1

GROZĂVESCU NADIA SORINA

METODE DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR

ARITMETICE

TIPICE

EDITURA……………………..

2017

2

INTRODUCERE

Practica școlară a demonstrat că dintre toate ciclurile de învățământ , ciclul

primar este segmentul cel mai stabil. De aici rezultă și rolul celui care îl conduce,

învățătorul. El este primul educator, care dezvăluie copilului setea de a cunoaște,

de a obține victorie, dorința de cercetare.

Conţinutul lucrării este structurat pe patru capitole:

Capitolul 1 –Noțiuni teoretice

Capitolul 2 – Metode de rezolvare a problemelor tipice

Capitolul 3 - Principii folosite în rezolvarea problemelor de matematică

Capitolul 4 - Tipuri de raţionamente folosite în rezolvarea problemelor

de matematică.

În primul capitol , e definită noțiunea de problemă , sunt prezentate pe scurt

care sunt metodele tipice și etapele rezolvării unei probleme.

Capitolul al doilea cuprinde câteve metode aritmetice tipice : metoda

figurativă, metoda grafică, metoda reducerii la unitate, metoda falsei ipoteze și

metoda mersului invers, fiecare metodă fiind ilustrată printr-un număr

corespunzător de exemple.

În capitolul al treilea sunt prezentate ca principii folosite în rezolvarea

problemelor de matematică principiul Dirichlet şi principiul includerii si

excluderii împreună cu exemple atât pentru învăţământul primar cât şi gimnazial.

Cel de-al patrulea capitolul prezintă ca raţionamente folosite în rezolvarea

problemelor de matematică, raţionamentul reducerii la absurd şi inducţia

matematică.

Aceste probleme sunt pentru elevii cu nivel mediu și foarte înalt de

pregătire menit să ajute la dezvoltarea capacităților lor matematice , dar și pentru

pregătirea de performanță a elevilor cu înclinații deosebite în acest domeniu.

O parte din metodele prezentate nu se regăsesc în totalitate în programele

de parcurgere a materiei la ciclul primar, dar aplicațiile prin care se rezolvă

folosind aceste metode fac parte din subiectele de la concursuri și olimpiade.

Recomandarea făcută pentru rezolvarea acestor exemple nu trebuie interpretată

ca o soluţie gata elaborată , ci poate constitui un punct de plecare în găsirea unor

noi modalităţi de explorare a condiţiilor iniţiale.

Prin metodele descrise în această lucrare am încercat să parcurg o mică

parte din drumul dificil, dar frumos, de înţelegere a matematicii şi a aplicabilităţii

acesteia.

Lucrarea este rodul unei experiențe îndelungate de 20 de ani la ciclul

primar, dar și ca profesor la clasa de excelență timp de 5 ani. Ca să pot avea

rezultate deosebite am elaborat o programă proprie și în curând voi realiza și o

culegere de matematică conform acestei programe.

Unele probleme sunt originale, iar altele sunt culese din unele culegeri și

gazete matematice.

Sper ca această carte să vă ajute pe voi , dragi elevi, să descoperiți în

matematică un prieten cu care doriți să vă petreceți timpul liber.

3

I. NOȚIUNI TEORETICE

I. 1 NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ

G. Polya consideră că “ prima și cea mai importantă îndatorire a școlii medii în

predarea matematicii este de a acorda atenția cuvenită metodologiei rezolvării

problemelor ”, această afirmație fiind urmată de indicații destul de detaliate menite să

inițieze în euristica rezolvării problemelor.

Predarea-învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor,

reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară.

Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a

algoritmilor, precum și deprinderi de aplicare ale acestora.

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru că participarea

și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor

demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile

de rezolvare și soluția, să formuleze ipoteze și opoi să le verifice.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad căpacitățile

intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate diponibilitățile psihice, în special

inteligența , motiv pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă

problemelor o foarte mare atenție.

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de

preocupări și acțiuni din domenii diferite.

În sens psihologic “o problemă” este orice situație, dificultate , obstacol

întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un

răspuns gata formulat.

Privind în general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o

soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei

soluționare se poate obține esențial prin proces de gândire și calcul.

Problema de matematică reprezintă transpunerea unor situaţii practice în situaţii

cantitative în care ţinându-se seama de valorile numerice date care se găsesc într-o

anumită dependenţă unele faţă de altele, precum şi faţă de valoarea numerică

necunoscută, se cere să se determine această necunoscută.

În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror

rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi

pentru că nu găsește soluții în experiența dobândită sau între mijloacele déjà învățate.

Când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior

formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este

confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor –problemă este nevoie de

explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care

dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii

implicației ascunse , a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

4

I. 2 REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE

În matematică nu există o metodă unitară de rezolvare, gândirea noastră

trebuie să fie mereu activă şi atentă la condiţiile problemei, la modul cum aceste

condiţii se transformă pe parcursul raţionamentului.

Trebuie, deci să gasim, ţinând seama de condiţiile concrete ale problemei

date, calea, metoda de rezolvare adecvată,dar şi priceperea de a aplica algoritmul

corespunzător, conştientizând şi argumentând fiecare pas al acestuia.

Studiul aritmeticii are două obiective importante, unul instructivo-educativ şi

altul de natură practică.

Primul obiectiv, instructiv-educativ constă în următoarele:

dezvoltarea raţionamentului în mod treptat urmărindu-se, permanent, să se

ajungă la obişnuirea rezolvitorului cu gândirea abstractă şi în acest fel, se

netezeşte calea către înţelegerea problemei;

însuşirea tehnicii calculului scris şi mintal astfel încât rezolvitorul să

deprindă îndemânarea de a calcula corect şi repede;

studiul aritmeticii trebuie să dezvolte în egală măsură inteligenţa, memoria,

atenţia şi imaginaţia;

Obiectivul practic constă în priceperea de a aplica atât raţionamentul cât şi

calculul în problemele ce se ivesc la fiecare pas în viaţa cotidiană.

O problemă de aritmetică poate fi rezolvată:

- prin raţionament aritmetic, utilizând algoritmul specific uneia din metodele

enumerate ;

- algebric, punând problema în ecuaţie sau formând sistemul de ecuaţii şi apoi

rezolvând ecuaţia sau sistemul de ecuaţii obţinut.

Prin problemă tipică înțelegem acea construcție matematică a cărei

rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O asemenea

problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și

suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Problemele propuse inițial pentru fiecare tip în manualele de matematică

urmăresc nu numai consolidarea metodei ( algoritmului), dar și dezvoltarea

creativității, prin complexitatea acestora. Ele nu sunt dispuse strict după criteriul

tipăririi, ci amestecate astfel încât copilul să stabilească ce anume tipuri apar în

enunț și apoi să le rezolve corespunzător.

În ciclul primar sunt probleme tipice clasice, rezolvabile prin:

- metoda figurativă, grafică;

- metoda reducerii la unitate;

- metoda falsei ipoteze ( a presupunerii ) ;

- metoda mersului invers, metoda retrogradă, (rest din rest).

5

I. 3. ETAPELE REZOLVĂRII UNEI PROBLEME

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În

fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a

problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția

problemei.

Aceste etape sunt:

A – cunoașterea enunțului problemei ;

B - înțelegerea enunțului problemei ;

C - analiza problemei și întocmirea planului logic ;

D - alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților în

planul logic ;

E - activități suplimentare:

- verificarea rezultatului ;

- scrierea sub formă de exercițiu;

- găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

- generalizare ;

- compunere de probleme după o schemă asemănătoare, etc.

A. Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Rezolvitorul trebuie

să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este necunoscuta

problemei . Cunoaștera enunțului problemei se realizează prin citire de către

învățător sau de elevi prin enunțare orală. Se va repeta problema de mai multe

ori, până la însușirea ei de către toți elevii. Se va avea în vedere citirea și

enunțarea expresivă a textului, scoțându-se în evidență anumite date și legăturile

dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete

datele problemei (folosindu-se scrierea pe orizontală sau pe verticală) .

B. Înțelegerea enunțului problemei

Enunțul problemei conține un minim necesar de informații .Datele și

condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei,

precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre

soluție . Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie recepționat în mod

optimal de către elevi prin citire textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau

chiar cu acțiuni când este cazul.

C. Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație

matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei.

Aceasta este faza în care se „construiește „”raționamentul prin care se

rezolvă problema , adică drumul de legătură între datele problemei și

6

necunoscută. Prin exercițiile de analiză a datelor , a semnificației lor, a

relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne ridicăm de

la situațiile concrete pe care le prezintă problema.

Transpunând problema într-un desen, intr-o imagine sau într-o schemă,

scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloanăș.a. evidențiem esența

matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei.

În momentul în care elevii au transpus problema în relații matematice ,

soluția este ca și descoperită.

D. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii

judecăților în planul logic

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de

rezolvare în coștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin

calculele respective și evident, a rezultatului final.

De o importanță majoră în formarea abilităților, a priceperilor și

deprinderilor de a rezolva probleme îl are etapa următoare.

E. Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei , în găsirea și a altor metode de

rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se

realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei,

asupra raționamentului realizat și a dmersului de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea unei problemese face frontal sau prin activitate

independentă, este posibil ca în șirul de raționamente, ca și în stabilirea

algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se

strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună.

După rezolvarea unei probleme, se recomandă , pentru a scoate în evidență

categoria din care face parte problema, fixareaalgoritmului ei de rezolvare,

scrierea (transpunerea ) datelor problemei și a relațiilor dintre eleîntr-un ezercițiu,

sau, după caz, în fragmente de exercițiu. Prin rezolovarea de probleme

asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date

schimbate, dar rezovabile după același exercițiu, învățătoriii descoperă cu elevii

schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu

duce la schematizare, la fixitate sau rigiditatea gândirii, ci , din contră,la

cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului

elevilor.

7

II. METODE DE REZOLVARE A

ROBLEMELOR TIPICE

II. 1. METODA FIGURATIVĂ

Rezolvarea problemelor tipice, de aritmetică, este de multe ori îngreunată

şi de faptul că unele date sunt mai ascunse sau dependenţa mărimilor nu este aşa

de evidentă. În această situaţie se apelează la metoda figurativă, care constă în

reprezentarea datelor sau mărimilor din problemă prin diferite desene, schiţe sau

figuri geometrice, convenţional alese. În acest fel se poate urmări intuitiv

dependenţa mărimilor şi odată cu aceasta se fixează mai clar raţionamentul care

conduce la rezultatul cerut de problemă.

În ceea ce priveşte aplicarea acestei metode, precum şi alegerea figurilor

reprezentative nu se pot da reguli generale, deoarece acestea diferă de la o

problemă la alta.

Problemele care se rezolvă prin metoda figurativă pot fi împărţite în două

mari categorii:

a) cu date sau mărimi „discrete”, înţelegând prin aceasta că mărimile pot fi

numărate câte una şi că se pot pune în corespondenţă după anumite criterii; în

acest caz mărimile le figurăm prin simboluri (metoda figurativă).

b) cu date sau mărimi “continui”, caz în care le figurăm prin segmente de

dreaptă (metoda grafică).

Metoda figurativă este una dintre metodele cele mai la îndemâna profesorilor

şi elevilor pentru rezolvarea unor probleme care cer gândire abstractă peste

puterea copiilor.

EXEMPLE

a) 1. “ Dacă se aşează câte un elev într-o bancă, rămân 14 elevi în

picioare. Dacă aşezăm câte doi elevi într-o bancă, rămân 3 bănci libere.

Câţi elevi şi câte bănci sunt? ”

REZOLVARE:

Reprezentăm banca printr-un dreptunghi şi elevul printr-un cerc; din

analiza primei părţi a enunţului, obţinem:

14 elevi

… …

…

8

Avem 14 elevi în picioare.

Eliberăm 3 bănci în care stau câte un elev, 3 x 1= 3elevi

Acum avem 14 + 3 = 17 elevi în picioare şi 3 bănci libere.

Cei 17 elevi îi aşezăm câte unul în fiecare bancă în băncile ocupate deja de

câte un elev şi astfel avem 17 banci ocupate cu câte 2 elevi şi 3 bănci libere.

17 · 2 = 34 elevi

17 + 3 = 20 bănci

2. Dacă pe fiecare bancă dintr-o sală se aşază câte 4 persoane, atunci

18 nu mai au loc. Dacă se aşază câte 5 persoane pe fiecare bancă, atunci

rămân 4 bănci libere.

Câte bănci şi câte persoane sunt în sală?

REZOLVARE

Pe fiecare bancă simbolizată cu B figurăm câte 4 persoane simbolizate cu l l l l.

În final erau 4 bănci libere.

Eliberăm 4 bănci şi astfel avem 4 x 4 = 16 persoane . Ele se alătură celor 18

persoane fără loc.

Deci, avem 16 + 18 = 34 persoane „disponibile”.

Cele 34 de persoane trebuie să se așeze în băncile în care se află 4 persoane,

câte o persoană în fiecare bancă. 4 + 1 = 5 (persoane) într-o bancă.

Deci, avem 34 bănci + 4 bănci = 38 de banci.

Numărul de persoane îl aflăm înmulțind 34 x 5 = 170 persoane.

Răspuns: 38 bănci, 170 de persoane

18 persoane

B B B

B B B B B B B

…

…

…

9

3. Două bucăți de pânză au aceeași lungime. Dacă din prima bucată se

vând 10 m, iar din a doua se vând 23 de m, în prima bucată a rămas de 2 ori

mai multă pânză decât în a doua. Câți metri de pânză au fost în fiecare

bucată?

Rezolvare :

Pasul 1. Avem două bucăți egale. Reprezentăm în desen 2 segmente egale.

I l …………………………………l

Lungini egale

II l ………………………………….l

Pasul 2

I l ……13m…l…13m……l..10m…l

II l …13m ……l…..13m…..l…10m..l

23m

Se iau din prima bucată 10 m .

Din a doua se iau 23m. O împărțim în 10 m + 13 m .

Observăm că din prima bucată au rămas 2 bucăți de 13m, iar din a doua

bucată a rămas numai 1 bucățică de 13 m.

Deci,

Prima bucată avea 13 m x 2 + 10m = 36 m

A doua bucată avea 13 m + 23 m = 36 m

PROBLEME PROPUSE

1) Vârsta mamei este de 3 ori mai mare decât vârsta fiului. Știind că mama și

fiul au împreună 48 ani, să se afle vârsta fiecăruia.

2) Trei frați Alin, Costin și Eugen au împreună suma de 730 lei. Dacă Eugen

ar da lui Costin 80 lei, atunci cei doi ar avea sume egale. Știind că Alin are

o sumă de 4 ori mai mare decât a lui Costin, să se afle suma fiecăruia.

3) Suma a 2 numere este 342, iar diferența lor este de 4 ori mai mare decât

numărul mic. Să se afle numerele !

4) Vârsta mamei este de 35 ani, iar vârstele celor doi fii sunt de 12 și 9 ani.

Peste câți ani vârsta mamei va fi egală cu suma vârstelor copiilor ?

5) Suma a cinci numere pare impare consecutive este 415. Să se afle

numerele !

10

6) Un tată împarte 1400 oi fiilor săi. După ce fiecare obține partea sa, ei

observă că, dacă în numărul de oi ale primului fiu scade 185, din numărul

de oi ale celui de-al doilea scade 60, iar din numărul de oi ale celui de-al

treilea se scade 195, atunci în cele 3 turme de oi ale fiilor se află același

număr de oi. Să se afle câte oi a primit fiecare dintre cei 3 fii ai ciobanului.

7) Pe o masă se află de 6 ori mai multe prune decât mere. După ce se

manâncă 9 prune și 4 mere, pe masă ramân de 9 ori mai multe prune decât

mere. Câte fructe de fiecare fel sunt pe masă ?

8) La un magazin s-au adus 545 citrice (lămâi și portocale). După ce s-au

vândut 25 kg de lămâi si 60 kg de portocale, cantitatea de portocale rămase

în magazin este de 3 ori mai mare decât cantitatea de lămâi. Câte kg de

lămâi și câte kg de portocale au fost în magazin ?

9) Avem la dispoziție bile de 3 culori: roșii, albastre și verzi. Punându-le la

un loc bilele roșii și albastre, obținem 68 bile. Punând la un loc bilele roșii

și verzi, obținem 62 bile; punând la un loc bilele verzi și albastre, obținem

80 bile. Câte bile de fiecare fel avem ?

10) Un tată cu vârsta de 46 ani are doi fii cu vârstele de 18 și 14 ani. Peste

câți ani vârsta tatălui va fi egală cu suma vârstelor fiilor lui ?

11) Într-o clasă dacă se așează câte un elev în bancă, rămân 12 elevi în

picioare, iar dacă se așează câte doi elevi într-o bancă rămân 2 bănci libere.

Aflați câți elevi și câte bănci sunt în acea clasă.

12) La un concurs, punctajul realizat de trei elevi este reprezentat prin

numere pare conscutive. În total au obţinut 69 de puncte. Câte puncte a

obţinut fiecare elev?

13) Suma a trei numere este cu 78 mai mică decât dublul numărului 444.

Care sunt numerele, dacă al treilea este jumătate din primele două la un loc,

iar primul este a cincea parte din al doilea?

14) Suma a 2 numere este 557. Dacă se scade din al doilea 17 se obţine

jumătatea primului număr .Care sunt numerele?

15) La o cofetărie s-au adus 129 portocale, în număr egal, în trei lăzi.

Află câte portocale sunt acum în fiecare ladă, dacă la început în prima ladă

erau 32 portocale, în a doua 21, iar în a treia 29 portocale.

11

II. 2. METODA GRAFICĂ

Metoda grafică se foloseşte în special la cazurile:

- sumă şi diferenţa

- sumă şi raport

- diferenţă şi raport

- dublu raport

- probleme în care intervin fracţii dintr-un întreg

II . 2.1. SUMĂ ŞI DIFERENŢĂ

Problemele care se încadrează în acest tip se recunosc uşor după

conţinutul în care se afirmă că o marime este cu atat mai mare (mică) decât

cealaltă, reprezentând diferenţa între cele doua marimi, iar suma este sugerată fie

direct, fie prin expresii ca: ”în total”,”la un loc”, „împreună”, sau printr-un

cuvânt ce denumeşte o mulţime formată din mai multe submulţimi disjuncte.

EXEMPLE

Probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor

Se citește enunțul problemei:

“ Într-o cutie sunt 25 de bile colorate, roșii și albastre. Dacă cele roșii

sunt cu 5 mai multe decât cele albastre , câte bile de fiecare culoare se

află în cutie?”

Se examinează conținutul problemei , se stabilesc datele cunoscute și se

cere să se noteze cu a bilele roșii și cu b bilele albastre. Copiii vor putea

astfel observa cu ușurință cele două date , 25 bile și 5 bile reprezintă suma,

respective diferența bilelor roșii și albastre .

Atunci putem nota :

a l……………….l…D…l

b l……………….l } S Se dă : a + b = 25 ( S ) Se cere : a = ?

a - b = 5 ( D) b = ?

Avem deci o problemă tipăcă de aflare a două numere , cunoscând suma

și diferența lor.

Reprezentăm cele două numere prin segmente. Numărul mai mare îl

reprezentăm prin segmentul mai lung, iar cel mic prin segmentul mai scurt.

Egalăm segmentul a cu b dând la o parte segmentul care reprezintă diferența. În

12

sumă rămân astfel două segmente b. De aici se pot afla cât este un singur

segment b , prin operația de împărțire.Cunoscându-l pe b, îl putem afla pe a prin

două moduri : a = S - b sau a = b + D

Rezolvare :

Pasul 1. 25 – 5 = 20 ( 2b)

Pasul 2. 20 : 2 = 10 ( b)

Pasul 3. 25 – 10 = 15 (a) sau 10 + 5 = 15 (a)

Acest rațíonament pe suport intuitiv – figurativ ne permite aflarea mai întâi

a numărului mai mic. Putem raționa și altfel (dacă la suma numerelor a și b

adunăm diferența, obținem două segmente egale, fiecare cu numărul mai mare a).

Avem astfel, următorul desen :

a l……………….l…D…l

b l……………….l…D....l } Suma nouă și următoarea rezolvare :

25 + 5 = 30 ( 2a)

30 : 2 = 15 ( a)

25 – 15 = 10 (b) sau 15 – 5 = 10 (b)

Problemele de acest tip se recunosc ușor .

2. Suma a doua numere este 40. Să se afle numerele ştiind că primul

este cu 4 mai mic decât al doilea.

REZOLVARE:

Reprezentarea este mai „clară” dacă reprezentăm numarul mic cu o parte.

Al doilea număr este „cu 4 mai mare”.

Dăm la o parte diferența și aflăm

Cât reprezinta 2 parti?

40 – 4 = 36

Cât reprezinta o parte?

36 : 2 = 18

Care sunt numerele?

18 · 1 = 18 (primul număr)

18 · 1 + 4 = 22 (al doilea număr)

P

P 4

Numărul mic

Numărul mare

13

II. 2. 2. SUMĂ ȘI RAPORT ( CÂTUL)

Raportul este sugerat de expresii de tipul „de atâtea ori mai puțin”, câtul a

doua numere este..., etc.

EXEMPLU

Suma a două numere este 40. Să se afle numerele ştiind că primul

număr este de 4 ori mai mic decât al doilea.

REZOLVARE:

Deducem că al doilea număr este de 4 ori mai mare ca primul. Avem

reprezentarea:

I

SUMA = 40

II

Cât reprezintă o parte?

40 : 5 = 8

Care sunt numerele?

8 x 1 = 8 (primul număr, numărul mic)

8 x 4 = 32 (al doilea număr, numărul mare)

II.2.3. DIFERENȚA ȘI RAPORT

EXEMPLU

Peste un an tatăl va fi de 3 ori mai in vârstă decât fiul său. Acum

5 ani tatăl era mai în vârstă cu 24 de ani decât fiul.

Ce vărstă are fiecare in prezent.

REZOLVARE

Pentru rezolvarea problemelor de acest tip, trebuie să se ţina cont de

faptul că diferenţa de vârstă este aceeaşi in trecut, prezent sau viitor.

Din primele date ale problemei, vom avea reprezentarea:

Peste 1 an

FIUL

TATĂL

………24ani… ……..

P Numărul mic

Numărul mare P P P P

P

P P P

14

Aceasta ne sugerează prin părţi vârsta tatălui, respectiv a fiului, peste un an. Ca

reprezentare, diferenţa de vârstă este de două părţi.

Din următoarele date ale problemei, rezultă că şi în prezent, şi peste un an,

diferenţa de vârstă este de 24 de ani. Deci:

Cât reprezintă o parte?

24 : 2 = 12 (ani va avea fiul peste 1an).

Câţi ani are fiul în prezent?

12 - 1 = 11 ani

Câţi ani are tatăl peste un an?

12 · 3 = 36

Câţi ani are tatăl în prezent?

36 - 1 = 35 ani

II. 2.4. DUBLU RAPORT

EXEMPLU

Un număr este de 5 ori mai mic decât al doilea. Dacă al doilea număr

se măreşte cu 9, devine de 8 ori mai mare decât primul. Să se afle cele două

numere.

REZOLVARE:

Avem două rapoarte:

- de 5 ori mai mic

- de 8 ori mai mare

Fie a primul număr şi b al doilea număr.

Conform primei propoziţii din enunţ avem reprezentarea grafică :

Din fraza următoare din enunţ, avem reprezentarea grafică:

……………9………………

Comparând reprezentările lui b şi b+9 deducem că 3 părţi reprezintă 9.

Deci, 9 : 3 = 3 reprezintă o parte, adică numărul a . a = 3

3 x 5 = 15, este numărul b . b = 15

P

P P P P P

a

b

a

b+9

P

P P P P P P P P

15

II. 2. 5. PROBLEME ÎN CARE INTERVIN FRACŢII

DINTR-UN ÎNTREG

EXEMPLE

Un elev intră într-o librărie având la el 10 lei. Cărţile pe care le cumpără

îl costă 3 cincimi din sumă. Cât au costat cărţile?

REZOLVARE:

Vom reprezenta suma printr-un segment de dreaptă pe care-l împărţim în 5

părţi egale.

1/5

5/5

3/5 …………………………….

3 cincimi din sumă costă cărţile.

Cât reprezintă o parte?1/5

10 : 5 = 2 lei

Cât costă cărţile? 3/5

2 lei x 3 = 6 lei

Observaţie : Ideea de rezolvare decurge din semnificaţia celor 2 termeni ai

fracţiei numitorul 5, ne arată în câte părţi egale trebuie să împărţim întregul, iar

numărătorul 3, câte părţi egale trebuie să luăm din întreg.

PROBLEME PROPUSE

1. Suma a trei numere este 197. Primul număr este de 3 ori mai mare decât al

doilea , iar al treilea este cu 15 mai mare decât primul nrumăr. Aflați numerele.

2. În 3 vase sunt 180 l de motorină. Știind că în al doilea vas există de 2 ori mai

multă motorină decât în primul vas, iar în al treilea , cât în primele două vase la

un loc, să se afle câti litri de motorină sunt în fiecare vas.

3. La o fermă sunt 450 păsări. Curcile sunt de 5 ori mai puține dacât găinile, iar

rațele , cu 30 mai multe dacât curcile.

Aflați câte curci, găini și rațe sunt de fiecare.

4. Mihai, Radu și Ștefan au împreună 500 lei. Mihai cheltuiește 45 lei, Radu,

100lei, iar Ștefan , 85 lei. Ei constată că acum au sume egale de bani.

Câti bani a avut fiecare copil la început?

P

P P P P P

16

5. Diferența dintre două numere este 200. Știind că primul numărul este de 5 ori

mai mic decât al doilea, să se afle numerele.

6. Un muncitor realizează în 3 zile 453 de piese. Știind că în a treia zi a realizat

de 3 ori mai multe piese decât în a doua zi , iar în prima zi ,cu 3 piese mai multe

decât în a doua zi, aflați câte piese a realizat în fiecare zi.

7. În curtea școlii sunt 185 de elevi. Elevii din clasa I sunt cu 35 mai mulți decât

cei din clasa a doua, cei din clasa a treia cu 15 mai mulți decât cei din clasa I,

iar cei din clasa a patra ,cât cei din clasa a doua.

Aflați câți elevi din fiecare clasă erau în curte.

8. Vasile, Marta si Ghiță au împreună 54 de baloane.După ce Vasile sparge 3

baloane, Marta 5 baloane și Ghiță 7 baloane , ei au observat că acum au același

număr de baloane fiecare.

Câte baloane au avut la început fiecare copil?

9. Bunica are 96 de păsări : găini, raţe şi gâşte. Găini şi raţe sunt 74, iar raţe şi

gâşte sunt 46. Câte păsări are din fiecare fel bunica ?

10. Trei copii au cules 94 de alune. Primul împreună cu al doilea copil au cules

57 alune, iar al II-lea împreună cu al III-lea au cules 64 alune. Câte alune a cules

fiecare copil ?

11. x + y + z = 800 , x + y = 600, y + z = 540 Aflaţi valoarea fiecărui număr ?

12. a + b + c = 928, a + b = 665, b + c = 628 Cât este a? Cât este b? Cât este c?

13. Suma a două numere este 350. Raportul dintre primul și al doilea este 5/2. iar

diferența dintre primul și al doilea este 105. Aflați cele trei numere.

14. Câtul a 2 numere este 7, restul 15, iar diferenţa lor este 627.

Care sunt numerele?

15 Alina citeşte o carte în 3 zile. În prima zi citeşte 2/7 din carte, a doua zi 3/7

din numărul paginilor rămase , iar în a treia zi , ultimele 100 pagini.

Câte pagini are cartea?

5. Diferenţa a două numere este 18. Ştiind că primul număr este mai mare de 3

ori decât al doilea, află numerele.

6. Câtul împărţirii a două numere este 4, iar restul este 12. Află numerele, ştiind

că suma lor este 502.

17

II. 3. METEODA REDUCERII LA UNITATE

Aceasta metodă de rezolvare este utilă mai ales prin faptul că se aplică în

multe probleme întâlnite în practică. Algoritmul de rezolvare constă în a reduce

compararea mărimilor date în problemă la compararea cu una din ele, luată ca

unitate.

Prin aplicarea acestei metode se pot rezolva probleme variate, cum sunt:

a) probleme în care se dau marimi direct proporţionale

b) probleme în care se dau mărimi invers proporţionale

c) probleme care se rezolvă cu regula de trei simplă

d) probleme care se rezolvă cu regula de trei compusă

II.3.1. MĂRIMI DIRECT PROPORŢIONALE

Două mărimi sunt direct proporţionale, în cazul în care una din ele se

măreşte (micşoreză) de un anumit număr de ori, atunci şi cealaltă se măreşte

(micşorează) de acelaşi număr de ori.

EXEMPLE:

1) 7 kg de mere costă 14 lei. Cât costă 5 kg de mere de aceeași calitate?

Judecăm astfel: dacă 7 kg de mere costă 14 lei, atunci 1 kg de mere (deci o

cantitate de 7 ori mai mică) va costa de 7 ori mai puţin, 14: 7= 2, adică 2 lei.

REZOLVARE:

Dacă 1 kg de mere costă 2 lei, atunci 5 kg de mere (deci o cantitate de 5 ori mai

mare) va costa de 5 ori mai mult, 2 x5 = 10, adică 10 lei.

Sau cu plan:

Cât costă un kg de mere?

14 lei : 7 = 2 lei

Cât costă 5 kg de mere?

2 x 5 = 10 lei

2) Pentru o cantină s-au cumpărat 2547 kg de cartofi. Câţi lei costă

întreaga cantitate, dacă pentru 9 kg se plătesc 27 lei?

Judecăm astfel: dacă 9 kg de cartofi costă 27 lei, atunci 1 kg de cartofi (deci o

cantitate de 9 ori mai mică) va costa de 9 ori mai puţin, 27 : 9 = 3 , adică 3 lei.

Dacă 1 kg de cartofi costă 3 lei, atunci 2547 kg de cartofi (cantitate de 2547 ori

mai mare) va costa de 2547 ori mai mult, 3 x 2547 = 7641, adică 7641 lei.

REZOLVARE:

9 kg de cartofi …….. 27 lei

2547 kg de cartofi….. x lei

9 kg de cartofi ……... 27 lei

1 kg de cartofi …….. 27 : 9 = 3 lei

2547 kg de cartofi ……. 3 x 2547 = 7641 lei

18

II. 3. 2. MĂRIMI INVERS PROPORŢIONALE

Două mărimi sunt invers proporţionale în cazul în care dacă una din

ele se măreşte (micşorează) de un număr de ori, atunci şi cealaltă se

micşorează (măreşte) de acelaşi număr de ori.

EXEMPLE

1. Şase robinete cu acelaşi debit curg împreună şi umplu un bazin

în 4 ore. În câte ore pot umple acelaşi bazin 8 robinete cu acelaşi

debit?

REZOLVARE:

6 robinete……………4 ore

8 robinete…………….x ore

6 robinete……………4 ore

1 robinet……………..4 ore x 6 = 24 ore

8 robinete…………….24 ore : 8 = 3 ore

Sau cu plan:

În câte ore poate umple bazinul un singur robinet?

4 ore x 6 = 24 ore

În câte ore pot umple bazinul 8 robinete?

24 ore : 8 = 3 ore

2. 18 muncitori au efectuat o lucrare în 6 zile. În câte zile ar putea

efectua aceeaşi lucrare, 36 muncitori?

18 muncitori................6 zile

36 muncitori................X zile

Deci:

18 muncitori................6 zile

1 muncitor...................6 x18 = 108 zile

36 muncitori................108 : 36 = 3 zile

Sau cu plan:

În câte zile poate efectua lucrarea un muncitor?

6 · 18 = 108 zile

În câte zile pot efectua lucrarea 36 muncitori?

108 : 18 = 3 zile

PROBLEME PROPUSE

1. Dacă mama ar pune sucul de roşii în sticle de 900 ml, ar umple 18. De câte

sticle are nevoie pentru a pune sucul în sticle de 450ml.

2. Dacă 15 kg de zahăr costă 315 000 lei, aflaţi cât costă 27 kg de zahăr.

19

3. O trăsură parcurge parcurge un drum în 5 ore, mergând cu viteza de 12

km/oră.În cât timp va parcurge acelați drum un camion care merge cu

viteza de 40km/oră?

4. Din 15 kg de lămâi se obțin 9litri de suc. Din câte kg de lămâi se pot

obține 15 litri de suc?

5. Trei tractoare ară o suprafață agricolă în 210 ore. În câte ore ară aceeași

suprafață 7 tractoare?

6. Într-o urnă sunt bile numerotate de la 1 la 20. Care este probabilitatea ca la

o extragere să obţinem o bilă cu număr prim?

7. În 8 zile, o echipă de muncitori execută 720 piese. În cât timp execută

echipa 1890 piese de acelaşi tip?

8. Patru muncitori execută o lucrare în 6 zile. În câte zile execută aceeaşi

lucrare 3 muncitori?

9. Trei caiete costă 25500 lei. Cât vor costa 12 caiete de acelaşi fel?

10. În câte zile pot termina o lucrare 3 muncitori , ştiind că aceeaşi lucrare

11 muncitori o termină în 6 zile?

11. Un şofer parcurge în 8 luni 10 000 km, cu o viteză constantă. Câte

ore va parcurge şoferul într-un an, dacă merge cu aceeaşi viteză?

12. Din 16 kg de apă de mare se obţin 400 g de sare. Ce cantitate de apă de

mare este necesară pentru a obţine 750 g de sare?

13. Dacã 12 muncitori sapă 15 metri de sant pe zi, aflaţi câti metri vor săpa

24 muncitori, în acelasi timp.

14. Pentru a vopsi 1200 m2 de perete avem nevoie de 4 bidoane de vopsea.

De câtă vopsea avem nevoie pentru 6000 m2 de perete?

15. Din 3 robinete cu acelaşi debit curg într-un interval de timp 750 litri de

apă. Din câte robinete curg în acelaşi interval de timp 1250 litri de apă?

16. Cinci robinete pot umple un bazin în 6 ore. Câte robinete cu acelaşi debit

pot umple bazinul în 5 ore?

17. Dacă 30 de caiete costă 45 lei. Cât vor costa 8 caiete?

20

II. 3. 3. PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU REGULA

DE TREI SIMPLĂ

1. Se aşează mărimile de acelaşi fel una sub cealaltă;

2. Se stabileşte dacă mărimile sunt direct sau invers proporţionale;

3. Se scrie proporţia corespunzătoare şi apoi se află necunoscuta.

EXEMPLU

1. Trei camioane pot transporta o cantitate de cereale în 14 zile. În câte

zile pot transporta 7 camioane de acelaşi tonaj aceeaşi cantitate de cereale?

REZOLVARE

3 camioane………….14 zile

7 camioane…………..x zile

Cum judecăm:

- Stabilim mai întâi, felul dependenţei între mărimi.

- Mărimile, numărul de camioane şi numărul de zile, sunt invers

proporţionale (când creşte numărul de camioane, scade numărul zilelor)

Întreaga cantitate pe care o transportă 3 camioane în 14 zile este :

14 x 3 = 42 unităţi (cantitatea de cereale transportată de 3 camioane).

Aceeaşi cantitate o transportă 7 camioane în mai puține zile :

42:7 = 6 zile

PROBLEME PROPUSE

1. Pentru 15m de stofă se plăteşte 750 lei. Cât se plăteşte pentru 5 m de stofă?

1. Din 90 kg de grâu se obtin 60 kg de făină. Din câte kg de grâu se obțin 50

kg de făină?

2. La fabrica de becuri controlorul găseşte la 200 becuri verificate 18 defecte.

Câte becuri defecte poate găsi controlorul la un lot de 2200 de becuri?

4. Dacă la 180 km un automobil consumă 12 l de benzină, câţi litri va

consuma la 540 km ?

5. Dacă 12 muncitori sapă 15 metri de șanț pe zi, aflaţi cu câţi muncitori

trebuie suplimentată echipa pentru ca în acelaţi timp să fie săpaţi 75 m de

şanţ. (Fiecare muncitor lucrează la fel).

21

II. 3. 4. METODA DE REZOLVARE CU REGULA DE TREI

COMPUSĂ

Aceste probleme cuprind 3 mărimi, fiecare mărime având două valori.

1. 5 mese și 3 scaune costă 15 400 lei. 2 mese și 1 scaun costă 5 800lei.

Cât costă o masă și cât costă un scaun ?

Pasul 1. Așezăm datele unele sub altele, astfel :

5 mese………….3 scaune………………15 400 lei

2 mese………….1 scaun……………… 5 800 lei

Pasul 2. Studiem problema unde am putea egala numărul obiectelor.

Pasul 3. Înmulțim cu 3 al doilea rând , mărim de 3 ori numărul meselor,

numărul scaunelor, dar și prețul.

5 mese………….3 scaune………………15 400 lei

2 mese………….1 scaun…………………5 800 lei X 3

Problema devine :

5 mese………….3 scaune………………15 400 lei

6 mese………….3 scaune……………… 17 400 lei

Pasul4. Comparăm valorile obținute

Avem egalitate la numărul scaunelor. Valorile de jos sunt mai mari decât cele de

sus.

Pasul 5. Tragem linie și facem scăderile.

5 mese………….3 scaune………………15 400 lei

6 mese………….3 scaune……………… 17 400 lei -

……………………………………………………………………..

1 masă ………….0 scaune…………………2 000 lei

Diferența dintre prețuri apare datorită diferenței numărului de mese.

Observăm că 1 masă costă 2 000 lei.

Pasul 6. Urmărim al doilea rând al problemei.

2 mese………….1 scaun…………………5 800 lei

Aflăm cât costă 2 mese :

2 x 2 000 = 4 000 lei costă mesele.

Diferența dintre suma plătită și cea dată pe mese este prețul unui scaun.

22

Pasul 7. Aflăm cât costă 1 scaun :

5 8000 – 4 000 = 1 800 lei

Răspuns : 2 000 lei /masă , 1 800 lei/scaun

2. Mama a cumpărat 4 pungi cu mălai și 2 pungi cu făină cântărind 22

kg. Altă dată a cumpărat 4 pungi cu mălai și 5 pungi cu făină cântărind 31

de kg. Câte kg cântărește o pungă cu mălai și câte kg cântărește o pungă cu

făină?

REZOLVARE

Scriem datele problemei pe două șiruri unul sub altul, corespunzător celor

două situații :

4 pungi cu mălai…………2 pungi cu făină…………22kg

4 pungi cu mălai…………5pungi cu făină………….31kg

Observăm că și prima dată și a doua oară mama a cumpărat același număr

de pungi cu mălai, dar numărul pungilor cu făină cumpărate a doua oară este mai

mare cu : 5 – 2 = 3

Din cauza acestor pungi cu făină cumpărate în plus a doua oară, greutatea

cumpărăturilor a fost mai mare cu :

31 kg - 22kg = 9 kg

Deci, 3 pungi cu făinăcântăresc 9 kg , atunci o pungă va cântări :

9 kg : 3 = 3kg

Prima dată mama a cumpărat 2 pungi cu făină care cântăresc :

2 x 3kg = 6kg

și 4 pungi cu mălai, în total 22 kg prin urmare, cele 4 pungi cu mălai

cântăresc: 22kg – 6kg = 16kg

Atunci o pungă cu mălai cântărește:

16kg : 4 = 4kg

Verificare : 4 x 4 + 2 x 3= 16 + 6 = 22kg

3. Un croitor folosește pentru 6 fuste și 5 perechi de pantaloni 27 m

stofă. Când face 7 perechi de pantaloni și 6 fuste, foloseste 33 m stofă. Câți m

de stofă se folosesc pentru o fustă și câți pentru o pereche de pantaloni?

Rezolvare Așezăm datele problemei astfel:

6 fuste .................... 5 pantaloni .................... 27 m stofă

6 fuste .................... 7 pantaloni .................... 33 m stofă

7 5 = 2 (pantaloni) .................... 33 – 27 = 6 (m stofă)

6 : 2 = 3 (m stofă pentru o pereche de pantaloni)

3 x 5 = 15 (m stofă pentru 5 perechi de pantaloni)

27 15 = 12(m stofă pentru 6 fuste)

12 : 6 = 2 (m stofă pentru o fustă)

Răspuns: 2 m stofă pentru o fustă și 3 m stofă pentru o pereche de pantaloni.

23

PROBLEME PROPUSE

1) 5 prăjituri .................... 2 ciocolate .................... 26 lei

8 prăjituri .................... 2 ciocolate .................... 38 lei

Cât costă o prăjitură și cât o ciocolată?

2) 11 sticle .................... 4 bidoane .................... 35 litri apă

5 sticle .................... 4 bidoane .................... 29 litri apă

Câți litri de apă intră într-o sticlă și câți într-un bidon?

3) 4 bluze .................... 2 fuste .................... 22 m

5 bluze .................... 6 fuste .................... 38 m

Câți metri de material se folosesc pentru o bluză și câți pentru o fustă?

4) 4 caiete .................... 6 pixuri .................... 38 lei

2 caiete .................... 5 pixuri .................... 25 lei

Cât costă un caiet și cât un pix?

5) 2 kg crap .................... 3 kg ştiucă .................... 280 lei

3 kg crap .................... 2 kg ştiucă .................... 245 lei

Cât costă un kg de crap și cât un kg de ştiucă?

6) La o florărie s-au vândut într-o zi 90 fire de garoafe şi 30 de fire de cale , .

încasându-se suma de 690 de lei . A doua zi s-au vândut 70 de fire de

garoafe şi cale câte în prima zi , încasându-se suma de 590 de lei

Cât costă un fir de garoafă şi cât costă unul de cală ?

7) 4 caiete şi 2 stilouri costă împreună 32 de lei , iar 2 caiete şi 6 stilouri costă

66 de lei . Cât costă un caiet şi cât costă un stilou ?

8) 3 mingi şi 4 maşinuţe costă împreună 120 de lei . 5 mingi şi 8 maşinuţe

costă 220 de lei . Cât costă o minge şi cât costă o maşinuţă ?

9) 24 de păpuşi mari şi 50 de păpuşi mici costă împreună 2 920 de lei ,

68 de păpuşi mari şi 100 de păpuşi mici costă împreună 7 440 de lei .

Ce sumă plăteşte în total o grădiniţă care cumpără 30 de păpuşi mari

şi 55 de păpuşi mici .

24

II. 4. METODA FALSEI IPOTEZE

Această metodă se foloseşte dacă datele problemei se referă la mărimi

corelate. Metoda constă în faptul că se face o ipoteză (presupunere) asupra

mărimilor necunoscute în problemă, atribuindu-le valori arbitrare. În continuare,

presupunând că aceste valori constituie rezultatul cerut, se face verificarea

problemei aşa cum spune enunţul ei şi, în acest fel, se ajunge la un rezultat care

nu este cel pe care îl căutăm. Mai departe având în vedere nepotrivirile ce au

apărut, se trag unele concluzii ce pot duce relativ uşor, la aflarea rezultatului

adevărat.

Practic, în rezolvare se pleacă, de regulă, de la întrebarea problemei, în

sensul că asupra mărimii ce o căutăm facem o presupunere complet arbitrară,

însă nu în contradicţie cu datele din enunţ. Refacem apoi problema pe baza

presupunerii făcute şi astfel ajungem la un rezultat care nu concordă cu cel real.

În acest moment se compară rezultatul obţinut pe baza presupunerii făcute cu cel

real, iar din nepotrivirile obţinute se trage concluzia corectă de rezolvare a

problemei.

Ipoteza asupra mărimii ce o căutăm nu o facem cu intenţia de a nimeri

răspunsul, ci pentru a vedea din nepotrivire cu enunţul, ce modificări trebuie să

facem asupra problemei.

De aceea această metodă se numeşte metoda falsei ipoteze.

EXEMPLE

1. Cu 130 lei se pot cumpăra 30 bilete de autobuz, de 3 lei şi de 5 lei.

Câte bilete de fiecare fel se pot cumpăra?

REZOLVARE:

- Presupunând că toate biletele ar costa 5 lei, atunci cele 30 de bilete ar costa

30 x 5 =150 lei

- Comparând rezultatul obţinut cu preţul real, se obţine diferenţa 150 - 130 = 20

lei

- Diferenţa obţinută provine din faptul că biletele de 3 lei le-am considerat mai

scumpe cu 5 – 3 = 2 lei

- Aflăm acum la câte astfel de bilete am adăugat 2 lei din suma ce a apărut in

plus, anume de 20 lei , deci, 20 : 2 = 10 bilete de 3 lei

- Aflăm numărul biletelor de 5 lei, 30 – 10 = 20 bilete

Deci, pot fi cumpărate 10 bilete de 3 lei şi 20 bilete de 5 lei

25

2. Într-un bloc sunt apartamente cu 2 camere şi cu 4 camere. Ştiind că

blocul are 20 de apartamente care au în total 50 de camere, să se afle

câte apartamente sunt din fiecare fel.

REZOLVARE:

Presupunem că toate apartamentele au două camere.

Atunci blocul ar avea 2 camere x 20 = 40 camere.

S-a obţinut 50 – 40 = 10 camere mai puţin decât în problemă.

Această diferenţă s-a obţinut deoarece sunt şi apartamente cu 4 camere, care au

cu 4 – 2 = 2 camere mai mult.

- Numărul apartamentelor cu 4 camere se determină astfel, 10 : 2 = 5 apartamente

- Atunci 20 apartamente - 5 apartamente = 15 apartamente cu 2 camere.

Deci, blocul va avea 5 apartamente cu 4 camere şi 15 apartamente cu 2 camere.

PROBLEME PROPUSE

1. La o fermă se cresc oi și găini , care au 650 de capete și 2260 picioare. Câte oi

și câte găini sunt în fermă?

2. Pentru cumpărarea unor covoare s- a achitat suma de 21 600 lei , în bancnote

de 100 lei și de 200 lei. Știind că s-au dat în total 148 bancnote, aflați câte

bancnote de 100 lei și câte bancnote de 200 lei s-au folosit?

3. La o serbare școlară s-au vândut 425 bilete la prețul de 4 lei și respectiv de

6 lei biletul, încasându-se în total 2 100 lei. Câte bilete din fiecare categorie au

fost vândute?

4. Bunicul a recoltat 27 de lădițe cu mere, unele de 6 kg, iar altele de 10 kg.

Aflați câte lădițe sunt de fiecare fel dacă s-au recoltat 222 kg de mere?

5. De la o librărie s-au cumpărat 18 caiete de 50 și respective 80 de file. Câte

caiete sunt de fiecare fel?

6. Alex crește porumbei și iepuri, în total 51 de capete și 132 de picioare . Câți

porumbei și câți iepuri are Alex?

7. Cinci automobile parcurg undrum cu vitezele de 80 km/h sau 75 km/h. După o

oră cele cinci automobile au parcurs 395 km. Să se determine câte automobile au

mers cu viteza de 75km/h și câte cu viteza de 80 km/h.

26

II. 5. METODA MERSULUI INVERS

Problemele care se rezolvă prin această metodă sunt în aşa fel alcătuite

încât relaţiile dintre date (mărimi) sunt prezentate într-o ordine succesivă, iar

dacă s-ar aplica ordinea naturală a calculelor, raţionamentele ar fi greoaie. Se

aplică atunci metoda mersului invers care constă în folosirea datelor problemei

în ordine inversă. Aşadar, pentru a stabili soluţia unei astfel de probleme se

analizează ultima relaţie faţă de penultima, penultima faţă de cea care a precedat-

o şi aşa mai departe, până se ajunge la prima relaţie prezentată în problemă.

Acestea sunt de fapt problemele care se rezolvă cu ajutorul unui exerciţiu

care este o ecuaţie de gradul întâi cu o necunoscută, dar care se rezolvă prin

raţionament aritmetic.

EXEMPLE

1. Un călător are de făcut un drum. În prima zi merge o distanţă de 4

ori mai mică decât drumul, a doua zi merge o distanţă de 3 ori mai mică

decât mai avea de mers, a treia zi jumatate din ce-i mai rămăsese, iar a

patra zi 50 de kilometri. Să se afle lungimea drumului.

REZOLVARE:

- În a patra zi călătorul merge 50 kilometri.

- În a treia zi, ţinând seama de enunţ aflăm că merge tot 50 kilometrii (jumătatea

rămasă fiind 50 kilometri)

- Cum aflăm cât a mers a doua zi?

- A doua zi merge o treime din cât mai avea de mers. Înseamnă că ziua a treia şi a

patra reprezintă două treimi adică 100 kilometri. Deci a doua zi merge 50

kilometri (dacă două treimi sunt 100 km, o treime reprezintă 50 km).

- Aflăm cât a mers călătorul în cele 3 zile .

50 + 50 + 50 = 150 km

Cum aflăm cât a mers prima zi?

Prima zi a mers o pătrime din drum.Înseamnă că trei pătrimi reprezintă restul

drumului (cei 150 km). Deci, o pătrime este 150: 3=50 km, drumul parcurs

prima zi.

Aflăm acum lungimea drumului

50 + 50 + 50 + 50 = 200 km

2. Trei drumeţi au intrat într-un han şi au cerut să li se pregătească

nişte cartofi. Între timp au adormit. Primul care s-a trezit a mâncat a treia

parte din cartofii de pe masă şi s-a culcat iarăşi. Când s-a trezit al doilea,

crezând că e primul care mănâncă, a mâncat a treia parte din cartofii

rămaşi şi s-a culcat. În sfârşit, când s-a trezit al treilea drumeţ a mâncat şi el

27

a treia parte din cartofii rămaşi şi a adormit. Dimineaţa s-au lămurit. Pe

masă mai erau 8 cartofi. Câţi cartofi au fost, la început pe masă?

REZOLVARE:

Începem de la ultimul drumeţ şi cum el a mâncat o treime din cartofii rămaşi,

înseamnă că cei 8 cartofi ce i-au găsit ultima dată, reprezintă două treimi. Aşadar,

o treime înseamnă 8: 2= 4 cartofi, deci ultimul drumeţ găsise pe masă 8+4=12

cartofi.

Aceştia, adică cei 12 cartofi au fost lăsaţi de al doilea drumeţ şi reprezintă

două trimi din cât găsise el pe masă. Prin urmare, treimea mâncată de el

reprezintă 12: 2= 6 cartofi. Rezultă că el găsise pe masă 12+6=18 cartofi, iar

aceştia reprezintă două treimi din ce adusese hangiul. Treimea mâncată de primul

drumeţ era de 18 : 2 = 9 cartofi.

Deci, în total au fost 9 x 3 = 27 cartofi.

3. Alegem un număr x, îl înmulţim cu 4, la rezultat adunăm 23, suma

obţinută o împărţim la 7, la cât adunăm 1 şi obţinem numărul 10.

Ce număr am ales?

REZOLVARE:

Enunţul se scrie pe scurt astfel:

(x ∙ 4+23) : 7+1 = 10

Cunoscând suma a doi termeni, atunci unul dintre ei va fi egal cu diferenţa dintre

sumă şi celălalt termen, deci avem:

(x ∙ 4+23) : 7 = 10-1

(x ∙ 4+23) : 7 = 9

Cunoscând împărţitorul şi câtul, aflăm uşor deîmpărţitul:

x ∙ 4+23= 9x7

x ∙ 4+23=63

Cunoscând suma a doi termeni şi pe unul dintre ei, aflăm celălalt termen:

x ∙ 4=63-23

x ∙ 4=40

Cunoscând produsul a doi factori şi pe unul dintre ei, aflăm celălalt factor:

x = 40 : 4

x = 10

4. O bătrână vinde nuci la trei cumpărători. Primului îi vinde o cincime

din nuci şi încă 24, celui de-al doilea o pătrime din rest şi încă 24 nuci iar

celui de-al treilea o treime din noul rest şi ultimele 24 nuci.

Câte nuci a avut bătrâna la început?

REZOLVARE:

Începem de la ultimul cumpărător.

Considerăm un întreg restul de nuci care a rămas să-l vândă ultimului

cumpărător.

28

Cum i-a vândut o treime şi au rămas 24 nuci, înseamnă că cele 24 nuci vor

reprezenta două treimi, deci o treime 24 : 2 = 12 nuci, ultimului cumpărător i-a

vândut 24 + 12 = 36 nuci.

Celui de-al doilea i-a vândut o pătrime din rest şi încă 24.

Considerând şi acest rest un întreg, rezultă că trei pătrimi (care completează

întregul) sunt formate din 24 + 36 = 60 nuci.

Deci o pătrime reprezintă 60 : 3 = 20 nuci.

Celui de-al doilea i-a vândut 20 + 24 = 44 nuci .

Considerăm întregul acum numărul total de nuci, primului îi vinde o cincime iar

cele patru cincimi care formează întregul, sunt formate din 24 + 44 + 36 = 104

nuci.

O cincime reprezintă 104 : 4 = 26 nuci.

Primului cumpărător i-a vândut 26 + 24 = 50 nuci.

50 + 44 + 36 = 130 nuci a avut bătrâna la început.

PROBLEME PROPUSE

1. O cantitate de mere a fost împărțită la 3 grădinițe de copii. Prima

grădiniță a primit ½ din întreaga cantitate minus 150 kg, a doua 3/5 din rest, iar a

treia 452 kg de mere.

Care a fost întreaga cantitate de mere ?

2. Dacă mărim sfertul unui număr de 3 ori, produsul îl micșorăm cu 20, iar

restul îl micșorăn de 7 ori, obținem numărul 10.

Aflați numărul inițial!

3. Un elev cheltuiește o sumă de bani după cum urmează: în prima zi

jumătate din sumă , a doua zi un sfert din rest, iar a treia zi o treime din noul rest,

iar a patra zi jumătate din din noul rest.

Știind că elevului i-au mai rămas 125 de lei, să se determine ce sumă a

avut elevul.

4. Mama are un număr de bomboane . Ea dă fiicei sale, Alina, un sfert din

numărul bomboanelor și încă 5 bomboane, iae fiului său, Sorin , jumătate din

numărul bomboanelor și încă 5 bomboane.

Știind că i-au rămas 30 de bomboane , câte bomboane a avut mama.

5. Considerăm un număr pe care îl adunăm cu 1. Suma obținută o înmulțim

cu 2. Produsul astfel obținut îl înmulțim cu 3. Rezultă o nouă sumă pe care o

înmulținm cu 4. Știind că jumătatea acestui ultim produs este 10, se cere numărul

considerat la început.

6) [a x 2 + ( 111 – 202 : 2 ) ] x 2 = 160

29

III. PRINCIPII FOLOSITE ÎN REZOLVAREA

PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

III. 1. PRINCIPIUL LUI DIRICHLET

Există în matematică problem neelementare care pot fi rezolvate elementar.

Principiul lui Dirichlet numit și ,,principiul cutiei,, este o metodă care are

la bază o experiență din copilărie, cu precizarea că denumirea de „cutie”

desemnează „grupe de obiecte” stabilite după anumite criterii, iar „obiectele”

desemnează lucruri, numere, figuri geometrice distanţate.

Gustav Dirichlet fiind un copil foarte serios ,ordonat și obișnuit să

respecte niște reguli era foarte intrigat că cei 7 iepurași nu respectau nicio regulă

în alegerea cuștii în care se retrăgeau noaptea. Suparat a afirmat :

,,Oricum am așeza 7 iepuri ,în 3 cuști identice,cel puțin una va conține mai mult

de 2 iepuri ,,

De fapt el a enunțat unul din cele mai importante principii matematice

moderne.

„Dacă reprezentăm n+1 obiecte în n cutii, atunci cel puţin două obiecte

vor fi în aceeaşi cutie”.

Justificare

Considerăm cazul cel mai nefavorabil aşezând în fiecare cutie câte un

obiect.

Deci am folosit n cutii şi n obiecte.

Obiectul cu numărul n+1 trebuie pus şi el într-o cutie oarecare. Dar în acea

cutie există deja un obiect. Deci, în acea cutie vor fi două obiecte.

Forma generală a principiului lui Dirichlet este următoarea:

„Dacă aşezăm kn+1 obiecte în n cutii, atunci cel puţin k+1 obiecte, kєN, vor

fi în aceeaşi cutie”.

EXEMPLE

1. Este posibil sa punem 36 de bile ,în 8 cutii ,astfel încât în fiecare

cutie să fie cel puțin o bilă și să nu existe două cutii cu același număr de

bile?Dar 9 în 4 cutii?

REZOLVARE:

Cazul optim:

1+2+3+4+5+6+7+8=36

Punem în fiecare cutie câte un număr crescător fată de anterioara până

ajungem la ultima,deci calculând este posibil.

30

Al II lea caz:

1+2+3+4=10, deci calculând este imposibil, deoarece sunt 9 bile deci în 2 cutii

vor fi un număr identic de bile.

2. Demonstraţi că oricare ar fi 12 numere naturale distincte de 2 cifre,

dintre acestea se pot alege două a căror diferenţă este un număr format din

două cifre identice.

REZOLVARE:

Un număr format din două cifre identice este de forma aa .

n = aa ; n = 11 – a; 1 9a .

Din împărţirea unui număr la 11, restul va fi: 0, 1, 2, … 10 – deci 11 numere.

Din cele 12 numere rezultă că prin împărţirea la 11, vom avea două care vor da

acelaşi rest.

Fie aceste două numere,

xy şi zt

xy = k1 · 11 + r

zt = k2 · 11 + r

xy - zt = 11(k1 - k2)

Fie k1 – k2 = k,

Deci există un număr k < 10. (câtul obţinut prin împărţirea la 11 este mai mic

decât 10, altfel numărul ar avea mai mult de 2 cifre).

Deci xy - zt = 11 · k = kk

3. Într-o clasă 18 elevi vorbesc limba germană, 15 elevi vorbesc limba

franceză, iar 7 elevi vorbesc limba germană şi limba franceză. Câţi elevi

sunt în clasă?

REZOLVARE:

18+15-7=26

În clasă sunt 26 elevi.

4.Într-o urnă sunt 12 bile roșii,30 bile albastre, și 65 de bile galbene.Fără a

ne uita în urnă:

a)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a fi

siguri ,că am luat cel puțin o bilă albastră?

b)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a fi

siguri ,că am luat cel puțin o bilă roșie?

c)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a fi

siguri ,că am luat cel puțin o bilă de fiecare culoare?

d)Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să le extragem ,pentru a fi

siguri ,că am luat cel puțin 3 bile de aceeași culoare?

31

REZOLVARE:

a) 12 roșii +65 galbene+ 1 albastră= 78 bile total

b) 65 galbene + 30 albastre+ 1 roșie= 96 bile total

c) 65 galbene + 30 albastre+ 1 roșie= 96 bile total

d) 2 roșii +2 albastre +2 galbene+ 1(din oricare culoare)= 7 bile total

PROBLEME PROPUSE

1. Într-o clasă cu 24 de elevi ,10 elevi joacă fotbal, 12 elevi joacă baschet

iar 8 elevi joacă volei. Se ştie că 2 elevi joacă şi fotbal şi baschet, 3 elevi joacă

şi baschet şi volei, iar 2 elevi joacă şi fotbal şi volei.

Arătaţi că există cel puţin un elev care joacă şi fotbal şi baschet şi volei.

2. Magicianul are în pălărie șoareci :16 gri, 6 negri, 8 albi. Care este cel

mai mic număr de șoareci pe care trebuie să-l scoată din pălărie ,legat la

ochi,pentru a fi siguri ,că cel puțin un șoarece din fiecare culoare ,a ieșit din

pălărie?

32

IV. TIPURI DE RAŢIONAMENTE FOLOSITE ÎN

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

IV. 1. REDUCEREA LA ABSURD

Metoda reducerii la absurd este una din metodele generale de rezolvare a

problemelor de matematică.

La baza metodei reducerii la absurd stă legea terţului exclus, care se enunţă

astfel: dintre două propoziţii contradictorii, una este adevărată, cealaltă falsă iar a

treia posibilitate nu există. Din enunţ se vede că legea (principiul) terţului exclus

ne spune că din două propoziţii contradictorii una este adevărată, dar nu ne

precizează care din cele două propoziţii este adevărată şi care e falsă. De aceea,

în practică, atunci când la două propoziţii contradictorii aplicăm legea terţului

exclus este suficient să stabilim că una dintre ele este falsă pentru a deduce că

cealaltă este adevărată.

Demonstraţiile prin reducere la absurd se utilizează atunci când trebuie să

se arate că propoziţia care e in contradicţie cu cea pe care trebuie să o

demonstrăm este falsă.

Astfel, dacă vrem să demonstrăm (să stabilim) propoziţia “dacă există A, există

şi B”, presupunem că ea este falsă şi prin urmare, este adevărată propoziţia “dacă

există A, B poate să nu existe”, apoi demonstrăm că această ultimă propoziţie

duce la o absurditate. Cum nu este posibil să admitem lipsa lui B atunci când

există A, rezultă că A condiţionează existenţa lui B şi deci, propoziţia” dacă

există A există şi B „este adevărată.Altfel spus, reducerea la absurd constă în a

presupune concluzia falsă (neadevărată) şi a deduce bazat pe aceasta, pe ipoteză,

pe axiome şi teoreme cunoscute ca adevărate un fapt care contrazice un rezultat

cunoscut, o teoremă sau o axiomă.

Aceasta ne permite să judecăm astfel: concluzia problemei date nu poate fi

falsă deoarece aceasta ar conduce la un rezultat absurd (contradictoriu), deci

concluzia este adevărată.

Din cele menţionate mai sus, se vede că metoda reducerii la absurd nu se

reduce la propoziţia că a demonstra o propoziţie este acelaşi lucru cu a demonstra

contrara reciprocei ei, deoarece pot apărea şi situaţii in care nu se contrazice

ipoteza, ci o altă propoziţie (un rezultat cunoscut, o teoremă sau o axiomă).

Metoda reducerii la absurd se intrebuinţează de multe ori in demonstrarea

teoremelor reciproce, precum şi in demonstrarea teoremelor de unicitate.

Reducerea la absurd se utilizează atât la rezolvarea problemelor” de aflat”, adică

a celor de calcul, cât şi la rezolvarea problemelor”de demonstrat”.

EXEMPLE

1. Suma a zece numere naturale nenule este 54. Arătaţi că printre ele

se află cel puţin două numere egale.

33

REZOLVARE

Presupunem că ar exista zece numere naturale nenule distincte cu suma 54.

Atunci, dacă le considerăm pe cele mai mici suma lor este:

S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Cum suma celor mai mici zece numere naturale distincte este mai mare decât

suma dată, 54, rezultă că presupunerea făcută este falsă. Aşadar, printre numerele

considerate există cel puţin două numere egale.

2. Să se arate că dacă suma a cinci numere naturale nenule distincte este

27, atunci printre ele se află cel puţin un număr prim.

REZOLVARE

Presupunem că printre cele cinci numere naturale distincte nu s-ar afla nici un

număr prim. Atunci, dacă le considerăm pe cele mai mici, suma lor este:

1+4+6+8+9=28

Dar, aceasta contrazice ipoteza, deci printre ele se află cel puţin un număr prim.

3. Să se arate că dacă suma a zece numere naturale nenule distincte este

108, atunci printre ele se află cel puţin două numere impare.

REZOLVARE

Presupunem că toate cele zece numere naturale nenule sunt pare. Atunci, dacă le

considerăm pe cele mai mici, suma lor este:

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110 ceea ce contrazice ipoteza

Deci, printre cele zece numere considerate există cel puţin unul impar. Dar dacă

unul singur este impar atunci suma lor este impară şi cum suma lor este pară,

rezultă că cel puţin doi termeni sunt impari.

4. Să se arate că nu există numere naturale care impărţite la 5 să dea

restul 1 şi impărţite la 10 să dea restul 5.

REZOLVARE

Presupunem că ar exista n ,număr natural,astfel încât n=5q+1, cu q număr natural

şi n=10p+5, cu p număr natural (am efectuat proba la împărţire).

Atunci ar urma ca 5q+1=5(2p+1), relaţie falsă şi astfel problema este rezolvată.

34

BIBLIOGRAFIE

1. I. Neacșu , M. Gălățeanu, P.Predoi,

„Didactica Matematicii în învățământul primar”

Editura AIUS Craiova, 2001

2. C.Cărbunaru, M.Singer și alții

„Culegere de probleme de matematică cls, IV-VII”

Editura Sigma, București, 1990

3. Buşneag, D., Maftei, I.,

„Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor,”

Editura Scrisul Românesc, Craiova,1983

4. Constantinescu, D., Dumitrescu., P., Smărăndoiu, Şt.,

„Probleme de matematică pentru clasele III-IV”

Editura „Şcoala cu ceas”, Rm. Vâlcea

5. Dan, C.T., Chiosa, S.T.,

“Didactica matematicii”

Editura Universitaria, Craiova, 2008

6. Gardin, F.,Gardin, M.,

“Matematica în concursurile şcolare”

Editura Delta Cart Educaţional, 2014

7. Perianu, M., Roşu, I., Săvulescu, D.,

“Matematica pentru clasa a V-a 2013”

Editura Clubul Matematicienilor

8. Vîrtopeanu, I.,Vîrtopeanu, O.,

“Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică elementară”

Editura Sitech Craiova,1998

9.Ștefan Smărăndoiu

“ Magia performanțelor.Magia numerelor metode și tehnici de rezolvare“

Editura Scoala cu Ceas-Râmnicu –Vâlcea, 2010

10. www.viitoriolimpici.ro

11. www. didactic.ro

35

CUPRINS

INTRODUCERE 2

I . NOȚIUNI TEORETICE

I. 1 NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ 3

I. 2 REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE 4

I. 3 ETAPELE REZOLVĂRII UNEI PROBLEME 5

II. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR TIPICE

II. 1. METODA FIGURATIVĂ 7

II. 2. METODA GRAFICĂ

II. 2. 1. SUMĂ ŞI DIFERENŢĂ 11

II. 2. 2. SUMĂ ŞI RAPORT 13

II. 2. 3. DIFERENŢĂ ŞI RAPORT 13

II. 2. 4. DUBLU RAPORT 14

II. 2. 5. PROBLEME ÎN CARE INTERVIN FRACŢII DINTR-UN

ÎNTREG 15

II. 3. METODA REDUCERII LA UNITATE

II. 3. 1. MĂRIMI DIRECT PROPORŢIONALE 17

II. 3. 2. MĂRIMI INVERS PROPORŢIONALE 18

II. 3. 3. REGULA DE TREI SIMPLĂ 20

II. 3. 4. REGULA DE TREI COMPUSĂ 21

II. 4. METODA FALSEI IPOTEZE 24

II. 5. METODA MERSULUI INVERS. 26

III. PRINCIPII FOLOSITE ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR

DE MATEMATICĂ

III. 1. PRINCIPIUL LUI DIRICHLET 29

IV. TIPURI DE RAŢIONAMENTE FOLOSITE ÎN

REZOLVAREA PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

IV. 1. REDUCEREA LA ABSURD 32

BIBLIOGRAFIE 34

36