Modelarea deciziilor financiar-monetareTitular seminar: Virgil Damian

Capitolul 4: Teoria portofoliului

Remarca preliminara: Orice vector este considerat vector coloana.

4.1 Generalitati

4.1.1 Definitia portofoliului

• Portofoliul P va fi considerat vectorul coloana xP = (x1, x2, ..., xn)>, unde xi, pentru i ∈ 1, ..., n

noteaza ponderea investitiei în activul i. Evident, componentele xi respecta conditia de pondere:n∑i=1

xi = 1. (1)

• Daca xi < 0 vom considera pozitie short pe activul i (en. short selling).

• Notatie: e = (1, 1, 1, ..., 1)>. Atunci relatia (1) poate fi scrisa vectorial sub forma1

x>P · e = (x1, x2, ..., xn)> ·

11...1

=

n∑i=1

xi = 1. (2)

• Observatie:(x> · e

)>= e> ·x = 1, unde am folosit faptul ca dacaM,N ∈Mn (R), atunci (M ·N)> =

N> ·M>.

4.1.2 Rentabilitatea asteptata a activului i

Rentabilitatea unui activ (notat generic i) se calculeaza dupa formula

R(1)i =

P(1)i − P (0)i +D

(1)i

P(0)i

, (3)

unde P (0)i si P (1)i noteaza pretul prezent (la momentul 0), respectiv viitor (la momentul 1) al activului i, iarD(1)i dividentul platit în viitor. Deoarece P (1)i si D(1)

i sunt valori asteptate (medii ale unor valori viitoare),R(1)i este variabila aleatoare. Formula de calcul a renatbilitatii astepate a activului i se calculeaza la

momentul initial din relatia (3):

E(0)[R(1)i

]=E(0)

[P(1)i

]− P (0)i + E(0)

[D(1)i

]P(0)i

, (4)

unde E(0) [·] noteaza media unei variabile aleatoare (sperata sa matematica) calculata la momentul de timpinitial (notat 0).

• Notatie: µ = (µ1, µ2, ..., µn)> va desemna vectorul rentabilitatilor asteptate, unde µi = E(0)

[R(1)i

]noteaza rentabilitatea asteptata a activului i.

1Utilizând regula de înmultire a vectorilor data de produsul scalar canonic pe Rn: daca x = (x1, x2, ..., xn)> si y =

(y1, y2, ..., yn)> sunt doi vectori ai spatiului euclidian Rn, atunci produsul lor scalar (canonic) va fi

x> · y =n∑i=1

xiyi.

1

4.1.3 Varianta rentabilitatii activului i

Varianta rentabilitatii activului i se calculeaza cu formula

σ2inot.= E(0)

[R(1)i − E(0)

[R(1)i

]]2,

iar riscul asociat acestuia va fi σi =√σ2i .

4.1.4 Rentabilitatea asteptata a portofoliului P

Rentabilitatea portofoliului P format din cele n active considerate (ca variabila aleatoare) este

R(1)P = x1 ·R(1)1 + x2 ·R(1)2 + ...+ xn ·R(1)n ,

iar rentabilitatea asteptata a acestuia se va calcula la momentul initial dupa formula

ρPnot.= E(0)

[R(1)P

]= x1 · E(0)

[R(1)1

]+ x2 · E(0)

[R(1)2

]+ ...+ xn · E(0)

[R(1)n

]=

n∑i=1

xi · µi. (5)

Am obtinut, prin urmare,ρP = x>P · µ = µ> · xP . (6)

Formula (6) reprezinta forma vectoriala a formulei (5).

4.1.5 Varianta rentabilitatii portofoliului P

Varianta rentabilitatii portofoliului P se calculeaza uzual, folosind definitia studiata la cursul de probabilitati:

σ2Pnot.= VAR

[R(1)P

]= VAR

[x1 ·R(1)1 + x2 ·R(1)2 + ...+ xn ·R(1)n

]=

n∑i=1

x2iσ2i + 2

n∑i,j=1i<j

xixjσi,j , (7)

undeσi,j

not.= COV

[R(1)i , R

(1)j

]def.= E(0)

[R(1)i − E(0)

[R(1)i

]]×[R(1)j − E(0)

[R(1)j

]].

Riscul portofoliului P va fi cuantificat prin σP =√σ2P .

4.1.6 Matricea varianta-covarianta

Matricea varianta-covarianta se noteaza uzual cu Ω si este matricea de elemente σi,j , adica Ω = (σi,j)i,j=1,n.

• Observatie: Deoarece σi,j = σj,i, matricea Ω este simetrica (Ω = Ω>) si Ω−1 este simetrica.

• Notatie: ρi,j va nota coeficientul de corelatie dintre rentabilitatea activului i si cea a activului j,

ρi,jnot.= CORR

[R(1)i , R

(1)j

]=

COV[R(1)i , R

(1)j

]

VAR[R(1)i

]×VAR

[R(1)j

] 12

=σi,j√σ2i × σ2j

=σi,jσi · σj

∈ [−1, 1] .

De remarcat caσi,j = ρi,j · σi · σj . (8)

• Observatie: Din formula (8) rezulta ca matricea Ω poate fi descompusa sub forma

Ω =

σ1 0 0 · · · 00 σ2 0 · · · 00 0 σ3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · σn

︸ ︷︷ ︸

not.= S

×

1 ρ1,2 ρ1,3 · · · ρ1,nρ2,1 1 ρ2,3 · · · ρ2,nρ3,1 ρ3,2 1 · · · ρ3,n...

......

. . ....

ρn,1 ρn,2 ρn,3 · · · 1

︸ ︷︷ ︸

not.= M

×

σ1 0 0 · · · 00 σ2 0 · · · 00 0 σ3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · σn

︸ ︷︷ ︸

not.= S

,

deci Ω = S ·M · S.

2

• În raport cu matricea varianta-covarianta, varianta rentabilitatii asteptate a protofoliului P va fi

σ2P = x>P · Ω · xP . (9)

Formula (9) reprezinta forma vectoriala a formulei (7).

• Mai mult, covarianta dintre rentabilitatea portofoliului P si rentabilitatea unui alt porto-foliu Q se calculeaza cu formula

σP,Qnot.= COV

[R(1)P , R

(1)Q

]= x>P · Ω · xQ, (10)

unde portofoliul Q este definit în mod similar cu P .

4.2 Frontiera Markowitz

Se doreste rezolvarea urmatoarei probleme de optim cu doua restrictii:minxP

12σ

2P , unde σ2P = f (xP ) = x>P · Ω · xP ,

x>P · µ = µ · x>P = ρP , unde ρP este fixat (dat),x>P · e = e · x>P = 1.

(11)

Rezolvarea problemei (11) se bazeaza pe metoda multiplicatorilor a lui Lagrange. Solutia problemei vagenera structura investitiei optime în cele n active:

x∗P =1

D

[(AρP −B) Ω−1µ+ (C −BρP ) Ω−1e

]∈Mn,1 (R) , (12)

unde scalarii A,B,C si D sunt definiti prinAnot.= e> · Ω−1 · e ∈ R,

Bnot.= e> · Ω−1 · µ = µ> · Ω−1 · e ∈ R,

Cnot.= µ> · Ω−1 · µ ∈ R,

Dnot.= A · C −B2 ∈ R.

(13)

Valoarea de optim a functiei obiectiv,(σ2P)∗

= f (x∗P ), va fi

(σ2P)∗ not.

=conventie

σ2P =1

D

[Aρ2P − 2BρP + C

]= ϕ (ρP ) . (14)

Evident, riscul portofoliului P va fi σP =√σ2P . Reprezentarea grafica a functiei ϕ (ρP ), atunci când ρP

variaza, este o hiperbola:

3

FrontieraMarkowitz

CML

V

M

W

Rf

Riscul asociat

Rentabilitateasteptata

Fig. 1: Frontiera portofoliilor realizabile

Orice portofoliu situat pe reprezentarea grafica a curbei ϕ va fi caracterizat de indicatorii structura,rentabilitate asteptata, risc:

[P ] :

structura: x∗P =

1

D

[(AρP −B) Ω−1µ+ (C −BρP ) Ω−1e

],

rentabilitate asteptata: ρP − data (fixata, tintita),varianta: σ2P =

1

D

[Aρ2P − 2BρP + C

],

(15)

cu A, B, C si D dati prin relatiile (13). Dintre toate portofoliile posibile, doar cele situate pe ramurasuperioara a hiperbolei vor fi luate în considerare si considerate eficiente. Aceasta ramura se numeste înliteratura de specialitate frontiera Markowitz.

• În general, pentru doua portofolii, E si F , situate pe ramura superioara a hiperbolei care descriefrontiera Markowitz (vezi figura 1),

COV[R(1)E , R

(1)F

]=

1

A+A

D· [ρE − ρV ] · [ρF − ρV ] > 0. (16)

Formula (16) reprezinta explicitarea formulei (10), atunci când P (notat în (16) cu E) si Q (notat în(16) cu F ) sunt eficiente.

• Portofoliul Z, numit conjugat al lui P , este acel portofoliu pentru care COV[R(1)P , R

(1)Z

]= 0. Rentabil-

itatea acestuia este

ρZ = E(0)[R(1)Z

]=BρP − CAρP −B

= ρVρP − ρWρP − ρV

. (17)

4.2.1 Portofolii fundamentale pe frontiera Markowitz

Portofoliul de risc minim global este notat uzual cu V (sau PVMIN ) si este caracterizat de:

[V ] :

structura: x∗V =

1

AΩ−1e,

rentabilitate asteptata: ρVnot.= E(0)

[R(1)V

]=B

A,

varianta: σ2V =1

A.

(18)

4

Daca se traseaza tangenta la frontiera Markowitz, ce trece prin originea planului financiar risc-rentabilitate,punctul de tangenta se noteaza uzual cu W si constituie un portofoliu eficient. Portofoliul W este acelportofoliu (eficient) care asigura cea mai mare rentabilitate daca pe piata nu exista posibilitatea de a efectuaoperatiuni de short-selling. Acesta este caracterizat de:

[W ] :

structura: x∗W =

1

BΩ−1µ,

rentabilitate asteptata: ρWnot.= E(0)

[R(1)W

]=C

B,

varianta: σ2W =C

B2.

(19)

• Observatie: Ne propunem sa evaluam σV,W . Cu formula (10), obtinem succesiv:

σV,W = x>V ·Ω ·xW =

[1

AΩ−1e

]>·Ω ·

[1

BΩ−1µ

]=

1

A

1

B︸︷︷︸scalari

·e> ·Ω−1 · Ω︸ ︷︷ ︸In

·Ω−1 ·µ =1

A

1

Be> · Ω−1 · µ︸ ︷︷ ︸

=B

=1

A.

Am obtinut, în final,

σV,W =1

A. (20)

Mai mult, se poate demonstra ca

σV,P =1

A, (21)

unde P este orice portofoliu (eficient).

• Se observa ca daca în formula (16) se considera E = V , atunci sunt recuperate formulele (20).si (21),deci (16) reprezinta o generalizare a acestora.

4.2.2 Teorema lui Tobin (1958)

• Enuntul teoremei: Structura oricarui portofoliu (eficient) se poate determina cu ajutorul combinatieiliniare convexe a structurilor celor doua portofolii fundamentale, V si W :

exista λP ∈ [0, 1] astfel încât xP = λP · xV + (1− λP ) · xW . (22)

• Observatie: Relatia (22) ramâne valabila inclusiv la nivelul rentabilitatilor asteptate corespunzatoarecelor trei portofolii:

exista λP ∈ [0, 1] astfel încât ρP = λP · ρV + (1− λP ) · ρW , (23)

de unde rezultaλP =

ρW − ρPρW − ρV

=ρP − ρWρV − ρW

. (24)

• Observatie importanta: În aplicatii, teorema lui Tobin reprezinta alternativa în calculul structuriiunui portofoliu (eficient), atunci când matricea Ω nu este data.

• Putem, acum, demonstra usor, relatia (21):

σV,P = x>V · Ω · xP =

[1

AΩ−1e

]>· Ω · [λP · xV + (1− λP ) · xW ]

=1

A2· λP · e> · Ω−1 · e+

1

AB· e> · (1− λP ) · Ω−1 · µ

= λP ·1

A+

1

AB·B − 1

AB· λP ·B =

1

A.

Asadar, covarianta oricarui portofoliu (eficient) cu portofoliul de varianta minima absolutaare valoarea invarianta, 1

A .

5

4.2.3 Cazul unei economii în care exista activul fara risc

Sa presupunem ca un investitor doreste sa îsi investeasca capitalul în cele n active cu risc si într-un activ fararisc existent (tranzactionat) pe piata, notat cu f , a carui rentabilitate este notata Rf . Bineînteles, punctulde coordonate (0, Rf ) se va afla sub nivelul ρV (figura 1).

Sa notam cu S portofoliul format din activele cu risc,[S]

: xS = (x1, x2, ..., xn) (25)

si cu x0 ponderea investita în activul fara risc. Sa consideram S portofoliul format din activul fara risc sicele n active riscante,

[S] : xS = (x0, x1, x2, ..., xn) = (x0, xS) .

Prin urmare, conditia de portofoliu se transforma în:

x0 +

n∑i=1

xi = 1⇐⇒ x0 + x>S· e = x>S · e = 1. (26)

Rentabilitatea asteptata a investitiei va fi:

ρSnot.= E(0)

[R(1)S

]= x0 ·Rf + x1 · E(0)

[R(1)1

]+ x2 · E(0)

[R(1)2

]+ ...+ xn · E(0)

[R(1)n

](27a)

= x0 ·Rf +

n∑i=1

xi · µi = x0 ·Rf + x>S· µ not.

= x>S · µf , (27b)

unde µf = (Rf , µ1, µ2, ..., µn)> ∈Mn+1,1 (R). Am obtinut:

ρS = x>S · µf = µ>f · xS , (28)

echivalentul relatiei (6). Evident, riscul investitiei nu se modifica prin adaugarea unui activ fara risc,

σ2S = x>S · Ω · xS = σ2P , (29)

unde P este un portofoliu (eficient) format numai din active riscante.Noua problema de optimizare va fi:

minxS

12σ

2S , unde σ2S = f (xS) = x>S · Ω · xS = σ2P ,

x>S · µf = µ>f · xS = ρS , unde ρS este fixat (dat),x>S · e = e · x>S = 1,

(30)

echivalentul problemei de optimizare (11).

4.2.3.1 Portofoliul pietei

Din optimizare rezulta o noua frontiera de portofolii eficiente, frontiera CML (en. Capital Market Line).Aceasta va fi dreapta tangenta din Rf la frontiera Markowitz (vezi figura 1). Frontiera CML si frontieraMarkowitz au un singur punct în comun, acel portofoliu eficient de pe CML format doar din active cu risc,x0 = 0. Acest punct se numeste portofoliul pietei si se noteaza uzual cu M . Aflându-se (si) pe frontieraMarkowitz, acestuia îi pot fi aplicate formulele specifice. Se obtine, astfel:

[M ] :

structura: x∗M =1

B −ARfΩ−1 [µ−Rf · e] ∈Mn,1 (R) ,

rentabilitate asteptata: ρM = E(0)[R(1)M

]=C −BRfB −ARf

,

varianta: σ2M =AR2f − 2BRf + C

(B −ARf )2 .

(31)

Desigur, portofoliului M îi poate fi aplicata teorema lui Tobin. Rezulta:

[M ] : xM = λM · xV + (1− λM ) · xW , unde λM =ρW − ρMρW − ρV

. (32)

Formula (32) este utila în aplicatiile ce nu dau matricea Ω.

6

• Observatie importanta: Spre deosebire de portofoliile situate pe frontiera Markowitz, celor de pefrontiera CML nu li se poate aplica teorema lui Tobin în forma enuntata anterior (deoarece portofoliileV si W nu apartin frontierei CML) Aceasta se adapteaza tinând cont de puncte ce apartin drepteiCML, e.g. (0, Rf ) si (σM , ρM ):

Mn+1,1 (R) 3 xS = λS · (x0,0n,1) + (1− λS) · (0, xM ) , pentru S ∈ CML si λS ∈ [0, 1] , (33)

unde x0 se calculeaza conform formulei (35), iar (x0,0n,1) , (0, xM ) ∈ Mn+1,1 (R), cu 0n,1 vectorulcoloana nul al spatiului Rn. Formula (33) poate fi trecuta la nivelul rentabilitatilor:

ρS = λS ·Rf + (1− λS) · ρM . (34)

4.2.3.2 Portofolii pe frontiera CML

Structura unui portofoliu situat pe frontiera CML va fi:

[S] :

x0 = 1− σSσM

: ponderea investitiei în activul fara risc,

xS =σSσM

xM : ponderea investitiei în activele riscante (portofoliul pietei).(35)

Rentabilitatea asteptata a unui portofoliu S se calculeaza folosind ecuatia dreptei CML:

ρS = E(0)[R(1)S

]= Rf +

ρM −RfσM

· σSnot.= ψ (σS) . (36)

• Observatie: Functia ψ (fiind liniara) este bijectiva, deci inversabila sau, altfel spus, inversând relatia(36), se poate calcula riscul σS atunci când este specificata rentabilitatea asteptata, ρS .

Portofoliul pietei este singurul portofoliu format doar din active cu risc care ramâne eficient atunci cândexista si activ fara risc pe piata. Acest portofoliu este utilizat în evaluarea activelor tranzactionate si atuturor celorlalte portofolii, indiferent daca sunt eficiente sau nu. Se poate calcula volatilitatea unui activ(sau a unui portofoliu), în relatie cu portofoliul pietei. Pentru toate activele cu risc de pe piata, coeficientulde volatiliatate2 (notat generic cu βi, i ∈ 1, ..., n) se poate determina astfel:

β1β2...βn

=Ω · xMσ2M

∈Mn,1 (R) , (37)

daca se cunoaste matricea Ω sau folosind modelul CAPM. Pe componente, formula (37) se scrie:

βi =σi,Mσ2M

=σiσM

ρi,M , (38)

unde σi,M noteaza covarianta dintre activul i si portofoliul pietei M .Pentru portofoliul eficient (sau nu) Q, coeficientul de volatiliate se poate calcula cu formula:

βQ =x>Q · Ω · xM

σ2M∈ R, (39)

daca se cunoaste matricea Ω sau folosind modelul CAPM.Daca βi > 1 (sau βQ > 1), activul i (sau portofoliul Q) este mai agresiv decât piata sau reactioneaza

mai puternic decât piata - adica, la o modificare a rentabilitatii pietei cu o unitate, rentabilitatea activuluii (sau a portofoliului Q) se modifica cu mai mult de o unitate.Daca βi < 1 (sau βQ < 1), activul i (sau portofoliul) este mai putin agresiv decât piata sau reactioneaza

mai slab decât piata - adica, la o modificare a rentabilitatii pietei cu o unitate, rentabilitatea activului i (saua portofoliului Q) se modifica cu mai putin de o unitate.

2Masura a riscului sistematic

7

Coeficientul de corelatie al activului i cu portofoliul pietei este:

ρi,M = βi ·σMσi

, (40)

iar al portofoliului Q cu portofoliul pietei:

ρQ,M = βQ ·σMσQ

. (41)

4.2.4 Modelul CAPM

CAPM (en. Capital Assets Pricing Model) este un model de evaluare a activelor tranzactionate pe o piata(si a portofoliilor de active) care leaga excesul de rentabilitate al portofoliului pietei peste rentabilitatea fararisc (ρM −Rf ) si volatilitatea activului (sau al portofoliului) βi de excesul de rentabilitate al activului (sauportofoliului) peste rentabiliatea fara risc (µi −Rf ):

µi = E(0)[R(1)i

]= Rf + βi · [ρM −Rf ] . (42)

Tinând cont de relatia (38), modelul CAPM (42) se scrie

µi = Rf + π · σi · ρi,M ,

unde

πnot.=

ρM −RfσM

reprezinta prima de risc.3

4.3 Aplicatii

Exercitiul I Presupunem o piata de capital pe care sunt tranzactionate trei active cu risc (i ∈ 1, 2, 3).Matricea de varianta-covarianta a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezinta astfel:

Ω =

0, 0400 −0, 0066 0, 02080, 0484 −0, 0057

0, 0676

, respectiv, Ω−1 =

30, 2013 3, 0506 −9, 034621, 1780 0, 8533

17, 6450

.

Vectorul rentabilitatilor asteptate în cazul celor trei active este:

µ =

0, 15000, 18000, 2300

.

Presupunem un investitor rational care urmareste obtinerea unei rentabilitati ρ cu risc minim. Pornindde la aceasta ipoteza sa se determine:

(a) structura si riscul portofoliului eficient (optim Pareto) P , care asigura o rentabilitate ρ, cu riscminim;

(b) riscul portofoliilor pentru care investitorul rational fixeaza rentabilitatile astfel: ρ1 = 0, 10, ρ2 =0, 15, ρ3 = 0, 20, ρ4 = 0, 25. Sa se reprezinte grafic punctele în planul financiar si sa se comentezerezultatele obtinute.

(c) structura portofoliului cu risc minim global, V ;

(d) riscul si rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dusa la frontiera Markowitz trece prinoriginea axelor;

(e) Presupunem ca pe piata de capital exista un portofoliu Z, numit conjugat al unui portofoliului P ,situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. Sa se determine rentabilitatea, riscul si structuraacestui portofoliu (Z).

3Prin urmare, pentru fiecare activ, prima de risc este proportionala cu σi · ρi,M ≤ σi si nu cu întregul risc, σi, al activului.

8

Exercitiul II Un investitor rational poate sa formeze un portofoliu eficient P , utilizând fondurile mutualeV si W caracterizate prin

[V ] :

structura: xV =(

0, 4121 0, 4268 0, 1611)>,

rentabilitate asteptata: ρV = 17, 57%,risc: σV = 13, 05%,

respectiv,

[W ] :

structura: xW =(

0, 2907 0, 4326 0, 2767)>,

rentabilitate asteptata: ρW = 18, 51%,risc: σW = 13, 39%.

(a) Sa se determine ponderea investitiei în V si W astfel încât investitorul sa obtina o rentabilitateegala cu 20%.

(b) Sa se calculeze covarianta dintre V si W , respectiv dintre V si P , portofoliul de la punctul (a).

Exercitiul III Pe o piata coteaza un numar de patru active financiare. Se cunosc urmatoarele informatii:

µ =(

0, 1700 0, 2200 0, 1500 0, 1300)>, σ1 = 0, 2832, σ2 = 0, 3445, σ3 = 0, 2455, σ4 = 0, 1825,

A = 103, 88791 B = 15, 02409 C = 2, 23887

xV =(

0, 37501 −0, 02693 0, 10209 0, 54983)>, xW =

(0, 33255 0, 03573 0, 12504 0, 50668

)>.

Se cer:

(a) riscurile σV , σW si rentabilitatile ρV si ρW ;

(b) riscul si rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz stiind ca rentabilitatea asteptataeste ρP = 22%;

(c) structura si rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz stiind ca riscul asumat deinvestitor este σQ = 34, 45%;

(d) stiind ca Rf = 8%, sa se calculeze rentabilitatea, riscul si structura portofoliului pietei M ;

(e) sa se calculeze rentabilitatea si structura portofoliului S, situat pe CML stiind ca σS = 34, 45%;

(f) sa se calculeze coeficientii de volatilitate β1, β2, β3, β4 si coeficientii de corelatie ρ1,M , ρ2,M , ρ3,M ,ρ4,M .

(g) sa se calculeze indicatorul de senzitivitate

∂ρM∂Rf

,

unde ρM = ρM (Rf ).

Exercitiul IV Pe o piata coteaza 2014 de active financiare cu risc si un activ fara risc. Se estimeaza caecuatia frontierei Markowitz este:

σ2P = 66, 239ρ2P − 15, 529ρp + 0, 928.

Rentabilitatea activului fara risc este Rf = 9%.

(a) Sa se deteremine rentabilitatea asteptata si riscul portofoliului V .

(b) Sa se determine riscul si structura pe cele doua fonduri mutuale V si W pentru un portofoliu de pefrontiera Markowitz care are rentabilitatea asteptata ρP = 12%.

(c) Cum se modifica structura (pe cele 2014 active cu risc) portofoliului de la punctul (b) daca riscuriletuturor activelor cresc cu 10%?

(d) Sa se determine riscul si structura pe cele doua fonduri mutuale Rf si M pentru un portofoliu depe CML care are rentabilitatea asteptata ρS = 12%.

9

(e) Un investitor are functia de utilitate

u(ρ, σ2

)= ρ− θ

2σ2,

unde parametrul θ cuantifica aversiunea la risc a investitorului. Sa se determine rentabilitatea asteptataa portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de catre investitor. Ce se întampla dacaθ −→∞? Explicatie.

Exercitiul V Pe o piata coteaza trei active. Se cunosc:

xV =(

0, 2664 0, 2281 0, 5055)>, xW =

(0, 2870 0, 2949 0, 4180

)>,

σ2V = 0, 0069, µ =(

0, 1700 0, 1400 0, 1000)>.

(a) Sa se calculeze A, B, C si D.

(b) Sa se calculeze xP si σP ale unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz stiind ca ρP = 17%.Stiind ca σ1 = 27%, sa se calculeze σP

σ1si sa se faca un scurt comentariu financiar.

(c) Stiind ca ρM = 13, 88%, sa se calculeze σM , xM si Rf .

(d) Sa se calculeze xP1 si σP1 ale unui portofoliu situat pe CML, stiind ca ρP1 = 17%. Sa se compareσP , σP1 si σ1. Scurt comentariu.

Exercitiul VI Pe o piata coteaza un numar de trei active. Se cunosc:

xV =(

0, 2871 0, 0585 0, 6545)>, xW =

(0, 2771 0, 1029 0, 6199

)>,

ρW = 17, 035%, ρV = 16, 67% si Rf = 10%.

Se cer:

(a) structura si riscul portofoliului pietei M ;

(b) stiind ca σM = 18, 38%, sa se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu σP = 22, 98%.

Exercitiul VII Pe o piata coteaza patru active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc urmatoareleelemente:

xV =(

0, 2191 0, 3695 0, 3028 0, 1086)>, xW =

(0, 2328 0, 3515 0, 2968 0, 1185

)>,

ρV = 13, 46% ρW = 13, 59% σV,W = 0, 0014.

(a) Sa se determine structura si riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%.

(b) Sa se determine senzitivitatea riscului portofoliului P în raport cu rentabilitatea sa.

(c) Sa se determine în ce interval trebuie sa se situeze rentabilitatea lui P astfel încât portofoliul saaiba o componenta, respectiv doua negative. Exista valori pentru care P are trei componente negative?

(d) Sa se determine riscul, rentabilitatea si structura lui M daca Rf = 7%.

(e) Sa se precizeze în ce interval trebuie sa se situeze Rf astfel încâtM sa aiba o componenta sau douanegative.

Exercitiul VIII Se considera o piata pe care coteaza trei active. Matricea de varianta-covarianta si inversasa sunt:

Ω =

0, 0802 0, 0683 −0, 02090, 1187 ?

0, 0603

, respectiv, Ω−1 =

25, 7969 −14, 1377 4, 959616, 5251 ?

18, 8368

.

În plus, se stie ca

Rf = 8% σV = 15, 48% µ =(

0, 1700 0, 2200 0, 1400)>.

10

(a) Sa se calculeze carcateristicile portofoliului de pe frontiera Markowitz care asigura o rentabilitatede 18, 5%.

(b) Sa se determine structura, rentabilitatea si volatilitatea unui portofoliu de pe CML cu riscul σQ =8, 2%.

(c) Ca urmare a cresterii pietei, toate rentabilitatile activelor cresc cu 10%. Sa se determine modul încare se modifica rentabilitatea, riscul si structura portofoliilor V si M .

Exercitiul IX Pe o piata coteaza trei active. Se cunosc:

Ω =

0, 1123 −0, 0840 0, 02290, 1657 −0, 0160

0, 0615

, respectiv, Ω−1 =

15, 1367 7, 3123 −3, 732216, 5251 −0, 1926

17, 5984

,

µ1 = 0, 1700, µ2 = 0, 2200, µ3 = 0, 1400, Rf = 8%.

(a) Sa se calculeze xV , ρV , σV , xW , ρW , σW , xM , ρM , σM .

(b) Sa se calculeze indicatorii de la punctul (a) pentru cazul în care µ1, µ2, µ3 si Rf cresc cu 20%.

(c) Sa se calculeze indicatorii de la punctul (a) pentru cazul în care σ1, σ2, σ3 cresc cu 20%.

(d) Pe baza datelor initiale, sa se calculeze xP , σP si βP stiind ca ρP = 25%, iar P este situat pe:

(d1) frontiera Markowitz,

(d2) frontiera CML.

11