1. Despre modelarea matematic Modelarea matematic se realizeaz n cadrul unui sistem filozofic numitpozitivism,sistem introdusdematematicianul i filozoful francezAugust Compte, dar curdcini noperele filozofilor: englez David Hume, francez Saint Simon i german Immanuel Kant. Pozitivismul se bazeaz pe experien i cunoaterea empiric a fenomenelor naturale i privete ca inadecvat i imperfect cunoaterea prin metafizic sau teologie. Consider c prin cunoaterea tiinific forele naturii pot fi controlate. ntre anii 1920 1930, coala de la Viena a introdus pozitivismul logic, care postula c orice aciune care nu poate fi confirmat de experien nu este semnificativ. Descoperirile tiinifice importante de la nceputul acestui secol, au relaxat principiile rigide ale colii de la Viena i au determinat prin lucrrile filozofului englez W. N. O. Quine s se admit ca instrumente principale de lucru pentru un cercettor n tiine aplicate: logica, matematica i observaia experimental, instrumente care poate fi orientate de teorie.Modelarea matematic utilizeaz reprezentri matematice simplificateale sistemelor lumii reale, ale proceselor sau ale teoriilor. Modelele matematice sunt create cu scopul de a facilita nelegerea, prezicerea i controlul unui sistem. Un model matematic este simbolic i se utilizeaz pentru a exprima idei i a clarifica probleme. Un model bun reprezint o replic fidel a realitii. Validarea modelului presupune confirmarea ipotezelor simplificatoare de lucru, a calitii datelor experimentale prin rezultatele obinute i concluziile desprinse. Modelarea matematic se utilizeaz cu succes n situaii limit, cnd experimentarea este prea scump, prea periculoas sau practic imposibil. Sinteza unui experiment ntr-un model matematic i utilizarea lui nlocul experimentului constituieadevratul succes al acestei activiti.Aa cumsugereaz figura 1.1 schematizarea fenomenului real face posibil descrierea matematic. Reprezentarea mental schematic se numetemodel fizic, iar reprezentarea matematic model matematic. Modelul matematicconstituieuninstrument delucrufundamental pentruuninginer. Este alctuit dintr-un ansamblu de relaii matematice apte s descrie corect interdependena variabilelor procesului. Prinrelaii matematicesenelegeoricemijlocabstract capabil s descriecantitativinterdependenavariabilelor cumarfi: ecuaii, inecuaii, tabele, diagrame, ecuaii chimice, subrutine de calcul sau chiar programe de calcul.Modelele matematice pot fi statice sau dinamice, pot fi locale sau globale, pot fi deterministe sau statistice.- 1 -Figura 1.1 Schematizarea pe care o suport un obiect real prin reprezentare ntr-un model fizic /14/.Modele deterministe sunt alctuite din ecuaii de conservare de proprietate la care se ataeaz ecuaiile constitutive i ecuaiile specifice fenomenului i termenilor ecuaiilor. Complexitatea acestor modele i dificultile practic insurmontabile n soluionare le limiteaz aplicabilitatea. Dezvoltarea tehnicii de calcul i a metodelor numerice de soluionare a sistemelor de ecuaii difereniale, reprezentativepentruacest tipdemodelele, sintetizatenalgoritmi decalcul performani ofer, n principal, caracter de predicie acestor modele. Modelele statisticesunt modelecu exprimare matematic simpl, fapt care explic utilizarea lor cu succes n practic. Reprezint sinteza matematic a unei experiment practic i din acest motiv utilizarea lor se face numai n cadrul limitelor n care s-a desfurat experimentul. Orice extrapolare nu este recomandat. Utilizarea preponderent n practic a modelelor statistice, i-a determinat pe filozofi s afirme c la sfritul secolului XX Ingineria se apropie mai mult de art dect de tiin. Modelul matematic este o descriere cantitativ, idealizat a unui fenomenreal schematizat ntr-un model fizic. Modelele statistice sau empirice constituie principalul instrument de lucru al inginerului.2. Despre analiza de regresieActivitatea desfurat pentru obinerea unui model statistic se numete analiz de regresie. Scopul principal al acestei activiti este de a identifica relaia matematic dintre o variabil dependent i una sau mai multe variabile independente. O dat identificat, aceast relaie se poate utilizalacalcululvariabilei dependente n funciede valoricunoscute alevariabilelor independente. Etapele principale ale analizei de regresie sunt /11, 12/:- 2 -1. Listarea variabilelor care influeneaz fenomenul.2. Propunerea formei matematice a modelului.3. Obinerea datelor experimentale.4. Determinarea coeficienilor modelului.5. Analiza calitii modelului.Dac modelul matematic nu trece testele de calitate se reia activitatea de la punctul 1, dac se constat c s-au omis variabile care pot influena procesul i de la punctul 2, dac se constat c forma modelului propus nu este corespunztoare. n cazul n care se coreleaz date experimentale care descriu un fenomen cunoscut, cazul cel mai des ntlnit n activitatea din laborator, analiza de regresie ncepe cu etapa a doua sau chiar a treia.n continuare se vor prezenta principalele activiti desfurate n cadrul fiecrei etape.1. Esteoetapimportant, deoareceeventualelegreeli nformulareaei pot compromite ntreaga activitate. Se realizeaz pe baza informaiilor culese din literatura de specialitate, prin analogie cu alte fenomene sau pe baza experienei proprii. Se vor lista numai variabilele semnificative.2. Alegerea formei modelului impune stabilirea numrului de ecuaii independente i formei acestora. Pelngsurseleprezentatelapunctul 1, sepoateutilizateorema. Dacse urmrete corelarea unor date experimentale alctuite dintr-o variabil independent i una dependent ntr-unmodel matematic, forma acestuia sepoate stabili princompararea curbelor obinute prin reprezentarea grafic a datelor experimentale cu reprezentrile unor funcii matematice tip prezentate n tabelul 1 din anex.Se utilizeaz modele polinomiale de diferite grade:- polinom de gradul unu:2 2 1 1 0x b x b b y + + (2.1)- polinom de gradul doi: 2 1 1222 2221 11 2 2 1 1 0x x b x b x b x b x b b y + + + + + (2.2)- ecuaii produs care se pot liniariza prin logaritmare: k1 jjbj 0x b y(2.3)- 3 -Aceste dou etape reprezint partea intelectual forte a activitii de regresie i din acest motiv va depinde n mare parte de gradul de educaie, flerul i experiena rezolvitorului.Un caz particular l constituie modelele a cror variabile au caracter calitativ. De exemplu se urmretessestabileasccarevariantestepreferatdepiaaliberpentrustocarea reziduurilor menajere: n pungi de plastic sau n containere. Modelul matematic va corela cifra vnzrilor n funcie de o variabil fictiv x, care va lua valoarea 1 pentru pungi de plastic i 0 pentru containere. Numrul variabilelor fictive este egal cu jumtate din numrul variabilelorcalitative, dacnumrul acestoraeste par icu jumtate plus unu pentru un numr impar.3. Obinereadatelor experimentalereprezint partea cea mai laborioas a analizei de regresie. Pentrureducereavolumul demunc i costuluiactivitiise recomand,atunci cnd este posibil, s se efectueze experienele n regim programat. Acest subiect este tratat n seciunea 6 a lucrrii. Calitatea datelor experimentaleseapreciaz cumrimi statisticeacror utilizareeste reglementat prin standarde; vor fi prezentate n seciunea 7 a lucrrii. Acestea confirm trei condiii pe care trebuie s le ndeplineasc datele experimentale:- s fie suficiente- s acopere ntreg domeniul de variaie al variabilelor- s fie reproductibilen cazul n care se urmrete obinerea unei ecuaii de corelarea a unui set de date experimentale format dintr-o variabil independent i una dependent se impune examinarea graficului care reprezint cmpul de distribuie al celor dou mrimi, pentru a aprecia dac ntre acestea exist o dependen oarecare. Se procedeaz astfel: Dac perechiledevalori y, xsesitueaz peofiecaresepoateasociaunei curbe determinat, se apreciaz c ntre mrimile respective exist orelaie funcional vezi figura 2.2. Dac nu se poate depista o dependen funcional strict ntre variabile vezi figura 2.3, deoarece punctele cmpului de distribuie sunt repartizate destul de dezordonat, dar se poate ntrevedea o tendin ca valorile lui y s depind de x, se poate afirma c ntre y i x exist o relaie corelaional. Dac nu se poate depista nici o legtur ntre y i x, cmpul de distribuie se va prezenta n mod asemntor cu cel din figura 2.4.- 4 -Ultimele dou cazuri se trateaz n continuare astfel: se examineaz tabelele cu perechi de date experimentale (xi, iy) i (i x, yi). Dac se ajunge la concluzia c ntre x i ysau x i y apare o relaie de dependen, adic perechile de valori sunt uniform cresctoare sau descresctoare, se poate aprecia c ntre xiyexist o dependen corelaional. Cu alte cuvinte ntre mrimile aleatoarexiyexistodependencorelaionaldacfiecrei mrimixi corespundeo cantitate nedefinit de valori y, dar media aritmetic a valorilor lui ydepinde de valorile lui x.0 5 10 15 20-50510152025YXFigura 2.2 Set de date ntre care este o relaie funcional1 2 3 4 5246810YXFigura 2.3 Set de date ntre care exist o relaie corelaional- 5 -1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.01.01.52.02.53.03.5YXFigura 2.4 Set de date ntre care nu exist nici o relaie corelaional /13/.3 4 5 6 7 8 92468101214YXFigura 2.5 Reprezentarea grafic din figura 4 n coordonate (x, y)- 6 -3 4 5 6 7 824681012YXFigura 2.6 - Reprezentarea grafic din figura 4 n coordonate (x, y) dup eliminarea msurtorilor considerate anormale.Oproblem dificil o constituie situaia n care mai multe modelele pot corela datele experimentale. nfigura2.7esteprezentat unexempluncaredateleexperimentalepot fi corelatefieprintr-unmodel liniar, firprintr-unmodel neliniar. Concurenadintreaceste modelesesoluioneazncazul prezentat nfigura2.7prinnlocuireaYcuY(punctele ncercuite). Se constat c dependena dintre variabile este neliniar. n concluzie: Dependenacorelaionalsepoatetransformandependenfuncional, doar ncazul particular, ncareprinreprezentaregraficpuncteleexperimentaleseaezpeocurb, eventual pe o dreapt. Dependena corelaional se abate mai mult sau mai puin de la dependena funcional, iar msura acestei abateri se poate determina pe cale numeric.- 7 -Figura 2.7 Exemplu de confuzie ntre un model liniar i unul neliniar de corelare a unui set de date experimentale /9/.Pentruapreciereacantitativ agradului decorelaieal datelor experimentaleseutilizeaz covariana (x, y). Aceasta este o unitate de msur a gradului de legtur dintre dou variabile individuale i se definete astfel:( )( )1 Ny y x x) y , x cov(i i (2.4)S-a notat cu N numrul determinrilor experimentale.Valoarea zero a covarianei arat c variabilele procesului nu se coreleaz, iar valorile pozitive sau negative ale acesteia indic existena unei corelaii. n cazul datelor experimentale prezentate n figura 2.4 covariana este 1,69, valoare care confirm reprezentarea grafic din figura 2.5 i anume c datele experimentale se pot corela printr-un model liniar.4. Determinarea coeficienilor modelului matematic liniar sau liniarizabil.Coeficienii modelelor liniare se determin cu urmtoarele metode: metoda grafic metoda mediilor metoda celor mai mici ptrate- 8 -Metoda grafic se utilizeaz pentru modelele cu doi coeficienii i ofer rezultate cu o clas de precizie redus.Metoda mediilor const n soluionarea sistemului de ecuaii liniar, rezultat n urma nlocuirii a dou seturi de valori ale mediilor aritmetice ale datelor experimentale. Este o metod a crei soluie depinde de asocierea n cele dou seturi ale variabilelor.Cea mai utilizat este metoda celor mai mici ptrate, deoarece calculeaz coeficienii modelului care coreleaz datele experimentale cu abatere ptratic minim. Dup cum sugereaz figura 2.2, dreapta de regresie exprim tendina de evoluie a unor msurtori experimentale.Pentru unmodelcu o variabil dependent i una independent modelul este de urmtoarea form: + + x y1 0(2.5)S-au notat cu 0 i 1 coeficienii modelului i cu , eroarea absolut cu care y nu poate descrie expresia liniar n funcie de x. Dac este egal cu zero, modelul este determinist i n acest cazcunoaterealuixestesuficientpentrucalcularealuiy. nmodanalog, consideraiile anterioarese extindasupraunui model liniar cu nvariabile independente a crui ecuaie de corelare este de urmtoarea form: + + + + + n n 2 2 1 1 0x .... x x y(2.6)Metoda celor mai mici ptrate nlocuiete ecuaiile (2.5) i (2.6) cu urmtoarele expresii:x b b y1 0^+ (2.7)respectiv:n n 2 2 1 1 0^x b .... x b x b b y + + + + (2.8)n figura 2.2, perechile de valori ^y i x se gsesc pe dreapta de regresie n timp ce perechile y i xsunt reprezentate de punctele experimentale. Diferena dintre valorile y i^yeste cunoscut sub denumirea de abatere sau rezidual.Dac se noteaz cu yjixijun set j de date experimentale,j = 1..M, se propune ca modelul matematic s coreleze cu abatere ptratic minim, S, datele experimentale:2M1 jn1 iij i 0 jM1 j2^j jx b b y y y S min ,_

,_

(2.9)- 9 -Pentru un model cu o variabil independent i ca urmare cu doi coeficieni, soluia sistemului obinut prin derivare reprezint minimul urmtorului sistem:( ) 0 x b b y 2bSM1 ii 1 1 0 i0 (2.10.1)( ) 0 x x b b y 2bSi 1M1 ii 1 1 0 i1 (2.10.2)Dup rezolvarea sistemului se obine:( ) 2i 12i 1i i 1 i 1 i2i 10x x My x x y x Mb(2.11.1)( ) 2i 12i 1i i 1 i i 11x x My x y x Mb(2.11.2)ncazul ncaredependenadintrevariabilele procesului esteneliniari neliniarizabil, problema se soluioneaz prin minimizarea sumei rezidualei prin metode de optimizare specifice, iar activitatea se numete analiz de regresie neliniar.Regresia liniar se poate extinde i modelelor exprimate printr-o ecuaie parabolic de urmtoarea form:22 1 0x b x b b y + + (2.12)Sistem obinut prin derivare n raport cu necunoscutele problemei, coeficienii de tip b, este, dup cum se observ, liniar:' + + + + + + 4i 23i 12i 02i i3i 22i 1 i 0 i i2i 2 i 1 0 ix b x b x b x yx b x b x b y xx b x b Mb y(2.13)Observaie: Calculul coeficienilor modelului este o problem de optimizare. Ca orice problemdeoptimizare, soluiaacesteiadepindedecriteriul deselecieales. nacest caz, soluia obinut corespunde sumei minime a ptratelor rezidualelor, care constituie criteriul de seleciecelmai utilizat, deoareceprin formulare se introduce gradul de neliniaritate necesar - 10 -soluionrii unei astfel deprobleme. ncazul modelelor neliniare, criteriul deseleciese modific, deoarece nu mai este necesar s fie exprimat printr-o relaie neliniar. 5. Analiza calitii modelului impune apelarea la un set de teste statistice pentru a aprecia cantitativ adecvana modelului matematic sau gradul n care ecuaia de corelare reprezint datele experimentale. Se utilizeaz: coeficientul de determinare; coeficientul de corelaie; testul Fisher. Coeficientul de determinare, r2y,x, reprezint coeficientul cel mai utilizat pentru aprecierea calitii ecuaiei de regresie. Se definete ca raportul dintre:

,_

,_

n1 iimj2i^ijn1 iim1 j2i ij2yxy yy yr(2.14)S-au notat cu:-^iy - valoarea furnizat de model n punctul i,-iy - valoarea mediei aritmetice a replicatelor n punctul i,- yij valoarea unei replicate n punctul ij,- i =1..n, contorul celor n puncte distincte n care s-au fcut msurtori experimentale,- j = 1..mi, contorul replicatelor executate ntr-un punct distinct i; n fiecare punct se efectueaz mi replicate.Coeficientuldedeterminareiavalori cuprinsentre0i1. Valoarea1semnificocorelare foarte bun ntre datele experimentale i model. Valoarea 0 atrage atenia c datele experimentale nu se coreleaz printr-un model liniar. Pentru calculele tiinifice o valoare mai mare de 0,6 confirm corelarea de tip liniar. Exprimat n procente, coeficientul de determinare reprezint procentul din datele experimentale care se coreleaz printr-o relaie liniar. Coeficientul decorelaie, ry,xesteomsuralegturii detipliniar careexist ntre variabile. Se definete astfel:- 11 -( )( )( ) ( ) 2i2ii ix , yy y x xy y x xr(2.15)Valoareacoeficientului decorelaievariaznintervalul (-1; 1); valoarea+1confirmc variabilele se coreleaz perfect printr-o dreapt n care variabilele sunt direct proporionale, iar valoarea 1 are aceeai semnificaie cu deosebirea c indic un raport invers proporional ntre variabile. Valoarea zero semnaleaz c variabile nu se pot corela printr-un model liniar.Dac coeficientul de corelaie se calculeaz din coeficientul de determinare, i se atribuie semnul coeficientului b1 din ecuaia de regresie, adic a coeficientului aferent variabilei x1. Testului Fisher, Fc, sedefinete caraportul dintre dispersia datelor experimentale i dispersia datelor experimentale fa de valorile calculate pe baza modelului matematic:2221cssF (2.16)Pentruobinereadispersiei datoraterorilor experimentale,21s sunt necesareexperienecu replicate. Se definete astfel: ( )1 ' ny ' ysn1 i2i21 (2.17)undeyreprezint media aritmetic a rspunsurilor celor n replicate.Dispersia fa de modelul matematic, 22seste:" n Ny ysN12i i^22

,_

(2.18)undei^yreprezintvaloareacalculatcumodelul matematic, yivalorileexperimentale, N numrul de determinri experimentale, n numrul constantelor din model plus o unitate (N-n, n-1 reprezint gradele de libertate ale dispersiilor 21si 22s ).- 12 -Valorile calculate pentru testul Fisher rezultate din raportul celor dou dispersii se compar cu cele tabelate; dac Fc F se poate considera c modelul matematic reprezint datele experimentale. n tabelul 8 din anex sunt date valorile testului Fisher Pentru modelele liniare cu mai multe variabile independente se utilizeaz testul G ale crui valori sunt date n tabelul 9 din anex, iar definiia este prezentat n seciunea 7 a lucrrii.Analiza rezidualelor joac un rol important n validarea unui model. Se presupune c reziduala diferena dintre previziunea modelului i msurtoarea experimental, satisface urmtoarele ipoteze:- este o variabil aleatoare a crei valoare se dorete s fie zero,- legea de variaie a rezidualei este aceeai cu a variabilei x,- valorile rezidualei sunt independente,- reziduala este normal distribuit.Reprezentarea grafic a rezidualei n funcie de i^y, pentru toate punctele experimentale, este o band orizontal de puncte pentru un model cu un coeficient de determinare mare. Abateri de la aceast band sugereaz adesea cile prin care modelul poate fi mbuntit.Analizade regresie exprimorelaie de tip cauz efect ntre variabile, iar coeficientul de corelaiegradul ncarevariabileleseasociaz unui model liniar. Oriceconcluzieasupra rezultatelor obinute, se recomand s se efectueze cu mare pruden i numai dup o judecat analitic a fenomenului fizic studiat. Analiza de regresie este activitateade identificare i obinere aunui model matematic statistic Calitatea modelului se apreciaz cu teste statistice- 13 -