Funcţii convexe, dincolo de programă - isjbotosani.ro · Material prezentat în cadrul cercului...

Prof. Gheorghe ROTARIU

Funcţii convexe,

dincolo de programă

Material prezentat în cadrul cercului profesorilor de

matematică nr. 2, Dorohoi, în 2015

( )( )f ta t b+ −1

( )ta t b+ −1 a b

( ) ( ) ( )tf a t f b+ −1

x

y

O

B

A

tC

CUPRINS

Introducere ................................................................................................................................. 1

Capitolul 1 ................................................................................................................................. 2

1.1 Breviar teoretic ................................................................................................................. 2

Capitolul 2 ............................................................................................................................... 18

2.1 Rezultate clasice demonstrate cu ajutorul funcţiilor convexe sau în care intervin funcţii

convexe ................................................................................................................................. 18

Capitolul 3 ............................................................................................................................... 25

3.1 Inegalităţi algebrice ......................................................................................................... 25

3.2 Inegalităţi integrale ......................................................................................................... 35

3.3 Inegalităţi trigonometrice ................................................................................................ 37

3.4 Convexitatea în rezolvarea ecuaţiilor .............................................................................. 40

3.5 Exerciţii date la olimpiade şi concursuri .......................................................................... 41

Bibliografie ............................................................................................................................... 49


Funcţii convexe, dincolo de programă Pagina 1

Introducere

Convexitatea este o noţiune simplă şi naturală care poate fi găsită încă din vremea

lui Arhimede în legătură cu faimoasele lui estimări ale numărului π (utilizând

poligoanele regulate cu 96 de laturi înscrise şi circumscrise unui cerc). Convexitatea are

un mare impact în viaţa noastră de fiecare zi prin numeroasele aplicaţii în industrie,

business, medicină şi artă. Unul, dar nu primul dintre matematicienii care s-au ocupat

de studiul convexităţii, a fost danezul J.L.W.V. Jensen. Amintim şi pe Ch. Hermit, O.

Holder, Cebâşev şi Stolz. De-a lungul secolului al XX-lea a avut loc o activitate intensă

cu rezultate remarcabile din acest punct de vedere, cu aplicaţii în analiza funcţională,

analiza convexă, optimizarea nonliniară.

Un rol de largă popularizare a teoriei funcţiilor convexe a avut-o cartea scrisă de

G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya, intitulată Inequalities şi publicată la Cambridge

University Press în anul 1934.

Printre matematicienii români care au avut preocupări în acest domeniu s-a aflat

profesorul academician Tiberiu Popoviciu (n. 16 februarie 1906, Arad - d. 29 decembrie

1975, Bucureşti).



Capitolul 1

1.1 Breviar teoretic

În această lucrare notăm cu I un interval deschis nedegenerat din .ℝ

Definiţia 1. Funcţia :f I ℝ→ se numeşte convexă dacă

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f x x f x f x−λ + λ ≤ −λ + λ1 2 1 21 1

pentru orice puncte ,x x I∈1 2 şi orice [ ], .λ ∈ 0 1

Dacă inegalitatea de mai sus este strictă pentru orice două puncte distincte ,x x I∈1 2 şi

pentru orice ( ), ,λ ∈ 0 1 atunci funcţia se numeşte strict convexă.

Dacă f− este convexă, respectiv strict convexă, atunci f se numeşte concavă, respectiv

strict concavă.

Observaţia 2. Inegalitatea din definiţia funcţiei convexe se mai scrie echivalent, dacă

facem substituţia ( ) :x x x= −λ +λ1 21

( ) ( ) ( ) ( ).x x x x

f x f x f xx x x x

− −≤ +

− −2 1

1 2

2 1 2 1

1 1

sau, încă ( ) ( ) ( ) ( )

( ).f x f x f x f x

x x x x

− −≤

− −1 2

1 2

1 2

pentru orice ,x x I∈1 2 şi orice x situat între x1 şi x2 (vezi teorema 7).

� Exemplul 3. Funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( )f x x= este convexă, dar nu este

strict convexă.

Demonstraţie. Fie ( ), , ,a b a b∈ ∞ =/0 şi ( ), .λ ∈ 0 1 Avem

( )( ) ( ) ( ) .f a b a b a b−λ + λ = −λ + λ = −λ + λ1 1 1

Rezultă că orice funcţie strict convexă este convexă, reciproca acestei afirmaţii este falsă.

Observaţia 4. Există funcţii care nu sunt nici concave nici convexe. De exemplu, funcţia

:f ℝ ℝ→ dată prin ( ),

.,

xf x

x

− <= ≥

1 0

1 0

� Exemplul 5. Funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( )f x x= 2 este strict convexă pe .ℝ

Demonstraţie. Fie ( ), , ,a b a b∈ ∞ =/0 şi ( ), .λ ∈ 0 1

Deoarece ,ab a b< +2 22 avem

( )( ) ( ) ( ) ( )f a b a b a ab b −λ +λ = −λ +λ = −λ + λ −λ +λ < 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .a b a b b f a f b< −λ + +λ −λ + +λ = −λ +λ2 2 2 2 2 2 21 1 1

Prin urmare funcţia f este strict convexă pe .ℝ

Observaţia 6. Există funcţii care sunt simultan convexe şi concave. Acestea sunt

funcţiile afine, adică funcţiile :f I ℝ→ date prin ( ) , , .f x ax b a b= + ∈ ℝ

Interpretarea geometrică a definiţiei unei funcţii convexe.

Observăm (Figura 1) că, pentru ,a b I∈ şi [ ], ,λ ∈ 0 1 punctul ( )a a bλ = −λ +λ1

parcurge toate punctele intervalului [ ], .a b Valoarea ( )( )f a b−λ + λ1 reprezintă ordonata

punctului de pe graficul funcţiei corespunzător lui ,aλ iar ( ) ( ) ( )f a f b−λ +λ1 este

ordonata punctului de pe segmentul determinat de punctele ( )( ),A a f a şi ( )( ),B b f b ce

are abscisa .aλ

Aşadar, o funcţie este convexă dacă pentru oricare două puncte de pe grafic, arcul de

grafic cuprins între aceste două puncte se află sub coarda determinată de aceste puncte.

Figura 1

Teorema 7. Fie I ⊆ ℝ un interval. Funcţia :f I ℝ→ este convexă dacă şi numai dacă

pentru orice , ,x y z I∈ cu ,x y z< < avem

( ) ( ) ( ) ( ).

f x f y f y f z

x y y z

− −≤

− −

Demonstraţie. ( )⇒ Dacă f este convexă şi , ,x y z I∈ cu ,x y z< < atunci

y x z yy z x

z x z x

− −= ⋅ + ⋅

− − şi .y x z y

z x z x

− −+ =

− −1

Aplicând definiţia funcţiei convexe, rezultă inegalitatea de demonstrat.

A

( )( )f a b−λ +λ1

( )a b−λ +λ1 b

y

O a

B

x

( ) ( ) ( )f a f b−λ +λ1



( )⇐ Fie ,x z I∈ cu x z< şi [ ],t∈ 0 1 iar ( ) .y tx t z= + −1 Înlocuim în relaţia dată şi

obţinem ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f tx t z tf x t f z+ − ≤ + −1 1 pentru orice ,x z I∈ şi orice [ ], ,t∈ 0 1

adică f este convexă pe .I

Observaţia 8. Inegalitatea din teorema 7 este echivalentă cu

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

f x f y f y f zx y z

x y y zf x f y f z

− −≤ ⇔ ≥

− −

1 1 1

0

Teorema 9 (inegalitatea lui Jensen, versiunea generală, 1906). Funcţia :f I ℝ→ este

convexă pe I dacă şi numai dacă oricare ar fi ,n n∈ ≥2ℕ şi oricare ar fi

, , , nx x x I∈1 2 … şi , , , nλ λ λ ≥1 2 0… cu ,nλ +λ + +λ =1 2 1… are loc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf x x x f x f x f x I Jλ +λ + +λ ≤ λ +λ + +λ −1 1 2 2 1 1 2 2… …

Demonstraţie. ( )⇒ Notăm proprietatea din teoremă cu ( )nP şi o vom demonstra prin

inducţie matematică.

( )2P este adevărată din definiţia convexităţii funcţiei (se alege ,λ = λ2 deci −λ =λ11 ).

Presupunem adevărată proprietatea pentru un număr natural oarecare n≥2 şi demonstrăm

că este adevărată şi pentru .n+1

Fie , , ,k kx I k n∈ λ ≥ = +0 1 1 încât .n

k

k

+

=

λ =∑1

1

1 Deoarece nu toţi coeficienţii kλ pot fi

de valoare unitară, putem presupune (eventual renumerotându-i) că .n+λ <1 1 Considerăm

următorii n coeficienţi , , ,k

n

k n+

λ=

−λ 1

11

care sunt pozitivi şi au suma egală cu .1

Deoarece ( )nP este adevărată, obţinem

( ) ( ). .n n

k kk k

n nk k

f x f x+ += =

λ λ ≤ −λ −λ ∑ ∑

1 11 1

1 31 1

Pe de altă parte, n

k k

k

x+

=

λ∑1

1

poate fi scrisă sub forma

( ) ,n n

kk k n k n n

nk k

x x x+

+ + ++= =

λλ = −λ +λ

−λ∑ ∑1

1 1 1

11 1

11

de unde, ştiind că ( )2P este adevărată, rezultă

( ) ( ) .n n

kk k n k n n

nk k

f x f x f x+

+ + ++= =

λ λ ≤ −λ +λ −λ ∑ ∑1

1 1 1

11 1

11

Utilizând ( ). ,1 3 rezultă că ( )n+1P este adevărată, ceea ce încheie demonstraţia.

Observaţia 10. Am utilizat următoarea implicaţie:

dacă , , , ,kk

n

x I k n+

λ∈ ≤ ≤ =

−λ 1

0 1 11

atunci ,n

kk

nk

x I+=

λ∈

−λ∑11

1

demonstraţia putându-se face prin inducţie.



( )⇐ Este evidentă. Alegem n= 2 obţinându-se exact definiţia funcţiei convexe.

Corolarul 11.

Funcţia :f I ℝ→ este concavă pe I dacă şi numai dacă oricare ar fi ,n n∈ ≥2ℕ şi

oricare ar fi , , , nx x x I∈1 2 … şi , , , nλ λ λ ≥1 2 0… cu ,nλ +λ + +λ =1 2 1… are loc

( ) ( ) ( ) ( ) .n n n nf x x x f x f x f xλ +λ + +λ ≥λ +λ + +λ1 1 2 2 1 1 2 2… …

Corolarul 12. Fie :f I ℝ→ o funcţie convexă. Atunci

( ) ( ) ( ),

n nn n

n n

f x f x f xx x xf

λ + λ + +λ λ +λ + +λ ≤ λ +λ + +λ λ +λ + +λ1 1 2 21 1 2 2

1 2 1 2

……

… …

oricare ar fi , , , nx x x I∈1 2 … şi oricare ar fi , , , , , .n n nλ λ λ > ∈ ≥1 2 0 2… ℕ

Observaţia 13. Proprietatea funcţiilor convexe din corolarul anterior permite

demonstrarea inegalităţii Cauchy-Buniakovski-Schwarz (C-B-S). Considerăm funcţia

:f ℝ ℝ→ dată prin ( ) .f x x= 2 Evident, această funcţie este convexă. Prin urmare,

conform corolarului 12, avem ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) .

n nn n

n n

n nn n

n n

n n n n n

f x f x f xx x xf

x x xx x x

x x x x x x

λ +λ + +λ λ +λ + +λ ≤ ⇔ λ +λ + +λ λ +λ + +λ

λ +λ + +λλ +λ + +λ ⇔ ≤ ⇔ λ + λ + +λ λ +λ + +λ

⇔ λ +λ + +λ ≤ λ +λ + +λ λ +λ + +λ

1 1 2 21 1 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 21 2

……

… …

……

… …

… … …

Notând , , , ,kk kk

k

ab x k n

bλ = = =2

1 obţinem

( ) ( )( ) ,n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2… … …

adică inegalitatea C-B-S.

Corolarul 14 (inegalitatea lui Jensen, versiunea simplă, 1906). Fie :f I ℝ→ şi ,n≥2

natural.

( )a Dacă f este convexă pe ,I atunci

( ) ( ) ( ).

nnf x f x f xx x x

fn n

+ + + + + + ≤ 1 21 2

……

( )b Dacă f este concavă pe ,I atunci

( ) ( ) ( ).

nnf x f x f xx x x

fn n

+ + + + + + ≥ 1 21 2

……

De fapt, inegalitatea ( )a din corolarul 14, inegalitate care se utilizează cel mai

adesea in demonstrarea unor inegalităţi în care apar funcţii convexe, nu este

destul de puternică. Liang-Cheng Wang, Xiu Fen-Ma şi Li Hong-Liu, toţi de la

Universitatea Chongqing din China, publică în 2009, volumul 10, în Journal of

inequalities in pure and aplied mathematics a Universităţii Victoria, numeroase

rafinări ale acestei inegalităţi.



Teorema 15. Orice funcţie convexă (respectiv concavă) este continuă pe interiorul

intervalului de definiţie.

Demonstraţia 1. Fie :f I ℝ→ o funcţie convexă şi x0 un punct interior intervalului

.I Există atunci ,a b I∈ astfel încât .a x b< <0 Fixăm un număr x astfel încât

.a x x< < 0 Conform inegalităţii ( ). ,1 1 rezultă

( ) ( ) ( ) ( ).x x x a

f x f a f xx a x a

− −≤ +− −

0

0

0 0

1 4

Deoarece ,x x b< <0 avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).b x x x x xb x

f x f x f b f x f x f bb x b x b x b x

− − −−≤ + ⇔ ≥ +− − − −

0 0 0

0 0

0 0

1 5

Inegalităţile ( ).1 4 şi ( ).1 5 se scriu împreună sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,x x x xb x x a

f x f b f x f a f xb x b x x a x a

− −− −+ ≤ ≤ +− − − −

0 0

0 0

0 0 0 0

pentru orice ( ), .x a x∈ 0 Făcând ,x x0→ obţinem din teorema cleştelui

( ) ( )lim .x x

f x f x=0

0ր

În mod analog se arată că ( ) ( )lim ,x x

f x f x=0

0ց

adică f este continuă în punctul .x0

Demonstraţia 2 (Dan Schwarz).

Fie în interiorul intervalului I punctele .a a x a a< < < <1 2 3 Din convexitate rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

f a f a f a f x f a f a

a a a x a a

− − −≤ ≤

− − −2 1 3

2 1 3

deci

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

,f a f a f a f a

a x f a f x a xa a a a

− −− ≤ − ≤ −

− −2 1 3

2 1 3

de unde ( ) ( )lim .x ax a

f x f a

<

=→

Analog ( ) ( )lim .x ax a

f x f a

>

=→

Observaţia 16. Există funcţii convexe (concave) discontinue în extremităţile intervalului

de definiţie. De exemplu, funcţia [ ]: ,f −1 1 ℝ→ dată prin

( )( ){ }

,,,

, ,

xxf x

x

∈ −= ∈ −

2 1 1

2 1 1

este convexă şi discontinuă în punctele −1 şi .1

Definiţia 17. Funcţia :f I ℝ→ se numeşte ( )J convexă (convexă în sens Jensen)

dacă ( ) ( )

,f x f yx y

f+ + ≤ 2 2

oricare ar fi , .x y I∈

Teorema 18. Fie :f I ℝ→ o funcţie ( )J convexă. Atunci, pentru orice ,n n∈ ≥2ℕ şi

pentru orice , , , ,nx x x I∈1 2 … avem



( ) ( ) ( )( ). .

nnf x f x f xx x x

fn n

+ + + + + + ≤ 1 21 2

1 6……

Demonstraţie. Prin inducţie. Pentru n= 2 , inegalitatea are loc din definiţia funcţiei

( )J convexe. Fie ,n n∈ ≥2ℕ pentru care are loc ( ). .1 6 Arătăm că această inegalitate are

loc şi pentru .n+1 Fie , ,a b I∈ arbitrare. Considerăm punctele nc a b

n n= +

+ +1

1 1 şi

.n

d a bn n

= ++ +1

1 1 Deoarece

nc a d

n n

−= +1 1 şi ,

nd b c

n n

−= +1 1 conform ipotezei

inductive avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), . .n n

f c f a f d f d f b f cn n n n

− −≤ + ≤ +1 1 1 11 7

Urmează că

( ) ( ) ( ) .n n

f a b f c f a f bn n n n

+ = ≤ + + + + +1 1

1 1 1 1

Fie , , , .nx x x I+ ∈1 2 1… Conform ipotezei inductive şi ţinând cont de ( ). ,1 7 obţinem

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

,

n nn

nnn

n

n

x x x x x xnf f x

n n n n

f x f x f xx x xn nf f x

n n n n n

f x f x f xf x

n n

++

+

++

+ + + + + + = ⋅ + ⋅ ≤ + + +

+ + + + + + ≤ + ≤ ⋅ + + + +

+ + ++ =

+ +

1 2 1 1 2

1

1 21 2

1

1 2 1

1

1

1 1 1

1

1 1 1

1

1 1

… …

……

…

deci ( ).1 6 are loc şi pentru .n+1 Conform principiului inducţiei matematice, inegalitatea

( ).1 6 are loc pentru orice , .n n∈ ≥2ℕ

Teorema 19. Fie :f I ℝ→ o funcţie ( )J convexă. Dacă f este continuă pe ,I atunci f

este convexă.

Demonstraţie. Fie ( ), , , , , , , , .p p

q q q q p q p qq q

∈ ∩ = = − ∈ ≥1 2 1 20 1 1 1ℚ ℕ

Vom demonstra că ( ) ( ) ( ) ,f q x q y q f x q f y+ ≤ +1 2 1 2

oricare ar fi , .x y I∈

Pentru , ,x y I∈ avem

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

ori orip q p

p p yxf q x q y f x y f p q p

q q q q

f x x x y y y pf x q p f yq q

pf x

q

−

+ = + − = ⋅ + − ⋅ = = + + + + + + + ≤ + − =

= + −

1 2 1

1 1

1

… …��

( ) ( ) ( ) .pf y q f x q f y

q

= + 1 2



Dacă [ ],λ ∈ 0 1 arbitrar, atunci există un şir ( )n n≥λ

1 din [ ], ,∩ 0 1ℚ cu lim .n

n ∞λ = λ

→

Atunci, în relaţia ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,n n n nf x y f x f yλ + −λ ≤ λ + −λ1 1

valabilă pentru orice ,x y I∈ şi pentru orice , ,n n∈ ≥1ℕ trecem la limită şi utilizăm

continuitatea lui .f Rezultă că

( )( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f yλ + −λ ≤ λ + −λ ,1 1

pentru orice ,x y I∈ şi pentru orice [ ], ,λ ∈ 0 1 adică funcţia f este convexă.

Observaţia 20. Concluzia teoremei 19 are loc şi dacă cerinţa de continuitate este

înlocuită cu cea de mărginire (vezi [ ]21 ).

Teorema 21. Fie :f I ℝ→ o funcţie derivabilă pe .I Atunci:

( )a funcţia f este convexă dacă şi numai dacă

( ) ( ) ( )( )f x f a f a x a′≥ + − pentru orice , ;x a I∈ ( ).1 8

( )b funcţia f este strict convexă dacă şi numai dacă

( ) ( ) ( )( )f x f a f a x a′> + − pentru orice , , .x a I x a∈ =/ ( ).1 9

Demonstraţie. ( )a Dacă funcţia f este convexă, atunci pentru orice ,x a I∈ şi orice

( ),λ ∈ 0 1 avem

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f a x f a f x−λ +λ ≤ −λ +λ1 1

adică ( )( ) ( )

( ) ( ) .f a x a f a

f x f a+ λ − −

≤ −λ

Trecând la limită pentru ,λ 0ց obţinem

( )( ) ( ) ( ) .f a x a f x f a′ − ≤ −

Reciproc, presupunând că are loc ( ).1 8 în toate punctele lui ,I atunci pentru orice ,x y I∈

şi orice [ ], ,λ ∈ 0 1 avem

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

,

,

f x f x y f x y x y

f y f x y f x y x y

′≥ −λ +λ +λ −λ +λ −

′≥ −λ +λ − −λ λ −λ +λ −

1 1

1 1 1

de unde rezultă imediat că ( ) ( ) ( ) ( )( ) .f x f y f x y−λ +λ ≥ −λ +λ1 1

( )b Dacă funcţia f este strict convexă, atunci pentru orice , ,x a I∈ cu x a=/ şi ( ), ,λ ∈ 0 1

avem ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f a x f a f x−λ +λ < −λ +λ1 1

adică

( )( ) ( )

( ) ( ) .f a x a f a

f x f a+ λ − −

< −λ

De aici, potrivit ( ) ,a rezultă că



( )( ) ( )( )( ) .

f a x a f af a x a

+ λ − − ′≥ −λ

Cealaltă implicaţie se demonstrează similar punctului ( ) .a

Observaţia 22. Dacă funcţia este derivabilă în ,a atunci graficul funcţiei admite

tangentă în punctul ( )( ), ,a f a anume dreapta de ecuaţie ( ) ( )( ) .y f a f a x a′− = −

Ordonata punctului de abscisă x I∈ a acestei drepte este ( ) ( )( ) .y f a f a x a′= + −

Ordonata punctului de aceeaşi abscisă de pe grafic este ( ) .f x Aşadar teorema afirmă că

punctele de abscisă x I∈ ale unei drepte tangente la graficul funcţiei convexe :f I ℝ→

sunt situate sub graficul funcţiei.

Inegalitatea ( ).1 8 din teorema 21 permite demonstrarea unei inegalităţi clasice,

anume, xe x≥ +1 pentru orice x∈ ℝ (se consideră funcţia convexă

( )xx e f x=֏ şi se ia punctul a= 0 ). Mai mult, utilizând teorema lui Fermat,

se arată că funcţia ( ) xf x e= este unica funcţie exponenţială ce satisface

inegalitatea xe x≥ +1 pentru orice .x∈ ℝ

Teorema 23. Fie I ⊆ ℝ un interval şi :f I ℝ→ o funcţie de două ori derivabilă pe .I

( )a Funcţia f este convexă pe I dacă şi numai dacă ( )f x′′ ≥ 0 pentru orice .x I∈

( )b Funcţia f este concavă pe I dacă şi numai dacă ( )f x′′ ≤ 0 pentru orice .x I∈

Demonstraţie. Demonstrăm echivalenţele pe un interval arbitrar ( ), , .a b I a b⊆ <

( )( )a ⇐ Dacă ( )f x′′ ≥ 0 pentru orice ,x I∈ atunci funcţia f ′ este crescătoare pe ( ), ,a b

deci oricare ar fi ( ), , , ,a bβ β β β∈ <1 2 1 2 avem că ( ) ( ) .f fβ β′ ′≤1 2

Fie ( ),t∈ 0 1 şi ( ) ( ), , .x ta t b x a b= + − ∈0 01 Conform teoremei lui Lagrange, există

( ),a xα ∈1 0 şi ( ),x bα ∈2 0 astfel încât

( ) ( )( )

f x f af

x aα

− ′=−

0

1

0

şi ( ) ( )

( ) .f b f x

fb x

α− ′=−

0

2

0

Dar,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,f x f a f b f x

f fx a b x

α α α α− −′ ′< ⇒ ≤ ⇔ ≤− −

0 0

1 2 1 2

0 0

de unde rezultă, conform teoremei 7, că funcţia f este convexă.

( )⇒ Fie , , .a b I a b∈ < Deoarece funcţia f este convexă pe ,I atunci ea este convexă pe

( ), .a b

Fie ( ), , , , .a bβ βα α∈ < <γ γ Din teorema 7, rezultă că, pentru orice ( ), , ,x x a b∈1 2 cu

,x x βα< < <1 2 avem

( ) ( ) ( ) ( )f x f f f x

x x

α αα α

− −≥

− −2 1

2 1

şi ( ) ( ) ( ) ( )

.f f x f x f x

x x x

ββ

− −≥

− −2 2 2 1

2 2 1

Deoarece f este derivabilă, prin trecere la limită când x α1 → şi ,x β2 → se obţine

( ) ( )f x f x′ ′≥2 1 pentru orice ,x x<1 1



adică funcţia f ′ este crescătoare şi derivabilă, deci ( )f x′′ ≥ 0 pentru orice .x I∈

( )b Funcţia f este concavă f⇔− este convexă ( ) ( )f x f x′′ ′′⇔ − ≥ ⇔ ≤0 0 pentru orice

.x I∈

Observaţia 24. Dacă funcţia :f I ℝ→ este o funcţie de două ori derivabilă pe I cu

( )f x′′ ≥ 0 pentru orice x I∈ şi mulţimea ( ){ }x I f x′′∈ = 0 este finită, atunci funcţia f

este strict convexă. Analog pentru funcţii strict concave.

Observaţia 25. Din punct de vedere geometric, punctul ( )a al teoremei 23 ne spune că o

funcţie derivabilă :f I ℝ→ este convexă pe I dacă şi numai dacă tangenta în orice punct

al graficului funcţiei f este situată sub grafic.

Observaţia 26. Utilizând teorema 23 şi formula lui Taylor cu rest de ordin doi1 se

deduce imediat inegalitatea ( ).1 8 din teorema 21 (se utilizează faptul că f ′′ ≥0 ).

1 Fie [ ]: ,f a b ℝ→ de două ori derivabilă. Atunci există [ ],c a b∈ astfel ca

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .f b f a f a b a f c b a′ ′′− = − + − 21

2



Comentarii metodice.

�

În programa de matematică pentru clasa a XI-a, funcţiile convexe au fost introduse

pentru trasarea graficului unei funcţii în condiţiile în care derivata întâi nu ne oferea

suficiente „argumente” pentru a avea o imagine asupra „alurii” graficului. În acest context

se studiază o categorie de puncte remarcabile de pe grafic, anume punctele de inflexiune.

De-a lungul timpului am observat că aflarea punctelor de inflexiune ale graficului unei

funcţii este însoţită deseori de dificultăţi şi greşeli, acestea datorându-se, se pare,

necunoaşterii condiţiei ca un anumit punct să fie punct de inflexiune. O „vină” pare să fie şi

categoria de exerciţii tipice pentru examenul de bacalaureat pentru nivelul M2, exerciţii în

care apar, în imensa majoritate a cazurilor, funcţii derivabile (chiar infinit derivabile) pe

domeniul de definiţie al funcţiei. Studiul comportării unei funcţii în anumite „puncte

sensibile” este ocolit atât de autorii manualelor de pe piaţa liberă pentru M2, cât şi de

majoritatea autorilor auxiliarelor pentru bacalaureat.

Este bine să dăm următoarea

Definiţie. Fie :f I ℝ→ o funcţie şi x0 un punct interior intervalului .I Spunem că

x0 este punct de inflexiune pentru funcţia ,f dacă

( )a f este continuă în ;x0

( )b f are derivată în x0 (finită sau nu);

( )c f este convexă, respectiv concavă, de o parte şi de alta a lui .x0

Corespunzător, punctul ( )( ),M x f x0 0 0 se numeşte punct de inflexiune al graficului

funcţiei .f

Observaţie. Cum într-un punct de inflexiune funcţia are derivată, finită sau nu, tangenta

la grafic în acel punct există şi „traversează” graficul.

Dăm 3 exemple de funcţii pentru a ilustra mai bine conceptul de punct de inflexiune.

( )1 :f ℝ ℝ→ dată prin ( ),

,

x xf x

x x

+ ≥=− − <

1 0

0

( )2 :f ℝ ℝ→ dată prin ( )f x x= 3

( )3 :f ℝ ℝ→ dată prin ( ),

,

x

x

e x

f x

e x

≥= − + <

0

1 30

2 2



Redăm mai jos graficele celor trei funcţii „în jurul originii”.

Funcţia din exemplul ( )1 are derivată în punctul ( )( ) ,x f ′= = ∞0 0 0 este convexă pentru

x< 0 şi concavă pentru ,x> 0 dar este discontinuă în ,x =0 0 prin urmare, x =0 0 nu este

punct de inflexiune al acestei funcţii.

Pentru funcţia din exemplul ( ) ,2 punctul x =0 0 este punct de inflexiune deoarece funcţia

este continuă în acest punct, are derivată în ( )( )x f ′= = ∞0 0 0 şi este convexă la stânga

lui 0 şi concavă la dreapta.

În sfârşit, pentru funcţia din exemplul ( ) ,3 punctul x =0 0 nu este punct de inflexiune

deoarece funcţia nu are derivată în acest punct ( ( )sf′ =− 10

2, iar ( )df

′ =0 1 ) chiar dacă este

continuă în 0 şi îşi schimbă concavitatea la stânga şi la dreapta punctului.

Propoziţia care urmează dă o condiţie necesară ca un punct să fie de inflexiune pentru o

funcţie de două ori derivabilă: acest rezultat joacă acelaşi rol pentru punctele de inflexiune

pe care îl joacă teorema lui Fermat pentru punctele de extrem.

Propoziţie. Fie :f I ℝ→ o funcţie de două ori derivabilă şi x0 un punct interior lui .I

Dacă x0 este punct de inflexiune, atunci ( ) .f x′′ =0 0

Demonstraţie. Presupunem că funcţia f este convexă la stânga lui x0 şi concavă la

dreapta lui .x0 Atunci funcţia f ′ este crescătoare la stânga lui x0 şi descrescătoare la

dreapta lui .x0 Deci x0 este un punct de maxim pentru f ′ şi, conform teoremei lui

Fermat, ( ) ( ) ( ) .f x f x′′ ′′= ⇔ =0 00 0

Analog se raţionează dacă f este concavă la stânga lui x0 şi convexă la dreapta lui .x0

Observaţie. Condiţia ( )f x′′ =0 0 nu este suficientă pentru ca x0 să fie punct de

inflexiune (de exemplu, pentru funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( ) ,f x x= 4 avem ( )f ′′ =0 0 dar

x =0 0 nu este punct de inflexiune). Această condiţie sau chiar, mai mult, doar existenţa

derivatei secunde nu sunt necesare pentru existenţa inflexiunii.

De exemplu, funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( )f x x x= −3 3 23 are pe x =0 3 ca punct de

inflexiune (f este continuă în ( ),x f ′= = ∞0 3 3 ) cu toate că derivata a doua nu există în

acest punct.

Condiţia exprimată de propoziţia precedentă era doar necesară, dar ea poate fi

completată până la una necesară şi suficientă prin următoarea



Propoziţie. Fie :f I ℝ→ o funcţie de două ori derivabilă astfel încât mulţimea

( ) }{F x I f x′′= ∈ = 0 este formată din puncte izolate. Pentru un punct x0 interior lui

,I există echivalenţa:

x0 este punct de inflexiune dacă şi numai dacă ( )f x′′ =0 0 şi f ′′ are semne contrare de

o parte şi de alta a lui .x0

Din păcate, aproape toate manualele alternative de pe piaţa liberă sunt extrem de sărace

în exerciţii în care se utilizează convexitatea. Inegalităţile care se pot demonstra uşor

utilizând convexitatea sunt extrem de puţine.

�

Teorema 26. Fie I un interval din , , :a I f I∈ℝ ℝ→ o funcţie.

Definim funcţia { }:ag I a ℝ→\ prin ( )( ) ( )

.a

f x f ag x

x a

−=

−

( )a Dacă funcţia f este convexă (respectiv strict convexă) pe ,I atunci funcţia ag este

crescătoare (respectiv strict crescătoare) pe { } .I a\

( )b Dacă funcţia f este concavă (respectiv strict concavă) pe ,I atunci funcţia ag este

descrescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe { } .I a\

Demonstraţie. ( )a Fie { },x u I a∈ \ cu .x u< Distingem trei cazuri:

( )i .x u a< < Înseamnă că u se poate exprima sub forma ( ) , .a u

u t a tx ta x

−= − + =−

1

Cum ( ),t∈ 0 1 şi f este convexă, rezultă că

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .a a

f u f t a tx t f a tf x f u f a t f x f a

f u f a f x f ag x g u

u a x a

= − + ≤ − + ⇒ − ≤ − ⇒

− −⇒ ≥ ⇒ ≤

− −

1 1

( )ii .x a u< < Înseamnă că a se poate exprima sub forma ( ) , .u a

a t u tx tu x

−= − + =−

1


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .a a

f a f t u tx t f u tf x


u a x a

= − + ≤ − + ⇒

− −⇒ ≥ ⇒ ≤

− −

1 1

( )ii .a x u< < Înseamnă că x se poate exprima sub forma ( ) , .x a

x t a tu tu a

−= − + =−

1


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .a a

f x f t a tu t f a tf u


u a x a

= − + ≤ − + ⇒

− −⇒ ≥ ⇒ ≤

− −

1 1

( )b Acest caz se analizează asemănător.

Observaţia 27. Funcţia ag din teorema de mai sus se numeşte „funcţia pantă”.



Teorema 28. Fie , ,a b a b∈ <ℝ şi ( ): ,f a b ℝ→ o funcţie convexă pe ( ), .a b Atunci

( )i ( )sf x′ ∈ ℝ pentru orice ( ), .x a b∈

( )ii ( )df x′ ∈ ℝ pentru orice ( ), .x a b∈

( )iii ( ) ( )s df x f x′ ′≤ pentru orice ( ), .x a b∈

Demonstraţie. ( )i şi ( )ii . Fie ( ),x a b∈0 fixat. Deoarece f este convexă pe ( ), ,a b

funcţia pantă ( ) { }: ,xg a b x0 0 ℝ→\ dată prin ( )

( ) ( )x

f x f xg x

x x

−=

−0

0

0

este monoton

crescătoare pe mulţimea ( ) ( ), , ,a x x b∪0 0 aşadar funcţia xg 0 are limite laterale finite în

:x0 ( ) ( )lim , lim .x xx x x xx x x x

g x g x

< >

∈ ∈0 0

0 0

0 0

ℝ ℝ→ →

Utilizăm definiţia derivatelor laterale şi obţinem

( )( ) ( )

( )lim lims xx x x xx x x x

f x f xf x g x

x x< <

−′ = = ∈− 0

0 0

0 0

0

0

0

ℝ→ →

şi

( )( ) ( )

( )lim lim .d xx x x xx x x x

f x f xf x g x

x x> >

−′ = = ∈− 0

0 0

0 0

0

0

0

ℝ→ →

( )iii Fie ( ), , , .x x a b x x∈ <1 2 1 2 Arătăm întâi că ( ) ( ) .s sf x f x′ ′≤1 2

Utilizăm funcţiile pantă

( ) { }: ,xg a b x1 1 ℝ→\ dată prin ( )

( ) ( )x

f x f xg x

x x

−=

−1

1

1

şi

( ) { }: ,xg a b x2 2 ℝ→\ dată prin ( )

( ) ( ).x

f x f xg x

x x

−=

−2

2

2

Deoarece f este convexă pe ( ), ,a b funcţiile pantă ,x xg g1 2

sunt crescătoare, prin urmare,

dacă considerăm ( ), ,x x a b′ ′′ ∈ cu ,a x x x x b′ ′′< < < < <1 2 avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

f x f x f x f x f x f x

x x x x x x

′ ′′ ′′− − −≤ ≤

′ ′′ ′′− − −

1 1 2

1 1 2

Prin trecere la limită pentru x x′1→ şi ,x x′′

2→ obţinem

( ) ( ) ( ) ( )lim lim ,x x x x

x x x x

f x f x f x f x

x x x x′ ′′′ ′′< <

′ ′′− −≤

′ ′′− −1 2

1 2

1 2

1 2→ →

adică ( ) ( ) .s sf x f x′ ′≤1 2

Asemănător se arată că ( ) ( ) .d df x f x′ ′≤1 2

Prin trecere la limită pentru x x′1→ şi ,x x′′

1→ obţinem

( ) ( ) ( ) ( )lim lim ,x x x x

x x x x

f x f x f x f x

x x x x′ ′′′ ′′< >

′ ′′− −≤

′ ′′− −1 1

1 1

1 1

1 1→ →

adică ( ) ( ) .s df x f x′ ′≤1 1



Teorema 29. Dacă funcţia [ ]: ,f a b ℝ→ este convexă pe [ ], ,a b atunci

[ ]( ) ( ) ( ){ }

,max , .x a b

f x f a f b∈

∈

Demonstraţie. Cazul I: ( ) ( ) .f a f b≤ Atunci, pentru orice [ ], ,x a b∈ există [ ],t∈ 0 1

astfel încât ( ) .x ta t b= + −1 Deoarece f este convexă, avem

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f at t b tf a t f b tf b t f b f b= + − ≤ + − ≤ + − =1 1 1

Prin urmare, pentru orice [ ],x a b∈ avem ( ) ( ) ,f x f b≤ adică [ ]

( ) ( ),

max .x a b

f x f b∈

=

Cazul II: ( ) ( ) .f a f b> Analog se demonstrează că [ ]

( ) ( ),

max .x a b

f x f a∈

=

Teorema 30. Dacă funcţia [ ]: ,f a b ℝ→ este concavă pe [ ], ,a b atunci

[ ]( ) ( ) ( ){ }

,min , .x a b

f x f a f b∈

∈

Demonstraţie. Deoarece f este o funcţie concavă, atunci f− este convexă şi, din

teorema 29, avem

[ ]( )( ) ( ) ( ){ }

[ ]( ) ( ) ( ){ }

,,max , min , .

x a bx a bf x f a f b f x f a f b

∈∈− ∈ − − ⇒ ∈

Teorema 31. Fie ,n n∈ ≥1ℕ şi , , , ,i ia b i n n∈ =1 2ℝ numere reale astfel încât i ia b<

pentru orice ,i n=1 şi notăm cu [ ],n

n i i

i

P a b=

= ∏1

produsul cartezian al celor n intervale.

Dacă funcţia : nf P ℝ→ este o funcţie de n variabile, convexă în raport cu fiecare

variabilă, atunci

( )( ) ( ){ { } }

, , ,max , , , , , , , , , .

n n

n n i i ix x x P

f x x x f c c c c a b i n∈

∈ ∈ =1 2

1 2 1 2 1…

… …

Demonstraţie. Prin inducţie după numărul de variabile ale funcţiei .f

Practic, teorema 31 afirmă că, în condiţiile date, funcţia f îşi atinge maximul

într-unul din cele n2 vârfuri ale intervalului [ ] [ ] [ ], , , .n na b a b a b× × ×1 1 2 2 …

Teorema 32. Dacă funcţia :f I ℝ→ este o funcţie convexă, atunci orice punct de minim

local este punct de minim global pe intervalul I pentru funcţia .f

Demonstraţie (Virgil Nicula). Fie x I∈0 un punct de minim local pentru funcţia

convexă .f Există ε > 0 astfel ca pentru orice x I∈ cu x x ε− <0 să avem

( ) ( ) .f x f x≤0 Presupunem prin absurd că există x I∈1 astfel încât ( ) ( ) .f x f x<1 0

Notăm ,ux ux vx= +1 0 unde , , .u v u v> + =0 1 Se observă că ux I∈ pentru orice

( ), .u∈ 0 1 Pentru ,u ux x

ε< = <−

0

1 0

1 avem ux x u x x u x x ε− = − < − =0 1 0 0 1 0 şi

deci ( ) ( ) .uf x f x≥ 0 Din convexitatea lui f rezultă că



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,uf x f x uf x vf x uf x vf x u v f x f x≤ ≤ + < + = + =0 1 0 0 0 0 0

adică ( ) ( ) ,f x f x<0 0 absurd. Deci x0 este punct de minim global pentru .f

Teorema 33. Fie I ⊆ ℝ un interval şi , :f g I ℝ→ două funcţii. Dacă f este strict

convexă şi g concavă sau f convexă şi g strict concavă, atunci ecuaţia ( ) ( )f x g x= are

cel mult două soluţii.

Demonstraţie. Presupunem că ecuaţia ( ) ( )f x g x= are trei soluţii, x x x< <1 2 3 şi f

este strict convexă.

Deoarece ( ), ,x x x∈2 1 3 există ( ),t∈ 0 1 astfel încât ( ) .x tx t x= + −2 1 21

Dacă g este concavă, avem

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ,

f x f tx t x tf x t f x tg x t g x

g tx t g x g x

= + − < + − = + − ≤

≤ + − =

2 1 3 1 3 1 3

1 3 2

1 1 1

1

deci ( ) ( ) ,f x g x<2 2 contradicţie, deoarece x2 este o soluţie a ecuaţiei ( ) ( ) .f x g x=

Analog, al doilea caz.

Teorema 34 (operaţii cu funcţii convexe/concave). Fie , : .f g I ℝ→

( )a Dacă funcţiile f şi g sunt convexe (concave), atunci f g+ este convexă (concavă).

( )b Dacă funcţia f este convexă şi funcţia g este concavă, atunci f g− este convexă.

( )c Dacă funcţiile f şi g sunt convexe (concave) şi funcţia f este crescătoare, atunci

funcţia f g� (dacă există) este convexă (concavă).

Demonstraţie.

( )a Presupunem că funcţiile f şi g sunt convexe. Pentru orice ,x x I∈1 2 şi pentru orice

[ ], ,t∈ 0 1 avem

( )( ) ( ) ( ) ( )f tx t x tf x t f x+ − ≤ + −1 2 1 21 1 şi

( )( ) ( ) ( ) ( ) .g tx t x tg x t g x+ − ≤ + −1 2 1 21 1

Adunând membru cu membru cele două inegalităţi, obţinem că funcţia f g+ este convexă.

Analog pentru cazul în care cele două funcţii sunt concave.

( )b Rezultă din ( )a deoarece dacă g este concavă, atunci g− este convexă.

( )c Funcţia g este convexă. Pentru orice ,x x I∈1 2 şi pentru orice [ ], ,t∈ 0 1 avem

( )( ) ( ) ( ) ( ) .g tx t x tg x t g x+ − ≤ + −1 2 1 21 1

Deoarece funcţia f este crescătoare, avem

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) .f g tx t x f tg x t g x+ − ≤ + −1 2 1 21 1

Din convexitatea lui f rezultă că

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,f g tx t x tf g x t f g x+ − ≤ + −1 2 1 21 1

deci funcţia f g� este convexă.

Analog, pentru ,f g concave.



Observaţia 35. Compunerea a două funcţii convexe nu conduce neapărat la o funcţie

convexă. De exemplu, pentru funcţiile [ ] [ ]: , ,−g 1 1 0 1→ dată prin ( )=g x x2 şi [ ]: , ℝf 0 1 →

dată prin ( ) ,=−f x x ambele convexe, avem ( ) ( )=−�f g x x2 care nu este convexă.

Teorema 36. Dacă ,I J ⊆ℝ sunt două intervale şi funcţia :f I J→ este inversabilă,

atunci

( )a Dacă f este convexă şi crescătoare, atunci f−1 este concavă şi crescătoare.

( )b Dacă f este convexă şi descrescătoare, atunci f−1 este convexă şi descrescătoare.

Demonstraţie.

( )a Deoarece f este crescătoare rezultă că şi f−1 este crescătoare. Demonstrăm că f−1 este

convexă. Fie , ,y y J∈1 2 arbitrare şi [ ], .t∈ 0 1 Deoarece f este bijectivă, există ,x x I∈1 2

astfel încât ( )f x y=1 1 şi ( ) .f x y=2 2 Avem

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ,

f ty t y f tf x t f x f f tx t x tx

t x tf y t f y

− − −

− −

+ − = + − ≥ + − = +

+ − = + −

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1

1 1

2 1 2

1 1 1

1 1

adică f−1 este concavă.

Punctul ( )b se demonstrează analog.

Propoziţia 37. Fie , ,a b a b∈ <ℝ şi [ ]: ,f a b ℝ→ o funcţie convexă. Atunci, pentru

oricare numere a x y z t b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cu ,x t y z+ = + are loc inegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) .f x f t f y f z+ ≥ +

Demonstraţie. Deoarece [ ], , ,y z x t∈ există [ ], ,βα ∈ 0 1 astfel încât

( )y x tα α= − +1 şi ( ) .z x tβ β= − +1

Egalitatea x t y z+ = + devine

( ) ( ) ( )( ) .x t x t x tβ β βα α α− − + + = + ⇔ − − − =2 1 0

Dacă ,x t= atunci x y z t= = = şi concluzia are loc.

Dacă ,x t=/ atunci βα + =1 şi, din convexitatea lui ,f rezultă

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f y f x t f x f tα α α α= − + ≤ − +1 1 şi

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .f z f x t f x f tβ β β β= − + ≤ − +1 1

Adunând aceste două inegalităţi, obţinem concluzia.

Observaţia 38. Cu ajutorul acestei propoziţii se pot demonstra unele exerciţii ce ridică

serioase probleme în rezolvarea prin mijloace clasice. Două exemple sunt date în capitolul 3.



Capitolul 2

2.1 Rezultate clasice demonstrate cu ajutorul funcţiilor

convexe sau în care intervin funcţii convexe

Inegalitatea mediilor AM-GM. Fie numerele reale , , , .nx x x >1 2 0… Atunci

.nnn

x x xx x x

n

+ + +≥1 2

1 2

……

Demonstraţie. Considerăm funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ln .f x x= Ştim că f

este concavă, prin urmare are loc ( ) ( ) ( )

,n n

f x f x f x x x xf

n n

+ + + + + + ≤ 1 2 1 2

… …

pentru orice , , , .nx x x >1 2 0…

Utilizând proprietăţile logaritmilor, membrul stâng devine ( )

( )lnln ln ln

ln ln .n nn

nn n

x x xx x xx x x x x x

n n

+ + += = =

11 21 2

1 2 1 2

……… …

Aşadar,

ln ln .n nn

x x xx x x

n

+ + +≤ 1 2

1 2

……

Deoarece funcţia f este strict crescătoare pe ( ), ,∞0 rezultă cerinţa.

Observaţie. Avem egalitate pentru .nx x x= = =1 2 …

Observaţie. Aplicând inegalitatea lui Jensen funcţiei convexe :f ℝ ℝ→ dată prin

( ) ,f x x= 2 se obţine inegalitatea dintre media pătratică şi media aritmetică (QM-AM):

Inegalitatea mediilor QM-AM. Fie numerele reale , , , .nx x x >1 2 0… Atunci

.n nx x x x x x

n n

+ + + + + +≥

2 2 2

1 2 1 2… …

Inegalitatea lui Nesbitt. Fie , , .a b c> 0 Atunci are loc

.a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + +3

2

Demonstraţie. Fie .s a b c= + + Inegalitatea de demonstrat devine

.a b c

s a s b s c+ + ≥

− − −3

2

Considerăm funcţia ( ): ,f s0 ℝ→ dată prin ( ) .x

f xs x

=−

Avem

( )( )

,s

f xs x

′′ = >− 3

20



ceea ce înseamnă că f este convexă pe ( ), .s0 Vom avea

( ) ( ) ( ),

f a f b f ca b cf

+ + + + ≤ 3 3

adică

,

s

a b c sf

s a s b s c ss

+ + ≥ = = − − − −

333 3

3 2

3

ceea ce trebuia demonstrat.

Observaţie. Se cunosc (sunt publicate) peste 25 de demonstraţii ale acestei inegalităţi

propuse de Nesbitt în martie 1903 precum şi numeroase generalizări şi inegalităţi de „tip

Nesbitt”.

Inegalitatea lui Young. Fie ,a b> 0 şi numerele reale ,p q>1 astfel încât .p q

+ =1 11

Atunci

.p qa b

abp q

≤ +

Egalitatea are loc numai dacă .p qa b=

Demonstraţia 1. Funcţia ( ) xf x e= este convexă pe .ℝ

Pentru lnx p a= şi ln ,y q b= din inegalitatea lui Jensen, avem

( ) ( )ln ln

ln ln

ln lnln .

p q

yx x y p a q ba bp q

a b p qab

yx e e e ef f x f y e ep q p q p q p q

e e a be ab

p q p q

++ + ≤ + ⇔ ≤ + ⇔ ≤ + ⇔

⇔ ≤ + ⇔ ≤ +

1 1

Egalitatea are loc când x y= adică atunci când .p qa b=

Demonstraţia 2. Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) lnf x x= este concavă. Prin

urmare,

ln ln ln ln ln ln .p q p q

p qa b a ba a a b ab ab

p q p q p q

+ ≥ + = + = ⇒ ≤ + 1 1

Inegalitatea lui Weitzenböck (Ionescu). Pentru orice triunghi ,ABC cu laturile , ,a b

respectiv c şi arie ,S avem

.a b c S+ + ≥2 2 24 3 ( ).2 1

IMO, 1961

Demonstraţie. Avem

.sin sin sin

a b c ab ac bc SA B C

+ + ≥ + + = + + 2 2 2 1 1 1

2

Deoarece funcţia ( )sin

f xx

= 1 este convexă pe ( ), ,π0 avem



( ) ( ) ( ) ,A B C

f A f B f C f fπ + + + + ≥ = =

3 3 2 33 3

de unde rezultă că are loc inegalitatea ( ). .2 1

Observaţie. În literatura de specialitate, inegalitatea ( ).2 1 este cunoscută ca fiind

„inegalitatea lui Weitzenböck”. Matematicianul Roland Weitzenböck a publicat în anul

1919, în Mathematische Zeitschrift, Vol. 5, Nr. 1-2, pp. 137-146, articolul Uber eine

Ungleichung in der Dreiecksgeometrie, în care demonstrează că:

În orice triunghi ,ABC cu notaţiile obişnuite, are loc inegalitatea:

.a b c S+ + ≥2 2 24 3

În Gazeta Matematică, Vol. III (15 Septembrie 1897 – 15 August 1898), Nr. 2, Octombrie

1897, la pagina 52, Ion Ionescu, fondatorul Gazetei Matematice, a publicat problema:

.∗273 Să se arate că nu există niciun triunghiu pentru care neegalitatea:

S a b c> + +2 2 24 3

să fie satisfăcută.

I. Ionescu

Observăm că inegalitatea lui I. Ionescu este aceeaşi cu inegalitatea ( ).2 1 . Deoarece a fost

publicată cu 22 de ani înainte, credem că inegalitatea ( ).2 1 ar trebui să se numească

inegalitatea lui Ionescu.

Pentru această inegalitate în [ ]8 se dau 11 demonstraţii, iar în [ ]23 se regăsesc alte 23 de

demonstraţii şi 10 generalizări.

Definiţie. Fie n -uplele de numere reale ( ), , , nx x x x= 1 2 … şi ( ), , , ny y y y= 1 2 …

astfel încât nx x x≥ ≥ ≥1 2 … şi , , .ny y y n n≥ ≥ ≥ ∈ ≥1 2 1… ℕ

Spunem că x îl majorează pe y şi notăm x y≻ dacă

, , , n nx y x x y y x x x y y y− −≥ + ≥ + + + + ≥ + + +1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1… … … şi

.n n n nx x x x y y y y− −+ + + + = + + + +1 2 1 1 2 1… …

Inegalitatea lui Karamata. Fie I ⊆ ℝ un interval, :f I ℝ→ o funcţie convexă şi două n

-uple de numere reale astfel încât ( ) ( ), , , , , , , , .n nx x x y y y n n∈ ≥1 2 1 2 2… ≻ … ℕ Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n nf x f x f x f y f y f y+ + + ≥ + + +1 2 1 2… …

Dacă funcţia f este strict convexă şi , ,k kx y k n=/ =1 astfel încât

( ) ( ), , , , , , , , ,n nx x x y y y n n∈ ≥1 2 1 2 2… ≻ … ℕ

atunci inegalitatea este strictă.

Inegalitatea lui Hermite-Hadamard. Fie [ ]: , , ,f a b a b<ℝ→ o funcţie convexă. Atunci

12a b

fb a

+ ≤ −

b�

( ) df x x≤

( ) ( ).

2

f a f b+

a



Demonstraţie. Demonstrăm întâi că are loc a doua inegalitate. Deoarece f este

convexă, pentru orice [ ],x a b∈ are loc

( ) ( )( ) ( )

( ) .f b f a

f x f a x ab a

−≤ + −

−

Prin integrare, avem

b�

( ) df x x≤b�

( )( ) ( )

( ) df b f a

f a x a xb a

− + − ⇒ −

b�

( ) df x x≤

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

b

b

a

a

f b f a xf a x ax f a b a

b a

f b f a b aab a f a b a

b a

f b f a b af b f a b ab a

b a

− ≤ + − = − + −

− + − − + = − + −

+ −− − + + ⋅ =−

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

Pentru prima inegalitate avem

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1

0

1

0

1

0

1 1d d d

1 d2 2 2

2 2 d2

d2 2

a bb b

a ba af x x f x x f x x

b a b a

a b t b a a b t b af f t

a b t b a a b t b a

f t

a b a bf t f

+

+

= + = − − + − − + + − = + ≥ + − − + + − + ≥ = + + = =

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ .

Am făcut substituţiile ( )a b t b a

x+ − −

=2

şi ( )

.a b t b a

x+ + −

=2

Inegalitatea lui Popoviciu. Fie [ ]: ,f a b ℝ→ o funcţie convexă pe intervalul [ ], .a b

Pentru orice [ ], , ,x y z a b∈ avem

( ) ( ) ( )( )

f x f y f zx y z x y y z z xf f f f

+ + + + + + + + ≥ + + 2

53 3 3 2 2 2

Demonstraţia 1. Fără a restrânge generalitatea, presupunem că .x y z≤ ≤

Dacă ,x y z

y+ +

≤3

atunci x y z x z

z+ + +≤ ≤3 2

şi .x y z y z

z+ + +

≤ ≤3 2

Există atunci [ ], ,s t∈ 0 1 astfel încât

( )

( )

;

.

x y zx zs s z

y z x y zt t z

+ ++ = + −

+ + + = + −

12 3

12 3

a a a



Adunând aceste egalităţi obţinem

( ) ,x y z x y z

s t+ − + −

= +2 2

2 3

de unde .s t+ = 3

2

Din convexitatea lui f avem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

;

;

.

x y zx zf sf s f z

y z x y zf tf t f z

x yf f x f y

+ ++ ≤ + −

+ + + ≤ + −

+ ≤ +

12 3

12 3

1 1

2 2 2

Adunând inegalităţile anterioare, obţinem concluzia.

În cazul în care ,x y z

y+ +

<3

demonstraţia este analogă ţinând cont că avem

x y zx zx

+ ++≤ ≤2 3

şi .y z x y z

x+ + +

≤ ≤2 3

Observaţie. Inegalitatea demonstrată de Tiberiu Popoviciu în anul 1965 a suscitat

interesul multor matematicieni. Astfel, în 1982, matematicianul Alexandru Lupaş a

generalizat inegalitatea în forma următoare:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

px qy rzpf x qf y rf z p q r f

p q r

px qy qy rz rz pxp q f q r f r p f

p q q r r p

+ + + + + + + ≥ + +

+ + + ≥ + + + + + + + +

unde , ,p q r sunt numere reale pozitive.

În anii 2000 şi 2004, profesorul Vasile Cîrtoaje a extins inegalitatea lui Popoviciu la n

variabile, publicând două generalizări, prima fiind în Gazeta Matematică, seria A, din anul

2002, a doua generalizare a fost dată fără demonstraţie în anul 2004 pe site-ul Mathlinks,

apoi a fost publicată în anul 2005 în revista Crux Mathematicorum.

Prima generalizare:

Dacă f este o funcţie convexă pe intervalul I şi , , , , , ,na a a I n n∈ ∈ ≥1 2 2… ℕ atunci

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ,

nn

n

a a af a f a f a n n f

n

n f b f b f b

+ + + + + + + − ≥

≥ − + + +

1 2

1 2

1 2

2

1

……

…

unde i j

j i

b an =/

=− ∑1

1 pentru orice , .i n=1

A doua generalizare:

Dacă f este o funcţie convexă pe intervalul I şi , , , , , ,na a a I n n∈ ∈ ≥1 2 2… ℕ atunci

( ) ( ) ( ) ( )( ) .i jn

n

i j n

a aa a an f a f a f a nf f

n ≤ < ≤

+ + + + − + + + + ≥ ∑1 2

1 2

1

2 22

……

Observaţie. Tot în anul 1965, Tiberiu Popoviciu a demonstrat şi reciproc, că orice

funcţie continuă [ ]: ,f a b ℝ→ care verifică ( )5 este convexă pe [ ], .a b



Observaţie. Cazul particular în care ( )f x x= ne furnizează inegalitatea

( ),x y z x y z x y x z y z H+ + + + + ≥ + + + + +

pentru orice , , ,x y z∈ℝ cunoscută ca Inegalitatea lui E. Hlawka.

Observaţie. Inegalitatea lui Hlawka ( )H are loc chiar pentru orice numere complexe

, , .z z z1 2 3

Inegalitatea lui Seitel. Dacă , , ,a b ch h h r sunt înălţimile, respectiv raza cercului înscris

într-un triunghi ,ABC să se arate că .a b ch h h r+ + ≥9

Demonstraţie. Utilizăm formula .a

Sh

a= 2

Considerăm funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată

prin ( ) .f xx

= 1 Cum ( ) ,f x

x

′′ = >3

20 oricare ar fi ( ), ,x∈ ∞0 rezultă că f este convexă.

Deci,

( ) ( ) ( )( )

.

a b ch h h S S f a f b f ca b c

a b c SS f S r

a b c p

+ + = + + = + + ≥ + + ≥ ⋅ = ⋅ = = + +

1 1 12 2

3 92 3 6

3

Inegalitatea integrală a lui Jensen. Fie : , :f I J g J ℝ→ → două funcţii continue.

( )a Dacă g este convexă, atunci

( ) ( )( )( )1 1d d .b b

a ag f x x g f x xb a b a

≤ − −∫ ∫

( )b Dacă g este concavă, atunci

( ) ( )( )( )1 1d d .b b

a ag f x x g f x xb a b a

≥ − −∫ ∫

Demonstraţie. ( )a Dacă ( ), , , nx x x0 1 … este o diviziune a intervalului [ ],a b şi ,c1

, , nc c2 … sunt punctele obţinute prin aplicarea teoremei de medie pentru funcţia f pe

intervalele [ ] [ ] [ ], , , , , , ,n nx x x x x x−0 1 1 2 1… atunci

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

11

11

1 1d

1 ,

nb

k k ka

k

n

k k k

k

g f x x g x x f cb a b a

x x g f c Sb a

−=

−=

= − ≤ − −

≤ − =−

∑∫

∑

unde S este o sumă Riemann pentru ,g f� asociată diviziunii ( ), , , .nx x x0 1 … Luând

diviziuni cu norma tinzând la 0 şi trecând la limită, obţinem concluzia.

Punctul ( )b se demonstrează analog.

Inegalitatea Jensen - Petrović. Fie [ ): ,f ∞ ℝ→0 o funcţie convexă şi , ,a b c lungimile

laturilor unui triunghi. Atunci



( ) ( ) ( ) ( ) .a b c a b c

f f a f b f c f f + + + + ≤ + + ≤ +

3 2 03 2

Demonstraţie. Deoarece funcţia f este convexă, pentru ,x =0 0 funcţia pantă

( )( ) ( )f x f

g xx

−=

−0

0

0 este crescătoare. Din ,

a b ca

+ +<2

rezultă

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .

a b cf f

f a f a a b cf a f f f

a a b c a b c

+ + − − + + ≤ ⇒ ≤ − + + + + +

00 2 2

0 02

2

Adunăm această relaţie la celelalte două analoage, se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) .a b c

f a f b f c f f + + + + ≤ +

2 02

Prima inegalitate este inegalitatea lui Jensen aplicată pentru lungimile laturilor unui

triunghi.

Inegalitatea lui Goughens. Fie numerele reale pozitive , , , , , .na a a n n∈ ≥… ℕ1 2 2

Atunci are loc

( )( ) ( ) ( ) .n

nn na a a a a a+ + + ≥ +… …1 2 1 21 1 1 1

Demonstraţie. Funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( ) ( )ln xf x e= +1 este convexă. Aplicând

inegalitatea lui Jensen, avem

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

ln

ln ln ln ln

ln ln

.

n

k

k

an n nn

k k k

k k k

nn n

nn

n n

f a f a e an n n

n a a a a a a

a a a a a a

=

= = =

≤ ⇔ + ≤ + ⇔

⇔ + ≤ + + + ⇔

⇔ + + + ≥ +

∑∑ ∑ ∑

… …

… …

1

1

1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 11 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Inegalitatea lui Bernoulli. Fie ,x x∈ >−1ℝ şi ,α α∈ <0ℝ sau .α > 1 Atunci

( ) .x xα α+ ≥ +1 1

Demonstraţie. Se aplică inegalitatea ( ).1 8 din teorema 21 pentru funcţia convexă

( ): ,f − ∞1 ℝ→ dată prin ( ) ( )f x xα= +1 pentru punctul .a= 0

Observaţie. Dacă ( ), ,α ∈ 0 1 atunci inegalitatea devine ( ) .x xα α+ ≤ +1 1



Capitolul 3

3.1 Inegalităţi algebrice

Exerciţiul 1. Fie ,a b> 0 şi n un număr natural. Arătaţi că

.

nn na b a b + + ≥ 2 2

Soluţie. Pentru n= 0 şi ,n=1 verificarea este imediată şi avem egalitate. Pentru

, ,n n∈ ≥2ℕ forma inegalităţii impune considerarea funcţiei ( ) ( ): , ,f ∞ ∞0 0→ dată prin

( ) .nf x x= Deoarece ( ) ( ) ,nf x n n x −′′ = − >21 0 funcţia este convexă. Atunci, pentru orice

, ,a b> 0 avem ( ) ( )

,f a f b a b

f+ + ≥ 2 2

adică tocmai inegalitatea din enunţ.

Exerciţiul 2. Fie numerele reale ,a b> 0 şi , .n n∈ ≥1ℕ Arătaţi că

.

n n

na b

b a

+ + + + ≥ 1

1 1 2

Soluţie. Pentru ,n=1 inegalitatea de demonstrat devine

( ) ,a b a b

a bb a b a

+ + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥2

2 4 2 0 0 evident, adevărată.

Dacă ,n≥2 funcţia ( ) nf x x= este convexă. Avem

( )

.

n

n n n n

n

a b a b

a ba bf f f fb a

a b a b

b a b a

+

+ + = ≤ + ≤ + + + = = + + + ⇒ + + + ≥

1

12 2 1 1

2 2 2

11 1 1 1 2

2

Exerciţiul 3. Fie , , .a b c> 0 Arătaţi că

( ) ( ) .a b c a b c+ + ≥ + + 33 3 39

Soluţie. Ca în exerciţiul anterior, considerăm funcţia

( ) ( ): , ,f ∞ ∞0 0→ dată prin ( ) .f x x= 3

Deoarece f este convexă pe ( ), ,∞0 rezultă că

( ) ( ) .a b c a b c

a b c a b c + + + + ≤ ⇔ + + ≥ + +

3 3 3 333 3 3

93 3



Exerciţiul 4. Arătaţi că pentru orice numere reale pozitive , , ,a a a1 2 3 are loc

.a a a a a a

a a a a a a

+ + + +≥

+ + + +

2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3

3 3 3 4 4 4

1 2 3 1 2 3

Gazeta Matematică

Soluţie. Aplicăm inegalitatea lui Jensen funcţiei convexe ( )f x x= 2 şi pentru

, , ,

, , .

a a a a a a a a ax x x

a a a a a a

aa a

a a a a a a a a a

+ + + + + += = =

λ = λ = λ =+ + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

2 3 3 1 1 2

22 2

31 2

1 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2

Inegalitatea ( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x f x f xλ +λ +λ ≤λ +λ +λ1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 se transcrie

( ) ( )( ),

a a a a a a a a a

a a a a a a

+ + + + + +≤

23 3 3 4 4 4 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 34 4

de unde rezultă concluzia.

Exerciţiul 5. Dacă ,a b≥0 şi ,a b+ =2 atunci

( ) ( ) .a b+ + + ≤5 5

5 5 61 1 2

Soluţie. Funcţia [ ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ( )f x a x= +5

5 este concavă pe domeniul de

definiţie. Prin urmare,

( ) ( ) ( ) ( ) .a ba b

a b a b+ = + + ≥ + + + ⇒ ≥ + + +

525 5 5 5

5 5 5 5652 1 1 1 2 1 12

Exerciţiul 6. Fie numerele reale , , .a b c>0 Arătaţi că

.

a b c

a b c a b ca b c

+ + + + ⋅ ⋅ ≥ 3

Soluţie. Inegalitatea de demonstrat este echivalentă cu

( ) ( )ln ln ln ln ln ln .

a b c

a b c a b c a b ca b c a a b b c c a b c

+ + + + + + ⋅ ⋅ ≥ ⇔ + + ≥ + + 3 3

Ultima inegalitate are loc deoarece funcţia ( ) ln , ,f x x x x= > 0 este strict convexă pe

( ), .∞0

Exerciţiul 7 (Petruş Alexandrescu). Fie ,a b>0 şi , .x c>1 Arătaţi că

( ) .c c

caba bx x x+ ≥ 22

Soluţie. Funcţia ( ) cf t t= este convexă, funcţia ( ) tg t t= este convexă şi crescătoare.

Prin urmare, funcţia compusă ( ) ( )( ) cth t g f t x= = este convexă. Avem



( ) ( ) ( ) .

cc

c ca b

aba b a bx x h a h b h x x

+ + + = + ≥ = ≥

2

222 2 2

2

Exerciţiul 8. Dacă , , ,a b c>0 atunci

.a b c

a b c a b c a b c+ + ≥

+ + + + + +3

3 3 3 3 3 3 7

Soluţie. Fie s> 0 şi funcţia ( ): ,f s0 ℝ→ dată prin ( ) .x

f xs x

=−

Deoarece

( )( )

( ), , ,s

f x x ss x

′′ = > ∈− 3

20 0

rezultă că f este convexă pe domeniul de definiţie. Aşadar,

,

a b c

a b c

s a s b s c a b cs

+ +

+ + ≥− − − + +−

2 2 2

2 2 2 33

2 2 2 2 2 2

3

adică ( )

( ).

a b ca b c

s a s b s c s a b c

+ ++ + ≥

− − − − + +

3

2 2 2 3 2

Dacă facem ( ) ,s a b c= + +3 obţinem inegalitatea din enunţ.

Exerciţiul 9. Aflaţi valoarea minimă a lui k astfel încât pentru orice două numere ,a b> 0

avem

.a b k a b+ ≤ +3 3 3

Soluţie. Considerăm funcţia :f ℝ ℝ→ dată de ( ) .f x x= 3 Funcţia este concavă pe

intervalul ( ), .∞0 Din inegalitatea lui Jensen, avem

( ) ( )

.

f a f b a b a b a bf

a b a b a b a b

+ + + +≤ ⇔ ≤ ⇔

⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +

3 3

3

3 3 3 3 33 3

3

2 2 2 2

24

2

Atunci min ,k = 3

4 valoare atinsă când .a b=

Exerciţiul 10. Fie numerele reale , , .x y z≥0 Arătaţi că

( ) .x y z x y z+ + + + + ≥ + +2 2 21 1 1 6

Soluţie. Considerăm funcţia [ ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) .f t t= +21 Deoarece

( )( )

,f tt t

′′ = >+ +2 2

10

1 1

rezultă că f este convexă pe [ ), .∞0 Din inegalitatea lui Jensen, avem



( ) .

x y z x y z

x y z x y z

+ + + + + + + ≥ + ⇔

⇔ + + + + + ≥ + + +

22 2 2

22 2 2

1 1 11

3 3

1 1 1 9

Deoarece

( )( ) ( ) ( ) ,x y z x y z x y z+ + − ≥ ⇒ + + + ≥ + +2 2

3 0 9 6

concluzia are loc.

Exerciţiul 11. Fie numerele reale , , .x y z>0 Arătaţi că

.x y y z yz x z x

z x y x y y z z x

+ + + + + ≥ + + + + +4

Soluţie. Fie funcţia ( ) ( ): , ,f ∞ ∞0 0→ dată prin ( ) .f x xx

= + 1 Cum

( ) ,f xx

′′ = >3

20 pentru orice ,x>0

funcţia f este convexă pe domeniul de definiţie. Aplicând inegalitatea lui Popoviciu,

obţinem concluzia.

Exerciţiul 12. Fie f o funcţie convexă pe un interval .I ⊂ ℝ Arătaţi că pentru orice

puncte , ,a b c I∈ cu ,a b c< < avem

( ) ( ) ( ) ( ) .f a b c f a f b f c− + ≤ − +

Soluţie. Deoarece ( ), ,b a c∈ există ( ),λ ∈ 0 1 astfel încât ( )b a c= λ + −λ1 (c b

c a

−λ =−

).

Deoarece f este convexă avem

( ) ( ) ( ) ( ) .f b f a f c≤λ + −λ1

Pe de altă parte, ( )( ) ( ) .a b c a a c c a c− + = − λ + −λ + = −λ + λ1 1

Deoarece f este convexă, rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) .f a b c f a f c− + ≤ −λ +λ1

Adunând ultimele două inegalităţi obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) ,f a b c f b f a f c− + + ≤ +

de unde avem concluzia.

Exerciţiul 13. Arătaţi că

.− + + <3 33 3 3

3 3 3 3 2 3

Soluţie. Considerăm funcţia ( ) ( ): , , ,f ∞ ∞0 0→ dată prin ( ) .f x x= 3 Cum funcţia

este strict concavă, pentru orice două numere distincte , , ,a b a b> =/0 avem

( ) ( ).

f a f b a bf

+ + < 2 2

Nu avem decât să luăm a = −3 3

3 3 şi b = +3 3

3 3 pentru a obţine rezultatul.



Exerciţiul 14. Fie numerele reale , ,a b c> 0 astfel încât .a b c+ + =1 Arătaţi că

.a b c

+ + ≥2 2 2

1 1 127

Soluţie. Funcţia ( ): ,f 0 1 ℝ→ dată prin ( )f x xx

= +2

1 este convexă deoarece

( )f xx

′′ = >4

60 pentru orice ( ), .x∈ 0 1 Prin urmare,

( ) ( ) ( ) .f a f b f c a fa

+ + = + ≥ = + = ∑ ∑2

1 1 13 3 9 28

3 3

În concluzie, avem

( ) .a b ca b c

+ + ≥ − + + =2 2 2

1 1 128 27

Exerciţiul 15. Dacă ,a b>0 şi ,a b+ =1 atunci

.a ba b

+ + + ≥

2 2

1 1 25

2

Soluţie. Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( )f x xx

= +

2

1 este convexă pe domeniul de

definiţie deoarece ( ) .f xx

′′ = + > 4

32 1 0 Aşadar,

( ) ( ) .a b

f a f b f f + + ≥ = = + =

2

1 1 252 2 2 2

2 2 2 2

Exerciţiul 16. Fie , , ,a b c d>0 cu .a b c d+ + + = 4 Arătaţi că

( )( ).

a b c d

a c b db b c c d d a a+ + + ≥

+ ++ + + +2 2 2 2

8

Soluţie. Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ,f xx x

=+2

1 este convexă pe domeniul de

definiţie. Rezultă că

( ) ( ) ( ) ( ) ,a b c d ab bc cd daf b f c f d f a f

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ 4 4 4 4 4

care poate fi rescrisă sub forma

( ) ( ).

a b c d

b b c c d d a a ab bc cd da ab bc cd da+ + + ≥

+ + + + + + + + + + +2 2 2 2 2

64

4

Nu ne rămâne decât să demonstrăm că

( ) ( ),

ab bc cd daab bc cd da ab bc cd da≥

+ + ++ + + + + + +2

64 8

4

inegalitate echivalentă cu

( ) ,ab bc cd da a b c d+ + + ≤ ⇔ − + − ≥2

4 0



ceea ce, evident, este adevărat.

Egalitatea se obţine pentru .a b c d= = = =1

Exerciţiul 17. Fie , , .x y z>0 Arătaţi că

.yx z

x y z x y z x y z+ + ≤

+ + + + + +3

2 2 2 4

Soluţie. Fie .s x y z= + + Cu aceasta, inecuaţia devine

.yx z

s x s y s z+ + ≤

+ + +3

4

Forma expresiei din membrul stâng „cere” considerarea funcţiei ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin

( ) .t

f ts t

=+

Deoarece

( )( )

,s

f ts t

′′ =− <+ 3

20

pentru orice ,t> 0 rezultă că f este concavă. Are loc

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .

f x f y f z f x f y f zx y z sf f

sf x f y f z f x f y f z

f x f y f zs

s

+ + + + + + ≤ ⇒ ≤ ⇒

+ + + +⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ + + ≤

+

3 3 3 3

1 33

3 3 4 4

3

Exerciţiul 18. Fie numerele reale , .x y>0 Arătaţi că

( )ln ln ln .x y

x x y y x y+

+ ≥ +2

Soluţie. Fie funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ln .f x x x= Deoarece ( ) ,f xx

′′ = >1 0

rezultă că f este convexă pe ( ), .∞0 Prin urmare,

( )ln ln ln ln ln ln .x y x y y x yx

x y x x y y x y+ + +

≤ + ⇒ + ≥ +2 2 2 2 2

Exerciţiul 19. Arătaţi că are loc inegalitatea

,

nn k

k nk n n− −

=

− ≤ − + ⋅∏

1 1

2

2 1 2 12

2 2

oricare ar fi , .n n∈ ≥2ℕ

Soluţie. Fie funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ln .f x x=− Deoarece ( ) ,f xx

′′ = >2

10

rezultă că f este convexă pe ( ), .∞0 Avem



ln ln ln ln

ln ln .

n

n

n

n n

n

n n n

−

− −

− − − + + + + ≤ − − − ≤ + + + + = − + ⋅

2 3

2 1

2 3

2 1 1

1 2 1 2 1 2 11

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 11 2

2 2 2 2

…

…

Exerciţiul 20 (D. Buşneag, I. Maftei). Fie ,n n∈ ≥2ℕ şi numerele reale pozitive

, , , na a a1 2 … cu n

k

k

a=

=∑1

1 şi , ,kx k n< ≤ =0 1 1 Arătaţi că

.n

nk

a a akk n

a

x x x x=

≤+ +

∑1 2

1 1 2

1

1 1 …

Soluţie. Notăm ln , , .k ky x k n= =1 Cum ( ], , , ,kx k n∈ =0 1 1 rezultă că ,ky ≤ 0

pentru orice , .k n=1 Considerăm funcţia ( ]: ,f −∞ 0 ℝ→ dată prin ( ) .y

f ye

=+1

1 Este o

funcţie de două ori derivabilă (chiar infinit derivabilă) şi ( )( )

( )

y y

y

e ef y

e

−′′ = ≤+

3

1

0

1

pentru

orice .y≤0 Prin urmare, este concavă. Aplicând inegalitatea lui Jensen pentru punctele

, , , ny y y1 2 … şi ponderile , , , ,na a a1 2 … avem

,i i

n

ii i

i

n n nk k a y

y nk i ak k a yk

i

i

a ae

x ex

e =

== =

=

∑= ≤ = =

+ + ++

∑ ∑ ∏∏

1

11 1

1

1 1

1 11

1

ceea ce încheie demonstraţia.

Exerciţiul 21. Fie ,n n∈ ≥2ℕ şi , , , nx x x >1 2 0… astfel încât .nx x x+ + + =1 2 1…

Arătaţi că

.nn

n

x x xx x x

x x x n

+ + ++ + + ≥

− − − −1 21 2

1 21 1 1 1

……

Soluţie. Funcţia ( ): ,f 0 1 ℝ→ dată prin ( ) xf x

x=

−1 este convexă. Aplicând


( ).

n

in

ii

ni i

i

i

xnx

n x n nx

n

=

=

=

≥ =− −

−

∑∑

∑

1

1

1

1

1 1

1 111

Am arătat că

.n

n

x x x n

nx x x+ + + ≥

−− − −1 2

1 211 1 1

… ( ). .3 1 1

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem

,n n

i i

i i

n n x x= =

= ≥ ∑ ∑

2

1 1



de unde .n

i

i

x n=

≤∑1

Prin urmare, avem

.nx x x n

nn

+ + +≤

−−1 2

11

… ( ). .3 1 2

Combinând inegalităţile ( ). .3 1 1 şi ( ). . ,3 1 2 obţinem cerinţa.

Exerciţiul 22 (Marius Stănean). Fie numerele reale pozitive , , ,x y z astfel încât

,x y≤ ≤4 9 şi .x y z+ + = 49 Arătaţi că

.x y z

+ + ≥1 1 11

Mathematical Reflections, Nr.1/2014

Soluţie (Li Zhou, Polk State College, FL, USA).

Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( )f tt

= 1 este convexă pe domeniul de definiţie. Din


.

y yx z x zf f f f

x y z

x y z x y

+ + = + + ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= = ≥ =+ + + + ⋅ + ⋅ +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 3 9 6 36 2 4 3 9 6 36

216 216 2161

27 8 26 7 49 26 4 7 9 49

Exerciţiul 23. Fie numerele reale , , , na a a1 2 … cu , , , , , .na a a n n< ≤ ∈ ≥1 2

11 2

2… ℕ

Arătaţi că

( )

( )( ) ( )

( ).

nn

n n

n n

a a aa a a

a a a n a a a

− − −≥

+ + + − − − −

1 21 2

1 2 1 2

1 1 1……

… …

Soluţie. Inegalitatea este echivalentă cu

( )( )ln ln ln ln .n n n

k k k k

k k k

a a n a n n a= = =

− − ≥ − − ∑ ∑ ∑1 1 1

1

Considerăm funcţia : ,f

11

2ℝ→ dată prin ( ) ( )ln ln .f x x x= − −1 Derivata a doua este

( )( )

.f xx x

−′′ = + ≥−2 2

1 10

1

Înseamnă că f este convexă şi din inegalitatea lui Jensen deducem inegalitatea de

demonstrat.

Exerciţiul 24. Demonstraţi că:

( )a oricare ar fi , , , , , ,nx x x n n> ∈ ≥1 2 0 1… ℕ are loc

.n n

n

x x x x x x≤ + + +

+ + +

2

1 2 1 2

1 1 1…

…

( )b oricare ar fi , , , , ,k kx k n n nα > = ∈ ≥0 1 1ℕ cu ,nα α α+ + + =1 2 1… are loc



.nn n n

n

n

x x x x x x

x x x

α α α α α αα α α

≤ ≤ + + ++ + +

1 2

1 1 2 21 2

1 2

1 2

1… …

…

( )c oricare ar fi ,k kx y ≥ 0 şi , , , ,k k n n nα > = ∈ ≥0 1 1ℕ cu ,n

k

k

α=

=∑1

1 are loc

( ) ( ) ( ) nn nn n n nx x x y y y x y x y x y

α α αα α α αα α+ ≤ + + +1 21 2 1 2

1 1 2 21 2 1 2… … …

Soluţie. ( )a Se aplică inegalitatea lui Jensen pentru funcţia convexă ( ): ,f ∞0 ℝ→

dată prin ( ) .f xx

= 1 Avem

.

nn

n n

n x n x n xx x x

n n n

n

x x x x x x

≤ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⇔+ + +

⇔ ≤ + + ++ + +

1 2

1 2

2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

…

…

……

( )b Se aplică inegalitatea lui Jensen pentru funcţia convexă ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin

( ) ln .f x x=− Avem

( ) ( )

( )

ln ln ln ln ln

. .

n

n

n n n n n

n n n

x x x x x x x x x

x x x x x x

α α α

α α α

α α α α α α

α α α

= + + + ≤ + + + ⇔

⇔ ≤ + + +

1 2

1 2

1 1 2 2 1 1 2 21 2

1 1 2 21 23 1 3

… … …

… …

Pentru prima inegalitate se aplică inegalitatea ( ). .3 1 3 pentru kx

1 în loc de

{ }, , , , .kx k n∈ 1 2 …

( )c Dacă unul dintre kx sau { }, , , ,ky k n∈ 1 2 … este nul, atunci inegalitatea este evidentă.

Presupunem că { }, , , , , .k kx y k n> ∈0 1 2 … Putem rescrie inegalitatea sub forma

( ) ( ) ( ).

n nn n

n n

x x x y y y

x y x y x y

α α α αα α

α α α

+≤

+ + +

1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2

1 1 2 2

1… …

…

Aplicând ( ) ,b avem

( ) ( ) ( )

.

n nn n n

n

n nn n

nn

n n

x x x y y y x x

x y x yx y x y x y

y y

x y x y

α α α αα α

α α αα α

α α

+≤ + + +

+ ++ + +

+ + + =+ +

1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2 1

1

1 11 1 2 2

1

1

1 1

1

… ……

…

…

Exerciţiul 25 (V. Cârtoaje şi M. Lascu). Fie [ ], , , , .a b c d ∈ 1 3 Arătaţi că

( ) ( ) .a b c d a b c d+ + + ≥ + + +2 2 2 2 23

Revista Matematică din Timişoara

Soluţie. Inegalitatea devine .a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + − − − − − − ≤2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 0

Funcţia [ ]: ,f4

1 3 ℝ→ dată prin

( ), , ,f a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd= + + + − − − − − −2 2 2 22 2 2 2 2 2



este convexă în fiecare variabilă. Prin urmare, maximul se obţine pentru { }, , , , .a b c d ∈ 1 3

Dacă avem k variabile egale cu ,3 vom avea k−4 variabile egale cu ,1 unde k poate fi

, ,1 2 3 sau .4 Inegalitatea din enunţ devine

( ) ( ) .k k k k+ − ≥ + −2

3 4 3 9 4

Avem

( ) ,k k k k+ + ≥ + ⇔ − ≥224 4 6 3 1 0

ceea ce este, evident, adevărat.

Exerciţiul 26. Arătaţi că pentru orice , , ,a b c> 0 avem

.a b b c c a a b c

+ + ≤ + ++ + +1 1 1 1 1 1

2 2 2

Soluţie. Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că ,a b c≥ ≥ adică secvenţa

( ), ,x a b c= este descrescătoare. Vom avea atunci ( ) ( ), , , , .a b c a b b c c a+ + +2 2 2 ≻

Aplicând inegalitatea lui Karamata funcţiei convexe ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ,f xx

= 1

obţinem inegalitatea de demonstrat

Exerciţiul 27. Fie , , , , , .na a a n n> ∈ ≥1 2 0 2… ℕ Arătaţi că

( )( ) ( ) .nn

a a aa a a

a a a

+ + + ≤ + + +

2 2 2

1 2

1 2

2 3 1

1 1 1 1 1 1… …

Soluţie. Alegem , ,kx k n=1 astfel încât , , .kxka e k n= =1 Aplicăm inegalitatea lui

Karamata funcţiei convexe ( ) xf x e= +1 şi secvenţelor ( ), , , nx x x x x x− − −1 2 2 3 12 2 2… şi

( ), , , .nx x x1 2 …

Exerciţiul 28 (Zuming Feng). Fie , ,x y z>0 astfel încât .x y z xyz+ + = Arătaţi că

.xy yz zx

+ + ≤+ + +1 1 1 3

1 1 1 4

Soluţie. Avem ,z z z

xy z zxy z x y z S z= = =

+ + + + + +1

1 unde .S x y z= + + Funcţia

( ) tf t

S t S t= = −

+ +1

1 este concavă, deci ( ) ( ) ( )

.f x f y f zx y z

f+ + + + ≥ 3 3

Deoarece

,

Sx y z S

f fS

S

+ + = = = +

13

3 3 4

3

concluzia este imediată.



3.2 Inegalităţi integrale

Exerciţiul 1. Fie [ ]: ,f 1 13 ℝ→ o funcţie convexă şi integrabilă. Arătaţi că

( ) ( ) ( )3 13 9

1 11 5d d d .f x x f x x f x x+ ≥∫ ∫ ∫

Soluţie. Conform exerciţiului 12, pag. 28, dacă ,a b c< < avem

( ) ( ) ( ) ( ) .f a b c f b f a f c− + + ≤ +

Fie c a= +10 şi .b a= + 4 Atunci ( ) ( ) ( ) ( ) .f a f a f a f a+ + + ≤ + +6 4 10

Pentru [ ], ,a∈ 1 3 avem

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 9

1 7

3 7

1 5

3 13

1 11

6 d d ;

4 d d ;

10 d d .

f a x f x x

f a x f x x

f a x f x x

+ =

+ =

+ =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

şi rezultatul este imediat.


,b a a be e e e

b a

− +<− 2

oricare ar fi , , .a b a b∈ =/ℝ

Soluţie. Funcţia xx e֏ este strict convexă pe .ℝ Dacă, de exemplu, ,a b< aria

suprafeţei delimitate de graficul funcţiei xy e= şi dreptele verticale de ecuaţii x a= şi

,x b= este mai mică decât aria suprafeţei trapezoidale determinate de punctele de

coordonate ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , .a ba b a e b e0 0 Deci,

( )d .2 2

a b b a a bbb a t

a

e e e e e ee e e t b a

b a

+ − +− = < − ⇒ <−∫

Exerciţiul 3. Fie [ ] [ ) ( ): , ,f a b a b∞ < <0 0→ o funcţie derivabilă cu ( )f x′ <0 pentru

orice [ ], .x a b∈ Să se arate că

( ) ( ) ( )2d d 2 d .x y

x y nn n

a a af t t f t t f t t

+

+ ≤∫ ∫ ∫

Soluţie. Considerăm funcţia [ ] [ ): , ,h a b ∞0→ dată prin ( ) ( ) ,nh x F x= unde



( ) ( )d .x

aF x f t t= ∫

Avem ( ) ( )F x f x′′ ′= < 0 ceea ce implică faptul că F este concavă. Cum şi nx x→ este

concavă şi strict crescătoare rezultă că h este concavă şi deci din inegalitatea Jensen

rezultă că ( ) ( ) .x y

h x h y h + + ≤

22



3.3 Inegalităţi trigonometrice

Exerciţiul 1. Fie triunghiul .ABC Arătaţi că:

( ) sin sin sin ;a A B C+ + ≤ 3 3

2

( ) sin sin sin ;b A B C≤ 3 3

8

( ) sin sin sin ;A B C

c + + ≤ 3

2 2 2 2

( ) cos cos cos ;A B C

d + + ≤ 3 3

2 2 2 2

( ) tan tan tan ;A B C

e + + ≥ 32 2 2

( ) cot cot cot ;A B C

f + + ≥3 32 2 2

( ) tan tan tan ,g A B C+ + ≥ 3 3 dacă ABC∆ este ascuţitunghic.

Soluţie. Punctele ( )a şi ( )b vor fi demonstrate împreună.

Deoarece ( )sin , sin , sin , ,A B C π∈ 0 rezultă că sin , sin , sin .A B C>0 Din inegalitatea

mediilor (AM-GM) avem sin sin sin

sin sin sin .A B C

A B C+ +≤3

3

Deoarece funcţia ( ) sinf x x= este concavă pe ( ), ,π0 din inegalitatea lui Jensen avem

sin sin sinsin sin .

A B C A B C π + + + + ≤ = = 3

3 3 3 2

Din cele două inegalităţi de mai sus rezultă că

sin sin sin sin sin sin sin sin sin .A B C A B C A B C ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

3

3 3 3 3 3

2 2 8

( )c Asemănător punctelor ( )a şi ( ) ,b avem

sin sin sin

sin sin sin sin sin .

A B C

A B C A B Cπ+ + + + ≤ = = ⇒ + + ≤ 1 32 2 2

3 6 6 2 2 2 2 2

( )d Deoarece ( ), , , ,A B C π∈ 0 rezultă că , , ,A B C π ∈

02 2 2 2

şi, cum funcţia cos este

concavă pe intervalul , ,π

02

rezultă



cos cos cos

cos cos cos cos cos .

A B C

A B C A B Cπ+ + + +≤ = = ⇒ + + ≤3 3 32 2 2

3 6 6 2 2 2 2 2

( )e Deoarece funcţia tan este convexă pe intervalul , ,π

02

rezultă din inegalitatea lui

Jensen că

tan tan tan

tan tan tan tan tan .

A B C

A B C A B Cπ+ + + +≥ = = ⇒ + + ≥32 2 23

3 6 6 3 2 2 2

( )f Deoarece funcţia cot este convexă pe intervalul , ,π

02

rezultă din inegalitatea lui

Jensen că

cot cot cot cot .A B C A B C+ ++ + ≥ =3 3 32 2 2 6

( )g Deoarece triunghiul este ascuţitunghic, rezultă că , , ,A B Cπ ∈

02

şi se aplică

inegalitatea lui Jensen funcţiei tan pe acest interval (funcţia este convexă).

Observaţia 2. Egalitatea are loc în cazul triunghiului echilateral.

Utilizând convexitatea/concavitatea unor funcţii se pot deduce unele inegalităţi

trigonometrice care, altfel, se demonstrează anevoios.

Figura 2

Privind Figura 2, observăm că segmentul OA are ecuaţia , , .y x xπ

π

= ∈

202

Funcţia

sin fiind concavă pe , ,π

02

curba reprezentativă a graficului ei se află deasupra

segmentului ,OA deci

sin ,x xπ

≤2 pentru orice , .x

π ∈

02



Observaţia 3. În inegalitatea de mai sus, avem egalitate în punctele x =0 0 şi .xπ=1

2

Pentru ,xπ ∈

02

avem celebra inegalitate a lui Jordan

sin x

xπ≤ <2

1

care se demonstrează utilizând teorema de monotonie pentru prima derivată.

Observaţia 4. Evident, modificând intervalul, deducem alte inegalităţi. De exemplu,

pentru , ,xπ

∈ 04

avem :OB y xπ

= 2 2 şi cum segmentul OB este situat sub arcul � ,OB

avem

sinx xπ

≤2 2 pentru orice , .x

π ∈

04

Analog, pe intervalul , ,π π 4 2

vom avea

( ) sin ,x xπ

− + ≤ 2 2

2 1 1

pe intervalul ,π

06

avem

sin ,x xπ

≤3

iar pe intervalul ,π

03

avem

sin .x xπ

≤3 3

2

Observaţia 5. Considerând funcţia convexă : ,fπ

02

ℝ→ dată prin ( ) tan ,f x x= se

deduc alte inegalităţi care, altfel, s-ar demonstra cu oarecare dificultate (vezi [ ]) .30



3.4 Convexitatea în rezolvarea ecuaţiilor

Exerciţiul 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia

.x x x x x x+ + = + +5 7 11 6 8 9

Soluţie. Se observă că x= 0 şi x=1 sunt soluţii. Arătăm că ecuaţia nu mai are alte

soluţii. Funcţia [ ): ,f ∞ ℝ0 → dată prin ( ) , ,nf t t n n= ∈ ≥ℕ 2 este strict convexă. Prin

urmare, pentru orice , , ,a b a b> =/0 avem .

nn na b a b + + > 2 2 Deci, pentru orice ,x≥2

avem

;

;

.

xx xx

xx xx

xx xx

+ + > =

+ + > =

+ + > =

5 7 5 76

2 2

7 11 7 119

2 2

11 5 11 58

2 2

Adunate, rezultă că ,x x x x x x+ + > + +5 7 11 6 8 9 pentru orice , .x x∈ ≥ℕ 2

Propoziţia 2. Dacă funcţia :f I ℝ→ este strict convexă pe intervalul ,I iar :g I ℝ→

este o funcţie liniară, atunci ecuaţia ( ) ( )f x g x= are cel mult două soluţii în intervalul

.I Demonstraţie. Admitem că există cel puţin trei puţin soluţii diferite , , .x x x1 2 3 Fie

( ), .x x x∈3 1 2 Atunci există ( ),λ ∈ 0 1 astfel încât ( ) .x x x= λ + −λ3 1 21 Dar,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x g x g x g x f x f x= = λ + −λ = λ + −λ3 3 1 2 1 21 1

contradicţie cu f strict convexă.

Observaţia 3. Concluzia propoziţiei se păstrează dacă f este strict concavă.

Exerciţiul 4. Să se rezolve ecuaţia ( ) .x x xx+ = + + +…3

10 1999 2 1 2 2000

Soluţie. Se observă că x= 0 şi x=1 sunt soluţii.

Cum funcţia :f ℝ ℝ→ dată prin ( ) ( )f x x= +310 1999 2 este liniară, iar funcţia

:g ℝ ℝ→ dată prin ( ) x x xg x = + + +…1 2 2000 este strict convexă (sumă de funcţii strict

convexe), deducem că ecuaţia ( ) ( )f x g x= nu are alte soluţii.



3.5 Exerciţii date la olimpiade şi concursuri

Exerciţiul 1. Arătaţi că există două funcţii convexe , : ℝ ℝf g → astfel încât

( ) ( ) sin ,− =f x g x x pentru orice .∈ ℝx

Concursul internaţional de matematică Vojtìch Jarník, Ostrava, 1992

Soluţie. Fie , : ℝ ℝf g → date prin

( ) ( )sin , ,= + =f x x x g x x2 2 oricare ar fi .∈ ℝx

Avem ( ) ( ) sin− =f x g x x pentru orice ∈ ℝx iar funcţiile f şi g sunt convexe deoarece

( ) sin′′ = − >f x x2 0 şi ( )′′ = >g x 2 0 pentru orice .∈ ℝx

Exerciţiul 2. Determinaţi minimul funcţiei ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) .xf x x=

Franţa, 1996

Soluţie. Avem ln .x x xx e= Deoarece funcţia xx e֏ este strict crescătoare, este

suficient să determinăm minimul funcţiei ( ): ,g ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ln .g x x x= Avem

( ) ln .g x x′ = +1

Punctul de minim absolut al funcţiei este min .xe

= 1 Derivata a doua este ( )g x

x′′ = >1 0

pentru orice .x> 0 Prin urmare funcţia g este convexă pe domeniul de definiţie prin

urmare minimul ei este atins în punctul de minim global. În concluzie minimul funcţiei f

este min .ef e−

=1

Exerciţiul 3. Fie , ,a b c> 0 cu .a b c+ + =1 Arătaţi că

.a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + +

3

2

România, 2005

Soluţie. Deoarece ,a b c+ + =1 inegalitatea de demonstrat devine

.a b c

a b c+ + ≥

− − −

3

21 1 1

Funcţia [ ): ,f 0 1 ℝ→ dată prin ( ) xf x

x=

−1 este convexă pe domeniul de definiţie. Din

inegalitatea lui Jensen avem

( ) ( ) ( )cyc

.a a b c

f a f b f c f fb c

+ + = + + ≥ = = +∑ 1 3

3 33 3 2

Exerciţiul 4. Fie , ,a b c> 0 cu .a b c+ + =1 Arătaţi că

( ) ( ) .a b c a b c+ + − + + ≥3 3 3 5 5 510 9 1

China, 2005

Soluţie. Inegalitatea de demonstrat se scrie



( )cyc

.a a− ≥∑ 3 510 9 1

Funcţia [ ]: ,f 0 1 ℝ→ dată prin ( )f x x x= −3 510 9 este convexă deoarece

( ) ( )f x x x′′ = − ≥230 2 3 0 pentru orice [ ], .x∈ 0 1

Deoarece ,f = 1 1

3 3 Inegalitatea lui Jensen implică

( ) ( ) ( ) .a b c

f a f b f c f f + + + + ≥ = =

13 3 1

3 3

Exerciţiul 5. Arătaţi că, dacă , , ,a b c d> 0 şi

, , , ,a a b a b c a b c d≤ + ≤ + + ≤ + + + ≤1 5 14 30

atunci

.a b c d+ + + ≤10

Soluţie. Funcţia ( ) ( ): , ,f ∞ ∞0 0→ dată prin ( )f x x= este concavă, prin urmare,

pentru orice numere reale pozitive , , ,λ λ λ λ1 2 3 4 cu λ +λ +λ +λ =1 2 3 4 1 şi orice

, , , ,x x x x >1 2 3 4 0 avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f x f x f x x x xλ +λ +λ +λ ≤ λ +λ +λ +λ1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4

Alegem

, , , , , , , .b c d

x a x x xλ = λ = λ = λ = = = = =1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

10 10 10 10 4 9 16

Atunci

,b c d a b c d

a + + + ≤ + + +1 2 3 4

10 10 4 10 9 10 16 10 20 30 40

adică

.a b c d

a b c d+ + ++ + + ≤ 12 6 4 3

10120

Deoarece ( ) ( ) ( )

,

a b c d a b c d a b c a b a+ + + = + + + + + + + + + ≤

≤ ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

12 6 4 3 3 2 6

3 30 14 2 5 6 1 120

inegalitatea este demonstrată.

Exerciţiul 6. Fie numerele reale , , , , , ,na a a n n> ∈ ≥1 2 0 2… ℕ cu .na a a =1 2 1…

Arătaţi că

.n

n

na a a

a a a+ + + + + + + ≥

+ + +1 2

1 2

1 1 1 3

1 1 1 2… …

România

Soluţie. Considerăm funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) .f x xx

= ++1

1 Funcţia este

convexă pe domeniul de definiţie. Prin urmare,

( ) ( ) ( ) .nn

a a af a f a f a nf

n

+ + + + + + ≥ 1 2

1 2

……



Din inegalitatea mediilor şi din ipoteză deducem că

.nnn

a a aa a a

n

+ + +≥ =1 2

1 2 1…

…

Pentru a avea loc concluzia, nu ne mai rămâne să demonstrăm decât că

( ) ,f x ≥ 3

2 pentru orice .x≥1

Avem, pentru ,x≥1

( ) ( ) ,f x x x x x ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥

23 12 1 0 1 0

2 2

ceea ce este adevărat.

Exerciţiul 7. Fie [ ): ,f ∞0 ℝ→ o funcţie crescătoare şi convexă, cu proprietatea că

( )( )lim .x

f x x∞

− = 0→

Să se demonstreze că pentru orice număr [ ), ,x∈ ∞0 avem

( )( ) ( ) .x f f x f x≤ ≤2 2 2

Concursul „Alexandru Myller”, 2011

Soluţie. Vom arăta că pentru orice ,a b cu ,a b≤ <0 avem

( ) ( ) .f b f a b a− ≤ − ( ). .3 5 1

Să presupunem prin absurd că există ,a b cu ,a b≤ <0 astfel încât ( ) ( )

,f b f a

b a

−>

−1 şi

fie ,x b> arbitrar. Din convexitatea funcţiei f avem

( ) ( ) ( ) ( ) not

.f x f a f b f a

mx a b a

− −> = >

− −1

Atunci ( ) ( ) ( ) ,f x m x a f a> − +

de unde ( ) ( ) ( ) .f x x m x am f a− > − − +1

Trecând la limită pentru ,x ∞→ obţinem ,≥∞0 contradicţie.

Arătăm că pentru orice număr a pozitiv, avem ( ) .f a a≥

Să presupunem prin absurd că există un număr a pozitiv astfel încât ( ) ,f a a< şi fie

,x a> arbitrar. Cum ( ) ( ) ,f x x f a a− < − trecând la limită pentru ,x ∞→ rezultă că

( ) ,f a a≤ − <0 0 contradicţie.

Atunci ( )( ) ( ) ,f f x f x x≥ ≥2 2 2

pentru orice [ ), .x∈ ∞0

Pentru ,b a h− = > 0 inegalitatea ( ). .3 5 1 devine

( ) ( ) ,f x h f x h+ ≤ +

pentru orice .x≥0

Pentru ,h x= obţinem ( ) ( ) .f x f x x≤ +2 Din monotonia funcţiei f rezultă

( )( ) ( )( ) .f f x f f x x≤ +2



Aplicând inegalitatea ( ). .3 5 1 pentru ( ) , ,h f x h= > 0 deducem că

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f f x x f x f x f x+ ≤ + = 2

deci ( )( ) ( ) ,f f x f x≤2 2 ceea ce încheie demonstraţia.

Exerciţiul 8. ( )a Fie [ ) [ ): , ,f ∞ ∞0 0→ o funcţie derivabilă şi convexă. Arătaţi că dacă

( ) ,f x x≤ oricare ar fi ,x≥0 atunci ( ) ,f x′ ≤ 1 oricare ar fi .x≥0

( )b Determinaţi funcţiile [ ) [ ): , ,f ∞ ∞0 0→ derivabile şi convexe care au proprietatea că

( )f =0 0 şi ( ) ( )( ) ,f x f f x x′ ⋅ = oricare ar fi .x≥0

ONM, România, 2013

Soluţie.

( )a Presupunem contrariul. Există a≥ 0 cu ( ) ,f a′ > 1 deci, cum ( ) ( )

lim ,x a

f x f a

x a

−>

−1

ց

există b a> cu ( ) ( )

.f b f a

b a

−>

−1 Atunci, pentru orice ,x b> din convexitatea funcţiei ,f

rezultă că ( ) ( ) ( ) ( )

.f x f b f b f a

mx b b a

− −≥ = >

− −1

Prin urmare, ( ) ( ) ,f x mx mb f b≥ − +

de unde ( )f x x> pentru x suficient de mare. Contradicţie.

( )b Vom demonstra că ( ) ,f x x= oricare ar fi .x≥0

Cum ( )( )( )

,x

f xf f x

′ = > 0 oricare ar fi ,x>0 deducem că f este strict crescătoare.

Cum f este convexă şi derivabilă, rezultă că f ′ este crescătoare.

Presupunem prin absurd că există ( ) .f a a< Atunci ( )( ) ( ) ,f f a f a a< < deci ( ) .f a′ > 1

Conform primului punct deducem că există b a> cu ( ) .f b b= Atunci ( )( )f f b b= şi apoi

( ) ( ) ,f b f a′ ′= <1 în contradicţie cu monotonia funcţiei .f ′

Rămâne ( ) ,f x x≥ oricare ar fi .x≥0 Atunci ( )( ) ( ) ,f f x f x x≥ ≥ de unde ( ) ,f x′ ≤ 1

oricare ar fi .x≥0

Aplicând teorema lui Lagrange avem

( ) ( ) ( ) ,xf x f xf c x′− = ≤0

oricare ar fi ,x>0 de unde ( ) .f x x=

Exerciţiul 9. Fie numerele reale , , ,a b c cu , , .a b c≤ ≤0 1 Să se arate că

( )( )( ) .a b c

a b cb c c a a b

+ + + − − − ≤+ + + + + +

1 1 1 11 1 1

SUA, 1980

Soluţie. Se consideră funcţia [ ]: , ,f3

0 1 ℝ→ dată prin

( ) ( )( )( ), , .a b c

f a b c a b cb c c a a b

= + + + − − −+ + + + + +

1 1 11 1 1



Observăm că f este strict convexă în toate variabilele (se presupun două variabile

constante şi se arată, cu ajutorul derivatei a doua, că funcţia este convexă în a treia

variabilă). Prin urmare, maximul ei este atins în extremităţi. Se verifică că valoarea funcţiei

în toate cele 8 triplete posibile ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1… este egală cu .1

Exerciţiul 10. Fie , , , , ,ix i nπ< < =0 1 2 3 … şi fie .nx x xx

n

+ + += 1 2 …

Arătaţi că

sin sin.

nni

ii

x x

x x=

≤ ∏1

W.L. Putnam Mathematical Competition, 1978

Soluţie. Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu sin sin

ln ln .n

i

ii

x xn

x x=

≤∑1

Funcţia ( ): ,f π0 ℝ→ dată prin ( ) sinln

tf t

t= are derivata a doua

( )sin

f tt t

′′ =− + <2 2

1 10

deoarece sin t t< pentru ( ), .t π∈ 0 Deci, funcţia f este concavă şi prin urmare, are loc

inegalitatea din enunţ.

Exerciţiul 11. Pentru numerele reale ,x y astfel încât , ,x y≤ ≤0 1 arătaţi că

.xyx y

+ ≤++ +2 2

1 1 2

11 1

Rusia, 2000

Soluţie. Dacă ,x= 0 inegalitatea devine ,y

+ ≤+ 2

11 2

1

care este adevărată deoarece

.y≥0 Analog pentru .y=0

Putem presupune că , .x y< ≤0 1 Fie u≥ 0 şi v≥0 astfel încât ux e−= şi .vy e−=

Inegalitatea, în acest caz, devine

( ),

u v u ve e e− − − +

+ ≤+ + +2 2

1 1 2

1 1 1

adică ( ) ( )

,f u f v u v

f+ + ≤ 2 2

unde ( ) .x

f xe−

=+ 2

1

1

Deoarece funcţia este concavă pe [ ), ,∞0 inegalitatea este demonstrată.

Exerciţiul 12. Fie numerele reale , , ,a b c>0 cu .abc =1 Arătaţi că

( ) ( ) ( ).

a b c b c a c a b+ + ≥

+ + +3 3 3

1 1 1 3

2

IMO, 1995



Soluţie. Fie , , .x y za b c

= = =1 1 1 Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( )f t

t= 1

este

convexă. Aplicând inegalitatea lui Jensen, avem

( )( ) ( ) ( ) ( )

.AM GM

y y z x yx z z xxf yf zf

y z z x x y x y z

y z z x x y xyzx y zx y z f

x y z

−

+ ++ + + = + + ≥ + + +

+ + + + + + + ≥ + + = ≥ = + +

22 2

33 3

2 2 2

Exerciţiul 13. Fie numerele reale , , , , ,nr r r n n> ∈ ≥1 2 1 2… ℕ . Arătaţi că

.n

n n

n

r r r r r r+ + + ≥

+ + + +1 2 1 2

1 1 1

1 1 1 1

……

Short list IMO, 1998

Soluţie. Funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( )x

f xe

=+1

1 este convexă pe ( ),∞0

deoarece ( )( )

( ).

x x

x

e ef x

e

−′′ = >+

3

1

0

1

Deoarece , , ,kr k n> =1 1 există , ,kx k n=1 astfel încât , , , .kxk kr e x k n= > =0 1

Deoarece ( )x

f xe

=+1

1 este convexă, putem scrie

,nn x x xx x x

nn e e e

e

+ + +

≤ + + + + + ++

1 21 2

1 1 1 1 1

1 1 1

1

……

adică

.n

nn

n

r r rr r r≤ + + +

+ + ++ 1 21 2

1 1 1

1 1 11

……


,a b c

a bc b ac c ab+ + ≥

+ + +2 2 2

1

8 8 8

oricare ar fi numerele reale , , .a b c>0

IMO, 2001, propusă de Coreea de Sud

Soluţie. (dată de Gabriel Caroll, SUA) Deoarece inegalitatea este omogenă în toate

cele trei variabile, putem presupune că .a b c+ + =1 Cum funcţia ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin

( )f xx

= 1 este convexă pe domeniul de definiţie, din inegalitatea lui Jensen, avem

( ) ( ) ( )

.

a b ca bc b ac c ab

a a bc b b ac c c ab

a b c abc

⋅ + ⋅ + ⋅ ≥+ + +

≥ =+ + + + +

=+ + +

2 2 2

2 2 2

3 3 3

1 1 1

8 8 8

1

8 8 8

1

24



Nu ne mai rămâne decât să arătăm că

( ) .a b c abc a b ca b c abc

≥ ⇔ + + + ≤ + ++ + +

33 3 3

3 3 3

11 24

24

Ultima inegalitate este uşor de demonstrat utilizând inegalitatea mediilor (AM-GM):

( ) ( ) .a b c a b c a b ab b c c b c a ac abc abc+ + − − − = + + + + + + ≥3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 6 24

Exerciţiul 15. Să se arate că dacă , , ,a bπ ∈

04

atunci

( ) ( )sin sin sin sin

,sin sin sin sin

n n n n

n n

a b a b

a b a b

+ +≥+ +

2 2

2 2

pentru orice , .n n∈ ≥1ℕ

Iurie Boreico, ONM, 2006, clasa a X-a

Soluţie. Pentru rezolvarea acestui exerciţiu vom aplica propoziţia 37, pag. 17.

Rezolvarea lui prin metode clasice (cum a fost şi soluţia oficială) este destul de dificilă.

Fie , ,n n∈ ≥1ℕ fixat. Inegalitatea se scrie sub forma

sin sin sin sin.

sin sin sin sin sin sin sin sin

n n n na b a b

a b a b a b a b

+ ≥ + + + + +2 2

2 2 2 2

Notând sin sin sin sin; ; ; ,

sin sin sin sin sin sin sin sin

a b a bx t y z

a b a b a b a b= = = =

+ + + +2 2

2 2 2 2

rezultă .x t y z+ = + Considerând funcţia convexă ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) ,nf x x=

inegalitatea de demonstrat devine ( ) ( ) ( ) ( ) .f x f t f y f z+ ≥ +

Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că a b< (dacă ,a b= atunci nu mai avem

nimic de demonstrat). Atunci x t< şi .y z< Vom arăta că au loc inegalităţile x y< şi

,z t< ceea ce ne pune în condiţiile propoziţiei 37 şi problema este rezolvată. Într-adevăr

( )

sin sinsin sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos

sin sin cos cos ,

a ax y a a a b

a b a b

a a b a a b b a b a

a b b a

< ⇔ < ⇔ + <+ +

< + ⇔ < ⇔

⇔ − <

22 2

2 2

2 2 2 2

2 0

ceea ce este evident.

Apoi

( )

sin sinsin sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos

sin sin cos cos ,

b bz t a b b b

a b a b

b a b b a b b a b a

a b b a

< ⇔ < ⇔ + <+ +

< + ⇔ < ⇔

⇔ − <

22 2

2 2

2 2 2 2

2 0

evident.

Exerciţiul 16. Fie , .n n∈ ≥2ℕ Comparaţi numerele n n n

n n na

+ +=+ +

3 5 7

4 5 6

şi .n n n

n n nb

+ +=+ +

6 7 8

5 7 9

Concursul „Gheorghe Dumitrescu”, Craiova, 2002

Soluţie. Considerăm funcţia strict concavă ( ): ,f ∞0 ℝ→ dată prin ( ) .n

f x x= Atunci



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f f f

af f f

+ +=

+ +

3 5 7

4 5 6 şi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

.f f f

bf f f

+ +=

+ +

6 7 8

5 7 9 Conform propoziţiei 37, avem

( ) ( ) ( ) ( )f f f f+ < +3 7 4 6 şi ( ) ( ) ( ) ( ) ,f f f f+ > +6 8 5 9

de unde .a b< <1

Exerciţiul 17. Fie , ,a b c numere reale pozitive cu .a b c+ + =1 Arătaţi că

( ) ( ) ( )log log log

log log log .

a b c

a b c

a b c a b c a b c

a abc b abc c abc

+ + + + + + + + ≤

≤ + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Gabriel Popa, Concursul „AL Myller”, 2005

Soluţie. Aplicând inegalitatea lui Jensen funcţiei convexe ( )log : ,a ∞0 ℝ→ (baza este

subunitară) şi ţinând cont de faptul că ,a b c+ + =1 avem

( )log log log log .a a a aa a b b c c a b b b c c⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ + +

Din inegalitatea rearanjărilor, avem log log log log ,b a a ba a b b a b b a+ ≤ +

la care se mai adaugă alte două relaţii similare. Atunci

( ) ( )log log log log log .a a a a aa b c a a b c a abc+ + ≤ + + =∑ ∑ ∑2 2 2



Bibliografie

[ ]1 D. Andrica, D. Duca, I. Purdea, O. Agratini, S. Ursu, Gh. Lobonţ, Matematică,

manual pentru clasa a XI-a, Editura Gil, Zalău, 2001

[ ]2 M. Bălună, M. Becheanu, B. Enescu, R. Gologan, A. Vernescu, Matematică,

format alternativ pentru clasa a XI-a, Editura Curtea Veche Publishing, 2002 [ ]3

M. Ţena, Gh. Andrei, Matematică, manual pentru clasa a XI-a, M1, Editura Gil,

Zalău, 2001 [ ]4 M. Ganga, Elemente de analiză matematică pentru clasa a XII-a, partea a doua,

Editura Mathpress, 1999 [ ]5

Gh. Boroica, V. Pop, N. Muşuroaia, F. Bojor, C. Heuberger, Matematica de

excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă, clasa a XI-a,

volumul II, Analiză matematică, Editura Paralela 45, 2014 [ ]6

N. Muşuroaia, E. Jecan, Gh. Boroica, Gh. Lobonţ, V. Lupşor, V. Pop, I. Magdaş,

Matematică pentru grupele de performanţă, clasa a X-a, Editura Dacia

Educaţional, Cluj, Napoca, 2003 [ ]7 C. P. Niculescu, L. E. Person, Convex functions and their applications (a

contemporany approach), Springer Science+Business Media, Inc., 2006 [ ]8 A. Engel, Problem-solving strategies, Springer-Verlag New York, Inc., 1998

[ ]9 T. Andreescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Springer

Science+Business Media, LLC, 2011

[ ]10 R. Gelca, T. Andreescu, Putnam and Beyond, Springer Science+Business Media,

LLC, 2007

[ ]11 T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhäuser Boston, a

part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition 2009

[ ]12 T. L. T. Rădulescu, V. D. Rădulescu, T. Andreescu, Problems in real analysis:

advanced calculus on the real axis, Springer Science+Business Media, LLC, 2009

[ ]13 W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Problèmes d’ analyse II, Continuité et dérivabilité,

EDP Sciences, 2008

[ ]14 B. S. Thomson, J. B. Bruckner, A. M. Bruckner, Elementary real analysis,

Prentice-Hall, Inc., 2001

[ ]15 S. R. Ghorpade, B. V. Limaye, A course in calculus and real analysis, Springer

Science+Business Media, LLC, 2006

[ ]16 R. B. Manfrino, J. A. G. Ortega, R. V. Delgado, Inequalities a mathematical

olympiad approach, Birkhauser Verlag AG, Basel - Boston - Berlin, 2009

[ ]17 V. Berinde, E. Păltănea, Gazeta Matematică a bridge over three centuries,

SSMR, 2004 [ ]18

Z. Cvetkovski, Inequalities, theorems, techniques and selected problems, Springer-

Verlag Berlin Heidelberg, 2012 [ ]19 P. K. Hung, Secrets in inequalities (volume 1), Editura Gil Publishing House,

Zalău, 2007



[ ]20 I. Chiţescu, P. Alexandrescu, S. Rădulescu, M. Rădulescu, Analiză matematică,

clasa a XI-a, Editura Paralela 45, 2001 [ ]21 V. Nicula, Analiză matematică pentru clasa a XI-a, Teorie, exerciţii şi probleme,

Editura Teora, 1999 [ ]22 D. Bărbosu (coordonator), V. Berinde, I. Coroian, A. Horvat-Marc, L. Kozma, G.

Kovacs, L. Pişcoran, S. M. Pop, A. Pop, I. H. A. Sass, I. Taşcu, Matematică de

bază, Universitatea de Nord, Baia Mare [ ]23 D. M. Bătineţu-Giurgiu, N. Stanciu, Inegalităţi de tip Ionescu - Weitzenböck,

Gazeta Matematică, Seria B, Nr. 1/2013 [ ]24 C. P. Niculescu, A. Vernescu, Lectura graficului. Semnificaţia geometrică a unor

inegalităţi, Gazeta Matematică, Seria B, Nr. 3/2005 [ ]25 M. Perianu, Asupra unei probleme de la O.N.M. 2006, Gazeta Matematică, Seria

B, Nr. 3/2008 [ ]26 F. Stănescu, Aplicaţii ale inegalităţii Cebîşev în formă integrală, Gazeta

Matematică, Seria B, Nr. 3/2012 [ ]27 F. Popovici, Asupra inegalităţii lui Jensen, Recreaţii Matematice, Nr. 1/2009

[ ]28 A.G. Azpeitia (Universitatea din Massachusetts, Boston), Convex function and the

Hadamard inequality, Revista Columbiană de Matematică, volumul 38 (1994),

pag. 7-12 [ ]29 O. Konnerth, Greşeli tipice în învăţarea analizei matematice, Editura Dacia,

Cluj-Napoca, 1982 [ ]30 J. Sándor, Selected chapters of Geometry, Analysis and Number theory, RGMIA

Monographs; Victoria University, 2006

Funcţii convexe, dincolo de programă - isjbotosani.ro · Material prezentat în cadrul cercului...

Documents

Transcript of Funcţii convexe, dincolo de programă - isjbotosani.ro · Material prezentat în cadrul cercului...