Capitolul 2 Logică matematică. Mulțimi. Inducția matematică

2.1 Elemente de calcul propoziţional 2.1.1 Operaţii logice fundamentale. Tabele de adevăr 2.1.1. Marcaţi propoziţiile componente şi operaţiile logice care le leagă, pentru următoarele propoziţii compuse:

a) Dacă nu plouă, merg la munte. b) Merg la munte numai dacă tu insişti. c) Plouă şi eu merg la munte. d) Sunt liber sîmbătă sau duminică şi merg în parc. e) Sunt liber sîmbătă şi merg în parc, sau sunt liber duminică şi merg în parc.

2.1.2. Să se găsească operaţiile logice dintre propoziţiile componente şi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii compuse:

a) Pinguinul este o pasăre şi 1 1 2+ = . b) Pinguinul este un mamifer şi 1 1 2+ = . c) Numărul 2 este raţional sau 1 1 2+ = . d) Dacă temperatura este sub 0°C, atunci apa îngheaţă. e) Dacă apa fierbe la 100°C, atunci unghiurile de la baza triunghiului isoscel

sunt congruente. f) Dacă 1 1 3+ = , atunci pinguinul este un mamifer.

2.1.3. Tatăl îi face Dianei următoarea promisiune: „Dacă iei 10 la matematică, mergem la munte”. În ce condiţii tatăl Dianei a trecut peste cuvîntul dat ? Dar dacă promisiunea făcută este „Mergem la munte numai dacă iei 10 la matematică” ? 2.1.4. Se dau propoziţiile: 0: 7 3 8p + = : 3 2q − < − :r toate triunghiurile sunt isoscele

:s numărul 2 nu este raţional :t suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. Să se determine valorile de adevăr ale propoziţiilor:

a) ( )( )p q s t r∧ → ∨ ∧ ; b) ( )( )p q r s t∨ ∧ → ∧ ; c) ( )( ) ( )p q r s t∧ → → ∨ .

2.1.5. Determinaţi valorile de adevăr ale propoziţiilor:

a) ( ) ( )p p q q∨ → ∧ ; b) ( )( )p q p q→ ∧ → ; c) ( )( )p q q p→ ∧ → .

2.1.6. Arătaţi că următoarele propoziţii sunt tautologii: a) ,p q q p p q q p∨ ↔ ∨ ∧ ↔ ∧ (comutativitatea disjuncţiei şi conjuncţiei)

b) ( ) ( ) ( ) ( ),p q r p q r p q r p q r∨ ∨ ↔ ∨ ∨ ∧ ∧ ↔ ∧ ∧ (asociativitatea disjuncţiei

şi conjuncţiei) c) ( ) ( ),p p q p p p q p∨ ∧ ↔ ∧ ∨ ↔ (regulile absorbţiei)

d) ,p p p p p p∨ ↔ ∧ ↔ (idempotenţa)

e) ( ) ( ) ( )p q r p q p r∨ ∧ ↔ ∨ ∧ ∨ , ( ) ( ) ( )p q r p q p r∧ ∨ ↔ ∧ ∨ ∧ (distributivitate);

f) ,p q p q p q p q∨ ↔ ∧ ∧ ↔ ∨ (legile lui De Morgan);

g) p p↔ (principiul dublei negaţii).

2.1.7. Să se demonstreze identitatea: ( )p q q p q↔ ↔ ≡ ∨

(N. Bebea, Olimpiadă locală, Dîmboviţa, 1979) 2.1.8. Să se arate că propoziţia: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )p q p r p q p r∧ ∨ ∧ → ∨ ∧ ∨ , unde , ,p q r sunt propoziţii oarecare,

este întotdeauna adevărată. (Doru Ştefănescu, 17951, G.M. 10/1979) 2.1.9. a) Să se afle valorile de adevăr ale propoziţiilor:

i) ( ) ( )p q p q∧ → ∨

ii) ( )p p p→ →

iii) ( ) ( )p q r q r p→ ∧ ∨ ∧ →

b) Să se afle negaţiile propoziţiilor: i) p p q∨ ∧

ii) ( )p q r→ →

iii) ( )p q r→ →

c) Să se demonstreze identităţile: i) p q p q→ ≡ ∧

ii) ( ) 0p q p→ → ≡

iii) ( ) 1p p p→ → ≡

(N. Bebea, 17738, G.M. 5/1979) 2.1.10. Să se exprime cu ajutorul operatorilor fundamentali (disjuncţie, conjuncţie, negaţie) propoziţiile:

a) ( )( ) ( )p q r p q→ → ∧ →

b) ( ) ( )( ) ( )p q q r p r→ ∧ → → →

2.1.11. Să se arate că următoarele propoziţii sunt tautologii: a) ( ) ( )( ) ( )p q q r p r→ ∧ → → → (tranzitivitatea implicaţiei);

b) ( )( ) ( ) ( )( )p q r p r q r∨ → ↔ → ∧ →

c) ( )( )p p q q∧ → → (regula modus ponens);

d) ( )( )p q q p→ ∧ → (regula modus tollens);

e) ( ) ( )p q q p→ ↔ →

2.1.12. Să se arate că implicaţia nu este asociativă, adică echivalenţa ( )( ) ( )( )p q r p q r→ → ↔ → → nu este o tautologie. Să se arate că echivalenţa

logică este asociativă.

2.1.13. Să se demonstreze echivalenţa:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )p q q r p r p q q r∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧

(Ioan Tomescu, 9880, G.M.B. 9/1969) 2.1.14. Să se demonstreze că:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q r s t p q s p q t p r s p r t∧ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧

(Ioan Tomescu, 9394, G.M.B. 1/1969) 2.1.15. Cîte funcţii logice binare se pot defini ? Alcătuiţi tabelele de adevăr ale acestor funcţii şi recunoaşteţi-le pe cele fundamentale. 2.1.2 Raţionament matematic. Probleme de logică

2.1.16. Iepurele alb spune că pisica minte. Pisica spune că Alice minte. Alice spune că iepurele alb şi pisica mint. Cine minte şi cine spune adevărul ? (după Lewis Carroll) 2.1.17. La o anchetă, trei persoane , ,A B C au dat următoarele răspunsuri: :A Sunt vinovaţi B şi C ; :B Este nevinovat A sau C ; :C Este vinovat A sau B . Ştiind că există un singur vinovat şi un singur răspuns este adevărat, să se deducă răspunsul adevărat şi cine este vinovatul. (Emil Constantinescu, 9987, G.M.B. 11/1969) 2.1.18. Corina, Raluca, Dragoş şi Cătălin au spart o vază. La întrebările mamei, ei au răspuns:

- Cătălin: Raluca nu e vinovată. - Raluca: Corina a spart vaza. - Dragoş: Raluca n-a spart vaza. - Corina: Dragoş minte.

Ştiind că un singur copil a spart vaza, găsiţi vinovatul, dacă: a) Un singur copil minte; b) Un singur copil spune adevărul.

(Mihaela Banyai, E:8260, G.M. 4-5/1984) 2.1.19. Ionică are de răspuns prin “da” sau “nu” la 5 întrebări. Se ştie că:

a) prima şi ultima întrebare au răspunsuri contrare; b) a doua şi a patra au acelaşi răspuns; c) sau prima, sau a doua întrebare are răspunsul “da”; d) dacă răspunsul la a patra este “da”, atunci răspunsul la a cincea este “nu”; e) la a treia întrebare, răspunsul este “da”.

Ce răspunsuri trebuie să dea Ionică pentru a obţine nota 10 ? 2.1.20. La ora de matematică au fost ascultaţi patru elevi , , ,A B C D . În recreaţie, alţi patru colegi de-ai lor au făcut următoarele afirmaţii cu privire la notele obţinute: I. A a primit nota 8, B nota 9, D nota 5; II. B a primit nota 10, D nota 6, C nota 7; III. C a primit nota 10, A nota 8, D nota 5;

IV. A a primit nota 7, B nota 10, D nota 5. Să se afle ce note au primit cei patru elevi, dacă:

a) Numai una din cele trei afirmaţii ale fiecărui coleg este adevărată; b) Numai două dintre cele trei afirmaţii ale colegilor sunt adevărate.

(Dorin Mărghidanu, 18770*, G.M. 6/1981) 2.1.21. Cinci copii afirmă următoarele adevăruri: Emil: Fratelui meu nu-i place să înveţe; Anca: Suntem trei copii acasă; Fane: Nu am fraţi; Lucia: Fratele meu e primul din clasă; Petre: Sorei mele îi place matematica; Puteţi deduce din afirmaţiile lor, care copii sunt fraţi între ei ? (Laura Constantinescu, 9170, G.M.B. 10/1968) 2.1.22. Un călător se află la o răscruce şi nu ştie încotro să se îndrepte, la stînga sau la dreapta, pentru a ajunge într-o anumită localitate. Din casa de la răscruce iese un om. Călătorul ştie că în această casă locuiesc doi fraţi(pe care însă nu-i cunoaşte), dintre care unul spune numai adevărul, iar celălalt minte tot timpul. Poate călătorul pune omului o singură întrebare aşa încît să afle în ce direcţie să pornească ? (8869, G.M.B. 5/1968) 2.1.23. Verde Împărat şi Roşu Împărat se aflau în crîncen război. Fiul lui Verde Împărat o iubea pe fata lui Roşu Împărat, ceea ce l-a mîniat pe tatăl fetei. Într-o aprigă bătălie, fiul lui Verde Împărat căzu prizonier împreună cu alţi trei oşteni. Roşu Împărat îi aşeză la o măsuţă de patru locuri şi le zise: - Iată 10 bile: 3 albe, 3 roşii şi 4 negre. Luaţi fiecare pe ascuns cîte una; dar mai întîi să te leg pe tine la ochi, zise el prinţului. Zis şi făcut. Fiecare avea cîte o bilă, ba chiar putea vedea şi bilele celor doi alăturaţi, însă nu şi pe aceea din faţă. Numai fiul lui Verde Împărat nu vedea nimic. - Acum, continuă Roşu Împărat, să-mi spuneţi fiecare ce culoare are cel din faţa voastră. Puteţi să spuneţi fie că nu ştiţi, fie o culoare, fie două. Dacă nu ştiţi, rămîneţi aici prizonieri, dacă spuneţi două culori şi una din ele e cea adevărată, vă dau libertate. Aceluia care spune una singură şi e cea adevărată I-o dau pe fata mea de soţie. Dar dacă culoarea adevărată nu e una din cele spuse de voi, atunci veţi fi spînzuraţi. Spune tu, se adresă împăratul unuia dintre oşteni. - Nu ştiu. - Dar voi, şi arătă spre ceilalţi. - Nici eu nu ştiu, zise al doilea. - Nici eu, făcu al treilea. - Acum pe tine vreau să te aud, prinţule. - Negru. Să se demonstreze că Roşu Împărat I-a dat fata de soţie fiului lui Verde Împărat , ştiind că aceşti împăraţi îşi ţineau cuvîntul. (T. Zamfirescu, 8813, G.M.B. 3/1968)

2.2 Elemente de logica predicatelor. Cuantificatori

2.2.1. Fie predicatele: ( ) :b x x este bărbat;

( ) :f x x este femeie;

( ), :c x y x este copilul lui y ;

( ), :m x y x este căsătorit cu y ;

( ) :t x x locuieşte la Timişoara;

( ) :u x x locuieşte la Bucureşti;

Să se exprime cu ajutorul acestor predicate şi al cuantificatorilor următoarele propoziţii şi predicate:

a) Fiecare om are un tată şi o mamă; b) Oricine ar un tată, are şi o mamă; c) Dacă există o femeie la Timişoara cu un frate la Bucureşti, atunci

există un bărbat la Bucureşti cu o soră la Timişoara; d) x este căsătorit; e) Toţi copiii lui x sunt căsătoriţi; f) Fiecare copil al lui x este căsătorit cu un copil al lui y ; g) Există un copil al lui y , care nu este căsătorit cu un copil al lui x .

2.2.2. Să se nege propoziţiile: a) ( ) ( ) ( )( )x p x q x∀ ∨ ;

b) ( ) ( ) ( )( )x p x q x∃ ∧ ;

c) ( ) ( ) ( )( )x p x q x∀ → ;

d) ( ) ( ) ( )( )x p x q x∃ ↔ .

2.2.3. Se dau predicatele: ( ), :p x y xy x y x y< + < − şi ( ), : 0 0q x y x y> ∧ < , unde ,x y sunt numere

reale. Să se arate că ( ) ( ), ,p x y q x y⇒ . Este adevărată şi implicaţia inversă ?

2.2.4. Fie predicatele: ( ), : 1sau 0p x y x y x+ = ≤

( ), : 1 sau 0q x y x y= =

( ), : sau 1r x y x y x y≥ − = .

Să se afle valoarea de adevăr a propoziţiei ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,x y p x y q x y r x y∃ ∃ ∧ ∧ .

2.2.5. Să se arate că oricare ar fi predicatul binar ( ),p x y avem:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,x y p x y y x p x y∃ ∀ ⇒ ∀ ∃ . Este implicaţia reciprocă adevărată ?

2.2.6. Să se arate că următoarele propoziţii sunt tautologii: a) ( ) ( ) ( ) ( )x p x x p x∀ ⇒ ∃

b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )x p x x q x x p x q x∀ ∨ ∀ ⇒ ∀ ∨

c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x p x q x x p x x q x∃ ∨ ⇔ ∃ ∨ ∃

d) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )x p x x q x x p x q x∀ ∧ ∀ ⇔ ∀ ∨

e) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x p x q x x p x x q x∃ ∧ ⇒ ∃ ∧ ∃

f) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x p x q x x p x x q x∀ → ⇒ ∀ → ∀

g) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )x p x x q x x p x q x∃ → ∃ ⇒ ∃ →

Acolo unde nu există echivalenţe, arătaţi că implicaţiile reciproce sunt false, folosind contraexemple.

2.2.7. Fie predicatul ( ), :1 , \x

p x y xy x yy

+ = ∈� � . Să se precizeze valoarea de

adevăr a propoziţiilor: a) ( )( ) ( ),x y p x y∀ ∃

b) ( ) ( ) ( ),y x p x y∀ ∃ (Rev. Arhimede, 7-8/2001)

2.3 Mulţimi 2.3.1 Incluziune. Părţi. Operaţii de bază cu mulţimi.

2.3.1. (Caracterizarea mulţimii vide). Fie M o mulţime şi predicatul ( ) :p x x x≠ .

Mulţimea ( ){ }M x M p x∅ = ∈ se numeşte partea vidă a lui M . Să se arate că:

a) M∅ nu conţine nici un element; b) M A∅ ⊂ , oricare ar fi mulţimea A ; c) M N∅ = ∅ , oricare ar fi mulţimile ,M N (unicitatea mulţimii vide). 2.3.2. Să se enumere elementele mulţimilor:

a) P ( )∅ ; P(P ( )∅ ); P(P(P ( )∅ ));

b) P { }( )1 ; P { }( )1,2 ; P { }( )1,2,3 ;

c) P(P { }( )1 ); P(P(P { }( )1 )).

2.3.3. Să se arate că: a) P ( )A ∪P ( )B ⊂P ( )A B∪ ;

b) P ( )A ∩P ( )B =P ( )A B∩ , oricare ar fi mulţimile ,A B .

2.3.4. Să se determine mulţimile A şi B care îndeplinesc simultan condiţiile: i) { }1, 2,3,4,5,6,7,8,9A B∪ =

ii) { }4,5,6,7,8B A− =

iii) { }3,9 B∩ = ∅

iv) { }1A B∩ =

2.3.5. Să se determine mulţimile A şi B ştiind că: i) { }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10A B∪ =

ii) { }1,3,9A B∩ =

iii) { } { }0,1,2, 4,5,7,9 3,6,8,10A − =

iv) { } { }2,5,9,10 1,3,5,8B − =

(Gh. Călugăriţa, 9701, G.M.B. 7/1969) 2.3.6. Să se determine mulţimile X şi Y care verifică simultan condiţiile: i) { }1, 2,3,4,5,6,7,8,9X Y∪ = ;

ii) { }4,6,9X Y∩ = ;

iii) { } { }3, 4,5 1,3, 4,5,6,8,9X ∪ = ;

iv) { } { }2, 4,8 2, 4,5,6,7,8,9Y ∪ =

(E. Georgescu-Buzău, 8926, G.M.B. 6/1968) 2.3.7. Să se determine mulţimile ,X Y şi Z care verifică simultan condiţiile:

i) { }1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11X Y Z∪ ∪ =

ii) { }2,5,7X Y∩ =

iii) { }5,9,11X Z∩ =

iv) { }3,5,8Y Z∩ =

v) { }1,4,9,11X Y− =

vi) { }2,6,7Y Z− =

vii) { }3,8,10Z X− = (M. Neacşu, 9702, G.M.B. 7/1969)

2.3.8. Să se determine mulţimea E şi părţile sale , ,M N P care îndeplinesc simultan condiţiile: i) { }, , ,EC M b e f h=

ii) { }, , ,EC N c d e h=

iii) { }, , , ,EC P a b c d f=

iv) { }M N P g∩ ∩ = (Ionel Atanasiu, 15882, G.M, 1976)

2.3.9. Să se găsească submulţimile A şi B ale mulţimii { }1, 2,3,4,5,6,7E = care

îndeplinesc simultan condiţiile: i) { }3,4,5,6,7E EC A C B∪ =

ii) { }7E EC A C B∩ =

iii) { }4A B− = . (Ilie Neacşu, 16839, G.M. 9/1977)

2.3.10. Să se determine mulţimile , ,E A B ştiind că:

i) { }2,5,9,13,18, 20EC A = ;

ii) { }2,4,18, 20EC B = ;

iii) { }1,5,6,9,13,14A B∪ = . (9334, G.M.B. 12/1968)

2.3.11. Să se determine mulţimile A şi B care îndeplinesc simultan condiţiile: i) { }1,2,3,4A B∪ ⊂

ii) { }1, 2A B∩ ⊃

iii) 3 B∉ iv) A B< , unde A desemnează numărul de elemente din mulţimea A .

2.3.12. Să se determine mulţimile nevide A şi B care îndeplinesc simultan condiţiile: i) ( ) ( ) { }1, 2,8,9,10A B B A− ∪ − = ;

ii) 6, 5A B= = , unde A desemnează numărul de elemente din mulţimea A ;

iii) ( ) { }3,5,7A A B− − = ;

iv) { }3,10 A⊄ ; { }2 B⊂ .

(Florin Tofan, 9473, G.M.B. 3/1969) 2.3.13. Să se determine mulţimile X şi Y , ştiind că satisfac simultan condiţiile: i) { }1, 2, 3, 4, 5, 6X Y∪ = ;

ii) { }1, 2, 3, 4X Y∩ = ;

iii) { }4, 6 X⊄ ;

iv) { }5, 6 Y X⊄ − .

(E. Georgescu-Buzău, Olimpiadă naţională, 1968; 9059, G.M.B. 8/1968) 2.3.14. Fie { },E a b= o mulţime cu două elemente. Să se determine submulţimile

,X Y E⊂ care verifică ecuaţiile: a) X Y E∪ = b) X Y∩ = ∅ 2.3.15. Fie { }1,2,3, ,E n= … , unde 2n ≥ .

a) Să se arate că există 3n perechi ( ),A B de submulţimi ale lui E astfel încît

A B E∪ = ; b) Să se arate că există 7n triplete ( ), ,A B C de submulţimi ale lui E astfel încît

A B C E∪ ∪ = . (E. Georgescu-Buzău, 9137, G.M.B. 9/1968)

c) Generalizare: Să se arate că ecuaţia ( )1 2 2kX X X E k∪ ∪ ∪ = ≥… are

( )2 1n

k − soluţii ( )1 2, , , kX X X… distincte.

(E. Georgescu-Buzău, 9233, G.M.B. 10/1968) 2.3.16. Mulţimile ,A B şi C au respectiv ,x y şi z elemente, unde x y z< < . Se ştie

că { } { }, ,A B a B C b A C∩ = ∩ = ∩ = ∅ şi că a b≠ . În plus, suma numerelor

părţilor mulţimilor ,A B şi C este egală cu 2336. a) Cîte elemente are fiecare mulţime ? b) Cîte elemente are A B∪ ? c) Cîte elemente are A B C∪ ∪ ? d) Cîte părţi are mulţimea A B C∪ ∪ ?

(Ilie Stănescu, 9279, G.M.B. 11/1968) 2.3.17. Se cunosc ,A B n A B p∪ = ∩ = şi A B q− = , unde X reprezintă

numărul de elemente al mulţimii X . Să se determine A şi B .

(Ilie Stănescu, 9884, G.M.B. 9/1969) 2.3.18. Dacă A şi B sunt mulţimi disjuncte şi 8, 15A B A B∪ = × = , să se afle A

şi B . (Ilie Stănescu, 10053, G.M.B. 12/1969)

2.3.19. Dacă , ,A B C sunt trei mulţimi nevide astfel încît A B A C∪ = ∪ şi A B A C∩ = ∩ , să se arate că B C= . (I.V. Maftei, 9476, G.M.B. 3/1969) 2.3.20. Dacă A B B C C A∪ = ∪ = ∪ , rezultă că A B C= = ? 2.3.21. Fie E o mulţime nevidă şi , ,A B C E⊂ astfel încît A B B C C A E∪ = ∪ = ∪ = . Să se demonstreze că: a) A B∩ ≠ ∅ ; b) Dacă A B C∩ ∩ = ∅ , atunci fiecare din mulţimile , ,A B C are cel puţin două elemente. (Dorel Miheţ, 18816, G.M. 7/1981) 2.3.22. Fie , ,A B C trei mulţimi şi propoziţiile:

( ) ( )( ): , ,p B C A A B C B A B C A∩ = ∪ ∩ = ∩ ∪ =

( ):q A B C= = . Să se arate că p q⇒ .

(Ion Nănuţi, Valeriu Drulă, 19452, G.M. 11/1982) 2.3.23. Fie , ,A B C trei mulţimi care verifică relaţiile: A B A C− = ∩ şi B A B C− = ∩ . Să se arate că: a) ( ) ( )A B A C− ∩ − = ∅ ;

b) ( ) ( )A B A C A− ∪ − = ;

c) A B C∩ ∩ = ∅ . (9208, G.M.B. 10/1968) 2.3.24. Fie mulţimile ,A B E⊂ .

a) Să se demonstreze echivalenţa: A B A B E⊂ ⇔ ∪ = . (D.N. Enăchescu, 9268, G.M.B. 11/1968)

b) Să se arate că dacă A B A B A B A B E∆ = ∩ ⇔ ⊆ ⇔ ∪ = . (Doru Ştefănescu, 9442, G.M.B. 2/1969)

2.3.25. Fie mulţimile , ,A B C E⊂ cu proprietatea că intersecţiile ,A B B C∩ ∩ şi C A∩ sunt nevide şi disjuncte două cîte două. Să se arate că ( ) ( )E E E EC A C B C A C C E∪ ∩ ∪ = şi alte două relaţii analoge.

(E. Onofraş, 9380, G.M.B. 1/1969) 2.3.26. Fie mulţimile , , ,A B C D .

a) Dacă , ,A B C D A B D C A C D B∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ = şi B C D A∪ ∪ = , să se arate că A B C D= = = .

b) Să se arate că există mulţimi, toate diferite între ele, astfel încît A B C A B D A C D B C D∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ .

(Valentina Roman, 20786, G.M. 6/1986) 2.3.27. Să se arate că oricare ar fi mulţimile , , , ,A B C D E avem:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C A D B C B D∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ;

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

A B C D E A D A E B D B E

C D C E

∪ ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

∪ ∩ ∪ ∩

(9335, G.M.B. 12/1968) 2.3.28. Fie M o mulţime nevidă şi 1 2 3 4, , ,X X X X submulţimi ale sale. Să se arate că dacă: i) 1 2 3 4X X X X∪ = ∪ ; ii) 1 2 3 4X X X X∩ = ∩ ;

iii) 1 3 2 4X X X X∪ = ∪ ; iv) 1 3 2 4X X X X∩ = ∩ ,

atunci 1 4X X= şi 2 3X X= . (Andrei Gămulea)

2.3.29. Se dau mulţimile 1 2 3, ,A A A . Pentru 4n ≥ , definim ( )1 2 3n n n nA A A A− − −= ∩ ∪ .

Să se determine mulţimea 2005A .

2.3.30. Fie mulţimile , ,A B C ∈P ( )T . Să se demonstreze egalităţile:

a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B B C A B C B C A B A C B C∪ − ∩ = − ∩ ∪ − = − ∪ − ∪ − ;

b) ( ) ( )( ) ( ) ( )A A C A B A B A C− ∩ − ∩ = − ∪ − .

(M. Ispas, 16858, G.M. 9/1977) 2.3.31. Dacă A B C T∪ ∪ ⊂ , să se arate că:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

A B C A B C B C A C A B

A B C C B B C A A C C A B B A

∩ ∩ ∪ − ∪ ∪ − ∪ ∪ − ∪ =

= − − − − ∪ − − − − ∪ − − − −

(Mihaela Chelariu, 18931, G.M. 10/1981) 2.3.32. (Proprietăţile funcţiei caracteristice). Funcţia caracteristică a mulţimii

A T⊂ se defineşte după cum urmează: { } ( )1, daca

: 0,1 ,0, daca \

a a

x AT x

x T Aϕ ϕ

∈→ =

∈.

Să se arate că: a) A BA B ϕ ϕ= ⇔ = ; b) A B A Bϕ ϕ ϕ∩ = ⋅ ; c) 1

TC A Aϕ ϕ= − ;

d) \A B A A Bϕ ϕ ϕ ϕ= − ⋅ ;

e) A B A B A Bϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∪ = + − ⋅ ; f) A B A BA B ϕ ϕ ϕ∪∩ = ∅ ⇔ = + ; 2.3.33. (Proprietăţile diferenţei simetrice) Date fiind mulţimile ,A B , se notează:

( ) ( )A B A B B A∆ = − ∪ − diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B . Să se arate că:

a) ( ) ( )A B C A B C∆ ∆ = ∆ ∆ (asociativitate)

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∆ = ∩ ∆ ∩ (distributivitatea intersecţiei faţă de diferenţa

simetrică); c) A B B A∆ = ∆ (comutativitate) d) A A A∆∅ = ∅∆ = (element neutru) e) A A∆ = ∅ (niloptenţă) f) Fiind date mulţimile A şi B , să se găsească mulţimea X care verifică ecuaţia A X B∆ = . g) Să se arate că funcţia caracteristică a mulţimii A B∆ este

( )2

A B A B A Bϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∆ = − = −

2.3.34. Se consideră mulţimile { } { } { }1,2,3 , 2,3, 4 , 3,4,5A B C= = = . Să se

determine mulţimile X şi Y ştiind că A X B∆ = şi X Y C∆ = . (C. Gîdea, 16592, G.M. 4/1977) 2.3.35. Fie E o mulţime nevidă şi ,A B părţi ale sale. Să se determine

submulţimea X E⊂ cu proprietatea ( )A X B∆ ∩ = ∅ .

(N. Teodorescu, 9403, G.M.B. 1/1969, enunţ parţial) 2.3.36. Fiind date mulţimile finite nevide A şi B , să se arate că există mulţimea X cu proprietăţile: i) X A B⊂ ∪ ; ii) X A B∩ ∩ = ∅ ; iii) X are mai multe elemente decît A B∆ . (9730, G.M.B. 7/1969) 2.3.37. Să se arate că oricare ar fi mulţimile finite 1 2, , , , 2nM M M n ≥… , avem:

1 1 2 2 3 1n n nM M M M M M M M−∆ ≤ ∆ + ∆ + + ∆… , unde A reprezintă

numărul de elemente al mulţimii A . (Emil Petrescu, 20770, G.M. 5/1986) 2.3.38. Fie M o mulţime nevidă şi A M⊂ o parte nevidă fixată a sa. Notăm cu M mulţimea părţilor lui M care includ pe A . Să se demonstreze că:

a) Dacă E ∈M şi F M⊂ , astfel încît E F⊂ , atunci în mod necesar F ∈M;

b) Dacă ,E F ∈M, atunci E F∪ ∈M şi E F∩ ∈M;

c) Dacă ,E F ∈M, atunci E F− ∉M şi E F∆ ∉M. (Dorin Marghidanu, 17005, G.M. 1/1978)

2.3.39. (Proprietăţile produsului cartezian) Să se arate că produsul cartezian are următoarele proprietăţi: a) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D⊂ ∧ ⊂ ⇔ × ⊂ × ;

b) ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ × = × ∪ × ; ( ) ( ) ( )C A B C A C B× ∪ = × ∪ × ;

c) ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ × = × ∩ × ; ( ) ( ) ( )C A B C A C B× ∩ = × ∩ × ;

d) ( ) ( ) ( )\ \A B C A C B C× = × × ; ( ) ( ) ( )\ \C A B C A C B× = × × .

2.3.40. Dacă B A⊂ , atunci: a) ( )( ) ( )A B A B B B B× = − × ∪ × ;

b) ( ) ( )( )B A B B B A B× = × ∪ × − .

(Ilie Stănescu, 9500, G.M.B. 3/1969) 2.3.41. Fiind date mulţimile , ,M N P cu N P⊂ , să se arate că are loc relaţia:

( ) ( ) PM PC M N M C N

×× = × .

(C. Băluţă, 9156, G.M.B. 9/1968) 2.3.42. Se dau mulţimile { }1,2,3, ,A x y= şi { }5,6, , ,B x z= . Să se determine

numerele ,x y şi z ştiind că { } { }4,5 2, 4 A B× ⊂ × .

2.3.43. Să se determine mulţimile nevide A ∗⊂ � cu proprietăţile: i) A are cel mult cinci elemente;

ii) 1

x A Ax

∈ ⇒ ∈ şi 1 x A− ∈ .

(Marcel Ţena, Concursul anual G.M, 1982) 2.3.44. Să se determine toate mulţimile finite X ⊂ � cu proprietatea că

( ) ( )x X x x X∀ ∈ ⇒ + ∈ . (Dorel Miheţ, 19453*, G.M. 11/1982)

2.3.45. Să se determine toate mulţimile finite A ⊂ � care au proprietatea că

( ) ( )2, 1x A x x A∀ ∈ − + ∈ . (Dan Comănescu, 20928, G.M. 11-12/1986)

2.3.46. Fie numerele naturale 1 2 nr r r< < < <… …şi a ∈� fixat. Pentru orice

, 1k k∈ ≥� , definim mulţimea { }1, 2,k kA a r m m= + = … . Dovediţi că nu există un

element comun tuturor mulţimilor , 1kA k ≥ .

2.3.47. Fie mulţimile ,X Y astfel încît { }1 2, , , nX Y a a a∪ = … şi

{ }1 2, , , kX Y a a a∩ = … , unde k n< . Să se arate că dacă { } ( ), , ,p qa a X Y p q⊄ − ∀

cu ,k p q n< ≤ şi { } ( ), , ,i ja a Y X i j⊄ − ∀ cu ,k i j n< ≤ , atunci 2n k= + .

(Ştefan Olariu, 9502, G.M.B. 3/1969)

2.3.48. Mulţimile kA ∈P ( ) , 1,M k n= verifică relaţia ( )1

1 1

\n n

k k k

k k

A A A+

= =

=∪ ∪ , unde prin

convenţie 1 1nA A+ = . Să se arate că relaţia este echivalentă cu 1

n

k

k

A=

= ∅∩ .

2.3.49. Să se verifice identitatea:

( ), 1 1 1

n n n

i j j

i j i ji j j i

A A A= = =

< ≠

∪ =

∩ ∪ ∩

(Marin Vlada, 17148*, G.M. 4/1978) 2.3.2 Determinarea unor tipuri particulare de mulţimi

2.3.2.1 Divizorii unui număr întreg. Mulţimi de forma ( )( )

,P n

x x nQ n

∈ = ∈

� �

2.3.50. Fie , 1a a∗∈ ≠� şi ( ) { } divide pe D a x x a= ∈� mulţimea divizorilor

numărului a . Să se arate că: a) ( )D a are cel puţin două elemente, ( ) , 1a a

∗∀ ∈ ≠� .

b) Pentru ce numere , 1a a∗∈ ≠� , mulţimea ( )D a are exact două elemente?

c) Pentru ce numere , 1a a∗∈ ≠� , mulţimea ( )D a are exact patru elemente?

d) Determinaţi mulţimile ( ) ( ) ( ) ( )160 , 120 , 432 , 576D D D D .

2.3.51. Să se determine mulţimea ( ) ( ){ }, 2160 si , 12A a b ab a b= ∈ × = =� � , unde

am notat ( ),m n cel mai mare divizor comun al numerelor naturale m şi n .

2.3.52. Să se determine mulţimea ( ) ( ){ }, 60 şi , 6A x y x y x y= ∈ × + = =� � , unde

( ),m n reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor naturale m şi n .

(M. Drulea, 9990, G.M.B. 11/1969) 2.3.53. Suma a două numere naturale este 185, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 800. Să se afle cele două numere. (E:2259, G.M.B. 1/1965) 2.3.54. Dacă n este un număr natural cu un număr impar de divizori, să se arate că n ∈� . (Vasile Trif, Olmpiadă locală, Bistriţa, 2002) 2.3.55. Să se determine mulţimile:

a) ( ){ }2 2, 135x y x y∈ × − =� �

b) ( ) ( ){ }22, 9 1 32x y y x∈ × − + =� �

c)* ( ){ }2 2, 1972x y x y∈ × − =� �

2.3.56. a) Să se rezolve în ×� � ecuaţia x y mxy+ = , unde m este un număr natural dat. (Liviu Pîrşan, 20001*, G.M. 2/1984) b) Să se rezolve în ×� � ecuaţia ( )1985 1984x y xy+ = .

(Nicolae Papacu, 20313, G.M. 1/1985)

2.3.57. Să se determine mulţimea ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }, 2 5 2 1 2 5x y x y x y∈ × + + − + + =� �

(C. Cărbunaru, E:5874, G.M. 5/1977)

2.3.58. a) Să se determine mulţimea ( ){ }2 2, 2 5 2 17M x y x xy y= ∈ × − + =� �

(O. Nanu, 3238, G.M.F.B, 1958)

b) Să se determine mulţimea ( ){ }2 2, 15 11 2 19A x y x xy y= ∈ × − + − =� �

(Constantin Coandă, E:8429*, G.M. 11/1984) e) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia 2 22 5 3 21 0x xy y+ + − = .

(Gh. Boja, E:8595, G.M. 6/1985) 2.3.59. Fie p un număr natural prim dat. Să se determine mulţimea:

( ) ( ) ( ){ }, 3x y x y x y p∈ × + + =� �

(Aurelian Petică, 6567, G.M.B. 10/1964) 2.3.60. Se dau mulţimile:

{ }22 300,A x x n n= = − ∈� şi { }22 100,B x x n n= = − ∈� . Să se determine

mulţimea A B∩ . (Aurel Doboşan, 3800, R.M.E.T. 1-2/1979)

2.3.61. a) Să se determine mulţimea ( )1 1 1

,6

x yx y

∗ ∗

∈ × + =

� � .

b) Se consideră mulţimea ( )1 1 1 1

,2

A x yx y x y

∗ ∗

= ∈ × + + = +

� � . Să se afle

mulţimea ( ), ,x

B z z x y Ay

= ∈ = ∈ � .

(Gh. Marghescu, 18450*, G.M. 10/1980)

2.3.62. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia 1 1 1

3 3 12x y+ =

− −.

(Nicolae Grindeanu, E:7713*, G.M. 8/1982) 2.3.63. Să se determine mulţimile:

a) ( ) ( )3 1 1 1 4

, , şi 5

x y z x y zx y z

∗

∈ ≤ ≤ + + =

�

(Olimpiadă judeţeană, 1988)

b) ( ) ( )3 1 1 1 3

, ,5

x y zx y z

∗

∈ + + =

�

b) ( ) ( )3 1 1 1 11

, ,12

x y zx y z

∗

∈ + + =

� (G.M, 1991)

2.3.64. Să se determine mulţimea ( ){ }, 5 2 3 18 0A x y xy x y= ∈ × − − − =� �

(V. Groza, 16769, G.M. 8/1977)

2.3.65. Să se determine mulţimea ( ){ }, 1960x y x y∈ × + =� � .

(Olimpiadă, U.R.S.S, 1966, 8396, G.M.B. 8/1967)

2.3.66. Să se rezolve în numere naturale ecuaţia 1 1 1

20x y+ = .

(M. Neacşu, 20394*, G.M. 4/1985) 2.3.67. Să se determine mulţimile:

a) 22 3 1

3 2

x xA x

x

+ + = ∈ ∈

+ � �

b) 26 7

,3 1

nB x x n

n

+ = ∈ = ∈

+ � �

c) 24 17

2 1

xC x

x

+ = ∈ ∈

+ � � (Nicuşor Fota, E:8863, G.M. 5/1986)

d) 3 3 2

2 1

x xD x

x

− + = ∈ ∈

+ � � (Matematică, 1984)

e) ( )2

2

3 6 1,

1

n nE x n x

n

+ + = ∈ ∃ ∈ =

+ � �

f) 3 27 9 1

2

x x xF x

x

+ − + = ∈ ∈

− � � (Olimpiadă regională, 1964)

2.3.68. Să se determine mulţimile:

a) ( ){ }2, 62A x y x xy y= ∈ × − − =� �

(Traian Vadi, E:8406*, G.M. 10/1984)

b) ( ){ }2, 3 5 1B x y xy x y= ∈ × + = −� �

(C.T. Nedelcu, E:8958, G.M. 9/1986) 2.3.69. a) Să se găsească toate numerele întregi n cu proprietatea

( ) ( )21 | 2n n+ + . (Matematică, 1982)

b) Să se determine valorile lui k ∈� astfel încît 2 2k k+ − să fie divizibil cu 2 1k + . (C. Hărăbor, I. Diaconu, Olimpiadă naţională, 1985) 2.3.70. a) Să se rezolve în numere întregi ecuaţia 2 1984x xy y+ − = . (Artur Bălăucă, E:7877*, G.M. 1/1983)

b) Să se determine mulţimea ( ){ }2, 2 2 0x y x xy y∈ × − + =� � .

(Ion Solomon, 19853, G.M. 9/1983) 2.3.71. Să se determine mulţimea:

{ }2 2

\ 2, 32 3

x xA x

x x

= ∈ − − + ∈

+ + � � . Pentru ce valori reale ale lui x are

loc relaţia 2 2

212 3

x x

x x+ = −

+ + ?

(Sorin şi Ion Ghica, E:7779, G.M. 2-3/1982)

2.3.72. Fie 28 10 12

2 3

n nA n

n

+ += ∈ ∈

+ � � şi { }, , , ,E x y z u v= , unde numerele

, , , ,x y z u v sunt distincte şi îndeplinesc condiţia:

{ } { } { } { } { }{ }, , , , , , , , , , , , , , ,x y a y z b u c d z u e x y d e ⊂P ( )E . Să se determine

numerele naturale a b c d e< < < < astfel încît { }\A E x∗∩ =� .

(Octavian Marinescu-Ghemeci, 17287, G.M. 7/1978)

2.3.73. Fie ( ) ( )3 2

2

3 4 3

4

k k kA k

k k

− − − = ∈ ∈

−

� � şi ( ) ( )3 2

2

3 4 3

4

k k kB k A

k k

− − − = ∈

−

.

Să se determine mulţimea ( ) 2, max min max minx A x A y B y B

C a b a x b x b y a y∈ ∈ ∈ ∈

= ∈ − = −

� .

(Octavian Marinescu-Ghemeci, 17136*, G.M. 4/1978) 2.3.74. Să se determine mulţimea:

( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 1 3A x y x y xy x y xy x= ∈ × − − + = − −� �

(Miodrag Iovanov, 18572, G.M. 1/1981) 2.3.75. Să se determine toate numerele naturale ,x y care verifică ecuaţia:

( ) ( )2 22 9x x y x+ + = + (Zamfir Blaga, 20766, G.M. 5/1986)

2.3.76. Fie ,a b ∗∈� şi , 2n n∈ ≥� . Să se arate că există x∗∈� astfel încît

nab x

a b x

∗+∈

+ +� . (Laurenţiu Panaitopol, O.G:35, G.M. 11-12/1986)

2.3.77. a) Fie mulţimile 10

2

3

2

xA x

x

+ = ∈ ∈ � � şi

10

2

2

3

xB x

x

+ = ∈ ∈ � � . Să se

arate că A B= . (I.V. Maftei, S. Rădulescu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1978)

b) Fiind date mulţimile 1986

5

2 5

7

xA x

x

+ = ∈ ∈ � � şi

1986

7

3 7

10

xB x

x

+ = ∈ ∈ � � , să

se arate că A B= . (D.M. Bătineţu-Giurgiu, I.V. Maftei, Olimpiadă locală, Giurgiu, 1986) 2.3.78. Determinaţi toate elementele mulţimii:

100 50 2

2

3 2 5 15

25

x x xx

x

+ + + ∈ ∈

� �

(C. Stoica, 19901, G.M. 10-11/1983)

2.3.79. Fie mulţimea 2

2

1, 1,100

2 1

nA x x n

n n

+ = ∈ = =

+ + � . Cîte elemente are A ?

2.3.80. Să se afle cardinalul mulţimii 2

2

5, 1,1000

4

nM x x n

n n

+ = ∈ = =

+ + �

(Aurel Doboşan, 16681, G.M. 6/1977) 2.3.81. Să se determine numărul elementelor mulţimii:

2

2

1936, , 1,1978

1936

n anA x x a n

n

∗ + +

= ∈ = ∈ = +

� �

(Sorin Ghiţulescu, 17001, G.M. 1/1978) 2.3.82. Să se afle numărul elementelor mulţimii:

( ) ( )

, , 456 5

zA x x z z

z z

= ∈ = ∈ ≤

+ + � �

(D. Acu, 17648, G.M. 3/1979) 2.3.83. Să se determine cardinalele mulţimilor:

24

, 1,1001

nA x x n

n

= ∈ = =

+ � şi

2

2

4, 1,100

1

n nB y y n

n

− + = ∈ = =

+ �

(Silviu Stössel) 2.3.84. Fie ,a b ∈� astfel încît 2 2

a b≠ şi , 2k k∈ ≥� . Se dau mulţimile:

( )( )

2

2

2, 1,2, ,

2

an a b n bA x x n k

bn a b n a

− + + = ∈ = =

− + + � … şi

( )( )

2

2

2, 1,2, ,

2

bn a b n aB x x n k

an a b n b

− + + = ∈ = =

− + + � …

Să se determine numărul de elemente al mulţimii A B∪ . (I. Ursu, 20731, G.M. 4/1986)

2.3.85. Să se determine mulţimea ( )2 2

, 1x y

x yx y

+ ∈ × =

+ � �

(Primăvara Pociump, 17319, G.M. 8/1978) 2.3.2.2 Ecuaţii diofantice de tipul , , ,ax by c a b c+ = ∈�

2.3.86. Fie mulţimile: { } { } { }2 , 3 , 5A x x B x x C x x= ∈ = ∈ = ∈� � � � � �

Să se definească mulţimea A B C∩ ∩ .

2.3.87. Fie mulţimile ( ){ }, 3 1A x n x n= ∃ ∈ = +� şi ( ){ }, 7 1B x m x m= ∃ ∈ = −� . Să

se arate că ( ){ }, 21 13A B x t x t∩ = ∃ ∈ = +� .

2.3.88. Să se determine mulţimea ( ){ }, 7 2 3x y x y∈ × + =� � .

2.3.89. Se consideră mulţimile { } { }6 7, , 114 7 ,A x x n n B x x m m= = + ∈ = = − ∈� � ,

{ } { }3 28, , 107 14 ,C x x p p D x x q q= = + ∈ = = − ∈� � . Să se arate că

A B C D∩ = ∩ . 2.3.90. a) Se dau mulţimile: { }3 2,A x x n n= = − ∈�

{ }1003 2 ,B x x m m= = − ∈�

{ }6 1, , 166C x x p p p= = + ∈ ≤� .

Să se demonstreze că A B C∩ = . (9699, G.M.B. 7/1969) b) Aceeaşi cerinţă pentru mulţimile: { }3 1,A x x m m= ∈ = + ∈� �

{ }405 7 , , 57B x x n n n= ∈ = − ∈ ≤� �

{ }391 21 , , 18C x x p p p= ∈ = − ∈ ≤� �

(Concurs treapta a II-a, Sibiu, 1976)

2.3.91. Se dau mulţimile 1

,4

A x x a a

= = + ∈

� şi ( )1

1 ,4 2

b bB y y b

= = − ⋅ + ∈

� .

Să se arate că A B= . (Augustin Coţa, Olimpiadă locală, Cluj, 1977) 2.3.92. Se dau mulţimile de numere naturale: { }17 6 , 18A k k k= − ∈ ≤� şi { }317 17 , 18B k k k= − ∈ ≤� .

Să se arate că A B= . (Ion Buzatu, 16998, G.M. 1/1978) 2.3.93. a) Cîte elemente au mulţimile ( ){ }, 3 1980A x y x y= ∈ × + =� � , respectiv

( ){ }, 4 3 1980B x y x y= ∈ × + =� � ?

b) Aceeaşi problemă pentru ( ){ }, 2 3 763M x y x y= ∈ × + =� � .

(8007, G.M.B. 2/1967) 2.3.94. Se consideră mulţimile: { }2 1A x x= + ∈� , { }3 2B y y= + ∈� ,

{ }5 4C z z= + ∈� . Determinaţi o mulţime infinită D astfel încît D A B C⊂ ∩ ∩ .

(Liviu Pîrşan, 20312, G.M. 1/1985) 2.3.95. Fie { }5 2 , ,A x x m n m n= ∈ = + ∈� � .

a) Să se determine { }37, 49,50,58,59A∩ ;

b) Să se afle mulţimea A . (C. Ionescu-Ţiu, 9337, G.M.B. 12/1968)

2.3.96. Fie ( ) ( ){ }, 2 5 11A x y x y= ∈ × +� � � şi ( ) ( ){ }, 3 2 11B x y x y= ∈ × +� � � . Să

se arate că A B= . (Dan Lascu, 18854, G.M. 8/1981)

2.3.97. Se dau mulţimile:

11,

12 3

kA x x k

π π = ∈ = − ∈ � � , 2 2,

4B x x k k

ππ

= ∈ = − ∈ � �

33,

4 2

kC x x k

ππ = ∈ = + ∈ � � , 4 4,

12D x x k k

ππ

= ∈ = + ∈ � �

5 5

5,

12E x x k k

ππ

= ∈ = + ∈ � �

Să se demonstreze că A B C D E∪ = ∪ ∪ şi să se reprezinte apoi pe cercul trigonometric cele cinci mulţimi. (Nazarie Matei, 9481, G.M.B. 3/1969) 2.3.98. Să se găsească numerele naturale n care nu se reprezintă în mod unic sub forma ( )2 3 , ,n p q p q= + ∈� .

(Eden Kessler, 19054, G.M. 1/1982) 2.3.99. a) Să se demonstreze că oricare ar fi n ∈� , numărul 25 1n + nu poate fi produsul a două numere întregi consecutive. b) Să se arate că există o inifinitate de numere n ∈�pentru care 25 2n + poate fi scris ca produs de două numere întregi consecutive. (Marcel Chiriţă, 20926*, G.M. 11-12/1986)

2.4 Principiul inducţiei matematice 2.4.1 Calcule iterate: sume, produse. 2.4.1. Să se demonstreze prin metoda inducţiei complete următoarele egalităţi, unde n

∗∈� :

a) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 11 2 3

6

n n nn

+ ++ + + + =…

b) ( )

22

3 3 3 31

1 2 34

n nn

++ + + + =…

c) ( )( )2

22 2 24 1

1 3 5 2 13

n nn

−+ + + + − =…

d) ( )( ) ( )1 2

1 2 2 3 13

n n nn n

+ +⋅ + ⋅ + + + =…

2.4.2. Aceeaşi cerinţă pentru egalităţile de mai jos, n∗∈� :

a) ( ) ( )( )1 12 2 2 2 2

11 2 3 4 1 1

2

n n n nn

− − +− + − + + − = −…

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 2 21 6 3 8

1 2 3 4 5 6 3 1 3 2 3 32

n n nn n n

+ + −+ − + + − + + + + + − + =…

(Liviu Petre, 8907, G.M.B. 5/1968)

c) ( ) ( )( )2

1 13 3 3 3 3 2 2 3 1 11 2 3 4 1 1

8 8

n n n nn

− − + −− + − + + − = − ⋅ −…

(V. Chiriac, 19227, G.M. 5/1982)

d) ( ) ( )( ) ( )2

1 14 4 4 4 41 1

1 2 3 4 1 12

n n n n n nn

− − + + −− + − + + − = −…

(I. Tomescu, Olimpiadă judeţeană, 1982) 2.4.3. Aceeaşi problemă pentru:

a) ( )( )

1 1 1

1 5 5 9 4 3 4 1 4 1

n

n n n+ + + =

⋅ ⋅ − + +…

b) ( )( )

( )( )

2 2 2 31 1 2 1 1

1 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1

n nn

n n n

++ + ++ + + =

⋅ ⋅ − + +…

(H. Dăscălescu, 8906, G.M.B. 5/1968)

c) ( ) ( )( )

( )( )( )

11 2

1 3 5 3 5 7 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3

n nn

n n n n n

++ + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + + + +…

2.4.4. Ţinînd seama de rezultatele cunoscute pentru 1

, 1,2,3n

p

k

k p=

=∑ , evaluaţi

sumele:

a) ( ) ( )1

1 2n

k

k k k=

+ +∑

b) ( )2

1

3 5 2n

k

k k=

− +∑

c) ( )3

2

1n

k

k=

−∑

d) ( ) ( ) ( )( )2 1 3 1 2 4 1 2 3 1 2 1n n⋅ + + + + + + + + + + −… …

(Aurel Doboşan, 17659, G.M. 3/1979) e) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3 1 2n n+ + + + + + + + + +… … (A.S.E, 1987)

f) ( )21 1 2 3 3 7 4 13 5 21 6 31 1n n n⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − +…

(Ştefan Tache, 19460, G.M. 11/1982)

2.4.5. Fie n∗∈� . Calculaţi valoarea expresiei

( )

( )

2

1

1

3 1

2 1

n

kn n

k

k k

E

k

=

=

− +

=

+

∑

∑.

(C. Popovici, 8281, G.M.B. 6/1967, enunţ modificat) 2.4.6. Fie ,n p ∗∈� . Să se calculeze suma:

( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1S p p p n p n= ⋅ + + + + + + + −… şi apoi să se demonstreze

rezultatul găsit prin inducţie după n . (Al. Leonte, 6144, G.M.B. 1/1964, enunţ modificat) 2.4.7. Fie k ∈� fixat. Să se calculeze suma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2nS k k k n n= + ⋅ + + + + + + + + +… … .

(Victoria Găman, 19397, G.M. 9-10/1982) 2.4.8. a) Să se demonstreze egalitatea:

( ) ( ) ( )( )( )2

1

3 1 5 81 2 2 3 3 6

2

n

k

n n n nk k k n

=

+ + ++ + + = +∑ , unde n

∗∈� .

b) Generalizare: calculaţi ( )( ) ( )1

n

k

ak b ck d ek f=

+ + +∑ , unde , , , , ,a b c d e f ∈� şi

0ace ≠ . (Ilie Mihalache, 8908, G.M.B. 5/1968) 2.4.9. Să se arate că:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

22 2 2 21 2

1 2 1 3 2 1 2 112

n n nS n n n n n

+ += ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + + − ⋅ + ⋅ =…

a) direct; b) prin inducţie completă. (7333, G.M.B. 1/1966)

2.4.10. Să se determine numărul natural nenul n , ştiind că suma primelor n numere naturale este un număr format din:

a) două cifre egale; (Aurel Doboşan, 16923, G.M. 11/1977) b) trei cifre egale. (T. Roman, 3650, G.M.F.B. 5/1959)

2.4.11. Să se găsească numerele naturale a şi ,b a b< , ştiind că suma tuturor numerelor naturale mai mari ca a şi mai mici ca b este 1000. (Olimpiadă, Cehia, 1967; 8875, G.M.B. 5/1968)

2.4.12. Să se găsească numărul natural n , ştiind că ( )2

1

3 2 335n

k

k=

− =∑ .

(Viorica Mureşan, 16791, G.M. 8/1977) 2.4.13. Să se afle n

∗∈� pentru care avem egalitatea: ( )27 19 37 3 3 1 10303n n n+ + + + + + =… .

(Gh. Marghescu, 17519, G.M. 11/1978) 2.4.14. a) Să se stabilească egalitatea: ( ) ( ) ( ) ( )218 78 204 1 4 1 1 1n n n n n n+ + + + − + = + −…

b) Să se verifice acest rezultat prin inducţie completă. (E. Huniar, 7482, G.M.B. 4/1966) 2.4.15. Se dă polinomul ( ) 3 2

0 1 2 3P X a X a X a X a= + + + . Să se determine

coeficienţii 0 1 2 3, , ,a a a a astfel încît să avem ( ) 4

1

n

k

P k n=

=∑ , oricare ar fi numărul

natural n . Să se verifice formula obţinută prin metoda inducţiei matematice. (Ilie Stănescu, Olimpiadă regională, 1964, 6362, G.M.B. 6/1964) 2.4.16. Să se arate, folosind metoda inducţiei matematice, că:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 2 2 21 7 13 19 1 6 5 1 6 3 2 5

n nn n n ε

− −− + − + + − ⋅ − = − ⋅ − +… ,

unde 0, par

1, impar

n

nε

=

−. (Liviu Pîrşan, 9808, G.M.B. 8/1969)

2.4.17. Să se rezolve sistemul:

{ }

( )( )1

, , 1,2, , ,

1 2 1

6

ji

n

i

i

xxi j n i j

i j

n n ni x

=

= ∈ ≠

+ + ⋅ =∑

…

(Ionel Gh. Tudor, 19179, G.M. 4/1982)

2.4.18. Să se arate că pentru orice , 2n n∈ ≥� , există egalitatea:

( ) ( ) ( )1

1 1

1 1 3 2

24

n n

k i k

n n n nk i

−

= = +

− + + ⋅ =

∑ ∑

(Nicolae Tănase, 20042, G.M. 3/1984) 2.4.19. Folosind descompunerea în fracţii simple, să se calculeze sumele:

a) ( ) ( )1

1

1 2

n

k k k k= + +∑

b) 2

1

1

9 3 2

n

k k k= − −∑

c) ( ) ( ) ( )1

1

2 1 2 1 2 3

n

k k k k= − + +∑

d) 2

1 4 1

n

k

k

k= −∑

e) 4

1

4

4 1

n

k

k

k= +∑

f) ( )

221

2 1

1

n

k

k

k k=

+

+∑

g) ( )( )

2

1

1

2

n

k

k

k k=

+

+∑ (I. Şiclovan, 9181, G.M.B. 10/1968)

h) 2

21

2 2 1n

k

k k

k k=

+ +

+∑ (Mircea Lazăr, 17831, G.M. 7/1979)

2.4.20. a) Calculaţi suma ( )2 1

21

2n

k

S nk k

−

=

=+

∑ .

b) Să se arate că ( )S n nu poate fi număr întreg, oricare ar fi numărul natural

2n ≥ . c) Să se arate că ( ) ( )1 2, 1S n n≤ < ∀ ≥ .

d) Să se găsească mulţimea numerelor naturale n pentru care ( )S n este pătrat

perfect. e) Să se arate că ( )S n este o fracţie ireductibilă, oricare ar fi 2n ≥ .

(C.C. Nistorescu, 16068, G.M. 9/1976)

2.4.21. Fie suma 1

n

n k

k

S a=

=∑ , unde ( ) ( )

6

1 3ka

k k k=

+ +

a) Să se arate că 2 3 1

1 3ka

k k k= − +

+ +

b) Să se calculeze suma nS şi să se arate că ( )7

,6

nS n∗< ∀ ∈� .

2.4.22. Se dă suma:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2

7 17 27 10 3

1 6 6 11 11 16 5 4 5 1n

nS

n n

−= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ − −…

Să se arate că:

a) ( )

( )2

5 2

5 1n

n nS

n

+=

+ b)

1

5nS < , oricare ar fi n

∗∈� .

(Liviu Pîrşan, 8929, G.M.B. 6/1968) 2.4.23. Să se arate că, oricare ar fi n

∗∈� , suma:

( ) ( )

2

22 2 2 2 2 2 3 3 32

3 5 7 2 1

1 2 2 3 3 4 4 1 21n

n nS

nn n

+= + + + + +

⋅ ⋅ ⋅ + + ++…

…

are o valoare constantă. (7770, G.M.B. 10/1966) 2.4.24. a) Fie , 2k k∈ ≥� şi x

∗∈� . Să se verifice identitatea:

( )

( ) ( ) 1

1 1 1

1 1k k k

kx k

k kx k x kx−

− −= −

− −

b) Să se calculeze suma ( )

( )2 3

12 1 3 2, , 2

1 2 2 3 1n n

nx nx xS n n

x x n nx

− −− −= + + + ∈ ≥

⋅ ⋅ − ⋅… � .

c) Să se demonstreze formula găsită prin inducţie matematică. (D. Stan, 7842, G.M.B. 11/1966)

2.4.25. Să se calculeze suma:

1 1 1

1 1 1 1

!i n i j n i j k n

Si ij ijk n≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ < < ≤

= + + + +∑ ∑ ∑ … , n∗∈�

(Nicodim Negrea, 19952, G.M. 12/1983) 2.4.26. Să se calculeze următoarele produse:

a) 1

11

n

k k=

+

∏

b) ( )

( )2

1

2

1

n

k

k k

k=

+

+∏ (I. Avramescu, N. Păun, 9180, G.M.B. 10/1968)

c) 2

21 5 6

n

k

k k

k k=

+

+ +∏

d) 3

32

1

1

n

k

k

k=

−

+∏

Notînd cu nP produsul calculat la punctul d), să se arate că 9 1 3

7 2nP≤ <

(E:6121, G.M. 1/1978) 2.4.27. Să se calculeze produsul următor şi apoi să se demonstreze prin inducţie matematică după 2n ≥ formula găsită:

2 2 2

1 1 11 1 1

2 3nP

n

= − − −

…

2.4.28. Să se arate că ( )

( )( )3

2 1 !2 1 3 2 1

1 2 2 3 1 2 1 !n

nn n

n n n n

++ − − − =

+ +…

(I. Apolozan, 7479, G.M.B. 4/1966) 2.4.29. Să se calculeze:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

21 1

1 9 9 1

16 1 4 16

kn

k p

p p p p p

p p p p p= =

+ + + − −

+ + + − −∑ ∏

(Mihai Sădeanu, 9162, G.M.B. 9/1968) 2.4.30. Să se calculeze următoarele sume, în care apar expresii iraţionale:

a) 1

1

1

n

k k k= + +∑

b) ( )1

1

1 1

n

k k k k k= + + +∑

c) 21

1

2 4 1

n

k k k= + −∑ (G.M, 1974)

2.4.31. Calculaţi următoarele sume, în care apar factoriale:

a) 1

!n

k

k k=

⋅∑

b) ( )1 1 !

n

k

k

k= +∑

c) ( )2

1

! 1n

k

k k k=

+ +∑

d) ( )1

1

1 ! !

n

k k k= − +∑ (S. Rotaru, 8848, G.M.B. 4/1968)

e) ( )

2

1

1

1 !

n

k

k k

k=

+ −

+∑

f) ( ) ( )1

2

! 1 ! 2 !

n

k

k

k k k=

+

+ + + +∑

g) ( ) ( )3

2

! 1 ! 2 !

n

k

k

k k k=

−

− − − −∑

(Gh. Mihăilă, 17968, G.M. 10/1979, enunţ parţial)

h) 2

2

2 2, 2

! !

n

k

n kn

n k=

+ −+ ≥∑ (16899*, G.M. 10/1977)

i) ( )

3 2

1

7 12 2

3 !

n

k

k k k

k=

+ + +

+∑

j) ( )

{ }1

!, \ 1

!

n

k

kp

k p

∗

=

∈+

∑ � (Virgil Şerban, G.M. 8/1979)

2.4.32. Să se calculeze sumele:

a) ( )3

1

1 !n

k

S k k=

= − ⋅∑ (Gh. Szöllösy, 20904*, G.M. 10/1986)

b) ( ) ( ) ( )( )2 2 21 2! 2 3! 1 !S n n= + + + +…

(V.O. Gordon, MvŞ, G.M. 6/1978)

c) ( )( )1

2 1 !!

2 2 !!

n

k

k

k=

−

+∑ (Virgil Şerban, G.M. 8/1979)

2.4.33. Să se rezolve în ∗� ecuaţia 4

1 1

1 1

1 1 1n n n

n

S S S− +

+ =+ + +

, unde 1

!n

n

k

S k k=

= ⋅∑

(sumă calculată la exerciţiul 2.4.31.). 2.4.34. Notăm ( ) ( ) ( )2 2 21! 1 1 2! 1 2 ! 1 ,kS k k k ∗= + + + + + + ∈… � . Să se demonstreze

că ( )1 2

1 1 11 1 1 1 ! 2

1 2nS S S n

n

+ + + + + + = + −

… , oricare ar fi n

∗∈� .

(M. Petkov, Matematika, Sofia, 1967; 8879, G.M.B. 5/1968) 2.4.35. Se consideră sumele:

( )( )( )

( )

2

1

1

4 3 1

3 !

n

k

k k kS n

k=

+ + +=

+∑ şi ( ) ( ) ( )2

2

1

! 2 1n

k

S n k k k k=

= + + +∑ .

Să se determine ( )f n din relaţia ( )

( )( ) ( ) ( )2

1

1 111 ! 2

1 ! 6

S nn S n f n

n

+ = + − − =

+ .

(Ambrozie Lelijak, 7512, G.M.B. 4/1966) 2.4.36. Să se arate că:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

1

! 1 ! 13 3 18 26

2 ! 3 ! 36 3 2 3 4

n

k

k k n n

k k n n n=

+ + + += −

+ + + + + +∑

a) prin calcul direct; b) prin inducţie matematică. (I. Candrea, 8031, G.M.B. 2/1967) 2.4.37. a) Să se arate că oricare ar fi numărul natural n avem:

( ) ( ) ( ) ( )7 1 ! 7 2 ! 7 ! 8 !

7!1! 2! ! 8 !

n n

n n

+ + + ++ + + = −

⋅…

b) Să se arate că oricare ar fi numerele naturale n şi p avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 ! 2 ! ! 1 !

!1! 2! ! 1 !

p p p n p np

n p n

+ + + + ++ + + = −

+ ⋅…

(N. Bebea, 8305, G.M.B. 7/1967)

2.4.38. Să se arate că ( ) ( )( )2

0

2 1 !1 ! 2 !

1

nk

k

nk n k

n=

+− ⋅ ⋅ − =

+∑

(MvŞ, 1967; 8876, G.M.B. 5/1968)

2.4.39. Calculaţi suma ( )1

2 1 !n

n k

k

S k k−

=

= ⋅ ⋅ +∑ (G.M, 1970)

2.4.40. Să se calculeze suma ( )

( )

1

1

1 2

1 !

kn

k

kS

k

−

=

−=

+∑ şi să se verifice prin inducţie

matematică rezultatul găsit. (Laurenţiu Panaitopol)

2.4.41. Să se arate că ( ) ( ) ( )2 22 1

1 1

! !n n

nk

k k

k k n−

= =

⋅ =∏ ∏

(M.N. Ionescu, 7700, G.M.B. 8/1966)

2.4.2 Inegalităţi

2.4.42. a) Dacă x ∈� , atunci 3

2

1

1 3

xx

x x≤ +

+ +.

b) Utilizînd rezultatul de la punctul a), să se arate că pentru orice n∗∈� are loc

relaţia ( )3

2

3 51 8

3 7 1 6

n nn

n n

++ + + <

+ +… (Mugurel Szörös, E:9969*, G.M. 3/1990)

2.4.43. Se consideră produsul de 1k ≥ factori:

23 7 13 1

1 2 31 2 3

k

k ka k

k

+ + = − − − −

…

a) Să se determine ka şi să se demonstreze că 1

1 3 2

!

n

k k

n

k a n=

−<

⋅∑

b) Să se arate că expresia ( )1

12

nk

n

k

k aE k n n

=

⋅ = + − +

∑ are o valoare întreagă.

c) Să se determine valorile lui n pentru care 1

n

n k

k

E a=

≥∑ .

(N. Bebea, 7843, G.M.B. 11/1966) 2.4.44. Fie 1 2 ,nS n n

∗= + + + ∈… � . Să se arate că pentru 10n > are loc

inegalitatea 4

1

2 10n

kn

k

S=

> ⋅∑ . (V. Drăghici, 17339*, G.M. 8/1978)

2.4.45. Fie ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3

2 2 2 1 2 2 2 3 2 1nS n n n n= − − + − − − + + −… . Să se arate că

( )3 3

24 8 , 1nn S n n< < ∀ ≥ . (Laura Constantinescu, 9810, G.M.B. 8/1969)

2.4.46. Să se demonstreze pentru n∗∈� identitatea:

1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2

11 2 3 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3n n n n n n

+ + + = + − + + − + + + −+ + − −

… …

Să se deducă de aici că pentru 2n > , are loc dubla inegalitate:

1 1 1 1 1

1 120 1 2 3 4n n n

− < + + + < ++ +

… . (E. Rusu, 9421, G.M.B. 2/1969)

2.4.47. Să se arate că ( )

1 2 3 1

3 3 5 3 5 7 3 5 7 2 1 2

n

n+ + + + <

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +…

…, unde n

∗∈�

(Olimpiadă, Polonia, 1968; 9931, G.M.B. 10/1969)

2.4.48. Se dă 2 3

1 3 5 2 1

2 2 2 2n n

nS

−= + + + +…

a) Să se demonstreze direct că 1

1 32

nnS− ≤ < ;

b) Să se demonstreze prin inducţie completă că 1

12

nnS− ≤ , specificînd cazul în

care are loc egalitatea. (Fănică Murăreci, 7844, G.M.B. 11/1966)

2.4.49. Să se demonstreze următoarele inegalităţi, unde n ∈� : a) oricare ar fi 3n ≥ , 3 22 3 3 1n n n> + + ; b) oricare ar fi 1n ≥ , 22 2 5n

n+ > + ;

c) oricare ar fi 10n ≥ , 32nn> (U.P.B, 1981)

2.4.50. Să se demonstreze că oricare ar fi numărul natural 4n ≥ , are loc inegalitatea 33n

n> . Deduceţi că pentru 4n ≥ avem 3 3 n n> . 2.4.51. Să se demonstreze prin inducţie completă următoarele inegalităţi:

a) ( )1 1 1 13

, 21 2 2 24

nn n n

+ + + > ∀ ≥+ +

…

b) ( )1 1 1

1,1 2 3 1

nn n n

∗+ + + > ∀ ∈+ + +

… �

(MvŞ, 1967; 8543, G.M.B. 10/1967)

c) ( )1 1 1 3

, 15 1 5 2 10 5

nn n n

+ + + > ∀ ≥+ +

…

(Ionel Atanasiu, 18748, G.M. 5/1981)

d) ( ) ( )

( )3 23 3

1 1 1 1 1,

3 5 162 1 4 4n

n n

∗+ + + < − ∀ ∈+ +

… �

(Marius Burtea, Olimpiadă locală, Teleorman, 1984)

e) ( )1 1 1

1,1 2 3 1

nn n n

∗+ + + > ∀ ∈+ + +

… �

(Olimpiadă locală, Teleorman, 1986)

f) ( )1 3 2 1 1

, 12 4 2 2 1

nn

n n

−⋅ ⋅ ⋅ < ∀ ≥

+…

2.4.52. Să se demonstreze că pentru , 2n n∈ ≥� , avem inegalitatea:

2 2 4

1 1 1 1 1 12

1 2 2 3n n n n

+ + + > + + +

+ + … … .

(Lucian Tuţescu, 19866, G.M. 9/1983) 2.4.53. Să se demonstreze inegalitatea

( )( )

1 1 1 11 , 1

1 2 2 3 1 1n

n n n+ + + > − ∀ ≥

⋅ ⋅ + +… .

(Gh. Ciorăscu, 18701, G.M. 4/1981) 2.4.54. Să se demonstreze dubla inegalitate:

( )2 2

1 1 2 3 13 3

n n n n n+ < + + + + < +…

(Ion Cucurezeanu, 21163*, G.M. 7-8/1987) 2.4.55. Folosind metoda inducţiei complete, să se demonstreze inegalităţile:

a) ( )1 1 1 5 1

, 11! 2! ! 2

nn n

+ + + < − ∀ ≥… (U.P.B, 1979)

b) ( )

2 3 4 3 2

3! 4! 5! 1 ! 2

n n

n n

−+ + + + <

+…

(L. Mănescu, 9183, G.M.B. 10/1968)

c) ( )

( )3

2

1 5, 2

1 ! 2

n

k

k kn

k=

− −< ∀ ≥

+∑

2.4.56. Să se calculeze suma ( ) ( )2 2

0

1 !n

k

S k p p k=

= − + ⋅ +∑ , unde p ∈� . Folosind

rezultatul, să se deducă inegalitatea:

( ) ( ) ( )1

2 2

0

1 1 ! 2 ! !n

k

n k n k n n−

=

+ − − ⋅ + ≤ −∑

(Gheorghe Szöllösy, 20350*, G.M. 2/1985)

2.4.57. Să se demonstreze inegalitatea ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 3 ! 1nn n n n+ + ≥ + , oricare ar fi

n∗∈� . (7027, G.M.B. 8/1965)

2.4.58. a) Să se demonstreze că pentru orice număr natural 2n ≥ , are loc

inegalitatea ( )

( )2

2 !4

1 !

n n

n n<

+ (18041*, G.M. 12/1979)

b) Pentru orice n∗∈� , să se arate că

( )( )

12 !2 1

2 !

nnn

nn

−⋅≤ +

(Paul Vladu, 9467, G.M.B. 3/1969) 2.4.59. Arătaţi că pentru orice n ∈� are loc inegalitatea:

1 1

!3 2

n nn n

n+ +

≤ ≤

(Olimpiadă, Austria, 1979)

2.4.60. Să se arate că ( ) n∗∀ ∈� avem:

( )3

1 !1 2! 3! !

2

n

n

nn

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤… (Walter Janous, 18905, G.M. 9/1981)

2.4.61. Să se arate că oricare ar fi numărul natural 1n ≥ avem inegalitatea

( )2

1 1n

nn n

+ < + (Cornelius Sgrăbunţă, 18983, G.M. 11/1981)

2.4.62. Folosind metoda inducţiei complete, să se arate că dacă , 0x y > , atunci

( ) ( ) ( )12 ,n n n n

x y x y n− ∗+ ≤ + ∀ ∈� . (MvŞ, 1963; 6321, G.M.B, 1964)

2.4.63. Să se demonstreze prin inducţie după 1n ≥ inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz:

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b= = =

≤ ⋅

∑ ∑ ∑ , unde , , 1,i ia b i n∈ =� . Cînd are loc egalitatea ?

2.4.64. Demonstraţi prin inducţie inegalitatea lui Bernoulli:

( )1 1 , , 1n

a na n a+ ≥ + ∈ > −�

2.4.65. Să se demonstreze inegalitatea: ( ) ( )2 2 12 1n nx x n n x x− −+ + − ≥ + , unde

( )0;x ∈ ∞ şi n∗∈� . (Andrei Rugină, 7332, G.M.B. 1/1966)

2.4.66. Considerăm numerele ( )1n n

a≥

definite în modul următor: 1 4a = şi

( )14 , 2n na a n−= + ∀ ≥ . Să se arate că 3na < , oricare ar fi 1n ≥ .

2.4.67. a) Fie 2 2 2nx = + + +… , numărul radicalilor suprapuşi fiind 2n ≥ . Să

se arate că are loc inegalitatea ( ) 14 2 2n nx x −− > − .

b) Se notează 6 6 6na = + + +… , numărul radicalilor suprapuşi fiind 1n ≥ .

Să se arate că 13 1

3 6

n

n

a

a

+−>

− pentru orice n

∗∈� .

(Ioan Tomescu, Olimpiadă judeţeană, 1986) 2.4.68. Să se determine cel mai mic număr natural a astfel ca să existe

inegalitatea 3 3 3 3 1

6 3 3 3a

− + + +<

− + + +

…

…

, unde la numărător sunt n radicali, iar la

numitor sunt ( )1n − radicali. (Gh. Tutulan, 19051, G.M. 1/1982)

2.4.3. Divizibilitate. Exerciţii diverse 2.4.69. Să se demonstreze, oricare ar fi numărul natural 1n ≥ : a) ( )2 2 111 12 133n n+ ++ � ;

b) ( )4 15 1 9n n+ − � ;

c) ( )10 1 11 16 5 31n n+ −+ � ;

d) ( )1 6 2 3 16 5 6 5 1 31n n n+ + ++ + ⋅ + � (D. Manolache, 5214, G.M.F.B. 4/1962)

e) ( )5 30n n− � ;

f) ( )( )1 110 18 17 9 8 9 432n nn n+ ++ + − − � (U.P.B, sesiune specială, 1986)

g) 215 30 13n n− � (Ştefan Musta, 9182, G.M.B. 10/1968)

h) ( )2 1 3 13 5 2 17n n+ +⋅ + � (9250, G.M.B. 11/1968)

2.4.70. Să se determine ultima cifră a numărului 1! 2! !A n= + + +… , unde n∗∈� .

(Liviu Pîrşan, 17660, G.M. 3/1979) 2.4.71. Să se arate că numărul natural ( ) ( ) ( )1 2 2N n n n= + + … , unde n

∗∈� , se

divide cu 2n , dar nu se divide cu 12n+ . (Iulian Beju, Olimpiadă judeţeană, 1977)

2.4.72. Dacă 1

aa

+ ∈� , să se arate că ( )1

,n

na n

a+ ∈ ∀ ∈� � .

(A. Tuţescu, 16692, G.M. 6/1977) 2.4.73. Se dă funcţia :f ∗→� � astfel încît ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x= + , oricare ar fi

1 2,x x ∈� . Să se arate că:

a) ( ) ( ) 1f x f x− = ;

b) ( )( ) ( ) ( ),n

f x f nx n∗= ∀ ∈� . (Lázár Irén, Olimpiadă locală, Cluj, 1979)

2.4.74. Se consideră ecuaţia 2 4 8 0x x− − = , avînd rădăcinile a şi b . Fie ,n n

nS a b n∗= + ∈� . Să se arate că:

a) ( ),nS n∗ ∗∈ ∀ ∈� �

b) 3 1

2 2 n

nS+� şi ( )3 2

2 1 2 ,n

nS n+ ∗

+ ∀ ∈� � (C. Ionescu-Ţiu)

2.4.75. Să se determine numerele reale strict pozitive 1 2, , na a a… care verifică egalitatea:

( ) ( )23 3 3

1 2 1 2 ,n na a a a a a n∗+ + + = + + + ∀ ∈… … �

(Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă judeţeană, 1977) 2.4.76. Fie numerele arbitrare n

∗∈� şi p ∗∈� . Să se arate că numărul p admite

o reprezentare de forma ( )

3 3 3

1 2

2

1 2

n

n

a a ap

a a a

+ + +=

+ + +

…

…, unde , 1,ia i n

∗∈ =� . Aplicaţie

numerică: să se scrie numărul –2 sub forma ( )

3 3 3

1 2 3

2

1 2 3

a a a

a a a

+ +

+ + cu 1 2 3, ,a a a

∗∈� .

(G.G. Niculescu, 18739*, G.M. 5/1981) 2.4.77. Să se arate că oricare ar fi numerele naturale 1 20 na a a< < < <… are loc

inegalitatea ( )2 3 3 3

1 2 1 2n na a a a a a+ + + ≤ + + +… … .

(Baraj, aprilie 1988) 2.4.78. Să se determine numerele reale strict pozitive , 1,ia i n= cu n

∗∈� pentru

care: ( )2 2 2

1 2

1 1 1 21 1 1 ,

2 2n

nn

a a a n

∗ +− − − = ∀ ∈

+ … � .

(I.V. Maftei, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1988) 2.4.79. Dacă 2n ≥ , să se determine suma cuburilor numerelor reale 1 2, , , nx x x… care satisfac relaţia:

( )

2 2 2

1 2 1 2 2 3 12 1

n n n n

nx x x x x x x x x x

n−+ + + + = + + + +

+… …

(D.M. Bătineţu, 20568*, G.M. 10/1985)