METODE DE METODE DE REZOLVARE A REZOLVARE A PROBLEMELORPROBLEMELOR

Grupa nr 1-grupa verdeGrupa nr 1-grupa verde

I. I. Metode algebriceMetode algebrice I. I. Metode algebrice Metode algebrice ( utilizează în rezolvarea problemelor tehnica ( utilizează în rezolvarea problemelor tehnica

bazată pe bazată pe ecuaţii şi sisteme de ecuaţii ) ;ecuaţii şi sisteme de ecuaţii ) ; ex . Produsul a două numere este 1 040. Dacă se micşorează ex . Produsul a două numere este 1 040. Dacă se micşorează

primul factor cu 20 , produsul devine 240. Aflaţi cele două primul factor cu 20 , produsul devine 240. Aflaţi cele două numere .numere .

Rezolvare :Rezolvare : Notăm cu a = primul numărNotăm cu a = primul număr b = la doilea număr , şi înlocuim în problemă datele b = la doilea număr , şi înlocuim în problemă datele

cunoscute:cunoscute: a x b = 1 040a x b = 1 040 ( a – 20 ) x b = 240 → b = → a x = 1 040 → ( a – 20 ) x b = 240 → b = → a x = 1 040 → a x 240 = 1040 x ( a -a x 240 = 1040 x ( a -

20)20) → → a x 240 = 1 040 a - 20 800a x 240 = 1 040 a - 20 800 → 20 800 = 1 040 a – 240 a → 20 → 20 800 = 1 040 a – 240 a → 20

800 = 800 a800 = 800 a → → a = → a = → a = 26a = 26 Înlocuim litera a cu 26 şi obţinem : 26 x b = 1 040 → b = 1 040 : 26 Înlocuim litera a cu 26 şi obţinem : 26 x b = 1 040 → b = 1 040 : 26

→ → b = 40b = 40 Soluţiile problemei sunt : a = 26 şi b = 40.Soluţiile problemei sunt : a = 26 şi b = 40.

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : 1. 1. metode fundamentale metode fundamentale ( generale) – se bazează pe operaţiile de ( generale) – se bazează pe operaţiile de analiză şi sinteză ale gândirii ;analiză şi sinteză ale gândirii ; a) a) metoda analitică (metoda analitică ( se examinează problema şi pornind de la se examinează problema şi pornind de la

întrebarea ei , se descompune în probleme simple din care este alcătuită întrebarea ei , se descompune în probleme simple din care este alcătuită problema dată);problema dată);

ex. Într-o fabrică lucrează două echipe : prima cu 6 strungari care fac ex. Într-o fabrică lucrează două echipe : prima cu 6 strungari care fac câte 18 piese pe zi , a doua cu 7 strungari care fac câte 16 peise pe zi. O câte 18 piese pe zi , a doua cu 7 strungari care fac câte 16 peise pe zi. O piesă costă 48 000 lei .piesă costă 48 000 lei .

Ce valoare au piesele realizate de cele două echipe într-o zi ?Ce valoare au piesele realizate de cele două echipe într-o zi ? Datele problemei :Datele problemei : strungari .........................................câte 18 piese / zistrungari .........................................câte 18 piese / zi strungari..........................................câte 16 piese / zistrungari..........................................câte 16 piese / zi piesă ...............................................48 000 leipiesă ...............................................48 000 lei Rezolvare : Rezolvare : 6 x 18 = 108 ( piese )6 x 18 = 108 ( piese ) 7 x 16 = 112 ( piese )7 x 16 = 112 ( piese ) 108 + 112= 220 ( piese )108 + 112= 220 ( piese ) 48 000 lei x 220= 10 560 000 lei Răspuns : 10 560 000 lei48 000 lei x 220= 10 560 000 lei Răspuns : 10 560 000 lei b) b) metoda sinteticămetoda sintetică ( gruparea datelor după relaţiile dintre ele); ( gruparea datelor după relaţiile dintre ele); Problema menţionată mai sus se poate pune sub forma de exerciţiu, astfel:Problema menţionată mai sus se poate pune sub forma de exerciţiu, astfel: ( 6 x 18 + 7 x 16 ) x 48 000 lei = ( 108 + 112 ) x 48 000 lei = 220 x 48 000 ( 6 x 18 + 7 x 16 ) x 48 000 lei = ( 108 + 112 ) x 48 000 lei = 220 x 48 000

lei =lei = = = 10 560 000 lei10 560 000 lei

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : 2. 2. metode aritmetice speciale (metode aritmetice speciale ( sunt mai variate şi diferă de la o sunt mai variate şi diferă de la o

categorie de probleme la alta );categorie de probleme la alta ); a) a) metoda reducerii la unitate metoda reducerii la unitate ex. 5 kg de mere costă 100 000 lei . Câţi lei costă 7 kg mere ?ex. 5 kg de mere costă 100 000 lei . Câţi lei costă 7 kg mere ? Datele problemei :Datele problemei : 5 kg mere..........................100 000 lei5 kg mere..........................100 000 lei 7 kg mere................................? lei7 kg mere................................? lei Rezolvarea problemei :Rezolvarea problemei : 5 kg mere..........................100 000 lei5 kg mere..........................100 000 lei 1kg mere...........................100 000 lei : 5 = 20 000 lei1kg mere...........................100 000 lei : 5 = 20 000 lei 7kg mere............................ 7 x 20 000 lei =140 000 lei7kg mere............................ 7 x 20 000 lei =140 000 lei b) b) metoda figurativă ( grafică )metoda figurativă ( grafică ) - se bazează pe utilizarea - se bazează pe utilizarea

desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor;desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor; ex. Suma a două numere este 1 270 . Ştiind că un număr ex. Suma a două numere este 1 270 . Ştiind că un număr

este mai mare cu 88 decât dublul celuilalt , aflaţi cale două este mai mare cu 88 decât dublul celuilalt , aflaţi cale două numere.numere.

1 270▬ I 1 270 – 88 = 1 1821 270▬ I 1 270 – 88 = 1 182 ▬ ▬ ▬ ▬ ............ II 1 182 : 3 = 394 ( I ) II 1 182 : 3 = 394 ( I ) 88 88 394 x 2 + 88 = 788 + 88 394 x 2 + 88 = 788 + 88

= 876 ( II )= 876 ( II )

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : b) b) metoda figurativă ( grafică )metoda figurativă ( grafică ) - se - se

bazează pe utilizarea desenelor sau bazează pe utilizarea desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor;problemelor;

PROBLEMAPROBLEMA . . Suma a trei numere este23.Al doilea nr. este cu 3 mai mic decat Suma a trei numere este23.Al doilea nr. este cu 3 mai mic decat primul si cu 1 mai mare decat al treilea. Afla numerele.primul si cu 1 mai mare decat al treilea. Afla numerele.REZOLVAREREZOLVARE::

|----------------------------||----------------------------|33 Primul nr.este cel mai marePrimul nr.este cel mai mare

|-------------------|---------||-------------------|---------| Al doilea nr. este cu trei mai micAl doilea nr. este cu trei mai mic 11

|--------------|-----| Al treilea nr. este cu 1 mai mic decat al doilea |--------------|-----| Al treilea nr. este cu 1 mai mic decat al doilea   Daca toate nr.ar fi fost egale suma ar fi fost mai mica cu:3+1+1=5Daca toate nr.ar fi fost egale suma ar fi fost mai mica cu:3+1+1=5In acest caz,suma a trei nr. egale este triplul:In acest caz,suma a trei nr. egale este triplul:18.Nr. al treilea este:18:3=618.Nr. al treilea este:18:3=6Numarul al doilea este:6+1=7,iar primul nr. este 7+3=10Numarul al doilea este:6+1=7,iar primul nr. este 7+3=10 Raspuns Raspuns :Cele trei nr.sunt :10,7,6:Cele trei nr.sunt :10,7,6Verificare:Suma nr.este 10+7+6+23.Verificare:Suma nr.este 10+7+6+23.Primul nr. este mai mare decat al doiPrimul nr. este mai mare decat al doillea cu :10-7=3ea cu :10-7=3Al treilea nr. este mai mare decat al doilea cu Al treilea nr. este mai mare decat al doilea cu : : 7-6=17-6=1

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : c) c) metoda comparaţiei ( metoda comparaţiei ( se foloseşte la rezolvarea problemelor în care întâlnim se foloseşte la rezolvarea problemelor în care întâlnim două mărimi necunoscute care sunt legate între ele prin două relaţii două mărimi necunoscute care sunt legate între ele prin două relaţii liniare bine precizate) ;liniare bine precizate) ; ex. 4 kg de mere şi 6 pâini costă 170 000 lei . 4 kg mere şi 2 pâini costăex. 4 kg de mere şi 6 pâini costă 170 000 lei . 4 kg mere şi 2 pâini costă 110 000 lei . Câţi lei costă 1 kg de mere şi câţi lei costă o pâine ?110 000 lei . Câţi lei costă 1 kg de mere şi câţi lei costă o pâine ? Datele problemei :Datele problemei : 4 kg mere ......................6 pâini............................170 000 lei4 kg mere ......................6 pâini............................170 000 lei 4 kg mere ......................2 pâini............................110 000 lei 4 kg mere ......................2 pâini............................110 000 lei 1 kg mere ...........................? lei1 kg mere ...........................? lei 1 pâine................................? lei1 pâine................................? lei Rezolvarea problemei:Rezolvarea problemei: Se observă că diferenţa dintre cele două preţuri se datorează diferenţei dintre Se observă că diferenţa dintre cele două preţuri se datorează diferenţei dintre

numărul pâinilor . numărul pâinilor . 6 - 2 = 4 ( pâini )6 - 2 = 4 ( pâini ) 170 000 lei – 110 000 lei = 60 000 lei170 000 lei – 110 000 lei = 60 000 lei 60 000 lei : 4 = 60 000 lei : 4 = 15 000 lei ( costă o pâine )15 000 lei ( costă o pâine ) Înlocuim acest rezultat într-una dintre relaţii . O alegem pe a două pentru că este mai Înlocuim acest rezultat într-una dintre relaţii . O alegem pe a două pentru că este mai

simplă . Ştim că o pâine costă 15 000 lei şi în a doua relaţie sunt specificate 2 pâini , simplă . Ştim că o pâine costă 15 000 lei şi în a doua relaţie sunt specificate 2 pâini , deci : 2 x 15 000 lei = 30 000 lei.deci : 2 x 15 000 lei = 30 000 lei.

Rămânem tot la a doua relaţie şi constatăm ce cunoaştem:Rămânem tot la a doua relaţie şi constatăm ce cunoaştem: 2 pâini costă 30 000 lei 2 pâini costă 30 000 lei 110 000 lei au costat cumpărăturile ( 2 pâini şi 4 kg mere )110 000 lei au costat cumpărăturile ( 2 pâini şi 4 kg mere ) Judecăm astfel :Judecăm astfel : Din întreaga sumă scădem valoarea pâinilor , adică : Din întreaga sumă scădem valoarea pâinilor , adică :

110 000 lei – 30 000 lei = 80 000 lei ( reprezintă valoarea celor 4 kg de mere)110 000 lei – 30 000 lei = 80 000 lei ( reprezintă valoarea celor 4 kg de mere) 80 000 lei : 4 = 80 000 lei : 4 = 20 000 lei ( costă 1 kg de mere )20 000 lei ( costă 1 kg de mere )

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : d) d) metoda falsei ipoteze metoda falsei ipoteze ( rezolvarea unei probleme are loc pe baza ( rezolvarea unei probleme are loc pe baza

unei unei presupuneri) ;presupuneri) ; ex. Într-o vază sunt 7 flori . Unele au 3 petale , altele au 5 petale . ex. Într-o vază sunt 7 flori . Unele au 3 petale , altele au 5 petale .

Ştiind că în vază sunt 25 de petale , aflaţi câte flori au 3 petale şi Ştiind că în vază sunt 25 de petale , aflaţi câte flori au 3 petale şi câte au 5 petale?câte au 5 petale?

Datele problemei :Datele problemei : flori → câte 3 petale şi câte 5 petale................25 petaleflori → câte 3 petale şi câte 5 petale................25 petale Rezolvarea problemei :Rezolvarea problemei : Presupunem că toate florile ar avea câte 5 petale . Atunci cele 7 flori Presupunem că toate florile ar avea câte 5 petale . Atunci cele 7 flori

ar avea ar avea 5 x 7 = 35 ( petale )5 x 7 = 35 ( petale ) În realitate sunt doar 25 petale , deci avem cu 10 petale în plus , În realitate sunt doar 25 petale , deci avem cu 10 petale în plus ,

adicăadică 35 – 25 = 10 ( petale )35 – 25 = 10 ( petale ) În vază erau flori cu 5 petale şi cu 3 petale , deci primele aveau cu În vază erau flori cu 5 petale şi cu 3 petale , deci primele aveau cu

2 patele mai mult , adică : 5 – 3 = 2 ( petale )2 patele mai mult , adică : 5 – 3 = 2 ( petale ) 10 : 2 = 10 : 2 = 5 flori ( cu 3 petale )5 flori ( cu 3 petale ) Dacă în total erau 7 flori , rezultă că sunt 2 flori cu câte 5 petale , Dacă în total erau 7 flori , rezultă că sunt 2 flori cu câte 5 petale ,

adică adică 7 – 5 = 7 – 5 = 2 flori ( cu 5 petale )2 flori ( cu 5 petale ) Proba : 5 + 2 = 7 ( flori în vază )Proba : 5 + 2 = 7 ( flori în vază ) 5 x 3 + 2 x 5 = 15 + 10 = 25 ( petale )5 x 3 + 2 x 5 = 15 + 10 = 25 ( petale )

II. II. Metode aritmeticeMetode aritmetice : : e) e) metoda mersului invers ( retrogradă )metoda mersului invers ( retrogradă )- rezolvarea se face pornind de la - rezolvarea se face pornind de la sfârşitul problemei spre începutul ei;sfârşitul problemei spre începutul ei; ex. Mărind un număr cu 5 şi apoi dublâm rezultatul . Rezultatul obţinut îl mărim cu 10 şi ex. Mărind un număr cu 5 şi apoi dublâm rezultatul . Rezultatul obţinut îl mărim cu 10 şi

obţinem 40. Aflaţi numărul iniţial.obţinem 40. Aflaţi numărul iniţial. Datele problemei :Datele problemei : [ ( a + 5 ) x 2 ] + 10 = 40[ ( a + 5 ) x 2 ] + 10 = 40 Rezolvarea problemei:Rezolvarea problemei: ( a + 5 ) x 2 = 40 – 10( a + 5 ) x 2 = 40 – 10 ( a + 5 ) x 2 = 30( a + 5 ) x 2 = 30 a + 5 = 30 : 2a + 5 = 30 : 2 a + 5 = 15a + 5 = 15 a = 15 – 5 a = 15 – 5 a = 10 a = 10 Probleme de mişcareProbleme de mişcare Notăm : s = spaţiul , v = viteza , t = timpul , h = oraNotăm : s = spaţiul , v = viteza , t = timpul , h = ora Relaţiile dintre ele : Relaţiile dintre ele : s = v x t ; v = s : t ; t = s : vs = v x t ; v = s : t ; t = s : v ex. Doi turişti parcurg distanţa de la A la B . Primul a sosit în B cu 2 ore mai târziu ex. Doi turişti parcurg distanţa de la A la B . Primul a sosit în B cu 2 ore mai târziu

decât al doilea. Viteza primului turist a fost de 4 km/h , al celui de-al doilea de 6km/h. decât al doilea. Viteza primului turist a fost de 4 km/h , al celui de-al doilea de 6km/h. Determinaţi distanţa dintre A şi B.Determinaţi distanţa dintre A şi B.

Rezolvare : Se observă că în fiecare oră primul turist rămâne în urmă faţă de al doilea cu Rezolvare : Se observă că în fiecare oră primul turist rămâne în urmă faţă de al doilea cu 2 km.2 km.

s1 = v1 x t1 → s1 = 4 km/h x 2 h = 8 km ( distanţa dintre primul turist şi al doilea care s1 = v1 x t1 → s1 = 4 km/h x 2 h = 8 km ( distanţa dintre primul turist şi al doilea care ajunsese în B) ;ajunsese în B) ;

t1 = s1 : v1 → t1 = 8 km : 2 km/h → t1 = 4h ( timpul carea arată rămânerea în urmă t1 = s1 : v1 → t1 = 8 km : 2 km/h → t1 = 4h ( timpul carea arată rămânerea în urmă a primului turist);a primului turist);

s = 6 km/h x 4 h = 24 km ( distanţa dintre A şi B )s = 6 km/h x 4 h = 24 km ( distanţa dintre A şi B ) Răspuns : 24 kmRăspuns : 24 km