MECANICA CONTACTULUI

Tensiuni in zona de contact a doua corpuri incarcate simultan cu forte normale si tangentiale. Distributia tensiunilor este vizualizata cu ajutorul fotoelasticitatii.

Cuprins

1 Istoric 2 Contact neadeziv

o 2.1 Tehnici de obtinere a solutiilor analitic o 2.2 Tehnici de obtinere a solutiilor numeric o 2.3 Solutii clasice

2.3.1 Punct de contact pe un semiplan elastic 2.3.2 Linie de contact pe un semiplan elastic

2.3.2.1 Incarcare normala pe o regiune (a,b) 2.3.2.2 Incarcare cu sarcini tangentiale pe o regiune (a,b)

2.3.3 Contact dintre o sfera si un semiplan elastic 2.3.4 Contact dintre doua sfere 2.3.5 Contact dintre doi cilindri de raze egale R cu axele

perpendiculare 2.3.6 Contact dintr un cilindru rigid si un semiplan elastic 2.3.7 Contact dintre un indentor conic rigid si un semiplan elastic 2.3.8 Contact dintre doi cilindri cu axele paralele 2.3.9 Contact dintre suprafete cu asperitati

3 Contactul adeziv o 3.1 Modelul Bradley pentru contactul rigid o 3.2 Modelul Johnson-Kendall-Roberts (JKR) pentru contactul elastic o 3.3 Modelul Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) pentru contactul elastic o 3.4 Coeficientul Taboro 3.5 Modelul Maugis-Dugdale pentru contactul elastic

o 3.6 Modelul Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

Mecanica contactului (Contact mechanics) se ocupa cu studiul deformatiilor solidelor in contact in unul sau mai multe puncte. Formularea fizica si matematica a problemei este construita pe elemente de mecanica mediului continuu, teoria elasticitatii si plasticitatii. Mecanica contactului furnizeaza informatii necesare in ingineria mecanica.

Prima lucrare de Mecanica contactului (Asupra contactului corpurilor solide) apartine lui H. Hertz si dateaza din 1882. Hertz a incercat sa inteleaga cum se pot modifica proprietatile optice ale unor lentile in contact atunci cand sunt presate cu o forta. Rezultatele obtinute au fost extinse in toate domeniile ingineriei, cu precadere insa in domeniul Tribologiei. Tensiunile din contactul Hertzian se refera la tensiuni localizate care apar la contactul dintre doua suprafete curbe; suprafetele sunt apasate cu o sarcina care creste progresiv. Valoarea deformatiei este dependenta de modulele de elasticitate ale materialelor in contact. Rezulta tensiunea de contact ca o functie de forta normala de contact, de razele de curbura ale corpurilor in contact si de modulele de elasticitate. La rotile dintate si lagare in functionare aceste tensiuni au variatii ciclice care pot conduce la aparitia fisurilor de oboseala. Tensiunea de contact este importanta in evaluarea portantei lagarelor, rezistentei la oboseala a angrenajelor si a altor corpuri care vin in contact.

Principiile Contactului mecanic pot fi aplicate in domenii cum ar fi: industria auto, cai ferate, dispozitive de cuplare, motoare cu combustie, etansari, deformari plastice in matrita, sudare cu ultrasunete, contacte electrice si multe altele.

Provocarile actuale ale acestui domeniu sunt analiza tensiunilor de contact intre mai multe corpuri, luarea in considerare a lubrifierii, studiul fenomenelor de uzura. Aplicatii ale Mecanicii contactului sunt extinse in domeniul micro si nanotehnologiei.

Miscarea unui singur corp in spatiu este descrisa de ecuatii din Mecanica mediului continuu. Abordarile utilizate in Mecanica contactului restrictioneaza miscarea a doua sau mai multe corpuri in spatiu prin introducerea restrictiilor suplimentare. Aceste restrictii unilaterale asigura nepenetrabilitatea reciproca a corpurilor in contact. Odata obtinut setul de ecuatii pentru problema de contact, se pot folosi mai multe scheme de obtinerea solutiei care sa simuleze comportarea corpurilor in contact si sa determine campul deplasarilor si al tensiunilor. In analiza se face distinctie intre contactul cu frecare si fara frecare.

Istoric

Cand o sfera este presata pe un material elastic suprafata de contact creste.Mecanica contactului clasica este de cele mai multe ori asociata cu H. Hertz. In 1882 Hertz a solutionat problema contactului dintre doua corpuri elastice marginite de suprafete curbe. Aceasta solutie clasica inca relevanta reprezinta baza pentru problemele moderne de contact. De exemplu, in ingineria mecanica si Tribologie, tensiunea de contact Hertzian este un descriptor al tensiunii partilor in contact. In general, contactul Hertzian se refera la tensiuni in imediata vecinatate a zonei de contact dintre doua sfere de diferite raze.

Dupa aproape 100 de ani, Johnson, Kendall si Roberts au obtinut solutii similare pentru cazul contactului adeziv. Aceasta teorie a fost rejectata de Boris Derjaguin si colaboratorii care au propus o teorie diferita a adeziunii in 1970. Modelul Derjaguin este cunoscut si ca modelul DMT(Derjaguin, Muller si Toporov), iar modelul Johnson este cunoscut ca modelul JKR (dupa Johnson, Kendall si Robets) pentru contactul elastic adeziv. Tabor si mai tarziu Maugis au stabilit (experimental) parametri care sa cuantifice care dintre cele doua modele sunt mai bune pentru diferite materiale.

Mai tarziu, dezvoltari in Mecanica contactului au fost atribuite lui Bowden si Tabor. Bowden si Tabor au fost primii care au aratat importanta considerarii rugozitatii suprafetelor corpurilor in contact. Prin considerarea rugozitatii suprafetelor in contact, aria reala de contact intre corpuri cu frecare a fost gasita mai mica decat suprafata aparenta de contact. Acest lucru a modificat drastic abordarile din Tribologie. Lucrarile lui Bowden si Tabor dezvolta cateva teorii in contactul mecanic al suprafetelor rugoase.

Contributiile lui Archard (1957) pot fi mentionate de asemenea ca lucrari de pionierat in acest domeniu. Archard a concluzionat ca, chiar si pentru suprafetele elastice rugoase marimea suprafetei de contact este aproximativ proportionala cu forta

normala. Observatii mai importante provin de la Greenwood si Williamson (1966), Bush (1975) si Persson (2002). Principala descoperire a acestor cercetatori este ca suprafata reala de contact in materiale cu rugozitate este proportionala cu forta normala, in timp ce parametrii de micro contact individuali (adica presiune, marimea micro-contactelor) depind in mica masura de incarcare .

Contactul non-adeziv

Teoria clasica a contactului este concentrata in primul rand asupra contactului non-adeziv in care nu apar forte de tractiune in interiorul zonei de contact sau cu alte cuvinte corpurile in contact pot fi separate fara forte de adeziune. Pentru solutionarea problemelor de contact care sa satisfaca conditia de neadeziune au fost dezvoltate cateva abordari analitice si numerice. Forte complexe si momente sunt transmise intre corpurile aflate in contact si deci problemele de Mecanica contactului pot deveni sofisticate. Mai mult decat atat, tensiunile de contact sunt adesea functii neliniare de deformatii. Pentru simplificarea procedurii de obtinere a solutiei se defineste de obicei un sistem de referinta in care obiectele sunt statice (chiar daca in realitate se afla in miscare relativa unul fata de celalat). Corpurile interactioneaza prin intermediul tensiunilor sau presiunilor la interfata.

Ca exemplu sa consideram doua obiecte in contact pe o anumita suprafata S in planul (x,y) iar axa Z este presupusa normala la suprafata S. Unul dintre corpuri va fi apasat pe directie normala cu o presiune ale carei componente sunt pz = p(x,y) = qz(x,y) qx = qx(x,y) si qy = qy(x,y) in regiunea S. Utilizand ecuatiile de echilibrul fortele:

trebuie sa fie egale si de sens contrar fortelor aparute in celalalt corp.

Momentele corespunzatoare acestor forte sunt:

Aceste forte si momente trebuie sa se anuleze intre corpuri pentru ca acestea sa fie imobile din punct de vedere cinematic.

Pentru determinarea solutiilor problemelor de contact Hertzian se considera valide urmatoarele ipoteze simplificatoare:

Deformatiile specifice sunt mici si in limite elastice, Fiecare corp poate fi considerat un semiplan elastic, adica aria de contact este

mult mai mica decat dimensiunile corpurilor (razele sferelor) Suprafetele sunt continue si neconforme Suprafetele sunt fara frecare.

Complicatiile in rezolvarea problemei cresc cand una sau mai multe ipoteze sunt nevalide, iar aceste problemele din aceasta categorie se numesc de contact non-Hertzian.

Tehnici de obtinere a solutiei analitice

Contactul dintre doua sfere

Metodele analitice de obtinere a solutiei problemelor de contact non-adeziv pot fi clasificate in doua tipuri pe baza geometriei suprafetei de contact. Astfel, contactul conform este acela in care cele doua corpuri se afla in contact in multiple puncte (adica suprafetele de contact se potrivesc una cu cealalata). Un contact neconform este acela in care formele corpurilor conduc la un contact punctiform sau cel mult o linie. In cazul contactului neconform suprafata de contact este mica in raport cu dimensiunile corpurilor, iar tensiunile au o mare concentrare in aceasta zona.

O abordare comuna in elasticitatea liniara este suprapunerea unui numar de solutii, fiecare dintre ele corespunzand unui punct incarcat din zona de contact. De exemplu, in cazul incarcarii unui semiplan, solutia Flamant este utilizata adesea ca un punct de pornire si apoi generalizata pentru diverse forme ale suprafetei de contact. Echilibrul fortelor si momentelor dintre cele doua corpuri actioneaza ca si restrictii ale solutiei.

Tehnici numerice de obtinere a solutiei

In cazul solutiilor numerice nu se face distinctie intre contactul neconform si cel conform; solutiile numerice nu au la baza ipotezele contactului Hertzian, iar corpurile pot avea deplasari relative unele fata de celelate. Singura restrictie introdusa este impenetrabilitatea corpurilor. Deci distanta (“GAP-ul”) gN dintre doua corpuri poate fi

pozitiva sau zero atunci cand corpurile sunt in contact ( gN = 0). O a doua ipoteza in Mecanica contactului se refera la faptul ca in zona de contact nu apar forte de tractiune. Presiunea de contact se poate scrie ca

cu

Conditiile pentru contact

(Gap-ul este inchis), gN = 0, presiune de contact este intotdeauna negativa, pN < 0,

iar pentru situatia cand corpurile nu sunt in contact (adica GAP-ul este deschis) gN > 0,

iar presiunea de contact este zero, pN = 0,

se numesc conditiile Kuhn-Tucker care pot fi scrise sub forma:

Aceste conditii sunt general valide. Formularea matematica a distantei (a Gap-ului) depinde de teoria solidului utilizata (solid liniar sau neliniar in doua sau trei dimensiuni, model beam, shell).

Solutii clasice

Contact punctiform pe un semiplan elastic (Solutia Flamant)

Schema incarcarii unui semiplan cu o forta P in punctul (0,0).

Punctul de start pentru rezolvarea problemei de contact este intelegerea efectului incarcarii punctuale aplicate asupra unui solid omogen si izotrop sub forma unui semiplan elastic ca in Figura. Problema poate fi considerata fie de tip stare plana de tensiuni (plane

stress) fie de tip stare plana de deformatii (plane strain). Aceasta este o problema de elasticitate liniara cu conditii la limita tensiuni:

unde δ(x,z) este functia delta Dirac. Conditiile la limita statueaza tensiuni de forfecare nule pe suprafata si un singur punct este incarcat cu forta normala P in punctul (0,0). Aplicand aceste conditii in ecuatiile care guverneaza problema de elasticitate se obtine rezultatul:

pentru un punct oarecare, (x,y) in interiorul semiplanului elastic. Cercul prezentat in figura indica suprafata de-a lungul careia tensiunea maxima de forfecare este constanta. Din acest camp al tensiunilor, componentele deformatiilor specifice si deci ale deplasarilor pot fi obtinute pentru orice punct material in interiorul semiplanului elastic.

Linia de contact pe semiplanul elastic

Incarcarea normala pe o regiune (a, b)

Sa presupunem ca in locul fortei concentrate P este aplicata o sarcina distribuita (presiune) p(x) pe o suprafata, in domeniul a < x < b. Principiul suprapunerii de efecte liniar poate fi aplicat pentru determinarea tensiunii rezultante integrand ecuatiile:

Incarcarea tangentiale ale regiunii (a,b)

Acelasi principiu se aplica pentru incarcarea de la suprafata semiplanului elastic. Aceste tractiuni de pe suprafata pot aparea ca rezultat al frecarii. Solutia este similara cu cea de mai sus (pentru sarcina concentrata Q si sarcini distribuite q(x)) cu mici modificari:

Aceste rezultate pot fi suprapuse peste cele provenind de la incarcarea normala pentru obtinerea efectului unei incarcari mai complexe.

Contactul dintre o sfera si un semispatiu elastic

O sfera din material elastic de raza R este apasata pe un semiplan elastic pana la adancimea d, creand o suprafata de contact de raza a. Forta aplicata F este legata de

deplasarea d prin relatia:

unde

si E1,E2 sunt modulele de elasticitate, iar ν1,ν2 coeficientii lui Poisson asociati fiecarui corp.Contactul dintre doua sfere si doi cilindri cu axele perpendiculare

Contactul dintre doua sfere Contactul dintre doi cilindri identici perpendiculari

Pentru contactul dintre doua sfere de raze R1 si R2, suprafata de contact este un

cerc de raza a. Distributia tensiunilor normale in zona de contact este functie de distanta

r masurata de la centrul cercului:

unde p0 este presiunea maxima de contact data de relatia:

unde raza efectiva R este definita ca

Suprafata de contact este legata de forta aplicata F prin ecuatia:

Adancimea indentarii d este legata de presiunea maxima de contact prin relatia

Tensiunea maxima de forfecare apare in interior la adancimea pentru ν = 0.33.

Contactul dintre doi cilindri de raza R perpendiculari

Acest contact este echivalent cu contactul dintre o sfera de raza R si un plan (ca mai sus).

Contactul dintre un cilindru rigid si un semiplan elastic

Daca un cilindru rigid este presat pe un semiplan elastic creaza o distributie a presiunii descrisa de:

unde a este raza cilindrului, iar presiunea maxima este:

Relatia dintre adancimea indentarii si forta normala este data de .

Contactul dintre un con rigid indentat si un semiplan elastic

In cazul indentarii unui semiplan elastic cu ajutorul unui corp rigid conic, adancimea indentarii si raza de contact sunt legate prin relatia:

cu θ definit ca unghi intre plan si fata suprafetei conului. Distributia presiunii are forma:

Tensiunea are o singularitate in varful conului. Forta totala este:

Contactul dintre doi cilindri cu axele paralele

In contactul dintre doi cilindri cu axele paralele, forta este liniar proportionala cu adancimea indentarii:

Raza de curbura este in intregime absenta din aceasta relatie. Semilatimea benzii de contact este de obicei descrisa de relatia:

cu

Presiunea maxima de contact este egala cu:

Contactul intre suprafete cu rugozitate

Cand doua corpuri sunt presate unul peste celalat, suprafata reala de contact A este mai

mica decat suprafata de contact “aparenta” A0. In contactul dintre o suprafata cu “rugozitate aleatoare” si un semiplan elastic, aria reala a suprafetei de contact este legata de forta normala F prin

unde h' este egal cu media patratica a pantei suprafetei si . Presiunea medie in suprafata de contact reala

poate fi estimata rezonabil ca jumatate din modulul de elasticitate efectiv E * multiplicat

cu media patratica a pantei suprafetei h' .In situatia in care asperitatile pe cele doua suprafete au o distributie Gaussiana

inalta, varfurile pot fi considerate sferice, presiunea de contact medie este suficienta pentru a produce curgerea cand

unde σy este tensiunea uniaxiala de curgere si σ0 este legata de duritatea materialului

indentat. Greenwood si Williamson definesc un parametru adimensional Ψ numit index de plasticitate care poate fi utilizat pentru a determina daca contactul este elastic sau plastic.

Modelul Greenwood-Williamson necesita cunoasterea a doua cantitati dependente statistic; deviatia standard a asperitatilor suprafetei si curbura varfurilor asperitatilor. O definitie alternativa a indexului de plasticitate il ofera Mikic. Curgerea apare cand presiunea este mai mare dacat tensiunea uniaxiala de curgere. Cum tensiunea de curgere este proportionala cu duritatea indentarii σ0, Mikic a definit indexul pentru contactul elasto-plastic ca

In aceasta definitie Ψ reprezinta micro-asperitatile in stare plastica si numai o marime statistica, media patratica a pantei suprafetei cu asperitati, este necesara cand efectuam

calcule pe baza determinarilor experimentale. Pentru , suprafata se comporta elastic pe durata contactului.

In ambele modele Greenwood-Williamson si Mikic incarcarea este considerata a fi proportionala cu aria deformata. Deci, fie ca sistemul se comporta elastic sau plastic este independent de forta normala aplicata.

Contactul adeziv

Cand doua corpuri solide sunt apropiate unul de celalalt apar forte de atractie van der Waals. Modelul van der Waals a lui Bradley arata metoda de calcul a fortei de tractiune dintre doua doua sfere rigide cu suprafete perfect prelucrate. Modelul Hertzian de contact nu considera adeziunea posibila. Totusi, in anii ’60 au fost observate cateva contradictii cand teoria Hertz a fost comparata cu experimente ale contactului dintre sfere de cauciuc si sticla. S-a observat ca, desi teoria Hertz se verifica la incarcari mari, la incarcari mici s-au remarcat urmatoarele:

Aria de contact a fost mai mare decat cea obtinuta din teoria Hertz, Aria de contact a avut o valoare diferita de zero chiar cand incarcarea a fost

inlaturata, si S-a constatat o puternica adeziune atunci cand suprafetele de contact au fost

curatate si uscate. Aceste experimente au aratat ca fortele de adeziune sunt active. Modelul Johnson-Kendall-Roberts (JKR) si modelele Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) au fost primele care au inclus adeziunea in contactul Hertzian.

Modelul de contact rigid a lui Bradley

Se face de obicei ipoteza ca forta dintre doua plane de atomi situate la distanta z unele de altele se poate obtine din potentialul Lennard-Jones. Cu aceasta ipoteza se poate scrie

unde f este forta de atractie, 2γ este energia totala ale ambelor suprafete pe unitatea de

suprafata, iar z0 este distanta de echilibru (de separare) dintre planurile atomice.

Modelul Bradley considera potentialul Lennard-Jones aplicat pentru a determina forta de adeziune intre doua sfere rigide. Forta totala dintre sfere a fost gasita egala cu

unde R1,R2 sunt razele celor doua sfere. Cele doua sfere sunt complet separate cand forta

de atractie nu mai este prezenta (z = z0 )

Modelul Johnson-Kendall-Roberts (JKR) pentru contactul elastic

Schema de contact pentru modelul JKR

Pentru a incorpora efectul adeziunii in contactul Hertzian, Johnson, Kendall si Roberts au formulat teoria contactului adeziv utilizand un echilibru intre energia elastica stocata si pierderea de energie de suprafata. Modelul JKR considera efectul presiunii de contact si adeziunii numai in zona de contact. Solutia generala a distributiei presiunii in zona de contact a modelului JKR

De notat ca in teoria Hertz originala, termenii continand p0' au fost neglijati. Pentru contactul dintre doua sfere

unde a este raza suprafetei de contact, F este forta aplicata, 2γ este energia totala a

ambelor suprafete pe unitatea de suprafata , sunt razele, modulii lui Young si coeficientii lui Poisson ai celor doua sfere

Distanta dintre cele doua sfere este data de relatia:

Relatia Hertz a razei suprafetei de contact dintre doua sfere, modificata pentru a lua in considerare energia de suprafata are forma:

Cand energia de suprafata este zero, γ = 0, se obtine ecuatia Hertz pentru contactul dintre doua sfere. Cand forta aplicata este zero, raza petei de contact este

Forta de tractiune la care sferele sunt separate, adica, a = 0, este asumata a fi

Aceasta forta se numeste forta de respingere (de compresiune). De notat ca aceasta forta este independenta de modulii de elasticitate ale celor doua sfere. Exista insa si o alta posibila solutie pentru valoarea lui a la aceasta incarcare. Aceasta este aria critica de

contact ac data de relatia

Daca se defineste lucrul mecanic de adeziune ca

Δγ = γ1 + γ2 − γ12

unde γ1,γ2 sunt energiile de adeziune ale celor doua suprafete iar γ12 este termenul de interactiune, se poate scrie raza de contact JKR ca:

Tensiunea de separatie este

Iar raza critica de contact este data de

Adancimea critica de patrundere este data de

Modelul pentru contactul elastic Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)

Derjaguin-Muller-Toporov au dezvoltat un model alternativ pentru contactul adeziv.Teoria DMT presupune ca profilul de contact ramane ca in contactul Hertz dar introducand si interactiuni de atractie in afara zonei de contact.Ecuatia Hertz pentru aria de contact dintre doua sfere din teoria DMT este:

Forta de respingere este .Cand forta de respingere este atinsa, suprafata de contact devine zero si nu apar singularitati in tensiunile de contact de-a lungul muchiei de contact.Tinand cont de lucrul de adeziune Δγ

.

Coeficientul Tabor

In 1977 Tabor a aratat ca aparenta contradictie dintre teoriile JKR si DMT poate fi solutionata tinand cont ca cele doua teorii pot aparea ca limite ale unei singure teorii parametrizate cu ajutorul coeficientului Tabor (μ) definit ca

in care z0 este separarea de echilibru dintre doua suprafete in contact. Pentru teoria JKR

care se aplica sferelor de dimensiuni mari elastice coeficientul (μ) este mare. Pentru

teoria DMT aplicata sferelor mici si rigide coeficientul (μ) are valori mici.

Modelul pentru contactul elastic Maugis-Dugdale

Modelul suprafetei de contact Maugis-Dugdale

O alta imbunatatire a ideii lui Tabor este atribuita lui Maugis care reprezinta suprafata de contact in termenii propusi de Dugdale care aproximeaza zona de coeziune cu valoarea lucrului mecanic de coeziune data de relatia

in care σ0 este forta maxima propusa de potentialul Lennard-Jones si h0 este separarea maxima obtinuta prin stabilirea suprafetelor utilizand curbele Dugdale si Lennard-Jones (a se vedea Figura de mai sus). Aceasta inseamna ca forta de atractie este constanta pentru . Contactul perfect apare intr-o zona de raza a, iar fortele

de adeziune de magnitudine σ0 se extind la o suprafata de raza c > a. In regiunea

a < r < c, cele doua suprafete sunt separate prin distanta h(r) cu h(a) = 0 si h(c) = h0. Raportul m este definit ca

In teoria Maugis-Dugdale, distributia tensiunilor normale de suprafata se imparte in doua parti: una datorata presiunii de contact Hertz iar cealalata din tensiunea adeziva Dugdale. Contactul Hertz este presupus in regiunea − a < r < a. Contributia tractiunilor de suprafata din presiunea Hertz este data de

unde forta de contact Hertz FH este data de

Adancimea de penetrare datorita compresiunii elastice este:

Deplasarea verticala la r = c este

Iar separarea dintre doua suprafete la r = c este

Distributia tractiunilor de suprafata datorata tensiunii adezive Dugdale este

Forta adeziva totala este data de

Compresiunea datorata adeziunii Dugdale este

si distanta la r = c este

Tractiunea neta din suprafata de contact este data de p(r) = pH(r) + pD(r) iar forta

de contact neta este F = FH + FD. Cand h(c) = hH(c) + hD(c) = h0 tractiunea adeziva sare la zero.Se definesc valorile adimensionale ale lui a,c,F,d ca:

In completare, Maugis a propus un parametru λ care este echivalent cu coeficientul Tabor. Acest parametru este definit ca:

Forta neta de contact poate fi exprimata ca:

iar compresiunea elastica ca

Ecuatia pentru distanta de coeziune dintre doua corpuri

Aceasta ecuatie se poate rezolva pentru obtinerea valorilor lui c pentru diferite valori ale

lui a si λ. Pentru valori mari ale lui λ, , si astfel se obtine modelul JKR. Pentru

valori mici ale lui λ se obtine modelul DMT.

Modelul Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

Modelul Maugis-Dugdale poate fi solutionat iterativ daca valoarea lui λ nu este cunoscuta apriori. Carpick-Ogletree-Salmeron aproximeaza solutia care simplifica procesul utilizand urmatoarea relatie pentru a determina raza de contact a:

unde a0 este raza de contact la incarcare zero, iar β este parametrul de tranzitie legat de

λ prin

λ = − 0.924ln(1 − 1.02β)

Cazul β = 1 corespunde exact teoriei JKR, in timp ce β = 0 corespunde teoriei DMT .

Pentru cazuri intermediare 0 < β < 1 modelul COS corespunde solutiei Maugis-

Dugdale pentru 0.1 < λ < 5.

Contactul unilateral

In mecanica, un contact unilateral defineste o restrictie mecanica care previne interpenetrarea corpurilor in contact. Aceste corpuri pot fi rigide sau elastice. Contactul unilateral este de obicei asociat cu functia g care masoara distanta dintre corpuri si forta de contact. Comportarea in contactul unilateral este modelata de o lege de variatie a fortei care statueaza o relatie dintre functia “gap” si forta de contact. Forta de contact zero inseamna ca nu avem contact si “gap-ul” este pozitiv sau deschis, iar forta de contact este negativa iar “gap-ul” este zero adica inchis.

Bibliografie

1. Johnson, K. L, 1985, Contact mechanics, Cambridge University Press. 2. Popov, Valentin L., 2010, Contact Mechanics and Friction. Physical Principles

and Applications, Springer-Verlag, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0. 3. H. Hertz, Über die berührung fester elastischer Körper (On the contact of rigid

elastic solids). In: Miscellaneous Papers. Jones and Schott, Editors, J. reine und angewandte Mathematik 92, Macmillan, London (1896), p. 156 English translation: Hertz, H.

4. Hertz, H. R., 1882, Ueber die Beruehrung elastischer Koerper (On Contact Between Elastic Bodies), in Gesammelte Werke (Collected Works), Vol. 1, Leipzig, Germany, 1895.

5. K. L. Johnson and K. Kendall and A. D. Roberts, Surface energy and the contact of elastic solids, Proc. R. Soc. London A 324 (1971) 301-313

6. D. Maugis, Contact, Adhesion and Rupture of Elastic Solids, Springer-Verlag, Solid-State Sciences, Berlin 2000, ISBN 3-540-66113-1

7. B. V. Derjaguin and V. M. Muller and Y. P. Toporov, Effect of contact deformations on the adhesion of particles, J. Colloid Interface Sci. 53 (1975) 314--325

8. D. Tabor, The hardness of solids, J. Colloid Interface Sci. 58 (1977) 145-179 9. D. Maugis, Adhesion of spheres: The JKR-DMT transition using a Dugdale

model, J. Colloid Interface Sci. 150 (1992) 243--269 10. Bowden, FP and Tabor, D., 1939, The area of contact between stationary and

between moving surfaces, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 169(938), pp. 391--413.

11. Bowden, F.P. and Tabor, D., 2001, The friction and lubrication of solids, Oxford University Press.

12. Archard, JF, 1957, Elastic deformation and the laws of friction, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 243(1233), pp.190--205.

13. Greenwood, JA and Williamson, JBP., 1966, Contact of nominally flat surfaces, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, pp. 300-319.

14. Bush, AW and Gibson, RD and Thomas, TR., 1975, The elastic contact of a rough surface, Wear, 35(1), pp. 87-111.

15. Persson, BNJ and Bucher, F. and Chiaia, B., 2002, Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results, Physical Review B, 65(18), p. 184106.

16. Shigley, J.E., Mischke, C.R., 1989, Mechanical Engineering Design, Fifth Edition, Chapter 2, McGraw-Hill, Inc, 1989, ISBN 0-07-056899-5.

17. Wriggers, P. 2006, Computational Contact Mechanics. 2nd ed. (Springer Verlag: Heidelberg).

18. Laursen, T. A., 2002, Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis, (Springer Verlag: New York).

19. Acary V. and Brogliato B., 2008,Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg.

20. Popov, Valentin L., 2009, Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.

21. Sneddon, I. N., 1965, The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci. v. 3, pp. 47–57.

22. Greenwood, J. A. and Williamson, J. B. P., (1966), Contact of nominally flat surfaces, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 295, pp. 300--319.

23. Mikic, B. B., (1974), Thermal contact conductance; theoretical considerations, International Journal of Heat and Mass Transfer, 17(2), pp. 205-214.

24. Hyun, S., and M.O. Robbins, 2007, Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, v.40, pp. 1413-1422.

25. Bradley, RS., 1932, The cohesive force between solid surfaces and the surface energy of solids, Philosophical Magazine Series 7, 13(86), pp. 853--862.

26. Derjaguin, BV and Muller, VM and Toporov, Y.P., 1975, Effect of contact deformations on the adhesion of particles, Journal of Colloid and Interface Science, 53(2), pp. 314-326.

27. Muller, VM and Derjaguin, BV and Toporov, Y.P., 1983, On two methods of calculation of the force of sticking of an elastic sphere to a rigid plane, Colloids and Surfaces, 7(3), pp. 251-259.

28. Tabor, D., 1977, Surface forces and surface interactions, Journal of Colloid and Interface Science, 58(1), pp. 2-13.

29. Johnson, KL and Greenwood, JA, 1997, An adhesion map for the contact of elastic spheres, Journal of Colloid and Interface Science, 192(2), pp. 326-333.

30. Carpick, R.W. and Ogletree, D.F. and Salmeron, M., 1999, A general equation for fitting contact area and friction vs load measurements, Journal of colloid and interface science, 211(2), pp. 395-400.