PROIECT DIDACTIC COLEGIUL TEHNIC DIMITRIE LEONIDA, PETROSANI prof. Szp Gyuszi e Data: 26.10.2010 Obiectul: Matematic, Elemente de algebr a a Clasa: a X - a G Programa: M2, 3 ore/sptmn a a a a Unitatea de aare: Multimi de numere nvt Titlul leciei: Numere complexe - aplicatii Durata: 45 minute Tipul leciei: Lectie de recapitulare i sistematizare a cunotintelor s s Locul desfurrii: Cabinetul de matematic as a a COMPETENTE GENERALE CG 1 Identicarea unor date i relatii matematice i corelarea lor functie de contextul care au fost denite. s s n n CG 2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse enunturi matematice. n CG 3 Analiza i interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problem scopul gsirii de strategii pentru s a n a optimizarea solutiilor. COMPETENTE SPECIFICE CS 1 Identicarea caracteristicilor tipuri de numere utilizate algebr i formei de scriere a unui numr real sau n a s a complex contexte specice. n CS 2 Aplicarea unor algoritmi specici calculului cu puteri, radicali, logaritmi sau numere complexe contexte variate. n CS 3 Alegerea formei de reprezentare a unui numr real sau complex vederea optimizrii calculelor. a n a CS 4 Determinarea unor analogii ntre proprietile operatiilor cu numere reale i complexe scrise forme variate i at s n s utilizarea acestora rezolvarea unor ecuatii. n STRATEGII DIDACTICE Principii didactice Principiul participrii i arii active a s nvta Principiul asigurrii progresului gradat al performantei a Principiul conexiunii inverse Metode de aare/de instruire nvt Conversatia euristic a Algoritmizarea Explicatia Exercitiul Problematizarea Descoperirea dirijat prin studiul de caz a Forme de organizare Frontal a Individual a Pe grupe 1

Forme de evaluare Observatia Aprecierea Resurse materiale Fie de lucru s Proiect didactic Resurse procedurale Investigatia tiintic s a Observarea sistematic a elevului a Rezolvarea de probleme/situatii problem a ETAPELE LECTIEI I. Captarea atentiei Profesorul informeaz elevii despre continutul/tipurile de probleme propuse a de lucru. Pentru rezolvarea a n s problemelor de pe ele de lucru avem nevoie de reamintirea ctorva notiuni aate anterior: s a nvt II. Reactualizarea Egalitatea a dou numere complexe; a Operatii cu numere complexe; Conjugatul unui numr complex; a Modulul unui numr complex; a Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea cu coecienti reali. III. Anuntarea competentelor. Prezentarea de material pentru xarea notiunilor Profesorul anunt competentele vizate i distribuie ele de lucru, formnd grupe de elevi. a s s a Elevii analizeaz ele de lucru. a s IV. Asigurarea transferului. Obtinerea de performante Se discut modul de rezolvare al ecrui tip de problem din . Elevii rspund la a a a sa a ntrebrile profesorului, rezolv a a problemele i comunic rezultatele. s a Iat i a de probleme propus elevilor: as s a 1. Artati c urmtoarele functii sunt morsme: a a a a) f : (R, +) (R , ), f (x) = 2x ;

b) g : (C , ) (R , ), g(z) = |z|; c) h : (Z, +) (Zn , +), h(i) = i. 2.

Artati c urmtoarele functii sunt izomorsme de grupuri: a a a a) f : (R, +) (R, +), f (x) = 5x; b) g : (Zn , +) ({1, , 2 , . . . , n1 }, ), g(k) = k , unde = cos c) h : (Z, +) ( Ak Ak = 2 2 + i sin ; n n

3.

1 k , k N , ), h(k) = Ak . 0 1 Demonstrati c functia f : R R, f (x) = 3 x3 + 1 este bijectiv i determinati f 1 . a as

2

4.

2 n i multimile Gn = {I2 , A, A2 , . . . , An1 }, Hn = {1, , 2, . . . , n1 }, Fie n N, n 2, A = s 2 2 sin cos n n 2 2 + i sin . Demonstrati c functia f : (Gn , ) (Hn , ), f (Ak ) = k este morsm de grupuri. a unde = cos n n cos 2 n sin Pe R denim legea de compozitie x y = 3 x3 + y 3 . Demonstrati c (R, ) este grup abelian, iar f : (R, ) a (R, +), f (x) = x3 este izomorsm de grupuri. Determinati morsmele de grup f : (Z, +) (Z, +). Care dintre ele sunt bijective? Se consider multimile G = {x + y 2 | x2 2y 2 = 1, x, y Q} i H = a s Demonstrati c: a a) nmultirea numerelor reale este lege de compozitie intern pe G, iar (G, ) este grup abelian. a x 2y y x x2 2y 2 = 1, x, y Q .

5. 6. 7.

b) nmultirea matricelor este lege de compozitie intern pe H, iar (H, ) este grup abelian. a x y este izomorsm de grupuri. c) functia f : G H, f (x + y 2) = 2y a 8. Se consider multimile G = {a + bi | a2 + b2 = 1, a, b R} i H = a s Demonstrati c: a a b b a

a2 + b2 = 1, a, b R .

b) nmultirea matricelor este lege de compozitie intern pe H, iar (H, ) este grup abelian. a c) functia f : G H, f (a + bi) = a b b a este izomorsm de grupuri.

a) nmultirea numerelor complexe este lege de compozitie intern pe G, iar (G, ) este grup abelian. a

V. Evaluarea rezultatelor i stabilirea concluziilor s Se evalueaz capacitile elevilor de a: a at recunoate forma algebric a unui numr complex; s a a determina conjugatul unui numr complex, scris sub form algebric; a a a determina modulul unui numr complex, scris sub form algebric; a a a egala dou numere complexe scrise sub form algebric; a a a efectua operatii cu numere complexe; rezolva o ecuatie de gradul al II-lea, cu coecienti reali i cu discriminantul < 0. s CONCLUZII Se vor face aprecieri individuale i colective asupra activitii elevilor. s at Tema pentru acas este aceea de a rezolva problemele (nerezolvate clas) de pe a de lucru. a n a s

3