discrete

Consideram doua variabile aleatoare discrete si definite pe acelasi spatiu de probabilitate cu ansamblurile fundamentale

EMBED Equation.3 , respectiv

EMBED Equation.3 , avand tablourile:

;

si fie k(R o constanta. Se pot defini urmatoarele operatii cu v.a. discrete:

1) ; ;

unde

;

2)

unde ,;

3) ; ;

4)

unde , , .

1.5Legi de repartitie discrete uzuale

1.5.1 Legea lui Dirac

O variabila aleatoare X urmeaza legea lui Dirac daca ansamblul sau fundamental se reduce la o singura valoare de probabilitate nenula, astfel incat E = {a} cu a(R. Aceasta lege este notata unde:

. (2.5)

1.5.2 Legea lui Bernoulli

O variabila aleatoare urmeaza legea lui Bernoulli de parametru p (0 t0 ( s) =

= 1 ( P (T < t0 ( s) = 1 ( F(t0 ( s). (I)

Inlocuind aici expresia F(t) calculata in exemplul 1, obtinem:

G(s) = e(((t0(s) daca 0 < s < t0. (II)

Cand s > avem relatia G(s) = 1 (fiind dat ca S < ).

Rezulta din relatia (II) ca G (+0) = e((to. Astfel functia G(s) prezinta o discontinuitate corespunzatoare unui salt, de la valoarea 0 la valoarea , in punctul s = 0. In toate celelalte puncte ale axei numerice ea este continua.

Pentru toate valorile s((0, ) ea admite o derivata si pentru toate valorile s < 0 si s > derivata sa este egala cu 0. In consecinta, S este o variabila aleatoare continua discreta avand o singura valoare discreta. Densitatea sa de probabilitate este definita prin formula:

4)Valoarea curenta a semnalului de intrare al unui element neliniar este o variabila aleatoare continua cu functia de repartitie F. Valoarea curenta a semnalului de iesire a acestui element este legata de valoarea semnalului de intrare X, la acelasi moment, prin relatia:

(un element astfel caracterizat este numit limitator). Gasiti legea de distributie a semnalului de iesire.

Este clar ca functia de repartitie G(y) a variabilei aleatoare Y este egala cu 0 pentru orice y(-a) (inegalitatea Y < y, cand y(-a) este imposibila) si este egala cu 1 pentru orice y > a (evenimentul Y < y cand y > a este un eveniment sigur).

Cand |y| < a evenimentul Y < y coincide cu evenimentul X < y. Avem, in consecinta, relatia G(y) = F(y) cand |y| < a. Este evident ca daca F(-a) > 0, F(a) < 1, atunci functia de repartitie G(y) prezinta o discontinuitate cu un salt F(-a) pentru y = (-a) si o discontinuitate cu un salt (1 - F(a)) pentru y = a. Pentru toate celelalte valori "y" functia G(y) este continua si derivabila.

In consecinta, in acest caz, Y este o variabila aleatoare continua discreta avand doua valori exceptionale "-a" si "a". Densitatea sa de probabilitate este definita prin formula:

g(y) = f(y) + F((a)( (y+a) + [1 ( F(a)] ( (y(a)daca|y| ( a,

unde f(x) este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X. In afara intervalului (-a, a) avem relatia g(y) = 0.

2.4 Functii de repartitie pentru legi continue uzuale

2.4.1. Legea uniforma

O variabila X care urmeaza o lege uniforma U[a, b] pe intervalul [a, b] ( R are o densitate de probabilitate f(x):

.

Fig.2.7 Legea uniforma pe intervalul [a, b].

Functia sa de repartitie F este (fig. 2.7):

. (2.26)

2.4.2. Legea normalaa) Legea normala centrata redusa (Laplace)

Se spune ca o variabila aleatoare Z urmeaza o lege normala centrata redusa N(0,1), daca densitatea sa de probabilitate este data, pentru orice z(R, de relatia (fig.2.8):

(2.27)

Functia sa de repartitie este data de relatia:

. (2.28)

Fig.2.8 Densitatea si functia de repartitie a unei v.a. ce urmeazalegea normala centrata redusa.

Stim ca si ca f((z) = f(z) pentru orice z( R, de unde obtinem rezultatul:

. (I)

Se poate exprima functia de repartitie (2.28) astfel:

.

Utilizand functia Laplace: si expresia (I), rezulta relatia (2.29), ilustrata in fig. 2.9b:

. (2.29)

a b

Fig.2.9 Ilustrarea relatiei 2.28 (a), si a relatiei 2.29 (b).

Astfel, se pot calcula functiile F(z), f(z) pentru legea normala, utilizand valorile deja cunoscute ale functiei Laplace si ale derivatelor sale (Anexe, tabel1).

b) Legea normala generala(Gauss)

Fie Z = N(0,1) si (, )(R(R(. Se defineste variabila aleatoare X = Z + . Atunci:

. (2.30)

Densitatea de probabilitate a variabilei X, care este cunoscuta sub numele de clopotul lui Gauss, este prezentata in figura (2.10).

a b

Fig.2.10 Legea lui Gauss (a), pentru diferite valori

ale parametrului ""(b).

2.4.3 Legea exponentiala

Variabila aleatoare X urmeaza o lege exponentiala E() de parametru (R( daca densitatea sa f este definita astfel:

. (2.31)

Functia de repartitie este:

. (2.32)

Densitatea si functia de repartitie a unei variabile aleatoare ce urmeaza legea E() sunt prezentate in figura (2.11).

a b

Fig.2.11 Densitatea (a) si functia de repartitie (b) a unei v.a.

ce urmeaza legea E().

2.4.4 Legea

Variabila aleatoare X urmeaza legea () de parametru (N(, daca densitatea sa este data prin:

. (2.33)

Figura (2.12) prezinta densitatea de probabilitate si functia de repartitie a legii .

Fig.2.12 Densitatea si functia de repartitie a unei v.a.

ce urmeaza legea .

2.4.5 Legea lognormala

Variabila aleatoare X urmeaza legea lognormala LN(, ) de parametri (, )(R((R(, daca X = eY si Y urmeaza legea normala N((, (2). Densitatea sa de probabilitate este prezentata in fig.2.13 si este definita prin:

(2.34)

unde este functia unitate a lui Heaviside egala cu 1 cand x > 0 si egala cu 0 cand x = 0. Variabila aleatoare corespunzand acestei distributii este nenegativa.

Fig.2.13 Densitatea si functia de repartitie a unei v.a.

ce urmeaza legea LN(1, 1/2).

2.4.6 Legea Weibull

Variabila aleatoare X urmeaza legea lui Weibull W(, ) de parametri (, )(, daca densitatea sa este data de:

(2.35)

Functia sa de repartitie ilustrata in fig. 2.14, este:

. (2.36)

Notam ca aceasta lege prezinta un foarte mare interes in domeniul fiabilitatii, deoarece prin varierea parametrului se obtin, diverse intensitati de defectare care pot modela realitatea experimentala (fig.2.15).

Fig.2.14 Densitatea si f.d.r

. pentru o v.a. ce urmeaza legea W(1/5, 3).

Fig.2.15 Functia densitate pentru

diverse intensitati de

defectare in cazul legii

W((, ().

2.5 Variabila aleatoare vectoriala

Definitie: daca , k = 1,,d sunt variabile aleatoare atunci X = (,,)( este o variabila aleatoare vectoriala sau vector aleator.

Legea de probabilitate a variabilei aleatoare vectoriale X, notata , este definita:

PX(B) = P(X-1(B)) = P({( / X(() ( B}), (2.37)

pentru orice .

Definitie: daca exista o functie f definita pe , astfel incat pentru orice eveniment B din vom avea:

(2.38)

atunci aceasta este denumita densitate de probabilitate a variabilei aleatoare vectoriale X.

Definitie: functia de repartitie a variabilei aleatoare vectoriale X notata F, este definita astfel:

, (2.39)

pentru orice x = (,,)(.

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare vectoriale are o serie de proprietati.

Proprietati

1)F(,,) este crescatoare pentru fiecare din argumentele sale;

2)F(,,) este continua la dreapta pentru fiecare din argumentele sale;

3)F(,,)0 atunci cand

EMBED Equation.3 si

F(,,) atunci cand

EMBED Equation.3 ;

4)Daca

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 pentru i = 1,,d si daca:

atunci, .

Orice functie care verifica proprietatile 1, 2, 3 si 4 de mai sus, este numita functie de repartitie n-dimensionala.

Propozitie Densitatea "f" si functia de repartitie F ale unei variabile aleatoare vectoriale, sunt legate prin relatiile urmatoare:

(2.40)

si , (2.41)

in orice punct de continuitate (,,) al lui f.

Functiile de repartitie pentru i = 1,,d, definite prin:

Fi(x) = F(+(,.,+(, x, +(,.,+(), (2.42)

unde "x" este argumentul de ordin "i" al lui F, sunt numite functii de repartitie marginale. In final, acestea sunt respectiv functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare .

Teste pentru verificarea cunostintelor

Testul 1

Analistul responsabil de gestiunea stocurilor intr-un magazin de piese auto a stabilit ca variabila aleatoare X Cererea zilnica de filtru de ulei HW3C admite distributia urmatoare:

xi 0 1 2 3 4 5 6

pi 0,10 0,20 0,10 0,02 0,30 0,03 0,25

Evaluati probabilitatea ca cererea sa fie :

i) cel putin 1 filtru si mai putin 3;

ii) mai mult de 2 filtre si cel mult 5;

iii) cel putin 4 filtre dar nu mai mult de 6;

iv) mai mult de 4 filtre;

v) mai mult de 1 filtru;

vi) 2 filtre sau mai putin .

i) Evenimentul Cererea este de cel putin 1 filtru si mai putin de 3se scrie: ___X < ___ .

P(___X < ___) = P(X= ) + P(X = )

ii) Evenimentul Cererea este mai mult de 2 filtre si cel mult 5 se scrie: ___< X ___.

P(___< X ___) =

iii) Evenimentul Cererea este de cel putin 4 filtre dar nu mai mult de 6 se scrie:___________.

P(

) =

iv) Evenimentul Cererea este mai mult de 4 filtre se scrie: _________ .

P(

) =

v) Evenimentul Cererea este mai mult de 1 filtru se scrie: _________ .

P(

) =

vi) Evenimentul Cererea este de 2 filtre sau mai putin se scrie: ________ .

P(

) =

Testul 2

O intreprindere realizeaza o statistica despre numarul de accidente de munca. Informatia de mai jos despre numarul de accidente pe zi pentru o perioada de 250 de zile a fost pusa la dispozitia uzinei de catre comitetul de securitate. Fie X variabila aleatoare Numarul de accidente intr-o zi.

Numarul de accidente Numarul de

intr-o zi zile

0 34

1 68

2 66

3 45

4 24

5 9

6 4

a) Descrieti legea de repartitie (functia densitate de probabilitate) a lui X:

xi 0 1 2 3 4 5 6

f(xi)

b) Descrieti functiei de repartitie a lui X:

_________ daca x < 0

_________ daca 0x < 1

_________ daca _______

_________ daca _______

F(x) =

_________ daca _______

_________ daca _______

_________ daca _______

_________ daca _______

c) Trasati graficul functiei F

d) Verificati daca inaltimea saltului functiei F pentru fiecare valoare xi corespunde functiei densitate in acel punct f(x).

xi0 1 2 3 4 5 6

inaltimea saltului0.136

f(xi)

e) Care este probabilitatea de a observa mai putin de trei accidente intr-o zi?

f) Responsabilul comitetului de securitate precizeaza ca sunt 95% sanse pentru a se produce mai mult de trei accidente pe zi?

Aceasta afirmatie vi se pare rezonabila?

g) Care sunt sansele dintr-o 100 pentru a observa mai mult de 4 accidente intr-o zi?

Testul 3

Legea de repartitie a vectorului de variabile aleatoare discrete X si Y este prezentata in tabloul urmator:

a) Determinati legea marginala a lui X, Y completand tabloul de mai sus.

b) Fie T=X+Y. Care sunt valorile posibile pentru T?

Care este legea de repartitie pentru T?

Testul 4

Legile marginale a doua variabile aleatoare discrete sunt:

xi f(xi)

0 0,60

1 0,40

0,40 = M(X)

0,25 = D(X)

yj f(yj)

1 0,50

2 0,30

3 0,20

1,70 = M(Y)

0,61 = D(Y)

1. Determinati legea de repartitie a vectorului X si Y presupunand ca variabilele aleatoare X si Y sunt independente.

X\Y y1 = 1 y2 = 1 y3 = 1

x1 = 0

x2 = 1

2. Determinati legea de probabilitate a variabilei aleatoare W = XY.

(xi,yj) xi yj f(xi,yj)

(0,1)

(1,1)

we f(we)

0

EMBED Word.Picture.8

Y

X

Y1=1 Y2=2 Y3=3

f(xi)

f(yi)

X1=0

X2=1

0,07 0,20 0,33

0,03 0,30 0,07

518079

_1074159163.unknown

_1074159427.unknown

_1084608198.doc

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Legea de repartiie

F.d.r. binomial

Funcia de repartiie

_1002543622.doc

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Densit binomiqle

F.d.r. binomiqle

_1085324174.unknown

_1085325276.unknown

_1085326367.unknown

_1085326401.unknown

_1085328656.unknown

_1085326519.unknown

_1085326388.unknown

_1085325333.unknown

_1085326354.unknown

_1085325317.unknown

_1085325222.unknown

_1085325243.unknown

_1085324184.unknown

_1085323978.unknown

_1085324096.unknown

_1085324106.unknown

_1085324050.unknown

_1085323843.unknown

_1085323911.unknown

_1084627842.doc

Densitate f(z)

F.d.r. F(z)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

_1084629356.unknown

_1084629924.doc

W(1,1/2)

W(1/2,1)

W(1,1)

x

f(x)

_1085323832.unknown

_1084629567.doc

0 2 4 6 8 10 x

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

Densit f(x)

F.d.r F(x)

_1084628259.doc

f(x)

0.4/(

0.2/(

0 ( x

0 ( x

f(x)

( = 0.5

( = 1

( = 2

_1084629027.unknown

_1084611669.unknown

_1084625256.unknown

_1084609335.unknown

_1074159746.unknown

_1074159837.unknown

_1074159874.unknown

_1074159887.unknown

_1074159894.unknown

_1074417913.unknown

_1074418697.unknown

_1074159890.unknown

_1074159882.unknown

_1074159849.unknown

_1074159865.unknown

_1074159846.unknown

_1074159764.unknown

_1074159787.unknown

_1074159790.unknown

_1074159771.unknown

_1074159753.unknown

_1074159761.unknown

_1074159749.unknown

_1074159509.unknown

_1074159663.unknown

_1074159728.unknown

_1074159739.unknown

_1074159721.unknown

_1074159527.unknown

_1074159530.unknown

_1074159516.unknown

_1074159479.unknown

_1074159490.unknown

_1074159504.unknown

_1074159484.unknown

_1074159463.unknown

_1074159473.unknown

_1074159431.unknown

_1074159261.unknown

_1074159335.unknown

_1074159361.unknown

_1074159409.unknown

_1074159416.unknown

_1074159370.unknown

_1074159353.unknown

_1074159356.unknown

_1074159346.unknown

_1074159349.unknown

_1074159280.unknown

_1074159301.unknown

_1074159332.unknown

_1074159323.unknown

_1074159287.unknown

_1074159275.unknown

_1074159212.unknown

_1074159220.unknown

_1074159224.unknown

_1074159217.unknown

_1074159173.unknown

_1074159208.unknown

_1074159169.unknown

_1030444959.unknown

_1031741186.unknown

_1032082452.unknown

_1032087905.unknown

_1069830746.unknown

_1074159147.unknown

_1074159159.unknown

_1074159134.unknown

_1070426872.doc

a

b

x

1/(b-a)

1

Densitate f(x)

F.d.r. F(x)

_1032088603.unknown

_1032088682.unknown

_1069830743.unknown

_1032088677.unknown

_1032088598.unknown

_1032085113.unknown

_1032085501.doc

0

x1

x2

x3

x4

xN-1

xN

x

1

y

p1

p2

p3

p4

pN-1

pN

y = F(x)

_1032087761.unknown

_1032085402.unknown

_1032084983.unknown

_1032085064.doc

x

y

y = f(x)

0

_1032084495.unknown

_1032084805.unknown

_1031748361.unknown

_1032072384.unknown

_1032074967.unknown

_1032075145.unknown

_1032075286.unknown

_1032075345.unknown

_1032074979.unknown

_1032074919.unknown

_1032074945.unknown

_1032072388.unknown

_1032074883.unknown

_1032068513.doc

0 2 4 6 8 10 x

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

Densitate f(x)

F.d.r. F(x)

_1032069573.unknown

_1031748424.unknown

_1031742356.unknown

_1031742404.unknown

_1031746675.unknown

_1031742401.unknown

_1031741196.unknown

_1031742351.unknown

_1031741191.unknown

_1030881644.unknown

_1031565222.unknown

_1031568389.unknown

_1031740262.unknown

_1031568161.unknown

_1030882436.unknown

_1030883694.unknown

_1030882420.unknown

_1030446799.unknown

_1030879615.unknown

_1030879633.unknown

_1030881576.unknown

_1030879628.unknown

_1030879609.unknown

_1030446750.unknown

_1030446783.unknown

_1030445577.unknown

_1030445578.unknown

_1030445026.unknown

_1012340459.unknown

_1012340694.unknown

_1012341323.unknown

_1012342175.unknown

_1012563801.unknown

_1012589418.unknown

_1012590067.unknown

_1012563809.unknown

_1012342282.unknown

_1012563781.unknown

_1012342189.unknown

_1012341739.unknown

_1012341758.unknown

_1012341757.unknown

_1012341720.unknown

_1012341228.unknown

_1012341308.unknown

_1012341182.unknown

_1012340492.unknown

_1012340581.unknown

_1012340595.unknown

_1012340518.unknown

_1012340469.unknown

_1012340366.unknown

_1012340401.unknown

_1012340428.unknown

_1012340442.unknown

_1012340391.unknown

_1002956121.unknown

_1012340221.unknown

_1012340338.unknown

_1009728634.unknown

_1009730477.unknown

_1002956248.unknown

_1002553100.doc

y = F(x)

x

0

1

y

_1002891775.doc

f(x)

0.268(

1/(

F(x)

0.63

1/(

x

1.0

x

_1002955462.unknown

_1002554057.doc

f(z)

f(z)

0 z z 0 z z

F(z)

F(0)=1/2

((z)

_1002562151.doc

0 2 4 6 8 10 x

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

Densit f(x)

F.d.r. F(x)

_1002550767.doc

0 5 10 15 k

F(k)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

_1002552223.doc

x

f

F

x

0

0

1

1

1

1

_965558689.unknown