203362990 Cuadratura Cercului Rezolvata

CUADRATURA CERCULUI REZOLVATA

prin CIRCULATURILE PATRATULUI pentru PI=4/sqrt(PHI)

de Mircea-Mugurel Serban

PREAMBUL: Scrisoare deschisa (Nominalizarea efectiva pe forumuri a destinatarului o voi face ulterior, la momentul potrivit. Sper sa am si un raspuns pana atunci!)Domnule ACADEMICIAN,

In primul rand, imi cer scuze pentru maniera de adresare, dar fac o ultima tentativa de a ma face inteles in privinta demersurilor mele legate de cunoasterea unor corelatii aparte in care este implicat Numarul de Aur, avand ca finalitate METODA ROMANEASCA de REZOLVARE a CUADRATURII reale a CERCULUI.

Am asteptat in zadar, timp de peste de sase luni, raspunsul dumneavoastra la scurta mea interventie adresata Presedintelui Academiei Romane, care asa cum mi s-a comunicat prompt- v-a fost transmisa, din cate am inteles (Sper sa nu gresesc!), spre informare, analiza si raspunsSunt aproape convins ca ma considerati, la prima apreciere, ca fiind prea insistent, chiar insolent si intempestiv, insa va rog sa ma intelegeti ca asteptarile, de-a lungul a peste 16 ani, m-au pus in situatia sa reactionez cum nu mi-am dorit, recurgand uneori chiar si la un stil quasi-pamfletar dobandit probabil- pe vremea cand am fost gazetar (O, tempora!). Imi cer iertare, pe aceasta cale, celor pe care i-am deranjat (mai mult sau mai putin!) prin scrisul, atitudinea si actiunile mele, dar consider subiectul mult prea important incat sa renunt la dezbatere si atestare aici, in ROMANIA!

Sustin totusi ca, cel putin intr-o prima etapa si in cateva momente ulterioare acesteia, am procedat deontologic in sensul ca, desi ma documentasem indeajuns si intuisem (prin 1993) corelatia indisolubila si indubitabila intre Constanta Cercului (PI) si Numarul de Aur (PHI), am facut afirmatia in nr.5 al revistei , precum si cu alte ocazii, ca problema ar trebui analizata si rezolvata de catre matematicieni si fizicieni, eu fiind departe de statutul de specialist in aceste domeniiDe fapt sunt, mai exact am fost economist, acum pensionar.

Am constatat insa ca atat insistentele mele, cat si ale altora cu mai mult aplomb decat mine (veti vedea!), nu au fost luate in seama nici in tara si nici pe plan international, in lumea dumneavoastra, a matematicienilor, sau poate nu am aflat eu, neavand un raspuns/feed-back direct! Este posibil sa aveti si sa va satisfaca vreo explicatie in acest sens, dar multe personae m-au intrebat de ce nu sunt cunoscute si invatate cele mai multe aspecte si corelatii legate de Numarul de Aur!?Nu intentionez aici si nici in alta parte sa rescriu o istorie a Numarului de Aur (sau a Sirului lui Fibonacci) incepand, spre exemplu, cu pitagoreicul Hippasus din Metapont, exclus si executat simbolic, prin inecare, de catre confrati pentru indrazneala de a dezvalui neinitiatilor secretele Dodecaedrului si ale Numarului de Aur! Aceasta poate fi aflata din carti, publicatii si de pe internet, mai putin din manualele scolare (sau deloc!), ceea. ce nu o apreciez (pe aceasta din urma) ca fiind o situatie de normalitate in procesul instructiv-educativ, in secolul 21Trebuie sa mentionez ca nu sunt primul care sustin relatia PI=4/sqrt(PHI):-Am gasit, de pilda, ca prin anii 60-70 ai secolului trecut(20!), Max Toth si Greg Nielsen, in cartea lor

revealed>, abordeaza ca certa aceasta relatie, insa cand incearca o succinta analiza a unghiului de la baza Marii Piramide (pe apoteme), gresesc flagrant si propun si ei problema spre rezolvare si finalizare matematicienilor!-Au mai existat si alte abordari anterioare celei de mai sus, printre care mie mi s-a parut deosebit de interesanta aceea a lui Matila Ghyka (enciclopedist de origine romana, cunoscut pentru lucrarile si cartile sale privind Numarul de Aur, ca element din natura definitoriu si caracteristic, preluat in special in artele plastice: v./etc.!), care a sesizat -ca si altii, de altfel- apropierea dintre raportul 4/(PI)=1.273 () si radicalul Numarului de Aur 1.272()=sqrt(PHI), tratand-o si clasand-o insa drept coincidenta cu totul intamplatoare. Are in schimb meritul (printre multe altele: baza vasta si solida de documentare , analiza matematizata si spirituala, precum si excursul istoric deosebit nuantat!) de a-mi fi sugerat, prin continutul si topica expunerii, natura raportului mentionat: 4/(PI) poate fi usor perceput si analizat ca dubla relatie intre patrat si cerc, respectiv atat intre perimetrele, cat si intre suprafetele (ariile) acestor doua forme geometrice, privite prin posibilelor corelatii intr-un model adecuat al Marii Piramide.Acesta poate fi considerat PUNCTUL de plecare, teoretic si practic (inclusiv pe teren!), pentru demonstratia, determinarea si configurarea geometrica a dublei CIRCULATURI a patratului si implicit- a CUADRATURII reale a cercului. Desigur ca mai sunt multe aspecte de clarificat, printre care ceea ce eu am numit Sper sa fie preluat si analizat de catre specialisti (matematicieni, fizicieni etc.).Pana la finalul expunerii (in PARTEA a II-a) voi incerca sa va prezint si unele din posibilele explicatii ale inspiratiilor mele, pe care multi preopinenti le considera bizare!Mai mentionez ca o parte din argumentele si continutul sustinerii ideilor si actiunilor mele au fost postate pe http://www.stiinta.info/forum/index.php?topic=84.0 . Acesta va fi, in acelasi timp, unul din plasamentele textului de fata

IPOTEZA: PI=4/sqrt(PHI)=3.144605511029693144()PARTEA A I-a: CIRCULATURA/CUADRATURA PERIMETRELOR:

Varianta INTEGRALA:

PASUL 1=Pe o coala de hartie A4 (preferabil de matematica, pentru usurinta constructiei geometrice!), la 7centimetri de baza, pe mijlocul colii, se fixeaza cu creionul un punct pe care-l notam cu litera GMasurarea exacta se efectueaza, bineinteles, cu RIGLA/ ECHER!

PASUL 2=Tot cu ajutorul RIGLEI, din punctul G se traseaza pe orizontala doua segmente de dreapta de 3.5 centimetri, la stanga si la dreapta, ale caror capete corespondente le notam cu A(stanga) si B(dreapta)Pentru a nu incarca deocamdata constructia cu conturul unui patrat, consideram segmentul de dreapta AB(total: 7 centimetri) ca fiind MEDIANA/MERIDIANA si -in aceeasi masura- echivalentul LATURII bazei de marime ipotetica 2(UNITATI) a unei PIRAMIDE, in cazul nostru doua UNITATI de 3.5 centimetri fiecare, adecuate marimii colii de hartie si scopului propus

NOTA 1:-Pentru o coala de hartie A3 UNITATEA ar fi de 7centimetri, LATURA patratului/BAZA fiind de 2 UNITATI, masurand deci efectiv 14 centimetriEste insa mai dificil de gasit un COMPAS pe masura! Cred totusi ca se poate folosi cu succes si formatul A3 recurgand la o unitate mai mica, mai ales daca se intentioneaza realizarea a mai mult de doua piramide legate, ceea ce eu nu am incercat pana acum si nici nu mi-am stabilit un asemenea obiectiv

The Last Paradigm: Pi by Phi

2

Mircea-Mugurel Serban

PASUL 3=Din punctul G trasam pe verticala in sus segmentul GH de 3.5 centimetri (UNITATEA aleasa), perpendicular pe dreapta AB, eventual cu ajutorul echerului dreptunghic gradat in milimetri(mai ales daca nu folosim coala de matematica!).Din acest moment si stadiu al demonstratiei nu voi mai folosi masurile/marimile exprimate in centimetri ale segmentelor, ci ma voi raporta la 1(UNU/UNITATE!)!

NOTA 2:-1(UNU/UNITATE) pe care eu il consider ELEMENT PRIMordial /fundamental de referintaDe altfel, din cate imi amintesc, asa se si procedeaza in practica demonstratiilor matematice/geometrice, respectiv investirea unui segment de REFERINTA cu valoarea 1(UNU/UNITATE), inclusiv la cuantificarea functiilor trigonometrice pentru determinarea dimensiunii unghiurilor, la alcatuirea capitolului corespunzator din fiind luat in calcul insusi CERCUL de RAZA=1(UNITATE). Si -pentru a ma face si mai bine inteles- ASA CUM ORICE SEGMENT (SAUNUMAR) POATE FI CONSIDERAT BAZA DE REFERINTA SI DECI REDUS LA RAZA=1(UNU/UNITATE/UNIDIMENSIONALITATE, AJUNGAND INTR-UN PUNCT PE CARE IL NUMIM, CONVENTIONAL, ), TOT ASA POT AFIRMA, fara sa am senzatia ca gresesc sau ca exagerez, CA ORICE SISTEM DE REFERINTA POATE FI CONSIDERAT UN CERC A CARUI RAZA ESTE MULTIPLU (unitar sau supraunitar) sau chiar echivalent AL LUI 1(UNU/ UNITATE), GENERAND DEZVOLTARI DE DIVERSE NATURISI IN ACEASTA ACCEPTIE, precum reciproca unei teoreme oarecare, RECURGAND LA ATRIBUIREA UNEI VALORI SAU DIMENSIUNI INTR-UN SISTEM DE CUANTIFICARE OARECARE, RAZA INSASI DEVINE REFERENTIAL!!! Ii putem atribui ORICE VALOARE SAU DIMENSIUNE, inclusiv 3.14159(), asa cum a procedat unul din preopinentii mei pe forum-ul , ceea ce nu inseamna insa ca a rezolvat problema PI-ului, prin RAZA cerculuiAs numi aceasta maniera de rezolvare ca fiind o , care se practica adesea!Eu mai reamintesc si subliniez ca aceasta (RAZA), este in acelasi timp jumatatea LATURII patratului circumscris cercului (precum si jumatatea DIAGONALEI patratului inscris!), IAR ORICARE PATRAT POATE FI DIVIZAT LA INFINIT IN PATRATE DIN CE IN CE MAI MICI, CU CERCURI INSCRISE SI CIRCUMSCRISE ASISDEREA, ALE CAROR UNGHIURI AU INSA FUNCTIILE TRIGONOMETRICE EXPRIMABILE SI DETERMINABILE, IN MOD EXCLUSIV, PRIN ELEMENTE RECTANGULARE, PATRATICEcu care si noi lucram si am putea lucra la INFINIT, fara SA NE INTREBAM: -DE CE, PE PARCURSUL DEMONSTRATIILOR GEOMETRICE, NUMAI PRIN ELEMENTE RECTANGULARE/PATRATICE/DREPTUNGHICE PUTEM DETERMINA UNGHIURILE DIN INTERIORUL CERCULUI, PRECUM SI LATURILE SI UNGHIURILE TUTUROR CELORLALTE FIGURI SI FORME GEOMETRICE???! Sunt aspecte peste care se trece mult prea usor!!!

PASUL 4=Intra in scena COMPASUL, cu ajutorul caruia stabilim mai intai, prin metodologia deja cunoscuta din clasele primare, mijlocul segmentului GH(UNITATE) pe care il notam cu litera I. Folosind RIGLA, trasam segmentul AI, fara sa mai trasam si segmentul BIdin aceleasi considerente de evitare a incarcarii inutile a constructiei.Rezulta triunghiurile dreptunghice AIG si BIG identice, avand cateta comuna/ INALTIMEA IG=1/2(UNITATI)=0.5, catetele individuale AG=BG=1(UNU)=1, precum si ipotenuzele individuale AI=BI(netrasata)=[sqrt(5)]/2=1.1180339887().NOTA 3:-Eu numesc acest tip de triunghi, cu laturile 1/2//1//[sqrt(5)/2], GNOMON GEOMETRIC PRIMORDIAL/ UNIVERSAL (FUNDAMENTAL), care -asa cum se poate remarca- difera fata de VINCLUL/triunghiul ZIDARULUI, clasicul triunghi SACRU cu laturile 3//4//5, atribuit lui PitagoraVeti vedea si veti putea constata


3


ca, pornind de la acest tip de triunghi/GNOMON, se pot trasa nu numai unghiuri drepte, patrate si dreptunghiuri, ci si alte operatiuni: determinarea SECTIUNII de AUR -(PHI) si (phi)- , trasarea si construirea unui PATTERN piramidal (mai exact: transformarea unui desen bidimensional/2D in doua sau mai multe PIRAMIDE tridimensionale/3D, corect si exact determinate din punct de vedere geometric/matematic) etc.

PASUL 5=Trasam cu compasul CERCUL cu diametrul GH(1/UNU/UNITATE), avand centrul in punctul I si -implicit- RAZA=1/2, dupa care se traseaza DOUA CERCURI cu centrele in punctele A si B, tangente exterioare la primul cerc in punctele J si K (si care intersecteaza dreapta AB in punctele L si M)Se constata foarte usor ca RAZELE acestor cercuri au aceeasi masura, respectiv AJ=BK=[sqrt(5)+1]/2= 1.6180339887()=(PHI) (Numarul de AUR).

NOTA 4:-Desi pentru scopul demonstratiei noastre nu se constituie intr-un aspect absolut necesar, nu pot trece peste completarea procedurii de IMPARTIRE a segmentelor AG si BG in MEDIE si EXTREMA RATIE, motiv pentru care se pot trasa DOUA CERCURI concentrice interioare celorlalte doua, avand desigur aceleasi centre A si B, tangente la primul cerc in punctele J si K si care intersecteaza segmentul AB in punctele L si M, cu RAZELE AJ=BK=[sqrt(5)-1]/2=0.6181339887(), asadar cu 1(UNITATE) mai mici decat razele celorlalte doua (care le sunt concentrice exterioare), situatie/ proprietate UNICA(Numarul de Aur fiind mai mare cu 1/UNU/UNITATE decat inversul sau, situatie pe care o putem exprima literal (PHI)-1/(PHI)=(PHI)-(phi)=1, dar pe care eu o consider FUNDAMENTALA pentru GEOMETRIE, ignorata aproape complet pana acumPe scurt, spunem ca punctele L,L,M,M impart(simetric) segmentele AG si BG in medie si extrema RATIE, astfel incat: AL/AG=BM/BG=1.618()/1=AG/AL=BG/BM=1/0.618()=1.618()Cu alte cuvinte, avem de-a face cu o PROPORTIE CONJUGATA intre marimile unor segmente foarte usor de determinat, delimitate si definite din punct de vedere GEOMETRIC: [sqrt(5)+1]/2=2/[sqrt(5)-1]=1.618()=(PHI), care au ca BAZA de REFERINTA 1(UNU/ UNITATEA!) si ca element de proportionalitate NUMARUL DE AUR(PHI): {[sqrt(5)+1][sqrt(5)-1]=5-1=4etc. Consider ca aici este locul potrivit sa fac urmatoarele remarci, observatii si precizari:a-Exista mai multe procedee de impartire a unui segment in medie si extrema ratie, toate avand ca baza de plecare laturile si celelalte elemente de constructie ale patratului, aspect pe care il apreciez ca fiind esential in cele ce sustin eu privind PI=4/sqrt(PHI)Ce mi se pare destul de curios este si faptul ca fiecare impatimit de acest subiect (Sectiunea sau Numarul de Aur) considera ca modelul/PATTERN-ul sau de lucru este cel mai adecuat pentru obtinerea unor rezultate reprezentative si chiar exhaustive! Voi prezenta pe scurt, in notele finale ale acestei demonstratii, procedeul D-lui Carlos Martin Piera care are totusi meritul incontestabil privind rezolvarea(!) CUADRATURII propriu-zise a CERCULUI, prezentand-o insa ca pe o varianta(printre altele!) posibila, fara sa recurga la alte procedee complementare, cum sunt MASURATORILE pe teren si fara posibilitatea de a utiliza procedeul in combinatii mai complexe s.a.m.d.b -Dintre toate procedeele eu il consider pe acesta, pe care il sustin aici si acum, ca fiind cel mai complet si sugestiv, cu observatia ca, in lucrarile care mi-au cazut in mana si sub ochi, erau duse din punctele de tangenta (notate aici cu J,J,K,K) numai arce de cerc pana la intersectia cu dreapta AB, fara a se sugera cel putin prin arce mai mari(daca nu prin cercuri complete!), pana la intersectia cu verticala ridicata prin punctele G si H, SECTIUNILE PIRAMIDALE care intereseaza pentru demonstratia in discutie, aici de fatac-Unghiurile GNOMONULUI FUNDAMENTAL si functiile trigonometrice ale acestora se regasesc in formulele 1.1-1.7 in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html . De


4


asemenea, prin stradania unui cititor al forumului , au fost preluate, impreuna cu celelalte formule si inhttp://www.davidicke.com/forum/showthread.php?t=32453&page=181 (Nassim Haramein), precum si in topic-ul (Marko Rodin) al aceluiasi forum.d-Desi masuratorile efectuate pana acum, in epoca moderna, nu au evidentiat in mod clar introducerea Numarului de Aur si a proportiilor derivate de acesta in proiectarea si constructia Marii Piramide de pe platoul Giseh, subliniez aici si acum ca se poate constata usor prezenta GNOMONULUI 1//1/2//[sqrt(5)]/2 nu numai in ceea ce priveste unghiul de vizualizare a Stelei Polare[v.Matila Ghyka: 26.56505118()gr.sexag.], ci analizand profilele culoarelor care mi-au trecut prin mana am constatat, in diferite ipostaze, acelasi unghi de inclinare, precum si prezenta celorlalte unghiuri ale GNOMONULUI, formate cu verticala si orizontala loculuiMai mult chiar, am remarcat pozitionarea in oglinda, intre camerele Regelui si a Reginei, a doua triunghiuri GNOMON (asemenea), avand catetele mari situate pe orizontala comuna (sus/mare// jos/mica), astfel incat procedand in aceeasi maniera ca la impartirea unui segment in medie si extrema RATIE (trasarea unor cercuri/arce de cerc), se obtine profilul unei structuri embrionare(sau: rinichi/ureche/boaba de fasole/etc.)MENTIUNE:-Indiferent necorelarile cu rezultatele multitudinii de masuratori pe Platoul Giseh ,aspectele mentionate mai sus si multe altele(inclusiv inspiratiile mai mult sau mai putin bizare), m-au determinat sa cuplez la varianta folosirii Numarului de Aur cel putin in conceperea si proiectarea Marii PiramideIar rezultatele, cum veti vedea, au fost peste asteptari, fie si daca nu vom reusi niciodata sa aflam toate detaliile si mai ales scopurile ezoterice si chiar functionale ale constructiei!...

PASUL 6=Se noteaza cu litera N intersectia cercurilor de raza (PHI) (avand centrele in A si B) cu verticala care trece prin punctele G, H si Isi se traseaza segmentele AN si BNAcestea sunt, in fapt, laturile egale cu (PHI) ale triunghiului isoscel ANB, pe care il consideram SECTIUNEA mediana/MERIDIANA a PATTERN-ului piramidal, alcatuit din triunghiurile dreptunghice identice ANG si BNG, cu masurile: 1=CATETELE mici: AG=BG//[sqrt(PHI)] =CATETA mare (comuna)/INALTIMEA piramidei: NG//(PHI)=IPOTENUZELE AN=BNIn aceeasi masura se considera ca aceste din urma segmente [(AN=BN=(PHI)], fiind APOTEMELE piramidei reprezinta, la randul lor, INALTIMEA fetelor laterale(triunghiuri isoscele, de asemenea).

NOTA 5:-Se constata si aici diferenta prin 1(UNU/UNITATE), proprietate specifica Numarului de Aur ,de asta data intre PHI^2=(ipotenuza^2) si PHI=[ (cateta mare)^2 =sqrt(PHI)^2],REZULTATUL fiind 1[UNU/UNITATE=(cateta mica)^2 =1^2=1=cateta mica]. Acest tip de triunghi dreptunghic este si el UNIC printre suratele sale, avand laturile crescande in PROGRESIE GEOMETRICA cu RATIA=sqrt(PHI)=1.272 (), spre deosebire de alte triunghiuri pitagoreice /diofantine/ sacre/etc.,ale caror laturi cresc in progresie aritmetica, ex:3//4//5. UNIC, dar in acelasi timp cu valente mai mult decat GENERALIZATOARE, as putea spune (fara teama de a gresi!) VALENTE DEFINITORII, pentru o MATEMATICA/ GEOMETRIE care se vrea COMPLETA, apropiata de perfectiune, dar mai ales REALA, NATURALA si EXACTA, sau indiferent cum am vrea noi sa o denumim si sa o caracterizamIpostazele PHI-1/PHI=PHI^2-PHI=1 au fost transpuse de altfel de catre matematicieni si in ecuatia algebrica x^2-x-1=0, avand una din solutii Numarul de Aur(PHI). Ceea ce nu am gasit insa pe nicaieri in lucrarile consacrate sunt si alte egalitati interesante, rezultate si coroborate logic cum ar fi, de pilda, x^2-1/x-2=0, care duce implicit la x^3-2x-1=0, cu aceeasi solutie (PHI/Numarul de Aur) si nu am gasit nici ecuatia x^2+x-1=0, care are ca solutie 1/PHI=phi=0.618() s.a.m.dDesi lucrurile par foarte simple si fara bataie de


5


cap(lamintea cocosului!), afirm cu toata convingerea ca nu sunt luate in seama si poate aceasta este una.din cauzele ignorarii si chiar respingerii unor concluzii si implicatii cu mult mai importante si profunde!!!Cum am mai spus, sustinatorii TEORIEI prezentei Numarului de Aur in conceptia si proiectarea Marii Piramide afirma ca TRIUNGHIUL isoscel, exprimat aici literal prin ANB, reprezinta SECTIUNEA MERIDIANA/MEDIANA, segmentul NG=[sqrt(PHI)]=1.272()= (CATETA MARE comuna a celor doua triunghiuri dreptunghice ANG si BNG) devenind INALTIMEA piramidei, laturile notate aici cu AN=BN=(PHI) reprezentand echivalentul celor patru APOTEME, respectiv INCLINATIA pe BAZA a fetelor laterale (triunghiuri isoscele, de asemenea), iar segmentul AB (format din CATETELE MICI AG=BG=1), fiind, cum am mai mentionat la PASUL 2, in aceeasi masura, echivalentul LATURII si MEDIANEI/ MERIDIANEI bazei piramidale. Analiza unghiulara si functiile trigonometrice ale acestor configuratii triunghiulare, cu semnificatii deosebite -intre care cel de 51.82729237()gr. sexag., similar unghiurilor de 0//45//90 grade sexag.(!!!)- se regasesc in formulele 2.8-2.14 in http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html In acelasi timp, segmentele AN=BN= (PHI) sunt (subliniez: in aceste conditii!), INALTIMI ale FETELOR/triunghiuri laterale!

PASUL 7=Intre varfurile COMPASULUI se cuprinde unul din segmentele AN=BN=(PHI), se transfera masura pe verticala punctului G in sus, fixandu-se pozitia punctului O (deasupra punctului N) si se uneste acest punct (trasandu-se cu RIGLA) cu punctele Asi B si separat cu G(prin H, I si N). Se obtine triunghiul/FATA (laterala) a piramidei/PATTERN, notat aici literal AOB, format din triunghiurile dreptunghice AOG si BOG, fiecare avand laturile: CATETELE mici AG=BG=1//CATETA mare/INALTIME/APOTEMA(comuna)OG=(PHI)// IPOTENUZELE/ MUCHII AO=BO= sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt[3.6180339887()]= 1.902113033()

NOTA 6:-Unghiurile si functiile trigonometrice ale triunghiurilor notate aici cu AOG si BOG se regasesc in formulele 2.1-2.7 ale site-ului mentionatVreau insa sa scot in evidenta alte aspecte ale corelatiilor ivite in acest stadiu al demonstratiei:a)-Valoarea 1.902113033(), fiind latura in dubla ipostaza a fetelor laterale, reprezinta in acelasi timp MUCHIA pattern-ului PIRAMIDAL pe care il analizam, dar este totodata expresia numerica a laturii PENTAGONULUI STELAT inscris in cercul cu RAZA=1 (UNU/UNITATE) si se mai poate scrie: L5S=sqrt[(PHI^2)+1]=sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]b)-Daca facem insa RAPORTUL intre LATURA BAZEI si MUCHIA piramidei, respectiv 2/{sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}=2/1.902113033(), obtinem rezultatul 1.051462224(), acesta reprezentand nici mai mult nici mai putin decatMUCHIA ICOSAEDRULUI(corpul geometric cu 20 fete triunghiuri) inscris in SFERA cu RAZA=1, CORP GEOMETRIC care la Antici(!?) reprezenta elementul Din acest motiv am denumit Pattern-ul in discutie ca fiind . Putem spune, fara sa gresim, ca echivalentul numeric al unui element (MUCHIA) de constructie a unui CORP GEOMETRIC(in cazul nostru concret: ICOSAEDRUL/APA) se constituie/transforma el insusi intr-un COD de realizare a altei FORME GEOMETRICE: Pattern-ul PIRAMIDAL Keops(???!)Sunt multe de spus, de pilda nu mi se pare lipsita de importanta observatia ca aceeasi valoare[1.051462224 ()] apare ca RAPORT/cod (?!) intre laturile DECAGOANELOR convexe, circumscris si inscris aceluiasi CERC, aspect care se poate constata foarte simplu prin rezultatul impartirii TANGENTEI si SINUSULUI unghiului de 18 gr.sexagSa nu uitam, de altfel, ca latura decagonului convex are valoarea (phi)=0.6180339887(), in timp ce latura decagonului stelat este chiar (PHI)=1.6180339887(), ca raportul (PHI)=lat.decagon.stelat/lat.hexagon= lat.hexagon/lat.decagon.convex=lat.pentagon.stelat/lat.pentagon.convex=muhia.cub(PAMANT)/muchia.dodecaedru(COSMOS/ETER/AKASHA) s.a.m.d.


6


c)-Pe aceasta filiatie, descrisa la aliniatele de mai sus [NOTA 6-a) si -b)], mi-a aparut si inspiratia formulei (a se vedea detaliile unei prime variante in http://freewebs.com/goldenno/html/df.html ), in care sunt abordate cateva dintre corelatiile care exista si le-am putut determina intre figuri si forme geometrice prin prisma Numarului de Aur)Si lucrurile nu se opresc aici! Deocamdata va spun numai ca, in aceasta privinta, insasi formula mai suporta comentarii si posibilitati de perfectionare: -De pilda, pana la alte clarificari, va sugerez (macar ca exercitiu mental) sa reflectati, in conditiile unor posibile codificari aratate in paragraful anterior, la cele 13(14) propozitii aleTABULEI SMARAGDINA, in cazul de fata in special propozitiile 6-7-8!!!...Fara pretentia de a fi ultima strigare, iata deci o alta varianta posibila: -Este de ajuns sa inlocuim in formula amintita mai sus cu expresia {1*[4/sqrt(6)]} care este ECHIVALENTUL muchiei TETRAEDRULUI, avand valoarea numerica 1.632993162(). Acesta din urma reprezenta s.a.m.d. Bineinteles ca se pot face multe asemena deductii, pe care nu stiu in ce masura le veti considera pure speculatii, dar in orice caz eu sustin ca nu sunt lipsite de semnificatie, de pilda: prin impartirea ultimei expresii la [sqrt(2)] (MUCHIA OCTAEDRULUI/AER), se obtine [2/sqrt(3)], cu valoarea numerica 1.154700538(), aceasta fiind MUCHIA CUBULUI/PAMANT (Asadar, este ca si cum am da curs unei proceduri de tipul separam subtilul/FOC/TETRAEDRU de grosier/ PAMANT/cenusa/CUB prin suprimarea/extragerea AERULUI/OCTAEDRU!!! Etc.).Facand abstractie deocamdata de expresia{[sqrt(5)-1]/sqrt(3)} =[2(phi)/sqrt(3)]=2/ [(PHI)sqrt(3)]=0.713644179()=(MUCHIA DODECAERULUI/cosmos/ETER/ AKASHA), ceea ce mi se pare si mai interesant este faptul ca, introducand in calcul 100 drept MULTIPLICATOR general (in locul lui ), rezulta 115.47 metri, deci 230.94 metri pentru latura BAZEI piramidale/ PATTERN, o valoare comparabila cu masuratorile de pe Platoul GISEH (Keops?) !?... Desi ma pot prevala aici de vorba gospodarului chinez din cartea lui Alan Watts (orientalistul) : Asa o fi!, totusi convingerea mea inclina spre aceste solutii/CODURI numerice, cu semnificatii multiple si definitorii, mai ales ca se vor finalize, asa cum veti constata, cu configurarea/ construirea efectiva a doua piramide legate/unite, dintr-o simpla coala de hartie A4!

PASUL 8=Trasam cu COMPASULcercul cu centrul O, avand RAZA OA=OB= 1.902113033()={sqrt(PHI)sqrt[sqrt(5)]}, iar pe conturul cercului se transfera (tot cu compasul) de inca trei ori, din punctul B (in sensul invers acelor de ceasornic!), masura segmentului AB[2 UNITATI], punctele notandu-se literal in continuare C, D(D) si A(A). Se unesc cu RIGLA punctele obtinute astfel. Cele patru coarde/segmente rezultate, respectiv AB, BC, CD si D(D)A(A), reprezinta laturile BAZEI piramidale/ PATTERN.

PASUL 9=Se uneste (cu RIGLA) punctul Ocu punctele C, D(D) si A(A)Am obtinut deci cele patru FETE piramidale: AOB, BOC, COD si DOA. (De altfel chiar si in acest stadiu se poate configura o piramida 3D, recurgand la taieturi si indoituri adecuate, fara a arunca insa nici o portiune din coala de hartie!).

PASUL 10=Trasam (cu compasul) CERCUL cu centrul N, avand RAZA [sqrt(PHI)]= NG(tangent la AB in punctul G) si se mai traseaza (cu rigla) in josul colii PATRATUL ajutator notat ABCD, identic/egal cu BAZA piramidei/PATTERN (ABCD) descrisa la PASUL 9, astfel incat noua latura CD se situeaza la baza colii de hartie.

-CONCLUZII partiale=In acceptia PI=4/sqrt(PHI) se sustine ca CIRCUMFERINTA cercului (care are ca raza inaltimea [sqrt(PHI)] a PIRAMIDEI/pattern/in cazul nostru CERCUL cu centrul O, de raza OA=OB) si PERIMETRUL bazei (cu LATURA=2 UNITATI/in cazul


7


nostru PATRATUL notat ABCD, acelasi cu ABCD) sunt EGALECu alte cuvinte, daca vom confectiona un ECHER cu profilul ANB putem spune ca este rezolvata definitiv cuadratura PERIMETRELOR, in sensul ca putem trasa in orice moment un CERC oarecare dupa care, cu ajutorul Echerului, trasam un PATRAT cu PERIMETRUL egal cu CIRCUMFERINTA data! Am in vedere, desigur, variante de dimensiuni. Mai fac mentiunea ca desenul demonstratiei, prezentata aici, va diferi foarte putin fata de desenul initial din finalul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html Ii invit pe cititorii acestor randuri sa constate singuri diferentele! O pot face chiar si in acest stadiuAsadar, deocamdata am obtinut numai circulatura/cuadratura PERIMETRELOR (chiar daca matematcienilor li se va parea o formulare improprie!), fara de care insa nu poate fi rezolvata, in cadrul acestui procedeu, CUADRATURA propriu-zisa, aceea a ARIILOR. Pe de alta parte, am considerat ca realizarea a doua piramide conexe, pe(2D) si din(3D) aceeasi coala de hartie, este mult mai sugestiva si completa, oferind o imagine de ansamblu a problematicii in discutie (luand in considerare si NOTELE anexate!).

PARTEA A II-a: CIRCULATURA/CUADRATURA SUPRAFETELOR (ARIILOR)

PASUL 11=Din formulele 1.8 si 2.1-2.7 (http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html ) se deduce cu certitudine ca unghiul AIG(ca si BIG, de altfel) este identic/egal cu unghiul AOB si pentru intelegerea mai buna a constructiei si demonstratiei se traseaza inca un triunghi ajutator AIB. Pentru trasare sugerez folosirea celei mai simple metode, respectiv preluarea dimensiunilor laturilor si inaltimii FETEI laterale AOBa PATTERN-ului piramidal, cu COMPASUL sau direct cu RIGLA, transferandu-le pe noul amplasament, cele doua laturi egale ale triunghiului isoscel (AI si BI) devenind astfel prelungiri ale laturilor GNOMONULUI, IA si IG, inaltimea notandu-se cu IG(egala cu OG), detaliu mai putin important pentru demonstratiei!

NOTA 7:-Remarcam insa un alt DETALIU foarte IMPORTANT: - Cu ajutorul unghiului AIGse pot determina functii trigonometrice ale unghiului AOBin ipostaza situarii acestuia intr-un triunghi dreptunghic, identic cu GNOMONUL nostru (PRIMORDIAL /UNIVERSAL)Pentru exemplificare si intr-o masura majora pentru un motiv pe care vi-l voi dezvalui imediat si-l veti intelege in urmatorii pasi ai demonstratiei, ne limitam numai la functia COSINUS: IG/IA= 0.5/[sqrt(5)/2]=0.447213595()Se confirma astfel unghiul de 63.43494883()gr.sexag. din varful fetelor laterale ale PATTERN-ului piramidal!Ei bine, trebuie sa gasim MODELUL/PROCEDEUL similar pentru construirea unei PIRAMIDE a carei INALTIME sa fie de asta data RAZA unui CERC cu ARIA egala cu SUPRAFATA aceluiasi PATRAT(baza piramidei!)Dar mai intai stabilim foarte usor ca INALTIMEA unei asemenea piramide, in conditia PI=4/sqrt(PHI), trebuie sa fie sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485() in raport cu 1(UNU/UNITATE), respectiv cu jumatatea laturii BAZEICa noutati pentru site-ul http://www.freewebs.com/goldenno/formule1.html , voi adauga formulele 2.22-2.42, astfel: formulele 2.22-2.28 pentru fetele piramidei, 2.29-2.35 pentru sectiunea meridiana/mediana si 2.36-2.42 pentru sectiunea corespunzatoare muchiilor si diagonalei bazei. Deocamdata insa avem nevoie numai de UNGHIUL din varful FETELOR laterale, al carui COSINUS il stabilim asa cum am procedat la PASUL 11! Aceste elemente le-am gasit usor: UNGHIUL este de 67.12283858()gr.sexag. cu COSINUS=0.388756727(). Urmeaza sa plasam UNGHIUL gasit intr-un triunghi DREPTUNGHIC cu laturi determinabileCel mai simplu si sugestiv este sa ne axam pe aceeasi CATETA GI=1/2=0.5, dupa care trebuie sa-i aflam IPOTENUZA, a carei valoare numerica o putem deja stabili prin urmatorul calcul: 0.5/0.388756727()= =1.286151377().


8


PASUL 12=Prin punctul Htrasam ca linie intrerupta segmentul ajutator PQ, paralel si egal (2 UNITATI) cu AB si notam cu R intersectia acestuia (PQ) cu AN. Am obtinut segmentul PR a carui valoare numerica este 1/sqrt(PHI)=0.786151377(), corect determinata:-Este COTANGENTA unghiului NAG=51.82729237()gr.sexag., respectiv inclinatia fetelor laterale pe baza piramidei PATTERN(v.si Anexa)!

PASUL 13=Intre varfurile COMPASULUI preluam segmentul HI(sau GI) si plasam masura(1/2=0.5) in continuarea segmentului PR (spre dreapta), obtinand segmentul PS= PR+RS=1/sqrt(PHI)+1/2=0786151377()+0.5=1.286151377().

PASUL 14=Tot cu ajutorul COMPASULUI, fixandu-i acul in punctul I, transferam masura PS pana la intersectia cu prelugirea segmentului AB si obtinem segmentul IS. Rezulta unghiul GISde 67.12283858()gr.sexag. al carui COSINUS este IG/IS= 0.5/1.286151377()= 0.3887567(). Prelungim segmentul ISin jos, spre dreapta colii (segmentul IGeste deja prelungit)Am obtinut astfel unghiul din VARFUL fetei unei posibile PIRAMIDE. Aceasta din urma va avea, in mod cert INALTIMEA -veti vedea- de sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838485().

PASUL 15=Folosind procedeele elementare cunoscute, determinam si trasam, ca semidreapta, bisectoarea unghiului GIS. De-o parte si de alta a bisectoarei culisam cu coltul dreptunghic al ECHERULUI gradat(RIGLA) pana la obtinerea UNITATII alese (la PASUL 2) si respectiv a BAZEI de 2 UNITATI cu intersectiile prelungirilor segmentelor IGsi IS. Notam punctele de intersectie cu A(e), pe prelungirea segmentului IG si cu D(f) pe prelungirea segmentului IS. Notam cu G(t) proiectia bisectoarei pe mijlocul segmentului BAZA notat A(e)D(f).

PASUL 16=Cu RIGLA si COMPASUL transferam toate elementele de constructie si punctele de intersectie ale triunghiului isoscel A(e)ID(f), rezultat la PASUL 15, pe amplasamentul avand ca BAZA latura A(A)D(D) si se modifica notatia noului amplasament al punctului I, acesta devenind O. Putem deja sa afirmam ca am obtinut si am amplasat una din fetele unei noi PIRAMIDE si ii putem modifica/simplifica notatia literala a variantei de lucru, avand acum ca rezultat triunghiul isoscel AOD cu inaltimea OG, latura AD(DA) fiind comuna (aceeasi) cu latura bazei AD(DA) a primei piramide/PATTERN. Acest triunghi este format din triunghiurile dreptunghice AOG si DOG, avand laturile dimensionate astfel: 1=CATETELE mici AG si DG// sqrt[sqrt(PHI)+1]=1.507322()=CATETA mare (comuna)/INALTIMEA/APOTEMA notata OG//sqrt[sqrt(PHI)+2]=1.808872()= IPOTENUZELE/MUCHIILE piramidei, notate OA si OD.

PASUL 17=Trasam cu COMPASUL cercul cu centrul in punctul O, cerc a carui circumferinta trece prin punctele A si D, avand deci raza OA (ca si OD, de altfel!). Procedam in continuare ca la PASUL 8, transferand din punctul A de inca trei ori masura segmentului AD pe conturul cercului, de data asta in sensul acelor de ceasornic, notand bineinteles punctele de contact cu circumferinta B, C si D, care se unesc trasandu-le cu RIGLA. Avem ca rezultat toate cele patru coarde/laturi ale BAZEI noii PIRAMIDE: AB, BC, CD si DA [aceasta din urma fiind folosita pana acum cu notatiile A(e)(A)D(f)(D) ca variante de lucru si pentru efectuarea transferurilor, pozitionarea pe noul amplasament etc.].

PASUL 18=Procedand ca la PASUL 9, unim punctul O cu punctele A, B, C si D si obtinem cele patru fete ale noii PIRAMIDE: AOB, BOC, COD si DOADesi acum putem sa


9


configuram tridimensional(3D) doua piramide legate, amanam momentul deoarece nu am terminat DEMONSTRATIA pe care mi-am propus-o privind circulatura/ CUADRATURA suprafetelor/ARIILOR

PASUL 19=Preluam cu COMPASUL masura segmentului OG=INALTIMEA fetelor/ APOTEMA=sqrt[sqrt(PHI)+1=1.507322() si fixand varful ascutit in punctele A si D, determinam intersectia comuna cu OG, pe care o notam cu N, triunghiul AND fiind (chiar daca folosim aceleasi notatii) sectiunea MEDIANA a noii PIRAMIDE, formata din triunghiurile dreptunghice ANG si DNG, cu dimensiunilelaturilor: 1=CATETELE mici AG si DG//sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838()=CATETA mare(comuna)/INALTIMEA piramidei//sqrt[sqrt(PHI)+1]=1.507322()=IPOTENUZELE/APOTEME ale noii PIRAMIDE

PASUL 20=Trasam CERCUL cu centrul N, tangent la latura AD in punctul G, avand deci RAZA NG=sqrt[sqrt(PHI)]=1.127838(). De asta data va spun ca am finalizat ceea ce mi-am propus si anume DEMONSTRATIA privind circulatura ARIILOR, in sensul ca am obtinut un CERC (cu centrul N si raza NG) a carui ARIE este egala cu fiecare din SUPRAFETELE date ale patratelor ABCD si ABCD, BAZELE celor doua PIRAMIDE, precum si cu patratul ajutator ABCD. Aceasta pare o rezolvare inversa a CUADRATURII, dar puteti constata foarte usor ca, daca vom confectiona ECHERE cu profilul AND de diferite dimensiuni, putem oricand sa afirmam, fara teama de a gresi, ca ne aflam in posesia REZOLVARII definitive a CUADRATURII (propriu-zise), pe care o putem purta inBUZUNAR!!!

PASUL 21=Se traseaza liniile hasurate (tip cusatura) spre marginile colii de hartie, pe care, pentru evitarea confuziilor, le-am notat astfel: Aa, Bb, Oo, Cc, Aa, Dd, Bb, Oo, Cc (posibil foarte scurta sau deloc!) si DdObservati ca am facut enumerarea de jos in sus! Oricum, cu sau fara hasurare, taiem cu FOARFECA pe aceste linii/trasee, urmarind exactitatea taieturilor.

PASUL 22=Se procedeaza la indoirea portiunilor de hartie obtinute in conditiile de mai sus, precum si confectionarea propriu-zisa a celor DOUA PIRAMIDE unite/legate, asa cum urmeaza (enumerarile le fac de sus in jos!):a)-Pe liniile celor 7 BAZE, notate cu CD, BC, AB, DA(DA), CD(D), BC si BA, indoirea se face in sus, spre a colii de hartie, portiunile ramase libere in afara celor DOUA PIRAMIDE constituindu-se ele insele intr-o PLATFORMA de sprijin si sustinere a intregului EDIFICIU!b)-Pe liniile celor 10 MUCHII, notate OD, OC, OB, OA(A), OD(D), OA(A), OD(D), OC, OB si OA, indoiturile se fac in sensul invers celor de la aliniatul (a), respectiv in jos, spre dosul/spatele colii de hartie, dar numai atat incat sa permita oricand formarea celor DOUA profiluri piramidaleRamane la latitudinea fiecaruia maniera/ modalitatea de fixare si stabilizare a celor doua PIRAMIDE, respectiv cu ace, agrafe sau pelicanol!!!


10


CUADRATURA, pur si simplu !

CUADRATURA: -Ambele segmente, LATURI ale PATRATELOR corespondente CERCULUI (de DIAMETRU=1/UNITATE), sunt construibile/CONSTRUITE cu RIGLA si COMPASUL, rezultand din FUNCTIILE trigonometrice ale urmatoarelor UNGHIURI :

1)Pentru PERIMETRU:LATURA=1/sqrt(PHI)=sqrt(phi)=sin51.82729237()gs.=ctg51.82729237()==cos38.17270763()gs=tg38.17270763()gs=0.786151377().

2)Pentru SUPRAFATA (CUADRATURA propriu-zisa):LATURA=1/sqrt[sqrt(PHI)]=sqrt[sqrt(phi)]=ctg48.43814254()gs=tg41.56185746()gs==0.886651779().

Mircea-Mugurel Serban (VLAHSTAR)


11


Trimiteri:

http://freewebs.com/goldennohttp://quadrature-code.blogspot.rohttp://numaruldeaur.blogspot.ro


12


http://pi-by-phi-quadrature.blogspot.ro

deMircea-Mugurel SerbanPREAMBUL: Scrisoare deschisa(Nominalizarea efectiva pe forumuri a destinatarului o voi face ulterior, la momentul potrivit. Sper sa am si un raspuns pana atunci!)CUADRATURA, pur si simplu !

203362990 Cuadratura Cercului Rezolvata

Documents

Transcript of 203362990 Cuadratura Cercului Rezolvata