Operatori in spatii Hilbert
Definitie , exemple ,si proprietati
Master TCSI- anul 1Student : Nenciu(Draghia)LianaProfesor
indrumator :conf.dr.CATANA V.
DefinitieO transformare liniară (numită
şi operator liniar) este o functie care formalizează o relaţie dintre două spatii vectoriale, ce conservă operaţiile de adunare şi inmultire.
1.Operator Norma - ||·||
1.1 Definitie:Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si A= operator continuu, liniar si marginit
A : H1 -> H2
=> ||A|| = sup { ||Ax|| : ||x|| ≤ 1 }
2.Operatorul unitate(identitate) - Ĩ2.1.Definitie : este operatorul care
returnează intotdeauna aceeaşi valoare care a fost folosita ca argument.
Fie Ĩ = operatorul unitatea
Ĩ x = x ; cand x Є E
2.2.Proprietate ;
- este un operator marginit
(α Ĩ ) x = α x ; α=scalar
|| Ĩ || = 1
3.Operatorul nul – Ø sau 0
3.1.Definitie si proprietati:
Operatorul nul are alocati vectori “0” pentru oricare ar fi elementul E
-este un operator marginit cu proprietatea:
||0|| = 0
4.Operatorul invers - Aˉ¹
4.1.Proprietati: Inversul unui operator liniar este si el un
operator liniar, Un operator A este inversabil < = >
Ax = x => x=o daca operatorii A si B au operatori
inversabili atunci si produsul AB este inversabil :
(A·B)ˉ¹ = A ˉ¹ · B ˉ¹
5. Adjunctul unui operator – A*5.1.Definitie:Fie H un spatiu Hilbert (complex)
infinit dimensional si separabil,Fie A un operator definit pe spatiul
Hilbert H => A* : H->H si x,y Є H
< Ax , y > = < x , A*y>
5. Adjunctul unui operator – A*5.2.Proprietatile Adjuctului:(A+U)* = A* + U*(aA)* = ā A* unde a=scalar(a A + u U)* = ā A* + ū U* unde a si
u=scalari(A*)* = A(A · U)* = U * · A*(A ˉ¹ )* = (A*)ˉ¹
5. Adjunctul unui operator – A*5.3.Teorema :Daca exista operatorii A si A* si
sunt delimitati => || A || = ||A*|| || A* · A || = || A ||²Daca A = A* => A= autoadjunct
-normal daca : A · A* = A* · A
-unitar daca : A · A* = A* · A = Ĩ
Unde Ĩ = operator unitate(identitate)