Model Articol in Extenso SCCSS15

7/24/2019 Model Articol in Extenso SCCSS15

http://slidepdf.com/reader/full/model-articol-in-extenso-sccss15 1/7

UNIVERSITATEA “DUNĂREA DE JOS” DIN GALAŢI

FACULTATEA DE INGINERIE ŞI AGRONOMIE DIN BRĂILA

SCCSS15

Sesiunea de Comunicări ale Cercurilor Ştiinţifice Studenţeşti, mai 2015

ANALIZA DINAMICĂ A SOLIDULUI RIGID CU SIMETRIISTRUCTURALE – STUDIU DE CAZ: ANALIZA MODURILOR PROPRII

ALE PODURILOR DIN BETON ARMAT

Auto!: N!"u#$! ALBU1% A&u# II A'C'D'M'E'T'C(t(#!& ŞERBAN2% A&u#: III I'S'B'E'

Îndrumător ştiinţific: Conf. dr. ing. Nicuşor DRĂGAN3

Facultatea de Inginerie şi Agronomie din Brăila, Universitatea „Dunărea de Jos din Galaţi”1nicualbu1!"a#oo.com$ 2n%&'(t"l3!"a#oo.com$ 3ndragan!ugal.ro

Rezumat: Articolul propune o aordare a dinamicii modelului solidului rigid cu două tipuri de simetrii

structurale şi de re!emare" Aceste simetrii conduc la oţinerea unor modele matematice mai simple, cu

ecuaţii di#erenţiale decuplate care pot #i re!olvate mai uşor pe cale analitică" Dacă solidul rigid este re!emat

prin intermediul a patru legături elastice, modelul matematic devine şi mai simplu iar viraţiile sistemului

se decuplea!ă $n patru susisteme cu mişcări cuplate"

Cuvinte cheie: anali!ă dinamică, simetrii structurale, viraţii decuplate, valori proprii, vectori proprii

)' INTRODUCERE

)i(t%mul %cuaţiilor dif%r%nţial% d% mişcar% al% (olidului rigid cu l%gături *+(co,%la(tic% ar% şa(%%cuaţii cu-lat% %la(tic şi *+(co( 1/ 2/ 3/ 0/. )ub formă matricială ac%(t (i(t%m (% (cri%:

# %& % B% A =++ 1

Dacă (% con(id%ră că l%găturil% rigidului (unt %la(tic% (au cu amortiări mici$ %cuaţiil% d%mişcar% (% (im-lifică -rin anular%a amortiărilor. În ac%a(tă i-ot%ă$ (i(t%mul %cuaţiilor dif%r%nţial%d% mişcar% d%*in%:

# %& % A =+ 2

4%ntru d%t%rminar%a modurilor -ro-rii d% *ibraţi% (% con(id%ră (olidul rigid n%-%rturbat5 6nformali(m matricial %cuaţia dif%r%nţială d% mişcar% cu co%fici%nţi matriciali %(t% d% forma:

'=+ %& % A 3

Dacă (% con(id%ră un (i(t%m d% a7% c%ntral şi -rinci-al$ matric%a d% in%rţi% d%*in% diagonală$(i(t%mul d% %cuaţii dif%r%nţial% d% mişcar% ram+n+nd cu-lat %la(tic dar răm+n% cu-lat in%rţial. Înac%(t ca$ matric%a d% in%rţi% %(t%:

! ( ) J , J , J ,m ,m ,m DIAG A = 8

und% m %(t% ma(a rigidului iar ) J $ ( J şi ! J (unt mom%nt%l% d% in%rţi% -rinci-al%.

*' DECUPLAREA VIBRAŢIILOR SOLIDULUI RIGID CU SIMETRII STRUCTURALE'

1



MODURI PROPRII)% con(id%ră un rigid cu a7a *%rticală C+ d% (im%tri%. )im%tria rigidului con(tă 6n (im%tria d%

di(tribuţi% ma(ică$ (im%tria dim%n(ională şi (im%tria l%găturilor. Con(id%r+nd că rigidul ar% n

l%gături triortogonal% %la(tic% 6n -unct%l% ( ) n ,i ! , ( , ) * iiii += d% con(tant% ( n ,i , , i!i(i) += $

matric%a d% rigiditat% d%*in%:

( )( )

( )

+

+

+−

−

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑

--

--

--

'''''

''''

''''

'''''

''''

''''

ii(ii)

ii)ii!ii)

ii!ii(ii(

i!

ii(i(

ii)i)

), (,

!, ), !,

(, !, !,

,

!, ,

!, ,

& 0

9u+nd 6n con(id%rar% că (i(t%mul d% a7% %(t% c%ntral şi -rinci-al$ cu-lar%a mişcărilor (% fac%numai %la(tic -rin int%rm%diul co%fici%nţilor n%diagonali n%nuli 6n -atru (ub(i(t%m%.

*')' E"u$,!!#- .!/--&,!$#- .- 0!1"$-

cuaţiil% dif%r%nţial% d% mişcar% -%ntru *ibraţiil% cu-lat% al% (ub(i(t%m%lor (unt următoar%l%:$2 -%ntru alun%car%a lat%rală cu-lată cu mişcar%a d% ruliu , (ub(i(t%mul ( , . ϕ

( )

=+++

=++

∑∑

∑∑'

'

--ii)ii! (ii) ( (

ii) (i)

!, ), !, . J

!, , . . m

ϕ ϕ

ϕ

32 -%ntru mişcar%a d% a*an( a7ial cu-lată cu mişcar%a d% tanga; , (ub(i(t%mul ( ) ) ,/ ϕ

( )

=++−

=−+

∑∑∑∑

'

'

--ii!ii( )ii( ) )

ii( )i(

(, !, !, / J

!, , / / m

ϕ ϕ

ϕ

<

"2 -%ntru mişcar%a d% (ăltar% , (ub(i(t%mul ( ) 0

'=+ ∑ i! 0 0 m =

.2 -%ntru mişcar%a d% 6ntoarc%r% giraţi% , (ub(i(t%mul ( ) !ϕ

'-- =++ ∑ ii(ii) ! ! ! ) ( J ϕ ϕ >

2



*'*' Pu#4$,!! 5o5!!' Co-/!"!-&,! .- "u5#$6 .!&$0!"7-r%(iil% -ul(aţiilor -ro-rii al% *ibraţiilor lib%r% n%cu-lat% (unt următoar%l%:

$2 -%ntru alun%car%a lat%rală ( ) .

m

, p i) .

∑= 1?

32 -%ntru mişcar%a d% a*an( a7ial ( )/

m p i(

/ ∑= 11

"2 -%ntru mişcar%a d% (ăltar% ( ) 0

m

, p i! 0

∑= 12

.2 -%ntru mişcar%a d% tanga; ( ) )ϕ

( ) )

-ii!

-ii(

J

( ! p

)

∑ +=ϕ 13

-2 -%ntru mişcar%a d% ruliu (ϕ

( ) (

-ii)

-ii!

J

! ) p

(

∑ +=ϕ 18

/2 -%ntru mişcar%a d% giraţi%( )

!ϕ

( ) !

-ii(

-ii)

J

) ( p

!

∑ +=ϕ 10

7-r%(iil% analitic% al% co%fici%nţilor d% cu-la; dinamic (unt următoar%l%:$2 -%ntru alun%car%a lat%rală cu-lată cu mişcar%a d% ruliu , (ub(i(t%mul ( , . ϕ

∑∑ =α=α ii) (-ii)+

!, J

+ !,

m

+1

3



32 -%ntru mişcar%a d% a*an( a7ial cu-lată cu mişcar%a d% tanga; , (ub(i(t%mul ( ) ) ,/ ϕ

∑∑ −=β−=β ii( )

-ii(+ !, J

+ !,

m

+1<

Cu notaţiil% dat% d% r%laţiil% 1?,1<$ moduril% -ro-rii -ul(aţii -ro-rii$ co%fici%nţi d%di(tribuţi% al% (ub(i(t%m%lor cu mişcări cu-lat% (unt du-ă cum urm%aă:@-%ntru (ub(i(t%mul ( , . ϕ

αα+

−+= ϕϕ -+

---

. --

. - ,+ 1 p p p p-

+ p

( ( 1=

αα+

−±+

α−=µ ϕϕ -+

---

. --

. +

- ,+ 1 p p p p-

+

( ( 1>

@-%ntru (ub(i(t%mul ( ) ) ,/ ϕ

( )

ββ+−+= ϕϕ -+

---/ --/ 1 ,2 1 p p p p

-+ p

) ) 2?

( )

ββ+−±+

β−=µ ϕϕ -+

---/

--/

+1 ,2 1 p p p p

-

+

) )21

7' STUDIU DE CAZ – MODURILOR PROPRII ALE UNUI POD DIN BETON ARMATMODELAT CA UN SOLID RIGID CU SIMETRII STRUCTURALE ŞI REAZEMEELASTICE DIN CAUCIUC NEOPRENIC

)% con(id%ră mod%lul (im-lificat din figura 1 -%ntru un -od mod%lat ca un rigid şi r%aliat din 2?

d% grini din b%ton armat$ r%%mat% fi%car% -% c+t% 8 r%a%m% id%ntic% din cauciuc (int%tic*ulcaniat. C%l% 2? d% grini (unt gru-at% -% 8 r+nduri a7a C8 a c+t% 0 a7a C9$ (olidariar%aac%(tora r%ali+ndu,(% -rin int%rm%diul un%i (u-rab%tonări.

8



1 3 ,2 m

x

y

z

C

i!ura 1" *odelul simpli#icat al podului reali!at din -' de grin!i din eton armat

Caract%ri(ticil% in%rţial% al% -odului şi c%l% d% %la(ticitat% -%ntru r%a%m%l% din cauciucn%o-r%nic (unt următoar%l%:@Caract%ri(tici in%rţial% -od calculat%:

g 134''''m =' J J J !) (! )( === datorită (im%triilor

-3 ) gm+''-5 ,+4 J ×= -4

( gm+'-6' ,62 J ×= -3 ! gm+''3- ,+4 J ×=

@la(ticităţi r%a%m% d%t%rminat% %7-%rim%ntal:m 7 8 +'+5 ,2 4

)i) ×=≡ m 7 8 +'+5 ,2 4 (i( ×=≡ m 7 8 +'45' 4

! i! ×=≡ 9' ,+i =

@4oiţionar% c%ntru d% ma(ă C faţă d% -lanul oriontal al r%%m%lor calculat:mm1 ,+151: =

@4oiţionar% a-arat% d% r%a%m m/ 6n (i(t%mul d% a7% C89+ conform tab%l 1.

#a$el 1" ;o!iţiile rea!emelor din cauciuc $n sistemul de a)e C89+! 8! 9! +! ! 8! 9! +! ! 8! 9! +! ! 8! 9! +!

) ,0$0,>=$?0 ,1$80 *) 1$1,0=$?0 ,1$80 ) ,0$0 1=$?0 ,1$80 ;) 1$1 0=$?0 ,1$80* ,8$8,>=$?0 ,1$80 ** 2$2,0=$?0 ,1$80 * ,8$8 1=$?0 ,1$80 ;* 2$2 0=$?0 ,1$80

7 ,2$2,>=$?0 ,1$80 *7 8$8,0=$?0 ,1$80 7 ,2$2 1=$?0 ,1$80 ;7 8$8 0=$?0 ,1$80 ,1$1,>=$?0 ,1$80 * 0$0,0=$?0 ,1$80 ,1$1 1=$?0 ,1$80 ; 0$0 0=$?0 ,1$80< 1$1,>=$?0 ,1$80 *< ,0$0,21$>0 ,1$80 < 1$1 1=$?0 ,1$80 ;< ,0$0 1$>0 ,1$80; 2$2,>=$?0 ,1$80 *; ,8$8,21$>0 ,1$80 ; 2$2 1=$?0 ,1$80 ;; ,8$8 1$>0 ,1$80= 8$8,>=$?0 ,1$80 *= ,2$2,21$>0 ,1$80 = 8$8 1=$?0 ,1$80 ;= ,2$2 1$>0 ,1$80> 0$0,>=$?0 ,1$80 *> ,1$1,21$>0 ,1$80 > 0$0 1=$?0 ,1$80 ;> ,1$1 1$>0 ,1$80? ,0$0,1$>0 ,1$80 *? 1$1,21$>0 ,1$80 ? ,0$0 21$>0 ,1$80 ;? 1$1 1$>0 ,1$80)@ ,8$8,1$>0 ,1$80 7@ 2$2,21$>0 ,1$80 <@ ,8$8 21$>0 ,1$80 =@ 2$2 1$>0 ,1$80)) ,2$2,1$>0 ,1$80 7) 8$8,21$>0 ,1$80 <) ,2$2 21$>0 ,1$80 =) 8$8 1$>0 ,1$80)* ,1$1,1$>0 ,1$80 7* 0$0,21$>0 ,1$80 <* ,1$1 21$>0 ,1$80 =* 0$0 1$>0 ,1$80)7 1$1,1$>0 ,1$80 77 ,0$0,1=$?0 ,1$80 <7 1$1 21$>0 ,1$80 =7 ,0$0 >=$?0 ,1$80) 2$2,1$>0 ,1$80 7 ,8$8,1=$?0 ,1$80 < 2$2 21$>0 ,1$80 = ,8$8 >=$?0 ,1$80)< 8$8,1$>0 ,1$80 7< ,2$2,1=$?0 ,1$80 << 8$8 21$>0 ,1$80 =< ,2$2 >=$?0 ,1$80); 0$0,1$>0 ,1$80 7; ,1$1,1=$?0 ,1$80 <; 0$0 21$>0 ,1$80 =; ,1$1 >=$?0 ,1$80)= ,0$0,0=$?0 ,1$80 7= 1$1,1=$?0 ,1$80 <= ,0$0 0=$?0 ,1$80 == 1$1 >=$?0 ,1$80

0



)> ,8$8,0=$?0 ,1$80 7> 2$2,1=$?0 ,1$80 <> ,8$8 0=$?0 ,1$80 => 2$2 >=$?0 ,1$80)? ,2$2,0=$?0 ,1$80 7? 8$8,1=$?0 ,1$80 <? ,2$2 0=$?0 ,1$80 =? 8$8 >=$?0 ,1$80*@ ,1$1,0=$?0 ,1$80 @ 0$0 1=$?0 ,1$80 ;@ ,1$1 0=$?0 ,1$80 >@ 0$0 >=$?0 ,1$80

Btili+nd r%laţiil% analitic% d% calcul din tab%lul 1 -%ntru -ul(aţiil% *ibraţiilor n%cu-lat%$ tab%lul2 -%ntru co%fici%nţii d% cu-la; dinamic şi c%l% dat% d% r%laţiil% 1?,13$ *aloril% num%ric% al%modurilor -ro-rii d% *ibraţi% -%ntru -odul mod%lat ca 6n figura 1 (unt dat% 6n tab%lul 2.

#a$el %" ;ulsaţiile7#recvenţele proprii şi coe#icienţii de distriuţie pentru susistemele cu viraţii cuplate

)ub(i(t%m 4ul(aţii r%c*%nţ% Co%fici%nţi d% di(tribuţi%

( , . ϕ s 7 rad +2 ,6 p+ = <! +2 ,+ # + = m 7 rad '''5'3 ,'+ =µ

s 7 rad 1+ ,33 p- = <! 9- ,+5 # - = m 7 rad '55 ,+22- −=µ

( ) ) ,/ ϕ s 7 rad +2 ,6 p2 = <! +2 ,+ # 2 = m 7 rad '''''- ,'2 −=µ

s 7 rad 34 ,+'4 p1 = <! '- ,+6 # 1 = m 7 rad +15 ,+511 =µ

( ) 0 s 7 rad 23 ,+'2 p p 0 5 == <! 2' ,+4 # # 0 5 == ,

( ) !ϕ s 7 rad 11 ,6 p p ! 4 == ϕ <! +9 ,+ # #

! 4 == ϕ ,

' CONCLUZII

mod%lar%a unui (olid rigid cu l%gături %la(tic% (au *+(co,%la(tic% cu di*%r(% ti-uri d% (im%triiconduc% la obţin%r%a unor (i(t%m% d% %cuaţii dif%r%nţial% d% mişcar% d%cu-lat% 6n (ub(i(t%m% cu mai

-uţini co%fici%nţi d% cu-la; şi$ d%ci mai uşor d% (tudiat analitic5 6n ac%(t f%l$ -ot fi -u(% 6n %*id%nţăinflu%nţ%l% factorilor dim%n(ionali$ in%rţiali$ %la(tici %*%ntual şi a c%lor d% amortiar% a(u-raform%lor modurilor -ro-rii d% *ibraţi%5

dacă (% -oat% mod%la (olidul rigid cu (im%trii a(tf%l 6nc+t mişcăril% ac%(tuia (ă (% ra-ort%% laun (i(t%m d% a7% c%ntral şi -rinci-al$ atunci mişcăril% ac%(tuia du-ă c%l% şa(% Edir%cţiiF . $/ $ 0 $ )ϕ $ (ϕ $ ! ϕ (unt cu-lat% numai -rin int%rm%diul co%fici%nţilor n%diagonali ai matricii d% rigiditat%

%*%ntual şi -rin int%rm%diul amortiărilor dacă (unt (%mnificati*%5-%ntru (tudiul d% ca con(id%rat$ (% -oat% con(tata Egru-ar%aF a tr%i dintr% fr%c*%nţ%l% -ro-rii 6n

ona 1$11$2 H$ c%l%lalt% tr%i fr%c*%nţ% fiind mult mai mari d%c+t -rim%l% tr%i şi gru-at% 6nint%r*alul 10$=1<$1 H5 ac%a(ta (% -oat% %7-lica numai -rin dif%r%nţa foart% mar% dintr%

%la(ticitat%a %l%m%nt%lor d% r%%mar% -% *%rticală %fort d% com-r%(iun% faţă d% %la(ticităţil% 6n -lanoriontal (olicitări d% forf%car% ra-ortul con(tant%lor d% %la(ticitat% %(t% d% circa *@;:) 5*aloril% (au foart% mari (au foart% mici al% co%fici%nţilor d% di(tribuţi% conduc% la concluia că$

6n int%riorul (ub(i(t%m%lor ( , . ϕ şi ( ) ) ,/ ϕ $ mişcăril% (unt d% fa-t foart% (lab cu-lat%5 6n modr%al$ (% -oat% con(id%ra că şi mişcăril% ac%(tor (ub(i(t%m% (unt c*a(i,d%cu-lat%$ ac%a(tă d%cu-lar%

-ut+nd fi ob(%r*ată şi din *aloril% r%lati* foart% mici al% co%fici%nţilor d% cu-la; +α $ -α $ +β şi

-β .

BIBLIOGRAFIE) Iratu$ 4. , =>iraţiile sistemelor elastice”$ ditura J%#nică$ Iucur%şti$ 2???* Iratu$ 4.$ Drăgan$ N. , =?@anal(se d(nami%ue de l@interaction mac:inestructure sur la ase du

modle e%uivalent de rigide au) liaisons viscoelasti%ues ”$ Anal%l% Bni*%r(ităţii EDunăr%a d% Ko(Fdin Galaţi$ a(cicula LM$ 1>><



7 Iratu$ 4.$ Drăgan$ N. , =?@anal(se des mouvements dCsaccouplCs appli%uCe au modle de solide rigideau) liaisons Clasti%ues”$ Anal%l% Bni*%r(ităţii EDunăr%a d% Ko(F din Galaţi$ a(cicula LM$ 1>>< Iudugan$ G#.$ %tcu$ 9.$ Rad%ş$ O. , =>iraţii mecanice”$ d. Didactică şi 4%dagogică$ Iucur%şti$ 1>=2< Drăgan$ N. , =&ontriuţii la anali!a şi optimi!area procesului de transport prin viraţii te!ă de

doctorat”$ Bni*%r(itat%a EDunăr%a d% Ko(F$ Galaţi$ 2??1

<

Model Articol in Extenso SCCSS15

Documents

Transcript of Model Articol in Extenso SCCSS15