Metode aritmetice de rezolvare a problemelorMetode aritmetice de

rezolvare a problemelor

Prof. Adriana Caţaron

Metoda figurativa• Metoda grafica( figurativa)-consta in

reprezentarea prin desen a necunoscutelor si fixarea relatiilor dintre cunoscutele problemei in desenul respectiv

• Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari categorii– cu date sau marimi « discrete » , cand

acestea pot fi numarate cate una si se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii : In acest caz figuram marimile prin simboluri

– cu date sau marimi « continui » , caz in care le figuram cu segmente

Exemplul 1 : Daca se aseaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare.Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca raman 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt?

REZOLVARE :Din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multimea bancilor pot fi in asa fel “privite” incat elementele lor sa fie organizate astfel : fiecarui elev ii corespunde o banca , situatie in care 14 elevi raman in picioare,deci nu au loc.

…..…..

a) figuram aceasta situatie convenind sa reprezentam banca printr-un dreptunghi si elevul printr-un cerc.

de 14 ori

b) distribuim cate unul dintre cei 14 elevi ramasi in picioare in cate o banca. Se observa ca acestia vor ocupa 14 banci, deci se vor completa cu ei 14 banci cu cate 2 elevi.

de 14 ori

…. ………

c) dar pentru ca trebuie sa ramana trei banci libere inseamna ca din bancile cu un copil s-au ridicat inca trei elevi care au completat ca si ceilalti colegi ai lor trei banci cu 2 elevi.Recapituland , avem 14 banci cu cate 2 elevi completate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca trei banci, cu 2 elevi completate prin ridicare din 3 banci care trebuiau sa ramana libere.

……

de 14 ori

Deci erau in clasa :

14 + 3 + 3 = 20 banci si

20 + 14 = 34 elevi

Exemplul 2 : Suma a doua numere este 35 iar diferenta lor este cat a treia parte din numarul mai mic.Aflati cele doua numere.

REZOLVARE 1 :

a)Punem in evidenta “informatia” care ne spune ca diferenta numerelor este 1/3 din numarul mai mic, adica cel mic are 3 parti,celalalt 4 parti;b)Din desen rezulta ca 7 parti, fiecare egala cu a treia parte din b, reprezinta 35.c)O parte reprezinta atunci 35 : 7 = 5b = 3 · 5 = 15a = 35 – 15 = 20

REZOLVARE 2 :

a + b = 35

a – b = 1/3 · b => a = 4/3 · b

4/3 · b + b = 35 => b = 35 : 7 · 3 = 15

a = 4/3 · 15 = 20

Exemplul 3 : Petrica are de cinci ori mai multi lei decat Costica.Cati lei are fiecare din ei stiind ca daca Petrica ii da lui Costica 120 lei , atunci suma de bani a acestuia reprezinta jumatate din suma lui Petrica.

REZOLVARE :

6 parti egale cu

suma lui Costica

Dupa imprumut,suma totala este formata din

3 parti egale cu noua suma a lui Costica

Exemplul 4 : Un tata are de 5 ori varsta fiului.Cu doi ani in urma el avea de 6 ori varsta fiului.Care este varsta fiului?

b) Luand din fiecare segment un segment mai mic ce reprezinta 2 ani obtinem urmatorul desen:

Se va obtine un segment CD mai mare de 6 ori decat AB

c) Este necesar ca cele 4 parti intregi ale lui CD sa le descompunem in segmente egale cu AB si cel ce reprezinta 2 ani.

d) CD va fi format din 5 segmente egale cu AB si inca 4x2 = 8 ani.

e) Tinand seama ca tatal avea de 6 ori mai mult ca fiul deducem ca 5AB + 8 ani = 6AB ceea ce inseamna ca segmental AB reprezinta 8 ani.

• Exemplul 5 : Stiind ca o treime din lungimea unui segment este egala cu trei patrimi din lungimea altui segment si ca diferenta dintre cele doua segmente este de 35 de cm aflati lungimea fiecaruia.

• REZOLVARE 1: a)Daca 1/3 din I reprezinta cat 3/4 din II, atunci tot intregul I reprezinta cat 3·3 patrimi din II, adica I =9 patrimi din II.

b)Din desen rezulta ca 9/4 - 4/4 = 5/4 din II care reprezinta 35 de cm.

Atunci : II=35:5·4=28(cm)

I=28+35=63-(cm)

sau I=35:5·9=63

REZOLVARE 2 :

Notam cu x lungimea primului segment

1/3x=3/4y|·3

X=9/4 y

X-Y =35

Obtinem : 9/4 y-y =35 =>5/4 y=35=>y=28=>x=63

Exemplul 6 : Suma a trei numere a, b, c este de sase ori mai mare decat a si de 3 ori mai mare decat b.

a) De cate ori este mai mare aceasta suma decat c?

b)Aflati numerele a si c daca b = 108

REZOLVARE :

Prima afirmatie

A doua afirmatie

Observati legatura dintre a si b !

b = 2a

c = 3a

Metoda falsei ipoteze Orice problema ale carei date sunt marimi proportionale,poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. Algoritm :

~ de regula se pleaca de la intrebarea problemei facand asupra marimii pe care o cautam o presupunere arbitrara, dar nu in contradictie cu datele din enunt;

~ se reface problema pe baza presupunerii facute si se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema.Este fie mai mare, fie mai mic decat acesta;

~ se compara rezultatul pe baza presupunerii cu cel real; din nepotrivirile obtinute se trage concluzia corecta de rezolvare a problemei.

Exemplul 1 : Cu 1300 de lei se pot cumpara 30 de bilete de autobuz de 30 de lei si 50 de lei.Cate bilete sunt din fiecare fel?

REZOLVARE :

a) Presupunem ca toate biletele costa 50 de lei.Atunci toate cele 30 bilete ar costa :

30 · 50 = 1500 lei

b) Comparand cu pretul real se obtine o diferenta:

1500 – 1300 = 200 lei in plus

c) Aceasta diferenta provine din faptul ca biletele de 30 de lei le-am considerat mai scumpe cu:

50 – 30 = 20 lei

d) La cate astfel de bilete am adaugat 20 de lei din suma ce a aparut in plus de 200 lei?

200 : 20 = 10 bilete

Dan cu 5 lei mai mult areDecat fratele cel mare.Daca fratele i-ar daUn leu,atunci Dan ar aveaO suma cu … mai mareDecat fratele cel mare.Socotiti si completati,Puncte goale nu lasati !

TEMA• Tema 1

• Probleme propuse pentru Cercul de matematica

• 3 octombrie 2015

• Prof. Adriana Caţaron

••• 1. Un grup de turisti intentioneaza sa ia pranzul la o cantina forestiera. Daca s-ar aseza cate 3 persoane la

masa, ar ramane 9 persoane in picioare, iar asezandu-se cate 4, la ultima masa ar ramane un singur turist. Cati turisti si cate mese are cantina?

• G.M. 2/2009• 2. In fata unui bloc se joaca 10 copii.• Cate fete si cati baieti sunt daca fiecare fata are 2 frati si numai 2 fete sunt surori?•

* * *• 3. La o discoteca se duc 74 elevi, baieti si fete. La sfarsitul petrecerii, Adina spune ca a dansat cu un singur

baiat, Bianca a dansat cu 3 baieti, Cristina a dansat cu 9 baieti, Daria a dansat cu 10 baieti, si asa mai departe, ultima fata, Mioara a dansat cu toti baietii. Cati baieti si cate fete au fost la discoteca?

• * * *• 4. De ziua sa, Irina a invitat colegii de clasa la petrecere. Au venit numai jumatate dintre acestia. Invitatilor

si sarbatoritei li s-au pus pe masa portocale si de trei ori mai multe banane. Fiecare a consumat cate doua portocale si 5 banane, iar la sfarsitul petrecerii au ramas 3 portocale si 24 de banane .

• Cati elevi sunt in clasa Irinei? Cate potocale si banane au fost la inceput?• Gazeta Matematica