Operatii Cu Multimi - Atestat

5/17/2018 Operatii Cu Multimi - Atestat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-multimi-atestat 1/25

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului siSportului

Liceul Sf. Maria

Examen de atestare profesională

pentru absolvenţii claselor de

matematică informatică

Profesor indrumator: Elev:

Prof. Fanase Alin Marin Florin

An şcolar

2011-2012

http://c/Users/alex/Desktop/Atestat%20-%20Divide%20et%20impera/main.htm











CUPRINS

I.FUNDAMENTARE TEORETICA

II.MULTIMI EGALE

III.RELATIA DE INCLUZIUNE

IV.OPERATII CU MULTIMI

1.REUNIUNEA MULTIMILOR

2.INTERSECTIA MULTIMILOR

3.COMPLEMENTARA UNEI SUBMULTIMI

4.DIFERENTA A DOUA MULTIMI

5.PRODUS CARTEZIAN

6.PROPRIETATI ALE OPERATIILOC CU

MULTIMI

V.PROGRAMUL SURSĂ C++

VI.BIBLIOGRAFIE



I.FUNDAMENTARE TEORETICĂ

Notiunile de multime si de element al unei multimifac parte din categoria acelor notiuni matematicecare nu pot fi definite,dar sunt impuse de numeroaseexemple:

1)multimea cuvintelor din limba româna;

2)multimea elevilor dintr-o clasa;3)multimea numerelor naturale:0,1,2,3,.,etc.

Elementele unei multimi sunt distincte,adica unacelasi element nu se poate repeta de mai multe ori.

De asemenea,elementele unei multimi trebuie sa fie

bine determinate.

Moduri de determinare a unei multimi:

a)Numind individual elementele sale.În acest cazmultimea se specifica scriind între acolade

elementele sale:.De exemplu:A=,adica multimeaformata din primele sase numere naturale;B=,adicamultimea formata din literele mici ale alfabetuluigrec.



b)Specificând o proprietate pe care o au elementelesale si nu le au alte elemente.

Mai precis,data o proprietate ,se poate vorbi demultimea acelor obiecte pentru care proprietatearespectiva are loc.

Multimile definite în acest mod se vor nota prin:

A=,adica multimea acelor obiecte x,pentrucare are loc P(x).

Moduri de definire a unei multimi:

-o multime definita dupa primul mod (a) se zice caeste data sintetic;

-o multime definita în al doilea mod (b) se ziceca este data analitic;

-o multime care are un numar finit de elemente sezice finita;

-o multime care are un numar infinit de elemente sezice infinita.

Exemple:Multimea elevilor dintr-o clasa,multimea oamenilorde pe glob,sunt multimi finite.



Multimea numerelor naturale,multimea numerelornaturale pare,sunt multimi infinite.

În teoria multimilor se admite existenta unei multimicare nu are nici un element,ea numindu-se multimevida,si se noteaza cu simbolul .

II.Multimi egale

Se spune ca multimea A este egala cuo multime B daca orice element al lui A apartine luiB si reciproc.Notam faptul ca multimile A si B suntegale astfel:A=B.

Exemple:

1)=.

2)Multimea este egala cu multimeanumerelor naturale pare care sunt prime.

3)Multimile si nu sunt egale.

Propietatile relatiei de egalitate între multimi:

-este reflexiva adica A=A;



-este simetrica:daca A=B,atunci B=A;

-este tranzitiva:daca A=B si B=C,atunci A=C.

II.Relatia de incluziune

Se spune ca o multime A este inclusa în multimea Bdaca orice element al multimi A este si element al

multimii B.

Se noteaza A B sau B A.

Daca A nu este inclusa în B se scrie A B .

Altfel spus,A B înseamna ca exista x A astfel încât x B.

Când A este inclusa în B se mai spune ca Bcontine pe A sau ca A este o submultime (sau parte)a lui B.

Exemple:

1) este inclusa în ,adica .2)Multimea numerelor naturale pare este inclusa

în multimea numerelor naturale.

3)N Z Q R.



4)Se face conventia ca pentru orice multime A,multimea vida este inclusa în A , adica A.

5)Multimea nu este inclusa înmultimea deoarece 1 .

Fie A o multime si o proprietate P(x) ; multimeaelementelor din A care au proprietatea P(x) senoteaza : B=.

Exemple:

1)Multimea numerelor naturale care se divid cu 5se noteaza A=.

2)Multimea numerelor întregi x cu propritetatea7x+8=-6 se scrie

A=.

Se vede ca A=.

Din definitia relatiei de incluziunerezulta proprietatile :

a)este reflexiva,adica A A :



b)este antisimetrica ,adica daca A B siB A,atunci A = B;

c)este tranzitiva,adica din A B si B Crezulta A C.

Proprietatea b) se utilizeaza în practica în sensul capentru a dovedi ca A=B se probeaza incluziunile AB si B A .

Daca A este o multime , atunci multimea care

are ca elemente toate submultimile lui A , senumeste multimea partilor lui A si se noteazacu P (A).

Asadar P (A)=.

Observam ca multimea vida si multimea totala A

sunt elemente ale lui P (A).Exemple:

Fie A=. Avem

P (A)=,,,,,,}.



III.Operatii cu multimi

1.Reuniunea multimilor

Definitie:

Se numeste reuniunea a doua multimi Asi B multimea tuturor elementelor care apartin celputin uneia din multimile A sau B .

Notam reuniunea multimilor A si B prin A B si citim

"A reunit cu B".

Deci A B = .

Exemple:

1) =.

2) =.



2.Intersectia multimilor

Definitie:

Se numeste intersectia a douamultimi A si B multimea elementelor care apartin luiA si lui B.

Intersectia multimilor A si B se noteaza A B si se

citeste "A intersectat cu B".Deci : A B = .

Multimile A si B se numesc disjuncte daca AB = ,adica daca nu au în comun nici un element .

Exemple:

1) = ;

2) =;

3) = .



3. Complementara unei submultimi

Definitie:

Fie E o multime si A o submultime a luiE.Submultimea lui E formata din acele elemente cenu apertin lui A se numeste complementara lui A înraport cu E.Aceasta multime se noteaza CEA (saumai simplu CA când nu exista nici un dubiu asupramultimii E).

Deci: CEA = .

Exemple:

1)Daca E = si A =,atunci CEA=.

2)Daca A este multimea numerelor naturalepare , atunci CNA este multimea numerelor naturale

impare.3)Daca E = si A= , atunci CEA=.

4)CEE= si CE =E.



4. Diferenta a doua multimi Definitie:

Fie A si B doua multimi .Multimea formatadin elementele lui A care nu sunt elemente ale lui Bse numeste diferenta dintre multimea A si multimeaB si se noteaza

A-B.

Deci : A-B = .

Exemple:

1) -=.

2) -=.

3) -=.



5.Produs cartezian

Definitie :Se numeste pereche ordonata (cuplu)

formata din elementele x si y o ordine întreelementele x si y în sensul ca x este primul element,iar y este al doilea element si se noteaza cu (x,y).

În perechea (x,y) , x se mai numeste primacomponenta , iar y a doua componenta .

Doua perechi (x,y) si (x' si y') sunt egale daca sinumai daca x=x' si y=y' .

Rezulta ca (x,y) (y,x) , egalitatea având loc numaipentru x=y .De aici rezulta ca notiunea de perecheordonata este diferita de cea de multime formata dindoua elemente .

Exemple :



1)Cu numerele 1 si 2 putem forma doua perechiordonate : (1,2) si (2,1) care sunt distincte .În plusperechile (1,2) si (2,1) sunt diferite de multimea ;

2)Cu numerele 1 si 1 putem forma cuplul (1,1).

Definitie:

Fie A si B doua multimi .Multimea ale careielemente sunt toate perechile ordonate (a,b) , încare a A si b B se numeste produsul cartezian al

multimilor A si B si se noteaza A x B .

Deci A x B = .

Când A = B , se noteaza A x A = A2 .

Exemplu :Fie A = si B =.

Atunci

A x B = si

B x A = .Se observa ca A x B B x A deoarece ,de exemplu,elementul (1,2) A x B si

(1,2) B x A .



6.Proprietati ale operatiilor cu multimi

1 . Daca A,B,C sunt trei multimi, atunci A (B

C) = (A B) C si A (B C) =(A B) C(asociativitatea reuniuni si a intersectiei ).

2 .Daca A si B sunt multimi , atunci A B = B Asi A B = B A (comutativitatea reuniunii siintersectiei ).

3 .Daca A este multime , atunci A A = A A =A ( idempotenta reuniunii si intersectiei ).

4 . Oricare ar fi multimea A , A = A si A= .

5 . Daca A,B,C sunt trei multimi , atunci A ( BC ) = (A B) (A C)( distributivitatea reuniunii

fata de intersectie) si A (B C ) = (A B)(A C) ( distributivitatea intersectiei fata dereuniune).



6 . Daca A,B,C sunt trei multimi , atunci :

A-(B C) = (A-B)-C;

A-(B C) = (A-B) (A-C);

(A B)-C = (A-C) (B-C);

(A B)-C =A (B-C)=(A-C) B.

V.PROGRAMUL SURSĂ C++

#include<iostream.h>#include<stdio.h>

#include<iomanip.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>#include<string.h>

#define N 100

void activ_F_CIT()

void activ_F_DATE()void activ_F_REZ()

//definirea obiectului multime de numere intregi



typedef struct multime_Z

//FUNCTIE PT ORDONARE CRESC

void ordc();

//FUNCTIE MEMBRU PENTRU AFISAREA UNEIMULTIMI intr-o fereastra

void afisare_multime();

//FUNCTIE CARE STABILESTE APARTENENTALA O MULTIME

int apartine(long x);

//FUNCTIE CARE ADAUGA UN ELEMENT LA OMULTIME

//A Uvoid adaug(long x);

//FUNCTIE PENTRU INTERSECTIAA DOUA MULTIMI

void intersectie(multime_Z A,multime_Z B);

//FUNCTIE PENTRU REUNIUNEAA DOUA MULTIMI

void reuniune(multime_Z A,multime_Z B);



//FUNCTIE PENTRU DIFERENTAA DOUA MULTIMI

void diferenta(multime_Z A,multime_Z B); //FUNCTIE PENTRU INCLUZIUNE

int inclus(multime_Z B);

//FUNCTIE PENTRU CITIREA UNEI MULTIMI INFERASTRA

void cit_mul(char nume1[N]);

}multime_Z;//sf def obiect multime_Z

//FUNCTIE MEMBRU PENTRU AFISAREA UNEIMULTIMI intr-o fereastra

void multime_Z::afisare_multime()cprintf(" }");

}

//FUNCTIE CARE STABILESTE APARTENENTALA O MULTIME

//RETURNEAZA 1 PENTRU APARTENENTA SAU 0PENTRU CAZ CONTRAR

//Se aplica pentru obiectul curent A.apartine(long e)



int multime_Z::apartine(long x)

}

return 0;

}

//FUNCTIE CARE ADAUGA UN ELEMENT LA OMULTIME

//A U

//A nu se schimba daca x se afla inea A.adaug(long e)

void multime_Z::adaug(long x)

elemente[card++]=x;

}

// CARE ADAUGA UN ELEMENT LA O MULTIME

//FUNCTIE PENTRU INTERSECTIAA DOUA MULTIMI

//REZULTATUL ESTE PUS IN OBIECTUL CURENT

void multime_Z::intersectie(multime_Z A,multime_ZB)

}



ordc();

}

//FUNCTIE PENTRU REUNIUNEAA DOUA MULTIMI


void multime_Z::reuniune(multime_Z A,multime_Z B)

for(i=0;i<B.card;i++)

ordc();

}

//FUNCTIE PENTRU DIFERENTA

A DOUA MULTIMI


void multime_Z::diferenta(multime_Z A,multime_Z B)

}

ordc();}

//FUNCTIE PENTRU INCLUZIUNE



//RETURNEAZA 1 DACA A INCLUS IN B SAU 0 INCAZ CONTRAR

//Se apeleaza cu A.inclus(B)int multime_Z::inclus(multime_Z B)

}

return 1;

}


void multime_Z::cit_mul(char nume1[N])

gotoxy(2,3); cprintf("Dati un element = ");

for(;;)

}

ordc();

gotoxy(2,5);getch();

}



//FUNCTIE PENTRU ORDONARE CRESCATOARE

void multime_Z::ordc()

}

}

}

typedef struct prod_cartezian

//INCARCARE PRODUS CARTEZIANvoid prod_cart(multime_Z A,multime_Z B);

//AFISARE PRODUS CARTEZIAN IN FEREASTRA

void afis();

}prod_cartezian; //INCARCARE PRODUS CARTEZIAN

void prod_cartezian::prod_cart(multime_ZA,multime_Z B)

}

}

//AFISARE PRODUS CARTEZIAN IN FEREASTRA

void prod_cartezian::afis()



if(i%4==0&&i>0)

}

cprintf(" }");

}


void afis_inclus(multime_Z A,multime_Z B)

else

gotoxy(2,2);

if(B.inclus(A))

else

}

//FUNCTIE PENTRU PENTRU AFISARE

EGALITATEvoid egal(multime_Z A,multime_Z B)

else



}

//FUNCTIE PENTRU AFISAREA MENIULUI derezolvare

void meniu_op(char aleg)

}

}

void main(void)

//sf switch

if(alegere=='0')

} //sf for

getch();

}



VI.BIBLIOGRAFIE

Livia Toca,Cristian Opincaru,AdrianSindile ,

MANUAL DE INFORMATICA PENTRU CLS.a-X a,

Editura Niculescu ;

Radu Visinescu,BAZELE PROGRAMARII ,

Editura Petrion ;

Cristian Udrea,TEORIE SI APLICATII, Editura

Arves ;

Operatii Cu Multimi - Atestat

Documents

Transcript of Operatii Cu Multimi - Atestat