Matrice Determinanti Sisteme Liniare

MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

1 MatriceAdunarea matricelornmultirea cu scalar. Produsul

2 DeterminantiProprietati ale determinantilorRangul unei matrice

3 Sisteme liniareSisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Adunarea matricelornmultirea cu scalar. Produsul

Notiunea de matrice

Fie corpul comutativ al numerelor reale = R sau complexe = C .

DefinitieNumim matrice cu elemente din cu m linii si n, coloane(m,n N) tabelul

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn

= (aij), i = 1,m j = 1,n.Notam multimea matricelor cuMm,n(). Daca m = n notamMn()


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Matrice particulare

Matrice linieA = ( a11 a12 a1n ).

Vom nota A M1,n().Matrice coloana.

A =

a11a21 am1

.Vom nota A Mm,1().


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


A Mn() este diagonala daca are forma:

A =

a11 0 00 a22 0 0 0 ann

= diag (a11,a22, ,ann).A Mn() este triunghiulara inferior sau superior daca areforma:

A =

a11 0 0a21 a22 0 an1 an1 ann

A =

a11 a12 a1n0 a22 a21 0 0 ann


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Egalitate si suma de matrice

Definitie

Matricele A = (aij),B = (bij) Mmn(), i = 1,m j = 1,n senumesc egale daca

aij = bij , i = 1,m j = 1,n

Definitie

Date matricele A = (aij),B = (bij) Mmn(), i = 1,m j = 1,nnumim suma, matricea A + B Mmn() de forma

A + B = (aij + bij), i = 1,m j = 1,n


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


GrupulMmn()

MultimeaMmn() formeaza grup comutativ fata de adunare,adica satisface axiomele

1 A,B Mmn(), A + B Mmn()2 A,B,C Mmn(), (A + B) + C = A + (B + C)3 Omn Mmn() astfel ca

A + Omn = Omn + A = A, A Mmn()4 A Mmn(), A Mmn() astfel ca

A + (A) = (A) + A = Omn5 A,B Mmn(), A + B = B + A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


nmultirea cu scalar. Produsul.

Definitie

Daca A = (aij), i = 1,m j = 1,n este o matrice si ,matricea A Mmn() este prin definitie

A = ( aij), i = 1,m j = 1,n.

Definitie

Daca A Mmn(),B Mnp() atunci prin definitie produsuleste matricea A B Mmp

A B = (n

k=1

aikbkj), i = 1,m, j = 1,p.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Structura de inel

Multimea matricelor patraticeMn(),n 2 formeaza inel cuunitate necomutativ, adica

1 Mn() este grup aditiv comutativ2 A,B,C Mn(), (A B) C = A (B C)3 nmultirea este distributiva fata de adunare

A (B + C) = A B + A C

(A + B) C = A C + B C4 exista In element fata de nmultire


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Element neutru

Definitie

Elementul In Mn() se numeste element neutru fata denmultire daca A Mn() are loc

A In = In A = A.Elementul neutru are forma

In =

1 0 00 1 0 0 0 1

.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Inversa unei matrice

Definitie

Matricea A Mn(), se numeste inversabila daca existaA1 Mn() astfel ca

A A1 = A1 A = In


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Transpusa unei matrice

Definitie

Fie A = (aij), i = 1,m j = 1,n o matrice. Numim transpusamatricei A

At = (aji), i = 1,m j = 1,n

Obervam ca daca A Mmn() atunci At Mnm()Au loc

1 (A + B)t = At + Bt

2 (AB)t = BtAt

3 (At )t = A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice

Definitia generala

Fie A Mn().Definitie

Numim determinant al matricei A numarula11 a1n an1 ann

=Pn

(1)Inv()a1(1)a2(2) an(n)

unde Pn este grupul permutarilor unei multimi cu n elemente,iar Inv() este numarul inversiunilor permutarii .


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Cazuri particulare

Determinant de ordin 2 a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21

Determinant de ordin 3a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

== a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a11a23a32a12a21a33.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Proprietati ale determinantilor

1 det(A) = ndet(A), A Mn(), 2 det(A B) = det(A)det(B), A,B Mn()3 daca schimbam doua linii sau doua coloane ntre ele,

atunci determinantul si schimba semnul4 daca la o linie (coloana) adunam o alta linie (coloana)

nmultita cu un scalar valoarea determinantului nu seschimba

5 det(A) = det(At )


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Minori

Fie A Mn() o matrice si 1 p n, un numar natural.DefinitieNumim minor de ordinul p al matricei A determinantul matriceide ordinul p format cu elementele situate la intersectia a p liniisi p coloane ale matricei A.

DefinitieNumim minor complementar al minorului M de ordin p almatricei A determinantul Mc de ordinul n p al matricei extrasedin A prin suprimarea celor p linii si p coloane corespunzatoarelui M.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


DefinitieNumim complement algebric al minorului M al matricei Aelementul din definit de C = (1)sMc , undes = (i1 + i2 + . . .+ ip) + ( j1 + j2 + . . .+ jp), adica suma indicilorliniilor si coloanelor matricei A utilizate n M.

Teorema(Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cusuma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cuelementele a p linii (coloane) fixate ale matricei A princomplementii lor algebrici.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Calculul inversei unei matrice

TeoremaMatricea A Mn() este inversabila daca si numai dacadet(A) 6= 0.

TeoremaInversa matricei A este

A1 =1

det(A)A

unde A este matricea adjuncta.

Matricea adjuncta A se obtine nlocuind elementele matricei At

prin complementii algebrici.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Rangul unei matrice

Definitie

Matricea nenula A Mm,n() are rangul r daca exista n A celputin un minor de ordinul r diferit de zero si toti minorii de ordinmai mare dect r , daca exista, sunt egali cu zero. Notamrang(A) = r .

Pentru matricea nula, convenim ca rang(0m,n) = 0.rang A min(m,n).TeoremaRangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal dectrangul fiecarei matrice.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare

Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)

Sisteme liniare neomogene

Forma generala estea11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn

, X =

x1x2 xn

B =

b1b2 bm

Sistemul se scrie

AX = B.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Matricea

A =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm

se numeste matrice largita (extinsa).

Teorema(Teorema Kronecker -Capelli) Sistemul este compatibil daca sinumai daca

rang A = rang A


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Consecinte

1. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numaidaca rangul matricei coincide cu rangul matricei largite si cunumarul de necunoscute, adica

rang A = rang A = n

2. Daca rang A = rang A < n sistemul este compatibilnedeterminat.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Presupunem ca matricea A are rangul r si fie 6= 0 un minorde ordin r .

DefinitieNumim determinant caracteristic, un determinant obtinut prinbordarea lui cu coloana termenilor liberi si cu una dintreliniile ramase.

Teorema(Teorema lui Rouche) Sistemul este compatibil daca si numaidaca toti determinantii caracteristici sunt nuli.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Regula lui Cramer

Daca m = n si rang A = rang A = n necunoscutele se potdetermina cu formulele

xi =i

unde este determinantul sistemului, iar i determinantulobtinut prin nlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Sisteme liniare omogene

Daca bi = 0, i = 1,n sistemul se numeste omogen. Deci formagenerala este

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0

Un sistem omogen este totdeauna compatibil.


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Consecinte

1. Sistemul omogen este compatibil unic determinat daca sinumai daca rangul matricei coincide cu numarul denecunoscute, adica

rang A = n

2. Daca rang A < n sistemul este compatibil nedeterminat.3. Daca m = n obtinem:i. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numai daca

det(A) 6= 0

ii. Sistemul este compatibil nedeterminat daca si numai daca

det(A) = 0


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Metoda lui Gauss

Consideam sistemul liniara11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

Pas I. Daca toti aij = 0 analizam b1, bm.I.1 Daca b1 = = bm = 0 sistemul este compatibil

nedeterminatI.2. Daca exista bi 6= 0 sistemul este incompatibil


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Pas II Daca exista aij 6= 0Pas II.1 Alegem max

i=1,m;j=1,n|aij |. Aducem elementul pe linia

1 si coloana 1Pas II.2 nmultim linia 1 cu ak1a11 si adunam la linia

k = 2, ,m. Sistemul devinea11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

a22x2 + + a2nxn = b2

am2x2 + + amnxn = bmPas II.3 Reluam pasul I pentru sistemul

a22x2 + + a2nxn = b2

am2x2 + + amnxn = bm


MatriceDeterminanti

Sisteme liniare


Dupa un numar finit de pasi se ajunge la un sistem de forma

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a22x2 + + a2nxn = b2

arr xr + + arnxn = br

0 = br+1

0 = bm

I Daca cel putin unul dintre br+1, ,bm 6= 0 sistemul esteincompatibilII. Daca toti br+1 = = bm = 0 sistemul este compatibil.

II.1 Daca r = n sistemul este unic determinatII.2 Daca r < n sistemul este compatibil nedeterminat


MatriceAdunarea matricelornmultirea cu scalar. Produsul

DeterminantiProprietati ale determinantilorRangul unei matrice

Sisteme liniareSisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)

Matrice Determinanti Sisteme Liniare

Documents

Transcript of Matrice Determinanti Sisteme Liniare