Operatori in spatii Hilbert

Definitie , exemple ,si proprietati

Master TCSI- anul 1Student : Nenciu(Draghia)LianaProfesor

indrumator :conf.dr.CATANA V.

DefinitieO transformare liniară (numită

şi operator liniar) este o functie care formalizează o relaţie dintre două spatii vectoriale, ce conservă operaţiile de adunare şi inmultire.

1.Operator Norma - ||·||

1.1 Definitie:Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si A= operator continuu, liniar si marginit

A : H1 -> H2

=> ||A|| = sup { ||Ax|| : ||x|| ≤ 1 }

2.Operatorul unitate(identitate) - Ĩ2.1.Definitie : este operatorul care

returnează intotdeauna aceeaşi valoare care a fost folosita ca argument.

Fie Ĩ = operatorul unitatea

Ĩ x = x ; cand x Є E

2.2.Proprietate ;

- este un operator marginit

(α Ĩ ) x = α x ; α=scalar

|| Ĩ || = 1

3.Operatorul nul – Ø sau 0

3.1.Definitie si proprietati:

Operatorul nul are alocati vectori “0” pentru oricare ar fi elementul E

-este un operator marginit cu proprietatea:

||0|| = 0

4.Operatorul invers - Aˉ¹

4.1.Proprietati: Inversul unui operator liniar este si el un

operator liniar, Un operator A este inversabil < = >

Ax = x => x=o daca operatorii A si B au operatori

inversabili atunci si produsul AB este inversabil :

(A·B)ˉ¹ = A ˉ¹ · B ˉ¹

5. Adjunctul unui operator – A*5.1.Definitie:Fie H un spatiu Hilbert (complex)

infinit dimensional si separabil,Fie A un operator definit pe spatiul

Hilbert H => A* : H->H si x,y Є H

< Ax , y > = < x , A*y>

5. Adjunctul unui operator – A*5.2.Proprietatile Adjuctului:(A+U)* = A* + U*(aA)* = ā A* unde a=scalar(a A + u U)* = ā A* + ū U* unde a si

u=scalari(A*)* = A(A · U)* = U * · A*(A ˉ¹ )* = (A*)ˉ¹

5. Adjunctul unui operator – A*5.3.Teorema :Daca exista operatorii A si A* si

sunt delimitati => || A || = ||A*|| || A* · A || = || A ||²Daca A = A* => A= autoadjunct

-normal daca : A · A* = A* · A

-unitar daca : A · A* = A* · A = Ĩ

Unde Ĩ = operator unitate(identitate)