Descrierea calitativă a experienţei lui Rutherford şi consecinţele ei asupra modelului atomic.

Modul planetar.

Descoperirea electronului de către J. J. Thomson în anul 1897 a condus la ipoteza unui atom cu o anumită structură. Pentru început, s-a considerat că atomul era alcătuit dintr-o sarcină pozitivă, uniform distribuită în volum, în care erau înfipţi, din loc în loc, electroni negativi. Sarcina electrică pozitivă şi cea negativă trebuiau să fie egale. Acest model primitiv, numit simbolic "cozonac cu stafide" reuşea să explice doar caracterul neutru din punct de vedere electric al atomului.

Nu se înţelegea, de exemplu, de ce sarcina negativă este discontinuă, reprezentată de electroni iar cea pozitivă, continuă sau de ce atomii emit radiaţii electromagnetice al căror spectru este discret (conţine numai anumite frecvenţe).

În 1909-1911 Ernest Rutherford şi colaboratorii săi desfăşurau cercetări minuţioase asupra particulelor α despre care ştiau că sunt atomi dublu ionizaţi de , emişi de o sursă radioactivă. Ideea experimentului ce urmează a fi descris aparţine lui Rutherford iar punerea ei în practică colaboratorilor săi Hans Geiger şi Ernest Mardsen. Schema instalaţiei experimentale aşa cum apare ea în enciclopedia Britanica din 2007, este dată în Fig. 1.

Experimentul lui Rutherford presupune o sursă radioactivă protejată în interiorul unei cutii de plumb, care emite un fascicul de particule α; fasciculul este colimat cu ajutorul unei fante practicată într-un ecran de asemenea din plumb. Apoi fasciculul de particule α cade pe o foiţă subţire de aur de grosimea a câtorva straturi atomice. Un ecran fluorescent se poate învârti pe un cerc de jur împrejurul punctului în care particulele α lovesc placa de aur.

Sunt puse în evidenţă trei situaţii distincte: particule α care trec nedeviate sau foarte puţin deviate de la direcţia iniţială captate de ecranul aflat în poziţia A, particule α deviate puternic de la direcţia iniţială dar care rămân totuşi de cealaltă parte a foiţei de aur, captate de ecranul aflat în poziţia B şi în sfârşit particule α deviate atât de puternic încât sunt practic întoarse din drum captate de ecranul aflat în poziţia C. Detaliul din partea dreapta-jos explică când, de ce şi cât de tare sunt deviate particulele α la trecerea lor prin foiţa de aur.

Fig.1. Schema experimentului Rutherford

Rezultatele obţinute vin în contradicţie totală cu modelul atomic (rudimentar) imaginat de Thomson. Ele nu se pot explica decât dacă se revizuiesc ideile despre alcătuirea atomului.

Astfel, se impunea ideea unei distribuţii neuniforme a sarcinii electrice din atom. Trebuia acceptată existenţa unui nucleu pozitiv, foarte dens şi care ocupă un volum foarte mic

comparativ cu atomul, şi mult spaţiu gol, în care, din loc în loc se găsesc electronii. Aceştia nu sunt fixaţi în masa pozitivă, sunt în afara nucleului şi, ca să nu cadă pe nucleu, ar trebui să se învârtă pe diferite orbite în jurul acestuia, asemănător planetelor care se învârt în jurul Soarelui. Sarcina pozitivă a nucleului trebuie să fie egală cu cea negativă a electronilor.

Fig.2. Modelul planetar al atomului

Modelul atomic elaborat de Rutherford în anul 1911, este primul model planetar al atomului. Cu ajutorul rezultatelor ce decurg din experiment, Rutherford a putut să estimeze corect ordinul de mărime al razei atomului ( ) şi respectiv al razei nucleului (

) acestuia.Rezultatele cu privire la sarcina nucleului pentru diferite elemente a permis corelarea

observaţiilor sale cu cele ale lui Mendelev arătând legătura dintre numărul Z, după care şi-a ordonat el elementele şi sarcina electrică a nucleului.

Modelul lui Rutherford a introdus ideea unei structuri a atomului şi a existenţei unor particule componente, precum şi posibilitatea separării acestora.

Legile electrodinamicii clasice spun că electronii, în mişcarea lor (accelerată) în jurul nucleului ar trebui să cedeze energie, raza orbitei lor să se micşoreze în mod continuu şi în final să cadă pe nucleu, ducând astfel la dispariţia atomului respectiv (Fig.3). Dar nu se întâmplă aşa, mai mult, se ştie că atomul reprezintă o structură fizică foarte stabilă.

Fig.3. Electronii ar trebui să cedeze energie iar raza orbitei lor să se micşoreze în mod continuu.

Mai departe, frecvenţa radiaţiei electromagnetice emisă de electronii care se apropie în mod continuu de nucleu ar trebui să se modifice şi ea tot în mod continuu. Or spectrele emise de atomi, observate deja de Johann Balmer şi alţi cercetători de peste 20 de ani, nu indicau aşa ceva, din contra, ele aveau un aspect discontinuuu, erau spectre de linii.

Îmbunătăţiri considerabile vor fi aduse acestui model peste foarte puţin timp de către fizicianul danez Niels Bohr.

MODELUL ATOMIC AL LUI BOHR

Modelul atomic elaborat de N. Bohr în anul 1913 explică stabilitatea atomului şi caracterul discret al spectrelor radiaţiei electromagnetice emise de atom. El are la bază trei postulate şi ipoteza unui nucleu fix şi a unui electron ce se roteşte în jurul acestuia.

Primul dintre postulate afirmă că:

Atomii pot exista numai în anumite stări, numite stări staţionare. Fiecărei stări staţionare îi corespunde o anumită energie, bine determinată. Atomul aflat într-o stare staţionară nici nu emite şi nici nu absoarbe energie.

Acest prim postulat introduce de fapt ideea cuantificării energiei atomilor. Energiile corespunzătoare stărilor staţionare sunt discrete, adică pot fi numărate.

Al 2-lea postulat al lui Bohr afirmă că:

Trecerea dintr-o stare staţionară în altă stare staţionară se face cu emisie sau absorbţie de energie.

Astfel, dacă notăm cu şi energiile a 2 stări staţionare, atunci la trecerea din starea m în starea n ( > ) se emite un foton a cărui energie este egală chiar cu diferenţa dintre energiile celor două stări între care are loc tranziţia:

, (1)unde s-a notat cu h constanta lui Planck şi cu frecvenţa fotonului emis.

Tranziţia inversă, de pe un nivel de energie inferior pe unul superior, este de asemenea posibilă, însă în urma absorbţiei unui foton. Cele două situaţii sunt reprezentate în figura de mai jos.

Al doilea postulat, numit condiţia de radiaţie, conţine într-însul atât ideea conservării energiei cât şi pe aceea a caracterului discret al radiaţiei electromagnetice (presupus initial de Planck).

Fig.1. Ilustrarea Postulatului al doilea al lui Bohr

Al treilea postulat afirma că:

Momentul cinetic orbital al electronului este cuantificat, adică nu poate lua decât

anumite valori, egale cu multipli întregi ai cantităţii .

Ţinând cont de definiţia momentului cinetic, (2)

şi luând în calcul ipoteza unui nucleu fix şi a unor orbite circulare pentru electron, modulul momentului cinetic orbital al acestuia, conform postulatului al treilea, trebuie să satisfacă următoarea relaţie:

, (3)

unde reprezintă masa de repaus a electronului, viteza acestuia pe orbită, raza celei de a n - a orbite iar n este un număr natural, numit de acum înainte număr cuantic.

Relaţia (1) presupune că atunci când electronul trece de pe o orbită pe alta, atomul radiază o anumită cantitate de energie, specifică saltului efectuat. Bohr a explicat emisia discretă de radiaţii electromagnetice de către atom ca efect al nivelelor energetice discrete ale acestuia, nefiind de acord cu ipoteza lui Einstein privind existenţa fotonului ca şi cuantă a câmpului electromagnetic.

Rezultate teoretice deduse pe baza postulatelor lui Bohr

Modelul lui Bohr dă rezultate bune în cazul atomului de hidrogen şi al ionilor hidrogenoizi, adică al celor cu un singur electron gravitând în jurul nucleului ( , etc.). Pentru aceste cazuri se pot calcula, cu o bună precizie, raza primei orbite a electronului, valorile nivelelor energetice ale atomilor, lungimile de undă ale liniilor seriilor spectrale ale atomilor, constanta lui Rydberg.

Astfel, se consideră un ion hidrogenoid cu numărul de sarcină Z, al cărui electron se mişcă pe o orbită circulară în jurul nucleului. Condiţia de stabilitate a electronului pe orbită presupune ca forţa de atracţie electrostatică dintre electron şi nucleu (forţa lui Coulomb) să fie forţă centripetă:

. (4)

Condiţia de cuantificare a momentului cinetic, conform postulatelor lui Bohr, este:

. (5)

Din aceste doua relaţii se elimină viteza v şi se scoate :

(6)

Dând valori numărului cuantic n se pot obţine, pe rând, razele tuturor orbitelor pe care se poate afla electronul în atom. Dacă în formula de mai sus se înlocuieşte Z=1 şi n=1, se obţine raza primei orbite a electronului în atomul de hidrogen, respectiv:

. (7)

Având în vedere că toate mărimile care intervin în expresia razei primei orbite Bohr a atomului de hidrogen sunt constante, de valori cunoscute, se poate face calculul pentru şi se obţine:

Å. (1Å (Ångström)= )Rezultatul concordă în foarte bună măsură cu cel obţinut pe baza altor raţionamente sau din experimente legate de atomul de hidrogen.

În continuare, cu ajutorul relaţiei găsite pentru şi a condiţiei de cuantificare a momentului cinetic se calculează viteza electronului pe orbita respectivă (de rază ) şi se obţine:

. (8)

Pentru electronul atomului de hidrogen (Z=1), aflat în starea fundamentală (n=1) se găseşte pentru viteză valoarea , în concordanţă cu datele obţinute pe alte căi.

Pentru a se verifica şi alte rezultate, în continuare se va calcula energia totală a ionului hidrogenoid (W), adică a sistemului nucleu-electron. Ea se compune din energia cinetică a mişcării electronului pe orbită (T) la care se adaugă energia potenţială de interacţiune electrostatică dintre electron şi nucleu (U):

. (9)Expresiile celor două energii sunt date mai jos şi anume:

(10)

şi

(11)

astfel încât suma lor, energia totală a atomului hidrogenoid este dată de

. (12)

Mai departe, dacă se înlocuieşte în expresia energiei totale din relaţia (6), se obţine pentru energia ionului hidrogenoid următoarea relaţie:

, (13)

unde n este numărul cuantic.Dacă se vor înlocui constantele cu valorile cunoscute, şi dacă se alege Z=1 şi n=1, se

obţine valoarea energiei atomului de hidrogen aflat în starea fundamentală. Exprimată în electron-volţi aceasta este egală cu -13,6 eV. Ea reprezintă totodată energia de ionizare a hidrogenului, adică energia necesară pentru a smulge electronul din atomul de hidrogen.

Cu ajutorul formulei de mai sus se pot calcula de asemenea energiile ionului hidrogenoid corespunzătoare fiecărei stări staţionare, fiecărui nivel energetic sau alfel spus pentru fiecare din valorile pe care le poate lua numărul cuantic n, precum şi energia absorbită (sau emisă) de atom la trecerea de pe un nivel energetic pe altul.

Liniile spectrale. Constanta lui Rydberg

În anul 1900, Max Planck a reuşit să elaboreze teoria ce-i poartă numele, cu ajutorul căreia a explicat caracteristicile radiaţiei electromagnetice emisă de corpurile solide încălzite. Aşa cum se ştie, spectrul radiaţiei emise de aceste corpuri este unul continuu, el conţinând practic toate frecvenţele din intervalul .

Substanţele aflate însă în stare atomică emit la rândul lor radiaţie electromagnetică dar în acest caz spectrul radiaţiei emise este unul discret, de linii. Fiecare linie a spectrului corespunde unei radiaţii electromagnetice de o anumită lungime de undă (frecvenţă).

Spectrele de linii emise de unii atomi erau deja cunoscute la momentul în care Bohr a pus bazele modelului atomic ce-i poartă numele. Între aceste spectre era şi cel al hidrogenului, care prezenta patru linii foarte bine vizibile, corespunzătoare următoarelor lungimi de undă

(evident din domeniul vizibil): 410 nm (violet), 434 nm (albastru), 486 nm (bleu), şi 656 nm (roşu).

Fig.2. Se văd cele patru linii din spectrul hidrogenului suprapuse peste unspectru continuu. Dedesubt este o scală gradată în nm care

permite stabilirea lungimii de undă a acestora.

Johann Balmer, matematician şi fizician elveţian, a descoperit în anul 1885 o formulă empirică cu ajutorul căreia putea să calculeze cu foarte bună precizie lungimile de undă ale liniilor spectrale de mai sus:

, (14)

cu n=3,4,5,6 iar este o constantă pentru atomul de hidrogen a cărei valoare a fost găsită iniţial tot empiric.

Trei ani mai târziu, în anul 1888, fizicianul de origine suedeză Johannes Rydberg generalizează formula lui Balmer şi prezice şi celelalte linii spectrale ale atomului de hidrogen, situate de astă dată în domeniul infraroşu respectiv ultraviolet. Constanta va primi dealtfel numele lui Johannes Rydberg.

Modelul atomic propus de Niels Bohr oferă de astă dată o explicaţie teoretică satisfăcătoare pentru mecanismul de emisie a spectrelor de linii de către atomi, în general, şi prezice cu foarte bună precizie lungimile de undă ale liniilor spectrale emise de atomul de hidrogen şi ionii hidrogenoizi, în particular. În plus, modelul oferă o formulă teoretică pentru calculul constantei Rydberg.

Astfel, în conformitate cu al doilea postulat al lui Bohr, la trecerea atomului din starea staţionară m în starea staţionară n, (m>n), se va emite un foton a cărui energie (respectiv frecvenţă) este dată de relaţia:

.Ţinând cont de formula (13) găsită pentru energia atomului aflat într-o stare cuantică

oarecare n, relaţia de mai sus devine:

. (15)

Iar frecvenţa corespunzătoare radiaţiei emise este:

. (16)

Formula dedusă pe baza teoriei lui Bohr pentru frecvenţele fotonilor emişi de atomul de hidrogen la trecera electronului său de pe o orbită de energie superioară pe una de energie inferioară, permite calcularea cu foarte bună precizie a lungimilor de undă ale celor patru linii spectrale din domeniul vizibil precum şi a tuturor celorlalte tranziţii posibile. Având în vedere legătura dintre lungimea de undă şi frecvenţa unei radiaţii electromagnetice,

, (17)

Inversele lungimilor de undă (pentru a face legătura cu relaţia empirică (14) a lui Balmer) se vor calcula cu ajutorul formulei de mai jos:

, (18)

iar n=2 ne conduce chiar la relaţia găsită de Balmer. Prin identificare, pentru constanta lui Rydberg se găseşte următoarea expresie:

(19)

a cărei valoare este egală cu . Notaţia sugerează că masa nucleului este infinită în raport cu cea a electronului şi că prin urmare acesta este imobil, fix, doar electronul se învârte în jurul lui. Între valoarea măsurată experimental şi valoarea calculată pe baza formulei (19) există mici diferenţe, ce vor fi explicate mai târziu.

Liniile spectrale emise de atomul de hidrogen precum şi de ionii hidrogenoizi au fost grupate în serii spectrale. O serie spectrală cuprinde toate liniile spectrale corespunzătoare tranziţiilor pe un anumit nivel energetic. Teoretic o serie spectrală conţine o infinitate de linii spectrale.

Seriile spectrale ale atomului de hidrogen au primit următoarele denumiri: seria Lymann (pentru tranziţiile pe nivelul energetic n=1), situată în domeniul ultraviolet, seria Balmer (pentru tanziţiile pe nivelul energetic n=2), situată in domeniul vizibil, seria Paschen (pentru tanziţiile pe nivelul energetic n=3), seria Brackett (pentru tanziţiile pe nivelul energetic n=4), seria Pfund (pentru tanziţiile pe nivelul energetic n=5), ultimele trei fiind situate în domeniul infraroşu. Acestea sunt reprezentate în Fig. 3.

Fig.3. O diagrama a primelor cinci serii spectrale ale atomului de hidrogen

Concordanţa dintre măsurătorile experimentale asupra lungimilor de undă ale liniilor diferitelor serii spectrale şi calculele bazate pe teoria lui Bohr este foarte bună, şi devine şi mai bună dacă se consideră că şi nucleul şi electronul se rotesc în jurul centrului de masă al sistemului pe care ei îl formează. Aceasta va conduce şi la o valoare mai apropiată de cea măsurată experimental pentru constanta lui Rydberg.

În acest caz, în locul masei electronului se va lua în considerare masa redusă a sistemului nucleu-electron respectiv:

, (17)

unde s-a notat cu M masa nucleului atomului de hidrogen şi cu masa de repaus a electronului. Această corecţie conduce la o nouă expresie şi automat la o nouă valoare pentru constanta lui Rydberg:

(18)

Cu această corecţie, valoarea constantei devine . Constanta Rydberg este una dintre constantele din fizică determinate cu cea mai mare precizie, cu o eroare mai mică de 7 unităţi din . Această precizie deosebit de ridicată a impus o rigoare similară în determinarea celorlalte constante ce intră în expresia ei.

Condiţia de cuantificare Sommerfeld-Wilson

Sommerfeld (1915) şi Wilson (1916) au găsit independent unul de altul, o regulă generală de cuantificare care poate explica atât ipoteza lui Planck asupra cuantificării energiei unui oscilator cât şi postulatul lui Bohr cu privire la cuantificarea momentului cinetic orbital al electronului. Sommerfeld a folosit această regulă pentru a construi o teorie mai detaliată a atomului de hidrogen. El consideră că mişcarea electronului se face pe orbite eliptice tridimensionale şi ia de asemenea în considerare efectele relativiste ale mişcării acestuia. Rezultatul cel mai important a constat în calcularea unor nivele energetice noi, de valori puţin diferite de cele obţinute de Bohr, dar care pun în evidenţă structura fină (despicare) unor linii spectrale, observată de altfel experimental. Modelul mai face un pas către teoria cuantică a atomului.

Fie q o coordonată generalizată a unui sistem fizic, periodic, iar impulsul asociat acestei coordonate.

Regula Sommerfeld-Wilson afirma ca: (19)

În această relaţie integrala pe contur închis, , înseamnă că integrarea se face pe

întreg ciclul mişcării periodice iar este un număr cuantic, întreg. Iată cum se deduce regula lui Planck de cuantificare a energiei unui oscilator care se mişcă de-a lungul direcţiei x. Se consideră energia totală a oscilatorului, ca fiind suma dintre energia cinetică şi cea potenţială a acestuia:

(20)

Energia cinetică se scrie după cum urmează:

, (21)

iar cea potenţială:

. (22)

Suma lor devine:

(23)

În continuare, se împarte relaţia la W şi se obţine:

. (24)

Această relaţie, reprezentată grafic în spaţiul fazelor, ( ), este o elipsă ale cărei semiaxe

sunt egale cu şi . Aria acestei elipse este

, (25)

unde a şi b sunt semiaxele elipsei. În conformitate cu ipoteza Sommerfeld-Wilson (19),

Dacă se înlocuiesc expresiile de mai sus ale semiaxelor şi dacă în plus se ţine cont că

şi ,

se obţine pentru energia oscilatorului(26)

în conformitate cu regula propusă de Planck (1900). Tot din condiţia de cuantificare Sommerfeld-Wilson se poate deduce postulatul lui

Bohr asupra cuantificării momentului cinetic orbital al electronului. Momentul cinetic al electronului în mişcarea sa circulară pe orbită este si

este constant. Coordonata unghiulară este θ şi este o funcţie periodică cu perioada egală cu 2π iar impulsul generalizat asociat acesteia este momentul cinetic orbital al electronului.Vom avea, conform relaţiei de cuantificare (19):

. (27)

Integrala este calculabilă direct:

, (28)

şi ţinând cont de relaţia (27) se obţine

, (29)

în conformitate cu postulatul lui Bohr.

Teoria lui Bohr a însemnat un mare pas înainte în explicarea alcătuirii, comportării şi proprietăţilor atomilor. Cu toate acestea modelul nu oferă rezultate satisfăcătoare pentru atomii cu mai mulţi electroni. Nu poate explica intensitatea diferită a liniilor spectrale ale atomilor. Şi în plus, teoria lui Bohr amestecă concepte ale fizicii clasice cu ideile cuantice ale lui Planck, Einstein şi alţii.

Experienţa lui Franck si Hertz

Experimentul Franck-Hertz a fost un experiment fizic care a demonstrat corectitudinea ipotezei lui Bohr cu privire la existenţa nivelelor energetice discrete în atom. Experimentul a fost efectuat în anul 1914 de către fizicienii germani James Franck şi Gustav Ludwig Hertz. Pentru acest experiment, cei doi au primit Premiul Nobel pentru Fizică în anul 1925.

Fig. 4. Schema experimentului Franck Hertz

Pentru efectuarea experienţei este nevoie de un tub de sticlă vidat în interiorul căruia se găsesc trei electrozi: un catod negativ, încălzit, care emite electroni (în partea stângă a imaginii), o grilă pozitivă care accelerează electronii emişi de catod (în partea de mijloc a tubului) şi un anod uşor negativ în raport cu grila, care colectează electronii care au energii mai mici decât energia de prag de 4,9 eV (în partea dreaptă a tubului). În interiorul tubului sunt introduşi vapori de mercur. Curentul anodic se măsoară cu ajutorul unui galvanometru înseriat în circuit. Tensiunea anodică se variază, crescător, cu ajutorul unui potenţiometru. Se reprezintă valorile curentului anodic I în funcţie de tensiunea acceleratoare U. Se obţine următorul grafic:

Fig. 5. Curentul anodic I în funcţie de tensiunea acceleratoare U

Pentru energii ale electronului mai mici decât 4,9 eV, sau pentru tensiuni de accelerare mai mici de 4,9V, curentul creşte monoton. Pentru energii ale electronilor egale cu 4,9 eV, apare o scădere bruscă a intensităţii curentului. Scăderi bruşte ale intensităţii curentului mai apar şi la tensiuni mai mari, respectiv atunci când energia electronilor este 2×4,9 eV , 3×4,9 eV, etc.

Pentru a explica acest aspect al dependenţei curentului anodic de tensiunea acceleratoare se va ţine cont de faptul că, în drumul lor de la catod la anod electronii se ciocnesc cu atomii de mercur. Aceste ciocniri sunt de doua feluri:

- ciocniri elastice: se fac cu conservarea energiei şi a impulsului. Cum masa electronilor este mult mai mică decât cea a atomilor de mercur, electronii emişi de catod nu

cedează nimic din energia lor, sunt doar deviaţi, urmându-şi drumul către anod unde ajung cu toţii în final. În ce priveşte atomii de mercur, ei pot fi, la rândul lor, foarte puţin deviaţi. Dar starea lor energetică nu se va modifica. Se confirmă astfel că atomii nu pot absorbi decât o anumită cantitate de energie, care să le permită trecerea pe un nivel energetic imediat superior.

- ciocniri neelastice: cea mai mare parte a energiei electronilor este preluată de către atomii de mercur, iar aceştia îşi modifică starea internă. Ei trec din starea fundamentală într-o stare excitată, superioară din punct de vedere energetic. Diferenţa de energie între cele două stări este 4,9 eV. Electronii care au participat la aceste ciocniri au rămas fără energie, nu mai ajung la anod şi ca urmare intensitatea curentului anodic scade.

A doua cădere a intensitatii curentului anodic apare atunci când energia electronilor acceleraţi este suficientă pentru ca ei să sufere 2 ciocniri inelastice consecutive cu atomii de mercur, în final rămânând fără energie, şi nemaiajungând la anod.

Atomii de mercur excitaţi emit ulterior, prin dezexcitare, o radiaţie monocromatică cu lungimea de undă λ=2537Å. Această valoare corespunde foarte bine condiţiei lui Bohr:

.

Concordanţa dintre teoria lui Bohr şi constatările experimentale rezultate din experimentul Franck şi Hertz este foarte bună.