71

LUCRAREA Nr. 9

NOŢIUNI DESPRE CALCUL SIMBOLIC

1. Scopul lucrării Lucrarea are ca scop prezentarea noţiunilor despre calculul simbolic şi

însuşirea de către studenţi a modului de lucru cu instrument Symbolic,utilizând produsul Mathcad.

2. Noţiuni teoretice În Mathcad, calculul simbolic se poate efectua utilizând comenzi din

meniul Symbolics, prin deschiderea instrumentului Symbolic, din bara de instrumente Math, sau prin comanda View > Toolbars > Symbolic, din meniuri (1, Fig. 1).

Fig. 1 Instrumentele Symbolic şi Greek

2 1

Îndrumar de laborator – APLICAŢII ÎN MATHCAD ŞI MATLAB

72

Uneori, în definirea numelui variabilelor sau funcţiilor se pot utiliza caractere greceşti pentru a înlocui caracterele romane. În acest caz, se deschide instrumentul Greek, din bara de instrumente Math, sau prin comanda View > Toolbars > Greek, din meniuri (2, Fig. 1).

2.1. Instrumentul Symbolic Calculul simbolic direct poate fi utilizat în evaluarea expresiilor

analitice asociat cu semnul simbolic egal (→) (Symbolic Evaluation). Dacăse impune folosirea evaluării simbolice într-o expresie, într-un mod particular, se utilizează cuvântul cheie. În locul tastării cuvântului cheie se poate activa butonul cuvântului cheie corespunzător din instrumentul Symbolic.

Apăsaţi butonul din bara de instrumente Math pentru a deschide instrumentul Symbolic, sau alegeţi View > Toolbars > Symbolic din meniuri.

Butoanele din instrumentul Symbolic inserează semnul simbolic egal (prin tastarea [Ctrl].) şi cuvintele cheie prezentate în tabelul următor:

Cuvinte cheie

float complex assume solve simplify substitute factor expand coeffs collect series parfrac Calculul transformatelor şi inversele

transformatelor: fourier, laplace şi z

Modifiers assume real RealRange trig

Prin activarea butonului Modifiers se deschide instrumentul Modifier, care conţine patru cuvinte cheie.

NOŢIUNI DESPRE CALCUL SIMBOLIC

73

2.2. Instrumentul Greek Caracterele greceşti se pot utiliza pentru a

înlocui caracterele romane în definirea numelui variabilelor sau funcţiilor. Apăsaţi butonul din instrumentul Math şi deschideţiinstrumentul Greek, sau alegeţi View > Toolbars > Greek din meniuri:

Corespondenţa caracterelor greceşti şi romane se prezintă în continuare:

α a η h ο o ϖ vβ b ι i π p ω wχ c ϕ j θ q ξ xδ d κ k ρ r ψ zε e λ l σ s ζ zφ f µ m τ tγ g ν n υ u

Α A Η H Ο O ς VΒ B Ι I Π P Ω WΧ C ϑ J Θ Q Ξ X∆ D Κ K Ρ R Ψ YΕ E Λ L Σ S Ζ ZΦ F Μ M Τ TΓ G Ν N Υ U

Observaţii: −Schimbarea caracterelor romane în caractere greceşti se face prin

tastarea [Ctrl]g imediat după scrierea caracterului. −Dacă se poziţionează cursorul imediat la dreapta caracterului

grecesc şi se tastează [Ctrl]g se obţine caracterul roman corespunzător.

−Constanta π se obţine prin tastarea [Ctrl][Shift]p.

Îndrumar de laborator – APLICAŢII ÎN MATHCAD ŞI MATLAB

74

2.3. Comenzi pentru calcul simbolic În continuare, se prezintă câteva dintre comenzile (considerate ca fiind

cele mai des întâlnite) pentru calcul simbolic, şi cele două posibilităţi prin care acestea pot fi activate: din meniul Symbolics şi din instrumentul Symbolic.

1. Evaluarea simbolică a derivatei unei funcţii reale • Din meniul Symbolics Se poziţionează cursorul pe variabila după care se face derivarea (în

expresia funcţiei de derivat) şi se activează comanda Variable > Differentiate.

• Din instrumentul Symbolic Din instrumentul Calculus, butonul d

dx(Derivative) se aplică

expresiei funcţiei de derivat, urmată de butonul → (Symbolic Evaluation), obţinându-se expresia derivatei.

2. Evaluarea simbolică a primitivei unei funcţii reale • Din meniul Symbolics În expresia funcţiei de integrat se poziţionează cursorul pe variabila

după care se calculează primitiva, apoi se aplică comanda Variable > Integrate, rezultând primitiva.

• Din instrumentul Symbolic Din instrumentul Calculus, butonul ∫ (Indefinite Integral) se aplică

expresiei funcţiei de integrat, urmată de butonul → (Symbolic Evaluation), obţinându-se expresia primitivei.

3. Dezvoltarea în serie de puteri a unei funcţii • Din meniul Symbolics Se poziţionează cursorul pe variabila după care se dezvoltă în serie

funcţia, apoi prin utilizarea comenzii Variable > Expand to series (fărăprecizarea punctului în jurul căruia se face dezvoltarea, implicit fiind 0), se obţine dezvoltarea în serie, pentru funcţia considerată.

• Din instrumentul Symbolic Calculul simbolic al dezvoltării în serie de puteri a unei funcţii se poate

face prin utilizarea cuvântului cheie series, precizându-se punctul în jurul căruia se dezvoltă funcţia precum şi numărul de termeni ai dezvoltării.

NOŢIUNI DESPRE CALCUL SIMBOLIC

75

4. Rezolvarea simbolică a ecuaţiilor şi inecuaţiilor în raport cu o variabilă

• Din meniul Symbolics Se poziţionează cursorul pe variabila după care se rezolvă (simbolic)

ecuaţia, apoi prin utilizarea comenzii Variable > Solve, se obţine soluţia. • Din instrumentul Symbolic Pentru rezolvarea simbolică a unei ecuaţii se scrie expresia acesteia

urmată de cuvântul cheie solve, precizându-se variabila în raport cu care se rezolvă simbolic ecuaţia:

2 12 3 solve,x

3x x

− − − →

.

5. Dezvoltarea unei expresii după o variabilă• Din meniul Symbolics Se poziţionează cursorul pe variabila după care se dezvoltă expresia,

apoi se utilizează comanda Expand a meniului Symbolics, obţinându-se dezvoltarea expresiei.

• Din instrumentul Symbolic După scrierea expresiei, prin cuvântul cheie expand şi precizarea

variabilei după care se dezvoltă expresia, se obţine dezvoltarea expresiei. 6. Simplificarea expresiilor prin utilizarea identităţilor

trigonometrice şi a factorilor comuni • Din meniul Symbolics Se scrie expresia care trebuie simplificată, apoi se dă comanda

Simplify, din meniul Symbolics, obţinându-se rezultatul. • Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia de simplificat apoi se activează cuvântul cheie

simplify şi se obţine rezultatul. 7. Reducerea termenilor asemenea dintr-o expresie • Din meniul Symbolics Se scrie expresia, se poziţionează cursorul pe variabila după care se

face reducerea termenilor asemenea şi se dă comanda Collect, obţinându-se

ecuaţia

soluţia

variabila

cuvântul cheie

Îndrumar de laborator – APLICAŢII ÎN MATHCAD ŞI MATLAB

76

rezultatul. • Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia, se activează cuvântul cheie collect, şi se precizează

variabila în raport cu care se face reducerea termenilor asemenea. 8. Descompunerea în factori a unei expresii • Din meniul Symbolics Se scrie expresia şi se dă comanda Factor, obţinându-se rezultatul. • Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia, se activează cuvântul cheie factor şi se precizează

variabila în raport cu care se face descompunerea în factori. 9. Determinarea coeficienţilor unui polinom care este exprimat sub

formă de produs de factori • Din meniul Symbolics Se scrie produsul de factori, se poziţionează cursorul pe variabila după

care se determină coeficienţii şi se activează comanda Polynomial Coefficients.

• Din instrumentul Symbolic Se scrie produsul de factori, se activează cuvântul cheie coeffs,

precizându-se variabila în raport cu care se face determinarea coeficienţilor. 10. Evaluare simplă şi evaluare condiţionată• Din meniul Symbolics Se scrie expresia şi se activează comanda Evaluate > Symbolically,

pentru evaluare simplă.• Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia şi se activează cuvântul cheie → (Symbolic

Evaluation), pentru evaluare simplă, sau butonul → (Symbolic Keyword Evaluation), pentru evaluare condiţionată.

11. Substituirea unei variabile cu o expresie • Din meniul Symbolics Se copiază expresia de substituit în zona de memorie Clipboard, se

scrie expresia care conţine variabila, se poziţionează cursorul pe variabila care se înlocuieşte şi se dă comanda Variable > Substitute.

• Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia, se activează cuvântul cheie substitute, se precizează

variabila şi apoi expresia cu care se înlocuieşte, obţinându-se rezultatul.

NOŢIUNI DESPRE CALCUL SIMBOLIC

77

12. Evaluarea unei expresii în planul complex • Din meniul Symbolics Se scrie expresia şi se activează comanda Evaluate > Complex, prin

care se obţine rezultatul sub forma unui număr complex. • Din instrumentul Symbolic Se scrie expresia, se activează cuvântul cheie complex şi se obţine

numărul complex. 13. Calculul determinantului, inversei şi transpusei unei matrice • Din meniul Symbolics Se selectează matricea şi se dă comanda Matrix > Determinant,

Matrix > Invert, respectiv Matrix > Transpose şi se obţine rezultatul. • Din instrumentul Symbolic Se selectează matricea şi se activează cuvântul cheie M → , 1M − → ,

respectiv TM → , obţinându-se rezultatul. 14. Determinarea simbolică a transformărilor şi a transformărilor

inverse ale funcţiilor: Fourier, Inverse Fourier, Laplace, Inverse Laplace, Z, or Inverse-Z

• Transformata Fourier calculată în variabila ω;• Transformata Laplace calculată în variabila s;• Transformate Fourier şi Laplace Inverse calculate în variabila t;• Transformata Z calculată în variabila z;• Transformata Z Inversă calculată în variabila n.

3. Chestiuni de studiat 3.1. Să se calculeze derivata de ordin I, după variabila x, pentru

următoarele expresii, prin cele două metode: 1. ( )22 3 sinx x⋅ + +

2. ( )3lg 43 x +

3. ( )( )2

cos( ) sin( )

cos( )

x

x

e x x

e x

⋅ +

+

4. ln( )1

xx+

Îndrumar de laborator – APLICAŢII ÎN MATHCAD ŞI MATLAB

78

5. ( ) ( )1 cos( ) 1 cos(2 )

sin( )x x

x− ⋅ − ⋅

3.2. Să se calculeze primitiva următoarelor funcţii reale, prin cele douămetode:

1. ( )sinxe x dx⋅∫ ;

2. ( )23 4x y x dx⋅ − ⋅ ⋅∫ ;

3. ( )23 4x y x dy⋅ − ⋅ ⋅∫ ;

4. ( )1 cos( ) sin( )sin( ) cos( )

x

x

e x xdx

e x x+ ⋅ −

+ +∫ ;

5. 2

3

ln( ) ln( )

ln( )

x x

x

a b dxc

+∫ ;

6. t ( )g x dx∫ ;

7. 111

xxx e dx

x+ + − ⋅

∫ .

3.3. Să se dezvolte în serie de puteri următoarele funcţii: 1. exp( )x ;2. ln( 1)x + ;3. sin( )x .3.4. Să se rezolve simbolic următoarele ecuaţii şi inecuaţii:

1. 1sin( ) tan( )3

x x= ⋅ ;

2. 1xe = − ;3. 3 25 4 20 0x x x− ⋅ − ⋅ + > ;

4. 1f ef

ααβ

−⋅ +=

−, în raport cu f.

3.5. Să se dezvolte următoarele expresii: 1. ( ) ( )2 32 1x x− ⋅ − , după variabila x;

2. ( ) ( )2 32 1x x− ⋅ − , în raport cu ( )3 1x − .3.6. Să se simplifice următoarele expresii:

NOŢIUNI DESPRE CALCUL SIMBOLIC

79

1. ( )( )

2cos( ) 1 sin( )1 sin

xx

α αα

+ ⋅ ++ −

2. 3 a⋅ b−( )2 3 a 3 b⋅−( )⋅− 2 a 2 b⋅+( )2⋅+3.7. Să se reducă termenii asemenea din expresia: ( ) 21a x a x x y a y+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + + , după variabila x.Să se descompună în factori expresiile: 1. 3 28 36 54 27x x x+ + + ;2. 4 4 3 26 2 8a b a b a− +3.8. În expresia următoare, să se substituie variabila x:

1. 2 31 12 3

x x x− + , cu expresia x-1;

2. 2 31 12 3

x x x− + , cu expresia x+1.

3.9. Să se evalueze, în planul complex expresiile: ( ) ( )2 21 4z z z i+ ⋅ − ⋅ ; ( )ln 3 4 i− + ⋅ ; -ii ; 1 ii − .

3.10. Să se determine inversa, transpusa şi determinantul următoarelor

matrice:

11

: ; : .0 1

xx xa bx x

x

= = −

4. Modul de lucru Urmărindu-se indicaţiile de la noţiunile teoretice, în special §2.3., se

vor rezolva cerinţele de la chestiuni de studiat, prin cele două metode prezentate: prin comenzi din meniul Symbolics, respectiv prin instrumentul Symbolic.

5. Conţinutul referatului Referatul trebuie să conţină:• Titlul şi scopul lucrării • Noţiuni teoretice • Chestiuni de studiat • Rezultatele obţinute şi observaţii personale.