modelarea robotilor paraleli

8/20/2019 modelarea robotilor paraleli

1/65

Universitatea TRANSILVANIA BraşovFacultatea de Design de Produs şi MediuCatedra Design de Produse şi Robotică

ing. Nadia Ramona RAŢ (CREŢESCU)

MODELAREA ROBOŢILOR PARALELICU MIŞCĂRI DECUPLATE

MODELING OF PARALLEL ROBOTS

WITH DECUPLED MOTIONS

Rezumatul tezei de doctorat

onducator stiintific

Prof. univ. dr. ing., dr.h.c. Florea DUDI ŢĂ

Braşov

2011


2/65

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ŞISPORTULUI

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAŞOVBRAŞOV, B-dul EROILOR, Nr. 29, 500036

Tel. 0268413000, Fax.+40-0268410525

D-nei/lui……………………………………………………………………………….

COMPONENŢAComisiei de doctorat

Numită prin Ordinul Rectorului Universităţii Transilvania din Braşov4439 din 10.12.2010

PREŞEDINTEProf. univ. dr. ing. Codruţa JALIUDecan - Facultatea de Design de Produs şi MediuUniversitatea ”Transilvania” din Braşov

CONDUCĂTOR ŞTIINŢIFICProf. univ. dr. ing. Florea DUDIŢĂ Universitatea ”Transilvania” din Braşov

REFERENŢI ŞTIINŢIFICIProf. univ. dr. ing. Grigore GOGU

Institut Français de Mécanique Avancée, Franţa

Prof. univ. dr. ing. Mătieş VISTRIAN Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

Prof. univ. dr. ing. Mircea NEAGOE

Universitatea ”Transilvania” din Braşov

Data, ora şi locul susţinerii publice a tezei de doctorat: 11 martie 2011, ora 12:30,

Colina Universităţii, corp E, sala E.II.4 (Casuţa Solară)

Eventualele aprecieri şi observa ţ ii asupra lucr ării vă rug ăm să le transmite ţ i în timp

util pe adresa Universit ăţ ii Transilania din Braşov sau pe adresa de e-mail : [email protected]


3/65

Modelarea robo ţ ilor paraleli cu mi şcări decuplate 3

PREFAŢĂ

Uitându-mă în urmă, îmi dau seama că nu aş fi reuşit să ajung cu această teză de

doctorat la final dacă nu aş fi avut ajutorul celor din jur.Doresc ca pe această cale să-mi exprim profunda recunoştinţă îndrumătorului

ştiinţific, D-lui Prof. Univ. Dr. Ing. , Dr. h. c. Florea Dudiţă, sincere mulţumiri pentru

ajutorul şi susţinerea acordată în cercetarea întreprinsă.

De asemenea, doresc să aduc mulţumiri deosebite D-lui Prof. Univ. Dr. Ing., Dr. h. c.

Grigore Gogu şi D-lui Prof. Dr. Ing. Mircea Neagoe, pentru sugestiile competente, care

au dus la rezolvarea problemelor ce au apărut pe parcusul studiilor şi cercetărilor

efectuate în vederea elabor ării tezei de doctorat.Mulţumiri deosebite aduc D-lui Prof. Univ. Dr. Ing. Dorin Diaconescu pentru

sfaturile şi ajutorul acordat de-a lungul elabor ării tezei de doctorat şi d-lui Conf. univ.

dr. ing. Claudiu Pozna pentru ajutorul acordat la rezolvarea problemelor apărute la

validarea modelelor prin cercetări experimentale.

Mulţumiri speciale sunt adresate D-lui Prof. Dr. Ing. Vistrian Mătieş şi D-lui Şef

Lucr. Dr. Ing. Sergiu-Dan Stan, de la Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, pentru

primirea călduroasă cu ocazia realizării unui stagiu de cercetare deşf ăşurat la Cluj-

Napoca şi sfaturile preţioase date.

Mulţumesc întregului colectiv al Catedrei Design de Produs şi Robotică pentru

susţinerea morală.

De asemenea, mulţumiri speciale se cuvin întregului colectiv de la laboratorul de

Mecanică şi Inginerie (LaMI) de la Institutul Francez de Mecanică Avansată (IFMA),

Franţa, pentru căldura cu care m-au primit şi acceptat de-a lungul stadiilor de cercetare

efectuate la acest laborator.

Nu în ultimul rând, aş dori să mulţumesc familiei (în special soţului Costel şi fiicei

Monica) pentru susţinerea morală şi sufletească, dar şi prietenelor Ramona şi Cristina

care m-au încurajat şi ajutat în efortul de a finaliza această teză.


4/65

4 Modelarea robo ţ ilor paraleli cu mi şcări decuplate

INTRODUCERE

Pornind de la modelul braţului uman (biomecanism acţionat de muşchi), au apărut

roboţii seriali (care sunt alcătuiţi din elemente înseriate acţionate de motoare). Mai

târziu, s-a constatat nevoia unor roboţi care să poată efectua sarcini mai complexe, pe

care roboţii seriali nu puteau să le realizeze, ca de exemplu preluarea unor greutăţi mari

f ăr ă a afecta structura acestuia; astfel au apărut roboţii paraleli.

În această teză de doctorat sunt studiaţi roboţii paraleli cu diferite grade a cuplării

mişcării şi diferite grade de mobilitate, având ca scop determinarea avantajelor

decuplării mişcării asupra comportamentului cinematic şi dinamic al roboţilor paraleli

analizaţi. Roboţii paraleli cu mişcări decuplate au proprietatea că mişcările impuse

cuplelor motoare se regăsesc întocmai în mişcările platformei mobile (şi invers), ceea ce

conduce la un sistem de control simplificat faţă de cazul general al roboţilor paraleli.

În această lucrare este abordată modelarea cinematică şi dinamică a roboţilor

paraleli cu diferite grade de cuplare a mişcării, cu 3 şi respectiv 4 grade de mobilitate,

având ca principalele obiective:

obţinerea de modele analitice în domeniul rigid şi validarea acestora prin

simulări numerice;

studiul influenţei elasticităţii elementelor asupra comportamentului

cinematic şi dinamic în ipoteza corpului deformabil în domeniul elastic;

validarea experimentală a modelelor elaborate pentru o structur ă tetramobilă

de robot paralel cu mişcări decuplate.

Această teză este structurată pe 8 capitole astfel:

Capitolul 1 „Stadiul actual al cercet ărilor privind modelarea robo ţ ilor paraleli

cu mi şcări decuplate” este destinat sistematizării metodelor de modelare a

roboţilor paraleli existente în literatura de specialitate.

Capitolul 2 „ Metode de modelare cinematică şi dinamică a robo ţ ilor paraleli”

are ca obiectiv descrierea principalelor metode de modelare cinematică şi

dinamică aplicate în studiul roboţilor paraleli, şi cu precădere pentru cei cu

mişcări decuplate (roboţi paraleli abordaţi în această teză).

Capitolul 3 „ Model ări şi simul ări cinematice şi dinamice ale unor structuri

reprezentative de robo ţ i paraleli trimobili” are ca obiectiv principal de studiu:


5/65


elaborarea de modele cinematice şi dinamice analitice şi validarea acestora prin

simulări numerice, pentru o familie de 5 structuri reprezentative de roboţi paraleli

trimobili cu diferite grade de cuplare a mişcării.

Capitolul 4 „ Studiul comparativ rigid-elastic al comportamentului dinamic

pentru familia de robo ţ i paraleli trimobili cu diferite grade de cuplare” are ca

obiectiv principal de studiu analiza comparativă a influenţei elasticităţilor

elementelor asupra comportamentului cinematic şi dinamic al celor 5 roboţi

paraleli trimobili, analizaţi în ipoteza corpului elastic (şi comparativ în ipoteza

corp rigid – corp elastic).

Capitolul 5 „Studiul influen ţ ei gradului de hiperstaticitate asupra

comportamentului cinematic şi dinamic al unei familii de robo ţ i paraleli

tetramobili” este dedicat studiului comparativ cinematic şi dinamic al unei

familii de roboţi paraleli cu mişcări decuplate cu 4 grade de mobilitate şi diferite

grade de hiperstaticitate.

Capitolul 6 „Modelarea şi simularea cinematică şi dinamică a robotului paralel

Isoglide4-T3R1” are ca obiectiv principal obţinerea în softul MAPLE a unui

model cinematic şi dinamic analitic şi realizarea de simulări numerice pentru un

model CAD realizat în softul ADAMS.

Capitolul 7 „Cercet ări experimentale privind comportamentul dinamic al

robotului Isoglide4-T3R1” are ca obiectiv principal validarea prin simulări ale

modelului robotului paralel cu mişcări decuplate Isoglide4 – T3R1 obţinut în

ADAMS, cu testările experimentale efectuate pe prototipului fizic existent la

Institutul Francez de Mecanică Avansată (IFMA), Clermont-Ferrand, Franţa.

Capitolul 8 „Concluzii finale, contribu ţ ii originale şi forme de valorificare a

rezultatelor cercet ării” prezintă concluziile finale şi principalele contribuţii

originale care decurg din teză, sunt evidenţiate modalităţile de diseminare a

rezultatelor cercetărilor întreprinse prin publicarea de lucr ări ştiinţifice şi participarea la contracte de cercetare.


6/65


CUPRINS

Rez/ Teză

Prefaţă ..........................................................................................................................3/3Introducere ................................................................................................................... 4/5

Cuprins .........................................................................................................................6/91. Stadiul actual al cercetărilor privind modelarea dinamică

a roboţilor paraleli ...................................................................................................... 9/13

1.1. Aspecte privind modelarea dinamică a roboţilor paraleli..............................9/131.2. Aspecte privind modelarea şi simularea roboţilor paraleli cu

elemente deformabile elastic....................................................................................10/171.3. Aspecte privind roboţii paraleli cu mişcări decuplate..................................10/18

2. Metode de modelare cinematică şi dinamică a roboţilor paraleli ........................ 12/21

2.1. Metode de modelare geometrică ..................................................................12/21

2.1.1. Modelul geometric direct (MGD)........................................................ 12/222.1.1.1. Metoda vectorială............................................................................-/22

2.1.1.2. Metoda matricelor de rotaţie ...........................................................-/232.1.1.3. Transformări omogene....................................................................-/23

2.1.1.4. Metoda sistemului de coordonate călător .......................................-/29

2.1.2. Modelul geometric invers ....................................................................13/302.2. Modelul cinematic........................................................................................13/30

2.3. Modelul dinamic ..........................................................................................13/31

2.3.1. Modelul dinamic utilizând ecuatiile lui Lagrangede speţa a II ..............................................................................................................14/33

2.3.2. Modelul dinamic utilizând ecuaţiile lui Lagrangecu multiplicatori de speţa a I-a................................................................................ 14/34

2.3.3. Modelul dinamic utilizând un algoritm Newton-Euler

recursiv.....................................................................................................................15/352.4. Concluzii .....................................................................................................15/37

3. Modelări şi simulări cinematice şi dinamice ale unor structuri

reprezentative de roboţi paraleli trimobili................................................................16/393.1. Caracterizarea structurală a 5 soluţii reprezentative de roboţi paraleli........ 16/39

3.1.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR........................................16/40

3.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR .............................................17/41

3.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR .............................................18/42

3.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR............................................................ 18/433.1.5. Robotul paralel Triglide....................................................................... 19/443.2. Modelarea geometrică şi cinematică a roboţilor paraleli.............................19/44

3.2.1. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel

Isoglide-T3 de tip 3TRRR........................................................................................19/453.2.2. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel de tip

2TRRR+1TRPaR .....................................................................................................20/46

3.2.3. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel de tip1TRRR+2TRPaR .....................................................................................................20/47

3.2.4. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel


7/65


de tip 3TRPaR.. ....................................................................................................... 21/48

3.2.5. Modelul geometric direct si invers al robotului paralel Triglide.......... 21/49

3.3. Modelarea dinamică analitică a celor 5 soluţii reprezentative deroboţi paraleli trimobili............................................................................................ 22/50

3.3.1. Modelarea dinamică a robotului paralel

Isoglide 3 – T3 de tip 3TRRR.................................................................................. 23/51

3.3.1.1. Modelarea dinamică cu ajutorul ecuaţiilor luiLagrange de speţa a II-a........................................................................................... 23/51

3.3.1.2. Modelarea dinamică cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange

cu multiplicatori de speţa I ..................................................................................... 23/54

3.3.1.3. Modelarea dinamică prin utilizarea unui algoritm

Newton-Euler recursiv............................................................................................. 24/573.3.1.4. Validarea numerică a modelelor dinamice analitice obţinute ..... 24/63

3.3.1.5. Concluzii privind metodele de modelare dinamică aplicate...........-/65

3.3.2. Modelarea dinamică a unei familii de roboţi paraleli trimobilicu mişcări cuplate ................................................................................................... 25/66

3.3.2.1. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip

2TRRR+1TRPaR..................................................................................................... 25/673.3.2.2. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip

1TRRR+2TRPaR..................................................................................................... 27/733.3.2.3. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip

3TRPaR (Orthoglide)............................................................................................... 29/79

3.3.2.4. Modelarea dinamică a robotului paralel Triglide ........................ 30/853.4. Concluzii...................................................................................................... 32/94

4. Studiul comparativ rigid-elastic al comportamentului dinamic pentru

familia de roboţi paraleli trimobili cu diferite grade de cuplare.............................. 33/974.1. Studiul comportamentului cinematic şi dinamic în ipoteza

corpului rigid ... ....................................................................................................... 33/98

4.1.1. Robotul paralel de tip Isoglide3-T3..................................................... 34/984.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR........................................... 34/100

4.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR........................................... 35/102

4.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR.......................................................... 36/1044.1.5. Robotul paralel Triglide..................................................................... 37/106

4.1.6. Concluzii privind studiul celor 5 roboţi paraleli analizaţiîn ipoteza corpului rigid............................................................................................ -/113

4.2. Studiul comportamentului cinematic şi dinamic în ipoteza

corpului elastic. ..................................................................................................... 40/1144.2.1. Robotul paralel Isoglide3 – T3 de tip 3TRRR................................... 40/115

4.2.2. Robotul paralel de tip 3TRPaR.......................................................... 41/118

4.2.3. Robotul paralel Triglide..................................................................... 42/1194.2.4. Concluzii privind studiul roboţilor paraleli analizaţi în

ipoteza corpului elastic ............................................................................................. -/1244.3. Concluzii.................................................................................................... 43/125

5. Studiul influenţei gradului de hiperstaticitate asupra comportamentului

cinematic şi dinamic al unei familii de roboţi paraleli tetramobili........................ 44/127

5.1. Decelarea unei traiectorii adecvate............................................................... -/1295.2. Studiul comparativ al roboţilor paraleli cu mişcări decuplate

de tip Isoglide4 ..................................................................................................... 45/130


8/65


5.2.1. Varianta A: Isoglide4 de tip 3-TRRRR+1-TRRR .............................45/131

5.2.2. Varianta B: Isoglide4 de tip 3-TRRRR+1-TRRRR........................... 47/135

5.2.3. Varianta C: Isoglide4 de tip 2-TRRS+1-TRRRR+1-TRRR..............48/1385.2.4. Varianta D: Isoglide4 de tip 3-TRRS+1-TRRR.................................49/140

5.3. Concluzii ....................................................................................................50/144

6. Modelarea şi simularea cinematică şi dinamică a robotului paralel

Isoglide4-T3R1 ...................................................................................................... 51/1456.1. Particularităţi geometrice şi cinematice ale robotului paralel

Isoglide4 - T3R1 ....................................................................................................51/145

6.2. Modelare cinematică şi dinamică analitică a robotului

Isoglide4 – T3R1....................................................................................................51/148

6.2.1. Modelul geometric direct şi invers ....................................................52/1496.2.2. Modelul cinematic direct şi invers.....................................................52/149

6.2.3. Modelul dinamic invers ..................................................................... 52/150

6.3. Simulări numerice privind comportamentul cinematic şi dinamical robotului Isoglide4 – T3R1............................................................................... 53/152

6.4. Concluzii privind analiza robotului Isoglide4 – T3R1 ..............................53/156

7. Cercetări experimentale privind comportamentul dinamic al robotuluiIsoglide4 – T3R1....................................................................................................54/157

7.1. Prezentarea robotului Isoglide 4 – T3R1 – prototipul fizic şimodelul ADAMS...................................................................................................54/157

7.2. Programul de testare experimentală........................................................... 54/160

7.2.1. Testare 1............................................................................................. 55/1617.2.1.1. Varianta A: Filtrarea acceleraţiei prin aplicarea a

două filtre succesive...............................................................................................56/163

7.2.1.2. Varianta B: Filtrarea acceleraţiei prin utilizareamodulului SPTOOL din Matlab.............................................................................57/165

7.2.2. Testare 2 ...............................................................................................-/166

7.3. Concluzii ....................................................................................................57/1668. Concluzii finale, contribuţii originale şi forme de valorificare.......................... 58/169

8.1. Concluzii finale şi contribuţii originale .....................................................58/169

8.2. Forme de valorificare a rezultatelor cercetării ...........................................60/173Bibliografie ..... .........................................................................................................-/175

Bibliografie selectivă ..................................................................................................61/-Rezumat... ....... ...........................................................................................................63/-

Summary . ....... ...........................................................................................................63/-

Curriculum vitae..........................................................................................................64/-Curriculum vitae (engl)...............................................................................................65/-

Anexa1 .... ....... .........................................................................................................-/181

Anexa2 .... ....... .........................................................................................................-/183Anexa3 .... ....... .........................................................................................................-/189Anexa4 .... ....... .........................................................................................................-/191Anexa5 .... ....... .........................................................................................................-/193

Anexa6 .... ....... .........................................................................................................-/197

Not ă: Pentru capitole, subcapitole, figuri şi rela ţ ii în rezumat s-au pă strat

numerele de ordine din tez ă


9/65


1. STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR PRIVINDMODELAREA DINAMICĂ A ROBOŢILOR PARALELI CU

MIŞCĂRI DECUPLATE

Acest capitol are ca obiectiv principal identificarea metodelor de modelare dinamică a roboţilor paraleli utilizate în literatura de specialitate, din care se desprind principaleobiective ale capitolelor următoare din teză.

Capitolul este structurat pe 3 subcapitole astfel: Primul subcapitol este dedicat analizei critice a metodelor de modelare

dinamică aplicate în literatur ă asupra roboţilor paraleli; În al doilea subcapitol se face o trecere în revistă a modelărilor aplicate în

cazul roboţilor paraleli cu luarea în considerare a deformabilităţilorelementelor;

Ultimul subcapitol este dedicat analizei critice a roboţilor paraleli cu mişcăridecuplate.

1.1. Aspecte privind modelarea dinamică a robo ţ ilor paraleli

Modelul dinamic are un rol esenţial în implementarea sistemului de comandă-controlal roboţilor paraleli, în special pentru aplicaţiile care reclamă viteze înalte de operare,cum ar fi simulatoarele de zbor, centre de prelucrare cu structur ă de tip paralel sau roboţii“pick-and-place” (cum ar fi robotul DELTA care poate atinge o acceleraţie de 500 m/s2).

Problemele privind modelarea dinamică a structurilor paralele sunt, de regulă, maicomplicate decât pentru structurile seriale.

Pentru generarea modelului dinamic există mai multe metode tradiţionale (clasice), printre care amintim:

1. Formularea Newton-Euler;2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa I (cu multiplicatori);3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a II-a;4. Principiul deplasărilor virtuale.

Obiectivul principal al acestui capitol îl constituie sistematizarea metodelor demodelare a roboţilor paraleli, prezentate în literatur ă, cu precădere pentru roboţii cumişcări decuplate.

Nguyen [NGU89], Fujimoto [FUJ91], Geng [GEN92] şi Liu [LIU91], [LIU92],[LIU93] utilizează formalismul Lagrange pentru a obţine ecuaţiile dinamice ale roboţilor

paraleli, f ăr ă a preciza gradul de complexitate al modelelor obţinute.Pierrot [PIE91] propune o metodă simplificată, în doi paşi, de determinare a

modelului dinamic al roboţilor DELTA şi HEXA. Primul pas constă în stabilireaecuaţiilor pentru echilibrul platformei robotului paralel (la stabilirea modelului dinamicse consider ă că nu există frecare în cuplele sferice şi că masa elementelor inferioare ale

paralelogramului este concentrată la capete şi nu au momente de iner ţie). Cel de-al doilea pas este stabilirea ecuaţiilor pentru echilibrul braţului superior al robotului. Cu ajutorulecuaţiilor stabilite se determină momentele de acţionare din cuplele motoare în funcţie deacceleraţia organului terminal.

În [PIS00] se propune un model dinamic generalizat pentru robo ţii paraleli folosindecuaţiile lui Lagrange de speţa I pe baza maselor echivalente. Aceeaşi metodă a fost


10/65


utilizată şi pentru analiza dinamică a manipulatorului paralel 3-TTRS [ITU04]. În[ITU03b] se utilizează principiul lui Newton-Euler pentru manipulatoarele paralele cughidare în trei puncte. Pornind de la aceste rezultate, în [PIS01b] şi [ITU03a] serealizează o analiză comparativă între diferitele modele dinamice.

În lucrarea [JUN07] este abordată problema modelului dinamic al unui robot paralel planar cu 2 grade de mobilitate prin utilizarea metodei Newton-Euler.

În [FAR08] se obţin ecuaţiile dinamice ale unui robot paralel convertind lanţul închisal sistemului mecanic în mai multe lanţuri deschise şi impunând mai apoi un set deecuaţii necesare închiderilor lanţurilor deschise.

În [YUW10] sunt analizate comparativ performanţele dinamice pentru doi roboţi paraleli cu 3 grade de mobilitate utilizând metoda Lagrange.

În [YUN10] se obţine modelul dinamic al robotului Orthopod utilizând formulareaLagrange-D’Alembert.

Un model dinamic utilizând principiul lucrului mecanic virtual pentru trei structuri paralele este prezentat în [JUN11].

Din cele prezentate pe scurt rezultă că modelarea şi simularea dinamică reprezintă unuldintre aspectele cele mai actuale ale cercetărilor în domeniul cercetării roboţilor paraleli.

Analiza stadiului actual al cercetărilor în domeniul modelării dinamice a roboţilor paraleli, în ipoteza corpului rigid nedeformabil, permite identificarea principalelormetode generale de modelare dinamică:

- formalismul Lagrange (Nguyen [NGU89], Fujimoto [FUJ91], Geng [GEN92]şi Liu [LIU91], [LIU92], [LIU93], [MIL92], [MER00], [PIS00], [ITU04],[YUW10], [YUN10], [STA11]);

- metoda Newton-Euler ([COD91], [PIE91], [GUG94b], [ITU03b], [GUE03],[IBR06] , [JUN07]);

- metoda proiecţiilor ([DEV92]);- principiul lucrului mecanic virtual ([ZHE05], [CAL06], [STA08], [STA09],

[JUN09], [JUN11]).

1.2. Aspecte privind modelarea şi simularea robo ţ ilor paraleli cu elemente deformabile

elastic

În literatur ă de specialitate se regăsesc mai multe abordări privind modelarea roboţilorcu elemente deformabile elastic.

Elasticitatea distribuită a unei structuri poate fi aproximată printr-un ansamblu deelasticităţi localizate, prin care un corp deformabil este descompus într-un ansamblu decorpuri rigide, legate între ele prin elemente de tip resort. Această abordare utilizează metoda elementului finit (MEF) [SHA97].

O analiză a rigidităţilor şi deformaţiilor elastice a unui robot paralel este dezvoltată în[BO11], iar în [RIZ06] sunt analizate efectelor deformaţiilor de montaj şi de fabricaţie pentru roboţi paraleli cu mişcări decuplate.

1.3. Aspecte privind robo ţ ii paraleli cu mi şcări decuplate

Roboţii paraleli cu mişcări decuplate sunt roboţii care au proprietatea că fiecaremişcare de ieşire este dependentă de funcţia de mişcare a unei singure cuple motoare; ei

pot avea de la 2 până la 6 grade de mobilitate.


11/65


O serie de roboţi paraleli cu 4 grade de mobilitate de tip T3R1 au fost analizaţi de către[CLA90], [WAN98], [LEN98], [PIE99], [ROL99], [COM99], [MER00], [ZLA01],[GAO02], [KON04a], [KON04b] şi [KON04c]. Toate aceste soluţii au mişcări cuplate.Primele soluţii de roboţi paraleli cu mişcări decuplate de tip T3R1 au fost propuse de[GOG04a], [GOG05b], [CAR05], [GOG07].

Printre roboţii paraleli cu mişcări decuplate se află şi robotul prezentat în fig. 1.2,robot paralel cu 4 grade de mobilitate de tip Isoglide4-T3R1, conceput şi realizat încadrul laboratorului de cercetare LaMI al Institutului Francez de Mecanică Avansată (IFMA), Clermont-Ferrand, Franţa.

a bFigura 1.2. Exemplu de robot paralel cu mişcări decuplate cu 4 grade de mobilitate de tip

Isoglide4 –T3R1 (a) şi prototipul fizic corespunzător (b) [GOG07]

În urma analizei critice a stadiului actual, se desprind următoarele principale obiective

ale tezei: Studiul eficienţei metodelor existente de modelare dinamică analitică, în cazulaplicării pentru structuri reprezentative de roboţi paraleli cu mişcări decuplate,cu 3 şi 4 grade de mobilitate;

Validarea modelelor dinamice analitice cu ajutorul modelelor numericerealizate în softul ADAMS;

Identificarea comparativă a performanţelor dinamice ale roboţilor paralelianalizaţi, prin simulări numerice;

Studiul influenţei elasticităţilor elementelor cinematice asupracomportamentului dinamic al roboţilor paraleli studiaţi;

Validarea experimentală a modelului dinamic teoretic (analitic şi numeric) al

robotului paralel Isoglide4-T3R1, prin cercetări experimentale pe un prototipfizic.


12/65


2. METODE DE MODELARE CINEMATICĂ ŞI DINAMICĂ A ROBOŢILOR PARALELI

Modelarea lanţului de ghidare reprezintă o problemă esenţială pentru a realizacomanda robotului.Problema este foarte complexă, deoarece:

- există mai multe tipuri de modele: geometric, cinematic, dinamic, static, fiecare putândfi determinat în diferite ipoteze (cu sau f ăr ă neglijarea elasticităţilor, jocurilor, frecărilor,etc.);-pentru fiecare model există mai multe metode de a-l determina (de exemplu la modeluldinamic: Lagrange, Newton-Euler, d’ Alembert, etc.) ;-pentru modelele inverse este necesar să se poată inversa ecuaţiile modelului direct

pentru orice poziţie a robotului.În acest capitol sunt detaliate cele mai importante metode de modelare analitică

aplicabile pe roboţi paraleli existente în literatura de specialitate, urmând ca apoi să sealeagă cele mai potrivite pentru structurile de roboţi paraleli ce urmează a fi studiate încadrul acestei teze de doctorat.

Capitolul conţine 3 subcapitole structurate astfel: Primul subcapitol este dedicat prezentării metodelor de modelare geometrică; În cel de-al doilea subcapitol sunt trecute în revistă metodele de modelare

cinematică; Ultimul subcapitol este dedicat trecerii în revistă a metodelor de modelare

dinamică Din multitudinea de metode se prezintă cele mai relevante care se potrivesc clasei

de roboţi care urmează a fi analizate.

2.1. Metode de modelare geometrică

Modelul geometric poate fi : Model geometric direct care exprimă coordonatele operaţionale (x) în funcţie de

coordonatele generalizate (q); Modelul geometric invers exprimă coordonatele generalizate (q) în funcţie de

coordonatele operaţionale (x).

2.1.1. Modelul geometric direct (MGD)

Modelul geometric direct permite exprimarea coordonatelor operaţionale (x) în funcţiede coordonatele generalizate (q).

Dacă pentru roboţii seriali modelul geometric este mai uşor de obţinut, datorită faptuluică fiecare cuplă este motorizată, în cazul roboţilor paraleli acest model se complică datorită faptului că apar şi cuple nemotorizate pe lângă cele motorizate.În continuare se vor prezenta câteva metode de obţinere a modelului geometric direct, şianume: metoda vectorială, metoda matricelor de rotaţie, transformări omogene cuajutorul parametrilor Denavit-Hartenberg şi metoda sistemului de coordonate călător.


13/65


2.1.2. Modelul geometric invers

Soluţia modelului invers permite determinarea valorilor deplasărilor relative din cuple(ale variabilelor articulare) necesare pentru obţinerea unei poziţii şi orientări dorite(cunoscute) a elementului final.Aceste elemente sunt utile în comanda robotului.

2.2. Modelul cinematic

În cadrul cinematicii roboţilor se pot deosebi două tipuri fundamentale de probleme:-problema cinematică directă;-problema cinematică inversă.

În cadrul problemei cinematice directe se consider ă cunoscute caracteristicilegeometrice ale robotului, legile de variaţie ale diferiţilor parametri cinematici absoluţicorespunzători pentru punctul considerat.

În cadrul problemei cinematici inverse se consider ă cunoscute caracteristicilegeometrice ale robotului, legile de variaţie ale diferiţilor parametri cinematici absoluţi şi

se urmăreşte determinarea parametrilor cinematici relativi ai robotului.

2.3. Modelul dinamic

Modelarea dinamică a sistemelor mecanice reprezintă o problemă centrală în studiulcomportamentului acestora, a cărei rezolvare pune numeroase dificultăţi datorită complexităţii ridicate a modelului. În plus, concordanţa dintre rezultatele modelării şicomportamentul efectiv al sistemului este în mare măsur ă dependentă de ipotezele în cares-a realizat modelarea.

Obiectivul principal în dinamica roboţilor industriali îl constituie determinarea for ţelor

generalizate din cuple (for ţele motoare) în funcţie de mişcările relative din cuple(deplasare, viteze şi acceleraţii relative din cuple) considerând proprietăţile iner ţiale alerobotului.În general, în dinamică se urmăreşte stabilirea ecuaţiilor dinamice, care se pot realiza prinmai multe metode:

• ecuaţiile lui Lagrange;• ecuaţiile Newton-Euler;• ecuaţiile Gibbs;• aplicând principiul lucrului mecanic virtual, şi altele.

Ca şi în cazurile precedente există un model dinamic direct şi unul invers.Modelarea dinamică a sistemelor mecanice, şi implicit a roboţilor industriali, serealizează în principal prin două metode:

-metoda Lagrange, care permite obţinerea rezultatelor sub formă simbolică (numărminim de ecuaţii de complexitate ridicată).

-metoda Newton-Euler, metodă iterativă care conduce la un număr mai mare deecuaţii de complexitate mai redusă.Roboţii industriali, ca sisteme dinamice complexe, pot fi modelaţi în mai multe ipoteze:a) Modelul dinamic al roboţilor cu elemente rigide şi cuple ideale. Este forma cea maisimplă de modelare, care permite proiectarea unor algoritmi de control aplicabili cusucces în controlul roboţilor care funcţionează la viteze reduse.


14/65


b) Pentru creşterea performanţelor de control ale roboţilor de înaltă viteză, cu încărcărimari se impune introducerea de noi ipoteze pentru asigurarea unei precizii cât mairidicate. În aceste condiţii, modelul dinamic trebuie să cuprindă: - modelarea frecărilordin cuple, - elasticitatea elementelor, -complianţa (flexibilitatea) cuplelor.În cazul modelului dinamic direct se presupune cunoscut vectorul coloana al for ţelorgeneralizate din cuplele motoare. Acest model este util, îndeosebi, în studiul şi simulareacomportamentului dinamic al robotului.În cazul modelului dinamic invers, se presupun cunoscute traiectoriile de mişcare dinfiecare cupla cinematică motoare a robotului.Se cere determinarea prin calcul analitic a for ţelor generalizate motoare. Această formulare dinamică este utilă în problema controlului robotului.În continuare se vor prezenta câteva metode reprezentative de modelare dinamică.

2.3.1. Modelul dinamic utilizând ecuatiile lui Lagrange de speta a II-a

Modelul dinamic constituie partea centrală în implementarea unor tehnici adecvatede comandă/control a unui robot industrial. De acurateţea acestui model şi de gradul de

utilizare a acestuia în control depinde în mare măsur ă stabilitatea funcţionării (controlate)robotului.Modelul dinamic al unui robot se deduce în condiţiile menţinerii ipotezelor de robot

ideal:-cuple ideale (f ăr ă locuri, frecări, elasticităţi);

- elemente ideale (rigiditate infinită, execuţie şi montaj f ăr ă erori etc.);- mişcarea comandată se transmite f ăr ă erori la nivel articular.

În vederea obţinerii modelului dinamic sunt necesare următoarele etape de parcurs:a) Exprimarea energiilor cinetice şi potenţiale a elementelor;

b) Exprimarea Lagrangeanului sistemului;c) Exprimarea for ţelor motoare Fqi:

i.

i

qiq

L

q

L

dt

d F

∂∂

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂= (2.14)

2.3.2. Modelul dinamic utilizând ecua ţ iile lui Lagrange cu multiplicatori de spe ţ a a I-a

Forma generală a ecuaţiilor lui Lagrange cu multiplicatori este:

j j j j

ik

ii Q

q

L

q

L

dt

d

q

∧

=−

∂∂

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=∂

Γ∂λ∑

1 (2.15)

Etapele necesare în vederea obţinerii modelului dinamic sunt:a) Obţinerea Lagrangeanului - se regăseşte în descrierea metodei precedente;

b) Determinarea ecuaţiilor i E şi si E ;

c) Următorul pas îl constituie alegerea setului de ecuaţii necesar pentru introducereamultiplicatorilor ( jΓ ), cu j=1 ...(n-m);

d) Odata setul de ecuaţii ales, următorul pas îl constituie determinarea matricelor

dep M (de dimensiune (n-m)x(n-m)) şi ind M (de dimensiune (m)x(n-m)) obţinute

prin derivarea ecuaţiilor jΓ ;


15/65


e) Determinarea multiplicatorilor lui Lagrange;f) În final se pot obţine cele m for ţe motoare: iiQ τ= .

2.3.3. Modelul dinamic utilizând un algoritm Newton-Euler recursiv

Metoda este bazată pe un algoritm Newton-Euler recursiv propus de Ouarda Ibrahim

în teza sa de doctorat [IBR06] şi presupune într-o etapă preliminar ă desfacerea legăturilordintre platformă şi lanţurile cinematice.Metoda este utilizabilă pentru roboţii paraleli şi presupune utilizarea unui algoritm

Newton-Euler recursiv, luând fiecare braţ în parte, platforma separat, după care se facelegătura între ele.

Modelele dinamice pentru fiecare braţ obţinute sunt proiectate pe axele cuplelor active(motorizate) prin intermediul matricelor Jacobiene.

Modelele cinematice şi dinamice ale braţelor sunt echivalente cu cele ale unui robotserial; astfel se reduce complexitatea acestora şi se pot utiliza cu succes mai multemetode de modelare dinamică printre care şi metoda Newton-Euler recursif prinutilizarea parametrilor iner ţiali ai bazei. Pe de altă parte, modelul dinamic al platformei

este obţinut prin ecuaţiile Newton-Euler care dau rezultanta for ţelor şi momenteloraplicate asupra unui corp solid în mişcare.Etape necesare pentru determinarea ecuaţiilor dinamice:

a) Exprimarea energiilor cinetice şi potenţiale ale elementelor de pe fiecare braţ,fiind identică cu cea prezentată în metodele anterioare;

b) Pasul doi îl reprezintă exprimarea Lagrangeanului pe fiecare ramur ă:c) Proiectarea ecuaţiilor dinamice ale platformei în spaţiul variabilelor articulare

independente;d) Următorul pas îl reprezintă proiectarea ecuaţiilor dinamice ale lanţurilor

cinematice deschise (LCD) în spaţiul variabilelor articulare independente, după aceasta, proiectarea acestor ecuaţii dinamice în spaţiul cuplelor acţionate.

e) Următorul pas îl reprezintă proiectarea acestor ecuaţii dinamice în spaţiulcuplelor active (acţionate).

f) Ultimul pas îl reprezintă scrierea ecuaţiilor dinamice.

2.4. Concluzii

După cum se poate obseva, după trecerea în revistă a metodelor de modelare aroboţilor paraleli, mai multe metode pot fi aplicate cu succes în vederea obţineriimodelului cinematic şi dinamic.

În continuare, în vederea obţinerii modelului cinematic analitic (şi implicit şi a celuigeometric) metoda sistemului călător va fi utilizată pentru roboţii paraleli ce urmează a fi

analizaţi.Pentru obţinerea modelului dinamic analitic, mai multe metode sunt adecvate tipului

de roboţi paraleli abordaţi în teză, şi anume: Metoda ce utilizează ecuaţiile lui Lagrange de speţa a II-a; Metoda Lagrange cu multiplicatori; Newton-Euler recursivă.


16/65


3. MODELĂRI ŞI SIMULĂRI CINEMATICE ŞI DINAMICEALE UNOR STRUCTURI REPREZENTATIVE DE

ROBOŢI PARALELI TRIMOBILI

Roboţii paraleli (RP) sunt compuşi dintr-o platformă mobilă conectată la o bază prin cel puţin 2 lanţuri cinematice. Roboţii paraleli de translaţie (RPT) permit translaţiiindependente ale platformei mobile, fiind folosite în aplicaţii care necesită poziţionareaunui obiect în spaţiu cu orientare constantă [GOG04].

Acest capitol este dedicat studiului a cinci astfel de roboţi paraleli de translaţie(RPT) cu diferite grade de cuplare (de la 0 la 3), la care se mai adaugă şi robotul paralelTriglide, utilizabil în aplicaţii medicale, în final punându-se în evidenţă avantajele/dezavantajele decuplării mişcărilor în cazul roboţilor paraleli.

Obiectivele principale ale acestui capitol, cuprind: Elaborarea modelelor cinematice şi dinamice analitice şi validarea acestora

prin simulări numerice; Analiza comparativă a comportamentului cinematic şi dinamic al celor 5

roboţi paraleli în ipoteza corpului rigid; Identificarea avantajelor şi dezavantajelor decuplării mişcării asupra

comportamentului cinematic/dinamic şi a complexităţii modelelor analitice.În vederea atingerii acestor obiective, s-a utilizat softul MAPLE, pentru ob ţinerea

modelelor analitice, şi softul ADAMS pentru obţinerea modelelor CAD.

3.1. Caracterizarea structural ă a 5 solu ţ ii reprezentative de robo ţ i paraleli

Pentru soluţionarea obiectivelor precizate anterior, s-au decelat 4 soluţiireprezentative de roboţi paraleli cu diferite grade de cuplare (de tip: 3TRRR , 2TRRR+1TRPaR, 1TRRR+2TRPaR si 3TRPaR ), la care s-a adăugat o a cincea soluţie,

şi anume robotul paralel Triglide; în continuare sunt prezentate succint particularităţilestructurale ale fiecăreia dintre acestea.

3.1.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR ( T ransla ţ ie, Rota ţ ie, Rota ţ ie,

Rota ţ ie)

Robotul paralel Isoglide3-T3 este o structur ă trimobilă cu 3 intr ări şi 3 ieşiri; estecompus dintr-o platformă mobilă (elementul 7 – fig. 3.1) conectată la bază prin 3 lanţuricinematice elementare, fiecare fiind compus din câte 3 elemente cinematice (2i, 3i, 4i,unde i=A,B,C) şi 4 cuple: o cuplă de translaţie motoare (qi, i=1,2,3) şi câte 3 cuple derotaţie ne-motoare (notate cu φ2i, φ3i, φ4i, unde i=a,b,c).

Robotul paralel Isoglide3-T3 este un robot cu gradul de cuplare zero, adică are toatecele 3 mişcări de ieşire decuplate (cele trei translaţii după axele X, Y şi respectiv Z) ;fiecare mişcare de ieşire este în principiu dependentă de funcţia de mişcare a unei singurecuple motoare distincte (fig. 3.1, în speţă a punctului H – punctul caracteristic alrobotului).

Acest tip de robot se mai numeşte şi “maximally regular” [GOG08] şi se refer ă lacazul particular în care roboţii paraleli au matricea Jacobian egală cu matricea identitate.


17/65


Figura 3.1. Robotul paralel Isoglide3-T3 de tip 3TRRR [GOG04]

3.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (2T ransla ţ ie, Rota ţ ie, Rota ţ ie, Rota ţ ie

+1 T ransla ţ ie, Rota ţ ie, Paralelogram, Rota ţ ie)

Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (fig. 3.2) este o structur ă trimobilă cu 3intr ări şi 3 ieşiri, care are două mişcări decuplate (după axa X şi Y) şi o mişcare cuplată (după axa Z); este alcătuit dintr-o platformă mobilă 7 (fig. 3.2) conectată la bază prin 3lanţuri cinematice:

• 2 lanţuri cinematice simple compuse din câte 3 elemente (2i, 3i, 4i , undei=A,B,C) şi 4 cuple: o cuplă de translaţie motoare (qi, i=1,2) şi câte 3 cuple derotaţie ne-motoare (notate cu φ2i, φ3i, φ4i, unde i=a,b).

• 1 lanţ cinematic de tip paralelogram (ramura “c”) compus din 5 elemente (2C,3C, 4C, 5C, 6C) şi 7 cuple: o cuplă de translaţie motoare (q3) şi 6 cuple derotaţie ne-motoare (notate cu φ2c, φ3c, φ3c1, φ4c φ4c1,φ5c).

Figura 3.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR [GOG04]


18/65


3.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR (1T ransla ţ ie, Rota ţ ie, Rota ţ ie, Rota ţ ie+2T ransla ţ ie, Rota ţ ie, Paralelogram, Rota ţ ie)

Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR este un robot trimobil, cu 3 intr ări şi 3 ieşiri,care are o mişcare decuplată (după axa X) şi două mişcări cuplate (după axa Y şi Z)estecompus dintr-o platformă mobilă 7 (fig. 3.3) legată la bază prin 3 lanţuri cinematice:

• 1 lanţ cinematic simplu compus din 3 elemente (2A, 3A, 4A) şi 4 cuple: o cuplă de translaţie activă (q1) şi 3 cuple de rotaţie ne-motoare (notate cu φ2a, φ3a,φ4a);

• 2 lanţuri cinematice de tip paralelogram compuse din 5 elemente (2 i, 3i, 4i, 5i,6i, unde i=B,C) şi 7 cuple: o cuplă de translaţie motoare (qi, unde i=2,3) şi 6cuple de rotaţie ne-motoare (notate cu φ2i, φ3i, φ3i1, φ4i , φ4i1,φ5i, unde i=b, c).

Figura 3.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR [GOG04]

3.1.4. Robotul paralel Orthoglide de tip 3TRPaR (3 T ransla ţ ie, Rota ţ ie,

Paralelogram, Rota ţ ie)

Figura 3.4. Robotul paralel de tip 3PRPaR

[GOG04]

Figura 3.5. Prototipul robotului

Orthoglide [PAS07]


19/65


Robotul paralel Orthoglide de tip 3TRPaR (fig. 3.4) este un robot cu trimobil, cu 3intr ări şi 3 ieşiri, care are 3 mişcări cuplate; este compus dintr-o platformă mobilă 7 (fig.3.4) conectată la bază prin 3 lanţuri cinematice de tip paralelogram compuse din câte 5elemente (2i, 3i, 4i, 5i, 6i, unde i=A, B, C) şi 7 cuple: o cuplă de translaţie motoare (qi, undei=1,2,3) şi câte 6 cuple de rotaţie ne-motoare (notate cu φ2i, φ3i, φ3i1, φ4i , φ4i1, φ5i, undei=a, b, c).

3.1.5. Robotul paralel Triglide

Al cincelea robot paralel analizat este robotul Triglide (fig. 3.6) care face parte dinfamilia roboţilor paraleli tip Delta, cu particularitatea că actuatorii de rotaţie sunt înlocuiţicu actuatori de translaţie.

În conformitate cu fig. 3.6, robotul Triglide este un robot paralel de transla ţie trimobil,cu 3 intr ări şi 3 ieşiri, care are toate cele 3 mişcări de ieşire cuplate; conţine o platformă mobilă 4 conectată la bază prin 3 lanţuri cinematice de tip paralelogram, compuse fiecaredin 4 elemente şi câte 4 cuple sferice şi câte o cuplă de translaţie motoare. Platformamobilă are doar mişcări de translaţie paralele cu baza (mişcări planare).

Figura 3.6. Robotul Paralel Triglide

3.2. Modelarea geometrică şi cinematică a robo ţ ilor paraleli

Modelul geometric şi cinematic direct presupune determinarea deplasărilor (respectiva vitezelor) din efector (platforma mobilă) în funcţie de deplasările din cuplele motoare şide lungimile elementelor (notate cu li); modelul geometric şi cinematic invers presupune

determinarea deplasărilor (vitezelor) din cuplele motoare, în funcţie de deplasarile(respectiv vitezele) punctului caracteristic al platformei mobile.

3.2.1. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel Isoglide-T3 de tip 3TRRR

Robotul paralel Isoglide3–T3 (fig. 3.1) este un robot paralel cu mişcări decuplate; caurmare mişcarea de translaţie din cuplele motoare este reprodusă identic în mişcarile detranslaţie ale efectorului.


20/65


În ceea ce priveşte modelul geometric direct, deplasarea din efector (xh, yh, zh) estedirect dependentă de deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3):

ah l q x 71 −=

bh l q y 72 −= (3.1)

ch l q z 73 −=

în care l7a, l7b, l7c reprezintă lungimea elementului 7 pe cele trei braţe (conform fig. 3.7). Modelul cinematic presupune stabilirea dependenţei dintre vitezele şi acceleraţiile

efectorului (vxh, vyh, vzh) şi vitezele liniare relative din cuplele motoare (.

q1 ,.

q2 ,.

q3 ).

Această dependenţă este dată de Jacobianul sistemului Jh:După cum s-a menţionat anterior, fiind un robot paralel „maximally regular”

[GOG10], Jacobianul va fi egal cu matricea identitate.

3.2.2. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR

Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR (fig.3.2), prezentat şi descris anterior, esteun robot cu 2 mişcări decuplate (după axa X0 şi Y0) şi o mişcare cuplată (după axa Z0).

Dependenţa dintre deplasarea efectorului (xh, yh, zh) şi deplasarea relativă din cuplelemotoare (q1, q2, q3), care descrie modelul geometric direct, este dată de relaţiile (3.7):

ah l q x 71 −=

bh l q y 72 −= , (3.7)

cbachl )l q( )l q( l q z 7

272

271

243

−−−−−−=

Modelul cinematic direct şi invers se obţine, din modelul geometric, prin derivarea în

raport cu timpul a relaţiilor (3.7) şi respectiv (3.8); în conformitate cu relaţia (3.5) rezultă astfel următoarea expresie a Jacobianului:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=−

1

010

001

2224

2224

1

hhc

h

hhc

h

h

y xl

y

y xl

x J (3.9)

3.2.3. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR

Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR (fig. 3.3), prezentat şi descris în subcapitolul3.1.3, este un robot cu o mişcare decuplată (după axa X0) şi două mişcări cuplate (după axa Y0 şi Z0). Dependenţa dintre deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3) şi deplasarea

punctului caracteristic H (xh, yh, zh), este dată de relaţia:

ah l xq 71 +=

hbhhb yl x z l q ++−−= 7222

42 , (3.10)

hchhc z l y xl q ++−−= 7222

43


21/65


în care l4b şi l4c reprezintă lungimea elementelor 4B şi 4C, iar l7a, l7b şi l7c reprezintă lungimea elementului 7 pe cele trei braţe (conform fig. 3.7).

Modelul cinematic direct şi invers se obţine, din modelul geometric, prin derivarea înraport cu timpul a relaţiilor (3.9) şi respectiv (3.10); în conformitate cu relaţia (3.5)rezultă următoarea expresie a inversei Jacobianului:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

−−−=−

1

1

001

2224

2224

2224

2224

1

hhc

h

hhc

h

hhb

h

hhb

hh

y xl

y

y xl

x

x z l

z

x z l

x J (3.11)

3.2.4. Modelul geometric şi cinematic al robotului paralel de tip 3TRPaR

Robotul paralel de tip 3TRPaR (fig. 3.4), este un robot paralel cu 3 grade demobilitate şi trei mişcări cuplate.

Dependenţa dintre deplasarea din cuplele motoare (q1, q2, q3) şi deplasarea platformeireprezentată prin punctul H, de coordonate (xh, yh, zh), este dată de relaţia:

hahha xl z yl q ++−−= 7222

41

hbhhb yl x z l q ++−−= 7222

42 , (3.12)

hchhc z l y xl q ++−−= 7222

43

în care l4a, l4b şi l4c reprezintă lungimea elementelor 4A, 4B şi 4C, iar l7a, l7b şi l7c reprezintă lungimea elementului 7 pe cele trei braţe (conform fig. 3.7).

Modelul cinematic directşi invers (rela

ţia 3.4

şi rela

ţia 3.5) se ob

ţine prin derivarea

modelului geometric obţinut (relaţia 3.12), inversa matricii Jh fiind egală cu:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

=−

1

1

1

2224

2224

2224

2224

2224

2224

1

hhc

h

hhc

h

hhb

h

hhb

h

hha

h

hha

h

h

y xl

y

y xl

x

x z l

z

x z l

x

z yl

z

z yl

y

J (3.13)

3.2.5. Modelul geometric direct si invers al robotului paralel Triglide

Modelul geometric direct presupune determinarea deplasării efectorului în funcţie dedeplasarea din cuplele motoare. În cazul acestui robot paralel, modelul rezultat este unulcomplex, motiv pentru care este prezentat în Anexa1.

Modelul geometric invers presupune aflarea deplasării din cuplele motoare (q1, q2,q3), în funcţie de deplasarea din efector (xP, yP, zP – coordonatele punctului P):


22/65


222

22341 443232

13

2

1 P P P P P P P Z L x x y y L L x yq −+−−−++−+−=

22

222342 443322

1

2

13

2

1 L Z y x y x L y L xq p p p p p p p +−−+−++−−−=

2222343 p p p Z x L L L yq −−++−= , (3.14)

în care L1=Ai1Ai2; L2=Ai1Bi1; L3= NBi; L4+qi=NAi ; cu i=1, 2, 3.

3.3. Modelarea dinamică analitică a celor 5 solu ţ ii reprezentative de robo ţ i paraleli

trimobili

În vederea elabor ării modelelor dinamice ale roboţilor analizaţi, din analiza stadiuluiactual reiese posibilitatea utilizării mai multor metode. Dintre acestea s-a ales utilizarea a3 metode dinamice pentru un prim robot analizat, urmând ca apoi dintre cele 3 metodeanalitice să se aleagă cea optimă pentru ceilalţi 4 roboţi r ămaşi de analizat.

Cele trei metode analitice alese spre a fi aplicate sunt: Lagrange de speţa a II-a,Lagrange cu multiplicatori şi metoda Newton-Euler particularizată. Abordarea maimultor metode de modelare pentru aceeaşi structur ă de robot este utilă în vedereaverificării rezultatelor obţinute (care trebuie să fie identice), dar mai ales în vedereastabilirii unei metode optime de abordare a modelării dinamice a acestor soluţiireprezentative de roboţi.

Elaborarea modelelor dinamice se efectuează în următoarele premise:• Masa elementelor este uniform distribuită spaţial;• Elementele cinematice componente sunt corpuri materiale rigide;• Acceleraţia gravitaţională acţionează în sensul negativ al axei Z0;• Pentru a avea o echivalenţă masică între primii 4 roboţi paraleli

analizaţi, masa totală a elementelor unui braţ este aceeaşi indiferentde structura robotului (pentru a putea face a analiză comparativă aacestora);

• Se neglijează frecarea din cuple (µ=0).


23/65


3.3.1. Modelarea dinamică a robotului paralel Isoglide 3 – T3 de tip 3TRRR

Figura 3.7. Schema robotului paralel Isoglide T3- de tip 3TRRR

Primul din cei cinci roboţi paraleli analizaţi este robotul paralel Isoglide 3-T3, a căruimodelare dinamică s-a obţinut prin patru metode de modelare, dintre care 3 analiticeutilizând softul MAPLE şi una numerică utilizând softul ADAMS; ale căror rezultate vorfi prezentate şi explicitate în cele ce urmează.

3.3.1.1. Modelarea dinamică cu ajutorul ecua ţ iilor lui Lagrange de spe ţ a a II-a

Pentru obţinerea modelului dinamic cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a II-asunt sunt parcurse etapele prezentate în capitolul 2, iar în final se exprimă for ţele motoareFqi (conform relaţiei 2.14).

Modelul dinamic analitic astfel obţinut este unul complex, pentru a cărui validare seregurge la aplicarea şi a altor metode de modelare şi compararea rezultatelor obţinute.

3.3.1.2. Modelarea dinamică cu ajutorul ecua ţ iilor lui Lagrange cu multiplicatori de

spe ţ a I

Pentru obţinerea modelului dinamic cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange cu

multiplicatori de speţa a I-a sunt sunt parcurse etapele prezentate în capitolul 2,evidenţiindu-se doar setul de ecuaţii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( iΓ ):

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

=Γ

bccccc

accccc

cbbbbb

abbbbb

caaaaa

baaaaa

l q ) sin( l l ) sin(

l q )cos( l l )cos(

l q )cos( l l )cos(



l q )cos( l l )cos(

7232432

7132432

7332432

7132432

7332432

7232432

6

5

4

3

2

1

(3.27)


24/65


Ca şi în metoda prezentată anterior, for ţele motoare se descriu prin relaţia (3.21) şimatriceal conform relaţiei (3.20), coeficienţii obţinuţi analitic fiind identici cu cei obţinuţianterior (şi care sunt prezentaţi par ţial în Anexa 2).

3.3.1.3. Modelarea dinamică prin utilizarea unui algoritm Newton-Euler recursiv

Metoda este bazată pe un algoritm Newton-Euler recursiv propus de Ouarda Ibrahimîn teza sa de doctorat [IBR06].

Figura 3.8. Reprezentarea robotului paralel Isoglide3-T3 pe cele 3 braţe adiacente (A, B,C) şi platforma mobilă (elementul 7)

Metoda presupune într-o etapă preliminar ă desfacerea legăturilor dintre efector şilanţurile cinematice adiacente. Ca urmare, în cazul robotului paralel Isoglide T3 rezultă (conform fig. 3.8):

- elementul efector 7;- cele trei lanţuri cinematice adiacente 1x-2x-3x-4x, x=A, B, C.

În vederea obţinerii modelului dinamic al robotului analizat sunt necesare parcurgereaetapelor prezentate în capitolul 2: se stabileşte modelul dinamic pe fiecare dintre cele treilanţuri cinematice, se exprima ecuaţiile dinamice ale platformei şi se proiectează ecuaţiiledinamice ale acesteia în spaţiul variabilelor articulare independente (q1, q2, q3), iar în finalse exprimă ecuaţiile dinamice ale cuplelor motoare acţionate.Ca şi în cazurile precedente, s-au exprimat expresiile for ţelor motoare τ, conform relaţiei(3.19), şi matriceal conform relaţiei (3.20), rezultatele analitice regăsindu-se par ţial înAnexa2.

3.3.1.4. Validarea numerică a modelelor dinamice analitice ob ţ inute

Simulările numerice pe o traiectorie test reprezentativă s-a realizat cu ajutorul softuluiADAMS, în care s-a realizat un model CAD al robotului paralel (fig. 3.9.b) folosindelemente simple, de tip bar ă cilindrică.

Simulările numerice sunt realizate în condiţiile gener ării unei traiectorii de mişcare înspaţiul articular, caracterizată prin:-timpul deplasării ∆t=10 [s];-deplasare similar ă în celetrei motoare ∆q1=∆q2=∆q3=0.25 [m];-utilizarea unei funcţii de interpolare polinomială degradul 5.


25/65


Alegerea gradului polinomului legii de mişcare se face în funcţie de condiţiile impuse.Cu cât gradul polinomului este mai mare, cu atât comportamentul dinamic al structurii

analizate devine mai “prietenos” (se netezesc şocurile de funcţionare).Se poate remarca că rezultatele obţinute prin cele 4 metode aplicate (3 analitice şi una

numerică) sunt identice (spre exemplificare se prezintă doar for ţa Fq1 – fig. 3.11).

a b cFigura 3.10. Mişcarea impusă în cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) şi

acceleraţia (c)

Din analiza rezultatelor obţinute (fig. 3.11), se poate observa că:-variaţia for ţelor motoare Fq1 este cea a deplasării impuse în cuplele motoare (fig.

3.10) , şi ajunge la valoarea de zero la jumatatea traiectoriei;-valorile maxime ale for ţelor motoare se situează la 12N pentru for ţa Fq1 şi for ţa Fq2.

a bFigura 3.11. Variaţia for ţei Fq1 prin metoda Lagrange, Lagrange cu multiplicatori ,metoda Newton-Euler particularizată (a) şi cea obţinută prin simularea în Adams (b)

3.3.2. Modelarea dinamică a unei familii de robo ţ i paraleli trimobili cu mi şcări cuplate

În continuare, pentru cei patru roboţi paraleli decelaţi r ămaşi de analizat, elaborareamodelului dinamic analitic se va realiza prin metoda ecuaţiilor Lagrange cumultiplicatori. Obţinerea acestor modele permite analiza comparativă a celor cinci roboţi

paraleli analizaţi din punct de vedere al complexităţii modelelor obţinute.

3.3.2.1. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR

Se evidenţiază următoarele particularităţi cinematice ale braţului C (braţul paralelogram), derivate din proprietăţile lanţului cinematic paralelogram (fig. 3.7):

unghiurile φ2c si φ5c sunt egale şi de sens contrar, urmând a se utiliza doar unuldintre acestea în continuare (vezi fig. 3. 6);

idem pentru unghiurile φ3c şi φ4c.

7

Fq1 [N]

t [s]

D [m]

V [m/s]

t [s]

t [s]

t [s]

A [m/s2]


26/65


Figura 3.13. Schema robotului paralel de tip 2TRRR+1TRPaR cu exemplificareanotaţiilor centrelor de masă a elementelor necesare în modelarea dinamică

În vederea obţinerii modelului dinamic analitic utilizând metoda Lagrange cumultiplicatori de speţa a I-a se parcurg etapele prezentate în cadrul analizei robotuluianterior, evidenţiindu-se doar setul de ecuaţii necesar în vederea introduceriimultiplicatorilor:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−⋅ϕ⋅ϕ

+−⋅ϕ

+⋅ϕ⋅ϕ−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

+−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

+⋅ϕ⋅ϕ−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

+−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

=Γ

bccc

acc

ccccbbbbb

abbbbb

ccccaaaaa

baaaaa

l ql )cos( ) sin(

l ql )cos(

l l )cos( )cos( q )cos( l l )cos(


l l )cos( )cos( q ) sin( l l ) sin(

l q )cos( l l )cos(

72432

7143

74323324327132432

7432332432

7232432

6

5

43

2

1

(3.54)

În vederea validării rezultatelor obţinute un model CAD a fost realizat în ADAMS, iar prin simulări numerice s-au comparat rezultatele obţinute cu cele obţinute în urmasimulărilor numerice din MAPLE, în aceleaşi condiţii ca şi în cazul robotului anteriorstudiat.

a b cFigura 3.15. Mişcarea impusă în cupla motoare q1: deplasarea (a), viteza (b) şi

acceleraţia (c)

D [m]

V [m/s]

A [m/s2]

t [s]

t [s]

t [s]


27/65


Rezultatele obţinute în urma simulărilor numerice sunte identice (vezi fig. 3.16) ceeace confirma corectitudinea modelelor efectuate.

a bFigura 3.16. Variaţia for ţei Fq1 prin metoda (a)-Lagrange cu multiplicatori şi (b)- Adams

În urma analizei dinamice a acestui robot paralel cu 3 grade de mobilitate şi o mişcarecuplată (şi implicit 2 mişcări decuplate) se pot desprinde următoarele concluzii: Din punct de vedere dinamic, modelul analitic devine mai complex decât în cazul

robotului paralel cu trei mişcări decuplate; Concordanţa dintre cele două abordări ilustrate în fig. 3.16-3.18, validează

modelul propus, cele două grafice pentru fiecare for ţă fiind identice; Ca şi în cazul precedent, cea mai mare valoare maximală o atinge for ţa Fq3, de

aproximativ 300 N, datorită influenţei acceleraţiei gravitaţionale.

3.3.2.2. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR

Figura 3.19. Schema robotului paralel de tip 1TRRR+2TRPaR cu exemplificareanotaţiilor centrelor de masă a elementelor necesare în modelarea dinamică

Se evidenţiază următoarele particularităţi cinematice ale braţului B şi C (braţul paralelogram), derivate din proprietăţile lanţului cinematic paralelogram (fig. 3.7):

unghiurile φ2c =- φ5c şi φ2b = -φ5b, urmând a se utiliza doar unul dintre acesteaîn continuare (vezi fig. 3.7);

t [s]

Fq1 [N]


28/65


la fel unghiurile φ3c = -φ4c şi φ3b = -φ4b .Etapele parcurse fiind aceleaşi nu mai sunt prezentate, fiind prezentat doar setul deecuaţii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( iΓ ):

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ⋅ϕ−

+−⋅ϕ

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ

+−⋅ϕ⋅ϕ−

+⋅ϕ⋅ϕ−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

+⋅ϕ⋅ϕ−−ϕ+ϕ⋅+⋅ϕ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

=Γ

bbbbccc

acc

ccccbb

abbb

ccccaaaaa

bbbbaaaaa

l l )cos( )cos( ql )cos( ) sin(

l ql ) sin(

l l )cos( )cos( ql ) sin(

l ql )cos( ) sin(

l l )cos( )cos( q ) sin( l l ) sin(

l l )cos( )cos( q )cos( l l )cos(

74322432

7143

7432343

71332

7432332432

7432232432

6

5

4

3

2

1

(3.60)Datorită faptului ca for ţele motoare au expresii complexe, nu sunt prezentate sub

formă analitică, ci vor fi puse în evidenţă prin simulări numerice realizate în aceleaşicondiţii ca şi în cazul roboţilor anterior studiaţi.

Din simulările numerice efectuate, rezultă că modelul analitic din MAPLE esteverificat de cel numerice din ADAMS (vezi fig. 3.23).

a b cFigura 3.22. Deplasarea platformei mobile după cele 3 axe


t [s]

Fq1 [N]

t [s] t [s] t [s]

Xh [m] Yh [m] Zh [m]


29/65


3.3.2.3. Modelarea dinamică a robotului paralel de tip 3TRPaR (Orthoglide)

Figura 3.26. Schema robotului paralel de tip 3TRPaR cu exemplificarea notaţiilorcentrelor de masă a elementelor necesare în modelarea dinamică

Etapele parcurse fiind aceleaşi cu cele prezentate anterior, şi pentru cazul acestuirobot este prezentat numai setul de ecuaţii necesar pentru introducerea multiplicatorilor( iΓ ):

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ⋅ϕ−

+⋅ϕ−ϕ⋅−⋅ϕ+ϕ⋅−−⋅ϕ

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ

+⋅ϕ−ϕ⋅−⋅ϕ+ϕ⋅−−⋅ϕ⋅ϕ−

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ−ϕ⋅−⋅ϕ+ϕ⋅−

+⋅ϕ⋅ϕ−−⋅ϕ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ

Γ

ΓΓ

Γ

Γ

=Γ

bbbbccc

aaaaaaacc

ccccbb

aaaaaaabbb

ccccaaaaaa

bbbbaa

l l ql

l l l ql

l l ql

l l l ql

l l ql l

l l ql

74322432

7432432143

7432343

74324321432

74323432432

7432243

6

5

4

3

2

1

)cos()cos()cos()sin(

)cos(2

1)cos(

2

1)sin(

)cos()cos()sin(

)cos(21)cos(

21)cos()sin(

)cos()cos()sin(2

1)sin(

2

1)cos()cos()sin(

(3.66)Datorită complexităţii modelului dinamic al for ţelor motoare, acestea vor fi puse în

evidenţă prin simulări numerice.Simulările numerice sunt realizate în condiţiile gener ării unei traiectorii de mişcare în

spaţiul articular, caracterizate prin aceleaşi condiţii ca şi pentru ceilalţi roboţi analizaţi(timp de simulare, deplasare în motoare, etc.)


30/65


a b cFigura 3.28. Deplasarea platformei mobile după cele 3 axe

După cum se poate observa în fig. 3.28, pentru o deplasare a cuplelor motoare de 250mm se obţine o deplasare a platformei mobile de aproximativ 100 mm, ceea ce conducela un efort mai mare al motoarelor de aproximativ 2.5 ori pentru a ob ţine o anumită deplasare a efectorului (platformei mobile).


Din analiza rezultatelor obţinute la nivelul for ţelor motoare, se remarcă validareanumerică a modelului analitic, rezultatele obţinute fiind identice (fiind prezentată doar

foţa Fq1 - fig. 3.29).Din analiza robotului paralel tip 3TRPaR se pot desprinde următoarele concluzii: Ca şi în cazurile precedente analizate, modelul analitic s-a validat prin simulări

numerice, în două abordări paralele de simulare, rezultatele omoloage fiindidentice (fig. 3.29-3.31);

Modelul dinamic analitic creşte în complexitate odată cu creşterea gradului decuplare a mişcărilor robotului;

Valoarea maximă obţinută în cazul for ţelor motoare se regăseşte la for ţa Fq3, şianume de aproximativ 180 N.

3.3.2.4. Modelarea dinamică a robotului paralel Triglide

Etapele necesare pentru obţinerea modelului dinamic analitic prin utilizareametodei Lagrange cu multiplicatori de speţa a I-a sunt aceleaşi ca şi pentru roboţii

anterior studiaţi, punându-se în evidenţă doar ecuaţiile de constrângeri necesare pentruidentificarea setului de ecuaţii necesar pentru introducerea multiplicatorilor ( iΓ ):

a B Bdist =),( 21 , unde a este latura 321 B B B∆ ; a B Bdist =),( 32 ;

Fq1 [N]

t [s]


31/65


a B Bdist =),( 31 ;

Coordonata după Z a punctului B1 să fie aceeaşi cu cea a punctului B2; Coordonata după Z a punctului B2 să fie aceeaşi cu cea a punctului B3; Cosinusul director dintre vectorul L şi K (fig. 1.3) este egal cu 1 (sunt vectori

paraleli, deci unghiului dintre aceştia este zero):

1222222 =++⋅++⋅+⋅+⋅=α ) z y x z y x /( ) z z y y x x( )cos( L L L K K K L K L K L K

(3.71)

Figura 3.33. Modelul CAD în ADAMS alrobotului paralel Triglide

Rezultatele fiind stufoase, for ţele motoare rezultate vor fi evidenţiate prin simulărinumerice pe o anumită traiectorie impusă în cuplele motoare.

Simulările numerice sunt realizate în condiţiile gener ării unei traiectorii de mişcare înspaţiul articular, caracterizată prin: -timpul deplasării ∆t=10 [s]; -deplasare în cuplamotoare q3 ∆q3=0.1 [m]; -utilizarea unei funcţii de interpolare polinomială de gradul 3.

Mişcările obţinute în efector (fig.3.35) au ca şi formă cea a deplasării impuse în cuplamotoare q3; se obţine astfel o deplasare în efector de 0.012m după axa X, de 0.067m după axa Y şi de 0.01m după axa Z.

a b cFigura 3.35. Deplasarea platformei mobile după cele trei axe

Xp [m] Yp [m]

Zp [m]

t [s]

t [s]

t [s]

L

K

Figura 3.32. Schema robotului paralelTriglide cu exemplificarea notaţiilor centrelorde masă a elementelor necesare în modelarea

dinamică


32/65


Din analiza rezultatelor obţinute, se poate observa că forma variaţiei for ţelor motoareeste cea a deplasării impuse în cupla motoare q3, se ajunge la valoarea maximă în cazulfor ţei motoare Fq3, şi anume 1.6 N (fig. 3.38), fiind de altfel şi singura cuplă în mişcare.

Şi de această dată se remarcă validarea modelului dinamic analitic obţinut prinsimulările numerice efectuate (fiind prezentată doar variaţia for ţei Fq1 -fig. 3.36).


3.4. Concluzii

În urma modelării analitice şi a simulărilor numerice a celor cinci roboţi paraleli sedeprind următoarele concluzii:

Decuplarea mişcărilor conduce la simplificarea comenzii robotului, în sensul că modelul cinematic are formă mai simplă, matricea Jacobian fiind matriceaidentitate (în cazul robotului cu toate mişcările decuplate);

Decuplarea mişcărilor nu se regăseşte şi la nivel dinamic (decuplarea ecuaţiilordinamice), ceea ce duce la un model dinamic analitic relativ complex;

Studiul analitic efectuat pune în evidenţa că, atât din punct de vedere cinematiccât şi din punct de vedere dinamic, complexitatea modelului creşte odată cucreşterea numărului de mişcări cuplate; ca urmare, robotul paralel cu 3 mişcăridecuplate devine structura robot recomandată, cu cel mai simplu modulcinematic şi respectiv dinamic (cel mai eficient sistem de comandă-control întimp real);

Mai multe metode de modelare dinamică analitică (Lagrange de speţa a II-a,Lagrange cu multiplicatori, Newton-Euler recursiv) au fost aplicate cu succes

pe una din cele cinci structuri analizate în vederea studiului eficienţei acestoraîn modelare, rezultatele obţinute fiind identice;

Dintre metodele dinamice analitice analizate, cea mai simplă aplicare s-aobţinut în cazul metodei Lagrange cu multiplicatori, motiv pentru care pentruceilalţi patru roboţi paraleli r ămaşi de analizat s-a optat pentru utilizarea acestei

metode; Odată cu creşterea gradului de cuplare a mişcării, expresiile analitice alefor ţelor motoare devin tot mai complexe; astfel se atinge gradul maxim decomplexitate în cazul robotului Triglide (robot paralel cu mişcări cuplate şicuple sferice în lanţul paralelogram);

Simulările numerice efectuate au validat modelele dinamice analitice în toatecele 5 cazuri analizate;

Din simulările efectuate, cel mai defavorabil caz este cel al robotului paralel cudouă mişcări cuplate (de tip 1TRRR+2TRPaR), unde se obţin valorile cele maimari ale for ţelor motoare.

Fq1 [N]

t [s]


33/65


4. STUDIUL COMPARATIV RIGID-ELASTIC AL

COMPORTAMENTULUI DINAMIC PENTRU FAMILIA

DE ROBOŢI PARALELI TRIMOBILI CU DIFERITEGRADE DE CUPLARE

Obiectivul principal al acestui capitol este realizarea unui studiu comparativ al uneifamilii de roboţi paraleli trimobili, în vederea stabilirii influenţei cuplării mişcărilor şi aelasticităţilor elementelor cinematice asupra comportamentului cinematic şi dinamic.

Obiectivele principale ale acestui capitol cuprind: Elaborarea modelelor CAD utilizând softul ADAMS a celor 5 structuri de

roboţi paraleli analizaţi în capitolul anterior; Analiza comparativă a comportamentului cinematic şi dinamic al celor 4

roboţi paraleli cu diferite grade de cuplare a mişcărilor în ipoteza corpuluirigid şi pentru doi dintre aceştia şi în ipoteza corpului elastic;

Analiza comportamentului cinematic şi dinamic în cele două ipoteze delucru pentru cel de-al cincilea robot analizat, şi anume robotul paralel

Triglide. Pentru acesta, care este un robot paralel pretabil a fi utilizabil înmedicină, s-a optat pentru un studiu al influenţei diametrului barelor asupra preciziei mişcării; astfel s-au luat în considerare două variante: Φ10 mm şiΦ20 mm. De asemenea, va fi studiată influenţa unei mase suplimentare de2.5 kg (echivalentă cu masa unui instrument ataşat elementului final)asupra comportamentului cinematic şi dinamic al robotului.

În acest context, modelele CAD în ADAMS au fost realizate utilizând elementesimple de tip bar ă cilindrică, urmărindu-se obţinerea unei mase totale echivalente pentrucei patru roboţi analizaţi, de aproximativ 61 kg.Studiul este realizat în două ipoteze de lucru:

• ipoteza corp rigid;

• ipoteza corp elastic.În ceea ce priveşte modelul în ipoteza corp deformabil, s-a optat pentru utilizarea

modulului AUTOFLEX din softul ADAMS, care permite obţinerea unui model în ipotezacorp elastic f ăr ă a mai trece printr-un program specializat de element finit (Nastran,Patran, etc).Studiul în ipoteza corpului elastic are două obiective principale:

1. Identificarea abaterilor de la traiectoria dorită (eroarea de poziţie) datoratedeformaţiilor elastice ale elementelor;

2. Evidenţierea influenţei deformaţiilor elastice asupra comportamentului dinamic alrobotului, descris prin influenţa asupra for ţelor motoare.

În vederea studiului comparativ, pentru primele 4 structuri analizate s-a ales generareatraiectoriei de mişcare în spaţiul operaţional şi s-a utilizat ca lege de mişcare o polinomială de ordinul 5, aceasta asigurând sistemului condiţii optime de funcţionare.

Simulările numerice în ipoteza corpului rigid permit evidenţierea comparativă acomportamentului cinematic şi dinamic al acestor roboţi paraleli pe baza simulării CAD.

4.1. Studiul comportamentului cinematic şi dinamic în ipoteza corpului rigid

Simulările numerice în ipoteza corpului rigid permit evidenţierea comparativă acomportamentului cinematic şi dinamic al acestor roboţi paraleli pe baza simulării CAD.


34/65


4.1.1. Robotul paralel de tip Isoglide3-T3

Primul din cei cinci roboţi paraleli analizaţi este robotul paralel Isoglide3-T3, iar înfig.4.1. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elemente rigide. Traiectoria impusă este de a realiza o deplasare a platformei de 200 mm în 10 s după toate cele cele trei axe.

a b cFigura 4.2. Deplasarea după axa X (a) , Y(b) şi Z(c) a platformei mobile (linie

continuă) şi deplasările relative din cuplele motoare (linie intreruptă)

Din analiza fig. 4.2 se poate stabili şi pe cale numerică (grafică) îndeplinirea proprietăţii de decuplare totală a mişcărilor: La nivelul deplasărilor apare o diferenţă constantă între cele două curbe cu alur ă identică şi se datorează distanţei la care se află

punctul caracteristic H al efectorului faţă de origine la timpul t= 0 [s].

a b cFigura 4.5. Variaţia for ţelor motoare Fq1 (a), Fq2(b) şi Fq3(c)

For ţele motoare (fig. 4.5) se situează la valori de maxim 18N în cazul for ţei Fq2, acestmotor fiind de altfel cel mai puţin solicitat; iar cel mai solicitat este motorul carerealizează o deplasare după axa Z, şi anume Fq3, cu o valoare maximă de peste 8 ori maimare decât celelalte două for ţe. Aceste valori superioare se datorează şi efectuluiacceleraţiei gravitaţionale.

4.1.2. Robotul paralel de tip 2TRRR+1TRPaR

Cel de-al doilea robot paralel analizat este robotul paralel cu o mişcare cuplată de tip2TRRR+1TRPaR, iar în fig.4.6. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elementerigide. Traiectoria impusă (ca şi în cazul precedent) este cea de a realiza o deplasare a

platformei de 200 mm în 10 s după toate cele cele trei axe.


35/65


a b cFigura 4.7. Deplasarea după axa X (a) , Y(b) si Z(c) a platformei mobile (linie

continuă) şi a cuplelor motoare (linie intreruptă)

În acest caz, datorită cuplării mişcării după axa Z, în cupla de translaţie motoare 3 seînregistrează o deplasare de 300 mm pentru a se obţine la efector o deplasare de 200mm(fig. 4.7.c). Aceasta implică o solicitare suplimentar ă a motorului (realizarea uneideplasări mai mare în acelaşi timp), ceea ce înseamnă implicit şi un consum energeticmai mare de energie faţă de cazul robotului analizat anterior.

a b cFigura 4.10. Variaţia for ţelor Fq1 (a), Fq2 (b) şi Fq3 (c)

Pentru for ţele motoare, după cum se poate observa în fig. 4.10, efectul cuplăriimişcării produce efecte majore ale comportamentului dinamic, acestea sunt mai mari (deaprox. 10 ori mai mari), cu excepţia for ţei Fq3, care atinge valori asemănătoare cu cazul

precedent.

4.1.3. Robotul paralel de tip 1TRRR+2TRPaR

În cazul acestei structuri, datorită cuplării, mişcării după axa Y şi Z, în cupla detranslaţie motoare 2 şi 3 se înregistrează o deplasare de 550mm şi respectiv 300 mm

pentru a se obţine la efector o deplasare de 200 mm (fig. 4.12.b,c). Aceasta implică o

solicitare suplimentar ă a celor două motoare pentru a putea realiza o deplasare mai mareîn acelaşi timp (faţă de cazul în care avem mişcare decuplată), ceea ce înseamnă implicitşi un consum energetic mai mare de energie faţă de cazurile analizate anterior.

Pentru for ţele motoare, după cum se poate observa în fig. 4.15, efectul cuplăriimişcării produce efecte majore ale comportamentului dinamic, acestea fiind simţitor maimari (de aprox. 4 ori mai mari), cu excepţia for ţei Fq3 care atinge valori de aproximativ 4ori mai mari faţă de cazurile precedent analizate.


36/65


a b cFigura 4.12. Deplasarea după axa X (a) , Y(b) si Z(c) a platformei mobile (linie

continuă) şi a cuplelor motoare (linie intreruptă)

a b cFigura 4.15. Variaţia for ţelelor Fq1 (a), Fq2 (b) şi Fq3 (c)

4.1.4. Robotul paralel de tip 3TRPaR

Cel de-al patrulea robot paralel analizat este robotul paralel cu trei mişcări cuplate detip 3TRPaR, iar în fig.4.16. este prezentat modelul CAD al acestuia cu elemente rigide.Traiectoria dorită est

modelarea robotilor paraleli

Documents

Transcript of modelarea robotilor paraleli