Ce este matematica?

tiina despre cifre i figuri geometrice.Microcosmos nchis, capabil s reflecte i s modeleze orice proces de gndire, fenomene naturale sau sociale.Arta de a numi lucruri diferite cu acelai nume.Arta de a formula n mod exact reguli valabile pentru toate tipurile de obiecte, dispoziii, instruciuni i modul strict de executare.Regina tuturor tiinelor.

AritmeticaSisteme de numerotaie.Sistemul de numerotaie zecimal. Orice numr natural n 0 se poate scrie sub forma:n=am10m+ am-110m-1+...+ a110+a0cu am, am-1, ..., a1, a0 0, 1, 2, ..., 9.Semnele am, am-1, ..., a1, a0 se numesc cifrele lui n. Numerele 1, 2, ..., 9 se numesc cifre semnificative.Exemplu. 5683= 5103+ 6102+810+3Observaie. Simbolurile 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se numesc cifre arabe i cu ajutorul lor, n sistemul zecimal de numerotaie, se poate scrie orice numr natural.

Cifre romane. Alturi de cifrele arabe, pentru desemnarea unor date importante, a unor congrese, conferine, a capitolelor unei cri, se folosesc cifre romane.Cifre romane sunt de toate apte: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Numerele naturale se scriu repetnd cifrele anterioare i respectnd urmtoarele reguli:Dac dup o cifr urmeaz una mai mic, atunci ele se adun:VII=5+1+1=7, XI=10+1=11, XXXVI=30+6=36

Dac dup o cifr urmeaz una mai mare, atunci ele se scad:IX=10-1=9, XIX=10+10-1=19, XL=50-10=40Sisteme de numere n baza B, B2. Orice numr natural n nenul se poate scrie n mod unic sub forma:n= amBm + am-1Bm-1+...+ a1B+a0unde am, am-1, ..., a1, a0 {0, 1, 2, ..., B-1} i se numesc cifrele lui n. Numerele 1, 2, ..., B-1 se numesc cifre semnificative.

Sisteme de numere utilizate.

Alturi de sistemul zecimal se utilizeaz: sistemul binar (B=2, cu cifrele 0, 1), sistemul octal (B=8, cu cifrele 0, 1, 2,..., 7), sistemul hexazecimal (B=16, cu cifrele 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F) i sistemul sexazecimal (cu baza B=60).Relaiile dintre cifre scrise n diferite sisteme se noteaz sub forma unui indice inferior, scris n paranteze rotunde.Exemplu. 100(10)=616+4=64(16), 111(2)=122+12+1 =7,21(3)=23+1=7.

Echivalena cifrelor zecimale n sistemele cu bazele 2, 3, 5, 8, 16.

Cifra n baza B=10B=2B=3B=5B=8B=16

0000000000000100010010101120010002020223001101003033401000110404450101012100556011002011066701110211207781000022131089100110014119

Operaii aritmetice. Adunarea, scderea, nmulirea, mprirea, ridicarea la putere natural i extragerea rdcinii sunt cele ase operaii ale aritmeticii.Teorema mpririi cu rest a numerilor ntregi a:b.a=bq+r, 0 r |b|,(1)q i r find unic determinai cu aceast proprietate. Numerele a, b, q i r se numesc respectiv: demprit, mpritor, ct i rest.Dac n (1) r=0, atunci se spune c numrul natural a divide cu numrul natural b.

Numere prime.Se numete numr prim orice numr natural p, p2, care are drept divizori naturali pe 1 i p.Exemplu. Numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13, , 97, 101, 103, sunt numere prime.

Teorema fundamental a aritmeticii.Orice numr ntreg diferit de zero i de 1 se poate descompune ntr-un produs de factori primi. Aceast descompunere este unic i se numete canonic. Un asemenea numr ntreg n se scrie sub forma:n = p11p22 pkk, (2)cu 1, , k numere natural nenule, iar 0 < p1 < p2 < < pk numere prime.

Numere natural remarcabile.Numere perfecte. Un numr natural se numete perfect dac el este egal cu suma divizorilor si, dintre care se exclude numrul nsui.Exemplu. 6 (6=1+2+3); 28 (28=1+2+4+7+14), 496. Nu se cunosc numere perfecte impare.Numere amiabile.Dou numere natural se numesc amiabile, dac fiecare dintre ele este egal cu suma divizorului celuilalt, dintre divizori excluzndu-se numerele nsele.Exemplu. Numerele 220 i 284 sunt numere amiabile, fiindc 220=1+2+4+71+142 (care sunt divizorii lui 284) i 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (care sunt divizorii lui 220).

Numere gemene. Dou numere prime se numesc gemene dac diferena lor este egal cu 2.Exemplu. 3 i 5; 5 i 7; 11 i 13; 10006427 i 10006429.

Elemente de logic matematic.Din lips de timp o s ne referim numai la noiunile de propoziie i operatori logici: non, i, sau.Definiie. Se numete propoziie un enun despre care se poate spune c este adevrat sau fals, dar nu i adevrat i fals simultan.Exemplu. 7 N este un enun care exprim un adevr, deci este o propoziie adevrat;x+6=2, x N este o propoziie fals, pentru c nu exist nici un numr natural x astfel ca x+6=2;x y, x, y N este un enun despre care nu se poate spune nimic, deci nu este o propoziie.

Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii.Dac o propoziie p este adevrat, se spune c are valoarea logic sau valoarea de adevr adevrul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 1 sau a i scriem (p)=1 sau (p)=a. Dac o propoziie q este fals, se spune c are valoarea de adevr falsul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 0 sau f i scriem (p)=0 sau (p)=f.

Operatorii logici: non, i, sau.Negaia. Negaia unei propoziii p este propoziia care este fals cnd p este adevrat i este adevrat cnd p este fals. Se noteaz non p.Conjucia. Conjucia a dou propoziii p i q este propoziia care este adevrat dac i numai dac fiecare propoziie p i q este adevrat. Se noteaz: p ^ q; p i q.Disjuncia. Disjuncia a dou propoziii p i q este propoziia care este adevrat dac i numai dac cel puin una din propoziiile p, q este adevrat. Se noteaz p v q; p sau q.

Implicaia. Implicaia propoziiilor p i q este propoziia care este fals dac i numai dac p este adevrat i q fals. Se noteaz: non p i se citete p implic q sau dac p, atunci q. Propoziia p este ipoteza, iar propoziia q concluzia.Echivalena logic. Propoziiile p i q sunt echivalente logic dac i numai dac p, q sunt adevrate sau sunt false simultan. Se noteaz: (non p) v q i (non q) v p; (pq) i (qp); pq. Se citete: p echivalent cu q sau p dac i numai dac q sau p este condiia necesar i suficient pentru q.

Incompatibilitatea. Incompabilitatea a dou propoziii p i q se exprim printr-o propoziie care este adevrat cnd cel puin una din ele este fals i este fals cnd i p i q sunt adevrate. Se noteaz p|q.Asupra unei expresii logice se pot efectua transformri logice cum sunt: transformarea prin inversiune, reciprocitatea.

iruri i serii.Se numete ir aplicaiaf(n) = an(5)Exemplu. irul numerelor reale an = n; 0, 1, 2, 3,, nirul numerelor pare an = 2n; 0, 2, 4, 6, 8,, 2nirul numerelor impare an = 2n+1; 1, 3, 5, 7,,, 2n+1(6)

irul numerelor impare care se mpart exact la 3 an = 3(2n+1); 3, 9, 15, 21, 27, 33, (7)irul numerelor impare care se mpart la 3 i la 5an = 15(2n+1)(8) an = 15, 45, 75, 105, 135, (9) irul numerelor impare se mai poate prezenta sub forma:an = an-1+2; a1 =1, n >1(10)irul numerelor impare care se mpart la 3an = an-1+6; a1 =3, n >1(11)irul numerelor impare care se mpart concomitent la 3 i la 5an = an-1+30; a1 =15, n >1 (12)

irul lui Fibonaccian = an-2+ an-1(13)Termenul general se poate cuta sub formaan = bnbn= bn-2+ bn-1 , 1= b-2+b-1 , b2 - b -1=0 (14)

(15)

an= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

Relaiile ntre iruri i modalitile de luare a deciziilor colective. Deciziile adoptate de Parlament, senate, consilii tiinifice,, se iau n baza unor articole speculate n Constituie, Legislaie sau Regulamente. Ele conin referiri la noiuni de majoritate simpl, calificat de 2/3, 3/5 sau alte. Majoritatea simpl o s-o notm prin M(1/2), iar cele calificate prin M(3/5), M(2/3), Pornind de la sensul acestor tipuri de majoritate putem scrie inegalitateaM'(1/2) M(3/5) M(2/3) (16)

n mod tradiional, majoritatea simpl M'(1/2) se definete n modul urmtor(17) unde n este numrul celor inclui n list. Formula (17) se interpreteaz: 50% plus unu.Majoritile calificate se determin n baza formulelor:(18)

La prima vedere la luarea deciziilor nu pot s apar probleme. n realitate, abstraciile de regulile matematice, conduc la apariia unor confuzii n luarea deciziilor. Este evident c regulile trebuie s fie valabile pentru orice numr n. S calculm majoritile definite pentru patru valori ale lui n: 3, 5, 9, 101.n=3

Deoarece M(1/2)>M(3/5)=M(2/3) rezultatul obinut este absurd.

n=5

Observm c i pentru n=5, rezultatele calculelor nu reflect corect sensul problemei (majoritatea simpl nu poate fi mai mare dect majoritatea calificat).

n=9

Astfel majoritatea simpl este egal cu majoritatea calificat de 2/3 i este mai mare dect majoritatea calificat de 3/5.

n=101

Pentru n=101 inegalitatea (16) este satisfcut, ns i n acest caz se strecoar o incertitudine: dac coaliia are 51 de mandate, iar opoziia 50, atunci Parlamentul devine total nefuncional.

Unde se ascunde eroarea?Eroarea provine n primul rnd de la faptul c noiunile de majoritate nu sunt definite sub forma unui sistem coerent. Adic definiiile pentru fiecare tip de majoritate nu pot fi formulate n mod independent. Dac se utilizeaz mai multe tipuri de majoriti se impune n mod obligatoriu definirea majoritii minime.Definiie. Majoritii minime i corespunde primul numr ntreg mai mare de jumtate. Aceast majoritate poate fi prezentat sub urmtoarea form analitic:(19)

Pentru numere pare majoritatea definit sub forma 50%+1, relaia (17) coincide cu majoritatea minim, formula (19). Diferena apare n cazul cel mai frecvent ntlnit n practic n - numere impare.Formulele (17), respectiv (19) devin:(20)

(21)

Din (20) i (21) rezult c 50% +1 este mai mare dect majoritatea minim. Anume din aceast cauz apar contrazicerile deja indicate.

Probleme apar i n cazul majoritilor calificate de 2/3 sau 3/5, dac la calculul lor se obin numere fracionare. n cercurile juridice se ntlnesc dou preri cu privire la trecerea de la numere fracionare la numere ntregi: unii consider c se admite i adios i eliminare; alii accept numai adaosul. n primul caz rotungirea numerilor fracionare se face dup regulile aritmeticii (19,319; 27,628). Dac eliminarea se exclude, atunci 19,320, 27,628.

Din punct de vedere matematic se modeleaz cu uurin ambele puncte de vedere:

Problema const n altceva. De modelat se poate orice, ns nu toate sistemele modelate sunt coerente pentru orice valoare a lui n. Analiza numeric a celor patru variante este dat n fig.1-4.

Rezultatele numerice demonstreaz c din cele patru variante condiia de coeren este satisfcut numai dac orice tip de majoritate se definete, printr-o relaie analitic unitar. n problema sistemului de majoritate minim i calificate, pentru orice numr impar se poate scrie relaia

Astfel n matematic pe lng noiunea de coeren mai intervine i noiunea de unicitate. Dac o problem din spaiul public sau juridic permite mai multe interpretri, atunci ea nu satisface condiiile de coeren i unicitate.