Atentie la calcule! Pot exista erori!Urm¼atoarele probleme au fost rezolvate la celelalte serii:I. S¼a se determine punctele de extrem local ale functiei f (x; y) = xy � 2y2

cu leg¼aturaxy + x+ 2y + 2 = 0

Rezolvare:Consider¼am

L (x; y;�) = xy � 2y2 + �xy + �x+ 2�y + 2�:

Punctele critice conditionate8<: y + �+ y� = 0x� 4y + 2�+ x� = 0xy + x+ 2y + 2 = 0

Sistem cu solutia�x = �2; y = � 1

2 ; � = 1�.

Pentru � = 1 obtinem

HL (x; y) =

�0 22 �4

�Diferentiem leg¼atura

(y + 1) dx+ (x+ 2) dy = 0

care in punctul x = �2; y = � 12 devine�

�12+ 1

�dx+ (�2 + 2) dy = 0: (1)

Diferentiala de ordinul doi

d2L

��2;�1

2; 1

�=

�a b

�� 0 22 �4

��ab

�= 4dxdy � 4dy2

Cupland cu (1) obtinem

d2L

��2;�1

2; 1

�< 0 pentru y 6= �1

2

si concluzia ca x = �2; y = � 12 este punct de maxim local conditionat.

II. S¼a se rezolve ecuatia diferential¼a

xy0 = y + x3e�2yx , x 2 (0; 1) :

Rezolvare:Efectu¼am schimbarea de variabil¼a

y

x= z

1

sau, echivalenty = zx =) y0 = z0x+ z

Cu schimbarea de variabil¼a efctuat¼a se obtine ecuatia

x (z0x+ z) = zx+ x3e�2z

sau, echivalent

z0x2 = x3e�2z unde z0 =dz

dx:

Rearanj¼am aceast¼a ecuatie. Obtinem ecuatia cu variabile separabile

dz

e�2z= xdx

pe care o integr¼am Ze2zdz =

Zxdx

si, deducem c¼a1

2e2z =

x2

2+ C, C 2 R.

Logaritm¼am în aceast¼a expresie

ln1

2e2z = ln

�x2

2+ C

�si obtinem

z =ln 2

�x2

2 + C�

2

iar solutia ecuatiei este

y = xln 2

�x2

2 + C�

2, C 2 R.

2

Probleme Analiză Matematică

1

Problema 1. Să se determine suma următoarelor serii .);) 1

1

2 5

131

14

12121

n

Nn

nn

nnn ba

Problema 2. Să se studieze convergenţa seriilor

.);)

;);0 ,)

ln3

5

2

!1

131

3

111

n

n

n

nnnn

nn

nn

dc

baaa

Problema 3. Să se studieze convergenţa absolută a seriilor

.ln1);1) 11

113

121

1 2 nnn

nn

nn

n ba

Problema 4. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriilor de puteri

,0 ,)

,)

2!

ln1

41

11

xb

xa

n

n

nn

n

xn

nn

şi acolo unde este posibil suma seriei de puteri.

Problema 5. Se consideră funcţia RR 1\:f , definită prin

.1

2ln

2

x

xf

a) Să se determine seria Taylor asociată funcţiei f în punctul x 1 . b) Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei obţinute. Problema 6. Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii

.1

cos ,,0:

2

n

nxxfRf nn

Problema 7. Fie f : R R R definită prin

.0,0,,0

,0,0, ,, 22

44 3

yx

yxyxf yx

yx

Determinaţi matricea hessiană 0,0fH folosind definiţia derivatelor parţiale.

Problema 8. Fie RRR :f definită prin

.0,0,,0

,0,0, ,,

2

33 2

yx

yxyxf yx

yx

Studiaţi continuitatea funcţiei f în origine şi calculaţi derivatele parţiale de ordinul întâi ale

funcţiei f în punctul 0,0 .

Problema 9. Fie f : R R R definită prin

.0,0,,0

,0,0, ,, 22

44 2

yx

yxyxf yx

yx

Calculaţi derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei.

Problema 10. Să se verifice dacă RRR :f definită prin 42513, yxyxf este

diferenţiabilă în punctul 0,1 .

Problema 11. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiilor:

a) RR,0:f definită prin .10ln64424, 22 yxyxxyxyxf

b) RRR :f definită prin .,22 yxexyyxf

Probleme Analiză Matematică

2

Problema 12. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiilor:

a) RRR :f definită prin xyzzyxf ,, cu legătura .6 zxyzxy

b) RRR :f definită prin zxyzxyzyxf ,, cu legătura .8xyz

Problema 13. Să se scrie polinomul lui Taylor de gradul al doilea în punctul A1,1 pentru

funcţia f : R R R definită prin .,22 yxexyyxf

Problema 14. Să se studieze dependenţa dintre funcţiile RR 3

321 :,, fff definite prin

.24,, ,2,, ,,, 2

3

2

21 yyzxzyxfzxzyxfzyzyxf

Problema 15. Să se examineze concavitatea/convexitatea funcţiei RR 3:f definită prin

.32100,, 22 zyxexyzyxzyxf

Problema 16. Sistemul

1

0

yvxu

yxvu defineşte implicit u şi v ca funcţii de x şi

y . Să se afle derivatele parţiale yxxu , , yx

xv , , yx

yu , , yx

yv , .

Problema 17. Să se rezolve ecuaţiile diferenţiale

.2sin365)

.0 ,ln)4

2

xeyyyb

xxyyyxax

Problema 18. Să se studieze convergenţa integralei .135

dxxx

x

Problema 19. Să se calculeze următoarele integrale

.1);ln);)22

0

3ln1

1

14

2

2

dxeecxdxbdxea xx

x

xexx

Problema 20. Folosind formula lui Leibnitz, să se calculeze F y dacă F : 0, 7

R

este definită prin .0,1x ,22

dyxyxtgyFy

y

Problema 21. Folosind integrala dublă calculaţi aria domeniului mărginit de curbele

y x , y x şi y x2

.

Problema 22. Desenaţi domeniul 222 4, xyxyxD R şi calculaţi .dxdyD

Problema 23. Desenaţi domeniul 4 ,0 ,0, 222 yxyxyxD R şi calculaţi

.722 dxdyyx

D

Problema 24. Desenaţi domeniul xyxyyxD 1 ,01, 22R şi calculaţi

.xydxdyD

Problema 25. Desenaţi domeniul xyxxyxD ,10, 2R şi calculaţi

.dydxy

e y

D