pagina6

Logică

SOLUŢIILE EXERCIŢIILOR Capitolul 1 1. a) inferenţă imediată; b) este o inferenţă, dar nu imediată, ci un

raţionament eliptic, de forma: ‘Oamenii tăcuţi trec drept filosofi; dacă şi tu tăceai, filosof rămâneai’; c) nu este o inferenţă, ci o sentinţă, de multe ori confirmată, însă câtuşi de puţin universal valabilă; d) idem; e) este un raţionament valid din punct de vedere formal, în care se obţine o concluzie falsă datorită falsităţii primei premise – nu toate fiinţele care înoată sunt peşti; f) raţionament corect; g) idem; h) inferenţă imediată corectă; i) raţionament corect; j) raţionament eliptic, în care se subînţelege premisa: ‘Orice romb este patrulater’; k) inferenţă imediată incorectă, în care concluzia este întâmplător sau accidental adevărată; l) inferenţă imediată incorectă, în care concluzia este în mod firesc falsă; m) raţionament incorect; n) nu este o inferenţă, ci o maximă – logic vorbind, o propoziţie compusă condiţională; o) raţionament corect.

2. Sunt inductive inferenţele: a, d, g, i, k, l; restul inferenţelor sunt deductive, unele corecte, altele nu.

3. a, b, h, j şi n sunt analitic adevărate; e şi k sunt analitic false; c, d şi i sunt sintetic adevărate; f şi l sunt sintetic false; g, m şi o sunt indecidabile.

4. În toate cazurile se încalcă principiul identităţii: termenul mediu al silogismului este ambiguu, neavând în ambele premise aceeaşi semnificaţie.

5. a, b, c, d, i încalcă principiul non-contradicţiei; e, h, j nu respectă principiul identităţii; f, g şi k încalcă principiul raţiunii suficiente.

Soluţiile exerciţiilor

Capitolul 2 1. a) Vide sunt noţiunile: cerc pătrat, cel mai mare număr natural,

inorog, sfinx, infractor nevinovat, covor zburător, flogiston, perpetuum mobile, elixirul tinereţii, extratereştri; b) logic vide sunt noţiunile: cerc pătrat, cel mai mare număr natural, infractor nevinovat; c) este rezultatul unei contradicţii explicite noţiunea: infractor nevinovat.

2. În toate cele şase propoziţii există câte o noţiune vidă; însă primele trei propoziţii sunt false, dacă nu chiar absurde, întrucât fac afirmaţii de nesusţinut despre nişte entităţi imaginare (preşedintele Marii Britanii, Minotaurul şi eterul), în vreme ce ultimele trei propoziţii sunt adevărate, întrucât resping posibilitatea existenţei unor entităţi imaginare (cel mai mare număr natural, centaur, perpetuum mobile).

3. Sunt individuali termenii: Lucian Blaga, autorul romanului Fraţii Jderi, Capitala Franţei, Gorgona, Jupiter, Lacul Snagov, Grădinile Semiramidei, numărul zero, numărul trei, mulţimea tuturor numerelor naturale, mulţimea vidă, Criş.

4. Sunt colective noţiunile: bibliotecă, corpul medical, Biblioteca Naţională, Pădurea Băneasa, regiment, mulţime, pădure, filosofie, cirea-dă, faună marină, echipaj.

5. În toate inferenţele se confundă un termen colectiv (evanghe-liştii, lunile anului, minunile lumii antice) cu un termen diviziv (Luca, februarie, Marea Piramidă).

6. Sunt general-colective noţiunile: echipaj, floră, trupă, familie, faună, turmă, stol, muşuroi de furnici.

7. Sunt precise noţiunile: triunghi, centaur, element chimic, elec-tron, număr prim, vertebrat, funcţie trigonometrică, cireadă; sunt vagi noţiunile: blândeţe, inteligent, frumos, talentat, colosal, tânăr, cârd; comportă discuţii noţiunile: victorie (în sens sportiv sau strict militar, poate fi vorba de o noţiune precisă – în alte contexte, poate fi o noţiune vagă); grămadă (în regulamentul jocului de rugby este o noţiune precisă – altminteri este o noţiune vagă; câte obiecte trebuie adunate pentru a forma o grămadă?); chel (în sens strict, este o noţiune precisă, chel fiind omul fără nici un fir de păr pe cap; într-un sens mai labil, echivalent cu pleşuv, este o noţiune vagă, căci câte fire de păr trebuie să aibă un om pe cap pentru a fi chel în acest sens?); trecut (dacă ne referim la un eveniment

Logică

care s-a petrecut, este o noţiune precisă; dacă ne gândim la o persoană care s-a veştejit odată cu trecerea anilor, noţiunea este vagă).

8. Sunt concrete noţiunile: tren, carte, patruped, automobil, teren, citate. Comportă discuţii termenii: facultate (abstractă în sensul de capacitate psihică – concretă ca instituţie în care se desfăşoară învăţă-mântul superior); verdeaţă (abstractă ca însuţire de a fi colorat predomi-nant în verde – concretă dacă ne gândim la anumite soiuri de legume); albăstreală (abstractă într-un sens similar cu cel de mai sus – concretă ca substanţă cu care se apretează rufele).

9. În toate inferenţele se confundă un termen abstract cu unul concret.

10. Sunt absolute noţiunile: număr par, funcţie trigonometrică, nevertebrat, ziarist, cititor; comportă discuţii termenul ‘raport’ (absolut dacă ne gândim la o relatare scrisă sau orală a unor evenimete sau activităţi, relativ dacă ne gândim la o relaţie).

11. Concluzia nu este dedusă în mod valid, deoarece se confundă un termen absolut cu unul relativ. Cartea îi aparţine lui Vasile, dar Vasile, întrucât este fratele meu, nu-mi aparţine, ci se află într-o relaţie de rudenie cu mine.

12. Sunt independente noţiunile: student, triunghi, vapor, albastru.

13. Sunt pozitive noţiunile: introspecţie, anticorp, infirmerie, ata-şament, abolit; comportă discuţii termenul ‘nevoie’, care poate fi pozitiv în sensul de necesitate, sau negativ în sensul de contrar voinţei proprii. Unii termeni au conotaţii pozitive sub aspect moral sau axiologic, deşi sunt negativi din punct de vedere logic, precum ‘independenţă’.

14. Nevăzător sau orb; neplăcut sau dezagreabil; virus, ‘anticorp’ nu este un termen negativ, ci pozitiv, referindu-se la anumite celule din organism care neutralizează agenţii patogeni; nu are un termen negativ corespunzător; inestimabil; în firescul limbii, corespondentul negativ al termenului ‘bun’ este rău – nebun având o conotaţie specială, de natură psihopatologică; dezordonat, imoral, neperiodic, ineficienţă, nevertebrat, nemilos, neanalizabil sau inanalizabil, incorigibil; putem spune şi ‘nefatal’ sau ‘nepredestinat’, dar sună cu totul nefiresc – opusul celor doi termeni este liber, în sensul de spontan, neconstrâns; malefic, nevinovat,


prost, zgârcit (meschin, egoist etc.), uman, sacru sau iniţiat, neştiutor sau ignorant, slăbănog, lăudabil (stimabil etc.).

15. Corecte sunt variantele: (i) - b; (ii) - e; (iii) - a. 16. Corecte sunt variantele: (i) - c; (ii) - b; (iii) - c. 17. Ordonarea nu pune probleme; în toate cazurile se observă

faptul că o lărgire a conţinutului implică o restrângere a sferei şi invers. 18. Au contradictorii noţiunile: număr par (număr impar), zi

(noapte), orb (văzător), bun (rău); au contrare noţiunile: verde (alb, negru, galben, roşu etc. în genul culori), mamifer (peşti, reptile, păsări în genul vertebrate), plăcut (neplăcut, indiferent), dreptunghi (pătrat, romb, trapez în genul patrulatere).

19. om – mamifer raţional sau biped, primate, european, carnivor; savant – om de ştiinţă, om, fizician, tenisman; mamifere – vivipare, vertebrate, primate, zburătoare sau acvatice.

20. musulman – islamic, monoteist, sufit sau şiit, sportiv, ghiaur (necredincios sau păgân la musulmani), creştin sau israelit în genul monoteist; cântăreţ – interpret liric, muzician, tenor, fumător, surdo-mut, instrumentist, dirijor, compozitor, aranjor în genul muzician; triunghi – trilater, poligon, triunghi echilateral, poligon regulat, cerc, patrulater, pentagon, hexagon etc. în genul poligoane.

21. B Unii A sunt B Toţi C sunt B Unii B sunt A Unii B sunt C A C Unii A nu sunt B Unii B nu sunt C Unii B nu sunt A Nici un A nu este C Nici un C nu este A 22. Toţi A sunt C Toţi B sunt C C Unii C sunt A Unii C sunt B A B Unii C nu sunt A Unii C nu sunt B Nici un A nu este B Nici un B nu este A

Logică

23. Notând cele cinci noţiuni A = carte scrisă de un profesor de logică, B = manual şcolar, C = manual de logică, D = manual, E = volum de versuri scris de un profesor, diagramele Euler arată astfel:

D B C

E A 24. Notând cu: A = prietenii lui Andrei, B = prietenii lui Bogdan,

C = prietenii lui Cornel şi D = prietenii lui Doru, textul dat se rescrie astfel: Toţi A sunt B; Nici un A nu este C; Unii B nu sunt C; Toţi D sunt C; Nici un D nu este B, iar diagramele Euler ne arată că Andrei şi Doru nu au prieteni comuni.

B C A D 25. Diagramele ne arată că nu se poate enunţa decât c. A C B


26. Nu, deoarece noţiunea C se poate raporta faţă de B în trei feluri:

B C2 A C3 C1 27. Sunt posibile trei raporturi, exprimabile prin următoarele forme

propoziţionale: (i) Toţi C sunt A; (ii) Unii C sunt A; (iii) Unii C nu sunt A; (iv) Nici un C nu este A.

A C1 B C3 C2 28. Notăm cu A = cei care mănâncă praz; B = cei care mănâncă

spanac; C = cei care mănâncă morcovi; D = cei care mănâncă cartofi; textul enunţă următoarele forme propoziţionale:

a) Toţi B sunt A (Unii A sunt B) d) Toţi B sunt D b) Nici un B nu este C e) Toţi C sunt D c) Unii A nu sunt C f) Unii A nu sunt D

Logică

Diagrama se prezintă astfel: D A B C 29. Notăm cu A = cei care preferă programele culturale; B = cei

care preferă programele muzicale; C = cei care preferă programele sportive; D = cei care preferă filmele; E = cei care preferă programele de ştiri. Textul enunţă următoarele forme propoziţionale:

a) Unii D sunt A (Toţi A sunt D) f) Unii D nu sunt B b) Nici un A nu este C g) Toţi A sunt E c) Unii D nu sunt C h) Toţi D sunt E d) Toţi A sunt B i) Unii B nu sunt E e) Toţi C sunt B j) Unii C nu sunt E Diagrama arată astfel: E D A C

B 30. Se analizează conform regulilor definiţiei. 31. Se decide conform criteriului.


32. a, b, c, e, f, m, n, p, q sunt incorecte, încălcând diferite reguli ale definiţiei; pentru celelalte definiţii se decide conform condiţiilor.

33. Nici o clasificare nu este corectă. 35. Presupunem că SiP = 0; SoP = 0. Rezultă, conform raportului

de contradicţie, că SaP = 1 şi SeP = 1, ceea ce contrazice definiţia rapor-tului de contrarietate.

38. a) Notând S = ‘număr impar’ şi P = ‘pătrat impar’, avem următoarea secvenţă de transformări logice:

SaP →o Se PP c→ eS SaPo→ Revenind la limbajul natural, contrapusa parţială este: ‘Nici un

pătrat impar nu este (pătratul unui număr) par’, iar contrapusa totală este: ‘Toate pătratele pare sunt pătratele unor numere pare’.

b) Procedând identic, se obţin propoziţiile: ‘Unii necăminişti sunt bursieri’; ‘Unii necăminişti nu sunt nebursieri’.

39. Notăm S = ‘cristale’, P = ‘solide’; simbolic, propoziţiile date sunt: (a) SaP; (b) PoS; (c) S oP; (d) SeP; (e) SiP; (f) P oS; (g) PaS. Efectuăm toate transformările posibile ale fiecărei propoziţii date şi stabilim raporturile de opoziţie sau de echivalenţă logică acolo unde este cazul.

40. Notate simbolic, propoziţiile date sunt: (1) Aa B ; (2) A iB; (3) A eB; (4) AiB. Efectuând inferenţe imediate, pentru a stabili toate transformările posibile, depistăm variantele care satisfac condiţia (acelaşi subiect / predicat logic).

(1) Aa B →c B iA →o B o A ; Aa B →o AeB →c BeA →o Ba A →c A iB

→o A o B ; (2) A iB →c Bi A →o BoA;

A iB →o A o B ; (3) A eB →c Be A →o BaA →c AiB →o Ao B ;

A eB →o B a A →c B i A →o B oA; (4) AiB →c BiA →o Bo A ;

AiB →o Ao B .

Logică

Soluţii: BeA; BoA; BaA; BiA sau Ba A ; Bi A ; Be A ; Bo A . Se vede că între cele patru propoziţii există toate raporturile din pătratul logic.

41. Notăm S = ‘acţiune umană’; P = ‘acţiune justificabilă’. Efec-tuăm apoi prin inferenţe imediate toate transformările posibile ale propoziţiilor date şi depistăm relaţiile logice:

(1) S a P →c P i S →o P oS; S a P →o S eP →c Pe S →o PaS →c SiP →o So P ;

(2) P a S →c S i P →o S oP; P a S →o P e S →c S e P →o SaP →c PiS →o Po S ;

(3) Po S →o PiS →c SiP →o So P ; (4) Pe S →c S eP →o S a P →c P i S →o P oS;

Pe S →o PaS →c SiP →o So P ; (5) S o P →o S iP →c Pi S →o PoS; (6) So P →o SiP →c PiS →o Po S ; (7) Pi S →c S iP →o S o P ;

Pi S →o PoS. Relaţiile logice sunt: (1) ↔ (4) şi (1) → (6); (2) → (3); (3)↔ (6);

(4) → (6); (5) ↔ (7). De aici se extrag mai departe consecinţele. În plus, având în vedere şi raporturile de opoziţie, se pot evidenţia şi alte derivări posibile; de exemplu: S a P →o S eP →c Pe S , din care derivăm subalterna Po S , adică (1) → (3) etc.

42. corecte a, b; restul incorecte. 43. Notăm S = ‘militar’; P = ‘fricos’. Simbolic, propoziţia dată

este SeP. Alternând conversiunea şi obversiunea, din propoziţia iniţială se pot deriva:

a) SeP →c Pes →o Pa S →c S iP →o S o P


b) SeP →o Sa P →c P iS →o P o S Notate simbolic, se regăsesc printre derivate a ( S iP), e ( S o P )

şi g ( P o S ). 44. Se procedează similar. Notăm S = ‘fotbalist’; P = ‘bogat’.

Propoziţia dată este SiP. Derivatele sunt: a) SiP →c PiS →o Po S ; b) SiP →o So P . Nu poate fi derivată decât e (PiS).

45. Demonstraţie prin reducere la absurd. Fie ipoteza H: dintr-o premisă universală şi una particulară se poate deriva o concluzie universală; ipoteze subsecvente:

H1 ambele premise negative; se respinge conform L.4; H2 ambele premise afirmative (A + I); consecinţe: 1. necesar M+ (L.1); 2. concluzia afirmativă (L.3); 3. concluzia

este universal afirmativă: SaP (H); 4. în concluzie, S+; 5. necesar S+ şi în premisa minoră (L.2); 6. în premise există un singur termen distribuit (subiectul universalei); 7. în premise trebuie să fie doi termeni distribuiţi (M şi S).

H3 o premisă afirmativă şi una negativă (A + O) sau (E + I); consecinţe: 1. în cele două premise există doi termeni distribuiţi (subi-ectul universalei şi predicatul negativei); 2. concluzia negativă (L.5); 3. concluzia este universal afirmativă: SeP (H); 4. în concluzie, S+ şi P+; 5. necesar S+, P+ şi în premise (L.2); 6. necesar M+ (L.1); 7. sunt necesari trei termeni distribuiţi în premise, dar nu se pot distribui decât doi.

46. Demonstraţie: 1. P– în concluzie ⇒ concluzie afirmativă; 2. ambele premise afirmative (L.3) şi (L.5); 3. P+ în majora afirmativă numai dacă e subiect de universală ⇒ majora este PaM; 4. în majoră M– (predicat de afirmativă); 5. necesar M+ în minoră (L.1); 6. M+ în minora afirmativă numai dacă e subiect de universală ⇒ minora este MaS. Deci, silogismul căutat este aai - 4.

47. Demonstraţie: 1. în concluzia universală, S+ ; 2. necesar S+ şi în minoră (L.2); 3. necesar M+ cel puţin o dată (L.1); 4. în premise sunt necesari cel puţin doi termeni distribuiţi.

H1 concluzia universală afirmativă; consecinţe: 1, ambele premise afirmative (L.3) şi (L.5); 2. ambele premise universale (L.7);

Logică

3. în cele două premise de tip A există doi termeni distribuiţi: S şi M⇒M poate fi distribuit o singură dată.

H2 concluzia universală negativă; consecinţe: 1. o premisă negativă (L.3) şi (L.5); 2. ambele premise universale (L.7); 3. în cele două premise A + E există trei termeni distribuiţi (subiectele univer-salelor, predicatul negativei); 4. în concluzia negativă, P+; 5. necesar P+ şi în majoră (L.2); 6. sunt necesari trei termeni distribuiţi în premise (S, P şi M) ⇒ M poate fi distribuit o singură dată.

48. Demonstraţie: 1.minora negativă ⇒ concluzie negativă (L.5); 2. minora negativă ⇒ majora afirmativă (L.4); 3. necesar P+ şi în majoră (deoarece în concluzia negativă P+) (L.2); 4. P+ în majora afirmativă numai ca subiect de universală ⇒ majora este PaM.

49. Demonstraţie: 1. necesar M+ (L.1) ⇒ unicul termen distribuit în premise este M; 2. M+ o singură dată, S– şi P– numai dacă premisele sunt A + I (unicul termen distribuit fiind subiectul universalei); 3. se exclude fig. a II-a conform R.2(II). Soluţii: aii-1; aii-3; iai-3; iai-4.

50. Demonstraţie: M+ în ambele premise în următoarele ipoteze: H1 predicat în două premise negative; se exclude conform (L.4); H2 subiect în două premise universale; soluţii: aai-3; eao-3; H3 subiect de universală şi predicat de negativă; unică soluţie eao-4.

51. Demonstraţie: 1. concluzia negativă (L.5); 2. în concluzia negativă, M+; 3. necesar P+ şi în majoră (L.2); 4. în majora de tip I nici un termen distribuit.

52. Demonstraţie: H = minora negativă; consecinţe: 1. concluzie negativă (L.5); 2. în concluzia negativă, P+; 3. necesar P+ şi în majoră (L.2); 4. ca predicat, P+ în majoră numai dacă aceasta ar fi, la rândul ei, negativă, ceea ce se exclude prin (L.4); ⇒ minora afirmativă.

53. Demonstraţie: în premise nu pot exista mai mult de trei termeni distribuiţi (în varianta A + E)

H1 concluzia universală afirmativă; consecinţe: 1. ambele premise afirmative (L.3) şi (L.5); 2. ambele premise universale (L.7); 3. în cele două premise A + A există doi termeni distribuiţi (subiectele) în concluzia de tip A, S+; 4. necesar S+ şi în minoră (L.2) ⇒ M+ o singură dată.


H2 concluzia universală negativă; consecinţe: 1. o premisă negativă (L.3) şi (L.5); 2. ambele premise universale (L.7); 3. în premise (A + E) există trei termeni distribuiţi (subiectele + predicatul negativei); 4. concluzie negativă (L.5); 5. în concluzia universală negativă, S+, P+; 6. necesar S+, P+ şi în premise (L.2) ⇒ M+ o singură dată.

54. Demonstraţie: 1. în concluzia de tip A, S+; 2. o concluzie de tip A poate rezulta numai din două premise de acelaşi tip; 3. în minora afirmativă, S–.

55. Demonstraţie: 1. majora afirmativă (L.4); 2. concluzia nega-tivă (L.5); 3. în concluzia negativă, P+; 4. necesar P+ şi în majoră (L.2); 5. majora este PaM; 6. în majoră, M– (predicat de afirmativă); 7. necesar M+ în minoră (L.1) – numai dacă minora este SoM ⇒ silogismul este aoo-2.

56. Demonstraţie: 1. concluzie negativă (L.5); 2. în concluzie, P+; 3. necesar P+ şi în majoră (L.2); 4. în majora de tip I nici un termen distribuit.

57. Demonstraţie: 1. o concluzie de tip A poate rezulta numai din două premise de acelaşi tip (L.3), (L.5) şi (L.7); 2. se exclude fig. II conform R.2(II); 3. se exclud fig. III şi IV. (S+ în concluzie; S– în minoră ca predicat de afirmativă).

58. Demonstraţie: 1. unul din cei doi termeni distribuiţi este nea-părat M (L.1); 2. singurele moduri în care M+ de două ori sunt aai-3, eao-3 şi eao-4 soluţii: eao-3 şi eao-4, în care M+ şi P+ fiecare de câte două ori.

59. Demonstraţie: 1. o concluzie de tip A nu poate rezulta decât din două premise de acelaşi tip (L.3), (L.5) şi (L.7); 2. în concluzie, S+; 3. în minoră, S– (predicat de afirmativă).

Logică

Capitolul 3 1. a) (p + q) →[ r ∧ (s + t)]; b) [(p ∧ q) + (r ∧ s)] ∧ ( t ∨ u ); 2. Formele logice sunt:

H1 H2 H3 (a) (p + q) → r 1 0 1 (b) ( p ∧ q) → r 1 0 1

(c) p + (r ∧ q) 1 0 0 (d) p ∧ q ∧ r 0 0 0

(e) r → (p ∧ q ) 1 1 1

H1 p = 1; q = 0; r = 1 H2 p = 0; q = 1; r = 0 H3 p = 0; q = 0; r = 0

3. a = 1; b = 1; c = 1; d = 0. 4. a) (q ∨ r) poate fi falsă numai dacă q = 0 şi r = 0; cum p ↔ q,

rezultă că p = 0; b) dacă (p ↔ q ) este adevărată, atunci neapărat sau p sau q este adevărată; deci formula (p ∨ q) este în orice caz adevărată; valoarea formulei (p ∨ q) → r, având antecedentul adevărat, depinde de valoarea lui r: este adevărată dacă r = 1, este falsă dacă r = 0; c) (p → q) poate fi falsă numai dacă p = 1 şi q = 0; în acest caz, valoarea disjuncţiei (q ∨ r) depinde de r: este adevărată dacă r = 1, este falsă dacă r = 0.

5. a, b, c sunt formule contingente; d este lege logică (tautologie). 6. a, b, f formule contingente; c, e tautologice; d, g inconsistente. 7. a, b – tautologii (legi logice); c – inconsistentă; d, e –

contingente. Iată câteva exemplificări, menite să clarifice tehnica reduce-rii progresive a variabilelor. Fie exerciţiul a), în care formula

qpqp ∨↔∧ este una dintre echivalenţele De Morgan. Presupunem prin ipoteza H1 că variabila p are valoarea logică 0, deci este falsă.

H1 p = 0 expresia devine: qq ∨↔∧ 10

aplicând R.2 şi R.3 0 ↔ 1


1 ↔ 1 Aplicând regulile de reducţie demonstrăm că dacă p este fals,

indiferent de valoarea lui q, expresia este lege logică. Rămâne să vedem ce se întâmplă în ipoteza H2, anume că p este adevărat.

H2 p = 1 expresia devine: qq ∨↔∧ 01

q ↔ q cf. R.1 şi R.4 1 Şi în ipoteza p = 1, expresia este lege logică, indiferent de valoarea

logică a lui q. Am demonstrat astfel că, pentru orice combinaţie de valori logice ale variabilelor componente, expresia este tautologică.

Fie exerciţiul c): procedura este aceeaşi: H1 p = 0 expresia devine: [0 ∧ (0 ∨ q)] ↔ )0(0 r∧∨

conform R.4 şi R.2 (0 ∧ q) ↔ 00∨ conform R.2 0 ↔ 1 0 Dacă p = 0, indiferent de valorile lui q, expresia este incon-

sistentă. H2 p = 1 expresia devine: [1 ∧ (1 ∨q)] ↔ )1(1 r∧∨ conform R.3 şi R.1 (1 ∧ 1) ↔ 0 conform R.3 1 ↔ 0 0 Dacă p = 1, indiferent de valorile lui q, expresia este, de aseme-

nea, inconsistentă. Rezultă că expresia este o contradicţie logică. În sfârşit, să vedem şi o funcţie contingentă – exerciţiul d). H1 p = 0 expresia devine: [0 ∨ ( q ∧ r)] → 1 ∨ q

conform R.4 şi R.3 q ∧ r → 1 1 Dacă p = 0, indiferent de valorile lui q, expresia este adevărată. H2 p = 1 expresia devine: [1 ∨ ( q ∧ r)] → 0 ∨ q

Logică

conform R.3 şi R.4 1 → q Se observă acum că, dacă p = 1, valoarea expresiei depinde de

valoarea logică a celeilalte variabile, q; dacă, în ipoteza H3, q = 0, expresia este falsă, iar în ipoteza H4, q = 1, expresia este adevărată. Avem, prin urmare, de-a face cu o funcţie realizabilă contingentă, care poate fi adevărată sau falsă, în funcţie de combinaţiile de valori logice ale componentelor atomice.

8. Formalizate, expresiile sunt: (a) (p ∧ q) → r; (b) p →( r →q );

(c) )( qp ∧ ↔ r; (d) p ∧ q ∧ r ; prin tabele de adevăr se determină următoarele relaţii logice: a şi b sunt logic echivalente; a, b şi d sunt reciproc inconsistente; d implică logic c.

9. Formalizate, cele trei declaraţii arată astfel: (A) q ∧ r ; (B) p → r; (C) r ∧ (p ∨ q); din tabelul de adevăr rezultă imediat soluţiile: (a) da – linia 6; (b) C decurge logic din A; (c) A şi C sunt false, B este adevărată; (d) A şi C sunt nevinovaţi; B este vinovat.

10. Formalizat, raţionamentul este: (p + q ) ∧ (r → p ) ⇒ ⇒

(q → r ). Prin tabele de adevăr, se demonstrează că premisele implică logic concluzia (pe liniile 2, 7 şi 8 ambele premise au valoarea 1, idem concluzia).

11. Toate raţionamentele sunt valide. 12. a) Raţionamentul de forma [(p ∨ q) ∧ p] → q este incorect. b) Notat simbolic, raţionamentul arată astfel: p ∨ q (p ∧ q) → r r → s deci s → ( qp ∨ ) Având patru variabile, ar trebui să construim un tabel de adevăr cu

16 linii! Din fericire, putem evita acest proces laborios: tranzitivitatea implicaţiei (sau regula silogismului categoric) ne permite să comprimăm ultimele două linii ale raţionamentului într-una singură, în care variabila s nu mai apare:


r → ( qp ∨ ) Printr-un tabel cu 8 linii se arată că argumentul este valid. c) Raţionamentul, de forma p → (q ∨ r) (q ∧ r) → s deci p → s

nu este valid, deoarece a doua premisă condiţionează cearta de la nuntă de faptul că Roxana şi Cornelia sunt amândouă domnişoare de onoare, în vreme ce prima premisă lasă deschisă posibilitatea ca numai una dintre ele să fie domnişoară de onoare.

13. Iată demonstraţiile tuturor exerciţiilor. În coloana a doua sunt trecute premisele din care se efectuează deducţia; în coloana a treia, paşii demonstraţiei; în ultima coloană, cifrele indică liniile din care se deduce, iar literele arată schema elementară de deducţie utilizată.

a) (1) 1. p → q P (2) 2. p ∧ r P (3) 3. q ∨ s P

(4) 4. s → t P (2) 5. p 2 (S) (1, 2) 6. q ( q ) 1, 5 (PP)

(1, 2, 3) 7. s 3, 6 (TP) (1, 2, 3, 4) 8. t 4, 7 (PP) b) (1) 1. p → q P

(2) 2. q → r P (3) 3. r → s P (4) 4. s → (t ∨ u) P (5) 5. (t ∨ u) → v P

(6)

6. p

Ps

(1, 2, 3) 7. p → s 1, 2, 3 (SI)

Logică

(1, 2, 3, 6) 8. s 7, 8 (PP) (1, 2, 3, 4, 6) 9. t ∨ u 4, 8 (PP) (1,2,3,4,5,6) 10. v 5,9 (PP) (6, 10) 11. p → v 6, 10 (Cd)

c) (1) 1. p ∨ q P

(2) 2. q → (r ∧ s) P (3) 3. t → r P (4) 4. p Ps

(1, 4) 5. q 1, 4 (TP) (1, 2, 4) 6. r ∧ s 2, 5 (PP) (1, 2, 4) 7. r ( r ) 6 (S) (1, 2, 3, 4) 8. t 3, 7 (TP) 9. p → t 4, 8 (Cd)

d) (1) 1. s ∨ t P (2) 2. r → t P (3) 3. q → r P (4) 4. (s ∨ p) → r P (2, 3) 5. q → t 2, 3 (SI) (5) 6. q Ps (2, 3, 5) 7. t ( t ) 5, 6 (PP) (1, 2, 3, 5) 8. s 1, 7 (TP) (1, 2, 3, 5) 9. s ∨ p 8 (Ad) (1, 2, 3, 4, 5) 10. r 4, 9 (PP) 11. q → r 6, 10 (Cd)


14. a) Forma simbolică a raţionamentului este: p ∨ q p → r q → s deci r ∨ s

H1 p = 0 ⇒ 0 ∨ q se reduce la q conjuncţia q ∧ 1 = q 0 → r se reduce la 1 q → s deci r ∨ s

Raţionamentul se prezintă, după reducţiile posibile în ipoteza H1, astfel:

q q → s deci r ∨ s Din cele două premise, prin modus ponens, extragem s; iar de la

s, prin regula adiţiunii, obţinem s ∨ r, echivalent (datorită comutativităţii conjuncţiei) cu r ∨ s. În ipoteza H1, p = 0, raţionamentul este valid.

H2 p = 1 ⇒ 1 ∨ q se reduce la 1 conjuncţia 1 ∧ r = r 1 → r se reduce la r

q → s deci r ∨ s După reducţiile posibile în ipoteza H2, raţionamentul se prezintă

astfel: [r ∧ (q → s)] → r ∨ s H3 q = 0 ⇒ [r ∧ (0 → s)] → r ∨ s (r ∧ 1) → r ∨ s r → r ∨ s 1 (aplicând regula adiţiunii) H4 q = 1 ⇒ [r ∧ (1 → s)] → r ∨ s r ∧ s → r ∨ s Din r ∧ s putem extrage r prin regula simplificării, iar din r putem

deduce r ∨ s prin regula adiţiunii. Rezultă că şi în ipoteza H2 raţio-namentul este valid.

Logică

b) Raţionamentul, de forma (p → q) → ( q → p ), este construit pe schema logică a contrapoziţiei implicaţiei materiale şi este, fireşte, valid.

c) Raţionamentul, de forma [(p + q) ∧ rq ∧ ] → p ↔ r, este invalid.

d) Idem, forma argumentului fiind [(p → q)∧( pr → ) → q . 15. Da; formalizat, raţionamentul şi demonstraţia:

(1) 1. p → q P (2) 2. r → p P (3) 3. q P

(1, 2) 4. r → q 1, 2 (SI) (1, 2, 3) 5. r 3, 4 (TT)

16. Da; raţionamentul şi demonstraţia sunt: (1) 1. p → (q → r) P

(2) 2. q ∧ r P (2) 3. )( rq → 2 (L.6)

(1, 2) 4. p (p) 1, 3 (TT)

17. Raţionamentul este corect; demonstraţie: (1) 1. p → q P

(2) 2. r → p P

(3) 3. q ∨ s P (4) 4. s P

(1,2) 5. r → s 1,2 (SI) (3,4) 6. q 3,4, (TP) (3,4) 7. q 6 (dubla negaţie)

(1,2,3,4) 8. r 5,7 (TT) 18. Cele trei declaraţii sunt: A: p ∧ q ; B: (r ∨ q) ∧ p C: q → p


p → r r → q p → r

deci p deci q r deci q ∨ p Prin tabele de adevăr, rezultă: a) da (pe linia 5); b) nu; A are

avocat.

19. Cele trei prognoze sunt: A: p ∧ ( r → q); B: (q → p ) ∧ r; C: r ∧ [p ∨ (p ∧ q)]. Din tabelul de adevăr rezultă: a) da – linia 3; b) da – liniile 4, 6, 8; c) dacă A spune adevărul, ceilalţi se înşeală; idem pentru B; dacă C spune adevărul, C → A.

20. Testat prin oricare dintre metodele cunoscute, argumentul este valid – dacă acceptăm adevărul premiselor. Iată câteva variante de demonstraţie. Notând cu p = ‘Dumnezeu poate şti mai mult’ şi cu q = ‘Dumnezeu este omniscient’, argumentul este de forma:

p → q

p → q

p ∨ p

q Folosind testarea cu ajutorul schemelor elementare de deducţie

obţinem:

1. p → q P

2. p → q P

3. p ∨ p P

4. p ∧ p 3. comutativitate

5. p → p 4. definiţie 6. p 5. reflexivitate 7. q 1, 6 (PP)

Logică

Prin metoda de calcul prescurtat obţinem acelaşi rezultat: H1 p = 0 ⇒ 0 → q se reduce la 1

1 → q se reduce la q 0 ∨ 1 se reduce la 1 deci q

Deoarece conjuncţia premiselor se reduce la q , raţionamentul se

reduce la tautologia q → q ; idem în cazul

H2 p = 1 ⇒ 1 → q se reduce la q

0 → q se reduce la 1 1 ∨ 0 se reduce la 1 deci q

În H2 conjuncţia premiselor se reduce la q . Şi tabelul de adevăr confirmă validitatea raţionamentului.

Argumentul este totuşi discutabil, deoarece adevărul ambelor pre-mise nu este de loc evident: dacă Dumnezeu poate şti mai mult decât ştie, nu este omniscient (admiţând că există lucruri cognoscibile, pe care Dumnezeu nu le cunoaşte – postulat indecidabil şi extrem de discutabil). Iar dacă Dumnezeu nu poate şti mai mult decât ştie, nu rezultă neapărat că nu e omniscient – căci se poate admite că nu mai există nimic de cunoscut în afara inteligenţei divine –, ci rezultă, cel mult altceva, şi anume faptul că Dumnezeu nu este omnipotent. Argumentul ar trebui reconstruit sub forma unei dileme complexe, de forma: ‘Dacă Dumnezeu poate şti mai mult decât ştie, atunci nu este omniscient. Dacă Dumnezeu nu poate şti mai mult decât ştie, atunci nu este omnipotent. Or, Dumnezeu poate sau nu poate şti mai mult decât ştie. Deci, El sau nu este omniscient, sau nu este omnipotent.”

Simbolic, argumentul se prezintă astfel: p → q

p → r

p ∨ p


deci q ∨ r Şi acest argument, mult mai puternic, se dovedeşte valid prin

oricare din metodele de testare cunoscute. 21. Faimosul ‘pariu’ pascalian nu este un argument obişnuit, ci

comportă numeroase dificultăţi şi comentarii logico-filosofice, morale şi teologice. În aparenţă, raţionamentul este alcătuit din trei variabile propoziţionale: p = ‘Dumnezeu există’; q = ‘pariezi pe Dumnezeu’ şi r = ‘câştigi totul’. Cu aceste trei variabile, raţionamentul exprimat simbolic ar arăta astfel:

(p ∧ q) → r (p ∧ q ) → r

( p ∧ q) → r

( p ∧ q ) → r

p ∨ p q Prin orice metodă de testare, argumentul este invalid, întrucât

concluzia q nu este implicată logic de către premisele enunţate. La o privire mai atentă, se observă că propoziţia p = ‘câştigi totul’

este negată numai de propoziţia p = ‘nu câştigi nimic’; a pierde este altceva decât a nu câştiga, căci poţi să nu câştigi nimic (ori să câştigi ceva – dar nu neapărat totul), fără să pierzi ceva, după cum poţi să nu pierzi nimic din ceea ce ai, fără să câştigi ceva. Prin urmare, trebuie să introducem o a patra variabilă propoziţională, s = ‘pierzi totul’; raţionamentul devine astfel:

(p ∧ q) → r (p ∧ q ) → s

( p ∧ q) → s

( p ∧ q ) → r

p ∨ p q Nici în această variantă nu se obţine o deducţie validă. Nu trebuie

un mare efort de perspicacitate pentru a sesiza faptul că lipseşte ceva.

Logică

Concluzia q = ‘pariezi pe Dumnezeu’ nu exprimă pe deplin şi explicit gândul şi intenţia lui Pascal. Concluzia argumentului nu este o propoziţie descriptivă, care spune că efectiv tu pariezi pe Dumnezeu, ci una normativă: ‘Pariază pe Dumnezeu!’ – un sfat, o recomandare, un în-demn de a face ceva. Prin pariul său, Pascal încearcă să convingă un sceptic, ce se îndoieşte de dovezile teologice privind existenţa lui Dumnezeu şi lipsit de harul credinţei, că este raţional să rişte a se comporta ca şi cum ar fi convins de existenţa lui Dumnezeu, căci dacă Dumnezeu există (în pofida oricărui scepticism) se poate câştiga viaţa veşnică, iar dacă nu există, nu e nimic de pierdut, fiindcă ce e viaţa pământească a omului pe lângă veşnicie! Or, nu se poate extrage prin implicaţie logică o concluzie normativă din premise pur descriptive. Este absolut necesară cel puţin o premisă normativă, care lipseşte din expunerea argumentului.

Rămâne totuşi o posibilitate de reconstrucţie a pariului pascalian. Concluzia q = ‘Pariază pe Dumnezeu’ este eliptică; ea nu are sens decât dacă la premisele enunţate se mai adaugă încă una, subînţeleasă întrucât e prea evidentă: ‘Tu vrei să câştigi totul şi să nu pierzi nimic’ – ceea ce, sub aparenţa unor propoziţii descriptive, introduce nişte postulate practice, de genul ‘Orice om (cu mintea sănătoasă) vrea – (de fapt, ar trebui să vrea) să câştige cât mai mult, dacă se poate totul, şi să piardă cât mai puţin, dacă se poate nimic’. Prin introducerea acestei premise suplimentare, se poate construi un raţionament valid, în care concluzia nu este însă pro-poziţia simplă q, ci o propoziţie condiţională, de forma: (r ∧ s ) → (p → q): ‘Dacă vrei să câştigi totul şi să nu pierzi nimic, atunci dacă există Dumnezeu vei paria (de fapt tu trebuie să pariezi) pe Dumnezeu’.

Iată demonstraţia prin utilizarea schemelor elementare de inferenţă:

1. (p ∧ q) → r P1 2. (p ∧ q ) → s P2

3. ( p ∧ q) → s P3

4. ( p ∧ q ) → r P4

5. p ∨ p P5


6. r ∧ s Ps 7. s 6(S) 8. qp ∧( 2, 7 (TT)

9. p ∨ q 8 (De Morgan)

10. p → q 9 (definiţie) 11. (r ∧ s ) → (p → q) 6, 10 (Cd)

E bine să verificăm corectitudinea argumentului astfel reconstruit şi prin alte metode de testare. Foarte laborios, căci are 16 linii datorită celor patru variabile, tabelul de adevăr confirmă validitatea argumen-tului; cititorul poate verifica el însuşi faptul că în toate combinaţiile de valori logice care fac simultan toate premisele adevărate, concluzia condiţională este, la rândul ei, adevărată. Acelaşi rezultat se obţine şi prin metoda de calcul prescurtat.

Chiar dacă i se poate da o formă logică validă, pariul lui Pascal eşuează în intenţia lui fundamentală; el nu demonstrează exisenţa lui Dumnezeu – căci nicăieri în desfăşurarea argumentativă nu se ajunge prin deducţie la p, afirmaţia că ‘Dumnezeu există’, ci numai la un enunţ condiţional, de forma ‘Dacă vrei să câştigi totul şi să nu pierzi nimic, atunci dacă există Dumnezeu pariază pe El’. Or, tocmai existenţa lui Dumnezeu ar trebui să fie sigură pentru ca întregul calcul să fie rezonabil, căci numai fiinţa certă a divinităţii ne poate asigura de faptul că există nemurirea sufletului, respectiv pedeapsa eternă a iadului. Altminteri, a considera viaţa pământească a omului drept un zero în raport cu eternitatea este un calcul cât se poate de greşit, căci dacă veşnicia sufletului nu există, atunci anii de viaţă pe care-i are de trăit un om pe această lume nu mai reprezintă pentru el un nimic, ci totul. În plus, din punct de vedere strict teologic, pariul lui Pascal este o impietate, căci Fiinţa supremă nu poate fi admisă drept miză a unui joc de noroc. Şi mai nefericită este prezumţia lui Pascal că a trăi creştineşte, după canonul moralei creştine, ca şi cum Dumnezeu ar exista în mod cert, este o mare caznă şi o pierdere, care merită riscată întrucât există şansa ca pierzând viaţa din lumea de aici s-o câştigăm pe cealaltă, mult mai preţioasă, viaţa veşnică. Or, pariul lui Pascal ar fi fost mult mai convingător şi mai acceptabil din punct de vedere teologic, dacă ar fi sunat astfel: ‘A trăi

Logică

creştineşte (adică iubindu-ţi aproapele, fără să minţi, să furi, să ucizi, fără promiscuitate, trufie, excese de tot felul etc.) este în sine un mare bine, un câştig moral; dacă Dumnezeu există, mai câştigi pe deasupra şi viaţa veşnică, iar dacă Dumnezeu nu există, oricum ai câştigat, în lumea de aici, beneficiile unei condiţii morale superioare. Deci, nu ai nimic de pierdut, ci numai de câştigat’.

22. Raţionamentul este prea complex pentru a permite o trans-criere pe deplin adecvată în limbajul calculului propoziţional. După o serie de tautologii banale şi evidente, se strecoară o concluzie care nu este descriptiv asertorică (‘Moartea mea implică moartea ta’), ci o propoziţie calificată modal – ‘Este posibil ca moartea mea să atragă după sine şi moartea ta’, nefiind dat nicăieri în premise că dacă tiranul va fi socotit vulnerabil (neştiind taina citirii gândurilor), ceea ce se poate extrage uşor printr-o deducţie validă, vulnerabilitatea lui implică, de la sine, un atentat reuşit.

23. Prezentă în mai toate manualele şi culegerile de probleme apărute la noi în ultimele decenii, această dilemă clasică a avut o istorie tristă. E de presupus că primul autor care a menţionat-o a rezolvat-o greşit, iar după aceea, toţi ceilalţi autori care au reprodus-o la rândul lor, au preluat nu numai enunţul problemei, ci şi soluţia greşită. Soluţie care spune textual (din colegialitate, preferăm să nu cităm destule de numeroasele surse): ‘Concluzia primului argument: q ∧ r . Concluzia celui de-al doilea argument: r ∨ q. Dacă se neagă concluzia primului argument, obţinem prin legile lui De Morgan concluzia celui de-al doilea argument. Deci cele două concluzii sunt compatibile.”

Ceea ce surprinde de la bun început este afirmaţia că pot fi com-patibile două propoziţii, din care una este negaţia celeilalte!! E ca şi cum am spune că ‘E întuneric’ este o propoziţie compatibilă cu ‘E lumină’, deoarece negând-o pe prima o obţinem pe cealaltă!

Dar să vedem dacă într-adevăr cele două concluzii indicate sunt cele care se desprind din expunerea celor două argumente în limbajul natural. Notăm cu p = ‘spui adevărul’; q = ‘te vor iubi oamenii’; r = ‘te vor iubi zeii’. Premisele sunt clare:

p → q p → r

p → r p → q


p ∨ p p ∨ p Care sunt concluziile? E limpede că în ambele argumente conclu-

ziile sunt nişte disjuncţii exclusive: spunând adevărul, omul politic va fi urât de către oameni (respectiv va fi iubit de către zei) – minţind va fi iubit de către oameni (respectiv va fi urât de către zei). În nici un caz, concluzia primului argument, şi anume: ‘Aşadar, fiule, vei fi urât fie de către zei, fie de către oameni’ nu poate fi o conjuncţie, de forma q ∧ r ,

ci este, evident, o disjuncţie exclusivă, de forma q + r , care spune că omul politic va fi urât fie de către oameni, fie de către zei, nefiind posibil ca din acelaşi motiv, şi anume spunerea adevărului, să fie urât şi de către unii şi de către ceilalţi. Tocmai pe caracterul exclusiv al disjuncţiei din prima, ca şi din cea de-a doua concluzie, se bazează posibilitatea replicii fiului cu cel de-al doilea argument. Din păcate, dacă se acceptă conclu-ziile: (i) q + r şi (ii) q + r, argumentele nu sunt valide, căci premisele nu implică logic aceste concluzii. Dacă acceptăm în cele două concluzii disjuncţii inclusive, de forma (i) q + r şi (ii) q ∨ r, argumentele sunt

valide, dar concluziile lor sunt incompatibile, căci q ∨ r , prin De

Morgan, este echivalent cu )( rq ∧ , adică exact contradictoria sau negaţia concluziei celui de-al doilea argument, q ∨ r.

24. a) Notând cu: p = ‘Un om este predestinat’; q = ‘Are sens să lupte’; r = ‘Este nevoit să lupte’, argumentul arată astfel:

p → q

p → r

p ∨ p (premisă subînţeleasă)

deci q ∨ r Prin metoda de calcul prescurtat se demonstrează cel mai repede

că argumentul este valid. b) Formalizarea poate fi simplificată eliminând informaţiile ne-

esenţiale privind modalităţile în care Alice poate intra în grădină – ajungând la cheie sau strecurându-se pe sub uşă; esenţial este faptul că, în ambele ipoteze, rezultatul final este că intră în grădină. Astfel, putem

Logică

construi argumentul cu numai trei variabile: p = ‘mânânc mărul’; q = ‘cresc mare’; r = ‘intru în grădină’.

(p ∧ q) → r (p ∧ q ) → r

(p ∧ q) ∨ (p ∧ q ) deci r Fie prin metoda matricială, fie prin calcul prescurtat se arată la fel

de uşor că raţionamentul este valid. c) Aici formalizarea este destul de facilă şi fără dubii: p → q r → s sq ∧

deci rp ∧ Aici se văd virtuţile metodei bazate pe scheme elementare de

deducţie. Tabelul de adevăr ar avea, din cauza celor patru variabile, 16 linii. Şi calculul prescurtat ar fi destul de anevoios.

1. p → q P1 2. r → s P2 3. sq ∧ P3

4. sq ∨ 3(De Morgan)

5. q → s 4(definiţie) 6. p → s 1, 5 (SI) 7. p Ps 8. s 6,7 (PP) 9. r 2, 8 (TT)

10. p → r 7,9 (Cd) 11. p ∨ r 10. (definiţie)

12. rp ∧ 11. (De Morgan)

25. Notând cu: p = ‘Homer spune adevărul’; q = ‘Eroii sunt fiii zeilor’; r = ‘Eroii au comis fapte condamnabile’, formulele sunt:


p → (q ∧ r) q ∧ r

deci p Prin metoda calculului prescurtat se dovedeşte rapid că argumentul

este valid. 26. Transpus ca atare în limbaj simbolic, argumentul nu se

susţine. El trebuie reformulat, pentru a primi o structură logică validă. Notând: p = ‘Omul ştie că fericirea e schimbătoare’; q = ‘Omul este fericit’; r = ‘Omul este ignorant’; s = ‘omul este îngrijorat’. Raţionamentul devine astfel: ‘Omul ştie sau nu ştie că fericirea este trecătoare. Dacă nu ştie, este ignorant. Nu poţi fi ignorant şi, totodată, fericit. Dacă ştie, este îngrijorat. Nu poţi fi îngrijorat şi, totodată, fericit. Deci, nimeni nu este fericit’.

p ∨ p

p → r

qr ∧ p → s qs ∧

deci q Prin calcul prescurtat sau prin metoda matricială se dovedeşte că

argumentul este valid. 27. Notând: p = ‘Se alege soluţia A’; q = ‘Se alege soluţia B’; r

= ‘Se alege soluţia C’; s = ‘Se alege soluţia D’ şi t = ‘Se află soluţia’, formulele sunt:

qt

qs

qr

qp

↔

↔

→

∨

Logică

Prin metoda (din păcate inevitabilă) a tabelului de adevăr, se arată că trebuie aleasă soluţia C.

pagina6

Documents

Transcript of pagina6