2.4 (P) OPERATII CU MULTIMI

2.4 OPERAŢII CU MULŢIMI

Acest subcapitol este structurat în cinci secţiuni. În fiecare secţiune vom defini câte una

dintre următoarele operaţii cu mulţimi:

reuniunea,

intersecţia,

diferenţa / complementara,

diferenţa simetrică

şi

produsul cartezian

şi vom prezenta proprietăţile operaţiei respective.

Aceste operaţii le vom defini pe mulţimea P(E), a părţilor mulţimii E.

Precizăm (şi) faptul că numai o parte din rezultatele prezentate aici le vom demonstra,

celelalte urmând a fi demonstrate fie în Capitolul 3, utilizănd Logica matematică, fie în Capitolul

6 utilizând funcţia caracteristică a unei (sub)mulţimi.

2.4.1 Reuniunea mulţimilor

În această primă secţiune ne vom ocupa de reuniunea mulţimilor.

Definiţia 2.4.1.1: Fiind date două mulţimi A şi B, mulţimea:

AB={x (xA) (xB)} (2.4.1.1)

se numeşte reuniunea mulţimilor A şi B.

Deci reuniunea a două mulţimi este tot o mulţime care conţine toate elementele comune

sau necomune lor, scrise o singură dată.

Exemplele 2.4.1.2: 1) Fie mulţimile:

A={c,i,f,r,ă}

şi

B={n,u,m,ă,r}.

Reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea:

AB={c,i,f,r,ă,n,u,m}.

2) Fie mulţimile:

A=N, mulţimea numerelor naturale

şi

B=Z, mulţimea numerelor întregi.

1

Reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea:

AB=Z.

3) Utilizând diagramele Venn - Euler, avem:

AB .

Din Definiţiile 2.4.1.1 şi 2.3.1 obţinem:

Observaţia 2.4.1.3: Dacă A, BP(E), atunci:

ABE, (2.4.1.2)

deci:

ABP(E), (2.4.1.2)

adică reuniunea a două submulţimi A şi B ale unei mulţimi totale E, este (tot) o submulţime a lui

E.

Proprietăţile reuniunii le redăm în teorema următoare, pe care o vom demonstra în

Capitolul 3.

Teorema 2.4.1.4: Fie E o mulţime oarecare. Reuniunea mulţimilor are următoarele proprietăţi:

P1) Pentru orice AP(E), avem egalitatea:

AA=A (idempotenţa); (2.4.1.3)

P2) Pentru orice A, BP(E), avem egalitatea:

AB=BA (comutativitatea);

(2.4.1.4)

P3) Pentru orice A, B, CP(E), avem egalitatea:

(AB)C=A(BC) (asociativitatea);

(2.4.1.5)

P4) Pentru orice A, BP(E), avem echivalenţa:

(AB) (AB=B); (2.4.1.6)


AE=E; (2.4.1.7)


A=A; (2.4.1.8)

2

A B

P7) Pentru orice A, BP(E), avem incluziunile:

AAB (2.4.1.9)

şi

BAB;

(2.4.1.9)


(AB=) [(A=) (B=)]; (2.4.1.10)

P9) Pentru orice A, B, C şi DP(E), avem implicaţia:

[(AC) (BD)] [(AB)(CD)]. (2.4.1.11)

Corolarul 2.4.1.5: Dacă A, B, CP(E), atunci avem următoarea echivalenţă:

(ABC) [(AC) (BC)]. (2.4.1.12)

Demonstraţie: () Presupunem că:

ABC.

Atunci, din (2.4.1.9), respectiv (2.4.1.9), şi (2.2.10) obţinem că:

AC,

respectiv

BC,

astfel că:

(1) (ABC) [(AC) (BC)].

() Reciproc, presupunem că:

(AC) (BC).

Atunci, din echivalenţa (2.4.1.6), obţinem că:

AC=C

şi

BC=C.

Rezultă, din egalităţile (2.4.1.3) şi (2.4.1.5), că:

C=(AC)(BC)

=(AB)C.

Acum, echivalenţa (2.4.1.6) arată că:

ABC.

Aşadar, am demonstrat că:

(2) [(AC) (BC)] (ABC).

Din inplicaţiile (1) şi (2), conform echivalenţei (1.1.9), obţinem echivalenţa (2.4.1.12).

3

2.4.2 Intersecţia mulţimilor

Studiem, aici, operaţia de intersecţie a mulţimilor. Tot în această secţiune vom realiza şi

câteva legături între reuniunea şi intersecţia lor, care ne vor fi foarte utile în dezvoltările viitoare,

atât în studiul celorlalte operaţii cu mulţimi, cât şi în studiul altor noţiuni matematice (de

exemplu: relaţiile sau funcţiile).


AB={x (xA) (xB)} (2.4.2.1)

se numeşte intersecţia mulţimilor A şi B.

Deci intersecţia a două mulţimi este tot o mulţime care conţine toate elementele comune

lor, scrise o singură dată.

Pentru exemplificarea intersecţiei a două mulţimi, dar şi pentru a face deosebirea dintre

reuniunea şi intersecţia lor, mai întâi, vom folosi exemplele utilizate în secţiunea precedentă.

Exemplele 2.4.2.2: 1) Fie mulţimile A şi B de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 1). Atunci,

intersecţia lor este mulţimea:

AB={r,ă}.

2) Fie mulţimile A şi B de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 2). Atunci, intersecţia lor este mulţimea:

AB=N.

3) Utilizând diagramele Venn – Euler, pentru prezentarea mulţimilor A şi B, intersecţia lor este

partea indicată de săgeată:

AB .

Din Definiţiile 2.1.2.1 şi 2.3.1 obţinem:


ABE, (2.4.2.2)

deci:

ABP(E), (2.4.2.2)

adică intersecţia a două submulţimi A şi B ale unei mulţimi totale E este (tot) o submulţime a lui

E.

O categorie aparte o formează mulţimile a căror intersecţie este vidă.

4

A B

Definiţia 2.4.2.4: Dacă:

AB= (2.4.2.3)

spunem că mulţimile A şi B sunt disjuncte între ele.

Aşadar, două mulţimi sunt / se numesc disjuncte dacă nu au nici un element comun.

Exemplul 2.4.2.5: Fie mulţimile:

A={0,2,4,6,8}

şi

B={1,3,5,7,9}.

Atunci, mulţimile A şi B sunt disjuncte între ele, pentru că egalitatea (2.4.2.3) are loc.

Proprietăţile intersecţiei le redăm în teorema următoare, pe care o vom demonstra (tot) în

Capitolul 3.

Teorema 2.4.2.6: Fie E o mulţime oarecare. Intersecţia mulţimilor are următoarele proprietăţi:


AA=A (idempotenţa); (2.4.2.4)

P2) Pentru orice A, BP(E), avem egalitatea:

AB=BA (comutativitatea);

(2.4.2.5)

P3) Pentru orice A, B, CP(E), avem egalitatea:

(AB)C=A(BC) (asociativitatea);

(2.4.2.6)


(AB) (AB=A); (2.4.2.7)


AE=A; (2.4.2.8)


A=; (2.4.2.9)

P7) Pentru orice A, BP(E), avem incluziunile:

ABA (2.4.2.10)

şi

ABB;

(2.4.2.10)


5

(AB=E) [(A=E) (B=E)]; (2.4.2.11)

P9) Pentru orice A, B, C şi DP(E), avem implicaţia:

[(AC) (BD)] [(AB)(CD)]. (2.4.2.12)

Corolarul 2.4.2.7: Pentru orice A, BP(E), avem incluziunea:

ABAB.

(2.4.2.13)

Demonstraţie: Incluziunea din enunţ rezultă din incluziunile (2.4.2.10), respectiv (2.4.1.9) şi din

implicaţia (2.2.11).

Corolarul 2.4.2.8: Dacă A, B, CP(E), atunci avem următoarea echivalenţă:

(ABC) [(AB) (AC)]. (2.4.2.14)


ABC.

Atunci, din incluziunile (2.4.2.10), respectiv (2.4.2.10), şi implicaţia (2.2.11) obţinem că:

AB,

respectiv

AC,

astfel că:

(1) (ABC) [(AB) (AC)].


(AB) (AC).

Atunci, din echivalenţa (2.4.2.7), obţinem că:

AB=A

şi

AC=A.

Rezultă, din egalităţile (2.4.2.4) şi (2.4.2.6), că:

A=(AB)(AC)

=A(BC).

Acum, echivalenţa (2.4.2.7) arată că:

ABC.

Aşadar, am demonstrat că:

(2) [(AB) (AC)] (ABC).

Din inplicaţiile (1) şi (2) şi echivalenţa (1.1.12), obţinem echivalenţa (2.4.2.14).

Corolarul 2.4.2.9: Dacă A, BP(E), astfel încât:

6

AB=,

atunci are loc următoarea echivalenţă:

(A=B) (A=B=). (2.4.2.15)

Demonstraţie: Din cele prezentate mai sus obţinem următoarele echivalenţe:

(A=B) [(AB) (BA)] (conform Propoziţiei 2.2.14)

[(AB=A) (BA=B)] (conform echivalenţei 2.4.2.7)

[(A=) (B=)] (conform ipotezei şi egalităţii (2.4.2.5).

Se impune aici următoarea observaţie:

Observaţia 2.4.2.10: Datorită proprietăţii de asociativitate, reuniunea şi intersecţia a trei

mulţimi A, B şi C se pot nota simplu, şi anume ABC, respectiv ABC.

Primele legături între reuniunea şi intersecţia mulţimilor sunt redate mai jos.

Teorema 2.4.2.11: Fie E o mulţime orarecare. Intersecţia şi reuniunea sunt distributive una faţă

de alta, atât la stânga cât şi la dreapta:

P1) Pentru orice A, B, CP(E), avem egalităţile:

A(BC)=(AB)(AC),

(2.4.2.16)

care arată distributivitatea la stânga a intersecţiei faţă de reuniune, şi

(AB)C=(AC)(BC),

(2.4.2.16)

care arată distributivitatea la dreapta a intersecţiei faţă de reuniune.

P2) Pentru orice A, B, CP(E), avem egalităţile:

A(BC)=(AB)(AC),

(2.4.2.17)

care arată distributivitatea la stânga a reuniunii faţă de intersecţie, şi

(AB)C=(AC)(BC),

(2.4.2.17)

care arată distributivitatea la dreapta a reuniunii faţă de intersecţie.

Demonstraţie: Vom demonstra egalităţile (2.4.2.16) şi (2.4.2.17), celelalte demonstrându-se

analog. Egalitatea (2.4.2.16) o vom demonstra prin dublă incluziune, iar egalitatea (2.4.2.17) o

vom demonstra prin echivalenţe. Aşadar, pentru egalitatea (2.4.2.16), avem:

[xA(BC)] [(xA) (xBC)] (conform Definiţiei 2.4.2.1)

(xA) [(xB) (xC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[(xA) (xB)] [(xA) (xC)] (conform echivalenţei (1.1.21))

7

[(xAB) (xAC)] (conform Definiţiei 2.4.2.1)

[x(AB)(AC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

(conform principiului (GU) - (1.3.1))

(1) A(BC)(AB)(AC).

Reciproc:

[y(AB)(AC)] [(yAB) (yAC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[(yA) (yB)] [(yA) (yC)] (conform Definiţiei

2.4.2.1)

(yA) [(yB) (yC)] (conform echivalenţei (1.1.21))

[(yA) (yBC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[yA(BC)] (conform Definiţiei 2.4.2.1)


(2) (AB)(AC)A(BC).

Acum, Propoziţia 2.2.14 arată că egalitatea (2.4.2.17) are loc.

Pentru egalitatea (2.4.2.17) avem:

[x(AB)C] [x(AB)] (xC) (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[(xA) (xB)] (xC) (conform Definiţiei 2.4.2.1)

[(xA) (xC)] [(xB) (xC)] (conform echivalenţei

(1.1.21))

[(xAC) (xBC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[x(AC)(BC)] (conform Definiţiei 2.4.2.1)


(AB)C=(AC)(BC),

Adică egalitatea (2.4.2.17) are loc.

Corolarul 2.4.2.12: Pentru orice A, B, C şi DP(E), avem egalităţile:

(ABC)D=(AD)(BD)(CD).

(2.4.2.18)

Demonstraţie: Din egalităţile (2.4.1.5) şi (2.4.2.16’), obţinem:

(ABC)D=[A(BC)]D

=(AD)[(BC)D]

=(AD)(BD)(CD).

Corolarul 2.4.2.13: Dacă A, BP(E) atunci sunt adevărate egalitaţile:

A(AB)=A (2.4.2.19)

8

şi

A(AB)=A (legile de absorbţie). (2.4.2.20)

Demonstraţie: Înlocuind în egalitatea (2.4.2.16) pe C cu A şi ţinând cont de egalitatea (2.4.2.4),

obţinem:

(1) A(AB)=A(AB).

Dar, conform cu incluziunea (2.4.1.9),

AAB,

ceea ce implică, conform cu echivalenţa (2.4.2.7), că:

(2) A(AB)=A.

Acum, din egalităţile (1) şi (2), conform cu implicaţia (2.2.14), rezultă egalitatea (2.4.2.19). Se

observă că egalitatea (2), demonstrată mai sus este chiar egalitatea (2.4.2.20).

Altfel: Din incluziunile (2.2.9) şi (2.4.2.10) obţinem că:

(3) AA,

respectiv

(4) AAA.

Acum implicaţia (2.4.1.11) şi egalitatea (2.4.1.3) arată că:

(5) A(AB)A.

Dar, din incluziunea (2.4.1.9) obţinem că:

(6) AA(AB).

În sfârşit, din incluziunile (5) şi (6) şi implicaţia (2.2.11) obţinem egalitatea din enunţ.

Din demonstraţia Corolarului 2.4.2.13, rezultă că legile de absorbţie pot fi privite (şi) ca şi

consecinţe ale Teoremei 2.4.2.11.

Corolarul 2.4.2.14: Dacă A, BP(E) atunci are loc echivalenţa:

(AB=AB) (A=B). (2.4.2.21)


(1) AB=AB.

Atunci, din egalităţile (1), (2.4.2.19), (2.4.1.5) şi (2.4.1.3), rezultă că:

(2) A=A(AB)

=A(AB)

=(AA)B

=AB.

Acum, din egalitatea (2) şi echivalenţa (2.4.1.6), rezultă că:

(3) BA.

9

Analog se arată că:

(4) AB.

Din incluziunile (3) şi (4) şi Propoziţia 2.2.14, obţinem că:

(5) (AB=AB) (A=B).

Altfel: Avem următoarea incluziune:

AAB (conform incluziunii (2.4.1.9))

=AB (conform ipotezei)

B (conform incluziunii (2.4.2.10)).

Deci are loc incluziunea (4). Analog se arată că are loc şi incluziunea (3). Rezultă, ca şi mai sus,

că are loc incluziunea (5).


(6) A=B.

Atunci, din egalităţile (6), (2.4.1.3) şi (2.4.2.4), obţinem egalităţile:

(7) A=AA

=AB,

şi

(8) A=AA

=AB.

Din egalităţile (7) şi (8) şi implicaţia (2.2.14), rezultă egalitatea (1). Astfel am arătat că:

(9) (A=B) (AB=AB).

Din implicaţiile (5) şi (9) şi Observaţia 1.1.29 rezultă echivalenţa din enunţ.

Rezultatul următor ne prezintă o condiţie necesară şi suficientă ca două mulţimi să fie

egale, utilizând reuniunea şi intersecţia mulţimilor:

Lema 2.4.2.15: Pentru două mulţimi A şi B următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) A=B; (2.1.6)

2) Există o mulţime C, astfel încât

[(AC=BC) (AC=BC)]. (2.4.2.22)

Demonstraţie: 1) implică 2) Dacă are loc egalitatea (2.1.6), atunci egalitatea (2.4.2.22) are loc,

pentru orice mulţime C.

2) implică 1) Presupunem că există o mulţime C astfel încât cele două egalităţi de la (2.4.2.22) au

loc. Vom demonstra egalitatea (2.1.6) prin două metode:

Metoda I: Au loc următoarele implicaţii:

(xA) (xAC) (conform incluziunii (2.4.1.9) şi Definiţiei 2.2.1)

10

(xBC) (conform primei egalităţi din ipoteză)

[(xB) (xC)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)

[(xB) (xAC)] (conform ipotezei)

[(xB) (xBC)] (conform celei de a doua egalităţi din ipoteză)

(xB) (conform incluziunii (2.4.2.10) şi Definiţiei 2.2.1)


(1) AB.

Analog se demonstrează că:

(2) BA.

Din incluziunile (1) şi (2), conform Propoziţiei 2.2.14, rezultă egalitatea (2.1.6).

Metoda II: Avem egalităţile:

A=A(AC) (conform egalităţii (2.4.2.20))

=A(BC) (conform ipotezei)

=(AB)(AC) (conform egalităţii (2.4.2.16))

=(BA)(BC) (conform egalităţii (2.4.2.5) şi ipotezei)

=[(BA)B][(BA)C] (conform egalităţii (2.4.2.17))

=B[(BC)(AC)] (conform egalităţilor (2.4.2.19) şi (2.4.2.17))

=B(BC) (conform ipotezei şi egalităţii (2.4.2.4))

=B (conform egalităţii (2.4.2.20)).

În finalul acestei secţiuni vom determina cardinalul reuniunii a două, trei sau patru

mulţimi finite:

Teorema 2.4.2.16: Dacă A şi B sunt mulţimi finite, atunci are loc egalitatea:

AB=A+B-AB.

(2.4.2.23)

Demonstraţie: Egalitatea (2.4.2.23) rezultă din Definiţiile 2.4.1.1, 2.4.2.1 şi 2.2.19 şi din

Observaţia 2.1.3, punctul 1).

Din Teorema 2.4.2.16 şi Definiţia 2.4.2.4 obţinem:

Corolarul 2.4.2.17: Dacă A şi B sunt mulţimi finite şi disjuncte, atunci are loc egalitatea:

AB=A+B.

(2.4.2.23)

Corolarul 2.4.2.18: Dacă A, B şi C sunt mulţimi finite, atunci are loc egalitatea:

ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC.

(2.4.2.24)

11

Demonstraţie: Din Teorema 2.4.2.16, Observaţia 2.4.2.10 şi egalitatea (2.4.2.16), obţinem:

ABC=(AB)C

=AB+C-(AB)C

=A+B-AB+C-(AC)(BC)

=A+B+C-AB-(AC+BC-ABC)

=A+B+C-AB-AC-BC+ABC.

Corolarul 2.4.2.19: Dacă A, B şi C sunt mulţimi finite şi disjuncte două câte două, atunci are loc

egalitatea:

ABC=A+B+C.

(2.4.2.24)

Demonstraţie: Conform ipotezei şi Observaţiei 2.4.2.10, avem:

AB=AC

=BC

=ABC

=.

Conform Definiţiei 2.2.19, rezultă că:

AB=AC

=BC

=ABC

=

=0.

Acum egalitatea (2.4.2.24) completează demonstraţia.

Corolarul 2.4.2.20: Dacă A, B, C şi D sunt mulţimi finite, atunci are loc egalitatea:

ABCD=A+B+C+C-AB-AC-AD-BC-BD-CD+

ABC+ABD+ACD+BCD-ABCD.

(2.4.2.25)

Demonstraţie: Din Corolarul 2.4.2.18 şi egalitatea (2.4.2.17), obţinem:

ABCD=(ABC)D

=ABC+D-(ABC)D

=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+D-(ABC)D

=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+D-

(AD)(BD)(CD)

=A+B+C+D-AB-AC-BC+ABC-

12

(AD)(BD)(CD)

=A+B+C+D-AB-AC-BC+ABC-

(AD+BD+CD-

ABD-ACD-BCD+ABCD)

=A+B+C+C-AB-AC-AD-BC-BD-CD+

ABC+ABD+ACD+BCD-ABCD.

Corolarul 2.4.2.21: Dacă A, B, C şi D sunt mulţimi finite şi disjuncte două câte două, atunci are

loc egalitatea:

ABCD=A+B+C+D.

(2.4.2.25)

Demonstraţie: Conform ipotezei şi Observaţiei 2.4.2.10, avem:

AB=AC

=AC

=AD

=BC

=BD

=CD

=ABC

=ABD

=ACD

=BCD

=ABCD

=.

Conform Definiţiei 2.2.19, rezultă că:

AB=AC

=AC

=AD

=BC

=BD

=CD

=ABC

=ABD

=ACD

13

=BCD

=ABCD

=

=0.

Acum egalitatea (2.4.2.25) completează demonstraţia.

2.4.3 Diferenţa a două mulţimi


A\B=x (xA) (xB) (2.4.3.1)

se numeşte diferenţa mulţimii A cu mulţimea B.

Deci diferenţa a duoă mulţimi A şi B este tot o mulţime care conţine elementele care

aparţin lui A şi nu aparţin lui B.

Exemplele 2.4.3.2: 1) Fie mulţimile de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 1). Atunci, diferenţa

mulţimii A cu mulţimea B este mulţimea:

A\B={c,i,f},

iar diferenţa mulţimii B cu mulţimea A este mulţimea:

B\A={n,u,m}.

2) Fie mulţimile de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 2). Atunci, diferenţa mulţimii A cu mulţimea B

este mulţimea:

A\B=,

iar diferenţa mulţimii B cu mulţimea A este mulţimea:

B\A=Z-,

unde Z- este mulţimea numerelor întregi negative.


A\B AB B\A .

Din Definiţia 2.4.3.1 şi Propoziţia 2.3.10 obţinem:


A\BA, (2.4.3.2)

deci:

14

A B

A\BP(E), (2.4.3.2)

adică, pentru orice submulţimi A şi B ale unei mulţimi E, diferenţa A\B este tot o submulţime a

lui E.

Proprietăţile diferenţei a două mulţimi sunt redate în teorema următoare – care va fi

demonstrată în Capitolul 3.

Teorema 2.4.3.4: Fie E o mulţime oarecare. Diferenţa mulţimilor are următoarele proprietăţi:

P1) Pentru orice AP(E), avem egalităţile:

A\A=, (2.4.3.3)

A\=A (2.4.3.4)

şi

\A=; (2.4.3.4)


(A\B=E) [(A=E) (B=)]; (2.4.3.5)

P3) Pentru orice A şi BP(E), avem egalităţile:

A\B=A\(AB) (2.4.3.6)

şi

A\(A\B)=AB

(2.4.3.6)

P4) Pentru orice A şi BP(E), avem egalităţile:

AB=A(B\A)

=B(A\B) (2.4.3.7)

şi

AB=A\(A\B)

=B\(B\A); (2.4.3.8)

P5) Pentru orice A şi BP(E), avem egalitatea:

(A\B)(AB)=A; (2.4.3.9)


(A\B)(AB)=; (2.4.3.10)


(A\B)(B\A)=; (2.4.3.11)

P8) Pentru orice A şi BP(E), avem echivalenţa:

(AB) (A\B=); (2.4.3.12)

15

P9) Pentru orice A, B şi CP(E), avem egalităţile:

A\(BC)=(A\B)(A\C) (2.4.3.13)

şi

A\(BC)=(A\B)(A\C);

(2.4.3.14)

P10) Pentru orice A, B şi CP(E), avem egalitatea:

(AB)\C=(A\C)(B\C); (2.4.3.15)


(A\B)C=(AC)\(BC); (2.4.3.16)


(A\B)(B\C)(C\A)=(A\C)(C\B)(B\A). (2.4.3.17)

Câteva consecinţe ale celor prezentate până aici sunt redate în continuare:

Corolarul 2.4.3.5: Pentru orice A şi BP(E), avem echivalenţele:

(A=A\B) (AB=)

(B\A=B). (2.4.3.18)

Demonstraţie: Vom demonstra prima echivalenţă din enunţ; cea de a doua demonstrându-se

analog. Din cele prezentate mai sus obţinem echivalenţele:

(A=A\B) (ABA\B) (conform egalităţii (2.4.3.9) şi echivalenţei (2.4.1.6))

(AB=) (conform egalităţii (2.4.3.10)).

Corolarul 2.4.3.6: Pentru orice A, BP(E), avem echivalenţele:

(B\AA\B) (BA)

(B\A=). (2.4.3.19)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici obţinem următoarele echivalenţe:

(B\AA\B) [(B\A)(A\B)=B\A] (conform echivalenţei (2.4.2.7))

(B\A=) (conform egalităţii (2.4.3.11))

(BA) (conform echivalenţei (2.4.3.12)).

Corolarul 2.4.3.7: Pentru orice A, BP(E), avem echivalenţele:

(B\A=A\B) (A=B)

(B\A==A\B). (2.4.3.20)

Demonstraţie: Echivalenţele din enunţ rezultă din Corolarul 2.4.3.6 şi Propoziţia 2.2.14.

Dacă în egalitatea (2.4.2.18) înlocuim intersecţia cu diferenţa, obţinem o extindere a

egalităţii (2.4.3.15) pentru reuniunea a trei mulţimi:

16

Corolarul 2.4.3.8: Pentru orice A, B, C şi DP(E), avem egalitatea:

(ABC)\D=(A\D)(B\D)(C\D).

(2.4.3.21)

Demonstraţie: Din egalităţile (2.4.1.5) şi (2.4.3.15) obţinem:

(ABC)\D=[(AB)C]\D

=[(AB)\D](C\D)

=[(A\D)(B\D)](C\D)

=(A\D)(B\D)(C\D).

O implicaţie analoagă celei de la (2.4.1.11) nu are loc şi pentru diferenţa mulţimilor.

Observaţia 2.4.3.9: Dacă A, B, C şi DP(E), atunci:

[(AC) (BD)] ⇏ [(A\B)(C\D)].

(2.4.3.22)

Demonstraţie: Într-adevăr, dacă:

A=2,4,6,8,

B=8,9,10,11,12,13,14,

C=1,2,3,4,5,6,7,8,9,

D=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

atunci:

AC,

BD,

A\B=2,4,6,8,

C\D=1,2,3,4,5,

dar:

(A\B)(C\D).

Deci, utilizând diagramele Venn – Euler, această situaţie se prezintă astfel:

C A B D.

Din incluziunea (2.4.2.13) rezultă că AB este o submulţime a lui AB. Următorul

17

rezultat confirmă acest lucru, dând o oarecare structură (a) lui AB.

Corolarul 2.4.3.10: Pentru orice A şi BP(E), avem egalitatea:

AB=(A\B)(AB)(B\A).

(2.4.3.23)

Demonstraţie: Din egalităţile (2.4.3.9) şi (2.4.2.5), obţinem:

(1) A=(A\B)(AB)

şi

(2) B=(B\A)(AB).

Acum, din egalităţile (1), (2), (2.4.1.3) şi (2.4.1.4) obţinem egalitatea din enunţ.

Corolarul 2.4.3.11: Pentru orice A şi BP(E), avem egalităţile:

(AB)\B=A\B (2.4.3.24)

şi

(AB)\A=B\A.

(2.4.3.24)

Demonstraţie: Din rezultatele de mai sus obţinem următoarele egalităţi:

1) Pentru (2.4.3.24):

(AB)\B=(A\B)(B\B) (conform egalităţii (2.4.3.15), pentru C=B)

=(A\B) (conform egalităţii (2.4.3.3))

=A\B (conform egalităţii (2.4.1.8)).

2) Pentru (2.4.3.24):

(AB)\A=(A\A)(B\A) (conform egalităţii (2.4.3.15), pentru C=A)

=(B\A) (conform egalităţii (2.4.3.3))

=B\A (conform egalităţii (2.4.1.8)).

Din egalităţile (2.4.3.7) şi (2.4.3.24) obţinem:

Corolarul 2.4.3.12: Dacă A, B şi CP(E), atunci are loc următoarea echivalenţă:

(A\C=B\C) (AC=BC). (2.4.3.25)

Demonstraţie: () Într-adevăr, dacă:

A\C=B\C,

atunci, din egalitatea (2.4.3.7) obţinem egalităţile:

AC=(A\C)C

=(B\C)C

=BC.

Deci, am demonstrat că are loc implicaţia:

18

(1) (A\C=B\C) (AC=BC).


AC=BC.

Atunci, din egalitatea (2.4.3.24), rezultă că:

A\C=(AC)\C

=(BC)\C

=B\C.

Aşadar, are loc şi implicaţia:

(2) (AC=BC) (A\C=B\C).

Din implicaţiile (1) şi (2) şi Observaţia 1.1.29 obţinem echivalenţa din enunţ.

Acum, din Corolarul 2.4.3.12 şi Lema 2.4.2.15 obţinem:

Corolarul 2.4.3.13: Pentru două mulţimi A şi B următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) A=B; (2.1.6)


[(A\C=B\C) (AC=BC)]. (2.4.3.26)

Se impune aici o observaţie:

Observaţia 2.4.3.14: Din Corolarul 2.4.3.15 şi Lema 2.4.2.15 rezultă că în relaţia (2.4.2.22), în

prima egalitate, putem înlocui reuniunea cu diferenţa, rezultatul rămânând acelaşi. Nu acelaşi

lucru se întâmplă dacă în aceeaşi relaţie (2.4.2.22) înlocuim, în a doua egalitate, intersecţia cu

diferenţa.

Demonstraţie: Într-adevăr, fie mulţimile:

A=1,4,5,6,7,8,9,

B=2,4,5,6,8

şi

C=1,2,3,6,7,9.

Atunci, avem egalităţile:

AC=1,2,3,4,5,6,7,8,9

=BC.

Dar,

AC=6,9,

2,6

=BC,

şi, în consecinţă, aşa cum se vede:

19

AB,

deoarece nu sunt satisfăcute toate condiţiile din Lema 2.4.2.15.

Pe de altă parte, avem următoarele rezultate:

Corolarul 2.4.3.15: Dacă A, B, CP(E), avem implicaţia:

(AC) [(A\B)(C\B)]. (2.4.3.27)

Demonstraţie: Implicaţia din enunţ rezultă din Definiţiile 2.2.1, respectiv 2.4.3.1 şi incluziunea

(2.4.3.2).

Observaţia 2.4.3.16: Dacă A, B, CP(E), atunci:

((A\B)C) ⇏ [(AC) (BC)]. (2.4.3.28)


A=2,4,6,8,

B=1,2,3,4,5,9,

C=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

atunci:

A\B=6,8C

dar:

AC

şi

BC.

Deci, utilizând diagramele Venn – Euler, această situaţie se prezintă astfel:

B A C.

Definiţia 2.4.3.17: Fie E o mulţime şi AE. Diferenţa E\A se numeşte complementara lui A în

raport cu E şi o notăm cu CE(A). Prin urmare:

CE(A)={xE xA}. (2.4.3.29)

Exemplele 2.4.3.18: 1) Fie mulţimea:

E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Atunci, o submulţime a mulţimii E este:

A={1,3,5,7,9}.

Complementara mulţimii A în raport cu E este mulţimea:

20

CE(A)={xE xA}

={0,2,4,6,8}.

2) Fie mulţimile de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 2). Atunci, mulţimea N, a numerelor naturale

este o submulţime a mulţimii Z, a numerelor întregi. Deci, complementara mulţimii A în raport

cu B este mulţimea:

CB(A)={xB xA}

=Z-,

unde Z- este mulţimea numerelor întregi negative.


B

.

Din Definiţia 2.4.3.17 obţinem:

Observaţia 2.4.3.19: Dacă AP(E), atunci:

CE(A)E;

(2.4.3.30)

deci

CE(A)P(E), (2.4.3.30)

adică, complementara unei submulţimi A a unei mulţimi E este (tot) o submulţime a lui E.

Primele proprietăţi ale complementarei sunt prezentate în următoarele două teoreme.

Teorema 2.4.3.20: Fie E o mulţime oarecare. Dacă AP(E), atunci au loc următoarele

echivalenţe:

[CE(A)=E] (A=); (2.4.3.31)

[CE(A)=] (A=E). (2.4.3.32)

Demonstraţie: Conform rezultatelor de mai sus avem următoarele echivalenţe:

1) Pentru echivalenţa (2.4.3.31):

[CE(A)=E] (E\A=E) (conform Definiţiei 2.4.3.17)

(EA=) (conform primei echivalenţe de la (2.4.3.18))

(A=) (conform egalităţilor (2.4.2.8) şi (2.2.12)).

2) Pentru echivalenţa (2.4.3.32):

[CE(A)=] (E\A=) (conform Definiţiei 2.4.3.17)

(EA) (conform echivalenţei (2.4.3.12))

21

CB(A)

A

(E=A) (conform Propoziţiei 2.2.14).

Teorema 2.4.3.21: Fie E o mulţime oarecare. Dacă AP(E), atunci au loc următoarele egalităţi:

ACE(A)=E; (2.4.3.33)

ACE(A)=; (2.4.3.34)

CE(CE(A))=A (legea dublei negaţii). (2.4.3.35)

Corolarul 2.4.3.22: Dacă A, BP(E), atunci au loc următoarele echivalenţe:

(AB=) [BCE(A)]; (2.4.3.36)

(AB=E) [CE(A)B]. (2.4.3.37)

Teorema 2.4.3.21 şi Corolarul 2.4.3.22 vor fi demonstrate în Subcapitolul 3.1.

Corolarul 2.4.3.23: Dacă A, BP(E), atunci are loc următoarea echivalenţă:

[(AB=) (AB=E)] [B=CE(A)]. (2.4.3.38)

Demonstraţie: Echivalenţa din enunţ rezultă din Corolarul 2.4.3.22 şi Propoziţia 2.2.14.

Altfel: Conform Corolarului 2.4.3.22 şi Teoremei 2.4.3.21, putem aplica Lema 2.4.2.16 pentru

C=CE(A),

deoarece, în acest caz,

AB=ACE(A),

şi

AB=ACE(A).

Teorema următoare, care va fi (şi ea) demonstrată în Subcapitolul 3.1, prezintă alte

proprietăţi ale complementarei.

Teorema 2.4.3.24: Dacă A, BP(E), atunci au loc următoarele egalităţi:

(AB)[ACE(B)]=A

=(AB)[ACE(B)]; (2.4.3.39)

[CE(A)B]A=AB; (2.4.3.40)

A\B=CE(B)\CE(A); (2.4.3.41)

CE(AB)=CE(A)CE(B) (2.4.3.42)

şi

CE(AB)=CE(A)CE(B) (Legile lui De Morgan). (2.4.3.43)

În continuare vom demonstra alte rezultate referitoare la complementara unei submulţimi

în raport cu mulţimea totală E.


(AB) [CE(B)CE(A)]. (2.4.3.44)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici, avem următoarele echivalenţe:

22

(AB) (A\B=) (conform echivalenţei (2.4.3.12))

[CE(B)\CE(A)=] (conform egalităţii (2.4.3.41))

[CE(B)CE(A)] (conform echivalenţei (2.4.3.12)).


(A=B) [CE(A)=CE(B)]. (2.4.3.45)

Demonstraţie: Echivalenţa din enunţ rezultă din Propoziţia 2.2.14 şi Corolarul 2.4.3.25.

Din Definiţia 2.4.3.1 şi Definiţia 2.4.3.17 rezultă:

Observaţia 2.4.3.27: Pentru orice submulţimi A şi B ale mulţimii E, are loc egalitatea:

A\B=ACE(B). (2.4.3.46)

Se observă că prima egalitate de la (2.4.3.39) rezultă din egalităţile (2.4.3.9) şi (2.4.3.46).

Un prim rezultat ce rezultă acum este următorul:

Propoziţia 2.4.3.28: Dacă A, BP(E), atunci au loc următoarele echivalenţe:

[AB=ACE(B)] (B=); (2.4.3.47)

şi

[AB=ACE(B)] (B=E). (2.4.3.48)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici avem echivalenţele:

[AB=ACE(B)] [(ACE(B))(A\CE(B))]B=ACE(B) (conform egalităţii

(2.4.3.9), înlocuind pe B cu CE(B))

(ACE(B))[(AB)B]=ACE(B) (conform egalităţilor

(2.4.3.46) şi (2.4.3.35))

[(ACE(B))B=ACE(B)] (conform egalităţii (2.4.2.19))

[BACE(B)] (conform echivalenţei (2.4.1.6))

(B=) (conform egalităţilor (2.4.3.34) şi (2.4.1.8) şi echivalenţei

(2.2.9)).

Astfel am demonstrat că are loc echivalenţa (2.4.3.47). Echivalenţa (2.4.3.48) se obţine analog,

sau: înlocuind pe B cu CE(B) în echivalenţa (2.4.3.47) şi ţinând cont de echivalenţa (2.4.3.32).


Corolarul 2.4.3.29: Pentru orice submulţimi A şi B ale mulţimii E, are loc egalitatea:

A\CE(B)=AB. (2.4.3.49)

Din egalităţile (2.4.3.46), (2.4.3.49), (2.4.3.42) şi (2.4.1.4) obţinem:

Corolarul 2.4.3.30: Pentru orice submulţimi A şi B ale mulţimii E, are loc egalitatea:

CE(B)\A=CE(AB). (2.4.3.50)

Corolarul 2.4.3.31: Pentru orice A, BP(E), avem egalitatea:

23

CE(A\B)=BCE(A). (2.4.3.51)

Demonstraţie: Conform celor demonstrate mai sus, avem următoarele egalităţi:

CE(A\B)=CE(ACE(B)) (conform egalităţii (2.4.3.46))

=CE(A)CE(CE(B)) (conform egalităţii (2.4.3.43))

=BCE(A) (conform egalităţilor (2.4.3.35) şi (2.4.1.4)).

Acum, din egalităţile (2.4.3.40) şi (2.4.3.51), obţinem:


CE(A\B)A=AB.

(2.4.3.52)

În continuare redăm alte câteva rezultate obţinute din cele prezentate până aici.

Corolarul 2.4.3.33: Pentru orice A, BP(E), avem egalităţile:

CE(AB)=CE(A)[ACE(B)]

=CE(B)[BCE(A)]. (2.4.3.53)

Demonstraţie: Ambele egalităţi din enunţ se obţin din egalităţile (2.4.3.7), (2.4.3.35) şi

(2.4.3.51).

Corolarul 2.4.3.34: Pentru orice A, BP(E), avem egalităţile:

CE(AB)=(A\B)CE(A)

=(B\A)CE(B). (2.4.3.54)

Demonstraţie: Ambele egalităţi din enunţ rezultă din egalităţile (2.4.3.8) şi (2.4.3.51).

Corolarul 2.4.3.35: Pentru orice A, BP(E), avem echivalenţa:

[CE(A)CE(B)=] (AB=E). (2.4.3.55)

Demonstraţie: Din cele prezentate în acest subcapitol obţinem echivalenţele:

[CE(A)CE(B)=] [CE(AB)=] (conform egalităţii (2.4.3.36))

(AB=E) (conform echivalenţei (2.4.3.32)).


[CE(A)CE(B)=E] (A=B=). (2.4.3.56)


[CE(A)CE(B)=E] [CE(AB)=E] (conform egalităţii (2.4.3.42))

(AB=) (conform echivalenţei (2.4.3.31))

(A=B=) (conform echivalenţei (2.4.1.10)).

Dualele ultimelor două propoziţii sunt următoarele:


[CE(A)CE(B)=] (A=B=E). (2.4.3.57)

24

Demonstraţie: Din cele prezentate în acest subcapitol obţinem echivalenţe:

[CE(A)CE(B)=] [CE(AB)=] (conform egalităţii (2.4.3.43))

(AB=E) (conform echivalenţei (2.4.3.32))

(A=B=E) (conform echivalenţei (2.4.2.11)).


[CE(A)CE(B)=E] (AB=). (2.4.3.58)


[CE(A)CE(B)=E] [CE(AB)=E] (conform egalităţii (2.4.3.43))

(AB=) (conform echivalenţei (2.4.3.31)).

Tot din cele prezentate până aici, obţinem (şi) următoarele rezultate:


CE(A\B)CE(B\A)=E. (2.4.3.59)

Demonstraţie: Egalitatea din enunţ rezultă prin trecerea la complementară în egalitatea (2.4.3.11)

şi aplicând, apoi, echivalenţa (2.4.3.31) şi egalitatea (2.4.3.43).

Corolarul 2.4.3.40: Pentru orice A, B şi CP(E), avem egalităţile:

[CE(A)B][CE(B)C][CE(C)A]=[ACE(B)][BCE(C)][CCE(A)]. (2.4.3.60)

Demonstraţie: Egalitatea din enunţ rezultă din egalităţile (2.4.3.17), (2.4.3.42) şi (2.4.3.51).

Datorită egalităţilor (2.4.3.51) şi (2.4.3.43), rezultatul de la Corolarul 2.4.3.13 poate fi

scris folosind numai egalităţi şi reuniuni de mulţimi, astfel:

Observaţia 2.4.3.41: Pentru două mulţimi A şi B următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) A=B; (2.1.6)


[CCE(A)=CCE(B)] [CE(C)CE(A)=CE(C)CE(B)]. (2.4.3.61)

Observaţia 2.4.3.42: Pentru orice mulţime A, următorul sistem:

(2.4.3.62)

admite soluţia unică

X=CE(A). (2.4.3.62’)

Alte consecinţe ale celor prezentate aici sunt redate în continuare.

Corolarul 2.4.3.43: Pentru orice A, BP(E), avem incluziunea:

CE(A)\CE(B)CE(A\B). (2.4.3.63)

Demonstraţie: Din egalităţile (2.4.3.41) şi (2.4.3.46) obţinem egalităţile:

(1) CE(A)\CE(B)=B\A

25

=BCE(A).

Acum, din egalitatea (1), incluziunea (2.4.2.13) şi egalitatea (2.4.3.51), obţinem incluziunea din

enunţ.

În finalul acestei secţiuni vom determina cardinalul diferenţei a două mulţimi:

Corolarul 2.4.3.44: Pentru orice mulţimi A şi B, are loc egalitatea:

A\B=A-AB.

(2.4.3.64)

Demonstraţie: Pentru orice mulţimi A şi B, are loc egalitatea (2.4.3.9):

(A\B)(AB)=A.

Atunci, din această egalitate, Teorema 2.4.2.16, egalitatea (2.4.3.10) şi Corolarul 2.4.2.17, rezultă

că:

A=A\B+AB,

ceea ce echivalează cu egalitatea (2.4.3.64).

Corolarul 2.4.3.45: Pentru orice mulţime E şi orice submulţime A a lui E, are loc egalitatea:

CEA=E-A.

(2.4.3.65)

Demonstraţie: Dacă AP(E), atunci are loc egalitatea (2.4.2.8). Acum egalitatea din enunţ

rezultă din Definiţia 2.4.3.17 şi egalitatea (2.4.3.64).

2.4.4 Diferenţa simetrică a mulţimilor

În această secţiune vom prezenta o altă operaţie cu mulţimi, precum şi proprietăţile

fundamentale ale acestei operaţii. Toate rezultatele prezentate aici şi nedemonstrate, vor fi

demonstrate în Subcapitolul 7.2.


AB=(A\B)(B\A). (2.4.4.1)

se numeşte diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B.

Exemplele 2.4.4.2: 1) Fie mulţimile A şi B de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 1). Atunci, diferenţa

lor simetrică este mulţimea:

AB={c,i,f}{n,u,m}

={c,i,f,n,u,m}.

2) Fie mulţimile de la Exemplele 2.4.1.2, punctul 2). Atunci, diferenţa simetrică a mulţimilor A şi

B este mulţimea:

AB=(N\Z)(Z\N)

26

şi, conform cu Definiţia 2.4.1.1 şi Exemplele 2.4.3.2, punctul 2), avem:

AB=Z-

=Z-.


A B

AB .


ABE, (2.4.4.2)

deci

ABP(E), (2.4.4.2)

adică diferenţa simetrică a două submulţimi A şi B ale unei mulţimi totale E este (tot) o

submulţime a lui E.

Primele rezultate referitoare la diferenţa simetrică a două mulţimi sunt prezentate în

următoarele cinci propoziţii.

Propoziţia 2.4.4.4: Dacă E este o mulţime oarecare, atunci pentru orice A şi BP(E), are loc

echivalenţa:

(AB=) (A=B). (2.4.4.3)

Demonstraţie: Conform celor prezentate în acest subcapitol, avem echivalenţele:

AB= [(A\B=) (B\A=)] (conform Definiţiei 2.4.4.1 şi echivalenţei (2.4.1.10))

[(AB) (BA)] (conform echivalenţei (2.4.3.12))

A=B (conform Propoziţiei 2.2.14).

Propoziţia 2.4.4.5: Dacă E este o mulţime oarecare şi A, BP(E), atunci are loc echivalenţa:

(AB=A) (B=). (2.4.4.4)

Demonstraţie: Vom demonstra echivalenţa din enunţ prin două metode.

Metoda I: () Presupunem că:

(1) AB=A.

Atunci, conform Definiţiei 2.4.4.1 şi echivalenţei (2.4.1.6), avem:

(2) B\AA.

Din incluziunile (2) şi (2.2.10) şi implicaţia (2.4.1.11), obţinem că:

(B\A)AA,

27

A\B B\A

ceea ce, împreună cu prima egalitate de la (2.4.3.7) şi echivalenţa (2.2.12), conduce la:

(3) AB=A.

Din egalitatea (3) şi echivalenţa (2.4.1.6) rezultă că:

(4) BA,

care împreună cu echivalenţa (2.4.2.7) conduce la:

(5) AB=B.

Incluziunea (4) şi echivalenţa (2.4.3.12), ne conduce la egalitatea:

(6) B\A=.

În acest caz, conform egalităţilor (1), (6), (2.4.1.8) şi Definiţiei 2.4.4.1, obţinem că:

(7) A\B=A.

Din egalitatea (7), prima echivalenţă de la (2.4.3.18), egalitatea (5) şi implicaţa (2.2.14) rezultă

că:

(8) B=.

Astfel am demonstrat că:

(9) (AB=A) (B=).

() Reciproc, presupunem că are loc egalitatea (8). Atunci, conform Observaţiei 2.2.8 şi egalităţii

(2.4.3.4), au loc egalităţile (6) şi (7), caz în care, conform Definiţiei 2.4.4.1 şi egalităţii (2.4.1.8),

are loc egalitatea (1). Aşadar, am demonstrat (şi) că:

(10) (B=) (AB=A).

Din implicaţiile (9) şi (10) şi Observaţia 1.1.29, rezultă echivalenţa din enunţ.

Metoda II: Conform celor prezentate până aici, avem următoarele echivalenţe:

AB=A [(A\B)(B\A)=A] (conform Definiţiei 2.4.4.1)

[(A\B)(B\A)=(A\B)(AB)] (conform egalităţii (2.4.3.9) şi implicaţiei

(2.2.12))

(B\A=AB) (conform egalităţilor (2.4.3.10) şi (2.4.3.11) şi Lemei 2.4.2.15)

(B=) (conform echivalenţei (2.4.3.14).

Propoziţia 2.4.4.6: Fie E o mulţime oarecare. Dacă A şi BP(E), atunci are loc egalitaea:

A(AB)=A\B. (2.4.4.5)

Demonstraţie: Conform celor prezentate până aici avem egalităţile:

A(AB)=A[(A\B)(B\A)] (conform Definiţiei 2.4.4.1)

=[A(A\B)][A(B\A)] (conform egalităţii (2.4.2.16))

=[A(A\B)] (conform Definiţiilor 2.4.2.1 şi 2.4.3.1))

=A\B (conform echivalenţei (2.4.2.7) şi egalităţii (2.4.1.8)).

28

Propoziţia 2.4.4.7: Fie E o mulţime oarecare. Dacă A, B, CP(E), atunci are loc echivalenţa:

(ABC) [(A\BC) (B\AC)]. (2.4.4.6)

Demonstraţie: Echivalenţa (2.4.4.6) rezultă din Definiţia 2.4.4.1 şi echivalenţa (2.4.1.12).

Propoziţia 2.4.4.8: Fie E o mulţime oarecare. Dacă A, B, CP(E), atunci are loc implicaţia:

(ABC) (ABC=). (2.4.4.7)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici, rezultă că au loc următoarele implicaţii:

(ABC) [A(B\C)(C\B)] (conform Definiţiei 2.4.4.1)

ABC[(B\C)(C\B)](BC) (conform implicaţiei (2.4.2.12))

ABC[(B\C)(BC)][(C\B)(BC)] (conform egalităţii

(2.4.2.16))

(ABC) (conform egalităţii (2.4.3.10))

(ABC=) (conform egalităţii (2.4.1.8), incluziunii (2.2.6) şi Propoziţiei

2.2.14).

Observaţia 2.4.4.9: Implicaţia (2.4.4.7) nu este echivalenţă, deoarece există mulţimi E, A. B şi C,

cu A, B şi CP(E), astfel încât:

(ABC=) ⇏ (ABC).

(2.4.4.8)

Demonstraţie: Într-adevăr, fie mulţimile:

E=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

A=1,5,7,

B=0,2,4,6,8,

şi

C=3,4,9.

Atunci avem egalităţile:

B\C=0,6,

C\B=3,9,

BC=0,3,6,9,

ABC=

şi

ABC;

ba, mai mult,

A(BC)=.

Proprietăţile fundamentale ale diferenţei simetrice a două mulţimi sunt redate în

29

următoarele două teoreme.

Teorema 2.4.4.10: Fie E o mulţime oarecare. Dacă A şi BP(E), atunci au loc următoarele

egalităţi:

AB=BA (comutativitatea); (2.4.4.9)

A=A

=A ( este element neutru în raport cu diferenţa simetrică); (2.4.4.10)

(AB)(AB)=. (2.4.4.11)

Teorema 2.4.4.11: Fie E o mulţime oarecare. Dacă A, B, CP(E), atunci au loc următoarele

egalităţi:

(AB)C=A(BC) (asociativitatea); (2.4.4.12)

A(BC)=(AB)(AC) (2.4.4.13)

şi

(AB)C=(AC)(BC) (distributivitatea faţă de ). (2.4.4.13)

Corolarul 2.4.4.12: Dacă E este o mulţime oarecare şi A, BP(E), atunci are loc echivalenţa:

(AB=E) (B=CE(A)). (2.4.4.14)

Demonstraţie: Conform celor prezentate în acest capitol, avem echivalenţele:

AB=E [(A\B)(B\A)=E] (conform Definiţiei 2.4.4.1)

[B\A=CE(A\B)] (conform egalităţii (2.4.3.11) şi echivalenţei (2.4.3.38))

[BCE(A)=BCE(A)] (conform egalităţilor (2.4.3.46) şi (2.4.3.51)

B=CE(A) (conform echivalenţei (2.4.2.21)).

Observaţia 2.4.4.13: Conform cu Observaţia 2.4.3.27 diferenţa simetrică se mai exprimă şi prin:

AB=[ACE(B)][BCE(A)]. (2.4.4.15)

Din Corolarul 2.4.3.10 şi Definiţia 2.4.4.1 obţinem:

Corolarul 2.4.4.14: Dacă E o mulţime oarecare, atunci pentru orice A şi BP(E), are loc

egalitatea:

AB=(AB)(AB). (2.4.4.16)

Din Corolarul 2.4.4.14 şi egalitatea (2.4.4.11), obţinem:


egalitatea:

AB=(AB)\(AB). (2.4.4.17)

Din egalitatea (2.4.4.16), echivalenţele (2.4.1.6) şi (2.4.2.7), egalitatea (2.4.4.11) şi

echivalenţa (2.2.9), obţinem:


30

echivalenţa:

(AB=AB) (AB=). (2.4.4.18)

Acum, putem arăta că există situaţii când implicaţia (2.4.4.7) devine echivalenţă:

Propoziţia 2.4.4.17: Fie E o mulţime oarecare şi A, B, CP(E). Dacă are loc egalitatea:

ACE(BC)=, (2.4.4.19)

atunci are loc echivalenţa:

(ABC) (ABC=). (2.4.4.20)

Demonstraţie: Presupunem că are loc egalitatea (2.4.4.19) şi că:

(1) ABC=.

Atunci au loc următoarele egalităţi:

(2) A=AE (conform egalităţii (2.4.2.8))

=A[(BC)CE(BC)] (conform egalităţii (2.4.3.33)

=[A(BC)][ACE(BC)] (conform egalităţii (2.4.2.16))

=A[(BC)(BC)] (conform ipotezei şi egalităţii (2.4.4.16))

=A[(BC)(BC)] (conform egalităţii (2.4.1.8))

=[A(BC)][A(BC)] (conform egalităţii (2.4.2.16))

=[A(BC)][ABC] (conform Observaţiei 2.4.2.10)

=[A(BC)] (conform egalităţii (1))

=A(BC) (conform egalităţii (2.4.1.8)).

Din egalităţile extreme de la (2) şi echivalenţa (2.4.2.7), rezultă că:

(3) ABC,

şi astfel am demonstrat că:

(4) (ABC=) (ABC).

Din implicaţiile (4) şi (2.4.4.7) şi Observaţia 1.1.29, obţinem echivalenţa (2.4.4.20).

Din egalităţile (2.4.3.41) şi (2.4.1.4) şi Definiţia 2.4.4.1 obţinem altă structură a lui AB:


AB=CE(A)CE(B). (2.4.4.21)



CE(A)CE(B)=[ACE(B)][BCE(A)]. (2.4.4.22)



[CE(A)CE(B)](AB)=. (2.4.4.23)

31

Din egalităţile (2.4.4.15), (2.4.3.41), (2.4.3.42) şi (2.4.3.35), obţinem:

Corolarul 2.4.4.21 Pentru orice A, BP(E), avem egalitatea:

CE(AB)=[ACE(B)][BCE(A)]. (2.4.4.24)

Pe de altă parte, din Definiţia 2.4.4.1, echivalenţa (2.4.1.6), implicaţia (2.4.2.12) şi

egalitatea (2.4.3.11), obţinem:


(AB=A\B) (BA). (2.4.4.25)

Din Corolarul 2.4.4.22 rezultă:

Corolarul 2.4.4.23: Pentru orice AP(E), avem egalitatea:

EA=CE(A). (2.4.4.26)

Din Corolarul 2.4.4.22 şi egalitatea (2.4.3.29), rezultă:

Corolarul 2.4.4.24: Pentru orice AP(E), avem egalitatea:

A(AB)=B\A. (2.4.4.27)

În Corolarul 2.4.3.43 am arătat că CE(A)\CE(B) este o submulţime a mulţimii CE(A\B).

Următorul rezultat confirmă şi el acest lucru, prezentând o anumită structură a lui CE(A\B).

Propoziţia 2.4.4.25: Dacă E este o mulţime oarecare, atunci pentru orice A şi BP(E), are loc

egalitatea:

CE(A\B)=[CE(A)\CE(B)][BCE(A)]. (2.4.4.28)

Demonstraţie: Conform celor prezentate mai sus, avem egalităţile:

CE(A\B)=BCE(A) (conform egalităţii (2.4.3.51))

=(BCE(A))(BCE(A)) (conform egalităţii (2.4.4.16))

=(BCE(A))(CE(A)\CE(B)) (conform egalităţii (2.4.3.46)).

Echivalenţa (2.4.2.21) ne prezintă o condiţie necesară şi suficientă pentru care reuniunea a

două mulţimi este egală cu intersecţia lor. În continuare vom vedea ce devine această echivalenţă

dacă reuniunea sau intersecţia se inlocuieşte (pe rând!) cu diferenţa simetrică. Astfel:

A) Înlocuind în echivalenţa (2.4.2.21) reuniunea cu diferenţa simetrică obţinem:

Propoziţia 2.4.4.26: Dacă A, BP(E) atunci are loc echivalenţa:

(AB=AB) (A=B=). (2.4.4.29)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici rezultă următoarele echivalenţe:

(AB=AB) (AB=AB=) (conform egalităţii (2.4.4.11) şi Corolarului (2.4.2.14))

(A=B=) (conform echivalenţei (2.4.4.3) şi egalităţilor (2.4.2.4) şi

(2.4.2.9)).

B) Înlocuind în echivalenţa (2.4.2.21) intersecţia cu diferenţa simetrică obţinem:

32

Propoziţia 2.4.4.27: Dacă A, BP(E) atunci are loc echivalenţa:

(AB=AB) (AB=). (2.4.4.30)

Demonstraţie: Din cele prezentate până aici rezultă următoarele echivalenţe:

(AB=AB) (AB=) (conform egalităţilor (2.4.4.16) şi (2.4.4.11).

Lema 2.4.2.15 ne prezintă o condiţie necesară şi suficientă, (2.4.2.22), pentru egalitatea a

două mulţimi. În continuare, vom vedea că înlocuind, în relaţia (2.4.2.22), reuniunea cu diferenţa

simetrică, respectiv intersecţia cu diferenţa simetrică, egalitatea (2.1.6) nu se schimbă, adică, vom

obţine, iarăşi, de fiecare dată, câte o altă condiţie necesară şi suficientă pentru egalitatea a două

mulţimi. Astfel:

C) Înlocuind în relaţia (2.4.2.22) reuniunea cu diferenţa simetrică obţinem:


1) A=B; (2.1.6)

2) Există o mulţime C, astfel încât:

[(AC=BC) (AC=BC)]. (2.4.4.31)

Demonstraţie: 1) implică 2) Dacă are loc egalitatea (2.1.6), atunci egalităţile de la (2.4.4.31) au

loc, pentru orice mulţime C.


loc. Atunci au loc următoarele egalităţi:

AC=(AC)(AC) (conform egalităţii (2.4.4.16))

=(BC)(BC) (conform ipotezei)

=BC (conform egalităţii (2.4.4.16)).

Rezultă că sunt îndeplinite ambele condiţii de la (2.4.2.22) şi, astfel, egalitatea (2.1.6) are loc.

D) Înlocuind în relaţia (2.4.2.22) intersecţia cu diferenţa simetrică obţinem:


1) A=B; (2.1.6)

2) Există o mulţime C, astfel încât:

[(AC=BC) (AC=BC)]. (2.4.4.32)

Demonstraţie: 1) implică 2) Dacă are loc egalitatea (2.1.6), atunci egalităţile de la (2.4.4.32) au

loc, pentru orice mulţime C.


loc. Atunci, din ipoteză şi din egalitatea (2.4.4.16), rezultă egalităţile:

(1) AC=(AC)(AC);

(2) BC=(BC)(BC).

33

Acum, din ipoteză şi egalităţile (1), (2), şi (2.4.4.17), obţinem că:

(1) AC=(AC)\(AC)

=(BC)\(BC)

=BC.

Rezultă că putem aplica Lema 2.4.4.28. Deci, şi în acest caz, are loc egalitatea (2.1.6).

De fapt, referitor la egalitatea (2.1.6), avem următorul rezultat, pe care il vom demonstra

în Subcapitolul 7.2:

Teorema 2.4.4.30: Dacă A, B, CP(E), atunci avem egalitatea:

(AC=BC) (A=B). (2.4.4.33)

În finalul acestei secţiuni, vom determina cardinalul diferenţei simetrice a două mulţimi

finite:

Propoziţia 2.4.4.31: Dacă A şi B sunt mulţimi finite, atunci:

AB=A\B+B\A.

(2.4.4.75)

Demonstraţie: Egalitatea din enunţ rezultă din Definiţia 2.4.4.1, Teorema 2.4.2.16 şi din faptul

că:

(A\B)(B\A)= (vezi egalitatea (2.4.3.11)).

În finalul acestui subcapitol, precizăm că un exerciţiu foarte instructiv, care poate fi

realizat cu copii din ciclul primar şi gimnazial şi prin care sunt pregătite perceperea şi formarea

noţiunilor de submulţime, mulţime a părţilor unei mulţimi şi a operaţiilor cu mulţimi, respectiv a

proprietăţilor acestora este următorul: „Se consideră un pătrat care se imparte în patru pătrate şi

se cere elevilor să coloreze aceste părţi în toate modurile posibile”. Această operaţie va conduce

la construirea efectivă a mulţimii părţilor unei mulţimi E, dar şi la verificarea proprietăţilor

operaţiilor cu submulţimi ale lui E.

E A B AB AB

CE(A) CE(B) CE(A)CE(B) CE(A)CE(B) A\B B\A

34

ACE(B) BCE(A) ACE(B) BCE(A) AB CE(AB)

CE(A)\CE(B) A\CE(B) B\CE(A) CE(AB) CE(AB) (A\B)(B\A)

În acest sens se vor fixa două submulţimi A şi B (vezi figurile de mai sus) şi sa va

propune elevilor să facă legătura între părţile colorate şi cele două (sub)mulţimi date A şi B,

exprimând în limbaj comun observaţiile făcute. Altfel spus, ei vor identifica (sub)mulţimile

obţinute prin operaţiile specificate sub ele.

Acest exerciţiu se poate extinde, în măsura posibilităţilor de înţelegere a copiilor, la o

diagramă formată dintr-un dreptunghi împărţit în opt pătrate, în care se dau trei (sub)mulţimi: A,

B şi C ale unei mulţimi E şi se cere colorarea pătratelor mulţimii E astfel încât partea colorată să

conţină pătrate situate în mulţimile A, B sau C. De exemplu:

E A B

C AB (AB)C

AC BC (AC)(BC)

2.4.5 Produsul cartezian

Produsul cartezian a două mulţimi stă la baza definirii noţiunii de relaţie – noţiune de bază

în toată Matematica. El se bazează pe noţiunea de „cuplu”.

Definiţia 2.4.5.1: Fie A şi B două mulţimi nevide şi aA, bA. Numim cuplu sau sistem de două

35

elemente, o pereche ordonată (a,b) în care a este primul element al cuplului şi b este al doilea

element al cuplului.

Un prim rezultat prezintă o condiţie necesară şi suficientă pentru egalitatea a două cupluri.

Teorema 2.4.5.2: Dacă (a,b) şi (a,b) sunt două cupluri, atunci:

[(a,b)=(a,b)] [(a=a) (b=b)]. (2.4.5.1)

Demonstraţie: Două mulţimi finite şi ordonate sunt egale dacă şi numai dacă au aceleaşi

elemente şi elementele de acelaşi rang (de pe aceeaşi poziţie) coincid, în ambele mulţimi.

Exemplul 2.4.5.3: Are loc echivalenţa:

[(a,6)=(1,b)] (a=1, b=6).

Din Teorema 2.4.5.2 obţinem:

Corolarul 2.4.5.4: Următoarele egalităţi sunt echivalente:

[(a,b)=(b,a)] (a=b). (2.4.5.2)

Acum putem introduce noţiunea de produs cartezian al mulţimilor.

Definiţia 2.4.5.5: Fie A şi B două mulţimi nevide. Se numeşte produs cartezian al mulţimilor A şi

B mulţimea:

AB={(a,b) aA şi bB},

(2.4.5.3)

adică, mulţimea perechilor ordonate (cuplelor) ce se pot forma luând ca prim element al perechii

un element din A şi ca al doilea element, un element din B.

Exemplul 2.4.5.6: Dacă:

A=1,2,3

şi

B=a,b,c,d,

atunci:

AB=(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(3,a),(3,b),(3,c),(3,d).

În general, produsul cartezian a două mulţimi nu este comutativ.

Observaţia 2.4.5.7: În general, dacă A şi B sunt două mulţimi nevide, atunci:

ABBA.

(2.4.5.4)

Exemplul 2.4.5.8: Fie:

A={1,2}

şi

B={1,2,3}.

36

Atunci avem:

AB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

şi

BA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}.

Deci, relaţia (2.4.5.4) are loc.

Egalitaea a două produse carteziene, a câte două mulţimi este redată în următorul rezultat.

Teorema 2.4.5.9: Dacă A, B, C şi D sunt mulţimi oarecare, nevide, atunci:

(AB=CD) [(A=C) (B=D)].

(2.4.5.5)

Demonstraţie: Dacă:

(1) (A=C) (B=D),

atunci:

(2) AB=CD.

Reciproc, presupunem că are loc egalitatea (2). Atunci, oricare ar fi (a,b)AB, rezultă că:

(a,b)CD

şi invers. Deci, orice element al lui A este şi al lui C şi invers, iar orice element al lui B este şi al

lui D şi invers. Aşadar, au loc egalităţile (1).

Corolarul 2.4.5.10: Pentru orice două mulţimi nevide A şi B, avem:

[AB=BA] (A=B).

(2.4.5.6)

Demonstraţie: Aplicăm Teorema 2.4.5.9, pentru:

C=B

şi

D=A.

Se impun aici două observaţii:

Observaţia 2.4.5.11: Dacă A este o mulţime oarecare, atunci, conform Corolarului 2.4.5.10 şi

Definiţiei 2.4.5.1 – când:

B=A,

putem vorbi de mulţimea:

A2={(a1,a2) a1, a2A}. (2.4.5.7)

Exemplul 2.4.5.12: Dacă:

A=1,2,3,

atunci:

37

A2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.

Un caz particular de produs cartezian îl obţinem atunci când una din mulţimi este

mulţimea vidă.

Observaţia 2.4.5.13: Dacă A este o mulţime oarecare, atunci, conform Observaţiei 2.2.8 putem

defini produsul cartezian al mulţimii A cu mulţimea vidă, , prin egalitatea:

A=. (2.4.5.8)

Observaţia 2.4.5.14: Din egalitatea (2.4.5.8) rezultă că afirmaţiile din Observaţia 2.4.5.7,

Teorema 2.4.5.9 şi Corolarul 2.4.5.10 nu sunt adevărate dacă una din mulţimi este mulţimea

vidă.


A=1,2,

atunci:

A=

=A,

şi totuşi

A.

Prezentăm, în continuare, proprietăţile fundamentale ale produsului cartezian a două

mulţimi.

Teorema 2.4.5.15: Dacă E este o mulţime oarecare, au loc următoarele proprietăţi:

P1) Pentru orice A, şi BP(E), avem:

(AB=) [(A=) (B=)]; (2.4.5.9)

P2) Pentru orice A, B, C şi DP(E), avem:

(AB)(CD)=(AC)(BC)(AD)(BD);

(2.4.5.10)



(2.4.5.11)

P4) Pentru orice A, B şi CP(E), avem:

(A\B)C=(AC)\(BC)

(2.4.5.12)

şi

A(B\C)=(AB)\(AC);

(2.4.5.12)

38


CE(AB)=[CE(A)E][ECE(B)];

(2.4.5.13)


[(AC) (BD)] [AB(AD)(CB)].

(2.4.5.14)

Demonstraţie: P1) Echivalenţa din enunţ rezultă din Definiţia 2.4.5.5 şi Observaţia 2.4.5.13.

Conform celor prezentate până aici, avem următoarele echivalenţe:

P2) Pentru egalitatea (2.4.5.10):

(x,y)(AB)(CD) [(xAB) (yCD)] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

[(xA) (xB)] [(yC) (yD)] (conform Definiţiei

(2.4.1.1)

[(xA) (yC)] [(xB) (yC)] [(xA) (yD)]

[(xB) (yD)] (conform legilor de distributivitate (1.1.20)

şi (1.1.20))

[(x,y)AC] [(x,y)BC] [(x,y)AD] [(x,y)BD]

(conform Definiţiei 2.4.5.1)

(x,y)(AC)(BC)(AD)(BD) (conform Definiţiei

2.4.1.1)).

Aşadar, are loc egalitatea (2.4.5.10).


(x,y)(AB)(CD) [(xAB) (yCD)] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

[(xA) (xB)] [(yC) (yD)] (conform Definiţiei

(2.4.2.1)

[(xA) (yC)] [(xB) (yC)] [(xA) (yD)]

[(xB) (yD)] (conform legii de asociativitate (1.1.19))

[(x,y)AC] [(x,y)BC] [(x,y)AD] [(x,y)BD]

(conform Definiţiei 2.4.5.1)

(x,y)(AC)(BC)(AD)(BD) (conform Definiţiei

2.4.2.1)).



(x,y)(A\B)C [(xA\B) (yC)] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

39

[(xA) (xB)] (yC) (conform Definiţiei (2.4.3.1)

[(xA) (yC)] [(xB) (yC)] (conform legii de

asociativitate (1.1.19))

[(x,y)AC][(x,y)BC] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

(x,y)(AC)\(BC) (conform Definiţiei 2.4.3.1)).


Egalitatea (2.4.5.12) se demonstrează analog.


(x,y)CE(AB) [(xA) (yC)] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

[(xA) (yE)] [(xE) (yB)] (conform echivalenţei

(1.1.31))

[(x,y)CE(A)E][(x,y)ECE(B)] (conform Definiţiei 2.4.5.1)

(x,y)[CE(A)E][ECE(B)] (conform Definiţiei 2.4.1.1)).


P6) Echivalenţa din enunţ rezultă din Definiţiilor 2.2.1, respectiv 2.4.5.1.

Acum putem obţine şi alte proprietăţi ale produsului cartezian a două mulţimi.

Corolarul 2.4.5.16: Dacă E este o mulţime oarecare, au loc următoarele proprietăţi:


(AB)C=(AC)(BC)

(2.4.5.15)

şi

A(BC)=(AB)(AC);

(2.4.5.15)


(AB)C=(AC)(BC)

(2.4.5.16)

şi

A(BC)=(AB)(AC)

(2.4.5.16)


(A\B)(C\D)=[(AC)\(BC)]\[(AD)\(BD)];

(2.4.5.17)


40

(AB)C=(AC)(BC)

(2.4.5.18)

şi

A(BC)=(AB)(AC);

(2.4.5.18)



(2.4.5.19)

P12) Dacă A, B, C şi DP(E), atunci are loc echivalenţa:

[(AC) (BD)] (ABCD).

(2.4.5.20)

Demonstraţie: P7) Egalitatea (2.4.5.15) se obţine astfel:

(AB)C=(AB)(C) (conform egalităţii (2.4.1.8))

=(AC)(BC)(A)(B) (conform egalităţii (2.4.5.10))

=(AC)(BC) (conform egalităţii (2.4.5.8))

=(AC)(BC) (conform egalităţii (2.4.1.8))

Egalitatea (2.4.5.15) se obţine analog.

P8) Egalitatea (2.4.5.16) se obţine astfel:

(AB)C=(AB)(CE) (conform egalităţii (2.4.2.8))

=(AC)(BC)(AE)(BE) (conform egalităţii (2.4.5.11))

=[(AC)(AE)][(BC)(BE)] (conform egalităţii (2.4.2.5) şi

Observaţiei

(2.4.2.10))

=(AC)(BC) (conform echivalenţelor (2.4.2.7) şi (2.4.5.14))



(A\B)(C\D)=[(A\B)C]\[(A\B)D] (conform egalităţii (2.4.5.12)

=[(AC)\(BC)]\[(AD)\(BD)] (conform egalităţii (2.4.5.12)).


(AB)C=[(A\B)(B\A)]C (conform Definiţiei 2.4.4.1)

=[(A\B)C][(B\A)C] (conform egalităţii (2.4.5.15))

=[(AC)\(BC)][(BC)\(AC)] (conform egalităţii (2.4.5.12))

=(AC)(BC) (conform Definiţiei 2.4.4.1).

41


P11) Egalitatea (2.4.5.19) se obţine din egalităţile (2.4.5.18) şi (2.4.5.18).

P12) Echivalenţa (2.4.5.20) se obţine astfel:

[(AC) (BD)] [AB(AD)(CB)] (conform echivalenţei (2.4.5.14))

(ABCD) (conform Definiţiilor 2.2.1, respectiv 2.4.5.1 şi

implicaţiei (2.4.2.12), deoarece [(ADCD) (CBCB)]).

Din Teorema 2.4.5.15 şi Corolarul 2.4.5.16 obţinem:

Corolarul 2.4.5.17: Au loc următoarele afirmaţii:

1) Produsul catezian a două mulţimi este o operaţie distributivă şi la dreapta şi la stânga

faţă de reuniunea mulţimilor.


faţă de intersecţia mulţimilor.


faţă de diferenţa mulţimilor.


faţă de diferenţa simetrică a mulţimilor.

Demonstraţie: 1) Afirmaţia din enunţ rezultă din egalităţile (2.4.5.15), respectiv (2.4.5.15).

2) Afirmaţia din enunţ rezultă din egalităţile (2.4.5.16), respectiv (2.4.5.16).



Chiar dacă produsul cartezian a două mulţimi, în general, nu este comutativ (vezi

Observaţia 2.4.5.7 şi Exemplul 2.4.5.8), totuşi se verifică imediat următorul rezultat:

Observaţia 2.4.5.18: Pentru orice două mulţimi A şi B, avem:

AB=BA

=AB.

(2.4.5.21)

Produsul cartezian a două mulţimi numerice se poate reprezenta în plan, într-un sistem de

axe de coordonate carteziene.

Exemplul 2.4.5.19: Fie R mulţimea numerelor reale. Mulţimea:

R2=RR

se poate reprezenta ca mulţimea tuturor punctelor din plan în care s-a fixat un sistem de axe

ortogonale xOy, asociind la fiecare element (x,y)R2, punctul P(x,y) din plan, de abscisă x si

42

ordonată y, şi reciproc.

Dacă avem mulţimile:

A=[1,2]

şi

B=[1,3],

atunci AB este o submulţime a lui R2 şi are ca reprezentare în plan dreptunghiul haşurat PQRS

din Figura 1.1, unde:

P(1,1), Q(1,3), R(2,3) şi S(2,1).

Trecem acum la extinderea produsului cartezian de la două la mai multe, dar la un număr

finit de mulţimi.

Definiţia 2.4.5.20: Fie A, B şi C trei mulţimi nevide şi

aA,

bB

şi

cC.

Numim triplet sau sistem de trei elemente, notat (a,b,c), un cuplu de forma ((a,b),c), deci în care

primul element este la rândul lui un cuplu, (a,b), iar c este al doilea element al cuplului.

Teorema 2.4.5.2 o extindem pentru triplete.

Teorema 2.4.5.21: Dacă (a,b,c) şi (a,b,c) sunt două triplete, atunci:

[(a,b,c)=(a,b,c)] [(a=a, b=b) (c=c) ].

(2.4.5.22)

Demonstraţie: Din Definiţia 2.4.5.20, rezultă că:

[(a,b,c)=(a,b,c)] [((a,b),c)=((a,b),c)],

ceea ce, conform Teoremei 2.4.5.2, implică:

(a,b)=(a,b)

43

y

xO

3

1

1

1 2 3

Q R

P S

Figura 1.1

şi

c=c.

Aplicând încă o dată Teorema 2.4.5.2 pentru egalitatea:

(a,b)=(a,b),

obţinem afirmaţia din enunţ.

Exemplul 2.4.5.22: Are loc echivalenţa:

[(x,3,z)=(2,y,-5)] (x=2, y=3, z=-5).

Definiţia 2.4.5.23: Fie A, B, C şi D patru mulţimi nevide şi

aA,

bB

şi

cC.

Numim qvadruplu sau sistem de patru elemente, notat (a,b,c,d), un cuplu de forma ((a,b,c),d),

deci în care primul element este tripletul (a,b,c), iar d este al doilea element al cuplului.

Teorema 2.4.5.24: Dacă (a,b,c,d) şi (a,b,c,d) sunt două qvadruple, atunci:

[(a,b,c,d)=(a,b,c,d)] [(a=a, b=b, c=c) (d=d)].

(2.4.5.23)

Demonstraţie: Se aplică Teorema 2.4.5.2 şi Teorema 2.4.5.21.

Exemplul 2.4.5.25: Are loc echvalenţa:

[(9,β,-3,δ)=(α,-7,γ,0)] (α=9, β=-7, γ=-3, δ=0).

Definiţia 2.4.5.26: Fie nN, n2, A1, A2, …, An n mulţimi nevide şi

a1A1,

a2A2,

…,

anAn.

Numim n-uplu sau sistem de n elemente, notat sub forma (a1,a2,…,an), un cuplu de forma ((a1,a2,

…,an-1),an), deci în care primul element este un (n-1)-uplu: (a1,a2,…,an-1), iar an este al doilea

element al cuplului.

Teorema 2.4.5.27: Dacă (a1,a2,…,an) şi (b1,b2,…,bn) sunt două n-uple, atunci:

[(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)] (a1=b1, a2=b2, …, an=bn). (2.4.5.24)

Demonstraţie: Analog cu demonstraţia Teoremei 2.4.5.24, folosind Definiţia 2.4.5.26.

Definiţia 2.4.5.28: Fie A, B, C trei mulţimi nevide. Se numeşte produs cartezian al mulţimilor A,

B şi C mulţimea:

44

ABC=(AB)C.

(2.4.5.25)

Observaţia 2.4.5.29: Dacă A, B şi C sunt mulţimi oarecare, notând:

(a,b,c)=((a,b),c) (2.4.5.26)

tripletul de componente a, b, c, unde:

aA,

bB

şi

cC,

obţinem:

ABC={(a,b,c) aA, bB, cC}.

(2.4.5.27)

Exemplul 2.4.5.30: Fie mulţimile:

A={a},

B={b,c}

şi

C={1,2,3}.

Atunci, produsul cartezian al mulţimilor A şi B este:

AB={(a,b),(a,c)},

iar produsul cartezian al mulţimilor A, B şi C este:

ABC={(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,c,1),(a,c,2),(a,c,3)}.

Definiţia 2.4.5.31: Generalizând inductiv, definim produsul cartezian a n mulţimi:

A1A2...An=(...(((A1A2)A3)A4)...)An.

(2.4.5.28)

Observaţia 2.4.5.32: Fiind date mulţimile nevide A1, A2, ..., An, notând n-uplul sau sistemul de n

componente:

(a1,a2,...,an)=(( a1,a2,...,an-1),an), (2.4.5.29)

obţinem că:

A1A2...An={(a1,a2,...,an) a1A1, a2A2,..., anAn}.

(2.4.5.30)

În încheierea acestui subcapitol se impun două precizări:

Observaţia 2.4.5.33: Fiind date mulţimile A1, A2, ..., An, astfel încât cel puţin una dintre ele este

egală cu mulţimea vidă, , atunci acceptâm produsul lor cartezian ca fiind:

45

A1A2...An=,

(2.4.5.31)

caz în care nu mai are importanţă ordinea factorilor produsului.

Observaţia 2.4.5.34: În Definiţiile 2.4.5.28 şi 2.4.5.31, ordinea efectuării produsului scalar este

foarte importantă, deoarece, în general, Fiind date trei mulţimi A, B şi C, avem:

A(BC)(AB)C.

(2.4.5.32)

Demonstraţie: Într-adevăr:

A(BC)=(a,(b,c)) aA, bB, cC,

iar

(AB)C=((a,b),c)) aA, bB, cC,

ori, conform Teoremei 2.4.5.2,

(a,(b,c))((a,b),c).

Aşadar, are loc relaţia (2.4.5.32).

46

2.4 (P) OPERATII CU MULTIMI

Documents

Transcript of 2.4 (P) OPERATII CU MULTIMI