Lab. 06. Abordarea matematic i cu elemente finite pentru grinda de egal rezisten i pentru concentratorul de tensiuni

orificiu ntr-o plac solicitat n planul ei pe unda sau dou direcii perpendiculare

6.1. Aplicaia 1.

Se d o plac gurit ca n figura 6.1, ncrcat n planul ei cu o presiune uniform distribuit, de valoare p=100 MPa. Gaura constituie un concentrator de tensiune, care se ntrete cu o buc sudat de grosime mai mare. Se cere s se determine grosimea bucei astfel nct tensiunea echivalent n zona ntrit s fie mai mic dect o voloare prescris a

Fig.6.1. Utiliznd metoda

elementelor finite, problema poate fi abordata pentru un sfert din structur din considerente de simetrie. O prim variant de calcul poate fi rezolvarea iniial a modelului pentru un sfert din plac. Considernd c efectul concentrrii de tensiune este local se poate presupune ca deplasrile din nodurile aflate la o distanta suficient de mare de orificiul 10 mm nu se modifica considerabil. Deci urmtoarele rulri se pot face numai pentru submodelul definit ca zona din model aflat n interiorul unui sfert de cerc cu raza R (fig. 6.2). Discretizarea submodelului rmne cea initial. Pentru submodel deplasrile nodurilor comune situate pe frontier sunt cunoscute i au valorile obinute la rularea iniial, pentru ntregul model. Pentru o discretizare cu 582 de noduri si 528 de elemente finite patrulatere plane cu patru noduri pentru modelul elaborat pentru un sfert din placa din figura 6.1, se obin rezultatele prezentate in tabelul 6.1, pentru tensiunile echivalente maxime (n MPa) din buc. Deoarece trecerea de la buc la plac se face cu variaie brusca de grosime, n plac apare un efect suplimentar de concentrare, astfel nct dei tensiunea echivalent n

5 10 15 20 25

R

Frontiera submodelului

Submodel

Fig.6.2.

buc scade foarte mult, n vecinatatea ei tensiunile echivalente (n MPa) rmn destul de mari, aa cum rezult din tabelul 6.2.

Tabelul 6.1.

mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 10 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8

R 15 296.8 258.3 231.1 210.3 193.7 180.0 168.4 [mm] 20 296.8 240.6 205.2 180.2 161.4 146.5 134.4 25 296.8 230.7 191.6 165.2 145.9 131.0 119.1 Model complet 296.8 207.6 162.7 138.1 116.0 102.0 91.3

Tabelul 6.2.

mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 10 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8 296.8

R 15 296.8 258.3 231.1 210.3 219.3 229.0 236.6 [mm] 20 296.8 240.6 205.2 183.1 190.2 195.3 199.1 25 296.8 230.7 191.6 170.8 175.3 178.6 180.8 Model complet 296.8 207.6 162.7 140.5 140.9 141.0 140.8

Reprezentarea grafica a acestor rezultate se poate urmari in figura 6.3a si figura 6.3b.

Fig.6.3a.

maxech

Fig. 6.3b.

O posibilitate pentru mrirea eficienei calculului consta n rezolvarea parial (triunghiularizarea) zonei care rmne nemodificat i asamblarea elementelor cu geometria modificat n matricea ntregului model. Aceast soluie, din punct de vedere practic const n a lucra cu un superelement care este toata zona nemodificat i cu elementele din zona cu modificari, adic a submodelului (fig. 6.4).

Modelul iniial Submodel (elemente cu grosime modificata)

Fig. 6.4. 7.2. Aplicaia 2

O structur spaial din bare se modeleaz de obicei ntr-o prim variant cu elemente de grind tridimensional (BEAM). Modelele cu elemente finite de tip bar nu pot include n calcul efectul de concentrare local a tensiunilor n zonele nodurilor i atunci se impune modelarea barelor cu elemente finite de tip nveli subire (SHELL) pentru bare cu perei subiri sau cu elemente de solid tridimensional (BRICK) pentru barele pline. Aceast modelare, ns, conduce la

maxech

Superelement

modele de dimensiuni foarte mari. Pentru studiul unui singur concentrator se poate face studiul pe o substructur ca n exemplul urmtor.

Izolnd un nod de mbinare a patru grinzi de sectiune I, ca n figura 7.6, i considernd eforturile de ncrcare din vecinatatea mbinrii, se poate studia efectul de concentrare folosind o modelare cu elemente de tip SHELL.

S-au ales: a = 40 mm; b = 20 mm; t = 1 mm; h = 2 mm; R = 20 mm i s-au considerat dou cazuri de ncrcare prezentate n figura 7.7, pentru care fora F i momentul M au fost alese astfel nct tensiunile maxime rezultate conform teoriei de bar s fie 100 MPa pe fiecare ramur a mbinrii.

a) b) Fig. 7.6 Fig. 7.7

Modelul de calcul pentru varianta a) de ncrcare se poate elabora pentru un sfert din nodul considerat din motive de simetrie, ca i pentru varianta b) de altfel, pentru care ns axele se simetrie i antisimetrie ale ncrcrii sunt altele (fig. 7.8).

Fig. 7.8 Deoarece tensiunile n zona de mbinare a barelor sunt mari, se poate adopta o

soluie de ntrire a acestei zone prin modificarea local a grosimii inimii i tlpilor ca n figura 7.9.

Fig. 7.9.

Problema optimizrii acestei mbinri, const n a dimensiona inima i tlpile n zona concentratorului astfel nct tensiunile s scad sub o valoare prestabilit i s nu apar probleme de ordin tehnologic n realizarea ntririi.

ntr-o prim etap se poate efectua un calcul de sensibilitate a valorilor tensiunilor echivalente la modificarea grosimii inimii mt i a grosimii tlpii mh . Acest studiu se poate face prin modificarea succesiv sau simultan a celor doi parametri. O alt soluie ar fi modificarea racordrii (a razei R) din zona de mbinare (fig.7.6).

Programele cu elemente finite dispun de mai multe tipuri de elemente SHELL i n cazul problemei de fa s-a fcut un studiu cu privire la influena alegerii tipului de element asupra rezultatelor calculului.

Pentru cazul a) de ncrcare rezultatele (tensiunile echivalente maxime, n MPa) sunt prezentate n tabelele 7.37.9, iar pentru cazul b) n tabelele 7.10 - 7.13 Prin inim se nelege zona de grosime mt , prin talp se nelege talpa ngroat de grosime mh , iar prin global se nelege cea mai mare tensiune din modelul de calcul (fig. 7.9).

Tabelul 7.3 mt [mm] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

mh [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inim 410 427 427 419 412 407 404 402 401 400 Talp 363 223 170 164 163 162 160 159 157 155 Global 410 427 427 419 412 407 404 402 401 400

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.4 mt [mm] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 mh [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inim 417 419 411 401 393 387 384 381 380 379 Talp 391 240 182 177 179 179 178 178 178 178 Global 417 419 411 401 393 387 384 381 380 379

624 elemente shell cu 8 noduri, 2001 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.5 mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Inim 427 211 166 159 156 154 152 151 150 149 Talp 223 183 166 159 156 154 152 151 150 149 Global 427 211 166 159 157 160 162 164 165 167

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.6

mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Inim 419 215 180 178 176 175 175 174 174 174 Talp 240 198 180 178 176 175 175 174 174 174 Global 419 215 180 178 176 175 175 174 174 174

624 elemente shell cu 8 noduri, 2001 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.7 mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Inim 428 210 153 143 136 133 130 128 126 125 Talp 232 169 153 143 136 133 130 128 126 125 Global 428 210 153 143 142 143 143 143 144 144

1028 elemente shell cu 3 noduri, 579 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.8 mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inim 410 211 144 122 111 103 97,9 93,4 89,6 86,6 Talp 363 183 139 122 111 103 97,9 93,4 89,6 86,6 Global 410 211 144 125 117 112 109 107 106 106

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.9 R [mm] 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Inim 557 531 497 460 427 397 371 362 352 342 Talp 324 257 236 227 223 219 215 211 207 203 Global 557 531 497 460 427 397 371 362 352 342

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.10 mt [mm] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 mh [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inim 427 443 431 412 396 385 378 373 369 367 Talp 672 384 258 190 159 136 116 99.7 86.1 74.8 Global 562 396 379 360 346 336 329 325 323 321

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.11 mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Inim 443 221 147 118 106 99.4 93.6 88.5 84.0 80.1 Talp 384 305 260 231 211 195 183 174 167 161 Global 396 253 212 186 175 178 180 182 183 185

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.12 mt [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mh [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inim 427 221 148 110 87.6 72.1 61.0 52.8 46.5 41.5 Talp 672 305 191 143 113 91.8 75.6 63.4 54.0 46.7 Global 562 253 157 130 121 114 110 110 110 110

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Tabelul 7.13 R [mm] 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Inim 733 647 567 499 443 395 356 322 294 270 Talp 701 546 474 424 384 349 321 298 280 264 Global 568 525 481 437 396 359 327 299 275 254

624 elemente shell cu 4 noduri, 689 noduri pentru discretizare

Dac se reprezint grafic variaia tensiunii echivalente maxime pentru ntregul model, funcie de parametrii modificai, pentru cele dou cazuri de ncrcare (fig.7.10-7.12) se observ influena tipului de ncrcare asupra procesului de optimizare (diagramele de sensibilitate).

Graficul din figura 7.10 s-a reprezentat pe baza valorilor din tabelele 7.3 i 7.10, deci pentru =mt 1 mm. Graficul din figura 7.11 s-a reprezentat pe baza valorilor din tabelele 7.5 si 7.11, deci pentru =mh 2 mm. Graficul din figura 7.12 s-a reprezentat pe baza valorilor din tabelele 7.9 si 7.13, deci pentru =mt 1 mm, =mh 2 mm i prezint efectul razei de racordare asupra tensiunii echivalente maxime.

Se poate trage concluzia c modificarea parametrilor mt si mh peste valori de 5 mm nu conduce la scderi considerabile ale tensiunilor din nod, din contra saltul mare de grosimi ale tablei conduce la apariia unor concentratori suplimentari. Modificarea parametrului mh pentru solicitarea cazului a) este ineficient, tensiunea maxima rmne practic constant. Soluia viabil ramne creterea razei de racordare pentru care tensiunile scad n ambele cazuri de ncrcare.

Fig. 7.10

Fig. 7.11

Fig. 7.12