Multimi si elemente de logica matematica

1. Multimea R

Mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea fracțiilor zecimale, pozitive și negative, cu o

infinitate de zecimale. Numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în

corespondență unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Termenul de "număr real"

a fost inventat după apariția noțiunii de "număr imaginar. Numerele reale pot fi raționale sau iraționale,

algebrice sau transcendente, pozitive sau negative.

Simbolul mulțimii numerelor reale este R (sau alternativ,  ).

2. Propozitie, Predicat, Cuantificatori

Propozitie

Un enunt care afirma sau neaga ceva si care este fie adevarat, fie fals. Distingem 2 tipuri de propozitii:

1) Propozitie simpla: propozitie care nu comporta decat un singur subiect, un singur verb si un singur

atribut.

Exemplu:"Numarul 24 este divizibil cu 8" (propozitie, evident, adevarata).

2) Propozitie compusa: propozitie obtinuta prin combinarea de propozitii simple, cu ajutorul conectorilor

logici: negatie, disjunctie si conjunctie.

Exemplu:"(Ecuatia x² + 1 = 0 are radacini reale in multimea numerelor reale) sau (25 este patrat perfect)"

(disjunctie intre un predicat fals si o propozitie adevarata).

Valoare de adevar:

Este proprietatea unei propozitii (p) de a fi adevarata sau falsa. Conventional, se noteaza cu v(p) si v(p) =

1 (sau A) daca propozitia p este adevarata si v(p) = 0 (sau F) daca propozitia p este falsa.

Predicat (propozitie cu variabile, sau propozitie deschisa):

Propozitie a carei valoare de adevar depinde de valorile atribuite variabilelor; in definirea unui predicat

trebuie specificata intotdeauna si multimea parcursa de variabila (variabile), numita si universal

discursului.

Exemplu: "Ecuatia 2x + 10 = 0, unde x apartine multimii numerelor reale" este un predicat cu o singura

variabila (numit si predicat unar), care devine o propozitie adevarata pentru x = - 5 (avand, deci,valoarea

de adevar 1), sau o propozitie falsa pentru orice alta valoare atribuita lui x (avand valoarea de adevar 0).

Observatie:

Multimea valorilor care, atribuite variabilelor predicatului, confera acestuia statut de propozitie adevarata,

se numeste multimea de adevar a predicatului respectiv.

Cuantificatorul existential:

Propozitia "exista cel putin un x, astfel incat p(x)" se numeste propozitie existentiala, asociata predicatului

p(x).

Notatie folosita: Simbolul se citeste "exista (cel putin)" si se numeste cuantificator existential.

Cuantificatorul universal:

Propozitia "oricare ar fi x din X, are loc p(x)" (X fiind o multime nevida, careia ii apartine variabila x) se

numeste propozitie universala, asociata predicatului p(x).

Notatie folosita: Simbolul se citeste "oricare ar fi" si se numeste cuantificator universal.