MODELARE ECONOMETRICĂ

SUPORT DE CURS

Lect.dr. MIHAI LĂMĂTIC

CUPRINS

CAPITOLUL 1. MODELAREA ECONOMETRICĂ - INSTRUMENT EURISTIC ŞI

DE CONDUCERE ............................................................................................................... 5

1.1 METODA ŞI FUNCŢIILE MODELĂRII ............................................................................... 5

1.2 MODEL ECONOMIC ........................................................................................................ 8

1.2.1 Conceptul de model economic .............................................................................. 8

1.2.2 Clasificări ale modelelor economice .................................................................. 11

1.3 NOŢIUNI DE ECONOMETRIE ......................................................................................... 16

CAPITOLUL 2. ANALIZA SISTEMELOR ŞI ELABORAREA MODELELOR .... 19

2.1 ANALIZA SISTEMELOR MODELATE............................................................................... 19

2.1.1 Precizarea naturii şi a conţinutului problemei................................................... 19

2.1.2 Metodologii folosite în analiza sistemică ........................................................... 22

2.2 ELABORAREA MODELELOR.......................................................................................... 26

2.2.1 Etape ale construirii modelelor .......................................................................... 26

2.2.2 Metode pentru elaborarea modelelor ................................................................. 27

2.2.3 Simplificarea şi agregarea variabilelor.............................................................. 29

CAPITOLUL 3. FUNCŢII ŞI CURBE FOLOSITE ÎN MODELELE

ECONOMETRICE............................................................................................................ 32

3.1 FUNCŢII ŞI CURBE ALE UTILITĂŢII................................................................................ 32

3.2 FUNCŢII ŞI CURBE DE INDIFERENŢĂ ............................................................................. 34

3.3 FUNCŢII ŞI CURBE DE TRANSFORMARE ........................................................................ 36

3.4 FUNCŢII DE PRODUCŢIE ............................................................................................... 38

3.5 FUNCTII SI CURBE ALE CERERII.................................................................................... 47

3.6 FUNCTII SI CURBE ALE VENITULUI TOTAL.................................................................... 51

3.7 FUNCŢII ŞI CURBE ALE COSTURILOR ............................................................................ 52

3.8 ELASTICITATEA FUNCŢIILOR ....................................................................................... 55

3

CAPITOLUL 4. METODE PENTRU SOLUTIONAREA MODELELOR................. 63

4.1 METODE CLASICE........................................................................................................ 63

4.2 METODE ITERATIVE .................................................................................................... 66

4.3 SIMULAREA PE MODELE .............................................................................................. 68

4.3.1 Conceptul de simulare ........................................................................................ 69

4.3.2 Metode de simulare............................................................................................. 76

4.4 OPTIMIZARI EXPERIMENTALE...................................................................................... 80

CAPITOLUL 5. APLICAŢII ALE MODELĂRII ECONOMETRICE LA NIVEL

MICROECONOMIC ........................................................................................................ 85

5.1 MODELE DE ACHIZIŢII ŞI VÂNZĂRI............................................................................... 85

5.2 MODELAREA SISTEMELOR DE AŞTEPTARE ÎN DOMENIUL SERVICIILOR......................... 95

5.3 JOCURI DE FIRMA ...................................................................................................... 107

BIBLIOGRAFIE.............................................................................................................. 119

4

Capitolul 1. Modelarea econometrică - instrument euristic şi de

conducere

Abordarea sistemică a naturii şi societăţii constituie o caracteristică a ştiinţei

contemporane. În domeniul activităţii economice, eficienţa deciziilor este condiţionată de

cunoaşterea structurii şi funcţionării sistemelor economiei de piaţă.

Dezvoltarea contemporană a ştiinţei reflectă utilizarea modelelor. Conceptul de

model a fost menţionat pentru prima dată în anul 1868 de matematicianul italian Beltrami,

care a construit un model euclidian pentru geometria neeuclidiană. Ulterior, teoria şi

practica modelării au evoluat în strânsă legătură cu definirea principiului sistemicităţii şi a

folosirii calculatoarelor electronice.

1.1 Metoda şi funcţiile modelării

Modelarea foloseşte o serie de analogii, prin care sunt reproduse anumite laturi ale

obiectului studiat în vederea simplificării cercetării ştiinţifice. Analogia indică identitatea

raporturilor dintre diferite mărimi ilustrând asemănarea raporturilor între lucruri diverse; se

utilizează, de asemenea, spre a indica raportul între obiecte similare, dar nu egale.

Metoda modelelor sau metoda modelării poate fi definită ca instrument de

cunoaştere ştiinţifică şi de fundamentare a deciziilor în cele mai diverse domenii teoretice

şi practice. În această calitate, modelarea fie construieşte modele noi ca reprezentări ale

obiectului cercetat, fie foloseşte modele disponibile, adecvate scopurilor sale. Teoriile

despre natură şi societate nu pot fi reproduse nemijlocit material, ci numai prin intermediul

unor modele. Dacă macheta unei localităţi este modelul topografic şi arhitectonic al

acesteia, miniatura unei locomotive reprezintă modelul său material etc., reproducerea

materială a fenomenelor şi proceselor nepalpabile, cum sunt cele economice, poate fi

realizată doar cu ajutorul modelelor abstracte concepute de om.

Analiza obiectivelor modelării evidenţiază o serie de aspecte cu valenţe multiple

care se intersectează în funcţionarea sistemului înfăţişat. Spre deosebire de modelare,

5

experimentul constă în acţiunea directă asupra obiectului de studiu, în modificarea „pe viu”

a valorilor unor parametri, având o arie limitată de aplicabilitate.

Primul avantaj al modelării faţă de experimentare constă în faptul că un sistem

observabil poate fi modelat chiar dacă sistemul nu permite efectuarea de experimente

directe în cadrul său. Asemenea experimente se pot desfăşura însă pe modelul construit iar

informaţiile culese din cercetarea comportării modelului sunt extinse asupra sistemului

sursă. Rezultă că modelarea permite cunoaşterea, sub diferite aspecte care interesează, a

realităţii din natură sau societate.

Modelarea urmăreşte exprimarea unui punct de vedere prin clarificarea ideilor

emise de autorii modelului, ca efect al rigorii ştiinţifice a limbajului matematic formalizat,

eliminându-se astfel posibile interpretări ambigui sau parazitări ale comunicării mesajelor.

Precizia mesajului este cu atât mai importantă cu cât o serie de modele au ca finalitate

principală comunicarea.

În afara scopurilor de cunoaştere, culegere şi transmitere de informaţii, modelarea,

ca instrument operaţional, serveşte la soluţionarea problemelor de conducere, Pe scurt,

cele patru funcţii ale modelării sunt: descriere, predicţie, explicare şi înţelegere. Realizarea

acestor funcţii este posibilă atât pe baza analizei pozitive care oferă predicţii referitoare la

mediu cât şi a analizei normative care stabileşte scopuri şi recomandări decizionale.

Relaţiile teorii – modele prezintă o serie de aspecte eterogene. Întrucât modelele

utilizează formalismul matematic în scrierea lor, se poate concluziona că teoriile

matematice sunt anterioare modelelor; în acelaşi timp, sunt implicate teoria trebuinţelor

umane, teoria învăţării ş.a.. Teoria deciziilor multidimensionale nu poate să debuteze decât

prin construirea modelului situaţiei decizionale multicriteriale.

Majoritatea teoriilor au ca punct de plecare studierea unor modele însă nu este

suficient de limpede când un model poate fi identificat cu o teorie. Orice teorie cuprinde un

sistem de definiţii, premise şi ipoteze. Există mai multe tipuri de teorii. Unele teorii,

pozitive, prezintă doar simple clasificări ale anumitor aspecte importante din realitate,

sistematizări obţinute pe baza definirii componentelor ansamblului. Sistemul Conturilor

Naţionale este un exemplu de clasificare macroeconomică.

Alte teorii, normative, au ca scop dezvăluirea legilor după care se desfăşoară

evenimentele economice. De exemplu, definirea corectă a cantităţii de bani, stabilirea

6

nivelului preţurilor ş.a. Pentru a putea face recomandări, aceste teorii folosesc judecăţi de

valoare, spre deosebire de teoriile pozitive care nu implică acest lucru. Majoritatea teoriilor

economice conţin atât elemente normative cât şi elemente pozitive.

În vederea elaborării şi verificării teoriilor sunt utilizate metode specifice

investigaţiilor ştiinţifice: inducţia, deducţia, experimentul. Se consideră că o teorie este

valabilă până când, în cel puţin un caz, apare o contradicţie între teorie şi realitate. În

asemenea situaţii, specialiştii elaborează teorii noi, mai generale care înlocuiesc vechile

teorii depăşite.

Modelele pot fi privite ca mijloace prin care sunt verificate şi dezvoltate teoriile

cunoscute. Alteori, când nu există o teorie despre un proces, fenomen sau sistem, se

construieşte un model al situaţiei abordate şi se cercetează evoluţia sistemului pentru mai

multe şiruri de date. Concluziile obţinute pot reprezenta temelia unei teorii sau chiar teoria

ca atare.

În ansamblu, ceea ce distinge în mod esenţial modelul de teorie nu este gradul de

simplificare, sistemul de abstractizare sau cantitatea de informaţii obţinută, ci modul de

exprimare a acestor abstracţii şi de simplificare, specifice modelului.

În fizică şi în matematică, modelarea se bazează pe o teorie a similitudinii dedusă

riguros. Un obiect poate deveni model pentru cercetarea altui obiect dacă între model şi

obiectul original există atât deosebiri cât şi similitudini. Datorită deosebirilor, modelul şi

obiectul original sunt două lucruri diferite, studierea unuia servind pentru cunoaşterea

celuilalt; similitudinea înseamnă că deţin deopotrivă caracteristici obiective comune sau

foarte asemănătoare, fapt care face posibilă extinderea concluziilor obţinute prin cercetarea

modelului asupra obiectului sursă. Similitudinile se stabilesc pe baza unui criteriu-

consecinţă al nivelului cunoaşterii şi al scopului cercetării. Similitudinile pot fi geometrice,

fizice, matematice, funcţionale şi cibernetice.

În prelungirea corelaţiei teorie-model se află realitatea. Dacă între teorie şi model se

manifestă o legătură logică, între model şi realitate legătura este gnoseologică. Atunci când

teoria este corelată cu realitatea, iar modelul reflectă teoria, ambele corespondenţe sunt

simultane şi verifică teoria. Această afirmaţie este ilustrată de faptul că un model poate fi

obiect de cercetări şi experimentări din care să se obţină rezultate mediate privind

fenomenul studiat. Pentru înfăptuirea acestui obiectiv este necesar ca reproducerea intuitivă

7

iniţială să fie continuată prin construirea unor modele riguroase, folosind metode

economico-matematice. Modelele simbolice, matematice oferă posibilităţi mai largi decât

modelele materiale deoarece nu sunt îngrădite de limite materiale sau de greutăţi de

traducere dintr-un domeniu în altul. Folosirea modelelor economico-matematice a condus,

pe cale deductivă, la obţinerea unor importante rezultate pentru cunoaşterea proceselor şi

fenomenelor economiei de piaţă şi optimizarea deciziilor.

Utilizarea modelării ca instrument al cunoaşterii şi al fundamentării îmbunătăţirilor

performanţelor economico-sociale nu constituie doar o acţiune facultativă ci trebuie privită

ca o necesitate obiectivă, componentă intrinsecă a conducerii moderne.

Raţiunea acestei cerinţe a managementului eficient decurge din avantajele aplicării

procedeelor şi tehnicilor modelării în raport cu alte posibilităţi de investigare, analiză şi

optimizare. Câteva beneficii notabile sunt următoarele:

a) oferă o reprezentare atât intuitivă cât şi riguroasă a fenomenului studiat;

b) permite verificarea, prin analogie, a consistenţei logice a teoriei şi a ipotezei;

c) facilitează descoperirea unor legături şi legităţi la care s-ar fi ajuns mai greu pe

alte căi;

d) contribuie la verificarea corectitudinii procesului de gândire pentru

fundamentarea adoptării deciziilor.

1.2 Model economic

1.2.1 Conceptul de model economic

Întrucât un model trebuie să descrie procesul sursă şi, în acelaşi timp, să fie simplu

de utilizat, noţiunea de model poate fi privită în sens larg şi în sens restrâns. În sens larg,

modelul este orice construcţie teoretică care simplifică logic şi coerent realitatea,

evidenţiind trăsăturile şi interdependenţele sale esenţiale, în vederea adâncirii cunoaşterii.

În sens restrâns, modelul constituie o informaţie teoretică şi empirică strict ordonată, care

include abstractizare, simplificare şi agregare, formalizare logică şi matematică.

8

O definiţie în sens larg este dată de John Hicks: “Un model poate fi definit ca o

construcţie în care anumite elemente ale situaţiei (sau procesului) pe care dorim să-l

examinăm (sau să-l contemplăm) sunt selectate astfel încât interrelaţiile şi interacţiunile

acestor elemente să poată fi deduse prin raţionament (în mod special, dar nu în mod necesar

raţionament matematic), cu speranţa că înţelegerea noastră generală a situaţiei (sau

procesului) poate fi sporită printr-o înţelegere a acelui aspect al ei care este prezentat de

aceste elemente particulare”1. Definiţia subliniază că pentru un model este esenţial să nu

trădeze realitatea, în timp ce natura formală a raţionamentului, formalizarea matematică nu

este întotdeauna necesară şi utilă.

Conform conceptelor teoriei sistemelor, modelul M pentru un sistem S este un alt

sistem S’, echivalent total sau aproximativ cu S şi care poate fi studiat mai uşor ca S.

Determinarea pe S’ a unor relaţii permite deducerea relaţiilor corespunzătoare pentru S.

În limbajul cercetării operaţionale, modelul are o structură foarte simplă:

U = f(Xi,Yj) (1.1)

în care:

U – utilitatea sau valoarea criteriului caracteristic funcţionării sistemului;

Xi – variabile care pot fi controlate;

Yj – variabile (sau constante) necontrolabile, dar care acţionează asupra lui U;

f – relaţia dintre U, Xi şi Yj.

Modelul include şi restricţiile

(Xi,Yj), (1.2)

sunt relaţii funcţionale.

Având în vedere corespondenţa relativ strânsă între clasificare şi modelare,

literatura economică şi sociologică evidenţiază atât asemănări cât şi deosebiri între

tipologie şi model: “Ca şi tipologia, modelul este o sinteză, un inventar care clarifică şi

sistematizează rezultatele unei comparaţii. Pentru a defini originalitatea modelelor ne-am

hotărât să le punem în antiteză cu tipologiile. Tipologia ordonează universul, modelul tinde

1 Hicks, J., Capital and Growth, London, Oxford at the Clarendon Press, 1965, p.28.

9

să-l explice …. Tipologia este mai degrabă statică, modelul este mai degrabă dinamic ….

Tipologia tinde spre exhaustivitate, modelul spre selectivitate”1.

Abordarea noţiunii de model în sfera economiei presupune existenţa a două

elemente fundamentale, indispensabile şi specifice modelelor economice: esenţa dublă,

cantitativă şi calitativă a fenomenelor şi a proceselor economice exclude tratarea unilaterală

a economicului; formalizarea matematică nu este singura formă posibilă de abstractizare,

dar este treapta superioară a abstractizării, care ne apropie de certitudine în măsura în care

nu sunt falsificate premisele.

Realitatea a impus tendinţa restrângerii semnificaţiei modelului economic la model

formalizat matematic sub forma reprezentării simplificate complete a evoluţiei unui sistem

economic într-un timp dat, sub aspect cifric. Din punct de vedere tehnic modelul descrie

funcţionarea sistemului prin intermediul unei serii de ecuaţii şi inecuaţii simultane care

exprimă relaţii între mărimi economice măsurabile, semnificative pentru domeniul

investigat. Dacă modelul care oglindeşte fenomene economice se exprimă în formă

matematică, atunci el este un model economico-matematic.

Pentru a răspunde exigenţelor cunoaşterii, calitatea unui model optimizant poate fi

apreciată în funcţie de măsura în care îndeplineşte anumite cerinţe:

- să se bazeze pe o teorie economică riguros ştiinţifică;

- să reflecte structura reală a economiei în concordanţă cu principiul identităţii

structurale;

- să asigure unitatea de măsură şi respectarea strictă a dimensiunilor mărimilor variabile

şi constante;

- să fie fundamentat pe selecţia datelor faptice cu luarea în consideraţie a specificului

măsurării mărimilor economice;

- să evidenţieze deosebirea principială dintre parametrii de conducere şi alţi parametri;

- să satisfacă condiţiile clar formulate pentru stabilirea limitelor de aplicabilitate ale

modelului dat;

- să conţină funcţii obiectiv, întreg sistemul să poată fi rezolvat, iar soluţia de

repartizare a resurselor în timp să fie optimă.

1 Dogan, M., Pelassy, D., Cum să comparăm naţiunile. Sociologia politică comparativă, Bucureşti, Ed. Alternative, 1993, pp.186-190.

10

Criteriile de evaluare a calităţii modelelor ilustrează faptul că acestea din urmă sunt

utile cercetării şi practicii dacă şi numai dacă oglindesc fidel realitatea şi permit

cuantificarea şi optimizarea fenomenului modelat.

1.2.2 Clasificări ale modelelor economice

Posibilităţile de clasificare a modelelor economice sunt variate, în raport direct cu

multitudinea aspectelor de fond şi formă implicate în procesele de elaborare şi soluţionare

ale modelelor. Complexitatea menţionată este marcată prin existenţa numeroaselor criterii

de sistematizare propuse în literatura de specialitate.

Având în vedere funcţiile modelării şi caracteristicile analizei economice, poate fi

observată existenţa a două mari tipuri de modele:

- descriptive, care constituie imagini mai mult sau mai puţin amănunţite ale realităţii;

- normative, care elaborează recomandări, “norme” decizionale la diferite niveluri

economice şi în legătură cu variate probleme ale consumului, distribuţiei, producţiei etc.

Aceste două tipuri se regăsesc în oricare grupare a modelelor, indiferent de criteriul

care stă la baza clasificării.

După caracterul laturilor sistemului reprodus sau în funcţie de similitudinea de

esenţă a unor trăsături ale modelului şi originalului, modelele pot fi:

- substanţiale, care concordă prin substanţa lor cu originalul, când există o identitate sub

raportul naturii sau al însuşirilor procesului;

- structurale, bazate pe similitudinea originalului cu modelul în ceea ce priveşte

organizarea interioară;

- funcţionale, modele cibernetice în esenţa lor, care oglindesc similitudinea de

comportare cu originalul.

Modelele funcţionale şi cele structurale pot fi substanţial-energetice sau/şi ideale şi

se utilizează în toate domeniile ştiinţei. Modelarea funcţională este mai largă decât

modelarea structurală întrucât aceeaşi funcţie şi aceeaşi comportare pot corespunde unor

structuri diferite.

11

În funcţie de relaţia dintre model şi sistemul modelat, se disting următoarele trei

tipuri de modele: imitative, analogice şi simbolice, care sunt aproximativ identice cu

tipurile de modele substanţiale, structurale şi, respectiv, funcţionale.

Din punctul de vedere al afectivităţii lor, modelele simbolice pot fi algoritmice sau

nealgoritmice. În diferite studii cele trei tipuri de modele sunt folosite succesiv.

Reprezentările preliminarii şi diferitele încercări folosite la construirea modelului final se

numesc modele conceptuale. De regulă, modelele simbolice dau rezultate mai precise decât

cele imitative sau analogice.

După forma de realizare, modelele se împart în două grupe principale:

- modele materiale: fizice, matematice, geometrice;

- modele ideale, reprezentate intuitiv sau exprimate simbolic prin structuri logice.

La rândul lor modelele ideale pot fi:

- senzorial-intuitive realizate printr-o construcţie, ca expresie exterioară intuitivă

(ilustrativă) a ipotezei;

- simbolice, înfăţişează obiectele cercetate prin intermediul anumitor semne (hărţi,

formule chimice etc.);

- matematice, ca interpretare matematică a teoriei.

În raport de funcţia pe care o îndeplinesc modelele se pot clasifica în:

- euristice (cognitive), al căror scop este de a îmbogăţi informaţia privind obiectul

modelat, de a dezvălui manifestarea relaţiilor cauzale din interiorul acestuia, precum şi

raporturile sistemului cercetat cu mediul, cu rolul de verigă intermediară între teorie şi

practică;

- de conducere, legate direct de practică, având ca scop studierea şi precizarea modului

cel mai potrivit de acţiune asupra intrării pentru a obţine rezultatele dorite la ieşirea din

sistem.

În spiritul aceluiaşi criteriu modelele pot fi clasificate în: descriptive şi operaţionale

(decizionale sau simulative) sau descriptive şi explicative.

După scopurile modelării şi poziţia modelelor faţă de soluţia problemelor abordate,

modelele se împart în:

- instrumente (cognitive sau operaţionale), intermediari pentru generarea de cunoştinţe

şi aflarea soluţiilor problemelor;

12

- scopuri în sine, de interes intrinsec, adică modele de comunicare.

Luând în considerare sfera de cuprindere, modelele economice se pot clasifica în:

- macroeconomice, la nivelul economiei naţionale;

- mezoeconomice, la nivelul ramurilor sau la nivel regional;

- microeconomice, la nivelul agenţilor economici.

În funcţie de considerarea factorului timp, modelele pot fi:

- statice, descriu starea sistemului la un moment dat;

- dinamice, descriu starea şi evoluţia sistemelor în timp.

După gradul de certitudine a datelor de intrare şi a rezultatelor, modelele se împart

în trei categorii:

- în condiţii de certitudine, în care variabilele pot fi cunoscute şi controlate integral,

fiecărei alternative de acţiune corespunzându-i un singur rezultat posibil, cu probabilitate

certă de realizare (p=1);

- în condiţii de risc, în care efectele variantelor nu pot fi calculate precis, ci prin

intermediul unor probabilităţi cunoscute, ataşate fiecăreia dintre stările naturii (suma

probabilităţilor pentru toate stările naturii este egală cu unitatea), scopul modelelor fiind

alegerea alternativei căreia îi corespunde o utilitate medie maximă;

- în condiţii de incertitudine, în care nu se cunosc probabilităţile de realizare a stărilor

naturii, soluţionarea modelelor, având la bază regula: Wald (pesimistă sau a prudenţei) sau

regula Hurwicz (optimistă) sau regula Laplace- Savage (regretului).

În funcţie de structura proceselor abordate, pot exista patru tipuri de modele

descriptive:

- cu profil tehnologic;

- informaţional-decizionale,

- ale relaţiilor umane;

- informatice.

Modelele tehnologice şi de producţie abordează o gamă largă de probleme:

structura produselor şi necesarul de resurse materiale, ordonanţare şi lotizare, capacităţi de

producţie, amestec, croire, transport-repartiţie, amplasarea utilajelor, stocare, calitatea

produselor, fenomene de aşteptare ş.a.

13

Modelele informaţional-decizionale au ca obiect descrierea reţelei informaţional-

decizionale şi structura procesului decizional.

Modelele relaţiilor umane se referă la descrierea relaţiilor interpersonale şi de grup

în cadrul firmelor, selecţia şi promovarea personalului, stilul de conducere etc.

Din categoria modelelor informatice fac parte: modele complexe hardware, modele

de tip software de aplicaţii, modele de organizare a datelor.

O categorie aparte de modele o constituie modelele vagi (fuzzy) care operează cu o

serie de concepte vag definite, a căror necesitate a rezultat din comportarea umană reală.

Ca urmare, odată cu sporirea complexităţii economiei, a apărut ideea folosirii

conceptului de mulţime fuzzy care a deschis o perspectivă nouă abordării proceselor şi

fenomenelor economice şi modelării acestora. Utilizarea mărimilor vagi permite

ameliorarea parţială a unor limite impuse de rigidităţile modelelor economico-matematice

bazate pe rezultatele analizei matematice şi ale cercetării operaţionale.

O schemă-sinteză a mai multor criterii de clasificare a modelelor include

următoarele criterii1:

• După natura fizică a modelului: 1) fizice, 2) abstracte, care pot fi calitative sau

cantitative (deterministe, statistice, stohastice, fuzzy, mixte), 3) hibride.

• După natura matematică a relaţiilor din sistem: 1) liniare, 2) neliniare.

• După includerea sau nu a factorului timp în calcul: 1) statice, 2) dinamice,

împărţite în stabile sau instabile.

• După obiectul cercetării: 1) microeconomice, 2) mezoeconomice, 3)

macroeconomice.

• După natura variabilelor: 1) discrete, 2) continue.

• După felul în care se constituie modelul: 1) cu increment fix, 2) cu increment

variabil.

În funcţie de caracteristicile problemelor economice sau de altă natură abordate,

soluţionarea modelelor impune folosirea unor metode, a unor algoritmi matematici, care să

răspundă necesităţilor respective. Pentru a satisface mulţimea cerinţelor extrem de variate,

1 Stoica, M., Ioniţă, I., Botezatu, M., Modelarea şi simularea proceselor economice, Bucureşti, Ed. Economică, 1997, pp.17-18.

14

în matematica aplicativă au apărut şi s-au dezvoltat teorii care, prin intermediul modelării,

au contribuit la rezolvarea unui număr însemnat de probleme economice.

Astfel, au fost elaborate modele de programare cu o gamă largă de utilizare, modele

de alocarea resurselor, modele de stocuri, modele de echipament, modele de aşteptare,

modele de ordonanţare şi coordonare a operaţiilor unui proces, modele de drumuri în reţele,

modele ale situaţiilor competiţionale, modele pentru procese de căutare a erorilor, modele

financiare, modele ale procesului decizional, modele de negociere ş.a. Întrucât aceste

modele îşi propun soluţionarea unor probleme economice folosind instrumentul matematic,

considerăm că pot fi denumite modele economico-matematice.

Două categorii importante de modele economico-matematice sunt modelele de

echilibru şi modelele de creştere economică, în care funcţiile macroeconomice formează

substanţa modelului.

Pentru a putea studia comportarea în timp a modelelor se recurge la metoda

simulării.

O altă categorie de modele sunt cele de corelaţie, dezvoltate după anul 1930 şi

utilizate pentru soluţionarea unor probleme diverse privind analiza preţurilor, evaluarea

recoltelor, economia forestieră, analiza cererii şi ofertei, analiza producţiei agricole şi

industriale, probleme macroeconomice etc.

Aplicaţie a concepţiei sistemice în economie, ilustrând manifestarea principiului

feed-back în funcţionarea sistemelor microeconomice sau macroeconomice, modelele

input-output exprimă fluxurile şi interdependenţele multiple manifestate între activităţile

economice ale ansamblului considerat. Aceste modele şi-au dovedit utilitatea practică în

soluţionarea multor probleme: determinarea structurii producţiei, optimizarea costurilor,

raţionalizarea desfacerii, fundamentarea politicii de investiţii a întreprinderii.

Clasificările incluse în acest paragraf nu epuizează toate criteriile posibile, ci

reprezintă cele mai des întâlnite norme de ordonare a modelelor, în general şi a modelelor

economice, în special.

15

1.3 Noţiuni de econometrie

Problemele din economie sunt cercetate din punct de vedere cantitativ atât practic

cât şi teoretic cu ajutorul analizei unor modele econometrice adecvate fenomenelor şi

proceselor economice studiate. Din cuvintele greceşti oiconomia = economie şi metron =

măsură, provine econometrie, care pentru început a avut doar scopul de a măsura diferite

procese economice.

Econometria foloseşte diverse metode matematice ca mijloace de investigare şi

expresiile numerice pentru prezentarea rezultatelor, dar nu este matematică economică; de

asemeni, nu poate fi considerată statistică economică, chiar dacă foloseşte metode de lucru

şi prezentări similare cu cele statistice.

Definiţia acceptată la momentul actual spune că econometria este ansamblul

metodelor matematice şi statistice folosite în studierea proceselor şi fenomenelor

economice. Trebuie observat că sunt necesare şi date privind teoria economică generală.

Conform „Societăţii de econometrie”, înfiinţată în 1930 de Irving Fisher, Ragnar

Frisch şi Charles Roos, econometria se ocupă aplicarea matematicii şi statisticii pentru a

studia măsurătorile empirice obţinute din relaţiile fundamentale de teoria economică

generală atât la nivel microeconomic cât şi la cel macroeconomic.

În legătură cu definirea econometriei, O. Onicescu şi M.C. Botez au apreciat că

modelul trebuie înţeles ca o reprezentare formală şi fidelă a realităţii1: “Econometria este

acea ramură a ştiinţei economice ce îşi propune studierea relaţiilor dintre variabilele

economice, aşa cum apar acestea postulate într-un model abstract … definiţiile alternative,

propuse de diferiţi autori, accentuează aceleaşi două aspecte: relaţii (puse în evidenţă cu

ajutorul metodelor de cercetare structural-cantitative) sugerate ori derivate dintr-un model,

înţeles ca reprezentare formală şi fidelă a contextului real aşa cum acesta este.” Întrucât

modelarea presupune abstractizare, simplificare, agregare, formalizare logică şi

matematică, se poate aprecia că modelul este elaborat şi funcţionează obligatoriu pe baza

metodelor matematice.

1 Onicescu, O., Botez, M.C., Incertitudine şi modelare economică (Econometrie informaţională) ; Bucureşti, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1985, p.9.

16

Modelarea econometrică cuprinde două etape: definirea variabilelor (sugerate de

reprezentarea anatomică a contextului economic) şi definirea legăturilor, ori a relaţiilor

dintre variabile (sugerate de descrierea fiziologiei ori funcţionării contextului economic).

Variabilele sunt apoi distribuite în două clase: variabile exogene (ori independente, ori de

intrare) şi variabile endogene (ori dependente, ori de ieşire); exogenele şi endogenele sunt

de regulă reprezentate prin valorile lor (numere reale) – asociate diferiţilor indicatori socio-

economici. Legăturile dintre variabile sunt de regulă de tipul funcţiilor ori ecuaţiilor în care

apar laolaltă exogene şi endogene; a determina structura (în particular: a sistemului socio-

economic) revine deci la a preciza forma ecuaţiilor şi a specifica valorile parametrilor ce

intervin în acestea.

Multe din relaţiile existente în teoria economică generală sunt deterministe, fiind

exprimate clar, fără ambiguităţi, de exemplu modele de cerere sau oferta agregată. În aceste

modele variabilele dependente sau independente sunt specificate clar, este prezentă o

relaţie funcţională şi apare cel puţin o afirmaţie calitativă privind efectele care apar când se

modifică cel puţin pentru o variabilă independentă.

Rolul teoriei în econometrie nu poate fi supraevaluat deoarece este nerealist să

presupunem că examinarea unor informaţii şi date neexperimentale poate conduce la

obţinerea de rezultate şi adevăruri fundamentale doar prin manipularea corectă a

numerelor. Orice teorie deterministă este invalidată de o singură observaţie contrară, motiv

care a condus la ideea folosirii elementelor din analiza statistică la construcţia şi analiza

modelelor.

Modelele probabilistice au dezavantajul de a fi mai puţin precise dar sunt cu

siguranţă mai utile sau mai robuste decât deterministe.

În experienţe se pot alege diverse valori pentru variabilele stimuli şi trebuie

cuantificat răspunsul variabilei dependente. Teoria trebuie să organizeze datele obţinute

pentru a nu fi o simplă colecţie teoretică de observaţii. Astfel, analiza econometrică pleacă

de la o relaţie fundamentată teoretic. Se porneşte cu presupunerea că se pot obţine date

precise pentru toate variabilele precizate în modelul studiat, fapt care se întâmplă doar în

condiţiile ideale. În realitate pot apărea o serie de dificultăţi cum sunt:

- datele pot fi măsurate prost;

- datele pot corespunde vag cu variabila din model;

17

- unele variabile nu pot fi măsurate;

- relaţia funcţională din model poate fi eronată;

- lipsesc din model unele variabile fundamentale.

O parte a econometriei se ocupă cu dezvoltarea tehnicilor şi o alta cu aplicarea

acestora la cazurile particulare studiate. O altă parte teoretică a econometriei analizează

consecinţele aplicării tehnicilor dezvoltate când nu sunt îndeplinite toate presupunerile.

Totuşi nu poate fi făcută o distincţie clară între econometria teoretică şi cea aplicată

deoarece o tehnică se dezvoltă mai uşor în studiul unor cazuri practice decât în teorie

întrucât majoritatea exemplelor apar pentru a ilustra tehnici folosite şi nu pentru a produce

noi observaţii empirice.

În econometrie se foloseşte o gamă largă de metode şi tehnici din matematică şi

statistică începând de la algebra liniară, analiza funcţională şi integrală până la tehnicile din

statistica inferenţială.

18

Capitolul 2. Analiza sistemelor şi elaborarea modelelor

Modelarea economică este chemată să sporească nivelul cunoaşterii şi să rezolve

probleme concrete. Întrucât organizaţia este privită ca un sistem de canale prin care

produsele, serviciile, resursele şi informaţiile se vehiculează dintr-un punct în altul în

interior sau în/şi din mediul exterior, studierea structurii şi funcţionării acesteia se

desfăşoară pe baza ideilor principale ale teoriei generale a sistemelor.

2.1 Analiza sistemelor modelate

Factorii interesaţi şi implicaţi în funcţionarea sistemelor economice şi în atingerea

unor obiective urmăresc menţinerea continuă a sistemului la parametri optimi. În acest scop

se apelează la analiza de sistem prin care se înţelege un complex de procedee pentru

perfecţionarea activităţii generale a unităţilor social-economice, prin studierea proceselor

informaţionale şi a celor decizionale care au loc în unităţile respective.

2.1.1 Precizarea naturii şi a conţinutului problemei

Metodologia elaborării proiectelor pentru conducerea eficientă a organizaţiilor

economice se sprijină pe generalizarea unui mare număr de cazuri practice. Regulile

metodologice care stabilesc succesiunea corectă a operaţiunilor decizionale şi modul de

organizare şi realizare efectivă a lor sunt:

- Deciziile privind conducerea eficientă a unui sistem implică adoptarea unei concepţii

integratoare în ceea ce priveşte disciplinele şi metodele decizionale ale conducerii

sistemelor.

- Pentru obţinerea unor decizii eficiente în conducerea sistemelor este necesară o

profundă şi detaliată cunoaştere a acestora. Operaţiile de cunoaştere se concretizează prin

elaborarea modelelor decizionale.

19

- Comportamentul cibernetic este o lege generală a funcţionării sistemelor şi

subsistemelor ce le alcătuiesc, iar modelarea acestui comportament reprezintă o metodă

decizională fundamentală în conducerea sistemelor.

- Factorul uman are o importanţă deosebită în deciziile privind conducerea sistemelor.

- Modelarea descriptivă şi normativă a proceselor decizionale este esenţială pentru

conducerea eficientă a sistemelor.

- Se va acorda atenţia cuvenită modelelor informatice şi sistemelor expert în luarea

deciziilor privind conducerea sistemelor. Prin aceasta se realizează micşorarea

considerabilă a timpului de elaborare a deciziilor, creşterea nivelului calitativ al deciziilor,

posibilităţi de cooperare în privinţa folosirii şi păstrării informaţiilor ş.a.

- Succesul practic al metodologiei de conducere a sistemelor este condiţionat decisiv de

operaţiile care urmează după elaborarea modelelor descriptive şi normative –

experimentarea modelelor, implementarea lor, funcţionarea în regim normal a sistemului de

modele.

- Un model descriptiv sau normativ poate fi utilizat pentru a rezolva o problemă

decizională, numai dacă el prezintă o analogie semnificative cu problema respectivă.

- Readaptabilitatea rapidă şi supleţea constituie cerinţe generale ale modelelor

decizionale de conducere a sistemelor şi ale aplicării practice a acestora.

- Evoluţia rapidă a tuturor parametrilor caracteristici ai proceselor din interiorul

sistemelor ne obligă să ţinem seama în elaborarea modelelor decizionale de aspectul

dinamic şi de cel previzional.

Rezultă că analiza de sistem este concepută şi se desfăşoară pe baza cercetării

condiţiilor de existenţă şi funcţionare ale organizaţiei şi a resurselor necesare şi potenţial

disponibile.

Investigarea preliminară periodică a sistemului are ca efect constatarea existenţei

sau nu a unei probleme de optimizare în cadrul organizaţiei. Existenţa şi formularea unei

astfel de probleme sunt determinate de îndeplinirea anumitor condiţii generale1:

1 Ackoff, R.L., Sasieni, M.W., Bazele cercetării operaţionale, Bucureşti, Editura Tehnică, 1975, pp.36-46. Autorii consideră că respectivele condiţii sunt necesare pentru existenţa unei probleme de cercetare operaţională. Apreciem că, în esenţă, îndeplinirea acestor cerinţe are aceeaşi semnificaţie pentru oricare problemă decizională din câmpul economic.

20

1. Trebuie să existe un individ (I), interesat în rezolvarea problemei, individ care

acţionează în anumite condiţii (N).

2. La dispoziţia individului I trebuie să existe cel puţin două posibilităţi de acţiune

(strategii) C1 şi C2, din care el îşi poate alege o anumită regulă de comportare sau de

acţiune.

3. În urma acestei alegeri, trebuie să existe cel puţin două rezultate posibile O1 şi

O2, dintre care unul este preferabil celuilalt, reprezentând astfel obiectivul ce urmează a fi

realizat.

4. Posibilităţile de acţiune ale individului I îi oferă acestuia anumite şanse de a-şi

atinge obiectivul (O1 sau O2). Şansele realizării fiecărui obiectiv sunt diferite, ceea ce ridică

problema alegerii căii de acţiune. Dacă se notează cu P(OjI,Ci,N) probabilitatea atingerii

rezultatului Oj, când I alege acţiunea Ci în condiţiile N, atunci P(O1I,C1,N)≠

P(O1I,C2,N); aceasta înseamnă că pentru obţinerea rezultatului dorit diversele căi de urmat

nu au aceeaşi eficienţă. Rezultă că problema individului I constă în alegerea acelei atrategii

care l-ar conduce la situaţia optimă.

În multe cazuri problemele de optim sunt complicate datorită apariţiei uneia sau a

mai multor condiţii suplimentare: problema nu este a unui individ ci a unui grup de

persoane; condiţiile (N) variază, ceea ce determină modificarea eficienţei strategiilor şi a

valorii rezultatelor; numărul strategiilor posibile este foarte mare; numărul obiectivelor este

foarte mare, iar diversele obiective pot fi incompatibile între ele; rezultatul acţiunii depinde

în mare măsură de conştiinciozitatea şi competenţa executantului; există persoane care nu

participă la luarea deciziei sau înfăptuirea ei, dar care fiind afectate de rezultate, pot acţiona

în mod favorabil sau nefavorabil.

Semnificaţia condiţiilor menţionate anterior este aceea că apariţia unei probleme de

optimizare în cadrul organizaţiei decurge din modificări inevitabile în timp ale structurii şi

funcţionării sistemului întreprindere.

Odată stabilite aceste circumstanţe, se trece la o fază de concepţie care presupune

specificarea variabilelor necontrolabile (exogene) şi a celor controlabile (endogene) apoi

determinarea nivelurilor dorite pentru mărimile care formează obiectul modelării.

21

În cazul firmelor, într-o economie de piaţă, analiza sistemului vizează clarificarea

unor probleme complexe cu care este confruntată organizaţia în cadrul concurenţial,

specific acestui tip de economie:

- Determinarea cererilor din exterior pe care sistemul încearcă să le satisfacă. Pentru o

firmă aceasta ar însemna identificarea clienţilor şi a tipurilor de produse şi servicii pe care

le solicită cumpărătorii şi pe care le poate executa firma.

- Stabilirea modalităţilor în care aceste cereri sunt transmise sistemului. De exemplu,

cererile clienţilor ar putea fi transmise prin comenzi scrise, la telefon sau prin telex.

- Precizarea modurilor, căilor şi condiţiilor în care informaţiile primite sunt înregistrate

şi transmise în cadrul organizaţiei. În această etapă se analizează necesitatea şi posibilitatea

transformării, codificării, condensării, extinderii şi precizării înformaţiilor. Totodată sunt

stabilite puncte ale sistemului în care se adoptă decizii la diferite niveluri precum şi

circuitul documentelor şi al informaţiilor atât pe orizontală cât şi pe verticală. Prin urmare,

în fiecare punct al sistemului în care se obţine o informaţie, se hotărăşte ce se va întâmpla

cu ea în continuare. Există două posibilităţi: informaţia poate fi transformată, codificată,

etc. sau informaţia poate fi utilizată ca atare pentru a lua o decizie şi a emite dispoziţii.

Informaţiile obţinute sunt sintetizate grafic cu ajutorul unor diagrame care de multe

ori conţin şi explicaţii suplimentare. Diagrama finală generală nu este altceva decât un

model al operaţiilor organizaţiei.

2.1.2 Metodologii folosite în analiza sistemică

Analiza sistemică sau analiza de sistem a apărut şi s-a dezvoltat în cadrul concepţiei

sistemice şi reprezintă un complex de procedee pentru perfecţionarea activităţii generale a

organizaţiilor social-economice, prin studierea proceselor informaţionale şi a celor

decizionale care au loc în organizaţiile respective. În analiza şi proiectarea sistemului

informaţional-decizional al întreprinderii, se pot folosi două grupe mari de metodologii de

analiză şi proiectare sistemică: ameliorative şi constructive.

În metodologiile ameliorative analiza porneşte de la situaţia existentă încercându-se

perfecţionarea acesteia prin reproiectare pe baza unor criterii şi tehnici adecvate scopului

22

propus. Chiar dacă aceste metodologii se deosebesc uneori considerabil între ele, cuprind,

în mod obişnuit, următoarele etape de lucru:

1. Cunoaşterea sistemului analizat prin culegerea de informaţii generale despre

sistemul social-economic analizat. Pentru cunoaşterea detaliată a sistemului sunt

identificate procesele informaţionale şi decizionale elementare din sistem şi este stabilită

succesiunea şi intercorelarea în timp prin cercetarea amănunţită a structurii acestora. În

acest scop se întocmesc studii preliminare de oportunitate şi studii operaţionale pentru

culegerea informaţiilor amănunţite despre sistemul investigat.

2. Proiectarea sistemului îmbunătăţit porneşte de la analiza critică a sistemului

existent, evidenţiindu-se imperfecţiunile funcţionării structurii informaţional-decizionale a

organizaţiei. În continuare, se poate trece la remedierea deficienţelor constatate în vederea

creşterii eficienţei sistemului. Îmbunătăţirile se referă la pertinenţa, economicitatea şi

operativitatea mesajelor care circulă în sistem, raţionalitatea şi logica deciziilor, economia

de resurse implicate în sistem, calitatea ieşirilor din sistem.

Principalele criterii de raţionalitate pe care trebuie să se bazeze proiectul noului

sistem sunt1:

- Compararea obiectivelor aplicaţiei cu obiectivele generale ale întreprinderii,

- Respectarea principiului excepţiei,

- Asigurarea informaţiei de control,

- Asigurarea unei înregistrări unice pentru o informaţie care permite utilizări multiple,

- Verificarea informaţiei,

- Necesitatea fiecărei activităţi,

- Justa repartizare a activităţilor pe compartimente şi pe responsabilităţi,

- Efectuarea activităţii în timp util,

- Corectitudinea adoptării deciziei,

- Eficienţa economică.

Soluţia de ansamblu a problemei poate fi elaborată şi prezentată sub forma unei

scheme bloc. Etapa se încheie cu redactarea proiectului nou care include texte explicative,

calcule de eficienţă, schiţa programului pentru elaborarea proiectului informatic şi pentru

etapa de implementare. 1 Raţiu-Suciu, C., Modelarea şi simularea proceselor economice, Bucureşti, E.D.P., 1995, pp.32-33.

23

Se obţine astfel un sistem-replică al sistemului iniţial care trebuie să fie mai

economic, să-şi îndeplinească mai bine sarcinile şi să aibă eventuale funcţii suplimentare.

3. Implementarea cuprinde măsurile pentru trecerea de la faza de proiect la faza de

aplicaţie practică.

Metodologiile ameliorative au caracter “meşteşugăresc” deoarece identificarea

deficienţelor şi remedierea lor în cadrul sistemului se realizează după criterii relativ

empirice. Totodată, aceste metodologii sunt deosebit de laborioase necesitând echipe

formate din mai mulţi analişti şi durate de lucru care pot depăşi un an.

Metodologiile constructive au apărut după anul 1970 şi constau în proiectarea unui

sistem nou, mai eficient, plecând de la informaţiile de ieşire rezultate ca fiind necesare din

obiectivele de bază ale organizaţiei abordate.

În cadrul acestor metode se acordă o importanţă deosebită analizei proceselor

decizionale. Practic, sunt stabilite necesităţile de informaţii şi procesele informaţionale în

toate fazele activităţii complexe a sistemului precum şi necesarul de informaţii din afară.

Fluxul de informaţii şi decizii dintr-un sistem a fost comparat cu un sistem

hidroenergetic în care există cursuri de râuri şi bazine de acumulare. Prin analogie sunt

precizaţi paşii analizei informaţional-decizionale în sensul “aval-amonte” iar principalele

etape ale acestei metode sunt: delimitarea domeniului supus analizei şi releveul proceselor

de bază ale organizaţiei, analiza şi proiectarea necesarului de informaţii pentru fiecare

proces de bază, inclusiv procedurile de prelucrare şi alegerea mijloacelor de realizare a

sistemului proiectat.

Analiza conduce la un graf ale cărui noduri iniţiale sunt informaţiile de intrare,

nodurile finale sunt informaţiile de ieşire iar nodurile intermediare sunt procese

informaţionale şi decizionale din sistem. Acest graf este considerat o funcţie de reacţie care

descrie comportarea informaţional-decizională a sistemului, proiectată raţional. Metodele

constructive solicită ingeniozitatea, creativitatea analiştilor pentru proiectarea unui nou

sistem mai raţional, oarecum independent de starea iniţială a organizaţiei.

În practica unităţilor economice sunt folosite preponderent următoarele tipuri de

metodologii:

Metodologii ameliorative pentru simplificarea formularisticii, a documentelor şi

pentru sistematizarea evidenţei, cu precădere sub aspectul lucrărilor administrative. Aceste

24

metodologii cuprind: 1) analiza circuitelor administrative prin prisma circulaţiei

documentelor între diferite compartimente, de la elaborare până la arhivare şi în final

dezafectarea sau distrugerea pieselor; 2) analiza şi proiectarea documentelor. Tehnica de

identificare a circuitelor se bazează pe reprezentarea lor grafică cu ajutorul unor diagrame

şi simboluri specifice.

Metodologii de analiză şi proiectarea sistemelor informatice care abordează

analiza şi reproiectarea fluxurilor informaţionale şi a procedeelor de prelucrare a datelor.

Specialiştii în proiectarea şi exploatarea sistemelor informatice sunt de acord asupra

faptului că activitatea de proiectare a acestor sisteme trebuie să se desfăşoare în mai multe

etape: analiza preliminară (studiul de oportunitate), proiectarea logică sau stabilirea

cerinţelor sistemului, proiectarea tehnică (fizică), construirea, testarea, conversia şi

implementarea; exploatarea; evaluarea, modificarea şi întreţinerea.

O altă posibilă etapizare a procesului de realizare a sistemelor informatice este

următoarea: elaborarea temei de realizare a sistemului informatic; elaborarea concepţiei

sistemului informatic; proiectarea tehnică a sistemului informatic; elaborarea programelor;

implementarea sistemului informatic; exploatarea şi întreţinerea sistemului informatic.

Metodologii ameliorative de analiză şi proiectare informaţional-decizionale care,

pe lângă aspectele menţionate la metodologiile anterioare, realizează şi analiza proceselor

decizionale.

Metodologii “aval-amonte” de tip constructiv.

Calitatea rezultatelor analizei de sistem este condiţionată de baza teoretică pe care

îşi gândesc şi îşi desfăşoară activităţile analiştii. Punctul de pornire este conceptul de sistem

informaţional pentru conducere prin care se înţelege “un set de resurse umane şi de capital,

investite într-o unitate economică, în vederea colectării şi prelucrării datelor necesare

producerii informaţiilor, care vor fi folosite la toate nivelurile conducerii planificate şi

controlului organizaţiei”1.

Având în vedere această definiţie (în literatură există şi alte abordări însă oarecum

echivalente) se ajunge la noţiunea de analize de sistem pentru care pot fi constatate atât

semnificaţii generale cât şi specifice. Analiza şi proiectarea sistemelor informaţionale

1 Oprea, D., Premisele şi consecinţele informatizării contabilităţii, Iaşi, Ed. Graphix, 1995, p.17.

25

contabile trebuie să ţină seama de ciclul de viaţă, de controlul şi revizia acestor sisteme

dinamice supuse unor transformări continue minore sau de amploare sub acţiunea mai

multor factori: modificări ale profilului comercial sau a naturii activităţii organizaţiei,

schimbări tehnologice sau în cererea populaţiei.

2.2 Elaborarea modelelor

Analiza sistemului furnizează informaţii esenţiale pentru formularea problemei şi a

modelului necesar pentru rezolvarea ei; totodată, constituie o bază pentru estimarea

timpului, a costului şi forţelor necesare pentru soluţionarea problemei şi precizează

avantajele potenţiale. În urma acestor operaţiuni de cercetare a sistemului care trebuie

optimizat se stabilesc funcţia-obiectiv a problemei şi restricţiile funcţionării previzionate a

sistemului în condiţii determinate.

2.2.1 Etape ale construirii modelelor

Tendinţa de modelare a activităţii logice constituie o permanenţă a societăţii

omeneşti. Procesul modelării se desfăşoară în mai multe etape:

Prima etapă este o acţiune de izolare din realitatea complexă a unor elemente

esenţiale din punctul de vedere al modelatorului. În această etapă este conceput modelul

mintal al fenomenului sau procesului studiat.

Următorul pas îl reprezintă stabilirea relaţiilor existente între termenii care descriu

elementele izolate, deci elaborarea modelului ideal (de exemplu, modelul concurenţei

perfecte).

În al treilea rând, este considerat un model concret descris prin acelaşi tip de relaţii

(ecuaţii) ca şi modelul ideal elaborat anterior. Uneori este necesară simplificarea ecuaţiilor

care descriu modelul ideal dacă aceste ecuaţii formează un sistem prea complicat care

include elemente de amănunt, de care se poate face abstracţie.

Parcurgerea acestor etape creează posibilitatea trecerii de la complexitatea realului

la anumite scheme simplificate corespunzătoare unor sisteme logice formale. Pentru fiecare

26

sistem logic formal se poate realiza un dispozitiv care să modeleze relaţiile dintre obiectele

logice în cadrul sistemului respectiv. Totodată, este posibilă încercarea de modelare a

activităţii logice aşa cum se desfăşoară în creierul omului. Modelarea activităţii logice este

privită din puncte de vedere diferite, în funcţie de nivelurile activităţii logice considerate:

noţiuni, judecăţi, raţionamente. Un model de logică îl reprezintă “Legile gândirii”, lucrarea

matematicianului G. Boole.

Etapizările mai recente ale procesului modelării includ experimentarea şi

implementarea modelului. Astfel, etapele modelării sunt sistematizate după cum urmează:1

- cunoaşterea detaliată a realităţii sistemului (procesului) care se modelează,

- construirea propriu-zisă a modelului economico-matematic,

- experimentarea modelului şi evaluarea soluţiei,

- implementarea modelului şi actualizarea situaţiei.

Imaginaţia şi creativitatea cercetătorilor condiţionează hotărâtor calitatea modelelor.

2.2.2 Metode pentru elaborarea modelelor

Multilateralitatea concretului economic face imposibilă realizarea unei colecţii de

metode pentru elaborarea tuturor modelelor. Totuşi, pot fi menţionate câteva metode

orientative de construire a modelelor2. Aceste metode nu sunt exhaustive şi nu se exclud

reciproc.

1. Când structura sistemului este suficient de simplă şi clară, după analiza acestuia,

se trece la construirea modelului prin: identificarea variabilelor şi reprezentarea lor prin

simboluri; scrierea sistemului de egalităţi şi inegalităţi; elaborarea şi scrierea funcţiei-scop.

Câteodată, pot fi situaţii în care variabilele şi constantele necontrolabile (parametrii)

sunt foarte greu sau chiar imposibil de evaluat. În asemenea cazuri, modelul trebuie

modificat, astfel ca noii parametri să fie determinabili. Eventualele modificări pot conduce

de multe ori la probleme mai complicate decât modelul iniţial.

1 Raţiu-Suciu, C., Lucr.cit., p.38. 2 Ackof, R.L., Sasieni, M.W., Lucr.cit., pp82-95.

27

2. Dacă structura sistemului este suficient de simplă, însă reprezentarea simbolică

este mai puţin evidentă, se poate constata uneori existenţa unor probleme de natură diferită

dar similare ca structură şi a căror soluţionare este bine cunoscută. În acest caz, pentru

cercetarea sistemului iniţial se poate folosi al doilea sistem, similar, sau modelul acestuia,

cu sau fără modificări.

3. În situaţia că structura sistemului nu este suficient de clară dar poate fi dedusă

prin studierea datelor care descriu modul de lucru al sistemului, se analizează sistemul,

obţinându-se anumite ipoteze asupra structurii sale. Verificarea acestor ipoteze poate

necesita culegerea unor date suplimentare. Efectuarea operaţiunilor menţionate este urmată

de construirea propriu-zisă a modelului după una din metodele anterioare.

4. Un alt caz este următorul: analiza datelor nu permite stabilirea influenţei

variabilelor individuale asupra performanţelor sistemului. Atunci, se poate recurge la

experiment pentru a descoperi variabilele esenţiale şi influenţa lor. Folosirea

experimentului reprezintă caracteristica esenţială a acestei metode. Un inconvenient al

metodei constă în faptul că necesită mai mult timp pentru efectuarea experimentului.

5. Atunci când nu există şi nici nu pot fi obţinute suficiente date pentru descrierea

activităţii sistemului iar experimentările nu sunt posibile, se construieşte o situaţie

experimentală relativ complexă, un joc foarte “larg” care, în acelaşi timp, este şi cea mai

simplă situaţie care satisface următoarele condiţii:

- Este suficient de “bogată” pentru a permite testarea numărului mare de ipoteze

posibil de formulat în legătură cu sistemul studiat. Testele, care nu confirmă nici un fel de

ipoteze dar stabileşte generalitatea şi limitele lor, sugerează posibilităţi de generalizare,

legând astfel situaţia experimentală de realitate;

- Trebuie să existe o formulare explicită a variabilelor şi a domeniilor lor de variaţie

pentru care se consideră simplificarea respectivă ceea ce va permite lărgirea succesivă a

situaţiei experimentale prin introducerea în model, de fiecare dată, a unuia sau a mai multor

factori;

- Parametrii esenţiali care descriu comportamentul sistemului experimental trebuie

să fie exprimaţi cantitativ;

28

- Situaţia experimentală trebuie să se poată descompune în situaţii mai simple, şi,

ori de câte ori este posibil, o situaţie simplă trebuie să fie una deja studiată sau foarte

asemănătoare.

Situaţia experimentală care satisface aceste cerinţe serveşte drept realitate

artificială: ea nu este un model al realităţii ci o realitate care trebuie modelată. Realitatea

artificială este folosită pentru a genera o istorie* care va trebui explicată de teoria ce

urmează a fi construită. Pornind de la macroanaliza istoriei obţinute se caută formularea

unei teorii pentru realitatea artificială. Din aceste încercări se conturează un model (M1) al

realităţii artificiale, considerat satisfăcător.

Realitatea artificială este apoi modificată astfel încât să se apropie de sistemul real

şi se încearcă să se generalizeze modelul M1 obţinându-se modelul M2 mai general, faţă de

care M1 este un caz particular. Succesiv se obţine un şir de modele M1, M2,…, Mn tot mai

generale, astfel că realitatea artificială se apropie treptat de realitate. Concomitent se caută

să se descopere principiile pe baza cărora pot fi generalizate modelele, ceea ce ar forma o

metateorie care va reprezenta o apropriere considerabilă de realitate.

2.2.3 Simplificarea şi agregarea variabilelor

O problemă a construirii modelelor economice o constituie necesitatea modificării

acestora în situaţii când nu este posibil sau nu este economic să evaluăm unul sau mai mulţi

parametri, schimbările respective determinând o complicare a modelului iniţial. Teoria şi

practica modelării au demonstrat că un model aproximativ care permite îmbunătăţirea

performanţelor sistemului este mult mai bun decât un model exact, dar nefolositor pentru

atingerea ţelurilor propuse.

În procesul elaborării modelelor, creatorii acestora trebuie să stabilească limita până

la care se poate simplifica realitatea fără a se omite aspecte importante ale procesului sau

* Istoria se naşte testând sistematic pe realitatea artificială ipotezele privind lumea reală. Realitatea artificială se descompune în situaţii simple, cu care se efectuează experimente, construindu-se fie câte o “microteorie”pentru fiecare situaţie simplă în parte, fie o “microteorie” generală care să înglobeze toate situaţiile experimentale simple pentru valori adecvate ale parametrilor. Apoi, se încearcă să se combine sau să se generalizeze aceste modele într-un model corespunzător realităţii artificiale.

29

fenomenului abordat. În vederea obţinerii unei imagini echilibrate a realităţii se utilizează

mai multe metode pentru simplificarea realităţii:

- eliminarea unor variabile,

- modificarea naturii variabilelor,

- modificarea relaţiilor între variabile,

- modificarea restricţiilor.

În cazul primei metode este necesară stabilirea variabilelor care au o influenţă mare

asupra performanţelor sistemului. Orice eliminare conştientă a unei variabile trebuie să se

bazeze pe o analiză riguroasă a consecinţelor neglijării sale asupra veridicităţii şi

eficacităţii modelului. În acest sens, ipotezele fundamentale ale modelului sunt examinate

cu atenţie pentru a preveni construirea unor modele incomplete care ar deforma realitatea.

Totuşi, dacă anumite variabile semnificative nu sunt introduse iniţial în model, cercetarea

funcţionării acestuia poate ajuta modelatorul să reconsidere importanţa variabilelor şi astfel

să îmbunătăţească ulterior structura modelului.

Alegerea şi agregarea variabilelor prezintă dificultăţi, în primul rând, datorită

numărului foarte mare de variabile controlabile implicate în model. Precizarea mărimilor

reprezentative şi agregarea eventuală a unora dintre ele constituie rezultatul pregătirii şi

experienţei modelatorului, a capacităţii sale de analiză şi sinteză.

Un efect nedorit al agregării constă în apariţia erorilor în calculele modelului.

Pentru estimarea erorilor de acest fel se poate folosi metoda selecţiei întâmplătoare sau

calculând diferenţa dintre rezultatul mediu obţinut şi fiecare element al colectivităţii

selecţiei. Întrucât eroarea rezultatului este aproximativ proporţională cu raportul dintre

dispersia din interiorul grupelor şi dispersia dintre grupe, este recomandabil ca elementele

din aceeaşi grupă să aibe caracteristici cât mai asemănătoare.

Modificarea naturii variabilelor se poate realiza prin mai multe procedee: înlocuirea

cu o constantă, înlocuirea unei variabile discrete cu una continuă sau înlocuirea unei

variabile continue cu una discretă.

În multe cazuri, o variabilă aleatoare este înlocuită cu valoarea ei medie care este o

constantă. Acest procedeu este convenabil numai dacă oscilaţiile variabilei aleatoare în

jurul mediei nu sunt prea mari; în caz contrar s-ar putea ajunge la rezultate complet false.

30

Pentru simplificarea calculelor, uneori se înlocuieşte o variabilă discretă cu una

continuă. Dacă modificările variabilei au loc la începutul sau sfârşitul perioadei, rezultatele

obţinute se compară cu cele stabilite în ipoteza de continuitate determinându-se astfel

costurile erorii. În ipoteza înlocuirii unei variabile continue cu o variabilă discretă, eroarea

acestei simplificări poate fi determinată, în esenţă, la fel.

Unele probleme pot fi simplificate prin modificarea relaţiilor funcţionale în unele

segmente sau în întreg modelul. Astfel, se utilizează aproximarea liniară a funcţiilor

neliniare. Frecvent, pentru aproximare se folosesc relaţii pătratice deoarece derivatele lor

sunt liniare iar unele repartiţii discrete sunt aproximate cu repartiţia normală care este

continuă. Determinarea costului unor astfel de aproximaţii necesită compararea modelului

cu realitatea. Utilizarea excesivă a procedeelor “liniarizării” prezintă unele pericole,

îndeosebi în marketing unde curba vânzărilor prezintă o porţiune orizontală sau chiar este

descrescătoare chiar dacă sporesc excesiv cheltuielile pentru reclamă.

Simplificarea modelului se obţine şi prin adăugarea, eliminarea sau modificarea

restricţiilor în funcţie de caracteristicile concrete ale problemei abordate. În unele cazuri,

modelul iniţial este rezolvat fără prea multe restricţii urmând ca, treptat, să se introducă

restricţiile care se impun din cercetarea funcţionării modelului în raport cu situaţia reală a

fenomenului sau procesului modelat. Faţă de această manieră “progresivă” de introducere a

unor noi restricţii, uneori este mai potrivită renunţarea la unele restricţii acţionându-se

“regresiv”. De regulă, soluţia obţinută prin eliminarea anumitor restricţii este optimistă în

timp ce soluţia rezultată prin adăugarea de restricţii este pesimistă.

Modificarea restricţiilor are ca rezultat stabilirea limitelor între care este cuprinsă

soluţia problemei. Acest procedeu este util în studiile preliminare pentru obţinerea unor

estimaţii aproximative însă rapide.

31

Capitolul 3. Funcţii şi curbe folosite în modelele econometrice

Modelarea economică studiază şi rezolvă probleme în care se manifestă legături

directe sau indirecte între diferite variabile economice, legături exprimate cu ajutorul

funcţiilor economico-matematice.În sensul cel mai general, o variabilă este o cantitate

nedeterminată, dar în măsură a se identifica cu anumite cantităţi ale unei mulţimi. Relaţiile

funcţionale între două sau mai multe variabile implică dependenţa dintre acestea. O funcţie

între două variabile x şi y, poate fi explicită (dacă valorile uneia dintre variabile depind în

mod determinat de valorile celeilalte) sau implicită (dacă valorile pe care le pot lua x şi y

sunt legate între ele într-un mod determinat) iar variabilele pot fi independente sau

dependente. Orice funcţie explicită provine dintr-o anumită funcţie implicită şi are funcţia

sa inversă.

Funcţiile economice pot fi redate prin expresii algebrice sau grafic. Dacă o funcţie

poate fi exprimată cu ajutorul unei singure formule care include variabilele se spune că este

definită analitic. În continuare sunt prezentate câteva funcţii economice folosite frecvent în

modelele economico-matematice.

3.1 Funcţii şi curbe ale utilităţii

Noţiunea de utilitate, preluată din filozofie, înseamnă capacitatea bunurilor de a

crea satisfacţie. În condiţiile existenţei unor resurse limitate şi a unor resurse foarte diverse

şi în creştere, cercetarea economică urmăreşte maximizarea utilităţii primite de consumator

prin consumarea unor seturi alternative de mărfuri.

Problema utilităţii este abordată în legătură cu cele două tipuri de utilitate: cardinală

şi ordinală. În timp ce utilitatea cardinală ar putea fi măsurată, teoretic, prin unităţi de

utilitate (utils), utilitatea ordinală presupune doar posibilitatea unor comparaţii calitative

privind gradul de satisfacere a trebuinţelor indivizilor ca urmare a consumării unor seturi de

bunuri. Pe baza conceptului de utilitate ordinală, orice cumpărător cu venituri limitate poate

realiza o preordonare completă a preferinţelor în raport de utilităţile mărfurilor.

32

În general, se consideră că satisfacţia consumatorului este cu atât mai ridicată cu cât

cantităţile de marfă consumate sunt mai mari, deci între nivelul utilităţii totale şi cantităţile

de bunuri consumate există o relaţie directă. Legătura între utilitatea totală (U) de care

beneficiază consumatorul prin folosirea unor mulţimi de bunuri şi cantităţile consumate din

aceste bunuri poate fi exprimată sub forma cea mai generală

U=f(xi) (i= n1, ) (3.1)

în care

xi – cantitatea consumată din bunul i.

Relaţia (3.1) este funcţia generală de utilitate. Formele concrete ale acestei funcţii

sunt extrem de variate dar sunt construite pe ipoteze comune:

- gradul de satisfacţie a consumatorului este rezultatul combinării cantităţilor de

mărfuri în diferite seturi, fiecărei combinaţii fiindu-i ataşată o anumită valoare a utilităţii

totale;

- orice funcţie de utilitate este definită numai pentru o perioadă de timp determinată;

- orice funcţie de utilitate este continuă, presupunere necesară pentru a uşura

folosirea instrumentului matematic în modelele economice*.

Dacă se presupune că utilitatea totală este cardinală, derivata de ordinul întâi a

funcţiei de utilitate este utilitatea marginală, adică utilitatea adusă în plus de consumarea

ultimei unităţi adiţionale. Când funcţia de utilitate este de o singură variabilă se notează

U=f(x) (3.2)

iar utilitatea marginală în acest caz este

dx

dU

Δx

ΔUlim(x)f'U'u

0Δxm

. (3.3)

În graficul 3.1 sunt reprezentate curba utilităţii totale şi curba utilităţii marginale

când funcţia utilităţii este de o singură variabilă.

Când funcţia de utilitate este de mai multe variabile are forma

U=f(xi) i= n,1 (3.4)

iar utilitatea marginală va fi

* În economia concretă, de regulă, variabilele sunt discontinue, prezintă salturi de la o perioadă la alta.

33

ii0Δx

m δx

δU

Δx

ΔUlimU'u

i

(3.5)

Fig.3.1 Reprezentarea grafică a utilităţii totale şi a utilităţii marginale

Din expresia utilităţii marginale (3.3) se pot obţine egalităţile

U=umx (3.6)

dU=Udx (3.7)

folosite frecvent în modelele bazate pe teoria utilităţii marginale.

Una din concluziile de cea mai mare importanţă ale teoriei utilităţii marginale,

întâlnită în modelarea economică, este legea utilităţii marginale descrescânde conform

căreia „... odată cu creşterea cantităţii consumate dintr-un bun utilitatea totală sporeşte din

ce în ce mai încet, iar utilitatea marginală scade.”1 Pe măsura intensificării acestui proces

apare fenomenul de saturare a nevoilor care poate determina aplatizarea curbelor utilităţii

totale şi marginale sau, la un moment dat, utilitatea consumului se poate transforma în

opusul său – dezutilitatea.

3.2 Funcţii şi curbe de indiferenţă

Concepţia privind interdependenţele între variabilele economice a stat la baza

construirii curbelor de indiferenţă pentru bunuri de consum sau pentru variaţia în timp a

fluxului venitului. Orice cumpărător cu resurse limitate poate alege un set (colecţie) de

cumpărături din mai multe posibile (funcţia de preferinţă) pentru a-şi asigura satisfacerea

1 Gherasim, T., Microeconomie, vol.1, Bucureşti, Ed. Economică, 1993, p.21.

x

U

0 x

um

0A. Curba crescătoare

a utilităţii totale

B. Curba descrescătoare

a utilităţii marginale

34

maximă a nevoilor sale de consum, deci pentru a-şi maximiza funcţia de utilitate. Fiecărei

combinaţii de mărfuri posibile îi corespunde în planul xOy un punct.

Considerăm două mărfuri X şi Y reprezentate în plan pe Ox şi Oy; punctul P0(x0,y0)

reprezintă un set de cumpărături (x0,y0). Faţă de acest set, toate celelalte cumpărături

posibile se împart în trei grupe: (1) cele mai preferate decât; (2) cele mai puţin preferate

decât; (3) cele care sunt la un nivel de indiferenţă faţă de cumpărăturile de bază (x0,y0).

Grupa (3) este reprezentată de o mulţime de puncte P0,P1,..., care formează curba de

indiferenţă corespunzătoare nivelului de preferinţă asociat cumpărăturilor iniţiale (x0,y0).

X 0 x1 x0 x’0

P0

P1

P’0

U1

U2

U4

U3

Y

y1

y0

y’0

Fig.3.2 Familie de curbe de indiferenţă

În figura 3.2 combinaţiei de bunuri (x0,y0) îi corespunde utilitatea totală U2. Aceeaşi

utilitate totală îi este asigurată consumatorului de combinaţia (x1,y1) care constituie

coordonatele punctului P1 aflat tot pe curba de indiferenţă U2. Rezultă că în orice punct ne-

am situa pe curba U2 utilitatea totală de care beneficiază consumatorul este aceeaşi chiar

dacă se schimbă combinaţiile de mărfuri ce determină poziţia pe curbă a punctelor

respective. Prin urmare, o curbă de indiferenţă este locul geometric al punctelor din plan a

căror poziţie este stabilită de coordonate corespunzătoare combinaţiilor de bunuri ce

asigură consumatorului aceeaşi utilitate totală.

Dacă se consideră un alt set neinclus în grupa de indiferenţă anterioară se

poate defini o altă grupă de indiferenţă la acest nivel de preferinţă reprezentată de o

)y,(x '0

'0

35

mulţime de puncte ..., care formează o altă curbă de indiferenţă. Acest procedeu este

aplicat pentru toate seturile de cumpărături posibile, obţinându-se un sistem (o familie) de

curbe de indiferenţă. Curbele respective sunt aranjate în ordinea preferinţei crescânde

U1U2U3..., în conformitate cu preferinţele individuale faţă de diferite nivele de

indiferenţă asociate curbelor. Harta de indiferenţă este ansamblul tuturor curbelor de

indiferenţă şi serveşte la descrierea completă a scării individuale de preferinţe pentru

mărfurile respective. Pentru a compara, din punctul de vedere al preferinţelor, două seturi

de cumpărături, se stabileşte poziţia în plan a punctelor respective, anume, dacă se află pe

curbe de indiferenţă superioare, inferioare sau pe una şi aceeaşi curbă. Fiecare curbă de

indiferenţă este considerată continuă.

,P,P '1

'0

Forma hărţii este limitată de trei ipoteze:

1) nici o curbă de indiferenţă nu se intersectează cu ea însăşi sau cu vreo altă curbă

de indiferenţă,

2) nivelul de preferinţă creşte în planul xOy pe harta de indiferenţă de la origine în

direcţia NE,

3) fiecare curbă de indiferenţă este convexă faţă de ambele axe ale graficului.

Curbele de indiferenţă pot fi utilizate pentru cercetarea fluxului de cumpărături

discontinuu în timp. Pentru un consumator se iau în considerare cumpărăturile de mărfuri

efectuate în doi ani consecutivi. Venitul consumatorului este considerat drept un indicator

al preferinţelor sale pentru setul concret de cumpărături făcute în fiecare an. Pe baza unei

scări a preferinţelor pentru venitul din fiecare din cei doi ani, se poate reprezenta în planul

xOy printr-o familie de curbe de indiferenţă evoluţia în timp a preferinţelor consumatorului

(pe Ox se măsoară venitul anului curent, iar pe Oy venitul anului următor).

3.3 Funcţii şi curbe de transformare

În diferite analize, condiţiile ofertei şi ale cererii sunt prezentate în mod analog.

Când un producător (în condiţii de concurenţă perfectă) îşi măreşte stocul pentru o marfă,

el constituie o parte a cererii, iar când diminuează stocul contribuie la oferta acelei mărfi.

Aceasta înseamnă că funcţiile cererii şi ofertei sunt similare, oferta fiind privită de multe

36

ori ca o cerere negativă; funcţiile sunt univoce, continue şi monotone, cererea diminuându-

se iar oferta mărindu-se odată cu creşterea preţurilor.

Dacă o întreprindere produce două mărfuri X şi Y, în condiţii tehnice date, utilizând

cantităţi fixe din anumiţi factori de producţie, costurile totale ale producţiei fiind date, pot

fi determinate cantităţile variabile din cele două mărfuri care pot fi produse. Dacă se

produce o cantitate dată x din marfa X, resursele fixe pot fi astfel stabilite încât să se

producă o cantitate maximă y din cealaltă marfă Y, deci y este o funcţie univocă de x,

continuă şi monoton descrescătoare. Substituind x cu y se obţine funcţia inversă a funcţiei

iniţiale. Simbolic se poate nota

F(x,y)=0 (3.8)

de unde

y=f(x) şi x=g(x) (3.9)

în care f şi g sunt funcţiile univoce şi descrescătoare descrise mai sus.

20 40 60 x

0

60

40

20

y

Fig.3.3 Curba de transformare

Relaţia (3.8) este numită funcţie de transformare sau curbă de indiferenţă a

producţiei şi serveşte pentru a arăta diferitele posibilităţi de producţie cu cantităţile de

factori date. Această curbă descrescătoare spre ambele axe Ox şi Oy arată că în situaţii

normale producţia de Y descreşte din ce în ce mai repede când producţia de X creşte şi

reciproc. Curba de transformare este o limită „maximală” (şi constituie frontiera opusă

curbei costurilor totale de producţie care este „minimală”) a posibilităţilor de producţie.

Orice punct din interiorul concavităţii curbei spre origine corespunde unor posibilităţi de

37

producţie, în timp ce oricare punct din afara curbei reprezintă situaţii care nu pot fi atinse

oricum ar fi distribuite resursele existente.

Funcţia şi curba de transformare pot fi utilizate şi pentru determinări în legătură cu

organizarea producţiei unui sistem economic pe doi ani consecutivi. Fiind date condiţiile

tehnice şi resursele de producţie, se pune problema stabilirii venitului în cei doi ani: pentru

un venit dat x, în anul curent, se poate maximiza venitul y, din anul următor sau se poate

maximiza x, considerând y dat. Curba corespunzătoare de transformare este numită de către

I.Fisher „curba oportunităţii investiţiilor”. Dacă venitul cerut în anul curent creşte, venitul

realizat în anul următor descreşte continuu, cu o viteză din ce în ce mai mare.

3.4 Funcţii de producţie

Interdependenţa variabilelor în sistemele economice productive poate fi cercetată cu

ajutorul funcţiilor de producţie, care exprimă, cu ajutorul unor relaţii de forma

y=f(x1,...,xn), (3.10)

rezultatele unei activităţi în funcţie de factorii de producţie utilizaţi pentru obţinerea

anumitor bunuri.

Noţiunea de funcţie de producţie a fost definită pentru prima oară de P.Wicksteed în

anul 1894, dar primii care au calculat funcţii de producţie au fost Cobb şi Douglas, în

deceniul al treilea folosind modelul1

Y=f(K,N) (3.11)

în care:

Y – ieşirea (outputul) producţiei,

K – volumul factorului capital,

N – volumul agregat al factorului muncă,

N şi K sunt inputurile sistemului.

În legătură cu funcţiile de producţie se presupun următoarele ipoteze:

- inputurile şi outputurile sunt cantităţi reale şi pozitive;

1 Cobb, C.W., Douglas, P.H., A Theory of Production, in American Economic Review, no.2, 1928.

38

- pentru un volum dat al producţiei se alege o tehnologie care limitează la minim

consumurile din fiecare factor în parte;

- pentru o combinaţie fixă de factori se alege o tehnologie prin care se obţine un

volum maxim de producţie.

Având în vedere aceste ipoteze şi notând:

nR - mulţimea vectorilor x=(x1,...,xn) cu xi0, considerată mulţimea factorilor de

producţie,

R+ - mulţimea valorilor nenegative ale dreptei reale, adică xRx0,

atunci funcţia

f: R+ (3.12) nR

se numeşte funcţie de producţie dacă

a) f(x)=0, pentru orice vector x=(x1,...,xn) care are cel puţin una dintre componente

diferită cu zero;

b) 0

ixf

, (i=1,...,n);

c) 02

2

ixf

, (i=1,...,n).

Prin tehnologie, în sensul funcţiilor de producţie, se înţelege tripletul

=(N,K;Y) (3.13)

unde N este factorul muncă, K stocul de capital, iar Y este rezultatul obţinut cu cei doi

factori.

Mulţimea tuturor tehnologiilor posibile pentru un anumit sistem productiv se

notează cu T

T==(N,K;Y) (3.14)

şi corespunde următoarelor ipoteze:

a) dacă =(N,K;Y)T, atunci N0, K0, Y0;

b) dacă =(N1,K1;Y1)T, atunci fiecărui număr real 0 îi corespunde un output,

notat cu Y, astfel încât =(N1,K1;Y)T.

Dacă există numai doi factori variabili, în cantităţile x1 şi x2, funcţia de producţie

corespunzătoare y=f(x1,x2), poate fi reprezentată de o suprafaţă a producţiei raportată la un

39

sistem de axe în care OX1 şi OX2 se află în plan orizontal, iar Oy pe verticală. Curbele de

nivel ale suprafeţei producţiei constau dintr-o familie de curbe în planul X1OX2 numite

curbe ale producţiei constante (izocuante) şi definite de

f(x1,x2)=const. (3.15)

O astfel de curbă cuprinde toate punctele (x1,x2) care sunt combinaţii cantitative ale

factorilor şi a căror rezultantă este un anumit volum de producţie y1. Curbele nu se

intersectează, ele acoperă continuu primul cadran X1OX2, astfel că prin fiecare punct trece

numai o singură curbă. Dacă unul sau ambii factori se modifică, punctul corespunzător se

mişcă în planul X1OX2, iar traiectoria lui ilustrează variaţia-rezultantă a producţiei

(outputului).

Fig.3.4 Familie de izocuante.

X2”’

X2”

X2’

X1’ X1” X1”’ X1

X2

X1

X2

0

În cazul unei producţii normale se poate presupune că pentru a menţine acelaşi

volum de producţie, unul din factori (de exemplu X2) poate fi înlocuit cu celălalt factor

(X1), iar pe măsura înlocuirii lui X2 sunt necesare cantităţi tot mai mari de X1*. Curbele

producţiei constante sunt descrescătoare şi convexe faţă de origine.

Trebuie însă precizat că în realitate substituţia poate avea loc numai în anumite

limite normale.

Proprietăţile funcţiilor de producţie sunt:

1) Absenţa oricărui input în contextul unei tehnologii date conduce la un output nul;

* Se presupune că factorii X1 şi X2 sunt substituibili între ei.

40

2) Funcţia de producţie este monoton crescătoare în ambele argumente, adică X şi

Y sunt doi vectori nenegativi care exprimă un anumit nivel de utilizare a celor n factori de

producţie, deci funcţia de producţie are un randament nedescrescător

f(X+Y)f(X)+f(Y) (3.16)

3) Dacă în funcţiile de producţie omogene de un grad h

f(x1,...,xn)=nf(x1,...,xn) (3.17)

se multiplică cantităţile (x1,...,xn) ale fiecărui factor de producţie cu , atunci mărimea

outputului creşte de ori. O funcţie de producţie se numeşte omotetică dacă este omogenă

de gradul întâi;

4) Funcţiile de producţie sunt derivabile, iar derivatele lor parţiale de ordinul întâi

sunt pozitive,

0x

f

i

(i=1,...,n) (3.18)

Aceste derivate precizează cu cât creşte producţia la o creştere unitară a cantităţii de

resursă i folosită în producţie, în ipoteza că celelalte resurse rămân cantitativ neschimbate.

Sporirea cantitativă a utilizării unuia din factorii de producţie, cu respectarea tuturor

celorlalte condiţii de corelare, nu poate determina micşorarea nivelului producţiei. Dacă se

notează

xi – creşterea cantităţii din factorul i,

f - creşterea corespunzătoare a producţiei,

atunci sporul de producţie pe unitatea de creştere a lui xi este

i

'i Δx

Δfη (3.19)

iar când xi0, trecând la limită, se obţine derivata parţială de ordinul întâi a funcţiei f în

raport cu factorul xi

ii0Δx

'i x

f

Δx

Δflimη

(3.20)

Această mărime se numeşte randament diferenţial (marginal) sau eficienţă

diferenţială (marginală) a factorului xi.

41

0 xi

f

Fig.3.5 Curbă „decelerată”

5) Derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiilor de producţie sunt negative

0x

f2i

2

(i=1,...,n) (3.21)

ceea ce înseamnă că la valori tot mai mari ale lui f, aceeaşi creştere a volumului factorilor

de producţie determină creşteri relativ mai reduse ale producţiei – fig.3.5.

Evoluţia unor fenomene economice poate fi caracterizată şi printr-o curbă

„logistică” (fig.3.6).

f

xi 0

Fig.3.6 Curbă „logistică”

Funcţiile de producţie sunt de mai multe tipuri. Identificarea acestor tipuri se poate

face pe baza unor ipoteze referitoare la indicatorii care măsoară corelaţiile dintre factorii de

producţie. Ipotezele folosite privesc 1) elasticităţile, 2) norma de substituire a factorilor, 3)

elasticitatea normei de substituire.

42

Cea mai cunoscută funcţie de producţie este funcţia Cobb-Douglas, de forma (3.11).

Factorii de producţie consideraţi în funcţia CD sunt capitalul, K şi cantitatea de muncă, N

iar forma funcţiei este

Q=ANK (3.22)

unde A, şi sunt constante nenegative determinate pe baza datelor statistice şi N0,

K0. Deoarece +=1, funcţia este omotetică. Elasticităţile funcţiei (3.22) sunt şi , deci

acestea reprezintă numărul de procente cu care creşte volumul producţiei (Q) când factorul

de producţie respectiv creşte cu 1%, iar celălalt rămâne constant.

Elasticitatea normei de substituire a factorilor în funcţia CD este egală cu unitatea

=1, deci, dacă raportul K/N creşte cu 1%, norma de substituire a factorilor creşte tot cu

1%.

Logaritmând funcţia (3.22) şi aplicând metoda celor mai mici pătrate pot fi

determinaţi parametrii A, şi . Funcţia CD în această formă nu poate reprezenta o

economie dimensională, randamentul crescând al oricărui factor fiind exclus. Pentru a

înlătura astfel de restricţii, după anul 1930, s-a relaxat condiţia ca suma să fie egală cu

unitatea şi s-a folosit o funcţie putere de forma

P=bNkCj (3.23)

unde exponenţii k şi j sunt liberi să ia orice valoare. Logaritmând rezultă

logP=logb+klogN+jlogC (3.24)

unde valorile lui k şi j sunt elasticităţi.

Efectul schimbării scalei de calcul pentru o variabilă asupra mărimii coeficienţilor

funcţiei de producţie CD este tratată de J.Verstraete.

O altă funcţie de producţie mai generală este funcţia neomogenă

δlnNγlnKb

βlnNαlnKalnY

(3.25)

în care N şi K au semnificaţiile de la funcţia CD.

Pentru un număr oarecare de variabile, expresia funcţiei CD generalizate este

n

1iii

n

1iii

lnxβb

lnxαanYl (3.26)

43

în care:

xi – cantitatea factorului i,

a,b,i,i – constante.

Funcţia CD în formă generalizată mai poate fi scrisă

n

1i

αi

ixAY (3.27)

în care:

Y – indicator al rezultatelor producţiei,

xi – variabila corespunzătoare celui de la i-lea factor,

A, i – constante.

O altă funcţie de producţie cunoscută este funcţia CES (constant elasticity of

substitution), determinată în 1961 de R.M.Solow, B.S.Minhas, K.I.Arrow şi H.B.Chenery

ρ

1ρ

2ρ

121 βxαxA)x,f(xQ (3.28)

în care +=1 şi 1.

Funcţia CES este omotetică.

După anul 1964 au apărut o serie de dezvoltări şi perfecţionări ale funcţiei CES

(I.Parouch, I.Kmenta, A.Zellner, C.E.Ferguson).

Funcţiile de producţie prezentate au elasticitatea normei de substituţie a factorilor

constantă. Pe baza unor date empirice privind economiile SUA, Indiei, Japoniei s-a ajuns la

concluzia că există o legătură strânsă între elasticitatea normei de substituire a factorilor şi

raportul k=K/N, fapt care a condus la obţinerea altor tipuri de funcţii de producţie.

Pe baza gradului de substituţie între factori, funcţiile de producţie pot fi clasificate

în cinci categorii (fig.3.7):

I. Pentru aceste funcţii, factorii de producţie sunt consideraţi absolut

complementari. În acest caz proporţiile între factori, precum şi cele între factori şi producţie

se consideră fixe. Descrierea producţiei cu o funcţie utilizând acest tip de factori presupune

existenţa unui singur mod de a produce bunul considerat.

Foarte utilizată a fost şi este complementaritatea în tabelele input-output, unde se ia

ca fix coeficientul tehnic de producţie aij. Această ipoteză a fixităţii coeficienţilor a fost

reţinută ca o necesitate practică pentru uşurinţa calculelor. În fig.3.7 se vede că există

44

numai o serie de puncte în câmpul X1,X2 a căror pantă defineşte tehnologia unică a

producţiei. Punctele A1,A2,A3 sunt echidistante, ilustrând presupunerea adiţională a

randamentelor constante de scară. Elasticitatea normei de substituire este nulă (=0).

Factori de producţie

Complementari

Substituibili

A1

A2

X2 X2

0 X1

A

B

A3

Cazul II

PARŢIAL ABSOLUT

I

Cazul I

0 X1

II

X2

Cazul III

X

0 0

X2

X1 Cazul IV

X1

I

X1

ABSOLUT DEPLIN PARŢIAL

Cazul V0

Fig.3.7 Clasificarea funcţiilor de producţie

II. Funcţiile din această grupă se caracterizează prin faptul că raportul dintre factori

poate varia de la un procedeu tehnic la altul, însă rămâne fix în cadrul aceluiaşi procedeu.

Este tipic exemplul programării liniare, în care activităţile sunt mai frecvent substituite

decât factorii. În fig.3.7 se prezintă două procedee de producţie (I şi II), independente unul

de celălalt, ce se pot folosi la fabricarea unui bun. Volumul producţiei (reprezentat prin

lungimea segmentelor OA şi OB) poate fi diferit de la un procedeu la altul. Dacă AB este

un segment de izocuantă, rezultă că păstrând neschimbaţi factorii şi raportul dintre ei, se

poate obţine acelaşi volum de producţie utilizând o combinaţie a celor două procedee.

45

III. În această categorie intră funcţiile de producţie clasice prin care se încearcă

punerea în evidenţă fie a unor particularităţi ale ramurii, zonei sau orizontului de timp, fie a

unor particularităţi ale procesului de producţie studiat. Se presupune un anumit grad de

substituţie între factori şi o oarecare variabilitate a raporturilor dintre factorii de producţie.

Cea de a doua ipoteză corespunde fenomenului economic al modificării raportului K/N.

IV. Grupa a patra cuprinde funcţiile de producţie tip CD. Reprezentarea acestor

funcţii într-un spaţiu tridimensional este o suprafaţă conică cu vârful în origine. Substituţia

factorilor este redată prin izocuante asimptotice la axele de coordonate, iar totalitatea

câmpului factorial în următoarele limite 1) volumul producţiei nu poate fi infinit; 2)

substituţia factorilor nu se poate face decât într-o măsură delimitată.

V. Acest tip de funcţii reprezintă un caz extrem, deoarece elasticitatea de substituţie

între factori se consideră infinită. Izocuantele sunt drepte paralele în câmpul factorial şi de

înclinare negativă. Rata diferenţială de substituţie între factori este constantă. Este cazul

factorilor de producţie omogeni ca totalitate a unităţilor dintr-o categorie de factori cu rate

diferite de substituire între ei. De exemplu, se înlocuiesc factorii X1 şi X2 prin factorul X3

care este o combinaţie liniară între aceşti factori

x3=a1x1+a2x2

iar rata diferenţială de substituire între factori este – a2/a1.

În această categorie intră funcţiile de tip CES în care norma de elasticitate a

substituţiei factorilor este constantă şi egală cu 1/(1+). Acest tip de funcţie reprezintă o

generalizare a unor tipuri prezentate anterior:

1) dacă =, atunci =0, cazul factorilor de producţie absolut complementari;

2) dacă =0, atunci =1, cazul factorilor de producţie deplin substituibili;

3) dacă =-1, atunci =, cazul factorilor de producţie absolut substituibili.

Pentru toate aceste tipuri de funcţii producţia creşte numai dacă cel puţin unul din

factorii consideraţi creşte.

46

3.5 Funcţii şi curbe ale cererii

Se presupune că pe piaţă există o concurenţă pură; nici un consumator nu

influenţează direct preţurile pieţii care sunt aceleaşi pentru toţi consumatorii, fiecare

consumator putând alege numai cantităţile de mărfuri diferite pe care le cumpără la preţul

curent.

Orice act de vânzare-cumpărare constă în substituirea unei sume oarecare de bani

cu o cantitate determinată dintr-o marfă, astfel încât piaţa pune faţă în faţă oferta cu

cererea.

Exprimarea legăturilor între cerere şi factorii care o influenţează este realizată prin

funcţiile de cerere. Cei mai importanţi factori ai cererii sunt preţurile şi veniturile

cumpărătorilor. În forma sa cea mai generală funcţia de cerere pentru a lua în considerare

factorii amintiţi foloseşte egalitatea

xi=f(p1,...,pn;V) (i=1,...,n) (3.29)

în care

xi – nivelul cererii pentru bunul i;

n – numărul bunurilor care urmează a fi cumpărate;

p1,...,pn – preţurile bunurilor care urmează a fi cumpărate de pe piaţă;

V – venitul consumatorului.

Întrucât orice consumator dispune de venituri limitate pe care le cheltuieşte în

întregime în scopul cumpărării unui set de mărfuri, totalul cheltuielilor este egal cu totalul

veniturilor conform restricţiei bugetare

n

1iii pxV (3.30)

în care

xi – cantităţile de marfă cumpărate din sortimentul achiziţionat,

pi – preţurile mărfurilor cumpărate,

V – venitul limitat al consumatorului.

Care este scopul achiziţionării mărfurilor? Evident, maximizarea satisfacerii

cerinţelor de consum ale cumpărătorului. Setul de mărfuri cumpărate se presupune că

47

maximizează utilitatea individului, ceea ce înseamnă că se urmăreşte maximul funcţiei

utilităţii

U=f(x1,x2,...,xn)=max (3.31)

Aşadar o funcţie de cerere oglindeşte procese şi fenomene economice complexe,

motiv pentru care nu orice funcţie care face legătura între cerere şi factorii săi este funcţie

de cerere.

Având în vedere aceste elemente, funcţiile de cerere sunt construite pornind de la

mai multe ipoteze relative la perioada investigată dintre care pot fi menţionate: constanţa

preferinţelor consumatorilor; păstrarea utilităţii marginale a banilor; preţurile celorlalte

mărfuri nu se modifică; veniturile cumpărătorilor sunt mărimi exogene şi se cheltuiesc în

întregime în perioada respectivă.

În aceste condiţii şi în raport de natura seriilor de date disponibile, funcţiile de

cerere pot fi clasificate după mai multe criterii1:

1. După caracterul concret al factorilor de influenţă există

- funcţii de cerere-preţ (QA=f(pA) sau QA=f(pA,pB,...),

- funcţii de cerere-venit (Q=f(V)), funcţii cerere-efort de marketing (Q=f(R)),

- funcţii de cerere mixte (Q=f(V,pi,xj));

2. După numărul factorilor de influenţă pot fi

- funcţii de cerere cu un singur factor (Q=f(x)),

- funcţii de cerere multifactoriale (Q=f(x1,...,xn));

3. După natura datelor disponibile pot exista

- funcţii de cerere statice (unde datele se referă la acelaşi moment),

- funcţii de cerere dinamice.

În scopul cercetării raportului dintre cerere şi preţul mărfii în cauză se consideră o

piaţă formată dintr-un grup de consumatori şi cererea acestora pentru o marfă X.

Reprezentarea simplă a cererii are în vedere următoarele elemente: (1) numărul

consumatorilor din grup; (2) gusturile sau preferinţele fiecărui consumator individual

pentru toate mărfurile oferite pe piaţă; (3) venitul fiecărui consumator individual; (4)

preţurile tuturor celorlalte mărfuri, diferite de X sunt fixe şi cunoscute. Cantitatea de marfă

X pe care o poate cumpăra fiecare consumator poate fi considerată ca funcţie numai de 1 Zaiţ, D., Nica, P., Introducere în modelarea econometrică, Iaşi, Ed.Univ.”Al.I.Cuza”, 1995, p.102.

48

preţul curent al acestei mărfi pe piaţă. Cantitatea totală de marfă X cerută pe piaţă depinde

numai de preţul de piaţă al mărfii X iar cererea pentru X se poate modifica numai dacă

variază preţul pieţei.

În aceste condiţii, dacă se notează cu p preţul pieţii pe unitatea de marfă X, cu x

cantitatea de marfă X cerută pe piaţă, rezultă că x este o funcţie univocă de p având forma:

x=(p), (3.32)

funcţia cererii pentru X în care variabilele p şi x sunt pozitive.

Relaţia (3.32) este cea mai simplă şi mai cunoscută exprimare a legăturii cerere-

preţ: cererea pentru o marfă este dependentă de preţul său, prin urmare, preţul este variabila

independentă iar cererea variabila dependentă.

Funcţia cerere-preţ a fost studiată la începutul secolului de A.Marshall care a privit

cererea ca variabilă independentă iar preţul ca variabilă dependentă în timp ce francezul A.

A. Cournot a considerat că preţul determină cererea. În esenţă, cele două abordări sunt

echivalente.

Folosind axele de coordonate Op şi Ox pentru preţuri, respectiv cantităţi, se

reprezintă funcţia cererii obţinându-se o curbă a cererii. Relaţia cerere-preţ este exclusiv

statică, nu se referă la variaţia în timp a cererii. Forma funcţiei şi alura curbei depind de

factorii enumeraţi mai sus, modificarea, chiar şi a unui singur factor, determină o deplasare

a poziţiei curbei cererii, o schimbare a formei sale iniţiale. Deplasarea poate avea loc

datorită unei devieri de ansamblu a situaţiei cererii sau poate exista o deplasare de-a lungul

unei curbe a cererii. În primul caz, curba cererii se poate deplasa pe măsura scurgerii

timpului iar în al doilea caz, are loc o modificare ipotetică şi netemporală a preţului.

Un aspect important al studierii funcţiei (3.32) este continuitatea variabilelor şi a

funcţiei cererii; în practică nu se înregistrează o astfel de continuitate dar este rezonabil din

punct de vedere economic (nu se deformează imaginea pieţii) şi convenabil din punct de

vedere matematic să se presupună că ambele sunt continue. Se admite că cererea pe piaţă

este cu atât mai mică cu cât preţul mărfii respective este mai mare*.

Cererea pentru o marfă X este reprezentată de funcţia (3.32) sau de funcţia inversă

p=(x), (3.33)

* Există şi situaţii când această ipoteză nu este adevărată.

49

aşa cum a fost apreciată de A.Marshall.

De regulă, o lege a cererii se exprimă prin diferite funcţii ca aproximaţii într-un

interval de preţuri, curba cererii putând fi o dreaptă sau o parabolă. Exemple de legi ale

cererii:

bxap ,b

pax

(3.34)

cbx

ap b,

cp

ax

(3.35)

bxap ,b

pax

2

(3.36)

2bx)(ap ,b

pax

(3.37)

2bxap ,b

pax

(3.38)

a

1

a

cx

bp c,bpx

(3.39)

x

alog

b

1p ,aex bp (3.40)

c)b(ba epx (3.41)

Funcţiile (3.34)-(3.41) sunt monoton descrescătoare, variabilele x şi p au numai

valori pozitive iar a,b,c sunt constante pozitive; folosind date numerice privind cererea, pot

fi ajustate pentru diferite valori şi astfel se poate reprezenta grafic funcţia cererii.

Curba cererii (3.34) este o dreaptă cu pantă negativă (stânga sus, dreapta jos) care

intersectează axa preţurilor în punctul A, unde p=a şi axa cantităţilor în punctul B, unde

p=0 (fig.3.8).

Când valorile lui a şi b se modifică, dreapta cererii îşi schimbă poziţia: dacă variază

numai a, dreapta se deplasează paralel cu ea însăşi; dacă variază numai b, dreapta se roteşte

în jurul punctului A de pe ordonată; dacă variază ambele constante, a şi b, dreapta se

deplasează realizând o translaţie şi o rotaţie.

50

Fig.3.8 Curba cererii

Curba corespunzătoare funcţiei (3.35) este o hiperbolă echilateră, ale cărei

asimptote sunt paralele cu axele, are centrul în punctul (x=-b, p=-c) şi este limitată doar la

primul cadran. Când variază a,b şi c poziţia curbei se modifică iar dacă variază numai b şi c

are loc o translaţie a curbei fără a-i schimba forma. În schimb, atunci când variază doar a,

forma curbei cererii se modifică.

3.6 Funcţii şi curbe ale venitului total

Funcţiile (3.32) şi (3.33) sunt din punct de vedere matematic, funcţii inverse ale

cererii. Atunci, produsul

R=xp (3.42)

corespunde venitului total în condiţiile cererii x şi a preţului unitar p, altfel spus, relaţia

(3.42) este o formă particulară a restricţiei bugetare (3.30). Rezultă că R constituie simultan

totalul încasărilor băneşti ale producătorilor care satisfac cererea şi este suma totală

cheltuită de consumatorii care formulează cererea. Putem scrie

R=p(p)=x(x). (3.43)

Din relaţia (3.43) observăm că R poate fi exprimat:

(1) ca o funcţie de preţ,

(2) ca o funcţie de producţie care se presupune egală cu cererea.

A 15

0

1

p

B

0 20 60 x 40 80 100

51

În majoritatea cazurilor, când se corelează cererea şi preţul de producţie se foloseşte

prima parte a relaţiei (3.43), adică R=p(p), prin urmare R=x(x). A doua formă a funcţiei

(3.43) se numeşte funcţia venitului total a legii cererii date şi este reprezentată prin curba

venitului total într-un sistem de axe rectangulare Ox (abscisa) şi OR (ordonata). Înălţimea

curbei venitului total măsoară venitul total care poate fi obţinut pentru o producţie dată.

Funcţia R=x(x) este continuă, iar forma sa este determinată de elasticitatea cererii.

Curba venitului total nu conţine elemente referitoare la preţul mărfii, dar acesta

poate fi determinat din relaţia

x

Rp (3.44)

Preţul poate fi privit drept venit mediu (pe unitate de produs) şi este măsurat de

panta dreptei care uneşte originea cu punctul de pe curba venitului total corespunzător unei

producţii x date.

3.7 Funcţii şi curbe ale costurilor

Expresia bănească a consumurilor de resurse pentru producerea şi desfacerea unei

mărfi defineşte costul contabil. În legătură cu volumul producţiei la care se referă, costurile

de producţie pot fi totale, medii şi marginale iar funcţie de intervalul de timp la care se

raportează costurile se împart în costuri pe termen scurt şi costuri pe termen lung. Aceste

clasificări sunt necesare studiului costurilor în ansamblu şi a comportamentului elementelor

costurilor de producţie.

Costurile totale pe termen scurt exprimă în unităţi monetare consumul de factori de

producţie în scopul producerii şi realizării întregii producţii într-o perioadă determinată.

Aceste costuri sunt formate din costuri fixe (sunt relativ constante faţă de volumul

producţiei) şi variabile (sunt dependente de volumul producţiei).

Costul mediu pe termen scurt reflectă consumurile de factori pe unitatea de produs

şi poate fi cost mediu variabil, cost mediu fix şi cost mediu global ca sumă a primelor două

categorii de costuri. Când volumul producţiei creşte sau scade cu o unitate, se schimbă şi

52

consumurile de factori iar numărul de unităţi monetare corespunzătoare modificării acestor

consumuri constituie costul marginal care indică rata evoluţiei costurilor totale.

O funcţie de costuri evidenţiază legăturile între costuri şi factorii acestora. Deoarece

pentru obţinerea aceluiaşi volum de producţie factorii de producţie pot fi combinaţi în mai

multe moduri, nu orice corelaţie costuri-factori de influenţă este considerată funcţie de

costuri: „Pentru a fi acceptată ca o funcţie de costuri, o astfel de funcţie trebuie să reflecte

nivelurile minime ale costurilor pe care întreprinzătorii trebuie să le atingă pentru realizarea

anumitor niveluri ale producţiei, ele fiind definite deci de combinaţiile optime de factori”.1

În vederea analizei costurilor se admit următoarele ipoteze:

- o întreprindere produce o singură marfă X, de aceeaşi calitate, din anumiţi factori

de producţie;

- unii din factorii de producţie utilizaţi sunt folosiţi în cantităţi fixe, indiferent de

volumul producţiei întreprinderii (cheltuieli constante);

- ceilalţi factori sunt variabili în raport de cantitatea de producţie fabricată

(cheltuieli variabile);

- condiţiile tehnice de fabricaţie se consideră cunoscute şi fixe;

- întreprinderea foloseşte factorii variabili astfel încât să obţină o producţie x de

marfă X la costuri minime posibile, notate cu C (care depinde numai de x).

C este funcţia costurilor totale, C şi x putând avea numai valori pozitive:

C=f(x) (3.45)

Curba costurilor totale se obţine prin reprezentarea în plan a funcţiei C folosind

axele Ox (orizontală) şi OC (verticală). Înălţimea variabilă a curbei arată evoluţia costurilor

totale când producţia se schimbă. Funcţia şi curba costurilor totale sunt corelaţii statice.

Forma curbei funcţiei este determinată de condiţiile producţiei şi de factorii de producţie

utilizaţi; modificarea unei condiţii schimbă forma curbei.

Funcţia şi curba costurilor totale sunt “minime” deoarece din variantele posibile

numai costul cel mai mic este folosit pentru a defini această funcţie.

Curba împarte cadranul I în două regiuni: deasupra curbei sunt puncte

corespunzătoare unor costuri mai mari, la care ar putea fi obţinută producţia, iar dedesubt

sunt puncte corespunzătoare unor costuri prea mici pentru a putea fi fabricată producţia x. 1 Gherasim, T., Lucr.cit., vol.II, p.31.

53

P

C

0 x

Fig.3.9 Curba costurilor totale

Se consideră că funcţia costurilor totale este univocă şi continuă. În continuare sunt

redate câteva tipuri de funcţii ale costurilor pentru situaţii obişnuite:

baxC (3.46)

cbxaxC 2 (3.47)

cbaxC (3.48)

dcxbxaxC 23 (3.49)

dcx

bxaxC

(3.50)

dcx

bxaxC 2

(3.51)

bxaeC (3.52)

dexC cbxa (3.53)

În relaţiile (3.46)-(3.53), parametrii a,b,c,d sunt pozitivi. În cazul (3.47), curba este

o parabolă cu vârful în jos (funcţie de gradul II şi a0), punctul său de extrem fiind situat în

stânga axei verticale, graficul se limitează la un arc de parabolă reprezentat în cadranul I,

cu valori crescătoare de la stânga spre dreapta.

Oricare ar fi volumul producţiei, raportul dintre costurile totale şi volumul

producţiei defineşte costul mediul sau costul pe unitate de produs, conform relaţiei

54

x

Cc = panta lui OP (3.54)

Deoarece costul mediu variază cu producţia, funcţia costului mediu este (3.54) şi

corespunzător, există o curbă a costului mediu, reprezentată în sistemul de axe Ox şi OC.

Forma acestei funcţii se obţine din cea a funcţiei costurilor totale dar, spre deosebire de

funcţia costurilor totale, funcţia costului mediu nu este întotdeauna monotonă.

3.8 Elasticitatea funcţiilor

Dacă y=f(x) este o funcţie univocă de x, elasticitatea acesteia în punctul x este

viteza variaţiei relative a lui y pentru o variaţie relativă a lui x egală cu unitatea

dx

dy

y

x

d(lnx)

d(lny)

Ex

Ey (3.55)

Când se studiază variaţii relative ale lui y şi ale lui x, reprezentarea grafică adecvată a

funcţiei y=f(x) este cea logaritmică. Raportul (3.55) exprimă panta tangentei la curba

reprezentată, altfel spus, elasticitatea unei funcţii într-un punct este egală cu panta tangentei

la curbă în acel punct şi poate fi citită pe graficul său logaritmic1.

Elasticitatea unei funcţii este un număr independent de unităţile în care au fost

exprimate variabilele deoarece este definită cu ajutorul unor variaţii relative. Calculul

elasticităţilor se face pornind de la derivatele corespunzătoare.

Dacă u şi v sunt funcţii univoce de x, atunci

vuEx

Evv

Ex

Euu

Ex

v)E(u

(3.56)

Ex

Ev

Ex

Eu

Ex

E(uv) (3.57)

Ex

Ev

Ex

Eu

Ex

v

uE

(3.58)

Când y este funcţie de u, iar u este funcţie de x rezultă

1 Allen, R.G.D., Analiza matematică pentru economişti, Bucureşti, Ed. Ştiinţifică, 1971, pp.321-336.

55

Ex

Eu

Eu

Ey

Ex

Ey (3.59)

Dacă a este o constantă, atunci

Ex

Eu

au

u

Ex

a)E(u

(3.60)

Ex

Eu

Ex

E(au) (3.61)

În general, elasticitatea unei funcţii variază cu valoarea atribuită lui x. În unele

puncte, valoarea absolută a elasticităţii poate fi egală cu unitatea. Pot să apară trei situaţii:

1) 1[f(x)]Ex

E , atunci o creştere relativă a lui x, de la acel punct, produce o

creştere relativă de aceeaşi mărime a lui f(x);

2) 1[f(x)]Ex

E , atunci o creştere relativă a lui x produce o creştere relativă mai

mare a lui f(x);

3) 1[f(x)]Ex

E , atunci creşterea relativă a lui f(x) este mai mică decât cea a lui x.

Aceleaşi observaţii sunt valabile şi în situaţiile când se compară elasticitatea

funcţiei cu (-1) într-un punct x, dar, în acest caz o creştere relativă a lui x produce o

descreştere relativă a lui f(x).

Într-un punct în care funcţia are o valoare staţionară, derivata funcţiei şi elasticitatea

sa sunt nule. Pentru funcţii „totale” (xf(x)) sau „medii” (f(x)/x) elasticităţile sunt

1[f(x)]Ex

E[xf(x)]

Ex

E (3.62)

1[f(x)]Ex

E

x

f(x)

Ex

E

(3.63)

Din (3.62) şi (3.63) rezultă că o valoare de extrem a expresiei „totale” [xf(x)] se

poate realiza numai într-un punct în care elasticitatea lui f(x) este –1, iar extremul „mediei”

[f(x)/x] se poate realiza numai în punctul în care elasticitatea lui f(x) este 1.

56

Prin definiţie, elasticitatea unei funcţii f(x) este raportul dintre valoarea „marginală”

şi valoarea „medie” a lui f(x) în punctul respectiv, adică raportul dintre f(x) şi x

f(x) *. Într-

un punct în care valoarea „medie” este maximă sau minimă iar elasticitatea este egală cu 1,

valorile „medie” şi „marginală” ale funcţiei sunt egale între ele**.

În continuare sunt exemplificate noţiunile prezentate mai sus pentru câteva funcţii

semnificative.

Fiind dată funcţia cererii pentru o marfă oarecare (3.32), monoton descrescătoare,

elasticitatea acestei funcţii defineşte elasticitatea cererii, în raport de preţ

d(lnp)

d(lnx)

dp

dx

x

pηx (3.64)

Valoarea lui x variază de la punct la punct şi măsoară viteza descreşterii relative a

cererii în funcţie de creşterea relativă a preţului. Pentru studiul variaţiei relative a cererii şi

preţului este avantajoasă reprezentarea curbei cererii la scară logaritmică. Marshall a

elaborat două metode grafice de estimare a elasticităţii unei curbe a cererii reprezentată la

scară naturală.

Inversa funcţiei cererii este (3.33) iar elasticitatea preţului în raport cu cererea este

dx

dp

p

xηp , (3.65)

inversa lui x. Elasticitatea p mai este cunoscută sub denumirea de flexibilitate a preţului.

Conform relaţiei (3.43)

R=xp=x(x),

rezultă

dx

dp

p

x1p

dx

dpxp(xp)

dx

d

dx

dR (3.66)

Întrucât elasticitatea cererii este (3.64), se obţine

* Valoarea medie se referă la întregul interval, de la zero până la valoarea dată x; valoarea marginală se referă la “marginea” corespunzătoare valorii date x. ** Valoarea medie a lui f(x) este staţionară în orice punct în care valoarea medie este egală cu cea marginală. Valoarea staţionară este un maxim dacă în punctul respective f(x) este negativă şi este minim dacă f(x) este pozitivă.

57

xη

11p

dx

dR (3.67)

de unde rezultă următoarele trei situaţii:

1) Dacă la un preţ şi o cerere date, x1, atunci o mică descreştere a preţului duce la

o creştere mai mare decât cea proporţională a cererii; încasările marginale dR/dx sunt

pozitive, iar încasările totale cresc când producţia (cererea) creşte. Acesta este cazul cererii

elastice.

2) Dacă la un preţ şi o cerere dată, x=1, atunci o mică descreştere a preţului

produce o creştere de aceeaşi mărime a cererii iar încasările totale au o valoare staţionară

(de obicei maximă). În această situaţie cererea este cu elasticitate unitară.

3) Dacă la un preţ şi o cerere date, x1, atunci o mică scădere a preţului este

însoţită de o creştere mai mică decât cea proporţională a cererii, iar încasările totale scad

când producţia creşte. Acesta este cazul cererii neelastice.

dx

dR

p

x Încasări

marginale x

R

x1 x=1 x1

0

x1 x=1

medii

Încasări

0

A. Încasări totale B. Încasări medii şi marginale

Fig.3.10 Curbele normale ale încasărilor totale, medii şi marginale

Dacă cererea este normală, la început, încasările totale R cresc odată cu producţia

(x1), ating treptat o valoare maximă când producţia x=a (x=1), apoi scad când producţia

xa (x1). Datorită acţiunii legii productivităţii marginale descrescătoare, când producţia

creşte, încasările medii descresc continuu. Din relaţia (3.67) rezultă că încasările marginale

dx

dR sunt mai mici decât încasările medii p, oricare ar fi producţia deoarece x0. Dacă

producţia creşte, x descreşte până la 1 (pentru x=a), moment în care încasările marginale,

continuu descrescătoare, sunt egale cu zero. Sporirea producţiei peste această limită

58

determină încasări marginale negative, însă acestea nu descresc obligatoriu necontenit.

Formele curbelor normale ale încasărilor totale, medii şi marginale sunt redate în fig.3.10.

Compatibilitatea graficelor de mai sus este condiţionată de faptul dacă ordonatele

curbelor încasărilor medii şi marginale sunt respectiv egale cu panta vectorului din 0 şi cu

panta tangentei în punctul corespunzător de pe curba încasărilor totale.

Robinson a stabilit o corelaţie între curbele încasărilor medii şi marginale1. Dacă

tangenta într-un punct P oarecare de pe curba încasărilor medii taie axa preţurilor în A iar

punctul Q de pe curba încasărilor marginale corespunde aceleiaşi producţii ca şi P, atunci

panta dreptei AP faţă de axa preţurilor este dublul pantei dreptei AQ, adică

NA

NQ2

MA

MP (3.68)

Cu ajutorul relaţiei (3.68) poate fi construită curba încasărilor marginale, pornind de

la o curbă dată a cererii sau a încasărilor medii.

În problema elasticităţii costului se foloseşte funcţia costului total

C=F(x)

pentru o producţie x.

p

Q

0

A

M

P

x

Fig. 3.11 Curbele încasărilor medii şi marginale.

Elasticitatea costurilor totale este

d(lnx)

d(lnC)

dx

dC

C

xηk (3.69)

1 Robinson, J., Economics of Imperfect Competition, 1933.

59

şi măsoară rata de creştere relativă a costurilor totale pentru o creştere relativă a producţiei,

pornind de la un nivel dat; k este egală cu raportul între costul marginal şi costul mediu.

Inversul lui k este numit „coeficient de eficienţă relativă a organizării.”

Elasticitatea costului mediu (c=C/x) poate fi scrisă astfel:

1η1dx

dC

C

x

dx

dc

c

xη kc , (3.70)

de unde rezultă:

1) Dacă pentru o producţie dată x, avem k1, profitul este crescător, deoarece la o

creştere mică a producţiei se obţine o creştere a costurilor mai mică decât cea

proporţională, costul mediu este mai mare decât cel marginal şi scade când producţia

creşte;

2) Dacă pentru o producţie dată x, avem k=1, profitul este constant, o creştere mică

a producţiei este proporţional egală cu creşterea costurilor, costul mediu este egal cu cel

marginal şi are o valoare staţionară, de obicei minimă;

3) Dacă pentru o producţie dată x, k1, profitul este descrescător şi situaţia este

inversă celei în care k1.

Ipotezele privind condiţiile normale ale costului sunt:

- costurile totale cresc continuu pornind de la o valoare pozitivă (cheltuielile fixe),

în timp ce producţia creşte de la zero;

- elasticitatea costurilor creşte continuu de la valori subunitare pentru producţii

mici, la valori supraunitare pentru producţii mari;

- pe măsura creşterii producţiei, profiturile devin tot mai reduse;

- există o valoare bine determinată a producţiei x=a pentru care k=1, după care

profitul începe să scadă.

Conform acestor ipoteze, la început costul mediu scade când producţia creşte,

atinge un minim pentru producţia x=a şi apoi creşte, când producţia depăşeşte x=a. Costul

marginal este mai mic decât cel mediu pentru xa, este mai mare pentru xa iar pentru x=a,

este crescător şi egal cu nivelul costului mediu care în acest punct are valoarea minimă.

Formele curbelor costului mediu şi costului marginal pot fi verificate pornind de la

curba costurilor totale şi reciproc. Dacă P este un punct pe curba costurilor totale,

60

corespunzător unei anumite producţii, costul mediu este dat de panta dreptei OP, iar costul

marginal de panta tangentei la curbă în P.

Fig.3.12 Curbele normale ale costurilor total, mediu şi marginal

x

C

k1 k=1 k1 k1 k=1 k1

C

x

dx

dc

0 x

marginal

Cost

mediu P

Cost

0

Cea mai simplă formă a costurilor care satisface condiţiile normale ale costurilor

este forma pătratică

C=ax2+bx+c (3.71)

unde a,b,c sunt constante pozitive. În acest caz

cbxax

b)x(2axη

2k

(3.72)

Deoarece derivata lui k este pozitivă, dacă x creşte atunci şi k se măreşte.

O elasticitate legată direct de funcţiile de producţie este elasticitatea productivităţii.

Producţia este determinată de cantităţile diferiţilor factori de producţie folosiţi.

Presupunând că factorii sunt folosiţi întotdeauna în proporţii constante, cantitatea de

produse x depinde numai de proporţia în care aceşti factori au crescut (1) sau au scăzut

(1). Elasticitatea productivităţii va fi

lnλd

d(lnx)

dλ

dx

x

λε (3.73)

1) Dacă 1, profitul este crescător, întrucât o mică creştere relativă a tuturor

factorilor utilizaţi duce la o creştere mai mare decât cea proporţională a producţiei;

2) Dacă =1, profitul este constant;

3) Dacă 1, profitul este descrescător.

61

În caz normal, descreşte continuu când (cantitatea de factori utilizaţi) creşte.

Inversul lui este analog cu k, deoarece măsoară elasticitatea costurilor faţă de producţie,

costurile fiind exprimate în cantităţile de factori utilizaţi. Spre deosebire de k, elasticitatea

este limitată la cazul când factorii sunt folosiţi în proporţii constante.

62

Capitolul 4. Metode pentru soluţionarea modelelor

Soluţionarea şi testarea modelelor urmăresc optimizarea sistemelor, incluzând

maximizarea, minimizarea şi găsirea punctelor şa. Întrucât modelele economice sunt tot

mai sofisticate, au apărut probleme de optim condiţionat. Datorită importanţei optimizării

au fost elaborate mai multe metode de rezolvare pentru acest tip de problemă. Urmărindu-

se optimizarea, au fost create două aparate speciale de soluţionare: aflarea punctelor de

extrem folosind analiza matematică clasică şi programarea liniară. Alte probleme de

optimizare folosesc într-o mare măsură aceste două metode în diverşi algoritmi de

rezolvare.

4.1 Metode clasice

În vederea utilizării instrumentelor analizei matematice clasice într-o problemă de

optimizare, se consideră că problema dată respectă o serie de condiţii: funcţia obiectiv şi

restricţiile sunt funcţii continue şi diferenţiabile de o anumită clasă; de obicei ele sunt de

clasă C2. Pentru început au fost soluţionate problemele unde restricţiile sunt date ca

egalităţi şi nu există restricţii de nenegativitate asupra variabilelor.

Cea mai utilă tehnică de examinare şi găsire a soluţiilor optimale este o metodă

datorată lui Lagrange care, în loc să reducă numărul variabilelor, procedează la sporirea

acestui număr. Această metodă folosită frecvent în modelele economice este prezentată în

continuare.

Se consideră funcţia lui Lagrange L(x,) definită astfel:

m

1i

ii (x)gλf(x)λ)L(x, , (4.1)

unde sunt variabile aleatoare, f(x) funcţia obiectiv şi gi(x) restricţiile din problema de

optimizare. Variabilele sunt cunoscute sub numele de multiplicatorii lui Lagrange. Există

variante în care funcţia obiectiv se adună cu suma ponderată a restricţiilor funcţionale în

raport de semnele care se atribuie variabilelor . Prezintă interes derivatele funcţiei L(x,)

în raport cu :

63

0(x)gλ

λ)L(x, i

i

(4.2)

pentru orice soluţie posibilă x; în plus, L(x,)=f(x). Dacă L(x,) are un maxim în punctele

(x*,*), întrucât nu este supusă nici unei restricţii, derivatele parţiale în aceste puncte sunt

nule şi L(x*,*)=f(x*). În consecinţă, x* este un punct de maxim pentru f(x), adică este

soluţie a problemei iniţiale. Aceste consideraţii sunt valabile atât pentru maxim cât şi

pentru minim.

În scopul folosirii metodei prezentate mai sus, este formulată funcţia Lagrange

pentru care se caută punctele critice. Deoarece derivatele parţiale faţă de sunt restricţiile

funcţionale, egale cu 0, se folosesc doar derivatele parţiale faţă de x. Dacă se notează prin

fj, respectiv , derivatele parţiale ale lui f şi gi relativ la xj, ecuaţiile obţinute sunt ijg

0gλfm

1i

ijij

, j=1,2,...,n (4.3)

sau exprimate vectorial:

f-G=0. (4.4)

Variabilele ecuaţiei sunt x şi şi, întrucât există n ecuaţii şi doar m variabile ,

există o soluţie doar dacă nu mai mult de m ecuaţii sunt liniar independente. Se rezolvă

ecuaţiile (4.3) în raport cu multiplicatorii pentru a obţine o mulţime unică de variabile *,

nu toate nule. În continuare, se pot găsi variaţiile variabilelor x, nu toate nule,

astfel încât df,-dg1,...,-dgm sunt toate nule. Se obţine următorul sistem de ecuaţii:

0

dx

dx

dx

ggg

ggg

fff

n

2

1

mn

m2

m1

1n

12

11

n21

(4.5)

Matricea acestui sistem este transpusa matricei sistemului (4.3) unde ecuaţiile au

fost privite ca omogene cu m+1 variabile (1,1,2,...,m).

Fie o problemă clasică de optimizare

m,1,2,...,i ,b(x)g

maxf(x)

ii

64

care, dacă este rezolvată prin metoda Lagrange, conduce la soluţiile x*,* şi la valoarea

optimă a funcţiei obiectiv V=f(x*). Se observă că o mică modificare a unei restricţii, de

exemplu restricţia i, gi(x)=bi, permite o mică schimbare a valorilor optime ale variabilelor.

Se presupune că, în continuare, sunt satisfăcute condiţiile de optim. Efectul asupra valorii

optime a funcţiei obiectiv este dat prin

n

1j i

j

ji b

x

x

f(x*)

b

V. (4.6)

Conform restricţiilor are loc

1k1,

1k0,

b

x

x

(x*)gn

1j i

j

j

k

. (4.7)

Prin înmulţirea ecuaţiei k din (4.7) cu şi însumarea tuturor ecuaţiilor, se ajunge la *kλ

*i

m

1k

n

1j i

j

j

k*k λ

b

x

x

(x*)gλ

,

care, scăzută din (4.6) şi după o rearanjare, conduce la

n

1j i

jm

1k j

k

kj

*i

i b

x

x

(x*)gλ

x

f(x*)λ

b

V.

În paranteză sunt condiţiile de optim, suma este nulă, deci

*i

i

λb

V

. (4.8)

Prin urmare, corespunde ratei marginale a modificării valorii optime a funcţiei

obiectiv pentru o modificare minoră a restricţiei i când toate celelalte restricţii din model

rămân neschimbate. De obicei, în modelele economice restricţiile reprezintă limitele

resurselor iar funcţia obiectiv un indice al bunăstării sau utilităţii. Atunci, multiplicatorii

Lagrange corespund evaluărilor sociale marginale ale resurselor.

*iλ

Pentru cel mai simplu caz, cel al unei funcţii de o singură variabilă reală, f(x),

x(,), când f este derivabilă pe intervalul (,), punctele de extrem se află între punctele

critice, soluţiile ecuaţiei f’(x)=0, sunt acele puncte critice în care prima derivată îşi schimbă

semnul. În cazul unei funcţii de mai multe variabile f(x1,x2,...,xn), care este diferenţiabilă pe

o mulţime deschisă din Rn, punctele critice (staţionare) sunt soluţiile sistemului

65

0)( xxf

j

, j=1,2,...,n. (4.9)

Sistemul (4.5) este dificil de soluţionat în majoritatea situaţiilor. Analiza folosind

doar prima derivată conduce la găsirea punctelor staţionare şi stabilirea punctelor de extrem

care se află între acestea, însă nu permite distincţia între punctele de minim şi cele de

maxim ale funcţiei f(x). Pentru a putea deosebi cele două tipuri de puncte de extrem şi

punctele şa, se presupune că f este derivabilă de ordinul doi în jurul punctului critic a şi se

verifică condiţiile pentrul cazul funcţiilor de mai multe variabile.

Acest raţionament se poate aplica funcţiei Lagrange L(x,). Termenul de ordinul

doi din dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei L(x*,*) este

n

1kj,kj

kj

2

dxdxxx

L

2!

1Q(dx) , (4.10)

unde dx satisface condiţiile

0dxgdgn

1jj

ij

i

i=1,...,m. (4.11)

Atunci, punctul este de minim pentru Q(dx)0 şi de maxim când Q(dx)0.

Aceste metode nu pot fi aplicate în mai multe situaţii: funcţia f nu este derivabilă,

nu are derivate parţiale, când numărul variabilelor este mare, în cazul funcţiilor

nediferenţiabile ş.a.

4.2 Metode iterative

Folosirea metodelor clasice ale analizei matematice este limitată de faptul că în

realitate modelele includ restricţii generale (inegalităţi, condiţii de nenegativitate) dar şi de

situaţiile în care o funcţie economică de utilitate U nu poate fi exprimată direct ca o funcţie

de X şi Y, variabilele de care depinde, ci se determină după o serie de reguli atunci când X

şi Y sunt date. Ca urmare, au fost dezvoltate alte metode de rezolvare a modelelor.

În paralel cu diversificarea metodelor clasice pentru modelele care folosesc drept

restricţii condiţii de nenegativitate şi inegalităţi, au apărut unele metode iterative de

soluţionare. Între aceste metode se remarcă programarea matematică, mai precis,

66

programarea liniară. O problemă de programare liniară este un caz special al problemei

generale a optimizării unde funcţia obiectiv şi restricţiile sunt liniare. Întrucât realitatea

conduce rar la modele liniare, au fost create şi alte forme de programare (neliniară,

dinamică, discretă ş.a.).

Metodele iterative de rezolvare pornesc de la o soluţie iniţială, deja existentă, care,

de obicei, nu este optimă; prin aplicarea unui algoritm (o serie de reguli) care permite

îmbunătăţirea treptată a soluţiei iniţiale, se ajunge la soluţia optimă. Soluţia modelului este

optimă când nu mai poate fi îmbunătăţită sau când prelungirea calculelor nu se justifică

prin timpul consumat şi prin cheltuielile necesare.

Metodele iterative se împart în trei grupe:

1. metode în care fiecare nouă iteraţie îmbunătăţeşte rezultatul precedent, iar după

un număr finit de etape se găseşte soluţia optimă;

2. metode în care soluţia se îmbunătăţeşte cu fiecare iteraţie dar optimul este obţinut

ca limita unui proces infinit;

3. metode caracterizate prin încercări şi erori, în care soluţia tinde să se

îmbunătăţească dar nu în fiecare iteraţie succesivă în parte.

Fiecărei metode din prima grupă îi corespunde câte un test care indică momentul

când soluţia nu mai poate fi îmbunătăţită deci, calculele se termină după un anumit timp.

Deoarece volumul şi timpul de lucru pot fi excesiv de mari, pentru toate cele trei grupe de

metode s-a căutat un procedeu care să precizeze momentul opririi lucrărilor, continuarea lor

nefiind justificată datorită creşterii importante a cheltuielilor pentru calcule. În acest scop

se foloseşte procedeul Las Vegas care este valabil atât în cazul modelelor deterministe cât

şi în cazul modelelor stohastice.

Procedeul Las Vegas presupune că, pentru o valoare dată a variabilelor controlabile

X şi a variabilelor necontrolabile Y, se poate determina utilitatea conform relaţiei

U=f(X,Y) (4.12)

Considerând un Y dat, se calculează U pentru o serie de valori x1, x2,…, xn ale lui X

şi se obţin rezultatele U1, U2,…, Un corespunzătoare.

În acest proces, este util să se folosească o regulă care să permită stabilirea lui Xn+1

astfel încât inegalitatea Un+1 Un să fie realizată. Dacă nu există o astfel de regulă, se alege

67

un Xn+1 astfel încât inegalitatea Un+1 Un să aibă loc cu o probabilitate cât mai mare.

Procedeul funcţionează chiar dacă valorile succesive ale lui X sunt alese la întâmplare.

Punctele din şirul U1, U2,…, Un se reprezintă grafic în figura 4.1.

Utilitatea

Numărul probei n

Fig.4.1 Reprezentarea în plan a punctelor U1,...,Un

Punctele care exprimă utilitatea maximă din fiecare moment se unesc obţinându-se

o curbă. Prin extrapolarea curbei se estimează îmbunătăţirea care se va obţine în

următoarea iteraţie. Comparând cuantumul îmbunătăţirii cu mărimea cheltuielilor de calcul,

se decide oprirea sau continuarea algoritmului pentru îmbunătăţirea soluţiei.

4.3 Simularea pe modele

A simula înseamnă “a face să pară real ceva inexistent…”, iar simulatorul este un

“sistem tehnic destinat rezolvării ecuaţiilor care caracterizează un anumit obiect sau

fenomen; este construit astfel încât să existe o corespondenţă biunivocă între elementele

constitutive principale ale obiectului sau fenomenului studiat”1.

1 Mic dicţionar enciclopedic, Bucureşti, Editura enciclopedică, 1972, p.861.

68

4.3.1 Conceptul de simulare

Simularea constituie o tehnică, un procedeu de studiere a construcţiei şi funcţionării

modelului precum şi de verificare a soluţiei (soluţiilor) unui model pe baza analizei

funcţionării simulate a acestuia.

Necesitatea simulării decurge din faptul că, în majoritatea situaţiilor, sistemele reale

nu pot fi studiate direct datorită unor cauze diverse: dificultăţi în evaluarea cantitativă sau

calitativă a sistemelor reale, complexitatea foarte mare a proceselor şi fenomenelor

abordate ş.a. Prin urmare, simularea este o reprezentare dinamică a unei părţi a lumii reale

folosind în acest scop un model abstract ale cărui modificări sunt investigate în raport de

factorul timp.

Obiectivele activităţii de simulare pot fi sintetizate astfel:

1) Descrierea (definirea) unui sistem existent. Acest caz este întâlnit curent în

practică, şi vizează modelarea fenomenelor care se produc în prezent, cu scopul de a vedea

comportarea lor în anumite condiţii date.

2) Explorarea unui sistem imaginar. Cercetarea sistemului imaginar caută să

determine ce efecte ar avea în viitor una sau mai multe măsuri sau acţiuni care s-ar produce

în prezent.

3) Proiectarea unui sistem mai bun. Proiectarea sau reproiectarea unui sistem se

bazează pe combinarea primelor obiective şi formularea unor concluzii, respectiv măsuri

care să conducă la o mai bună comportare viitoare a sistemului, sub anumite solicitări,

atunci când reacţia prezentă este considerată nesatisfăcătoare.

Simularea se bazează pe analogie: dacă modelele prezintă realitatea, simularea o

imită. Într-adevăr, datorită reproducerii simplificate şi artificiale a unor fenomene din

natură şi societate, în esenţă, simularea, ca analogie a unor fenomene reale, constituie o

tehnică de lucru care permite studiul proceselor complexe reproduse prin modele în

laborator sau pe teren.

Simularea se poate desfăşura numai pe un model, ea constituie manipularea

modelului pentru a-i studia comportarea în diverse ipoteze de lucru. Modelul de simulare

cuprinde mai multe direcţii de studiu şi eventuale soluţii din care se alege calea de acţiune

optimă. Fiind o tehnică de cunoaştere şi previziune, simularea se utilizează:

69

- în scop de experimentare şi de evaluare; pentru a testa sau a prevedea consecinţele

variaţiilor unei linii de comportare, fără a avea de suportat cheltuielile inerente acestor

schimbări sau de riscat efectuarea lor în realitate;

- ca mijloc de cunoaştere a comportării unor noi sisteme în vederea modificării

concepţiei sau ameliorării lor;

- ca instrument de lucru în vederea familiarizării personalului cu un sistem sau cu o

situaţie care pot să nu existe încă în realitate;

- în scop de verificare sau de demonstrare a unei idei noi, a unui sistem sau a unei

căi noi, ca mijloc de estimare a riscurilor şi profiturilor, precum şi a posibilităţilor de succes

pentru un anumit proces sau o anumită metodă;

- ca mijloc de proiecţie în viitor, furnizând tehnici cantitative de previziune.

Alte utilizări importante ale simulării sunt studiul proceselor de tranziţie, a stărilor

intermediare ale sistemului; estimarea valorilor parametrilor şi studiul formei funcţionale a

modelului; estimarea posibilităţilor de acţiune care nu pot fi formulate în model.

Pentru a putea simula un proces economic se impune considerarea sistemului ca un

tot unitar şi înţelegerea importanţei relative a diferiţilor factori iar calitatea simulării este

dependentă de cel puţin două condiţii: 1) să se cunoască în amănunţime fiecare element al

sistemului şi modul de interacţiune între elemente; 2) trebuie definite din timp natura şi

domeniul simulării.

Prin urmare, folosirea simulării asigură o serie de avantaje: prin formularea şi

experimentarea unor modele pot fi obţinute date sistematizate sugestive referitoare la

procesul investigat; sunt evidenţiate variabilele cu o semnificaţie deosebită şi legăturile

cantitative şi calitative manifestate între ele; simplificarea, în limite rezonabile, a sistemelor

reale pentru a putea fi cercetate mecanismele interne ale acestora; permite verificarea

soluţiilor cu efecte insuficient clarificate, obţinute pe cale analitică; este un procedeu mai

simplu şi mai ieftin decât alte forme de studiu şi experimentare; oferă posibilitatea intuirii

fenomenelor reale, deci are un caracter instructiv; reduce timpul de investigare a procesului

care interesează factorul decizional şi permite verificări ale unor ipoteze în orice moment,

fără a influenţa desfăşurarea activităţilor reale.

Capacitatea simulării de a studia sisteme complexe este legată indisolubil de

folosirea calculatoarelor. În acelaşi timp, simularea poate să răspundă celor două obiective

70

ale proiectării unui sistem: precizarea performanţelor pe care le va avea sistemul, înainte ca

acesta să fie construit; asigurarea că ansamblul de proiectare ales pentru sistem este optim,

referitor la criteriul de proiectare adoptat. Pentru modelele complexe, simularea se

desfăşoară pe calculator.

Cele mai importante caracteristici ale simulării pe calculatoarepot fi sistematizate

astfel: variabilele dependente sunt tratate în formă cuantificată; o mare precizie a

calculului; o scară mare de variaţie a valorilor; generarea internă a funcţiilor de oricâte

variabile; utilizarea programelor corespunzătoare funcţiilor matematice existente în

biblioteca unui sistem de calcul; tehnici facilitate de rutinele interpretative speciale,

controlul fluxului de date din calculator; schimbarea rapidă şi simplă a unei simulări cu altă

simulare; stocare simplă a programelor de simulare; întreţinere uşoară.

Concomitent cu avantajele menţionate, simularea prezintă şi câteva limite. Astfel,

un sistem prea complicat pentru a fi descris cu instrumentul matematic, chiar dacă se

foloseşte calculatorul, face ca analiza informaţiilor obţinute prin simulare să fie foarte

dificilă. De asemenea trebuie menţionat faptul că modelele construite au o comportare la

fel de greu de investigat ca şi fenomenele pe care le simulează. Din acest motiv este

necesar ca modelele de simulare imaginate şi construite să fie verificate pentru cât mai

multe situaţii posibile care pot fi cazuri limită sau obişnuite. Scopul acestor verificări este

ca modelele de simulare să fie satisfăcătoare în orice condiţii.

Procesul dezvoltării tehnicilor de simulare numerică pentru sisteme tot mai

complexe a cuprins elaborarea unor limbaje de simulare numerică extrem de diverse, cu

diferite grade de specializare. Funcţie de principiile pe baza cărora au fost elaborate şi a

facilităţilor de calcul pe care le oferă, limbajele de simulare numerică a sistemelor se împart

în simulatoare analog numerice şi simulatoare numerice.

Simulatoarele analog numerice sunt programe care furnizează un număr de

elemente funcţionale – denumite blocuri – şi posibilitatea specificării interconexiunilor

între blocuri. Blocurile simulează elementele operaţionale ale unui calculator analogic.

Aceste simulatoare modelează elementele şi organizarea unui calculator analogic, utilizând

în acest scop subrutine numerice. Elementele operaţionale uzuale sunt: integratoare,

sumatoare, transformatoare funcţionale, generatoare de funcţie, multiplicatoare etc.

71

Toate blocurile sunt simulate prin programare. Programul de simulare

interconectează rutinele numerice la fel după cum sunt conectate elementele operaţionale

care alcătuiesc modelul. Simulatoarele analog numerice se numesc şi “simulatoare orientate

pe blocuri” datorită uşurinţei cu care se pot transfera de pe un sistem de calcul pe altul.

Simulatoarele numerice sunt numite “simulatoare orientate pe blocuri şi expresii”

deoarece, pe lângă facilităţile de descriere a blocurilor şi a interconexiunilor dintre ele,

permit şi definirea unor expresii algebrice. Simulatoarele din această categorie sunt

adevărate limbaje. În majoritatea cazurilor compilatoarele respective realizează traducerea

textului programului sursă într-un limbaj de nivel superior. Compilarea programului de

simulare comportă două faze: compilarea instrucţiunilor limbajului de simulare; compilarea

instrucţiunilor din limbajul de nivel superior în limbaj maşină.

Simularea se derulează pe: a) modele analogice (imitative), b) modele de simulare

numerice. Simularea pe un model imitativ implică verificarea modelului în condiţii reale

sau imitative şi se foloseşte de obicei pentru studiul unor proprietăţi ale unui sistem foarte

complex, cu deosebire în domeniul tehnic. Staţiile pilot industriale sunt modele imitative

ale viitoarelor instalaţii de producţie. La London School of Economics a fost construit un

model hidraulic al economiei britanice, MONIAC, care este un model analogic şi poate fi

utilizat pentru a simula efectele unor modificări ale sistemului economic-devalorizarea

lirei, creşterea sau micşorarea impozitelor sau a dobânzilor etc. Pentru modele numerice se

folosesc două tipuri de simulare:

1) Simularea Monte Carlo, prin care se asociază unei probleme deterministe un

model aleator. Prin generarea unor variabile aleatoare, legate funcţional de soluţie sunt

efectuate experienţe pe model în vederea obţinerii de informaţii despre soluţia problemei

deterministe.

2) Simularea tip joc presupune folosirea unui model matematic al realităţii.

Experimentarea pe un joc constă în acordarea unor valori arbitrare variabilelor din model

pentru urmărirea efectului asupra uneia sau mai multor funcţii obiectiv. Această metodă se

foloseşte în situaţiile caracterizate printr-un “conflict” între anumiţi parteneri sau natură

(care oferă omului mai multe variante) şi om (care trebuie să selecteze decizia optimă).

Simularea de tip joc este aplicată în domeniile organizării şi conducerii firmelor.

72

Procesul de simulare începe cu definirea problemei, continuă cu elementele de

conţinut ale simulării şi se încheie cu testarea şi evaluarea modelului sistemului simulat.

Astfel, un proces de simulare este format din mai multe etape: 1) definirea problemei - clar,

precis, concret, cu precizarea oricărui fel de limitări care se impun; 2) formularea

modelului, inclusiv precizarea ipotezelor, alegerea criteriului (sau criteriilor) de optimizare

şi alegerea procedeelor practice de lucru; 3) construcţia schemei logice care să stabilească

legăturile (relaţiile) funcţionale dintre elementele componente ale sistemului ce urmează a

fi simulat; 4) determinarea elementelor de intrare pentru programul sau modelul de

simulare; 5) pregătirea concretă a modelului (sau programului) de simulare; 6)

experimentarea modelului în mai multe etape, în diferite condiţii, inclusiv determinarea

prin calcule, pe bază de experimentări prealabile, a numărului de experienţe şi a valorilor

parametrilor ce urmează a fi folosiţi la stabilirea pragurilor de încredere; 7) evaluarea şi

încercarea modelului sistemului simulat.

Etapa de formulare a modelului prezintă o importanţă majoră întrucât cuprinde

precizarea ipotezelor simplificatoare ale realităţii, alegerea criteriului de optimizare şi

stabilirea procedeelor de lucru.

Structura oricărui sistem simulat conţine mai multe elemente de bază: regula

(regulile) de luare a deciziilor; entităţile, respectiv variabilele, cărora li se atribuie diferite

valori (numere) sau calificative (variabile logice); relaţii de legătură, care arată felul în care

entităţile sunt legate între ele; starea sistemului; evenimente exogene, care pot avea loc

indiferent de starea sistemului la un moment dat; legături de retroacţiune, cibernetice;

criterii de oprire a încercărilor.

La rândul său, modelul matematic specific metodelor de simulare include o serie de

variabile şi parametri care se împart în trei categorii:

a) Variabile şi parametri de intrare. Variabilele se determină după un anumit

procedeu sau se generează aleator în funcţie de anumiţi parametri de intrare. Variabilele de

intrare iau valori discrete care se schimbă mereu. Parametrii de intrare au valori

neschimbate în tot timpul procesului de simulare.

b) Variabile şi parametri de ieşire. Având în vedere caracterul aleatoriu al

variabilelor de intrare, rezultatele simulării sunt variabile aleatoare de ieşire.

73

Valorile acestor variabile şi parametrii de ieşire sunt rezultate ale unor paşi ai

programului de calcul asociat modelului. Legătura logică dintre variabilele de intrare şi cele

de ieşire cât şi operaţiile executate asupra variabilelor de intrare pentru a le obţine pe cele

de ieşire este dată de algoritmul modelului de simulare ataşat fenomenului.

c) Variabila “ceas”. Pentru sisteme cu evoluţie în timp este necesar să se

evidenţieze corect evoluţia în timp a elementelor sistemului. Acest lucru se realizează cu

ajutorul variabilei “ceas” care cronometrează momentul atins în evoluţia acestuia.

Modelele de simulare mai conţin relaţii funcţionale şi caracteristici operative prin

care se exprimă interacţiunea variabilelor şi comportarea sistemului.

Dimensionarea diferitelor părţi ale modelelor de simulare implică desfăşurarea

anumitor operaţii specifice:

- precizarea condiţiilor de începere a folosirii practice a modelului;

- alocarea unor valori parametrilor de calcul pentru a se obţine diferite răspunsuri

din partea modelului studiat;

- delimitarea duratei sau lungimii fiecărui ciclu de calcule;

- stabilirea numărului de cicluri de calcule, cu aceleaşi valori ale parametrilor de

calcul;

- alegerea variabilelor ale căror valori se cer măsurate a metodelor şi a unităţilor de

măsură adecvate.

După construirea modelului se verifică măsura în care acesta furnizează aproximări

corespunzătoare. Pentru a uşura obţinerea unor aproximări valide încă de la început, este

bine ca modelul să pornească de la un nucleu verificat experimental care, treptat, să fie

extins până la dimensiuni convenabile din punctul de vedere al decidentului. Atunci când

nu sunt asigurate posibilităţi de studiu satisfăcătoare se trece la îmbunătăţirea structurii şi

funcţionării modelului.

O problemă deosebită a modelului de simulare se referă la orizontul de timp al

sistemului simulat. Mărimea orizontului este foarte importantă pentru modelele de

prognoză unde evaluările comportării fenomenelor viitoare se fac pe baza datelor obţinute

până în momentul prognozei. În perspectiva timpului există trei categorii de variabile: a)

conjuncturale – descriu tendinţe de scurtă durată, aproximabile cu derivatele de ordinul I;

b) tendenţiale – descriu tendinţe de durată medie, aproximabile cu derivatele de ordinul II;

74

c) structurale – adeseori nu se pot defini univoc tocmai pentru că ele îşi manifestă influenţa

pe orizonturi foarte îndepărtate.

Fig. 4.2 Evoluţia variabilelor în timp

Ca urmare, ţinând cont de orizontul de timp, forma generală a modelului poate fi

scrisă astfel

),(S)θ(T)θ(CY(t) t32t21t1 (4.13)

în care

1, 2, 3 - funcţii care trebuie determinate;

Ct, Tt, St - variabilele conjuncturale, tendenţiale şi structurale;

1, 2 – operatori de calcul.

Aceste aspecte sunt legate de proprietăţi fundamentale ale sistemelor:

controlabilitate, observabilitate şi identificabilitate.

Datorită influenţei factorului timp, nivelul şi dinamica variabilelor au caracter

probabilistic, motiv pentru care se impune analiza statistică a corelării seriilor de date după

metode cunoscute1.

Numărul de date sau numărul de observaţii determină acurateţea evaluărilor, deci,

pentru realizarea unui grad de precizie dorit este necesară stabilirea corespunzătoare a

1 Lămătic, Gh., Lămătic M., Baze statistice ale modelării econometrice, Focşani, Ed.Vrantop, 1997.

Variabile

con

Variabile

tendenţiale

Variabile

structurale

Infl

uenţ

a re

lati

vă

a va

riab

ilel

o r

juncturale

Prezent Termen

mijlociu

Termen

lung

Viitor Termen

scurt

75

mărimii eşantionului sau sondajului. Din acest motiv, modelele de simulare se mai numesc

modele de eşantionare (sondare) simulată. În calitate de instrument utilizat în studiul

sistemelor complexe, modelul de simulare deţine un loc important în formularea pe baze

deductive a deciziei.

4.3.2 Metode de simulare

Problema simulării modelelor simbolice constă în evaluarea unor expresii care

conţin una sau mai multe variabile aleatoare. O variabilă aleatoare este caracterizată prin

funcţia sa de repartiţie. Pentru metoda simulării este esenţial ca fiecărei variabile aleatoare

să i se acorde valori alese la întâmplare dintr-o populaţie, având aceeaşi repartiţie cu cea a

variabilei respective. În legătură cu metodele de simulare pot fi menţionate procedeele de

micşorare a dispersiei şi metoda jocurilor strategice.

În vederea modelării variabilelor aleatoare, pentru determinarea caracteristicilor

repartiţiilor acestora se foloseşte metoda Monte Carlo. Acest procedeu constă în utilizarea

selecţiilor pentru estimarea valorilor unor variabile aleatoare: “Metoda Monte Carlo poate

fi definită ca metoda modelării variabilelor aleatoare, în scopul calculării caracteristicilor

repartiţiilor lor. De regulă, se presupune că modelarea se realizează cu ajutorul

calculatoarelor electronice, deşi, în unele cazuri este suficient un dispozitiv de tipul ruletei,

creion şi hârtie”1.

Aplicarea metodei Monte Carlo are cel mai larg câmp de acţiune în domeniul

cuprinzător al soluţionării problemelor care admit o descriere probabilistică. Rezultă că

aplicarea metodei Monte Carlo necesită rezolvarea a două probleme de bază: 1) stabilirea

funcţiei de repartiţie a frecvenţelor pentru variabila aleatoare; 2) folosirea unei surse de

numere întâmplătoare, cu ajutorul cărora să fie simulată evoluţia fenomenului în afara

eşantionului reprezentativ.

Metoda pătratelor constă în alegerea unui număr arbitrar de patru cifre care se ridică

la pătrat. Cele patru cifre din mijlocul numărului obţinut constituie un alt număr de patru

1 Ermakov, S.M., Metoda Monte Carlo şi probleme înrudite, Bucureşti, Editura tehnică, 1976, p.7.

76

cifre care se ridică la pătrat ş.a.m.d. Este posibil ca în această serie să fie întâlnite numere

care există în partea anterioară a şirului. Lungimea unui ciclu variază între 104 şi 106.

Metoda congruenţelor, deşi mai complicată, poate da şiruri mai mari de 1012. Se

procedează astfel: se stabilesc două numere, K şi M şi se alege la întâmplare valoarea

iniţială X0 iar Xn+1 se determină din formula

(modM),KXX n1n (4.14)

în care Xn+1 este restul împărţirii KXn/M.

În procesul simulării volumul mare de calcule impune utilizarea unor metode de

estimare care să dea rezultate cât mai precise cu un număr cât mai mic de observaţii. Aceste

metode se numesc procedee de micşorare a dispersiei. Se asigură astfel un grad mai ridicat

de precizie cu acelaşi volum al selecţiei sau este redus numărul de observaţii în condiţiile

obţinerii aceluiaşi grad de precizie.

Dacă dispersia nu este prea mare, modificând experimentul sau metoda de

estimaţie, pot fi utilizate următoarele procedee: selecţia orientată, ruleta rusă, utilizarea

valorilor medii, selecţii sistematice, selecţii stratificate, regresie şi corelaţie.

Comparând aceste procedee de micşorare a dispersiei, se poate constata că unele din

ele dau rezultate mai bune însă, în majoritatea situaţiilor practice, nu se dispune de

suficiente informaţii pentru a putea alege procedeul cel mai bun.

Problema micşorării dispersiei în cadrul procedeelor de simulare este aceeaşi cu

problema aplicării metodelor generale de selecţie.

Metoda jocurilor strategice constituie, în multe cazuri, o posibilitate foarte bună de

simulare, de verificare a structurii şi eficacităţii modelului propus precum şi pentru

optimizarea soluţiei (soluţiilor) problemei cât mai aproape de realitatea obiectivă.

Jocul operaţional este o metodă de simulare în care deciziile sunt luate de una sau

mai multe persoane. Jocurile se utilizează pentru elaborarea unui model de simulare a

deciziei, găsirea soluţiei optime a modelului şi evaluarea soluţiilor propuse pentru

problemele modelate. Astfel, jocurile reprezintă experimente în care se observă

comportarea persoanei care adoptă decizii în condiţii controlabile. Situaţia experimentală

este construită astfel încât să fie un model imitativ sau analogic al situaţiei reale studiate.

În acest domeniu se localizează principalul inconvenient al jocurilor operaţionale:

nu se poate stabili întotdeauna o legătură strânsă între joc şi realitate, legătură care slăbeşte

77

şi datorită complexităţii jocului. Alte dificultăţi apar datorită tendinţei generale de

complicare a jocurilor în dorinţa autorilor de a se apropia de realitate. Ca urmare, eficienţa

rezolvării se reduce considerabil şi, datorită încărcării modelului, devine dificilă chiar şi

interpretarea soluţiei.

Aparenţa de realitate este utilă în procesul de învăţământ însă poate genera o serie

de neajunsuri în aplicaţii. Un model este util tocmai prin simplificarea realităţii, însă

decisive sunt natura şi limitele acestei simplificări: “Structura unui joc corespunde cu

structura situaţiei modelate în sensul că aceleaşi decizii conduc în ambele situaţii la aceleaşi

rezultate. Proporţia justă între simplificare şi complexitate se obţine numai prin

experimentare asupra jocului însuşi. Elaborarea unui joc care să se dovedească util în

rezolvarea problemei studiate, necesitată mult mai mult timp decât folosirea jocului, odată

ce a fost obţinut”1.

După cum se cunoaşte, obiectul jocurilor strategice îl reprezintă cercetarea structurii

şi funcţionării sistemelor reale cu ajutorul simulării în condiţii de competitivitate; practic,

orice joc este un proces de simulare. Funcţie de caracteristicile competitivităţii, jocurile se

împart în trei categorii: concurenţiale, cooperative şi contra naturii. Alte criterii de

clasificare a jocurilor sunt:

- După zona de acţiune: de simulare a conducerii întreprinderii, funcţionale, în alte

domenii.

- După elementul competitiv: de interacţiune, fără interacţiune.

- După modul de prelucrare a rezultatelor: pe calculator, manuale.

- După natura modelului: abstracte, naturale.

- După scop: pentru cercetare, pentru învăţare.

Deoarece construirea unui joc este un proces de creaţie, nu pot fi enunţate reguli general

valabile pentru alcătuirea jocurilor. Cu toate acestea, ţinând seama de aspectele generale în

procesul de elaborare, poate fi avută în vedere o anumită succesiune a etapelor edificării

jocurilor.

Prima etapă este precizarea obiectivelor jocului, stabilite în mai multe momente.

Asemenea obiective pot fi: obişnuirea participanţilor la joc cu diferite metode de evaluare a

consecinţelor adoptării unor măsuri preventive sau ale modificării evoluţiei 1 Ackoff, R.L., Sasieni, M.W., Lucr.cit., p.141.

78

fenomenului studiat; dezvoltarea creativităţii, imaginaţiei şi a spiritului de iniţiativă ale

participanţilor la joc; descoperirea unor strategii de perfecţionare a modului de adoptare a

deciziilor; conştientizarea efectului comportamentului propriu asupra altor participanţi la

procesul de decizie şi execuţie; formarea şi antrenarea capacităţii de decizie în condiţii

variate, în care pot apărea şi situaţii neprevăzute; formarea capacităţii de aplicare a

cunoştinţelor dobândite în scopul realizării obiectivului jocului – câştigul maxim;

dezvoltarea spiritului de prevedere, de a elabora prognoze şi planuri pentru viitor; însuşirea

în termen scurt a unor abilităţi şi a unei îndemânări în a conduce diferite procese;

înţelegerea unui sistem cuprinzător şi complex ş.a.

A doua etapă constă în identificarea procesului simulat şi stabilirea unui istoric al

evoluţiei sistemului cercetat. Procesul simulat trebuie să acopere o sferă cât mai largă de

probleme economice şi sociale reale. În cazul jocurilor didactice, procesul descris trebuie

să prezinte un interes cât mai general iar în cazul jocurilor profesionale se realizează

adâncirea unor probleme de specialitate ceea ce înseamnă că pregătirea specialiştilor prin

jocuri profesionale este relativ costisitoare.

A treia etapă se referă la stabilirea datelor iniţiale de la care începe jocul.

Concomitent cu precizarea procesului simulat este precizată şi starea iniţială a sistemului

economic, transmisă tuturor participanţilor şi caracterizată cu ajutorul parametrilor tehnico-

economici: nivelul iniţial al stocurilor, volumul investiţiilor, valoarea fondurilor fixe,

calificarea forţei de muncă, nivelul productivităţii ş.a. Datele iniţiale trebuie să fie corecte,

în limite raţionale şi corelate.

Pornind de la aceste date, se poate trece la prima rundă (iteraţie) a jocului. Fiecare

iteraţie este formată din anumite activităţi: adoptarea deciziei de către jucători; prelucrarea

de către arbitru a consecinţelor deciziilor adoptate; anunţarea rezultatului de către arbitru.

Pe parcursul jocului, partenerii modifică starea iniţială în scopul obţinerii unor

indicatori economici cât mai favorabili. Dacă la primele iteraţii rezultatele pot fi mai

defavorabile, pe măsură ce jucătorii asimilează cunoştinţele şi modalităţile adecvate de

“acţiune”, are loc îmbunătăţirea situaţiei sistemului.

Elaborarea modelului calitativ al jocului, precizarea modului de desfăşurare, a

regulilor de joc, a fluxului informaţional, stabilirea formularelor utilizate şi a procedurilor

79

care vor fi automatizate, precizarea modelelor matematice şi procedurale precum şi a

calculelor necesare evaluării rezultatelor jocului etc., formează conţinutul etapei a patra.

Privitor la modul de desfăşurare a jocului este necesară precizarea următoarelor

elemente: numărul de participanţi; unitatea sau compartimentul de care fiecare răspunde;

tipurile deciziilor pe care le poate adopta fiecare participant; informaţiile necesare luării

deciziilor şi cele care se comunică partenerilor precizându-se etapa jocului în care trebuie

comunicate; timpul necesar adoptării deciziei; intervalul de timp între două decizii;

criteriile şi modul de evaluare a unor parametri în timpul jocului; numărul de iteraţii ale

jocului; condiţiile de oprire a jocului.

Validarea şi implementarea jocului reprezintă ultima etapă a construirii unui joc.

După elaborare, modelul jocului este testat pe un set suficient de mare de date pentru care,

cel puţin parţial, se cunosc rezultatele. Validarea corectitudinii jocului se realizează, de

regulă, pe baza unui mare număr de experimentări. Întrucât acest lucru nu este posibil

întotdeauna, trebuie stabilite condiţii de testare judicioase pentru a spori încrederea că jocul

este construit corect şi se vor obţine cu mare probabilitate rezultate bune în activitatea

decizională. În legătură cu folosirea metodei jocurilor strategice trebuie făcută distincţie

între construirea jocului şi utilizarea acestuia. Un joc de întreprindere este o operaţie care se

desfăşoară în timp relativ scurt, cu o valoare formativă ridicată.

Încercarea de aplicare a teoriei jocurilor de n persoane la condiţiile economiei de

piaţă, concurenţiale, a reliefat necesitatea utilizării unor jocuri cu un număr de participanţi

suficient de mare încât acţiunile fiecărui jucător în parte să aibă efect neglijabil asupra

câştigurilor celorlalţi competitori. Numărul jucătorilor trebuie să fie egal cu numărul

punctelor unui segment, de exemplu intervalul unitate [0,1]. În astfel de situaţii se

construiesc jocuri cu un continuum de jucători1.

4.4 Optimizări experimentale

Optimizările experimentale se utilizează atunci când în construcţia şi rezolvarea

modelelor apar probleme care nu pot fi soluţionate prin alte metode chiar dacă se foloseşte

1 Owen, G., Teoria jocurilor, Bucureşti, Editura Tehnică, 1974, p.218.

80

simularea pe calculator. Soluţia problemei poate fi găsită prin efectuarea unor experimente

asupra sistemului studiat.

Metodele experimentale de căutare a soluţiei optime pot fi împărţite în simultane şi

succesive. În metodele simultane, toate combinaţiile de valori ale variabilelor controlabile

pentru care se fac observaţii sunt selectate înainte de începerea experimentării. În metodele

succesive, la început sunt fixate câteva mărimi, pe parcursul lucrărilor urmând să fie

determinate alte valori din datele noi disponibile. Metodele secvenţiale sunt mai eficiente

din punct de vedere statistic, însă necesită o mai mare flexibilitate în utilizarea sistemului şi

un timp mai îndelungat decât metodele simultane.

Realizarea observaţiilor are loc simultan sau secvenţial în cazul metodelor

simultane şi secvenţial (cu unele excepţii) în cazul metodelor succesive. Pentru observaţiile

secvenţiale, acelaşi subiect poate fi utilizat în mod repetat sau pot fi utilizaţi mai mulţi

subiecţi echivalenţi. Când observaţiile sunt simultane, se folosesc mai mulţi subiecţi

echivalenţi în acelaşi timp.

Situaţia variabilelor necontrolabile prezintă o importanţă deosebită în ambele tipuri

de metode. Se pot ivi trei situaţii ale evoluţiei acestor variabile: să rămână constante, să

varieze după o lege statistică stabilă, să existe posibilitatea eliminării lor.

De aici rezultă o trăsătură structurală a metodelor experimentale: variaţia

rezultatelor observate este atribuită fie variabilelor controlabile, fie variabilelor

necontrolabile, cu efect aleator dar măsurabil. În perioada experimentării se poate ajunge

uneori la homeostazia sistemului, însă după o perioadă de timp, datorită modificărilor

inerente apar aspecte ale dezechilibrului iar soluţia dată de experiment nu mai este valabilă.

Principalele procedee folosite în metodele experimentale au fost descrise sistematic

pentru prima oară de Cochran şi Cox1.

Se consideră o problemă al cărei criteriu este o funcţie de două variabile

controlabile, X1 şi X2. În metoda căutării la întâmplare (metoda simultană) se stabilesc

domeniile de variaţie ale lui X1 şi X2, în care se consideră că există soluţia. Pentru fiecare

dintre ele se generează câte o serie de valori aleatoare şi se formează perechi de valori.

Fiecărei perechi îi corespunde o observaţie asupra sistemului (sau asupra unor părţi ale

sistemului). Perechea care dă cel mai convenabil rezultat este considerată drept soluţie iar 1 Cochran, W.G., Cox, G.M., Experimental Designs, John Wiley and Sons, New York, 1957.

81

câteodată este explorată mai amănunţit o vecinătate din jurul punctului indicat de această

pereche.

În metoda factorială (metodă simultană) se determină domeniile de variaţie ale lui

X1 şi X2 care se împart în intervale mai mici, astfel încât, dacă X1 şi X2 parcurg un interval,

să existe o diferenţă semnificativă între performanţele estimate ale sistemului.

Din domeniul de variaţie a variabilelor X1 sunt alese punctele (x11,x12,…,x1m), iar

din domeniul lui X2 punctele (x21,x22,…,x2m), cu care se formează perechile (x1i,x2j),

(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) apoi se observă comportarea sistemului pentru toate cele mn

perechi. Soluţia optimă este în punctul indicat de acea pereche de valori în care

performanţa sistemului este maximă (sau se analizează vecinătatea acestui punct).

Metoda coordonatelor (secvenţială) începe prin a estima care dintre variabilele

controlabile are cea mai mare influenţă asupra rezultatelor sistemului. Dacă această

variabilă este X1, se estimează o pereche (X1,X2) optimală, punct care va servi pentru prima

observaţie. Păstrând pe X2 constant, se efectuează o deplasare într-o direcţie convenabilă pe

axa X1. Mărimea deplasării este egală cu cea mai mică valoare pentru care se consideră

posibilă o modificare semnificativă a performanţei sistemului.

Acum se efectuează o observaţie: dacă se constată o îmbunătăţire, deplasarea

continuă în aceeaşi direcţie; în caz contrar, deplasarea din punctul iniţial se face în direcţia

opusă. Deplasarea continuă în această direcţie până când are loc o înrăutăţire a

performanţelor. Din acest moment se revine la valoarea lui X1 care constituie cea mai bună

valoare găsită. Menţinând această valoare constantă se efectuează o deplasare în acelaşi

mod pe axa X2. Când nici aici nu se mai produce o îmbunătăţire, se alege cea mai bună

valoare pentru X2 şi se continuă deplasarea pe axa X1. Procesul continuă până când nu mai

este posibilă nici o îmbunătăţire în nici o direcţie, ultimul punct găsit fiind soluţia optimă.

Această metodă se mai numeşte căutarea pe reţea.

Metoda coborârii celei mai rapide (sau panta cea mai rapidă) urmăreşte găsirea

punctului de optim pe calea cea mai scurtă. Se alege un punct estimat ca optim şi se

stabilesc apoi patru puncte astfel încât să formeze un dreptunghi al cărui centru să fie

punctul iniţial; distanţa dintre puncte se stabileşte ca în primele două metode. Se fac

observaţii pentru fiecare din cele cinci puncte.

82

Prin metoda celor mai mici pătrate se caută un plan care să se potrivească cât mai

bine cu datele observate. Din centrul dreptunghiului se efectuează o deplasare de-a lungul

dreptei din plan cu panta cea mai mare în sensul îmbunătăţirii soluţiei, cu o lungime

proporţională cu cea a intervalului ales anterior. Procedeul continuă până când fie nu se mai

constată nici o îmbunătăţire, fie planul nu mai aproximează suficient de bine datele de

observaţie. Ultimul punct găsit este centrul unui dreptunghi construit după procedeul

descris şi se caută o nouă aproximare liniară. Dacă rezultatul nu este satisfăcător, se poate

încerca cu suprafeţe de ordin superior. Când panta curbei pe care se face deplasarea devine

mică, se consideră că s-a ajuns pe o suprafaţă numită platou. Vârful acestui platou este

estimat şi utilizat drept soluţie.

Dintre procedeele descrise, panta cea mai rapidă este metoda cea mai eficientă. În

ordinea descrescătoare a eficienţei, urmează metoda coordonatelor, metoda factorială şi

metoda căutării la întâmplare.

Metodele secvenţiale sunt mai puţin precise când se rezolvă probleme

multiextremale, în sensul că punctul stabilit cu ajutorul lor poate fi doar un punct de maxim

(minim) local. Pentru astfel de probleme, în prima etapă, trebuie folosită una dintre

metodele simultane pentru localizarea valorii de extrem, apoi cercetarea poate continua cu

metode secvenţiale.

Având în vedere că optimizarea presupune proiectarea sau modificarea unui sistem

sau program în scopul obţinerii unei eficienţe maxime în raport cu un criteriu dat, pentru

soluţionarea problemelor complexe, de obicei multiextremale, se foloseşte metoda euristică

de dirijare sau optimizare a procesului de tratare a problemei. Activitatea de programare

euristică include acţiuni care nu pot fi justificate matematic, ci, fie se bazează pe anumite

observaţii asupra modului în care s-au obţinut soluţii cunoscute ale problemei programate,

fie sunt alese în virtutea experienţei sau a intuiţiei programatorului. În cazurile cele mai

complexe, programarea euristică implică elaborarea unor programe modificabile dinamic în

funcţie de evoluţia rezolvării problemei, a succeselor sau insucceselor înregistrate pe

parcursul rezolvării.

În esenţă, modelarea economico-matematică are ca obiectiv construirea unui model

optimizant. În acest scop, modelarea proceselor şi fenomenelor economice se bazează pe o

metodologie ştiinţifică; ansamblul de teorii, tehnici şi metode riguroase îndeplineşte un rol

83

multiplu: suport pentru procesul de gândire a modelatorilor, ajutor pentru comunicare,

instrument indispensabil pentru fundamentarea şi adoptarea deciziilor manageriale, pentru

stabilirea strategiilor şi tacticilor eficiente atât la nivel de firmă cât şi la nivel de ramură,

sector sau pe ansamblul economiei.

Totodată, trebuie observat faptul că nu întodeauna toate modelele economico-

matematice oferă garanţia absolută că prin aplicarea lor se va obţine rezultatul optim. De

aceea soluţiile obţinute prin soluţionarea modelelor trebuie aplicate cu prudenţă; numai

după confirmarea valabilităţii şi realităţii soluţiilor respective se va putea trece la aplicarea

lor în întreg sistemul modelat sau în alt sistem analog.

84

Capitolul 5. Aplicaţii ale modelării econometrice la nivel microeconomic

5.1 Modele de achiziţii şi vânzări

Firmele care au ca obiect de activitate operaţii de cumpărare-vânzare sunt

preocupate de menţinerea unui echilibru între aceste acte în raport de evoluţia laturilor

pieţei în care ocupă un segment, de modificările frecvente în cantităţi şi preţuri, ca expresii

ale dinamicii sectorului economic căruia aparţin. Asemenea probleme pot fi soluţionate cu

ajutorul metodelor programării dinamice.

Programarea dinamică este o tehnică principală de rezolvare a unei clase de

probleme de optimizare care apar în diverse domenii: economic, tehnic etc. Spre deosebire

de programarea liniară nu se cere ca problema să fie caracterizată prin ecuaţii de o formă

particulară. Întrucât programarea dinamică se aplică unor probleme care nu au neapărat

formulări precise şi, în plus, nu oferă în mod necesar rezultate numerice exacte, lucrările

programelor de acest tip sunt de fapt colecţii de probleme de optimizare. Sistemul de lucru

este deosebit de flexibil oferind răspunsuri pentru probleme dificil de rezolvat prin alte

metode. Programarea dinamică foloseşte relaţiile de recurenţă, care apar în procesul de

luare a deciziilor, prin intermediul unor ecuaţii funcţionale corespunzătoare. În consecinţă,

programarea dinamică este strâns legată de procesele secvenţiale de luare a deciziilor, dar

se poate aplica şi pentru alte probleme de optimizare; există însă şi procese decizionale care

nu pot fi studiate cu programarea dinamică.

În cadrul programării dinamice o proprietate de bază este cea a traiectoriei optime

denumită şi „principiul optimalităţii” (Bellman).

Dacă se ia o traiectorie optimă x*(t), t[t0,t1], între punctele x0 şi x1 atunci pentru

două momente arbitrare de timp t2t3 din intervalul [t0,t1], se consideră x2=x*(t2) şi

x3=x*(t3), puncte de pe traiectoria optimă care corespund acestor momente. În anumite

condiţii se poate arăta că x*(t), t[t2,t3], este traiectorie optimă între x2 şi x3. Proprietatea

de mai sus, principiul optimalităţii, se poate demonstra deseori cu ajutorul raţionamentului

următor:

85

Dacă între x2 şi x3 există o altă traiectorie optimă x€(t), t[t2,t3], atunci se defineşte

x€(t), t[t0,t1] prin

]t,[t t(t),*x

]t,[t t(t),x€

]t,[t t(t),*x

(t)x€

13

32

20

(5.1)

care îmbunătăţeşte x*(t), t[t0,t1], deci contrazice optimalitatea traiectoriei x*(t).

Tehnica de abordare şi rezolvare a problemelor de programare dinamică se poate

exemplifica prin intermediul unei probleme de decizie unde se cere optimizarea unei

anumite funcţii prin alegerea convenabilă a valorilor variabilelor x1,x2,...,xn care sunt

supuse unui sistem de restricţii. Valorile optime pentru aceste variabile de control

x1,x2,...,xn, cât şi valoarea optimă a funcţiei obiectiv, depind de o serie de parametri care

descriu starea sistemului, adică sistemul de restricţii pe care trebuie să le satisfacă

variabilele.

Metodele programării dinamice se pot aplica problemelor decizionale cu mai multe

etape, fiecăreia corespunzându-i una sau mai multe variabile de control. În plus, este foarte

convenabil ca problemele decizionale din fiecare etapă a procesului să aibă o structură

similară. În aceste condiţii se poate formula o problemă de programare dinamică în care

sunt rezolvate n probleme succesive: iniţial se rezolvă problema corespunzătoare primei

faze a procesului decizional, apoi se rezolvă problema referitoare la primele două faze

cumulate, în continuare este soluţionată problema primelor trei faze ş.a.m.d. până la ultima

care include toate etapele şi furnizează soluţia problemei de ansamblu studiate.

Prin urmare, pentru a rezolva etapa k unde kn se adaugă etapa k problemei cu k-1

etape rezolvată anterior folosind soluţia acesteia. Valorile pe care le iau variabilele de

control în etapa k au ca efect asupra primelor k-1 rezultate schimbarea parametrilor de

stare care le corespund.

Fie Xk vectorul variabilelor de control din etapa k iar k vectorul parametrilor de

stare corespunzători problemei de decizie pentru primele k etape. Se consideră soluţia

optimă, valoarea optimă a lui Xk şi fk( ,k) valoarea optimă pentru funcţia obiectiv

corespunzătoare acestei soluţii.

*kX

*kX

86

Unul din principiile de bază ale programării dinamice constă în a determina o relaţie

simplă de recurenţă de unde se obţine fk( ,k) atunci când este cunoscută decizia după k-

1 etape. O relaţie de recurenţă este următoarea:

*kX

fk( ,k)= gk(Xk, k)+fk-1( ,T(k,Xk)), (5.2) *kX

kXoptim *

1-kX

unde T(k,Xk) reprezintă vectorul de stare corespunzător etapei k-1 când s-a adoptat

decizia Xk.

După n etape se obţin şi fn( ,) pentru care este vectorul parametrilor de

stare din problema iniţială.

*nX *

nX

Vectorul este compus din deciziile optime corespunzătoare tuturor

etapelor, deci redă strategia optimă a procesului. În legătură cu semnificaţia relaţiei de

recurenţă (5.2) principiul optimalităţii se exprimă astfel: oricare ar fi decizia Xk-1 din etapa

k-1 corespunzătoare stării k rezultată din această strategie trebuie să fie

optimă pentru etapele rămase.

)X,...,X,(X *n

*2

*1

)X,...,X,(X *n

*1k

*k

Împărţirea problemelor dinamice în etape este realizată de modelator pentru a putea

aplica principiile şi procedeele menţionate mai sus. Corespunzător unor procese, numite

secvenţiale există o împărţire şi o ordine temporală pentru deciziile parţiale

corespunzătoare etapelor procesului; această ordine se răsfrânge asupra conţinutului

etapelor parcurse în rezolvarea dinamică a problemei. În abordarea secvenţială,

programarea dinamică foloseşte două tipuri de soluţii: progresive (forward) şi regresive

(backward). Soluţiile progresive respectă ordinea temporală, prima decizie obţinându-se în

prima etapă în timp ce în soluţiile regresive primei etape îi corespunde ultima decizie care

trebuie adoptată din punct de vedere temporal.

Tehnicile de calcul specifice programării dinamice pot fi prezentate cu ajutorul

următoarei probleme:

i

n

1jjij bxa

, aij0, j=1,2,...,n, i=1,2,...,m

xj0 j=1,2,...,n (5.3)

max z= .

n

1jjj )(xg

87

Fie z*=max cu restricţiile din problemă. Când se fixează pentru xn o

valoare, de exemplu

n

1jjj )(xg

x n, valorile celorlalte variabile pentru care funcţia obiectiv este

maximă depind de x n. Atunci problema devine

1n

1jjj

x,...,xnn

n

1jjj

x,...,x)(xgmax)x(g)(xgmax

1n11n1

(5.4)

Variabilele satisfac xj0, j=1,2,...,n şi condiţia

i

1-n

1jjij bxa

-ain x n i=1,2,...,m. (5.5)

Restricţiile iniţiale arată că x n se alege din intervalul

in

i

mi1 a

bmin0, de unde rezultă

că

z*= [gn(xn)+fn-1(b-xnan)], (5.6) nX

max

unde xn este în intervalul menţionat. Dacă ar fi cunoscut fn-1(b-xnan) problema

iniţială ar consta în rezolvarea unui program (5.4) de o singură variabilă cu restricţia

xn

in

i

mi1 a

bmin0, . Modalitatea prin care se obţine fn-1(b-xnan), în notaţie vectorială, ţine de

faptul că reprezintă valoarea maximă a funcţiei în condiţiile

1-n

1jjj )(xg

1n1,2,...,j 0,x

m1,2,...,i ,xabxa

j

ninj

1n

1jjij

. (5.7)

Analog cu procedeul utilizat în etapa precedentă, problema devine

fn-1(b-xnan)= [gn-1(xn-1)+fn-2(b-xnan-xn-1an-1)] (5.8) 1nx

max

cu restricţia xn-1

1-in

nini

mi1 a

xabmin0, şi funcţia

fn-2(b-xnan-xn-1an-1)= (5.9)

2n

1jjj

x,...,x)(xgmax

2n1

variabilele x1,...,xn-2 satisfăcând condiţiile:

88

2.n1,2,...,j 0,x

m1,2,...,i ,xaxabxa

j

1-n1-inninj

2n

1jjij

(5.10)

În acest mod problema se descompune într-o succesiune de subprograme, pentru

fiecare etapă câte un subprogram. În general, în etapa k, problema de programare care

trebuie rezolvată este

k

1jjijxa bi-ainxn-...-aik+1xk+1, i=1,2,...,m

xj0, j=1,2,...,k (5.11)

k

1jjij

x,...,xxamax

k1

şi valoarea optimă a funcţiei obiectiv se notează prin fk(bi-k), unde k=xnan+...+xk+1ak+1.

Dacă în etapa n valoarea optimă care se obţine este f1(b-1), atunci f2(b-2),...,fn-1(b-n-1) se

pot calcula recursiv folosind următoarea relaţie

fk(b-k)=kx

max[gk(xk)+fk-1(b-k-1)]=kx

max[gk(xk)+fk-1(k-akxk)] (5.12)

din care, în final, se obţine soluţia optimă z*=fn(b). Ultima relaţie duce la decizia optimă

, corespunzătoare fiecărui stadiu, adică componenta k a strategiei optime ,

altfel spus soluţia optimă a problemei studiate. Pentru funcţiile gj(xj)=cjxj, unde cjR,

programul iniţial este liniar şi atunci problema de programare dinamică se reduce la o

succesiune de probleme de programare liniară.

*kx )x,...,x,x( *

n*2

*1

În continuare sunt exemplificate metodele progresivă şi regresivă.

Model 1

Se presupune că o firmă de desfacere îşi stabileşte programul de aprovizionare

astfel încât să facă faţă unei cereri cunoscute, variabile, pe timp de 4 luni. La începutul

fiecărei luni firma poate cumpăra orice cantitate din produsul solicitat, X, la un preţ care

diferă de la lună la lună conform următoarelor date:

Luna i 1 2 3 4

Cererea (buc.) ci 7 5 6 8

Preţul unitar (mil.lei) pi 11 14 13 12

89

Firma îşi propune o politică de cumpărare-vânzare, în funcţie de variaţiile preţului

cu care cumpără marfa, ştiind că nu poate deţine în stoc mai mult de 8 produse, stocul

iniţial este de 2 unităţi iar în finalul perioadei de patru luni stocul trebuie să fie zero.

Prin urmare, obiectivul este stabilirea unei strategii optime pentru aprovizionarea cu

marfa X ţinând cont de faptul că problema are caracter temporal. Fie xi numărul de unităţi

din marfa X care urmează a fi achiziţionate la începutul lunii i. Întrucât se preconizează că

firma va satisface cererea integral în fiecare lună, stocul său trebuie să fie mai mare sau

egal cu cererea din luna în curs. Cantitatea din marfa X deţinută la începutul lunii i este

diferenţa dintre toate cantităţile cumpărate anterior şi cantităţile vândute în primele i-1 luni.

Aceste condiţii se exprimă astfel:

ccxs

1,2,3i ,ccxs

4

3

1ij

4

1jj0

i

1i

1jj

i

1jj0

unde s0 este stocul iniţial. Deoarece stocul nu poate avea mai mult de 8 unităţi este valabilă

relaţia

s0+ 8, i=1,2,3,4

1i

1jj

i

1jj cx

Cheltuielile de achiziţionare, funcţia obiectiv, sunt exprimate prin suma şi,

ţinând cont de condiţia normală xj0, se obţine un program liniar cu ajutorul relaţiilor

anterioare

4

1iii xp

min(11x1+14x2+13x3+12x4)

5x16

(*) 10x1+x213

16x1+x2+x318

x1+x2+x3+x4=24

xi0, i=1,2,3,4.

Întrucât aceasta este o problemă de programare dinamică temporală,

descompunerea în etape, pentru obţinerea unei soluţii progresive, va respecta succesiunea

în timp a fazelor procesului.

90

În prima etapă variabila de control x1 este considerată ca o valoare fixă şi pentru

funcţia obiectiv se caută

6x5 1

min

(11x1+ (14x2+13x3+12x4)) 432 x,x,x

min

Cu variabilele x2,x3,x4 este construit programul

min(14x2+13x3+12x4)=f1

10-x1x213-x1

(**) 16-x1x2+x318-x1

x2+x3+x4=24-x1

xi0, i=2,3,4.

În a doua etapă, cu variabila de control x2, plecând de la problema (**) se caută:

121 x13xx10min

(14x2+ (13x3+12x4)).

43 x,xmin

Variabilele x3,x4 fac parte din următoarea problemă

min(13x3+12x4)=f2

(***) 16-x1-x2x318-x1-x2

x3+x4=24-x1-x2

xi0, i=3,4.

A treia etapă, care foloseşte variabila x3 şi soluţia optimă a etapelor precedente,

conduce la

0x xx18xxx16

3

21321

min

(13x3+ 12x4)

4xmin

Problema care trebuie rezolvată este

min12x4=f3

(****) x4=24-x1-x2-x3

x40.

Ultima etapă, cea de-a patra, constă în rezolvarea problemei (****). Folosind

restricţia 16x1+x2+x318 din x4=24-(x1+x2+x3) se obţine f3=288-12x1-12x2-12x3.

Revenind la relaţia anterioară rezultă

0x xx18xxx16

3

21321

min

(x3+288-12x1-12x2).

91

Deoarece ultima expresie este crescătoare în raport cu x3, minimul ei se atinge

pentru x3=16-x1-x2. Valoarea optimă din problema (***) rezultă din ultima relaţie:

f2=304-13x1-13x2.

Trecând la problema (**) se caută

121 x13xx10min

(x2+304-13x1),

funcţie crescătoare în raport cu x2 care îşi atinge minimul pentru x2=10-x1, de unde

valoarea lui f1 este 314-14x1. Problema iniţială devine:

)3x(314min 16x5 1

.

Expresia de minimizat este descrescătoare în raport cu x1; minimul se obţine pentru

=6 deci minimul cheltuielilor totale este *1x

z*=296

iar strategia optimă se obţine plecând de la =6. Astfel, rezultă succesiv =4, =6 şi

=8 de unde strategia optimă folosită de firmă este (6,4,6,8), reprezentând soluţia optimă

pentru minimizarea cheltuielilor în condiţiile date. Această metodă este progresivă: s-au

obţinut succesiv şi

*1x *

2x *3x

*4x

*1x , *

2x , *3x *

4x .

Model 2

Aceeaşi problemă poate fi rezolvată regresiv folosind alte variabile de control. Fie

yi (i=1,2,3,4) stocul de marfă al firmei la începutul lunii i. Legătura dintre variabilele

menţionate şi cele folosite anterior, xi, în soluţia progresivă, este dată prin:

2,3,4i ,cyxy

sxy

1i1iii

011

.

Stocul iniţial în luna i este stocul final din luna precedentă yi-1-ci-1 şi cantitatea

cumpărată la începutul lunii în curs, xi. Condiţiile anterioare se rescriu astfel

2,3,4i ,cyyx

syx

1i1iii

011

.

Folosind relaţiile din varianta progresivă, cheltuielile totale de achiziţionare a produsului

sunt

4

1iii xp = 3y1+y2+y3+12y4+213

92

iar valorile yi satisfac relaţiile

44

ii

cy

1,2,3i 8,yc

.

Deoarece variabilele xi sunt nenegative au loc şi inegalităţile

2,3,4i 0,cyy

02y

1i1ii

1

.

Cu aceste relaţii, problema de programare dinamică are următoarea formulare:

min(3y1+y2+y3+12y4+213)

7y1min(8,7+y2)

(*) 5y2min(8,5+y3)

6y3min(8,8+y4)

8=y4

Întrucât ultima variabilă de control este cunoscută, etapele problemei vor fi parcurse

în ordine inversă, regresiv. Astfel, în prima etapă se caută

4ymin (213+12y4+ (y3+y2-3y1))

321 y,y,ymin

a cărei soluţie este banală întrucât y4 poate lua doar valoarea 8, adică =8. *4y

În etapa a doua se foloseşte variabila y3 şi soluţia optimă din prima etapă, problema

devenind:

8.8)min(8,8y6

)fmin(y

3

23

Ţinând cont de soluţia primei etape se obţine =6 şi *3y

f2=min(y2-3y1).

Din primele etape y2, şi satisfac *3y *

4y

8.)6min(8,5y5

)fmin(y

2

12

Întrucât expresia este crescătoare în y2 soluţia este =5. Atunci se caută, în ultima etapă, a

patra, expresia

*2y

f1=min(-3y1)

cu restricţia

93

7y1min(8;7+y2)

pentru =5, de unde 7y1min(8;12)=8. Deoarece expresia este descrescătoare în y1 îşi

atinge minimul pentru valoarea 8, deci soluţia optimă va fi . În concluzie, strategia

optimă, care a fost obţinută plecând de la variabila y4 spre variabila y1, regresiv, este dată

de , =5, =6 şi =8 de unde se obţin valorile optime intermediare

*2y

8

8y*1

y*1

*2y *

3y *4y

f1=-3 =-24 *1y

f2= +f1=-19 *

2y

f3= +f2=-13 *3y

*z =213+12y4+f3=296.

Dacă se folosesc relaţiile care leagă variabilele yi de variabilele xi se obţin =6,

=4, =6, =8.

*1x

*2x *

3x *4x

În practică problemele de optimizare sunt, de obicei, mai complicate decât

programul rezolvat anterior. Există factori incontrolabili care acţionează asupra sistemului

şi pot determina trecerea sa dintr-o stare în alta, caz în care deciziile sunt luate în condiţii

de incertitudine. Într-o clasă importantă de probleme de optimizare variabilele de stare sunt

aleatoare ceea ce înseamnă că unele modificări de stare ale sistemului sunt datorate

întâmplării. Pentru aceste variabile aleatoare se foloseşte o lege de probabilitate: când legea

este cunoscută se obţine o problemă de optimizare stohastică iar în cazul determinării

acestei legi în cursul procesului de adoptare a deciziilor problema este de optimizare

relativă.

Mare parte a problemelor de optimizare implică situaţii când nu pot fi adoptate

decizii în orice moment din intervalul [t0,t1] ci numai la anumite intervale de timp, de

exemplu zilnic, lunar, anual. Din acest motiv timpul trebuie considerat ca variabilă discretă,

adică ia doar un număr finit sau o infinitate numărabilă de valori din intervalul [t0,t1].

Numărul de etape dintr-un proces decizional secvenţial se numeşte orizont; dacă

numărul acestora este finit, programarea dinamică este cu orizont finit iar în caz contrar cu

orizont infinit. Deoarece numărul etapelor din procesul secvenţial de decizie este uneori

foarte mare, determinarea numerică a strategiei optime devine foarte dificilă necesitând un

calcul laborios, de obicei fără beneficii notabile. Datorită acestui fapt şi întrucât stabilirea

94

apriorică a numărului de etape ale unui proces nu este justificată, majoritatea problemelor

sunt considerate cu orizont infinit.

5.2 Modelarea sistemelor de aşteptare în domeniul serviciilor

Datorită complexităţii fenomenelor şi proceselor economice, deseori, se

înregistrează consumuri inutile de timp sau risipă de resurse folosite, în special, în sectorul

serviciilor. Aceste pierderi de timp apar ca efect al unor corelări imperfecte ale activităţilor

din structurile economice; ca urmare, se impun îmbunătăţiri ale organizării sau

sistematizării serviciilor. Analiza sistematizării serviciilor în scopul eliminării pierderilor se

poate realiza, în multe cazuri, cu ajutorul teoriei aşteptării, ca instrument economico-

matematic folosit la optimizarea timpului de aşteptare.

Teoria aşteptării, denumită şi teoria cozilor, este aplicabilă pe larg pentru

îmbunătăţirea servirii clienţilor care se prezintă la o firmă pentru achiziţionarea anumitor

produse sau servicii; în astfel de situaţii clienţii formează „cozi de aşteptare”, clienţii

doresc să fie serviţi cât mai repede, dacă este posibil imediat, lucru imposibil de multe ori.

Pe măsură ce clienţii sosesc în diferite momente, numite sosiri, momente aleatoare în timp,

ei se aşează la coadă aşteptând un anumit timp, denumit de aşteptare, până când vor fi

serviţi. Timpul în care un client este servit la o staţie de servire, ghişeu sau canal, se

numeşte timp de servire. Un client se află într-un sistem de aşteptare o perioadă de timp

numită timp total de aşteptare în sistem, sumă a timpului aşteptare şi a timpului de servire.

În esenţă, un fenomen de aşteptare se desfăşoară astfel: clienţii care provin dintr-o

populaţie finită sau infinită intră în sistem, se aşează în firul de aşteptare, trec pe la una sau

mai multe staţii de servire pentru a fi serviţi, apoi părăsesc sistemul de aşteptare.

Având în vedere caracteristicile cozilor, există mai multe tipuri de probleme

rezolvate în teoria aşteptării:

- determinarea numărului de staţii de servire suplimentare când numărul clienţilor şi

timpul de servire sunt constante pentru a reduce cu p% numărul clienţilor ce

aşteaptă mai mult de t minute;

95

- cu cât trebuie lungit un fir de aşteptare finit pentru a reduce cu p% numărul

clienţilor pierduţi;

- alegerea între două decizii; să se mărească firul de aşteptare sau să se adauge o nouă

staţie de servire;

- pot sau nu să fie acceptate priorităţi în procesul de servire pentru ca timpul de

aşteptare să se reducă.

Într-un sistem de aşteptare există trei elemente esenţiale: clienţii, firul de aşteptare

şi staţiile de servire precum şi o serie de factori privind elementele sistemului de aşteptare

dintre care cei mai importanţi sunt:

a) frecvenţa şi modul de sosire a clienţilor;

b) repartiţia timpilor de servire;

c) regulile de servire din sistem;

d) numărul staţiilor de servire;

e) repartiţia timpilor de aşteptare.

Existenţa unor legături între factorii primari este exprimată în diferite modele de

aşteptare; studiul acestor legături poate furniza informaţii despre modificarea comportării

viitoare a sistemelor, ca efect al unor modificări endogene sau exogene sau al apariţiei unor

sisteme noi. Din acest motiv se încearcă stabilirea legăturilor între factorii menţionaţi şi,

totodată, se caută şi alte corelaţii cu diverse elemente din sistemul de aşteptare.

În cazul sosirilor interesează dacă acestea sunt individuale sau agregate (în grup),

presupunându-se că sosirile sunt aleatoare. Modelele analizate folosesc de obicei sosiri de

tip Poisson, adică intervalul de timp dintre două sosiri este o variabilă aleatoare cu

repartiţie Poisson (repartiţia exponenţială negativă), şi are funcţia de distribuţie

n!

λtenf

nλt , n=0,1,2,... (5.13)

unde t este timpul iar este media sosirilor în unitatea de timp; deci, probabilitatea de a

avea n sosiri în unitatea de timp este

n!

λe

nλ . (5.14)

96

Timpul de servire este tot o variabilă aleatoare care, de obicei, respectă o distribuţie

exponenţială negativă. Totuşi, timpul de servire poate avea o repartiţie logaritmică normală

sau o repartiţie Pearson de tipul III, şi, rareori, o repartiţie constantă.

Staţiile de servire sunt mecanismele prin care sunt serviţi clienţii; în şir există o

singură staţie de servire sau mai multe staţii care pot fi dispuse în paralel sau în serie.

O importanţă deosebită o prezintă disciplina sistemului, adică ansamblul de reguli

după care clienţii se aşează în firul de aşteptare şi care stabileşte ordinea în care sunt serviţi

aceştia. Cea mai firească regulă de servire este cea în ordinea sosirii; această regulă nu este

însă respectată întotdeauna ci pot exista priorităţi la servire sau clienţi indisciplinaţi; de

asemeni, există tipuri de servire care folosesc alte reguli, cum sunt servirea în bloc şi

servirea în masă.

În studiul sistemelor de aşteptare se intenţionează optimizarea organizării sistemului

pentru ca timpul de aşteptare a unui client să fie minim, altfel spus, timpul petrecut de un

client în sistem să fie cât mai apropiat de timpul de servire fără ca aceasta să implice

cheltuieli de organizare prea mari. Prezintă interes probabilitatea Pn ca, la un moment dat,

în sistem să existe n unităţi; probabilitatea ca numărul unităţilor din sistem la un moment

dat să fie mai mare decât k, P(nk), şi probabilitatea ca timpul de aşteptare să fie mai mare

decât un timp dat t, P(tft).

În diferitele modele de aşteptare, se folosesc anumite caracteristici sau indicatori ai

sistemului:

- , numărul mediu de sosiri în unitatea de timp;

- , numărul mediu de clienţi serviţi în unitatea de timp;

- μ

λρ , intensitatea de trafic (factorul de utilizare);

- s, numărul de staţii;

- m, mărimea populaţiei dacă este finită;

- N, mărimea firului de aşteptare când este finit;

- n , numărul mediu al clienţilor din sistem la un moment dat;

- fn , numărul mediu al clienţilor din firul de aşteptare la un moment dat;

- sn , numărul mediu al clienţilor în curs de servire la un moment dat;

97

- ft , timpul mediu de aşteptare în fir;

- st , timpul mediu petrecut de un client în sistem.

Între aceşti indicatori există mai multe relaţii între care

n = fn + sn (5.15)

şi

st = ft +μ

1. (5.16)

Modelele de aşteptare pot fi clasificate după diferite criterii:

- după numărul de staţii pot fi cu o staţie sau cu mai multe staţii;

- după mărimea populaţiei din care provin clienţii, modelele pot fi cu populaţie finită sau cu

populaţie infinită;

- după mărimea şirului de aşteptare, pot exista modele cu şir finit sau infinit;

- după numărul firelor de aşteptare, modelele sunt cu unul sau cu mai multe fire.

În modelele folosite în continuare se presupune că atât sosirile cât şi timpii de

servire urmează repartiţia Poisson.

Modelele cu o singură staţie sunt mai simple decât modelele cu mai multe staţii

dispuse în paralel; cele mai mari dificultăţi în procesul de soluţionare sunt întâmpinate la

problemele în care există mai multe fire de aşteptare şi mai multe staţii de servire întrucât

aici disciplina sistemului, mai ales regulile de servire, sunt foarte amorfe, neputând fi

precizate decât vag, ceea ce le face imposibil de exprimat prin formule şi ecuaţii

matematice exacte.

În cele ce urmează sunt prezentate şi rezolvate câteva modele de aşteptare

semnificative pentru posibilităţile de aplicare în sfera serviciilor.

Model 1

Un prim exemplu rezolvat numeric este modelul cu un fir de aşteptare infinit, o

staţie de servire şi populaţie infinită.

Relaţiile folosite în acest model sunt

μ

λ1P0 , (5.17)

μ

λ1

μ

λP

n

n , (5.18)

98

λμ

λn

, (5.19)

λμμ

λn

2

f , (5.20)

ρP1n 0s , (5.21)

λμμ

λ

λ

nt f

f , (5.22)

λμ

1

μ

1tt fs

, (5.23)

1k

μ

λknP

, (5.24)

tλμf e

μ

λttP . (5.25)

La un ghişeu poştal sosirile sunt aleatoare, de tip Poisson, cu o medie de 36 de

clienţi pe oră, iar timpul mediu de servire este de 1,5 minute. În acest caz se urmăreşte să se

determine

a) numărul mediu de clienţi care aşteaptă să fie serviţi la un moment dat;

b) numărul mediu de clienţi existenţi la un moment dat în sistem;

c) timpul mediu petrecut de un client în sistem;

d) probabilitatea ca în 10 minute să sosească 8 clienţi;

e) probabilitatea ca un client să aştepte peste 10 minute.

În model se consideră ca unitate de timp minutul; prin urmare

0,660

36λ iar

3

2

1,5

1μ ,

de unde, cu formulele anterioare, rezultă:

a) 8,1

10

6

3

2

3

210

6

n

2

f

99

b) 0,9

3

210

6

μ

λρns

n = fn + sn =8,1+0,9=9

c) min 15

10

6

3

21

λμ

1t s

d) Întrucât λtn

n en!

λttP rezultă

0,1033

8!

100,6e10P

8100,6

8

ceea ce înseamnă că probabilitatea ca în 10 minute să sosească 8 clienţi este de 10,33%.

e) 0,4620e0,9e

3

210

6

10tP 3

21010

6

3

2

f

,

deci şansele ca timpul de aşteptare a unui client să depăşească 10 minute sunt de 46,2%

Model 2

Un alt tip de model are un fir de aşteptare infinit, o staţie şi populaţie finită.

În noul model, faţă de formulele modelului anterior apare m, mărimea populaţiei

din care provin clienţii şi, în consecinţă, se aplică următoarele relaţii:

m

0n

n

nm

0

μ

λA

1P (5.26)

0

n

nmn P

μ

λAP

(5.27)

0P1 λ

μmn (5.28)

0f P1 λ

λμmn

(5.29)

0s P1n (5.30)

100

λ

λμ

P1

m

μ

1t

0f (5.31)

λ

μ

P1

m

μ

1t

0s . (5.32)

Spre exemplificare numerică, se consideră un atelier în care există 10 utilaje

identice iar timpul de funcţionare neîntreruptă are distribuţie Poisson cu media 60 ore. În

atelier lucrează un singur mecanic; timpul în care acesta efectuează o reparaţie urmează

repartiţia exponenţială negativă cu media de 2 ore. Ţinând cont că servirea se face în

ordinea sosirilor se doreşte să se cunoască:

a) probabilitatea ca la un moment dat toate maşinile să funcţioneze;

b) probabilitatea ca la un moment dat să existe cel puţin 4 utilaje defecte;

c) numărul mediu de maşini defecte la un moment dat;

d) timpul mediu de aşteptare, respectiv petrecut în sistem, de către un utilaj defect.

Se consideră că unitatea de timp este ora; atunci, caracteristicile acestui model care

provine dintr-o populaţie cu m=10 sunt:

60

1λ maşini/h şi

2

1μ maşini/h

iar intensitatea de trafic este

30

1

μ

λρ

care, folosite în formulele anterioare, conduc la valorile de mai jos.

a) 7204,0

30

1

110

010

0

n

n

AP .

Prin urmare probabilitatea ca toate utilajele să funcţioneze este 72,04%.

b) 0,2401P30

1AP 0

1101

0,0360P30

1AP 0

22102

0,0032P30

1AP 0

33103

101

P(n3)=P0+P1+P2+P3=0,9997.

Rezultă că există 99,97% şanse ca în atelier să fie cel mult 3 utilaje defecte şi, de

aici, probabilitatea să existe simultan cel puţin 4 utilaje defecte este

P(n4)=1P(n3)=0,0003, adică 0,03%.

c) Din formulă se obţine

1,6120,720413010P1λ

μmn 0

deci, la un moment dat, numărul de maşini defecte care aşteaptă este de 1,612.

d) Timpul mediu de aşteptare corespunzător unui utilaj defect este

60

160

1

2

1

0,72041

102

λ

λμ

P1

m

μ

1

0ft =9,53h.

Cu alte cuvinte, timpul mediu de aşteptare petrecut în sistem de o maşină defectă este de

circa 9 ore şi jumătate.

Model 3

În acest model se consideră un fir de aşteptare infinit cu mai multe staţii şi populaţie

infinită. În varianta menţionată prezintă importanţă numărul de staţii s şi atunci formulele

anterioare adaptate devin:

ρs!1s

ρρ

n!

1

1P

s1s

0n

n0

, (5.33)

sn ,Pss!

ρ

sn ,Pn!

ρ

P

0sn

n

0

n

n , (5.34)

ρP

ρs!1s

ρn 02

1s

, (5.35)

02

1s

f Pρs!1s

ρn

, (5.36)

ρns , (5.37)

102

02

1sf

f Pρs!1sλ

ρ

λ

nt

, (5.38)

μ

1tt fs . (5.39)

Asemenea situaţii pot fi întâlnite la bănci. De exemplu, numărul mediu al clienţilor

unei bănci sosiţi într-o oră este 30 iar la un ghişeu pot fi serviţi în medie câte 11 clienţi pe

oră. Ştiind că sosirile şi timpul de servire au repartiţii Poisson se încearcă determinarea

următoarelor elemente ale sistemului de aşteptare:

a) numărul de ghişee care trebuie să funcţioneze pentru a evita aglomeraţia;

b) probabilitatea să nu aştepte nici un client;

c) probabilitatea să existe 3 clienţi care aşteaptă;

d) numărul mediu de clienţi care aşteaptă să fie serviţi şi care se află în sistem;

e) timpul mediu petrecut la bancă.

Modelul are următoarele caracteristici

=30 clienţi/oră, =11 clienţi/oră şi 11

30ρ ,

considerând ora ca unitate de timp. Deoarece valoarea lui este supraunitară, existenţa

unui singur ghişeu conduce la aglomeraţie.

a) Pentru a evita aglomeraţia trebuie ca valoarea lui s

ρρ să fie subunitară, deci

111s

30 ,

de unde s=3, adică sunt necesare 3 ghişee pentru a evita aglomeraţia.

b) Pentru a nu exista clienţi care să aştepte în sistem trebuie să fie cel mult 3 clienţi; se

calculează

P(n3)=P0+P1+P2+P3.

0,0224

ρ32

ρ

2

ρρ1

1

ρs!1s

ρρ

n!

1

1P

32s1s

0n

n0

.

0,0611P1!

ρP 01 , 0,0833P

2

ρP 0

2

2 şi 0,0757P33!

ρP 00

3

3

şi rezultă

103

P(n3)=0,0224+0,0611+0,0833+0,0757=0,2425.

c) Există 3 clienţi care aşteaptă la rând când în banca se află exact 6 clienţi, adică

0,0569P33!

ρP 03

6

6

ceea ce înseamnă că în 5,69% din cazuri există 3 clienţi care aşteaptă să fie serviţi.

d) Din formulele anterioare se obţine

68,330P

11

3032!

11

30

Pρs!1s

ρn 02

4

02

1s

f

clienţi

care aşteaptă să fie serviţi iar în sistem se află

11,0579ρnn f clienţi.

e) Timpul mediu petrecut la bancă se determină cu relaţiile

h 0,2777λ

nt f

f şi h 0,3686μ

1tt f .

Rezultă că un client aşteaptă ft =16 min şi 40 sec. să fie servit şi petrece în bancă în

medie t =22 min şi 7 sec; aceşti timpi arată că banca respectivă trebuie să adopte măsuri de

îmbunătăţire a servirii clienţilor săi.

Model 4

O altă variantă a modelelor cu un fir de aşteptare infinit are mai multe staţii şi

populaţie finită.

Clienţii din acest model provin dintr-o populaţie finită în care există m indivizi, se

aşează în fir şi sunt serviţi la mai multe staţii. Formulele corespunzătoare sunt:

m

sn

nnm

s1s

0n

nnm

0

s

ρA

s!

sρC

1P , (5.40)

msn ,Ps

ρA

s!

s

sn ,PρCP

0

nnm

s0

nnm

n , (5.41)

ρ

smρ

ρ1

CsρρC

ρ1ρ

mρssρPn

sm

1s1s

0n

nnm0

, (5.42)

104

0sm

1s1s

0n

nnm0f PCsρρCP1s

ρ

smn

, (5.43)

fs nnn , (5.44)

s

ff nμ

nt

, (5.45)

μ

1tt fs . (5.46)

Următoarele date ipotetice se referă la un atelier în care există 10 utilaje întreţinute

de 5 mecanici. Timpul de funcţionare neîntreruptă este o variabilă Poisson cu media de 4

ore. Durata medie a unei reparaţii este de 2 ore, timpul necesar reparaţiilor urmând

distribuţia exponenţială. Se caută să se cunoască mărimile caracteristice sistemului:

a) probabilitatea ca toate utilajele să funcţioneze la un moment dat;

b) probabilitatea ca orice utilaj defect să fie reparat imediat;

c) numărul mediu de utilaje defecte ce aşteaptă să fie reparate;

d) numărul mediu de utilaje defecte existente în sistem;

e) timpul mediu de aşteptare, ft .

În acest model mărimea populaţiei este m=10 şi există s=5 staţii de servire.

Caracteristicile sistemului sunt

4

1λ utilaje/h,

2

1μ utilaje/h şi

2

1ρ ,

dacă unitatea de timp considerată este ora.

a) Toate utilajele funcţionează când nu există nici un utilaj defect:

016852,0

10

1A

5!

5

2

1C

1P

10

5n

nn10

54

0n

nn10

0

adică toate utilajele funcţionează cu o probabilitate de 1,6852%.

b) Orice utilaj defect este reparat imediat dacă sunt cel mult 5 utilaje defecte, deci

P=P0+P1+P2+P3+P4+P5.

În continuare se obţin

08426,0016852,02

1CP 1

101

105

189585,0016852,02

1CP

22102

25278,0016852,02

1CP

33103

2211825,0016852,02

1CP

44104

1327095,0016852,02

1CP

55105

P= =P0+P1+P2+P3+P4+P5=0,897369.

5

0kkP

Prin urmare, orice utilaj defect este reparat imediat cu o probabilitate de 89,7369%.

c) Din formula

0sm

1s1s

0n

nnm0f PCsρρCP1s

ρ

smn

rezultă numărul utilajelor care aşteaptă să fie reparate

utilaje 0,1504nf

d) Numărul total de utilaje defecte la un moment dat este

ρ

smρ

ρ1

CsρρC

ρ1ρ

mρssρPn

sm

1s1s

0n

nnm0

,

de unde

utilaje 3,4336n .

e) Timpul mediu de aşteptare este

ore 0,0916

1504,04336,32

11504,0

nμ

nt

s

ff

ceea ce înseamnă că un utilaj defect aşteaptă în medie ft =5 min şi 30 sec. până când este

preluat de mecanici. Un utilaj defect va petrece în sistem un timp mediu st =2 ore 5 min şi

30 sec.

106

5.3 Jocuri de firmă

Adoptarea deciziei optime în cadrul firmei presupune alegerea celei mai bune

variante din toate căile de acţiune posibile. În acest scop sunt comparate, pe baza unor

criterii de apreciere prestabilite, variantele aflate la dispoziţia decidentului, din care este

reţinută soluţia cea mai eficientă în situaţia dată. Un instrument util în procesul adoptării

deciziei pentru multe cazuri de competiţie îl constituie folosirea teoriei jocurilor.

Intuitiv, un joc este o situaţie conflictuală între doi sau mai mulţi oponenţi

(jucători). În cadrul unui joc, o mulţime de elemente raţionale, jucătorii, fac, în mod

succesiv şi independent, pe baza unui set de reguli precizate, câte o mutare, adică aleg câte

o decizie dintr-o mulţime de posibilităţi. Fiecare jucător primeşte, la sfârşitul jocului sau

după fiecare mutare, o recompensă (un câştig) dependentă de ansamblul acţiunilor

jucătorilor până în acel moment. De aceea, toţi jucătorii cercetează cu atenţie variantele

posibile în scopul determinării acţiunii care îi va aduce cel mai mare câştig posibil.

Pentru a putea decide cât mai corect asupra strategiei pe care o va folosi, un jucător

trebuie să fie cât mai informat despre jocul la care participă; în forma normală a jocului

sunt cuprinse toate informaţiile şi particularităţile acestuia.

Un jucător i va face o mutare (va alege o decizie), la momentul , precizat prin

regulile jocului, aleasă dintr-o mulţime de alternative pe baza situaţiei (informaţiei)

din momentul ; acţiunea globală a jucătorului i înseamnă alegerea unei funcţii i astfel

încât

jit

jiI j

iS

jit

jiIj

ii Sσ pentru orice j. Funcţia i se numeşte strategie pură a jucătorului i iar

mulţimea strategiilor pure este i şi acţiunea jucătorului i se reduce la alegerea unui

element din i.

În totalitatea sa, jocul este determinat de alegerea de către fiecare jucător a unei

strategii pure =(i)iM, unde M=1,2,...,n este mulţimea jucătorilor. Funcţia

nR

n

1ii

:u (5.47)

este funcţia de câştig, componentele sale

R

n

1ii

i :u (5.48)

107

fiind funcţiile de câştig ale fiecărui jucător. În cazul alegerii strategiei , jucătorul i câştigă

ui(); de aici, =i,uiiM este un joc de n persoane în formă normală.

Există o mare varietate de jocuri; astfel un joc în care

0σun

1i

i

(5.49)

pentru orice , este un joc cu suma nulă. Un joc este finit dacă mulţimea strategiilor

pure este finită.

Uneori, din anumite motive, nu se poate determina o soluţie formată din strategii

pure; atunci, clasa deciziilor posibile se lărgeşte la strategii mixte, acestea fiind

probabilităţi ale jucătorului i pe mulţimea strategiilor pure i. O strategie mixtă nu este

condiţionată de jucarea în mod repetat a jocului, ci este un mod de alegere a unei strategii

pure pe baza unui experiment aleator.

În studierea unui joc trebuie să se ştie dacă sunt permise sau nu diferite forme de

cooperare între jucători. Din acest punct de vedere se pot distinge trei situaţii diferite:

1) Jocul este cooperativ, caz în care există acorduri ferme; unii jucători aleg

strategii în comun şi plăţi laterale, un transfer de câştig care duce la

cointeresarea pentru acţiuni comune. Jucătorii caută perechea de strategii (i,j)

care le aduce un câştig maxim comun, problema de soluţionat fiind împărţirea

câştigului între cei doi şi nu modul de acţiune. Cooperarea apare când fiecare

jucător va obţine un câştig cel puţin egal cu cel obţinut prin acţiuni individuale.

2) Dacă nu există plăţi laterale dar sunt permise acorduri ferme jocul este tot de tip

cooperativ.

3) Jocul necooperativ în care fiecare jucător acţionează individual.

Un acord apare atunci când există un sistem de strategii astfel încât nici unul din

jucătorii vizaţi nu-şi pot mări câştigul folosind strategii diferite. Un astfel de sistem de

strategii este un punct de echilibru; pot exista mai multe puncte de echilibru şi fiecare

jucător îl va prefera pe cel care-i aduce câştigul maxim; soluţia jocului este mulţimea

punctelor de echilibru întrucât rezultatul negocierilor nu poate fi prevăzut.

În concluzie, conceptul de joc include trei elemente: succesiunea mutărilor decise

de persoane sau întâmplare, gradul de informare a fiecărui jucător şi o funcţie de câştig. De

108

exemplu, în cazul în care jocul nu admite puncte de echilibru este necooperativ deoarece nu

pot exista acorduri, fiecare jucător căutând să-şi ascundă strategiile faţă de oponenţi.

Un joc este cu suma nulă dacă este un sistem închis în care câştigul unui jucător

reprezintă în mod obligatoriu o pierdere pentru ansamblul celorlalţi jucători; un astfel de

joc cu doi jucători se numeşte antagonist.

Printre jocurile care se pot soluţiona relativ uşor se află jocurile finite de două

persoane numite şi jocuri matriceale. Această denumire se justifică întrucât forma lor se

reduce la două matrice mn: A=(aij) şi B=(bij) cu aij=u1(i,j) şi bij=u2(i,j), m1,i ,

n1,j , unde i şi j sunt strategii ale primului, respectiv ale celui de al doilea jucător. În

cazul jocurilor cu sumă nulă, jocul este caracterizat doar de matricea A deoarece A+B=0,

adică B=A.

Când jucătorul 1 alege strategia i şi jucătorul 2 strategia j, câştigul mediu este

elementul aij din matricea A. O pereche de strategii (i,j) este un punct de echilibru dacă şi

numai dacă aij este simultan cel mai mare element pe coloana j şi cel mai mic pe linia i caz

în care aij se numeşte punct şa. Când un joc matriceal are puncte şa nu prezintă importanţă

păstrarea secretului asupra strategiei alese, pe când în jocurile fără puncte şa strategia

aleasă trebuie ţinută secretă deoarece este esenţială în desfăşurarea jocului.

În cazul unui joc fără puncte şa, desfăşurarea jocului este greu de prevăzut. Astfel,

dacă jucătorul 2 ghiceşte exact decizia jucătorului 1, atunci jucătorul 1 va opta pentru o

strategie care îi asigură cel puţin câştigul min m: i

ijji

1 aminmaxv' . (5.50)

În aceleaşi condiţii, jucătorul 2 va alege strategia pentru care pierderea sa va fi cel

mult egală cu pierderea maximă:

ijij

2 amaxminv' . (5.51)

Câştigul minim şi pierderea maximă joacă un rol esenţial în jocurile matriceale.

Inegalitatea v1v2 arată că jucătorul 1 va câştiga cel puţin v1 iar jucătorul 2 va pierde cel

mult v2.

Când se folosesc strategii mixte şi există m strategii pure, o strategie mixtă este

un m-vector, x=(x1,x2,...,xm) cu

109

1xm

1ii

, xi0, m1,i . (5.52)

Fie X şi Y mulţimile strategiilor mixte pentru cei doi jucători. În jocul matriceal A

strategiile x şi y duc la câştigul mediu

m

1i

n

1jjiji yaxyx,A (5.53)

exprimat matriceal prin

A(x,y)=xAyt. (5.54)

Jucătorul 1 porneşte de la premisa că jucătorul 2 îi va ghici strategia aleasă, x, şi va

utiliza strategia y care minimizează A(x,y); prin urmare, jucătorul 1, dacă foloseşte

strategia x, obţine cel puţin următorul câştig mediu

t

YyxAyminxv

(5.55)

Întrucât xAyt poate fi considerată ca medie ponderată, minimul se atinge pentru o strategie

pură:

.jj

xAminxv (5.56)

unde A.j este coloana j din matricea A. Atunci jucătorul 1 va alege strategia x pentru a

maximiza pe v(x), câştigul mediu, deci va câştiga cel puţin:

jjXx

1 xAminmaxv ; (5.57)

strategia x fiind denumită strategie de maxim.

Analog, jucătorul 2, folosind strategia y, suferă cel mult pierderea medie

ti

iyAmaxyv (5.58)

unde Ai este linia i din matricea A; din acest motiv, el va opta pentru strategia y care

minimizează această pierdere, deci pierderea maximă pe care o poate înregistra este

ti

iYy2 yAmaxminv , (5.59)

strategia y numindu-se strategie de minim.

După cum se observă, jucătorul 1 aplică principiul maximin găsind strategia x de

maximin iar jucătorul 2, aplicând principiul minimax, va utiliza strategia y de minimax;

valorile aflate, v1 şi v2, se numesc valorile jocului cu v1v2. Când jocul este cu sumă nulă

are o singură valoare v=v1=v2. Atunci, jucătorul 1 consideră strategia x optimă dacă

110

vaxm

1iiji

, n1,j (5.60)

iar strategia y este optimă pentru jucătorul 2 dacă

vyan

1jjij

, m1,i (5.61)

deci xAyt=v. O pereche de strategii optime este o soluţie a jocului.

Existenţa strategiilor optime pentru jocuri de două persoane cu sumă nulă este

asigurată de principiul minimax, care totuşi nu asigură existenţa unei metode pentru

construcţia strategiilor respective. Dacă aij este punct şa, strategiile optime sunt i, respectiv

j.

În jocurile matriceale, pentru căutarea soluţiilor optime se foloseşte pentru început

conceptul de dominare exprimat după cum urmează:

- linia i din matricea A domină linia k dacă

aijakj, j (5.62)

şi cel puţin o inegalitate este strictă;

- coloana j domină coloana l în matricea A dacă

aijail, i (5.63)

şi cel puţin o inegalitate este strictă. Altfel spus, deoarece liniile şi coloanele reprezintă

strategii, un jucător va renunţa la toate liniile şi coloanele dominate folosind doar strategii

nedominate.

În economie, nu întotdeauna interesele celor doi jucători sunt neapărat contrare;

există cazuri în care ambii jucători câştigă mai mult prin cooperare în jocurile cu sumă

arbitrară.

Un asemenea joc este bimatriceal, A=(aij) şi B=(bij); regulile sale pot interzice sau

nu cooperarea; o lege care interzice cooperarea este legea antitrust. Dacă se permite

cooperarea pot apare acorduri prin care se corelează strategiile mixte în baza faptului că

fiecare jucător caută să-şi maximizeze câştigul; în această ipoteză, rezultatul negocierilor

între jucători va respecta o serie de condiţii. Trebuie observat faptul că în timpul

negocierilor pot apare ameninţările, care au efect când sunt veridice şi îmbunătăţesc poziţia

celui care ameninţă concurenţa.

111

Pentru jocurile de n persoane, n3, sunt valabile o serie de rezultate de la jocurile de

2 persoane. Astfel, pentru jocurile necooperative nu există deosebiri esenţiale între jocurile

de n persoane şi cele de două persoane, deci orice joc finit necooperativ de n persoane

admite cel puţin un punct de echilibru alcătuit din strategii mixte. În cazul jocurilor

cooperative se constată deosebiri semnificative între acestea datorită formării coaliţiilor; în

legătură cu aspectele menţionate a apărut o teorie a plăţilor laterale ca element principal în

jocurile cooperative de n persoane.

În continuare sunt exemplificate metode şi tehnici utilizate în teoria jocurilor cu

ajutorul unor modele cu date ipotetice, jocuri de firmă sub formă matriceală.

Model 1

Două firme comerciale doresc să-şi deschidă câte un magazin astfel încât să acopere

trei zone comerciale principale dintr-un oraş; firmele acţionează independent una de

cealaltă.

A, B, C sunt cele trei zone; se cunoaşte că 20% din locuitorii arealului respectiv se

aprovizionează în zona A, 45% în zona B şi 35% în zona C; totodată, se ştie că firma F1,

datorită puterii sale financiare mai mari, controlează majoritatea pieţei. În urma unor studii

de piaţă pentru zonele menţionate, cele două firme ajung la aceleaşi concluzii:

- când ambele firme îşi deschid magazinul în aceeaşi zonă sau la distanţe egale faţă

de zona respectivă, firma F1 ocupă 70% din piaţă; zonei aflate în dispută;

- dacă firma F1 are magazinul mai apropiat de una din zone decât firma F2, atunci

firma F1 va controla 80% din piaţa acelei zone; în caz contrar, dacă magazinul F2

este amplasat mai aproape de o zonă, ambele firme ar deţine jumătate din piaţa

zonei respective;

- zona A, având o pondere mai mică, este exclusă din planurile firmei F1.

Ştiind că distanţele dintre zone sunt AB=10km, AC=4km şi BC=6km iar strategiile

pure ale firmelor sunt cele de amplasare a magazinului într-una din zone, urmează să se

stabilească strategiile optime ale celor doi jucători. Se presupune că un procent pierdut de o

firmă este un procent câştigat de cealaltă, ceea ce înseamnă că jocul este cu sumă nulă;

fiind un joc matriceal se calculează elementele matricei jocului folosind strategiile pure pe

care le pot adopta cele două firme.

Firma F1 are două strategii pure:

112

a1 – construieşte în zona B,

a2 – construieşte în zona C,

deoarece în planurile sale nu intră amplasarea în zona A.

Firma F2 are trei strategii pure:

b1 – construieşte în zona A,

b2 – construieşte în zona B,

b3 – construieşte în zona C.

Matricea jocului are 2 linii şi 3 coloane. Astfel, dacă firmele îşi amplasează

magazinul în aceeaşi zonă, perechile de strategii (a1,b2) şi (a2,b3), firma F1 acoperă 70%

din piaţă, adică a12=a23=0,7. Când firma F1 construieşte în zona B, strategia a1, şi firma F2

construieşte în zona A, strategia b1, se obţine

a11=0,50,2+0,80,45+0,50,35=0,1+0,36+0,175=0,635.

Dacă firma F1 utilizează strategia a1, zona B, iar firma F2 strategia b3, zona C, se obţine

a13=0,50,2+0,80,45+0,50,35=0,1+0,36+0,175=0,635.

Când perechea de strategii folosită este (a2,b1), adică zona C, respectiv zona A,

elementul a21 este

a21=0,50,2+0,80,45+0,80,35=0,1+0,36+0,28=0,74.

Pentru a22, perechea de strategii folosite este (a2,b2), iar zonele alese sunt C,

respectiv B; se obţine:

a22=0,80,2+0,50,45+0,80,35=0,16+0,225+0,28=0,665.

În concluzie, matricea jocului este

Firma F2

Firma F1

b1 b2 b3 ai

a1 0,635 0,70 0,635 0,635 a2 0,74 0,665 0,70 0,665 bj 0,74 0,70 0,70 0,665

0,70

Dacă firma F1 foloseşte strategia a1 va acoperi cel puţin 63,5% din piaţă, aceasta

fiind valoarea reală întrucât în situaţia dată firma F2 va folosi una din strategiile b1 sau b3

pentru acoperirea unui segment cât mai mare din piaţă şi anume 36,5%. Din acest motiv,

firma F1 va adopta strategia a2 care îi asigură controlul asupra a minimum 66,5% din piaţă

indiferent de strategia aleasă de firma F2.

113

Din matrice se obţin:

0,635amina 1jj

1 şi 0,665amina 2jj

2 ,

de unde valoarea inferioară a jocului este

0,665amaxa ii

.

Pentru valoarea superioară a jocului se calculează

0,74bmaxb i1i

1 , 0,70bmaxb i2i

2 şi 0,70bmaxb i3i

3

şi rezultă

0,70bminb jj

.

Valoarea jocului va fi cuprinsă între aceste două valori a=0,665 şi b=0,70. Din

considerentele anterioare şi din faptul că firma F1 este dominantă, valoarea jocului este

v=0,665 iar strategiile pure optime pe care le folosesc cele 2 firme sunt:

a2 – firma F1 construieşte magazinul în zona C,

b2 – firma F2 îşi va amplasa magazinul în zona B.

Model 2

Două firme care comercializează produse electronice şi electrotehnice intenţionează

organizarea unor prezentări cu vânzare la începutul celui de al doilea semestru pentru a-şi

promova produsele într-o anumită zonă în care există trei oraşe A, B şi C; firmele

organizează o singură prezentare datorită cheltuielilor mari care pot fi acoperite numai prin

vânzări masive. Matricea jocului, care include câştigul estimat prin sondaje de piaţă ale

celor două firme ce au condus la rezultate similare, este următoarea:

F1

F2

A

B

C

ai

A 12 -10 14 -10

B -8 8 12 -8

C 10 -10 12 -10

bj

12

8

14

-8

8

114

Pe baza acestor date se pune problema stabilirii localităţii în care vor hotărî cele

două firme să organizeze prezentarea dorită.

Folosind valoarea inferioară a jocului:

8aminmaxa ijji

şi valoarea superioară a jocului:

8bmaxminb ijij

rezultă că valoarea acestui joc v se află între a şi b: 8v8, de unde, prin transformarea

aij=aij+8 se obţine un joc cu valoarea v=v+8 având matricea.

F1

F2

A

B

C

ai

A 20 -2 22 -2

B 0 16 20 0

C 18 -2 20 -2

bj

20

16

22

0

16

Pentru a determina ce decizii vor fi luate de cele două firme, se notează cu x1,x2,x3

probabilităţile cu care firma F1 va adopta strategiile sale pure şi analog cu y1,y2,y3

probabilităţile corespunzătoare adoptării strategiilor pure de către firma F2.

Se obţin următoarele restricţii pentru problemele de programare liniară ataşate

0x,x,x

1xxx

v'20x20x22x

v'2x16x2x

v'18x20x

321

321

321

321

31

şi .

0y,y,y

1yyy

v'20y2y18y

v'20y16y

v'22y2y20y

321

321

321

32

321

Folosind transformările tj=yj/v, 1,3j , se rezolvă problema de maxim

corespunzătoare celui de al doilea sistem

115

0t,t,t

120t2t18t

120t16t

122t2t20t

ttttgmax

321

321

32

321

321

cu forma standard

1,6j0,t

1t20t2t18t

1t20t16t

1t22t2t20t

ttttgmax

j

6321

532

4321

321

.

Această problemă se rezolvă cu algoritmul simplex, care va furniza soluţia şi pentru

prima problemă datorită dualităţii celor două programe liniare.

1 1 1 0 0 0 B CB B

t1 t2 t3 t4 t5 t6

t4 0 1 -2 22 1 0 0

t5 0 1 0 16 20 0 1 0

t6 0 1 18 -2 20 0 0 1

zj-cj 0 -1 -1 0 0 0

t1 1 1/20 1 -1/10 11/10 1/20 0 0

t5 0 1 0 20 0 1 0

t6 0 1/10 0 -1/5 1/5 -9/10 0 1

zj-cj 1/20 0 1/10 1/20 0 0

t1 1 9/160 1 0 49/40 1/20 1/160 0

t2 1 1/16 0 1 5/4 0 1/16 0

t6 0 9/80 0 0 9/20 -9/20 1/80 1

zj-cj 19/160 0 0 59/40 1/20 11/160 0

20

-1

16

-11/10

Cum zj-cj0, 1,6j , soluţia este optimă şi are valorile

160

9t1 ,

16

1t2 şi t3=0,

116

cu 160

19zgmax deci valoarea jocului transformat este

19

160v' . Dualitatea problemelor

de programare anterioare implică

20

1x'1 ,

160

11x'2 şi x3=0.

Cu transformarea v'

yt j

j rezultă

19

9y1 ,

19

10y2 , y3=0,

respectiv

19

8x1 ,

19

11x2 , x3=0

iar valoarea jocului iniţial este 19

88

19

1608v'v .

Probabilitatea ca firma F1 să facă prezentarea în oraşul A este 8/19 iar în oraşul B

este 11/19; în consecinţă, firma F1 va organiza prezentarea în oraşul B; pe baza rezultatelor

anterioare şi cu un raţionament similar se ajunge la concluzia că şi firma F2 va alege oraşul

B pentru prezentarea produselor sale.

În concluzie, jocurile de afaceri modelează interacţiunea participanţilor la

conducerea unui sistem economic. Situaţiile conflictuale sunt generate de competitivitatea

specifică fenomenelor economice de piaţă. Cuantificarea şi studiul analitic al acestor

situaţii sunt realizate de teoria jocurilor care a devenit o metodologie cu largi aplicaţii în

cele mai diverse domenii economice. Dacă elementul constructiv fundamental al jocurilor

de afaceri îl constituie oamenii, care iau decizii în conformitate cu sarcinile prestabilite şi

cu restricţiile impuse, regulile jocului exprimă interacţiunea participanţilor la joc; regulile

reflectă proprietăţi, relaţii şi principii ale activităţii practice caracteristice pentru complexul

economic respectiv, impun anumite restricţii pentru comportamentul liber al participanţilor,

organizează interacţiunea lor, orientând-o pe făgaşul normal pentru joc în condiţiile date.

Totodată, jocurile de afaceri nu se pot desfăşura decât în condiţiile existenţei unei

informaţii corespunzătoare pe baza căreia, în limitele impuse de reguli, se adoptă decizii.

Jocul mai include criteriile de activitate ale participanţilor utile pentru estimarea

nemijlocită a eficienţei deciziilor adoptate în diferite situaţii.

117

În prezent, complexitatea sporită a economiei conduce la crearea de modele tot mai

complicate şi, prin consecinţă, la elaborarea unor metode şi tehnici de soluţionare mai

sofisticate. Important este ca pentru fiecare sistem modelat să fie aleasă metodologia de

rezolvare adecvată ţinând cont de particularităţile procesului sau fenomenului de piaţă

cercetat.

118

Bibliografie

1. Ackoff, R.L., Sasieni, M.W., Bazele cercetării operaţionale, Bucureşti, Editura

Tehnică, 1975.

2. Allen, R.G.D., Analiză matematică pentru economişti, Bucureşti, Ed.ştiinţifică,

1971.

3. Cobb, C.W., Douglas, P.H., A Theory of Production, in American Economic

Review, no.2, 1928.

4. Cochran, W.G., Cox, G.M., Experimental Designs, John Wiley and Sons, New

York, 1957.

5. Dogan, M., Pelassy, D., Cum să comparăm naţiunile. Sociologia politică

comparativă, Bucureşti, Ed. Alternative, 1993.

6. Ermakov, S.M., Metoda Monte Carlo şi probleme înrudite, Bucureşti, Editura

tehnică, 1976

7. Georgescu-Roegen, N., Legea entropiei şi procesul economic, Bucureşti,

Editura politică, 1979.

8. Gherasim, T., Microeconomie, vol.I şi II, Bucureşti, Ed. Economică, 1993.

9. Hicks, J., Capital and Growth, London, Oxford and the Claredon Press, 1965.

10. Lămătic, Gh., Lămătic M., Baze statistice ale modelării econometrice, Focşani,

Ed.Vrantop, 1997.

11. Lămătic, M., Lămătic, Gh., Analize şi modele în economia concurenţială, Iaşi,

Ed. Sedcom Libris, 2002.

12. Lucey, T., Tehnici cantitative, Bucureşti, Ed. Tehnică, 2001.

13. Onicescu, O., Botez, M.C., Incertitudine şi modelare economică (Econometrie

informaţională), Bucureşti, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1985.

14. Oprea, D., Premisele şi consecinţele informatizării contabilităţii, Iaşi, Ed.

Graphix, 1995.

15. Owen, G., Teoria jocurilor, Bucureşti, Editura Tehnică, 1974.

16. Pecican, E., Econometrie pentru… economişti, Bucureşti, Ed. Economică,

2003.

119

120

17. Raţiu-Suciu, C., Modelarea şi simularea proceselor economice, Bucureşti,

E.D.P., 1995.

18. Robinson, J., Economics of Imperfect Competition, 1933.

19. Stoica, M., Ioniţă, I., Botezatu, M., Modelarea şi simularea proceselor

economice, Bucureşti, Ed. Economică, 1997.

20. Zaiţ, D., Nica, P., Introducere în modelarea econometrică, Iaşi,

Ed.Univ.”Al.I.Cuza”, 1995.

21. *** Mic dicţionar enciclopedic, Bucureşti, Editura enciclopedică, 1972.