mers de calcul bobina de c.c final

CALCULUL UNUI ELECTROMAGNET DE CURENT CONTINUU DE TIP

U-I CU MIŞCARE DE TRANSLAŢIE

Condiţii tehnice de funcţionare:

- Funcţionare normal, acţionat, la (0,85 – 1,05) Un;

- Menţinere, chiar cu vibraţii, a armăturii mobile în poziţia acţionat la scăderea tensiunii

de alimentare la 0,7 Un;

- Eliberarea armăturii mobile din starea “acţionat” la scăderea tensiunii de alimentare la

(0,15 – 0,35) Un.

Date nominale de proiectare:

- Tensiunea nominala, Un = 24 V, 48 V, 110 V, 220 V cc

- Durata de conectare, DC = 1 ; 0,6 ; 0,4 etc.

- Temperatura ambiantă, θa = 35o C;

- Mediu: normal, industrial, coroziv, marin;

- Forţa rezistentă iniţială minimă: FR0 = (10 – 100) N;

- Forţa rezistentă iniţială maximă: FR1 = 2 * FR0 ;

- Valoarea întrefierului iniţial: δ0 = (5 – 10) mm.

Etape de calcul ale electromagnetului

1. Calculul preliminar al miezului feromagnetic (bobină pe miez cilindric sau bobină pe

miez rectangular)

2. Calculul preliminar al bobinei electromagnetului

3. Evaluarea caracteristicii electromecanice a electromagnetului, F(δ)

4. Evaluarea comportării în regim dinamic a armăturii electromagnetului.

5. Calculul rezistenţei economizoare

Proiect la Aparate Electrice

ETAPA 1 – Calculul preliminar al miezului feromagnetic de formă cilindrică

Se consideră în Figura 1 schema miezului feromagnetic de formă cilindrică, cu dimensiunile principale, pe care va fi poziţionată bobina.

Figura 1 – Miez feromagnetic de formă cilindrică a electromagneţilor

Pentru început de adoptă materialul feromagnetic al miezului (tablă silicioasă) pentru care se cunoaşte caracteristica de magnetizare B(H) – vezi Anexa 1.

Se consideră condiţiile tehnice de funcţionare pentru electromagneţii de curent continuu, la care cele mai grele condiţii de acţionare sunt pentru:

U = 0.85 Un (1). Forţa activă rezultantă Frez ce acţionează asupra armăturii mobile a electromagnetului este:Frez = 2 F (2),

unde F este forţa de atracţie la nivelul unei perechi de piese polare de secţiune transversală cilindrică, S :


(3).

In figura 2 se completează Figura 1 cu dimensiunile corespunzătoare amplasării bobinei pe miezul feromagnetic cilindric.

Figura 2 – Amplasarea bobinei electromagnetului de c.c. pe miez cilindric

Corespunzător secţiunii S se defineşte o forţă de calcul Fc:

(4),

unde ksig este coeficientul de siguranţă a acţionării, cu valori cu atât mai mari cu cât timpii de acţionare sunt mai mici şi respective apropiate de unitate pentru electromagneţi de reţinere (macarale, maşini unelte pentru forma pieselor de prelucrat etc.).

Condiţia de calcul a secţiunii transversale a miezului ţine seama de acţionarea la tensiunea U (relaţia 1), care va genera doar 0.85 din inducţia magnetică în [T], după cum urmează:

(5).Inducţia magnetică iniţială în întrefier se alege Bδ0 = (0.1 – 0.3) T, cu valori cu atât mai mari

cu cât întrefierul iniţial, δ0, este mai mic. In mod normal δ0 = (5 – 10) mm. Permeabilitatea vidului (aerului) are valoarea μ0=4 π 10-7 [H/m]. Dimensiunile secţiunii miezului rezultă în m2, care este indicat să fie transformaţi în mm2. In cazul electromagneţilor de curent continuu miezul feromagnetic are adesea formă cilindrică şi se realizează prin turnare, coloanele cilindrice de


F=B2 S2 μ0

⇔ S=π d2

4=

2 μ0 F

B2

Fc=ksig⋅FR 0

2, unde ksig= (1 .1÷ 1 .5 )

k sig⋅FR 0

2=

(0. 85⋅Bδ 0)2 S

2 μ0

⇔ S=π d2

4=

k sig⋅FR 0⋅μ0

(0 . 85⋅Bδ 0)2⇔d=√ 4 k sig⋅FR 0⋅μ0

π (0 . 85⋅Bδ 0 )2

diametru d fiind fixate pe porţiuni rectangular de grosime “a” şi terminându-se cu piese polare având diametrul dp, vezi Figura 1, Figura 2.

Diametrul dp al piesei polare, ce foloseşte la uniformizarea liniilor de camp în zona întrefierului, compensează efectul de umflare a liniilor de camp magnetic şi are valoarea:

dp = 1.2 d (6).Inălţimea pieselor polare, hp, rezultă din condiţia de a nu satura miezul în secţiunea (π d hp),

şi se calculează cu relaţia:

(7).

Acelaşi raţionament referitor la secţiunea critica a miezului impune grosimea “a” a traversei rectangulare:

(8),

iar dimensiunea “b” rezultă din condiţia:

(9).

Miezul de formă rectangular al traversei se realizează de obicei din tole de grosime gt = 0.35 mm sau gt= 0.5 mm, împachetate cu tole marginale mai groase, de valoare gtm = 0.8 mm sau gtm = 1 mm, astfel încât numărul de tole, nt, rezultă:

(10).

Coeficientul ki = (0.8 – 1) este numit de “împachetare” tole şi ţine cont de limitarea curenţilor turbionari în tolele izolante. Se adoptă nt aproximat cu întregul imediat superior.

Pentru definirea preliminară a dimensiunilor axiale ale miezului feromagnetic se calculează căderea de tensiune magnetică pe întrefierurile miezului:

(11).

Piesele polare folosesc (la montarea cu filet) şi pentru fixarea bobinei (a semibobinelor) pe miez.

Se evaluează solenaţia, ₣c ce trebuie dezvoltată de bobina electromagnetului ca fiind:

(12),

Unde α = 0.2 – 0.35 ţine seama de contribuţia căderii de tensiune magnetică pe miezul de fier, dar şi de dispersie, cu atât mai mare cu cât δ0 este mai mare. Pentru calculul dimensiunilor axiale ale miezului, vezi figura precedenta, se considera ecuaţia de bilanţ termic al bobinei, care realizată cu conductor cupru – email, clasă de izolaţie E, are temperatura maximă 120 oC şi supratemperatura medie, υm = 40 – 45 oC:


π d2

4≈π d hp ⇔ hp≈

d4

π d2

4≈π d a ⇔ a≈d

4

π d2

4≈a⋅b ⇔ b≈ π⋅d > d p

nt=

bk i

−2 gtm

gt

Um δ 0=2⋅ℜδ 0⋅Φδ 0

ℜδ 0=δ0

μ0 S p

, Φδ 0=Bδ 0 S p=Bδ 0

π d p2

4

⇒ Um δ 0=2 δ0 Bδ 0

μ0

Fc=Um δ 0

1−α

(13), unde Rb este rezistenţa electrică a bobinei:

(14).

Rezistivitatea cuprului la temperatura de lucru a bobinei, ρ este:

(15).

lm este lungimea medie a unei spire a bobinei:

(16),

unde Di este diametrul interior al bobinei, iar De – diametrul exterior al bobinei, vezi Figura 2.

(17).

unde jc = 1 – 1.5 mm este jocul de montaj al carcasei bobinei, jv = 3 – 5 mm jocul de ventilaţie,gc = 1.5 – 2 mm grosimea carcasei de plastic (ebonită),gbob ≤ c – d – jv grosimea bobinei, care se alege la limită după calculul lui c,N – numărul de spire al bobinei,SCu – secţiunea conductorului de bobinaj,SF – secţiunea ferestrei miezului feromagnetic,kt = (4 – 8) [W/m2 oC] – coeficientul de transmitere al căldurii de la bobină către mediul

ambient, pe suprafaţa de răcire Sr şi la supratemperatura υmed,t = (4 – 8) – raportul dintre înălţimea (hb) şi lătimea (lb) a bobinei, pentru o bobină de tip

înalt, folosită de obicei în curent continuu,ku=0.7 – 0.9 este factorul de umplere al bobinajului în fereastra miezului.Suprafaţa de răcire Sr se consideră dublul secţiunii medii a bobinei (considerând şi hb –

înălţimea bobinei):

(18).

Folosind cele precizate anterior în relaţia (13) se obţine succesiv:


Rb I b2 DC= k t Sr ϑm

Rb=ρ lm N

SCu

ρ= ρ0 [1+ αCu (ϑ m+θa )]αCu=4 .3⋅10−3 [1 /o C ] , ρ0=1. 58⋅10−8 [Ω m ]

lm=π (Di+D e )

2

Di=d+2 jc + 2 gc

D e=Di+ 2 gbob

Sr=2 Sm=2π ( Di+De )

2hb

(19).

Se determină dimensiunile hF – înălţimea ferestrei şi c – distanţa dintre axele de simetrie ale pieselor polare cu relaţiile de aproximare:

(20).

Se apreciază lungimea armăturii mobile cu relaţia:

(21).

Cu ajutorul mărimilor anterioare (dimensiuni axiale) se defineşte lungimea de fier, lFe, ca fiind:

(22).

Se poate alege o valoare preliminară a diametrului conductorului de Cu folosit pentru bobinaj, dCu:

(23).

In raport cu valoarea calculată prin relaţia (23) se alege din Anexa 2 valoarea imediat superioară standardizată (dCu) şi valoarea standardizată a diametrului firului de cupru cu izolaţie (dCu

iz).

Preconizând funcţionarea miezului magnetic în punctul optim (vezi Figura 3), se va calcula indicatorul tg β de forma:

(24).

Considerând caracteristica de magnetizare a materialului miezului feromagnetic, B(H), se identifică punctul M, pe caracteristica I, în care tangenta la curba de magnetizare face unghiul β cu


Rb N I b2 DC

N=

ρ lm (N I b)2 DC

N SCu

=ρ π ( Di+De )2

⋅F

c2

ku SF

N I b=Fc , N SCu=ku SF , S F=hb lb=t hb2

⇒

ρ π (Di+D e )2

⋅F

c2

ku SF

=hb π (Di+De ) k t ϑ med ⇒

hb=3√ ρ Fc

2 DC t

2 ku k t υmed

lb=3√ ρ Fc

2 DC

2 ku k t υmed t2

hb≃hF−hp−2 gc ⇔hF=hb+hp+2 gc

l b=c−d− jc− jv ⇔ c=lb+d+ jc+ jv

la=d p

2+ c +

d p

2= d p+c

lFe=2 (lb+ jv+ jc+gc+d+hb+hp+a )

Fc=N I=NUn

Rb

=NUn SCu

ρ lm N=

Un π dCu2

2 ρ (Di+D e ) π⇒dCu=√ 2 Fc ρ ( Di+De )

Un

tg β=lFe

S ℜδ 1

⋅k H

k B

ℜδ 1=δ1

μ0 S

⇒β=arctgμ0 lFe k H

δ 1 k B

orizontala, punct ce defineşte valorile inducţiei magnetice în miez, BFe, respective ale intensităţii câmpului magnetic, HFe, ce se notează pentru etapele viitoare ale proiectului.

Figura 3 – Identificarea punctului optim de funcţionare şi a parametrilor corespunzători acestuia

Se defineşte şi punctual A, de abscisă f [A/m], cu ajutorul căruia se calculează solenaţia ce trebuie produsă de bobină:

(25),cu observaţia că acest calcul se încheie dacă valorile propuse pentru Fc şi cele ce rezultă din relaţia (25) pentru Fb nu diferă cu mai mult de (10 – 20)%. In caz contrar calculul se reia de la adoptarea valorilor pentru Fc.

In concluzie calculul preliminar al miezului feromagnetic defineşte: - Dimensiuni ale secţiunii transversal a miezului;

- Dimensiuni axiale ale miezului;

- Solenaţia bobinei, Fb, pentru calculul bobinei;

- Diametrul preliminar al conductorului de cupru, cu şi fără izolaţie (dCu iz, dCu).


Fb =f ⋅lFe

ETAPA 1’ – Calculul preliminar al miezului feromagnetic de formă rectangulară

Se consideră în Figura 1’ schema miezului feromagnetic de formă rectangulară, cu dimensiunile principale, pe care va fi amplasată bobina.

Figura 1’ – Electromagnet de c.c. cu miez rectangular

Pentru început de adoptă materialul feromagnetic al miezului (tablă silicioasă) pentru care se cunoaşte caracteristica de magnetizare B(H) – vezi Anexa 1.

Se consideră condiţiile tehnice de funcţionare pentru electromagneţii de curent continuu, la care cele mai grele condiţii de acţionare sunt pentru:

U = 0.85 Un (1’). Forţa activă rezultantă Fr ce acţionează asupra armăturii mobile a electromagnetului este:Frez = 2 F (2’),

unde F este forţa de atracţie la nivelul unei perechi de piese polare de secţiune transversală cilindrică, S :

(3’).

Corespunzător secţiunii S se defineşte o forţă de calcul Fc:


F=B2 S2 μ0

⇔ S=a⋅b=2 μ0 F

B2

(4’),

unde ksig este coeficientul de siguranţă a acţionării, cu valori cu atât mai mari cu cât timpii de acţionare sunt mai mici şi respectiv apropiate de unitate pentru electromagneţi de reţinere (macarale, maşini unelte pentru forma pieselor de prelucrat etc.).

Condiţia de calcul a secţiunii transversale a miezului ţine seama de acţionarea la tensiunea U (relaţia 1’), care va genera doar 0.85 din inducţia magnetică în [T], după cum urmează:

(5’).Inducţia magnetică iniţială în întrefier se alege Bδ0 = (0.1 – 0.3) T, cu valori cu atât mai mari

cu cât întrefierul iniţial, δ0, este mai mic. In mod normal δ0 = (5 – 10) mm. Permeabilitatea vidului (aerului) are valoarea μ0=4 π 10-7 [H/m]. Dimensiunile secţiunii miezului rezultă în m2, care este indicat să fie transformaţi în mm2. Secţiunea transversală se apropie de forma pătrată:

b ≈ 1.1 ·a (6’).In urma calculelor “a” se alege ca număr întreg, exprimat în [mm].Miezul de formă rectangulară se realizează de obicei din tole de grosime gt = 0.35 mm sau

gt= 0.5 mm, împachetate cu tole marginale mai groase, de valoare gtm = 0.8 mm sau gtm = 1 mm, astfel încât numărul de tole, nt, rezultă:

(7’).

Coeficientul ki = (0.8 – 1) este numit de “împachetare” tole şi ţine cont de limitarea curenţilor turbionari în tolele izolante. Se adoptă nt aproximat cu întregul imediat superior.

Pentru definirea preliminară a dimensiunilor axiale ale miezului feromagnetic se calculează căderea de tensiune magnetică pe întrefierurile miezului:

(8’).

Se evaluează solenaţia, ₣c ce trebuie dezvoltată de bobina electromagnetului ca fiind:

(9’),

Unde α = 0.2 – 0.35 ţine seama de contribuţia căderii de tensiune magnetică pe miezul de fier, dar şi de dispersie, cu atât mai mare cu cât δ0 este mai mare. Pentru calculul dimensiunilor axiale ale miezului, vezi figura precedent, se consider ecuaţia de bilanţ termic al bobinei, care realizată cu conductor cupru – email, clasă de izolaţie E, are temperatura maximă 120 oC şi supratemperatura medie, υm = 40 – 45 oC:

(10’),

unde Rb este rezistenţa electrică a bobinei:


Fc=ksig⋅FR 0

2, unde ksig= (1 .1÷ 1 .5 )

k sig⋅FR 0

2=

(0. 85⋅Bδ 0)2 S

2 μ0

⇔ S=a⋅b=k sig⋅FR 0⋅μ0

(0 . 85⋅Bδ 0)2

nt=

bk i

−2 gtm

gt

Um δ0=2⋅ℜδ0⋅Φδ 0

ℜδ 0=δ0

μ0 S, Φδ 0=Bδ 0 S=Bδ 0 a b

⇒ U m δ 0=2 δ0 Bδ 0

μ0

Fc=Um δ 0

1−α

Rb I b2 DC= k t Sr ϑm

(11’).

Rezistivitatea cuprului la temperatura de lucru a bobinei, ρ este:

(12’).

lm este lungimea medie a unei spire a bobinei:

(13’),

unde Di este diametrul interior al bobinei, iar De – diametrul exterior al bobinei, vezi Figura 1’.

(14’).

unde jc = 1 – 1.5 mm este jocul de montaj al carcasei bobinei, jv = 3 – 5 mm jocul de ventilaţie,gc = 1.5 – 2 mm grosimea carcasei de plastic (ebonită),gbob ≤ c – jc – jv grosimea bobinei,N – numărul de spire al bobinei,SCu – secţiunea conductorului de bobinaj,SF – secţiunea ferestrei miezului feromagnetic,kt = (4 – 8) [W/m2 oC] – coeficientul de transmitere al căldurii de la bobină către mediul

ambient,pe suprafaţa de răcire Sr şi la supratemperatura υmed,t = (4 – 8) – raportul dintre înălţimea (hb) şi lătimea (lb) a bobinei, pentru o bobină de tip

înalt, folosită de obicei în curent continuu,ku=0.7 – 0.9 este factorul de umplere al bobinajului în fereastra miezului.Suprafaţa de răcire Sr se consider dublul secţiunii medii a bobinei (considerând şi hb –

înălţimea bobinei):

(15’).

Folosind cele precizate anterior în relaţia (10’) se obţine succesiv:

(16’).


Rb=ρ lm N

SCu

ρ= ρ0 [1+ αCu (ϑ m+θa) ]αCu=1. 58⋅10−8 [Ω m ]

lm=π (Di+D e )

2

Di=a+2 jc + 2 gc

De=Di+ 2 gbob

Sr=2 Sm=2π ( Di+De )

2hb

Rb N I b2 DC

N=

ρ lm (N I b)2 DC

N SCu

=ρ π ( Di+De )2

⋅F

c2

ku SF

N I b=Fc , N SCu=ku SF , S F=hb lb=t hb2

⇒

ρ π (Di+D e )2

⋅F

c2

ku SF

=hb π (Di+De ) k t ϑ med ⇒

hb=3√ ρ Fc

2 DC t

2 ku k t υmed

lb=3√ ρ Fc

2 DC

2 ku k t υmed t2

Se detemină dimensiunile hF – înălţimea ferestrei şi c – distanţa dintre coloanele armăturii fixe cu relaţiile de aproximare:

(17’).

Lungimea armăturii mobile, la, va fi:

(18’).Cu ajutorul mărimilor anterioare (dimensiuni axiale) se defineşte lungimea de fier, lFe, ca

fiind:(19’).

Se poate alege o valoare preliminară a diametrului conductorului de Cu folosit pentru bobinaj, dCu:

(20’).

In raport cu valoarea calculată prin relaţia (20’) se alege din Anexa 2 valoarea imediat superioară standardizată (dCu) şi valoarea standardizată a diametrului firului de cupru cu izolaţie (dCu

iz).Preconizând funcţionarea miezului magnetic în punctul optim (vezi Figura 3), se va calcula

indicatorul tg β de forma:

(21’).

Considerând caracteristica de magnetizare a materialului miezului feromagnetic, B(H), se identifică punctul M, pe caracteristica I, în care tangenta la curba de magnetizare face unghiul β cu orizontala, punct ce defineşte valorile inducţiei magnetice în miez, BFe, respective ale intensităţii câmpului magnetic, HFe, ce se notează pentru etapele viitoare ale proiectului.


hb≃hF−2 gc⇔hF=hb+2 gc

lb=c− j c− jv⇔ c=lb+ jc+ jv

la=2⋅a + c

lFe=2 (lb+ jv+ jc+gc+a+hb+a )

Fc=N I=NUn

Rb

=NUn SCu

ρ lm N=

Un π dCu2

2 ρ (Di+D e ) π⇒dCu=√ 2 Fc ρ ( Di+De )

Un

tg β=lFe

S ℜδ 1

⋅k H

k B

ℜδ 1=δ1

μ0 S

⇒β=arctgμ0 lFe k H

δ 1 k B

Figura 2’ – Identificarea punctului optim de funcţionare şi a parametrilor corespunzători acestuia

Se defineşte şi punctual A, de abscisă f [A/m], cu ajutorul căruia se calculează solenaţia ce trebuie produsă de bobină:

(22’),cu observaţia că acest calcul se încheie dacă valorile propuse pentru Fc şi cele ce rezultă din relaţia (22’) pentru Fb nu diferă cu mai mult de (10 – 20)%. In caz contrar calculul se reia de la adoptarea valorilor pentru Fc.

In concluzie calculul preliminar al miezului feromagnetic defineşte: - Dimensiuni ale secţiunii transversale a miezului;

- Dimensiuni axiale ale miezului;

- Solenaţia bobinei, Fb, pentru calculul bobinei;

- Diametrul preliminar al conductorului de cupru, cu şi fără izolaţie (dCu iz, dCu).


Fb =f ⋅lFe

ETAPA 2 – Calculul preliminar al bobinei de tensiune pentru un electromagnet de curent continuu

Datele initiale ale acestei etape sunt cele rezultate de la calculul miezului ferromagnetic. Conditiile tehnice de functionare la diferite valori ale tensiunii de alimentare au fost indicate la inceputul etapei precedente.

Se vor calcula in aceasta etapa numarul de spire ale bobinei, N, diametrul de cupru al conductorului de bobinaj, dCu, diametrul conductorului izolat, dCu iz, numarul de spire pe strat, n1, numarul de straturi, n2, dimensiunile bobinei (trebuie confirmate valorile anterioare) lb si hb, rezistenta bobinei, Rb.

Calculul de verificare confirma amplasarea bobinei in fereastra miezului, solenatia bobinei, Fb, incalzirea bobinei si caracteristica electromecanica, care trebuie sa fie pozitionata peste caracteristica rezistenta.

Pentru a determina numarul de spire al bobinei de tensiune, N, se folosesc relaţiile:

(26),

unde ρ – rezistivitatea cuprului la temperatura medie a bobinei (calculate anterior, relatia 15), iar θmed = θa + υmed. Din relatia (13) de bilanţ termic se pot scrie ecuaţiile:

(27),

unde numarul de spire al bobinei, N, se alege numarul intreg imediat superior valorii obtinute din relatia (27).

Curentul electric care trece prin spirele bobinei este:

(28).

Dacă se consideră densitatea de current, în raport cu j0 = (1.5 – 2.5) A / mm2, cunoscut:

(29),

atunci rezultă diametrul de cupru al conductorului care se calculează din relaţia următoare:

(30).

Valoarea dCu se alege cea imediat superioară din Anexa 2, tabelul de conductoare, şi se notează şi diametrul de cupru izolat standardizat, dCu iz.


Fb =N I=NUn

Rb

=NUn

ρ lm N

SCu

=U n SCu

ρ lm

⇔

ρ lm

SCu

=U n

Fbρ lm N I 2

SCu

DC=k t Sr ϑ med⇔ρ lm

SCu

Fb2

NDC=k t Sr ϑ med

Sr=2 Smed=π (Di+ De ) hb⇒N=Un Fb DC

k t Sr ϑmed

I=Fb

N=

( N I )N

[ A ]

j=j0

√DC

π dCu2

4j=I ⇒dCu=√ 4 I

π j[ mm ]

In cele ce urmează se verifică jocul de ventilaţie, jv, care confirmă faptul că bobina se poate amplasa în fereastra miezului, după ce se confirmă valoarea solenaţiei dezvoltate de bobină (F* = Fb).

Se calculează rezistenţa bobinei folosind curentul I obţinut cu relaţia (28):

(31).

Se poate adopta (din nou) grosimea carcasei, gc = (1 – 3) mm, cu atât mai groasă cu cât valoarea lui dCu este mai mare.

Inălţimea bobinajului, vezi Figura 4, se apreciază cu aceeaşi relaţie indiferent dacă miezul este rectangular sau cilindric:

hb = H – 2 gc (32).

Figura 4 – Definire lungime medie a unei spire, miez cilindric

Numărul de spire pe strat rezultă:

(33),

iar numărul de straturi va fi:


Rb=Un

I[Ω ]

n1=hb

dCu iz

n2=Nn1

(34).

In aceste condiţii grosimea bobinei va rezulta:

(35).Factorul de umplere, ku, are valori subunitare în intervalul (0.7 – 0.9).Grosimea bobinei se poate defini şi cu ajutorul indicatorului n0 [spire / cm2], din tabelul de

conductoare din Anexa 2, ce consider valorile dCu şi defineşte secţiunea ferestrei ocupată de bobinaj, Sbob:

(36),

astfel încât grosimea bobinei rezultă:

(37).

Verificarea jocului de ventilaţie, jv, ce trebuie să aibă valori de ordinal (3 – 5) mm, se poate face cu relaţia ce utilizează şi valorile jocului tehnologic de montare, jt = (0.5 – 1) mm:

(38).Indeplinirea condiţiei ca jocul de ventilaţie să fie în intervalul precizat anterior confirm

posibila amplasare a bobinei pe miezul feromagnetic.In continuare se va confirma solenaţia bobinei. Pentru aceasta se evaluează lungimea medie

a unei spire a bobinei, lm, care în cazul din figura 4 este dată de relaţia:

(39).

Rezultă în consecinţă rezistenţa de calcul a bobinei, Rb*, de forma:

(40).

Valoarea obţinută din ultima relaţie trebuie să fie cât mai apropiată de valoarea obţinută cu relaţia 31. Dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci trebuie ajustat numărul de spire sau se accept valori Rb ceva mai mici, ce vor genera solenaţii ale bobinei mai mari, astfel încât să permită


gbob= n2 ku dCu iz

Sbob=Nn0

[cm2 ]

gbob=Sbob

hb

[ mm ]

j v=A− jt−gc−gbob ≥ 3 mm

lm=π (Di+ De )2

[ mm ]

Di=d+2⋅ jt+2⋅gc

De=Di+2⋅gb

Rb¿=

4 ρ lm N

π dCu2

[Ω ]

funcţionarea electromagnetului. In cazul în care diferenţele dintre rezultatele obţinute cu relaţiile 31 şi 40 sunt mari, atunci se poate relua calculul de la începutul etapei.

In vederea verificării termice a bobinei, se consideră condiţia tehnică de funcţionare normală la 1.05 Un căreia îi corespunde un curent electric:

(41).

In consecinţă ecuaţia de bilanţ termic devine:

(42).

Sr* este secţiunea de răcire pentru dimensiunile obţinute ale bobinei, cu grosimea gbob. Se

poate calcula supratemperatura medie:

(43),

precum şi temperatura medie:

(44),respectiv temperatura celui mai cald punct al bobinei:

(45),

υs = (5 – 8) oC este supratemperatura la suprafaţa exterioară a bobinei.Trebuie să fie verificată condiţia, impusă de tipul de izolaţie cupru – email, clasă E:

(46).Dacă această condiţie nu este îndeplinită este necesară funcţionarea electromagnetului cu o

rezistenţă economizoare (etapa 5), care se conectează în serie cu bobina electromagnetului limitând curentul la o valoare “de menţinere”:

(47).


I ¿=1 . 05U n

Rb¿

Rb¿ I¿2

DC=k t Sr¿ ϑ m

¿

ϑm

¿=Rb

¿ I ¿ 2 DC

k t Sr¿

θm¿= ϑm¿ + θa

θmax|1 . 05 U n= 2 θm

¿ − θa+ϑ s

θmax ≤ 120 o C

I m ≤ I ¿

ETAPA 3 – Evaluarea caracteristicii electromecanice a electromagnetului de curent continuu

Valoarea adoptată la etapa 1 – Calculul preliminar al miezului feromagnetic, pentru inducţia magnetică iniţială, Bδo [T], permite evaluarea forţei de atracţie F0 = Fδo > FR0 cu ajutorul relaţiei:

(48).

Evaluarea solenaţiei bobinei prin metoda raportării cu definirea unghiului β (din tg β) ne precizează inducţia în miezul electromagnetului cu armătura mobilă atrasă, BFe, care este de fapt inducţia magnetică în miez la întrefierul minim, δ1 ≈ 0 mm, ceea ce permite definirea forţei portante Fp, vezi Figura 5, cu ajutorul relaţiei:

(49).

Figura 5 – Caracteristici ale evoluţiei forţelor în raport cu întrefierul la electromagnetul de curent continuu

Considerând expresia care aproximează caracteristica electromecanică a unui asemenea electromagnet ca fiind de forma:


F (δ0 )=2Φ2

2 μ0 S p

=(Bδ 0 S )2

μ0 S p

[ N ]

F p=F (0 )=2Φ¿2

2 μ0 S p

=(BFe S )2

μ0 S p

[ N ]

(50).

unde k şi a reprezintă constante pentru un electromagnet ce se pot determina din următorul sistem de ecuaţii:

(51).

a cărui rezolvare defineşte constantele după cum urmează:

(52).

Se trasează apoi caracteristica electromecanică a electromagnetului calculat (vezi Figura 5), pentru constantele definite cu relaţiile (52) şi se compară cu caracteristica forţelor rezistente FR(δ), determinată de constantele resorturilor, de forţele de frecare etc. Alura lui FR(δ) corespunde unui aparat electric de comutaţie cu contacte. Evident pentru ca armătura mobilă să se poată deplasa şi să se asigure funcţionalitatea electromagnetului trebuie ca:

F(δ) > FR(δ) (53).


F ( δ )= k

(δ +a )2[ N ]

F (δ0 )= k

(δ0+a )2[ N ]

F (0 )= k

a2[ N ]

k=F (0 ) [ δ0

√ F (0 )F (δ0 )

−1 ]2

a=δ0

√ F (0 )F (δ0 )

−1

ETAPA 4 – Evaluarea comportării în regim dinamic a armăturii

electromagnetului

Curbele din Figura 5 permit şi evaluarea timpului de mişcare a armăturii mobile a electromagnetului dacă se precizează corect alura caracteristicii rezistente, FR(δ) şi masa ansamblului în mişcare, M*, pentru poziţia de mişcare cea mai dificilă a miezului, când armătura mobilă este în partea inferioară (de jos), ceea ce implică ca forţa de acţionare să învingă şi forţa de greutate a armăturii, Figura 6.

Figura 6 – Electromagnetul de curent continuu cu armătura mobilă plasată în partea inferioară

Masa în mişcare, M*, are drept principală componentă masa armăturii mobile, M’, dar şi masa altor elemente prinse de aceasta care se mişcă în acelaşi timp cu armătura mobilă. Prin urmare M* se evaluează în funcţie de construcţia dispozitivului electromagnetic considerat.

Pentru a evalua timpul de mişcare a armăturii mobile se va folosi teorema variaţiei energiei cinetice, de forma:

(54),

unde d Wc este variaţia infinitezimală a energiei cinetice, iar d L – lucrul mecanic infinitezimal efectuat de elementele în mişcare. Relaţia precedentă se poate scrie în creşteri finite:

(55).Stările succesive ale armăturii mobile pot fi definite pe seama unei partiţii convenabile a

domeniului de variaţie al întrefierului, (0 – δ0), posibile în mişcarea armăturii mobile, preferându-se domenii egale, Figura 7, cu precizie cu atât mai mare cu cât n este mai mare:

(56).


d W c=d L

Δ W c=Δ L

δ0−δ1=δ1−δ2=. ..=δn−1−δn

Figura 7 – Partiţionarea cursei armăturii mobile a electromagnetului

Se identifică astfel, între curba forţei active F(δ) şi cea a forţei rezistente FR(δ) suprafeţele S1, S2, …, Sn, proporţionale în fapt cu lucrul mecanic, Lk, efectuat de lucrul mecanic în deplasarea de la δk-1 la δk:

(57),

unde Sk [mm2] se poate aprecia prin planimetrizare, la trasarea curbelor din Figura 7 pe hârtie milimetrică, iar factorii de scară kF şi kδ se identifică pentru fiecare reprezentare grafică în parte.

Pentru domeniul [δ0, δ1] se pot scrie succesiv relaţiile:

(58),

(59),unde v0 = 0, adică mişcarea începe din stare de repaus după închiderea contactului k, vezi Figura 6.

(60).

Viteza medie a armăturii mobile pe intervalul [δ0, δ1] va fi:


Lk≈ Sk , Lk=Sk[mm2 ] k F [ N

mm ] kδ [ m2

mm ]Δ W c 0−1=Δ L0−1

M∗v1

2−v02

2=S1 k F kδ

v1=√v 02+

2 S1 k F kδ

M∗¿=√ 2 S1 k F kδ

M∗¿¿¿

(61).

Prin urmare timpul de mişcare pe acest prim interval considerat va fi:

(62).

In concluzie la momentul Δt1 corespunde viteza v1 a armăturii mobile şi poziţia δ1 a acesteia.Pentru următorul interval, [δ1, δ2] se pot scrie în mod similar următoarele relaţii:

(63),

astfel încât la momentul Δt1 + Δt2 armătura mobilă are viteza v2 şi poziţia δ2.Se poate continua în mod similar acelaşi raţionament pentru un domeniu oarecare [δk-1, δk],

caz în care se pot scrie relaţiile:

(64),

astfel încât la momentul Δt1 + Δt2 +…+ Δtk armătura mobilă va avea viteza vk şi se va găsi în poziţia δk.

După ultimul interval al întrefierului [δn-1, δn] se poate defini timpul de mişcare al armăturii mobile, τm, şi se pot trasa curbele v(t) respectiv δ(t) pe durata mişcării acesteia:


v1m=v0+v1

2=

v1

2

Δ t1=δ0−δ1

v1 m

M∗v2

2−v12

2=S2 k F k δ

v2=√v12+

2 S2 kF kδ

M∗¿¿v2 m=

v1+v2

2

Δ t2=δ1−δ 2

v2 m

M∗v k

2−vk−12

2=Sk kF kδ

vk=√ vk−12 +

2 Sk kF kδ

M∗¿¿vkm=

v k−1+vk

2

Δ t k=δ k−1−δ k

vkm

(65).

Timpul de acţionare pentru un electromagnet, ta, are o componentă de mişcare τm, definită cu relaţia (65), şi o componentă de pornire, τp:

(66),unde τp se obţine în funcţie de constanta de timpa circuitului bobinei, T0.

Considerând că forţa de atracţie se poate obţine ca forţă generalizată de tip Lagrange:

(67),

prin derivarea energiei magnetice pentru întrefierul maxim iniţial, δ0, rezultă:

(68),

astfel încât inductanţa bobinei electromagnetului la întrefierul δ0 va fi:

(69),

iar constanta de timp a circuitului bobinei la δ0:

(70).

Timpul total de acţionare pentru electromagnetul de curent continuu proiectat rezultă deci ca fiind:

(71).

Valorile obţinute pentru ta trebuie să fie cel mult de ordinul zecimilor de secundă.


τ m=∑k=1

n

Δ tk

ta=τm+τ p

Wmagn=12

L (δ ) I b2

L (δ )=k o

(δ+a )

⇒F=−∂ Wmagn

∂ δ=1

2⋅

k 0 I b2

( δ+a )2

F (δ0 )=12⋅

k0 I b2

(δ0+a )2⇒ k0=

2 F (δ 0) (δ0+a )2

I b2

L0=k0

δ0+a

T 0=L0

Rb

ta≃τm+T 0 [ s ]

ETAPA 5 – Calculul rezistenţei economizoare

In cazul unui electromagnet de curent continuu poate fi necesară utilizarea unei rezistenţe economizoare, Re, montată în serie cu bobina de tensiune a electromagnetului, pentru limitarea valorii curentului prin bobină şi implicit, obţinerea unor temperaturi mai mici de încălzire a acesteia. De asemenea această rezistenţă poate fi utilă pentru a realiza reducerea timpului de acţionare în funcţionarea acestui tip de electromagneţi prin forţarea regimului tranzitoriu. Modul ei de conectare în circuit este ilustrat în Figura 8, în care c1 şi c2 sunt contactele aparatelor electrice de comutaţie aferente.

Figura 8 – Introducerea rezistenţei economizoare în circuitul bobinei

Utilitatea rezistenţei economizoare este evidenţiată prin calculul indicatorului m, unde:

(72),

cu valori mult mai mari decât 1, m = (10 – 103). Indicele “*” se referă la faptul că mărimile care intervin corespund valorii minime a întrefierului, teoretic 0, practic nenul, δmin (vezi Figura 9).

Pentru a defini parametrii corespunzători rezistenţei economizoare, Re, Pe, se ţine seama de condiţia tehnică ce impune funcţionarea normală a electromagnetului la o tensiune de alimentare a bobinei U = 0.85 Un, ceea ce presupune valori ale forţei portante, în prezenţa acestei rezistenţe, Fp

e, de forma:

(73),

unde kS = 1.05 – 2.5 reprezintă un coeficient de siguranţă a acţionării electromagnetului, iar k = 1.5 – 2 este un factor de corecţie.

Având în vedere faptul că valorile forţei de atracţie sunt proporţionale cu pătratul valorilor solenaţiei (ale curentului ce parcurge spirele bobinei) se pot scrie relaţiile:


m2=F p∗¿

Fr max∗¿¿¿

F pe =

1

0 .852k S F r max

¿ ⇔

F pe =k F r max

¿

(74).

Figura 9 – Influenţa rezistenţei economizoare asupra caracteristicii electromecanice a electromagnetului

Cunoscând parametrii nominali ai rezistenţei economizoare se poate realiza apoi proiectarea preliminară a acesteia, care pentru varianta constructivă utilizată de obicei în asemenea situaţii, de tip rezistor bobinat într-un strat, după alegerea materialului conductor şi după adoptarea temperaturii admisibile, vezi Anexa 3, permite calculul următorilor parametri:

- Suprafaţa de răcire a carcasei rezistorului, Src:

(75);

- Diametrul conductorului, d:

(76).


F p

F pe=

(Un

Rb)2

(Un

Rb+Re)2=(1+

Re

Rb)2

=m2

k⇔

Re=Rb (m√k−1) , Pe=Re (Un

Rb+Re)2

Sr c=ρe

k t θadm

, k t=(15 − 40 ) [ Wm2 o C ]

d=3√ 4 ρ Sr c

π k i Re

Constanta ki poartă numele de coeficient de înfăşurare şi are valori de (1.05 – 1.2) pentru fir rezistiv izolat, respectiv de (1.5 – 2) pentru fir rezistiv neizolat.

- Lungimea conductorului, L:

(77);

- Dimensiunile carcasei cilindrice a rezistorului, Dc şi lc:

(78);

- Numărul de spire al înfăşurării rezistorului, Nr:

(79);

- Pasul înfăşurării, t:

(80),cu respectarea condiţiei:

t ≤ k d (81).In final se recalculează valoarea rezistenţei electrice a rezistorului proiectat ţinând seama de

rezultatele calculului preliminar şi se obţine:

(82).


L=π Re d2

4 ρ

Sr c=π D c lc

D c

lc

=ε ∈[115÷1

5 ]⇔

lc=√Sr c

ε π

Dc=√ε Sr c

π

N r=L

π Dc

t=l c

N r

Re∗¿4 ρ lm N r

π d2

lm=π D c

cos β

tg β= tDc

¿

¿

Valorile obţinute cu ajutorul relaţiilor (82) trebuie să depăşească cu maxim (5 – 10)% valorile propuse. După reprezentarea la scară a rezistorului calculat se analizează posibilităţile de amplasare ale acestuia pe aparatul de comutaţie, de preferat astfel încât influenţele termice reciproce să fie cât mai reduse.


Anexa 1 – alegerea materialului feromagnetic şi stabilirea caracteristicii B(H)


Anexa 2 – Diametrele conductoarelor de bobinaj

dCu [mm] dCu iz [mm] Numar de spire / cm2

0.07 0.085 88209760

0.08 0.095 73308100

0.09 0.105 59706800

0.1 0.12 44606100

0.11 0.13 44606100

0.12 0.14 30804250

0.13 0.15 30804250

0.14 0.16 28103600

0.15 0.17 28103600

0.16 0.18 21002730

0.18 0.2 17302050

0.20 0.225 14651715

0.22 0.245 12401450

0.25 0.275 9781140

0.28 0.305 812920

0.315 0.352 659850

0.355 0.395 505623

0.4 0.442 350470

0.45 0.495 277371

0.5 0.548 224300

0.56 0.611 198225

0.63 0.684 162175

0.7 0.76 146153

0.75 0.809 121


1350.8 0.861 95.5

1170.85 0.913 83

1080.9 0.965 78

930.95 1.1017 68

841 1.068 65

751.06 1.13 59.5

681.12 1.192 53.5

611.18 1.254 47.5

521.25 1.325 41.5

481.32 1.397 36

431.4 1.479 30.5

391.5 1.581 26.5

33.51.6 1.683 24.5

30.51.7 1.785 22.5

271.8 1.888 18.5

242 2.092 15.5

192.5 2.65 15.5

19


Anexa 3 – Tabel constante de material

Materialul Rezistivitatea[Ω m]

Temperatura admisibila[o C]

Constantan (0.45 – 0.52) 10-6 400 – 500Nicrom A 0.87∙ 10-6 930Nicrom B 1.3 ∙ 10-6 1000

Fecral 1.18 ∙ 10-6 300 – 800Fier (otel,

fonta)(0.11 – 0.3) 10-6 200 – 300

Grafit (7 – 14) 10-6 400


mers de calcul bobina de c.c final

Documents

Transcript of mers de calcul bobina de c.c final