nCaracterizãri în timp şi frecvenþã - oocities.org · 2 din definiţia (45) şi să se...

0 50 100 150 200 250 300 350

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 50 100 150 200 250 300 350

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Period: N = 500

* Variance: 0.697359

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Period: N = 500

* Variance: 0.697359

H ≡ B/A

G ≡ C/A

+

e

u y

v

CaracterizãriCaracterizãri înîn timptimp şişi frecvenþãfrecvenþã

• 1q−Operatorul de întîrziere cu un pas.OperatorulOperatorul de de întîrziereîntîrziere cu un pas.cu un pas.

AAutouto--RRegresivegresiv

NotaţiiNotaţii şişi definiţiidefiniţii de de bazbazăăClasa de modele ARMAXClasaClasa de de modelemodele ARMAXARMAX

MMedieedieAAlunecãtoarelunecãtoare

Control Control eeXXogenogen

1 11

1 11

1 11

(q ) 1 q q

(q ) q q

(q ) 1 q q

nana

nbnb

ncnc

A a a

B b b

C c c

− − −

− − −

− −

⎡ = + + +⎢

= + +⎢⎢ = + + +⎣

−

( )1q [ ] [ 1]f n f n− = − n∀ ∈Z

FiltruFiltru de de sistemsistem

FiltruFiltru de de zgomotzgomot

intrareaintrarea nunu sese transmitetransmite instantaneuinstantaneu la la ieşireieşire

zgomotulzgomotul sese transmitetransmite instantaneuinstantaneu la la ieşireieşirePol

inoa

me

Pol

inoa

me

proces stocastic total necorelat, impredictibil

procesproces stocasticstocastic total total necorelatnecorelat, , impredictibilimpredictibil

⇒

ROG

VAIV

AAllbb

Zgomotul coloratZgomotulZgomotul ccoolloorraatt

zgomot alb filtratzgomotzgomot alb alb filtratfiltratv ⇒

ROG

VAI

VRRoozz

Zgomotul albZgomotulZgomotul albalb e

1.1.44

1 1 1(q ) [ ] (q ) [ ] (q ) [ ]AR X MA

A y n B u n C e n− − −= +

Aratã gradul de corelare dintre procese saurealizãri ale aceluiaşi proces.AratãAratã gradulgradul de de corelarecorelare dintredintre proceseprocese sausaurealizãrirealizãri ale ale aceluiaşiaceluiaşi procesproces..

]}[][{][ knunuEkrdef

u −=

]}[][{][ knynuEkrdef

uy −=


Media statisticã a ieşirii procesului, peansamblul realizãrilor, la momentul nTe .Media Media statisticãstatisticã a a ieşiriiieşirii procesuluiprocesului, , pepeansamblulansamblul realizãrilorrealizãrilor, la , la momentulmomentul nTnTee ..

NotaţiiNotaţii şişi definiţiidefiniţii de de bazbazăă

∑=

∞→=

N

nNny

NnyE

1

][1lim]}[{

Operatorul de mediere statisticãOperatorulOperatorul dede medieremediere statisticãstatisticã

k∀ ∈Z

]}[{ nyE

Ipoteza ErgodicãIpotezaIpoteza ErgodicãErgodicã

Media temporalã a oricãrei realizãrisuficient de îndelungate.Media Media temporalãtemporalã a a oricãreioricãrei realizãrirealizãrisuficientsuficient de de îndelungateîndelungate..

Auto-covarianþã & CovarianþãAutoAuto--covarianþãcovarianþã && CovarianþãCovarianþã

( ) [ ] ,def

j j n

n

X e x n eω − ω

∈

= ∀ω∈∑Z

R

1[ ] ( ) ,2

j j nx n X e e d n+π

ω + ω

−π

= ω ∀ ∈π ∫ Z

Transformatã FourierTransformatãTransformatã FourierFourier

DirectãDirectãDirectã

InversãInversãInversã

, ,( ) [ ] ,def

j nu uy u uy

k

r k e− ω

∈

φ ω = ∀ω∈∑Z

R

, ,1[ ] ( ) ,2

j nu uy u uyr k e d k

+π+ ω

−π

= φ ω ω ∀ ∈π ∫ Z

deterministdeterminist nenedeterministdeterminist

Aratã conþinutul înfrecvenþã al proceselor.AratãAratã conþinutulconþinutul înînfrecvenþãfrecvenþã al al proceselorproceselor..

Densitate Spectralã de PutereDensitateDensitate SpectralãSpectralã de de PuterePutere

1.1.55


TimpTimpTimp FrecvenþãFrecvenþãFrecvenþã

Analiza tranzitorieAnalizaAnaliza tranzitorietranzitorie Analiza în frecvenþãAnalizaAnaliza înîn frecvenþãfrecvenþã

•• PentruPentru estimareaestimarea timpuluitimpuluimortmort şi/sauşi/sau a a funcþieifuncþiei ponderepondere..

•• UtilitateUtilitate redusãredusã înîn IS.IS.

0 0[ ] sin( )u n u n= ω

0 0[ ] sin( )y n y n= ω +ϕ

uhy ∗≡ )()()( ωωω = jjj eUeHeY

deterministdeterminist

h[k] , H(ejω)u ySistem

•• PentruPentru estimareaestimarearãspunsuluirãspunsului înîn frecvenþãfrecvenþã..

00 0 ( )jy u H e ω=

0arg ( )jH e ωϕ =

000 /2 nmπ=ω 0 0,m n ∗∈N

000 /2 KnKmN =ωπ=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ+ω+ϕ=ωϕ+ω=ω=

ϕ+ω−ϕ=ωϕ+ω=ω=

)2sin(2

sin2

)cos()sin()cos(][][

)2cos(2

cos2

)sin()sin()sin(][][

000

0000

000

0000

nyynnynnyny

nyynnynnyny

def

c

def

s

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ==

ϕ==

∑

∑−

=

−

=

sin2

][1

cos2

][1

01

0

01

0

ynyN

y

ynyN

y

N

ncc

N

nss

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω

ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ϕ

∑

∑−

=

−

=1

00

1

00

)sin(][

)cos(][2atan2atan N

n

N

n

s

c

nny

nny

yy

•• PentruPentru::

înmulþire cu sin şi cosînmulþireînmulþire cu cu sinsin şişi coscos

mediere temporalãmedieremediere temporalãtemporalã

Se Se poatepoate trasatrasa pentrupentrudiferitediferite valorivalori ale ale luilui ωω00..

DificilDificil de de estimatestimat!!O strategieO O strategiestrategie

RezultatRezultat sensibilsensibilla la perturbaþiiperturbaþii..

1.1.66


h[k] , H(ejω)u y

Proces

vnenedeterministdeterminist

TimpTimpTimp FrecvenþãFrecvenþãFrecvenþã

Analiza bazatã pe corelaþieAnalizaAnaliza bazatãbazatã pepe corelaþiecorelaþie Analiza spectralãAnalizaAnaliza spectralãspectralã

•• PentruPentru estimareaestimarea secvenþelorsecvenþelorde (autode (auto--))covarianþãcovarianþã.

•• PentruPentru estimareaestimarea densitãþilordensitãþilorspectralespectrale de de putereputere.. .

][)(][)(][)( 111 neqCnuqBnyqA −−− +=E ][ kny −×

)()()( ωφ=ωφ ωu

juy eH[ ] [ ] [ ]uy u

m

r k h m r k m∈

= −∑Z

OperatorulOperatorul dede medieremediere statisticãstatisticãesteeste actorulactorul principal.principal.

[ ] [ ] [ ] [ ]y up q

r k h p h q r k p q∈ ∈

= + −∑∑Z Z

)()()(2

ωφ=ωφ ωu

jy eH

Transferul densitãþii spectraleprin sisteme liniare

TransferulTransferul densitãþiidensitãþii spectralespectraleprinprin sistemesisteme liniareliniare

O strategie complementarãO O strategiestrategie complementarãcomplementarã

CeCe devinedevine echivalenþaechivalenþa::??uhy ∗≡ )()()( ωωω = jjj eUeHeY

EcuaþieEcuaþie cu cu diferenþediferenþe..

EcuaþieEcuaþie cu cu secvenþesecvenþe de de covarianþãcovarianþã..

][)(][)(][)( 111 krqCkrqBkrqA eyuyy−−− +=

k∀ ∈N

SoluþieSoluþie analiticãanaliticã sausau recursivãrecursivãpentrupentru modelelemodelele uzualeuzuale..

1.1.77

CaracterizãriCaracterizãri înîn timptimp şişi frecvenþãfrecvenþãCaracterizCaracterizăăriri ale ale zgomotuluizgomotului albalb

k0

er

λ2=re[0]

TimpTimpTimp

ω0 π2

λ2

π

eφ

FrecvenþãFrecvenþãFrecvenþã

{ } 20[ ] [ ] [ ] [ ],er k E e n e n k k k= ± = λ δ ∀ ∈Z 2( ) ,eφ ω = λ ∀ω∈R

Densitate de probabilitate GaussianãDensitateDensitate de de probabilitateprobabilitate GaussianãGaussianã

][ne0

pσπ2

1

σ− 3 σ+ 3

( )2

2

1 [ ][ ] exp ,22

def e ne n n⎡ ⎤

= − ∀ ∈⎢ ⎥σπσ ⎣ ⎦Zp

1.1.88


Contextul de lucruContextulContextul de de lucrulucru

ProblemeProbleme de de simularesimulare

11

111

1 1)( −

−−

+=

qaqbqH 2

21

1

22

111

2 1)( −−

−−−

+++

=qaqa

qbqbqH

2 modele2 2 modelemodele

ordinordin 11 ordinordin 22

# IISSLLAABB__11AA Apel: iissllaabb__11aa((CC,,AA,,NN,,ttaauu__mmaaxx,,nnrr)) ;; Modul de calcul al valorilor adevărate şi estimate pentru secvenţe de auto-covarianţă obţinute cu ajutorul unui proces ARMA[1,1]. Sunt trasate graficelesecvenţelor obţinute. Este de asemenea trasată o realizare a zgomotuluicolorat rezultat. Argumentele funcţiei sunt următoarele: CC polinomul MA (vector [1 c]); AA polinomul AR (vector [1 a]); ttaauu__mmaaxx pivotul maxim al secvenţelor de auto-covarianţă (implicit: 50); nnrr numărul realizărilor de generat (implicit: 1).

Programe disponibileProgramePrograme disponibiledisponibile

(45)

1.1.99

# DD__SSPPEEKKTTRR Apel: [[ww,,ffii]]==dd__ssppeekkttrruumm((AA,,BB,,ssiiggmmaa22)) ;; Rutină auxiliară de evaluare a spectrului ieşirii unui filtru liniar discret stimulatcu un zgomot alb. Argumentele funcţiei sunt următoarele: AA numitorul funcţiei de transfer a filtrului (polinom); BB numărătorul funcţiei de transfer a filtrului (polinom); SSiiggmmaa22 varianţa zgomotului alb de la intrare.

Funcţia returnează: ww axa pulsaţiilor (ω ); ffii densitatea spectrală yφ a zgomotului colorat (de ieşire).

# IISSLLAABB__11BB Apel: iissllaabb__11bb((xx,,yy,,SSNNRR)) ;; Modul care simulează dependenţa de SNR a polilor şi zerourilor unui modelARMA[2,2], determinat prin echivalarea sa cu un model AR afectat de 2zgomote necorelate (ca în Exerciţiul 1.4). Argumentele funcţiei sunt: xx partea reală a polilor modelului AR (implicit: 0.5); yy partea imaginară a polilor modelului AR (implicit: 0.5); SSNNRR raportul semnal-zgomot (implicit: 3).

CaracterizãriCaracterizãri înîn timptimp şişi frecvenþãfrecvenþãProblemeProbleme de de simularesimulare

1.1.1010

Programe disponibileProgramePrograme disponibiledisponibile

Rutine disponibileRutineRutine disponibiledisponibile

# NNOOIISSEE Apel: nnooiissee((ooppeerraattiioonn)) ;; Modul de generare şi simulare a zgomotelor colorate produse de modelelestocastice (45). Argumentul funcţiei (ooppeerraattiioonn) este un şir de caractere dinmulţimea următoare: cclloossee__nnooiissee cclloossee__nnooiissee__ddeeff iinniitt__nnooiissee mmoovvee__pp mmoovvee__zz mmoovveedd__pp mmoovveedd__zz mmoovviinngg__pp mmoovviinngg__zz nnooiisseecclleeaarr sshhooww (implicit) ssyysstteemm wwiinniitt__nnooiissee


1.1.1111


# SSPPEEFFAACC Apel: [[aa,,ll22]]==ssppeeffaacc((rr)) ;; Rutină auxiliară de rezolvare a Problemei factorizării spectrale. Aceasta constăîn determinarea unui polinom:

nnn

def

azazzA +++= − 11)(

şi a varianţei 2λ cu proprietatea:

( )2 1

0

1( ) ( ) [ ]2

nk k

k

A z A z r k z z− −

=

λ = +∑ , (46)

pentru o secvenţă de covarianţă ]}[,],1[],0[{ nrrr … . În mod normal, aceastăproblemă se poate formula pentru orice secvenţă de numere

]}[,],1[],0[{ nrrr … , cu condiţia să fie pozitiv definită, adică verificîndinegalitatea:

]0[][ rkr ≤ , nk ,0∈∀ . (47)

Problema factorizării spectrale (46) este rezolvată în cazul determinării unuimodel AR[n] atunci cînd este stimulat de un zgomot alb şi se cunoaştedensitatea spectrală de putere a ieşirii (deci şi secvenţa de auto-covarianţă aieşirii, cu ajutorul formulei de inversiune (12)).

Argumentul funcţiei ssppeeffaacc este rr – secvenţa de (auto-)covarianţă (vector). Funcţia returnează: aa coeficienţii polinomului AR (vector);

ll22 varianţa zgomotului alb 2λ cu care trebuie stimulat modelul AR pentru aobţine la ieşire exact secvenţa de auto-covarianţă rr.


1.1.1212



Pentru a rezolva punctele următoare, se va utiliza funcţia NNOOIISSEE.

1. Să se testeze grafic dacă filtrul obţinut în Exerciţiul 1.3 (de tipul lui 1H dindefiniţia (45)) este corect.

2. Să se varieze polii filtrului 2H din definiţia (45) şi să se comenteze rezultateleobţinute cu ajutorul funcţiei NNOOIISSEE.

3. Unde trebuie amplasaţi polii filtrului 2H pentru a obţine un filtru trece jos?

4. Unde trebuie amplasaţi polii filtrului 2H pentru a obţine un vîrf de rezonanţă la

1ω= ? Ce se poate spune despre conţinutul în frecvenţă al semnaluluianalizînd realizările procesului?

5. Ce efect observaţi atunci cînd filtrul 2H are zeroul în vecinătatea cerculuiunitar?

Problema 1.1ProblemaProblema 1.11.1

ProblemeProbleme de de simularesimulare3 p3 p

1p1p1p

0.4 p0.4 p0.4 p

0.1 p0.1 p0.1 p

0.1 p0.1 p0.1 p

0.3 p0.3 p0.3 p

0.1 p0.1 p0.1 p

1.1.1313

Să se utilizeze modulul de simulare IISSLLAABB__11AA pentru a simula un proces stocasticde model ARMA[1,1]. De exemplu, pentru a genera un process de tip AR[1] cu unsingur pol in –0.9, se foloseşte sintaxa:

iissllaabb__11aa((11,,[[11 00..99]])) ;;

În mod implicit, modulul de simulare alege: NN==110000, ttaauu__mmaaxx==5500 şi nnrr==11.

1. Să se analizeze maniera în care estimaţiile funcţiilor de covarianţă variază cu NN(numărul de eşantioane) şi ttaauu__mmaaxx (pivotul maximal al secvenţei de auto-covarianţă) pentru diferite locaţii ale polilor.

2. Să se verifice faptul că estimaţiile funcţiilor de covarianţă tind către valorileadevărate pentru procese de tip AR[1] şi MA[1], pe măsură ce NN tinde cătreinfinit.

3. Să se verifice corectitudinea rezultatelor obţinute la Exerciţiile 1.1 şi 1.2.


Problema 1.2ProblemaProblema 1.21.2 1p1p1p

0.4 p0.4 p0.4 p

0.3 p0.3 p0.3 p

0.3 p0.3 p0.3 p

1.1.1414

Se consideră un proces stocastic asociat unui model AR[2] cu două surse dezgomot (ca în contextul Exerciţiului 1.4), pe care dorim să îl echivalăm cu unproces descris de un model ARMA[2,2], avînd o singură sursă de zgomot. Pentrusimulările care urmează, se va utiliza modulul IISSLLAABB__11BB.

1. Să se analizeze maniera în care variază polii şi zerourile modelului ARMAatunci cînd variază SNR. În acest context, SNR este definit prin raportul dintrevarianţa semnalului util x şi varianţa zgomotului aditiv v (cu notaţiile dinExerciţiul 1.4).

2. Să se studieze cazurile în care SNR tinde la infinit (semnalul domină zgomotul)şi SNR tinde la zero (zgomotul domină semnalul). Să se comentezemodificările înregistrate de densităţile spectrale.


Problema 1.3ProblemaProblema 1.31.3 1p1p1p

0.4 p0.4 p0.4 p

0.6 p0.6 p0.6 p

1.1.1515

nCaracterizãri în timp şi frecvenþã - oocities.org · 2 din definiţia (45) şi să se...

Documents

Transcript of nCaracterizãri în timp şi frecvenþã - oocities.org · 2 din definiţia (45) şi să se...