OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

SUCEAVA

22 februarie 2014

CLASA a V-a 1. i). (3p) Să se arate că oricare ar fi 5 numere prime distincte mai mari decât 5, există cel puţin două a căror diferenţă este divizibilă cu 10.

ii). Un număr natural de forma abcd se numește deosebit dacă cdab 5 . a) (2p) Câte numere deosebite există? b) (2p) Arătați că orice număr deosebit se divide cu 7.

2. Un apicultor dispune de o cantitate de miere exprimată printr-un număr natural de trei

cifre, numere prime distincte, notat cu abc , astfel încât una din cifre reprezintă media aritmetică a celorlalte două. Ştiind că în prima zi vinde o cantitate în kg, egală cu suma

cifrelor numărului abc , a doua zi vinde a treia parte din cantitatea rămasă, iar în următoarea zi restul de 240 kg, să se afle cantitatea inițială de miere.

3. Fie mulțimea A = {20+21; 20+22; 20+23;….; 20+22013; 21+22; 21+23;…; 21+22013; 22+23; 22+24;… 22+22013;…; 22012+22013}. a) (1p) Determinaţi mulţimea / , impaB x x A x r .

b) (3p) Să se determine cardinalul mulţimii A. c) (3p) Calculaţi suma elementelor mulţimii A. Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. 3. Timp de lucru 2 ore.

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

SUCEAVA

22 februarie 2014

CLASA a VI–a

1. Comparaţi fracţiile f1 = 544

725

625

125

a

a şi f2 =

671

1007

343

121

b

b, unde a şi b sunt numere naturale.

2. Fie a = yx 32

7

, b = ,

13

32

x

yx c = ,

7

13 x d =

22 122

25

yx, unde x, y N*.

Să se arate că a, b, c sunt simultan naturale dacă şi numai dacă d este număr natural.

3. Pe laturile (OX şi (OY ale unghiului ascuţit XOY se consideră punctele B, respectiv D, astfel încât (OB) ≡ (OD). Fie A(OB) astfel încât AB este un sfert din OB şi C(OD) astfel încât OC reprezintă 75% din OD. Dacă BC ∩ AD = {E}, arătaţi că: a) (3p) (BC) ≡ (AD); b) (2p) ΔBCD ≡ ΔDAB; c) (2p) semidreapta (OE este bisectoarea unghiului XOY.

Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. 3. Timp de lucru 2 ore.

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

SUCEAVA

22 februarie 2014

CLASA a VII-a

1. a) (4p) Arătaţi că 2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4028 4029..... 2014

3 5 7 8057

.

b) Fie (3p) 7 8 9 506 1 1 1 1

... ... 66 12 18 3000 2 3 4 500

x

. Arătaţi că x .

2. a) (4p) Arătați că, dacă 1 2 3

31 2, ,b b

1 2

a a a

b b b , unde , atunci 3 0b 1 1 2 3

1 1 2 3

a a a a a

b b b b b

3

3

.

b) (3p) Câte numere de forma abab

ab verifică relaţia 2 3

abab

ab ?

3. Fie triunghiul şi M un punct oarecare pe latura PQN PN astfel încât MN m

MP n .

Bisectoarea unghiului QMN intersectează latura NQ în punctul C, bisectoarea unghiului QMP

intersectează latura PQ } în punctul D, {MC PQ A și { }MD NQ B .

a) (2p) Arătaţi că :BN AP m

BQ AQ n ;

b) (5p) Aflați poziția punctului M pe latura PN tfel încât CD să fie paralelă cu NP; apoi

arătați că în acest caz patrulaterul ABCD este trapez.

as

4. Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale. O dreaptă variabilă ce trece prin punctul O intersectează laturile AB şi CD în punctele M şi respectiv N. Să se arate

că constantMB NC

MA ND

.

Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii.

2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7.

3. Timp de lucru 3 ore.

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

SUCEAVA

22 februarie 2014

CLASA a VIII – a

1. Determinați numerele reale a, b, c din egalitatea:

.

2. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: 1 2

a bab

, pentru orice numere reale strict pozitive a,b.

b) (5p) Arătați că: 2x y z t

y z t z t x t x y x y z

, oricare ar fi

numerele reale strict pozitive x, y, z, t.

3. Fie o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4a cm și

înălțimea =3a cm. Se notează cu D și E mijloacele muchiilor 'AA , respectiv .

Să se determine măsura unghiului format de dreapta cu planul 'AA .

4. Pătratele ABCD și ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedru format de planele și .

Notă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii. 2. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. 3. Timp de lucru 3 ore.

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALĂ

SUCEAVA

22 februarie 2014

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE Clasa a V-a

1. i). (3p) Să se arate că oricare ar fi 5 numere prime distincte mai mari decât 5, există cel puţin două a căror diferenţă este divizibilă cu 10.

Prof. Sascău Gabriela

ii). Un număr natural de forma abcd se numește deosebit dacă cdab 5 . a) (2p) Câte numere deosebite există? b) (2p) Arătați că orice număr deosebit se divide cu 7.

Prof. Andronic Aurica Mihaela

Soluţie:

i). Varianta I Dacă p este număr prim, p > 5, atunci p poate fi de forma 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, cu kN. Dintre 5 numere prime distincte vor exista două care au aceeași formă, deci diferența lor va fi multiplu de 5. Cum p este număr impar, avem că diferența a două numere impare este număr par. Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10.

Varianta II Dacă p este număr prim, p > 5 atunci ultima cifră a lui p, U(p)∈{1,3,7,9}. Fiind cinci numere,

conform principiului cutiei, două vor avea aceeași ultima cifră iar diferența lor va fi un număr cu ultima cifră 0. Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10.

ii). a) Se observă că 50 , de unde obținem 5 99ab 19 ab10 . ab are 10 valori ⇒abcd ia 10 valori

b) ababababcdababcd 7151055100100 , deci orice număr 7abcd

Barem i)

Dacă p este număr prim, p > 5 atunci ultima cifră a lui p, U(p)∈{1,3,7,9}

1 p

Două numere vor avea ultima cifră aceeași iar diferența lor va fi un număr cu ultima cifră 0. Deci diferența celor două numere va fi multiplu de 10.

2 p

ii) a) Arată că 995105 ab și 1910 ab 1 p

ab are 10 valori. ⇒abcd ia 10 valori

1 p

b) 100 100 5abcd ab cd ab ab 1 p

105 15 7abcd ab ab ⋮ 7

1 p

2. Un apicultor dispune de o cantitate de miere exprimată printr-un număr natural de trei cifre,

numere prime distincte, notat cu abc , astfel încât una din cifre reprezintă media aritmetică a celorlalte

două. Ştiind că în prima zi vinde o cantitate în kg, egală cu suma cifrelor numărului abc , a doua zi vinde a treia parte din cantitatea rămasă, iar în următoarea zi restul de 240 kg, să se afle cantitatea inițială de miere.

Prof. Petrasciuc Veronica

Solutie I zi vinde: (a+b+c) kg. Rămân:(100a+10b+c)-(a+b+c)=(99a+9b) kg II zi vinde: (99a+9b):3=(33a+3b) kg. Rămân: (99a+9b)-(33a+3b)=(66a+6b) kg

III zi vinde restul de 240 kg adică 66a+6b=240 kg ⇒ 11a+b=40 kg și cum b este cifră ⇒ 31 ≤ 11a ≤ 40 ⇒a=3

și 33+b=40, adică b=7 Cum una din cifrele numărului dat este medie aritmetică a celorlate două şi în acelaşi timp este şi număr prim, rezultă că c=(a+b):2=5. Se exclud celelalte două cazuri întrucât: 1)dacă a=(b+c):2 rezultă că 3=(7+c):2,imposibil deoarece c este număr natural. 2)dacă b=(a+c):2 rezultă că 7=(3+c):2,adică c=11 care nu e cifră. ( Se poate rezolva și prin metoda grafică, sau, din condițiile problemei, a,b,c pot fi doar 3,5,7 și se analizează

toate cazurile posibile.) Barem I zi vinde: (a+b+c) kg. Rămân:(100a+10b+c)-(a+b+c)=(99a+9b) kg 1 p II zi vinde: (99a+9b):3=(33a+3b) kg. Rămân: (99a+9b)-(33a+3b)=(66a+6b) kg 1 p

III zi vinde restul de 240 kg adică 66a+6b=240 kg ⇒ 11a+b=40 kg

1 p

b este cifră ⇒ 31 ≤ 11a ≤ 40 ⇒a=3 și 33+b=40, adică b=7

1 p

c=(a+b):2=5. 1 p Dacă a=(b+c):2 rezultă că:3=(7+c):2, imposibil deoarece c este număr natural.

Dacă b=(a+c):2 rezultă că 7=(3+c):2, adică c=11 care nu e cifră. 1 p

⇒abc =375

1 p

3. Fie mulțimea A = {20+21; 20+22; 20+23;….; 20+22013; 21+22; 21+23;…; 21+22013; 22+23; 22+24;… 22+22013;…; 22012+22013}. a) (1p) Determinaţi mulţimea / , impaB x x A x r .

b) (3p) Să se determine cardinalul mulţimii A. c) (3p) Calculaţi suma elementelor mulţimii A.

Prof. Ispășoiu Dorel Solutie a) Elementele mulțimii B sunt: 20+21; 20+22; 20+23;….; 20+22013; b) Demonstrăm că oricare două elemente ale mulțimii A sunt distincte. Presupunem că există 2m+2n=2p+2q si împărtim la cel mai mic dintre termeni. Se obține un membru par și unul impar și deci egalitatea este falsă. Numărul elementelor: 20+21; 20+22; 20+23;….; 20+22013 este 2013 Numărul elementelor : 21+22; 21+23;…; 21+22013 este 2013-2+1=2012 Numărul elementelor : 22+23; 22+24;… 22+22013 este 2013-3+1 = 2011 ........

Cardinalul mulțimii A este 2013+2012+2011+...+3+2+1=2013 ∙ 2014:2=2027091

c) S=2013∙20+2013∙21+2013∙22+...+2013∙22013=2013∙ 22014-1)

Barem a) B = {20+21; 20+22; 20+23;….; 20+22013} 1 p

b) Demonstrează că oricare două elemente ale mulțimii A sunt distincte 1 p

Cardinalul mulțimii A este 2013+2012+2011+...+3+2+1=2013 ∙ 2014:2=2027091

2 p

c)

S=2013∙20+2013∙21+2013∙22+...+2013∙22013=2013∙(20+21+22+....+22013)

1 p

S=2013∙ 22014-1)

2 p

Notă: Orice altă soluție corectă se va puncta corespunzător

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a VI–a

1. Comparaţi fracţiile f1 = 544

725

625

125

a

a şi f2 =

671

1007

343

121

b

b, unde a şi b sunt numere naturale.

Soluţie: f1 = 2176

2175

5444

7253

544

725

5

5

5

5

625

125

a

a

a

a

a

a

– deoarece 52175 < 52176, obţinem că a + 52175 < a + 52176, deci f1 < 1.

f2 = 2013

2014

6713

10072

671

1007

7

11

7

11

343

121

b

b

b

b

b

b

– deoarece 112014 > 72013, obţinem că b + 112014 > b +72013, deci f2 >1. Din f1 < 1 şi deci f2 >1 deducem că f1 < f2.

Barem:

f1 = 2176

2175

5444

7253

544

725

5

5

5

5

625

125

a

a

a

a

a

a

2p

– deoarece 52175 < 52176, obţinem că a + 52175 < a + 52176, deci f1 < 1

f2 = 2013

2014

6713

10072

671

1007

7

11

7

11

343

121

b

b

b

b

b

b

1p

2p

– deoarece 112014 > 72013, obţinem că b + 112014 > b +72013, deci f2 >1

1p Finalizare: f1 < f2. 1p

2. Fie a = yx 32

7

, b = ,

13

32

x

yx c = ,

7

13 x d =

22 122

25

yx, unde x, y N*. Să se arate că a, b,

c sunt simultan naturale dacă şi numai dacă d este număr natural.

Soluţie: „ ”: a·b·c = 1, dar a, b, c N, deci a = b = c = 1; c =

7

13x1x = 2; a =

yx 32

7

= 1

y = 1; se obţine d = 1, deci dN.

„”: dN (x+2)2 + (2y+1)2 D25 (x+2)2 + (2y+1)2{1, 5, 25}; dacă x, y N*, atunci

x+2 ≥ 3 şi 2y+1 ≥ 3, adică (x+2)2 ≥ 9 şi (2y+1)2 ≥ 9; obţinem (x+2)2 + (2y+1)2 ≥ 18, deci (x+2)2 +

(2y+1)2 = 25; 25 = 16 + 9, de unde x = 2 şi y = 1; se obţine a = b = c = 1, deci a, b, c N.

Barem: „ ”: a·b·c = 1, dar a, b, c N, deci a = b = c = 1 1p

c =

7

13x1 x = 2; a =

yx 32

7

= 1 y = 1

1p

d = 1, deci dN 1p „ ”: dN (x+2) 2 + (2y+1)2 D25 (x+2)2 + (2y+1)2{1, 5, 25} 1p x, y N*, deci x+2 ≥ 3 şi 2y+1 ≥ 3, adică (x+2)2 ≥ 9 şi (2y+1)2 ≥ 9; obţinem (x+2)2 + (2y+1)2 ≥ 18, deci (x+2)2 + (2y+1)2 = 25

1p

– se obţine x = 2 şi y = 1 1p a = b = c = 1, deci a, b, c N 1p

3. Pe laturile (OX şi (OY ale unghiului ascuţit XOY se consideră punctele B, respectiv D, astfel

încât (OB) ≡ (OD). Fie A(OB) astfel încât AB este un sfert din OB şi C(OD) astfel încât OC reprezintă 75% din OD. Dacă BC ∩ AD = {E}, arătaţi că:

a) (3p) (BC) ≡ (AD); b) (2p) ΔBCD ≡ ΔDAB; c) (2p) semidreapta (OE este bisectoarea unghiului XOY.

Prof. Mariana Nicuţă, Rădăuţi

Soluţie: AB = 4

1OB; OC = 75% OD =

4

3OD CD =

4

1OD; deoarece (OB) ≡ (OD)

(AB) ≡ (CD) şi (OA) ≡ (OC). a) (OB) ≡ (OD) (din ip.), (OC) ≡ (OA) şi BOC ≡ DOA ( comun) ΔBCO ≡ ΔDAO (LUL), de unde obţinem: (BC) ≡ (AD); BCO ≡ DAO; OBC ≡ ODA.

b) (CD) ≡ (AB), (BC) ≡ (AD) şi (BD) ≡ (BD) ΔBCD ≡ ΔDAB (LLL). c) (AB) ≡ (CD), EAB ≡ ECD şi AEB ≡ CED (opuse la vârf) ΔEAB ≡ ΔECD (LUU), de unde obţinem (EA) ≡ (EC). (OA) ≡ (OC), (EA) ≡ (EC) şi (OE) ≡ (OE) ΔEOA ≡ ΔEOC (LLL) EOA ≡ EOC.

Barem: a) Desen 1p – dem. că (AB) ≡ (CD) şi (OA) ≡ (OC). 1p – dem. că ΔBCO ≡ ΔDAO (BC) ≡ (AD) 1p b) – dem. că ΔBCD ≡ ΔDAB 2p c) – dem. că ΔEAB ≡ ΔECD (EA) ≡ (EC) 1p – dem. că ΔEOA ≡ ΔEOC EOA ≡ EOC 1p

D Y C

O E A B X Notă: Orice altă soluţie corectă se va puncta corespunzător.

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE CLASA a VII-a

1. a) (4p) Arătaţi că 2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4028 4029..... 2014

3 5 7 8057

.

Prof. Sascău Gabriela

b) (3p) Fie 7 8 9 506 1 1 1 1

... ... 66 12 18 3000 2 3 4 500

x

. Arătaţi că . x

Prof. Stratulat Ana

Soluție: a) Folosind inegalitatea mediilor avem: 2

1 2 1 2 1 2 1 1

3 3 2 3 2

,

2 3 1

5 5 2 , .... ,

4028 4029 1

8057 8057 2 .

Adunând inegalitățile obținem 2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4028 4029 1..... 4028

3 5 7 8057

2= 2014.

b) 7 8 9 506 6 6 6 6 8 6 9 6 506 6

... ... 7 ...1 2 3 500 2 3 4 500 2 2 3 3 500 500

x

499

7 1 1 ... 1 506 2 11 23x x .

Barem:

a)2

1 2 1 2 1 2 1 1

3 3 2 3

2,

2 3 1

5 5 2 , .... ,

4028 4029 1

8057 8057 2 2 p

Adunând inegalitățile obținem 2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 4028 4029 1..... 4028

3 5 7 8057

2= 2014 2 p

b) 7 8 9 506 6 6 6 6 8 6 9 6 506 6

... ... 7 ...1 2 3 500 2 3 4 500 2 2 3 3 500 500

x

1 p

499

7 1 1 ... 1 506x 1 p

Finalizare. 1 p

2. a) (4p) Arătați că, dacă 1 2 3

3

1 2, ,b b b1 2

a a a

b b b , unde , atunci 3 0 1 1 2 3

1 1 2 3

a a a a a

b b b b b

3

3

.

Prof. Şlincu Gabriela

b) (3p) Câte numere de forma abab

ab verifică relaţia 2 3

abab

ab ?

***

Soluție: a) Notăm: 1 31 1

1 3

;a a

k h k h a kb hb b 1b (1). Putem scrie 2

2 22

ak h kb a

b 2hb (2) şi

33 3

3

ak h kb a

b 3hb (3). Adunând membru cu membru 1 2k b b 3 1 2 3 1 2 3b a a a h b b b .

Împărțind peste tot cu , rezultă: 1 2 3 0b b b 1 2 3 1 1 2 3 3

1 2b b 3 1 1 2 3 3

a a a a a a a ak h

b b b b b b

.

b) Relaţia 2abab

ab 3 este echivalentă cu 2

101 1012 3 2 3 4

abab

ab abab9 , de unde rezultă că

101 101

9 4ab adică 11 25ab , deci sunt 14 numere.

Barem:

a) 1 31 1 1

1 3

;a a

k h k h a kb hbb b (1) 1p

22 2

2

ak h kb a

b 2hb (2) şi 3

3 33

ak h kb a

b 3hb (3). 1 p

Adunând membru cu membru, obținem: 1 2 3 1 2 3 1 2 3k b b b a a a h b b b 1 p

Împărțind peste tot cu , rezultă: 1 2 3 0b b b 1 2 3 1 1 2 3 3

1 2b b 3 1 1 2 3 3

a a a a a a a ak h

b b b b b b

. 1 p

b) 2

101 1012 3 2 3 4

abab

ab abab 9 1 p

De unde 101 101

9 4ab adică 11 25ab , 1 p

deci sunt 14 numere. 1 p

3. Fie triunghiul şi M un punct oarecare pe latura PQN PN astfel încât MN m

MP n . Bisectoarea unghiului

QMN intersectează latura în punctul C, bisectoarea unghiului QMP intersectează latura în punctul

D,

NQ PQ

{ }MC PQ A și { }MD NQ B .

a) (2p) Arătaţi că :BN AP m

BQ AQ n ;

b) (5p) Aflați poziția punctului M pe latura PN astfel încât CD să fie paralelă cu NP; apoi arătați că în

acest caz patrulaterul ABCD este trapez. Prof. Alexandru Elena-Marcela

Soluție: a) În triunghiurile MQN şi , aplicând teorema bisectoarei exterioare PMQBN MN

BQ MQ ;

AP MP

AQ MQ (1)

:BN AP

BQ AQ=

MN

MQ:

MP

MQ =

MN

MQ

MQ MN m

MP MP n ;

b) . .

||T Th QD QC

CD NPDP CN

(2) și aplicând teorema bisectoarei interioare în triunghiurile şi PMQ MQN avem

QD MQ

DP MP și

QC MQ

CN MN , ţinând cont de relaţia (2) rezultă MP MN adică M este mijlocul lui [NP]. Din (1),

cum MP MN rezultă BN AP

BQ AQ , de unde, conform reciprocei teoremei lui Thales rezultă , dar

, rezultă , deci ABCD trapez.

||AB NP

||CD NP ||AB CD

Barem:

a) În triunghiurile MQN şi , aplicând teor. bisectoarei ext. PMQBN MN

BQ MQ ;

AP MP

AQ MQ (1) 1 p

:BN AP

BQ AQ=

MN

MQ:

MP

MQ =

MN

MQ

MQ MN m

MP MP n ; 1 p

b) . .

||T Th QD QC

CD NPDP CN

(2) 1 p

QD MQ

DP MP și

QC MQ

CN MN ţinând cont de relaţia (2) rezultă MP MN 2 p

Din (1), cum MP MN rezultă BN AP

BQ AQ , de unde, conform reciprocei teoremei lui Thales

rezultă , dar , rezultă , deci ABCD trapez. ||AB NP CD || NP ||AB CD2 p

4. Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale. O dreaptă variabilă ce trece prin punctul

O intersectează laturile AB şi CD în punctele M şi respectiv N. Să se arate că constantMA ND

MB NC .

***

Soluție: Fie . În ; ; ,CP MN AQ MN P Q BD Thales MA OQABQ

MB OB , în Thales ND OD

CPDNC OP

, de

unde MA ND OQ OD

MB NC OP OB (1). În Thales OQ OA

AOQOP OC

(2). Din (1), (2) MA ND OA OD

MB NC OC OB , care nu

depinde de poziţiile punctelor M, N în care dreapta variabilă ce trece prin punctul O intersectează laturile AB şi

CD .

Barem: Fie CP ; ; ,MN AQ MN P Q BD 1 p

În Thales MA OQABQ

MB OB , în Thales ND OD

CPDNC OP

, 2 p

de unde MA ND OQ OD

MB NC OP OB (1) 1 p

În Thales OQ OAAOQ

OP OC (2) 1 p

Din (1), (2) MA ND OA OD

MB NC OC OB 1 p

Finalizare 1 p

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE CLASA a VIII–a

1. Determinați numerele reale a, b, c din egalitatea:

. Prof. Gabriela Sascău, Rădăuți

Soluție: Notăm: , , , de unde obținem: ,

, . Egalitatea devine: , de unde . Avem: , deci , iar

. Barem:

Notăm: , , , de unde obținem: , ,

.

2p

Egalitatea devine: , de unde 2p

1p

1p

1p

1. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: 1 2

a bab

, pentru orice numere reale strict pozitive a, b.

b) (5p) Arătați că: 2x y z t

y z t z t x t x y x y z

, oricare ar fi numerele

reale strict pozitive x, y, z, t. Gazeta Matematica Nr.5/2010

Soluție: a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat, deoarece este

echivalentă cu: .

b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:

, echivalentă cu: . Analog,

, , . Prin adunarea ultimelor

patru inegalități obținem: , de unde inegalitatea cerută. Barem:

a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat,

deoarece este echivalentă cu: .

2p

b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:

2p

, , ,

1p

:

1p

1p

3. Fie o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4a cm și înălțimea =3a cm. Se notează cu D și E mijloacele muchiilor , respectiv . Să se determine măsura unghiului format de dreapta cu planul .

Prof. Stela Boghian, Suceava Soluție: Fie .

de unde rezultă: de unde rezultă , de unde .

Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui . Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: . Cum , , avem: . Fie , cum și ., avem: . Din rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut este

. În dreptunghic în A, avem: , deci . Barem: Fie .

de unde rezultă: de unde rezultă , de unde .

1p

Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui . Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: .

1p

Cum , , avem: . 1p

Fie , cum și ., avem: . 1p

Din rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut este

.

1p

Calculează .

1p

În dreptunghic în A, avem: , deci .

1p

4. Pătratele ABCD și ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedru format de planele și .

Prof. Șlincu Gabriela, Suceava Soluție: Cum și avem , dar , deci . Fie E mijlocul lui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghi isoscel), deci . Fie , cum , conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: . Muchia unghiului diedru este , deci măsura unghiului diedru este

. În dreptunghic în E: . În dreptnghic în A: , unde a este latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în A și

. Deci, , rezultă . Barem:

Cum și avem , dar , deci . Fie E mijlocul

lui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghi isoscel), deci

2p

Fie , cum , conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: . 1p

Muchia unghiului diedru este , iar , , deci măsura unghiului diedru este

.

În dreptunghic în E: .

1p

În dreptnghic în A: , unde a este latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în A și

.

2p

, rezultă .

1p