1

FACULTATEA DE INGINERIE TEHNOLOGICĂ ŞI MANAGEMENT

INDUSTRIAL

PROGRAMUL DE STUDII: FIZICĂ

LUCRARE DE ABSOLVIRE - PORTOFOLIU

Coordonatori:

Dr.MONICA FLORESCU

Dr. ATTILA BOER

Conf. Dr. NICOLAE

CONSTANTIN CREŢU Absolvent:

NEACŞU (ANTOCHI) GABRIELA

Braşov, 2012

Universitatea Transilvania din Braşov

Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă şi Învăţământ cu Frecvenţă Redusă

2

FENOMENE MOLECULARE

METODE NUMERICE DE REZOLVARE A

ECUAŢIEI SCHRÖDINGER

MIŞCAREA ÎN CÂMP DE FORŢE CENTRALE.

LEGILE LUI KEPPLER

Coordonatori:

Dr.MONICA FLORESCU

Dr. ATTILA BOER

Conf. Dr. NICOLAE

CONSTANTIN CREŢU Absolvent:

NEACŞU (ANTOCHI) GABRIELA

Braşov, 2012

Universitatea Transilvania din Braşov

Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă şi Învăţământ cu Frecvenţă Redusă

3

CUPRINS

Partea I. FENOMENE MOLECULARE

Introducere în structura lichidelor ...................................................5

1. Fenomene superficiale ……………………………..…...6 -11

1.a. Forţa de tensiune superficială……………………………………7

1.b. Fenomene la contactul a două lichide…………………………...8

1.c.Fenomene la contactul dintre un lichid şi un solid………………10

1.d.Presiunea sub o suprafaţă curbă de lichid………………………..11

2. Fenomene capilare ………………………………….…...12

3. Aplicaţii …………………………………………………..14-16

Bibliografie …………………………………………..........................16

Partea II. METODE NUMERICE DE REZOLVARE

A ECUAŢIEI SCHRÖDINGER

Introducere…………....…………………………………….................17

1. Funcţia de undă şi interpretarea ei statică……………......18-19

2. Tipuri de ecuaţii Schrödinger …………………………….20-22

2.1. Ecuţia Schrödinger temporală………………………………………20

2.2.. Ecuţia Schrödinger atemporală…………………………………….21-22

3. Oscilatorul armonic cuantic ………………………………..23-26

(Ecuaţia lui Schrödinger în cazul oscilatorului cuantic,

rezolvarea ecuaţiei prin metoda polinomială)

3.1.Oscilatorul armonic............................................................................23

3.2. Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger prin metoda polinomială........23-26

4.Algoritmul Numerov………………………………................27-28

Concluzii………………………………………………………...........29

Bibliografie…………………………………………………................29

4

Partea III. MIŞCAREA ÎN CÂMP DE FORŢE CENTRALE.

LEGILE LUI KEPPLER

1. Forţe de tip central................................................................30

1.1.Forţa de atracţie universală……………………………..30-35

1.1.a.Intensitatea câmpul gravitaţional..............................................30-34

1.1.b.Forţa de atracţie universală.......................................................35

1.2.Forţa de interacţie electrostatică.....................................35

1.2.a.Intensitatea câmpului electric....................................................35

1.2.b.Forţa de interacţie electrostatică................................................35

2. Legile Lui Keppler...................................................................36-40

2.1.Enunţul legilor lui Keppler................................................36

2.2. Demonstrarea legilor lui Kepler.........................................37-40

Bibliografie...................................................................................40

5

I. FENOMENE MOLECULARE ÎN LICHIDE

Introducere în structura lichidelor

Din punctul de vedere al structurii, lichidele ocupă un loc intermediar între gaze şi

solide. Iniţial, s-a considerat că lichidele au o structură dezordonată, similar gazelor, dar din

cercetarile ulterioare s-a stabilit ca pe distanţe mici, în lichide există ordine, gradul de

ordonare crescând la scaderea temperaturii.Datorită faptului că se manifestă pe distanţe foarte

scurte, de ordinul a câteva straturi moleculare, ordinea din lichide poartă numele de ordine

locală. Dacă în solide, relaţia de ordine se pastrează practic pe distanţe foarte mari, în lichide

ea nu este efectivă decât pe distanţe scurte. Studiind structura la nivel local, pentru un numar

mic de molecule, aceasta pare ordonată, însa mărind domeniul studiat, relaţia de ordine se

pierde.Acest tip limitat de ordine din lichide se datorează faptului că forţele de interacţiune

dintre molecule sunt foarte slabe, de tip Van der Waals. Aceste forţe sunt suficient de slabe

pentru ca moleculele să se poată deplasa şi suficient de puternice pentru a limita această

deplasare. Acest tip de legatura asigură şi proprietaţile specifice ale lichidelor şi anume:

-lichidele sunt izotopice,

-lichidele sunt practic incompresibile

-lichidele au volum propriu dar nu au forma proprie prezentând proprietatea de curgere.¹

6

1. Fenomene superficiale

Fenomenele legate de existenţa suprafeţei de separare dintre lichid şi mediul

înconjurător se numesc fenomene superficiale.

Moleculele aflate în regiunea ce separă lichidul de celelalte corpuri cu care vine în

contact, se vor afla în condiţii de interacţie diferite decât moleculele din interiorul lichidului.

Moleculele din interiorul lichidului sunt înconjurate din toate părţile de acelaşi număr de

molecule şi datorită interacţiei simetrice se găsesc în echilibru.(Fig.1.a) Mişcarea acestor

molecule are loc fără consum de lucru mecanic. Moleculele de lichid, aflate la suprafaţa de

separare, având vecine molecule de natură şi în concentraţie diferită, vor interacţiona cu

acestea diferit. Forţele care acţionează asupra unei molecule, aflată la suprafaţa de separare,

vor da o rezultantă îndreptată sau spre interiorul lichidului sau spre interiorul mediului care îl

mărgineşte.

În cazul unui lichid mărginit de vaporii săi, rezultanta forţelor ce acţionează

asupra moleculelor de la suprafaţa de separare este îndreptată spre

interiorul lichidului unde concentraţia este mai mare.(Fig.1.b).

Forţa rezultantă, diferită de zero, acţionează asupra tuturor moleculelor cuprinse într-un

strat din apropierea suprafeţei libere, având grosimea comparabilă cu raza de acţiune

moleculară (Fig.1.c). Acest strat a primit denumirea de strat superficial.

Fig.1.1

Pentru a aduce o moleculă din interiorul lichidului în stratul superficial trebuie să

consumăm din exterior lucru mecanic, iar energia potenţială a moleculei va fi mai mare decât

în interiorul lichidului. Invers, când moleculele se deplasează din stratul superficial în

interiorul lichidului, energia ei potenţială se va micşora cu aceeaşi valoare. Deoarece orice

corp tinde să ocupe o poziţie în care are energie potenţială minimă şi moleculele de lichid din

stratul superficial vor tinde să coboare în interiorul lichidului. Această mişcare a moleculelor

7

din stratul superficial spre interiorul lichidului determină o tendinţă de micşorare a mărimii

suprafeţei libere.

Se ajunge la următoarea concluzie: orice lichid sub acţiunea forţelor intermoleculare

tinde să-şi micşoreze suprafaţa liberă dacă nu există forţe care să se opună acestei

micşorări.

În cazul în care moleculele din interiorul lichidului sunt aduse în stratul superficial este

necesar să se consume lucru mecanic, iar suprafaţa liberă a lichidului creşte. Deci, lucrul

mecanic consumat este proporţional cu variaţia suprafeţei stratului superficial. Dacă variaţia

suprafeţei are loc într-o transformare reversibilă, atunci lucrul mecanic elementar are

expresia: &L=-бdS , unde semnul minus indică faptul că lucrul mecanic este consumat din

exterior.Coeficientul de proporţionalitate:б>0 se numeşte coeficient de tensiune superficială.

Semnificaţia fizică a coeficientului б se obţine din &L=-бdS

Într-adevăr făcând dS = 1 unitate de suprafaţă, rezultă:б=-&L adică coeficientul de

tensiune superficială б a unui lichid este o mărime fizică numeric egală cu lucrul mecanic

cheltuit pentru a mări suprafaţa lichidului cu o unitate.

Unitatea de măsură a lui este

1.a.Forţa de tensiune superficială

Micşorarea suprafeţei libere a lichidelor datorită forţelor de interacţie dintre molecule, o

putem explica macroscopic prin existenţa unor forţe ce acţionează la suprafaţa lichidului,

care determină această micşorare. Aceste forţe au primit denumirea de forţe de tensiune

superficială.

Ele sunt tangente la suprafaţa liberă a lichidului în orice punct. Forţele de tensiune

superficială sunt rezultatul macroscopic al forţelor de interacţie ce se manifestă între

moleculele de lichid. Existenţa forţelor de tensiune superficială poate fi pusă în evidenţă prin

mai multe experienţe făcute cu lichid gliceric (apă + săpun + glicerină).

Considerăm un cadru de sârmă dreptunghiular având o latură mobilă,(Fig 1.2), de

lungime I . Formăm pe cadru o peliculă de lichid. Datorită forţelor de tensiune superficială,

pelicula tinde să-şi micşoreze suprafaţa şi latura mobilă AB este trasă în sus.

Presupunem că sub acţiunea forţei de tensiune superficială, latura mobilă

s-a deplasat pe distanţa dx. Lucrul mecanic efectuat va fi: &L=-fdx

Deoarece pelicula de lichid este mărginită de două suprafeţe libere, avem:

dS=2Idx .

8

Din dS=2Idx , &L=-fdx, &L=-бdS, rezultă:

f

2l sau pentru o singură suprafaţă:

Deci, dacă l= unitate de lungime, rezultă б F sau: coeficientul de tensiune

superficială este o mărime fizică numeric egală cu forţa de tensiune superficială ce

acţionează pe unitatea de lungime a conturului ce delimitează suprafaţa liberă a lichidului.

Valoarea coeficientului de tensiune superficială depinde de natura lichidului şi pentru acelaşi

lichid scade o dată cu creşterea temperaturii.

1.b. Fenomene la contactul a două lichide

Considerăm două lichide în contact care nu se amestecă. De exemplu, ulei în apă. Fie o

picătură din lichidul 2 în contact cu lichidul 1 şi ambele lichide în contact cu mediul 3

(format din vaporii celor două lichide şi aer),

Forma picăturii de lichid 2 depinde de forţele de tensiune

superficială. Asupra unui element Ox a conturului ce separă

cele trei medii vor acţiona trei forţe de tensiune superficială,

fiecare fiind tangentă la suprafaţa de separare a două medii.

La echilibru: Fig .1.3.

Proiectăm ecuaţia pe axele Ox şi Oy şi avem:

Dar, forţele de tensiune superficială pot fi definite prin:

Unde б12 , б13 şi б23 sunt tensiunile superficiale stabilite la suprafeţele de contact respective

dintre mediile considerate şi se numesc tensiuni interfaciale.

Înlocuind relaţiile în

avem:

Fig.1.2

9

Ridicăm relaţiile la pătrat şi le adunăm membru cu membru şi obţinem:

unde θ= θ1 + θ2

Unghiurile θ1 şi θ2 formate de tangentele la suprafeţele picăturii de lichid 2

şi suprafaţa lichidului 1 se numesc unghiuri de racordare. Valorile lor

depind de interacţiile din interiorul lichidelor şi de interacţiile dintre lichide.

Relaţiile şi

determină valorile unghiurilor θ1, θ2 şi θ.

Unghiul θ este determinat din relaţia

În funcţie de proprietăţile lichidelor în contact se pot realiza situaţiile reprezentate în

figura 4. Dacă б13 = б23 + б12 , atunci θ = 0 şi lichidul 2 se întinde sub formă de

peliculă la suprafaţa lichidului 1 (benzină pe apă), -fig .4, a. În acest caz se spune că lichidul

2 udă total lichidul 1.

Dacă: şi picătura lichidului 2

atinge o anumită formă şi se scufundă parţial în lichidul 1 (fig.4-b şi c).

Se spune că lichidul 2 udă parţial respectiv nu udă parţial lichidul 1.

Dacă б13 = б23 - б12 => θ = π, picătura 2 are un singur punct de contact cu suprafaţa

lichidului 1 (fig. .4, d). Lichidul 2 nu udă total lichidul 1. Stările întâlnite cel mai frecvent, în

cazul lichidelor cunoscute, sunt de udare totală, când un lichid formează peliculă la suprafaţa

liberă a altui lichid, sau de udare parţială, când se formează o picătură de o anumită formă,

scufundată parţial.

Fig.1.4

10

1.c.Fenomene la contactul dintre un lichid şi un solid

Când un lichid se găseşte în contact cu suprafaţa unui solid, forma suprafeţei libere a

lichidului depinde de forţele gravitaţionale, de forţele de interacţie dintre moleculele

lichidului şi de forţele de interacţie dintre moleculele lichidului şi ale solidului.

Considerăm lichidul 2 pe suprafaţa unui solid 1, mărginit de mediul 3 (aer

şi vaporii lichidului), figura 5..Condiţia de echilibru se scrie:

sau pe componente:F13=F12 + F23 cos θ.

Componenta verticală se compensează cu greutatea. Unghiul de racordare θ este unghiul

dintre tangenta la suprafaţa lichidului şi suprafaţa solidului şi se exprimă:

În cazul în care σ13-σ12=σ23 rezultă cosθ=1 şi θ=0. Se spune că lichidul udă complet

solidul (apă pe sticlă). În cazul în care σ12=σ13+σ23, adică θ=π se spune că lichidul nu udă deloc

solidul (apă pe parafină).

În majoritatea cazurilor din natură, se întâlneşte fie fenomenul de udare parţială, când

(Fig. 6.a), fie fenomenul de neudare parţială când ( (Fig. .6.b).

În orice caz real, pentru ca un lichid să se afle în echilibru stabil pe suprafaţa unui solid,

trebuie să fie îndeplinită o anumită condiţie ce rezultă din inegalitatea cosθ ≤ 1.

Această condiţie de echilibru se exprimă astfel:

a b

Fig.1.5

Fig.1.6

11

Când un lichid se află într-un vas, suprafaţa liberă a lichidului este plană şi orizontală.

Lângă pereţii vasului suprafaţa liberă a lichidului se curbează formând menisc (fig.7).

Forţele de tensiune superficială la echilibru sunt legate prin relaţia:

În cazul în care F13>F12 (σ13>σ12), cosθ>0, adică unghiul de racordare este ascuţit (Fig.

.7.a). În acest caz lichidul formează menisc concav şi se spune că udă pereţii vasului în care

se găseşte. Dacă F13<F12 (σ13<σ12), cosθ<0 şi unghiul θ este obtuz (Fig.1 .7.b). În acest caz

lichidul nu udă pereţii vasului şi formează menisc convex.

1 .d.Presiunea sub o suprafaţă curbă de lichid

Rezultanta forţelor de interacţiune dintre moleculele din stratul superficial şi moleculele

din interiorul lichidului raportată la unitatea de arie a stratului superficial, se numeşte

presiunea internă a lichidului.

Ea depinde şi de forma suprafeţei libere a lichidului. Forţele de tensiune superficială, în

cazul stratului superficial curbat, determină o presiune suplimentară faţă de presiunea când

stratul este plan, numită presiune superficială sau suplimentară.

În cazul unei picături sferice, de rază R=R1=R2, presiunea suplimentară va fi dată de

ecuaţia lui Laplace:

Relaţia este adevărată şi în cazul unei bule de aer, când aceasta se află în

interiorul lichidului. Dacă suprafaţa liberă este un cilindru, avem:

Presiunea suplimentară, exprimată prin formula lui Laplace, este îndreptată întotdeauna

spre centrul de curbură al suprafeţei. În cazul unei suprafeţe convexe presiunea suplimentară

este îndreptată spre interiorul lichidului şi se va adăuga la presiunea internă, iar în cazul unei

suprafeţe concave presiunea suplimentară este îndreptată spre exteriorul lichidului şi se va

scădea din presiunea internă.

Deci, presiunea într-un lichid cu suprafaţa convexă este mai mare, iar presiunea într-un

lichid cu suprafaţa concavă este mai mică decât presiunea într-un lichid având suprafaţa

liberă plană.

Fig.1.7

12

2. Fenomene capilare

Când lichidele se află în vase largi, suprafaţa liberă a lor este plană. Ea se curbează numai

în apropierea pereţilor. Dacă vasul este îngust, lichidul formează menisc. Când distanţa dintre

pereţii vasului este de acelaşi ordin de mărime cu raza de curbură a meniscului, vasele se

numesc capilare.

Într-un tub capilar datorită curburii suprafeţei libere, apare presiunea suplimentară Laplace

care determină fenomenul de ridicare sau de coborâre a lichidului în acest caz. Considerăm

un tub capilar de rază r introdus vertical într-un vas cu lichid care udă pereţii tubului. În acest

caz, lichidul formează un menisc concav (fig.8), având raza de curbură R. Datorită

concavităţii meniscului, presiunea sub menisc va fi mai mică decât presiunea sub suprafaţa

plană din exteriorul capilarului. Din această cauză lichidul va urca în tubul capilar până la o

înălţime h după care rămâne în echilibru.

Condiţia de echilibru se va scrie sub forma:

,unde

cu Pi s-a notat presiunea internă sub meniscul plan.

Din relaţia se obţine următoarea expresie pentru

înălţimea h la care lichidul urcă în tubul capilar:

Dar, R poate fi exprimat cu ajutorul razei r a capilarului, care este uşor de

măsurat.

Din Fig.8 se vede că r=Rcosө şi relaţia devine:

Dacă în lichid introducem un capilar ai cărui pereţi nu sunt udaţi, meniscul va avea o formă

convexă, iar presiunea sub menisc va fi mai mare decât presiunea sub suprafaţa plană din

exteriorul capilarului. În capilar nivelul lichidului va coborî sub nivelul lichidului din vas cu

distanţa h1 .

Fig.2.1

Fig.2.2

13

Condiţia de echilibru se scrie:

din care se exprimă h1:

Relaţiile: şi reprezintă expresia

matematică a legii lui Jurin potrivit căreia înălţimea la care urcă sau coboară un lichid într-

un tub capilar este invers proporţională cu diametrul lui. Valoarea maximă a urcării sau

coborârii capilare se obţine în cazul umezirii sau neumezirii perfecte a pereţilor, când Ө=0

(umezire perfectă) sau Ө=π (neumezire perfectă) şi legea lui Jurin devine:

Semnul plus se referă la ridicarea lichidelor, iar semnul minus la

coborârea lichidelor în tuburile capilare. [ ²]

14

3.Aplicaţii

3.a.Experienţe asupra tensiunii superficiale

a) Două sârme BA şi CD sunt unite cu două fire de aţă AC şi BD (fig.3.1), apoi sunt

cufundate în apă cu săpun şi glicerină.La scoaterea din lichid,pelicula de lichid formată

(ABDCA din fig.3.1) deformează firele de aţă , punând în evidenţă tensiunile superficiale T

şi T’ , care tind să micşoreze suprafaţa peliculei, ca pe o membrană elastică.

b)Un inel din sârmă, care are un ochi de aţă legat de el (fig.3.2.a) este introdus în

soluţie de apă cu săpun şi glicerină , apoi este scos. Se sparge pelicula în interiorul ochiului

de aţă: acesta ia imediat forma unui cerc (fig.3.2.b); aria peliculei de lichid rămasă a devenit

minimă, cercul fiind figura cu arie maximă la perimetru constant .

c)Picăturile de apă sau mercur , aşezate pe o masă ori un geam unsuros , iau formă sferică

(fig.3.3).Când sunt mai mari , forţele de greutate le turtesc . Picăturile de ploaie au de

asemenea formaă sferică.

Fig.3.1 Fig.3.2 Fig.3.3

15

3.b.Aplicaţii ale fenomenelor de capilaritate

Deşi s-ar părea că fenomenele de capilaritate,fiind datorate forţelor din stratul

superficial,ar putea fi neglijate şi nu ar influenţa activitatea noastră zilnică,lucrurile se

prezintă astfel:

-după cum o sită metalică poate pluti pe apă,tot aşa apa nu pătrunde prin ochiurile

ţesăturii care formează pânza cortului.

-datorită capilarităţii seva se urcă în plante prin vasele capilare din trunchiul plantelor şi

le asigură hrana.

-lampa de petrol arde datorită fenomenului de capilaritate, care face ca petrolul să se

urce prin porii fitilului ca prin tuburi capilare extreme de subţiri.

-la fel se urcă lichidele de vată, hârtie sugătoare,cretă sau alte corpuri poroase.

Pentru a împiedica urcarea apei prin porii cărămizilor şi a împiedica astfel formarea

iegrasiei , se pune un strat de smoală deasupra unui rand de cărămizi în zidurile casei.

În agricultură , capilaritatea este un fenomen de care trebuie să se ţină seama.Prin porii

solului , care formează adevărate tuburi capilare, apa se ridică din adânc spre suprafaţă , la

rădăcinile plantelor. În caz de secetă, apa iese astfel din pământ, care se usucă şi plantele

pier. Pentru a împiedica acest lucru , se face o praşilă puţin adâncă a pământului.În felul

acesta,tuburile capilare formate în sol,se întrerup şi apa nu se mai urcă la suprafaţă,ci rămâne

în pământ.

Tehnica vopsitoriei foloseşte de asemenea fenomenele capilare sub formă de

absorţie.Aceasta constă în fixarea pe suprafaţa unui solid a moleculelor unei substanţe lichide

sau gazoase.

Experienţa a arătat că pelicula superficială a unei bule de gaz , ca de exemplu un balon

de săpun , se contractă ,creînd în interior o creştere de presiune. Cu cât bulele sunt mai mici ,

cu atât presiunea din interiorul lor este mai mare.Acest fapt are o consecinţă neaşteptată în

tehnica navală.

Prin rotaţia elicei sau paletelor turbinei hidraulice se naşteîn lichid un nor de bule

gazoase foarte mici.Contracţia peliculei lor superficiale face să se nască în interiorol lor

presiuni de mii de atmosfere. Ele plesnesc şi produc lovituri microscopice asupra metalului ,

pe care-l distrug cu timpul.Acest fenomen se numeşte cavitaţie şi cauzează uzura elicelor sau

a paletelor turbinelor hidraulice.

Unele substanţe dizolvate în apă îi reduc tensiunea superficială (ex.săpunul).Alte

substanţe , ca zahărul şi sarea , măresc tensiunea superficială a apei în care sunt dizolvate.

16

Flotaţia este o metodă de îmbogăţire a minereurilor utile , bazată pe variaţia tensiunii

superficiale, folosind anumite substanţe. Minereul se macină în formă de praf. Acesta se agită

cu puţin ulei, cu ajutorul unor elice (Fig.3.4). Se formează o spumă din băşicuţe de aer într-o

peliculă de ulei.Prin această peliculă aderă firişoare de mineral util, care sunt ridicate de către

băşicuţele de aer (Fig.3.5). Firişoarele de gangă(minereu nefolositor) nu aderă şi se precipită,

adunându-se la fund într-o cameră de precipitare C. În felul acesta se pot separa diferitele

minerale ca: galena, calcopirita,grafitul, caolinul,etc

din diferite minereuri. [³]

BIBLIOGRAFIE

[¹]-Gh.Criste,I.Ardelean, Elemente fundamentale de Fizică-pag.371,

Ed.Dacia Cluj-Napoca,1980

[²]-Dorin Borşan,Simona Talpoş-Fizica moleculară-pag.111-117,

Politehnica Press,2011

[³]-N.Stănesc,P.Vieru,M.Petrescu,O.Constantinescu , Fizică-manual

pentru anul III licee economice –pag.44,47,48,

Ed.Didactică şi Pedagogică-Bucureşti,1971

Fig.3.4 Fig.3.5

17

II. METODE NUMERICE DE REZOLVARE

A

ECUAŢIEI SCHRÖDINGER

Introducere

Erwin Schrödinger s-a născut în 1887, la Viena (Austria). In perioada anilor 1921 -

1927 a fost profesor ordinar la Zurich. In 1927 el s-a mutat la Universitatea din Berlin, unde

a preluat catedra de fizică teoretică a lui Max Planck. Inflamarea politică a Germaniei, pe

fondul venirii lui Hitler la putere, a influenţat parcursul profesional al acestui mare om de

ştiinţă . Astfel, în 1933 a plecat în Anglia, ca profesor asociat la Universitatea din Oxford , în

1936 a revenit în Austria, ca profesor la Universitatea din Graz ,1938 (anexarea Austriei de

către Germania), după ce s-a refugiat în Italia, a plecat în S.U.A., unde a predat pentru scurt

timp la Universitatea din Princeton.Apoi s-a reîntors în Europa, unde a primit postul de

director al Scolii de fizică teoretică din cadrul Institutului de studii avansate (din Dublin,

Irlanda) . În 1955, după ieşirea la pensie, s-a reîntors în Austria, stabilindu-se în oraşul natal

(Viena).

Pentru a descrie miscarea unei particule in spatiu si in timp este necesar sa gasim o

ecuatie diferentiala ale caror solutii sa reprezinte miscarea particulei. Aceasta ecuatie nu

poate fi dedusa , ci trebuie postulata si confruntata cu rezultatele experimentale.

Ecuaţia lui Schrodinger sau ecuaţia de undă este ecuaţia fundamentală a mecanicii

cuantice în acelaşi sens în care legea a doua a dinamicii este ecuaţia fundamentală a

mecanicii newtoniene. Ecuaţia lui Schrödinger are mai multe forme depinzând de condiţiile

externe în care se află microparticula : dacă este particular liberă, dacă se mişcă înintr-un

câmp extern de forţe, dacă se mişcă nerelativist sau relativist etc.

18

1. Funcţia de undă şi interpretarea ei statistică

În mecanica cuantică se opereaza cu funcţia de undă , care descrie starea

cuantică a microparticulei. Pătratul valorii absolute a funcţiei de undă, sau , este

proporţional cu probabilitatea de localizare a microparticulei într-un punct din spaţiu, la un

moment dat. Din această afirmatie rezultă că problema fundamentală a mecanicii cuantice

este de a stabili expresia funcţiei de undă care descrie starea cuantică a

microparticulei într-un câmp de forţe. Probabilitatea ca prin efectuarea unor măsurători

să găsim microparticula în elementul de volum centrat pe punctul de

coordonate , la momentul va fi în consecinta:

Faptul că microparticula se află, cu certitudine, într-un punct oarecare din spaţiu se

exprimă prin condiţia de normare a funcţiei de undă :

În cazul în care este densitatea de probabilitate ca la un moment

microparticula să aibă o poziţie determinată de raza vectoare , se poate calcula valoarea

medie a razei vectoare astfel:

Formula poate fi scrisă pentru componentele ale

vectorului de pozitie :

În acelaşi mod se poate calcula valoarea medie pentru orice marime fizică care este o

funcţie de coordonate : :

Dacă funcţia de undă este dată în funcţie de coordonatele şi de timpul , se

spune ca funcţia de undă este dată în reprezentarea coordonatelor.

În cele mai multe cazuri când cunoaştem funcţia de undă Ψ în reprezentarea

coordonatelor, se poate calcula probabilitatea cu care, in urma unor masuratori, vom obţine

diferitele valori ale unor variabile dinamice, funcţie de coordonate, precum şi valorile medii

ale acestora.

Pentru a stabili ecuaţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia de undă -ecuţia

Schrödinger- este necesar să stabilim inainte toate proprietatile acestei functii. În primul rând

19

în mecanica cuantică se impune să fie satisfacut principiului superpozţiei stărilor. Acesta

afirmă că dacă un sistem cuantic oarecare se poate afla fie în starea caracterizatăde funcţia de

unda , în care valoarea unei variabile dinamice este , fie în starea caracterizata de

funcţia de undă , în care valoarea aceleiaşi variabile dinamice este , atunci există şi

starea caracterizata de functia de unda: unde C1 şi C2 sunt numere

nenule, în general complexe. În urma măsurarii valorilor variabilei pentru microsistemul

aflat în starea vom obţine fie valoarea , fie valoarea . De aici

rezulta ca prin suprapunerea stărilor cuantice în care variabila dinamica are valori

determinate, se obţine starea caracterizată de funcţia de unda , în care variabila dinamica

nu are valori determinate.

Daca funcţiile de undă Ψ1 si Ψ2 sunt identice, (Ψ1Ξ Ψ2) atunci

Starea descrisa de functia de unda este identica cu starea descrisa de

functia de unda ψ1, in sensul ca prin masurarea valorii variabilei se obtine in ambele

"stari" valoarea . Asadar, starile descrise de o functie de unda , respectiv , unde

, sunt identice.Pe de alta parte, deoarece reprezinta densitatea de propbabilitate ca

microparticula sa se afle intr-un punct oarecare din spatiu, se impune ca microparticula sa se

gaseasca intr-un punct oarecare din spatiu, se impune ca functia de unda sa satisfaca

urmatoarele conditii, denumite si conditiile standard: să fie univocă; să fie continuă; să fie

finită; să aibă derivatele de ordinul întâi continue şi finite în raport cu variabilele

spaţiale.[1]

20

2.Tipuri de ecuaţii Schrödinger

2.1. Ecuţtia Schrödinger temporală

Să considerăm mişcarea liberă a unei microparticule în direcţia si în sensul pozitiv al

axei , care poate fi descrisa de functia de unda:

Derivăm de două ori în raport cu coordonata şi o dată în raport cu timpul :

În cazul relativist energia totală a microparticulei este:

Înmultind formal cu funcţia de undă , relaţia devine:

Înlocuind şi din în

obţinem:

În cazul tridimensional, ecuaţia se generalizează în mod simplu:

sau într-o scriere echivalentă:

Am obţinut astfel, printr-o "deducere" nu foarte riguroasă, ecuaţia Schrödinger temporala.

Ecuaţia trebuie privită ca un postulat fundamental al

mecanicii cuantice, care îşi găseşte justificarea numai în concordanţă cu datele

experimentale.

21

2.2.. Ecuţia Schrödinger atemporală

În cazul în care energia potenţială Ep a microparticulei nu depinde de timp în mod explicit,

soluţia ecuaţiei Schrödinger poate fi cautată sub forma unui

produs de doi termeni, dintre care unul va depinde numai de coordonate, iar celălalt numai

de timp:

Introducând în =>

,

şi împărţind în ambii membri prin pentru separarea variabilelor obţinem:

Ecuaţia este satisfăcută

pentru oricare valori ale coordonatelor şi timpului numai dacă cei doi termeni sunt egali cu

una şi aceeasi constantă, care din considerente dimensionale trebuie sa fie o energie.

Însă într-un câmp de forţe care derivă dintr-o energie potenţială energia

totală a microparticulei se conservă, fapt care ne sugerează să luăm constanta de separare a

variabilelor din drept energia totală a

microparticulei .

Se obţin astfel două ecuaţii diferenţiale:

22

Soluţia ecuaţiei este: unde este o constantă.

Aşadar, la mişcarea unei microparticule într-un câmp conservativ de forţe, funcţia de undă

are forma: ,

iar densitatea de probabilitate nu depinde de timp.

Stările cuantice descrise de funcţia de undă

se numesc stări cuantice stationare. [2]

23

3.Oscilatorul armonic cuantic (Ecuaţia lui Schrödinger în cazul

oscilatorului cuantic,rezolvarea ecuaţiei prin metoda polinomială)

3.1.Oscilatorul armonic

Din punct de vedere clasic oscilatorul armonic liniar este sistemul format dintr-o

particulă care se miscă pe o axă, fie aceasta Ox, sub acţiunea unei forţe F = -kx (k > 0).

Energia potentială a oscilatorului are expresia:

,

unde ω este pulsaţia clasică a oscilatorului.

În cazul acestui sistem ecuaţia :

se scrie astfel:

24

3.2. Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger prin metoda polinomială:

Pornind de la forma ecuației cu valori proprii pentru hamiltonianul oscilatorului classic:

Pentru simplificarea formei ecuației, se introduce o notație ajutătoare dată de relația:

, această schimbare este echivalentă cu alegerea unei unități naturale de

lungime pentru exprimarea elongațiilor.Avantajul acestei alegeri constă în aceea că

exponențialele din expresiile funcțiilor de undă vor avea exponenții adimensionali și va

permite separarea variabilei temporale de cea spațială.

Cu această notație, forma ecuației

devine:

Ecuația de mai sus este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea și ea admite

două soluții liniar independente, oricare ar fi valoarea parametrului real E. Se poate arăta, că

în general, soluțiile analitice cresc nemărginit pentru cazul în care variabila tinde la ± .

Un asemenea comportament neasimptotic nu este convenabil din punct de vedere al

mecanicii cuantice din cauza faptului că nu îndeplinește condiția de normare. Pentru anumite

valori însă ale parametrului E, se pot obține soluții particulare ce respactă limitările impuse

de condiția de normare. Coeficienții ecuației nu prezintă singularități

pentru valori finite ale variabilei , probleme pot apărea numai la infinit, datorită prezenței

termenului din expresia ecuației; acest termen provine de la energia potențială a câmpului

de forțe ce acționează asupra microparticulei. Studiul influenței acestui termen se poate face

pornid de la constatarea că funcțiile de tipul satisfac ecuațiile de forma:

25

Relație care practic coincide cu ecuația: pentru valori

mari ale termenului , atunci când termenul constant din paranteză devine neglijabil.

Soluția acceptabilă pentru ecuația: se caută sub

forma , unde funcția trebuie să se comporte astfel la infinit,

încât să nu compenseze exponențiala.

Prin înlocuirea expresiei: în ecuația: se obține

pentru funcția ecuația: cu aceste notații, ecuația

ia forma:

În vederea simplificării scrierii se introduc următoarele notații ajutătoare:

, cu aceste notații, ecuația:

ia forma:

Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă

este o soluție, atunci și este o soluție.

Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și

sunt soluții ale ecuației.

Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își schimbă

semnul: se zice că prima este pară iar a doua impară.

Cele două soluții se scriu sub forma unor serii de puteri, astfel, prima ca o serie de puteri

pare, iar cea de a doua ca serie de puteri impare:

26

Prin înlocuirea acestor serii în ecuația: se găsesc de

asemenea serii care, pentru a satisface ecuația, trebuie să fie identic nule. Prin urmare,

coeficientul fiecărei puteri a variabilei se anulează și se obțin relațiile de recurență ce

permit găsirea coeficienților și :

Relații din care se deduc expresiile:

În relațiile de mai sus numă rul natural n poate lua succesiv valorile 0,1,2,... . Cele două

relații se pot reuni în una singură, sintetică, ce ia forma:

Pentru relația de recurență: coeficienții a și b au valorile:

respectiv, pentru relația : devine:

Utilizând relația de recurență sintetică: , prin înlocuirea succesivă a

valorilor posibile pentru numărul n, se obține o formă explicită pentru coeficienții sintetici:

[3]

27

4. Algoritmul Numerov

Metoda Numerov este o metoda numerica pentru a rezolva ecuatii diferenţiale ordinare

de ordinul al doilea, în care primul termen de ordine nu apare.Metoda este implicită, dar

poate fi făcută în mod explicit în cazul în ecuaţia diferenţială este liniară.

Metoda Numerov poate fi folosit pentru a rezolva ecuaţii diferenţiale de forma:

Funcţia este eşantionat în intervalul [a .. b], la poziţii echidistante .

Pornind de la valorile funcţiei puţin două eşantioane consecutive şi valorile

funcţiei rămase pot fi calculate ca:

unde şi sunt valorile funcţiei de la poziţiile şi

este distanţa dintre două eşantioane consecutive.

Pentru ecuatii neliniare de forma metoda este dată de

Aceasta este o metodă implicită liniară cu mai multe etape , care se reduce la metoda de

explicit dat de mai sus, dacă funcţia f este liniară în y.

Metoda numerică în fizicaă este utilizată pentru a găsi soluţii de radial a ecuaţiei

Schrödinger pentru potenţiale arbitrare.

Ecuaţia de mai sus poate fi rescrisă în forma

cu .

Dacă vom compara această ecuaţie cu ecuaţia definirea metodei Numerov vedem

şi, astfel, poate rezolva numeric ecuaţia Schrödinger radial.

28

Derivarea

Pornind de la extinderea Taylor pentru vom primi pentru cele două puncte de

prelevare adiacente

Suma acestor două ecuaţii dă

Am rezolva această ecuaţie pentru şi înlocuirea acestuia cu expresia

pe care le obţine din ecuaţia diferenţială definire.

Ne ia derivata a doua a ecuaţiei diferenţiale şi definitorie a obţine

Am înlocui derivata a doua cu al doilea ordinea coeficientului diferenţa şi se introduce

acest lucru în ecuaţia noastră pentru

Am rezolva pentru pentru a obţine

Această metodă produce Numerov, dacă ignorăm termen de ordine . Rezultă că ordinea

de convergenţă (presupunând că stabilitate) este de 4. [4]

29

CONCLUZII

Mecanica cuantică susţine că tot ceea ce se poate spune despre o particulă în mişcare

se reduce la cunoaşterea unei funcţii matematice complexe numită funcţie de undă sau

funcţie proprie a particulei.

Rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger este posibilă numai pentru anumite valori ale

energiei totale a sistemului numite valori proprii obţinute cu ajutorul numerelor cuantice ,

notate simbolice n , 1 şi m. Soluţiile obţinute câte una pentru fiecare număr cuantic se

numesc funcţii de undă orbitale (funcţii proprii sau mai simplu orbitali atomici şi definesc

fiecare o stare posibilă a electronului de atom.

Metoda analitică de rezolvare a ecuaţiei lui Schrödinger pentru oscilatorul armonic cuantic

numită şi metoda Schrödinger este un procedeu mathematic de rezolvare a ecuaţiei care

descrie comportamentul dinamic al unui sistem oscilant armonic microscopic. Metoda

dezvoltată de Schrödinger are la bază teoria ecuaţiilor diferenţiate şi utilizarea polinoamelor

hermite. Procedeul acesta alături de metoda algebrică a lui Dirac şi Fock,respective metoda

polinomială datorată lui Sommerfeld permite găsirea sistemului complet de funcţii proprii

care redau comportamentul oscilatorului şi observarea relaţiei de cuantificare a energiei

oscilatorului.

BIBLIOGRAFIE

[1]-http://ro.wikipedia.org/wiki/Erwin_ Schrödinger# Oscilatorul_armonic

[2]-Messiah, Mecanica cuantica, vol I, Editura stiintifica, Bucuresti, 1974

[3]-Țițeica, Șerban: Mecanică cuantică, Editura Academiei R.S.R.,

București, 1984

[4]-B. Numerov, Publ. de l’Observ Astrophysique Central de Russie,

Dafinei,C. Davidescu- Surse de lumină şi optoelectronică,2011

30

III. MIŞCAREA ÎN CÂMP DE FORŢE CENTRALE.

LEGILE LUI KEPPLER

1. Forţe de tip central

Include forţele care au un centru de acţiune şi acţiunea are loc prin intermediul

câmpurilor fizice.

Câmpul este forma de existenţă a materiei din jurul corpurilor care păstrează

proprietăţile specifice acelui corp.

Ex.1. planetele, respectiv corpurile de mase considerabile sunt caracterizate prin câmp

gravitaţional, câmp care se manifestă prin forţa de atractie exercitată asupra

altor corpuri.

Ex.2. corpurile electrizate (cu sarcina electrică) sunt caracterizate de câmpul electric,

câmp care se manifestă prin interacţiuni cu alte corpuri electrizate (nucleu şi înveliş

electronic).

Elemente comune:

Intensitatea câmpului este determinată de mărimea interacţiunii şi nu depinde de

corpul de probă !

Interacţiunea este dependentă de pătratul distanţei sursă-corp de probă şi de mărimile

caracteristice (masă-sarcină electrică) corpurilor care interacţionează.

1.1.Forţa de atracţie universală

1.1.a.Intensitatea câmpul gravitaţional

• Mărime care nu depinde de masa corpului de probă

Intensitatea câmpului gravitaţional. Potenţialul câmpului gravitaţional

31

Energia potenţială a unei particule de masă m aflată în câmpul gravitaţional al particulei de

masă M se determină din formula de definiţie a energiei potenţiale:

Câmpul gravitaţional este un câmp conservativ

• Energia potenţială a particulei de probă raportată la masa acesteia (m) este egală cu lucrul

mecanic efectuat de forţele câmpului pentru a deplasa unitatea de masă din acel punct la

infinit şi defineşte potenţialul câmpului gravitaţional într-un punct situat la distanţa de centrul

câmpului.

Observaţii :

1. Energia de interacţiune a unui sistem de particule, luată cu semn schimbat, reprezintă

energia de legătura a sistemului;

2. Legătura dintre intensitatea câmpului şi potenţialul său într-un punct este dată de relaţiile:

32

3. Intensitatea câmpului gravitaţional are componentele:

4.Intensitatea câmpului gravitaţional este un vector perpendicular pe suprafeţele

echipotenţiale (caracterizate de V = const) şi îndreptat în sensul descreşterii potenţialului

(semnul "-"):

Intensitatea şi potenţialul câmpului gravitaţional în apropierea Pământului, M şi R, pentru un

corp de masă m situat la altitudinea h:

33

h << R , energia potenţială a corpului de masă m

-acceleraţia gravitaţională

34

-Sateliţi artificiali ai Pământului

La nivelul mării, h = 0, se determină prima viteză cosmică:

A doua viteză cosmică –părăseşte câmpul de atracţie terestru

35

1.1.b.Forţa de atracţie universală

-două corpuri se atrag cu o forţă direct proporţională cu produsul maselor lor şi invers

proporţională cu pătratul distanţei dintre ele.

-semnul minus arată caracterul atractiv al

forţei, este constanta gravitaţională

1.2.Forţa de interacţie electrostatică

1.2.a.Intensitatea câmpului electric

Intensitatea câmpului electric într-un punct din spaţiu este mă-rimea fizică

vectorială numeric egală cu forţa ce acţionează asupra unui corp de probă cu sarcină

electrică egală cu unitatea, adus în acel punct.

1.2.b.Forţa de interacţie electrostatică

Interacţiunea electrostatică se manifestă prin existenţa unor forţe de interacţiune între

corpurile electrizate.

Studiul experimental al sarcinilor electrice ne relevă următoarele proprietăţi ale acestora :

-sarcina electrică totală a unui sistem fizic izolat de exterior este constantă în timp.

Această proprietate are importanţa unui principiu al fizicii, denumit principiul conservării

sarcinii electrice.

-sarcina electrică conţinută de un corp electrizat este întotdeauna egală cu un multiplu

întreg al sarcinii electrice elementare e.

Există două tipuri de sarcini electrice, denumite convenţional sarcini pozitive sau sarcini

negative. Sarcina electrică poate fi măsurată, mărimea fizică corespunzătoare se numeşte

cantitate de sarcină electrică, are simbolul Q şi unitatea de măsură coulomb. Coulombul se

defineşte ca fiind cantitatea de electricitate transportată de un curent electric cu intensitatea

de un amper în timp de o secundă : 1C = 1A ⋅ 1s.

Sarcina electrică elementară are valoarea : e = 1,6⋅10-19

C.

36

2. Legile Lui Keppler

2.1.Enunţul legilor lui Keppler

În urma observaţiilor astronomice J. Kepler a stabilit în anul 1619 legile care descriu

mişcarea planetelor în jurul Soarelui. Acestea, numite şi legile lui Kepler, sunt urmatoarele:

1. Legea orbitelor eliptice-planetele se mişcă pe elipse ce au Soarele situat într-unul dintre

focare.

2. Legea ariilor -raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale .

3.Legea pătratelor-pătratele perioadelor de revoluţie sunt direct proporţionale cu cuburile

semiaxelor mari,adică: T² = CR³,

unde prin perioada de revoluţie T se înţelege timpul în care planeta descrie o elipsă completă.

Dacă raza vectoare a planetei descrie ariile SAA' şi SBB' în intervale egale de timp,

conform legii a două a lui Kepler, aceste arii sunt egale.

În cele ce urmeaza vom trata Soarele si planetele ca pe niste puncte materiale, având în

vedere că dimensiunile lor sunt neglijabile în comparaţie cu distanţele ce le separă.

În anul 1687 I. Newton a reuşit sa explice legile mişcării planetelor presupunând că

Soarele exercită o forţă de atracţie asupra planetelor. Aceasta forţa de atracţie se manifestă ca o

forţă centripetă ce obligă fiecare planetă în parte să se mişte după o curbă închisă, de forma unei

elipse. Newton a demonstrat că dacă se admite ca forţa de atracţie F din partea care acţionează

asupra planetei P este proportională cu produsul dintre masele acestora şi invers proporţională cu

patratul distanţei r dintre ele, fiind îndreptată către Soare după direcţia PS, atunci pot fi explicate

cele trei legi ale lui Kepler. S-a presupus deci ca forţa este dată de relaţia:

2

PS

r

MMkF ,

unde MS este masa Soarelui, MP este masa planetei iar k o constantă de proporţionalitate.

37

2.2. Demonstrarea legilor lui Kepler

a)Prima lege- Legea orbitelor eliptice

Pentru a scrie pe F sub forma vectorială, să considerăm vectorul r îndreptat de la S la

P şi să avem în vedere că forţa are direcţia lui r , dar sensul contrar acestuia. Prin urmare:

rr

MMk

r

r

r

MMkF

3

PS

2

PS .

Momentul acestei forţe faţă de punctul S este:

0rrr

MMkFrM

3PS

F .

Folosind ecuaţia 0s

s

t

L0 , rezultă că momentul cinetic prL este constant în

timp, păstrând aceeaşi mărime, direcţie şi sens în tot timpul mişcării. Din produsul vectorial

prL se observă că rL şi pL , ceea ce înseamnă că vectorii r şi p sunt

perpendiculari în tot cursul mişcării pe vectorul constant L , adică r şi v , deci şi

traiectoria, se află în planul perpendicular pe L , plan care trece prin S.

Traiectoria mişcării este o curbă care se găseşte în acelaşi plan.

Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesită calcule mai

complicate care arată că traiectoria este fie o elipsă, fie o parabolă, fie o hiperbolă, după cum

viteza iniţială a corpului aflat sub acţiunea forţei F este mai mare sau mai mică.

În cazul planetelor, viteza iniţială corespunde condiţiilor de mişcare pe elipse.

În concluzie, forţa F explică prima lege a lui Kepler.

38

b)A doua lege- Legea ariilor

Să considerăm acum o porţiune din traiectorie. Aria ΔS a triunghiului haşurat este

dată de modulul vectorului: rΔr2

1SΔ

.

Împărţind cu intervale de timp Δt , în care Pământul s-a deplasat din A în B, obţinem:

Δt

rΔr2

1

Δt

SΔ

şi dacă presupunem Δt foarte mic (Δt = 0) rezultă:

L2m

1pr

2m

1vr

2

1

Δt

SΔ

rr

,

deoarece pentru rΔ foarte mic arcul AB coincide cu coarda AB (în limita Δt = 0).

LΔΔ2m

1ΔS

r

este tocmai aria suprafeţei măturate de raza vectoare în intervalul de

timp Δt . Deoarece L = const., pentru orice interval de timp Δt putem scrie:

LΔΔ2m

1ΔS

r

.

Se vede imediat din ultima relaţie că în unitatea de timp, indiferent de poziţia instantanee a

planetei pe traiectorie, raza vectoare a acestuia descrie o suprafaţă de aceeaşi mărime,

pL/2mΔS/Δt .

Prin urmare, în intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale,

am obţinut deci şi a doua lege a lui Kepler.

39

c) A treia lege- Legea pătratelor

Deoarece demonstraţia legii a treia a lui Kepler este mai dificilă din punct de vedere

matematic, vom simplifica lucrurile, presupunând că traiectoria planetei este circulară

(această situaţie corespunde sateliţilor artificiali care se mişcă pe orbite circulare).

Egalând forţa de atracţie cu forţa centripetă, obţinem:

RωMR

MMk 2

P2PS ,

unde am avut în vedere că distanţa de la planetă la Soare este egală cu raza R a cercului.

Rezultă de aici relaţiile:3

2

232

S RT

4πRωkM ,

deci:3

S

22 RkM

4πT .

Notând constanta S

2

kM

4π cu c, obţinem a treia lege a lui Kepler:

32 CRT ,

deoarece, în mişcarea circulară, distanţa de la un punct oarecare de pe circumferinţă până la centru

este egală cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsă cu semiaxele

egale între ele şi egale cu raza R a cercului.

Dacă ţinem seama de dimensiunea Soarelui şi planetelor, toată expunerea de mai sus

rămâne valabilă, prin r înţelegând însă vectorul ce uneşte centrul Soarelui cu centrul

planetei.

După cum se remarcă din relaţia Fext = F0 cos ω t, direcţia forţei de atracţie trece

întotdeauna prin centrul Soarelui.

O astfel de forţă, a cărei direcţie trece printr-un punct fix se numeşte forţă centrală.

Pe lângă atracţia Soarelui, planeta noastră este supusă şi atracţiei din partea celorlalte

planete din sistemul solar.

40

Dintre toate acestea, cea mai importantă este însă forţa de atracţie LF a Lunii, care este

totuşi de 127 de ori mai mică decât atracţia solară (mai exact 00580415127

1,

,

S

L

FF

).

Forţele de atracţie SF a Soarelui şi LF a Lunii sunt dirijate respectiv după direcţiile ce unesc

centrul Pământului cu centrul celor două corpuri cereşti, situate la distanţele D şi respectiv d .

Forţa totală care acţionează asupra Pământului este:

dd

MMkD

D

MMkFFF

3PL

3PS

LS ,

deci, în mişcarea M de revoluţie, Pământul are acceleraţia:

dd

MkD

D

Mk

M

Fa

3

L

3

S

P

.

BIBLIOGRAFIE

N. Barbulescu – „ Elemente de fizica generala”

Uliu Florea-Mecanică analitică şi electrodinamică,2011

Wikpedia