POPOV FINAL header - fiz.upt.rofiz.upt.ro/articole/126074128POPOV_ FINAL header.pdf · noastre,...

PREFAŢĂ La baza funcţionării dispozitivelor de conversie a energiei solare în energie electrică, adică a celulelor fotovoltaice, stă efectul fotovoltaic, descoperit de Bequerel încă în 1839. După edificarea mecanicii cuantice, ca teorie care descrie fenomenele ce au loc la scară micro şi nano a naturii, s-a lămurit şi natura cuantică a acestui efect, astfel că, în 1950, în laboratoarele Bell au fost fabricate primele celule fotovoltaice care conţineau o joncţiune semiconductoare de siliciu, dopate în mod diferit. În zilele noastre, utilizarea celulelor fotovoltaice pentru conversia energiei solare (sau, cum se numeşte, mai pe scurt, conversia fotovoltaică) este deja o realitate care se extinde pe o scară tot mai largă. Concomitent, s-au realizat progrese importante în găsirea unor soluţii de creştere a randamentului conversiei şi de reducere a costurilor de fabricaţie a acestor celule.

Prezenta carte a fost elaborată pentru a servi drept suport bibliografic pentru cursul Fizica conversiei fotovoltaice, din cadrul Masteratului Energii regenerabile - energia solară, organizat de Departamentul Bazele Fizice ale Ingineriei, de la Universitatea „Politehnica” din Timişoara. Acest curs presupune ca studenţii de la master să posede cunoştinţe fundamentale din câteva domenii ale Fizicii, cum ar fi: Oscilaţii şi unde, Fizica Statistică, Optica electromagnetică, Mecanica cuantică, Fizica corpului solid şi a semiconductorilor, sau de Matematică: Teoria ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale, Calculul operaţional, Analiza vectorială şi altele. Deoarece examenul de admitere la masterat are caracter deschis, în sensul că la acest examen se pot prezenta absolvenţi ai ciclului I de la orice facultate, programele de la disciplina Fizică, parcurse de aceşti studenţi în ciclul I, au fost foarte diferite (din păcate, la unele facultăţi sau specializări disciplina Fizică nu este cuprinsă deloc în planul de învăţământ). De aceea, această carte, Bazele fizice ale conversiei fotovoltaice, a trebuit să reia, pe de o parte, o serie de noţiuni considerate, pentru un fizician, ca fiind „elementare”, dar, pe de altă parte, să nu intre prea în detaliu în calculele matematice necesare obţinerii unor rezultate de utilitate practică imediată. În consecinţă, ne-am limitat strict la acele noţiuni şi fenomene necesare descrierii calitative şi cantitative a efectului fotovoltaic. Cu alte cuvinte, am căutat să găsim o cale de mijloc. În ce măsură am reuşit acest lucru vom afla de la cititorii (studenţii) noştri, care vor utiliza această carte.

Cartea de faţă a fost structurată în aşa fel încât ea debutează cu trecerea în revistă a unor fenomene care constituie bazele experimentale ale fizicii cuantice, pentru ca apoi să se treacă la formalismul propriu zis al fizicii cuantice, precum şi la aplicaţiile ecuaţiei fundamentale a acestui domeniu – ecuaţia lui Schrődinger. Ne-am limitat numai la studiul

Bazele experimentale ale fizicii cuantice 6

acelor fenomene care concură la apariţia şi explicarea efectului fotovoltaic. După un scurt capitol care vizează statisticile cuantice, sunt examinate câteva aspecte privind structura cristalină a materiei, cu proprietăţi care permit abordarea capitolului de fizica semiconductorilor, cu accent asupra diodei semiconductore. Este prezentat apoi un capitol ce conţine elemente de optică electromagnetică, necesar lămuririi fenomenelor prin care lumina acţionează asupra celulei fotovoltaice, respectiv pentru realizarea conversiei fotovoltaice.

Bibliografia indicată este doar orientativă, resursele electronice de documentare oferind largi posibilităţi de completare a acesteia.

Convinşi fiind că orice lucrare, mai ales dintre cele având caracter didactic, este pasibilă de a conţine şi greşeli, inadverenţe sau neclarităţi în exprimare sau tratare a unor subiecte, autorii sunt recunoscători anticipat tuturor cititorilor binevoitori care ne vor semnala aceste neajunsuri, cu scopul ca ele să fie înlăturate într-o eventuală nouă ediţie.

Timişoara, 20 ianuarie 2010 Autorii

Legile radiatiei termice 7

Cap. 1. Bazele experimentale ale fizicii cuantice

1.1 Radiaţia termică

Fizica cuantică sau, cum este mai popular cunoscută, mecanica cuantică este acel capitol al fizicii care se ocupă cu studiul legilor de mişcare ale microparticulelor (de exemplu, electroni, protoni, mezoni) sau al sistemelor de astfel de microparticule (de exemplu, nuclee atomice, atomi, molecule, ioni) şi a interacţiunilor care guvernează această mişcare. Mecanica cuantică este cea mai tânără ramură a fizicii, care a apărut şi s-a dezvoltat în secolul XX, însă este una dintre cele mai importante, având în vedere că ea este în mod implicit mecanica microcosmosului, adică mecanica mişcării microparticulelor care intervin în structura fundamentală a lumii materiale.

Desigur, apariţia şi dezvoltarea mecanicii cuantice a fost posibilă datorită acumulării a o serie de rezultate experimentale, a căror explicaţie logică şi coerentă depăşea cadrul teoriilor fizicii clasice. Pentru a înţelege necesitatea şi aria de interes a mecanicii cuantice, vom prezenta câteva fapte experimentale din care ea decurge. În prezenta carte ne vom referi doar la câteva şi anume la radiaţia termică, la efectul fotoelectric şi la efectul Compton, cu precizarea că necesitatea creării mecanicii cuantice ca teorie fizică de sine stătătoare a fost determinată şi de multe alte considerente. Radiaţia termică reprezintă emisia de energie în mediul ambiant, sub forma undelor electromagnetice, pe care o realizează orice corp, indiferent de temperatura T la care el se află. Această emisie se face pe seama energiei interne ( )VTUU ,= a corpului care, pentru corpurile reale, depinde atât de temperatura T , cât şi de volumul V al corpului şi are loc în mod continuu, pe tot spectrul de lungimi de undă λ , dar cu intensitate diferită pentru diferite lungimi de undă. Radiaţia termică depinde în mod esenţial de temperatura absolută T la care se află corpul. Prin urmare, exisă o distribuţie a energiei radiate W , în funcţie de lungimea de undă λ , distribuţie având temperatura drept parametru: );( TWW λ= . Deoarece toate corpurile emit energie electromagnetică sub formă de radiaţie termică, se ajunge la un moment dat ca două sau mai multe corpuri să aibe aceeaşi temperatură, adică să fie la echilibrul termodinamic. În această situaţie, fluxul de energie (energia raportată la unitatea de timp) emisă de corp sub formă de radiaţie termică este egal cu fluxul de energie absorbită de acesta, adică:

),(),( TT absemis λλ Φ=Φ . În general, orice corp poate emite energie şi poate absorbi energie, raportul dintre capacitatea sa de emisie şi capacitatea de absorbţie este acelaşi pentru toate corpurile, fiind o constantă universală );( Tf λ care depinde de lungimea de undă şi de temperatura absolută a corpului. Acesta este conţinutul principial al legii lui Kirchhoff. Pentru o studiere mai uşoară a radiaţiei termice s-a imaginat un model de corp ideal, numit corpul absolut negru..Acesta este un corp ideal, care absoarbe toate


radiaţiile ce cad asupra sa, indiferent de lungimea lor de undă, iar constanta universală din legea lui Kirchhoff este chiar capacitatea de emisie a corpului absolut negru. În studiul radiaţiei termice (deci şi a radiaţiei corpului absolut negru) se utilizează o serie de mărimi definite fie pentru întreg spectrul de lungimi de undă (mărimi globale sau mărimi integrale), fie pentru o porţiune a spectrului determinată de intervalele de lungimi de undă (λ, λ+dλ), mărimi numite mărimi spectrale. Cele mai uzuale astfel de mărimi sunt: Fluxul energetic radiant integral sau puterea radiantă Φ – reprezintă energia totală W emisă (radiată) de un corp în unitatea de timp, adică viteza (rata) de trasmisie în timp a energiei radiate:

dt

dW=Φ , cu unitatea: [ ] W1

s

J1 ==Φ SI . (1.1)

Prin urmare, fluxul energetic are semnificaţia unei puteri. Fluxul energetic spectral reprezintă energia emisă sau absorbită de un corp în unitatea de timp, dar numai în intervalul de lungimi de undă (λ, λ+dλ):

λλ d

dΦ=Φ , de unde ∫∞

Φ=Φ0

λλ d , cu unitatea [ ] mW

1ms

J1 =

⋅=Φ SIλ . (1.2)

Prin urmare, fluxul spectral, ca de altfel şi celelalte mărimi spectrale, sunt mărimi locale, care depind de un interval infinitezimal de lungimi de undă, situat în apropierea unei lungimi de undă date λ . În plus, această mărime arată faptul că energia radiată (radiaţia termică) este distribuită în funcţie de lungimea de undă. Intensitatea energetică a unei surse punctiforme reprezintă fluxul de radiaţie emis în unitatea de unghi solid:

ΩΦ=

d

dI , cu unitatea: [ ]

srW

1=SII . (1.3)

Unghiul solid este elementul geometric sub care se vede, dintr-un punct O, o anumită suprafaţă de arie S şi care are normala exterioară de versor n

r. În Sistemul

Internaţional de unităţi de măsură (SI) unghiul solid se măsoară în steradiani (sr), aceasta fiind considerată o unitate fundamentală. Elementul de unghi solid (sau unghiul solid elementar sau infinitezimal) este:

θcos23 rdS

r

Sdrd =⋅=Ω

rr

, (1.4)

unde θ este unghiul făcut de vectorul de poziţie rr

al punctului de observaţie cu versorul normalei exterioare n

r a unei suprafeţe elementare dS din jurul acestui punct (Fig. 1.1).


Fig. 1.1 Elementul de unghi solid.

Radianţa sau emitanţa energetică reprezintă fluxul energetic radiat (emis), în

toate direcţiile, de o suprafaţă oarecare S , raportat la unitatea de suprafaţă:

dS

dR

Φ= , cu unitatea: [ ] 2mW

1=SIR . (1.5)

Radianţa spectrală reprezintă fluxul energetic emis, în toate direcţiile, de o suprafaţă oarecare S, raportat la unitatea de suprafaţă, dar numai în intervalul infinitezimal de lungimi de undă (λ, λ+dλ):

λλ d

dRR = , de unde: ∫

∞

=0

λλ dRR . (1.6)

Densitatea de energie radiată reprezintă energia electromagnetică medie radiată de un corp, în toate direcţiile, raportată la unitatea de volum:

dV

dWw = , cu unitatea: [ ] 3m

J1=SIw . (1.7)

În teoria câmpului electromagnetic se demonstrează uşor că energia electromagnetică medie se poate exprima în funcţie de valorile medii ale intensităţii

câmpului electric Er

şi a intensităţii câmpului magnetic Hr

:

( )>


Observaţie: Toate mărimile spectroscopice pot fi definite nu numai în funcţie de lungimea de undă λ , ci şi în funcţie de frecvenţă ν sau pulsaţie ω, ţinând cont de relaţiile dintre aceste mărimi fizice:

ωπ

νλ cc 2== , ω

ωπν

νλ dcdcd 22 2−=−= , (1.10)

unde c = 3 · 108 m/s este viteza luminii în vid. De exemplu, o mărime integrală oarecare F poate fi scrisă în funcţie de mărimile spectrale λF , respectiv νF , ţinând cont de relaţiile:

∫∫∫∞

∞

∞

−===0

0

0

ννλ ννλ dFdFdFF .

Cum, însă, mărimea integrală este acceaşi, dar exprimată în funcţie de două variabile, rezultă că integranzii trebuie să fie egali, de unde rezultă:

νλ νλ dFdF −= . Prin urmare, dacă cunoaştem, de exemplu, mărimea spectrală λF , atunci

mărimea spectrală νF se obţine uşor:

νλλλν νν

λcF

c

d

dFF

==−=

2 ,

în ultima egalitate, în final, se înlocuieşte variabila λ cu νc

, astfel ca întreaga expresie

să depindă doar de variabila ν .

1.2 Legile radiaţiei termice

Studiul experimental al corpurilor (deci, implicit şi a modelului de corp absolut negru) a condus la formularea mai multor legi cu caracter empiric (legi care se bazează exclusiv pe observaţii experimentale), legi cu caracter semiempiric (legi care îmbină concluziile unor observaţii experimentale cu anumite consideraţii teoretice), sau legi cu caracter pur teoretic. Aceste legi vizau, pe de o parte, stabilirea naturii şi a mecanismului intim de generare a radiaţiei termice, iar pe de altă parte, deducerea expresiei dependenţei densităţii spectrale de energie de lungimea de undă şi de temperatură, expresie de interes practic fundamental. Dintre toate aceste legi, aici vom aminti numai pe cele mai semnificative. Legea lui Stefan – Boltzmann precizează că radianţa integrală R a corpului absolut negru depinde de puterea a patra a temperaturii sale absolute T , adică:

4TR σ= , σ = 5,6687 · 10-8 W · m-2 · K-4 , (1.11) unde constanta σ se numeşte constanta lui Stefan-Boltzmann şi are valoarea indicată mai sus.


Se poate demonstra, după un calcul simplu care utilizează noţiuni de termodinamică, faptul că între radianţa integrală R şi densitatea integrală de energie radiată w există relaţia:

wc

R4

= . (1.12)

În consecinţă, o altă variantă a legii lui Stefan – Boltzmann se poate scrie sub forma:

444

aTTc

w == σ , a = 7,56 · 10-16 J · m-3 · K-4 , (1.13)

unde a este o nouă constantă universală, constanta Stefan-Boltzmann, cu valoarea de mai sus. Această formă a legii lui Stefan – Boltzmann este valabilă pentru modelul corpului absolut negru (care, aşa cum am văzut, este un model ideal). Pentru corpurile reale, legea lui Stefan – Boltzmann se scrie sub forma:

444 aTTc

w κσκ == , (1.14)

unde coeficientul real 10


Gazul fotonic poate fi considerat un gaz ideal (fotonii nu interacţionează unii cu alţii), densitatea de energie depinde doar de temperatura absolută T , adică

)(Tww = (şi nu depinde de volumul V al recipientului). În consecinţă, principiul întâi al termodinamicii se poate scrie:

dVwdUdVpdULdUQ31+=+=+= δδ . (1.20)

Ţinând cont că energia internă a gazului fotonic este VwU = , prin diferenţiere avem:

dVwdwVdU += , (1.21) astfel încât:

dVwdwVQ34+=δ . (1.22)

Entropia gazului fotonic este, aşadar:

dVT

wdw

T

V

T

QdS

34+== δ , (1.23)

relaţie care, ţinând cont că )(Tww = , deci dTdT

dwdw = , conduce în final la:

dVT

wdT

dT

dw

T

VdS

34+= . (1.24)

După cum se cunoaşte, entropia depinde de variabilele T şi V , deci ),( VTSS = . Ea este o funcţie de stare, deci o diferenţială totală exactă, prin urmare

derivatele sale pariale mixte sunt egale:

dVV

SdT

T

SdS

constTconstV ==

∂∂+

∂∂= ,

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

V

S

TT

S

V . (1.25)

Prin identificare, ultima relaţie este:

∂∂=

∂∂

T

w

TdT

dw

T

V

V 34

, (1.26)

astfel că, avem:

dT

dw

TT

w

dT

dw

T

134

341

2 +−= , TdT

w

dw4= . (1.27)

Prin integrare, obţinem succesiv:

TT

ww Tw 11 ln4ln = ,

444

1

1 TaTT

ww ≡= , (1.28)

adică se obţine chiar forma căutată a legii lui Stefan-Boltzmann. Această lege a fost verificată experimental, dovedindu-se foarte corectă, în sensul unei concordanţe foarte bune cu datele experimentale. Legea lui Wien stabileşte pe cale semiempirică faptul că densitatea spectrală de energie λw este o funcţie care depinde numai de produsul dintre lungimea de undă


λ şi de temperatura absolută T , adică de Tλ , împărţită la puterea a cincea a lungimii de undă:

( )TFw λλλ 51= . (1.29)

Din acestă lege rezultă imediat legea lui Stefan – Boltzmann, dacă integrăm pe tot spectrul de lungimi de undă:

( )

( ) ( ) 440

50

1aTTTdTF

Tdww ≡

== ∫∫

∞∞

λλλ

λλ , (1.30)

unde, paranteza mare fiind o integrală definită, deci având o valoare constantă, am notat-o cu a şi ea este tocmai constanta lui Stefan – Boltzmann. Importanţa legii lui Stefan – Boltzmann este relevată şi în situaţia când se calculează maximul densităţii spectrale de energie. Prin urmare, să egalăm cu zero derivata densităţii spectrale de energie în raport cu lungimea de undă:

Fig. 1.2 Distribuţia densităţii spectrale a energiei în funcţie de lungimea de undă.

( ) ( ) ( ) 01

51

66=≡

−= TGTFTd

dFT

d

dw λλ

λλ

λλλ

λ . (1.31)

Teoretic, funcţia din paranteza mare este o funcţia care depinde de variabila produs Tλ , de aceea o notăm cu G(λT). Ea are cel puţin o soluţie reală, care este deci o constantă şi pe care o putem nota cu b :

bT =maxλ , b = 2,89782 · 10-3 m ·K . (1.32) Valoarea constantei b se determină experimental, prin metode specifice şi ea

are valoarea indicată mai sus. Raţionamentul de mai sus constituie tocmai deducerea teoretică a legii de deplasare a lui Wien: produsul dintre lungimea de undă corespunzătoare maximului densităţii spectrale de radiaţie şi temperatura absolută a corpului radiant este o constantă (Fig. 1.2). Se observă că, dacă temperatura absolută a unui corp radiant creşte, atunci lungimea de undă corespunzătoare maximului de radiaţie termică scade, adică maximul se va deplasa înspre lungimi de undă mai mici (înspre ultraviolet).


Legea de deplasare a lui Wien are o excepţională importanţă practică, de exemplu pentru determinarea temperaturii unor surse de căldură greu accesibile sau care nu permit utilizarea altor metode (termocuple etc.). Vom exemplifica doar pe cea legată de determinarea temperaturii Soarelui. Determinându-se dependenţa de lungimea de undă a intensităţii radiaţiei solare, din spectrul solar se determină valoarea lui maxλ . Cunoscând constanta universală a legii de deplasare a lui Wien, determinarea temperaturii suprafeţei Soarelui este doar un calcul simplu.

Fig. 1.3 Ilustrarea legii de deplasare a lui Wien.

Un calcul simplu ne conduce la concluzia că temperatura cromosferei solare este de aproximativ 6000 K. Legea lui Planck a fost obţinută pornind de la ipoteza conform căreia corpul absolut negru este format din oscilatori elementari (care pot fi atomi, molecule, ioni) şi care emit în mod spontan energie sub formă de radiaţie termică de echilibru. Emisia de energie are loc pe seama energiei interne a corpului. Distribuţia după energii a numărului de oscilatori se consideră că este o distribuţie de tip Maxwell-Boltzmann. Ipoteza lui Planck, îndrăzneaţă la vremea respectivă, constă în afirmaţia că emisia de energie se face în mod spontan, dar că ea nu are loc în mod continuu, ci discontinuu sau discret, sub formă de porţii minime (sau porţii elementare) de energie, care au primit numele de cuante de energie. De aceea, ipoteza lui Planck mai este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza cuantelor de energie.

Cantitativ, o cuantă (sau o porţie) elementară de energie este direct proporţională cu frecvenţa ν a oscilatorului (sau invers proporţională cu lungimea de undă λ a acestuia) :


λ

νε chh == , unde : sJ10642,6 26 ⋅⋅= −h

(1.33) Aici h este o constantă, care ulterior a primit denumirea de constanta lui

Planck, cu valoarea indicată mai sus. Deoarece energia unui oscilator se emite sub formă de cuante (porţii elementare), ea nu poate avea orice valoare, ci doar valori care reprezintă multipli întregi ai cuantei elementare:

ων hnnhEn == , (1.34) cu n = 0, 1, 2, ..., unde ћ = h ⁄ 2π se numeşte constanta redusă a lui Planck, iar ω este pulsaţia oscilatorului. Din acest motiv, deoarece energia oscilatorului variază în mod discontinuu, energia medie a unui oscilator nu se va calcula cu ajutorul unei integrale, ci cu ajutorul unei sume:

−=== ∑∑

∑

∑

∑ ∞=

−∞

=

−

∞

=

−

∞

=

∞

=

0

0

0

0

0 lnn

nx

n

nx

n

nx

nn

nnn

edx

dh

e

neh

EE νν

ρ

ρ , (1.35)

unde am notat x = βhν. Suma infinită este tocmai o progresie geometrică, calculabilă uşor, astfel că energia medie a unui oscilator va fi:

1

1

1 −=

−=

Tk

ch

kT

h

e

hc

e

hE

λν λν

. (1.36)

În relaţia de mai sus am indicat totodată şi expresia în funcţie de variabila lungime de undă, iar k este constanta lui Boltzmann, cu valoarea

KJ

k 231038054,1 −⋅= . Pentru a afla densitatea de energie corespunzătoare

intervalului de lungimi de undă cu limitele (λ, λ+dλ), vom înmulţi energia medie a unui oscilator cu numărul de oscilatori care au lungimea de undă situată în acest interval. După un calcul simplu, dar relativ lung, se poate demonstra că acest număr este invers proporţional cu puterea a patra a lungimii de undă:

4

8

λπ

λ =N . (1.37)

Astfel, expresia densităţii spectrale de energie radiată, expresie cunoscută şi sub numele de legea de distribuţie a lui Planck , are forma:

1

815

−=

e Tkhc

hcw

λλ

πλ

. (1.38)

Această expresie, dedusă din considerente pur teoretice, are tocmai forma cerută de legea lui Wien. Se observă factorul din faţă care indică dependenţa invers proporţională cu puterea a cincea a lungimii de undă, iar funcţia depinde de produsul


Tλ . Din această expresie va putea fi obţinută, prin integrare peste tot spectrul de lungimi de undă, valoarea exactă a constantei a din legea lui Stefan – Boltzmann, respectiv prin anularea derivatei în raport cu lungimea de undă, valoarea exactă a


constantei b din legea de deplasare a lui Wien. În plus, concordanţa foarte bună dintre datele experimentale şi rezultatele teoretice privind dependenţa densităţii spectrale de energie de lungimea de undă, justifică pe deplin ipoteza cuantelor de energie a lui Planck.

Prin urmare, ipoteză cuantelor de energie permite explicarea completă a fenomenelor legate de radiaţia termică de echilibru.

1.3 Efectul fotoelectric şi efectul Compton

Efectul fotoelectric reprezintă emisia de electroni de către un metal iradiat cu radiaţii monocromatice din domeniul ultraviolet (sau din domeniul vizibil, pentru metalele alcaline). Dispozitivul experimental este format dintr-un tub vidat, între catod şi anod aplicându-se o tensiune anodică U . Asupra catodului se trimite un fascicul de radiaţii monocromatice şi, în consecinţă, electronii (numiţi, în acest caz, fotoelectroni) sunt scoşi din metalul catodului. Aceştia sunt supuşi acţiunii câmpului electric dintre anod şi catod şi, sub acţiunea acestui câmp, sunt acceleraţi către anod, dând naştere unui curent anodic.

Fig.1.4 Schema de principiu a instalaiei experimentale pentru evidenierea efectului fotoelectric.

Experimental se deduc următoarele legi: Legea I: Intensitatea de saturaţie a curentului fotoelectric (deci a curentului ce

corespunde situaţiei când toţi fotoelectronii emişi ajung la anod, fără a se crea o sarcină spaţială în jurul catodului) este proporţională cu fluxul radiaţiei monocromatice: IS ~ Φ.

Legea a II-a: Energia cinetică a fotoelectronilor extraşi este direct proporţională cu frecvenţa radiaţiei monocromatice: Ec ~ ν şi nu depinde de fluxul radiaţiei incidente, deci: Ec ≠ f(Φ).

Legea a III-a: Efectul fotoelectric apare doar peste o anumită frecvenţă de prag νp, frecvenţă care este specifică fiecărui metal: ν ≥ νp .

Legea a IV-a: Efectul fotoelectric se produce într-un timp foarte scurt, încât se poate considera că se produce practic instantaneu.

Efectul fotoelectric si efectul Compton 17

În anul 1905, Albert Einstein dă o explicaţie teoretică corectă acestor patru legi experimentale. El extinde şi asupra radiaţiei ipoteza cuantelor a lui Planck şi admite că nu numai emisia de radiaţie este discontinuă, ci şi radiaţia însăşi, fiind formată din particule numite fotoni.

Astfel, consideră că energia fotonului este dată de expresia lui Planck:

Ef = h ν = ћ ω , (1.39) iar fotonul este o particulă care se mişcă cu o viteză egală cu viteza luminii în vid c. Deci, având viteza v = c, fotonul nu se poate găsi în stare de repaus ci doar în mişcare, prin urmare masa sa de repaus este egală cu zero:

2

2

1c

v

mm off

−

= , de unde rezultă că: mof = 0 . (1.40)

Impulsul fotonului, conform teoriei relativităţii, este:

λ

ν hc

hc

c

Ecmp fff ==⋅== 2 . (1.41)

Einstein a explicat efectul fotoelectric astfel: fotonii radiaţiei incidente pătrund în metal şi se ciocnesc cu electronii liberi ai atomilor metalului, fiind absorbiţi de aceştia. Energia absorbită de electroni serveşte în primul rând la scoaterea electronului din metal, efectuându-se un lucru mecanic de extracţie Lex , iar restul de energie este transformat în energie cinetică a fotoelectronului extras.

Prin urmare, legea de conservare a energiei în cazul efectului fotoelectric se poate scrie astfel:

2

20vmLh ex +=ν . (1.42)

Aici apare masa de repaus m0 a fotoelectronului, ceea ce înseamnă că efectul fotoelectric este un efect nerelativist, adică viteza v a fotoelectronului extras este cu mult mai mică decît viteza luminii în vid, adică este o viteză nerelativistă.

Cu legea de conservare scrisă de Einstein se pot explica foarte uşor legile experimentale ale efectului fotoelectric.

Legea I : Deoarece fiecare foton al radiaţiei incidente scoate numai un singur electron din metal, la saturaţie numărul acestora fiind Ns, putem scrie:

( ) edt

dNeN

dt

d

dt

dQI ss

ss === . (1.43)

Pe de altă parte, fluxul radiaţiei incidente se poate scrie şi astfel:

( ) νν hdt

dNhN

dt

d

dt

dW ss

ss ===Φ . (1.44)

Radiaţia incidentă fiind monocromatică, frecvenţa ei este constantă şi bine determinată, astfel că se obţine tocmai dependenţa căutată:

ss h

eI Φ=

ν , de unde: Is ~ Φs . (1.45)


Legea a II-a se obţine uşor, căci ea reprezintă, de fapt, legea conservării energiei:

exc Lhmv

E −== ν2

2

, de unde: Ec ~ ν . (1.46)

Deci energia cinetică a fotoelectronului depinde liniar de frecvenţă. Legea a III-a se obţine ţinând cont că energia minimă a fotoelectronului

trebuie să asigure doar extragerea acestuia din metal. Punând condiţia ca energia cinetică a fotoelectronului scos să fie nulă, din legea conservării rezultă valoarea frecvenţei de prag:

Ec = 0, hνp = Lex , de unde: h

Lexp =ν . (1.47)

Înlocuind această valoare în legea conservării energiei, obţinem condiţia căutată:

02

2

≥=− mvhh pνν , (1.48)

ceea ce arată că efectul fotoelectric are loc doar pentru o frecvenţă mai mare decât frecvenţa de prag, caracteristică fiecărui metal, căci ea depinde de lucrul mecanic de extracţie exL , dependent, la rândul său, de structura internă a fiecărui metal:

h

Lexp =≥νν . (1.49)

Legea a IV-a se explică prin faptul că procesul de absorbţie a energiei fotonului de către electronul metalului durează extrem de puţin (câteva nanosecunde), ceea ce, la nivel macroscopic, dă impresia de instantaneitate a producerii efectului fotoelectric. Vom vedea mai târziu, când vom studia aplicaţiile ecuaţiei lui Schrödinger, că efectul fotoelectric se explică foarte simplu dacă se consideră că electronul se găseşte într-o groapă de potenţial de adâncime pex hL ν= . Prin urmare, pentru a aduce electronul la baza gropii de potenţial trebuie să i se transfere o energie minimă egală cu adâncimea gropii de potenţial. Dacă se aplică un câmp electric exterior cu polarizare inversă (borna + la catod şi borna - la anod), electronii (fotoelectronii) ajung mai greu la anod, deci valoarea intensităţii fotocurentului scade, ajungând la un moment dat să se anuleze. Tensiunea de blocare bU este acea valoare a tensiunii pentru care intensitatea curentului fotoelectric devine zero, deci electronii sunt ”blocaţi” la catod, ei nu mai ajung la anod. Aceasta înseamnă că energia trasmisă electronului de către sursa electrică exterioară este exact valoarea pe care o are energia cinetică a electronului :

beUmv =

2

2

, (1.50)

deci legea de conservare a energiei în cazul efectului fotoelectric se scrie :

bex eULh +=ν . (1.51)

Efectul fotoelectric si efectul Compton 19

Dacă iluminăm catodul cu două radiaţii monocromatice de frecvenţe diferite

1ν şi 2ν , vom obţine două valori pentru tensiunea de blocare 1bU şi 2bU , astfel că din cele două ecuaţii de forma de mai sus:

21 21 bbexeUheUhL −=−= νν , (1.52)

conduc la o expresie pentru calculul constantei lui Planck :

12

12

νν −−

= bbUU

eh . (1.53)

Evident că, cu această ocazie se poate obţine şi valoarea lucrului de extracţie

exL , care este o mărime caracteristică fiecărul metal din care este confecţionat catodul tubului electronic (diodei) cu ajutorul căruia se realizează experienţa legată de efectul fotoelectric. Efectul Compton reprezintă, de fapt, difuzia sau ciocnirea unui foton din domeniul razelor X cu o ţintă “fixă” (un electron “liber” sau o altă particulă), proces în care o parte din energia fotonului incident este transferată ţintei. Experimental, efectul Compton se realizează cu o instalaţie specială. De la un tub Rőentgen se trimite un fascicul de raze X spre un sistem de fante (cu rol de colimare), pentru a se obţine un paralelism cât mai bun al razelor X (Fig. 1.5). După colimare, fascicolul de raze X cade pe un cristal de grafit şi suferă o deviaţie de unghi θ faţă de direcţia iniţială. Fascicolul deviat (difuzat) este captat de un detector care înregistrează un curent a cărui intensitate este proporţională cu intensitatea fascicolului difuzat. Din diagrama impulsurilor (Fig. 1.5) în cazul efectului Compton se poate scrie legea conservării impulsului sub forma:

vmpp ffrrr +=0 , (1.54)

relaţie vectorială care se poate proiecta pe două axe de coordonate convenabil alese. Drept origine să considerăm punctul iniţial unde se găseşte particula ţintă, axa Ox să fie pe direcţia fascicolului incident, iar axa Oy pe o direcţie perpendiculară, înspre fotonul difuzat. Prin proiectare pe cele două axe, obţinem relaţiile:

Ox: ϕθνν coscos0 mvc

h

c

h+= , (1.55)

Oy: ϕθν sinsin0 mvc

h −= . (1.56)


Fig. 1.5 Efectul Compton şi diagrama impulsurilor.

În cazul efectului Compton, legea conservării energiei se scrie ţinând cont de

faptul că fotonii corespunzători razelor X sunt particule relativiste de energii mari. Prin urmare, efectul Compton este un efect relativist, masa fiind dependentă de viteză:

2

2

202

00

1c

v

cmhcmh

−

+=+ νν , (1.57)

unde am ţinut cont că ţintă posedă energie de repaus ( )20cm , iar masa electronului de recul depinde de viteză după relaţia bine cunoscută. Să eliminăm unghiul de recul φ dintre direcţia fotonului incident şi direcţia electronului de recul. Din ultimele 3 relaţii, ridicându-le la pătrat, adunând primele două şi eliminând, în final, pătratul vitezei, se obţine legea deplasării Compton:

( )2

sin2cos1 20θθλλ CC Λ=−Λ=− , (1.58)

unde mărimea nou apărută:

cm

hC

0

=Λ (1.59)

se numeşte lungimea de undă Compton. Din legea deplasării Compton se observă că lungimea de undă λ a fotonului difuzat depinde în mod esenţial de unghiul θ de difuzie, iar deplasarea Compton este întotdeauna pozitivă: ∆λ =λ – λ0 > 0, adică fotonul difuzat are lungimea de undă mai mare, având lungimea de undă deplasată către zona infraroşie a spectrului. De asemenea, deplasarea Compton nu depinde de lungimea de undă a fotonului incident. Utilizând cele două relaţii care reprezintă proiecţiile pe axe ale legii conservării impulsului, după calcule elementare putem găsi şi direcţia în care se va deplasa electronul de recul (bineînţeles exprimată printr-o funcţie trigonometrică) :

2tan1

1tan

0

θλ

ϕ

Λ+=

C

. (1.60)

Emisia si absorbtia radiatiei 21

De asemnea, se poate calcula uşor şi energia cinetică a electronului de recul (reamintim că mişcarea acestuia este relativistă) :

2sin2

2sin2

)()(2

0

2

002

0 θλ

θ

νννC

C

c hhcmmEΛ+

Λ=−=−= . (1.61)

În felul acesta s-au putut determina toate caracteristicile cinetice ale particulelor care participă la efectul Compton, rezultate teoretice care coincid foarte bine cu datele experimentale. În concluzie, efectele fotoelectric şi Compton confirmă faptul că radiaţia, pe lângă o natură ondulatorie, adică electromagnetică, are şi o natură corpusculară, fiind formată din particule numite fotoni, care posedă energie şi impuls, care sunt caracteristici ale oricărui corp.

1.4 Emisia şi absorbţia radiaţiei

Am văzut anterior că, fiecare corp, aflat la o temperatură absolută T emite în mediul ambiant energie sub formă de radiaţii electromagnetice, emisie care a primit denumirea de radiaţie termică, deoarece ea depinde în mod esenţial de temperatură absolută T a corpului. Această emisie are caracter spontan, se face în mod continuu şi este legată de structura internă a corpurilor. Simultan cu fenomenul de emisie a radiaţiei, are loc şi fenomenul invers, absorbţia radiaţiei. Acesta are, de asemenea, un caracter spontan şi se realizează în mod continuu. Prin urmare, fenomenele de emisie şi de absorbţie se realizează simultan şi independent, fără a se perturba unul pe celălalt. După cum se cunoaşte, corpurile sunt formate din molecule, iar acestea din atomi. Atomul are un nucleu, format din protoni (particule cu sarcină electrică pozitivă) şi neutroni (particule neutre, fără sarcină electrică), în jurul căruia se mişcă un nor electronic (particule cu sarcină electrică negativă). Conform teoriei elementare a structurii atomului, elaborată de Niels Bohr, electronii nu se pot mişca oriunde, ci numai pe nişte traiectorii bine precizate, în general sub formă de elipsă, care rezultă din condiţia de cuantificare a momentului cinetic :

∫ = hndrp , (1.62) unde h este, deocamdată, o constantă (constanta lui Planck). Pe de altă parte, conform teoriei lui Planck, energia fiind cuantificată, pe fiecare traiectorie a electronului aceasta are o valoare bine determinată, aceste valori primind denumirea de nivele energetice :

Kh ,3,2,1, === nnhnEn ων (1.63) Şirul de valori KK ,,,, 21 nEEE ale energiei se numeşte spectru energetic şi el este caracteristic fiecărui tip de atom.


Prin urmare, dacă un electron absoarbe energie din exterior, el va executa o tranziţie de pe un nivel inferior (nivel fundamental, cu n mai mic) pe un nivel superior (nivel excitat, cu număr cuantic m mai mare). Frecvenţa acestei tranziţii va fi :

( )( ) m

hnm

EEmn

nmnm ,

abs→≡−

−= νν > n . (1.64)

De regulă, tranziţiile au loc între nivelele apropiate, astfel încât 1=− nm . Conform principiului energiei minime (starea de echilibru stabil corespunde stării de energie minimă, deci orice sistem evoluează în mod natural către starea de echilibru), electronul nu se menţine decât un timp finit (numit « timp de viaţă ») în acestă stare excitată şi va reveni în starea fundamentală, cedând înapoi mediului energia absorbită. Astfel are loc o emisie de energie.

( )( ) n

hmn

EEnm

mnmn ,

emis→≡−

−= νν < m. (1.65)

O substanţă este formată dintr-un număr foarte mare de atomi, de ordinul de

mărime al numărului lui Avogadro -126 kmol1002252,6 ⋅=AN , astfel încât există o probabilitate foarte mare ca un număr semnificativ de atomi să cedeze simultan energie, sub formă de radiaţie. Dacă frecvenţa tranziţiilor se găseşte în domeniul vizibil al spectrului de lungimi de undă, adică având lungimea de undă situată în intervalul

nm780390 − , corespunzător culorilor de la violet la roşu (dacă nm390λ vorbim despre spectrul infraroşu), atunci toate aceste radiaţii apar sub forma unor linii spectrale, de culori diferite, corespunzătoare diferitelor tranziţii din atom. Aceste linii spectrale sunt caracteristice fiecărui atom, deoarece atomii se deosebesc prin spectrul lor energetic. Din analiza acestor linii spectrale (sau, pe scurt, a spectrului de linii) se poate determina despre ce element chimic este vorba. Acest procedeu se numeşte analiza spectrală. Cum majoritatea substanţelor nu sunt formate din elemente chimice pure, ci sunt nişte amestecuri de elemente cu concentraţii diferite, analiza spectrală permite determinarea acestor elemente. Mai mult, din determinarea intensităţii acestor linii spectrale, se poate determina şi concentraţia diferitelor elemente componente. În afara acestor tranziţii spontane, care determină absorbţia, respectiv emisia radiaţiei de către substanţă, există şi emisii induse, în care substanţa este adusă în situaţia de a emite în mod forţat radiaţie. Pentru a se realiza acest fenomen, trebuie, mai întâi, să se realizeze o « inversiune de populaţie », adică, prin metode specifice, să se determine ca un număr de atomi să fie adus în stare excitată, deci un număr de electroni să fie « urcat » pe un nivel energetic superior. Acest fenomen poartă numeşe de pompaj optic. Cum acest nivel este metastabil (adică timpul de viaţă cât electronii se găsesc pe acest nivel superior este foarte scurt), electronii revin de la sine, prin tranziţie spontană, pe nivelul fundamental şi, corespunzător, eliberează surplusul de energie sub formă de radiaţie. Acesta este principiul de funcţionare al dispozitivelor LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

Functia de unda 23

Cap. 2. Formalismul fizicii cuantice

2.1 Funcţia de undă

Din studiul efectelor fotoelectric şi Compton s-a putut vedea că radiaţia electromagnetică pe care o emite orice corp are o natură dublă sau duală: ondulatorie şi corpusculară. În aceste două efecte radiaţia se comporta ca şi cum ar fi formată din nişte corpusculi care posedă masă m , energie E şi impuls p

r, întocmai ca nişte

particule. De aceea s-au şi putut scrie legile de conservare ale impulsului şi ale energiei, întocmai ca şi cum ar fi fost vorba de nişte corpuri. Pe de altă parte, radiaţia (şi nu numai cea din domeniul vizibil) produce o serie de fenomene cum ar fi interferenţa şi difracţia, fenomene caracteristice numai undelor. Aceste două aspecte nu sunt contradictorii şi nu se exclud, ci sunt complementare, adică se completează reciproc. Ele nu se manifestă în mod aleatoriu, deci la întâmplare, ci doar se evidenţiază mai puternic într-un anume fenomen fizic concret. În unele fenomene (de exemplu, interferenţa şi difracţia) se manifestă mai pregnant caracterul ondulatoriu al radiaţiei electromagnetice, iar în alte fenomene (de exemplu, efectele fotoelelectric şi Compton), iese în evidenţă caracterul corpuscular, adică faptul că radiaţia este formată din fotoni, particule cu masa de repaus zero. Aceste consideraţii sunt cunoscute sub denumirea de dualismul undă-corpuscul şi, din punct de vedere istoric, au apărut pentru prima dată în legătură cu fotonul, deci cu o particulă cu masa de repaus zero, prin teoria lui Einstein legată de explicaţia efectului fotoelectric. Să reamintim că, conform teoriei relativităţii elaborate de Einstein, masa nu este o mărime constantă, ci ea depinde de viteza de mişcare v a corpului sau a particulei. Dependența masei de viteză este exprimată printr-o formulă foarte cunoscută :

2

2

0

1c

v

mm

−= , (2.1)

unde 0m reprezintă masa de repaus a particulei (adică masa măsurată în raport cu un sistem de referinţă legat de particulă, numit sistem de referinţă propriu), m este masa de mişcare, adică masa măsurată în raport cu un sistem de referinţă inerţial aflat în repaus, v este viteza particulei măsurată în raport cu un sistem de referinţă inerţial

aflat în repaus, iar c este viteza luminii în vid sm

103 8⋅=c . În consecinţă, expresia

impulsului relativist este :

2

2

0

1

,

c

v

vmvmpvmp

−=== rr , (2.2)

iar energia relativistă are expresia :

Formalismul fizicii cuantice 24

2220

2

2

202

1

pcmc

c

v

cmcmE +=

−== . (2.3)

Primul membru al aceastei expresii este cunoscut în literatura de specialitate (şi nu numai, ci şi în literatura de popularizare a ştiinţei !!) drept formula lui Einstein sau relaţia care face legătura dintre masă şi viteză. Dacă ne situăm în domeniul fizicii nerelativiste, când viteza v a particulei este mult mai mică decât viteza luminii în vid, adică v

Functia de unda 25

viteza de fază), se constată o contradicţie fundamentală cu teoria relativităţii. Faza undei este:

( ) ( ) .const1, =−= rpEttr rrh

rα , deci: ( ) ( ) 01, =−= rdpEdttrd rrh

rα . (2.8)

De aici se poate calcula viteza de fază a undei monocromatice de Broglie, definită în mod obişnuit, ca derivata spațiului (parcurs de undă) în raport cu timpul, ţinând cont de relaţia precedentă:

dt

rdv f

rr = ;

v

c

mv

mc

p

E

dt

drv f

22

==== > c . (2.9)

Acest rezultat contravine teoriei relativităţii: nici un corp (şi, deci, nici unda asociată lui) nu se poate mişca cu o viteză mai mare decât viteza luminii în vid. ţinând cont de relaţia de variaţie a masei cu viteza, dacă viteza unui corp ar fi superioară vitezei luminii în vid, ar rezulta că corpul ar trebui să aibe masă imaginară, fapt lipsit de sens fizic. Prin urmare, nici unda de Broglie monocromatică plană (care ar trebui să se mişte împreună cu corpul) nu poate transporta o particulă sau vreo formă de energie, deoarece ar trebui să se mişte cu o viteză mai mare decât viteza luminii în vid, ceea ce este interzis din punct de vedere al teoriei relativităţii (o teorie verificată prin multe experienţe). Prin urmare, modelul undei monocromatice plane asociate particulei nu este adecvat şi trebuia căutată o nouă interpretare a ipotezei lui de Broglie, care astfel a devenit contradictorie. Pentru rezolvarea aceastei contradicţii s-a asociat unei microparticule nu o undă monocromatică plană de Broglie, ci o mulţime infinită de unde monocromatice

plane, foarte puţin diferite una de alta prin valoarea modulului vectorului de undă kr

, mulţime infinită numită grup de unde sau pachet de unde, iar funcţia de undă asociată respectivă are forma:

( ) ( ) ( )[ ] kdekAtrk

k

kk

rktkrrr

rr

rr

rrr

∫

∆+

∆−

−−=Ψ2

2

i

0

0

, ω . (2.10)

Practic, grupul de unde se întinde în mod semnificativ numai în intervalul de valori ale modulului lui k situat între valorile indicate de limitele de integrare, iar

amplitudinea )(kAr

are valori semnificative doar într-un interval infinit mic în jurul

valorii k0, astfel că se poate lua )()( 0kAkArr

≈ . Acest artificiu permite dezvoltarea

pulsaţiei )(kr

ω , care depinde de vectorul de undă, în serie de puteri ale lui kr

, în jurul

valorii 0kr

şi întreruperea seriei la termenul care conţine puterea de ordinul întâi,

termenii ceilalţi pot fi neglijaţi fiind mult mai mici. După integrare se obţine funcţia de undă a pachetului, de forma:

( ) ( ) ( )rktoetrAtr rrrr

0i,, −−=Ψ ω . (2.11)


Acestă expresie seamănă numai aparent cu funcţia de undă a unei unde

asociate monocromatice de Broglie, care are pulsaţia 0)( ωω ≡kr

şi modulul vectorului

de undă 0kr

, însă, în realitate, amplitudinea funcţiei de undă a grupului de unde nu este

constantă ci depinde de variabila spaţială rrşi de variabila timp t sub forma:

( )),(

),(sin)(2, 0 tr

trkkAtrA r

rrrr

αα∆= , (2.12)

unde am notat noua expresie a fazei astfel:

krtkd

dtr

kk

rrr

r

rr∆

−⋅

=

= 0

),(ωα . (2.13)

Trebuie să facem aici observaţia (care va fi, dealtfel, valabilă pe tot parcursul cărţii) că atunci când avem de derivat o funcţie scalară f în raport cu o mărime

vectorială, generic notată cu sr

, unde ksjsiss zyxrrrr ++= , această derivată trebuie

înţeleasă în sensul gradientului mărimii f , adică:

ks

fj

s

fi

s

fff

sd

df

zyxs

rrrr r ∂

∂+∂∂+

∂∂=∇=≡ grad . (2.14)

Reprezentând grafic expresia funcţiei de undă a pachetului (sens fizic are doar partea reală a exponenţialei !) în raport cu variabila spaţială r

r, menţinând timpul

constant, de exemplu pentru t = 0, vom obţine o funcţie armonică (funcţia cosinus) modulată în amplitudine de funcţia )0,(rA

r. Ea prezintă un maxim central, obţinut din

condiţia α = 0 şi care se deplasează printr-o mişcare rectilinie şi uniformă cu viteza:

ωωkg kd

d

dt

rdv rr

rr ∇=== ,

dk

d

dt

drvg

ω== , (2.15)

numită viteza de grup. Denumirea provine din faptul că întreg grupul de unde este concentrat, practic, în jurul maximului central şi se deplasează odată cu acesta cu o viteză egală cu viteza de grup.

Dacă am dori să ilustrăm mişcarea grupului am putea să luăm drept exemplu mişcarea unui stol format din mii de păsărele, de exemplu rândunele, în care fiecare pasăre are propria sa viteză (echivalentă cu viteza de fază !), diferită puţin de a celorlate, dar întregul stol se deplasează, modificându-şi în permanenţă forma, cu o viteză comună (echivalentă cu viteza de grup).

Ţinând cont de relaţia dintre energia relativistă şi pulsaţie, respectiv dintre impuls şi modulul vectorului de undă, din teoria relativităţii, viteza de grup va fi:

( ) vE

pccmcp

dp

d

dp

dE

dk

dvg ==+===

2

2

142

022ω < c , (2.16)

unde am utilizat expresia relativistă a energiei. Prin urmare, viteza de grup este egală cu viteza de mişcare a particulei însăşi, ceea ce dovedeşte justeţea ipotezei de a asocia unei particule nu o singură undă de

Functia de unda 27

Broglie, ci un grup de unde. Altfel spus, mişcarea grupului de unde poate fi asimilată cu mişcarea microparticulei. Să dăm o demonstraţie a acestei afirmaţii. Fără a afecta generalitatea problemei, ci doar din motive de simplificare a calculelor, vom considera că

microparticula se mişcă doar în direcţia x , caz în care vectorii ixrrr = şi k

rsunt

colineari. Prin urmare, funcţia de undă a grupului de unde are expresia :

( ) ( ) ( )[ ] dkekAtxk

k

kk

xktk∫

∆+

∆−

−−=Ψ2

2

i

0

0

, ω . (2.17)

Dezvoltarea în serie de puteri a pulsaţiei are forma:

)()()()( 00

000

0

kkdk

dkk

dk

dkk

kk

−

+≡−

+==

ωωωωω , (2.18)

unde am mai făcut nişte notaţii suplimentare, pentru simplificarea calculelor. Pentru integrare vom face schimbarea de variabilă: ξ≡− 0kk , astfel că funcţia de undă devine:

)(ii

000

0

0

0)(),( xktk

k

xtdk

d

edekAtx −−∆+

∆−

−⋅

−

=Ψ ∫ ωξω

ξ . (2.19)

Integrarea este simplă, astfel că vom obţine :

)(i)(i0

0000 ),(),(

),(sin)(2),( xktxkt etxAe

tx

txkkAtx −−−− ≡∆=Ψ ωω

αα

. (2.20)

Interpretarea acestei funcţii se face uşor dacă ţinem cont că semnificaţie fizică are doar partea reală (sau imaginară) a exponenţialei complexe, utilizarea acesteia făcându-se doar din motive de simplificare a calculelor. Astfel, luând partea reală a exponenţialei, expresia devine:

)(cos),()(cos),(

),(sin)(2),( 00000 xkttxAxkttx

txkkAtx −≡−∆=Ψ ωω

αα

. (2.21)

Ea reprezintă, deci, o funcţie armonică (funcţia cosinus), modulată în amplitudine de funcţia ),( txA , adică având o amplitudine variabilă atât în spaţiu, cât şi în timp. Cantitatea notată ),( txα , adică:

kxtdk

dtx ∆

−⋅

≡0

),(ωα , (2.22)

determină în mod esenţial comportamentul amplitudinii variabile ),( txA . Ţinând cont de inegalitatea:


∞→≤),(

1),(

),(sintxtx

tx

ααα

, când 0),( →txα , (2.23)

precum şi de limita :

1),(

),(sinlim

0),(=

→ tx

txtx α

αα

, (2.24)

care arată cât este valoarea maximă a acestui raport, se observă că valoarea maximă se obţine pentru argumentul :

0),(0

=∆

−⋅

≡ kxtdk

dtx

ωα . (2.25)

De aici rezultă :

tdk

dx ⋅

=0

ω , (2.26)

relaţie care arată că întregul grup de unde are un ”centru de greutate” care are o mişcare rectilinie şi uniformă cu viteza:

const.0

=

==dk

d

dt

dxvg

ω, (2.27)

care este chiar viteza de grup. Pe de altă parte, se observă că amplitudinea variabilă se anulează atunci când se anulează funcţia sinus de la numitor, adică atunci când :

πωα nkxtdk

dtx ±=∆

−⋅

=0

),( , unde n este un număr natural. (2.28)

Dacă luăm o valoare pentru variabila t (adică facem o ”fotografie” a grupului de unde la un moment fixat), de exemplu, 0=t , atunci prima anulare a funcţiei

)0,(xA va avea loc pentru punctele de coordonate :

kx

∆±= π . (2.29)

Aceasta înseamnă că lăţimea maximului principal poate fi considerată ca fiind :

kx

∆≈∆ π2 , (2.30)

de unde, apelând la relaţia dintre vectorul impuls şi vectorul de undă, kp h= , obţinem :

π2≈∆⋅∆ kx sau hpx ≈∆⋅∆ . (2.31)

Asupra acestei relaţii ne vom îndrepta atenţia atunci când vom vorbi despre relaţiile de nedeterminare.

Să ne reamintim că, în mecanica clasică, funcţia de undă reprezintă o mărime fizică ce caracterizează unda. De aceea, ea este o lungime (deformaţie) în cazul undelor elastice, o presiune în cazul undelor hidrodinamice, o intensitate a câmpului electric

Functia de unda 29

sau magnetic, în cazul undelor electromagnetice. În mecanica cuantică, însă, principial, aşa cum am văzut, funcţia de undă reprezintă totalitatea informaţiilor asupra poziţiei, impulsului şi a altor mărimi ce caracterizează particula, la un moment dat de timp t . Totuşi, funcţia de undă nu are o interpretare fizică directă, ci aceasta poate fi înţeleasă dacă apelăm la noţiunile de fizică statistică. Mecanica cuantică are un caracter statistico-probabilist, în sensul că, prin cunoaşterea funcţiei de undă ( )tr ,rΨ nu avem informaţii absolut complete şi exacte cu privire la poziţia r

r şi impulsul p

r (precum şi a altor mărimi, cum ar fi momentul

cinetic, momentul de spin etc.) ale microparticulei la momentul t , în sensul strict al cuvântului. Mecanica cuantică permite doar determinarea, cu o oarecare probabilitate, a poziţiei microparticulei în intervalul deschis ( )rdrr rrr +, , respectiv în volumul elementar delimitat de intervalele deschise ( )dxxx +, , ( )dyyy +, , ( )dzzz +, . În consecinţă, densitatea de probabilitate de a găsi, prin măsurătoare, microparticula în volumul elementar delimitat mai sus este:

( ) ( ) ( ) ( )trtrtrtr ,,,, 2 rrrr ∗ΨΨ=Ψ≡ρ . (2.32) Funcţia ( )tr ,rρ poartă numele de densitate de probabilitate. Prin urmare, probabilitatea elementară de a găsi microparticula în acest volum elementar este:

( ) dVtrdVtrdP 2,),( rr Ψ== ρ . (2.33) De aici rezultă imediat semnificaţia funcţiei ( )tr ,rρ ca densitate de probabilitate. Dacă volumul este finit, V , probabilitatea ca să găsim particula în interior este:

( )∫ ∫∫ Ψ===V VV

V dVtrdVtrdPP2

,),(rrρ , (2.34)

ea fiind un număr subunitar : 10 ≤≤ VP . Evident că, cu certitudine, microparticula se va afla undeva în întreg spaţiul de volum infinit ∞V , astfel că vom putea scrie :

( ) 1,),( 2 =Ψ== ∫ ∫∫∞ ∞∞ V VV

dVtrdVtrdPrrρ . (2.35)

Această relaţie poartă numele de relaţia de normare a probabilităţilor. Ea ne arată că suma (integrala) tuturor evenimentelor complementare este egală cu unitatea.

În toate relaţiile de mai sus, volumul elementar dV va fi exprimat fie în coordonate carteziene ),,( zyx , fie în cele sferice ),,( ϕθr , în funcţie de caracteristicile problemei de rezolvat, astfel ca efectuarea calculelor să fie cât mai simplă. De multe ori, pentru a evidenţia mai bine variabila de integrare, sub semnul integralei, în locul notaţiei dV se utilizează notaţia rd

r, cu semnificaţia de volum

elementar şi nu de diferenţială a vectorului de poziţie. În consecinţă, putem scrie :

ϕθθ dddrrdzdydxrdrddV sin23 ==≡≡ r . (2.36) Dependenţa de timp a funcţiei de undă este de tip armonic (motivarea va deveni mai


clară în cele ce urmează), adică dependenţa de timp este decuplată de dependenţa spaţială, astfel că funcţia de undă este un produs de două funcţii de variabile independente, timpul t , respectiv coordonatele spaţiale r

r :

( ) ( )retr t rr Ψ=Ψ − ωi, , (2.37) unde, în mod deliberat, am folosit aceeaşi literă Ψ şi pentru partea funcţiei de undă care depinde numai de variabilele spaţiale r

r, ceea ce, având în vedere semnificaţia

celor două funcţii, nu va conduce la confuzii. Am văzut că grupul de unde poate fi localizat spaţial în jurul maximului său central, care, pe scara lungimilor, corespunde unui interval de π2 . Un raţionament simplu ne-a condus la relaţia corespunzătoare hpx ≈∆⋅∆ . Însă, deoarece grupul de unde se întinde şi în afara acestui interval, este corect să scriem această relaţie sub forma :

hpx ≥∆⋅∆ . (2.38) Acest tip de relaţii se numesc relaţiile de nedeterminare sau relaţiile de incertitudine sau relaţiile de imprecizie ale lui Heisenberg (ele au fost formulate pentru prima dată de fizicianul Werner Heisenberg, laureat al premiului Nobel pentru fizică). Semnificaţia lor este următoarea : dacă efectuăm o măsurătoare simultană atât asupra poziţiei x , cât şi asupra impulsului p ale unei microparticule, atunci vom obţine, în mod obligatoriu, asemena rezultate ale căror imprecizii, inexactităţi sau nedeterminări x∆ şi p∆ vor avea asemenea valori încât produsul lor să fie mai mare sau cel puţin egal cu constanta lui Planck h . Cu cât este mai mic domeniul de localizare x∆ a microparticulei, cu atât este mai mare intervalul de nedeterminare (deci de imprecizie, de necunoaştere) p∆ a impulsului acesteia. Acest aspect apare doar în domeniul microparticlulelor, deci numai în mecanica cuantică, el nu are relevanţă în mecanica clasică. Să vedem ce semnificaţie ar avea relaţiile de nedeterminare pentru o undă de Broglie. Aceasta este o undă plană monocromatică, deci cu o frecvenţă ν şi lungime de undă λ bine precizată, deci constantă, adică 0=∆λ . Modulul vectorului de undă corespunzător k va fi:

02

,2

2 =∆−=∆= λλπ

λπ

kk , (2.39)

deci bine fixat, la fel ca şi impulsul undei, kp h= , deci 0=∆p . Din relaţiile de nedeterminare rezultă ∞→∆x . Prin urmare, unda plană monocromatică nu este deloc localizată în spaţiu, ea se poate situa oriunde în spaţiu. Înseamnă ca unda plană monocromatică nu poate descrie un obiect (microparticulă) localizat în spaţiu. Pe de altă parte, dacă judecăm din punctul de vedere al mecanicii clasice, traiectoria unei microparticule înseamnă urma lăsată de aceasta în drumul ei. Aceasta este o linie (dreaptă sau curbă) bine cunoscută, deci pentru care nedeterminarea este nulă : 0=∆x . Din relaţiile de nedeterminare ar rezulta imediat: ∞→∆p , ceea ce ar însemna că nedeterminarea în măsurarea impulsului fiind infinită, microparticula ar putea avea impulsul total nedeterminat, oricât de mare sau oricât de mic. Deci, practic,

Functia de unda 31

nu am avea nici un fel de informaţie asupra impulsului microparticulei. Prin urmare, noţiunea clasică de traiectorie îşi pierde sensul în mecanica cuantică. Relaţiile de nedeterminare pot fi ” deduse ” sau verificate în urma unor experienţe, astfel încât în locul constantei h poate fi utilizată constanta redusă a lui Planck h , căci

h >h >2h

. Acestea pot fi scrise şi pentru cele 3 componente carteziene astfel:

2sausau

2sausau

2sausau

hh

hh

hh

≥≥≥∆⋅∆

≥≥≥∆⋅∆

≥≥≥∆⋅∆

hpz

hpy

hpx

z

y

x

(2.40)

Pe lângă perechea de variabile coordonată - impuls, relaţiile de nedeterminare se pot scrie şi pentru perechea de variabile energie - timp. Să derivăm în raport cu timpul expresia energiei relativiste :

[ ]dt

dxv

mc

mvc

E

pc

pcm

pcpcmc

dp

d

dp

dE ====+

=+= 222

2220

2220

2

2. (2.41)

Prin urmare, avem egalităţile pentru diferenţe infinit mici, respectiv pentru diferenţe finite :

pxtEdpdxdtdE ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=⋅ , . (2.41) În consecinţă, relaţiile de nedeterminare energie - timp au forma :

2sausau

hh ≥≥≥∆⋅∆ htE . (2.42)

Aici E∆ se interpretează ca nedeterminarea (sau imprecizia) de măsurare a energiei microparticulei, iar t∆ ca durata acestui proces de măsurare. Uneori, dacă este vorba despre microparticule care se dezintegrează, dând naştere, prin interacţiuni, la alte microparticule, t∆ se interpretează ca durată de viaţă a acestora (intervalul de timp dintre generarea şi dezintegrarea unei microparticule). În cazul tranziţiilor de pe un nivel energetic pe altul, E∆ se interpretează ca lărgimea unui nivel energetic, iar

t∆ ca intervalul de timp cât petrece particula pe un nivel energetic. Relaţiile de nedeterminare trebuie privite in ideea că microparticulele au caracter dual: corpuscular şi ondulatoriu. Ele au sensul imposibilităţii determinării simultane şi cu orice precizie a coordonatei şi impulsului şi nu sunt determinate de imposibilitatea măsurării cu orice precizie dorită (deoarece nu dispunem de asemenea aparate de măsură) a coordonatei şi impulsului. Relaţiile de nedeterminare trebuie private ca având character principial, fiind legate de faptul că, în timpul procesului de măsurare, microparticula interacţionează cu aparatul de măsură şi astfel starea ei iniţială este perturbată şi se schimbă. Pe de altă parte, relaţiile de nedeterminare nu exprimă existenţa unei limite a cunoaşterii fenomenelor din natură, ci arată doar faptul că noţiunile de mecanică clasică nu pot fi aplicate ad literam şi în cazul microparticulelor, deci în cazul mecanicii cuantice.


2.2 Operatorii cuantici

Unul dintre conceptele matematice fundamentale utilizate în mecanica cuantică

este conceptul de operator. De regulă, în mecanica cuantică operatorii se notează cu o

căciulă deasupra simbolului, adică A)

, dar în prezenta carte nu vom utiliza acest simbol, pentru a nu încărca inutil formulele, ci vom scrie operatorii fără semnul

deasupra, deci AA ≡)

, convinşi fiind că nu se vor face confuzii cu o mărime scalară oarecare.

Din punct de vedere matematic, un operator A care acţionează asupra unei funcţii f (reale sau complexe) îi pune în corespondenţă o altă funcţie reală sau complexă g . Simbolic, aceasta se scrie:

gfA = (2.43) şi se citeşte: ”acţiunea operatorului A asupra funcţiei f are drept rezultat funcţia g ” . Deşi se bucură de toate proprietăţile operatorilor matematici, operatorii cuantici mai trebuie să satisfacă şi o serie de proprietăţi specifice. Aceasta se datorează în primul rand faptului că operatorii cuantici nu acţionează asupra unor funcţii oarecari, ci asupra funcţiilor de undă. Acestea trebuie să satisfacă o serie de condiţii speciale, numite condiţiile standard. Pentru ca o funcţie oarecare ),( tr

rΨ să poată îndeplini rolul de funcţie de undă, deci să aibă şi sens fizic, ea trebuie să îndeplinească următoarele condiţii standard: 1.) ),( tr

rΨ trebuie să fie o funcţie continuă, deci derivabilă şi să aibe derivate continui. Această condiţie rezultă din faptul că majoritatea operatorilor cuantici implică operaţii de derivare.

2.) ),( trrΨ trebuie să fie finită, adică în orice punct al spaţiului să aibe valori

finite, iar la infinit să se anuleze. Aceasta rezultă imediat dacă ne aminim de semnificaţia fizică a funcţiei de undă, probabilitatea de a găsi o microparticulă la infinit fiind nulă.

3.) ),( trrΨ trebuie să fie univocă, adică într-un punct al spaţiului trebuie să

aibe doar o singură valoare. Aceasta rezultă din faptul că probabilitatea de a găsi microparticula într-un punct determinat al spaţiului este unică.

Funcţiile de undă care satisfac aceste condiţii se numesc funcţii proprii. Ele satisfac ecuaţii de forma:

),(),( tratrA nnnrr Ψ=Ψ , (2.44)

numite ecuaţii de valori proprii. Denumirea provine de la faptul că o asemenea ecuaţie este satisfăcută numai de anumite valori ale mărimii a , numite valori proprii (corespunzătoare operatorului A ). De aceea, acestor valori li s-a ataşat un indice, n , pentru a le deosebi unele de altele. La fel şi funcţiilor de undă, care corespund valorii proprii na li s-a ataşat indicele n , adică ),( trn

rΨ se numeşte funcţie proprie ataşată

Operatorii cuantici 33

valorii proprii na . Din teoria ecuaţiilor se ştie că ecuaţiile de valori proprii nu pot avea soluţii (cu sens fizic), decât dacă mărimea a ia un şir de valori discrete sau discontinui

na care constituie spectrul de valori proprii. Din punct de vedere al mecanicii cuantice spunem că spectrul valorilor mărimii a este cuantificat. Dintre proprietăţile principale ale operatorilor cuantici, vom enumera câteva. Operatorii cuantici trebuie să fie operatori liniari, adică ei trebuie să satisfacă relaţia:

∑∑ Ψ=Ψj

jjj

jj AccA )( . (2.45)

Operatorul identitate I este acel operator care lasă funcţia neschimbată : Ψ=ΨI , (2.46)

iar operatorul invers 1−A are acţiune contrară celui direct A (deci care anulează acţiunea primului):

Ψ=Ψ=Ψ −− IAAAA 11 . (2.47) Suma (sau diferenţa) a doi operatori se defineşte astfel încât să fie distributivă :

( ) Ψ±Ψ=Ψ± 2121 AAAA . (2.48) În plus, suma a doi sau mai mulţi operatori este şi asociativă :

( ) ( )Ψ+=Ψ+ 1221 AAAA . (2.49) Produsul a doi operatori este :

( ) ( )Ψ=Ψ 2121 AAAA , (2.50) cu observaţia că mai întâi se acţionează cu operatorul care este scris mai aproape de funcţie, iar apoi celălalt operator acţionează asupra rezultatului obţinut.

În acestă situaţie este nevoie să se definească un nou operator, numit comutatorul celor doi operatori, notat simbolic prin paranteză dreaptă:

[ ] 122121, AAAAAA −≡ . (2.51) Dacă comutatorul a doi operatori este egal cu zero, se spune că cei doi operatori comută:

[ ] 0, 21 =ΨAA , deci: Ψ=Ψ 1221 AAAA , (2.52) adică nu contează ordinea în care sunt scrişi operatorii. Pentru n operatori egali, se defineşte puterea unui operator:

( )Ψ⋅⋅⋅⋅=Ψ AAAAn . (2.53) Operatorul unitate lasă invariantă funcţia de undă, adică are valoarea proprie egală cu unitatea:

I Ψ = Ψ . (2.54) Utilizând ultimele două relaţii, orice funcţie operatorială f(A) poate fi dezvoltată în serie Taylor în funcţie de puterile operatorului A:

( ) Ψ

∂∂=Ψ ∑

∞

= =

n

n IA

n

n

AA

f

nAf

0 !

1= f(a)Ψ . (2.55)


În ultima egalitate am indicat faptul că, uneori, se poate restrânge expresia care depinde numai de valorea proprie, refăcându-se forma iniţială a funcţiei, care va depinde acum numai de valoarea proprie a.

Produsul scalar a două funcţii de undă, notat (Ψ1 , Ψ2) este un număr egal cu integrala de mai jos:

( ) ( ) ( ) rdrr rrr 2*121, ΨΨ=ΨΨ ∫+∞

∞−

, (2.56)

unde simbolul * reprezintă operaţia de conjugare complexă, adică înlocuirea unităţii imaginare i cu – i , iar integrala de volum se face peste tot spaţiul real al variabilelor spaţiale. Ţinând cont de această definiţie, să punctăm şi o ultimă proprietate a operatorilor cuantici: ei trebuie să fie operatori autoadjuncţi sau operatori hermitici, adică trebuie să satisfacă următoarea relaţie referitoare la produsul scalar:

( ) ( )2121 ,, ΨΨ=ΨΨ AA , (2.57) relaţie în care în primul produs scalar operatorul acţionează numai asupra funcţiei notată cu indicele 2, iar în cel de al doilea produs scalar operatorul acţionează numai asupra funcţiei notată cu indicele 1. Demonstraţia acestei afirmaţii o vom da mai jos.

Să presupunem că un sistem fizic este caracterizat de o mărime măsurabilă A numită observabilă. În mecanica cuantică este valabil principiul de corespondenţă, conform căruia fiecărei mărimi măsurabile A din mecanica clasică, în mecanica cuantică îi corespunde un operator A . Operatorii din mecanica cuantică trebuie să posede, în plus, nişte proprietăţi speciale despre care vom vorbi mai jos.

Să presupunem că efectuăm N măsurători asupra observabilei A şi obţinem de 1N ori rezultatul 1a , de 2N ori rezultatul 2a , ... , de nN ori rezultatul na . Valoarea medie a acestor rezultate va fi, calculată în sens clasic:

∑∑∑

∑==

=

= ===++++++>=<

n

iii

n

ii

in

ii

n

iii

n

nn aPaN

N

N

aN

NNN

aNaNaNa

11

1

1

21

2211

...

... , (2.58)

unde iP este probabilitatea matematică discretă (discontinuă), cu sensul că, efectuând

N măsurători (acesta este numărul total al cazurilor posibile) asupra observabilei A, în sens clasic, să obţinem de iN ori (acesta este numărul cazurilor favorabile) rezultatul

sau valoarea ia :

N

NP ii = . (2.59)

Dacă efectuăm un număr foarte mare de măsurători, teoretic infinit, ∞→N , atunci există toate şansele ca valorile măsurate să fie atât de apropiate încât să nu le putem distinge, deci să nu mai aibă sens numerotarea lor. În acest caz, spectrul discret sau discontinuu al variabilei ia va trebui înlocuit cu un spectru continuu al acestei variabile a

Operatorii cuantici 35

(deci nu mai este nevoie de un indice de numerotare): aai → , iar operaţia de sumare

trebuie înlocuită cu operaţia de integrare: ∫∑ →∞→

=

dVN

i

KK1

. În consecinţă, probabilitatea

discretă (discontinuă) iP va trebui înlocuită cu probabilitatea elementară dP :

dVrrdVrdPPi )()()(2 rrr ΨΨ=Ψ=→ ∗ . (2.60)

Se ştie, însă, că probabilităţile reprezintă nişte numere subunitare, care satisfac relaţia de normare a probabilităţilor (ce decurge din faptul că suma probabilităţilor tuturor evenimentelor complementare trebuie să fie egală cu 1, deci cu certitudinea), adică:

∫ =D

dP 1 , de unde: 1)()( =ΨΨ∫ ∗D

dVrrrr

. (2.61)

Pornind de la ecuaţia valorilor proprii pentru operatorul A asociat observabilei A:

)()( rarArr Ψ=Ψ , (2.62)

să înmulţim această ecuaţie la stânga cu funcţia de undă complex conjugată )(rr∗Ψ şi

să integrăm peste domeniul D în care funcţia de undă este nenulă:

∫∫∫∫ =ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ ∗∗∗DDDD

dPadVrradVrardVrAr )()()()()()(rrrrrr

. (2.63)

Observăm că în ultima egalitate apare tocmai integrala din probabilitatea elementară ca rezultatul măsurătorii să fie a . În consecinţă, putem identifica valoarea proprie a corespunzătoare stării )(r

rΨ cu valoarea medie din acea stare >< a şi o putem numi valoarea medie a operatorului A , adică >< A :

>>≡=< ∫ ∗ . (2.65)

Atragem atenţia că în această relaţie operatorul A acţionează numai asupra funcţiei aflate în dreapta, adică asupra funcţiei )(r

rΨ şi nu asupra funcţiei din stânga, )(rr∗Ψ . Deci, din punct de vedere operaţional, mai întâi se acţionează cu operatorul A

asupra funcţiei )(rrΨ , iar rezultatul se înmulţeşte cu funcţia )(r

r∗Ψ Şi apoi se integrează. Acest aspect este foarte important, având în vedere că, de

regulă, operatorii din mecanica cuantică implică operaţii de derivare, deci ordinea de scriere şi de efectuare în mod corect a operaţiilor este esenţială.

Prin urmare, prin măsurători cuantice putem determina doar valorile medii >< a ale observabilei A într-o stare oarecare )(rrΨ , valori exprimate prin valoarea

medie a operatorului asociat, A , adică >< A . Întrucât pot fi măsurate experimental, aceste valori medii trebuie să fie numere reale:

∗>>=


Din punct de vedere matematic, aceasta impune ca operatorii ataşaţi observabilelor cuantice să fie operatori autoadjuncţi sau operatori hermitici. Un operator A se numeşte hermitic (şi se notează cu A +), dacă AA = + . Dacă reprezentăm un operator prin elementele sale de matrice (un element de matrice reprezintă, în fond, un produs scalar din mecanica cuantică), adică:

( ) dVAAAD

jijiij ∫ ΨΨ=ΨΨ≡ ∗, , (2.67) atunci se spune că un operator este hermitic dacă elementele matricei sale sunt egale cu

elementele matricei conjugate şi transpuse, adică ∗= )( jiij AA . Avem, succesiv:

( ) ( ) dVAdVAdVAD

ji

D

ij

D

ji ∫∫∫ ΨΨ=ΨΨ=ΨΨ∗∗∗+∗ . (2.68)

Deci un operator este hermitic AA = + , dacă:

( ) ( )jiji AA ΨΨ=ΨΨ ,, , sau ( ) ( ) dVAdVAD

ji

D

ji ∫∫ ΨΨ=ΨΨ∗∗ . (2.69)

Funcţiile proprii ale operatorilor hermitici trebuie să fie ortogonale. În mecanica cuantică, noţiunea de ortogonalitate se referă la o anume proprietate a produsului scalar ( )ji AΨΨ , . Să scriem ecuaţiile de valori proprii ale unui operator hermitic A , pentru două funcţii jΨ şi

∗Ψi , care au două valori proprii diferite:

ji aa ≠ :

jjj aA Ψ=Ψ şi ∗∗∗ Ψ=Ψ iii aA (2.70)

să înmulţim prima ecuaţie cu ∗Ψ j , iar a doua cu iΨ , să le integrăm şi să le scădem:

( ) ( ) ( ) dVaadVAdVAD

jiij

D

ji

D

ji ∫∫∫ ΨΨ−=ΨΨ−ΨΨ ∗∗∗ . (2.71)

Cum operatorul este hermitic, primul membru al egalităţii este nul, rezultă deci că produsul scalar al celor două funcţii este, de asemenea, egal cu zero:

0=ΨΨ∫ ∗ dVD

ji . (2.72)

Acum putem reuni cele două relaţii pe care trebuie să le satisfacă funcţiile de undă: ortogonalitatea şi normarea. Obţinem astfel relaţia de ortonormare (cuvânt rezultat din combinaţia celor două cuvinte: ortogonalitate şi normare):

≠=

==ΨΨ∫ ∗ jiji

dV ijD

ji pentru,0

pentru,1δ , (2.73)

unde am utilizat simbolul lui Kronecker ijδ .

Ecuatia lui Schrodinger 37

2.3 Ecuaţia lui Schrödinger

Deoarece mişcarea microparticulelor nu putea fi descrisă cu ajutorul ecuaţiei lui Newton din mecanica clasică (am văzut, printre altele, că noţiunea clasică de traiectorie nu are sens în mecanica cuantică), se punea problema găsirii unei ecuaţii căreia să i se supună mişcările microparticulelor. Această ecuaţie a fost elaborată în 1926 de către Erwin Schrödinger, pornind de la ipoteza lui de Broglie şi de la analogia dintre optica geometrică şi mecanica clasică, ecuaţie care ulterior a primit numele de ecuaţia lui Schrödinger. Aceasta a devenit ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice şi a putut să explice rezultatele experimentale privind mişcarea microparticulelor. Schrödinger a asociat mişcării microparticulelor o funcţie de coordonate şi de timp, pe care a denumit-o funcţie de undă sau funcţie de stare (pentru că ea înglobează informaţiile în legătură cu starea microparticulei). O astfel de funcţie logic poate fi chiar funcţia grupului de unde de Broglie:

( ) [ ] kdekAtr rktkrrr rrr ⋅−⋅−

+∞

∞−∫=Ψ )(i)(, ω , (2.74)

deoarece am văzut că este corect ca unei microparticule să i se acocieze nu o undă monocromatică plană de Broglie, ci un grup de unde. Din considerente de facilitate matematică, aici am extins limitele de integrare pe întreaga axă reală, ceea ce nu afectează raţionamentul care urmează. Să găsim ecuaţia diferenţială a cărei soluţie ar fi chiar funcţia de undă de mai sus. Ţinând cont că, pe de o parte, produsul scalar din exponenţială va putea fi scris pe componente astfel:

zkykxkrk zyx ++=⋅rr

, (2.75)

iar pe de altă parte, că pulsaţia undei este legată de energia totală a particulei (energia cinetică plus energia potenţială U), care este o mărime constantă (se conservă):

( ) ( )

+=

+== rUk

mrU

m

pkEk

rh

h

r

h

r

h

r2

22

21

21

)(1

)(ω , (2.76)

putem deriva funcţia de undă a grupului de undă o dată în raport cu timpul, apoi, separat, de două ori în raport cu fiecare variabilă spaţială. După calcule elementare care constau în derivarările parţiale ale funcţiei de undă odată în raport cu timpul şi de două ori în raport cu variabilele spaţiale, vom reuni termenii obţinuţi, ţinând cont de legea conservării energiei pentru microparticula de masă m , astfel că vom ajunge la următoarea relaţie între derivatele parţiale ale funcţiei de undă:

( ) ( ) ( )trrU

mt

tr,

2,

i2 rrh

r

h Ψ

+∆−=

∂Ψ∂

. (2.77)

Această relaţie este tocmai ecuaţia temporală a lui Schrődinger, care este ecuaţia fundamentală a mecanicii cuantice nerelativiste. Valabilitatea ei este probată, pe de o parte, de natura necontradictorie a întregii teorii a mecanicii cuantice


nerelativiste care se bazează pe această ecuaţie şi, pe de altă parte, pe concordanţa rezultatelor mecanicii cuantice cu datele experimentale. Ca şi legea a doua a lui Newton, ecuaţia lui Schrődinger este valabilă pentru particule nerelativiste, adică acele particule care se mişcă cu viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid v

Ecuatia lui Schrodinger 39

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] J1s

Js1

111

1-SI

SI

SISI

SISI ==== ω

E

ttC h . (2.83)

Prin urmare, constanta C are dimensiunile unei energii. Cum singura energie constantă care intervine în această problemă este energia totală a particulei:

( ) CrUm

pE ≡=+= const

2

2 r, (2.84)

înseamnă că constanta de integrare este chiar energia totală a microparticulei. Se demonstrează aşadar că în acest caz avem de a face, din punct de vedere

matematic, cu o ecuaţie cu variabile separabile, iar partea de dependenţă temporală va fi întotdeauna de tip armonic, adică:

( ) ( )retr tE rr h Ψ=Ψ ⋅−i

, . (2.85) Dacă înlocuim acestă expresie în ecuaţia temporală a lui Schrődinger şi efectuăm operaţiile corespunzătoare, vom obţine tocmai ecuaţia atemporală a lui Schrődinger sau ecuaţia lui Schrődinger a stărilor staţionare:

( ) ( ) ( ) ( )rErrUrm

rrrrh Ψ=Ψ+∆Ψ−2

2

, (2.86)

unde m este masa particulei, iar E este energia sa totală. Ecuaţia lui Schrődinger, sub ambele forme prezentate, este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu derivate parţiale. Rezolvarea ei ţine cont de condiţiile iniţiale şi la limită şi conduce la găsirea soluţiei, adică a expresiei concrete a funcţiei de undă (sau, cum se mai numeşte, a funcţiei de stare) Ψ, corespunzătoare problemei examinate. Observăm că şi ecuaţia lui Schrödinger a stărilor staţionare poate fi scrisă sub forma unei ecuaţii de valori proprii:

( ) ( ) ( )rErrUm

rrrh Ψ=Ψ

+∆−

2

2

, (2.87)

unde în membrul stâng al ecuaţiei apare operatorul energiei totale sau operatorul lui Hamilton sau operatorul hamiltonian, notat cu H:

( )rUm

Hrh +∆−=

2

2

, (2.88)

primul termen reprezentând operatorul energiei cinetice:

( )( )∇−∇−=∆−== hhh iimm

pm

Ec 2

1

22

1 22 , (2.89)

iar cel de al doilea este operatorul energiei potenţiale: ( ) ( )rUrU rr = . (2.90)

Se observă că acesta din urmă coincide cu însăşi energia potenţială, deci acţiunea lui asupra funcţiei de undă reprezintă o simplă înmulţire. Energia potenţială depinzând numai de variabila vectorul de poziţie, este lesne de tras concluzia că operatorul coordonată este egal cu el însuşi, deci este tot un operator de înmulţire. Din modul în care am scris expresia operatorului energiei cinetice se poate observa că operatorul impuls se exprimă în funcţie de operatorul vectorial ∇ (nabla):

POPOV FINAL header - fiz.upt.rofiz.upt.ro/articole/126074128POPOV_ FINAL header.pdf · noastre,...

Documents

Transcript of POPOV FINAL header - fiz.upt.rofiz.upt.ro/articole/126074128POPOV_ FINAL header.pdf · noastre,...