I. Se consideră modelul:yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut unde: yt = profit (mil. lei.); x1t = număr de salariaţi (sute pers); x2t = capital fix (zeci mil. lei).

În urma prelucrării electronice a calculelor econometrice privind modelul de mai sus s-au obţinut următoarele rezultate:

SUMMARY OUTPUTRegression StatisticsMultiple R 0,9251R Square 0,8558Standard Error 27,85Observations 13

ANOVAdf SS MS F Critical F

Regression ... 46033,02 ... ... 4,1Residual ... ... 775,62

Total 12 53789,23

Variable Coefficients Standard Error t Stat Critical tIntercept 37,5023 ... 2,1252 2,228

x1t 1,4963 0,5534 ...X2t 4,2446 1,065 ...

Durbin – Watson Statistics = 2,17 F (White Heteroskedasticity Test)= 0,4969

1) Să se verifice semnificaţia parametrilor modelului (t critic = 2,228); 2) Să se verifice validitatea modelului de regresie pentru un prag de semnificaţie de 5% (F critic = 4,1);3) Să se verifice ipotezele de independenţă a erorilor (d1= 0,98, d2 = 1,54) şi de homoscedasticitate a erorilor (F critic = 3,33) pentru un

prag de semnificaţie de 5%;4) Ştiind că în perioada imediat următoare x1t+1 = 64 sute pers. şi x2 t+1 = 23 zeci mil. lei să se estimeze volumul profitului pe baza unui

interval de încredere.III. În urma analizei istoricului unui curs valutar de-a lungul anului 2009 (252 observaţii zilnice) se obţin seriile de timp xt, yt= xt-xt-1 şi zt=

xt-xt-2. Funcţiile de autocorelaţie pentru cele trei serii sunt:xt Lag Autocorrelation zt Lag Autocorrelation yt Lag Autocorrelation

12345678910

0,110,310,340,510,260,400,530,280,320,27

12345678910

0,16-0,07-0,040,030,060,010,050,080,03

-0,07

12345678910

0,14-0,03-0,080,020,060,050,010,050,01

-0,06

a) Să se precizeze care din seriile xt, yt şi zt este staţionară: justificare (testul Box Pierce şi Ljung Box). χb) Să se scrie modelele ARIMA corespunzătoare seriei iniţiale de timp staţionarizate şi să se aleagă cel mai bun dintre ele pe baza

criteriului Akaike, ştiind ca rezultatele obţinute din SPSS pentru estimarea parametrilor sunt:

Parameter Estimates Estimates Std Error t Approx SigNon-Seasonal Lags AR1

0.723Constant -0.852

AIC=-44

Parameter Estimates Estimates Std Error T Approx SigNon-Seasonal Lags AR1 0.353 MA1 0.282 Constant 0.932

AIC=-52

m yt –a0 - a1yt-1 - …- ap yt-p = + ut - b1 ut-1 - …- bq ut-q

; ; ;

; ; ;

; ;

Rezolvare:I. 1) Vom verifica dacă parametrii bj sunt semnificativ diferiţi de zero :

Deoarece volumul eşantionului este n = 13 < 30 vom utiliza testul t:

statistică ce urmează o distribuţie Student, t, cu (n – k-1) grade de libertate.

În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că:

rezultă că parametrul nu este semnificativ diferit

de zero pentru pragul de semnificaţie dat;

sau

unde c11 = 0,4015 elementul situat pe diagonala principală a matricei inverse  ;

rezultă că parametrul este semnificativ

diferit de zero pentru pragul de semnificaţie dat;

rezultă că parametrul este semnificativ

diferit de zero pentru pragul de semnificaţie dat.2)

sau

rezultă că modelul este valid statistic sau

este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie de 0,05.O altă variantă de verificare a semnificaţiei modelului se poate realiza prin verificarea

semnificaţiei raportului de corelaţie:

rezultă că raportul

de corelaţie este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, deci şi modelul este valid statistic pentru un prag de semnificaţie de 5%.

3) Valorile variabilei reziduale U sunt independente, respectiv nu există fenomenul de autocorelare a erorilor, cov (u1, un) = 0

df SS MS F Critical FRegression 2=k 46033,02 23016,51 29,67 4,1Residual 10=n-k-1 7756,21 775,62

Total 12=n-1 53789,23

Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson cu

cele două valori tabelate se observă că şi , deci erorile sunt independente pentru un prag de semnificaţie de 0,05.

Variabila aleatoare (reziduală) U este de medie nulă M(u1)= M(u2) = …= M(un) = 0 iar dispersia ei s2

u este constantă şi independentă de variabilele exogene Xj - ipoteza de homoscedasticitate a erorilor.

F (White Heteroskedasticity Test)= 0,4969 < F critic = 3,33 rezultă că erorile sunt homoscedastice pentru un prag de semnificaţie de 0,05.

4) În acest caz, dacă , în medie, profitul este egal cu:

unde: estimaţia punctuală a valorii de prognoză pentru variabila y; valoarea reală a variabilei y în momentul de prognoză ( ).

Sub formă matriceală, relaţia anterioară devine:

unde:

=- reprezintă matricea coloană a valorilor de

prognoză ale variabilelor ( ) pentru momentul ( ). mil. lei.

În vederea estimării intervalului de încredere pentru această valoare probabilă este necesară calcularea dispersiei de prognoză acestei valori cu ajutorul relaţiei:

Intervalul de încredere a prognozei profitului, estimat cu un prag de semnificaţie , pentru care valoarea lui , preluată din tabela distribuţiei Student, este se va calcula cu ajutorul relaţiei:

În concluzie, pentru un prag de semnificaţie de 5%, profitul va fi cuprins între 160 şi 301 milioane lei.

II. 1) Modelul dat este un model cu ecuaţii simultane în formă structurală, care conţine două ecuaţii de comportament economic şi o ecuaţie de indentitate economică.

Modelul conţine 6 variabile: 3 endogene (Yt, Ct, It) şi 3 exogene (Ct-1, It-1, Gt).Forma redusă a unui model structural cu ecuaţii simultane presupune ca toate variabilele

endogene ale modelului în formă generală să fie exprimate numai în funcţie de variabilele exogene ale acestuia.

Se înlocuiesc ecuaţiile (1) şi (2) în ecuaţia (3):

- expresia obţinută pentru Yt se înlocuieşte în primele două ecuaţii ale modelului

Deci, forma redusă a modelului este:

2) Identificarea modeluluiEcuaţia (1) este supraidentificată deoarece numărul variabilelor absente este egal cu trei,

număr superior numărului de variabile endogene minus unu (3 > n – 1 = 3 - 1 = 2).Ecuaţia (2) este supraidentificată deoarece numărul variabilelor absente este egal cu trei,

număr superior numărului de variabile endogene minus unu (3 > n – 1 = 3 - 1 = 2). Deoarece modelul conţine o ecuaţie de identitate şi două ecuaţii supraidentificate, atunci este

supraidentificat, iar estimarea parametrilor formei structurale se va face cu ajutorul MCMMP în două faze.

3) Estimarea parametrilor modelului cu ecuaţii simultane cu ajutorul MCMMP în două fazeFaza I: Variabila Yt este singura variabilă endogenă care, în ecuaţiile (1) şi (2), este şi variabilă

exogenă. Ca atare, ea va fi regresată în funcţie de cele trei variabile exogene, Ct-1, It-1 şi Gt:

Estimatorii şi vor fi determinaţi cu ajutorul M.C.M.M.P., iar, pe baza valorilor acestora, vor fi estimate valorile teoretice ale variabilei Yt:

(3’’)

Faza II: În ecuaţiile (1) şi (2) ale modelului structural se vor introduce valorile ajustate, , obţinându-se ecuaţiile:

(1’’)

(2’’)Prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaţiilor (1’’) şi (2’’) vor fi estimaţi parametrii modelului

structural şi apoi va urma testarea semnificaţiei acestor două modele cu ajutorul

testelor cunoscute – d, F(White), JB, t, F.

III. 1)

χ seria xt nu este

staţionară;

χ seria yt

este staţionară;

χ seria yt

este staţionară;

χ

seria xt nu este staţionară;

χ

seria yt este staţionară;

χ

seria zt este staţionară;2) Modelul general este: yt=a0+a1yt-1+...+apyt-p+ +ut-b1ut-1-...-bqut-q

Deci primul model este:yt=0,852+0,723yt-1+ut

Al doilea model este:yt=0,932+0,353yt-1+ut-0,282ut-1

Dintre cele două modele cel de-al doilea este cel mai bun model deoarece are AIC cel mai mic: AIC2=-52<AIC1=-44

Dacă, de exemplu, modelul conţine constanta, MA1 şi MA2 : yt=0,22+ut-0,282ut-1-0,567 ut-2

Dacă, de exemplu, modelul conţine AR1, MA1 şi MA2 : yt=0,223 yt-1+ut-0,242ut-1-0,598 ut-2

Dacă, de exemplu, modelul conţine constanta şi MA1 : yt=0,24+ut-0,267ut-1

Valorile atribuite parametrilor modelelor din cadrul acestui exemplu au fost luate la întâmplare, iar, pentru scrierea modelelor, vor fi preluate valorile doar din coloana

Estimates. Valorile care apar în celelalte coloane, necompletate în cazul exemplului meu, nu contează în scrierea modelelor.